Apostila - Exercicios

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1 
 
ÍNDICE 
 
CONTEÚDO Página 
Análise Combinatória 139 
Binômio de Newton 192 
Cálculo Algébrico 25 
Equação da Circunferência 187 
Equações do 2° grau 
Equações Exponenciais 48 
ESFERA 132 
Equações Modulares 54 
Equações Polinomiais 81 
Estatística 160 
Fatoração de Polinômios 28 
Funções 30 
Função afim (1° grau) 35 
Função definida por mais de uma sentença 
Função Exponencial 50 
Função Logarítmica 50 
Função quadrática (2° grau) 41 
Geometria Analítica 178 
Geometria Espacial ( CILINDRO E CONE ) 126 
Geometria Espacial ( Prismas ) 118 
Geometria Plana 84 
Logaritmos 50 
Matemática Comercial 19 
Matemática Financeira 56 
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 61 
Números Complexos 79 
Números Inteiros 15 
Números Irracionais 15 
Números Naturais 07 
Números Racionais 15 
Números Reais 15 
Poliedros 116 
Polinômios 81 
Probabilidade 148 
Progressões (P. A. e P. G.) 108 
PIRÂMIDE 122 
Sistemas de Numeração 13 
Teoria dos Conjuntos 4 
Teoria Elementar dos Números 10 
TRONCO DE CONE E PIRÂMIDE 136 
Trigonometria 72 
 
 
 
 
2 
 
CALENDÁRIO 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
3 
 
HORÁRIO DE ESTUDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
01.(ESAF/AFC) Considere dois conjuntos, A e B, onde A 
= {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se 
que a operação Ψ é definida por AΨB = (A–B)U(B–A), 
então a expressão (AΨB)ΨB é dada por: 
A) { X1, X5, X4} 
B) { X1, X2} 
C) { X1, X2, X3, X4} 
D) {X4, X6, X5} 
E) {X1, X6} 
 
02. (Esaf - ANEEL) X e Y são dois conjuntos não vazios. 
O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por 
sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que 
o conjunto 
YXZ 
 possui 2 elementos. Desse modo, 
conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y 
– X é igual a: 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) vazio 
E) 1 
 
03.(UESC) No diagrama de Venn, a região sombreada 
representa o conjunto: 
 
 
 
01) C  (B – A) 
02) C – (A  B  C) 
03) C – (A  B) 
04)
  ABC 
 
05)
  ABC 
 
 
04.(CFO/PM 2009)Sejam C, F e O os conjuntos tais que: 
 
 
Os elementos do conjunto O são: 
A) {3,4,6,8,9,10} 
B) {1,2,9,10} 
C) {3,4,6,8,9} 
D) {9,10} 
 
05. (G1 - ifpe 2016) Em uma cooperativa de agricultores 
do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma 
consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-
açúcar e do algodão. Constatou-se que 
125
 
associados cultivam a cana-de-açúcar, 
85
 cultivam o 
algodão e 
45
 cultivam ambos. 
 
Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo 
menos uma dessas duas culturas, qual é o número de 
agricultores da cooperativa? 
a) 
210
 
b) 
255
 
c) 
165
 
d) 
125
 
e) 
45
 
 
06. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma 
com 
40
 alunos, 
14
 gostam de Matemática, 
16
 gostam 
de Física, 
12
 gostam de Química, 
7
 gostam de 
Matemática e Física, 
8
 gostam de Física e Química, 
5
 
gostam de Matemática e Química e 
4
 gostam das três 
matérias. Nessa turma, o número de alunos que não 
gostam de nenhuma das três disciplinas é 
a) 
6.
 
b) 
9.
 
c) 
12.
 
d) 
14.
 
 
07. (Fgv 2015) Observe o diagrama com 
5
 
organizações intergovernamentais de integração sul-
americana: 
 
 
 
Dos 
12
 países que compõem esse diagrama, integram 
exatamente 
3
 das organizações apenas 
a) 
4.
 
b) 
5.
 
c) 
6.
 
