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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
CAPÍTULO 1 
A NATUREZA DA ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
 
1.1 (a) A seguir temos a tabela com as taxas de inflação (%) calculadas ano sobre ano 
com início em 1974, pois não há dados anteriores a 1973. 
 
CANADÁ FRANÇA ALEMANHA ITÁLIA JAPÃO REINO UNIDO 
Estados 
Unidos 
10,78431 13,58382 6,847134 19,41748 23,17328 0,157706 0,110360 
10,84071 11,70483 5,961252 17,07317 11,69492 0,244582 0,091278 
7,584830 9,567198 4,360056 16,66667 9,559939 0,164179 0,057621 
7,792208 9,563410 3,638814 19,34524 8,171745 0,158120 0,065026 
8,950086 9,108159 2,730819 12,46883 4,225352 0,083026 0,075908 
9,320695 10,60870 4,050633 15,52106 3,685504 0,134583 0,113497 
9,971098 13,67925 5,474453 21,30518 7,701422 0,178679 0,134986 
12,48357 13,27801 6,343714 19,30380 4,840484 0,119745 0,103155 
10,86449 11,96581 5,314534 16,31300 2,938090 0,085324 0,061606 
5,795574 9,487459 3,295572 14,93729 1,732926 0,046122 0,032124 
4,282869 7,669323 2,392822 10,61508 2,304609 0,050100 0,043173 
4,106972 5,827937 2,044791 8,609865 1,958864 0,060115 0,035611 
4,128440 2,534965 –0,095420 6,110652 0,672430 0,034203 0,018587 
4,317181 3,239557 0,191022 4,591440 0,000000 0,041775 0,036496 
4,054054 2,725021 1,334604 4,985119 0,763359 0,049290 0,041373 
4,951299 3,456592 2,728128 6,591070 2,367424 0,077229 0,048183 
4,795050 3,341103 2,747253 6,117021 3,052729 0,095344 0,054032 
5,608856 3,157895 3,654189 6,390977 3,231589 0,058704 0,042081 
1,537386 2,405248 4,987102 5,300353 1,652174 0,036966 0,030103 
1,789401 2,135231 4,504505 4,250559 1,283148 0,015980 0,029936 
0,202840 1,602787 2,742947 3,916309 0,760135 0,024803 0,025606 
2,159244 1,783265 1,830664 5,369128 –0,167645 0,033648 0,028340 
1,585205 2,021563 1,498127 3,870652 0,167926 0,024557 0,029528 
1,625488 1,188904 1,697417 1,745283 1,676446 0,031215 0,022945 
 
 
(b) 
 
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Legenda: 
PC = Canadá 
PF = França 
PG = Alemanha 
PI = Itália 
PJ = Japão 
PUK = Reino Unido 
PUS = Estados Unidos 
 
 
(c) Pelo gráfico, pode–se ver que, com o passar dos anos, houve, em geral, diminuição da 
taxa de inflação de todos os países. 
 
(d) Pode–se usar o desvio-padrão como medida de flutuação das taxas. Para Canadá, 
França, Alemanha, Itália, Japão, Reino Unido e Estados Unidos os valores do desvio-
padrão são respectivamente 0,036, 0,044, 0,018, 0,062, 0,051 e 0,032. Encontramos, 
assim, a maior flutuação nas taxas da Itália, e a menor, nas da Alemanha. 
 
 
1.2 (a) A seguir está o gráfico com a representação das taxas de inflação dos seis países 
em relação à dos Estados Unidos. 
 
 
 
 
 
(b) O gráfico mostra que há correlação positiva entre as taxas de inflação dos seis países 
e a dos Estados Unidos. 
 
(c) Lembre–se de que correlação não implica causalidade. Talvez seja necessário 
consultar um livro de macroeconomia internacional para saber se há uma relação causal 
entre a taxa de inflação dos Estados Unidos e as dos outros países. 
 
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1.3 (a) Para melhor visualização do gráfico, representamos o logaritmo da taxa de câmbio 
no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. 
 
 
 
 
Como se vê, as taxas de câmbio apresentam considerável flutuação. Em 1977, por 
exemplo, um dólar americano valia 268 ienes, mas somente 94 ienes em 1995. 
 
(b) O cenário é, novamente, variado. Entre 1977 e 1995, por exemplo, o dólar americano 
se depreciou em relação ao iene, e daí começou a se apreciar. O panorama é semelhante 
em relação às outras moedas. 
 
 
1.4 O gráfico da oferta de moeda M1, nos Estados Unidos, de janeiro de 1951 a setembro 
de 1999, é o seguinte: 
 
 
 
 
À medida que o PIB cresce ao longo do tempo, faz–se naturalmente necessário ampliar a 
oferta de moeda para financiar o aumento da produção. 
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1.5 Algumas das variáveis pertinentes seriam: (1) salários ou ganhos nas atividades 
criminosas; (2) salários ou ganhos por hora em atividades lícitas; (3) probabilidade de 
ser apanhado; (4) probabilidade de condenação; (5) sentença esperada após a 
condenação. Repare que não deve ser fácil conseguir dados sobre ganhos em 
atividades ilegais. Mesmo assim, consulte o artigo de Gary Becker citado no livro-
texto. 
 
 
1.6 Um fator essencial nessa análise seria a taxa de participação na força de trabalho 
(TPFT) de pessoas na faixa etária dos 65 aos 69 anos. Um aumento dessa taxa, se 
constatado após a entrada em vigência da nova lei, seria forte indício de que a lei 
anterior restringira artificialmente a participação desses cidadãos no mercado. 
Também seria interessante descobrir que tipos de empregos esses trabalhadores 
conseguem e quanto ganham. Os dados sobre PFT são coletados pelo Departamento 
do Trabalho (Estados Unidos). 
 
 
1.7 (a), (b) & (c) De acordo com o gráfico, parece haver uma relação positiva, embora não 
muito forte, entre as duas variáveis, indicando que pode valer a pena anunciar. Do 
contrário, más notícias para a indústria da publicidade. 
 
 
 
 
Vertical = Impressões 
Horizontal = Desppub 
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CAPÍTULO 2 
ANÁLISE DE REGRESSÃO COM DUAS VARIÁVEIS: ALGUMAS IDÉIAS BÁSICAS 
 
 
2.1 A função informa como varia a resposta média das subpopulações de Y com os 
valores dados da(s) variável(is) explanatória(s). 
 
 
2.2 A distinção entre as funções de regressão amostral e populacional é importante, 
pois aquela é um estimador desta. Na maioria dos casos, o que temos é uma amostra 
de observações da qual tentamos extrair informações sobre a população a que ela se 
refere. 
 
 
2.3 Um modelo de regressão não é, de forma alguma, uma descrição absolutamente 
fiel da realidade. Assim, é certo que haverá diferenças entre o valor real do 
regressando e seus valores estimados pelo modelo escolhido. Tal diferença é 
simplesmente o termo de erro estocástico, cujas diversas formas são discutidas no 
texto. O resíduo é a contrapartida amostral do termo de erro estocástico. 
 
 
2.4 Embora seja certo que podemos usar o valor médio, o desvio-padrão e outras 
medidas sumárias para descrever o comportamento do regressando, estamos em geral 
interessados em saber se há alguma força causal que o afeta. Se houver, poderemos 
fazer um melhor prognóstico do seu valor médio com a análise de regressão. Também 
não podemos esquecer que os modelos econométricos são quase sempre 
desenvolvidos para testar uma ou mais teorias econômicas. 
 
 
2.5 É um modelo linear nos parâmetros, mas que pode ou não ser linear nas variáveis. 
 
 
2.6 Os modelos (a), (b), (c) e (e) são modelos de regressão lineares (nos 
parâmetros). O modelo (d) também será linear se fizermos α = lnβ1. 
 
 
2.7 (a) Aplicando o logaritmo natural, obtemos lnYi = β1+ β2 Xi + ui, que assim é um 
modelo de regressão linear. 
 
(b) A seguinte transformação, conhecida como logit, faz deste um modelo de 
regressão linear: ln[(1-Yi)/Yi] = β1+ β2 Xi + ui. 
 
(c) Modelo de regressão linear. 
 
(d) Modelo de regressão não-linear. 
 
(e) Modelo de regressão não-linear, pois β2 está elevado ao cubo. 
 
 
 
 
 
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2.8 Um modelo de regressão intrinsecamente linear é aquele que se pode fazer linear 
nos parâmetros, como o modelo em 2.7 (a). Se β2 na Questão 2.7 (d) fosse 0,8, esse 
seria um modelo de regressão linear, já que 0,8( 2)iXe− − pode ser facilmente calculado. 
2.9 Todos são modelos de regressão intrinsecamente lineares, como demonstramos a 
seguir: 
 
(a) A transformação (1/Yi) = β1+ β2 Xi converte o modelo em linear. 
 
(b)Escrever o modelo como (Xi/Yi) = β1+ β2 Xi converte-o em linear. 
 
(c) A transformação ln[(1-Yi)/Yi] = –β1–β2 Xi converte o modelo em linear. 
 
 
2.10 O gráfico de dispersão indica que, em média, os salários nos países que 
exportam mais exibem maior crescimento real do que naqueles que exportam menos. 
É por isso que muitos países em desenvolvimento seguem uma política de crescimento 
voltada para a exportação. A linha de regressão traçada no gráfico é amostral, pois se 
baseia numa amostra de 50 países em desenvolvimento. 
 
 
2.11 De acordo com o conhecidíssimo modelo de comércio de Heckscher-Ohlin, os 
países têm tendência a exportar mercadorias que, para serem produzidas, utilizem 
intensivamente seus fatores de produção mais abundantes. Em outras palavras, este 
modelo enfatiza a relação entre dotação de fatores e vantagem comparativa. 
 
 
2.12 O gráfico de dispersão mostra que quanto mais alto o salário mínimo, mais baixo 
é o PNB per capita, indicando, portanto, que a legislação relativa à remuneração 
mínima pode não ser boa para os países em desenvolvimento, mas há controvérsia 
quanto a esse assunto. O resultado desse tipo de legislação pode depender do efeito 
que causa nos empregos, da natureza da indústria do local onde é imposta e da 
intensidade com que o governo a impõe. 
 
 
2.13 É uma FRA porque se baseia numa amostra de 15 anos de observações. Os 
pontos dispersos em torno da linha de regressão são de dados reais. A diferença entre 
as despesas em consumo reais e as estimadas pela linha representa o resíduo 
(amostral). Além do PIB, fatores como riqueza, taxa de juros etc. podem afetar as 
despesas em consumo. 
 
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2.14 (a) O gráfico de dispersão é o seguinte: 
 
 
 
 
Vertical = TPFTCH 
Horizontal = TDCH 
 
A relação positiva entre as duas variáveis parece surpreendente porque se esperaria, a 
priori, que fossem negativamente relacionadas. Mas a hipótese do efeito do 
trabalhador adicional da Economia do Trabalho sugere que quando o desemprego 
aumenta, a força de trabalho secundária pode ingressar no mercado de trabalho para 
garantir alguma renda familiar. 
 
