Prova 1 - 2_2017 - UNB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
1.a Prova Turma J 2.o/2017 12/09/2017
Nome: Mat.: /
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item. O valor de cada item respondido e´ igual a 0, 5 ou a −0, 5, conforme a resposta coincida ou
na˜o com o gabarito. Itens deixados em branco, com marcac¸a˜o dupla ou rasurada tera˜o valor igual a zero.
1) As coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sen(θ) de um ponto P = (x, y) podem ser u´teis
no estudo de limites. Isso porque, como ‖P‖ = r, segue-se que P → P0 = (0, 0) se, e somente
se, r → 0. Por exemplo, considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(P0) = 0 e f(x, y) =
2x2y/(x2 + y2) para (x, y) 6= P0. A figura abaixo ilustra o gra´fico de f juntamente com a
curva desse gra´fico ao longo da reta y = −x. Se necessa´rio, use que sen(2θ) = 2 cos(θ) sen(θ).
C E a) Usando coordenadas polares obte´m-se que, dado ǫ > 0, basta escolher δ = ǫ para
se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ.
C E b) Usando a definic¸a˜o, obte´m-se que f na˜o possui as
derivadas parciais no ponto P0.
C E c) As derivadas parciais de f na˜o sa˜o cont´ınuas em P0.
C E d) Usando coordenadas polares, obte´m-se que existe o
limite lim
P→P0
f(P )/‖P‖.
C E e) A func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em P0.
2) A produc¸a˜o do hormoˆnio vegetal auxina em uma folhagem e´ uma func¸a˜o P (t, x) do
tempo t e da intensidade luminosa x a` qual a folhagem esta´ exposta. Suponha que, em
unidades apropriadas, a produc¸a˜o pode ser modelada pela func¸a˜o P : D −→ R dada por
P (t, x) = t(10− x)e−2t/x, onde D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ t ≤ 15 e 1 ≤ x ≤ 7}.
15
1
7
L1
L3
L2 L4D
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que P (t, x) possui pontos de
ma´ximo e de mı´nimo absolutos em D.
Resposta:
b) Determine as derivadas parciais Pt(t, x) e Px(t, x).
Resposta:
c) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o P no interior de D.
Resposta:
d) Determine o ponto de ma´ximo de P na fronteira ∂D, que e´ assumido sobre o lado L3.
Resposta:
e) Usando os itens anteriores, determine o ponto de ma´ximo absoluto de P em D.
Resposta:
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3) Uma refinaria vende barris de petro´leo com medidas previstas de r0 para o raio e h0 para
a altura. Entretanto, devido a va´rios fatores, as medidas reais P = (r, h) podem diferir das
previstas P0 = (r0, h0). Essa diferenc¸a acarreta erros no volume de petro´leo em cada barril,
e e´ claro que esse erro na˜o pode exceder a valores pre´-fixados. Assim, o problema e´ controlar
esse erro. Se necessa´rio, use que |r − r0|/‖P − P0‖ ≤ 1 e |h− h0|/‖P − P0‖ ≤ 1.
r0
r
h0 h
a) Determine a expressa˜o do volume V = V (r, h) e calcule as
suas derivadas parciais.
b) Determine a expressa˜o da func¸a˜o z = z(r, h) que fornece o
plano tangente ao gra´fico de V (r, h) no ponto P0 = (r0, h0).
c) Verifique que o erro η(P − P0) = V (r, h)− z(r, h) pode ser
expresso na forma η(P−P0) = π(r−r0)g(r, h) para alguma
func¸a˜o g(r, h).
d) Use a definic¸a˜o e os itens anteriores para mostrar que V (r, h) e´ diferencia´vel em P0.
e) Aproxime o erro |V (r, h)−V (r0, h0)| pela diferencial. Em seguida, supondo h0 = 0, 25,
r0 = 0, 8 e erros iguais |r − r0| = |h − h0| nas medidas de r e h, decida se o erro no
volume e´ mais sens´ıvel a um erro no raio ou na altura.
4) A figura ilustra um raio de luz por P = (0, a) e R = (l, b) sendo refratado em Q, onde a
velocidade da luz e´ va na parte superior e vb na inferior. Os pontos P e R esta˜o fixos, mas
tanto Q como os aˆngulos x e y pode variar com as velocidades da luz. De fato, a lei emp´ırica
de Snell afirma que sen(x)
va
= sen(y)
vb
. Em uma descoberta que mudou a forma de olharmos a
natureza, Fermat deduziu a lei de Snell a partir de seu princ´ıpio: a luz percorre o caminho
de tempo mı´nimo. Veja como essa deduc¸a˜o pode ser feita nos itens a seguir.
a) O tempo Ta em que a luz se desloca de P a Q
e´ tal que Ta va = PQ. Use essa informac¸a˜o para
expressar Ta em termos de a, va e cos(x).
b) Analogamente, expresse o tempo Tb entre Q e R
em termos de b, vb e cos(y). A seguir, expresse o
tempo total como uma func¸a˜o T (x, y).
a
b
x
y
P
Q
l
R
O R0
c) Expresse a distaˆncia OQ em termos de a e de tan(x), e QR0 em termos de b e tan(y).
Somando essas distaˆncias, expresse a distaˆncia total como uma func¸a˜o D(x, y).
d) Indique por C a curva de n´ıvel no n´ıvel l de D(x, y). Com essa notac¸a˜o, o caminho de
tempo mı´nimo entre P e R e´ aquele que minimiza a restric¸a˜o T
∣
∣
C
. Obtenha enta˜o o
sistema que fornece os pontos cr´ıticos de T
∣
∣
C
.
e) Use os itens anteriores para mostrar que os pontos cr´ıticos da restric¸a˜o T
∣
∣
C
sa˜o exata-
mente aqueles que satisfazem a` lei de Snell.
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