 
 
5 
 
d) 
7.
 
e) 
8.
 
 
08. (Espm 2015) Considere os seguintes subconjuntos de 
alunos de uma escola: 
 
A: alunos com mais de 
18
 anos 
B: alunos com mais de 
25
 anos 
C: alunos com menos de 
20
 anos 
 
Assinale a alternativa com o diagrama que melhor 
representa esses conjuntos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
09. (Uece 2015) Em um grupo de 
300
 alunos de línguas 
estrangeiras, 
174
 alunos estudam inglês e 
186
 alunos 
estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro 
idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos 
deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um 
idioma é 
a) 
236.
 
b) 
240.
 
c) 
244.
 
d) 
246.
 
 
10. (Uemg 2015) Em uma enquete sobre a leitura dos 
livros selecionados para o processo seletivo, numa 
universidade de determinada cidade, foram entrevistados 
1200
 candidatos. 
563
 destes leram “Você Verá”, de Luiz 
Vilela; 
861
 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya 
Luft; 
151
 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 
365
 leram 
“Você Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 
37
 leram 
“Exílio” e “O tempo é um rio que corre”; 
61
 leram “Você 
Verá” e “Exílio”; 
25
 candidatos leram as três obras e 
63
 não as leram. 
 
A quantidade de candidatos que leram apenas “O 
tempo é um rio que corre” equivale a 
a) 
434.
 
b) 
484.
 
c) 
454.
 
d) 
424.
 
 
11. (Pucrj 2015) Uma pesquisa realizada com 245 
atletas, sobre as atividades praticadas nos seus 
treinamentos, constatou que 135 desses atletas 
praticam natação, 200 praticam corrida e 40 não 
utilizavam nenhuma das duas modalidades no seu 
treinamento. 
 
Então, o número de atletas que praticam natação e 
corrida é: 
a) 70 
b) 95 
c) 110 
d) 125 
e) 130 
 
12. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa 
de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência 
de seus consumidores em relação a seus três 
produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. 
Os resultados indicaram que: 
 
- 65 pessoas compram cream crackers. 
- 85 pessoas compram wafers. 
- 170 pessoas compram biscoitos recheados. 
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e 
recheados. 
- 50 pessoas compram cream crackers e recheados. 
- 30 pessoas compram cream crackers e wafers. 
- 60 pessoas compram wafers e recheados. 
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. 
 
Determine quantas pessoas responderam a essa 
pesquisa. 
a) 200 
b) 250 
c) 320 
d) 370 
e) 530 
 
13. (G1 - cp2 2014) No diagrama abaixo, as figuras A, 
B e C representam conjuntos de indivíduos com uma 
determinada característica. Todo indivíduo que possui 
a característica A está representado dentro do conjunto 
A e quem não tem a característica está fora do mesmo. 
Analogamente, estão dentro de B todos os que têm a 
característica B e estão dentro de C todos os que têm a 
 
 
6 
 
característica C. 
 
 
 
Nesse caso, a região sombreada indicará todos os 
indivíduos que: 
a) não têm nenhuma das três características; 
b) têm pelo menos uma das três características; 
c) têm apenas uma das três características; 
d) têm duas das três características; 
e) têm as três características. 
 
14.(G1 - cftrj 2012) Uma das grandes paixões dos 
cariocas é o desfile de escolas de samba. 
 
 
 
Foram entrevistados alguns foliões com a seguinte 
pergunta: “Em qual ou quais escolas você irá desfilar em 
2012?”, e os entrevistadores chegaram a algumas 
conclusões, de acordo com a tabela: 
 
Escola de samba Número de foliões 
Mangueira 1500 
Portela 1200 
Salgueiro 800 
Mangueira e Portela 600 
Portela e Salgueiro 400 
Mangueira e Salgueiro 200 
Mangueira, Portela e Salgueiro150 
Nenhuma das três 700 
 
a) Quantos foliões foram entrevistados? 
b) Quantos, dentre os entrevistados, não pretendem 
desfilar na Salgueiro? 
 
