TEORIA DOS CONJUNTOS 14-08-2019

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FAESP –– Raciocínio Lógico - Teoria dos Conjuntos 
Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dos 
conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade 
característica de todos os números algébricos reais". O que é um conjunto(explicação de Cantor) ? Um conjunto é 
qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, chamados elementos, de nossa 
intuição ou pensamento. 
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e matemáticos 
indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Especialmente notável é o 
trabalho de Bernard Bolzano
[5]
 na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do conceito de 
infinito em matemática começou em 1867–71, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das 
funções e séries trigonométricas
[6]
. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o 
pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874. 
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e 
Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo 
matemático, era contra. A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à 
utilidade dos conceitos cantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de 
que há mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação 
conjunto das partes dá origem. 
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi descoberto que 
a teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradições, chamadas antinomias ou paradoxos. 
Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje 
chamado paradoxo de Russell que envolve "o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si 
mesmos". Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve ser e não ser um membro de si mesmo. Em 
1899 Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um 
paradoxo relacionado. 
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O trabalho 
de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou na teoria axiomática dos conjuntos canônica 
ZFC, que imagina-se ser livre de paradoxos. O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a 
grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos. 
Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o 
é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de 
pertinência também pode relacionar conjuntos. 
Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada 'está contido'. 
Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, 
denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta 
definição, é óbvio que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o 
termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. 
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracteriza 
operações binárias sobre conjuntos. O (A): 
 União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros 
de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. 
 Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são 
membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. 
 Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que 
não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de 
conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é 
também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do 
contexto, a notação A
c
 é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto 
universo como no estudo de diagramas de Venn. 
 Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de 
exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por 
exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto 
diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) \ (A ∩ B). 
 Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os 
possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B. 
 Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis 
subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }. 
Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém 
elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais. 
A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos com 
importância histórica é isomorfa à lógica proposicional clássica e à álgebra booleana, e como tal, os 
teoremas de uma das teorias possuem análogos nas outras duas.
[1][2]
 
Exemplos: 
 equivale a . 
 equivale a . 
 equivale a . 
 equivale a p(a). 
 equivale a F(FALSE). 
 U equivale a T(TRUE). 
 equivale a ∼a. 
Aplicações 
Quase todos os conceitos matemáticos são agora definidos formalmente em termos de conjuntos e conceitos 
teóricos de conjuntos. Por exemplo, as estruturas matemáticas tão diversas como grafos, variedade, anéis, e 
espaços vetoriais são todos definidos como conjuntos contendo várias propriedades (axiomáticas). 
Equivalência e relações de ordem são onipresentes na matemática, e a teoria das relações é inteiramente 
baseada na teoria dos conjuntos. 
A teoria dos conjuntos também é um sistema fundamental para muito da matemática. Desde a publicação do 
primeiro volume de Principia Mathematica, que tem sido afirmado que a maioria ou mesmo todos os 
teoremas matemáticos podem ser derivados usando um conjunto adequadamente projetado de axiomas para 
a teoria dos conjuntos, aumentado com muitas definições, usando lógica de primeira ordem ou segunda 
ordem. Por exemplo, as propriedades do números naturais e reais podem ser obtidas da teoria dos conjuntos, 
já que cada sistema de números pode ser identificado como um conjunto de classes de equivalência sob uma 
relação de equivalência adequada cujo campo é algum conjunto infinito. 
Teoria dos conjuntos como base para a análise matemática, topologia, álgebra abstrata e matemática discreta 
é igualmente incontroversa; matemáticos aceitam que (a princípio) teoremas nestas áreas podem ser 
derivadas das definições pertinentes e dos axiomas da teoria dos conjuntos. Algumas derivações completas 
de teoremas de complexidade matemática foram formalmente verificados a partir da teoria dos conjuntos, no 
entanto, tais derivações formais são muitas vezes mais extensas que do que as provas matemáticas de 
linguagem natural comumente presentes. Um projeto de verificação, Metamath, inclui derivações de mais de 
10.000 teoremas a partir dos axiomas de ZFC e usando lógica de primeira ordem. 
Exercicios 
01. Sendo A={5, 7, 9}, B={0, 9, 10, 90}, C={7, 8, 9, 10}, D={9,10} e E={5, 7, 10, 90}, determine: 
a) A 

 B 
b) C – (D  E) 
 
02. Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um 
município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram tabagistas, 150 
eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que apresentaram, pelo 
menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20 %. Com base nessas informações, é correto afirmar que, com 
essa redução, o número de pessoas sem qualquer um desses vícios passou a ser: 
a) 102 
b) 104 
c) 106 
d) 108 
e) 110 
 
03. Na tabela a seguir, temos o número de alunos de uma turma que foram reprovados em Matemática (M), em 
Física (F), em Química (Q), em cada duas destas disciplinas e nas três disciplinas. 
 
