Exercícios Stewart sequencias e séries com gabarito

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SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM||||M691
∑
∞
n�0
�
1
3
– ∑
∞
n�0
(�1)nn
que diverge pelo Teste para Divergência [(�1)nn não converge para 0]. Quando x � 1, a
série é 
∑
∞
n�0
�
1
3
– ∑
∞
n�0
n
que também diverge pelo Teste para Divergência. Então, a série converge apenas quando
�5 	 x 	 1, de modo que o intervalo de convergência é (�5, 1). 
n(3)n
�
3n�1
n(�3)n
�
3n�1
1. O que é uma série de potências? 
2. (a) O que é o raio de convergência de uma série de potências?
Como você o encontra? 
(b) O que é o intervalo de convergência de uma série de potên-
cias? Como você o encontra? 
3-28 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência
da série. 
3. ∑
∞
n �1 
4. ∑
∞
n �0 
5. ∑
∞
n �1
6. ∑
∞
n �1
√–n xn
7. ∑
∞
n �0 
8. ∑
∞
n �1
n
n
x
n
9. ∑
∞
n �1 
(�1)nn4nxn 10. ∑
∞
n �1 
11. ∑
∞
n �1 
12. ∑
∞
n �1 
13. ∑
∞
n �2 
(�1)n 14. ∑
∞
n �0 
(�1)n
15. ∑
∞
n �0 
16. ∑
∞
n �0 
(�1)n
17. ∑
∞
n �1 
18. ∑
∞
n �1 
(x � 1)n
19. ∑
∞
n �1 
20. ∑
∞
n �1 
(x � 2)n
��
n
n
(3x � 2)n
��
n 3n
3n(x � 4)n
��√–n
n
��4n
(x � 2)n
��
n
2
� 1
(x � 3)n
��2n � 1
x
n
��4n ln n
x
2n
��(2n)!
(�2)nxn
��4√–n
x
n
��5nn5
x
n
��
n3n
x
n
��
n!
(�1)n�1xn
��
n
3
x
n
��√–n
(�1)nxn
��
n � 1
EXERCÍCIOS 11.8
21. ∑
∞
n �1 
(x � a)n, b � 0 22. ∑
∞
n �1 
23. ∑
∞
n �1 
n!(2x � 1)n 24. ∑
∞
n �1 
25. ∑
∞
n �1 
26. ∑
∞
n �2 
27. ∑
∞
n �1 
28. ∑
∞
n �1 
29. O fato de ∑∞
n�0 cn4
n 
ser convergente implica que as séries a seguir
são convergentes? 
(a) ∑
∞
n �0
c
n
(�2)n (b) ∑
∞
n �0
c
n
(�4)n 
30. Suponha que ∑∞
n�0 cnx
n
converge quando x � �4 e diverge
quando x � 6. O que pode ser dito sobre a convergência ou di-
vergência das séries a seguir? 
(a) ∑
∞
n �0
c
n
(b) ∑
∞
n �0
c
n
8n 
(c) ∑
∞
n �0
c
n
(�3)n (d) ∑
∞
n �0
(�1)nc
n
9n 
31. Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência 
da série 
∑
∞
n �0
x
n
32. Sejam p e q números reais com p 	 q. Encontre uma série de po-
tências cujo intervalo de convergência seja
(a) (p, q) (b) (p, q]
(c) [p, q) (d) [p, q]
33. É possível encontrar uma série de potências cujo intervalo de
convergência seja [0, ∞)? Explique.
(n!)k
��(kn)!
n!xn
��1 
 3 
 5 
 . . . 
 (2n � 1)
x
n
��1 
 3 
 5 
 . . . 
 (2n � 1)
(4x � 1)n
��
n
2
x
2n
��
n(ln n)2
n
2
x
n
��2 
 4 
 6 
 . . . 
 (2n)
n
��bn
n(x � 4)n
��
n
3
� 1
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM||||M697
1. Se o raio de convergência da série de potências ∑∞
n�0 cnx
n for 10,
qual é o raio de convergência da série ∑∞
n�1 ncnx
n�1? Por quê? 
2. Suponha que você saiba que a série ∑∞
n�0 bnx
n
converge para 
�x� 	 2. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê? 
∑
∞
n �0 
x
n�1
3-10 Encontre uma representação em série de potências para a
função e determine o intervalo de convergência. 
3. f (x) � 4. f (x) �
5. f (x) � 6. f (x) �
7. f (x) � 8. f (x) �
9. f (x) � 10. f (x) �
11-12 Expresse a função como a soma de uma série de potências
usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergên-
cia. 
11. f (x) � 12. f (x) �
13. (a) Use derivação para encontrar a representação em série de
potências para 
f (x) �
Qual é o raio de convergência? 
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para 
f (x) �
(c) Use item (b) para achar uma série de potências para 
f (x) �
14. (a) Ache uma representação em série de potências para 
f (x) � ln (1 � x). Qual é o raio de convergência? 
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para 
f (x) � x ln (1 � x). 
(c) Use o item (a) para achar uma série de potências para 
f (x) � ln (x2 � 1). 
15-18 Encontre uma representação em série de potências para a
função e determine o raio de convergência. 
15. f (x) � ln(5 � x) 16. f (x) � x
2
��(1 � 2x)2
x
2
��(1 � x)3
1
��(1 � x)3
1
��(1 � x)2
3
��
x
2
� x � 2
x � 2
��2x2 � x � 1
1 � x
��1 � x
x
2
��
a
3
� x
3
x
��9 � x2
x
��2x2 � 1
2
��3 � x
1
��
x � 10
1
��1 � x
3
��1 � x4
bn��
n � 1
EXERCÍCIOS 11.9
;
17. f (x) � 18. f (x) � arctg(x/3)
19-22 Encontre uma representação em série de potências para f, trace
f e várias somas parciais s
n
(x) na mesma tela. O que acontece quando
n aumenta? 
19. f (x) � 20. f (x) � ln(x2 � 4)
21. f (x) � ln( ) 22. f (x) � tg�1(2x)
23-26 Calcule a integral indefinida como uma série de potências.
Qual é o raio de convergência? 
23. h dt 24. h dt 
25. h
 
dx 26. tg�1(x2) dx 
27-30 Use uma série de potências para aproximar a integral definida
com precisão de seis casas decimais. 
27. h
0
0,2
dx 28. h
0
0,4
ln(1 � x4)dx
29. h
0
1/3
x
2 tg�1(x4) dx 30. h
0
0,2
31. Use o resultado do Exemplo 6 para calcular ln 1,1 com precisão
de cinco casas decimais.
32. Mostre que a função 
f (x) � ∑
∞
n �0 
é uma solução da equação diferencial 
f �(x) � f (x) � 0 
33. (a) Mostre que J0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no 
Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial 
x
2J �0(x) � xJ
0(x) � x2J0(x) � 0 
(b) Calcule h
0
1 J0(x) dx com precisão de três casas decimais. 
34. A função de Bessel de ordem 1 é definida por 
J1(x) � ∑
∞
n �0 
(a) Mostre que J1 satisfaz a equação diferencial 
x
2J�1(x) � xJ
1(x) � (x2 � 1) J1(x) � 0 
(b) Mostre que J
0(x) � �J1(x). 
(�1)nx2n�1
��
n!(n � 1)!22n�1
(�1)nx2n
��(2n)!
dx
��1 � x6
1
��1 � x5
x � tg�1x
��
x
3
t
��1 � t8
ln(1 � t)
��
t
1 � x
��1 � x
x
��
x
2
� 16
x
3
��(x � 2)2
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM||||M709
série resultante também convergirá para �x�	 R e representará f (x)t(x). Para a divisão, ne-
cessitamos b0 � 0; a série resultante converge para �x� suficientemente pequeno. 
1. Se f (x) � ∑∞
n �0 bn(x � 5)n para todo x, escreva uma fórmula
para b8. 
2. O gráfico de f é mostrado. 
(a) Explique por que a série 
1,6 � 0,8(x � 1) � 0,4(x � 1)2 �0,1(x �1)3 � . . .
não é a série de Taylor de f centrada em 1. 
(b) Explique por que a série 
2,8 � 0,5(x � 2) � 1,5(x � 2)2 � 0,1(x � 2)3 � . . .
não é a série de Taylor de f centrada em 2. 
3. Se f (n)(0) � (n � 1)! para n � 0, 1, 2, . . . , encontre a série de
Maclaurin de f e seu raio de convergência.
4. Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se
f (n)(4) � 
Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
5-12 Encontre a série de Maclaurin de f (x) usando a definição de
uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série
de potências. Não mostre que R
n
(x)m 0.] Também encontre o raio de
convergência associado. 
5. f (x) � (1 � x)�2 6. f (x) � ln(1 � x)
7. f (x) � cos x 8. f (x) � sen 2x
9. f (x) � e5x 10. f (x) � xex 
11. f (x) � senh x 12. f (x) � cosh x 
13-20 Encontre a série de Taylor de f (x) centrada no valor dado de
a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não
mostre que R
n
(x) m 0.] 
13. f (x) � 1 � x � x2, MMa � 2 
14. f (x) � x3, MMa � �1 
15. f (x) � ex, MMa � 3 16. f (x) � 1/x,MMa � �3
17. f (x) � cos xMMa � p 18. f (x) � sen x,MMa � p/2 
19. f (x) � 1/√–x,MMa � 9 20. f (x) � x�2,MMa � 1 
21. Demonstre que a série obtida no Exercício 7 representa sen px
para todo x.
22. Demonstre que a série obtida no Exercício 18 representa sen x
para todo x. 
23. Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa senh x
para todo x.24. Demonstre que a série obtida no Exercício 12 representa cosh x
para todo x. 
25-28 Use a série binomial para expandir a função como uma série
de potência. Diga o raio de convergência.
25. √–––––1 � x 26.
27. 28. (1 � x)2/3
29-38 Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de
Maclaurin da função dada. 
29. f (x) � sen px 30. f (x) � cos(px/2) 
31. f (x) � ex �e2x 32. f (x) � ex � 2e�x
33. f (x) � x cos( 12– x2) 34. f (x) � x2 tg�1(x3)
35. f (x) � 36. f (x) �
37. f (x) � sen2xMM[Sugestão: Use sen2x � 12– (1 � cos 2x).]
38. f (x) � { se x � 0 1
6
– se x � 0 
39-42 Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e seu
raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de Taylor
na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses poli-
nômios e f ? 
39. f (x) � cos(x2) 40. f (x) � e�x2 � cos x 
41. f (x) � xe�x 42. f (x) � ln(1 � x2)
43. Use a série de Maclaurin de ex para calcular e�0,2 com precisão
de cinco casas decimais. 
44. Use a série de Maclaurin de sen x para calcular sen 3º com pre-
cisão de cinco casas decimais. 
x � sen x
��
x
3
x
2
��√–––––2 � x
x
��√–––––4 � x2
1
��(2 � x)3
1
��(1 � x)4
(�1)nn!
��3n(n � 1)
y
0 x
f
1
1
EXERCÍCIOS 11.10
;
Cal_11v2:Layout 1 04.08.09 18:20 Page 709
APÊNDICESM||||MA71
5. 1,55741, �0,62763, 
�0,77018, 0,38764, 
�2,99287, �3,28388, 
�2,41243, �9,21214,
�9,66446, �9,01610; 
divergente
7. 0,29289, 0,42265, 
0,50000, 0,55279, 
0,59175, 0,62204, 
0,64645, 0,66667, 
0,68377, 0,69849; 
convergente, soma � 1 
9. (a)C M(b)D 11. 9 13. D 15. 60 17. 17–
19. D 21. D 23. D 25. 32– 27. D 29. D 
31. D 33. e/(e � 1) 35. 32– 37. 116– 39. e � 1 
41. 29– 43. 1.138/333 45. 41.111/333.000 
47. �3 	 x 	 3; 49. � 14– 	 x 	
1
4
– ; 
51. Todo x; 53. 1
55. a1 � 0, an � para n 
 1, soma � 1 
57. (a) S
n
� (b) 5 59. 12–(√
–
3 � 1)
63. 65. A série é divergente. 
71. {s
n 
} é limitada e crescente.
73. (a) 0, 19–, 29–, 13–, 23–, 79–, 89–, 1 
75. (a) 12–, 56–, 2324–, 119120––; (c) 1 
EXERCÍCIOS 11.3 PÁGINA 667
1. C 
3. C 5. C 7. C 9. D 11. C 13. D 15. C 
17. C 19. C 21. D 23. C 25. C 27. p 
 1 
29. p 	 �1 31. (1, ∞) 
33. (a) 1,54977, erro � 0,1 (b) 1,64522, erro 	 0,005 
(c) n 
 1.000 35. 0,00145 41. b 	 1/e 
EXERCÍCIOS 11.4 PÁGINA 672
1. (a) Nada (b) C 3. C 5. D 7. C 9. C 
11. C 13. C 15. C 17. D 19. D 21. C 
23. C 25. D 27. C 29. C 31. D 
33. 1,249, erro 	 0,1 35. 0,76352, erro 	 0,001 
45. Sim 
EXERCÍCIOS 11.5 PÁGINA 677
1. (a) Uma série cujos termos são alternadamente positivos e ne-
gativos M(b) 0 	 b
n�1 � bn e limnm∞bn � 0, onde bn � �an�M
(c) �Rn� � bn�1
3. C 5. C 7. D 9. C 11. C 13. D 
15. C 17. C 19. D 
21. 1,0000, 0,6464, 
0,8389, 0,7139, 0,8033, 
0,7353, 0,7893, 0,7451, 0,7821, 
0,7505; erro 	 0,0275
23. 5 25. 4 27. 0,9721 29. 0,0676 
31. Uma subestimativa 33. p não é um inteiro negativo
35. {b
n
} não é decrescente
EXERCÍCIOS 11.6 PÁGINA 683
Abreviações: AC, absolutamente convergente; CC, condicional-
mente convergente
1. (a) D (b) C (c) Pode convergir ou divergir
3. AC 5. CC 7. AC 9. D 11. AC 13. AC 
15. AC 17. CC 19. AC 21. AC 23. D 
25. AC 27. D 29. D 31. (a) e (d) 
35. (a) 661960–– � 0,68854, erro 	 0,00521 
(b) n � 11, 0,693109 
EXERCÍCIOS 11.7 PÁGINA 686
1. C 3. D 5. C 7. D 9. C 11. C 13. C 
15. C 17. D 19. C 21. C 23. D 25. C 
27. C 29. C 31. D 33. C 35. C 37. C 
EXERCÍCIOS 11.8 PÁGINA 691
1. Uma série da forma ∑∞
n�0 cn(x � a)n, onde x é uma variável e a
e c
n
são constantes
3. 1, [�1, 1] 5. 1, [�1, 1] 7. ∞, (�∞, ∞) 
9. 14– , (� 14– , 14–) 11. 12–, (� 12–, 12–] 13. 4, (�4, 4]
15. 1, [1, 3] 17. 13– , [�133–, � 113–) 19.∞, (�∞, ∞) 
21. b, (a � b, a � b) 23. 0, { 12–} 25. 14–, [� 12–, 0]
27. ∞, (�∞, ∞) 29. (a) SimM(b) Não 31. kk 33. Não 
35. (a) (�∞, ∞) 
1
�1
0 10
(sn)
(an)
0 x
y
1
. . .
a2 a3 a4 a5
2 3 4
y= 1
x1,3
(n � 1)! � 1
��(n � 1)!
1
��
n(n � 1)
D(1 � cn)
��1 � c
2
��
n(n � 1)
2
��2 � cos x
x
��3 � x
1
��1 � 4x
0
1
11
(an)
(sn)
2
0 10
�10
(sn)
(an)
Cal_apen A:Layout 1 04.08.09 10:06 Page A71
A72M||||MCÁLCULO
(b), (c) 
37. (�1, 1), f (x) � (1 � 2x)/(1 � x2) 41. 2 
EXERCÍCIOS 11.9 PÁGINA 697
1. 10 3. ∑
∞
n�0
(�1)nxn, (�1, 1) 5. 2 ∑
∞
n�0
x
n
, (�3, 3) 
7. ∑
∞
n�0
(�1)n x2n�1, (�3, 3) 9. 1 � 2 ∑
∞
n�0
x
n
, (�1, 1) 
11. ∑
∞
n�0 [(�1)n�1 � ]xn, (�1, 1) 
13. (a) ∑
∞
n�0
(�1)n(n � 1)xn, R � 1 
(b) ∑
∞
n�0
(�1)n(n � 2)(n � 1)xn, R � 1 
(c) ∑
∞
n�2
(�1)nn(n � 1)xn, R � 1 
15. ln 5 � ∑
∞
n�1
, R � 5 17. ∑
∞
n�3
x
n
, R � 2 
19. ∑
∞
n�0
(�1)n x2n�1, R � 4 
21. ∑
∞
n�0
, R � 1 
23. C � ∑
∞
n�0
, R � 1 
25. C � ∑
∞
n�1
(�1) n�1 , R � 1 
27. 0,199989 29. 0,000065 31. 0,09531 
33. (b) 0,920 37. [�1, 1], [�1, 1), (�1, 1) 
EXERCÍCIOS 11.10 PÁGINA 709
1. b8 � f (8)(5)/8! 3. ∑
∞
n�0
(n � 1) xn, R � 1 
5. ∑
∞
n�0
(n � 1)xn, R � 1 
7. ∑
∞
n�0
(�1)n , R � ∞ 
9. ∑
∞
n�0
x
n
, R � ∞ 11. ∑
∞
n�0
, R � ∞ 
13. 7 � 5(x � 2) � (x � 2)2, R � ∞ 
15. ∑
∞
n�0
(x � 3)n , R � ∞ 
17. ∑
∞
n�0
(�1)n�1 (x � p)2n, R � ∞
19. ∑
∞
n�0
(�1)n (x � 9)n , R � 9
25. 1 � � ∑
∞
n�2
(�1)n xn, R � 1
27. ∑
∞
n�0
(�1)n xn, R � 2 
29. ∑
∞
n�0
(�1)n x2n�1, R � ∞ 
31. ∑
∞
n�0
x
n 
, R � ∞ 
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