(b) Segue o gráfico de dispersão: 
 
 
 
 
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VERTICAL = TPFTCM 
HORIZONTAL = TDCM 
 
Parece que temos aqui em ação a hipótese do efeito desalento da Economia do 
Trabalho: o desemprego desestimula as mulheres a participarem da força de trabalho 
por não acreditarem que haja oportunidades de emprego. 
 
(c) A representação gráfica da TPFTCH em relação aos GHM82 mostra o seguinte: 
 
 
 
VERTICAL = TPFTCH 
HORIZONTAL = GHM82 
 
E representação gráfica correspondente para as mulheres é: 
 
 
 
VERTICAL = TPFTCM 
HORIZONTAL = GHM82 
 
 
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Há uma relação assimétrica entre as duas variáveis para homens e mulheres. Os 
homens respondem positivamente a salários maiores, ao passo que as mulheres 
respondem negativamente, o que parece desconcertante. Pode ser que ganhos 
maiores resultantes de salários mais altos para os homens induzam as mulheres a se 
retirarem da força de trabalho, algo que pode acontecer com os casais. Mas é preciso 
ter cuidado, pois aqui estamos trabalhando com regressões simples de apenas duas 
variáveis. As conclusões anteriores podem mudar quando estudarmos análise de 
regressão múltipla. 
 
 
2.15 (a) O gráfico de dispersão e a linha de regressão ficam assim: 
 
 
 
Vertical = DESPALIM 
Horizontal = DESPTOT 
 
(b) Na média, à medida que crescem as despesas totais também crescem as despesas 
com alimentação. Mas há uma flutuação maior entre as duas depois que as despesas 
totais passam de Rs. 2000. 
 
(c) Não esperaríamos que as despesas com alimentação crescessem indefinidamente 
de forma linear (isto é, como uma linha reta). Satisfeitas as necessidades básicas das 
pessoas, elas gastarão menos em alimentação à medida que sua renda aumentar. 
Quer dizer, consumidores com renda mais alta fazem despesas mais discricionárias. Há 
sinais disso no gráfico de dispersão mostrado em (a): as despesas com alimentação 
mostram mais flutuação no nível de renda acima de Rs. 2000. 
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2.16 (a) A representação gráfica da pontuação de homens e mulheres em aptidão 
verbal é a seguinte: 
 
 
 
MALEVERB =VERBH 
FEMVERB = VERBM 
 
E a representação correspondente da pontuação de homens e mulheres em 
matemática é a seguinte: 
 
 
MALEMATH = MATH 
FEMMATH = MATM 
 
(b) Ao longo dos anos, a pontuação de homens e mulheres em aptidão verbal mostra 
uma tendência descendente, enquanto depois de atingir o nível mais baixo em 1980, 
os cálculos mostram uma tendência ascendente, com variações ano a ano, é claro. 
 
(c) Pode-se elaborar um modelo de regressão simples, fazendo a regressão da 
pontuação em matemática contra a de aptidão verbal para ambos os sexos. 
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(d) O gráfico é o seguinte: 
 
 
 
VERTICAL = VERBM 
HORIZONTAL = VERBH 
 
O gráfico mostra que as duas pontuações evoluíram na mesma direção ao longo do 
tempo. 
 
 
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CAPÍTULO 3 
MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO 
 
 
 
3.1 (1) Yi = β1+ β2Xi + ui, logo, E(Yi|Xi) = E[(β1+ β2Xi + ui)|Xi] 
E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi + E(ui|Xi), visto que β1e β2 são constantes e X é não-estocástico. 
E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi, já que E(ui|Xi) = 0, por premissa. 
(2) Dado que cov(uiuj)=0 para todo i,j (i≠j), então 
cov(YiYj) = E{[Yi - E(Yi)] [Yj - E(Yj)]} 
cov(YiYj) = E(uiuj), dos resultados em (1) 
cov(YiYj) = E(ui)E(uj), porque é premissa que os termos de erro não estão 
correlacionados, 
cov(YiYj) = 0, já que o valor médio de ui é zero, por premissa. 
(3) Dado que var(ui|Xi) = σ2, var(Yi|Xi) = E[Yi - E(Yi)]2 = E(ui2) = var(ui|Xi) = σ2, por 
premissa. 
 
3.2 
 
Yi Xi yi xi 
xi 
yi 
xi2 
 4 1 –3 –3 9 9 
 5 4 –2 0 0 0 
 7 5 0 1 0 1 
 12 6 5 2 10 4 
soma 28 16 0 0 19 14 
Nota: Y = 7 e X = 4. 
 
Logo, 2 2
19ˆ
14
i i
i
x y
x
β = =∑∑ = 1,357; 1ˆ ˆY 2Xβ β= − = 1,572. 
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)
⎤ =
 
 
3.3 A FRP é: Yi = β1+ β2Xi + ui. 
Situação 1: β1 = 0, β2 = 1, e E(ui) = 0, resultando E(Yi|Xi) = Xi 
Situação 2: β1 = 1, β2 = 0, e E(ui) = (Xi –1), o que dá E(Yi|Xi) = Xi, o mesmo resultado 
da situação 1. 
Logo, sem a premissa E(ui) = 0, não se pode estimar os parâmetros porque, como 
acabamos de demonstrar, a mesma distribuição condicional de Y é obtida, embora os 
valores presumidos dos parâmetros sejam bem diferentes nas duas situações. 
 
3.4 Impondo a primeira restrição, obtemos: 
( 1 2ˆ ˆˆ 0i i iu Y Xβ β= − − =∑ ∑ , equação que, simplificada, dá a primeira equação 
normal. 
Impondo a segunda restrição, obtemos: 
( )1 2ˆ ˆˆ 0i i i i iu X Y X Xβ β⎡= − −⎣ ⎦∑ ∑ , equação que, simplificada, dá a segunda equação 
normal. 
A primeira restrição corresponde à premissa de que E(ui|Xi) = 0. A segunda restrição 
corresponde à premissa de que não há correlação entre o termo de erro populacional e 
a variável explanatória Xi, isto é, cov(uiXi)=0. 
 
3.5 Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que 
2
2 2
( ) 1
( ) ( )
E XY
E X E Y
≤ . 
Ora, 
2
2
2 2
( )
1i i
i i
x y
r
x y
= ∑∑ ∑ ≤
2
, por analogia com a desigualdade de Cauchy–Schwarz, o que 
também é verdadeiro para ρ , o coeficiente de correlação populacional elevado ao 
quadrado. 
 
3.6 Observe que2
i i
yx
i
x y
x
β = ∑∑ e que 2i ixy i
x y
y
β = ∑∑ . Multiplicando as duas equações, 
obtemos a expressão para r2, o coeficiente de correlação amostral elevado ao 
quadrado. 
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ˆ ˆ
 
 
3.7 Mesmo que , ainda faria diferença (pela causalidade e teoria) se fosse 
feita a regressão de Y contra X ou de X contra Y, pois o que é igual a um é somente o 
produto das duas, e isso não implica que 
ˆ ˆ 1yx xyβ β⋅ =
yx xyβ β= . 
 
3.8 As médias das duas variáveis são iguais a: 
1
2
nY X += = , 
e a correlação entre os dois rankings é: 
2 2
i i
i i
x y
r
x y
= ∑∑ ∑ , 
(1) 
em que as letras minúsculas, como sempre, indicam desvio dos valores médios. 
Como os rankings são permutações dos n primeiros números naturais, então: 
2 2 2
2 2 ( ) ( 1)(2 1) ( 1) ( 1
6 4
i
i i
X n n n n n n nx X
n
+ + − −= − = − =∑∑ ∑ )12 
e, analogamente, 
2
2 ( 1
12i
n ny −=∑ ) , então 
2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)( ) ( 2 ) 2
6i i i i i i i i
n n nd X Y X Y X Y X Y+ += − = + − = −∑ ∑ ∑ ∑ , logo 
2( 1)(2 1)
6 2i i
dn n nX Y + += −∑∑ . (2) 
Como ii i i i
iX Yx y X Y
n
= − ∑ ∑∑ ∑ , usando (2), obtemos: 
2 22 2( 1)(2 1) ( 1) ( 1)
3 2 4 12
d dn n n n n n n+ + + −− − = −∑ ∑
2
. (3) 
Agora, basta substituir as equações anteriores na equação (1) para obter a resposta. 
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3.9 (a) 1 2
ˆ ˆ
iY Xβ β= − e 1 ˆˆ Y 2xα β= − [Observação: ( )i ix X X= − ]. 
 1ˆ Yα = , já que . 0ix =∑
var
2
2
1 2
ˆ( ) i
i
X
n x
β σ= ∑∑ e var
2 2
2
1 2
ˆ( ) i
i
x
n x n
σα σ= =∑∑ . 
Logo, nem as estimativas nem as variâncias dos estimadores são iguais. 
(b) 2 2
ˆ i i
i
x y
x
β = ∑∑ e 1 2ˆ i ii
x y
x
α = ∑∑ , já que ( )i ix X X= − 
É fácil verificar que var var2
ˆ( )β =
2
2 2
ˆ( )
ix
σα = ∑ . 
Ou seja, as estimativas e as variâncias dos dois estimadores são idênticas. 
(c) Pode ser mais fácil usar o modelo II com números X grandes, embora com os 
rápidos computadores atuais isso não seja mais um problema. 
3.10 Como , ou seja, a soma dos desvios em relação ao valor médio é 
sempre zero, 
0i ix y= =∑ ∑
x e y também são iguais a zero ( 0x y= = ). Assim, 1 2 0y xβ β= − =ˆ ˆ . O 
fato relevante aqui é que se tanto Y quanto X forem expressas como desvios em 
relação às respectivas médias, a linha de regressão passará pela origem. 
2 2
( )( )ˆ
( )
i i i
i i
2
ix x y y x y
x x x
β − −= −
∑ ∑
∑ = , já que as médias das duas variáveis são iguais a 
zero. Esta é a Equação (3.1.6) do livro-texto. 
 
3.11 Sejam i iZ aX b= + e i iW cY d= + , que, em formato de desvios, tornam–se 
e . Por definição, i iz ax= iw cy= i 2 12 2 2 2
i i i
i i i i
z w ac x yi
r r
z w ac x y
= = =∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ na Equação 
(3.5.13) do texto. 
 
3.12 (a) Verdadeira. Na Questão 3.11, façamos a e c iguais a -1 e b e d iguais a 0. 
(b) Falsa. Consultando novamente a Questão 3.11, veremos que será negativo. 
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(c) Verdadeira. Como , 0xy yxr r= > xS e (os desvios-padrão de X e Y 
respectivamente) são ambos positivos, e 
yS
x
yx yx
y
Sr
S
β= e yxy xy
x
S
r
S
β= , então xyβ e yxβ 
têm de ser positivos. 
 
3.13 Sejam Z=X1+X2 e W=X2+X3. Em formato de desvios, podemos escrevê–las como 
z=x1+x2 e w=x2+x3. Por definição, a correlação entre Z e W é: 
2
1 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 1 2 2 3
( )( )
( ) ( ) ( )(
i i
zw
i i
z w x x x x x
r
z w x x x x x x x x
+ += = =+ + + +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ , porque 
X1, X2 e X3 não são correlacionadas. (Nota: por conveniência, omitimos o subscrito de 
observação). 
2
2 2
1
2(2 2
zwr
σ
σ σ= =+ , em que 
2σ é a variância comum. 
O coeficiente não é zero porque os pares combinados são correlacionados, ainda que 
as variáveis X1, X2 e X3 não sejam individualmente correlacionadas. 
Como acabamos de demonstrar, 2zw σ=∑ , denotando que a covariância entre z e w 
é uma constante diferente de zero. 
3.14 Os resíduos e os valores ajustados de Y não mudarão. Sejam 1 2i iY X iuβ β= + + e 
1 2iY Zi iuα α= + + , em que Z=2X. Empregando o formato de desvios, sabemos que 
2 2
ˆ xy
x
β = ∑ , omitido o subscrito de observação. 
2 22 2
2 1 ˆˆ
4 2
i i i i
i i
z y x y
z x
α β= = =∑ ∑∑ ∑ 
1 2
ˆ ˆY Xβ β= − ; 1 2 ˆˆ ˆY Z 1α α β= − = (Nota: 2Z X= ) 
Ou seja, o intercepto não é afetado. Em conseqüência, os valores ajustados de Y e os 
resíduos mantêm–se os mesmos ainda que Xi seja multiplicado por 2. A análise é 
análoga para o caso de uma constante ser somada a Xi. 
 
 
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3.15 Por definição, 
2 2 2
2
ˆ 2 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [ ( )( )]
ˆ ˆ( )( ) ( )( )
i i i i i i
yy
i i i i i
y y y u y y
r
y y y y y
+= = =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ˆ ˆ 0i iy u, já que =∑ . 
 
2 2 2
2 22
ˆ 2 2
ˆ ˆ( )i i
yy
i i
x x
r
y y
β β= =∑ ∑∑ ∑ 2r=
i
, aplicando a Equação (3.5.6) do texto. 
 
3.16 (a) Falsa. A covariância pode assumir qualquer valor, e este depende das 
unidades de medida. O coeficiente de correlação, por outro lado, não tem unidades, é 
uma grandeza adimensional. 
(b) Falsa. Veja a Figura 3.11(h) no texto. Lembre–se de que o coeficiente de 
correlação é uma medida de relação linear entre duas variáveis. Daí, como mostra a 
Figura 3.11(h), há uma relação perfeita entre Y e X, mas ela não é linear. 
(c) Verdadeira. Em formato de desvios, temos ˆ ˆi iy y u= + . Então é óbvio que se 
fizermos uma regressão de i ˆiy contra y , o coeficiente angular será 1, e o intercepto 
será 0. Mas uma prova formal pode ser feita como segue: se fizermos uma regressão 
de iy contra ˆˆiy , obteremos o coeficiente angular, digamos, α , sob a forma 
2
2 2 2 2
ˆ ˆˆ
ˆ 1ˆ ˆˆ
i i i i
i
y y x y
y x
β βα β β= = =
∑ ∑
∑ ∑ = , porque ˆˆi iy xβ= e 
2ˆ
i i ix y β= x∑ ∑ para o modelo de 
duas variáveis. O intercepto nesta regressão é zero. 
 
3.17 Escreva a regressão amostral assim: 1ˆ ˆiY β iu= + . Pelo princípio dos mínimos 
quadrados, temos de minimizar: 2 2ˆ )1ˆ (i iu Y β= −∑ ∑ . Derive essa equação em relação 
ao único parâmetro conhecido e iguale o resultado a zero para obter: 
2
=1
1
ˆ( ) ˆ2 ( )( 1) 0i i
d u Y
d
ββ = − −∑ , que simplificada dá 1ˆ Yβ = , ou seja, a média amostral. E 
sabemos que a variância da média amostral é 
2
y
n
σ
, em que n é o tamanho da amostra 
e 2σ a variância de Y. A SQR é 2 2( )i iY Y y− =∑ ∑ e 2)2ˆ ( 1) ( 1i
ySQR
n n
σ = =− −
∑
. Vale a pena 
acrescentar a variável X ao modelo se ela reduzir 2σˆ significativamente, o que 
acontecerá se ela tiver qualquer influência sobre Y. Resumindo, o que pretendemos 
nos modelos de regressão é que as variáveis explanatórias possam dar um prognóstico 
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2 2 2 2 2ˆ
i
de Y melhor do que simplesmente seu valor médio. Em verdade, podemos ver isso 
formalmente. Recorde que para o modelo de duas variáveis obtido da Equação 
(3.5.2):SQR=STQ–SQE = 2ˆi i iy y y β− = −∑ ∑ ∑ ∑ x ˆ. Logo, se 2β for diferente de 
zero, a SQR do modelo que tenha no mínimo um regressor será menor do que a do 
modelo sem regressor. É claro que se houver mais regressores no modelo e seus 
coeficientes angulares forem diferentes de zero, a SQR será muito menor do que no 
modelo sem regressor. 
 
Problemas 
 
3.18 Tirando a diferença entre os dois rankings, obtemos: 
 
d –2 1 –1 3 0 –1 –1 –2 1 2d2 4 1 1 9 0 1 1 4 1 4 
∑d2=26. Assim, o coeficiente de correlação de rankings de Spearman é 
2
2 2
6 6(26)1 1 0,842
( 1) 10(10 1)s
d
r
n n
= − = − =− −
∑
. Há, portanto, um alto grau de correlação entre 
as posições dos estudantes nas provas de meio e de final de período: quanto mais alta 
ela for na primeira, mais alta será na segunda. 
3.19 (a) O valor de –4,318 para o coeficiente angular indica que durante o período 
1980–1994 a taxa de câmbio (marco/US$) baixou cerca de 4,32 unidades para cada 
unidade de aumento no preço relativo, em média. Isto é, o dólar americano depreciou, 
porque 1 dólar comprava menos marcos alemães. O valor de 6,682 para o intercepto, 
interpretado literalmente, significa que se a relação de preços relativos fosse zero, um 
dólar valeria 6,682 marcos alemães. Essa interpretação, é claro, não é 
economicamente significativa. 
(b) O valor negativo do coeficiente angular faz muito sentido econômico porque se os 
preços nos Estados Unidos subirem mais rapidamente do que os da Alemanha, os 
consumidores internos passarão a comprar mercadorias alemãs, aumentando assim a 
demanda pelo marco alemão, o que levará à sua apreciação. Esta é a essência da 
teoria da paridade do poder de compra (PPC), ou lei do preço único. 
(c) Acreditamos que, nesse caso, o coeficiente angular seria positivo, pois quanto 
maior fosse o IPC alemão em relação ao IPC americano, maior seria a taxa de inflação 
relativa na Alemanha, o que levaria à apreciação do dólar americano. Temos, outra 
vez, a essência da PPC. 
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3.20 (a) Os gráficos de dispersão são os seguintes: 
 
 
VERTICAL = REMSEMP 
HORIZONTAL = PRODSEMP 
 
 
 
Vertical = REMSENA 
Horizontal = PRODSENA 
 
 
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(b) Os dois gráficos mostram que há uma relação positiva entre remuneração e 
produção, o que não é surpresa, considerando a teoria da produtividade marginal da 
Economia do Trabalho. 
 
 
(c) Os gráficos anteriores demonstram que a relação entre remuneração e produção, 
embora seja positiva, não é linear. É possível, portanto, que não se consiga um bom 
ajuste entre os dados e um modelo de regressão linear. Mas se, como de praxe, 
fizermos esse ajuste, teremos os seguintes resultados, nos quais SEMP é setor 
empresarial; SENA, setor empresarial não-agrícola; PROD, produção por hora; e REM, 
remuneração real por hora. 
 
REMSEMP = –109,3833 + 2,0039 PRODSEMP 
 ep = (9,7119) (0,1176) r2 = 0,8868 
 
REMSENA = –123,6000 + 2,1386 PRODSENA 
 ep = (11,0198) (0,1312) r2 = 0,8777 
 
Como esperado, a relação entre as duas é positiva. Surpreendentemente, o valor de r2 
é bem alto. 
 
 
3.21 
 ∑ Yi ∑ Xi ∑ Xi Yi ∑ Xi2 ∑ Yi2 
 
Dados 
originais: 
1110 1700 205500 322000 132100 
Dados 
revisados: 
1110 1680 204200 315400 133300 
 
Portanto, o coeficiente de correlação corrigido é 0,9688. 
 
 
3.22 (a) Se representarmos estas variáveis em relação ao tempo, veremos que, em 
geral, subiram. Há, no caso do ouro, considerável volatilidade de preço. 
 
(b) Se a hipótese fosse verdadeira, seria de se esperar que 2 1β ≥ . 
 
(c) Preço do ourot = –186,183 + 1,842 IPCt 
 ep = (125,403) (1,125) r2 = 0,150 
 
 NYSEt = –102,060 + 2,129 IPCt 
 ep = (23,767) (0,230) r2 = 0,868 
Parece que o mercado de ações é melhor garantia contra a inflação do que o ouro. 
Como veremos no Capítulo 5, o coeficiente angular da equação do preço do ouro não é 
estatisticamente significativo. 
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3.23 (a) Segue o gráfico, em que PIBN e PIBR são, respectivamente, PIB nominal e 
PIB real. 
 
 
NGDP = PIBN 
RGDP = PIBR 
 
(b) PIBNt = –986,3317 + 201,9772 tempo 
 ep = (1907,715) + 128,7820 r2 = 0,9277 
 
 PIBRt = 1907,715 + 128,7820 tempo 
 ep = (45,1329) (1,9666) r2 = 0,9914 
 
 
(c) Nesse caso, o coeficiente angular informa a taxa de variação do PIB por intervalo 
de tempo. 
 
(d) A diferença entre os dois representa a inflação ao longo do tempo. 
 
(e) Como indicam o gráfico e os resultados da regressão, o PIB nominal tem crescido 
mais rápido que o PIB real, sugerindo que a inflação tem subido com o passar do 
tempo. 
 
 
3.24 Este é simples e direto. 
 
 
3.25 (a) Veja o gráfico do Exercício 2.16(d). 
 
(b) Seguem os resultados da regressão, em que Y é a pontuação das mulheres em 
aptidão verbal e X, a dos homens: 
 
tˆY = -198,126 + 1,436 tX 
ep = (25,211) (0,057) r2 = 0,966. 
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(c) Como ressaltamos no texto, uma relação estatística, por mais forte que seja, não 
determina causalidade, a qual tem de ser estabelecida a priori. Neste caso, não há 
razão para suspeitar de relação causal entre as duas variáveis. 
 
 
3.26 Os resultados da regressão são: 
 
tˆY = -189,057 + 1,285 tX 
ep = (40,927) (0,082) r2 = 0,918. 
 