Se o total de alunos na turma é 90, quantos foram aprovados nas três disciplinas? 
a) 50 
b) 49 
c) 48 
d) 47 
e) 46 
 
04. Em uma reserva ambiental, habitam 40 predadores que têm predileção por presas dos tipos A, B ou por 
nenhuma delas. Sabendo-se que desses predadores 18 preferem presas do tipo A, 22 preferem do tipo B e 6 
preferem dos dois tipos, a quantidade de predadores que não têm predileção por nenhum dos dois tipos de presas é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
05. Sendo A= {2, 3, 4, 5, 9}, B= {2, 3, 7, 8, 10} e C= {2, 3, 4}, faça o diagrama das reuniões a seguir, hachurando as 
regiões correspondentes 
a) A 

 B 
b) A  C 
 
06. Sendo A= { x 

IN / x 

 3 } e B= { y 

 IN / 7 < y 

 12 }, determine (nomeando cada um de seus elementos e 
colocando-os entre chaves): 
a) A 
b) B 
c) A 

 B 
d) A 

 B 
e) A – B 
 
07. “Cabelo e vestuário são itens que se destacam no rol de preocupações das adolescentes que costumam 
frequentar as ‘baladas’ belenenses”- é o que aponta a pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária entre 15 
e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presentes após 
uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 aparecem nos locais onde acontecem as “baladas” com traje inédito e depois 
de uma “escova” no cabeleireiro. Pergunta-se: quantas são as adolescentes consultadas que não se preocupam em 
ir ao cabeleireiro fazer “escova”, nem em vestir uma roupa inédita? 
a) 39 
b) 63 
c) 102 
d) 165 
e) 177 
 
08. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: 
N = { 0,1,2,3,4,...} 
P = { x 

 |N / 6 

 x 

 20 } 
A = { x 

 P / x é par } 
B = {x 

 P / x é divisor de 48 } 
C = { x 

 P / x é múltiplo de 5 } 
O número de elementos do conjunto (A - B) 

 C é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
09. A prefeitura de certa cidade realizou dois concursos: um para gari e outro para assistente administrativo. 
Nesses dois concursos, houve um total de 6.500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente, 870 fizeram prova 
somente do concurso para gari. Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos, 4.630 não fizeram a prova do 
concurso para gari, é correto afirmar que o número de candidatos que fizeram provas dos dois concursos foi: 
a) 4.630 
b) 1.870 
c) 1.300 
d) 1.740 
e) 1.000 
 
10. Uma pesquisa envolvendo 1200 habitantes de uma cidade revelou que 45% deles leem diariamente o jornal A; 
60% leem o jornal B e que 80 entrevistados não leem nenhum dos dois jornais. O número de pessoas entrevistadas 
que leem os dois jornais é: 
a) 60; 
b) 80; 
c) 100; 
d) 120; 
e) 140. 
11. Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto 
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: 
12.O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. 
Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças. 
13.Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou 
apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e 
C. Em consequência: 
14.Considere o conjunto A={x ∈ U | x satisfaz p}. Sobre A podemos afirmar: 
a) Se x ∈ U então x ∈ A 
b) Se x ∉ A então x ∉ U 
c) Se x não satisfaz p então x ∉ A 
d) U ⊂ A 
15.Considere o conjunto A = {1, 2, {3}} e assinale a alternativa que contém um sub conjunto de A. 
A) {3} 
B) {1, 3} 
C) {2, 3} 
D) {4, {3}} 
E) {{3}} 
16.Considerando o conjunto universo U = {2, 4, 6, 8, 10} e os conjuntos não-vazios A e B, subconjuntos de 
U, tais que B ⊂A, A U B = {6, 8, 10} e A ∩ B = {8}, pode afirmar, CORRETAMENTE, que A é: 
a) {6,8,10} 
b) {4,6} 
c) {4,6,8} 
d) {2,6,10} 
e) {6,8} 
17.No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao 
estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também 
que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas 
torciam para o Flamengo. Pergunta-se: 
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? 
b) Quantos cariocas foram ao estádio? 
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? 
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? 
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? 
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? 
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? 
h) Quantos eram corintianos ou paulistas? 
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? 
18.Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o 
resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos 
os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi: 
19.Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas 
línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é: 
20.Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado 
colheram-se os resultados tabelados abaixo: 
Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C 
Nenhuma 
delas 
Número de 
Consumidores 
109 203 162 25 28 41 5 115 
Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é: