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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
CAPÍTULO 1 
A NATUREZA DA ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
 
1.1 (a) A seguir temos a tabela com as taxas de inflação (%) calculadas ano sobre ano 
com início em 1974, pois não há dados anteriores a 1973. 
 
CANADÁ FRANÇA ALEMANHA ITÁLIA JAPÃO REINO UNIDO 
Estados 
Unidos 
10,78431 13,58382 6,847134 19,41748 23,17328 0,157706 0,110360 
10,84071 11,70483 5,961252 17,07317 11,69492 0,244582 0,091278 
7,584830 9,567198 4,360056 16,66667 9,559939 0,164179 0,057621 
7,792208 9,563410 3,638814 19,34524 8,171745 0,158120 0,065026 
8,950086 9,108159 2,730819 12,46883 4,225352 0,083026 0,075908 
9,320695 10,60870 4,050633 15,52106 3,685504 0,134583 0,113497 
9,971098 13,67925 5,474453 21,30518 7,701422 0,178679 0,134986 
12,48357 13,27801 6,343714 19,30380 4,840484 0,119745 0,103155 
10,86449 11,96581 5,314534 16,31300 2,938090 0,085324 0,061606 
5,795574 9,487459 3,295572 14,93729 1,732926 0,046122 0,032124 
4,282869 7,669323 2,392822 10,61508 2,304609 0,050100 0,043173 
4,106972 5,827937 2,044791 8,609865 1,958864 0,060115 0,035611 
4,128440 2,534965 –0,095420 6,110652 0,672430 0,034203 0,018587 
4,317181 3,239557 0,191022 4,591440 0,000000 0,041775 0,036496 
4,054054 2,725021 1,334604 4,985119 0,763359 0,049290 0,041373 
4,951299 3,456592 2,728128 6,591070 2,367424 0,077229 0,048183 
4,795050 3,341103 2,747253 6,117021 3,052729 0,095344 0,054032 
5,608856 3,157895 3,654189 6,390977 3,231589 0,058704 0,042081 
1,537386 2,405248 4,987102 5,300353 1,652174 0,036966 0,030103 
1,789401 2,135231 4,504505 4,250559 1,283148 0,015980 0,029936 
0,202840 1,602787 2,742947 3,916309 0,760135 0,024803 0,025606 
2,159244 1,783265 1,830664 5,369128 –0,167645 0,033648 0,028340 
1,585205 2,021563 1,498127 3,870652 0,167926 0,024557 0,029528 
1,625488 1,188904 1,697417 1,745283 1,676446 0,031215 0,022945 
 
 
(b) 
 
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Legenda: 
PC = Canadá 
PF = França 
PG = Alemanha 
PI = Itália 
PJ = Japão 
PUK = Reino Unido 
PUS = Estados Unidos 
 
 
(c) Pelo gráfico, pode–se ver que, com o passar dos anos, houve, em geral, diminuição da 
taxa de inflação de todos os países. 
 
(d) Pode–se usar o desvio-padrão como medida de flutuação das taxas. Para Canadá, 
França, Alemanha, Itália, Japão, Reino Unido e Estados Unidos os valores do desvio-
padrão são respectivamente 0,036, 0,044, 0,018, 0,062, 0,051 e 0,032. Encontramos, 
assim, a maior flutuação nas taxas da Itália, e a menor, nas da Alemanha. 
 
 
1.2 (a) A seguir está o gráfico com a representação das taxas de inflação dos seis países 
em relação à dos Estados Unidos. 
 
 
 
 
 
(b) O gráfico mostra que há correlação positiva entre as taxas de inflação dos seis países 
e a dos Estados Unidos. 
 
(c) Lembre–se de que correlação não implica causalidade. Talvez seja necessário 
consultar um livro de macroeconomia internacional para saber se há uma relação causal 
entre a taxa de inflação dos Estados Unidos e as dos outros países. 
 
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1.3 (a) Para melhor visualização do gráfico, representamos o logaritmo da taxa de câmbio 
no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. 
 
 
 
 
Como se vê, as taxas de câmbio apresentam considerável flutuação. Em 1977, por 
exemplo, um dólar americano valia 268 ienes, mas somente 94 ienes em 1995. 
 
(b) O cenário é, novamente, variado. Entre 1977 e 1995, por exemplo, o dólar americano 
se depreciou em relação ao iene, e daí começou a se apreciar. O panorama é semelhante 
em relação às outras moedas. 
 
 
1.4 O gráfico da oferta de moeda M1, nos Estados Unidos, de janeiro de 1951 a setembro 
de 1999, é o seguinte: 
 
 
 
 
À medida que o PIB cresce ao longo do tempo, faz–se naturalmente necessário ampliar a 
oferta de moeda para financiar o aumento da produção. 
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1.5 Algumas das variáveis pertinentes seriam: (1) salários ou ganhos nas atividades 
criminosas; (2) salários ou ganhos por hora em atividades lícitas; (3) probabilidade de 
ser apanhado; (4) probabilidade de condenação; (5) sentença esperada após a 
condenação. Repare que não deve ser fácil conseguir dados sobre ganhos em 
atividades ilegais. Mesmo assim, consulte o artigo de Gary Becker citado no livro-
texto. 
 
 
1.6 Um fator essencial nessa análise seria a taxa de participação na força de trabalho 
(TPFT) de pessoas na faixa etária dos 65 aos 69 anos. Um aumento dessa taxa, se 
constatado após a entrada em vigência da nova lei, seria forte indício de que a lei 
anterior restringira artificialmente a participação desses cidadãos no mercado. 
Também seria interessante descobrir que tipos de empregos esses trabalhadores 
conseguem e quanto ganham. Os dados sobre PFT são coletados pelo Departamento 
do Trabalho (Estados Unidos). 
 
 
1.7 (a), (b) & (c) De acordo com o gráfico, parece haver uma relação positiva, embora não 
muito forte, entre as duas variáveis, indicando que pode valer a pena anunciar. Do 
contrário, más notícias para a indústria da publicidade. 
 
 
 
 
Vertical = Impressões 
Horizontal = Desppub 
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CAPÍTULO 2 
ANÁLISE DE REGRESSÃO COM DUAS VARIÁVEIS: ALGUMAS IDÉIAS BÁSICAS 
 
 
2.1 A função informa como varia a resposta média das subpopulações de Y com os 
valores dados da(s) variável(is) explanatória(s). 
 
 
2.2 A distinção entre as funções de regressão amostral e populacional é importante, 
pois aquela é um estimador desta. Na maioria dos casos, o que temos é uma amostra 
de observações da qual tentamos extrair informações sobre a população a que ela se 
refere. 
 
 
2.3 Um modelo de regressão não é, de forma alguma, uma descrição absolutamente 
fiel da realidade. Assim, é certo que haverá diferenças entre o valor real do 
regressando e seus valores estimados pelo modelo escolhido. Tal diferença é 
simplesmente o termo de erro estocástico, cujas diversas formas são discutidas no 
texto. O resíduo é a contrapartida amostral do termo de erro estocástico. 
 
 
2.4 Embora seja certo que podemos usar o valor médio, o desvio-padrão e outras 
medidas sumárias para descrever o comportamento do regressando, estamos em geral 
interessados em saber se há alguma força causal que o afeta. Se houver, poderemos 
fazer um melhor prognóstico do seu valor médio com a análise de regressão. Também 
não podemos esquecer que os modelos econométricos são quase sempre 
desenvolvidos para testar uma ou mais teorias econômicas. 
 
 
2.5 É um modelo linear nos parâmetros, mas que pode ou não ser linear nas variáveis. 
 
 
2.6 Os modelos (a), (b), (c) e (e) são modelos de regressão lineares (nos 
parâmetros). O modelo (d) também será linear se fizermos α = lnβ1. 
 
 
2.7 (a) Aplicando o logaritmo natural, obtemos lnYi = β1+ β2 Xi + ui, que assim é um 
modelo de regressão linear. 
 
(b) A seguinte transformação, conhecida como logit, faz deste um modelo de 
regressão linear: ln[(1-Yi)/Yi] = β1+ β2 Xi + ui. 
 
(c) Modelo de regressão linear. 
 
(d) Modelo de regressão não-linear. 
 
(e) Modelo de regressão não-linear, pois β2 está elevado ao cubo. 
 
 
 
 
 
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2.8 Um modelo de regressão intrinsecamente linear é aquele que se pode fazer linear 
nos parâmetros, como o modelo em 2.7 (a). Se β2 na Questão 2.7 (d) fosse 0,8, esse 
seria um modelo de regressão linear, já que 0,8( 2)iXe− − pode ser facilmente calculado. 
2.9 Todos são modelos de regressão intrinsecamente lineares, como demonstramos a 
seguir: 
 
(a) A transformação (1/Yi) = β1+ β2 Xi converte o modelo em linear. 
 
(b)Escrever o modelo como (Xi/Yi) = β1+ β2 Xi converte-o em linear. 
 
(c) A transformação ln[(1-Yi)/Yi] = –β1–β2 Xi converte o modelo em linear. 
 
 
2.10 O gráfico de dispersão indica que, em média, os salários nos países que 
exportam mais exibem maior crescimento real do que naqueles que exportam menos. 
É por isso que muitos países em desenvolvimento seguem uma política de crescimento 
voltada para a exportação. A linha de regressão traçada no gráfico é amostral, pois se 
baseia numa amostra de 50 países em desenvolvimento. 
 
 
2.11 De acordo com o conhecidíssimo modelo de comércio de Heckscher-Ohlin, os 
países têm tendência a exportar mercadorias que, para serem produzidas, utilizem 
intensivamente seus fatores de produção mais abundantes. Em outras palavras, este 
modelo enfatiza a relação entre dotação de fatores e vantagem comparativa. 
 
 
2.12 O gráfico de dispersão mostra que quanto mais alto o salário mínimo, mais baixo 
é o PNB per capita, indicando, portanto, que a legislação relativa à remuneração 
mínima pode não ser boa para os países em desenvolvimento, mas há controvérsia 
quanto a esse assunto. O resultado desse tipo de legislação pode depender do efeito 
que causa nos empregos, da natureza da indústria do local onde é imposta e da 
intensidade com que o governo a impõe. 
 
 
2.13 É uma FRA porque se baseia numa amostra de 15 anos de observações. Os 
pontos dispersos em torno da linha de regressão são de dados reais. A diferença entre 
as despesas em consumo reais e as estimadas pela linha representa o resíduo 
(amostral). Além do PIB, fatores como riqueza, taxa de juros etc. podem afetar as 
despesas em consumo. 
 
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2.14 (a) O gráfico de dispersão é o seguinte: 
 
 
 
 
Vertical = TPFTCH 
Horizontal = TDCH 
 
A relação positiva entre as duas variáveis parece surpreendente porque se esperaria, a 
priori, que fossem negativamente relacionadas. Mas a hipótese do efeito do 
trabalhador adicional da Economia do Trabalho sugere que quando o desemprego 
aumenta, a força de trabalho secundária pode ingressar no mercado de trabalho para 
garantir alguma renda familiar. 
 
(b) Segue o gráfico de dispersão: 
 
 
 
 
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VERTICAL = TPFTCM 
HORIZONTAL = TDCM 
 
Parece que temos aqui em ação a hipótese do efeito desalento da Economia do 
Trabalho: o desemprego desestimula as mulheres a participarem da força de trabalho 
por não acreditarem que haja oportunidades de emprego. 
 
(c) A representação gráfica da TPFTCH em relação aos GHM82 mostra o seguinte: 
 
 
 
VERTICAL = TPFTCH 
HORIZONTAL = GHM82 
 
E representação gráfica correspondente para as mulheres é: 
 
 
 
VERTICAL = TPFTCM 
HORIZONTAL = GHM82 
 
 
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Há uma relação assimétrica entre as duas variáveis para homens e mulheres. Os 
homens respondem positivamente a salários maiores, ao passo que as mulheres 
respondem negativamente, o que parece desconcertante. Pode ser que ganhos 
maiores resultantes de salários mais altos para os homens induzam as mulheres a se 
retirarem da força de trabalho, algo que pode acontecer com os casais. Mas é preciso 
ter cuidado, pois aqui estamos trabalhando com regressões simples de apenas duas 
variáveis. As conclusões anteriores podem mudar quando estudarmos análise de 
regressão múltipla. 
 
 
2.15 (a) O gráfico de dispersão e a linha de regressão ficam assim: 
 
 
 
Vertical = DESPALIM 
Horizontal = DESPTOT 
 
(b) Na média, à medida que crescem as despesas totais também crescem as despesas 
com alimentação. Mas há uma flutuação maior entre as duas depois que as despesas 
totais passam de Rs. 2000. 
 
(c) Não esperaríamos que as despesas com alimentação crescessem indefinidamente 
de forma linear (isto é, como uma linha reta). Satisfeitas as necessidades básicas das 
pessoas, elas gastarão menos em alimentação à medida que sua renda aumentar. 
Quer dizer, consumidores com renda mais alta fazem despesas mais discricionárias. Há 
sinais disso no gráfico de dispersão mostrado em (a): as despesas com alimentação 
mostram mais flutuação no nível de renda acima de Rs. 2000. 
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2.16 (a) A representação gráfica da pontuação de homens e mulheres em aptidão 
verbal é a seguinte: 
 
 
 
MALEVERB =VERBH 
FEMVERB = VERBM 
 
E a representação correspondente da pontuação de homens e mulheres em 
matemática é a seguinte: 
 
 
MALEMATH = MATH 
FEMMATH = MATM 
 
(b) Ao longo dos anos, a pontuação de homens e mulheres em aptidão verbal mostra 
uma tendência descendente, enquanto depois de atingir o nível mais baixo em 1980, 
os cálculos mostram uma tendência ascendente, com variações ano a ano, é claro. 
 
(c) Pode-se elaborar um modelo de regressão simples, fazendo a regressão da 
pontuação em matemática contra a de aptidão verbal para ambos os sexos. 
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(d) O gráfico é o seguinte: 
 
 
 
VERTICAL = VERBM 
HORIZONTAL = VERBH 
 
O gráfico mostra que as duas pontuações evoluíram na mesma direção ao longo do 
tempo. 
 
 
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CAPÍTULO 3 
MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO 
 
 
 
3.1 (1) Yi = β1+ β2Xi + ui, logo, E(Yi|Xi) = E[(β1+ β2Xi + ui)|Xi] 
E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi + E(ui|Xi), visto que β1e β2 são constantes e X é não-estocástico. 
E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi, já que E(ui|Xi) = 0, por premissa. 
(2) Dado que cov(uiuj)=0 para todo i,j (i≠j), então 
cov(YiYj) = E{[Yi - E(Yi)] [Yj - E(Yj)]} 
cov(YiYj) = E(uiuj), dos resultados em (1) 
cov(YiYj) = E(ui)E(uj), porque é premissa que os termos de erro não estão 
correlacionados, 
cov(YiYj) = 0, já que o valor médio de ui é zero, por premissa. 
(3) Dado que var(ui|Xi) = σ2, var(Yi|Xi) = E[Yi - E(Yi)]2 = E(ui2) = var(ui|Xi) = σ2, por 
premissa. 
 
3.2 
 
Yi Xi yi xi 
xi 
yi 
xi2 
 4 1 –3 –3 9 9 
 5 4 –2 0 0 0 
 7 5 0 1 0 1 
 12 6 5 2 10 4 
soma 28 16 0 0 19 14 
Nota: Y = 7 e X = 4. 
 
Logo, 2 2
19ˆ
14
i i
i
x y
x
β = =∑∑ = 1,357; 1ˆ ˆY 2Xβ β= − = 1,572. 
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)
⎤ =
 
 
3.3 A FRP é: Yi = β1+ β2Xi + ui. 
Situação 1: β1 = 0, β2 = 1, e E(ui) = 0, resultando E(Yi|Xi) = Xi 
Situação 2: β1 = 1, β2 = 0, e E(ui) = (Xi –1), o que dá E(Yi|Xi) = Xi, o mesmo resultado 
da situação 1. 
Logo, sem a premissa E(ui) = 0, não se pode estimar os parâmetros porque, como 
acabamos de demonstrar, a mesma distribuição condicional de Y é obtida, embora os 
valores presumidos dos parâmetros sejam bem diferentes nas duas situações. 
 
3.4 Impondo a primeira restrição, obtemos: 
( 1 2ˆ ˆˆ 0i i iu Y Xβ β= − − =∑ ∑ , equação que, simplificada, dá a primeira equação 
normal. 
Impondo a segunda restrição, obtemos: 
( )1 2ˆ ˆˆ 0i i i i iu X Y X Xβ β⎡= − −⎣ ⎦∑ ∑ , equação que, simplificada, dá a segunda equação 
normal. 
A primeira restrição corresponde à premissa de que E(ui|Xi) = 0. A segunda restrição 
corresponde à premissa de que não há correlação entre o termo de erro populacional e 
a variável explanatória Xi, isto é, cov(uiXi)=0. 
 
3.5 Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que 
2
2 2
( ) 1
( ) ( )
E XY
E X E Y
≤ . 
Ora, 
2
2
2 2
( )
1i i
i i
x y
r
x y
= ∑∑ ∑ ≤
2
, por analogia com a desigualdade de Cauchy–Schwarz, o que 
também é verdadeiro para ρ , o coeficiente de correlação populacional elevado ao 
quadrado. 
 
3.6 Observe que2
i i
yx
i
x y
x
β = ∑∑ e que 2i ixy i
x y
y
β = ∑∑ . Multiplicando as duas equações, 
obtemos a expressão para r2, o coeficiente de correlação amostral elevado ao 
quadrado. 
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ˆ ˆ
 
 
3.7 Mesmo que , ainda faria diferença (pela causalidade e teoria) se fosse 
feita a regressão de Y contra X ou de X contra Y, pois o que é igual a um é somente o 
produto das duas, e isso não implica que 
ˆ ˆ 1yx xyβ β⋅ =
yx xyβ β= . 
 
3.8 As médias das duas variáveis são iguais a: 
1
2
nY X += = , 
e a correlação entre os dois rankings é: 
2 2
i i
i i
x y
r
x y
= ∑∑ ∑ , 
(1) 
em que as letras minúsculas, como sempre, indicam desvio dos valores médios. 
Como os rankings são permutações dos n primeiros números naturais, então: 
2 2 2
2 2 ( ) ( 1)(2 1) ( 1) ( 1
6 4
i
i i
X n n n n n n nx X
n
+ + − −= − = − =∑∑ ∑ )12 
e, analogamente, 
2
2 ( 1
12i
n ny −=∑ ) , então 
2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)( ) ( 2 ) 2
6i i i i i i i i
n n nd X Y X Y X Y X Y+ += − = + − = −∑ ∑ ∑ ∑ , logo 
2( 1)(2 1)
6 2i i
dn n nX Y + += −∑∑ . (2) 
Como ii i i i
iX Yx y X Y
n
= − ∑ ∑∑ ∑ , usando (2), obtemos: 
2 22 2( 1)(2 1) ( 1) ( 1)
3 2 4 12
d dn n n n n n n+ + + −− − = −∑ ∑
2
. (3) 
Agora, basta substituir as equações anteriores na equação (1) para obter a resposta. 
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3.9 (a) 1 2
ˆ ˆ
iY Xβ β= − e 1 ˆˆ Y 2xα β= − [Observação: ( )i ix X X= − ]. 
 1ˆ Yα = , já que . 0ix =∑
var
2
2
1 2
ˆ( ) i
i
X
n x
β σ= ∑∑ e var
2 2
2
1 2
ˆ( ) i
i
x
n x n
σα σ= =∑∑ . 
Logo, nem as estimativas nem as variâncias dos estimadores são iguais. 
(b) 2 2
ˆ i i
i
x y
x
β = ∑∑ e 1 2ˆ i ii
x y
x
α = ∑∑ , já que ( )i ix X X= − 
É fácil verificar que var var2
ˆ( )β =
2
2 2
ˆ( )
ix
σα = ∑ . 
Ou seja, as estimativas e as variâncias dos dois estimadores são idênticas. 
(c) Pode ser mais fácil usar o modelo II com números X grandes, embora com os 
rápidos computadores atuais isso não seja mais um problema. 
3.10 Como , ou seja, a soma dos desvios em relação ao valor médio é 
sempre zero, 
0i ix y= =∑ ∑
x e y também são iguais a zero ( 0x y= = ). Assim, 1 2 0y xβ β= − =ˆ ˆ . O 
fato relevante aqui é que se tanto Y quanto X forem expressas como desvios em 
relação às respectivas médias, a linha de regressão passará pela origem. 
2 2
( )( )ˆ
( )
i i i
i i
2
ix x y y x y
x x x
β − −= −
∑ ∑
∑ = , já que as médias das duas variáveis são iguais a 
zero. Esta é a Equação (3.1.6) do livro-texto. 
 
3.11 Sejam i iZ aX b= + e i iW cY d= + , que, em formato de desvios, tornam–se 
e . Por definição, i iz ax= iw cy= i 2 12 2 2 2
i i i
i i i i
z w ac x yi
r r
z w ac x y
= = =∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ na Equação 
(3.5.13) do texto. 
 
3.12 (a) Verdadeira. Na Questão 3.11, façamos a e c iguais a -1 e b e d iguais a 0. 
(b) Falsa. Consultando novamente a Questão 3.11, veremos que será negativo. 
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(c) Verdadeira. Como , 0xy yxr r= > xS e (os desvios-padrão de X e Y 
respectivamente) são ambos positivos, e 
yS
x
yx yx
y
Sr
S
β= e yxy xy
x
S
r
S
β= , então xyβ e yxβ 
têm de ser positivos. 
 
3.13 Sejam Z=X1+X2 e W=X2+X3. Em formato de desvios, podemos escrevê–las como 
z=x1+x2 e w=x2+x3. Por definição, a correlação entre Z e W é: 
2
1 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 1 2 2 3
( )( )
( ) ( ) ( )(
i i
zw
i i
z w x x x x x
r
z w x x x x x x x x
+ += = =+ + + +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ , porque 
X1, X2 e X3 não são correlacionadas. (Nota: por conveniência, omitimos o subscrito de 
observação). 
2
2 2
1
2(2 2
zwr
σ
σ σ= =+ , em que 
2σ é a variância comum. 
O coeficiente não é zero porque os pares combinados são correlacionados, ainda que 
as variáveis X1, X2 e X3 não sejam individualmente correlacionadas. 
Como acabamos de demonstrar, 2zw σ=∑ , denotando que a covariância entre z e w 
é uma constante diferente de zero. 
3.14 Os resíduos e os valores ajustados de Y não mudarão. Sejam 1 2i iY X iuβ β= + + e 
1 2iY Zi iuα α= + + , em que Z=2X. Empregando o formato de desvios, sabemos que 
2 2
ˆ xy
x
β = ∑ , omitido o subscrito de observação. 
2 22 2
2 1 ˆˆ
4 2
i i i i
i i
z y x y
z x
α β= = =∑ ∑∑ ∑ 
1 2
ˆ ˆY Xβ β= − ; 1 2 ˆˆ ˆY Z 1α α β= − = (Nota: 2Z X= ) 
Ou seja, o intercepto não é afetado. Em conseqüência, os valores ajustados de Y e os 
resíduos mantêm–se os mesmos ainda que Xi seja multiplicado por 2. A análise é 
análoga para o caso de uma constante ser somada a Xi. 
 
 
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3.15 Por definição, 
2 2 2
2
ˆ 2 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [ ( )( )]
ˆ ˆ( )( ) ( )( )
i i i i i i
yy
i i i i i
y y y u y y
r
y y y y y
+= = =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ˆ ˆ 0i iy u, já que =∑ . 
 
2 2 2
2 22
ˆ 2 2
ˆ ˆ( )i i
yy
i i
x x
r
y y
β β= =∑ ∑∑ ∑ 2r=
i
, aplicando a Equação (3.5.6) do texto. 
 
3.16 (a) Falsa. A covariância pode assumir qualquer valor, e este depende das 
unidades de medida. O coeficiente de correlação, por outro lado, não tem unidades, é 
uma grandeza adimensional. 
(b) Falsa. Veja a Figura 3.11(h) no texto. Lembre–se de que o coeficiente de 
correlação é uma medida de relação linear entre duas variáveis. Daí, como mostra a 
Figura 3.11(h), há uma relação perfeita entre Y e X, mas ela não é linear. 
(c) Verdadeira. Em formato de desvios, temos ˆ ˆi iy y u= + . Então é óbvio que se 
fizermos uma regressão de i ˆiy contra y , o coeficiente angular será 1, e o intercepto 
será 0. Mas uma prova formal pode ser feita como segue: se fizermos uma regressão 
de iy contra ˆˆiy , obteremos o coeficiente angular, digamos, α , sob a forma 
2
2 2 2 2
ˆ ˆˆ
ˆ 1ˆ ˆˆ
i i i i
i
y y x y
y x
β βα β β= = =
∑ ∑
∑ ∑ = , porque ˆˆi iy xβ= e 
2ˆ
i i ix y β= x∑ ∑ para o modelo de 
duas variáveis. O intercepto nesta regressão é zero. 
 
3.17 Escreva a regressão amostral assim: 1ˆ ˆiY β iu= + . Pelo princípio dos mínimos 
quadrados, temos de minimizar: 2 2ˆ )1ˆ (i iu Y β= −∑ ∑ . Derive essa equação em relação 
ao único parâmetro conhecido e iguale o resultado a zero para obter: 
2
=1
1
ˆ( ) ˆ2 ( )( 1) 0i i
d u Y
d
ββ = − −∑ , que simplificada dá 1ˆ Yβ = , ou seja, a média amostral. E 
sabemos que a variância da média amostral é 
2
y
n
σ
, em que n é o tamanho da amostra 
e 2σ a variância de Y. A SQR é 2 2( )i iY Y y− =∑ ∑ e 2)2ˆ ( 1) ( 1i
ySQR
n n
σ = =− −
∑
. Vale a pena 
acrescentar a variável X ao modelo se ela reduzir 2σˆ significativamente, o que 
acontecerá se ela tiver qualquer influência sobre Y. Resumindo, o que pretendemos 
nos modelos de regressão é que as variáveis explanatórias possam dar um prognóstico 
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2 2 2 2 2ˆ
i
de Y melhor do que simplesmente seu valor médio. Em verdade, podemos ver isso 
formalmente. Recorde que para o modelo de duas variáveis obtido da Equação 
(3.5.2):SQR=STQ–SQE = 2ˆi i iy y y β− = −∑ ∑ ∑ ∑ x ˆ. Logo, se 2β for diferente de 
zero, a SQR do modelo que tenha no mínimo um regressor será menor do que a do 
modelo sem regressor. É claro que se houver mais regressores no modelo e seus 
coeficientes angulares forem diferentes de zero, a SQR será muito menor do que no 
modelo sem regressor. 
 
Problemas 
 
3.18 Tirando a diferença entre os dois rankings, obtemos: 
 
d –2 1 –1 3 0 –1 –1 –2 1 2d2 4 1 1 9 0 1 1 4 1 4 
∑d2=26. Assim, o coeficiente de correlação de rankings de Spearman é 
2
2 2
6 6(26)1 1 0,842
( 1) 10(10 1)s
d
r
n n
= − = − =− −
∑
. Há, portanto, um alto grau de correlação entre 
as posições dos estudantes nas provas de meio e de final de período: quanto mais alta 
ela for na primeira, mais alta será na segunda. 
3.19 (a) O valor de –4,318 para o coeficiente angular indica que durante o período 
1980–1994 a taxa de câmbio (marco/US$) baixou cerca de 4,32 unidades para cada 
unidade de aumento no preço relativo, em média. Isto é, o dólar americano depreciou, 
porque 1 dólar comprava menos marcos alemães. O valor de 6,682 para o intercepto, 
interpretado literalmente, significa que se a relação de preços relativos fosse zero, um 
dólar valeria 6,682 marcos alemães. Essa interpretação, é claro, não é 
economicamente significativa. 
(b) O valor negativo do coeficiente angular faz muito sentido econômico porque se os 
preços nos Estados Unidos subirem mais rapidamente do que os da Alemanha, os 
consumidores internos passarão a comprar mercadorias alemãs, aumentando assim a 
demanda pelo marco alemão, o que levará à sua apreciação. Esta é a essência da 
teoria da paridade do poder de compra (PPC), ou lei do preço único. 
(c) Acreditamos que, nesse caso, o coeficiente angular seria positivo, pois quanto 
maior fosse o IPC alemão em relação ao IPC americano, maior seria a taxa de inflação 
relativa na Alemanha, o que levaria à apreciação do dólar americano. Temos, outra 
vez, a essência da PPC. 
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3.20 (a) Os gráficos de dispersão são os seguintes: 
 
 
VERTICAL = REMSEMP 
HORIZONTAL = PRODSEMP 
 
 
 
Vertical = REMSENA 
Horizontal = PRODSENA 
 
 
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(b) Os dois gráficos mostram que há uma relação positiva entre remuneração e 
produção, o que não é surpresa, considerando a teoria da produtividade marginal da 
Economia do Trabalho. 
 
 
(c) Os gráficos anteriores demonstram que a relação entre remuneração e produção, 
embora seja positiva, não é linear. É possível, portanto, que não se consiga um bom 
ajuste entre os dados e um modelo de regressão linear. Mas se, como de praxe, 
fizermos esse ajuste, teremos os seguintes resultados, nos quais SEMP é setor 
empresarial; SENA, setor empresarial não-agrícola; PROD, produção por hora; e REM, 
remuneração real por hora. 
 
REMSEMP = –109,3833 + 2,0039 PRODSEMP 
 ep = (9,7119) (0,1176) r2 = 0,8868 
 
REMSENA = –123,6000 + 2,1386 PRODSENA 
 ep = (11,0198) (0,1312) r2 = 0,8777 
 
Como esperado, a relação entre as duas é positiva. Surpreendentemente, o valor de r2 
é bem alto. 
 
 
3.21 
 ∑ Yi ∑ Xi ∑ Xi Yi ∑ Xi2 ∑ Yi2 
 
Dados 
originais: 
1110 1700 205500 322000 132100 
Dados 
revisados: 
1110 1680 204200 315400 133300 
 
Portanto, o coeficiente de correlação corrigido é 0,9688. 
 
 
3.22 (a) Se representarmos estas variáveis em relação ao tempo, veremos que, em 
geral, subiram. Há, no caso do ouro, considerável volatilidade de preço. 
 
(b) Se a hipótese fosse verdadeira, seria de se esperar que 2 1β ≥ . 
 
(c) Preço do ourot = –186,183 + 1,842 IPCt 
 ep = (125,403) (1,125) r2 = 0,150 
 
 NYSEt = –102,060 + 2,129 IPCt 
 ep = (23,767) (0,230) r2 = 0,868 
Parece que o mercado de ações é melhor garantia contra a inflação do que o ouro. 
Como veremos no Capítulo 5, o coeficiente angular da equação do preço do ouro não é 
estatisticamente significativo. 
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3.23 (a) Segue o gráfico, em que PIBN e PIBR são, respectivamente, PIB nominal e 
PIB real. 
 
 
NGDP = PIBN 
RGDP = PIBR 
 
(b) PIBNt = –986,3317 + 201,9772 tempo 
 ep = (1907,715) + 128,7820 r2 = 0,9277 
 
 PIBRt = 1907,715 + 128,7820 tempo 
 ep = (45,1329) (1,9666) r2 = 0,9914 
 
 
(c) Nesse caso, o coeficiente angular informa a taxa de variação do PIB por intervalo 
de tempo. 
 
(d) A diferença entre os dois representa a inflação ao longo do tempo. 
 
(e) Como indicam o gráfico e os resultados da regressão, o PIB nominal tem crescido 
mais rápido que o PIB real, sugerindo que a inflação tem subido com o passar do 
tempo. 
 
 
3.24 Este é simples e direto. 
 
 
3.25 (a) Veja o gráfico do Exercício 2.16(d). 
 
(b) Seguem os resultados da regressão, em que Y é a pontuação das mulheres em 
aptidão verbal e X, a dos homens: 
 
tˆY = -198,126 + 1,436 tX 
ep = (25,211) (0,057) r2 = 0,966. 
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(c) Como ressaltamos no texto, uma relação estatística, por mais forte que seja, não 
determina causalidade, a qual tem de ser estabelecida a priori. Neste caso, não há 
razão para suspeitar de relação causal entre as duas variáveis. 
 
 
3.26 Os resultados da regressão são: 
 
tˆY = -189,057 + 1,285 tX 
ep = (40,927) (0,082) r2 = 0,918. 
 
3.27 Este é para ser feito em sala de aula. 
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CAPÍTULO 4 
A PREMISSA DA NORMALIDADE: MODELO NORMAL DE REGRESSÃO LINEAR 
CLÁSSICO (MNRLC) 
 
 
Exercícios do Apêndice 4A. 
 
 
4.1 Dado que o coeficiente de correlação entre Y1 e Y2, ρ, é igual a zero, a função de 
densidade de probabilidade normal bivariada (de duas variáveis) fica reduzida a: 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1( , ) exp
2 2 2
Y Yf Y Y μ μπσ σ σ σ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
=
2 2
1 1 2 2
1 21 2
1 1 1 1exp exp
2 22 2
Y Yμ μ
σ σσ π σ π
⎧ ⎫⎧ ⎫⎤⎪⎥⎬⎥⎪⎦⎭
1 2( ) ( )
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎢− −⎨ ⎬⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭⎩
f Y f Y= , em que 
1( )f Y e 2( )f Y são as funções de densidade de probabilidade normal univariadas (de 
uma variável). Então, quando ρ for zero, 1 2 1 2( , ) ( ) ( )f Y Y f Y f Y= , o que é a condição 
para independência estatística. Portanto, no caso normal bivariado, a correlação zero 
implica independência estatística. 
 
 
4.2 Para assegurar que os estimadores de máxima verossimilhança maximizem a 
função de verossimilhança, as derivadas segundas da Equação (5) do Apêndice 4A têm 
de ser menores que zero, o que garantirá que a SQR seja minimizada. 
 
2
2 2
1
ln 0LF nβ σ
∂ = − <∂ . 
22
2 2
2
ln 0i
XLF
β σ
∂ = − <∂
∑
. 
2
2 2
1 22 2 2 2 2 3 2 2 2 2
ln 1 1 1 ˆ( )
( ) 2( ) ( ) 2 ( )i i
LF n nY Xβ βσ σ σ σ σ σ
⎛ ⎞∂ = − − − = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∑ ∑ iu . 
Como 2 2 21 2 2 2 2 2 2
1 1 1ˆ ˆ ˆ( )
2( ) ( )i i i i
u Y X u uβ β σ σ σ
⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ 2ˆi , da Equação (11), 
2 2
2 3
1 1ˆ 1 0
( ) 2i î
u uσ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ < . 
 
Uma vez que todas as segundas derivadas são negativas, os estimadores maximizam a 
função de verossimilhança. 
 
 
4.3 Como X segue a distribuição exponencial, sua função de densidade de 
probabilidade (FDP) é: 
 
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1( ) ( )
iX
if x f X e θθ
−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Portanto, a função de verossimilhança será: 
11( , ) exp i
n
X
iFV X θθ θ
− ∑⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . E log FV será: ln ln
iXFV n θ θ= − −
∑
. 
Derivando essa função em relação a θ, obtemos: 
 
2
ln 1 iXd FV n
dθ θ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
θ . Igualando essa equação a zero: 
 
iX X
n
θ = =∑% , que é a média da amostra. 
 
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CAPÍTULO 5 
A REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: ESTIMAÇÃO DE INTERVALO E TESTE DE 
HIPÓTESES 
 
 
Perguntas 
 
 
5.1 (a) Verdadeira. O teste t baseia–se em variáveis com uma distribuição normal. Os 
estimadores β1 e β2 seguem tal distribuição, pois são combinações lineares do erro ui, o 
qual presumimos ser normalmente distribuído no MRLC. 
 
(b) Verdadeira. Uma vez que E(ui)=0, os estimadores de MQO não são tendenciosos. 
Não é preciso nenhuma premissa probabilística para determinar a não-
tendenciosidade. 
 
(c) Verdadeira. Nesse caso, a Equação (1) da Seção 3.A.1 do Apêndice 3A não será 
usada. Esse tópico será tratado com mais detalhes no Capítulo 6, Seção 6.1. 
 
(d) Verdadeira. O valor p é o menor nível de significância em que se pode rejeitar a 
hipótese nula. Os termos nível de significância e tamanho do teste são sinônimos. 
 
(e) Verdadeira. Isso resulta da Equação (1) do Apêndice 3A, Seção 3A.1. 
 
(f) Falsa. Tudo o que podemos dizer é que os dados disponíveis não nos permitem 
rejeitar a hipótese nula. 
 
(g) Falsa. Um valor mais alto de σ2 deve ser contrabalançado por um valor mais alto 
de 2ix∑ . Somente se este for mantido constante, a afirmação pode ser verdadeira. 
 
(h) Falsa. A média condicional de uma variável aleatória depende dos valores tomados 
por outra variável (condicionante). As médias condicional e não-condicional só podem 
ser iguais se as duas variáveis forem independentes. 
 
(i) Verdadeira. Isso fica óbvio pela Equação (3.17). 
 
(j) Verdadeira. Consulte a Equação (3.5.2). Se X não tem influência sobre Y, 2βˆ será 
zero, e nesse caso 2 2ˆi iy u=∑ ∑ . 
 
5.2 Tabela ANOVA para despesas com alimentos na Índia: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
139023 1 139023 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
236894 53 4470 
STQ 375916 
 
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139023
4470
F = =31,1013 com gl igual a 1 e 53, respectivamente. 
 
Na hipótese de não haver relação entre despesas com alimentos e despesas totais, o 
valor p (valor da probabilidade) de se obter tal valor F é quase zero, sugerindo 
enfaticamente que se pode rejeitar a hipótese nula. 
 
 
5.3 (a) O ep do coeficiente angular é 
0,6417 0,0664
9,6536
= . 
O valor t sob H0 : β1 = 0, é 
0,7347 0,8797
0,8351
= . 
 
(b) O salário médio por hora aumenta em aproximadamente 64 centavos para um ano 
adicional de escolaridade, em média. 
 
(c) Aqui temos n = 13, então gl =11. Se a hipótese nula for verdadeira, o valor t 
estimado é 9,6536. A probabilidade de se obter tal t é extremamente pequena, o valor 
p é praticamente zero. Pode–se, portanto, rejeitar a hipótese nula de que o nível de 
escolaridade não afeta os ganhos por hora. 
 
(d) SQE = 74,9389; SQR = 8,8454; gl numerador = 1; gl denominador = 11; F = 
93,1929. O valor p de tal F sob a hipótese nula de que não há relação entre as duas 
variáveis é 0,000001, que é extremamente baixo. Pode–se, assim, rejeitar com grande 
segurança a hipótese nula. 
Observe que o valor F é aproximadamente o quadrado do valor t sob a mesma 
hipótese nula. 
 
(e) No caso bivariado, dado que H0 : β2 = 0, existe a seguinte relação entre o valor t e 
r2: 
 
2
2
2[ ( 2)
tr
t n
= + − ] . Como o t dado é 9,6536, obtemos: 
2
2
2
9,6536 0,8944
[9,6536 11]
r = ≈− . 
 
 
5.4 Literalmente, a hipótese afirma que não há correlação entre as duas variáveis. Por 
conseguinte, se pudermos provar que a covariância entre elas é zero, então a 
correlação terá de ser zero. 
 
 
5.5 (a) Para testar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é um, use o 
teste t. 
 
2
2
ˆ 1 1,0598 1 0,821ˆ 0,0728( )
t
ep
β
β
− −= = = 
Para gl = 238, esse valor t não é significativo nem para α = 10%. Conclui–se, 
portanto, que durante o período estudado as ações da IBM não foram voláteis. 
 
 
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(b) Uma vez que 
0,7264 2,4205
0,3001
t = = , é significativo no nível dos 2%, mas, 
economicamente, isso tem pouco significado prático. Interpretado literalmente, o valor 
de 0,73 para o intercepto implica que mesmo que o retorno do portfólio de mercado 
seja zero, o do título é de 0,73%. 
 
 
5.6 Sob a premissa da normalidade, 2βˆ é normalmente distribuída. Mas como uma 
variável normalmente distribuída é contínua, e como pela teoria das probabilidades 
sabemos que a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor 
específico é zero, não faz, portanto, nenhuma diferença o fato de a desigualdade ser 
forte ou fraca. 
 
5.7 Sob a hipótese de que β2 = 0, obtemos: 
2 2
2 22
2 2
2
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ( ) (1 )
( 2)
i i
i
x x
t
ep y r
n
β ββ
σβ= = = −
−
∑ ∑
∑ . 
Porque 
2 2
2 ˆ (1 )ˆ
( 2) ( 2)
i iu y
n n
σ −= =− −
∑ ∑ 2r
, da Equação (3.5.10), 
2
2
2 2 2
ˆ ( 2)
ˆ
(1 )
i
i
x n
y r
βσ −= −
∑
∑ , mas como 
2
2 2
2 2
ˆ i
i
x
r
y
β= ∑∑ , então 
2
2 2
ˆ i
i
x
r
y
β= ∑∑ , da Equação 
(3.5.6). 
Assim, 
2
2
2
ˆ( 2)
ˆ(1 )
ixr nt
r
β
σ
−= =− , e 
22
2
22
( 2) ˆ
ˆ1
i
2
xr nt F
r
β σ
−= = =−
∑
, da Equação (5.9.1). 
 
 
Problemas 
 
 
5.8 (a) Existe associação positiva na TPFT em 1972 e 1968, o que não é de 
surpreender, tendo em vista que desde a Segunda Guerra Mundial a TPFT das 
mulheres tem crescido regularmente. 
 
(b) Use o teste t unicaudal ou unilateral: 
0.6560 1 1,7542
0,1961
t −= = − . Para gl = 17, o valor 
t unicaudal com α = 5% é 1,740. Como o t estimado é significativo, podemos, nesse 
nível de significância, rejeitar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é 
igual ou maior que 1. 
 
(c) A TPFT média é: 0,2033+0,6560(0,58)≈0,5838. Para estabelecer um intervalo de 
confiança de 95% para essa previsão, use a fórmula: 0,5838 ± 2,11 (ep do valor 
médio da previsão), em que 2,11 é valor t crítico a 5% para gl = 17. Para obter o erro-
padrão do valor da previsão, empregue a Equação (5.10.2). Mas repare que, como os 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
autores não fornecem o valor médio da TPFT das mulheres em 1968, não poderemos 
calcular esse erro-padrão. 
 
(d) Não poderemos responder essa pergunta sem os dados reais porque precisamos 
dos valores dos resíduos para representá–los graficamente e obter o gráfico de 
probabilidade normal ou calcular o valor do teste Jarque-Bera. 
 
 
5.9 (a) Segue o gráfico: 
 
 
 
VERTICAL = REM 
HORIZONTAL = GAS 
 
(b) Remi =12129,37+3,3076 Gas 
 ep = (1197,351) (0,3117) r2 = 0,6968 SQR = 2,65E+08 
 
(c) Se a despesa por aluno aumentar um dólar, o salário médio aumentará 3,31 
dólares. O intercepto não tem significado econômico viável. 
(d) O intervalo de confiança de 95% para β2 é: 3,3076 ± 2(0,3117) = (2,6842 , 
3,931). Baseados neste IC, não rejeitaremos a hipótese nula de que o verdadeiro 
coeficiente angular é 3. 
 
(e) Os valores previstos médio e individual são os mesmos, a saber: 12129,37 + 
3,3076(5000) ≈ 28,667. O erro-padrão do valor médio previsto, usando a Equação 
(5.10.2), é 520,5117 (dólares) e o erro-padrão da previsão individual, usando a 
Equação (5.10.2), é 2382,337. Os intervalos de confiança são: 
 
1) previsão média: 28,667 ± 2(520,5117), isto é, ($27.626 , $29.708); 
2) previsão individual: 28,667 2(2382,337), isto é, ($23.902 , $33.432). ±
 
Como era de se esperar, o segundo intervalo é maior do que o primeiro. 
 
(f) O histograma dos resíduos pode ser aproximado a uma curva normal. A estatística 
Jarque-Bera é 2,1927, e seu valor p é de aproximadamente 0,33. Assim, baseados 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujaratineste teste, não rejeitamos a premissa da normalidade, presumindo que o tamanho da 
amostra (51 observações) seja razoavelmente grande. 
 
 
 
Série: Resíduos 
Amostra 1 51 
Observações 51 
 
Média 9,13E-12 
Mediana 
-
217,5192 
Máximo 5529,342 
Mínimo 
-
3847,976 
Desvio-
padrão 
2301,414 
Assimetria 0,499126 
Curtose 2,807557 
 
Jarque-Bera 2,196273 
Probabilidade 0,333492 
 
 
5.10 A tabela ANOVA para o setor de empresas é a seguinte: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
38685,997 1 38685,997 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
4934,138 37 133,355 
STQ 43620,135 
 
O valor F é 
38685 290,0978
133,355
= . 
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Sob a hipótese nula de que não existe relação entre salários reais e produtividade no 
setor de empresas, este valor F segue distribuição F com gl 1 e 37 no numerador e 
denominador, respectivamente. A probabilidade de obter tal F é 0,0000, ou seja, 
praticamente zero. Podemos, portanto, rejeitar a hipótese nula, o que não deve ser 
nenhuma surpresa. 
 
(b) A tabela ANOVA para o setor de empresas não-agrícolas é a seguinte: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
37887,455 1 37887,455 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
5221,585 37 141,129 
STQ 43109,04 
 
STQ = 43109,04; SQR = 5221,585; SQE = 37887,455. 
Sob a hipótese nula de que o coeficiente angular verdadeiro é zero, o valor F calculado 
é: 
37887,455 268,459
141,129
F = ≈ . 
 
A probabilidade de obter tal F seria praticamente zero, caso a hipótese nula fosse 
verdadeira, o que leva à sua rejeição. 
 
 
5.11 (a) O gráfico a seguir indica que a relação entre as duas variáveis não é linear. 
Inicialmente, à medida que aumentam as despesas com publicidade, o número de 
impressões também aumenta, mas depois decresce gradualmente. 
 
VERTICAL = IMPRESSÕES 
HORIZONTAL = GASTOS COM PUBLICIDADE 
 
(b) Em conseqüência de (a), não seria adequado ajustar um modelo de regressão 
bivariada a esses dados. Não temos, no momento, as ferramentas necessárias para 
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i iufazê-lo. Mais adiante mostraremos que um modelo do tipo 
2
1 2 2 3 2i iY X Xβ β β= + + + , 
em que Y são as impressões retidas e X2 as despesas com publicidade, pode ser 
apropriado. Este é um exemplo de modelo de regressão quadrático. Mas repare que 
ainda é um modelo linear nos parâmetros. 
 
(c) Os resultados obtidos usando um modelo linear às cegas são os seguintes: 
 
Yi = 22,163 + 0,3631 Xi 
ep = (7,089) (0,0971) r2=0,424. 
 
 
5.12 (a) O gráfico a seguir mostra que as taxas de inflação dos dois países evoluem 
juntas. 
 
 
VERTICAL = IPCEUA 
HORIZONTAL = IPCCAN 
 
(b) & (c) Segue tabela conforme entregue pelo pacote de software estatístico Eviews 
3: 
 
 
Amostra: 1973 
1997 
 
Observações 
incluídas: 25 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 6,251664 1,956380 3,195526 0,0040 
ICAN 0,940932 0,017570 53,55261 0,0000 
 
R-quadrado 0,992044 Variável dependente média 104,7560 
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R-quadrado 
ajustado 
0,991698 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
36,56767 
E.P. da regressão 3,331867 Critério info Akaike 5,321561 
Soma quad resíduos 255,3308 Critério Schwarz 5,419071 
Verossimilhança 
Log 
–64,51951 Estatística-F 2867,882 
Estat Durbin-
Watson 
0,264558 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
 
Esses resultados mostram que a relação entre as duas variáveis é positiva. Pode–se 
facilmente rejeitar a hipótese nula de que não há relação entre as duas variáveis, uma 
vez que o valor t obtido sob essa hipótese é 53,55, e é praticamente zero o valor p 
(probabilidade) de se obter tal t. 
 
Embora as duas taxas de inflação sejam positivamente relacionadas, não se pode disso 
deduzir causalidade, pois esta tem de ser inferida de alguma teoria econômica que a 
sustente. Lembre–se de que regressão não implica causalidade. 
 
 
5.13 (a) As duas regressões são as seguintes: 
 
Preço do ourot = 186,183 + 1,842 IPCt 
 ep = (125,403) (1,215) r2 = 0,150 
 t = (1,484) (1,515) 
 
 NYSEt = 102,060 + 2,129 IPCt 
 ep = (23,767) (0,230) r2 = 0,868 
 t = (–4,294) (9,247) 
(b) A estatística Jarque-Bera para a equação do preço do ouro é 4,751, com valor p de 
0,093. A estatística JB para o índice NYSE é 1,218 com valor p de 0,544. No nível de 
significância de 5%, não se pode rejeitar a premissa de normalidade em nenhum dos 
dois casos. 
 
(c) Como o coeficiente angular na regressão do preço do ouro não é estatisticamente 
diferente de zero, não faz nenhum sentido tentar saber se é diferente de um. 
 
(d) & (e) Com o procedimento habitual do teste t, obtemos: 
2,129 1 4,91
0,230
t −= = . Como 
esse valor excede o t crítico de 2,160, rejeitamos a hipótese nula. O coeficiente 
estimado é realmente maior que um. Para o período estudado, o investimento no 
mercado de ações foi provavelmente uma garantia contra a inflação. Foi, certamente, 
um hedge muito melhor que o investimento em ouro. 
 
 
5.14 (a) Não parece haver uma melhor que as outras, todos os resultados estatísticos 
são muito parecidos. Todos os coeficientes angulares são estatisticamente 
significativos no nível de confiança de 99%. 
 
(b) Não podemos usar os r2 consistentemente elevados para decidir qual é a melhor 
definição de moeda. Isso, entretanto, não quer dizer que o tipo de equação usada não 
faça diferença. 
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(c) Não se pode dizer isso a partir dos resultados da regressão. Mas, recentemente, o 
FED parece estar visando a M2. 
 
5.15 Escreva assim o modelo da curva de indiferença: 1 2
1
i i
i
Y u
X
β β⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Repare 
que agora β1 passou a ser o coeficiente angular e β2 o intercepto. Mas este é, ainda, 
um modelo de regressão linear, pois os parâmetros são lineares (veja o Capítulo 6). Os 
resultados da regressão são os seguintes: 
 
13, 2827 1,1009i
i
Y
X
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
ep = (1,2599) (0,6817) r2 = 0,6935. 
 
O coeficiente angular é estatisticamente significativo no nível de confiança de 92%. A 
taxa marginal de substituição (TMS) de Y por X é: 2
10,3287( )
i
Y
X X
∂ = −∂ . 
 
5.16 (a) Seja o modelo: , em que Y é a taxa de câmbio vigente e X 
a PPC implícita. Caso a PPC esteja certa, espera–se, a priori, que o intercepto seja zero 
e o coeficiente angular, um. 
1 2 2iˆY Xβ β= + +i iu
 
(b) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
Yi = 24,6338 + 0,5405 Xi 
ep = (19,5071) (0,0094) 
 t = (1,2628) (57,1016) r2=0,9917. 
 
Para testar a hipótese de que β2 = 1, aplicamos teste: 
0,5405 1 48,88
0,0094
t −= = − . Esse 
valor é muito significativo e leva à rejeição da hipótese nula. O coeficiente angular é, 
na verdade, menor que um. A partir da regressão dada, o leitor pode facilmente 
verificar que o coeficiente do intercepto não é diferente de zero, pois o valor t, sob a 
hipótese de que o intercepto verdadeiro é zero, é somente 1,2628. 
 
[N] Nota: Deveríamos, na verdade, testar simultaneamente as hipóteses (conjuntas) 
de que o intercepto é zero e o coeficiente angular, 1. No Capítulo 8, veremos como 
isso é feito. 
 
(c) Em primeiro lugar, como o índice Big Max é “tosco e engraçado”, não tem a menor 
importância. Mesmo assim, para os dados da amostra, os resultados não apóiam a 
teoria. 
 
 
5.17 Se Y for a representaçãoda pontuação em matemática dos homens e X a das 
mulheres, obtemos a seguinte regressão: 
 
iˆY = 175,975 + 0,714 Xi 
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ep = (20,635) (0,045) 
 t = (8,528) (15,706) r2 = 0,918. 
 
(b) A estatística Jarque-Bera é 1,0317 com um valor p de 0,5970. Assintoticamente, 
portanto, não podemos rejeitar a premissa de normalidade. 
 
(c) 
0,714 1 6,36
0,045
t −= = . Logo, podemos rejeitar a hipótese de que β2 = 1 com 99% de 
confiança. 
 
(d) A tabela ANOVA é: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
948,193 1 948,193 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
87,782 22 3,990 
STQ 1071,975 23 
 
Sob a hipótese nula de que β2 = 0, o valor F é 264,665. O valor p de se obter tal F é 
quase zero, o que leva à rejeição da hipótese nula. 
 
 
5.18 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
iˆY = 148,135 + 0,673 Xi 
ep = (11,653) (0,027) 
 t = (12,713) (25,102) r2 = 0,966. 
(b) A estatística de Jarque-Bera é 1,243 com um valor p de 0,5372. Podemos, 
portanto, rejeitar a hipótese nula de não-normalidade. 
(c) Sob a hipótese nula, obtemos: 
0,673 1 12,11
0,027
t −= = . O valor t crítico no nível de 5% 
é 2,074. Assim, podemos rejeitar a hipótese nula de que o coeficiente angular 
verdadeiro é 1. 
 
(d) Os valores de SQE, SQR e STQ são, respectivamente, 3157,586 (gl 1), 110,247 (gl 
22) e 32367,833 (gl 23). Sob a hipótese nula habitual, o valor F é 630,131. O valor p 
de se conseguir tal F é quase zero. Podemos, portanto, rejeitar a hipótese nula de que 
não há relação entre as duas variáveis. 
 
5.19 (a) O diagrama de dispersão e a linha de regressão estimada são os seguintes: 
 
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VERTICAL = IPC 
HORIZONTAL = IPP 
 
(b) Use o IPC, que representa os preços pagos pelos consumidores, como regressando, 
e o IPP, que representa os preços pagos pelos produtores, como regressor, porque o 
primeiro é o segundo com acréscimos. 
 
(c) & (d) A tabela a seguir, apresentada conforme entregue pelo pacote de software 
estatístico Eviews 3, fornece os dados necessários: 
 
Variável dependente: 
IPC 
 
Método: mínimos 
quadrados 
 
Data: 23/06/00 
Hora: 16:50 
 
Amostra: 1960 1999 
Observações 
incluídas: 40 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C –13,77536 3,710747 –3,712286 0,0007 
IPP 1,269994 0,042763 29,69864 0,0000 
R-quadrado 0,958696 Variável dependente média 86,17000 
R-quadrado ajustado 0,957609 
Desvio–padrão da variável 
dependente 
48,02523 
E.P. da regressão 9,887937 Critério info Akaike 7,469215 
Soma quad resíduos 3715,309 Critério Schwarz 7,553659 
Verossimilhança Log –147,3843 Estatística-F 882,0093 
Estat Durbin-Watson 0,093326 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
O valor t estimado do coeficiente angular é 29,6986 sob a hipótese nula de que não há 
relação entre os dois índices. O valor p (probabilidade) de se obter tal valor t é quase 
zero, o que indica a rejeição da hipótese nula. 
 
A seguir estão o histograma e o teste Jarque-Bera baseados nos resíduos da regressão 
anterior. 
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Série: Resíduos 
Amostra 1960 1999 
Observações 40 
 
Média 7,11E-15 
Mediana 3,781548 
Máximo 21,84709 
Mínimo 
–
19,05008 
Desvio-
padrão 
9,760345 
Assimetria 
–
0,119726 
Curtose 2,620663 
 
Jarque-Bera 0,335390 
Probabilidade 0,845612 
 
A estatística Jarque-Bera é 0,3335 com um valor p de 0,8456. Não podemos, portanto, 
rejeitar a premissa de normalidade. O histograma também mostra que os resíduos têm 
distribuição razoavelmente simétrica. 
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CAPÍTULO 6 
EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO LINEAR DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 
 
6.1 (a) Verdadeiro. Repare que a fórmula MQO padrão para estimar o intercepto é: 
 
1ˆβ = (média do regressando – 2βˆ média do regressor). 
 
Mas quando X e Y estão em formato de desvio, seus valores são sempre zero. Daí o 
intercepto estimado também ser zero nesse caso. 
 
 
6.2 (a) & (b) Está incluído na primeira equação um termo de intercepto que, por não 
ser estatisticamente significativo no nível de, digamos, 5%, pode ser retirado do 
modelo. 
 
(c) Para os dois modelos, o aumento de um ponto percentual na taxa de retorno 
mensal do mercado leva a um aumento médio de cerca de 0,76 ponto percentual na 
taxa de retorno mensal das ações ordinárias da Texaco ao longo do período estudado. 
 
(d) Conforme tratamos no Capítulo 6 do livro-texto, esse modelo representa a linha 
característica da teoria do portfólio. O modelo relaciona, no caso em tela, o retorno 
mensal de ações da Texaco ao retorno mensal do mercado, como representado por um 
amplo índice de mercado. 
 
(e) Não, os r2 não são comparáveis. O do modelo sem intercepto é o r2 bruto. 
 
(f) Como a amostra é relativamente grande, podemos usar o teste de normalidade de 
Jarque-Bera. A estatística JB é quase a mesma para os dois modelos, isto é, 1,12, e o 
valor p de se obter tal valor JB é de aproximadamente 0,57. Portanto, não se pode 
rejeitar a hipótese de que os termos de erro seguem uma distribuição normal. 
 
(g) De acordo com o comentário de Theil visto no capítulo, se o termo do intercepto 
estiver ausente do modelo, então passar a regressão pela origem pode resultar em 
estimativa muito melhor do coeficiente angular, como ocorre nesse caso. 
 
 
6.3 (a) É um modelo de regressão linear, pois é linear nos parâmetros. 
 
(b) Defina Y* = (1/Y) e X* = (1/X) e faça uma regressão MQO de Y* contra X*. 
 
(c) Quando X tende ao infinito, Y tende a (1/ β1). 
 
(d) Pode ser que este modelo seja adequado para explicar o baixo consumo de um 
produto, como um bem inferior, quando a renda aumenta. 
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6.4 
 
 
 
SLOPE = 1 - INCLINAÇÃO = 1; SLOPE > 1 INCLINAÇÃO > 1; SLOPE < 1 INCLINAÇÃO 
< 1 
 
 
6.5 Para o modelo I, sabemos que 2 2
ˆ i i
i
x y
x
β = ∑∑ , em que X e Y estão em formato de 
desvio. 
De forma semelhante, obtemos para o modelo II: 
 
* *
2 2*2 2 2 2 2
( / )( / ) ( ) / ˆˆ
( / ) /
i x i y i i x yi i x i i x
i i x i x y i
x S y S x y S Sx y S x y S
x x S x S S x yS
α β= = = = =∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ , o que demonstra 
que os coeficientes angulares não são independentes da mudança de escala. 
 
 
6.6 (a) Pode–se escrever o primeiro modelo como: *1 1 2 2ln( ) ln( )i iwY w X uα α i= + + , ou 
seja, 
 
*
1 1 2 2 2ln ln ln lniw Y w Xα α α+ = + + +i iu
*
i iu
)w
, aplicando propriedades dos logaritmos. Como 
os w são fatores de escala constantes, podemos simplificar esse modelo assim: 
 
*
1 2 2 1 2 2ln ( ln ln ) lni i iY w w X u A Xα α α α= + − + + = + + , em que 
1 2 2 1( ln lnA wα α= + − . 
 
 
 
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Comparando este com o segundo modelo, constataremos que são iguais, a não ser 
pelo intercepto. Dessa forma, os coeficientes angulares estimados também serão 
iguais, apenas com interceptos estimados diferentes. 
 
(b) O r2 é o mesmo para ambos os modelos. 
 
 
6.7 A Equação (6.6.8) é um modelo de taxa de crescimento, ao passo que a (6.6.10) é 
um modelo de tendência linear. A primeira fornece a mudança relativa no regressando, 
e a segunda, a mudança absoluta. Para fins de comparação, a mudança relativa deve 
ser mais significativa. 
 
 
6.8 A hipótese nula é de que o coeficiente angular verdadeiro é 0,005. A hipótese 
alternativa pode ser uni ou bilateral. Supondoque usemos esta última, o coeficiente 
angular estimado é 0,00743. Aplicando o teste t, obtemos: 
0,00743 0,005 14,294
0,00017
t −= = , um valor muito significativo. Podemos, portanto, rejeitar 
a hipótese nula. 
 
 
6.9 Pode-se obter assim: 18,5508/3,2514 = 5,7055%, aproximadamente. 
 
 
6.10 Conforme tratado na Seção 6.7 do texto, o modelo de Engel representado na 
Figura 6.6(c) deve ser adequado à maioria dos bens. Assim, a escolha deve recair 
sobre o segundo modelo dado no exercício. 
 
 
6.11 O modelo, como está, não é linear nos parâmetros. Mas podemos aplicar um 
“macete” para transformá–lo em linear: tire o logaritmo natural da razão entre Y e (Y–
1). Ou seja, faça a seguinte regressão: 
 
1 2ln 1
i
i
i
Y X
Y
β β= +− . 
 
Esse modelo é conhecido como logit, e será discutido no capítulo sobre variáveis 
dependentes qualitativas. 
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6.12 (a) 
 
 
(b) 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
6.13 
100 12,0675 16,2662
100 i iY X
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
 
 ep = (0,1596) (1,3232) r2 = 0,9497 
 
 
 
 
 
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À medida que X cresce indefinidamente, 
100
100 Y
⎛ ⎞⎜ −⎝ ⎠⎟ se aproxima do valor limite de 
2,0675, o que significa que Y tende ao valor limite aproximado de 51,6. 
 
 
6.14 Os resultados da regressão são: 
 
log V
L
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ –0,4526 + 1,3338logW 
 ep = (1,3515) (0,4470) r2 = 0,4070. 
 
Para melhor testar a hipótese nula, aplique o teste t como segue: 
1,3338 1 0,7468
0, 4470
t −= = . 
 
Para gl 13, o valor t crítico a 5% (bicaudal) é 2,16. Não se pode, portanto, rejeitar a 
hipótese nula de que a elasticidade de substituição verdadeira entre capital e trabalho 
seja 1. 
 
 
6.15 (a) Se estivermos convictos, a priori, de que havia uma relação um para um 
rigorosa entre os dois deflatores, o modelo adequado seria aquele sem o intercepto. 
 
(b) Modelo I: = 516,0898 + 0,5340 Xi iˆY
 ep = (40,5631) (0,0217) r2 = 0,9789. 
 
Modelo II: = 0,7950 iˆY
 ep = (0,0255 r2 = 0,7161* 
 
* Nota: Este r2 não é diretamente comparável ao anterior. 
 
Como o intercepto é estatisticamente significativo no primeiro modelo, ajustar o 
segundo resultará em viés de especificação. 
 
(c) Pode–se usar o modelo duplo-log. 
 
 
6.16 Seguem os resultados da regressão: 
 
*
iˆY = 0,9892 
*
iX 
ep = (0,0388) r2 = 0,9789 
 
A cada incremento de 1 no deflator do PIB para as importações, há, em média, um 
incremento de 0,9892 no deflator do PIB para bens produzidos internamente. Repare 
que esse resultado é comparável àquele do exercício anterior quando se nota a relação 
entre os coeficientes angulares das regressões padronizadas e não-padronizadas. 
Conforme a 
 
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Equação (6.3.8) do livro–texto, *2 2
x
y
S
S
β β ⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠
⎟⎟ , em que * indica o coeficiente angular da 
regressão padronizada. No problema anterior, encontramos 2βˆ = 0,5340. Sy e Sx são 
dados como 346 e 641 respectivamente. Assim, *2 2
6410,5340 0,9892
346
x
y
S
S
β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. 
 
 
6.17 Para obter a taxa de crescimento das despesas com bens duráveis, podemos 
ajustar o modelo log-lin, cujos resultados são os seguintes: 
 
ln DESPDURt = 6,2217 + 0,0154 t 
 ep = (0,0076) (0,000554) r2 = 0,9737. 
 
Essa regressão mostra que, ao longo do período estudado, a taxa trimestral de 
crescimento das despesas com bens duráveis foi de aproximadamente 1,5%. Ambos os 
coeficientes estimados são individualmente significativos em termos estatísticos, uma 
vez que os valores p são extremamente baixos. Não seria muito lógico fazer neste caso 
uma regressão duplo-log, tal como: 
ln DESPDURt = β1 + β2 ln tempo + ut.. 
 
Uma vez que o coeficiente angular deste modelo é o coeficiente de elasticidade, qual é 
o significado da afirmação de que um aumento de 1% no tempo leva a um aumento de 
β2% nas despesas com bens duráveis? 
 
 
6.18 Os resultados correspondentes para o setor de bens não-duráveis são: 
 
ln DESPNAODURt = 7,1929 + 0,0062 t 
 ep = (0,0021) (0,00015) r2 = 0,9877. 
 
Pode–se ver por esses resultados que, ao longo do período estudado, a taxa trimestral 
de crescimento das despesas com bens não-duráveis foi de aproximadamente 0,62%. 
 
Comparando os resultados das regressões dos Problemas 6.17 e 6.18, parece que as 
despesas com bens duráveis aumentaram a uma taxa bem maior do que aquelas com 
bens não-duráveis ao longo do período 1993:01 a 1998:03, fato que, tendo em vista 
um dos mais longos períodos de expansão econômica na história dos Estados Unidos, 
não é nenhuma surpresa. 
 
 
6.19 O diagrama de dispersão das impressões retidas em relação às despesas com 
publicidade é o seguinte: 
 
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VERTICAL = IMPRESSÕES 
HORIZONTAL = DESPPUB 
 
Embora a relação entre as duas variáveis pareça ser positiva, não está claro qual curva 
se ajustará aos dados. Fornecemos a seguir uma tabela com resultados de regressões 
baseadas em alguns modelos. 
 
 
 
Modelo Intercepto Coef. angular r2 
Linear 22,1627 0,3631 0,4239 
 (3,1261) (2,7394) 
Recíproco 58,3997 -314,6600 0,3967 
 (78,0006) (-3,5348) 
Duplo-log 1,2999 0,6135 0,5829 
 (3,686) (5,1530) 
Log 
recíproco 
3,9955 -10,7495 0,5486 
 (21,7816) (-4,8053) 
 
Nota: Os números entre parênteses são os valores t estimados. Em todas as 
regressões, o regressando é impressões e o regressor é despesas com publicidade. 
 
Deixamos ao leitor a comparação entre os vários modelos. Repare que os valores r2 
dos dois primeiros são comparáveis, pois o regressando é o mesmo para ambos. Da 
mesma forma, são comparáveis os r2 dos dois últimos modelos. Por quê? 
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CAPÍTULO 7 
ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA: O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO 
 
 
 
 
7.1 Os resultados das regressões são: 
 
1 2
1 2
1 2 3
ˆ ˆ3,00; 3,50
ˆ ˆ4,00; 1,357
ˆ ˆ ˆ2,00; 1,00; 1,00
α α
λ λ
β β β
= − = −
= = −
= = = −
 
 
(a) Não. Dado que o modelo (3) é o verdadeiro, 2αˆ é um estimador tendencioso de 
2β . 
(b) Não. Pela mesma razão de (a), 3ˆλ é um estimador tendencioso de 3β . 
 
A lição aqui é que uma equação mal especificada pode levar à estimação tendenciosa 
dos parâmetros do modelo verdadeiro. 
 
 
7.2 Aplicando as fórmulas dadas no texto, os resultados da regressão são os 
seguintes: 
 
iˆY = 53,1612 + 0,727X2i + 2,736X3i 
ep= (0,049) (0,849) 2R = 0,9988 2R = 0,9986. 
 
 
7.3 Omitindo o subscrito de observação i por conveniência, recorde que: 
 
2 2
2 3 3 2 3 2 3 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 2 3 3
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) /( )ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) /( )
yx x yx x x yx yx x x x
x x x x x x x x
β − −= =− −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = 
 
2 3
2
2 23 2 3
( ) ( )
( ) (
yx yx b23
)x b x x
−= −
∑ ∑
∑ ∑ , aplicando 2 323 23
( )
( )
x x
b
x
= ∑∑ , 2 23 32 2 2 23 3
( )ˆ
( )
y x b x
x x b x
β −= −
∑
∑ . 
 
 
7.4 Como foi informado que , gere, por exemplo, 25 observações a partir 
de uma distribuição normal com esses parâmetros, o que a maioria dos softwares faz 
normalmente. Dessas observações, calcule a variância da amostra como 
(0, 4)iu N�
2
2 ( )
24
iX XS
−= ∑ , em que Xi é o valor observado de ui na amostrade 25 observações. 
Repita este exercício, digamos, outras 99 vezes, para completar 100 experimentos. Ao 
final, haverá 100 valores de S2. Tire a média desses valores, que deverá estar em 
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torno de σ2 = 4. Às vezes, podem ser necessárias mais de 100 amostras para se 
conseguir uma boa aproximação. 
 
 
7.5 A partir da Equação (7.11.7) do texto, temos 2 2 2 213 13 12.3(1 )R r r= + − r . Logo, 
2 2
2 13
12.3 2
131
R rr
r
−= − . 
 
Este é o coeficiente de determinação parcial, e pode-se interpretá-lo como o 
coeficiente que descreve a proporção da variação da variável dependente não 
explicada pela variável X3, mas explicada pela inclusão de X2 ao modelo. 
 
 
7.6 Pode-se escrever a equação dada como: 
X1 = (–α2 / α1)X2 + (–α3 / α1)X3, ou 
X2 = (–α1 / α2)X1 + (–α3 / α2)X3, ou 
X3 = (–α1 / α3)X1 + (–α2 / α3)X2 . 
 
Assim, os coeficientes de regressão parcial seriam os seguintes: 
 
β12.3 = –(α2 / α1); β 13.2 = –(α3 / α1) 
β21.3 = –(α1 / α2); β 23.1 = –(α2 / α3) 
β31.2 = –(α1 / α3); β 32.1 = –(α2 / α3). 
Relembrando a Questão 3.6, temos 2 112.3 12.3 21.3
1 2
( )( )( )( ) 1
( )( )
r α αβ β α α
− − 1= = = = ± . 
 
 
7.7 (a) Não. O valor absoluto de r não pode ser maior que um. Aplicando à Equação 
(7.11.2) os dados fornecidos, obteremos r12.3 = 2,295, o que, logicamente, é 
impossível. 
 
(b) Sim. Seguindo o mesmo procedimento de (a), encontraremos r12.3 = 0,397, um 
resultado possível. 
 
(c) Sim. Da mesma forma pode-se demonstrar que r12.3 = 0,880, outro resultado 
possível. 
 
 
7.8 Se excluirmos do modelo a variável anos de experiência (X3), o coeficiente de 
escolaridade (X2) será tendencioso, e a natureza do viés dependerá da correlação entre 
X2 e X3. O erro-padrão, a soma residual dos quadrados e R2 serão afetados em 
conseqüência dessa exclusão. Este é um caso de viés de variável excluída. 
 
 
7.9 Os coeficientes angulares nos modelos duplo log fornecem estimativas diretas da 
elasticidade (constante) da variável do lado esquerdo em relação à variável do lado 
direito. Neste caso: 
 
 
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2
2 2 2
ln /
ln /
Y Y Y
X X X
β∂ ∂= =∂ ∂ e 33 3 3
ln /
ln /
Y Y Y
X X X
β∂ ∂= =∂ ∂ . 
 
 
7.10 (a) & (b) Se multiplicarmos X2 por 2, verificaremos pelas Equações (7.4.7) e 
(7.4.8) do texto que os coeficientes angulares não serão afetados. Se, por outro lado, 
multiplicarmos Y por 2, os coeficientes angulares, assim como os interceptos e seus 
erros-padrão, serão multiplicados por 2. Sempre tenha em mente as unidades em que 
o regressando e os regressores são medidos. 
 
7.11 A partir da Equação (7.11.5), sabemos que: 
2 2
2 12 13 12 13 3
2
23
2
1
r r r r rR
r
+ −= − . Portanto, 
quando r23 = 0, isto é, não há correlação entre X2 e X3, 
2 2
12 13
2R r r= + , ou seja, o 
coeficiente de determinação múltiplo é a soma dos coeficientes de determinação na 
regressão de Y contra X2 e na de Y contra X3. 
 
7.12 (a) Reescreva o modelo B como: 
*
1 2 2 3 3 1 2 2 3 3(1 )i t t t tY X X u Xβ β β β β β= + + + + = + + +t tX u 2, em que *2 (1 )β β= + . Os dois 
modelos são, portanto, similares. Sim, os interceptos nos modelos são iguais. 
 
(b) As estimativas de MQO do coeficiente angular de X3 serão iguais nos dois modelos. 
 
(c) *2 2(1 ) 2β β α= + = . 
 
(d) Não, porque os regressandos são diferentes nos dois modelos. 
 
 
7.13 (a) Aplicando MQO, obtemos: 
2
2 22 2 2 2
( )( ) ( ) ˆˆ 1i i i i i i i i
i i i i
y x x z x x z x
x x x x
α β−= = = − = −∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ . 
 
Ou seja, o coeficiente angular da regressão de poupança contra renda (quer dizer, a 
propensão marginal a poupar) é igual a um menos o coeficiente angular da regressão 
de consumo contra renda (quer dizer, a propensão marginal a consumir). Dito de outra 
forma, a soma das duas propensões marginais é igual a 1, como, aliás, não poderia 
deixar de ser, pois a receita total é igual ao total das despesas de consumo mais o 
total das poupanças. A propósito, repare que 1 1ˆαˆ β= − . 
 
(b) Sim. A SQR para a função consumo é: 21 2ˆ ˆ( iY α α− − )iX∑ . Agora, substitua 
( )i iX Y− por iZ , 1 1ˆαˆ β= − , e 2 ˆˆ (1 )2α β= − e verifique que as duas SQR são iguais. 
 
(c) Não, porque os dois regressandos não são iguais. 
 
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7.14 (a) Conforme visto na Seção 6.9, para aplicar o modelo normal de regressão 
linear clássico (MNRLC), é necessário presumir que ln ui � N(0,σ2). Depois de estimar o 
 
modelo Cobb-Douglas, obtenha os resíduos e submeta-os ao um teste de normalidade, 
tal como o Jarque-Bera. 
 
(b) Não. Como vimos na Seção 6.9, iu � log – normal 
2 2 2/ 2[ , ( 1e e eσ σ σ )]− . 
 
 
7.15 (a) As equações normais seriam: 
 
2
2 2 2 3 2i i i i iY X X X Xβ β= +∑ ∑ ∑ 3
3
 
2
3 2 2 3 3i i i i iY X X X Xβ β= +∑ ∑ ∑ . 
 
(b) Não, pela mesma razão do caso de duas variáveis. 
 
(c) Sim, essas condições são válidas. 
 
(d) Dependerá da teoria subjacente. 
 
(e) Isso é uma generalização simples das equações normais dadas anteriormente. 
 
 
Problemas 
 
 
7.16 (a) Modelo linear: 
 
tˆY = 10816,04 – 2227,704X2i + 1251,141X3i + 6,283X4i – 197,399X5i 
ep = (5988,348) (920,538) (1157021) (29,919) (101,156) R2 
= 0,835 
 
Neste modelo, os coeficientes angulares medem a taxa de variação de Y em relação à 
variável pertinente. 
 
(b) Modelo log–linear: 
 
ln = 0,627 – 1,274 lnX2i + 0,937 lnX3i + 1,713 lnX4i – 0,182 lnX5i tˆY
ep = (6,148) (0,527) (0,659) (1,201) (0,128) R2 = 
0,778 
 
Neste modelo, todos os coeficientes angulares parciais são elasticidades parciais de Y 
em relação à variável pertinente. 
 
(c) Espera-se que a elasticidade preço própria seja negativa, a preço cruzada seja 
positiva para bens substitutos e negativa para bens complementares, e a elasticidade 
renda seja positiva, já que rosas são um bem normal. 
 
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(d) A fórmula geral para a elasticidade das equações lineares é: Elasticidade = 
i
i
XY
X Y
∂
∂ , em que iX é o regressor pertinente. 
 
 
(e) Os dois modelos apresentam resultados semelhantes. Uma vantagem do modelo 
log-linear é que os coeficientes angulares fornecem estimativas diretas da elasticidade 
(constante) da variável pertinente em relação ao regressor sob avaliação. Mas tenha 
em mente que os R2 não são comparáveis diretamente. 
 
 
7.17 (a) A priori, todas as variáveis parecem relevantes para explicar a atividade de 
prospecção de petróleo. Espera-se que todos os coeficientes angulares sejam positivos, 
exceto o da variável de tendência, que pode ser positivo ou negativo. 
 
(b) O modelo estimado é: 
 
iˆY = -37,186 + 2,775X2i + 24,152X3i - 0,011X4i - 0,213X5i 
ep = (12,877) (0,57) (5,587) (0,008) (0,259) 2R = 0,656 
2R = 0,603. 
 
(c) As variáveis preço por barril e produção interna são estatisticamente significativas 
no nível de 5%, e seus sinais estão de acordo com as expectativas. As outras variáveis 
não são estatisticamente diferentes de zero. 
 
(d) Outra especificação pode ser o modelo log-linear que, além de fornecer estimativas 
diretas das elasticidades, pode amarrar características não-lineares (nas variáveis), se 
houver. 
 
 
7.18 (a) Os resultados da regressão são: 
 
iˆY = 19,443 + 0,018X2i - 0,284X3i + 1,343X4i + 6,332X5i 
ep = (3,406) (0,006) (0,457) (0,259) (3,024) 2R = 0,978 2R = 0,972 
2R modificado = 0,734. 
 
(b) A priori, esperava-se que todos os coeficientes angulares fossem positivos. À 
exceção do coeficientepara as vendas militares dos Estados Unidos, todas as outras 
variáveis são estatisticamente significativas no nível de 5%, e seus sinais estão de 
acordo com as expectativas. 
 
(c) Despesas federais globais e algum tipo de variável de tendência podem ser muito 
importantes. 
 
 
7.19 (a) O modelo (5) parece ser o melhor porque abrange todas as variáveis 
economicamente relevantes, inclusive o preço real dos substitutos da carne de frango, 
o que deve ajudar a minorar o possível problema de multicolinearidade entre o preço 
 
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da carne bovina e o da carne suína existente no modelo (4). O modelo (1) não tem 
informações sobre os substitutos, e elas são limitadas nos modelos (2) e (3). 
 
(b) O coeficiente de lnX2 representa a elasticidade de renda, e o de lnX3 representa a 
de preço próprio. 
 
(c) O modelo (4) considera as carnes suína e bovina como bens substitutos, ao passo 
que o (2) considera apenas a suína. 
 
(d) Pode haver um problema de multicolinearidade entre o preço da carne bovina e o 
da suína. 
 
(e) Sim. Isso deve amenizar o problema da multicolinearidade. 
 
(f) Devem ser bens substitutos porque competem com a carne de frango como produto 
de consumo. 
 
(g) Os resultados da regressão do modelo (5) são os seguintes: 
 
ln = 2,030 + 0,481 lnX2t - 0,351 lnX3t - 0,061 lnX6t tˆY
 ep = (0,119) (0,068) (0,079) (0,130) 2R = 0,980 2R = 0,977 
2R modificado = 0,810. 
 
As elasticidades renda e preço próprio têm os sinais corretos. 
 
(h) A conseqüência de estimar o modelo (2) seria a possibilidade de tendenciosidade 
dos estimadores devido a erro de especificação do modelo. Esse assunto é detalhado 
no Capítulo 13. 
 
 
7.20 (a) Ceteris paribus1, as interpretações são as seguintes, em média: 
 
• um aumento de 1% na taxa de desemprego leva a um aumento de 0,34% na 
taxa de desistência do emprego; 
• um aumento de 1% no percentual de empregados com menos de 25 anos leva 
a um aumento de 1,22% na taxa de desistência do emprego; 
• um aumento de 1% na razão de empregados na indústria no trimestre leva a 
um aumento de 1,22% na taxa de desistência do emprego; 
• um aumento de 1% no percentual de mulheres empregadas leva a um aumento 
de 0,80% na taxa de desistência do emprego; 
• ao longo do período estudado, a taxa de desistência do emprego baixou à razão 
de 0,54% ao ano. 
 
(b) Sim, espera–se que a taxa de desistência e a de desemprego estejam 
negativamente relacionadas. 
 
 
 
 
1 Ceteris paribus – Expressão latina muito usada em Economia e que significa “Todos os outros fatores se mantendo 
constantes”. 
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(c) À medida que aumenta a contratação de pessoas com menos de 25 anos, a 
expectativa é que a taxa de desistência aumente por causa da rotatividade entre os 
trabalhadores mais jovens. 
 
(d) A taxa de queda é 0,54%. Motivos prováveis para essa queda seriam as melhorias 
nas condições de trabalho e nos benefícios de pensões ao longo do tempo. 
 
(e) Não. O significado de “baixo” é relativo. 
 
(f) Como os valores t são dados, podemos facilmente calcular os erros-padrão. Sob a 
hipótese nula de que β1 verdadeiro é zero, temos a relação: 
ˆ ˆˆ( )ˆ( )
i i
i
i
t ep
tep
β βββ= ⇒ = . 
 
7.21 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
�
2lnM = 1,2394 + 0,5243 ln PIBR – 0,0255 ln TJCP 
 ep = (0,6244) (0,1445) (0,0513) R2 = 0,7292. 
 
Os resultados da regressão com a TJLP são os seguintes: 
 
�
2ln tM = 1,4145 + 0,4946 ln PIBRt – 0,0516 ln TJLPt 
 ep = (1,3174) (0,2686) (0,1501) R2 = 0,7270. 
 
As elasticidades renda (0,5243 ou 0,4946) e taxa de juros (–0,0255 ou –0,0516) não 
são muito diferentes, mas, como veremos no Capítulo 8, a regressão usando a TJCP 
apresenta melhores resultados estatísticos. 
 
(b) A razão M/PIB é conhecida na literatura como o k da equação de Cambridge 
(Cambridge k), que representa a proporção da renda que as pessoas querem ter em 
dinheiro. É uma relação sensível à taxa de juros, uma vez que esta representa o custo 
de se guardar o dinheiro, o qual em geral não produz grandes ganhos com juros. 
Seguem os resultados da regressão: 
 
2ln
t
M
PIB
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠⎟ = 3,4785 – 0,1719 ln TJCPt 
 ep = (0,0780) (0,0409) r2 = 0,5095. 
 
2ln
t
M
PIB
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠⎟ = 3,8318 – 0,3123 ln TJLPt 
 ep = (0,1157) (0,0532) r2 = 0,6692. 
 
Sendo ambas as regressões bivariadas, podemos verificar que, em termos estatísticos, 
o Cambridge k está inversamente relacionado à taxa de juros, conforme as 
expectativas. Em termos numéricos, é mais sensível às taxas de longo prazo do que às 
de curto prazo. Como a variável dependente é a mesma nos dois modelos, pode-se ver 
que o r2 obtido com a TJLP apresenta um ajuste muito melhor. 
(c) A resposta está no Exercício 8.29. 
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7.22 (a) Seguem os resultados do ajuste da função de produção Cobb-Douglas 
fornecidos pelo software Eviews 3: 
 
 
Variável dependente: 
LOG(PRODUÇÃO) 
 
Amostra: 1961 1987 
Observações incluídas: 
27 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -11,93660 3,211064 -3,717335 0,0011 
LOG(MÃO-DE-OBRA) 2,328402 0,599490 3,883972 0,0007 
LOG(CAPITAL) 0,139810 0,165391 0,845330 0,4063 
R-quadrado 0,971395 Variável dependente média 4,493912 
R-quadrado ajustado 0,969011 
Desvio–padrão da variável 
dependente 
0,461432 
E.P. da regressão 0,081229 Critério info Akaike -2,078645 
Soma quad resíduos 0,158356 Critério Schwarz -1,934663 
Verossimilhança Log 31,06171 Estatística-F 407,5017 
Estat Durbin-Watson 0,373792 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
As elasticidades estimadas produção/mão-de-obra e produção/capital são positivas, 
como era de se esperar. Mas veremos no próximo capítulo que os resultados, 
economicamente falando, não fazem sentido porque o capital não tem relação com a 
produção, fato que, se verdadeiro, seria surpreendente. Como veremos, o problema 
com os dados talvez seja a colinearidade. 
 
(b) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: 
LOG(PRODUTIVIDADE) 
 
Data: 29/07/2000 Hora: 18:11 
Amostra: 1961 1987 
Observações incluídas: 
27 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -1,155956 0,074217 -15,57533 0,0000 
LOG(RELAÇÃO 
CAP/MDO) 
0,680756 0,044535 15,28571 0,0000 
R-quadrado 0,903345 Variável dependente média -2,254332 
R-quadrado ajustado 0,899479 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,304336 
E.P. da regressão 0,096490 Critério info Akaike -1,767569 
Soma quad resíduos 0,232758 Critério Schwarz -1,671581 
Verossimilhança Log 25,86218 Estatística-F 233,6528 
Estat Durbin-Watson 0,263803 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
A elasticidade de produção/mão-de-obra (isto é, produtividade da mão-de-obra) em 
relação à razão capital/mão-de-obra é de aproximadamente 0,68, indicando que se 
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esta aumenta em 1%, a produtividade sobe cerca 0,68%, em média. Um das principais 
características das economias desenvolvidas é uma relação capital/mão-de-obra 
relativamente elevada. 
 
 
7.23 Repare que usamos todas as 528 observações para estimar a regressão cujos 
resultados são mostrados a seguir: 
 
 
 
Variável dependente: 
LOG(SALÁRIOM) 
 
Amostra: 1 528 
Observações incluídas: 
528 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 4,6616611,954190 2,385470 0,0174 
LOG(ESTUDO) -3,165721 1,566685 -2,020650 0,0438 
[LOG(ESTUDO)]2 0,836412 0,313436 2,668524 0,0079 
R-quadrado 0,157696 Variável dependente média 2,063647 
R-quadrado ajustado 0,154488 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,521224 
E.P. da regressão 0,479275 Critério info Akaike 1,372579 
Soma quad resíduos 120,5946 Critério Schwarz 1,396835 
Verossimilhança Log -3593609 Estatística-F 49,14535 
Estat Durbin-Watson 1,909008 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
Este é um modelo duplo-log, e, portanto, os coeficientes angulares medem 
elasticidade. Os resultados sugerem que o percentual de mudança dos salários por 
hora diminui à medida que aumentam os anos de estudo, mas a uma taxa maior, ou 
seja, torna-se menos negativa. 
 
(b) Não é possível estimar esse modelo devido à perfeita colinearidade. É fácil ver isso 
com as propriedades dos logaritmos: log(estudo)² = 2log(estudo). 
 
7.24 Este exercício é para ser feito em aula. Observe que sua resposta dependerá do 
número de repetições que fizer. Quanto maior esse número, melhor será a 
aproximação. 
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CAPÍTULO 8 
ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA: O PROBLEMA DA INFERÊNCIA 
 
 
8.1 (a) No primeiro modelo, em que vendas é uma função linear de tempo, foi 
postulado que a taxa de mudança daquela (dY/dt) é constante e igual a β1, qualquer 
que seja o tempo t. No segundo modelo, a taxa de mudança não é constante porque 
(dY/dt) = α1 + 2 α2t, que depende de t. 
 
(b) O mais simples a fazer é representar Y em relação ao tempo. Se o gráfico 
resultante ficar parecido com uma parábola, talvez o modelo quadrático seja 
adequado. 
 
(c) Esse modelo pode ser apropriado para descrever o perfil dos ganhos de um 
indivíduo. Tipicamente, quando se entra no mercado de trabalho, os ganhos iniciais 
são baixos. Aumentam em seguida devido à experiência acumulada com o tempo, mas 
começam a diminuir depois de certa idade. 
 
(d) Procure na Internet sites de fabricantes de automóveis, revistas especializadas 
como a Motor Magazine ou associações como a American Automobile Association para 
encontrar os dados relativos à venda de automóveis nos Estados Unidos nos últimos 
20 anos. 
 
 
8.2 
( )
/( )
novo velho
novo
SQE SQE NRF
SQR n k
−= −
/
, Equação (8.5.16) do texto, em que NR é o número 
de novos regressores. Divida o numerador e o denominador por STQ e recorde que 
2 SQER
STQ
= e que 2(1 ) SQRR
STQ
− = . 
Substituindo essas expressões em (8.5.16), obteremos (8.5.18). 
 
 
8.3 Esse é um problema de definição. Conforme mencionado no capítulo, a regressão 
sem restrições é conhecida como maior, e aquela com restrições, como menor. A 
diferença entre elas é o número de regressores incluídos nos modelos. 
 
 
8.4 Nas estimações MQO, minimizamos a SQR sem aplicar nenhuma restrição aos 
estimadores. Desse modo, a SQR nesse caso representa a mínima verdadeira, ou 
SQRSR. Quando aplicamos restrições a um ou mais parâmetros, podemos não obter a 
SQR mínima absoluta devido às restrições impostas. (Os que estudam Matemática se 
recordarão dos métodos de otimização com e sem restrições.) Então, SQRR>SQRSR, a 
menos que as restrições sejam válidas, caso em que os dois termos serão iguais. 
 
Relembrando que 2 1 SQRR
SQT
= − , temos 2 21 1SR RSR RSQR SQRR RSQT SQT= − ≥ = − . 
 
 
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Repare que quer usemos a regressão com restrições quer aquela sem restrições, a 
SQT permanece a mesma, já que é simplesmente igual a 2
1
( )
n
iY Y−∑ . 
 
8.5 (a) Seja β* = (β2 + β3 – 1) o coeficiente de log K. Teste a hipótese nula de que β* 
= 0 com o teste t habitual. Se houver mesmo retornos de escala constantes, o valor t 
será pequeno. 
 
(b) Se definirmos que a relação produção/capital, medida da produtividade do capital, 
é (Y/K), e que a relação mão-de-obra/capital é (L/K), o coeficiente angular dessa 
regressão dará a variação média percentual da produtividade do capital para um 
percentual de variação da relação mão-de-obra/capital. 
 
(c) Embora a análise seja simétrica, se assumirmos que há retornos de escala 
constantes, então o coeficiente angular dará a variação média percentual da 
produtividade da mão-de-obra (Y/L) para um percentual de variação da relação 
capital/mão-de-obra (K/L). O que distingue os países desenvolvidos daqueles em 
desenvolvimento é a elevada relação capital/mão-de-obra existente nas economias dos 
primeiros. 
 
 
8.6 Comece escrevendo assim a Equação (8.5.11): 
2
2
( )
( 1)(1
n k RF
k R
−= − − ) , que pode ser 
reescrita: 
2
2
( 1)
( ) (1
k RF
n k R
− =− − ) . Daí, com algumas manipulações algébricas, obtemos: 
2 ( 1)
( 1) (
F kR
F k n k
−= − + − ) , que é o resultado que queríamos. 
 
Para a regressão (8.2.1), n = 64 e k = 3. Portanto, F0,05(2,62) = 3,15, 
aproximadamente. (Nota: Use gl 60 em vez de 62). 
Levando esses valores à fórmula anterior de R², obtemos: 
2 2(3,15) 6,30 0,0936
2(3,15) 61 67,3
R = = =+ . 
Este é o valor crítico de R² no nível de significância de 5%. Como o valor observado de 
R² de 0,07077 em (8.2.1) excede em muito o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula 
de que o verdadeiro R² é zero. 
 
 
8.7 Como a Equação (2) é uma forma com restrições da Equação (1), podemos 
calcular primeiro a relação F dada na Equação (8.5.18): 
2 2
2
( ) /1 (0,9776 0,9388) 27,033
(1 )( ) (1 0,9776) /17
novo velho
novo
R RF
R n k
− −= = =− − − . 
Agora, lembre-se de que . Ou seja, 21,17 17F t= 21727,033 t= , que dá 27,033 5,1993t = = . 
Sob a hipótese nula de que o coeficiente angular verdadeiro da variável tendência seja 
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zero, obtemos: 3
3
ˆ
ˆ( )
t
ep
β
β= , daí 
3
3
ˆ 23,195ˆ( ) 4,461
5,1993
ep
t
ββ = = = , que, devido aos erros de 
arredondamento, é aproximadamente igual a 4,2750. 
 
 
8.8 Uma forma alternativa de escrever o primeiro modelo é 
2 1 2 2 3 3ln ln ln lni i i iY X X X iuα α α− = + + = , que podemos reescrever: 
1 2 2 3 3ln (1 ) ln lni iY X i iX uα α α= + + + = . O modelo anterior e o segundo, com os 
coeficientes β, são agora, no que tange às observações, os mesmos, com as seguintes 
relações entre os coeficientes α e β: 
2 2
ˆ (1 )β α= + ; 3 3ˆ ˆβ α= e 1 1ˆ ˆβ α= . 
Os erros-padrão dos coeficientes β estimados podem, portanto, ser facilmente obtidos 
por meio daqueles dos coeficientes α estimados, já conhecidos. 
 
 
8.9 A melhor maneira de entender esse termo é encontrar as taxas de variação de Y 
(despesas pessoais de consumo) em relação a X2 a X3, que são: 
2 4
2
Y
3XX
δ β βδ = + e 3 43
Y
2XX
δ β βδ = + . 
Como vemos, a variação média das despesas pessoais de consumo em relação à renda 
pessoal depende não só desta, mas também do nível de riqueza pessoal. 
Analogamente, a variação média das despesas pessoais de consumo em relação ao 
nível de riqueza pessoal depende não só deste, mas também da renda pessoal. Ou 
seja, as variáveis renda pessoal e riqueza interagem. Podemos contornar isso 
introduzindo essas variáveis na regressão em formato interativo, ou multiplicativo, 
além do formato aditivo. A variável DPC só será independente da variável riqueza 
quando β4 for igual a zero. 
 
 
8.10 Relembrando as relações entre as distribuições t e F, sabemos pela primeira 
equação que: F1,(n – k) = t2 n- k. Portanto, 
F = (-4,728)² = 22,3540. 
Pela Equação (8.5.11) do texto, temos 
2
2
( ) ( 2)(0,6149) 22,3540
( 1)(1 ) (1)(0,3851)
n k R nF
k R
− −= = =− − . 
Resolvendo essa equação para n, obtemos n ≈ 16. Nota: Na primeira equação, k = 2 e 
R² = 0,6149. 
 
 
8.11 1. Improvável, a não ser para o caso de colinearidademuito alta. 
 2. Provável. Casos como esse ocorrem freqüentemente no trabalho prático. 
 3. Provável. Essa seria, em verdade, uma situação ideal. 
 4. Provável. O modelo de regressão é inútil nessa situação. 
 5. Poderia ocorrer no caso de a significância de um coeficiente ser insuficiente 
para compensar a insignificância do outro1. 
 6. Improvável. 
 
 
1 Para uma discussão mais extensa deste assunto, consulte A Dictionary of Econometrics, de Adrian C. Darnell, Editora 
Edward Elgar, Reino Unido, 1994, pp. 394-395. 
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8.12 Consulte os resultados da regressão do Exercício 7.21. 
 
(a) Usando a TJCP como taxa de juros, as elasticidades renda real e taxa de juros são, 
respectivamente, 0,5243 e -0,0255. Usando a TJLP, as elasticidades correspondentes 
são 0,4946 e -0,0516. 
 
(b) Individualmente, a elasticidade renda é significativa em ambos os casos, mas as 
elasticidades taxa de juros, não. 
 
(c) Usando a versão R² do teste F dado na Equação (8.5.11), os valores F são 21,5429 
(aplicando a TJCP) e 21,3078 (aplicando a TJLP). Os valores p desses F são quase zero 
em ambos os casos, levando à rejeição da hipótese de que a renda real e a taxa de 
juros não têm, coletivamente, impacto na demanda por moeda. 
 
(d) Nesse caso, a hipótese nula é que o coeficiente de elasticidade de renda é um. Para 
testá-la, usaremos o teste t como segue: 
- com a TJCP como variável taxa de juros, 
(0,5243 1) 3,2920
0,1445
t −= = − ; 
- com a TJLP como variável taxa de juros, 
(0, 4946 1) 1,8816
0,2686
t −= = − . 
 
Com 19 observações e dois regressores, temos gl 16. Como a expectativa é de que o 
coeficiente de elasticidade renda seja positivo, podemos aplicar um teste unicaudal. O 
valor t crítico unicaudal para gl 16 a 5% é 1,746. Podemos, nesse nível de 
significância, rejeitar a hipótese nula de que a elasticidade renda é igual a um. Ela é, 
na verdade, menor que um. 
 
 
8.13 (a) A elasticidade é -1,34, significativamente diferente de zero, pois o valor t sob 
a hipótese nula de que o coeficiente de elasticidade verdadeiro é igual a zero é 
1,43 4,4687
0,32
t −= = . 
O valor p de se obter tal t é extremamente baixo. O coeficiente não é, entretanto, 
diferente de um porque, sob a hipótese nula de que a elasticidade verdadeira é igual a 
1, temos 
1,34 1 1,0625
0,32
t − −= = − , que não é estatisticamente significativo. 
 
(b) A elasticidade renda, embora positiva, não é estatisticamente diferente de zero, 
pois o valor t sob a hipótese nula é menor que 1. 
 
(c) Aplicando a fórmula (7.8.4), obtemos 
2 2 11 (1 ) nR R
n k
−= − − − 
 Já que neste caso temos 2R =0,27, n = 46 e k = 3, basta substituir esses dados na 
equação e verificar que R² = 0,3026, aproximadamente. 
 
 
 
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8.14 (a) A expectativa, a priori, é de que o salário e as outras variáveis explanatórias 
sejam positivamente relacionados, e são mesmo. O coeficiente parcial de 0,280 
significa que, ceteris paribus, a elasticidade do salário do CEO é de 0,28%. O 
coeficiente 0,0174 significa que, ceteris paribus, se a taxa de retorno sobre o 
patrimônio subir um ponto percentual (atenção, não é o mesmo que 1%), o salário do 
CEO sobe cerca de 1,07%. Analogamente, também ceteris paribus, se a taxa de 
retorno sobre as ações da empresa subir um ponto percentual, o salário do CEO sobe 
cerca de 0,024%. 
 
(b) Sob a hipótese nula individual, ou separada, de que cada um dos coeficientes 
populacionais verdadeiros é igual a zero, podemos obter os valores t simplesmente 
dividindo cada coeficiente estimado pelo seu erro-padrão. Esses t para os quatro 
coeficientes dados no modelo são, respectivamente, 13,5, 8, 4,25 e 0,44. Como a 
amostra é bastante grande, podemos ver, aplicando a regra prática 2-t, que os três 
primeiros coeficientes são, em termos estatísticos, muito significativos 
individualmente, e o último é insignificante. 
 
(c) Para testar a significância geral, isto é, todos os coeficientes angulares são iguais a 
zero, aplique o teste F dado em (8.5.11): 
2
2
/( 1) 0,283/ 3 27,02
(1 ) /( ) 0,717 / 205
R kF
R n k
−= =− − = 
Esse valor, sob a hipótese nula, tem a distribuição F com respectivamente, 3 e 205 gl 
no numerador e denominador. O valor p de se obter tal F é extremamente pequeno, 
levando à rejeição da hipótese nula. 
 
(d) Como a variável dependente está em forma logarítmica, e roe e ros em forma 
linear, os coeficientes dessas variáveis fornecem semi-elasticidades, isto é, a taxa de 
crescimento da variável dependente em relação à variação de uma unidade (em valor 
absoluto) do regressor. 
 
 
8.15 Aplicando a Equação (3.5.8), podemos verificar que: r12 = 0,9989; r13 = 0,9885 e 
r12 = 0,9839, e com as fórmulas dadas na Seção 7.11, que: r12.3 = 0,9705; r13.2 = 
0,678 e r23.1 = -0,4930. 
Utilizando o teste Fischer dado no exercício, averiguamos que: 
12.3
12.3 2
12.3
15 1 2 13,590
1
rt
r
− −= =− . 
Procedendo exatamente da mesma forma, encontramos 13.2 3, 20t = e . 23.1 1,963t =
Todos esses valores t são estatisticamente significativos no nível de 5%. 
 
 
8.16 (a) Os logaritmos dos índices dos preços reais e das taxas de juros no ano 
anterior explicam cerca de 79% da variação no logaritmo do estoque de tratores, um 
tipo de capital. Como este é um modelo duplo-log, os dois coeficientes angulares são 
elasticidades (parciais) preço, cujos sinais são os esperados a priori. 
 
(b) Cada coeficiente angular parcial é individualmente significativo no nível de 5% e 
significativamente diferente de um. 
 
 
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(c) Da Equação (8.5.12) do texto, obtemos 
2
2
/( 1) 0,793/ 2 53,63
(1 ) /( ) 0,207 / 28
R kF
R n k
−= =− − = . 
Para n = 31 e k = 3, verificamos que esse valor F é muito significativo. 
 
(d) Veja o item (a). 
 
(e) Aplique o teste F dado em (c). 
 
 
8.17 (a) Ceteris paribus, um aumento de uma libra esterlina nos preços do produto 
final no ano corrente leva a um aumento médio de 0,34 libras esterlinas nos salários e 
ordenados por empregado. Analogamente, um aumento de uma libra esterlina nos 
preços do produto final no ano anterior leva a um aumento de cerca de 0,004 libras 
esterlinas nos salários e ordenados por empregado. Mantendo-se todos os outros 
fatores constantes, um aumento de um ponto percentual na taxa de desemprego leva 
a um decréscimo de 2,56 libras esterlinas nos salários e ordenados por empregado, em 
média. Os três regressores explicaram cerca de 87% da variação do regressando. 
 
(b) Se dividirmos os coeficientes estimados pelos seus erros-padrão, obteremos os 
valores t sob a hipótese nula de que os valores dos coeficientes populacionais 
verdadeiros são zero. Os t estimados para os três coeficientes angulares são 4,55, 
0,055 e -3,89, respectivamente. O primeiro e o terceiro são estatisticamente 
significativos, mas o segundo, não. 
 
(c) Como estudaremos no capítulo sobre modelos de defasagem distribuída, esta 
variável é incluída para medir o efeito da defasagem, se houver, dos preços do produto 
final um ano antes. 
 
(d) Como o valor t desse coeficiente não é significativo, a variável pode ser excluída, 
desde que isso não represente o erro de especificação de omissão de uma variável 
importante. Veremos mais sobre isso no capítulo sobre especificação do modelo. 
 
(e) Use a seguinte fórmula (padrão) de elasticidade: 2,56W U U
U W W
∂ = −∂ em que as 
barras sobre as variáveis denotam seus valores médios em toda a amostra. 
 
 
8.18 (a) Ceteris paribus, um aumento de um ponto percentual na taxa de vagas 
abertas leva a um aumento médio de 5,29 libras esterlinasnos salários e ordenados 
por empregado. Um aumento de 1 libra no PIB por pessoa leva a um decréscimo de 
cerca de 0,12 libra nos salários e ordenados por empregado. Um aumento de 1 libra 
nos preços das importações no ano corrente e no anterior leva a um aumento médio 
de 0,05 libra nos salários e ordenados por empregado. 
 
(b) assim como no exercício anterior, sob a hipótese nula zero, os valores t estimados 
para as quatro variáveis explanatórias são, respectivamente, 6,51, -1,04, 2,45 e 2,42, 
e todos, exceto o segundo, são estatisticamente significativos. 
 
 
 
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(c) Seria de se esperar, a priori, que uma produtividade per capita mais elevada 
levasse a salários e ordenados maiores. Mas este não é o caso no exemplo em 
questão, porque o coeficiente estimado, em termos estatísticos, não é 
significativamente diferente de zero, já que seu valor t é só -1. 
 
(d) Seu objetivo é contornar o efeito nos salários e ordenados da defasagem 
distribuída dos preços das importações do ano corrente e do anterior. Se esses preços 
sobem, espera-se que o custo de vida também suba e, conseqüentemente, salários e 
ordenados. 
 
(e) A variável X pode ser retirada do modelo – desde que, é claro, não haja erro de 
especificação -- porque tem o sinal errado, e seu valor t é baixo. 
 
(f) Use o seguinte teste F: 
2
2
/( 1) 0,934 / 4 49,53
(1 ) /( ) 0,66 /14
R kF
R n k
−= =− − = , um valor muito 
significativo. Para 4 graus de liberdade (gl) no numerador e 14 no denominador, o 
valor F é 5,04 no nível de significância de 1%. 
 
 
8.19 O teste estatístico para a elasticidade renda é 
0, 4515 1 22, 2065
0,0247
t −= = − , valor 
muito significativo que refuta a hipótese de que a elasticidade verdadeira é 1. 
 
Para a elasticidade preço, o teste estatístico é 
0,3772 ( 1) 9,808
0,0635
t − − −= = − , valor 
também significativo que nos leva a concluir que a elasticidade preço verdadeira é 
diferente de -1. 
 
 
8.20 A hipótese nula é que β2 = - β3, ou seja, β2 + β3 = 0. Aplicando o teste estatístico 
dado na Equação (8.6.5) do texto, obtemos 
2 2
0, 4515 ( 0,3772) 0,859
(0,0247) (0,0635) 2( 0,0014)
t + −= + − − = , valor que não é significativo no nível 
de, digamos, 5%. Não há, então, nenhuma razão para rejeitarmos a hipótese nula. 
 
 
8.21 (a) A elasticidade preço próprio é -1,274. 
(b) Pelo teste t, obtemos 
1,274 0 2,4174
0,527
t −= = . 
O valor p de se obter tal t estatístico sob a hipótese nula é cerca de 0,034, que é 
baixo. Rejeitamos, então, a hipótese de que a elasticidade preço verdadeira é zero. 
 
(c) Usando mais uma vez a fórmula-padrão, temos 
1,274 ( 1) 0,5199
0,527
t − − −= = − , valor 
que não é estatisticamente significativo, levando-nos, portanto, a não rejeitar a 
hipótese de que a elasticidade preço verdadeira é um. 
 
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(d) Embora nenhuma das duas variáveis seja estatisticamente significativa, espera-se 
que ambas tenham sinal positivo. 
 
(e) Talvez a amostra seja pequena demais para detectarmos a significância estatística 
dos preços dos cravos ou da renda na demanda por rosas. Além disso, os gastos com 
rosas devem ser uma parte tão pequena da renda total que não se nota nela seu 
impacto. 
 
 
8.22 (a) Os coeficientes de X2 e X3 são estatisticamente significativos, mas os de X4 e 
X5 não o são. 
 
(b) Sim. Aplicando o teste F, obtemos 
0,656 / 4 12,392
(1 0,656) / 26
F = =− , valor que a 5% 
para 4 e 26 gl é 2,74. Rejeitamos, pois, H0. 
 
(c) Usando o modelo semilogarítimico, obtemos: 
 
log(prospecções) = 2,53203 – 0,0127 tempo 
 valor t = (38,3766) (-3,3514) r² = 0,2792. 
 
Portanto, a taxa de crescimento instantânea é -1,27%, assim como a taxa de 
crescimento composta correspondente. (Tome o antilogaritmo de -0,0127, que vale 
0,9873, subtraia dele 1 e multiplique por 100). 
[N] Nota: Para valores pequenos de r, ln(1+r) ≈ r. 
 
 
8.23 (a) Consulte os resultados da regressão dada no Exercício 7.18. Espera-se, a 
priori, que todos os coeficientes angulares sejam positivos, o que é verdade, exceto 
para a variável vendas militares dos Estados Unidos. O valor R² é bem alto, mas o 
modelo parece, em geral, satisfatório. 
 
(b) Podemos usar a versão R² da tabela ANOVA (8.5) do texto. 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 0,978
2( )iy∑ 4 20,978
4
iy∑ 
Devido aos 
resíduos 
87,782 2( iy )∑ 22 20,022
15
iy∑ 
STQ 1071,975 23 
 
Sob a hipótese nula habitual, a razão F é 
0,978 / 4 166,33
0,022 /15
F = = , valor obviamente 
muito significativo, levando à rejeição da hipótese nula de que todos os coeficientes 
angulares são simultaneamente iguais a zero. Em outras palavras, as quatro variáveis 
têm, em conjunto, impacto significativo nos gastos com defesa. 
 
 
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8.24 (a) Essa função permite que os produtos marginais de mão-de-obra e capital 
subam antes de acabarem caindo e leva em conta a elasticidade variável de 
substituição, ao contrário da função de produção Cobb-Douglas normal, que não leva 
isso em conta e em que os produtos marginais caem desde o início. 
 
(b) Se β4 = β5 = 0, então e0 = 1. Este é o modelo-padrão. 
 
(c) Pode-se usar o teste F dos mínimos quadrados restritos. 
 
(d) Os resultados são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: LOG(PIB) 
Amostra: 1955 1974 
Observações incluídas: 
20 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -11,70601 2,876300 -4,069814 0,0010 
LOG(MÃO-DE-OBRA) 1,410377 0,590731 2,387512 0,0306 
LOG(CAPITAL) 0,942699 0,194542 4,845735 0,0002 
MÃO-DE-OBRA -9,06E-05 4,35E-05 -2,082179 0,0549 
CAPITAL -3,54E-07 4,15E-07 -0,853032 0,4071 
R-quadrado 0,999042 Variável dependente média 12,22605 
R-quadrado ajustado 0,998787 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,381497 
E.P. da regressão 0,013289 Critério info Akaike -5,591475 
Soma quad resíduos 0,002649 Critério Schwarz -5,342542 
Verossimilhança Log 60,91475 Estatística-F 3911,007 
Estat Durbin-Watson 1,065992 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
Esses cálculos mostram que os resultados são mistos, pois enquanto o coeficiente de 
mão-de-obra é estatisticamente significativo, o de capital não o é. Compare esses 
resultados com os do Exemplo 8.3 do livro-texto, obtidos com a função de produção 
Cobb-Douglas normal. 
 
 
8.25 (a) Sim. O índice do preço do combustível é negativo e estatisticamente 
significativo no nível de 1%. 
 
(b) A perda de produtividade foi de 6,48% [(-0,1081)(60%)]. 
 
(c) A taxa de crescimento tendencial da produtividade foi de 0,45%. 
 
(d) Em média, para a amostra, um aumento de 1% na relação mão-de-obra/capital 
leva a um aumento de 0,71% na produtividade. 
 
(e) Veja a Questão 8.11. Se cada coeficiente individual for estatisticamente 
significativo, então é improvável que R² = 0. No caso em tela, 
0,98 / 3 1928,37
(1 0,98) /118
F = =− , valor muito significativo, de forma que se pode rejeitar a 
hipótese de que R² é zero. 
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8.26 (a) Segundo o software Eviews 3 os resultados são os seguintes: 
 
 
 
Variável dependente: Y 
Amostra: 1968 1983 
Observações incluídas: 
16 
 
Variável Coeficiente Erro–padrão Estatística-t Probabilidade 
C 5962,656 2507,724 2,377716 0,0388 
X2 4,883663 2,512542 1,943714 0,0806 
X3 2,363956 0,843559 2,802361 0,0187 
X4 -819,1287 187,7072 -4,363863 0,0014 
X5 12,01048 147,0496 0,081676 0,9365 
X6 -851,3927 292,1447 -2,914284 0,0155 
R-quadrado 0,822750 Variável dependente média 7543,125 
R-quadrado ajustado 0,734125Desvio-padrão da variável 
dependente 
1217,152 
E.P. da regressão 627,6005 Critério info Akaike 16,00168 
Soma quad resíduos 3938824 Critério Schwarz 16,29140 
Verossimilhança Log -122,0134 Estatística-F 9,283507 
Estat Durbin-Watson 2,484497 Probabilidade (Estatística-F) 0,001615 
 
(b) Seria esperado que β2, β3 e β6 fossem positivos e β4 e β5, negativos. 
 
(c) β2, β3 e β4 estão de acordo com as expectativas, mas os outros, não. 
 
(d) De acordo com os resultados da regressão, X3, X4 e X6 são significativos no nível de 
5%, e X2 no nível de 10%, mas X5 é estatisticamente insignificante. 
 
(e) Aplicamos a metodologia dos mínimos quadrados restritos discutida no capítulo. 
Regressando Y contra X2, X3 e X4 somente, obtemos 
2
RR = 0,6012. Incluindo todos os 
regressores, como se vê em (a), temos 2SRR = 0,8227. Portanto, aplicando a Equação 
(8.7.10), obtemos 
(0,8227 0,6012) / 2 6,25
(1 0,8227) /10
F −= =− . 
Para gl 2 e 10 no numerador e denominador, respectivamente, o valor F crítico a 5% é 
4,10. Rejeitamos, portanto, a hipótese de que as variáveis X5 e X6 não se encaixam no 
modelo. 
 
 
8.27 (a) Como ambos são modelos log-lineares, os coeficientes angulares estimados 
representam a elasticidade (parcial) da variável dependente em relação ao regressor 
sob observação. Por exemplo, o coeficiente 0,94 na Equação (3) significa que se a 
produção em kWh aumenta 1%, em média, o custo total de produção sobe em 0,94%. 
Analogamente, na Equação (4), se o preço da mão-de-obra em relação ao preço do 
combustível sobe 1%, em média, o custo relativo de produção sobe 0,51%. 
 
 
 
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(b) Use a estatística F como segue: 
( ) / (0,364 0,336) /1 1,012
(1 ) / (1 0,336) / 24
R SR
SR
SQR SQR NRF
SQR n k
− −= =− − − = , em que NR é o número de 
restrições. 
Esse F não é significativo. No nível de 5%, e para gl 1 e 24 no numerador e 
denominador, respectivamente, o valor F crítico é 4,26. Logo, não rejeitamos a 
hipótese nula de que a soma das elasticidades preço é igual a um. 
 
Nota: Não use a versão R² do teste F dado em (8.7.10) do texto, pois as variáveis 
dependentes nas Equações (3) e (4) não são as mesmas. 
 
 
8.28 (a) Não. O 3γ estimado é significativamente diferente de zero, pois seu valor t é 
5,3. 
 
(b) Sim, já que ela lança luz sobre a validade da teoria. Além disso, é estatisticamente 
significativa, como observado em (a). 
 
(c) Não. O retorno parece alto demais para letras do tesouro dos Estados Unidos. 
 
(d) Não. Novamente, parece muito alto. 
 
(e) Uma pesquisa na literatura recente sobre CAPM indica que o modelo pode não ser 
adequado a todas as situações. 
 
 
8.29 Discutiremos apenas os resultados baseados na TJCP, pois os baseados na TJLP 
são análogos. 
 
O modelo em (a) do Exercício 7.21 é o modelo irrestrito e aquele em (b), o restrito. 
Como as variáveis dependentes são diferentes nos dois, usaremos o teste F dado na 
Equação (8.7.9) do texto. As SQR com e sem restrições valem, respectivamente, 
0,0772 e 0,0463. Repare que aplicamos apenas uma restrição, a de que o coeficiente 
de Y no primeiro modelo é um. 
 
(0,0772 0,0463) /1 10,69
(0,0463) /(19 3)
F −= =− . 
 
Para gl 1 e 16, numerador e denominador, respectivamente, o valor F crítico a 5% é 
4,49. Então, rejeitamos o modelo restrito e concluímos que a elasticidade verdadeira 
renda é menor que um. 
 
 
8.30 Precisamos saber a covariância entre os dois estimadores dos coeficientes 
angulares para usar o teste t dado em (8.7.4) do texto. A partir dos dados fornecidos, 
 
 
 
 
 
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podemos mostrar que . Aplicando (8.7.4) aos dados do México, 
obtemos: 
2 3
ˆ ˆcov( , ) 0,3319β β = −
(0,3397 0,8460 1) 1,94
0,0345 0,0087 2( 0,0173)
t + −= =+ + − . 
Pela tabela t, vemos que o valor t bicaudal a 5% é 2,12. Assim, nesse nível de 
significância, não rejeitamos a hipótese de retornos constantes de escala, muito 
embora numericamente a soma dos dois coeficientes (1,19) seja maior que um. 
 
 
8.31(a) A priori, deveríamos esperar uma relação positiva entre MI (mortalidade 
infantil) e TFT (taxa de fertilidade total), pois quanto maior o número de filhos de uma 
mulher, maior a probabilidade de aumento da mortalidade devido à saúde e outros 
fatores. 
 
(b) Os coeficientes de PNBpc não são muito diferentes, mas o de TAF é. Podemos usar 
o teste t para saber se a diferença é real. Suponha que usemos a Equação (1) e que, 
por hipótese, o coeficiente verdadeiro de PNBpc seja -1,7680. Podemos agora aplicar o 
seguinte teste: 
2,2316 ( 1,7680) 0,4636 2,2086
0,2099 0,2099
t − − − −= = − , valor que é maior que 2 
em termos absolutos, levando à rejeição da hipótese de que o coeficiente verdadeiro é 
igual a -1,7680. Repare que usamos aqui a regra prática 2-t, uma vez que o número 
de observações é razoavelmente alto. 
 
(c) Podemos encarar o modelo (1) como a versão com restrições do modelo (2) e 
podemos, então, usar a versão R² do teste F dado em (8.7.10) do texto, pois as 
variáveis dos dois modelos são as mesmas. A estatística F resultante é a seguinte: 
(0,07474 0,7077) /1 0,0397 9,4523
(1 0,7474) /(64 4) 0,0042
F −= =− − =
k
 
Sob as premissas normais, esse valor tem a distribuição F com 1 e 60 gl no numerador 
e denominador, respectivamente. O F crítico para esses gl a 1% é 7,08. Como o F 
calculado excede esse valor crítico, podemos rejeitar o modelo restrito (1) e concluir 
que a variável TFT deve ser mantida. 
 
(d) Relembre que . Portanto, extraindo a raiz quadrada (positiva) do valor F 
dado em (c), temos 
2
1,kF t=
9,4523 3,0744t = = . 
Logo, sob a hipótese nula de que o valor verdadeiro do coeficiente de TFT no modelo 
(2) é zero, podemos obter o erro-padrão do coeficiente TFT estimado dividindo-o pelo 
valor t: 
12,8686 4,1857
3,0744
ep = = . 
 
 
8.32 (a) O coeficiente angular do modelo I nos informa que para cada incremento de 
uma unidade nos gastos com publicidade, temos, em média, um aumento de 0,363 
unidades nas impressões retidas. A taxa (média) de crescimento das impressões no 
modelo II depende do nível de gastos com publicidade. Tirando a derivada de Y em 
relação a X, obtemos 1,0847 0,008dY X
dX
= − , um indicativo de que as impressões 
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retidas aumentam a uma taxa decrescente conforme aumentam os gastos com 
publicidade. 
 
(b) & (c) Podemos encarar o modelo I como a versão condensada, ou restrita, do 
modelo II e, por isso, aplicar a técnica dos mínimos quadrados restritos para escolher 
entre os dois. Como a variável dependente é a mesma em ambos, podemos usar a 
versão R² do teste F dado em (8.7.10). Seguem os resultados: 
(0,53 0,424) /1 0,106 4,0613
(1 0,53) /18 0,0261
F −= = =− , valor que, sob as premissas normais do teste 
F, segue a distribuição F com 1 e 18 gl no numerador e denominador, 
respectivamente, com valor F crítico de 4,41 no nível de 5% e 3,01 no nível de 10%. O 
valor p é 0,0591 a cerca de 6%, próximo dos 5%. Parece que devemos manter no 
modelo a variável X². 
 
(d) Há retornos decrescentes nos gastos com publicidade, conforme observado em (b). 
Se o coeficiente do termo X² fosse positivo, os retornos com tais gastos teriam sido 
crescentes. Igualando a derivada em (b) a zero, temos 1,0847 = 0,008X, logo X = 
135,58, valor em que a taxa de crescimento de Y em relação a X é zero. Como X é 
medido em milhões de dólares, pode-se dizer que no nível de gastos da ordem de 136 
milhões de dólares não há mais nenhum ganho nas impressões retidas, medidas em 
milhões. 
 
 
8.33 (a) Aplicando os dados da regressão (7.9.4) no teste t (8.7.4), obtemos: 
 
2 2
(1, 4988 0, 4899 1) 0,98872,0849
0, 4742(0,5398) (0,1020) 2(0,03843)
t + −= =+ − = . 
 
Como 15 é o tamanho da amostra, temos gl 12. O valor t anterior é significativo no 
nível de 5%, indicando que talvez tenha havido retornos de escala crescentes no setor 
agrícola taiwanês. 
 
(b) Impondo a restrição de constantes retornos de escala, os resultados da regressão 
são os seguintes: 
 
3
2 2
ln 1,7086 0,6129ln XY
X X
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 ep = (0,4159) (0,0933) R² = 0,7685 SQR = 0,0915. 
 
A SQR sem restrições, SQRSR, pela regressão (7.9.4) é 0,0672 e a SQR com restrições, 
SQRR, pela regressão em (b), é 0,0915. Com o teste F dado em (8.7.9), obtemos 
(0,0915 0,0672) /1 4,3393
(0,0672) /12
F −= = . Sob as premissas habituais do teste F, esse valor 
tem distribuição F com 1gl no numerador e 12 gl no denominador. O valor p de se 
obter um F de 4,34 ou maior é de 0,0593 ou cerca de 6%, próximo do nível de 
significância de 5%. Parece, novamente, que houve retornos de escala crescentes no 
setor agrícola taiwanês. 
 
 
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Observe que a pequena diferença nos níveis de significância de t e F deve-se a erros 
de arredondamento. Repare também que, como as variáveis dependentes são 
diferentes nos modelos com e sem restrições, não podemos usar versão R² do teste F. 
 
 
8.34 Seguindo exatamente os mesmos procedimentos mostrados na Seção 8.8 do 
texto, aqui vão as várias somas dos quadrados dos resíduos: 
 
SQR1 = 1953,639 (1970–1982) 
SQR2 = 9616,213 (1983–1995) 
SQRR = 23248,30 (1970–1995), que é a SQR com restrições. A SQRSR = 
(1953,639+9616,213) = 11569,852. 
 
Com o teste F, obtemos 
1 2
( ) / (11678, 448) / 2 11,1032
( ) /( 2 ) (11569,852) / 22
R SR
SR
SQR SQR kF
SQR n n k
−= =+ − = . 
 
O valor p de se obter um valor F de 11 ou mais é cerca de 0,0005, uma probabilidade 
mesmo muito pequena. 
 
Embora a conclusão geral deste exercício e do exemplo visto na Seção 8.8 do texto 
seja a mesma, isto é, que houve uma variação estatisticamente significativa na 
regressão poupança-renda, a resposta depende do ponto de quebra escolhido para 
dividir a amostra, como vemos pelos valores F. 
 
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CAPÍTULO 9 
MODELOS DE REGRESSÃO COM VARIÁVEIS BINÁRIAS 
 
 
9.1 (a) Se o intercepto estiver presente no modelo, inclua 11 variáveis binárias. Caso 
contrário, inclua 12. 
 
(b) Se o intercepto não estiver no modelo (isto é, regressão pela origem), introduza 
seis variáveis binárias. Caso contrário, introduza apenas cinco. 
 
 
9.2 (a) De acordo com a teoria econômica, espera-se que os coeficientes de X2 e X5 
sejam positivos, e os de X3, X8 e X9, negativos. O de X4 pode ser positivo ou negativo, 
dependendo da idade da esposa e do número de filhos. Uma variável binária interativa 
para idade e filhos com menos de 6 anos ou entre 6 e 13 anos talvez esclareça melhor 
a relação entre idade e horas de trabalho desejadas. 
 
(b) Mantendo-se todos os outros fatores constantes, espera-se que a variável horas de 
trabalho desejadas seja maior que o valor do intercepto (comum) de 1286 horas, mas 
esse coeficiente tem sinal negativo, e como não é estatisticamente significativo, pouco 
se pode dizer sobre o impacto de X6 em Y (média). Quanto a X7, espera-se que seu 
coeficiente seja positivo, e é mesmo. Além disso, é estatisticamente significativo, pois 
o valor t é bem alto. 
 
(c) Isso talvez se deva às colinearidades entre a idade e a escolaridade e entre estas e 
o número de filhos. Repare também que o modelo não inclui os anos de estudo 
completados pelo marido. 
 
 
9.3 (a) Espera-se que a relação entre as duas variáveis seja negativa porque se a taxa 
de desemprego for alta, indicando excesso de oferta de mão-de-obra no mercado de 
trabalho, é menos provável que os empregadores anunciem vagas em aberto. 
 
(b) Ela é 3,8998 (=2,7491+1,1507). Como o coeficiente da variável binária é 
estatisticamente significativo, a taxa de desemprego é estatisticamente maior no 
período após o quarto trimestre de 1966 do que era antes dele. 
 
(c) Como o coeficiente diferencial da variável binária é quase significativo no nível de 
5%, podemos dizer que os coeficientes angulares da função de regressão são 
diferentes nos dois períodos. 
 
(d) É muito provável que sim. O governo, ao tornar os benefícios-desemprego mais 
generosos, reduz o custo de oportunidade de se permanecer desempregado. 
 
 
9.4 Os resultados mostram que o preço médio por barril em 1974 estava US$5,22 
mais alto do que nos outros anos da amostra, mas o coeficiente angular, US$0,30, é o 
mesmo em todo o período. O gráfico se assemelha ao da Figura 9.3 b do texto com a 
linha de regressão para 1974 iniciando no ponto 5,22 do eixo vertical e para os outros 
anos passando pela origem, mas ambas com o mesmo coeficiente angular de 0,30. 
 
 
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9.5 (a) Homens: 1 2( ) ( )i iE Y Xα α β= + + . Mulheres: 1( )iE Y Xiα β= + . Mantendo X 
constante, o salário médio dos homens é diferente por 2α . 
 
(b) Homens: 1 2( ) ( 2 )i iE Y Xα α β= + + . Mulheres: 1 2( ) ( )i iE Y Xα α β= + + . Mantendo X 
constante, o salário médio dos homens também neste caso é diferente por 2α . 
 
(c) Homens: 1 2( ) ( )i iE Y Xα α β= − + . Mulheres: 1 2( ) ( )i iE Y Xα α β= + + . Mantendo X 
constante, a diferença entre o salário médio das mulheres e dos homens é 22α . 
 
Como a escala da variável binária é arbitrária, a escolha não afetará a resposta, pois 
nenhum método apresenta vantagens sobre o outro. 
 
9.6 Conforme o Capítulo 8, podemos usar o seguinte teste t: 2 3 2 3
2 3
ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ( )
t
ep
β β β β
β β
− − −= − . 
Mas sob a hipótese nula de que 2 3β β= , o segundo termo do numerador dessa 
equação passa a ser zero. Repare também que 
2 3 2 3 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [var( ) var( ) 2cov( , )]ep β β β β β− = + − β
) =
. Pode-se mostrar, para o nosso 
exemplo, que 84,8392. 2 3
ˆ ˆ(ep β β−
Portanto, a estatística anterior torna-se 
245,3750 347,6250 1,2055
84,8392
t −= = − , valor que 
não é significativo e leva à conclusão de que os coeficientes de D2 e D3, embora sejam 
ambos em termos estatísticos significativamente diferentes do intercepto do primeiro 
trimestre, não o são um do outro. 
 
Exatamente pelas mesmas razões, para testar a hipótese de que os coeficientes de D2 
e D4 são iguais, obtemos 
245,3750 ( 62,1250) 3,6245
84,8392
t − −= =
)
, valor estatisticamente 
significativo, indicando que os coeficientes de D2 e D4 são diferentes. 
 
A resposta à última parte da pergunta é, em geral, não. Em termos lógicos, se A for 
diferente de B e também for diferente de C, isso não implica necessariamente que B e 
C sejam diferentes. Pode-se, é claro, aplicar o teste t para responder a essa pergunta 
numericamente. 
 
 
9.7 (a) & (b) Os erros-padrão dos coeficientes da regressão (9.5.6) podem ser obtidos 
diretamente de (9.5.4). Mas para obter os erros-padrão dos coeficientes em (9.5.7), 
teremos de achar os de 1 2ˆ ˆ(α α+ e os de 1 2ˆ ˆ( )β β+ por meio da conhecida fórmula 
estatística para o erro-padrão da soma ou diferença de dois ou mais coeficientes, que 
está na dica do Exercício 9.6. Para aplicá-la, precisamos das covariâncias dos termos 
envolvidos na soma e diferença dos coeficientes, sem as quais não poderemos calcular 
os erros-padrão. Para o nosso exemplo, var 1ˆ( )α = 406,6205; var 2ˆ( )α = 1094,443; 
 
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1ˆ)var (β = 0,00021; var 2ˆ( )β = 0,000255; cov 1 2ˆ ˆ( , )α α = –406,6205 e cov 1 2ˆ ˆ( , )β β = –
0,00021. Portanto: 
 
ep 1 2ˆ ˆ( )α α+ = [406,6205 1094,443 2(406,6205)] 26,2263+− = e 
ep 1 2
ˆ ˆ( )β β+ = [0,00021 0,000255 2(0,00021)] 0,0067+ − = . 
 
Nota: Esses ep são um tanto diferentes daqueles informados em (8.8.2a) devido a 
erros de arredondamento e aproximação. 
 
9.8 (a) Desprezando por enquanto as variáveis binárias, cada coeficiente angular 
estimado representa uma elasticidade, pois essa regressão é duplo-log. Então, se X2 
(número total de agências do banco) subir em média 1%, as horas trabalhadas pelos 
auditores do FDIC sobem cerca de 0,22%, refletindo talvez alguma economia de 
escala. Deve-se interpretar da mesma forma os outros coeficientes das variáveis X 
logarítmicas que, a priori, espera-se que sejam positivos, e são mesmo. 
 
(b) & (c) Como o regressando está em forma logarítmica, temos de interpretar os 
coeficientes das variáveis binárias de acordo com a sugestão de Halvorsen e Palmquist. 
Tire o antilogaritimo de cada coeficiente estimado ligado a uma variável binária e 
subtraia-lhe um. Multiplique o resultado por 100, o que dará a variação percentual do 
regressando quando a variável binária for do estado zero para o estado um. Considere, 
por exemplo, o coeficiente de D4, que é –0,2572. Tirando seu antilogaritmo, achamos 
0,7732; subtraindo-lhe um e multiplicando o resultado por 100, obteremos -22,68%. 
Então, se a auditoria for realizada em conjunto com o órgão estadual competente, as 
horas trabalhadas pelos auditores da FDIC caem cerca de 23%. Deve-se interpretar da 
mesma forma os outros coeficientes das variáveis binárias. 
 
 
9.9 (a) & (c) Ceteris paribus, se a taxa de inflação esperada subir um ponto 
percentual, espera-se que a taxa de juros das letras do Tesouro dos Estados Unidos 
(TL) caia cerca de 0,13 ponto percentual, o que, em termos econômicos, não faz 
sentido. Contudo, o coeficiente da TL não é estatisticamente significativo, pois seu 
valor t é só –1,34. Se a taxa de desemprego subir um ponto percentual, espera-se que 
a taxa média da TL caia 0,71 ponto percentual. Esse coeficiente é estatisticamente 
significativo, pois seu valor t é –4,24. Além disso, faz sentido em termos econômicos, 
pois uma taxa de desemprego mais alta significa que a economia está em queda, e o 
Fed, para revigorá-la, provavelmente reduziria a taxa da TL. Se a variação na base 
monetária subir uma unidade, em média, espera-se que a taxa da TL caia, pois um 
aumento nessa base leva, por meio do efeito multiplicador, a um aumento na oferta de 
moeda, que terá o efeito de reduzir a taxa de juros, ceteris paribus. O valor defasado 
de Y é positivo, estatisticamente significativo e leva em conta a dinâmica da variação, 
assunto que será discutido no capítulo sobre modelos de defasagem distribuída. 
 
(b) No final de 1979, o então diretor do Federal Reserve System (o Banco Central dos 
Estados Unidos), Paul Volker, mudou a política monetária – cuja meta era a taxa de 
juros e passou a ser a base monetária – com o objetivo de reduzir a 
(comparativamente) alta taxa de inflação que havia então na economia dos Estados 
Unidos. Com o aperto da base monetária, que levou a aumentos na taxa da TL, a taxa 
de inflação acabou caindo consideravelmente. A propósito, repare que o coeficiente da 
variável binária é estatisticamente significativo. 
 
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iu
 
9.10 Escreva assim o modelo: 1 2 1 2 ( *)i i iY D X X X Dα α β β= + + + − + , em que D=1, 
quando Xi>X* e D=0, se Xi<X*. Assumindo que E(ui)=0, obtemos: 
 
*
1 1( | 0, )i i iE Y D X X Xα β= < = + 
 
* *
1 2 1 2( | 1, ) ( ) ( )( )i i iE Y D X X X Xα α β β= > = + + + − 
 
Então, quando Xi excede X*, o intercepto varia por α2 e o coeficiente angular por β2. 
 
 
9.11 (a) Essa designação das variáveis binárias presume uma diferença constante 
(proporcional): a escala da loja de rede é 10 vezes a daquela de descontos, e a da loja 
de conveniência é 10 vezes a de rede (ou 100 vezes a da loja de descontos). Isto é, 
obviamente, arbitrário. 
 
(b) Como esperado, os refrigerantes de marca são mais caros do que aqueles sem 
marca. Os resultados também indicam que recipientes menores são mais caros que os 
maiores, também como esperado. O modelo explica cerca de 60% da variação do 
preço dos refrigerantes. 
 
(c) A variável binária tem os valores mais elevados atribuídos aos menores recipientes. 
 
 
9.12 (a) O coeficiente da variável renda em formato logarítmico é uma semi-
elasticidade, ou seja, representa a variação absoluta da expectativa de vida para uma 
variação percentual na renda. 
 
(b) Esse coeficiente mostra que é provável que a expectativa média de vida aumente 
0,0939 anos se a renda per capita aumentar 1%, ceteris paribus. (Veja o Capítulo 6 
sobre o modelo lin-log). 
 
(c) Esse regressor foi incluído para contornar o efeito sobre a expectativa de vida dos 
aumentos crescentes da renda per capita acima do valor limite de US$1097. O 
regressor também informa o número de anos adicionais que se pode esperar viver 
quando a renda passa de US$1097. O valor do coeficiente estimado não é, entretanto, 
estatisticamente significativo, pois seu valor p é de 0,1618. 
 
(d) A equação da regressão para os países cuja renda per capita está abaixo do nível 
de 1097 dólares americanos é –2,40+9,39 lnXi , e para os países cuja renda está 
acima desse nível é –2,40+(9,39–3,36) lnXi + (3,36)(7) = 21,12 + 6,03 lnXi. 
 
Embora numericamente as duas regressões pareçam diferentes, não o são 
estatisticamente, pois o coeficiente do último termo da equação é zero em termos 
estatísticos. Se considerarmos países mais ricos aqueles com renda per capita maior 
que US$1097, parece não haver entre estes e os outros mais pobres nenhuma 
diferença estatística perceptível na expectativa de vida. 
 
9.13 (a) & (b) β1 dá o valor esperado de Y para as 20 primeiras observações e β2 dá a 
variação do valor esperado de Y para as 30 observações seguintes, sendo (β1 + β2 ) o 
valor esperado real de Y para as últimas 30 observações. 
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(c) Pela conhecida fórmula para achar a soma ou a diferença de duas ou mais variáveis 
aleatórias (veja Apêndice A do texto) pode-se demonstrar que 
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆvar( ) var( ) var( ) 2cov( , )β β β β β+ = + + β . Para obter os valores numéricos, 
aplicamos as fórmulas dados no Capítulo 3 para o modelo de duas variáveis. Temos, 
então: 
 
2
2
1 2
1 30ˆvar( ) 300 15
( ) 50 12
i
i
D
n D D
β σ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
∑
∑ e 
2
2 2
300ˆvar( ) 25
( ) 12iD D
σβ = = =− . ∑
Isso nos informa que a covariância entre os dois estimadores é 15. Juntando esses 
números todos, temos . 1 2
ˆ ˆvar( ) 10β β+ =
 
Nota: Verifique que 2( )iD D− =∑ 12 . 
 
 
9.14 (a) A relação esperada entre as duas variáveis é negativa. 
 
(b). Sim, confirmam. 
 
(c) & (d) Nos estados em que não havia leis de direito ao trabalho, a média de 
empregados que pertenciam a sindicatos era de 19,8%. Por outro lado, nos estados 
com essas leis, essa média era 9,39 pontos percentuais menor, aproximadamente, 
com um total real de sindicalizados de 10,42%. 
 
 
9.15 Pelas fórmulas dos MQO dadas no Capítulo 3, temos 2 2
( )ˆ
( )
i
i
iD D Y
D D
β −= −
∑
∑ 
(1) 
É fácil verificar que 2i
D nD
n n
= =∑ . 1( )i nD D n− = , se D = 1 e 2nn− , se D = 0. 
 
O denominador da Equação (1) pode ser escrito como segue: 
 
1 2
2 2
2 2 2 2 1
1 2
1 1
( ) ( ) ( )
n n
i i i
i i
n nD D D D D D n n
n n= =
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ 1 2
n n
n
. E o seu 
numerador como: 
 
1 2 1 2
2
2 1
1 1 1 11 2
1( ) ( ) ( )
n n n n
i i i i i i i i cs
i i i i
nD D Y D D Y D D Y Y Y Y Y Y Y
n n= = = =
− = − + − = − + = − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ sg , e o 
intercepto é dado por 1ˆ
ˆY 2Dβ β+ − que, depois das substituições fica1ˆ sgYβ = . 
 
 
9.16 (a) 2,4%. 
 
 
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(b) Como tanto o intercepto diferencial quanto os coeficientes angulares são muito 
significativos, os níveis e as taxas de crescimento da população são diferentes nos dois 
períodos. Essa taxa para o período anterior a 1978 é de 1,5% e para o posterior, 
2,6%(= 1,5%+1,1%). 
 
 
Problemas 
 
 
9.17 Fazendo a regressão separadamente para os dois períodos, encontramos 21σˆ = 
0,00768 (gl = 30) para o primeiro e 22σˆ = 0,03638 (gl = 17) para o segundo. Então, 
sob a premissa de que as variâncias das populações respectivas são as mesmas, e de 
acordo com a Equação (8.8.8), a relação a seguir está de acordo com a distribuição F: 
1 2
2
2
( ),(2
2
ˆ
ˆ n k n k
F Fσσ − −= � ) . 
No nosso exemplo, k = 2, n1 = 32 e n2 = 19. Levando esses valores à expressão 
anterior, obtemos F = 4,7369. O valor p de se obter um F de 4,7369 ou maior é de 
0,00001, muito pequeno. A conclusão é que as variâncias nos dois subperíodos não 
são iguais. 
 
 
9.18 A variável dependente nos modelos (9.7.3) e (9.7.4) é a mesma, então podemos 
usar a versão R² do teste F dado na Equação (8.7.10). No caso em tela, obtemos o R² 
restrito ( 2RR ) de (9.7.3), que vale 0,5318, e o irrestrito (
2
SRR ) vale 0,7298 e é dado por 
(9.7.4). No exemplo, n = 2, k = 5 e m = 1. Lançando esses valores na Equação 
(8.7.10), obtemos 
(0,7298 0,5318) /1 19,8
(1 0,7298) /(32 5)
F −= − − = , que tem a distribuição F com 1 e 27 
gl respectivamente no numerador e denominador. Com essa distribuição, o valor p de 
se obter um F de 19,8 ou maior é praticamente zero. Concluímos daí que não é valida 
a restrição imposta pelo modelo (9.7.3) de excluir a variável X. Ou melhor, a variável 
X, despesas com bens duráveis, deve – definitivamente – ser incluída no modelo. 
 
 
9.19 Neste caso, a variável binária Z toma o valor 2 quando D = 0 e o valor 5 quando 
D = 1. Com esses valores, obtemos os seguintes resultados para a regressão: 
 
Variável dependente: POUPANÇA 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1970 1995 
Observações incluídas: 
26 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -100,6363 37,88404 -2,656429 0,0144 
RENDA 0,123978 0,024574 5,045035 0,0000 
Z 50,82618 11,02746 4,609058 0,0001 
Z*RENDA -0,021823 0,005327 -4,096340 0,0005 
R-quadrado 0,881944 Variável dependente média 162,0885 
R-quadrado ajustado 0,865846 Desvio-padrão da variável 63,20446 
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dependente 
E.P. da regressão 23,14996 Critério info Akaike 9,262501 
Soma quad resíduos 11790,25 Critério Schwarz 9,456055 
Verossimilhança Log -116,4125 Estatística-F 54,78413 
Estat Durbin-Watson 1,648454 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
Temos de ter cuidado ao comparar esses resultados àqueles dados em (9.5.4), (9.5.5) 
e (9.5.6), pois a variável Z toma o valor 2 quando D = 0 e 5 quando D = 1. Para obter 
as regressões poupança-renda comparáveis a (9.5.5), em que o valor original da 
variável binária era zero, e (9.5.6), em que esse valor era 1, atribua à variável Z o 
valor 2, no primeiro caso, e 5 no segundo, onde quer que ela apareça, como a seguir: 
 
Regressão poupança-renda 1970–1981 
Poupança = [-100,6363+2(50,826180)]+[0,123978–2(0,02182)]renda = 
1,0161+0,0803 renda, 
resultado que é o mesmo obtido em (9.5.5), descontados os erros de arredondamento. 
 
Regressão poupança-renda 1982–1995 
Poupança = [-100,6363+5(50,826180)]+[0,123978–5(0,02182)]renda= 
153,4947+0,0148 renda, 
resultado que é o mesmo obtido em (9.5.6). 
 
A lição neste exercício é que a escolha dos valores numéricos para as variáveis binárias 
é essencialmente arbitrária. 
 
 
9.20 Como seria de se esperar, o sinal do coeficiente da variável binária na regressão 
(9.5.4) vai se tornar negativo (–152,4768) e o do coeficiente de (DtXt), positivo. O 
termo do intercepto será agora 153,4973, e o coeficiente da variável renda, 0,0148. 
Todas essas mudanças são lógicas. 
 
 
9.21 (a) Como a variável binária está em formato logarítmico, e o logaritmo de zero 
não existe, redefinido-a como 1 e 10 será possível obter logaritmos. 
 
(b) Os resultados da regressão são os seguintes, com os valores t entre parênteses: 
 
ln(poupança)t = –0,1589+0,6695 lnrendat +(–0,00029)lnDt 
 t = (–0,2074) (6,2362) (–0,00505) 
R² = 0,8780. 
Para todos os propósitos práticos, os dois termos de intercepto são iguais, pois o 
coeficiente da variável binária não é estatisticamente significativo. A interpretação do 
valor –0,1589 do coeficiente de intercepto é que ele representa o valor do logaritmo da 
poupança quando todos os regressores tomam o valor zero. Se tirarmos o 
antilogaritmo desse valor, obtemos 0,8531 (bilhões de dólares), número que, é claro, 
não tem muito significado econômico. 
 
Pode ser interessante comparar esses resultados com os seguintes, que levam em 
conta o efeito de interação: 
 
ln(poupança)t = –2,0048+0,9288 lnrendat +2,3278lnDt –0,2985lnDt* rendat 
 t = (–2,6528) (8,7596) (3,9696) (–3,9820) 
R² = 0,9291. 
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Temos agora um quadro completamente diferente, pois tanto o intercepto quanto o 
coeficiente angular diferenciais binários são significativos. Para o período 1982 a 1995, 
a propensão marginal a poupar (PMP) é 0,6303, enquanto para o período anterior é 
0,9288. E por sinal, o termo de intercepto para o primeiro período é negativo, mas 
positivo para o segundo. 
 
Veja só como erros de especificação podem mudar os resultados, como demonstrado 
nos cálculos anteriores. 
 
 
9.22 (a) Apresentamos os resultados para os três eletrodomésticos em forma de 
tabela, como segue: 
 
Eletrodoméstico Intercepto D2 D3 D4 R² 
Lavadora de 
louças 
748,2500 8,25 42,875 49,875 0,0219 
t (13,824) (0,10) (0,56) (0,65) 
 Trituradores 887,00 -77,50 -55,50 11,12 0,0810 
t (18,8066) (-1,16) (-0,83) (0,16) 
 Lavadora de 
roupas 
1225,625 -45,25 1,00 
-
106,875 
0,169 
t (33,2219) 
(-
0,8673) 
(0,01) (-2,05) 
 
 
(b) Os “coeficientes angulares” são, de fato, interceptos diferenciais, sendo o primeiro 
trimestre o de referência. Somente a variável binária do quarto trimestre para 
máquinas de lavar roupas é significativamente diferente da do primeiro em termos 
estatísticos, indicando que só para essas máquinas há algum tipo de sazonalidade. 
Isso contrasta com os resultados para geladeiras dados em (9.7.3) em que havia 
sazonalidade no segundo e terceiro trimestres, mas não no quarto. 
 
(c) Não há necessidade de dessazonalizar os dados porque não há sazonalidade 
estatística visível para as vendas de lavadoras de pratos e trituradores de lixo. Quanto 
às lavadoras de roupas, os resíduos da regressão representarão uma série temporal 
dessazonalizada. 
 
9.23 Seguem os resultados da regressão fornecidos pelo software Eviews 3. Nas 
tabelas seguintes, D1, D2 e D3 são as variáveis binárias para o segundo, terceiro e 
quarto trimestres. PRAT, TRIT e ROUP representam, respectivamente, as vendas de 
lavadoras de pratos, trituradores de lixo e lavadoras de roupas em milhares de 
unidades, e DUR representa despesas em bens duráveis em bilhões de dólares. Nem 
todas as estatísticas das tabelas já foram discutidas, mas serão ao longo do livro à 
medida que avançarmos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Variável dependente: PRAT 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1978:1 
1985:4 
 
Observações incluídas: 
32 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 106,8419 168,80100,632946 0,5321 
D1 5,840220 62,14176 0,093982 0,9258 
D2 24,14839 62,32067 0,387486 0,7014 
D3 29,81285 62,34750 0,478172 0,6364 
DUR 2,322680 0,590194 3,935452 0,0005 
R-quadrado 0,378492 Variável dependente média 773,5000 
R-quadrado ajustado 0,286416 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
147,1194 
E.P. da regressão 124,2775 Critério info Akaike 12,62551 
Soma quad resíduos 417012,1 Critério Schwarz 12,85453 
Verossimilhança Log -197,0082 Estatística-F 4,110677 
Estat Durbin-Watson 0,183078 Probabilidade (Estatística-F) 0,009944 
 
 
Variável dependente: TRIT 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1978:1 
1985:4 
 
Observações incluídas: 
32 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística–t Probabilidade 
C 56,40125 81,47305 0,692269 0,4947 
D1 -80,62057 29,99319 -2,687963 0,0122 
D2 -79,75024 30,07954 -2,651312 0,0133 
D3 -14,85471 30,09249 -0,493635 0,6256 
DUR 3,007781 0,284862 10,55875 0,0000 
R-quadrado 0,820847 Variável dependente média 856,5312 
R-quadrado ajustado 0,794306 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
132,2576 
E.P. da regressão 59,98346 Critério info Akaike 11,16862 
Soma quad resíduos 97146,41 Critério Schwarz 11,39764 
Verossimilhança Log -173,6979 Estatística-F 30,92730 
Estat Durbin-Watson 0,733166 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
 
Variável dependente: ROUP 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1978:1 
1985:4 
 
Observações incluídas: 
32 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 741,0680 107,2523 6,909578 0,0000 
D1 -4707049 39,48345 -1,192157 0,2436 
D2 -13,14717 39,59713 -0,332023 0,7424 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
D3 -122,0311 39,61418 -3,080491 0,0047 
DUR 1,754688 0,374996 4,679221 0,0001 
R-quadrado 0,541230 Variável dependente média 1187,844 
R-quadrado ajustado 0,473264 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
108,7996 
E.P. da regressão 78,96307 Critério info Akaike 11,71844 
Soma quad resíduos 168349,5 Critério Schwarz 11,94746 
Verossimilhança Log -182,4950 Estatística-F 7,963248 
Estat Durbin-Watson 0,926092 Probabilidade (Estatística-F) 0,000224 
 
(b) A inclusão de gastos com bens duráveis na equação para as máquinas de lavar 
pratos não muda o resultado no que tange à sazonalidade, que não existe nos dados 
(comparados aos do primeiro trimestre). Os resultados para os trituradores de lixo são 
consideravelmente diferentes, pois que há sazonalidade pronunciada nos segundo e 
terceiro trimestres. Para as máquinas de lavar roupas, os resultados são 
qualitativamente os mesmos. Observe, entretanto, que o coeficiente de gastos com 
bens duráveis é estatisticamente significativo em todas as regressões. 
 
(c) A inclusão das variáveis binárias no modelo de regressão remove a sazonalidade, 
se houver, não só da venda dos vários eletrodomésticos, mas também dos gastos com 
bens duráveis, a la teorema de Frisch-Waugh mencionado no capítulo do livro-texto. 
 
 
9.24 (a) & (b) Este é um trabalho para ser feito individualmente pelos alunos. Nos 
Estados Unidos, as eleições presidenciais de 2000 ocorreram em sete de novembro. Se 
você tivesse usado seu modelo, sua previsão do resultado teria sido correta? 
 
(c) Os resultados desse modelo são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: V 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1 21 
Observações incluídas: 
21 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 0,505678 0,026324 19,21007 0,0000 
I -0,019753 0,016347 -1,208325 0,2456 
VB 0,055755 0,019637 2,839255 0,0124 
G*I 0,009625 0,001706 5,642862 0,0000 
P 0,000155 0,002804 0,055370 0,9566 
N -0,004637 0,003293 -1,407866 0,1796 
R-quadrado 0,788321 Variável dependente média 0,490690 
R-quadrado ajustado 0,717762 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,075065 
E.P. da regressão 0,039879 Critério info Akaike -3,370963 
Soma quad resíduos 0,023855 Critério Schwarz -3,072528 
Verossimilhança Log 41,39511 Estatística-F 11,17242 
Estat Durbin-Watson 2,229997 Probabilidade (Estatística-F) 0,000125 
 
Talvez G possa ser incluído no modelo como regressor, embora os autores não o 
tenham feito. 
 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
9.25 Os resultados do Eviews 3 para a regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: SALH 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1 528 
Observações incluídas: 
528 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -0,261014 1,106956 -0,235794 0,8137 
GÊNERO -2,360657 0,430203 -5,487303 0,0000 
RAÇA -1,732729 0,794716 -2,180314 0,0297 
GÊNERO*RAÇA 2,128986 1,222109 1,742059 0,0821 
ESCOLARIDADE 0,802807 0,081014 9,909478 0,0000 
R-quadrado 0,203263 Variável dependente média 9,047538 
R-quadrado ajustado 0,197169 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
5,144082 
E.P. da regressão 4,609140 Critério info Akaike 5,903384 
Soma quad resíduos 11110,70 Critério Schwarz 5,943811 
Verossimilhança Log -1553,493 Estatística-F 33,35678 
Estat Durbin-Watson 1,873724 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
Como mostram os resultados, a variável binária interativa gênero-raça é 
estatisticamente significativa no nível de 8%. Se considerarmos que esse valor p é 
suficientemente baixo, essa variável é significativa, e os resultados dados em (9.6.4) 
têm de ser reinterpretados. Em relação só ao gênero – repare que a variável binária do 
gênero é 1 para as mulheres –, o seu salário médio por hora é cerca de US$2,36 mais 
baixo em comparação ao dos homens. Da mesma forma, o salário médio por hora dos 
não-brancos e não-hispânicos é US$1,73 mais baixo. Mas esses resultados precisam 
ser modificados para levar em consideração a variável binária gênero-raça. 
 
Por exemplo, se mantivermos raça constante, o salário médio por hora das mulheres 
passa a ser só US$0,2317 (= -2,3606 + 2,1289) mais baixo. Analogamente, se 
mantivermos gênero constante, o salário médio por hora dos trabalhadores não-
brancos e não-hispânicos passa a ser US$0,3962 (= -1,7327 + 2,1289) mais alto. 
Podemos ver, desse modo, como a variável binária interativa (ou multiplicativa) 
atenua ou exagera o efeito das aditivas. 
 
9.26 Os resultados do Eviews 3 para a regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: SALH 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1 528 
Observações incluídas: 
528 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 9,067519 0,446115 20,32552 0,0000 
ECIVIL 0,713991 0,551188 1,295367 0,1958 
REGIÃO -2,540727 0,826694 -3,073359 0,0022 
ECIVIL*REGIÃO 1,323573 1,020982 1,296373 0,1954 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
R-quadrado 0,035309 Variável dependente média 9,047538 
R-quadrado ajustado 0,029786 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
5,144082 
E.P. da regressão 5,066893 Critério info Akaike 6,090880 
Soma quad resíduos 13452,87 Critério Schwarz 6,123221 
Verossimilhança Log -1603,992 Estatística-F 6,392958 
Estat Durbin-Watson 1,860478 Probabilidade (Estatística-F) 0,000293 
 
Os resultados indicam que não parece haver muita interação entre o estado civil e a 
região, pois a variável binária multiplicativa – com valor p de cerca de 20% – não é 
significativa. Não há, aparentemente, necessidade de incluir essa variável binária, e os 
resultados dados em (9.3.1) são, portanto, confiáveis. 
 
 
9.27 1ˆβ dará o valor médio das primeiras 40 observações, e 1 2ˆ ˆ( )β β+ o das 60 
observações seguintes. A variância de 1ˆβ é 100/40 e a de 1 2ˆ ˆ( )β β+ é 100/60. Lembre-
se de que se X for uma variável aleatória com média E(X) e var= 2xσ , então a média 
amostral X tem o mesmo valor esperado, mas sua variância é igual a 
2
x
n
σ
, em que n 
é o tamanho da amostra.9.28 (a) Os resultados do Eviews 3 para a regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: ln 
(POUPANÇA) 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1970 1995 
Observações incluídas: 
26 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 3,677198 0,108486 33,89569 0,0000 
RENDA 0,000709 7,80E-05 9,084319 0,0000 
VB 1,3971 0,1779 7,8500 0,0000 
VB*RENDA -0,0006 8,60E-05 -7,4361 0,0000 
R-quadrado 0,933254 Soma quad resíduos 0,341255 
Estatística-F 102,5363 
Estat Durbin-Watson 1,612107 
 
O modelo (9.5.4) é linear, ao passo que este é um modelo log-linear. Assim, os 
coeficientes angulares do regressor devem ser interpretados como semi-elasticidades. 
Qualitativamente, ambos os modelos fornecem resultados similares, mas como o 
regressando dos dois é diferente, não podemos comparar diretamente os R². 
 
(b) Como mencionado no texto, se tirarmos o antilogaritmo do coeficiente 3,6772 da 
variável binária, o que obtemos é a poupança mediana no período 1970–1981, 
mantendo constantes todos os outros fatores. Esse antilog vale 39,5355, então, se a 
 
 
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renda for zero, essa poupança será de 40 bilhões de dólares, aproximadamente. Mais 
uma vez, um número que deve ser interpretado com prudência. 
 
Se agora tirarmos o antilogaritmo de (3,6772+1,3971), que vale 159,8602, número 
que, em bilhões de dólares, representa a poupança mediana no período 1982–1995, 
mantendo constante a variável renda. Outro número que deve ser interpretado com 
prudência. 
 
(c) Regressando o log de Y (poupança) contra X (renda), as variâncias dos erros 
estimados nos dois períodos são 2σˆ = 0,0122 (gl=10) e 2σˆ = 0,0182 (gl = 12). Sob a 
hipótese nula de que as variâncias das duas populações são iguais, temos 
0,0182 1,4918
0,0122
F = = , valor que, para gl 10 e 12 respectivamente no numerador e 
denominador, não é significativo sequer no nível de 25%. Concluímos, então, que são 
iguais as variâncias dos erros. Repare que no modelo original discutido no livro 
regressamos Y (não ln Y) contra X. Portanto, se havia heterocedasticidade nesse 
modelo e não no log-lin, pode ser que a transformação logarítmica seja mais 
adequada. 
 
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i
 
CAPÍTULO 10 
MULTICOLINEARIDADE: O QUE ACONTECE SE OS REGRESSORES SÃO 
CORRELACIONADOS? 
 
 
 
10.1 Se Xk é uma combinação linear perfeita das variáveis explanatórias restantes, 
então existem (k-1) equações com k incógnitas. Com mais incógnitas do que 
equações, soluções únicas (ou singulares) não são possíveis. 
 
 
10.2 (a) Não. A variável X3i é uma combinação linear exata de X2i, pois X3i = 2X2i – 1. 
 
(b) Reescrevendo a equação, obtemos: 
 
1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 1 2 2(2 1) ( ) ( 2 )i i i i i i iY X X u X u X uβ β β β β β β α α= + + − + = − + + + = + + , em que 
1 1 3( )α β β= − e 2 2( 2 2 )α β β= + . Podemos, portanto, estimar α1 e α2 singularmente, 
mas não os β originais, pois só temos duas equações para resolver três incógnitas. 
 
 
10.3 (a) Embora os valores numéricos do intercepto e dos coeficientes angulares de 
PNBpc e TAF tenham mudado, os seus sinais são os mesmos. Além disso, essas 
variáveis continuam sendo estatisticamente significativas. As mudanças devem ser 
devidas à inclusão da variável TFT, indicando que pode haver alguma colinearidade 
entre os regressores. 
 
(b) Como o valor t do coeficiente de TFT é muito significativo (o valor p é só 0,0032), 
essa variável, aparentemente, se encaixa no modelo. O sinal positivo desse coeficiente 
também faz sentido porque quanto mais filhos tiver uma mulher, maiores são as 
chances de aumentar a mortalidade infantil. 
 
(c) Esta é uma daquelas ocorrências “felizes” em que, apesar da possível 
colinearidade, os coeficientes individuais são, assim mesmo, estatisticamente 
significativos. 
 
 
10.4 A relação pode ser reescrita assim: 
32
1 2 3 12.3 2 13.2 3
1 1
i i i i iX X X X X
λλ β βλ λ= − − = + 
31
2 1 3 21.3 1 23.
2 2
i i i i 1 3iX X X X X
λλ β βλ λ= − − = + 
1 2
3 1 2 31.2 1 32.1 2
3 3
i i i i iX X X X X
λ λ β βλ λ= − − = + 
 
Portanto, 
 
 
 
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2 1
12.3 12.3 21.3
1 2
ˆ ˆ( )( ) ( )( )r λ λβ β λ λ= = − − 1= ± 
 
3 1
13.2 13.2 31.2
1 3
ˆ ˆ( )( ) ( )( )r λ λβ β λ λ= = − − 1= ± 
3 2
23.1 23.1 32.1
2 3
ˆ ˆ( )( ) ( )( )r λ λβ β λ λ= = − − 1= ± 
 
Daí, 
 
2 2 2 2
1.23 12 12 13.2(1 ) 1R r r r= + − = . Analogamente, 2 22.13 3.12 1R R= = . 
 
O grau de multicolinearidade é perfeito. 
 
 
10.5 (a) Sim. Dados de séries temporais econômicas tendem a evoluir na mesma 
direção, como acontece com as variáveis defasadas de renda neste caso. 
 
(b) Como vimos sucintamente no Capítulo 10 e mais a fundo no Capítulo 17, a 
transformação de primeira diferença pode minorar o problema. 
 
 
10.6 Quando a variável riqueza é excluída do modelo, ocorre erro de especificação, e o 
coeficiente da variável renda fica tendencioso. O que se observa, então, na equação 
(10.6.4) é uma estimativa tendenciosa do coeficiente de renda. A natureza do viés é 
a seguinte: 
 
Dado que 1 2 2 3 3i iY X X i iuβ β β= + + + , vem que , em que b12 é o 
coeficiente angular na regressão de Y contra X2, e b32 na de X3 contra X2. De acordo 
com os dados informados, temos que 
12 2 3 32
ˆ ˆb β β= + b
2βˆ = 0,9415; 3βˆ = -0,0424; b32 = 10,191 e b12 = 0,5091. Portanto, o viés em b12 é 
= (–0,0424) (10,191) = –0,4321. 3 32
ˆ( )( )bβ
 
 
10.7 Como dissemos na Questão 10.5, as variáveis em Economia são muitas vezes 
influenciadas por fatores tais como ciclos econômicos e tendências. Espera-se, 
portanto, colinearidade na análise de regressão com variáveis como PIB e oferta de 
moeda. 
 
 
10.8 (a) Sim, porque o coeficiente de correlação entre X2 e X3 é zero. 
Conseqüentemente, os termos do produto cartesiano anulam-se nas fórmulas para os 
coeficientes β (Equações 7.4.7 e 7.4.8), que ficam assim iguais àquelas para os 
coeficientes α e γ (Equação 3.1.8). 
(b) Será uma combinação, como demonstramos a seguir: 
 
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1 2 2 3
1 2 2 2
1 3 3 3
ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
Y X X
Y X Y X
Y X Y X
β β β
α α β
γ γ β
= − −
= − = −
= − = −
2
3
 
 
Logo, 1 1 1
ˆ ˆ ˆ Yβ α γ= + − . 
 
(c) Não, pelas seguintes razões: 
 
2 2
2 2 2
2 23
ˆ ˆˆvar( )
(1 )i i
2
2x r x
σ σβ = =−∑ ∑ (Nota: 223 0r = ) 
2
1
2 2
2
ˆˆvar( )
ix
σα = ∑ (veja a Equação 3.3.1) 
Repare que 
2 2
2 2
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
3 2
i iu u
n n
σ σ= ≠ =− −
∑ ∑
. 
 
10.9 (a) O coeficiente de correlação entre trabalho e capital é relativamente alto e 
aproximadamente igual a 0,698. 
 
(b) Não. Apesar da correlação entre as duas variáveis, os coeficientes da regressão são 
estatisticamente significativos no nível de 5%. Excluir uma variável nessas condições 
acarretaria viés de especificação. 
 
(c) Se for excluída a variável trabalho, o coeficiente do capital será tendencioso. O viés 
pode ser calculado como no Exercício 10.6 e vale = (1,4988)(0,1319) = 
0,1975. 
2 23
ˆ( )( )bβ
 
 
10.10 (a) Não, porque a multicolinearidade diz respeito à associação linear entre 
variáveis, e nesse caso ela é não-linear. 
 
(b) Não há razão para excluí-las. São teórica e estatisticamente significativas neste 
exemplo. 
 
(c) Se uma das variáveis for excluída, haverá viés de especificação que aparecerá nos 
coeficientes das variáveis remanescentes. 
 
 
10.11 Não. Variáveis devem ser incluídas com fundamento teórico, e não apenas para 
aumentar a SQE ou o R². Além disso, se as variáveis estiverem correlacionadas, suainclusão ou exclusão alterará os valores dos outros coeficientes. 
 
 
10.12 (a) Falsa. Se existir relação linear exata entre variáveis, não poderemos sequer 
estimar os coeficientes ou seus erros-padrão. 
 
(b) Falsa. Deve-se conseguir obter um ou mais valores t significativos. 
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(c) Falsa. Conforme observado no texto (veja a Equação 7.5.6), a variância de um 
estimador de MQO é dada pela fórmula 
2
2
1ˆvar( )
1j 2j jx R
σβ ⎛ ⎞= ⎜⎜ −⎝ ⎠∑ ⎟⎟ , e dela se pode 
deduzir que um 2jR elevado pode ser contrabalançado por um baixo 
2σ ou um alto 
2
jx∑ . 
 
(d) Incerta. Se houver somente dois regressores no modelo, um alto coeficiente de 
correlação entre pares de variáveis pode indicar multicolinearidade. Se um ou mais 
regressores entrarem de forma não-linear, as correlações entre pares podem levar a 
respostas enganosas. 
 
(e) Incerta. Não há mal nenhum se a colinearidade observada persistir nos valores das 
amostras futuras. Mas se esse não for o caso ou se o objetivo for uma estimação 
precisa, então a multicolinearidade pode ser um problema. 
 
(f) Falsa. Veja a resposta (c). 
 
(g) Falsa. FIV e TOL fornecem a mesma informação. 
 
(h) Falsa. Normalmente se obtêm R² elevados em modelos com muita correlação entre 
os regressores. 
(i) Verdadeira. Como se pode ver pela fórmula dada em (c), se a variabilidade de X3 
for pequena, 2jR tenderá a ser pequeno e no caso extremo de não haver variabilidade 
em X3, 
2
3ix∑ será igual a zero, caso em que a variância de β3 estimado será infinita. 
 
 
10.13 (a) Reportando-nos à Equação (7.11.15), vemos que se todos os r² forem zero, 
R² será zero, ipso facto. 
 
(b) Não será explicada pelo modelo nenhuma variação do regressando se este não 
tiver correlação com nenhum dos regressores. 
 
 
10.14 (a) Se todas as correlações de ordem zero, ou simples, forem iguais a r, a 
Equação (7.11.5) se reduz a 
 
2 2
2
2
2 (1 ) 2
(1 ) 1
r r rR
r r
−= =− + . 
 
(b) Pela Equação (7.11.1), pode-se ver, por exemplo, que 12.3 2
(1 )
1 1
r r rr
r r
−= =− + . 
 
 
 
 
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t i
 
10.15 (a) Se houver multicolinearidade perfeita, (X’X) passa a ser uma matriz 
singular e, portanto, não pode ser invertida. Conseqüentemente, os coeficientes e seus 
erros-padrão são indefinidos. 
 
(b) Pode-se testar isso examinado o determinante de (X’X). Se for zero, existe 
colinearidade perfeita. 
 
 
10.16 (a) Como no caso de colinearidade perfeita a matriz (X’X) não pode ser 
invertida, a de variância-covariância é indefinida. 
 
(b) Se a colinearidade é alta, a matriz de variância-covariância é definida, mas as 
variâncias (dadas pelos elementos da diagonal principal) tenderão a ser muito grandes 
conforme o determinante de (X’X) for se aproximando de zero e à medida que a 
colinearidade for crescendo. 
 
 
10.17 (a) Se o determinante de R for zero, existirá colinearidade perfeita. 
 
(b) Se o determinante for pequeno, a colinearidade será menos que perfeita. 
 
(c) Se o determinante for 1, as variáveis serão ortogonais (veja o Exercício 10.18). 
 
10.18 (a) Só haverá elementos na diagonal principal. 
 
 
(b) Obtenha a matriz (X’X), sua inversa e (X’y). 
 
(c) Não haverá elementos fora da diagonal, isto é, elementos de covariância. 
 
(d) Não. Como todos os regressores são ortogonais, todos os termos de covariância 
(isto é, produto cruzado) serão zero. 
 
10.19 (a) Como o terceiro regressor (Mt – Mt-1) é uma combinação linear de Mt e Mt-1 , 
poderá haver um problema de colinearidade. 
 
(b) Se reespecificarmos o modelo assim: 
 
1 2 4 3 4 1 1 1 2 1( ) ( )t t t i tGNP M M u M M uβ β β β β β α α−= + + + − + = + + − +− , poderemos 
estimar singularmente β1, α1 e α2, mas não β2, β3 e β4. 
 
(c) Todos os parâmetros poderiam ser estimados singularmente, pois não haveria mais 
colinearidade perfeita. 
 
(d) A resposta é a mesma de (c). 
 
 
10.20 Recorde que 
2
2 32
23 2 2
2 3
( )
( )(
i i
i i
x x
r
)x x
= ∑∑ ∑ . 
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2 2 2 2
2 3 23 2 3( )( )i i i iLogo, ( )x x r x x=∑ ∑ ∑ . 
 
Substitua essa expressão nos denominadores das Equações (7.4.7) e (7.4.8) e 
simplifique. 
 
 
10.21 Quando existe colinearidade perfeita, r23 = 1. Portanto, os denominadores em 
(7.4.12) e (7.4.15) serão zero, e, conseqüentemente, indefinidas as variâncias. 
 
 
10.22 Como 2 3 2 3 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) [var( ) var( ) 2cov( , )ep β β β β β+ = + + β , e tendo em vista que os 
valores de covariância são dados, verificar o que se pede é mera questão de substituí-
los na equação. 
 
 
10.23 (a) Ceteris paribus, a variância do coeficiente estimado de kβ diminui à medida 
que 2kσ cresce, o que permitirá uma estimação mais precisa de ˆkβ . 
 
(b) A variância é indefinida quando a colinearidade é perfeita. 
 
(c) Verdadeiro. Conforme aumenta R², diminui (1-R²), o que reduzirá a variância do 
coeficiente estimado. 
 
 
10.24 (a) Dados o relativamente alto R² de 0,97, o valor F significativo e o 
(economicamente falando) insignificante e impropriamente sinalizado coeficiente de log 
K, pode ser que haja colinearidade no modelo. 
 
(b) A priori, espera-se que o impacto do capital sobre a produção seja positivo, o que 
não ocorre nesse caso devido provavelmente à colinearidade nos regressores. 
 
(c) É uma função de produção tipo Cobb-Douglas, pois podemos escrever o modelo 
dado como 3 421
tY K L eβ βββ= . 
 
(d) Em média, ao longo do período estudado, um incremento de 1% no índice de uso 
real de mão-de-obra leva a um aumento de 0,91% do índice de produto real. No 
modelo, a variável t representa o tempo, que com freqüência é tomado como variável 
instrumental para mudança tecnológica. O coeficiente de 0,47 indica que ao longo do 
período estudado, a taxa de crescimento do produto real (como medida pelo índice de 
produto) foi de 4,7%, em média. 
 
(e) Implicitamente, a equação assume que há retornos de escala constantes, ou seja, 
2 3( ) 1β β+ = . Uma eventual vantagem da transformação pode ser a redução do 
problema da colinearidade. 
 
(f) Dado que o coeficiente da relação capital/mão-de-obra é estatisticamente 
insignificante, o problema da colinearidade, ao que tudo indica, não foi resolvido. 
 
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(g) Como mencionado em (e), o autor está tentando saber se há retornos de escala 
constantes. O teste F visto no Capítulo 8 poderia ser utilizado para descobrirmos se a 
restrição é válida. Mas como as variáveis dependentes são diferentes nos dois 
 
modelos, precisamos das somas dos quadrados dos resíduos restritas e irrestritas para 
usar a versão R² desse teste. 
 
(h) De acordo com (g), os valores de R² não são comparáveis. Para torná-los 
comparáveis, poderíamos adotar os procedimentos vistos no Capítulo 7. 
 
 
10.25 (a), (b), (c) & (d) Em essência, todas essas opiniões nos dizem que a 
multicolinearidade é, muito freqüentemente, um problema de deficiência de dados. 
 
 
Problemas 
 
 
10.26 (a) Os resultados da regressão do modelo modificado são: 
 
iˆY = 20,995 + 0,710Zi 
ep = (6,341) (0,066) 
 t = (3,311) (10,771) r² = 0,906 
3βˆ = (0,75)(0,710) = 0,532. Portanto, 4βˆ = (0,625)(0,710) = 0,444. 
 
(b) A variável Z pode ser interpretada como uma média ponderada dos diferentes tipos 
de renda. 
 
10.27 (a) Os resultados do Eviews 3 para a regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: LIMPORTA 
 
Método: Mínimos quadrados 
Data: 11/11/2000 Hora: 10:16 
Amostra: 1970 1998 
Observações incluídas: 
29 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t ProbabilidadeC 1,975260 0,782070 2,525683 0,0180 
LPIB 1,043167 0,405783 2,570749 0,0162 
LIPC 0,446142 0,569840 0,782925 0,4407 
R-quadrado 0,982318 Variável dependente média 12,49048 
R-quadrado ajustado 0,980958 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,904848 
E.P. da regressão 0,124862 Critério info Akaike -1,225512 
Soma quad resíduos 0,405356 Critério Schwarz -1,084068 
Verossimilhança Log 20,76993 Estatística-F 722,2174 
Estat Durbin-Watson 0,461405 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
(b) A julgar pelo alto R² e pelo valor t insignificante do coeficiente de ln IPC, é 
provável que haja multicolinearidade nos dados. 
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(c) Seguem os resultados das regressões: 
 
 
Variável dependente: LIMPORTA 
Método: Mínimos quadrados 
Data: 11/11/2000 Hora: 10:21 
Amostra: 1970 1998 
Observações incluídas: 
29 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 1,407426 0,290493 4,844960 0,0000 
LPIB 1,359628 0,035525 38,27295 0,0000 
R-quadrado 0,981901 
 
 
Variável dependente: LIMPORTA 
 
Método: Mínimos quadrados 
 
Amostra: 1970 1998 
Observações incluídas: 
29 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 3,898610 0,250312 15,57499 0,0000 
LIPC 1,905351 0,055221 34,50388 0,0000 
R-quadrado 0,977824 
 
 
Variável dependente: LPIB 
 
Método: Mínimos quadrados 
 
Amostra: 1970 1998 
Observações incluídas: 
29 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 1,8437 0,1080 17,0680 0,0000 
LIPC 1,3988 0,0238 58,6972 0,0000 
R-quadrado 0,9922 
 
A regressão auxiliar de LPIB contra LIPC mostra que há alta correlação entre as duas 
variáveis, indicando a possibilidade de haver problemas de colinearidade com os 
dados. 
 
(d) No caso, a melhor solução seria expressar as importações e o PIB em termos reais 
dividindo-os pelo IPC, conforme observado no capítulo do livro-texto. Os resultados do 
Eviews 3 são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: 
LOG(IMPORTA / IPC) 
 
Método: Mínimos quadrados 
Data: 11/11/2000 Hora: 10:26 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
Amostra: 1970 1998 
Observações incluídas: 
29 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 0,106099 0,494911 0,214380 0,8319 
LOG(PIB/IPC) 2,162167 0,135693 15,93429 0,0000 
R-quadrado 0,903881 
 
 
10.28 (a) Como há cinco variáveis explanatórias, haverá cinco regressões auxiliares. 
Por economia de espaço, apresentamos a seguir somente os valores R² obtidos com 
essas regressões: 
 
Variável 
dependente 
R² 
X2 0,9846 
X3 0,9482 
X4 0,9872 
X5 0,9889 
X6 0,9927 
 
(b) Como os R² estão uniformemente altos em todas as regressões auxiliares, parece 
que há um problema de multicolinearidade com os dados. 
 
(c) É provável que haja na equação excesso de variáveis para substitutos da carne de 
frango. Poderíamos usar como regressores apenas o preço composto dos substitutos, o 
da carne de frango e a renda disponível, o que já foi feito no Exercício 7.19. 
 
(d) Criar uma variável de preço relativo, digamos, o preço da carne bovina dividido 
pelo da suína, poderia amenizar o problema da colinearidade. 
 
 
10.29 (a) & (c) Pelo exame dos coeficientes de correlação entre as possíveis variáveis 
explanatórias, observamos uma correlação muito alta entre o IPC geral e o IPC de 
carros novos (0,997), e entre este e a RPD (0,991). Os outros são relativamente altos, 
mas podem permanecer no modelo por razões teóricas. A RPD também está 
estreitamente ligada ao nível de emprego, e a correlação entre as duas é 0,972. 
Podemos, portanto, excluir o IPC geral e a RPD e estimar o seguinte modelo: 
 
 
Variável dependente: LY 
 
Método: Mínimos quadrados 
 
Amostra: 1971 1986 
Observações incluídas: 
16 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -22,10374 8,373593 -2,639696 0,0216 
LX2 -1,037839 0,330227 -3,142805 0,0085 
LX5 -0,294929 0,073704 -4,001514 0,0018 
LX6 3,243886 0,872231 3,719068 0,0029 
R-quadrado 0,684855 Variável dependente média 9,204273 
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R-quadrado ajustado 0,606069 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,119580 
E.P. da regressão 0,075053 Critério info Akaike -2,128930 
Soma quad resíduos 0,067595 Critério Schwarz -1,935783 
Verossimilhança Log 21,03144 Estatística-F 8,692569 
Estat Durbin-Watson 1,309678 Probabilidade (Estatística-F) 0,002454 
 
Nota: Nesta tabela, a letra L significa “logaritmo de”. 
 
Ao que tudo indica, não há problemas de colinearidade nesse modelo. 
 
(b) Incluindo todas as variáveis X, obtemos os seguintes resultados: 
 
 
Variável dependente: LOG(Y) 
 
Método: Mínimos quadrados 
 
Amostra: 1971 1986 
Observações incluídas: 
16 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 3,254859 19,11656 0,170264 0,8682 
LOG(X2) 1,790153 0,873240 2,050012 0,0675 
LOG(X3) -4,108518 1,599678 -2,568341 0,0280 
LOG(X4) 2,127199 1,257839 1,691154 0,1217 
LOG(X5) -0,030448 0,121848 -0,249884 0,8077 
LOG(X6) 0,277792 2,036975 0,136375 0,8942 
R-quadrado 0,854803 Variável dependente média 9,204273 
R-quadrado ajustado 0,782205 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
0,119580 
E.P. da regressão 0,055806 Critério info Akaike -2,653874 
Soma quad resíduos 0,031143 Critério Schwarz -2,364153 
Verossimilhança Log 27,23099 Estatística-F 11,77442 
Estat Durbin-Watson 1,793020 Probabilidade (Estatística-F) 0,000624 
 
Como suspeitávamos, são evidentes os problemas de colinearidade desse modelo. 
 
 
10.30 Vamos, primeiro, apresentar a matriz de correlação dos regressores: 
 
 TAXA GE GMO NEIN ATIVOS IDADE Dependentes 
TAXA 1,000000 0,571693 0,058992 0,701787 0,778932 0,044173 -0,60135 
GE 0,571693 1,000000 -
0,040994 
0,234426 0,274094 -
0,015300 
-0,69288 
GMO 0,058992 -
0,040994 
1,000000 0,359094 0,292243 0,775494 0,05021 
NEIN 0,701787 0,234426 0,359094 1,000000 0,987510 0,502432 -0,52083 
ATIVOS 0,778932 0,274094 0,292243 0,987510 1,000000 0,417086 -0,51355 
IDADE 0,044173 -
0,015300 
0,775494 0,502432 0,417086 1,000000 -0,04836 
Dependentes -
0,601358 
-
0,692881 
0,050212 -
0,520832 
-
0,513552 
-
0,048360 
1,000000 
Escolaridade 0,881271 0,549108 - 0,539173 0,630899 - -0,60257 
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0,298555 0,331067 
 
Nota: Nesta tabela, considere a última linha como a última coluna. 
 
Como mostra a tabela, as correlações aos pares, ou simples, variam desde valores 
muito baixos (-0,0409 entre GM e GMO, por exemplo) a valores comparativamente 
altos (0,8812 entre Escolaridade e Taxa, por exemplo). 
 
(a) Regressando a variável Horas contra todos os regressores, obtemos os seguintes 
resultados: 
 
 
Variável dependente: HORAS 
 
Método: Mínimos quadrados 
 
Amostra: 1 35 
Observações incluídas: 
35 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 1904,578 251,9333 7,559849 0,0000 
TAXA -93,75255 47,14500 -1,988600 0,0574 
GE 0,000225 0,038255 0,005894 0,9953 
GMO -0,214966 0,097939 -2,194896 0,0373 
NEIN 0,157208 0,516406 0,304427 0,7632 
ATIVOS 0,015572 0,025405 0,612970 0,5452 
IDADE -0,348636 3,722331 -0,093661 0,9261 
Dependentes 20,72803 16,88047 1,227930 0,2305 
Escolaridade 37,32563 22,66520 1,646826 0,1116 
R-quadrado 0,825555 Variável dependente média 2137,086 
R-quadrado ajustado 0,771879 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
64,11542 
E.P. da regressão 30,62279 Critério info Akaike 9,898400 
Soma quad resíduos 24381,63 Critério Schwarz10,29835 
Verossimilhança Log -164,2220 Estatística-F 15,38050 
Estat Durbin-Watson 1,779824 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
A interpretação é simples e direta. Então, ceteris paribus, se os salários médios por 
hora (TAXA) subirem um dólar, em média, o número médio de horas trabalhadas 
durante o ano (HORAS) cai cerca de 93 horas. 
 
(c) Por economia de espaço, calcularemos FIV e TOL somente da taxa do regressor. 
Regressando TAXA contra todos os outros regressores, obtemos um valor R² de 
0,9416. Pela Equação (7.5.6) podemos verificar que o FIV para esse regressor é cerca 
de 2224, e o inverso desse número é a TOL, que vale 0,00045. 
 
(d) Nem todas as variáveis do modelo são necessárias. Uma ou mais podem ser 
excluídas aplicando os testes de diagnóstico apresentados no livro, ou podemos usar 
uma combinação linear delas. 
 
(e) Embora os resultados sejam variados, talvez haja alguma evidência de que valha a 
pena experimentar o imposto de renda negativo. 
 
 
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10.31 Este é para ser feito em aula. 
 
10.32 Os resultados do Eviews para a regressão são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: Y 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1947 1961 
Observações incluídas: 
15 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -3017441 939728,1 -3,210973 0,0124 
X1 -20,51082 87,09740 -0,235493 0,8197 
X2 -0,027334 0,033175 -0,823945 0,4338 
X3 -1,952293 0,476701 -4,095429 0,0035 
X4 -0,958239 0,216227 -4,431634 0,0022 
X5 0,051340 0,233968 0,219430 0,8318 
X6 1585,156 482,6832 3,284049 0,0111 
R-quadrado 0,9955 
R-quadrado ajustado 0,9921 
E.P. da regressão 295,6219 
Soma quad resíduos 699138,2 
Estatística-F 295,7710 
Estat Durbin-Watson 2,492491 
 
Comparando esses resultados com os da Seção 10.10, vemos que a exclusão de uma 
única observação pode alterar as magnitudes e/ou os sinais de alguns dos coeficientes, 
o que fundamenta o argumento apresentado no texto de que, em casos de alta 
colinearidade, pequenas mudanças nos dados podem levar a diferenças consideráveis 
nos resultados. 
 
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CAPÍTULO 11 
HETEROCEDASTICIDADE: O QUE ACONTECE SE A VARIÂNCIA DO ERRO NÃO É 
CONSTANTE? 
 
 
 
11.1 (a) Falsa. Os estimadores não são tendenciosos, mas ineficientes. 
 
(b) Verdadeira. Veja a Seção 11.4. 
 
(c) Falsa. Tipicamente, mas nem sempre, a variância será superestimada. Veja a 
Seção 11.4 e o Exercício 11.9. 
 
(d) Falsa. Além da heterocedasticidade, tal padrão pode ser resultado de 
autocorrelação, erros de especificação de modelo etc. 
 
(e) Verdadeira. Como os 2iσ verdadeiros não são diretamente observados, algum 
pressuposto a respeito da natureza da heterocedasticidade é inevitável. 
 
(f) Verdadeira. Veja a resposta (d). 
 
(g) Falsa. Heterocedasticidade tem a ver com a variância do termo de erro ui, não com 
a variância do regressor. 
 
 
11.2 (a) A Equação (1) mostra que à medida que N aumenta 1 unidade, em média, W 
aumenta 0,009 dólares. Se multiplicarmos toda a segunda equação por N, veremos 
que os resultados serão bem parecidos com os da primeira. 
 
(b) Aparentemente, o autor estava preocupado com a heterocedasticidade, pois dividiu 
a equação original por N, o que equivale a pressupor que a variância do erro é 
proporcional ao quadrado de N. Ele está, portanto, aplicando mínimos quadrados 
ponderados para estimar a Equação (2). 
 
(c) O coeficiente do intercepto da Equação (1) é o coeficiente angular na Equação (2) e 
vice-versa. 
 
(d) Não. As variáveis dependentes não são iguais nos dois modelos. 
 
 
11.3 (a) Não. Estes modelos não são lineares nos parâmetros e não podem ser 
estimados por MQO. 
 
(b) Para estimar modelos não-lineares há procedimentos específicos que veremos no 
capítulo sobre modelos de regressão não-lineares. Podemos, informalmente, estimar 
os parâmetros por tentativa e erro. 
 
 
11.4 (a) Veja o Exercício 7.14 e a Seção 6.9. 
 
 
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i iX u i
 
(b) Não. E[ln(ui)] = E[ln(1)] = 0. Mas E[ln(ui)] < lnE(ui) devido à propriedade de 
concavidade da transformação logarítmica. A expectativa do logaritmo de uma variável 
aleatória é menor do que o logaritmo de sua expectativa, e essas expectativas só 
serão iguais se a variância da variável for zero. 
 
(c) Seja , em que e *1 2 2ln ln ln lni i iY X uβ β α β= + + = + + * [ln (ln )]i iu u E u= −
1[ln (ln )]iE uα β= + . Mas *( ) [ln (ln )] 0i i iE u E u E u= − = . A propósito, repare que não 
conseguimos uma estimativa direta de 1β . 
 
 
11.5 A resolução deste exercício é só uma questão de substituir termos definidos e 
simplificar. 
 
 
11.6 (a) A pressuposição é que a variância do erro é proporcional ao quadrado do 
PNB, conforme postulado no enunciado. Os autores observaram essa relação 
examinando os dados ao longo do tempo. 
 
(b) Os resultados são essencialmente os mesmos, embora os erros-padrão para dois 
dos coeficientes sejam menores no segundo modelo. Podemos tomar isso como 
justificativa empírica da transformação para heterocedasticidade. 
 
(c) Não. Os termos R² não podem ser comparados porque as variáveis dependentes 
não são as mesmas nos dois modelos. 
 
 
11.7 Como veremos no Problema 11.13, o teste Bartlett mostra que não há problema 
de heterocedasticidade neste conjunto de dados. Essa descoberta não é, portanto, 
nenhuma surpresa. Veja também o Problema 11.11. 
 
 
11.8 Substituindo wi = w na Equação (11.3.8), obtemos: 
 
*
2 22 2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ˆ
( )( ) ( ) ( )
i i i i i i i i
i i i i
nw w X Y w X w Y n X Y X Y
nw w X w X n X X
β β− −= =− −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ = . 
 
Pode-se mostrar analogamente a igualdade das variâncias. 
 
 
11.9 Pela Equação (11.2.2), temos 
2 2
2 2 2
ˆvar( )
( )
i i
i
x
x
σβ = ∑∑ . Substituindo 2 2i kiσ σ= nessa 
equação, vem 
2 2 22
2 2 2 2 2
ˆvar( )
( )
i i i i
i i i
x k x k
x x x
σ σβ = =∑ ∑∑ ∑ ∑ . 
 
 
 
 
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O primeiro termo à direita é a variância mostrada na Equação (11.2.3). Portanto, se 
2
2 1
i i
i
x k
x
>∑∑ , então a variância heterocedástica dada anteriormente é maior que a 
homocedástica, que nesse caso subestimará a heterocedástica levando a estatísticas t 
e F inflacionadas. Não podemos tirar conclusões gerais porque o resultado se baseia 
num tipo específico de heterocedasticidade. 
 
11.10 Conforme os Apêndices 3A.3 e 6A.1, temos que 
2
2 2 2
var( )ˆvar( )
( )
i i
i
X u
X
β = ∑∑ . 
Dado que , obtemos 2 2var( )iu σ= iX
2 2 2 2 4
2 2 2 2 2
ˆvar( )
( ) ( )
i i
i i
iX X X
X X
σ σβ = =∑ ∑∑ ∑ . 
 
 
Problemas 
11.11 Os resultados da regressão já foram dados em (11.5.3). Se a produtividade 
média subir um dólar, a remuneração média aumenta cerca de 23 centavos. 
 
(a) Os resíduos da regressão são: -775,6579; -205,0481; 165,8512; 183,9356; 
199,3785; 54,6657; 112,8410; 150,6239; 113,4100. 
 
(b) Essa verificação é simples e direta. 
 
(c) Os resultados das regressões são: 
 
ˆiu = 407,3455 – 0,0203Xi 
 t = (0,6433) (-0,3013) r² = 0,0128 
 
 
ˆiu = 575,2976 – 3,7097 iX 
 t = (0,4479) (-0,2787) r² = 0,0109 
 
Esses resultados mostram que, com base nos testes de Glejser, os indícios de 
heterocedasticidade são pequenos. 
 
(d) Se classificarmos os valores absolutos dos resíduos e os números da produtividade 
média em ordem ascendente e calcularmos o coeficiente de correlação por ordem de 
Spearman conforme (11.5.5), observaremos que vale -0,5167. Aplicando a fórmula t 
dada em (11.5.6), obtemos t = -0,8562, que não é estatisticamentesignificativo, pois 
seu valor crítico absoluto no nível de 5% com 7 gl é 2,447. Portanto, com base no 
teste de correlação por ordem, não há motivos para esperarmos heterocedasticidade. 
 
Em suma, todos os testes anteriores sugerem que não há o problema da 
heterocedasticidade. 
 
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11.12 (a) e (b) 
 
 
 
VERTICAL = VMÉDIO 
HORIZONTAL = DESVIO PADRÃO VMÉDIO 
 
(c) Seguem os resultados da regressão: 
 
iˆEP= 0,9910 – 0,0650VMÉDIOi 
 t = (0,3756) (-0,1795) r² = 0,0064. 
 
Não há relação sistemática entre as duas variáveis porque o coeficiente angular não é 
estatisticamente diferente de zero, o que pode ser visto pelo gráfico em (a). 
 
(d) Não há necessidade de transformação nenhuma, pois não existe relação 
sistemática entre a média da razão vendas/dinheiro em caixa e seu desvio-padrão nos 
vários níveis de ativos. 
 
 
11.13 Aplicando o teste de Bartlett, 2χ é 6,6473, cujo valor p é 0,5748. Não 
rejeitamos, portanto, a hipótese nula de que as variâncias são iguais. 
 
 
11.14 Aplicando a Fórmula (11.3.8) para mínimos quadrados ponderados, podemos 
demonstrar que * 1 2
1ˆ (2 )
3
Y Yβ = − e * 2ˆvar( )
3
2β σ= . Se usarmos MQO, obtemos então 
da Equação (6.1.6) o seguinte: 1 2 1 22
1ˆ (
2 2
i i
i
X Y Y Y Y Y
X
β −= = = − )∑∑ . E aplicando (6.1.7), 
temos que 
2
2
2
1ˆvar( )
2iX
σβ σ= =∑ . 
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Comparando as duas estimativas, vemos que a de mínimos quadrados ponderados 
atribui peso de 2/3 a Y1 e 1/3 a Y2, ao passo que a de MQO atribui igual peso às duas 
observações Y. A variância do estimador do coeficiente angular é maior em MQP do 
que em MQO. 
 
 
11.15 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
ˆ
iMPG = 189,9597 – 1,2716VMi + 0,3904HPi – 1,9032PVi 
 ep = (22,5287) (0,2331) (0,0762) (0,1855) 
 t = (8,4318) (-5,4551) (5,1207) (-10,2593) R² = 0,8828. 
 
Conforme as expectativas, MPG é positivamente relacionada a HP e negativamente a 
VM e PV. 
 
(b) A priori, é de se esperar heterocedasticidade porque são dados em corte 
transversal abrangendo veículos diversos. 
 
(c) Regressando os quadrados dos resíduos do modelo em (a) contra os três 
regressores, seus quadrados e seus produtos cruzados, obtemos um R² de 0,3094, 
que multiplicado pelo número de observações (81), dará 25,0646, valor com 
distribuição qui-quadrado com 9 gl (3 regressores, 3 quadrados de regressores e 3 
produtos cruzados) sob a hipótese nula de que não há heterocedasticidade. O valor p 
de se obter um valor qui-quadrado de 25,0646 ou maior é, sob essa hipótese, 0,0029, 
que é muito pequeno. Temos, portanto, de rejeitar a hipótese nula, ou seja, há 
heterocedasticidade. 
 
(d) Os resultados baseados nos procedimentos de White são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: MPG 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1 81 
Observações incluídas: 
81 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 189,9597 33,90605 5,602531 0,0000 
VM -1,271697 0,336039 -3,784375 0,0003 
HP 0,390433 0,108781 3,589180 0,0006 
PV -1,903273 0,285077 -6,676352 0,0000 
R-quadrado 0,882864 
Durbin-Watson 1,0237 
 
Comparando esses resultados com os obtidos com MQO, descobriremos que os valores 
dos coeficientes estimados são iguais, mas suas variâncias e erros-padrão são 
diferentes. Estes, como vemos, são mais altos nos procedimentos de White porque os 
|t| são menores, indicando que os erros-padrão estão subestimados nos resultados 
obtidos com MQO. Tudo isso pode ser atribuível à heterocedasticidade. 
 
(e) Não existe uma fórmula simples para determinar a natureza exata da 
heterocedasticidade neste caso. Podemos, talvez, partir de alguns pressupostos 
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simples e tentar diferentes transformações. Se, por exemplo, acharmos que a variável 
“culpada” é HP e que a variância do erro é proporcional a HP², podemos dividir a 
equação por HP e ver o que acontece. Naturalmente, qualquer outro regressor é um 
candidato tão bom quanto esse para a transformação. 
 
11.16 Seguem os resultados da regressão: 
 
 
Variável dependente: DESPALIM 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 94,20878 50,85635 1,852449 0,0695 
DESPTOT 0,436809 0,078323 5,577047 0,0000 
R-quadrado 0,369824 
 
O gráfico dos resíduos dessa regressão é: 
 
 
 
 
(b) A representação gráfica dos resíduos (R1) contra a despesa total é: 
 
 
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EIXO VERTICAL = R1 
HORIZONTAL = DESPTOT 
 
Ao que tudo indica, conforme crescem as despesas totais, também crescem – talvez de 
forma não-linear – os valores absolutos dos resíduos. 
 
(c) Segue o teste de Park: 
 
Variável dependente: LOG(RESQ) 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -16,86288 10,00140 -1,686053 0,0977 
LOG(DESPTOT) 3,703235 1,551873 2,386300 0,0206 
R-quadrado 0,097018 
 
Esse teste confirma a heterocedasticidade, pois o coeficiente angular é significativo. 
 
Agora, o teste de Glejser: 
 
Variável dependente: ˆiu Valor absoluto dos resíduos 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -32,21965 29,48998 -1,092563 0,2795 
DESPTOT 0,130709 0,045417 2,877997 0,0058 
R-quadrado 0,135158 
 
Como o coeficiente angular estimado é estatisticamente significativo, esse teste 
também sugere homocedasticidade. 
 
Finalmente, o teste de White: 
 
Variável dependente: 2ˆiu 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 13044,00 21156,58 0,616546 0,5402 
DESPTOT -53,12260 71,48347 -0,743145 0,4607 
DESPTOT QUADRADO 0,059795 0,058860 1,015887 0,3144 
R-quadrado 0,134082 
 
Se a hipótese nula é de que não há heterocedasticidade, e multiplicarmos o R-
quadrado por 55, o produto resultante de 7,3745 segue a distribuição qui-quadrado 
com gl 2, e o valor p de tal distribuição é pequeno e aproximadamente igual a 0,025. 
Portanto, assim como os testes de Park e Glejser, o de White também indica 
heterocedasticidade. 
 
(d) O resultados para heterocedasticidade corrigida de White são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: DESPALIM 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 94,20878 43,26305 2,177581 0,0339 
DESPTOT 0,436809 0,074254 5,882597 0,0000 
R-quadrado 0,369824 
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Comparados com os resultados da regressão MQO dados em (a), não há nestes muita 
diferença no erro-padrão do coeficiente angular, embora o do intercepto tenha 
diminuído. É difícil afirmar se vale ou não a pena preocuparmo-nos com essa diferença 
de resultados entre o método MQO os procedimentos de White, mas sua magnitude só 
pode ser avaliada se fizermos as regressões e as compararmos. 
 
 
11.17 Seguem os resultados da regressão: 
 
Variável dependente: 
LOG(DESPALIM) 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 1,154332 0,777959 1,483795 0,1438 
LOG(DESPTOT) 0,736326 0,120713 6,099834 0,0000 
R-quadrado 0,412469 
 
Os testes de Park, Glejser e White aplicados aos resíduos obtidos pela regressão duplo-
log não mostraram sinais de heterocedasticidade. 
 
Este exemplo mostra que a transformação logarítmica pode amiúde reduzir a 
heterocedasticidade. Por isso, a forma funcional do modelo de regressão pode ser fator 
crítico para decidir se há ou não heterocedasticidade. 
 
 
11.18 Primeiro, foram obtidos os quadrados dos resíduos da regressão de despesas 
com alimentação contra despesas totais, edenominados 21R . Depois, estes foram 
regressados contra a previsão e seu quadrado obtidos da mesma regressão. Os 
resultados são os seguintes: 
 
Variável dependente: 21R 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 27282,63 39204,59 0,695904 0,4896 
PREVDESPALIM -180,6629 221,5542 -0,815434 0,4185 
PREVDESPALIM^2 0,313387 0,308486 1,015887 0,3144 
R-quadrado 0,134082 
 
Multiplicando o R² anterior por 55, obtemos 7,3745. Sob a hipótese nula de que não 
há heterocedasticidade, esse valor segue a distribuição qui-quadrado com 2 gl. O valor 
p de se obter tal, ou maior, valor qui-quadrado é pequeno e aproximadamente igual a 
0,025. A conclusão é, portanto, que a variância do erro é heterocedástica. 
 
Pode-se mostrar que não haveria sinais de heterocedasticidade se o procedimento 
anterior fosse aplicado aos quadrados dos resíduos obtidos pela regressão do logaritmo 
de despesas com alimentação contra o logaritmo de despesas totais. 
 
 
11.19 Não havia, a priori, razões para crer que os resultados seriam diferentes, pois, 
como se vê pela regressão abaixo de lucros contra vendas, existe alta correlação entre 
essas variáveis. 
 
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Variável dependente: LUCROS 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -338,5385 1105,311 -0,306283 0,7636 
VENDAS 0,100713 0,011097 9,075346 0,0000 
R-quadrado 0,845936 
 
 
 
11.20 (a) 
 
 
 
 SALÁRIOS MEDIANOS EM RELAÇÃO A ANOS DE EXPERIÊNCIA 
 
O gráfico mostra que o salário mediano aumenta com os anos no posto, mas não de 
forma linear. 
 
(b) Pelo gráfico anterior, o modelo (2), que inclusive se encaixa na teoria econômica 
do capital humano, seria o mais apropriado. Os resultados dos ajustes aos dois 
modelos, linear e quadrático, são os seguintes: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 73586,80 3944,584 18,65515 0,0000 
X 949,5621 217,9417 4,356954 0,0008 
R-quadrado 0,593535 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 66356,18 5100,501 13,00974 0,0000 
X 2285,920 702,5469 3,253761 0,0069 
X^2 -40,07090 20,22169 -1,981580 0,0709 
R-quadrado 0,693747 
 
(c) O teste de White aplicado ao modelo (1) mostrou que havia pronunciada 
heterocedasticidade, pois, pela regressão auxiliar dos quadrados dos resíduos, o valor 
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de n.R² foi de 11,4108 com valor p de 0,0033. Quando aplicado ao modelo (2), o 
mesmo teste apresentou n.R² de 7,6494 com valor p de 0,0538, indicando que não 
havia heterocedasticidade no nível de 5%. Mas o valor está tão próximo desse nível 
que se pode suspeitar que haja ligeira heterocedasticidade no modelo, embora não se 
possa descartar a possibilidade de erro de especificação. 
 
(d) Presumindo que a variância do erro seja proporcional ao quadrado de anos de 
experiência, dividimos o modelo (1) todo por X e obtivemos os seguintes resultados: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 1403,809 154,6360 9,078151 0,0000 
1/X 68292,06 289,4419 235,9439 0,0000 
R-quadrado 0,999767 
 
Quando submetido ao teste de White, esse modelo não mostrou indícios de 
heterocedasticidade. 
 
 
11.21 A estatística λ(=F) calculada é: 1
2
/ 140 / 25 2,5454
/ 55 / 25
SQR gl
SQR gl
λ = = = . 
O F crítico a 5% para 25 gl no numerador e no denominador é 1,97. Como o valor 
estimado de 2,5454 excede esse valor crítico, rejeitamos a hipótese nula de 
heterocedasticidade. 
 
 
11.22 A seguir temos o gráfico: 
 
 
 
 (b) Os resultados da regressão são: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 4,610282 1,084906 4,249478 0,0005 
X 0,757433 0,149941 5,051559 0,0001 
R-quadrado 0,586380 
 
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Representados graficamente em relação a X, os resíduos dessa regressão mostram o 
seguinte quadro: 
 
 
 
 
 
O resíduo relativo ao Chile predomina sobre os outros. 
 
(c) Excluindo os resultados do Chile, os resultados da regressão são os seguintes: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 6,738082 2,384860 2,825358 0,0117 
X// 0,221484 0,555568 0,398663 0,6951 
R-quadrado 0,009262 
 
Como vemos, o coeficiente angular em (a) era muito significativo, mas não o é nesta 
regressão. Observe como um único ponto com valor extremo, um outlier1, (ou dado 
discrepante) pode deturpar os resultados da regressão. 
 
O gráfico apresentado pelos resíduos dos quadrados dessa regressão em relação a X é 
o seguinte: 
 
 
1 Esse termo estatístico é normalmente usado no Brasil, e denomina uma observação que é muito diferente das outras da 
amostra. 
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(d) Ao comparar os gráficos residuais em (b) e (c), vemos que a relação entre Y e X 
ficou pequena depois que foram excluídos dos dados os resultados do Chile. Portanto, 
qualquer indício de heterocedasticidade é espúrio. 
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CAPÍTULO 12 
AUTOCORRELAÇÃO: O QUE ACONTECE SE OS TERMOS DE ERRO SÃO 
CORRELACIONADOS? 
 
 
 
 
12.1 (a) Falsa. Os estimadores não são tendenciosos, mas são ineficientes. 
 
(b) Verdadeira. Ainda conservamos as outras premissas do MRLC. 
 
(c) Falsa. A pressuposição é de que 1ρ = + . 
 
(d) Verdadeira. Para comparar os R², o regressando tem de ser o mesmo nos dois 
modelos. 
 
(e) Verdadeira. Pode também implicar erros de especificação. 
 
(f) Verdadeira. Pois o erro da previsão envolve σ², que não é corretamente estimado 
pela fórmula habitual de MQO. 
 
(g) Verdadeira. Veja a resposta (e). 
 
(h) Falsa. Só pode ser feito com a estatística g de Berenblut-Webb, embora usemos as 
tabelas Durbin-Watson para testar a hipótese de que 1ρ = . 
(i) Verdadeira. Escreva o modelo como 21 2 3 4t tY X t tβ β β β iu= + + + + . Tire a primeira 
diferença dessa equação e verifique. 
 
 
12.2 Para n = 50, k’ = 4 e α = 5%, os valores d críticos são: 
 
dL = 1,38 4 – dL = 2,62 
dU = 1,72 4 – dU = 2,28 
 
(a) Autocorrelação positiva. 
 
(b) Inconclusivo. 
 
(c) Inconclusivo. 
 
(d) Autocorrelação negativa. 
 
 
12.3 (a) Há correlação serial no modelo A, mas não no B. 
 
(b) A autocorrelação pode ser devida a erro de especificação do modelo A porque este 
exclui o termo quadrático de tendência. 
 
(c) Precisaríamos de conhecimento prévio da forma funcional provável. 
 
 
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12.4 (a) Calcule a razão de Von Neumann (V-N), sua média e sua variância. Com a 
tabela de distribuição normal, determine a quantas unidades de desvio-padrão a razão 
está do valor médio calculado. Escolha um nível de confiança e execute um teste de 
intervalo de confiança. 
(b) V-N = 
1
n d
n
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ . 
(c) Os limites são 2
1
n
n
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ e 4 1
n
n
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Daí, se n for suficientemente grande, a razão 
V-N, assim como o d Durbin-Watson, estarão entre 0 e 4. 
 
(d) Os resíduos MQO são estimativas consistentes dos termos de erro verdadeiros. 
Portanto, a premissa de normalidade deve ser válida para grandes amostras. 
 
(e) Dado que n = 100, a média e a variância da razão V-N serão 2,02 e 0,04, 
respectivamente. Com esses valores, o intervalo 2,02 3( 0,04)± = (1,4203 , 2,6197), 
cobre cerca de 99,7% da área sob a curva normal. Como o valor dado de 2,88 não 
está nesse intervalo, podemos concluir que há autocorrelação neste caso. 
 
 
12.5 Sim, há evidência de autocorrelação com 3 ou 14 carreiras, positiva noprimeiro 
caso e negativa no segundo. 
 
 
12.6 Dividindo o numerador e o denominador por n², obtemos: 
 
2
2
2
2
1
2ˆ
1
d k
n
k
n
ρ
⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
Para um dado k, quando , tanto o segundo termo do numerador quanto o 
denominador tendem a zero. Conseqüentemente, 
n→∞
ˆ 1
2
dρ ≈ − . 
 
 
12.7 (a) A principal vantagem é a simplicidade, mas com ele também podemos tratar 
de problemas em que há mais de um mínimo local fazendo um ajuste fino do 
procedimento de varredura. 
 
(b) Isso é questão de tentativa e erro e ajuste fino da varredura. 
 
 
12.8 (a) Isso é questão de verificação. 
 
(b) O procedimento de C-O não garante o mínimo global. Por isso, Davidson e 
Mackinnon argumentam que só é aconselhável aplicá-lo “depois que uma varredura 
preliminar tenha confirmado a existência de somente um mínimo local ou determinado 
aproximadamente onde está localizado o mínimo global” . 
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12.9 O ρ estimado pela Equação (3) do procedimento C-O do exercício anterior é 
0,9142, não muito diferente dos ρ subjacentes às Equações (12.9.16) e (12.9.17), que 
são, respectivamente, 0,8919 e 0,9610. Portanto, não veremos muita diferença nos 
resultados da regressão aplicando o procedimento C-O em duas etapas. 
 
 
12.10 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
 
 
Variável dependente: Y 
 
Amostra (ajustada): 
1960 1998 
 
Observações incluídas: 39 após ajuste dos pontos 
extremos 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 4,445970 1,865601 2,383131 0,0227 
X 0,601715 0,144098 4,175736 0,0002 
X(-1) -0,554695 0,162254 -3,418688 0,0016 
Y(-1) 0,907369 0,057311 15,83237 0,0000 
R-quadrado 0,995363 
 
Pelo coeficiente , vemos que 1tY − ρˆ = 0,9073, valor não muito diferente do obtido com 
o procedimento C-O de duas etapas ou com o iterativo. Logo, concluímos que os 
resultados obtidos com o ρ estimado pelo procedimento em duas etapas de Durbin-
Watson não diferem muito daqueles alcançados pelos métodos C-O. 
 
(b) Esse assunto é parte do tópico sobre modelos de regressão não-lineares (nos 
parâmetros). 
 
 
12.11 (a) O gráfico mostra que é provável que haja viés de especificação devido a 
erro de especificação do formato funcional. 
 
(b) Inclua [log(produção)]² como um regressor adicional. É provável que assim se 
recupere a natureza quadrática da relação entre custos e produção. 
 
 
12.12 (a) Há muitas razões para a existência de um dado discrepante (outlier). Pode 
ser simplesmente uma observação diferente das demais, ou resultado de erros de 
medida, ou ainda devido a levantamento de amostras deficiente. 
 
(b) A observação não deve ser descartada a menos que haja alguma razão plausível 
para crermos que está errada (por exemplo, medida incorretamente, registrada com 
erro etc.). 
 
(c) Não. O dado discrepante pode predominar na SQR. 
 
 
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12.13 Veja a resposta da Questão 12.3. 
 
 
12.14 1( ) ( ) 0t t tE E u uε ρ −= − = 
( )( ) ( )21 1var( ) 1t t t t tE u u u u 2ε ρ ρ ρ− −⎡ ⎤= − − = +⎣ ⎦ σ , devido à independência dos termos u. 
( ) 21cov ,t tε ε ρ− = − σ . Mais uma vez, observe que os termos u são independentes. 
 
Portanto, embora os u não estejam correlacionados, os ε estão. 
 
 
12.15 Como o modelo inclui como regressor a variável dependente defasada, o d de 
Durbin-Watson não é o teste estatístico adequado. Deve ser usada neste caso a 
estatística h de Durbin dada na Questão 12.36. 
 
 
12.16 Dado que se trata do esquema AR(1), seguem as respostas. 
 
(a) O método da primeira diferença é adequado quando ρ estiver próximo de 1. 
(b) Se ρ for cerca de –1, a regressão das médias móveis é apropriada. 
(c) A transformação de Theil-Nagar é adequada quando a primeira e a segunda 
diferenças dos regressores forem pequenas comparadas aos limites das próprias 
variáveis. 
(d) O procedimento C-O é adequado quando a SQR converge. 
(e) Veja a resposta da Questão 12.7. 
(f) Se o valor do ρ estimado pelo coeficiente da variável defasada Y for mais ou menos 
o mesmo que o estimado pela divisão do coeficiente da variável defasada X pelo 
coeficiente da variável X (preste atenção aos sinais dos coeficientes). 
 
 
12.17 Transforme o modelo como segue: 
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 21t t t t t tY Y Y X Y Y tρ ρ β ρ ρ β ρ ρ− − − −− − = − − + − − +ε
tv
. 
Se os valores de ρ forem conhecidos, podemos estimar os dados assim. Se não, estime 
primeiro o modelo original por MQO e obtenha os resíduos . Faça, então, a seguinte 
regressão: 
ˆtu
1 1 2 1ˆ ˆˆ ˆ ˆt t tu u uρ ρ− −= + + , em que vt é um termo de erro. Use os ρ estimados 
por essa regressão e faça a transformação dos dados como sugerido no início. Se a 
amostra for razoavelmente grande, esses valores de ρ darão estimativas consistentes 
de seus congêneres da população. 
 
 
12.18 
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1
2 22 2
1 1 1
1 1
1
t t t t t t
t t t t
2
1x x x y x x y y
C
x x x x x
ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
− − −
− −
⎡ ⎤ ⎡− − − − − −⎣ ⎦ ⎣= ⎡ ⎤− − + −⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∑
x ⎤⎦ , todos 
os somatórios são de t = 2 a t = n. 
 
 
 
 
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12.19 Comecemos com (12.9.6), que, em formato de desvio, pode ser escrita 
(* * *2t t ty x )β ε ε= + − . Aplicando a fórmula-padrão dos MQO, obtemos 
( )(
( )
)* * 1 1*
2 2*2
1
ˆ t t t t t t
t t t
y x y y x x
x x x
ρ ρβ ρ
− −
−
− −= = −
∑ ∑
∑ ∑ . 
Repare que a primeira observação foi omitida em virtude do processo de diferenciação. 
 
 
12.20 Há nesta seqüência 22 sinais positivos, 11 negativos e 14 carreiras. Usando a 
aproximação normal dada no texto, podemos ver que o número esperado de carreiras 
é 18,83 e sua variância é 0,4955. O intervalo de confiança de 95% é, portanto, 
, ou seja, de 17,45 a 18,83. Como o número observado de 14 
carreiras está abaixo do limite inferior, concluímos que a seqüência observada não é 
aleatória. 
18,83 1,96(0,7039)±
 
12.21 A fórmula seria 
2
12
13
12
2
1
ˆ ˆ( )
n
t t
n
t
u u
d
u
−−
=
∑
∑
. 
 
 
12.22 Conforme mencionado no texto, se houver um intercepto na regressão de 
primeira diferença, significa que havia na regressão original um termo de tendência 
linear. Dado que as variáveis mão-de-obra e capital estão determinadas, poderíamos 
interpretar que o intercepto fornece a taxa de crescimento da produção em virtude de 
mudança tecnológica, se presumirmos que tempo ou tendência são variáveis 
instrumentais para essa mudança. 
 
12.23 Quando d é muito pequeno, ˆ 1
2
dρ 1≈ − ≈ . Neste caso, a equação da diferença 
generalizada se reduz à regressão na forma de primeira diferença. 
 
 
12.24 Se r = 0, a Equação (12.4.1) se reduz a: 
 
2
2
2
2
1 2ˆ( )
2 2 1
n
E n
n n
σ ρ σσ ρ
⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎝ ⎠= = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠− . 
 
(a) Se ρ for positivo, mas menor que 1, então 2ˆ( )E σ ainda será tendencioso pois que 
subestimará o verdadeiro σ². 
 
(b) Se ρ for negativo, mas maior que –1, 2ˆ( )E σ também será tendencioso, mas 
superestimará o verdadeiro σ². 
 
(c) O viés só será razoavelmente pequeno quando ρ estiver próximo de zero. 
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12.25 (a) Como vemos pelos resultados gerados por computador, o único resíduo 
estatisticamente significativo é o da defasagem 1. É possível, naturalmente, que os 
outros cinco resíduos defasados não sejam significativos devido à colinearidade. 
 
(b) Como o coeficiente AR(1) de 0,8149 não é, em termos estatísticos, 
significativamente diferente de um, a transformaçãode primeiras diferenças pode ser 
adequada. 
 
 
Problemas 
 
 
12.26 (a) A regressão estimada é a seguinte: 
 
ˆln tC = –1,500 + 0,468 lnIt + 0,279 lnLt + – 0,005 lnHt = 0,441 lnAt
 ep = (1,003) (0,166) (0,115) (0,143) (0,107) 
 t = (-1,496) (2,817) (2,436) (-0,036) (4,415) 
 
R² = 0,936; 2R = 0,926; F = 91,543; d = 0,955. 
 
Como vemos, os coeficientes individuais de I, L e A são estatisticamente significativos, 
e seu impacto sobre C é importante do ponto de vista econômico. 
 
(b) Se fizermos o gráfico dos resíduos e dos resíduos padronizados, veremos que é 
possível que indique autocorrelação. 
 
(c) Os resultados da regressão dados em (a) mostram que a estatística d é 0,955. Ora, 
para n = 30, k’ = 4 e α = 5%, o limite inferior de d é 1,138. Como o d calculado está 
abaixo desse limite crítico, existe evidência de autocorrelação positiva de primeira 
ordem. 
 
(d) Para o teste das carreiras, n = 30, n1 = 17, n2 = 13 e R = 9. Pelas tabelas de Swed 
e Eisenhart, os valores inferiores e superiores das carreiras a 5% são 10 e 22. Como o 
R observado é 9 e está abaixo do limite inferior, parece que há autocorrelação positiva 
nos dados, reforçando o resultado baseado no teste d em (c). 
 
(e) Talvez possamos usar o teste de Breusch-Godfrey apresentado no texto. 
 
 
12.27 Seguem os resultados da regressão: 
 
tˆY = 246,240 + 15,182 Xt
ep = (5,849) (0,643) 
 t = (42,104) (23,603) 
 
r² = 0,977; d = 0,4148. 
 
(a) De acordo com esses resultados, d = 0,4148. 
 
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(b) Sim. Para n = 15, k’ = 1 e α = 0,05, dL = 1,077. Como o d calculado é menor que 
dL, existe evidência de autocorrelação positiva de primeira ordem. 
 
(c) (i) A estatística de Thiel-Nagar (veja a Questão 12.6) para n = 15 e k = 2 é ρˆ = 
0,8251. 
 
(ii) O procedimento de Durbin em duas etapas pode não ser adequado a esse caso 
devido à alta colinearidade entre as variáveis explanatórias atuais e as defasadas. 
 
(iii) O método C-O fornece uma estimativa de 0,6691 para ρ (convergindo no nível de 
0,005 após 3 iterações). 
 
(d) Usando a estimativa de ρ de Thiel-Nagar de 0,8251, transformamos os dados 
assim: 
[Yt – (0,8251)Yt-1] e [Xt – (0,8251)Xt-1]. Com os dados transformados, os resultados da 
regressão são os seguintes: 
 
*
tˆY = 32,052 + 19,404 
*
tX (Nota: * indica variável transformada). 
ep = (4,925) (2,038) 
 t = (6,508) (9,522) 
 
r² = 0,883; d = 1,923. 
 
Repare que essa regressão não corrige a perda da primeira observação da forma 
sugerida por Prais-Winsten. 
 
(e) Embora o valor d de 1,923 provavelmente indique que não há autocorrelação, não 
está claro se a estatística de Durbin-Wartson é adequada ao caso porque sugeriria um 
modelo AR(2) para a regressão original. Poderíamos, portanto, usar um teste não-
paramétrico, tal como o das carreiras, para testar correlação serial na regressão 
anterior. Para ela, n = 14, n1 = 8, n2 = 6 e R = 10. Pela tabela de Swed-Eisenhart, os 
valores críticos são 3 e 12. Como o valor observado das carreiras é 10 e está entre 
esses limites, podemos concluir que não há autocorrelação. 
 
12.28 (a) Os resultados da regressão para o procedimento C-O de duas etapas são: 
 
*
iˆY = –1,214 + 0,398 
*ln tI + 0,336 
*ln tL + – 0,055 
*ln tH = 0,456 
*ln tA 
 ep = (1,137) (0,247) (0,121) (0,147) (0,162) 
 t = (-1,067) (1,610) (2,766) (-0,378) (2,818) 
R² = 0,951; F = 89,476; d = 1,488. (Nota: Os asteriscos indicam variáveis 
transformadas). 
 
O coeficiente de lnIt agora é insignificante, enquanto os coeficientes de lnL e lnA, 
embora com os valores numéricos bem alterados, ainda são significativos. Com base 
no teste das carreiras, também nesta regressão não parece haver autocorrelação: n = 
29, n1 = 15, n2 = 14, R = 11 e valores críticos de 10 e 22 a 5%. 
 
(b) O ρ estimado pelo método C-O de duas etapas é 0,524, enquanto o estimado pela 
estatística d (veja a Questão 12.26) é: ρ = 1 – d / 2 = 1 – 0,955 / 2 = 0,5225. Assim, 
ambos os métodos dão essencialmente a mesma estimativa. 
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12.29 Os resultados da regressão linear do custo total são: 
 
iˆY = 166,4667 + 19,933 Xt
ep = (19,021) (3,066) 
 t = (8,752) (6,502) 
 
r² = 0,841; d = 0,716. 
 
Para n = 10, k’ = 1 e α = 0,05, dL = 0,879. Como o d calculado está abaixo desse 
valor, “parece” haver autocorrelação, que pode, no entanto, ser mais aparente que 
real. De acordo com o mencionado no Capítulo 7, a função custo total poderia ser mais 
adequadamente especificada como polinomial do terceiro grau. Por isso, a correlação 
observada na regressão deve-se a erro de especificação do modelo. 
 
 
12.30 Os resultados da regressão em forma de nível já foram dados na Questão 7.21. 
Eles mostram que o valor d é bem baixo e igual a 0,2187, indicando que o termo de 
erro é correlacionado. Podemos, com esse d, calcular ρ como segue: ρˆ = 1 – d / 2 = 
0,8906, valor possivelmente próximo de 1 o bastante para tentarmos a transformação 
de primeira diferença, cujos resultados são os seguintes: 
 
Variável dependente: DLOG(RM2) 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
DLOG(RPIB) 0,6086 0,1665 3,6551 0,0021 
DLOG(TJLP) -0,1354 0,0427 -3,168 0,0060 
R-quadrado 0,5461 
Estatística Durbin-
Watson d 
0,3832 
 
A letra “D” é o comando do Eviews para tomar as primeiras diferenças. Observe 
também que não há intercepto nesse modelo. Por quê? 
 
Os resultados dessa regressão são interessantes comparados aos originais no 
Problema 7.21. Enquanto antes a elasticidade da TJLP era estatisticamente 
insignificante, agora é muito significativa. Ao mesmo tempo, a elasticidade da renda 
aumentou de 0,4946 para 0,6086 e também é muito significativa. Talvez a diferença 
nos resultados tenha a ver com a natureza da série temporal envolvida, a qual é bem 
possível que não seja estacionária. Não temos ainda as ferramentas para tratar dessa 
questão, mas as teremos quando estudarmos o tópico da econometria das séries 
temporais mais adiante no texto. 
 
12.31 Como os valores de X já estão arrumados em ordem crescente, o valor d é igual 
ao calculado com o método sugerido por Thiel. Para a justificativa desse procedimento, 
consulte Thiel. 
 
12.32 No Problema 11.22 temos os resultados de duas regressões. Os da primeira 
levam a um valor d estimado de 2,6072, o qual indicaria que não há autocorrelação. 
Mas essa indicação é suspeita, pois há uma observação excepcional relativa ao Chile, 
que, excluída do modelo, levou aos resultados da segunda regressão, que mostram 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
não haver relação entre as duas variáveis e exibem um d estimado de 2,6199. Não 
existe mesmo autocorrelação nesses dados. Estudaremos no Capítulo 13 o papel das 
observações anormais (ou excepcionais), chamadas dados discrepantes (outliers), 
alavancagem etc. 
 
 
12.33 Segue um conjunto de dados gerados segundo o esquema sugerido: 
 
ut Xt Yt
09,464 1 12,964 
10,544 2 14,544 
11,944 3 16,444 
10,427 4 15,427 
09,316 5 14,816 
08,681 6 14,681 
07,525 7 14,025 
08,070 8 15,070 
07,504 9 15,004 
05,797 10 13,797 
 
(a) = 14,694 + 0,003 XtˆY t
 ep = (0,688) (0,111) 
 t = (21,354) (-0,027) 
 
r² = 0,000; d = 1,296. 
 
(b) Os resultados individuais variarão à medida que ut varia. 
 
(c) Mais uma vez, os resultados individuais variarão. 
 
 
12.34 (a) Os resultados da regressão de estoque (Y) contra vendas (X), ambas as 
variáveis em milhões de dólares, são: 
 
tˆY = 1668,154 + 1,554 Xt
ep = (1806,696) (0,007)t = (0,910) (-222,832) 
 
r² = 0,999; d = 1,374. 
 
(b) (i) Para n = 42 e k’ = 1, o dL a 5% é 1,46. Como esse valor está acima do d 
observado de 1,374, existe evidência de autocorrelação positiva de primeira ordem. 
(ii) Podemos obter uma estimativa de ρ pelo valor d de 1,374: ρˆ = 1 – d / 2 = 0,3218. 
Com esse dado, obtemos: ( )( )0,3218 2,027z n= = , valor significativo no nível de 
5%, indicando que há autocorrelação. 
 
(c) Considerando os resultados em (b), não parece provável que o ρ verdadeiro seja 
um. Mas se, assim mesmo, aplicarmos mecanicamente o teste, obteremos os 
seguintes resultados: 
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9
9
2,93 10 1,320
2, 22 10
eqprimeirasdiferenças
eqformadenível
MQO
g
MQO
×= = × = . 
 
Para 41 observações, k’ = 1 e α = 0,05, dL = 1,45. Como o g observado está abaixo 
desse valor, não rejeitamos a hipótese nula de que o verdadeiro ρ = 1. Mas lembre-se 
do aviso dado anteriormente. 
 
(d) A estatística do teste de Breusch-Godfrey é significativa para 3 defasagens (p de 
0,03), 4 defasagens (p de 0,04) e 7 defasagens (p de 0,07), embora nenhum 
coeficiente defasado individual seja zero. Em prol da parcimônia, devemos escolher 3 
defasagens. 
 
(e) Se usarmos só o esquema AR de primeira ordem e aplicarmos o p de 0,3218 que 
obtivemos em (b), podemos fazer a transformação [Yt – (0,3128)Yt-1] e [Xt – 
(0,3128)Xt-1] e rodar com ela a regressão. Se preferirmos usar um esquema AR(3), 
teremos de fazer as transformações [Yt – p1Yt-1 – p2Yt-2 – p3Yt-1] e outra análoga para 
Xt.. Teremos de obter os três valores de p pelo procedimento de Breusch-Godfrey. 
 
(f) Os resultados do modelo log-linear são os seguintes: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 0,507409 0,048561 10,44886 0,0000 
LOG(VENDAS) 0,995128 0,004091 243,2302 0,0000 
R-quadrado 0,999324 
Estatística Durbin-
Watson d 
1,2077 
 
Os resultados desse modelo são qualitativamente os mesmos do linear, à exceção de 
que neste a estatística Breusch-Godfrey é significativa somente na primeira 
defasagem. 
 
(g) Veja a discussão no Capítulo 6 e na Seção 8.11 do livro-texto. 
 
 
12.35 (a) Seguem os resultados da regressão: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística–t Probabilidade 
C 23,98694 5,235037 4,582000 0,0001 
INFLAÇÃO -4,375620 1,022227 -4,280479 0,0002 
R-quadrado 
Estatística Durbin-
Watson 
2,076724 
 
 
(b) A regressão é a seguinte: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 3,531812 8,111369 0,435415 0,6670 
CRESCIMENTO 3,943315 1,293445 3,048693 0,0054 
INFLAÇÃO -2,499426 1,082101 -2,309789 0,0294 
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R-quadrado 0,572374 
Estatística Durbin-
Watson d 
1,8965 
 
(c) A afirmação de Fama está correta, e, para vermos isso melhor, faremos a 
regressão de inflação atual contra crescimento da produção como segue: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 6,326759 0,788408 8,024730 0,0000 
CRESCIMENTO -0,679792 0,192818 -3,525570 0,0016 
R-quadrado 0,323439 
Estatística Durbin-
Watson 
0,538786 
 
(d) Os valores d estão em torno de 2 em ambas as regressões, indicando que 
provavelmente não há autocorrelação de primeira ordem. Esse resultado não é de 
surpreender porque as variáveis nas duas regressões estão em forma de crescimento, 
o que significa que a primeira diferença está implícita, e esta em geral reduz a 
autocorrelação. 
 
 
12.36 Os resultados da regressão são: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 8,176797 1,723142 4,745284 0,0000 
X 0,124403 0,040598 3,064274 0,0041 
Y(-1) 0,801918 0,055007 14,57853 0,0000 
R-quadrado 0,993815 
Estatística Durbin-
Watson d 
1,5005 
 
Esses resultados indicam que o índice de remuneração real depende não só do índice 
de produção, mas também do índice de remuneração real predominante no período 
principal. 
 
(b) Aplicando a estatística h, temos: 
 
( )3
40ˆ (0, 2497) 1,6835
ˆ 1 40(0,003)1 var
nh
n
ρ β= = −⎡ ⎤− ⎣ ⎦
= , em que o ρ estimado foi 
obtido pelo valor d dado em (a) e ( )3ˆvar β é igual ao quadrado do erro-padrão de Yt-1, 
também dado em (a). 
 
Se presumirmos que a amostra de 40 observações é razoavelmente grande, então o h 
calculado anteriormente segue a distribuição normal padrão. Ora, como o valor do Z 
(isto é, variável normal padrão) crítico a 5% é 1,96, e o h que calculamos é menor que 
esse valor, podemos concluir que não há autocorrelação neste exemplo. 
 
 
 
 
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12.37 Seguem os resultados da regressão baseados no procedimento Maddala 
examinado no livro-texto, em que ISTAR é a variável renda transformada, NDUM é a 
variável binária transformada e PROD é o produto das duas. 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C -4,041785 23,34284 -0,173149 0,8642 
ISTAR 0,086407 0,031605 2,733972 0,0124 
NDUM 67,37838 35,50361 1,897789 0,0716 
PROD -0,067809 0,036959 -1,834690 0,0808 
R-quadrado 0,551249 
Estatística Durbin-
Watson d 
2,203363 
 
Se compararmos esses resultados com os da Equação (9.5.4), veremos que o 
coeficiente da variável renda e o seu coeficiente angular diferencial são quase iguais. 
Devido à transformação dos dados, não podemos comparar diretamente os 
coeficientes de intercepto e a variável binária (NDUM). 
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CAPÍTULO 13 
MODELAGEM ECONOMÉTRICA: ESPECIFICAÇÃO DO MODELO E DIAGNÓSTICOS 
 
 
13.1 Como o modelo está aparentemente fundamentado na teoria econômica, parece 
estar bem especificado. No entanto, a forte correlação existente entre as variáveis 
preço poderia levar a problemas decorrentes da multicolinearidade. A escolha da forma 
funcional é uma questão empírica. 
 
 
13.2 Em formato de desvio, o modelo verdadeiro pode ser escrito 1 ( )i i iy x u uβ= + − . 
Agora, 
( )1
1 2 2
ˆ i ii i
i i
ix u u xy x
x x
βα ⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= = ∑∑∑ ∑ . 
Logo, 1ˆ( )E 1α β= , pela aplicação das várias propriedades de ui e xi. Ou seja, mesmo 
que incluamos o intercepto desnecessário no segundo modelo, o coeficiente angular 
permanecerá não-tendencioso, conforme reza a teoria. 
As variâncias dos dois estimadores são: 
2
1 2
ˆvar( ) u
iX
σβ = ∑ e 
2
1 2
ˆvar( )
( )
v
X X
σα = −∑ , que não são iguais. 
 
 
13.3 Sabemos que: 
 
0 1 0
1 12 2 2
( )ˆ i i i i i i i i
i i i
2
i
X Y X X v X v X
X X X
α α αβ α+ += = = + +∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ X∑ . 
 Portanto, 01 12
ˆ( ) i
i
X
E
X
αβ α= +∑∑ . 
 
Neste caso, o estimador do coeficiente angular no modelo incorreto fornece um 
estimador tendencioso do verdadeiro coeficiente angular. As variâncias são como no 
Exercício 13.2. 
 
 
13.4 (a) Recordemos a seguinte fórmula do Capítulo 7: 
2 2
2 12 13 12 13 23
2
23
2
1
r r r r rR
r
+ −= − . 
Como X3 é irrelevante, r13 =0, e a fórmula se reduz a 
2
2 12
2
231
rR
r
= − . Então, tipicamente, 
a inclusão de X3 aumentará o valor de R². Se, no entanto, r23 for zero, o R² não será 
alterado. 
 
(b) Sim, pelas razões apresentadas no texto, são não-tendenciosas. 
 
(c) As variâncias de 2βˆ nos dois modelos são: 
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2
2 2
ˆvar u
ix
σβ = ∑ , para o modelo verdadeiro; e 
2
2 2 2
23
ˆvar
(1 )
v
ix r
σβ = −∑ , para o modelo 
incorreto. 
 
Logo, as variâncias não são iguais. 
13.5 (a) Conforme vimos no texto, a omissão de uma variável relevante levará à 
estimação tendenciosa. Daí, 1 1
ˆ( )E β α≠ e 2ˆ( )E 2β α≠ . As derivaçõescom álgebra 
escalar conduzem a expressões pesadas, difíceis de lidar. Por outro lado, podem ser 
facilmente realizadas com álgebra matricial. Mas se quiser prosseguir, estime os 
parâmetros do modelo ”incorreto” e então coloque o modelo verdadeiro nos 
parâmetros estimados, tome as expectativas e descubra se os valores esperados dos 
parâmetros do modelo incorretamente especificado são iguais aos seus valores 
verdadeiros. Se não forem, então há viés. 
 
(b) Se L2 for uma variável irrelevante, então as estimativas permanecerão não-
tendenciosas, com o senão de terem variâncias maiores devido à presença da variável 
“incômoda” L2. 
 
 
13.6 Se a variância menor de 2αˆ mais do que compensa pelo viés, devemos escolher 
esse estimador baseados no critério EQM (erro quadrático médio). O objetivo deste 
exercício é registrar que às vezes um estimador tendencioso pode ser escolhido em 
virtude de sua menor variância. Tudo depende, naturalmente, do propósito da 
pesquisa. 
 
 
13.7 Pela Equação (13.5.3), aplicando MQO, temos: 
 
2 2 2 2
( )ˆ i i i i i i i i i i i
i i i i
ix y xY x X u x u x
x x x x
α β εβ β+ + + += = = = +∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑
ε
. 
 
Tomando as expectativas da expressão anterior em ambos os lados, e observando as 
propriedades de xi, ui e ε, vemos que β não é tendencioso. 
 
 
13.8 (a) Com os subscritos de observação omitidos por conveniência, para a Equação 
(2), resultamos de MQO: 
 
* *
2 * 2
[ ( )][ (ˆ
[ ( )]
)]xy y u u x v v
x x v v
β + − − −= = + −
∑ ∑
∑ ∑ . 
E para a Equação (1) 
* *
*2
ˆ y x
x
β = ∑∑ . 
 
 
 
 
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Substituindo isso na expressão anterior, simplificando e achando o limite quando 
, chegamos à expressão n→∞
*
2
2
ˆlim( )
1 v
x
p ββ σ
σ
=
+
, que mostra que βˆ é tendencioso. 
 
(b) Não, como se pode observar pela expressão precedente. Em outras palavras, βˆ 
não é um estimador consistente. 
 
 
13.9 (a) O método e os resultados são os mesmos da Questão 13.8. 
 
(b) Há várias medidas corretivas apresentadas na literatura avançada. 
 
 
13.10 O modelo correto é 1 2 2 3 3i iY X X i iuβ β β= + + + . 
Mas se dele omitirmos X3, regressarmos Y somente contra X2 e depois regressarmos os 
resíduos dessa regressão contra X3 e obtivermos seu coeficiente, digamos, 3αˆ , este 
então será tendencioso e também estimador inconsistente do verdadeiro 3β . Para uma 
prova formal, consulte “Diagnostic Tests as Residual Analysis”, de A. R. Pagan e A. D. 
Hall, Econometric Reviews, Vol. 2, 1983, pp. 159-218. 
 
 
13.11 (a) 1( ) 1 2
ˆ ˆ ˆ5verdadeiro β β= + 2( ) 2ˆ ˆverdadeiro e β β β= . 
 
(b) 1( ) 1
ˆ ˆ
verdadeiroβ β= e 2( ) 2ˆ ˆ3verdadeiroβ β= . 
 
(c) O coeficiente do intercepto será não-tendencioso, mas o coeficiente angular será 
tendencioso e inconsistente. 
 
 
13.12 Para a Equação (13.3.2), temos 1 2ˆ ˆY Xα α= − 2 . Portanto, aplicando (13.3.3) 
1 2 32 32 2 =ˆ( ) ( )E Y b Xα β β= − + ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 2 3 32 2 1 3 3 32 2X X b X X bβ β β β β β β+ + − + = + − X . 
 
 
13.13 Leamer aborda o problema econometria teórica versus economia aplicada de 
uma forma um tanto quanto cética. Ele essencialmente sustenta que os teóricos 
examinam o campo e identificam áreas problemáticas quando põem em prática a 
teoria. Algumas delas são autocorrelação, heterocedasticidade, multicolinearidade e 
especificação de modelos. Dos profissionais espera-se, então, que discutam como seus 
resultados podem ser influenciados por essas áreas identificadas pelos teóricos. 
 
 
13.14 A afirmação de Thiel diz respeito às estratégias de regressão, justamente o 
título do capítulo de onde vem essa citação. Ele se refere ao pensar com cautela sobre 
os testes de hipóteses e fundamenta isso no fato de que os referidos testes de 
regressão surgem de processos de tomada de decisão dinâmicos em que cada decisão 
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3
 
sucessiva depende das informações disponíveis no momento em que deve ser tomada. 
Para uma discussão mais extensa, leia o capítulo correspondente do livro de Thiel. 
 
 
13.15 Blaugh pode estar certo. Pesquisadores por vezes “impõem” a um conjunto de 
dados um modelo que tenham desenvolvido sem avaliar criticamente a sua 
aplicabilidade àqueles dados. Sempre que surge uma nova técnica econométrica, eles 
encantam-se por ela e começam a aplicá-la indiscriminadamente. Por exemplo, quando 
os modelos de expectativas racionais se tornaram o grito da moda, houve quem os 
aplicasse a todo tipo de economia sem lestudar suas estruturas. 
 
 
13.16 Para ilustrar o pensamento de Blaugh, recordemos que ao testar hipóteses, se o 
teste estatístico (o t, por exemplo) não for significativo, não afirmamos que aceitamos 
a hipótese nula, mas que não a rejeitamos. A razão para isso é a possibilidade de que 
com base em outro conjunto de dados possamos rejeitar a mesma hipótese nula. 
Assim, ao não a rejeitarmos, apenas afirmamos que a amostra disponível não nos dá 
nenhum motivo para rejeitá-la. 
 
 
13.17 Pode-se fazer objeção à estipulação de que a afirmação “são as variações na 
oferta monetária que determinam as variações no PNB (nominal)” seja forte demais 
com base no modelo St. Louis. Dois dos cinco coeficientes para a taxa de crescimento 
dos gastos do governo em termos de pleno, ou alto, emprego são estatisticamente 
significativos no nível de 95%. E por sinal, dois dos coeficientes da taxa de 
crescimento da oferta de moeda não são estatisticamente diferentes de zero. Além 
disso, deve haver colinearidade no modelo entre a taxa de crescimento da oferta de 
moeda e a taxa de crescimento dos gastos do governo em termos de pleno emprego. 
Seria interessante reproduzir o modelo St. Louis com dados mais recentes. Acabou a 
primazia da oferta de moeda M1, que está sendo substituída pela da M2. 
 
 
13.18 Pode-se mostrar que 1 4ˆ( ) 4E α β β= + e 2 2ˆ( ) 7E 4α β β= + . 
 
(Dica: 0X = em virtude dos valores tomados por X. 
 
 
13.19 Suprimindo o subscrito de observação i por conveniência, como , 
vem que . 
1 2
ˆ ˆˆ
iY Xβ β= +
2 2 2
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ 2Y Xβ β β β= + + 2X
Se substituirmos o último valor na equação RESET, obteremos: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 1 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2Y X X X Xα α α β β β β α α β α α β β α β= + + + + = + + + + 2 2X 
2
1 2 3X Xλ λ λ= + + , que é o resultado solicitado, em que os λ são uma mistura dos 
coeficientes originais. 
 
 
13.20 (a) Verdadeira. Veja a Figura 13.4. 
 
(b) Verdadeira. Veja a Figura 13.4. 
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(c) Verdadeira. Veja a Figura 13.4. 
 
(d) Verdadeira. O termo linear e o quadrático são necessários numa equação do 
segundo grau. 
 
(e) Verdadeira. O primeiro modelo em formato de desvio é 2 2 3 3 ( )i i i iy x x u uβ β= + + − . 
No segundo modelo, espera-se que 1α seja zero (Por quê?). Portanto, os dois modelos 
são basicamente iguais, de forma que a linha (plano) de regressão estimada é a 
mesma. 
 
 
 
 
13.21 (a) A Equação (1) é o modelo irrestrito, e a (2), o restrito. Aplicando o teste F 
restrito que vimos no Capítulo 8, podemos testar se a restrição (que a variável X6 não 
se encaixa no modelo) é valida. Os R² irrestrito e restrito são, respectivamente, 
0,9803 e 0,9801. Daí, obtemos: 
 ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
0,9803 0,9801 1
0, 2206
1 0,9803 23 41
SR R
SR
R R NR
F
R n k
− −= = =− −− − . 
 
Como esse valor não é significativo, o modelo restrito (2) é aceitável. Não há, então, 
necessidade de fazer aqui um teste RESET explícito. O mesmo se aplica ao teste ML. 
 
(b) No caso em tela, a variável ln X6 não é estatisticamente significativa, mas é bem 
possível que possavir a sê-lo em outra amostra. 
 
(c) Não. O fundamento para incluir variáveis explanatórias num modelo é a teoria 
econômica sólida, não estatísticas t ou F. 
13.22 (a) Esse seria um caso de inclusão de variáveis desnecessárias. 
 
(b) Os estimadores seriam não-tendenciosos e consistentes, mas suas variâncias 
seriam, no entanto, grandes. 
 
 
13.23 Os resultados da regressão de Y contra X, ambas incorretamente medidas, são: 
 
iˆY = 28,302 + 0,584Xi
ep = (12,677) (0,071) r² = 0,895. 
 
Resultados que estão próximos daqueles com os dados corretos, mas os coeficientes 
refletem o viés esperado. 
 
 
13.24 (a) Viés de omissão de variável. 
 
(b) Conforme vimos no texto, 2βˆ será tendencioso e também inconsistente. 
 
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(c) Os resultados do modelo ampliado são: 
 
ln V
L
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ -3,385 + 2,126lnW + 1,505
1
ln 1
E
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 t = (-0,534) (1,229) (0,471) 
 
R² = 0,895; F = 67,91; d = 2,362. 
 
Para comparação, os resultados do modelo original CES são: 
 
ln V
L
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ -0,472 + 1,340W 
 t = (-0,352) (3,022) 
 
R² = 0,413; d = 1,826. 
 
Como vemos, os resultados do modelo ampliado são insatisfatórios, pois nenhum dos 
coeficientes angulares é estatisticamente significativo, denotando que a variável 
adicional é supérflua, que há graves erros de medida nas elasticidades calculadas, que 
existe colinearidade nos dois regressores ou que todos esses fatores estão presentes. 
 
 
13.25 Este exercício é para ser feito em aula, pois o resultado real dependerá da 
amostra que estiver à mão. 
 
 
13.26 Como não se pode derivar do modelo B o A e vice-versa, o teste J deve ser 
mais adequado. O teste F aninhado, no entanto, pode ser usado para comparar o 
modelo irrestrito do Problema 8.26 com os modelos restritos A e B, conforme os 
resultados a seguir. 
 
Comparação com o modelo A: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
0,823 0,601 2
6, 271
1 0,823 16 61
SR R
SR
R R NR
F
R n k
− −= = − −− − = , em 
que o R² irrestrito é o do modelo do Problema 8.26 e o restrito é o do modelo A. Como 
o F estimado é significativo no nível de 5%, rejeitamos o modelo A como correto. 
 
Comparação com o modelo B: 
( )
( ) ( )
0,823 0,189 2
17,910
1 0,823 16 6
F
−= − − = , em que os valores 
0,823 e 0,189 são os R² do modelo do Problema 8.26 e o do modelo B, 
respectivamente. 
 
Novamente, o F é significativo no nível de 5%, indicando que o modelo B também não 
é o correto. 
 
 
13.27 Neste caso temos as seguintes etapas: 
1. Estimar o modelo B e dele obter os valores estimados de Y, . ˆ BiY
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2. Acrescentar ao modelo A como variável explanatória adicional, estimar a 
regressão resultante e testar a hipótese de que o coeficiente dessa variável 
nesta regressão não é estatisticamente significativo. Se a hipótese for rejeitada, 
é provável que o modelo A não seja o correto. 
ˆ B
iY
3. Repetir as etapas 1 e 2 trocando os papéis de A e B. 
 
A seguir estão os resultados das regressões, sem o subscrito de observação t, omitido 
por conveniência. 
 
Yˆ = 6042,059 + 1,226X3 – 820,010X4 – 1115,888 X6 + 1,213 ˆ BY
 t = (1,8480) (0,831) (-3,658) (03,908) (2,184) 
 
R² = 0,722; F = 7,138. 
 
O valor p do coeficiente é 5,15%, que não é significativo se nos prendermos ao 
nível de 5%, indicando que o modelo A é o “correto”. 
ˆ BY
 
Yˆ = – 8944,403 + 3,177X2 + 108,217X5 + 572,812 X6 + 1,210 ˆ AY
 t = (– 3,016) (1,921) (1,070) (2,293) (5,960) 
 
R² = 0,808; F = 11,583. 
O coeficiente da variável é significativonao nível de 0,0001. ˆ AY
Com base nesses resultados, parece que o modelo A é o “correto”. 
 
 
13.28 (a) A diferença entre os modelos (1) e (2) no Exercício 7.19 é que há no 
segundo uma variável explanatória adicional. Se o modelo (2) for o correto, estimar o 
(1) constituiria viés de variável omitida. 
 
Pode-se fazer o teste RESET de Ramsey apresentado no livro. Aplicando a estatística F, 
cujo valor é 1,474, não rejeitamos a hipótese de que o modelo (2) é o que está 
corretamente especificado. 
 
(b) Com base no teste de Ramsey, descobriremos que o modelo (5) está corretamente 
especificado. 
 
 
13.29 Há algumas possibilidades, mas só consideraremos uma, a saber, o teste J de 
Davidson-MacKinnon, cujas etapas são as seguintes. 
 
1. Estimar o modelo A e obter dele os valores previstos, AYf . 
2. Estimar o modelo B e obter dele os valores previstos, . BYf
3. Executar novamente o modelo A incluindo a variável . Se o coeficiente 
dessa variável for estatisticamente significativo, escolha o modelo B. 
BYf
4. Executar novamente o modelo B incluindo a variável AYf . Se o coeficiente 
dessa variável for estatisticamente significativo, escolha o modelo A. 
 
 
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5. Se no modelo A e BYf AYf no modelo B forem ambos estatisticamente 
significativos, então os dois modelos são aceitáveis. 
 
Se executarmos esses passos, chegaremos à conclusão de que ambos são modelos 
aceitáveis. Entretanto, se introduzirmos a taxa de juros, é bem possível que um seja 
preferível ao outro. A seguir temos os resultados das regressões sem a variável taxa 
de juros, em que Y é a poupança e X a renda. 
 
tˆY = – 39,2316 + 0,3616Xt – 0,3801Xt-1 + 1,1188 
BYf
 t = (–1,7725) (3,8804) (–3,9028) (4,2355) 
 
R² = 0,8965; d = 1,8193. 
 
tˆY = – 43,4574 – 0,0269Xt + 0,5864Yt-1 + 1,1430
AYf 
 t = (–1,8294) (–2,1177) (4,2355) (3,9027) 
 
R² = 0,8965. 
 
O d de Durbin-Watson para o segundo modelo é 1,8193, mas não pode ser usado nele 
para testar correlação serial devido à presença de regressando defasado. 
 
Como vemos, ambos os modelos são aceitáveis com base no teste J. Por que será que 
o coeficiente da variável renda no segundo modelo é negativo? 
 
 
13.30 Os resultados da regressão de poupança contra renda são os seguintes: 
 
Período Intercepto 
Coef. 
angular 
R² 
 
1970–
1981 
1,0161 0,0803 0,9021 
 (0,873) (9,6015) 
1970–
1985 
9,7255 0,00591 0,9142 
 (0,8999) (12,2197) 
1970–
1990 
50,2516 0,0444 0,7561 
 (3,6396) (7,6745) 
1970–
1995 
62,4226 0,0376 0,7672 
 (4,8917) (8,8938) 
 
Como vemos, há bastante flutuação nos interceptos e coeficientes angulares 
estimados, talvez trazendo à tona a questão da estabilidade da relação poupança-
renda ao longo dos diferentes períodos. 
 
 
 
 
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13.31 Aplicando os dados na Equação (13.10.1), obtemos: ( )
( )
23248,30 1785,032 14
8,5885
1785,032 10
F
−= = . 
Aqui, n1 = 12 e n2 = 14. 
 
Esse F é muito significativo estatisticamente (valor p = 0,0008), levando à conclusão 
de que a relação poupança-renda não foi estável ao longo do período observado. 
 
13.32 Vejamos o efeito da exclusão de X6 no coeficiente da variável mantida lnX2. De 
acordo com a equação dada no enunciado, vem que ( )2 2 6ˆ 62E bβ β β= + . No modelo 
verdadeiro (1), os valores de β2 e β6 são, respectivamente, 0,4813 e –0,0610. Pode-se 
mostrar que o valor de b62 é 0,4875. Daí, obtemos: 
 ( )2ˆE β = 0,4812 – (0,0610) (0,4875) = 0,4515. 
Ou seja, o viés é –0,0297. Dito de outra forma, com a exclusão de X6 o coeficiente de 
β2 foi subestimado em aproximadamente -0,03. 
 
Aplique esse procedimento para encontrar o viés no coeficiente de lnX3. 
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CAPÍTULO 14 
MODELOS DE REGRESSÃO NÃO-LINEARES 
 
 
14.1 Se um modelo de regressão parecenão-linear nos parâmetros, mas pode ser 
linearizado nos parâmetros com as transformações adequadas, então ele é 
basicamente, ou intrinsecamente, um modelo de regressão linear. Mas se não houver 
jeito de torná-lo linear nos parâmetros, então se trata de um modelo de regressão 
intrinsecamente não-linear. Exemplos disso já foram dados nos Exercícios 2.6, 2.7 e 
2.9. 
 
 
14.2 Se o termo de erro for incluído de modo aditivo, o modelo Cobb-Douglas (C-D) 
torna-se um modelo de regressão intrinsecamente não-linear. Se for incluído de modo 
multiplicativo, o modelo torna-se linear nos parâmetros de inclinação, mas não no 
intercepto. Mas as propriedades do termo de erro nesse modelo dependem de como 
ele é incluído de modo multiplicativo, se conforme (14.1.2) ou (14.1.3). A diferença 
tem implicações diversas para estimação e inferência. Tradicionalmente, tem sido 
incluído conforme (14.1.2). 
 
Para determinar qual forma é adequada em cada caso, podemos aplicar o teste J ou 
um similar. Se estimarmos o modelo C-D com ambos os termos de erro aditivo e 
multiplicativo, também podemos examinar os resíduos estimados dessas duas 
especificações e descobrir se os termos de erro estão normalmente distribuídos ou se 
há correlação serial etc. 
 
 
14.3 Na estimação por MQO podemos obter soluções explícitas, ou analíticas, para os 
parâmetros desconhecidos. Nas estimações por MQNL não há como conseguir isso, e 
as estimativas obtêm-se por um procedimento iterativo. 
 
14.4 Primeiro, escreva a equação assim: 
2
110
t
t
iu Y
β
γβ += − . Vamos, agora, minimizar: 
2
2
2
110
t
t
i iu Y
β
γβ +⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ . 
Há três incógnitas nessa expressão: β1, β2 e γ. Logo, temos de diferenciar a equação 
em relação a cada uma das incógnitas, igualar a zero as expressões resultantes e 
resolvê-las simultaneamente. Como imaginamos, as expressões resultantes são não-
lineares e não podemos obter soluções explícitas. Daí, teremos de recorrer a um dos 
métodos de estimação não-linear vistos no livro. Para os alunos arrojados, aí vão as 
três derivadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22
22
22
2
1
1
2
1 1
2
2
2
1 1 2
2 10 10
2 10 10
2 10 10
( )
tt
t
tt
t
tt
t
i t
i
i t
i
i t
i
u
Y
u tY
t
u tY
t
β
γ
β
γ
β
γ
β
γ
β
γ
β
γ
ββ
β ββ γ
ββ βγ γ
+
+
+
+
+
+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∂ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
 
 
Iguale essas expressões a zero para obter as equações normais, as quais têm de ser 
resolvidas iterativamente. 
 
14.5 (a) Verdadeira. Veja a discussão na Seção 14.5. 
(b) Verdadeira. Veja a discussão na Seção 14.5. 
 
 
14.6 Consulte a Seção 14A.3 no Apêndice 14A. Usando só as primeiras derivadas, 
podemos generalizar a Equação (2) para mais de duas incógnitas. Para usar essa 
fórmula, precisamos da derivada da função CES em relação às incógnitas A, β e δ. As 
expressões dessas derivadas são pesadas, difíceis de lidar. O aluno mais arrojado pode 
encontrá-las no livro de Judge, et alli1. 
 
 
14.7 (a) Neste caso, 2
dy
dt
β= . Esse modelo indica que Y cresce a uma taxa 2β , positiva 
ou negativa, dependendo do sinal, mas constante ao longo do tempo. 
 
(b) 2
1 dY
Y dt
β= , indicando que a mudança relativa em Y é uma constante igual a 2β . 
Multiplicando isso por 100, teremos a variação percentual, ou taxa de crescimento. 
 
(c) O modelo logístico de crescimento tem forma de S. Quando t = 0, 1
21
Y ββ= + , de 
forma que este é o valor inicial de Y. Da mesma forma, quando t , →∞ 1Y β= , que é o 
valor limite de crescimento de Y. Daí vem que 2 0β > . 
 
(d) Assim como a curva logística de crescimento, a curva Gompertz de crescimento 
também tem forma de S, mas não é simétrica em torno do seu ponto de inflexão, que 
é dado por 1 10,368Y e
β β= = . Para obter o ponto de inflexão, faça 
2
2 0
d Y
dt
= . Além 
 
1 Veja George G. Judge, R. Carter Hill, William Griffiths, Helmut Lutkepohl e Tsoung-Chao Lee, Introduction to the Theory 
and Practice of Econometrics, 2ª edição, John Wiley & Sons, New York, 1988, p. 514 
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disso, repare que (3 1ln lndY dt YY β β= − ) , que significa que a taxa de crescimento 
relativa em Y está linearmente relacionada ao logaritmo de Y. 
 
A curva Gompertz de crescimento tem sido utilizada para estudar o crescimento da 
população e de animais. 
 
 
Problemas 
 
 
14.8 Nos modelos seguintes, Y = população e t = tempo. 
 
Modelo linear 
 
tˆY = 221,7242 + 0,1389t 
 t = (109,2408) (44,4368); r² = 0,8178. 
 
Modelo log-lin 
 
�ln tY = 5,3170 + 0,0098t 
 t =(8739,399)(285,9826); r² = 0,9996. 
 
Modelo logístico 
 
0,01117
1432,739ˆ
1 1,7986t t
Y
e−
= + ; R² = 0,9997. 
Repare que as razões t de β1, β2 e β3 estimados são, respectivamente 2,8209, 4,3618 
e –14,0658. 
 
Modelo Gompertz 
 { }0,0054ˆ 1440,733exp 1,9606 ttY e= ; R² = 0,9995. 
Repare que as razões t de β1, β2 e β3 estimados são, respectivamente 2,7921, 5,4893 
e 5,4197. 
 
Deixamos para o leitor a interpretação desses resultados em vista da discussão teórica 
desses modelos no Exercício 14.7. 
 
 
14.9 Função de produção Cobb-Douglas com erro aditivo 
 
PIB = 0,5292(mão-de-obra)0,1810 (capital)0,8827; R² = 0,9942. 
 
Nota: Repare que as razões t dos três coeficientes são, respectivamente 1,9511, 
1,2814 e 12,4658. 
 
Função de produção Cobb-Douglas com erro multiplicativo 
 
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lnPIBt = –1.6524 + 0,3397 lnmão-de-obra +0,8459 lncapital 
 t = (–2,7258) (1,82950) (9,0624) 
R² = 0,9950. 
 
Como vemos, qualitativamente os resultados das duas especificações diferem na 
elasticidade produção/mão-de-obra, maior no modelo multiplicativo. A significância 
marginal desse coeficiente também é muito maior neste do que no aditivo. Mas tenha 
em mente que os resultados do modelo de termo de erro aditivo (isto é, modelo de 
regressão não-linear) não podem ser comparados diretamente com os do outro. Além 
disso, as razões t estimadas devem ser interpretadas no contexto de grandes amostras 
para o modelo não-linear. 
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CAPÍTULO 15 
MODELOS DE ESCOLHA QUALITATIVA 
 
 
 
15.1 Os resultados da regressão baseados na exclusão das 12 observações são: 
 
1ˆ 1,246 0,120 ii
i i
XY
w w
= + 
 t = (–10,332) (17,454) 
 
E os resultados baseados na manutenção das 12 observações depois de feitos os 
ajustes sugeridos são: 
 
 
1ˆ 0,635 0,0820 ii
i i
XY
w w
= − + 
 t = (–12,576) (26,305) 
 
A diferença entre os dois modelos é perceptível. Não esqueça que a regressão revisada 
baseia-se nas 40 observações, enquanto a original baseia-se somente em 28. Talvez 
os resultados do modelo revisado sejam preferíveis porque incluem todas as 
observações. Repare também na mudança das razões t estimadas. 
 
 
15.2 Esses dados produzirão um ajuste perfeito, pois todos os valores de X acima de 
16 correspondem a Y = 1 e todos aqueles inferiores a 16 correspondem a Y = 0. 
Portanto, uma infinidade de curvas se ajustaria a esses dados. O método de máxima 
verossimilhança pode falhar em situações assim, e, por isso, as estimativas MV 
fornecidas no enunciado são de valor questionável. 
 
 
15.3 Reportando-nos ao modelo original, verificamos que os resultados são de um 
modelo de probabilidade linear e que a unidade para rendadisponível X1 é milhares de 
dólares. 
 
(a) Dentre os regressores, somente as variáveis X1, X13 e X16 são estatisticamente 
significativas no nível de 5% e têm os sinais corretos. O valor baixo de R² não deve 
preocupar, pois essa medida não deve ser adequada ao modelo em questão. 
 
(b) Como esse coeficiente não é estatisticamente significativo, não podemos atribuir 
grande significado a essa variável. 
 
(c) Os termos ao quadrado são utilizados para contornar as taxas de variação dessas 
variáveis. Os sinais não têm sentido prático, uma vez que nenhum dos dois 
coeficientes é estatisticamente significativo. 
 
(d) A probabilidade é 0,6431. 
 
(e) A probabilidade é 0,6936. 
 
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15.4 Como a medida convencional do R² não é especialmente útil em modelos com 
regressando dicotômico, não há muito sentido em testar sua significância como o teste 
F visto no Capítulo 8. Medidas alternativas da qualidade do ajustamento são abordadas 
no texto e nas referências (veja também o Exercício 15.13). 
 
 
15.5 As probabilidades estimadas nos vários níveis de renda são: 0,2458; 0,2761; 
0,3086; 0,3611; 0,3981; 0,4950; 0,5923; 0,6828; 0,7614 e 0,8254. Representando-
as contra a renda, obteremos quase uma linha reta com inclinação crescente, 
conforme o gráfico abaixo. 
 
 
VERTICAL = PROB 
HORIZONTAL = RENDA 
 
 
15.6 Recordemos que 1 2i iI Xβ β= + . Portanto, a variável normal padronizada é 
1i x x
i i
x x x
XI Xμ μσ σ σ
⎛ ⎞−= = − + ⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
Daí, 1
x
x
μβ σ= − e 2
1
x
β σ= . 
 
 
15.7 (a) O logaritmo das chances de uma taxa de homicídios mais alta está 
positivamente relacionado ao número de habitantes e à taxa de crescimento 
populacional, mas negativamente relacionado à taxa de alfabetização. O coeficiente de 
0,0014 ligado a Pi deve ser interpretado como segue: tome seu antilogaritmo, 
subtraia-lhe 1 e multiplique o resultado por 100. Assim, antilog(0,0014) = 1,0014, 
subtraindo-lhe 1 e multiplicando o resultado por 100, temos 0,14%, o que quer dizer 
que se o número de habitantes aumentar uma unidade (no caso, mil), as chances de 
uma taxa de homicídios mais alta crescem 0,14%. Os outros coeficientes devem ser 
interpretados de forma análoga. 
 
(b) Individualmente, os coeficientes de C e R são estatisticamente significativos no 
nível de 5% ou melhor. 
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(c) Seguindo as etapas dadas em (a), o efeito do aumento de uma unidade na taxa de 
alfabetização é uma redução de cerca de 49,93% nas chances de uma taxa de 
homicídios mais alta. 
 
(d) As chances subirão 5,77%. 
 
[N] Nota: Se tomarmos os valores nominais dos coeficientes dos regressores, teremos 
a variação percentual aproximada das chances de uma taxa de homicídios mais alta, 
mas, para sermos precisos, temos de seguir o procedimento descrito em (a). 
 
 
15.8 Os coeficientes estimados diferem pouco. A diferença principal está nos erros-
padrão estimados. A Equação (15.7.3) corrige a heterocedasticidade, ao passo que a 
(15.7.3) não o faz. 
 
 
15.9 (a) Repare que nesse modelo o logaritmo da razão das chances é uma função do 
logaritmo da renda, o que faz dele um duplo log. Daí, se a renda aumenta 1%, em 
média, o log das chances favoráveis a possuir um carro cresce cerca de 34,8%. 
 
(b) Tirando o antilogaritmo da equação estimada, obtemos ( ) 0,34750,06251 i i
P X
P
=− , em 
que X é a renda. Note que tirando o logaritmo dessa expressão voltamos à equação 
dada no enunciado. 
 
A partir da equação anterior, tiramos a expressão para a probabilidade de possuir um 
carro: 
0,3475
0,3475
0,0625
1 0,0625i
XP
X
= + . 
 
(c) A probabilidade é 
0,3475
0,3475
0,0625(20000) 0,66
1 0,0625(20000)i
P = ≈+ . 
Ou seja, é de aproximadamente 66%. Seguindo esse mesmo procedimento, podemos 
verificar que para o nível de renda de 25.000, essa probabilidade é de cerca de 68%. 
De acordo com a nota de rodapé número 19 do livro-texto, também verificamos que a 
variação da probabilidade do nível de renda de 20.000 para o de 25.000 é bem 
pequena. 
 
(d) Vemos pelos resultados que os coeficientes são individualmente muito 
significativos, assim como também o é o valor χ², medida da qualidade de 
ajustamento. 
 
 
15.10 Conforme o Apêndice A, para uma distribuição Bernoulli o valor médio é P, e a 
variância, P(1-P). 
 
 
15.11 (a) Embora os resultados não sejam uniformes, os coeficientes logit, em 
algumas situações, são, em valores absolutos, mais baixos para os alunos negros do 
que para todos os alunos, mas há casos em que a diferença pode não ser 
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estatisticamente significativa. As variáveis, no entanto, têm os sinais esperados na 
maioria das vezes. 
 
(b) Na maioria dos casos, sim. 
 
(c) Como vemos, tomando todos os alunos, os coeficientes são todos estatisticamente 
muito significativos, o que não é o caso para os estudantes negros. A significância 
geral do modelo pode ser julgada pelos valores χ², muito significativos para todos, 
inclusive os negros. Esse valor mede a qualidade de ajustamento do modelo 
comparando os valores previstos por ele com os valores reais. Veja o Exercício 15.13 
sobre esse tema. 
 
 
15.12 (a) Para tornar homocedástico o termo de erro, o peso deve ser o inverso do 
erro-padrão de termo de distúrbio estocástico ui. Nesse caso, o peso é 
(1 )
i i
i
i i
N f
w
P P
= − . 
 
(b) Os pesos e os dados transformados são os seguintes: 
 
Probabilidade 
Peso 
(wi) 
I* = 
Iwi
Xi* = 
Xiwi
0,20 0,075 -11,157 79,690 
0,24 0,086 -8,113 92,717 
0,30 0,114 -4,571 87,896 
0,35 0,140 -2,708 92,636 
0,45 0,415 -0,289 36,181 
0,51 1,991 0,015 10,044 
0,60 0,243 1,029 102,856 
0,66 0,168 2,388 179,124 
0,75 0,102 6,557 342,509 
0,80 0,095 8,820 420,000 
 
(c) Os resultados pelos mínimos quadrados ponderados são: 
 
* *1, 086 0, 049i iI X= − + 
 ep = (0,031) (0,001) 
 
Vê-se que os resultados pelos mínimos quadrados não-ponderados e ponderados não 
são muito diferentes, embora para estes últimos os erros-padrão sejam relativamente 
menores, como era de se esperar. 
 
 
15.13 Nesse caso, o teste estatístico χ² é 2,3449, com valor p de 0,97. Portanto, não 
rejeitamos a hipótese nula de que não há diferença estatística entre os valores 
estimados da probabilidade e os reais. 
 
 
15.14 Seguem os resultados do modelo logit ponderado que expressam a 
probabilidade de morte como função do logaritmo da dosagem. 
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ˆ
iL = –4,837 + 7,058lnXi
 ep = (0,434) (0,599) 
 t = (–11,141) (11,782); χ² = 1,4069. 
 
Esses resultados revelam que os coeficientes estimados são muito significativos. O 
valor p do χ² observado é 0,7039, indicando que não há diferença estatística entre os 
valores da probabilidade estimados e os reais. Ou seja, o modelo ajustado é bastante 
bom. 
 
 
15.15 (a) Seguem os resultados pelo MPL, com Y = 1 se o candidato for admitido; se 
não, Y = 0. 
 
iˆY = –2,867 + 0,003Qi + 0,002Vi
 t = (–3,442) (2,976) (3,441) 
 
(b) Embora os resultados estatísticos pareçam aceitáveis, o MPL não é um modelo 
satisfatório devido aos problemas analisados no texto, tais como ausência de 
normalidade do termo de erro, heterocedasticidade etc. 
 
 
15.16 (a) O modelo logit estimado é: 
 
iˆY = –2,085 + 0,136Xi
 t = (–143,597) (151,621). 
 
(b) O modelo probit estimado é: 
 
iˆI = 3,722 + 0,083Xi
 t =(316,543) (115,524). 
 
(c) O valor logit estimado correspondente ao desconto de 17 centavos é 1,2548, do 
qual tiramos que a probabilidade estimada é de aproximadamente 56%, quase igual à 
do modelo probit.(d) O que precisamos achar é 
0,70ln 2,085 0,136
1 0,70 i
X⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟−⎝ ⎠ . Resolvendo essa 
expressão, teremos o valor de X, que é 21,56 centavos. 
 
15.17 (a) Como o coeficiente do estado civil é estatisticamente insignificante para 
ambos os períodos, não há muito a dizer sobre a importância dessa variável, mas seu 
sinal é positivo tanto em 1977 quanto em 1989, e isso faz sentido sob o aspecto 
econômico. 
 
(b) O coeficiente negativo estimado para a variável minoria está provavelmente 
refletindo algum efeito da variável renda, e indica que as minorias têm rendas mais 
baixas e menor necessidade de contas bancárias. 
 
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(c) Essa variável também reflete o efeito da variável renda, indicando que à medida 
que cresce o número de filhos, é possível que a família disponha de menos dinheiro 
para depositar em contas correntes ou de poupança. 
 
(d) A estatística χ² é uma medida da qualidade de ajustamento do modelo que, nesse 
caso, é boa, pois a previsão de quem teria ou não uma conta corrente foi feita com 
acerto de 91% em 1977 e 90% em 1989. 
 
 
15.18 (a) Os resultados do MPL ponderado são: 
 
iˆY = 0,184 + 0,874Xi
 t = 1,373) (5,042). 
 
(b) Dado que X = 48, o verdadeiro E(Y|X=0,48) = 0,440, e o estimado E(Y|X) = 
0,603. 
 
(c) Com os dados, podemos confirmar assim a resposta dos autores: 
 
P(Y*|X=0,48) = –0,969 + 2,764(0,48) = 0,3579. 
A probabilidade é 0,6398, validando o resultado dos autores. 
 
(d) P(Y*|X=0,79) = –0,969 + 2,764(0,79) = 1,2145. A probabilidade é 0,8878. A 
variação prevista é 24,80, que está de acordo com os resultados dos autores. 
 
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u
 
CAPÍTULO 16 
MODELOS DE REGRESSÃO COM DADOS EM PAINEL 
 
 
 
16.1 Nos dados em corte transversal, coletam-se informações sobre várias 
microunidades no mesmo ponto no tempo. Presume-se, em geral, que tais dados são 
de amostras aleatórias. Nos dados em séries temporais, obtemos informações sobre 
uma dada microunidade, ou unidade individual, ao longo de um período de tempo. Os 
dados em painel combinam características dos dois tipos anteriores, pois dados sobre 
várias microunidades são obtidos por vários períodos de tempo. 
 
 
16.2 Num modelo de efeitos fixos (MEF), admitimos que cada microunidade seja 
representada pelo seu próprio intercepto, que permanece o mesmo ao longo do tempo. 
Podemos levar em consideração o tempo e o espaço por meio da inclusão de variáveis 
binárias de corte transversal e de tempo. 
 
 
16.3 No modelo de correção de erros (MCE), ao contrário do MEF, presumimos que o 
intercepto de uma microunidade é uma extração aleatória com média e variância 
determinadas. Trata-se de um modelo econômico, visto que não se introduzem N 
variáveis binárias distintas de intercepto para N unidades de corte transversal. 
Conforme informado no texto, se o termo de erro e os regressores não estiverem 
correlacionados, é possível que o MCE seja adequado, mas se estiverem, o MEF talvez 
seja apropriado. 
 
 
16.4 São todos sinônimos. 
 
 
16.5 A resposta está na Seção 16.1. Resumidamente, combinando as dimensões 
espaço e tempo, podemos estudar muitos aspectos de um problema de uma forma que 
não seria viável fazer somente com os dados em corte transversal ou em séries 
temporais. Dois exemplos importantes dos dados em painel são o Estudo em Painel da 
Dinâmica de Renda e o Levantamento de Renda e Participação em Programas. 
Acompanhando as mesmas unidades em corte transversal ao longo do tempo, 
podemos estudar a dinâmica das variações. 
 
 
16.6 O novo termo de erro será it i t itw vε= + + , com as pressuposições de que 
2(0, )i N εε σ� , 2(0, )t vv N σ� e 2(0, )it uu N σ� . Além disso, presumimos que: 
 
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0( ); ( ) 0( )
( ) ( ) ( , ) 0;( ;
i t i it t it
i j t s
it is it jt it js
E v E u E v u
E i j E v v t s
E u u E u u E w w i j t s)
ε ε
ε ε
= = =
= ≠ = ≠
= = = ≠ ≠
 
 
 
 
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2
 
Conseqüentemente, 2 2 2var( )it v uw εσ σ σ σ= = + + , isto é, é homocedástico. O 
coeficiente de correlação entre e 
itw
itw (jtw i j)≠ , ou seja, entre os erros das duas 
unidades diferentes de corte transversal num dado ponto no tempo, é 
2
2 2 2
cov( , )
; ( )
var( ) var( )
it jt v
v uit jt
w w
i j
w w ε
σ
σ σ σ= ≠+ +⎡ ⎤⎣ ⎦
. 
E o coeficiente de correlação entre e itw (jtw t s)≠ ,ou seja, entre os erros de uma 
determinada unidade de corte transversal em dois pontos diferentes no tempo, é 
[ ]
2
2 2 2
cov( , ) ; ( )
var( ) var( )
it is
v uit is
w w t s
w w
ε
ε
σ
σ σ σ= ≠+ + . 
 
 
16.7 Temos neste caso N = 50 unidades de corte transversal e T = 2 séries temporais 
de dados. Consulte a observação número 2 na Seção 16.5. Como não podemos 
considerar os 50 estados da união como uma extração aleatória, é possível que o MEF 
seja mais apropriado. 
 
 
16.8 São –245,7924, –84,22, 93,8774 e –59,2258 para a GE, GM, USS e 
Westinghouse, respectivamente. Comparados com os da GE, os interceptos (isto é, 
efeitos fixos) das outras empresas são estatisticamente diferentes, como se vê pela 
regressão (16.1.5). 
 
 
16.9 Os resultados não são substancialmente diferentes no que tange aos coeficientes 
das variáveis X. Os interceptos não são iguais, o que era de se esperar devido às 
diferenças nas premissas subjacentes aos dois modelos. 
 
 
16.10 (a) Em conjunto, os resultados fazem sentido do ponto de vista econômico. Por 
exemplo, o logaritmo dos ganhos é menor neste ano se no anterior o indivíduo esteve 
desempregado, e o mesmo acontece se suas condições de saúde foram precárias 
naquele ano. 
 
(b) Qualitativamente, os dois modelos dão resultados similares. 
 
(c) Como temos 3774 observações, temos graus de liberdade suficientes para estimar 
um modelo de efeitos fixos. Mas como os dois modelos geralmente dão resultados 
análogos, podemos optar por qualquer um. Formalmente, podemos aplicar o teste 
Hausman para decidir entre os dois. 
 
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Problemas 
 
 
16.11 (a) 
Ano Intercepto 
Coef. 
angular 
R² d 
1990 3118,484 -22,4984 0,0834 1,98 
 (3,5718) (-2,0894) 
1991 3149,356 -23,3485 0,0972 1,9 
 (3,8837) (-2,2742) 
Nota: Os valores entre parênteses são as razões t. 
 
 
(b) Os resultados da regressão combinada são os seguintes: 
 
Ovos = 3132,258 – 22,8952 Preço 
 t = (5,3281) (–3,1173) r² = 0,0902; d = 2,0037. 
 
As pressuposições feitas neste caso são que os interceptos, os coeficientes angulares e 
as variâncias de erro são iguais nos dois períodos de tempo. 
 
(c) Fazendo D = 0 para 1990 e D = 1 para 1991, os resultados da regressão são: 
 
Ovos = 3153,082 – 34,6977D – 22,9403 Preço 
 t = (5,0767) (–0,1087) (–3,1027) R² = 0,0903; d = 2,0047. 
 
Como vemos, o coeficiente da variável binária para 1991 não é estatisticamente 
significativo, indicando que são estatisticamente iguais os interceptos dos dois períodos 
de tempo. 
 
(d) Se fizermos isso, teremos de usar 49 variáveis binárias, o que consumirá muitos de 
graus de liberdade. Consulte também a segunda observação na Seção 16.5. 
 
(e) Não, pelo mesmo motivo de (d). 
 
(f) Não é possível, nesse caso, estimar o MCE, porque para isso seria necessário que o 
número de unidades de corte transversal fosse maior que o número de coeficientes a 
serem estimados. Se tentarmos fazê-lo usando, por exemplo, o Eviews, o software 
responderá com essa afirmação. 
 
 
16.12 Aí vão os dados necessários: 
 
Ano SRQ gl 
1990 1,24E+08 48 
1991 1,22E+08 48 
Combinada 2,46E+08 98 
Nota:1,24E+08 significa 124.000.000 etc. 
 
 
 
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Se aplicarmos o teste de Chow, descobriremos que podemos rejeitar a hipótese nula 
de que as variâncias de erro dos dois períodos são diferentes, indicando que os dados 
podem ser combinados. 
 
 
16.13 (a) A seguir, temos os resultados da regressão em forma de tabela, com as 
razões t entre parênteses. 
 
Empresa Intercepto F-1 C-1 R² SQR d 
GE -9,9563 0,0265 0,1516 0,7053 13217 1,07 
 (-0,3173) (1,7057) (5,9015) 
GM -149,4667 0,1192 0,3715 0,9214 143118 0,93 
 (-1,4137) (4,6192) (10,0270) 
US Steel -50,0780 0,1714 0,4087 0,4810 154988 0,92 
 (-0,3413) (2,3254) (2,8208) 
Westinghouse -0,5804 0,0530 0,0916 0,7450 1796 1,42 
 (-0,0724) (3,3776) (1,6334) 
Combinada -63,3041 0,1101 0,3034 0,7565 1560690 0,22 
 
 
(b) Teste de Chow: A soma das SQR das quatro empresas é 313092. Aplicando o teste 
conforme o Capítulo 8, obtemos 
(1560690 313092) 3 415866 9,032
313092 (80 12) 46043
F −= =− = , valor 
muito significativo, levando à rejeição da hipótese nula de que as quatro variâncias de 
erro são iguais. 
 
(c) Em vista do teste de Chow, parece que não se deve combinar os dados neste caso. 
Mas isso não invalida a utilidade da técnica de combinação, que foi evidente no nosso 
exemplo dos ovos no Problema 16.11. 
 
 
16.14 (a) A priori, seria de se esperar uma relação inversa entre as duas variáveis 
porque se o desemprego for alto, haverá menos pressão por aumentos de salários, 
presumindo que os outros fatores se mantenham constantes. 
(b) & (c) A seguir temos os resultados da regressão em forma de tabela, com as 
razões t entre parênteses. 
 
País Intercepto 
Coef. 
angular 
R² SQR d 
Canadá 85,8286 -0,7294 0,0048 5372 0,0088 
 (3,8706) 
(-
0,2946) 
 
Reino 
Unido 
156,4412 -9,1186 0,4248 7856 0,3591 
 (6,6952) 
(-
3,6463) 
 
Estados 
Unidos 
152,4665 -9,6686 0,5420 3375 0,4910 
 (10,9253) 
(-
4,6159) 
 
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Combinada 132,3895 -6,3409 0,3365 1941 0,2440 
 (13,4746) 
(-
5,4242) 
 
 
(d) Esses resultados e os de (e) foram obtidos com o Eviews. 
 
 
Variável dependente: COM? 
 
Método: Mínimos quadrados 
combinados 
 
 
Amostra: 1980 1999 
Observações incluídas: 
20 
 
Número de cortes 
transversais: 3 
 
Total observações (equilibradas) em 
painel: 60 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
DESEMPREGO? -6,7307 1,4553 -4,6247 
Efeitos fixos 
CAN--C 138,7603 
RU--C 134,5800 
EUA--C 133,3699 
R-quadrado 0,3462 
Soma quad 
resíduos 
19123,6604 
Estatística Durbin-
Watson 
0,2674 
 
(e) 
 
Variável dependente: COM? 
 
Método: MQG (componentes de 
variância) 
 
 
Amostra: 1980 1999 
Observações incluídas: 
20 
 
Número de cortes 
transversais: 3 
 
Total observações (equilibradas) em 
painel: 60 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C 131,3202 8,8974 14,7592 
DESEMPREGO? -6,2098 1,0664 -5,8231 
Efeitos aleatórios 
CAN--C 0,8264 
RU--C -1,7597 
EUA--C 0,9333 
R-quadrado 0,3312 
Soma quad 
resíduos 
19561,0217 
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Estatística Durbin-
Watson 
0,2358 
 
(f) Os resultados dos dois modelos são semelhantes. Podemos, portanto, escolher 
qualquer um deles. 
 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
*
t tu
1)−
1)−
t
 
CAPÍTULO 17 
MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS: MODELOS AUTO-REGRESSIVOS E 
COM DEFASAGENS DISTRIBUÍDAS 
 
 
 
17.1 (a) Falsa. Modelos econométricos são dinâmicos se descrevem a trajetória no 
tempo da variável dependente em relação a seus valores passados. Os que utilizam 
dados em cortes transversais não são dinâmicos, a menos que sejam usados modelos 
de regressão em painel com valores do regressando defasados. 
 
(b) Verdadeira. O modelo Koyck presume que todos os coeficientes de defasagem 
distribuída têm o mesmo sinal. 
 
(c) Falsa. Os estimadores são tendenciosos e também inconsistentes. 
 
(d) Verdadeira. Para demonstração, veja o texto de Johnston citado na nota de rodapé 
número 30 do livro-texto. 
 
(e) Falsa. O método gera estimativas consistentes, embora sejam tendenciosas 
aquelas obtidas com pequenas amostras. 
 
(f) Verdadeira. Em tais situações, aplique a estatística h de Durbin. Para calculá-la, no 
entanto, pode-se usar a estatística d de Durbin. 
 
(g) Falsa. É válido para grandes amostras, estritamente falando. 
 
(h) Verdadeira. O teste de Granger é uma medida de precedência e conteúdo da 
informação, mas por si só não indica causalidade, no sentido trivial da palavra. 
 
 
17.2 Use as Equações (17.7.1), (17.6.2) e (17.5.2). 
 
*
0 1tY Xβ β= + + (1) 
*
1 (t t t tY Y Y Yδ−− = − (2) 
* * *
1 (t t t tX X X Xγ−− = − (3) 
 
Reescreva a Equação (2) assim: * 1(1 )t tY Y Yδ δ −= + − (4) 
 
Reescreva a Equação (3) assim: *
1 (1 )t t
X X
L
γ
γ= − − (5) 
em que L é o operador de defasagem, tal que 1t tLX X −= . 
 
Substitua a Equação (1) na Equação (4) para obter: 
 
*
0 1 (1 )t t tY X uδβ δβ δ δ −= + + + − 1tY (6) 
 
Substitua a Equação (5) na (6) para obter: 
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0 1 1(1 )1 (1 )t t
Y X
L
γ
t tY uδβ δβ δ δγ −
⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥− −⎣ ⎦ (7) 
Simplificando a Equação (7), temos: 
 
1 2 3 1 4 2t t t tY X Y Yα α α α− −= + + + → (17.7.2), em que os α são combinações (não-
lineares) dos diversos parâmetros da Equação (7). 
 
17.3 ( ) ( ) [ ]{ }1 1 1 1cov ,t t t t t t tY u u E Y E Y u uλ λ− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1−
)1− ⎤⎦
, já que . ( ) 0tE u =
( ) ( )(1 1 1cov ,t t t t t tY u u E u u uλ λ− − −⎡ ⎤ ⎡− = −⎣ ⎦ ⎣ , já que ( )1 1t tY E Y u 1t− − −⎡ ⎤− =⎣ ⎦ . 
( ) ( 21 1cov ,t t t tY u u E uλ λ− − −⎡⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ )1 ⎤⎦ , já que não há correlação serial. 
( ) 21 1cov ,t t tY u uλ λσ− −⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ , como queríamos demonstrar. 
 
 
17.4 Os valores para P* são, respectivamente, 100, 105, 115, 135 e 160. 
 
 
17.5 (a) Os valores estimados de Y, que são função linear da variável não-estocástica 
X, não são assintoticamente correlacionas com v, o termo de erro da população. 
 
(b) Pode diminuir a gravidade do problema da colinearidade. 
 
 
17.6 (a) A defasagem mediana é o tempo para se completar metade da fração de 
ajustamento. No caso do modelo de Koyck, resolva a expressão a seguir para 
encontrá-la: 
 ( ) ( )
( )
0
0
1 1resposta no período 1
resposta de longo prazo 1 2
t
t β λ λ
β λ
− −= − = , que simplificada dá 
1
2
tλ = . Portanto, 
1ln ln ln 2
2
t λ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . Logo, 
2ln 2
ln
t λ
−= , que é a resposta solicitada. 
 
(b) 
λ ln λ ln2 Defasagem 
mediana 
0,2 
-
1,6094 
0,6932 0,4307 
0,4 
-
0,9163 
0,6932 0,7565 
0,6 
-
0,5108 
0,6932 1,3569 
0,8 
-
0,2231 
0,6932 3,1063 
 
 
 Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
17.7 (a) Como , a defasagem mediana é: 0 ;0 1; 0,1, 2...
k
k kβ β λ λ= < < =
2
00
0
0
(1 )
1 (1 ) 1
kk
k k
k
k kβ β λ λ λ λ
β λ λβ
∞
−= = =− −
∑ ∑
∑∑ λ
. 
 
(b) Se λ for muito grande, a velocidade do ajustamento será lenta. 
 
17.8 Aplique a fórmula k
k
kβ
β
∑
∑ que, com os dadosda Tabela 17.1 torna-se 
11,316 10,986 10,959
1,03
= ≈ . 
 
 
17.9 (a) Seguindo o procedimento adotado no Exercício 17.2, podemos escrever a 
equação para tM como segue: 
( ) ( )1 1 2 2
1 2
1 1
1 1t t t t
M Y
L L
β γ β γα γ γ
− −
R u= + +− − + , que pode ser 
reescrita assim: 
 
( ) ( ) ( )0 1 1 1 2 1 1 2 21 1 1t t t tM Y Yβ β γ β λ γ β γ−= + − − − + − R 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 21t t t t t tM R M M u uβ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ− − − − tu −⎡ ⎤= − − + + − + − + +⎣ ⎦ , em 
que 0β é uma combinação de α , 1γ e 2γ . Observe que se 1 2γ γ γ= = , o modelo pode 
ser ainda mais simplificado. 
 
(b) O modelo que acabamos de desenvolver é muito não-linear nos parâmetros e tem 
de ser estimado com o emprego de alguma das técnicas iterativas não-lineares 
examinadas no Capítulo 14. 
 
 
17.10 A Equação (17.7.2) apresenta o mesmo problema de estimação que o modelo 
de Koyck e o das expectativas adaptativas, pois são auto-regressivos com estruturas 
de erro similares. Trata-se de um modelo de regressão intrinsecamente não-linear, 
exigindo, portanto, técnicas não-lineares de estimação. 
 
 
17.11 Conforme explanado por Griliches, como o modelo de correlação serial inclui 
valores defasados dos regressores, o que não acontece nos de Koyck e de ajustamento 
parcial, é possível que ele seja apropriado – mesmo que se assemelhe a estes últimos 
– em situações em que estejamos transformando um modelo para nos vermos livres 
da correlação serial de primeira ordem. 
 
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17.12 (a) Sim, o modelo de Koyck pode, nesse caso, ser estimado com os MQO. 
 
(b) Haverá um viés de amostra finita devido ao regressando defasado, mas as 
estimativas serão consistentes. Pode-se achar a demonstração disso nas páginas 408 a 
411 do livro Principles of Econometrics, de Henry Thiel, publicado por John Wiley & 
Sons, New York, 1971. 
 
(c) A pressuposição de que ρ e λ sejam iguais é plausível, pois os valores de ambos 
situam-se, por premissa, entre 0 e 1. 
 
 
17.13 De forma análoga aos modelos de Koyck, Alt, Tinbergen e outros, essa é uma 
abordagem ad hoc e tem pouca sustentação teórica. O modelo pressupõe que a 
importância dos valores passados declina continuamente desde o início, o que pode ser 
uma pressuposição razoável em alguns casos. Pela utilização da média ponderada das 
variáveis explanatórias atuais e passadas, esse modelo triangular anula os problemas 
de multicolinearidade que possam existir em outros. 
 
17.14 (a) Em média, ao longo do período estudado, a variação do nível de emprego 
está positivamente relacionada à produção e negativamente ao nível de emprego no 
período anterior e ao tempo. Os sinais negativos no coeficiente da variável tempo e na 
variável tempo ao quadrado indicam que a variação no nível de emprego vem 
declinando ao longo do período, mas mais rapidamente. Repare que o coeficiente de 
tempo não é significativo no nível de 5%, mas o de tempo ao quadrado o é. 
 
(b) É 0,297. 
 
(c) Para obter a curva de demanda de longo prazo, divida a de curto prazo por δ e 
exclua o termo defasado do nível de emprego, o que resultará na função 47,879 + 
0,579Qt + 0,094t + 0,002t². 
 
(d) O teste estatístico apropriado é o h de Durbin. Dado que n = 44 e d = 1,37, 
obtemos: 
 
-1
1 441 1 2,414
2 1 var(coef de ) 2 1 44(0,001089)t
d nh d
n E
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
 
Já que o h segue assintoticamente a distribuição normal, seu valor crítico a 5% é 1,96. 
Pressupondo que a amostra de 44 observações seja razoavelmente grande, podemos 
concluir que há nos dados evidência de autocorrelação positiva de primeira ordem. 
 
 
17.15 (a) É (1 - 0,0864) = 0,136. 
 
(b) A elasticidade preço de curto prazo é –0,218, e a de longo prazo é (–0,218/0,136) 
= –1,602. 
 
(c) A elasticidade juro de curto prazo é –0,855, e a de longo prazo é (–0,855/0,136) = 
–6,287. 
 
 
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ˆj p
 
(d) A taxa de ajustamento de 0,136 é relativamente baixa, e isso pode ser por causa 
do tipo de tecnologia desse mercado. Lembre-se de que tratores são bens duráveis 
com vida útil razoavelmente longa. 
 
17.16 O termo defasado representa as influências combinadas de todos os valores 
defasados do(s) regressor(es) do modelo, como vimos ao explorar a abordagem de 
Koyck. 
 
 
17.17 O grau do polinômio deve ser pelo menos um a mais do que os pontos de 
inflexão da série temporal observada representada graficamente ao longo do tempo. 
Assim, use um polinômio de 4º grau para o primeiro gráfico no canto superior 
esquerdo, um de 2º grau para o do canto superior direito, um de 6º grau para o do 
canto inferior esquerdo e outro de 2º grau para o do canto inferior direito. 
 
 
17.18 (a) 
2
2
0
ˆ ˆ ˆvar( ) var( ) 2 cov( , )
p
j j p
i j
j j p
i iβ α α+
= <
= +∑ ∑ α
i
. 
Segue uma expressão análoga, a não ser por um termo adicional. 
 
 
(b) Não é necessariamente assim, porque, como visto em (a), as variâncias das 
estimativas de βi envolvem tanto as variâncias como as covariâncias dos coeficientes 
estimados α, e estas últimas podem ser negativas. 
 
 
17.19 Dado que 0 1 2i iβ α α α= + + , se 0 00 0β α= → = e 
quando 4 0 1 2 10 4 16 0 24β α α α α α= → + + = → = − . 
 
Portanto, o modelo transformado é: 
 
( ) ( )4 2 20 1 2 2
0
4t i i t t i t t i t i
i
Y X u i i X u iX i Xα β α α α α α α− −
=
= + + = + + + + = + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ tu− . 
 
 
17.20 
/ 2
0 0 1
2
( )
k k
t i t i t t i t
ki i i
Y X u i X k i Xα β α β β− −
= = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + = + + − +∑ ∑ ∑ i tu−
t tZ u
 
( )t t i t i tY iX k i X uα β α β− −⎡ ⎤= + + − + = + +⎣ ⎦∑ ∑ . 
 
 
17.21 No caso, n = 19 e d = 2,54. Embora a amostra não seja muito grande, vamos 
fazer o teste h a título de ilustração: 
 
 
 
 
 
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-1
2,54 19
1 1 1,3773
2 1 ( ) var(coeficiente de ) 2 1 19(0,0142)t
d n
h
n PF
= − = − = −− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , valor que 
não é significativo no nível de 5%. Não há, portanto, evidência de correlação serial 
positiva de primeira ordem, não esquecendo que nossa amostra pode não ser 
suficientemente grande para aceitarmos esse resultado. 
 
 
Problemas 
 
 
17.22 Empregando o modelo de ajustamento de estoques ou de ajustamento parcial 
(MAP), a função de gastos no curto prazo pode ser escrita da seguinte forma, em que 
Y são os gastos em novas instalações e equipamentos e X as vendas (veja Equação 
17.6.5) : 
 
0 1 1(1 )t tY X Xt tuδβ δβ δ −= + + − + (1). 
 
De acordo com os dados, seguem os resultados da regressão: 
 
tˆY = –15,104 + 0,629Xt + 0,272Yt-1 (2) 
 t = (–3,194) (6,433) (2,365) 
 
R² = 0,987; F = 690,056; d = 1,519. 
 
Pelo coeficiente do valor de Y defasado, encontramos que δ = 0,728. 
 
A função de gastos no longo prazo é *tˆY = 20,738 + 0,864 Xt , obtida dividindo (2) por 
0,728 e excluindo o termo Y defasado. 
 
Temos de empregar a estatística h para ver se há correlação no problema. Aplicando a 
devida fórmula, pode-se constatar que h = 1,364, valor que, assintoticamente, não é 
significativo no nível de 5%. Então, também assintoticamente, não há correlação serial 
nos dados. 
 
 
17.23 Aplicando a mesma notação usada no Exercício 17.22, a função de gastos no 
curto prazo é: 
 
0 1 1ln ln ln (1 )t tY X t tY uδβ δβ δ −= + + − + (1) 
 
Os resultados da regressão são: 
 
ln –1,078 + 0,905 lnXtˆY = t + 0,260 lnYt-1 (2) 
 t = (–5,854) (8,131) (2,962) 
 
R² = 0,994; F = 1425,219; d = 1,479. 
 
Daí, achamos δ = 0,740. 
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A função de gastos no longo prazo é ln *tˆY = 0,376 + 1,222 ln Xt
 
A estatística h para este problema é 1,34. Assintoticamente, portanto, rejeitamos a 
hipótese de que existe correlação positiva de primeira ordem no termo de erro. 
 
Ambos os modelos dão resultados análogos, sendo a vantagem do logarítmico que os 
seus coeficientes angulares estimados fornecem estimativas diretas dos coeficientes de 
elasticidade, ao passo que os do linear apenas medem a taxa de variação. 
 
 
17.24 Os resultados estatísticos são os mesmos do Problema 17.22. No entanto, como 
este é um modelo de expectativas adaptativas, a interpretação é diferente. O δ 
estimado é agora interpretado como a fração com que as expectativas de 
investimentos em instalações e equipamentos são revistas a cada período. A estrutura 
de erro da população também é diferente, conforme observado no texto. 
 
17.25 Neste caso, empregamos uma combinação dos modelos de expectativas 
adaptativas e MAP. Segue a equação, em que ( ) 11t t tv u uδ δ γ −⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ : 
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 21 1 1 1t t tY X Y Yβ δγ β δγ δ γ δ γ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + − + − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t tv−
tv
, que, por 
conveniência, escrevemos 0 1 2 1 3 2t t t tY X Y Yα α α α− −= + + + + . Com base nos dados, 
seguem os resultados da regressão: 
 
tˆY = –19,7701 + 0,715Xt + 0,565Yt-1 – 0,409Yt-2 
 t = (–4,467) (8,323) (4,250) (–3,460) 
 
R² = 0,992; F = 5653,234; d = 1,367. 
 
Os coeficientes estimados são todos estatisticamente significativos, mas como são 
combinações não-lineares dos originais, fica difícil obter suas estimativas diretas. 
Teoricamente, devemos estimar esse modelo empregando os métodos não-lineares 
apresentados no Capítulo 14, os quais darão estimativas diretas dos diversos 
parâmetros que serão então comparados àqueles obtidos nos Problemas 17.22, 17.23 
e 17.24. 
 
17.26 Hipótese nula H0: as vendas não causam, no sentido de Granger, os 
investimentos em instalações e equipamentos. Seguem os resultados do teste de 
Granger: 
 
Nº de 
defasagens 
Estatística 
F 
Valor p Conclusão 
2 17,394 0,0001 rejeitar H0
3 5,687 0,0117 rejeitar H0
4 3,309 0,0628 
não rejeitar 
H0
5 2,379 0,1606 
não rejeitar 
H0
6 1,307 0,4463 
não rejeitar 
H0
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Hipótese nula H0: os investimentos em instalações e equipamentos não causam, no 
sentido de Granger, as vendas. Seguem os resultados do teste de Granger: 
 
Nº de 
defasagens 
Estatística 
F 
Valor p Conclusão 
2 22,865 0,0001 rejeitar H0
3 13,009 0,0004 rejeitar H0
4 7,346 0,0065 rejeitar H0
5 5,867 0,0262 rejeitar H0
6 3,053 0,1939 
não rejeitar 
H0
 
 
Como se vê por esses resultados, o teste de causalidade de Granger é sensível ao 
número de termos defasados incluídos no modelo. Até três defasagens, a causalidade 
é bilateral, até cinco, de investimento para vendas, e até 6, nenhuma das duas 
variáveis causa a outra. 
 
 
17.27 Um modelo elucidativo que se ajustou neste caso foi um polinomial de segundo 
grau com quatro defasagens. Empregando o formato da Equação (17.13.15) e fazendo 
Y representar os investimentos e X as vendas, os resultados da regressão são: 
 
tˆY = –35,4923 + 0,8910Xt + 0,3255Xt-1 – 0,0312Xt-2 –0,1792Xt-3 – 0,1183 Xt-4 
 t = (–4,3321) (5,1042) (3,6176) (–0,2530) (–2,1109) (–0,6562). 
 
Exortamos o leitor a experimentar outras combinações de defasagens e polinômios de 
outros graus. Pode-se aplicar o critério de informação de Akaike para fazer a escolha 
entre os modelos concorrentes. 
 
 
17.28 Obtivemos os seguintes resultados com o software Eviews 4. 
 
COEFICIENTE NER FER BER 
Intercepto 
-
23,3844 
-36,0936 -5,9303 
 
(-
2,3578) 
(-4,6740) (-0,8799) 
Xt 0,3188 0,8712 0,1215 
 (3,5791) (5,5205) (19,9423) 
Xt-1 0,4414 0,3515 0,1945 
 (3,9542) (10,4464) (19,9423) 
Xt-2 0,3677 0,0045 0,2188 
 (5,4213) (0,0993) (19,9423) 
Xt-3 0,0976 -0,1697 0,1945 
 (2,1948) (-2,2065) (19,9423) 
Xt-4 -0,3686 -0,1712 0,1215 
 
(-
1,6678) 
(-2,7730) (19,9423) 
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Nota: NER, FER e BER denotam restrição near-end, far-end e nos dois extremos, 
respectivamente. Os números entre parênteses são as razões t. 
 
Nota-se que a aplicação de restrições aos coeficientes dos modelos leva a resultados 
muito diferentes. Repare na interessante descoberta de que a imposição de restrições 
nos dois extremos gerou erros-padrão e razões t idênticas. É melhor não impor 
restrição nenhuma, a menos que haja a priori uma expectativa consistente. 
Naturalmente, o que ainda é preciso saber em cada caso é o número de termos 
defasados e o grau do polinômio. 
 
17.29 (a) 
Direção da 
causalidade 
Número de 
defasagens 
F Probabilidade 
Y→X2 2 0,0695 0,9329 
X2→Y 2 2,8771 0,0705 * 
 
Y→X2 3 0,1338 0,9392 
X2→Y 3 2,4892 0,0793 * 
 
Y→X2 4 0,1407 0,9655 
X2→Y 4 1,8239 0,1533 
* Significativo no nível de 10% 
 
A seta indica a direção da causalidade, e a hipótese nula em cada caso é de que a 
variável à esquerda da seta causa a variável à direita. Parece que nessas situações o 
investimento em equipamento de processamento de informações não causa vendas, no 
sentido de Granger. Mas há evidência inconcludente de que as vendas causem o 
investimento. Experimente outras defasagens e verifique se essa conclusão se altera. 
 
(b) Os resultados da causalidade entre investimento e taxa de juros são interessantes 
porque não há relação causal entre as duas até cinco defasagens; na sexta, a taxa de 
juros causa investimento, mas não vice-versa; e na sétima e oitava defasagens não há 
correlação causal entre as duas. É difícil justificar intuitivamente esses resultados. 
 
(c) Na forma linear não havia efeito de defasagem distribuída discernível de vendas 
sobre o investimento. No modelo log-linear com 4 defasagens, polinômio do segundo 
grau e impondo restrição near-end temos os seguintes resultados: 
 
ln –15,1508 + 0,2008lnXtˆY = 2t + 0,3288lnX2(t-1) + 0,3841lnX2(t-2) + 0,3665lnX2(t-3) + 
0,2762ln X2(t-4) 
 t = (–73,2185) (3,8962) (5,0794) (9,6896) (15,0782) 
(2,1921). 
 
Se representarmos graficamente os coeficientes dos diversos termos lnX2, veremos 
que eles aumentam até a segunda defasagem e depois declinam, apresentando uma 
curva em forma de U invertido. 
 
 
17.30 (a) & (b) Pode-se mostrar, mediante a aplicação do teste de causalidade de 
Granger, que há causalidade bilateral entre as duas variáveis até quatro defasagens, 
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mas, além daí, não há causalidade unilateral ou bilateral. Por exemplo, na defasagem 
3 achamos: 
 
produtividade → remuneração, F = 3,84, (valor p = 0,0314) 
remuneração → produtividade, F = 3,97, (valor p = 0,0284), 
 
e na defasagem 4: 
 
produtividade → remuneração, F = 2,27, (valor p = 0,0888) 
remuneração → produtividade, F = 3,26, (valor p = 0,0265). 
 
(c) Poderíamos, por exemplo, regressar a remuneração contra a produtividade e a taxa 
de desemprego para ver o efeito (parcial) desta última, deduzido o efeito da segunda. 
Seguem os resultados da regressão, em que Y é a remuneração, a produtividade é X2, 
e a taxa de desemprego é X3: 
 
tˆY = 26,7834 + 0,6907X2t + 0,6680X3t 
 t = (12,8468) (33,2341) (2,7053) 
 
R² = 0,9694; d = 0,2427. 
 
Todos os coeficientes estimados parecem estatisticamente significativos. É possível 
que o sinal positivo da variável taxa de desemprego contrarie a intuição, a não ser que 
se possa alegar que altas taxas de desemprego incrementema produtividade, a qual, 
por sua vez, levaria a maior remuneração. Como a estatística d é muito baixa no caso 
em tela, é possível que haja neste modelo autocorrelação ou viés de especificação, ou 
ambos. 
 
 
17.31 Só para dar uma amostra do teste de Sims, regressamos Y (investimento em 
novas instalações e equipamentos) contra X (vendas) com duas defasagens e dois lead 
terms X, obtendo os seguintes resultados: 
 
tˆY = –2,6549 + 1,4421Xt-1 – 0,4043Xt-2 + 0,3290Xt+1 –0,5576Xt+2 
 t = (–0,4039) (7,1142) (–2,0425) (1,6786) (–3,0060). 
 
R² = 0,9912; d = 3,0561. 
 
Os resultados lançam dúvidas de que as vendas causem investimentos, pois parece 
que o lead term Xt+2 é estatisticamente significativo. O leitor deve experimentar outras 
estruturas com termos defasados e lead terms para ver se essa conclusão se mantém. 
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CAPÍTULO 18 
MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS 
 
 
18.1 A demanda por dentistas seria uma função do preço do tratamento dentário, da 
renda da população de pacientes, da disponibilidade de seguro-saúde odontológico, do 
nível de escolaridade da população que necessita de cuidados odontológicos, do 
tamanho da família etc. A oferta de dentistas seria uma função do preço do tratamento 
dentário, do custo da conscientização da necessidade desse tratamento, do tamanho 
da população que necessita dele, do número de escolas de odontologia, das exigências 
legais para o exercício da profissão etc. Neste exemplo, as variáveis endógenas são a 
demanda por dentistas, a oferta de dentistas e o preço do tratamento dentário. As 
demais variáveis devem ser consideradas exógenas. 
 
 
18.2 Brunner e Meltzer usaram variáveis tais como taxa de juros, a real riqueza do 
Estado, a razão entre a renda corrente e a permanente etc. Tiegen usou a renda, a 
taxa de juros de curto prazo, o estoque de capital defasado etc. Na literatura, há 
controvérsia sobre qual das duas taxas de juros – a de curto ou a de longo prazo – 
representa adequadamente o custo de oportunidade do capital. 
 
 
18.3 (a) Em forma de desvio (dos valores médios), podemos expressar como segue as 
funções demanda e oferta: 
 
*
1 1 1 1( )
d
t t t tq p u u pα α= + + = + 1tu (1) 
*
1 2 2 1( )
s
t t t tq p u u pβ β= + + = + 2tu (2) 
 
De (1), obtemos: 
( ) * *1 1 1
1 12 2
ˆ ˆt tt t t t
t t
p u pq p p u
p p
αα α⎡ ⎤+⎣ ⎦= = = + 2
tp
∑∑ ∑
∑ ∑ ∑ . (3) 
 
Em equilíbrio, (1) = (2). Logo, depois das simplificações, temos: 
 
* *
2 1
1 1
t
t
u up tα β
−= − 
(4) ( )* * * * * *22 1 1 2 1 1*
1
1 1 1 1
t t t t t t
t t
u u u u u u
p u α β α β
− −= =− −
∑ ∑ ∑∑ (5) 
( )
*2 *2 * *
2 1 22
2
1 1
2t t t
t
u u u
p α β
+ −= −
∑ ∑ ∑∑ 1tu (6) 
 
Substituindo em (3) essas expressões e simplificando, obtemos: 
 
 
 
 
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(* * *22 1 11 1 1 1*2 *2 * *
2 1 2 1
ˆ
2
t t t
t t t t
u u u
u u u u
)α α −= + −+ −∑ ∑∑ ∑ ∑ α β (7) 
 
Como u1 e u2 não são correlacionados, ao tirar o limite de probabilidade (plim), 
obtemos o seguinte: 
 
2
*1
1 1 1 1 2 2
*1 *2
ˆlim ( ) u
u u
p σα α α β σ σ= − − + (8) 
 
Como geralmente o último termo em (8) é diferente de zero, 1αˆ não é estimador 
consistente de 1α . 
 
(b) Se α1 = β1, então a probabilidade anterior é igual a α1. 
 
 
18.4 Igualando as Equações (18.2.13) e (18.2.18), obtemos: 
 
0 1 0 1 2r M rπ π λ λ λ+ = + + (1) 
 
Logo, 0 0 1
1 2 1 2
( )
( ) ( )t
r Mλ π λπ λ π λ
−= +− − (2) 
 
Substituindo (2) na equação IS, temos: 
0 1 2 1 0 0 1 1
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )t
Y Mπ π λ π λ π π λπ λ π λ
− + −= +− − . 
 
 
18.5 (a) As variáveis Y (renda real per capita) e L (base monetária real per capita) 
refletem a abordagem de preferência pela liquidez. A variável I (taxa de inflação 
esperada) reflete a teoria de Fischer. As variáveis NIS (variável de novas emissões) e 
E (retornos de ações esperadas em fins de períodos, representados pelos quocientes 
esperados dos preços das ações) introduzem elementos de fluxo. A variável Rbt-1 
(rendimento dos títulos de dívida defasados) leva em conta um efeito de defasagem 
distribuída. São todas discutidas no artigo de Oudet. 
 
(b) & (c) As variáveis endógenas são Rbt e Rst. Rbt-1 é uma variável predeterminada 
(endógena defasada). Não há termo Rst defasado no modelo. Todas as outras variáveis 
são predeterminadas (exógenas). 
 
 
18.6 (a) Todas as variáveis Y são endógenas, e todas as X são exógenas. 
 
(b) Sim, todas as equações podem ser estimadas pelos MQO. Entretanto, como se 
trata de sistema de equações simultâneas, pode ser que os estimadores MQO sejam 
tendenciosos e também inconsistentes. 
 
 
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18.7 (a) Aparentemente, Bass não está interessado em desenvolver um modelo geral 
de demanda e oferta, mas em estudar a relação entre despesas com publicidade e 
vendas de cigarros. 
 
(b) Se X2 fosse tratada como endógena, precisaríamos de uma equação para explicá-
la. 
 
 
18.8 (a) As variáveis endógenas são Y, C, Q e I. As predeterminadas, P, R, Yt-1, Ct-1 e 
Qt-1, sendo as duas primeiras exógenas e as demais endógenas defasadas. 
 
(c) É possível que essa variável explique a inflação. 
 
 
18.9 (a) Não existe nesse exemplo um sistema de equações simultâneas, pois 
nenhuma das variáveis dependentes das equações é usada como regressor em outra 
equação. Os estimadores serão não-tendenciosos e consistentes. 
 
Problemas 
 
18.10 Seguem os resultados da regressão: 
 
�
tDCP = –142,1826 + 0,6889PIBt
 t = (–5,3883) (156,2434) 
 
r² = 0,9988; d = 1,2019. 
 
 
18.11 Os resultados são: 
 
tˆI = –289,0339 + 66,8100PIB 
 t = (–4,3262) (17,5783) 
 
r² = 0,9169; d = 0,3851. 
 
 
18.12 Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
tˆI = 588,1915 + 1,5007(Y – Yt-1) 
 t = (7,1598) (4,0243) 
 
r² = 0,3749; d = 0,5245. 
 