3.27 Este é para ser feito em sala de aula. 
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CAPÍTULO 4 
A PREMISSA DA NORMALIDADE: MODELO NORMAL DE REGRESSÃO LINEAR 
CLÁSSICO (MNRLC) 
 
 
Exercícios do Apêndice 4A. 
 
 
4.1 Dado que o coeficiente de correlação entre Y1 e Y2, ρ, é igual a zero, a função de 
densidade de probabilidade normal bivariada (de duas variáveis) fica reduzida a: 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1( , ) exp
2 2 2
Y Yf Y Y μ μπσ σ σ σ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
=
2 2
1 1 2 2
1 21 2
1 1 1 1exp exp
2 22 2
Y Yμ μ
σ σσ π σ π
⎧ ⎫⎧ ⎫⎤⎪⎥⎬⎥⎪⎦⎭
1 2( ) ( )
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎢− −⎨ ⎬⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭⎩
f Y f Y= , em que 
1( )f Y e 2( )f Y são as funções de densidade de probabilidade normal univariadas (de 
uma variável). Então, quando ρ for zero, 1 2 1 2( , ) ( ) ( )f Y Y f Y f Y= , o que é a condição 
para independência estatística. Portanto, no caso normal bivariado, a correlação zero 
implica independência estatística. 
 
 
4.2 Para assegurar que os estimadores de máxima verossimilhança maximizem a 
função de verossimilhança, as derivadas segundas da Equação (5) do Apêndice 4A têm 
de ser menores que zero, o que garantirá que a SQR seja minimizada. 
 
2
2 2
1
ln 0LF nβ σ
∂ = − <∂ . 
22
2 2
2
ln 0i
XLF
β σ
∂ = − <∂
∑
. 
2
2 2
1 22 2 2 2 2 3 2 2 2 2
ln 1 1 1 ˆ( )
( ) 2( ) ( ) 2 ( )i i
LF n nY Xβ βσ σ σ σ σ σ
⎛ ⎞∂ = − − − = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∑ ∑ iu . 
Como 2 2 21 2 2 2 2 2 2
1 1 1ˆ ˆ ˆ( )
2( ) ( )i i i i
u Y X u uβ β σ σ σ
⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ 2ˆi , da Equação (11), 
2 2
2 3
1 1ˆ 1 0
( ) 2i î
u uσ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ < . 
 
Uma vez que todas as segundas derivadas são negativas, os estimadores maximizam a 
função de verossimilhança. 
 
 
4.3 Como X segue a distribuição exponencial, sua função de densidade de 
probabilidade (FDP) é: 
 
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1( ) ( )
iX
if x f X e θθ
−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Portanto, a função de verossimilhança será: 
11( , ) exp i
n
X
iFV X θθ θ
− ∑⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . E log FV será: ln ln
iXFV n θ θ= − −
∑
. 
Derivando essa função em relação a θ, obtemos: 
 
2
ln 1 iXd FV n
dθ θ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
θ . Igualando essa equação a zero: 
 
iX X
n
θ = =∑% , que é a média da amostra. 
 
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CAPÍTULO 5 
A REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: ESTIMAÇÃO DE INTERVALO E TESTE DE 
HIPÓTESES 
 
 
Perguntas 
 
 
5.1 (a) Verdadeira. O teste t baseia–se em variáveis com uma distribuição normal. Os 
estimadores β1 e β2 seguem tal distribuição, pois são combinações lineares do erro ui, o 
qual presumimos ser normalmente distribuído no MRLC. 
 
(b) Verdadeira. Uma vez que E(ui)=0, os estimadores de MQO não são tendenciosos. 
Não é preciso nenhuma premissa probabilística para determinar a não-
tendenciosidade. 
 
(c) Verdadeira. Nesse caso, a Equação (1) da Seção 3.A.1 do Apêndice 3A não será 
usada. Esse tópico será tratado com mais detalhes no Capítulo 6, Seção 6.1. 
 
(d) Verdadeira. O valor p é o menor nível de significância em que se pode rejeitar a 
hipótese nula. Os termos nível de significância e tamanho do teste são sinônimos. 
 
(e) Verdadeira. Isso resulta da Equação (1) do Apêndice 3A, Seção 3A.1. 
 
(f) Falsa. Tudo o que podemos dizer é que os dados disponíveis não nos permitem 
rejeitar a hipótese nula. 
 
(g) Falsa. Um valor mais alto de σ2 deve ser contrabalançado por um valor mais alto 
de 2ix∑ . Somente se este for mantido constante, a afirmação pode ser verdadeira. 
 
(h) Falsa. A média condicional de uma variável aleatória depende dos valores tomados 
por outra variável (condicionante). As médias condicional e não-condicional só podem 
ser iguais se as duas variáveis forem independentes. 
 
(i) Verdadeira. Isso fica óbvio pela Equação (3.17). 
 
(j) Verdadeira. Consulte a Equação (3.5.2). Se X não tem influência sobre Y, 2βˆ será 
zero, e nesse caso 2 2ˆi iy u=∑ ∑ . 
 
5.2 Tabela ANOVA para despesas com alimentos na Índia: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
139023 1 139023 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
236894 53 4470 
STQ 375916 
 
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139023
4470
F = =31,1013 com gl igual a 1 e 53, respectivamente. 
 
Na hipótese de não haver relação entre despesas com alimentos e despesas totais, o 
valor p (valor da probabilidade) de se obter tal valor F é quase zero, sugerindo 
enfaticamente que se pode rejeitar a hipótese nula. 
 
 
5.3 (a) O ep do coeficiente angular é 
0,6417 0,0664
9,6536
= . 
O valor t sob H0 : β1 = 0, é 
0,7347 0,8797
0,8351
= . 
 
(b) O salário médio por hora aumenta em aproximadamente 64 centavos para um ano 
adicional de escolaridade, em média. 
 
(c) Aqui temos n = 13, então gl =11. Se a hipótese nula for verdadeira, o valor t 
estimado é 9,6536. A probabilidade de se obter tal t é extremamente pequena, o valor 
p é praticamente zero. Pode–se, portanto, rejeitar a hipótese nula de que o nível de 
escolaridade não afeta os ganhos por hora. 
 
(d) SQE = 74,9389; SQR = 8,8454; gl numerador = 1; gl denominador = 11; F = 
93,1929. O valor p de tal F sob a hipótese nula de que não há relação entre as duas 
variáveis é 0,000001, que é extremamente baixo. Pode–se, assim, rejeitar com grande 
segurança a hipótese nula. 
Observe que o valor F é aproximadamente o quadrado do valor t sob a mesma 
hipótese nula. 
 
(e) No caso bivariado, dado que H0 : β2 = 0, existe a seguinte relação entre o valor t e 
r2: 
 
2
2
2[ ( 2)
tr
t n
= + − ] . Como o t dado é 9,6536, obtemos: 
2
2
2
9,6536 0,8944
[9,6536 11]
r = ≈− . 
 
 
5.4 Literalmente, a hipótese afirma que não há correlação entre as duas variáveis. Por 
conseguinte, se pudermos provar que a covariância entre elas é zero, então a 
correlação terá de ser zero. 
 
 
5.5 (a) Para testar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é um, use o 
teste t. 
 
2
2
ˆ 1 1,0598 1 0,821ˆ 0,0728( )
t
ep
β
β
− −= = = 
Para gl = 238, esse valor t não é significativo nem para α = 10%. Conclui–se, 
portanto, que durante o período estudado as ações da IBM não foram voláteis. 
 
 
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(b) Uma vez que 
0,7264 2,4205
0,3001
t = = , é significativo no nível dos 2%, mas, 
economicamente, isso tem pouco significado prático. Interpretado literalmente, o valor 
de 0,73 para o intercepto implica que mesmo que o retorno do portfólio de mercado 
seja zero, o do título é de 0,73%. 
 
 
5.6 Sob a premissa da normalidade, 2βˆ é normalmente distribuída. Mas como uma 
variável normalmente distribuída é contínua, e como pela teoria das probabilidades 
sabemos que a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor 
específico é zero, não faz, portanto, nenhuma diferença o fato de a desigualdade ser 
forte ou fraca. 
 
5.7 Sob a hipótese de que β2 = 0, obtemos: 
2 2
2 22
2 2
2
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ( ) (1 )
( 2)
i i
i
x x
t
ep y r
n
β ββ
σβ= = = −
−
∑ ∑
∑ . 
Porque 
2 2
2 ˆ (1 )ˆ
( 2) ( 2)
i iu y
n n
σ −= =− −
∑ ∑ 2r
, da Equação (3.5.10), 
2
2
2 2 2
ˆ ( 2)
ˆ
(1 )
i
i
x n
y r
βσ −= −
∑
∑ , mas como 
2
2 2
2 2
ˆ i
i
x
r
y
β= ∑∑ , então 
2
2 2
ˆ i
i
x
r
y
β= ∑∑ , da Equação 
(3.5.6). 
Assim, 
2
2
2
ˆ( 2)
ˆ(1 )
ixr nt
r
β
σ
−= =− , e 
22
2
22
( 2) ˆ
ˆ1
i
2
xr nt F
r
β σ
−= = =−
∑
, da Equação (5.9.1). 
 
 
Problemas 
 
 
5.8 (a) Existe associação positiva na TPFT em 1972 e 1968, o que não é de 
surpreender, tendo em vista que desde a Segunda Guerra Mundial a TPFT das 
mulheres tem crescido regularmente. 
 
(b) Use o teste t unicaudal ou unilateral: 
0.6560 1 1,7542
0,1961
t −= = − . Para gl = 17, o valor 
t unicaudal com α = 5% é 1,740. Como o t estimado é significativo, podemos, nesse 
nível de significância, rejeitar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é 
igual ou maior que 1. 
 
(c) A TPFT média é: 0,2033+0,6560(0,58)≈0,5838. Para estabelecer um intervalo de 
confiança de 95% para essa previsão, use a fórmula: 0,5838 ± 2,11 (ep do valor 
médio da previsão), em que 2,11 é valor t crítico a 5% para gl = 17. Para obter o erro-
padrão do valor da previsão, empregue a Equação (5.10.2). Mas repare que, como os 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
autores não fornecem o valor médio da TPFT das mulheres em 1968, não poderemos 
calcular esse erro-padrão. 
 
(d) Não poderemos responder essa pergunta sem os dados reais porque precisamos 
dos valores dos resíduos para representá–los graficamente e obter o gráfico de 
probabilidade normal ou calcular o valor do teste Jarque-Bera. 
 
 
5.9 (a) Segue o gráfico: 
 
 
 
VERTICAL = REM 
HORIZONTAL = GAS 
 
(b) Remi =12129,37+3,3076 Gas 
 ep = (1197,351) (0,3117) r2 = 0,6968 SQR = 2,65E+08 
 
(c) Se a despesa por aluno aumentar um dólar, o salário médio aumentará 3,31 
dólares. O intercepto não tem significado econômico viável. 
(d) O intervalo de confiança de 95% para β2 é: 3,3076 ± 2(0,3117) = (2,6842 , 
3,931). Baseados neste IC, não rejeitaremos a hipótese nula de que o verdadeiro 
coeficiente angular é 3. 
 
