Triângulos e Quadriláteros

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Ensino Superior
Matemática Básica
Triângulos e Quadriláteros
Amintas Paiva Afonso
Triângulos
e
Quadriláteros
Classificação de ângulos
Recorda…
Ângulos complementares
Ângulos suplementares
Exercício 1
a =
b =
c =
d =
e =
DEFINIÇÃO:
“Triângulo é o polígono de três lados”
 
ELEMENTOS: 
Num triângulo ABC, temos:
A , B e C são os vértices do triângulo
AB , BC e AC são os lados do triângulos, esses lados podem ser denominados pela letra minúscula correspondente a seu ângulo 
oposto. 
A
B
 C
Assim o lado BC poderá ser denominado como a, o lado AC poderá ser denominado como b e o lado AB poderá ser denominado como c
BAC , ACB e CBA são os ângulos internos do triângulo
AB + BC + AC = a + b + c é o perímetro do triângulo
a
b
c
ELEMENTOS: 
A
B
 C
Observe o que acontece com o quadrado.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Ele pode “cair” para o lado, sem comprometer a integridade de seus lados. Cada vez mais, o quadrado perde área, e muda seus ângulos, mas nunca tem seus lados alterados. Isto é exemplo de uma figura não rígida.
Dizemos uma figura é rígida, se não podemos construir com os mesmos segmentos de seus lados, outra figura distinta.
 
No caso do triângulo isto é verdade. Dado um triângulo qualquer, não é possível alterar sua forma sem quebrar seus lados ou seus vértices.
A rigidez é uma importante propriedade, e é por isso que o triângulo aparece com muita frequência no construção civil: em telhados, torres, etc.
Classificação de triângulos
Propriedades dos triângulos
Num triângulo:
A lados iguais, opõem-se ângulos iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.
Usar as figuras como exemplo.
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Construção de triângulos
5 cm
Explicar o exemplo. Fazer as construções da tarefa no quadro, com material de desenho.
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Construção de triângulos
8 cm
Fazer as construções da tarefa no quadro, com material de desenho.
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Maior lado?
Menor ângulo?
Desenhe os triângulos
1.
2.
Não é possível construir o triângulo pois há um lado que é maior que a soma dos outros dois.
Não é possível construir o triângulo pois há um lado que é igual à soma dos outros dois.
Exemplo:
Desigualdade triangular:
Num triângulo, o comprimento 
de qualquer lado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois.
É possível construir o triângulo ABC. 
O exemplo é o triângulo 1.2.
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Condição de Existência
Escrevemos esta condição de existência, de um triângulo ABC qualquer, como:
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados 
Exemplo:
Para verificar esta propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas 7 cm, 4 cm e 2 cm.
impossível, não? 
Logo não existe o triângulo cujos lados, medem 7 cm, 4 cm e 2 cm.
EXERCÍCIOS 
1) Existe ou não um triângulo com lados medindo:
 a) 10 cm, 8 cm e 7 cm?
 b) 8 cm, 4 cm e 3 cm ?
 c) 2 cm, 4 cm e 6 cm?
 d) 3 cm, 4 cm e 5 cm?
 e) 3 cm, 5 cm e 6 cm?
 f) 4 cm, 10 cm e 5 cm?
2) Dois Lados de um triângulo isósceles medem 38 cm
 e 15 cm. Qual poderá ser a medida do terceiro lado?
Soma dos ângulos internos 
de um triângulo
A soma das amplitudes dos ângulos internos 
de qualquer triângulo é igual a 180º.
Construir previamente um triângulo e recortá-lo na aula.
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Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?
Copie e complete o quadro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.
3) Determine x em cada um dos triângulos
Triângulo obtusângulo isósceles.
Triângulo acutângulo equilátero.
Triângulo retângulo escaleno.
Soma dos ângulos externos 
de um triângulo
A soma das amplitudes dos ângulos externos
de qualquer triângulo é igual a 360º.
a
b
c
Explicar o que é um ângulo externo. Construir previamente um triângulo e recortá-lo na aula.
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Triângulo obtusângulo.
Triângulo acutângulo
I.
II.
III.
Vamos organizar a informação numa tabela:
Triângulo
Ânguloexterno x
Soma dosângulos internos não adjacentes
I
150º
50º + 100º = 150º
II
60º
35º + 25º = 60º
III
110º
50º + 60º = 110º
Em qualquer triângulo, a amplitude de um ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.
Triângulo retângulo isósceles.
Triângulo obtusângulo.
x = ?
Congruência de triângulos
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Os triângulos são congruentes?
Trabalho de pares.
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Critérios de congruência de triângulos
LLL
Dois triângulos são congruentes se, de um para o outro, têm os três lados congruentes.
LAL
Dois triângulos são congruentes se, de um para o outro, têm dois lados congruentes e o ângulo por eles formado igual.
ALA
Dois triângulos são congruentes se, de um para o outro, têm um lado congruente e os dois ângulos adjacentes iguais.
Os triângulos são congruentes porque têm, de um para o outro, um lado congruente e os dois ângulos adjacentes iguais (Critério ALA).
Os triângulos são congruentes 
porque têm, de um para o outro, 
dois lados congruentes e o ângulo 
por eles formado igual (Critério LAL).
37º
53º
53º
37º
5 cm
Os triângulos são congruentes 
porque têm, de um para o outro, 
dois lados congruentes e o ângulo
por eles formado igual (Critério LAL).
70º
70º
4 cm
40º
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 1
Determina o valor da amplitude do ângulo ACB e
classifica o triângulo [CBA].
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 1
Determine o valor da amplitude do ângulo ACB e
classifice o triângulo [CBA].
90º + 50º = 140º
180º - 140º = 40º
A ângulo CBA mede 40º.
Lados diferentes e um ângulo reto.
Triângulo Escaleno Retângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 2
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 2
60º + 60º = 120º
180º - 120º = 60º
O ângulo a mede 60º.
3 lados e 3 ângulos 
congruentes. 
Triângulo Equilátero Acutângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo c e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 3
Determina o valor da amplitude do ângulo c e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 3
65º + 70º = 135º
180º - 135º = 45º
O ângulo c mede 45º.
Lados e ângulos 
agudos diferentes.
Triângulo Escaleno Acutângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo CBA e
classifica o triângulo [CBA].
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 4
Determina o valor da amplitude do ângulo CBA e
classifica o triângulo [CBA].
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 4
45º + 45º = 90º
180º - 90º = 90º
O ângulo CBA mede 90º.
Tem dois lados congruentes.
Tem um ângulo reto.
Triângulo Isósceles Retângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 5
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 5
50º + 35º = 85º
180º - 85º = 95º
O ângulo a mede 95º.
Tem lados diferentes.
Tem um ângulo obtuso.
Triângulo Escaleno Obtusângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo b e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 6
Determina o valor da amplitude do ângulo b e
classifica o polígono.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 6
35º + 35º = 70º
180º - 70º = 110º
O ângulo b mede 110º.
Tem dois lados congruentes.
Tem um ângulo obtuso.
Triângulo Isósceles Obtusângulo
Determina o valor da amplitude do ânguloCBA e
classifica o triângulo [CBA].
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 7
180º - 50º = 130º
Dois lados iguais, logo:
130º : 2 = 65º
2 ângulos de 65º.
O ângulo CBA mede 65º.
Tem dois lados congruentes.
Tem 3 ângulos agudos.
Triângulo Isósceles Acutângulo
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 7
Determina o valor da amplitude do ângulo CBA e
classifica o triângulo [CBA].
Determina o valor da amplitude do ângulo c e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 8
a=180º - 80º = 100º
b=180º - 145º = 35º
100º + 35º = 135º
C=180º - 135º = 45º
O ângulo c mede 45º.
Tem lados e ângulos diferentes.
Tem 1 ângulo obtuso.
Triângulo Escaleno Obtusângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo c e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 8
Determina o valor da amplitude do ângulo CBA e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 9
Ângulos adjacentes suplementares
180º - 110º = 70º
70º + 70º = 140º
180º - 140º = 40º
O ângulo CBA mede 40º.
Tem 2 lados e 2 ângulos congruentes.