15. (Pucrj 2008) Um trem viajava com 242 passageiros, 
dos quais: 
- 96 eram brasileiros, 
- 64 eram homens, 
- 47 eram fumantes, 
- 51 eram homens brasileiros, 
- 25 eram homens fumantes, 
- 36 eram brasileiros fumantes, 
- 20 eram homens brasileiros fumantes. 
 
Calcule: 
a) o número de mulheres brasileiras não fumantes; 
b) o número de homens fumantes não brasileiros; 
c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. 
 
16. (Ufmg) Uma pesquisa foi feita com um grupo de 
pessoas que frequentam, pelo menos, uma das três 
livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: 
- das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não 
frequentam as demais; 
- das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não 
frequentam as demais; 
- das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não 
frequentam as demais; 
- oito pessoas frequentam as três livrarias. 
 
a) Determine o número de pessoas que frequentam 
apenas uma das livrarias. 
b) Determine o número de pessoas que frequentam, 
pelo menos, duas livrarias. 
c) Determine o número total de pessoas ouvidas nessa 
pesquisa. 
 
 
 
7 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 
2. B 
3. 01 
4. A 
5. C 
6. D 
7. D 
8. D 
9. B 
10. B 
11. E 
12. B 
13. C 
14. a) 1500 + 350 + 350 + 250 + 700 = 3150. b) 3150 
– 800 = 2350. 
15. a) 29 b) 5 c) 127 
16. a) 78 pessoas b) 87 pessoas c) 165 pessoas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTO NUMÉRICOS 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (CESGRANRIO) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, 
então (abc)12 vale: 
A) 9912 
B) 9921/2 
C) 9928 
D) 9988 
E) 9999 
 
02 . ( PUC – MG ) Na divisão do número natural P 
pelo número natural m o quociente é 13 e o resto, 5. 
O menor valor de P é : 
a) 44 
b) 57 
c) 83 
d) 13 
 
03. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o 
quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma 
do dividendo e do divisor é 125, o resto é: 
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
E) 8 
 
04. ( PUC – MG ) Os números M e N são inteiros 
positivos. Na divisão de M por N o quociente é 17 e 
o resto, o maior possível. Se M – N = 407, o resto é: 
24 
23 
21 
18 
16 
 
05. ( UFMG) Um número é da forma 3a7b. Sabendo-
se que este número é divisível por 25 e por 9, os 
algarismos a e b são, respectivamente: 
0 e 8 
3 e 7 
6 e 5 
3 e 5 
N.d.a 
 
06. ( ETF – RJ ) Qual o menor número que se deve 
subtrair de 21.316 para se obter um número que seja 
divisível por 5 e por 9 ? 
31 
1 
30 
42 
41 
 
 
8 
 
 
07. (UNIMONTES PAES/2007 ) Se no número m498n, m 
é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo das 
unidades e m498n é divisível por 45, então m + n vale: 
6 
7 
8 
9 
 
08. (UNIMONTES) Um número de seis algarismos é 
formado pela repetição de uma classe, por exemplo: 
256256 ou 678678. Qualquer número dessa forma é 
sempre divisível por 
A) 13, somente. 
B) 1010. 
C) 11, somente. 
D) 1001 
 
09. ( UFU – MG ) São dados os conjuntos : 
D = divisores positivos de 24 
M = múltiplos positivos de 3 
S = D  M 
N = números de subconjuntos de S. 
Portanto, N é igual a: 
64 
16 
32 
8 
4 
 
10. ( Unimontes / PAES – 2004 ) Dados os conjuntos A = 
{ x  N / x = 3n, n  N } e B = { x  N– {0} / 
x
18
= n, n  
N } , tem-se que AB é igual ao conjunto: 
[3, 18 ] 
Vazio 
{ x  N / 3 ≤ x ≤ 18 } 
{ 3, 18, 6, 9 } 
 
11. ( Fuvest) O número de divisores positivos de 360 é : 
18 
22 
24 
26 
30 
 
12. ( PUC – MG ) O número 2a . 3b tem oito divisores. Se 
a.b = 3, então a + b é igual a: 
1 
2 
3 
4 
60 
 