(e) Os valores previstos médio e individual são os mesmos, a saber: 12129,37 + 
3,3076(5000) ≈ 28,667. O erro-padrão do valor médio previsto, usando a Equação 
(5.10.2), é 520,5117 (dólares) e o erro-padrão da previsão individual, usando a 
Equação (5.10.2), é 2382,337. Os intervalos de confiança são: 
 
1) previsão média: 28,667 ± 2(520,5117), isto é, ($27.626 , $29.708); 
2) previsão individual: 28,667 2(2382,337), isto é, ($23.902 , $33.432). ±
 
Como era de se esperar, o segundo intervalo é maior do que o primeiro. 
 
(f) O histograma dos resíduos pode ser aproximado a uma curva normal. A estatística 
Jarque-Bera é 2,1927, e seu valor p é de aproximadamente 0,33. Assim, baseados 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujaratineste teste, não rejeitamos a premissa da normalidade, presumindo que o tamanho da 
amostra (51 observações) seja razoavelmente grande. 
 
 
 
Série: Resíduos 
Amostra 1 51 
Observações 51 
 
Média 9,13E-12 
Mediana 
-
217,5192 
Máximo 5529,342 
Mínimo 
-
3847,976 
Desvio-
padrão 
2301,414 
Assimetria 0,499126 
Curtose 2,807557 
 
Jarque-Bera 2,196273 
Probabilidade 0,333492 
 
 
5.10 A tabela ANOVA para o setor de empresas é a seguinte: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
38685,997 1 38685,997 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
4934,138 37 133,355 
STQ 43620,135 
 
O valor F é 
38685 290,0978
133,355
= . 
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Sob a hipótese nula de que não existe relação entre salários reais e produtividade no 
setor de empresas, este valor F segue distribuição F com gl 1 e 37 no numerador e 
denominador, respectivamente. A probabilidade de obter tal F é 0,0000, ou seja, 
praticamente zero. Podemos, portanto, rejeitar a hipótese nula, o que não deve ser 
nenhuma surpresa. 
 
(b) A tabela ANOVA para o setor de empresas não-agrícolas é a seguinte: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
37887,455 1 37887,455 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
5221,585 37 141,129 
STQ 43109,04 
 
STQ = 43109,04; SQR = 5221,585; SQE = 37887,455. 
Sob a hipótese nula de que o coeficiente angular verdadeiro é zero, o valor F calculado 
é: 
37887,455 268,459
141,129
F = ≈ . 
 
A probabilidade de obter tal F seria praticamente zero, caso a hipótese nula fosse 
verdadeira, o que leva à sua rejeição. 
 
 
5.11 (a) O gráfico a seguir indica que a relação entre as duas variáveis não é linear. 
Inicialmente, à medida que aumentam as despesas com publicidade, o número de 
impressões também aumenta, mas depois decresce gradualmente. 
 
VERTICAL = IMPRESSÕES 
HORIZONTAL = GASTOS COM PUBLICIDADE 
 
(b) Em conseqüência de (a), não seria adequado ajustar um modelo de regressão 
bivariada a esses dados. Não temos, no momento, as ferramentas necessárias para 
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i iufazê-lo. Mais adiante mostraremos que um modelo do tipo 
2
1 2 2 3 2i iY X Xβ β β= + + + , 
em que Y são as impressões retidas e X2 as despesas com publicidade, pode ser 
apropriado. Este é um exemplo de modelo de regressão quadrático. Mas repare que 
ainda é um modelo linear nos parâmetros. 
 
(c) Os resultados obtidos usando um modelo linear às cegas são os seguintes: 
 
Yi = 22,163 + 0,3631 Xi 
ep = (7,089) (0,0971) r2=0,424. 
 
 
5.12 (a) O gráfico a seguir mostra que as taxas de inflação dos dois países evoluem 
juntas. 
 
 
VERTICAL = IPCEUA 
HORIZONTAL = IPCCAN 
 
(b) & (c) Segue tabela conforme entregue pelo pacote de software estatístico Eviews 
3: 
 
 
Amostra: 1973 
1997 
 
Observações 
incluídas: 25 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 6,251664 1,956380 3,195526 0,0040 
ICAN 0,940932 0,017570 53,55261 0,0000 
 
R-quadrado 0,992044 Variável dependente média 104,7560 
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R-quadrado 
ajustado 
0,991698 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
36,56767 
E.P. da regressão 3,331867 Critério info Akaike 5,321561 
Soma quad resíduos 255,3308 Critério Schwarz 5,419071 
Verossimilhança 
Log 
–64,51951 Estatística-F 2867,882 
Estat Durbin-
Watson 
0,264558 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
 
Esses resultados mostram que a relação entre as duas variáveis é positiva. Pode–se 
facilmente rejeitar a hipótese nula de que não há relação entre as duas variáveis, uma 
vez que o valor t obtido sob essa hipótese é 53,55, e é praticamente zero o valor p 
(probabilidade) de se obter tal t. 
 
Embora as duas taxas de inflação sejam positivamente relacionadas, não se pode disso 
deduzir causalidade, pois esta tem de ser inferida de alguma teoria econômica que a 
sustente. Lembre–se de que regressão não implica causalidade. 
 
 
5.13 (a) As duas regressões são as seguintes: 
 
Preço do ourot = 186,183 + 1,842 IPCt 
 ep = (125,403) (1,215) r2 = 0,150 
 t = (1,484) (1,515) 
 
 NYSEt = 102,060 + 2,129 IPCt 
 ep = (23,767) (0,230) r2 = 0,868 
 t = (–4,294) (9,247) 
(b) A estatística Jarque-Bera para a equação do preço do ouro é 4,751, com valor p de 
0,093. A estatística JB para o índice NYSE é 1,218 com valor p de 0,544. No nível de 
significância de 5%, não se pode rejeitar a premissa de normalidade em nenhum dos 
dois casos. 
 
(c) Como o coeficiente angular na regressão do preço do ouro não é estatisticamente 
diferente de zero, não faz nenhum sentido tentar saber se é diferente de um. 
 
(d) & (e) Com o procedimento habitual do teste t, obtemos: 
2,129 1 4,91
0,230
t −= = . Como 
esse valor excede o t crítico de 2,160, rejeitamos a hipótese nula. O coeficiente 
estimado é realmente maior que um. Para o período estudado, o investimento no 
mercado de ações foi provavelmente uma garantia contra a inflação. Foi, certamente, 
um hedge muito melhor que o investimento em ouro. 
 
 
5.14 (a) Não parece haver uma melhor que as outras, todos os resultados estatísticos 
são muito parecidos. Todos os coeficientes angulares são estatisticamente 
significativos no nível de confiança de 99%. 
 
(b) Não podemos usar os r2 consistentemente elevados para decidir qual é a melhor 
definição de moeda. Isso, entretanto, não quer dizer que o tipo de equação usada não 
faça diferença. 
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(c) Não se pode dizer isso a partir dos resultados da regressão. Mas, recentemente, o 
FED parece estar visando a M2. 
 
5.15 Escreva assim o modelo da curva de indiferença: 1 2
1
i i
i
Y u
X
β β⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Repare 
que agora β1 passou a ser o coeficiente angular e β2 o intercepto. Mas este é, ainda, 
um modelo de regressão linear, pois os parâmetros são lineares (veja o Capítulo 6). Os 
resultados da regressão são os seguintes: 
 
13, 2827 1,1009i
i
Y
X
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
ep = (1,2599) (0,6817) r2 = 0,6935. 
 
O coeficiente angular é estatisticamente significativo no nível de confiança de 92%. A 
taxa marginal de substituição (TMS) de Y por X é: 2
10,3287( )
i
Y
X X
∂ = −∂ . 
 
5.16 (a) Seja o modelo: , em que Y é a taxa de câmbio vigente e X 
a PPC implícita. Caso a PPC esteja certa, espera–se, a priori, que o intercepto seja zero 
e o coeficiente angular, um. 
1 2 2iˆY Xβ β= + +i iu
 
(b) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
Yi = 24,6338 + 0,5405 Xi 
ep = (19,5071) (0,0094) 
 t = (1,2628) (57,1016) r2=0,9917. 
 
Para testar a hipótese de que β2 = 1, aplicamos teste: 
0,5405 1 48,88
0,0094
t −= = − . Esse 
valor é muito significativo e leva à rejeição da hipótese nula. O coeficiente angular é, 
na verdade, menor que um. A partir da regressão dada, o leitor pode facilmente 
verificar que o coeficiente do intercepto não é diferente de zero, pois o valor t, sob a 
hipótese de que o intercepto verdadeiro é zero, é somente 1,2628. 
 
[N] Nota: Deveríamos, na verdade, testar simultaneamente as hipóteses (conjuntas) 
de que o intercepto é zero e o coeficiente angular, 1. No Capítulo 8, veremos como 
isso é feito. 
 
(c) Em primeiro lugar, como o índice Big Max é “tosco e engraçado”, não tem a menor 
importância. Mesmo assim, para os dados da amostra, os resultados não apóiam a 
teoria. 
 
 
5.17 Se Y for a representaçãoda pontuação em matemática dos homens e X a das 
mulheres, obtemos a seguinte regressão: 
 
iˆY = 175,975 + 0,714 Xi 
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ep = (20,635) (0,045) 
 t = (8,528) (15,706) r2 = 0,918. 
 
(b) A estatística Jarque-Bera é 1,0317 com um valor p de 0,5970. Assintoticamente, 
portanto, não podemos rejeitar a premissa de normalidade. 
 
(c) 
0,714 1 6,36
0,045
t −= = . Logo, podemos rejeitar a hipótese de que β2 = 1 com 99% de 
confiança. 
 
(d) A tabela ANOVA é: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
948,193 1 948,193 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
87,782 22 3,990 
STQ 1071,975 23 
 
Sob a hipótese nula de que β2 = 0, o valor F é 264,665. O valor p de se obter tal F é 
quase zero, o que leva à rejeição da hipótese nula. 
 
 
5.18 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
iˆY = 148,135 + 0,673 Xi 
ep = (11,653) (0,027) 
 t = (12,713) (25,102) r2 = 0,966. 
(b) A estatística de Jarque-Bera é 1,243 com um valor p de 0,5372. Podemos, 
portanto, rejeitar a hipótese nula de não-normalidade. 
(c) Sob a hipótese nula, obtemos: 
0,673 1 12,11
0,027
t −= = . O valor t crítico no nível de 5% 
é 2,074. Assim, podemos rejeitar a hipótese nula de que o coeficiente angular 
verdadeiro é 1. 
 