Tem 3 ângulos agudos.
Triângulo Isósceles Acutângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo CBA e
classifica o triângulo.
Determina o valor da amplitude do ângulo c e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 10
Ângulos adjacentes suplementares
180º - 140º = 40º
a = 40º = b
40º + 40º = 80º
180º - 80º = 100º
O ângulo c mede 100º.
Tem 2 lados e 2 ângulos congruentes.
Tem 1 ângulo obtuso.
Triângulo Isósceles Obtusângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo c e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 10
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 11
55º + 70º = 125º
b = 180º - 125º = 55º
Ângulos adjacentes suplementares
a = 180º - 55º = 125º
O ângulo a mede 125º.
Tem 2 lados e 2 ângulos congruentes.
Tem 1 ângulo obtuso.
Triângulo Isósceles Acutângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 11
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 12
A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º.
110º + 135º = 275º
a= 360º - 275º = 115º
O ângulo a mede 115º.
Tem lados e ângulos diferentes.
Tem 3 ângulos agudos.
Triângulo Escaleno Acutângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 12
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 13
A soma das amplitudes dos ângulos adjacentes suplementares de um triângulo é igual a 180º.
a = 180º - 120º = 60º
O ângulo a mede 60º, assim como os restantes 
ângulos internos.
Tem lados e ângulos congruentes.
Triângulo Equilátero Acutângulo
Determina o valor da amplitude do ângulo a e
classifica o triângulo.
Amplitude de ângulos de triângulos
Exercício 13
Medianas
Mediana é uma reta que vai de um vértice do triângulo até o ponto médio do lado oposto. Um triângulo tem então 3 medianas:
65
Medianas
O ponto onde se encontram as medianas se chama BARICENTRO. Este ponto é o centro de massa do triângulo, o que significa que podemos equilibrá-lo apoiando apenas este ponto.
baricentro
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Outra propriedade do baricentro é que ele divide cada mediana numa proporção de 
por , do vértice ao lado.
Bissetrizes
Uma bissetriz é um segmento que parte de um vértice, dividindo o ângulo deste ao meio até o lado oposto. Um triângulo tem 3 bissetrizes:
O ponto onde encontram as bissetrizes é chamado de INCENTRO. Leva este nome por ser também o centro do círculo inscrito no triângulo. Podemos facilmente perceber pelo desenho.
incentro
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ortocentro
O ponto onde se encontram as alturas chama-se ORTOCENTRO. O ortocentro nem sempre está dentro do triângulo. Num triângulo com ângulo maior que 90° o ortocentro e duas alturas se encontram fora da figura.
Altura é um segmento que parte de um vértice a um lado, fazendo um ângulo de 90° com lado em questão. A altura é importante, por que é distância de um vértice a um lado, e é usada no cálculo de áreas. Um triângulo tem 3 alturas:
Alturas
Para traçar as alturas de um triângulo obtusângulo como o abaixo, basta estender os lados conectados ao vértice do ângulo obtuso. 
Para achar o ortocentro, basta estender as alturas até que se encontrem.
Classificação de quadriláteros
B =
F =
D =
C =
G =
I =
Não tem um par de lados opostos paralelos = 
Tem um par de lados opostos que não são paralelos = 
Não tem os quatro lados congruentes (iguais) = 
Ângulos verticalmente opostos
Ângulos alternos internos
Os ângulos verticalmente opostos são congruentes.
Os ângulos alternos internos de lados paralelos são congruentes.
A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360º.
Soma dos ângulos internos 
de um quadrilátero
180º
180º
180º + 180º = 360º
Construir previamente um triângulo e recortá-lo na aula.
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Propriedades dos paralelogramos
Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes (iguais).
Num paralelogramo, as diagonais dividem-se ao meio.
Num paralelogramo, os ângulos opostos são iguais.
Num paralelogramo, dois ângulos consecutivos são suplementares.
Os triângulos ABD e BCD são congruentes porque têm, de um para o outro, dois lados congruentes e o ângulo por eles formado igual (Critério LAL).
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Área do paralelogramo
Explicar o que é um ângulo externo. Construir previamente um triângulo e recortá-lo na aula.
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