13. (UFMG) O número 2a.3b.c divide o número 3600. 
Suponha que a, b e c sejam números inteiros, positivos, 
c seja um número primo maior que 3 e n com 16 
divisores. Então, a + b – c será igual a: 
a) - 2 
b) - 1 
c) 0 
d)1 
e)2 
 
14. (UFMG) A soma de todos os divisores do número 
105 é: 
a) 15 
b) 16 
c) 120 
d) 121 
e) 192 
 
15.( Unimontes – MG ) Entre os números 20 e 35, 
quantos são os números que têm apenas quatro 
divisores no conjunto dos números inteiros? 
a) 4 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
 
16. (UFMG) Sabe-se que o número 213 – 1 é primo. 
Seja n = 217 – 16. No conjunto dos números naturais, o 
número de divisores de n é 
a) 5 
b) 8 
c) 6 
d) 10 
 
17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses de janeiro, março, 
maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. 
O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa 
quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: 
quinta-feira 
terça-feira 
quarta-feira 
sexta-feira 
 
18. ( UFMG ) Seja N o menor número inteiro pelo qual 
se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja um 
quadrado de um número natural. Então, a soma dos 
algarismos de N é: 
9 
7 
8 
10 
 
 
19. ( FCC ) Sejam os números A = 23. 32. 5 e B = 2. 
33. 52 . O MDC e o MMC entre A e B valem 
respectivamente : 
2. 32. 5 e 23. 33. 52 
2. 52. 5 e 22. 32. 5 
2. 3. 5 e 23. 33. 52 
22. 32. 5 e 2. 32. 5 
23. 32. 52 e 2. 33. 52 
 
 
 
9 
 
20. (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os 
números 144 e (30)P é 36, em que p é um inteiro 
positivo, então o expoente p é igual a: 
A) 1 
B) 3 
C) 4 
D) 2 
21. ( Fuvest ) Sejam a e b o máximo divisor comum e o 
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. 
Então o produto a.b vale : 
a) 24. 34. 53 
b) 25. 32. 52 
c) 25. 33. 53 
d) 26. 33. 52 
e) 26. 34. 52 
 
22. (UFU) Os irmãos José e Maria visitam regularmente 
seu avô Pedro. José visita-o a cada 8 dias e Maria a cada 
6 dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. Se 
José e Maria visitaram simultaneamente o avô no primeiro 
dia do ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a 
visita simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006? 
Obs.: Considere cada ano com 365 dias. 
A) 48 
B) 44 
C) 46 
D) 45 
 
23. ( CFTPR ) Três vendedores encontraram-se num certo 
dia na cidade de Medianeira - PR e jantaram juntos. O 
primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o 
segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes 
três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no 
próximo encontro. Este, deverá acontecer após: 
a) 480 dias. 
b) 120 dias. 
c) 48 dias. 
d) 80 dias. 
e) 60 dias. 
 
24. ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre 
os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam 
ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da 
Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao 
redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, 
respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos 
estiveram em conjunção no céu da Terra? 
a) 1840 
b) 1852 
c) 1864 
d) 1922 
e) 1960 
 
25. ( UERJ ) Dois sinais luminosos fecham juntos num 
determinado instante. Um deles permanece 10 segundos 
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro 
permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. 
O número mínimo de segundos necessários, a partir 
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar 
juntos outra vez é de: 
a) 150 
b) 160 
c) 190 
d) 200 
 
26. ( FGV – SP ) Seja x o maior número inteiro de 4 
algarismos que é divisível por 13 e y o menor número 
inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. 
Se a diferença entre x e y é igual a K, a soma dos 
algarismos de K é: 
a) 26 
b) 27 
c) 28 
d) 29 
e) 30 
 
27. (UESB) Um paciente deve tomar trêsmedicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h 
e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os 
três medicamentos às 7:00h, então deverá voltar a 
tomar os três, ao mesmo tempo, às 
(01) 10:00h 
(02) 12:50h 
(03) 15:00h 
(04) 16:30h 
(05) 17:00h 
 
28. (CFO/PM 2005) Duas pessoas, fazendo exercícios 
diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto 
e, andando, contornam uma pista oval que circunda um 
jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na 
pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de 
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se 
encontrar no ponto de partida? 
A. ( ) 30 minutos. 
B. ( ) 45 minutos. 
C. ( ) 60 minutos. 
D. ( ) 240 minutos. 
 
29.( UECE) Dois relógios tocam uma música 
periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o 
outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram, juntos, 
às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios 
quando voltarem a tocar juntos, pela primeira vez após 
as 10 horas ? 
10 horas e 31 minutos 
11 horas e 02 minutos 
13 horas e 30 minutos 
17 horas 
 
30. (UPE-PE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma 
caminhada de duas horas em uma pista circular. 
Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e 
Neto, 12 minutos para completar a volta. Se eles 
partem do mesmo ponto P da pista e caminham em 
sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de 
vezes que o casal se encontra no ponto P é 
 
 
10 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
31. (CFO/PM 2007) No alto de uma torre de uma emissora 
de televisão, duas luzes "piscam" com freqüências 
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a 
segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos 
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
A. ( ) 12 
B. ( ) 10 
C. ( ) 20 
D. ( ) 15 
 
32. (UFTM) Márcia fabrica trufas de chocolate, que são 
vendidas em embalagens com 5, 8 ou 12 unidades. 
Renata, uma de suas vendedoras, possui em seu estoque 
793 trufas, que serão todas vendidas em embalagens do 
mesmo tipo. Porém, ela ainda não decidiu qual das três 
embalagens irá utilizar. Nessas condições, a menor 
quantidade de trufas que Márcia deverá acrescentar ao 
estoque de Renata de modo que, independentemente do 
tipo de embalagem utilizada, não sobre nenhuma trufa no 
estoque depois da confecção das embalagens, é igual a 
a) 7. 
b) 11. 
c) 23. 
d) 39. 
e) 47. 
 
33. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou 
entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem 
colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 
12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 
unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim 
sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem 
colocadas em sacos com 35 unidades cada um? 
A) 4 
B) 6 
C) 7 
D) 2 
 
34. ( EEAer ) Três rolos de arame farpado têm, 
respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se 
cortá-los em partes de mesmo comprimento, de forma 
que, cada parte, seja a maior possível. Qual o número de 
partes obtidas e o comprimento, em metros de cada 
parte? 
a) 21 e 14 
b) 23 e 16 
c) 25 e 18 
d) 31 e 24 
 
35. ( FEI – SP ) Em uma sala retangular de piso plano nas 
dimensões 8,80 m por 7,60 m deseja-se colocar 
ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar 
nenhuma peça. A medida máxima do lado de cada 
ladrilho é: 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 30 cm 
d) 40 cm 
e) 50 cm 
 
 
36. ( PUC / MG – 2001 ) Uma praça retangular, de 
110 m de comprimento por 66 m de largura é 
contornada por fileiras de palmeiras igualmente 
espaçadas. A distância entre uma palmeira e a 
seguinte é a mesma e a maior possível. Se em cada 
vértice da praça existe uma palmeira, o número total de 
palmeiras contornando a praça é : 
A) 16 
B) 18 
C) 22 
D) 24 
 
 
37. ( UFMG ) Sejam a, b e c números primos 
distintos, em que a > b. O máximo divisor comum e o 
mínimo múltiplo comum de m = a2.b.c2 e n = a.b2 são, 
respectivamente, 21 e 1764. Pode-se afirmar que a + 
b + c é : 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 42 
e) 62 
 
38. (UFU-MG) Se p é um número natural primo e a 
soma de todos os divisores positivos de p2 é igual a 31, 
então p é igual a: 
a) 5 
b) 7 
c) 13 
d) 3 
 