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1)
 
CAPÍTULO 19 
O PROBLEMA DA IDENTIFICAÇÃO 
 
 
19.1 Aplicando as definições de M, m, K e k, e fazendo R igual ao número de variáveis 
excluídas (tanto endógenas como predeterminadas) de uma equação dada, então, pela 
Definição 19.1, ( ) ( ) (R M m K k M= − + − ≥ − . Subtraindo (M – m) de cada lado, 
temos , que é a Definição 19.2. ( )K k m− ≥ −1
 
 
19.2 Os coeficientes estruturais são: 
 
0 3 1 0 0 3 1 0
54
1 1
1 2
1 52 4
2 5 2 4
1 2
 
 
 
β π β π α π α π
ππβ απ π
π ππ πβ π α ππ π
= − = −
= =
= − = −
 
 
 
19.3 (a) As equações na forma reduzida são: 
 
0 1t tY I twπ π= + + (1) 
2 3t tC I twπ π= + + (2) 
 
Para este sistema, M = 2(C,Y) e K = 1(I). A condição de ordem aplicada a (2) mostra 
que ela é exatamente identificada. A identidade renda é, por definição, identificada. 
 
(b) Seguem as equações na forma reduzida: 
 
0 1 2t tW UN Mπ π π= + + +& & t tw
tM&
 (1) 
4 5 6 7t t tP UN Rπ π π π= + + +& & (2) 
 
Para este sistema, 2( , )M W P= & & e . Pela condição deordem, a equação 
(1) é superidentificada, mas a (2) é exatamente identificada. 
3( , , )K UN R M= & &
 
(c) Este problema se destina a mostrar o caráter tedioso do desenvolvimento de 
equações na forma reduzida. Deixamos para o leitor a solução. 
 
 
19.4 Veja o Exercício 19.3. O teste de condição de posto dá o mesmo resultado. 
 
 
19.5 A razão pela qual a equação da oferta é superidentificada é que a da demanda 
contém duas variáveis predeterminadas, I e R. Se contivesse só uma, a equação da 
 
 
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oferta seria exatamente identificada, o que, conseqüentemente, também ocorreria se 
α2 = 0 ou α3 = 0. 
 
19.6 (a) Para este sistema, M = 2(Y1,Y2) e K = 2(X1,X2). Pela condição de ordem, Y1 e 
Y2 são ambas exatamente identificadas. 
 
(b) Neste caso Y1 é identificada, mas Y2, não. 
 
19.7 (a) A partir dos Sistemas (19.2.12) e (19.2.22), pode-se demonstrar o seguinte: 
 
22 22
10 20 10 12
12 12
21 21
20 20 10 21
11 11
11 21 12 21
11 21 12 22
11 11
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 3; 1, 25
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 6; 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ2, 25; 6
ˆ ˆ
π πβ π π βπ π
π πβ π π βπ π
π π π πγ π γ ππ π
⎡ ⎤= − = − = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = − = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
(b) Precisamos do erro-padrão 11γˆ para testar essa hipótese, mas não é fácil estimá-
lo, pois, como vemos por (a), 11γˆ é função não-linear dos coeficientes πˆ . 
 
 
19.8 (a) Neste exemplo, Y1 não é identificada, mas Y2 é. Como o sistema é análogo ao 
formado por (19.2.12) e (19.2.13), temos que 321 20 2 21 0
1
ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ1,5; ( ) 4
ˆ
πβ β π β ππ= = = − = − . Os 
outros coeficientes estruturais não podem ser identificados. 
 
(b) Neste caso, tantoY1 quanto Y2 são identificadas. 
 
 
19.9 Neste sistema M = 4 e K = 5, e todas as equações são superidentificadas. 
 
 
19.10 Neste caso, M = 4 e K = 4. Pela condição de ordem, Y1 e Y2 não são 
identificadas, mas Y3 e Y4 são exatamente identificadas. 
 
 
19.11 Neste caso, M = 5 e K = 4. Pela condição de ordem, Y1, Y2 e Y5 são exatamente 
identificadas, Y3 não é identificada e Y4 é superidentificada. 
 
Para mostrar como funciona a condição de posto, considere a primeira equação, que 
exclui as variáveis Y3, Y5, X2 e X3. Para que ela seja identificada, deve haver no mínimo 
um determinante 4 x 4 diferente de zero dos coeficientes das variáveis dela excluídas, 
mas incluídas nas demais equações. Um determinante assim é: 
 
 
 
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23 22 23
35 33
43
52 53
0
1 0
0
0 0 0
0 1
β γ γ
β λ
γ
γ γ
≠ 
 
Dessa forma, a primeira equação também é identificada pela condição de posto. 
Aplique procedimento análogo para as outras equações. 
 
 
19.12 Neste modelo, M = 4 e K = 2. Pela condição de ordem, a equação para C é 
identificada, e aquelas para I e T são superidentificadas. 
 
Tratando r como exógeno, temos M = 4 e K = 3. Pela condição de ordem, agora as 
equações para C, I e T são todas superidentificadas. 
 
19.13 Pela Equação (19.1.2), a forma reduzida para renda é . Os 
resultados pelos MQO são: 
0 1t tY Iπ π= + + tu
tw
 
tˆY = 10,0000 + 5,0000It
 t = (8,458) (12,503) 
 
R² = 0,897. 
 
Pela Equação (19.1.4), a forma reduzida para consumo é . Os 
resultados pelos MQO são: 
2 3t tC Iπ π= + +
ˆ
tC = 10,0000 + 4,0000It
 t = (8,458) (10,002) 
 
r² = 0,848. 
 
Para este modelo, M = 2 e K = 1. Pela condição de ordem, a função consumo é 
exatamente identificada. As estimativas dos coeficientes estruturais são 
0 3
0 1
1 2
ˆ ˆˆ ˆ2; 0,8
ˆ ˆ
π πβ βπ π= = = = . 
 
19.14 Veja o Exercício 19.1. Pela Equação (19.3.1) com a Definição 19.2, 
. Somando k aos dois lados, obtemos . 1K k m− ≥ − 1K m k≥ + −
 
 
19.15 As equações na forma reduzida são: 
 
1 2 3 4 5 1 6 1 7 1
t
t t t t t
t
YP F W C T
N
π π π π π π π− − −⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ t tP v 
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8 9 10 11 1 12 1 13 1 14 1
t
t t t t t
t
YQ F W C T
N
π π π π π π π− − − −⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ t tP w
t tv
t
 
 
(b) Nesse caso, M = 2 e K = 7. Pela condição de ordem, ambas as equações são 
superidentificadas. 
 
 
19.16 (a) & (b) Aqui temos M = 2 e K = 2. Pela condição de ordem, a função 
demanda não é identificada, e a função oferta é superidentificada. 
 
(c) As equações na forma reduzida são: 
 
0 1 2t tY R Pπ π π= + + + 
3 4 5t t tM R Pπ π π= + + + w 
 
(d) Para aplicar o teste de simultaneidade à função oferta, faça o seguinte: 
 
(1) estime a forma reduzida para Yt e obtenha os resíduos ; tˆv
(2) regresse Mt contra Yt e ; tˆv
(3) a hipótese nula é de que não há simultaneidade, ou seja, o coeficiente de (2) 
não é estatisticamente significativo. 
tˆv
 
Os resultados disso são os seguintes: 
 
 
Variável dependente: M2 
 
Método: Mínimos quadrados 
Amostra: 1970 1999 
Observações incluídas: 
30 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C 
-
2021,6072 
113,5850 -17,7981 
Y 0,7650 0,0186 40,9533 
tˆv -0,1608 0,0422 -3,8094 
R² = 0,9872 d = 0,5221 
 
Como o coeficiente do termo de resíduos é muito significativo estatisticamente, rejeite 
a hipótese nula de que não há simultaneidade. 
 
(e) Empregamos aqui o teste de exogeneidade apresentado no texto. Estimamos a 
seguinte regressão: 
 
1 2 3
ˆ
t t t tM Y Yβ β β= + + + u , em que é obtido da regressão da forma reduzida dada em 
(c) para Y. 
tˆY
 
Se o β3 estimado for estatisticamente diferente de zero, rejeite a hipótese nula de que 
Yt é exógena. 
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Variável dependente: M2 
 
Método: Mínimos quadrados 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C 
-
2295,7898 
78,9873 -29,0652 
Yt 0,3292 0,06825 4,82384 
tˆY 0,4791 0,0695 6,8929 
R² = 0,9928 d = 0,5946 
 
Como mostram os resultados, o coeficiente de é estatisticamente significativo, 
levando à conclusão de que Y não é exógena. 
tˆY
 
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t
t
t
v
v
 
CAPÍTULO 20 
MÉTODOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS 
 
 
20.1 (a) Falsa. Os MQO podem ser utilizados em sistemas recursivos. 
 
(b) Verdadeira. Se uma equação não for identificada, nenhum método fornecerá 
estimativas dos parâmetros estruturais. 
 
(c) Verdadeira. 
 
(d) Falsa. Em um sistema de equações simultâneas há variáveis endógenas assim 
como exógenas, e por vezes não estamos certos em qual dessas categorias se 
enquadra uma variável. O que nos permite verificar isso é o teste de exogeneidade. 
 
(e) Verdadeira. Veja o Apêndice 20A.1 a respeito dos MQI e a nota de rodapé número 
14 do Capítulo 20 a respeito dos MQ2E. 
 
(f) Verdadeira. Somente regressões individuais têm valores R². 
 
(g) Falsa. O método dos MQ2E pode ser modificado para dar conta de erros 
autocorrelacionados. 
 
(h) Verdadeira. Veja a Seção 20.4. 
 
 
20.2 O método MQ2E propõe-se a fornecer estimativas únicas dos parâmetros de uma 
equação estrutural superidentificada, o que não é possível com o método MQI. Mas se 
uma equação for exatamente identificada, as estimativas fornecidas pelos dois 
métodos serão iguais. 
 
 
20.3 (a) As três equações na forma reduzida são: 
 
0 1 1 2 1
3 4 1 5 2
6 7 1 8 3
t t t
t t t
t t t
Y Y G
C Y G
I Y G v
π π π
π π π
π π π
−
−
−
= + + +
= + + +
= + + +
 
 
Para esse sistema, M = 3 e K = 2. Pela condição de ordem, a equação para C é 
superidentificada , e aquela para I é exatamente identificada. 
 
(b) Empregue o método dos MQ2E para estimar a função superidentificadaconsumo e 
o método MQI para a função investimento. 
 
 
20.4 Se o valor de R² for alto no primeiro estágio do método MQ2E, quer dizer que os 
valores estimados das variáveis endógenas estão muito próximos dos reais. Portanto, 
é menos provável que estes estejam correlacionados com o termo de erro estocástico 
nas equações estruturais originais. Se, no entanto, o valor de R² da regressão do 
primeiro estágio for baixo, as estimativas MQ2E serão praticamente inexpressivas 
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porque os Y originais da regressão do segundo estágio estarão sendo substituídos 
pelos Y estimados pela regressão do primeiro estágio, que representarão 
essencialmente os distúrbios nessas regressões. Em outras palavras, os valores Y 
estimados serão variáveis instrumentais muito deficientes para os valores Y reais. No 
sistema de resultados mostrado neste exercício, os valores estimados das variáveis 
endógenas estão próximos dos valores reais. 
 
Os valores MQ2E não são insignificantes porque em grandes amostras fornecem 
estimativas consistentes dos coeficientes estruturais. 
 
 
20.5 (a) Escrevendo os sistemas em notação matricial, obtemos: 
 
ln
1 ln
1 1 0 ln ln ln
1 0 1 ln
ln ln
A
Q
W
L
P
K R
P
α β
β
α
− −
− =
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
− ⎥ , que pode ser escrito como Ay = x. 
 
Ora, se (α + β) = 1, pode-se mostrar que o determinante de A, |A|, é zero, o que quer 
dizer que a matriz A não pode ser invertida. Não há, portanto, solução. 
 
(b) Mesmo que (α + β) ≠ 1, não há um problema de identificação. Já que W/P e R/P 
são conhecidos, podem ser tratados como constantes e absorvidos no termo constante 
ln A. Conseqüentemente, qualquer combinação linear das Equações (2) e (3) será 
indistinguível da Equação (1). 
 
(c) Há diversas possibilidades. Por exemplo, podemos incluir uma ou mais variáveis 
exógenas às Equações (2) ou (3), certificando-nos de que teoricamente tais variáveis 
não apareçam na função produção (1). Outra opção seria introduzir mecanismo de 
defasagem distribuída nas relações marginais de produção, o que levaria à inclusão do 
estoque de capital do último período na relação marginal de produtividade para a 
função capital. 
 
 
20.6 (a) A função demanda é não-identificada. 
 
(b) A função oferta é superidentificada. 
 
(c) Pode-se empregar o método dos MQ2E para estimar os parâmetros da função 
superidentificada oferta. 
 
(d) Ambas as funções são, agora, superidentificadas. Use, então, os MQ2E. 
 
 
20.7 As equações na forma reduzida são: 
 
 
 
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t
t
v
w
 
0 1
2 3
t t
t t
Y I
C I
π π
π π
= + +
= + + 
 
Com base nos dados fornecidos, as estimativas pelos MQO dessas regressões na forma 
reduzida são as seguintes: 
 
tˆY = 1831,8580 + 4,6722It
 t = (7,6427) (17,5784) (1-a) 
 
r² = 0,9169; d = 0,3287. 
 
ˆ
tC = 1130,843 + 3,2059I 
 t = (6,5225) (16,6752) (2-a) 
 
r² = 0,9085; d = 0,3751. 
 
As estimativas pelos MQI das equações estruturais originais são: 
 
3
1
1
0 0 1
ˆ 3, 2059ˆ 0,6862
ˆ 4,6722
ˆ ˆˆ (1 ) 574,8370
πβ π
β π β
= = =
= − =
 
 
Para comparação, os resultados da regressão pelos MQO de C contra Y são os 
seguintes: 
 
ˆ
tC = –142,1826 + 0,6889Yt 
 t = (–5,3883) (156,2434) 
 
r² = 0,9988; d = 1,2019. 
 
Como vemos, as estimativas da propensão marginal a consumir (PMC) pelos MQI é 
0,6862 e pelos MQO é 0,6889, uma diferença que pode não ser estatisticamente 
significativa, mas talvez o seja em termos práticos. No primeiro caso, o multiplicador, 
1
1
M
MPC
= − , é 3,1565 e no segundo (MQO), é 3,2144. Seja como for, já que as 
estimativas pelos MQO são tendenciosas e inconsistentes na presença de 
simultaneidade, é bom ter em mente esse fato ao compará-las às estimativas pelos 
MQI. 
 
 
Problemas 
 
 
20.8 (a) Para justificar esse modelo pode-se usar o IS-LM de macroeconomia. 
 
(b) Pela condição de ordem, a equação da taxa de juros não é identificada, mas a da 
renda é exatamente identificada. 
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(c) Neste exemplo, a variável exógena é M. Usando os dados fornecidos na Tabela 
20.2, obtemos os seguintes resultados pelos MQI: 
 
tˆY = 2834,488 + 1,2392Mt
 t = (32,0163) (37,3812) 
 
r² = 0,9803; d = 0,3074. 
 
Deixamos para o leitor, a título de exercício, a tarefa de descobrir os coeficientes 
estruturais originais, a saber, α0 e α1. 
 
 
20.9 (a) Pela condição de ordem, a equação da taxa de juros não é identificada, e a da 
renda é superidentificada. 
 
(b) Podemos empregar neste caso os MQ2E. Usando M e Yt-1 como instrumentais, 
seguem os resultados da regressão fornecidos pelo Eviews 4, em que R é a taxa de 
juros a seis meses das letras do tesouro dos Estados Unidos: 
 
tˆY = 16977,06 – 1627,870Rt
 t = (3,0842) (–2,0350) 
 
Observe que não apresentamos o valor de R² pelas razões vistas no Capítulo 20 do 
livro-texto. 
 
 
20.10 As duas equações são, neste caso, exatamente identificadas. Podemos usar os 
MQI ou os MQ2E para estimar os parâmetros, mas ambos fornecerão resultados 
idênticos devido às razões apresentadas no Capítulo 20. 
 
Aí vão as estimativas pelos MQO das equações na forma reduzida (FR). Observe que 
na FR somente as variáveis exógenas (I e M) aparecem do lado direito da equação. 
 
ˆ
tR = 8,7056 + 0,00049Mt – 0,00084It-1
 t = (6,0589) (–05192) (–0,2281) 
 
R² = 0,1172. 
 
tˆY = 2421,074 + 0,8944Mt + 1,4585It-1
 t = (32,7247) (18,3144) (7,6607) 
 
R² = 0,9938. 
 
Deixamos para o leitor a tarefa de descobrir os parâmetros estruturais originais pelos 
coeficientes da forma reduzida. 
 
 
20.11 Agora as equações para R e Y não são identificadas, ao passo que a do 
investimento é exatamente identificada. 
 
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(b) Primeiro, achamos a forma reduzida para a função investimento. Já que só há uma 
variável exógena, M, regressamos I contra M , obtendo os seguintes resultados: 
 
tˆI = 283,4482 + 0,2364Mt 
 t = (5,6424) (12,5681) 
 
r² = 0,8494. 
 
Deixamos para o leitor a tarefa de estimar as regressões na forma reduzida para R e Y 
e descobrir os coeficientes da função investimento. 
 
 
20.12 Se seguirmos o procedimento descrito no Apêndice 20A.2, devemos encontrar 
os erros-padrão mostrados em (20.5.3), os quais foram diretamente obtidos do pacote 
de software Eviews 4. 
 
 
20.13 (a) Como a oferta é uma função do preço no período anterior, o sistema é 
recursivo. Não há, assim, problemas de simultaneidade. 
 
(b) As equações podem ser estimadas empregando os MQO individualmente. 
 
(c) Seguem os resultados das regressões: 
 
 
Função demanda: = 69,512 + 0,201Pˆ dtQ t + 0,001Xt
 t = (7,393) (1,782) (1,586) 
 
 R² = 0,501. 
 
Como os coeficientes dos dois regressores não são individualmente significativos sob o 
aspecto estatístico, não há muito a dizer sobre essa função demanda. Repare que o 
coeficiente de preço é positivo, contrariando as expectativas prévias. 
 
Função oferta: ˆ stQ = 66,287 + 0,330Pt-1 
 t = (8,288) (4,579) 
 
 r² = 0,525. 
 
Como esperado, o coeficiente da variável defasada preço é positivo e também 
estatisticamente significativo. 
 
 
20.14 Deixamos este exercício para ser feito em aula. 
 
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CAPÍTULO 21 
ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS: ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS21.1 Diz-se que um processo estocástico é fracamente estacionário quando sua média 
e variância são constantes ao longo do tempo e o valor da covariância entre dois 
períodos de tempo depende somente da distância ou defasagem entre esses períodos e 
não do próprio tempo em que é calculada. 
 
 
21.2 Se uma série temporal tem de ser diferenciada d vezes antes de se tornar 
estacionária, então é integrada de ordem d e designada por I(d). Na sua forma não-
diferenciada, tal série temporal é não-estacionária. 
 
 
21.3 Em termos gerais, a expressão raiz unitária significa que uma suposta série 
temporal é não-estacionária. Tecnicamente falando, o termo se refere à raiz do 
polinômio no operador de defasagem. 
 
 
21.4 É preciso diferenciá-la três vezes. 
 
 
21.5 O Dickey-Fuller (DF) é um teste estatístico que pode ser empregado para 
determinar se uma série temporal é estacionária. O Dickey-Fuller Aumentado (DFA) é 
análogo ao DF, mas leva em consideração a possível correlação nos termos de erro. 
 
 
21.6 Os testes EG e EGA são procedimentos estatísticos que podem ser empregados 
para determinar se duas séries temporais são co-integradas. 
 
 
21.7 Diz-se que duas variáveis são co-integradas se existir entre elas uma relação 
estável no longo prazo, mesmo que ambas sejam individualmente não-estacionárias. 
Nesse caso, a regressão de uma dessas variáveis contra a outra não é espúria. 
 
 
21.8 Os testes de raiz unitária são realizados em séries temporais individuais. A co-
integração lida com a relação entre as variáveis de um grupo em que 
(incondicionalmente) cada uma tem uma raiz unitária. 
 
 
21.9 Se uma variável não-estacionária for regressada contra outra variável também 
não-estacionária, é possível que a regressão resultante passe nos testes estatísticos 
habituais (valor R² alto, razões t significativas etc.) mesmo que, a priori, tal relação 
entre as duas não seja esperada, especialmente se elas não forem co-integradas. Se, 
no entanto, as duas variáveis forem co-integradas, mesmo que sejam individualmente 
não-estacionárias, então é possível que tal regressão não seja espúria. 
 
 
21.10 Veja a resposta à pergunta anterior. 
 
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21.11 Quase todas as séries temporais econômicas apresentam tendências que, se 
forem perfeitamente previsíveis, são chamadas determinísticas, caso contrário, são 
chamadas estocásticas. Uma série temporal não-estacionária exibe, em geral, uma 
tendência estocástica. 
 
 
21.12 Se uma série temporal apresenta uma tendência determinística, os resíduos de 
sua regressão contra a variável de tendência representam o que se chama de processo 
estacionário em tendência. Se uma série temporal é não-estacionária, mas, após 
tirarmos sua primeira diferença (ou superiores) ela se torna estacionária, chamamos 
tal série de processo estacionário em diferenças. 
 
 
21.13 O passeio aleatório é um exemplo de processo não-estacionário. Se uma 
variável segue um modelo de passeio aleatório, quer dizer que o seu valor hoje é igual 
ao seu valor no período anterior mais um choque aleatório (termo de erro). Pode não 
ser possível, em tais situações, prever a evolução ao longo do tempo de uma variável 
assim. Preços de ações ou taxas de câmbio são exemplos típicos do passeio aleatório. 
 
 
21.14 Isso é verdade. A demonstração está no Capítulo 21 do livro-texto. 
 
 
21.15 A co-integração implica uma relação de longo prazo, ou equilíbrio, entre duas 
(ou mais) variáveis. No curto prazo pode, no entanto, haver desequilíbrio entre elas. O 
mecanismo de correção de erro (MCE) restaura o equilíbrio no longo prazo entre as 
variáveis. 
 
 
Problemas 
 
 
21.16 (a) Os correlogramas para todas essas séries temporais assemelham-se 
muitíssimo ao do PIB dos Estados Unidos apresentado na Figura 21.8 do texto, e 
indicam que elas não são estacionárias. 
 
 
21.17 Os resultados das regressões são os seguintes: 
 
ΔDCPt = 93,392 + 0,799t – 0,044DCPt-1
 τ = (1,678) (1,360) (–1,376)* 
 
R² = 0,022. 
 
* Em valor absoluto, esse valor tau é menor que o crítico, indicando que há uma raiz 
unitária na série temporal DCP, ou seja, que ela não é estacionária. 
 
ΔRPDt = 326,633 + 2,875t – 0,0157RPDt-1
 τ = (2,755) (2,531) (–2,588)* 
 
R² = 0,076. 
 
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* Esse valor tau não é estatisticamente significativo, indicando que há uma raiz 
unitária na série temporal RPD, ou seja, que ela não é estacionária. 
 
ΔLucrost = 6,522 + 0,084t – 0,069Lucrost-1
 τ = (2,514) (1,142) (–1,715)* 
R² = 0,037. 
 
* Esse valor tau não é estatisticamente significativo, indicando que há uma raiz 
unitária nesta série temporal. 
 
Dividendost = 0,565 + 0,113t – 0,063Dividendost-1
 τ = (1,515) (3,138) (–2,640)* 
 
R² = 0,148. 
 
* Esse valor tau não é significativo, indicando que a série temporal Dividendos não é 
estacionária. 
 
Vemos, então, que todas essas séries temporais são não-estacionárias. Os resultados 
do teste Dickey-Fuller tanto sem a tendência quanto sem esta e sem o intercepto não 
alteraram a conclusão. 
 
 
21.18 Se os termos de erro no modelo apresentarem correlação serial, então o teste 
DFA é o mais adequado. As estatísticas τ para os coeficientes apropriados nas três 
séries são, pelas regressões DFA, as seguintes: 
 
DCP -1,605 
Lucros -2,297 
Dividendos -3,158 
 
Os valores tau críticos continuam os mesmos do Problema 21.17, e, mais uma vez, 
chegamos à mesma conclusão, ou seja, as três séries temporais são não-estacionárias. 
 
 
21.19 (a) Provavelmente sim, pois as duas séries temporais são, individualmente, não 
estacionárias. 
 
(b) A regressão pelos MQO de dividendos contra lucros apresentou os seguintes 
resultados: 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C -13,3114 7,3626 -1,8079 
LUCROS 0,6281 0,0526 11,9253 
R² = 0,6231 d = 0,0712 
 
 
Quando os resíduos dessa regressão foram submetidos aos testes de raiz unitária sem 
termo constante, com termo constante e com este e mais a tendência, os resultados 
mostraram que eles não eram estacionários, levando, então, à conclusão de que 
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dividendos e lucros não são séries co-integradas. Assim sendo, mantém-se a conclusão 
do item (a). 
(c) Não há muito sentido neste exercício, pois não existe relação de longo prazo entre 
as duas séries. 
 
(d) Ambas apresentam tendências estocásticas, confirmadas pelos testes de raiz 
unitária das duas séries. 
 
(e) Se dividendos e lucros forem co-integrados, não importa qual deles é o 
regressando ou o regressor. Naturalmente, esse problema pode ser resolvido pela 
teoria financeira. 
 
 
21.20 Os correlogramas das primeiras diferenças de RDP, Lucros e Dividendos são 
todos similares ao da Figura 21.9 do livro-texto. Na forma de primeiras diferenças, 
essas séries temporais são todas estacionárias, o que pode ser confirmado pelo teste 
DFA. As estatísticas τ para os coeficientes apropriados nas quatro séries são, pelas 
regressões DFA, as seguintes: 
 
DCP -4,852 
RDP -6,856 
Lucros -5,517 
Dividendos -6,305 
 
Em valor absoluto, todos esses tau excedem os valores críticos, confirmando que as 
primeiras diferenças dessas séries temporais são mesmo estacionárias. 
 
21.21 Teoricamente, não deveria haver um intercepto nesse modelo. Mas se houvesse 
no original um termo de tendência, então um intercepto poderia ser incluído na 
regressão e o seu coeficiente indicaria o coeficiente da variável de tendência. Isso, 
naturalmente, presumindo que a tendência não seja estocástica, mas determinística. 
 
Para verificar isso, regressamos primeiro dividendos contra lucros e a variável de 
tendência,com os seguintes resultados: 
 
Variável dependente: DIVIDENDOS 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C 11,8978 2,3538 5,05457 
LUCROS -0,1096 0,02939 -3,7293 
Tendência 1,6472 0,0554 29,7008 
R quadrado 0,9668 
 
Mas devemos desconfiar dessa regressão, pois ela presume que há uma tendência 
determinística quando sabemos que a série temporal dividendos tem tendência 
estocástica. 
 
Regressando agora as primeiras diferenças de dividendos contra as de lucros e o 
intercepto, chegamos aos seguintes resultados: 
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Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C 1,3502 0,1953 6,9112 
ΔLUCROS -0,0238 0,02080 -1,1470 
R quadrado 0,0152 
 
 
Nessa regressão, o coeficiente angular não é significativo, mas o intercepto é, e seu 
valor de 1,3502 é teoricamente igual ao coeficiente da variável tendência na equação 
anterior. Os dois valores não são idênticos devido a erros de arredondamento e 
também ao fato de que a tendência não é determinística na série dividendos. 
 
Este exercício mostra que devemos ser muito cuidadosos ao incluir a variável de 
tendência numa regressão de série temporal, a menos que estejamos certos de que 
ela é de fato determinística. Sempre se pode, naturalmente, empregar os testes DF e 
DFA para determinar se a tendência é estocástica ou determinística. 
 
 
21.22 Da regressão da primeira diferença dada no exercício anterior podemos obter os 
resíduos ( ) e submetê-los aos testes de raiz unitária. Regressamos contra seu 
próprio valor defasado, sem intercepto, com intercepto e com este e mais a tendência. 
A hipótese nula, em todos os casos, era de que esses resíduos não são estacionários, 
ou seja, eles têm uma raiz unitária. Os valores
ˆtu ˆtuΔ
τ Dickey-Fuller para as três opções 
foram -3,9592, -3,9367 e -3,9726. Tal hipótese foi rejeitada em todos os casos no 
nível de 5% ou melhor (isto é, valor p menor que 5%). Em outras palavras, embora as 
séries dividendos e lucros não sejam co-integradas, elas o são na forma da primeira 
diferença. 
 
 
21.23 (a) Como |τ | é menor que o valor |τ | crítico, parece que a série temporal de 
novas construções é não-estacionária. Há nela, portanto, uma raiz unitária. 
 
(b) Habitualmente, um valor t absoluto tal como 2,35 ou maior seria significativo no 
nível de 5%, mas devido à situação da raiz unitária o valor real de | t | neste caso é 
2,95 e não 2,35. Este exemplo mostra por que devemos ser cuidadosos ao empregar 
indiscriminadamente a estatística t. 
 
(c) Como o |τ | de ΔXt-1 é muito maior que o valor crítico correspondente, concluímos 
que não há uma segunda raiz unitária na série temporal de novas construções. 
 
 
21.24 Deixamos este para o leitor resolver. 
 
 
21.25 (a) & (b) 
 
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Y exibe uma tendência linear, ao passo que X representa uma tendência quadrática. 
 
A seguir está o gráfico dos valores reais e ajustados de Y: 
 
 
 
 
Residual = Resíduos 
Actual = Reais 
Fitted = Ajustados 
 
Poderíamos, com base nos resultados fornecidos no enunciado, achar que esta é uma 
“boa” regressão, pois tem um alto R² e razões t significativas, mas acontece que é 
uma relação completamente espúria porque estamos regressando uma variável de 
tendência linear (Y) contra uma de tendência quadrática (X). Pode-se inferir que há 
algo de errado com esse modelo pelo valor muito baixo da estatística d de Durbin-
Watson. 
 
A intenção deste exercício é prevenir contra a distorção na interpretação dos 
resultados da regressão de duas variáveis com tendência determinística e trajetórias 
temporais divergentes. 
 
 
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21.26 (a) A regressão (1) mostra que a elasticidade de M1 em relação ao PIB é de 
aproximadamente 1,60, que parece estatisticamente significativo, já que o valor t 
desse coeficiente é muito alto. Mas observando o valor d suspeitamos de que haja 
correlação nos termos de erro ou de que a regressão seja espúria. 
 
(b) Ainda há relação positiva entre as duas variáveis na forma de primeira diferença, 
mas agora o coeficiente de elasticidade caiu muitíssimo. Sim, os valores d 
possivelmente sugerem que não há problema de correlação serial, mas a queda 
significativa do coeficiente de elasticidade indica que o problema pode ser de ausência 
de co-integração entre as variáveis. 
 
(c) & (d) Parece, pela regressão (3), que as duas variáveis são co-integradas, pois o 
valor τ crítico a 5% é 1,9495 e o estimado é mais negativo que isso. Contudo, o τ 
crítico a 1% é 2,6227, sugerindo que elas não são co-integradas. Se levarmos em 
conta o intercepto e este e mais a tendência na Equação (3), então o teste DF 
mostrará que as variáveis não são co-integradas. 
 
(e) A Equação (2) fornece a relação no curto prazo entre os logaritmos de M1 e o PIB. 
Essa equação leva em conta o mecanismo de correção de erro (MCE), que tenta 
restaurar o equilíbrio caso as variáveis se desviem da sua trajetória no longo prazo. O 
termo de erro nessa regressão não é, entretanto, estatisticamente significativo no 
nível de 5%. 
 
Como os resultados dos testes de co-integração são um tanto quanto variados, 
conforme vimos em (c) e (d), é difícil saber se os resultados da regressão 
apresentados em (1) são ou não espúrios. 
 
 
21.27 (a) & (b) O gráfico temporal do IPC dos Estados Unidos assemelha-se 
muitíssimo à Figura 21.12 do livro-texto, a qual mostra claramente que há, em geral, 
uma tendência para cima no IPC. Não vale a pena, portanto, levar em consideração as 
regressões (1) e (2). Observe que o coeficiente do IPC defasado é positivo em ambos 
os casos, e para estacionariedade é necessário que esse valor seja negativo. 
 
Por conseguinte, a equação mais significativa é a regressão (3). Os testes DF de raiz 
unitária indicam que a série temporal IPC é estacionária em tendência. Ou seja, os 
valores do IPC em torno do seu valor de tendência (que é estatisticamente 
significativo) são estacionários. 
 
(c) Temos de usar o teste F porque a Equação (1) omite duas variáveis. 
 
Empregando a versão R² desse teste, o R² da regressão (1) é o restrito e vale 0,0304, 
e o da regressão (3) é o irrestrito e vale 0,4483. Daí vem que 
(0, 4483 0, 0304) 2
14, 0234
(1 0, 4483) 37
F
−= =− . 
 
Consultando os valores F de Dickey-Fuller na Tabela D.7 do Apêndice D, vemos que o 
aqui observado é muito significativo (Nota: Não há na tabela o valor para 40 
observações, mas interpolando os valores lá fornecidos, chega-se a essa conclusão). 
Daí deduz-se que as restrições impostas pela regressão (1) são inválidas. Mais 
explicitamente, é a regressão (3) que parece válida. 
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 1 
 
CAPÍTULO 22 
ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS: PREVISÃO 
 
 
 
22.1 Como visto na seção 22.1, há, de modo geral, cinco métodos de previsão 
econômica: (1) suavizamento exponencial; (2) modelos de regressão com uma única 
equação; (3) modelos de regressão com equações simultâneas; (4) modelos auto-
regressivos integrados de médias móveis (ARIMA); e (5) auto-regressões vetoriais 
(VAR). 
 
 
22.2 A previsão econômica por equações simultâneas (ES) baseia-se num sistema de 
equações (composto por, no mínimo, duas variáveis, mas freqüentemente muitas mais) 
que, apoiado numa teoria econômica, explica alguns fenômenos econômicos. O método 
Box-Jenkins (B-J) tem por fundamento a análise das propriedades estocásticas de uma 
única série temporal. Ao contrário da previsão por ES que se baseia em k regressores, a 
análise B-J apóia-se em valores passados (defasados) da única variável sob investigação. 
A análise B-J é freqüentemente descritacomo ateórica porque não se origina de 
nenhuma teoria econômica. 
 
 
22.3 As principais etapas da metodologia B-J são: (1) identificação; (2) estimação; (3) 
verificação de diagnóstico; e (4) previsão. 
 
 
22.4 Como o método Box-Jenkins presume explicitamente que a série temporal 
subjacente é estacionária, se for aplicado a uma série temporal não-estacionária os 
resultados serão absolutamente duvidosos. Imagine fazer a previsão de uma variável de 
passeio aleatório! 
 
 
22.5 A abordagem B-J à previsão baseia-se na análise das propriedades probabilísticas 
de uma única série temporal sem o embasamento de qualquer teoria econômica 
subjacente. A abordagem VAR se baseia em um sistema simultâneo em que todas as 
variáveis são consideradas endógenas. Segundo a VAR, o valor de uma variável é 
expresso como uma função linear dos valores defasados dessa variável e de todas as 
outras incluídas no modelo. 
 
 
22.6 É ateórica porque usa menos informação prévia que os modelos ES. Nestes, a 
inclusão ou exclusão de determinadas variáveis desempenha papel crucial na 
identificação do modelo. 
 
 
22.7 Como observado no Exercício 22.1, há cinco métodos de previsão, cada qual com 
seus pontos fracos e fortes. Não existe um único que seja adequado a todas as situações. 
 
 
22.8 Precisamos de defasagens com o comprimento certo para captar a dinâmica do 
sistema que estiver sendo modelado. Por outro lado, quanto mais defasagens usarmos, 
maior será o número de parâmetros que têm de ser estimados, e, por isso, menos serão 
os graus de liberdade. Há, portanto, um compromisso entre ter um número suficiente de 
defasagens e ter suficientes graus de liberdade. Este é o ponto fraco de VAR. Pode-se, 
naturalmente, empregar os critérios de informação de Akaike ou de Schwarz para 
escolher o comprimento da defasagem. 
 
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 2 
 
22.9 Veja as respostas dos Exercícios 22.2 e 22.6. 
 
 
22.10 Os dois procedimentos são, operacionalmente, similares. A diferença está no 
propósito da pesquisa. No teste de causalidade de Granger, objetivamos verificar a 
conexão causal entre duas ou mais variáveis. Na VAR, nosso objetivo é desenvolver um 
modelo originariamente com finalidade de previsão. Observe que esses procedimentos 
não devem ser empregados a menos que as variáveis subjacentes sejam estacionárias 
ou co-integradas. 
 
 
Problemas 
 
 
22.11 As etapas envolvidas são as seguintes: 
 
(1) Verifique se a série é estacionária. Já vimos que a série RPD não é estacionária, 
mas suas primeiras diferenças são. 
(2) Verifique a função de autocorrelação (ACF) e a função de autocorrelação parcial 
(PACF) da primeira diferença da série RPD para decidir qual deve ser o modelo 
ARMA apropriado. Repare que a série RPD já é a primeira diferença. 
(3) Uma vez escolhido o modelo ARMA adequado, a próxima tarefa é estimá-lo e 
examinar seus resíduos. Se forem ruídos brancos, não será necessário refinar 
mais o modelo, mas se não forem, iniciamos o processo de busca, ou iterativo, 
mais uma vez. 
 
Um exame das funções ACF e PACF não revela nenhuma disposição ordenada. O pico na 
defasagem 5 parece algo pronunciado, visto que está muito próximo do limite superior 
de confiança de 95%. Pode-se, então, como experiência, ajustar um modelo auto-
regressivo usando o intercepto e cinco defasagens. 
 
Não há, entretanto, necessidade de incluir todas as cinco defasagens, já que são muito 
pequenas as correlações até a defasagem 4. Assim, introduzimos só o intercepto e a 
quinta defasagem como regressores. Os resultados, em que RPD* representa as 
primeiras diferenças de RPD, são os seguintes: 
 
*
tRPD = 22,2768 – 0,2423
*
5tRPD − 
 t = (5,9678) (–2,1963) 
 
r² = 0,0568; d = 2,11. 
 
Os resíduos dessa regressão parecem ruído branco, de forma que não há necessidade de 
refinar o modelo. 
 
Pode-se, é claro, incluir um componente MA e tentar reestimar o modelo. Deixamos isso 
como exercício. 
 
 
22.12 Guie-se pelo Exercício 22.11 e experimente o modelo ARIMA (0,1,14). 
 
 
22.13 Guie-se pelo Exercício 22.11 e experimente o modelo ARIMA (8,1,8). 
 
 
22.14 Guie-se pelo Exercício 22.11 e experimente o modelo ARIMA (2,1,0). 
 
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 3 
 
22.15 De acordo com o critério de Schwarz, escolha o modelo cujo valor da estatística 
Schwarz seja menor. O mesmo se aplica ao critério (concorrente) de Akaike. Assim, ao 
comparar um modelo VAR com 8 defasagens a outro também VAR com 10 defasagens, 
escolha aquele que apresentar o menor valor da estatística Schwarz. 
 
 
22.16 Determinou-se, com base no critério de Schwarz, que um modelo VAR com duas 
defasagens de RPD e DCP seria suficiente. Seguem os resultados, com as razões t entre 
parênteses: 
 
Variáveis 
dependentes 
Variáveis 
explanatórias 
DCP RPD 
Intercepto 14,655 60,944 
 (0,878) (2,582) 
DCPt-1 1,106 0,623 
 (8,756) (3,489) 
DCPt-2 -0,102 -0,400 
 (-0,707) (-2,120) 
RPDt-1 0,069 0,682 
 (0,806) (5,630) 
RPDt-2 -0,072 0,099 
 (-0,877) (0,850) 
R² 0,998 0,997 
 
Fundamentados nesse modelo, os valores reais e previstos das duas variáveis para o 
período de 1991:1 a 1991:4 são os seguintes: 
 
Trimestre 
RPD 
real 
RPD 
prevista 
DCP 
real 
DCP 
prevista 
1991:1 3241,1 3262,062 3514,8 3532,343 
1991:2 3252,4 3277,870 3537,4 3550,343 
1991:3 3271,2 3295,359 3539,9 3569,230 
1991:4 3271,1 3313,034 3547,5 3588,260 
 
 
 
22.17 Deixamos para o leitor a tarefa de executar as etapas práticas com três 
defasagens. 
 
 
22.18 Consulte, por exemplo, o Eviews 4 para uma discussão da análise de resposta a 
impulso, assim como das etapas práticas envolvidas. 
 
 
22.19 Veja a resposta do exercício anterior. 
 
 
22.20 Embora o modelo não tenha sido testado especificamente para causalidade, 
podemos obter alguma informação sobre ela por meio da estatística F informada. No 
caso da variável x, os únicos valores significativos são os seus próprios defasados. No da 
y, parece que além dos seus próprios valores defasados, também são importantes os 
defasados de x. Talvez haja causalidade de x para y. Para a variável z, parece que além 
dos seus próprios valores defasados, também são importantes os defasados de y, o que 
indica que há certa causalidade de y para z. 
 
 
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 4 
 
22.21 Para que o método VAR possa ser empregado, todas as variáveis incluídas no 
modelo têm de ser conjuntamente estacionárias. É possível que os autores tenham 
percebido que as três variáveis eram não-estacionárias em forma de nível, e uma das 
maneiras de se conseguir a estacionariedade é a forma de variação percentual. 
 
 
22.22 Em forma de nível, M1 é não-estacionária de acordo com o teste DF em suas 
várias formas, e o mesmo se aplica a R. 
 
Para vermos se são integradas, regressamos M1 contra R e obtivemos os seguintes 
resultados: 
 
� 1tM = 36622,11 – 744,4635Rt
 t = (19,2627) (–4,7581) 
 
r² = 0,3997; d = 0,2346. 
 
Os resíduos dessa regressão foram submetidos à análise de raiz unitária. Com a 
aplicação do teste DF em suas diversas formas, concluímos que essas duas séries 
temporais não são co-integradas. 
 
 
22.23 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t 
C -7,8618 1,2807 -6,1385 
LOG(PIB) 1,4254 0,0962 14,8173 
LOG(R) -0,0780 0,0302 -2,5822 
R quadrado 0,9316 
Estat d Durbin-
Watson 
0,3476 
 
Os coeficientes angulares representam elasticidades (parciais), pois este é um modelo 
duplo-log. As elasticidades renda e taxa de juros são, respectivamente, 1,4254 e –
0,0780, ambas estatisticamente significativas. Mas repareque o baixo valor Durbin-
Watson indica a possibilidade de correlação serial, o que levanta dúvidas a respeito dos 
valores t calculados. 
 
(b) Para verificarmos se há efeito ARCH, obtivemos os resíduos da regressão dada 
em (a) e fizemos a seguinte regressão: 
ˆ( )tu
 
2ˆtu = 0,00064 + 0,3442 
2
1ˆtu −
 t = (3,1173) (2,9206) 
 
r² = 0,2054; d = 2,11. 
 
Experimentamos um modelo ARCH(2), mas os resultados não foram significativos. 
Parece que há efeito ARCH neste exemplo. 
 
 
22.24 O modelo dado no enunciado é a versão restrita daquele da Equação (22.11.4) 
Podemos, portanto, empregar o teste F restrito do Capítulo 8. Os R² irrestrito e o restrito 
são, respectivamente, 0,2153 e 0,1397. Daí segue que 
(0, 2153 0,1397) 2
31,5
(1 0, 2153) (649 4)
F
−= =− − , 
 
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 5 
 
valor muito significativo, indicando que se deve preferir o modelo da Equação (22.11.4) 
ao dado no enunciado deste exercício. 
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