(d) Os valores de SQE, SQR e STQ são, respectivamente, 3157,586 (gl 1), 110,247 (gl 
22) e 32367,833 (gl 23). Sob a hipótese nula habitual, o valor F é 630,131. O valor p 
de se conseguir tal F é quase zero. Podemos, portanto, rejeitar a hipótese nula de que 
não há relação entre as duas variáveis. 
 
5.19 (a) O diagrama de dispersão e a linha de regressão estimada são os seguintes: 
 
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VERTICAL = IPC 
HORIZONTAL = IPP 
 
(b) Use o IPC, que representa os preços pagos pelos consumidores, como regressando, 
e o IPP, que representa os preços pagos pelos produtores, como regressor, porque o 
primeiro é o segundo com acréscimos. 
 
(c) & (d) A tabela a seguir, apresentada conforme entregue pelo pacote de software 
estatístico Eviews 3, fornece os dados necessários: 
 
Variável dependente: 
IPC 
 
Método: mínimos 
quadrados 
 
Data: 23/06/00 
Hora: 16:50 
 
Amostra: 1960 1999 
Observações 
incluídas: 40 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C –13,77536 3,710747 –3,712286 0,0007 
IPP 1,269994 0,042763 29,69864 0,0000 
R-quadrado 0,958696 Variável dependente média 86,17000 
R-quadrado ajustado 0,957609 
Desvio–padrão da variável 
dependente 
48,02523 
E.P. da regressão 9,887937 Critério info Akaike 7,469215 
Soma quad resíduos 3715,309 Critério Schwarz 7,553659 
Verossimilhança Log –147,3843 Estatística-F 882,0093 
Estat Durbin-Watson 0,093326 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
O valor t estimado do coeficiente angular é 29,6986 sob a hipótese nula de que não há 
relação entre os dois índices. O valor p (probabilidade) de se obter tal valor t é quase 
zero, o que indica a rejeição da hipótese nula. 
 
A seguir estão o histograma e o teste Jarque-Bera baseados nos resíduos da regressão 
anterior. 
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Série: Resíduos 
Amostra 1960 1999 
Observações 40 
 
Média 7,11E-15 
Mediana 3,781548 
Máximo 21,84709 
Mínimo 
–
19,05008 
Desvio-
padrão 
9,760345 
Assimetria 
–
0,119726 
Curtose 2,620663 
 
Jarque-Bera 0,335390 
Probabilidade 0,845612 
 
A estatística Jarque-Bera é 0,3335 com um valor p de 0,8456. Não podemos, portanto, 
rejeitar a premissa de normalidade. O histograma também mostra que os resíduos têm 
distribuição razoavelmente simétrica. 
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CAPÍTULO 6 
EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO LINEAR DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 
 
6.1 (a) Verdadeiro. Repare que a fórmula MQO padrão para estimar o intercepto é: 
 
1ˆβ = (média do regressando – 2βˆ média do regressor). 
 
Mas quando X e Y estão em formato de desvio, seus valores são sempre zero. Daí o 
intercepto estimado também ser zero nesse caso. 
 
 
6.2 (a) & (b) Está incluído na primeira equação um termo de intercepto que, por não 
ser estatisticamente significativo no nível de, digamos, 5%, pode ser retirado do 
modelo. 
 
(c) Para os dois modelos, o aumento de um ponto percentual na taxa de retorno 
mensal do mercado leva a um aumento médio de cerca de 0,76 ponto percentual na 
taxa de retorno mensal das ações ordinárias da Texaco ao longo do período estudado. 
 
(d) Conforme tratamos no Capítulo 6 do livro-texto, esse modelo representa a linha 
característica da teoria do portfólio. O modelo relaciona, no caso em tela, o retorno 
mensal de ações da Texaco ao retorno mensal do mercado, como representado por um 
amplo índice de mercado. 
 
(e) Não, os r2 não são comparáveis. O do modelo sem intercepto é o r2 bruto. 
 
(f) Como a amostra é relativamente grande, podemos usar o teste de normalidade de 
Jarque-Bera. A estatística JB é quase a mesma para os dois modelos, isto é, 1,12, e o 
valor p de se obter tal valor JB é de aproximadamente 0,57. Portanto, não se pode 
rejeitar a hipótese de que os termos de erro seguem uma distribuição normal. 
 
(g) De acordo com o comentário de Theil visto no capítulo, se o termo do intercepto 
estiver ausente do modelo, então passar a regressão pela origem pode resultar em 
estimativa muito melhor do coeficiente angular, como ocorre nesse caso. 
 
 
6.3 (a) É um modelo de regressão linear, pois é linear nos parâmetros. 
 
(b) Defina Y* = (1/Y) e X* = (1/X) e faça uma regressão MQO de Y* contra X*. 
 
(c) Quando X tende ao infinito, Y tende a (1/ β1). 
 
(d) Pode ser que este modelo seja adequado para explicar o baixo consumo de um 
produto, como um bem inferior, quando a renda aumenta. 
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6.4 
 
 
 
SLOPE = 1 - INCLINAÇÃO = 1; SLOPE > 1 INCLINAÇÃO > 1; SLOPE < 1 INCLINAÇÃO 
< 1 
 
 
6.5 Para o modelo I, sabemos que 2 2
ˆ i i
i
x y
x
β = ∑∑ , em que X e Y estão em formato de 
desvio. 
De forma semelhante, obtemos para o modelo II: 
 
* *
2 2*2 2 2 2 2
( / )( / ) ( ) / ˆˆ
( / ) /
i x i y i i x yi i x i i x
i i x i x y i
x S y S x y S Sx y S x y S
x x S x S S x yS
α β= = = = =∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ , o que demonstra 
que os coeficientes angulares não são independentes da mudança de escala. 
 
 
6.6 (a) Pode–se escrever o primeiro modelo como: *1 1 2 2ln( ) ln( )i iwY w X uα α i= + + , ou 
seja, 
 
*
1 1 2 2 2ln ln ln lniw Y w Xα α α+ = + + +i iu
*
i iu
)w
, aplicando propriedades dos logaritmos. Como 
os w são fatores de escala constantes, podemos simplificar esse modelo assim: 
 
*
1 2 2 1 2 2ln ( ln ln ) lni i iY w w X u A Xα α α α= + − + + = + + , em que 
1 2 2 1( ln lnA wα α= + − . 
 
 
 
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Comparando este com o segundo modelo, constataremos que são iguais, a não ser 
pelo intercepto. Dessa forma, os coeficientes angulares estimados também serão 
iguais, apenas com interceptos estimados diferentes. 
 
(b) O r2 é o mesmo para ambos os modelos. 
 
 
6.7 A Equação (6.6.8) é um modelo de taxa de crescimento, ao passo que a (6.6.10) é 
um modelo de tendência linear. A primeira fornece a mudança relativa no regressando, 
e a segunda, a mudança absoluta. Para fins de comparação, a mudança relativa deve 
ser mais significativa. 
 
 
6.8 A hipótese nula é de que o coeficiente angular verdadeiro é 0,005. A hipótese 
alternativa pode ser uni ou bilateral. Supondoque usemos esta última, o coeficiente 
angular estimado é 0,00743. Aplicando o teste t, obtemos: 
0,00743 0,005 14,294
0,00017
t −= = , um valor muito significativo. Podemos, portanto, rejeitar 
a hipótese nula. 
 
 
6.9 Pode-se obter assim: 18,5508/3,2514 = 5,7055%, aproximadamente. 
 
 
6.10 Conforme tratado na Seção 6.7 do texto, o modelo de Engel representado na 
Figura 6.6(c) deve ser adequado à maioria dos bens. Assim, a escolha deve recair 
sobre o segundo modelo dado no exercício. 
 
 
6.11 O modelo, como está, não é linear nos parâmetros. Mas podemos aplicar um 
“macete” para transformá–lo em linear: tire o logaritmo natural da razão entre Y e (Y–
1). Ou seja, faça a seguinte regressão: 
 
1 2ln 1
i
i
i
Y X
Y
β β= +− . 
 
Esse modelo é conhecido como logit, e será discutido no capítulo sobre variáveis 
dependentes qualitativas. 
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6.12 (a) 
 
 
(b) 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
6.13 
100 12,0675 16,2662
100 i iY X
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
 
 ep = (0,1596) (1,3232) r2 = 0,9497 
 
 
 
 
 
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À medida que X cresce indefinidamente, 
100
100 Y
⎛ ⎞⎜ −⎝ ⎠⎟ se aproxima do valor limite de 
2,0675, o que significa que Y tende ao valor limite aproximado de 51,6. 
 
 
6.14 Os resultados da regressão são: 
 
log V
L
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ –0,4526 + 1,3338logW 
 ep = (1,3515) (0,4470) r2 = 0,4070. 
 
Para melhor testar a hipótese nula, aplique o teste t como segue: 
1,3338 1 0,7468
0, 4470
t −= = . 
 
Para gl 13, o valor t crítico a 5% (bicaudal) é 2,16. Não se pode, portanto, rejeitar a 
hipótese nula de que a elasticidade de substituição verdadeira entre capital e trabalho 
seja 1. 
 
 
6.15 (a) Se estivermos convictos, a priori, de que havia uma relação um para um 
rigorosa entre os dois deflatores, o modelo adequado seria aquele sem o intercepto. 
 
(b) Modelo I: = 516,0898 + 0,5340 Xi iˆY
 ep = (40,5631) (0,0217) r2 = 0,9789. 
 
Modelo II: = 0,7950 iˆY
 ep = (0,0255 r2 = 0,7161* 
 
* Nota: Este r2 não é diretamente comparável ao anterior. 
 
Como o intercepto é estatisticamente significativo no primeiro modelo, ajustar o 
segundo resultará em viés de especificação. 
 
(c) Pode–se usar o modelo duplo-log. 
 
 
6.16 Seguem os resultados da regressão: 
 
*
iˆY = 0,9892 
*
iX 
ep = (0,0388) r2 = 0,9789 
 
A cada incremento de 1 no deflator do PIB para as importações, há, em média, um 
incremento de 0,9892 no deflator do PIB para bens produzidos internamente. Repare 
que esse resultado é comparável àquele do exercício anterior quando se nota a relação 
entre os coeficientes angulares das regressões padronizadas e não-padronizadas. 
Conforme a 
 
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Equação (6.3.8) do livro–texto, *2 2
x
y
S
S
β β ⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠
⎟⎟ , em que * indica o coeficiente angular da 
regressão padronizada. No problema anterior, encontramos 2βˆ = 0,5340. Sy e Sx são 
dados como 346 e 641 respectivamente. Assim, *2 2
6410,5340 0,9892
346
x
y
S
S
β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. 
 
 
6.17 Para obter a taxa de crescimento das despesas com bens duráveis, podemos 
ajustar o modelo log-lin, cujos resultados são os seguintes: 
 
ln DESPDURt = 6,2217 + 0,0154 t 
 ep = (0,0076) (0,000554) r2 = 0,9737. 
 