39. (FIP-2009) Numa competição de arremesso de 
disco, o vencedor conseguiu 61 m. O segundo 
colocado, 58m. De quanto foi o lançamento do terceiro 
colocado, sabendo-se que a diferença entre o seu 
lançamento e o lançamento do segundo colocado foi 
duas vezes a diferença entre o segundo colocado e o 
primeiro? 
A) 56m 
B) 52m 
C) 54m 
D) 50m 
 
40. (FIP-2009) Suponha que uma pessoa esteja 
percorrendo uma pista em forma do polígono 
ABCDEFGHI da figura abaixo. Saindo do ponto A, no 
sentido horário, ao caminhar, ela irá contando quantos 
lados já percorreu. Em qual dos vértices (A, B, C, ...) 
ela estará quando disser 555.555.555.555.555? 
110 
66 
 
 
11 
 
 
 
41. (FIP-2010) Observe a figura abaixo, que descreve as 
dimensões oficiais possíveis para um campo de futebol: 
 
Segundo o projeto, o comprimento do campo pode variar 
de 90 a 120 metros, e a largura de 45 a 90 metros. 
Admitindo que o comprimento seja um múltiplo de 10, e a 
largura seja um múltiplo de 5, de quantos modos possíveis 
pode ser construído o campo? 
A) 80 
B) 60 
C) 120 
D) 40 
 
42. (FIP-2010) Pensando em contribuir com uma 
alimentação mais saudável para a sua família, um 
professor da rede Pitágoras está planejando uma horta em 
um espaço retangular de 1,56m por 84cm, disponível em 
seu quintal. Ele inicia o preparo da horta dividindo o 
comprimento e a largura do terreno em partes iguais, 
todas de mesma medida inteira, quando expressas em 
centímetros. Dessa maneira, esse professor formou, na 
superfície do terreno, um quadriculado composto por 
quadrados congruentes, de modo que as medidas das 
arestas de cada quadrado tivessem o maior valor possível. 
Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado 
obtido, uma única muda. 
Nessas condições, a quantidade máxima de mudas que 
pode ser plantada é: 
 
 
 
A) 91 
B) 76 
C) 120 
D) 144 
 
 
43. (FIP-2011) Um grupo de estudantes se preparava 
para as provas do vestibular das FIPMoc. Ao estudar o 
assunto CONJUNTOS, em Matemática, eles 
observaram que o número de subconjuntos de um 
conjunto era dado por 2n. Se P e Q são conjuntos que 
possuem um único elemento em comum e se o número 
de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de 
subconjuntos de Q, então o número de elementos do 
conjunto P união Q é o: 
 
A) triplo do número de elementos de P. 
B) dobro do número de elementos de Q. 
C) triplo do número de elementos de Q. 
D) dobro do número de elementos de P. 
 
44 .(FIP-2012) Os números primos são verdadeiras 
estrelas da matemática - eles só podem ser divididos 
por eles mesmos (com resultado igual a um) ou por um 
(com resultado igual a ele mesmo), sem nenhuma outra 
possibilidade de se conseguir um número inteiro. O 
mais célebre desses números é o 2, mas o maior deles 
foi descoberto no ano passado por Martin Nowak, 
professor da Universidade de Harvard, nos Estados 
Unidos. O número é dado pela notação 225 964 951 – 1 e 
tem mais de sete milhões de dígitos, o equivalente ao 
número total de letras publicadas em mais de 61 
edições de Galileu. 
 
Considere um número natural N, dado por N = 251 929 902 
– 225 964 951. 
 