Essa regressão mostra que, ao longo do período estudado, a taxa trimestral de 
crescimento das despesas com bens duráveis foi de aproximadamente 1,5%. Ambos os 
coeficientes estimados são individualmente significativos em termos estatísticos, uma 
vez que os valores p são extremamente baixos. Não seria muito lógico fazer neste caso 
uma regressão duplo-log, tal como: 
ln DESPDURt = β1 + β2 ln tempo + ut.. 
 
Uma vez que o coeficiente angular deste modelo é o coeficiente de elasticidade, qual é 
o significado da afirmação de que um aumento de 1% no tempo leva a um aumento de 
β2% nas despesas com bens duráveis? 
 
 
6.18 Os resultados correspondentes para o setor de bens não-duráveis são: 
 
ln DESPNAODURt = 7,1929 + 0,0062 t 
 ep = (0,0021) (0,00015) r2 = 0,9877. 
 
Pode–se ver por esses resultados que, ao longo do período estudado, a taxa trimestral 
de crescimento das despesas com bens não-duráveis foi de aproximadamente 0,62%. 
 
Comparando os resultados das regressões dos Problemas 6.17 e 6.18, parece que as 
despesas com bens duráveis aumentaram a uma taxa bem maior do que aquelas com 
bens não-duráveis ao longo do período 1993:01 a 1998:03, fato que, tendo em vista 
um dos mais longos períodos de expansão econômica na história dos Estados Unidos, 
não é nenhuma surpresa. 
 
 
6.19 O diagrama de dispersão das impressões retidas em relação às despesas com 
publicidade é o seguinte: 
 
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VERTICAL = IMPRESSÕES 
HORIZONTAL = DESPPUB 
 
Embora a relação entre as duas variáveis pareça ser positiva, não está claro qual curva 
se ajustará aos dados. Fornecemos a seguir uma tabela com resultados de regressões 
baseadas em alguns modelos. 
 
 
 
Modelo Intercepto Coef. angular r2 
Linear 22,1627 0,3631 0,4239 
 (3,1261) (2,7394) 
Recíproco 58,3997 -314,6600 0,3967 
 (78,0006) (-3,5348) 
Duplo-log 1,2999 0,6135 0,5829 
 (3,686) (5,1530) 
Log 
recíproco 
3,9955 -10,7495 0,5486 
 (21,7816) (-4,8053) 
 
Nota: Os números entre parênteses são os valores t estimados. Em todas as 
regressões, o regressando é impressões e o regressor é despesas com publicidade. 
 
Deixamos ao leitor a comparação entre os vários modelos. Repare que os valores r2 
dos dois primeiros são comparáveis, pois o regressando é o mesmo para ambos. Da 
mesma forma, são comparáveis os r2 dos dois últimos modelos. Por quê? 
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CAPÍTULO 7 
ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA: O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO 
 
 
 
 
7.1 Os resultados das regressões são: 
 
1 2
1 2
1 2 3
ˆ ˆ3,00; 3,50
ˆ ˆ4,00; 1,357
ˆ ˆ ˆ2,00; 1,00; 1,00
α α
λ λ
β β β
= − = −
= = −
= = = −
 
 
(a) Não. Dado que o modelo (3) é o verdadeiro, 2αˆ é um estimador tendencioso de 
2β . 
(b) Não. Pela mesma razão de (a), 3ˆλ é um estimador tendencioso de 3β . 
 
A lição aqui é que uma equação mal especificada pode levar à estimação tendenciosa 
dos parâmetros do modelo verdadeiro. 
 
 
7.2 Aplicando as fórmulas dadas no texto, os resultados da regressão são os 
seguintes: 
 
iˆY = 53,1612 + 0,727X2i + 2,736X3i 
ep= (0,049) (0,849) 2R = 0,9988 2R = 0,9986. 
 
 
7.3 Omitindo o subscrito de observação i por conveniência, recorde que: 
 
2 2
2 3 3 2 3 2 3 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 2 3 3
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) /( )ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) /( )
yx x yx x x yx yx x x x
x x x x x x x x
β − −= =− −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = 
 
2 3
2
2 23 2 3
( ) ( )
( ) (
yx yx b23
)x b x x
−= −
∑ ∑
∑ ∑ , aplicando 2 323 23
( )
( )
x x
b
x
= ∑∑ , 2 23 32 2 2 23 3
( )ˆ
( )
y x b x
x x b x
β −= −
∑
∑ . 
 
 
7.4 Como foi informado que , gere, por exemplo, 25 observações a partir 
de uma distribuição normal com esses parâmetros, o que a maioria dos softwares faz 
normalmente. Dessas observações, calcule a variância da amostra como 
(0, 4)iu N�
2
2 ( )
24
iX XS
−= ∑ , em que Xi é o valor observado de ui na amostrade 25 observações. 
Repita este exercício, digamos, outras 99 vezes, para completar 100 experimentos. Ao 
final, haverá 100 valores de S2. Tire a média desses valores, que deverá estar em 
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torno de σ2 = 4. Às vezes, podem ser necessárias mais de 100 amostras para se 
conseguir uma boa aproximação. 
 
 
7.5 A partir da Equação (7.11.7) do texto, temos 2 2 2 213 13 12.3(1 )R r r= + − r . Logo, 
2 2
2 13
12.3 2
131
R rr
r
−= − . 
 
Este é o coeficiente de determinação parcial, e pode-se interpretá-lo como o 
coeficiente que descreve a proporção da variação da variável dependente não 
explicada pela variável X3, mas explicada pela inclusão de X2 ao modelo. 
 
 
7.6 Pode-se escrever a equação dada como: 
X1 = (–α2 / α1)X2 + (–α3 / α1)X3, ou 
X2 = (–α1 / α2)X1 + (–α3 / α2)X3, ou 
X3 = (–α1 / α3)X1 + (–α2 / α3)X2 . 
 
Assim, os coeficientes de regressão parcial seriam os seguintes: 
 
β12.3 = –(α2 / α1); β 13.2 = –(α3 / α1) 
β21.3 = –(α1 / α2); β 23.1 = –(α2 / α3) 
β31.2 = –(α1 / α3); β 32.1 = –(α2 / α3). 
Relembrando a Questão 3.6, temos 2 112.3 12.3 21.3
1 2
( )( )( )( ) 1
( )( )
r α αβ β α α
− − 1= = = = ± . 
 
 
7.7 (a) Não. O valor absoluto de r não pode ser maior que um. Aplicando à Equação 
(7.11.2) os dados fornecidos, obteremos r12.3 = 2,295, o que, logicamente, é 
impossível. 
 
(b) Sim. Seguindo o mesmo procedimento de (a), encontraremos r12.3 = 0,397, um 
resultado possível. 
 
(c) Sim. Da mesma forma pode-se demonstrar que r12.3 = 0,880, outro resultado 
possível. 
 
 
7.8 Se excluirmos do modelo a variável anos de experiência (X3), o coeficiente de 
escolaridade (X2) será tendencioso, e a natureza do viés dependerá da correlação entre 
X2 e X3. O erro-padrão, a soma residual dos quadrados e R2 serão afetados em 
conseqüência dessa exclusão. Este é um caso de viés de variável excluída. 
 
 
7.9 Os coeficientes angulares nos modelos duplo log fornecem estimativas diretas da 
elasticidade (constante) da variável do lado esquerdo em relação à variável do lado 
direito. Neste caso: 
 
 
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2
2 2 2
ln /
ln /
Y Y Y
X X X
β∂ ∂= =∂ ∂ e 33 3 3
ln /
ln /
Y Y Y
X X X
β∂ ∂= =∂ ∂ . 
 
 
7.10 (a) & (b) Se multiplicarmos X2 por 2, verificaremos pelas Equações (7.4.7) e 
(7.4.8) do texto que os coeficientes angulares não serão afetados. Se, por outro lado, 
multiplicarmos Y por 2, os coeficientes angulares, assim como os interceptos e seus 
erros-padrão, serão multiplicados por 2. Sempre tenha em mente as unidades em que 
o regressando e os regressores são medidos. 
 
7.11 A partir da Equação (7.11.5), sabemos que: 
2 2
2 12 13 12 13 3
2
23
2
1
r r r r rR
r
+ −= − . Portanto, 
quando r23 = 0, isto é, não há correlação entre X2 e X3, 
2 2
12 13
2R r r= + , ou seja, o 
coeficiente de determinação múltiplo é a soma dos coeficientes de determinação na 
regressão de Y contra X2 e na de Y contra X3. 
 
7.12 (a) Reescreva o modelo B como: 
*
1 2 2 3 3 1 2 2 3 3(1 )i t t t tY X X u Xβ β β β β β= + + + + = + + +t tX u 2, em que *2 (1 )β β= + . Os dois 
modelos são, portanto, similares. Sim, os interceptos nos modelos são iguais. 
 
(b) As estimativas de MQO do coeficiente angular de X3 serão iguais nos dois modelos. 
 
(c) *2 2(1 ) 2β β α= + = . 
 
(d) Não, porque os regressandos são diferentes nos dois modelos. 
 
 
7.13 (a) Aplicando MQO, obtemos: 
2
2 22 2 2 2
( )( ) ( ) ˆˆ 1i i i i i i i i
i i i i
y x x z x x z x
x x x x
α β−= = = − = −∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ . 
 
Ou seja, o coeficiente angular da regressão de poupança contra renda (quer dizer, a 
propensão marginal a poupar) é igual a um menos o coeficiente angular da regressão 
de consumo contra renda (quer dizer, a propensão marginal a consumir). Dito de outra 
forma, a soma das duas propensões marginais é igual a 1, como, aliás, não poderia 
deixar de ser, pois a receita total é igual ao total das despesas de consumo mais o 
total das poupanças. A propósito, repare que 1 1ˆαˆ β= − . 
 
(b) Sim. A SQR para a função consumo é: 21 2ˆ ˆ( iY α α− − )iX∑ . Agora, substitua 
( )i iX Y− por iZ , 1 1ˆαˆ β= − , e 2 ˆˆ (1 )2α β= − e verifique que as duas SQR são iguais. 
 
(c) Não, porque os dois regressandos não são iguais. 
 
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7.14 (a) Conforme visto na Seção 6.9, para aplicar o modelo normal de regressão 
linear clássico (MNRLC), é necessário presumir que ln ui � N(0,σ2). Depois de estimar o 
 
modelo Cobb-Douglas, obtenha os resíduos e submeta-os ao um teste de normalidade, 
tal como o Jarque-Bera. 
 
(b) Não. Como vimos na Seção 6.9, iu � log – normal 
2 2 2/ 2[ , ( 1e e eσ σ σ )]− . 
 
 
7.15 (a) As equações normais seriam: 
 
2
2 2 2 3 2i i i i iY X X X Xβ β= +∑ ∑ ∑ 3
3
 
2
3 2 2 3 3i i i i iY X X X Xβ β= +∑ ∑ ∑ . 
 
(b) Não, pela mesma razão do caso de duas variáveis. 
 
(c) Sim, essas condições são válidas. 
 
(d) Dependerá da teoria subjacente. 
 
(e) Isso é uma generalização simples das equações normais dadas anteriormente. 
 
 
Problemas 
 
 
7.16 (a) Modelo linear: 
 
tˆY = 10816,04 – 2227,704X2i + 1251,141X3i + 6,283X4i – 197,399X5i 
ep = (5988,348) (920,538) (1157021) (29,919) (101,156) R2 
= 0,835 
 
Neste modelo, os coeficientes angulares medem a taxa de variação de Y em relação à 
variável pertinente. 
 
(b) Modelo log–linear: 
 
ln = 0,627 – 1,274 lnX2i + 0,937 lnX3i + 1,713 lnX4i – 0,182 lnX5i tˆY
ep = (6,148) (0,527) (0,659) (1,201) (0,128) R2 = 
0,778 
 
Neste modelo, todos os coeficientes angulares parciais são elasticidades parciais de Y 
em relação à variável pertinente. 
 
(c) Espera-se que a elasticidade preço própria seja negativa, a preço cruzada seja 
positiva para bens substitutos e negativa para bens complementares, e a elasticidade 
renda seja positiva, já que rosas são um bem normal. 
 
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(d) A fórmula geral para a elasticidade das equações lineares é: Elasticidade = 
i
i
XY
X Y
∂
∂ , em que iX é o regressor pertinente. 
 
 
(e) Os dois modelos apresentam resultados semelhantes. Uma vantagem do modelo 
log-linear é que os coeficientes angulares fornecem estimativas diretas da elasticidade 
(constante) da variável pertinente em relação ao regressor sob avaliação. Mas tenha 
em mente que os R2 não são comparáveis diretamente. 
 
 
7.17 (a) A priori, todas as variáveis parecem relevantes para explicar a atividade de 
prospecção de petróleo. Espera-se que todos os coeficientes angulares sejam positivos, 
exceto o da variável de tendência, que pode ser positivo ou negativo. 
 
(b) O modelo estimado é: 
 
iˆY = -37,186 + 2,775X2i + 24,152X3i - 0,011X4i - 0,213X5i 
ep = (12,877) (0,57) (5,587) (0,008) (0,259) 2R = 0,656 
2R = 0,603. 
 
(c) As variáveis preço por barril e produção interna são estatisticamente significativas 
no nível de 5%, e seus sinais estão de acordo com as expectativas. As outras variáveis 
não são estatisticamente diferentes de zero. 
 
(d) Outra especificação pode ser o modelo log-linear que, além de fornecer estimativas 
diretas das elasticidades, pode amarrar características não-lineares (nas variáveis), se 
houver. 
 
 
7.18 (a) Os resultados da regressão são: 
 
iˆY = 19,443 + 0,018X2i - 0,284X3i + 1,343X4i + 6,332X5i 
ep = (3,406) (0,006) (0,457) (0,259) (3,024) 2R = 0,978 2R = 0,972 
2R modificado = 0,734. 
 
(b) A priori, esperava-se que todos os coeficientes angulares fossem positivos. À 
exceção do coeficientepara as vendas militares dos Estados Unidos, todas as outras 
variáveis são estatisticamente significativas no nível de 5%, e seus sinais estão de 
acordo com as expectativas. 
 
(c) Despesas federais globais e algum tipo de variável de tendência podem ser muito 
importantes. 
 
 
7.19 (a) O modelo (5) parece ser o melhor porque abrange todas as variáveis 
economicamente relevantes, inclusive o preço real dos substitutos da carne de frango, 
o que deve ajudar a minorar o possível problema de multicolinearidade entre o preço 
 
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da carne bovina e o da carne suína existente no modelo (4). O modelo (1) não tem 
informações sobre os substitutos, e elas são limitadas nos modelos (2) e (3). 
 
(b) O coeficiente de lnX2 representa a elasticidade de renda, e o de lnX3 representa a 
de preço próprio. 
 
(c) O modelo (4) considera as carnes suína e bovina como bens substitutos, ao passo 
que o (2) considera apenas a suína. 
 
(d) Pode haver um problema de multicolinearidade entre o preço da carne bovina e o 
da suína. 
 
(e) Sim. Isso deve amenizar o problema da multicolinearidade. 
 
(f) Devem ser bens substitutos porque competem com a carne de frango como produto 
de consumo. 
 
(g) Os resultados da regressão do modelo (5) são os seguintes: 
 
ln = 2,030 + 0,481 lnX2t - 0,351 lnX3t - 0,061 lnX6t tˆY
 ep = (0,119) (0,068) (0,079) (0,130) 2R = 0,980 2R = 0,977 
2R modificado = 0,810. 
 
As elasticidades renda e preço próprio têm os sinais corretos. 
 
(h) A conseqüência de estimar o modelo (2) seria a possibilidade de tendenciosidade 
dos estimadores devido a erro de especificação do modelo. Esse assunto é detalhado 
no Capítulo 13. 
 
 
7.20 (a) Ceteris paribus1, as interpretações são as seguintes, em média: 
 
• um aumento de 1% na taxa de desemprego leva a um aumento de 0,34% na 
taxa de desistência do emprego; 
• um aumento de 1% no percentual de empregados com menos de 25 anos leva 
a um aumento de 1,22% na taxa de desistência do emprego; 
• um aumento de 1% na razão de empregados na indústria no trimestre leva a 
um aumento de 1,22% na taxa de desistência do emprego; 
• um aumento de 1% no percentual de mulheres empregadas leva a um aumento 
de 0,80% na taxa de desistência do emprego; 
• ao longo do período estudado, a taxa de desistência do emprego baixou à razão 
de 0,54% ao ano. 
 
(b) Sim, espera–se que a taxa de desistência e a de desemprego estejam 
negativamente relacionadas. 
 
 
 
 
1 Ceteris paribus – Expressão latina muito usada em Economia e que significa “Todos os outros fatores se mantendo 
constantes”. 
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(c) À medida que aumenta a contratação de pessoas com menos de 25 anos, a 
expectativa é que a taxa de desistência aumente por causa da rotatividade entre os 
trabalhadores mais jovens. 
 
(d) A taxa de queda é 0,54%. Motivos prováveis para essa queda seriam as melhorias 
nas condições de trabalho e nos benefícios de pensões ao longo do tempo. 
 
(e) Não. O significado de “baixo” é relativo. 
 
(f) Como os valores t são dados, podemos facilmente calcular os erros-padrão. Sob a 
hipótese nula de que β1 verdadeiro é zero, temos a relação: 
ˆ ˆˆ( )ˆ( )
i i
i
i
t ep
tep
β βββ= ⇒ = . 
 
7.21 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
�
2lnM = 1,2394 + 0,5243 ln PIBR – 0,0255 ln TJCP 
 ep = (0,6244) (0,1445) (0,0513) R2 = 0,7292. 
 
Os resultados da regressão com a TJLP são os seguintes: 
 
�
2ln tM = 1,4145 + 0,4946 ln PIBRt – 0,0516 ln TJLPt 
 ep = (1,3174) (0,2686) (0,1501) R2 = 0,7270. 
 
As elasticidades renda (0,5243 ou 0,4946) e taxa de juros (–0,0255 ou –0,0516) não 
são muito diferentes, mas, como veremos no Capítulo 8, a regressão usando a TJCP 
apresenta melhores resultados estatísticos. 
 
(b) A razão M/PIB é conhecida na literatura como o k da equação de Cambridge 
(Cambridge k), que representa a proporção da renda que as pessoas querem ter em 
dinheiro. É uma relação sensível à taxa de juros, uma vez que esta representa o custo 
de se guardar o dinheiro, o qual em geral não produz grandes ganhos com juros. 
Seguem os resultados da regressão: 
 
2ln
t
M
PIB
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠⎟ = 3,4785 – 0,1719 ln TJCPt 
 ep = (0,0780) (0,0409) r2 = 0,5095. 
 
2ln
t
M
PIB
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠⎟ = 3,8318 – 0,3123 ln TJLPt 
 ep = (0,1157) (0,0532) r2 = 0,6692. 
 
Sendo ambas as regressões bivariadas, podemos verificar que, em termos estatísticos, 
o Cambridge k está inversamente relacionado à taxa de juros, conforme as 
expectativas. Em termos numéricos, é mais sensível às taxas de longo prazo do que às 
de curto prazo. Como a variável dependente é a mesma nos dois modelos, pode-se ver 
que o r2 obtido com a TJLP apresenta um ajuste muito melhor. 
(c) A resposta está no Exercício 8.29. 
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7.22 (a) Seguem os resultados do ajuste da função de produção Cobb-Douglas 
fornecidos pelo software Eviews 3: 
 
 
Variável dependente: 
LOG(PRODUÇÃO) 
 
Amostra: 1961 1987 
Observações incluídas: 
27 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -11,93660 3,211064 -3,717335 0,0011 
LOG(MÃO-DE-OBRA) 2,328402 0,599490 3,883972 0,0007 
LOG(CAPITAL) 0,139810 0,165391 0,845330 0,4063 
R-quadrado 0,971395 Variável dependente média 4,493912 
R-quadrado ajustado 0,969011 
Desvio–padrão da variável 
dependente 
0,461432 
E.P. da regressão 0,081229 Critério info Akaike -2,078645 
Soma quad resíduos 0,158356 Critério Schwarz -1,934663 
Verossimilhança Log 31,06171 Estatística-F 407,5017 
Estat Durbin-Watson 0,373792 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
As elasticidades estimadas produção/mão-de-obra e produção/capital são positivas, 
como era de se esperar. Mas veremos no próximo capítulo que os resultados, 
economicamente falando, não fazem sentido porque o capital não tem relação com a 
produção, fato que, se verdadeiro, seria surpreendente. Como veremos, o problema 
com os dados talvez seja a colinearidade. 
 
(b) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: 
LOG(PRODUTIVIDADE) 
 
Data: 29/07/2000 Hora: 18:11 
Amostra: 1961 1987 
Observações incluídas: 
27 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -1,155956 0,074217 -15,57533 0,0000 
LOG(RELAÇÃO 
CAP/MDO) 
0,680756 0,044535 15,28571 0,0000 
R-quadrado 0,903345 Variável dependente média -2,254332 
R-quadrado ajustado 0,899479 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,304336 
E.P. da regressão 0,096490 Critério info Akaike -1,767569 
Soma quad resíduos 0,232758 Critério Schwarz -1,671581 
Verossimilhança Log 25,86218 Estatística-F 233,6528 
Estat Durbin-Watson 0,263803 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
A elasticidade de produção/mão-de-obra (isto é, produtividade da mão-de-obra) em 
relação à razão capital/mão-de-obra é de aproximadamente 0,68, indicando que se 
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esta aumenta em 1%, a produtividade sobe cerca 0,68%, em média. Um das principais 
características das economias desenvolvidas é uma relação capital/mão-de-obra 
relativamente elevada. 
 
 
7.23 Repare que usamos todas as 528 observações para estimar a regressão cujos 
resultados são mostrados a seguir: 
 
 
 
Variável dependente: 
LOG(SALÁRIOM) 
 
Amostra: 1 528 
Observações incluídas: 
528 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 4,661661