A quantidade de divisores naturais do número N é: 
 
A) 12 982 476 
B) 25 964 952 
C) 51 929 904 
D) 103 859 804 
 
45 .(FIP-2013) Numa prova de aquecimento, o atleta 
Bruno Lins sai correndo e, após dar 200 passos, o 
atleta UsainBolt parte em seu encalço. Enquanto Bolt 
dá 3 passos, Lins dá 11 passos; porém, 2 passosde 
 
 
12 
 
Bolt valem 9 de Lins. É correto afirmar que, para alcançar 
Bruno Lins, UsainBolt deverá dar 
 
A) 480 passos 
B) 240 passos 
C) 120 passos 
D) 80 passos 
 
46 (FIP).m agricultor de laranjas do norte de Minas obteve 
em uma colheita a quantidade de 1500 a 2100 unidades. 
Ao agrupá-las em embalagens com 50 unidades cada 
uma, percebeu que sobraram 20 laranjas. Resolveu, em 
seguida, reorganizá-las em embalagens com 36 unidades 
cada uma, e também sobraram 20 laranjas. Desejando 
obter um melhor aproveitamento, decidiu reagrupá-las em 
embalagens com 23 unidades cada uma. 
Quantas laranjas sobraram com a última organização? 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
 
47.(FIP) Três ciclistas percorrem um circuito saindo 
todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o 
mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o 
segundo em 36 s e o terceiro em 30 s 
 
Os três ciclistas se reencontrarão no ponto de partida 
pela primeira vez em: 
 
a) 6 minutos 
b) 5 minutos 
c) 7 minutos 
d) 8 minutos 
e) 9 minutos 
48.(FIP) Os noivos Carlos e Maria são médicos 
plantonistas de um mesmo hospital, onde fizeram o 
primeiro plantão juntos no primeiro dia do ano de 2013. 
José realiza seu plantão a cada 8 dias, e Maria a cada 6 
dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. 
 
Dado: Ano = 365 dias 
 
Quantas vezes Carlos e Maria compareceram juntos nos 
plantões, até o dia 31 de dezembro de 2015? 
 
a) 46. 
b) 45. 
c) 38. 
d) 35. 
e) 44. 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) C 3) C 4) B 5) D 6) A 7) A 
8) D 9) D 10) D 11) C 12) D 13) B 14) E 
15) A 16) D 17) D 18) B 19) A 20) D 21) C 
22) D 23) B 24) D 25) D 26) E 27) 5 28) C 
29) A 30) C 31) A 32) E 33) D 34) D 35) D 
36) A 37) C 38) A 39) B 40) A 41) D 42) A 
43)B 44) C 45) B 46) A 47) A 48) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (UNIMONTES) O numeral na base três, que 
representa o número de pontos do quadro abaixo, é 
 
a) 123. 
b) 1203. 
c) 1023. 
d) 3203. 
 
 
 
 
 
02.( PAES / UNIMONTES ) Em 1962, através da Lei 
2615 de ( 11000 )2 de maio de 1962, foi criada a 
Fundação Norte-Mineira de Ensino Superior ( FUNM ) de 
cuja transformação resultou a Universidade Estadual de 
Montes Claros ( UNIMONTES ), de acordo com o artigo 
82, parágrafo 3º da Constituição Mineira de ( 10101 )2 de 
setembro de 1989. Ao digitar o texto acima, o digitador se 
distraiu e colocou o dia das duas datas na base 2. 
Escrevendo esses dias na base 10, encontramos 
respectivamente : 
A) 28 e 21 
B) 26 e 20 
C) 24 e 30 
D) 24 e 21 
 
 
 
03.(F.C.Chagas) Num sistema de numeração de base 4, 
faz-se a contagem do seguinte modo: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 
13, 20, 21, 22, 23, 30... 
O número 42 ( quarenta e dois ) no sistema de base 4 é 
composto de: 
A) 4 algarismos iguais. 
B) 3 algarismos iguais. 
C) 2 algarismos iguais. 
D) 3 algarismos distintos. 
E) 2 algarismos distintos. 
 
 
 
04.( Unimontes) A tábua da multiplicação abaixo está 
incompleta. 
 
 
 
05.(F.G.V) Qualquer número pode ser representado na 
base "2" como a soma de fatores que indicam 
potências crescentes de 2, da direita para esquerda, 
aparecendo o símbolo "1" se 2 elevado aquela 
potência está presente na composição de número e o 
símbolo "0" se 2 elevado aquela potência não está 
presente na composição do número. 
Por exemplo: O número 5 é representado por (101), 
pois 5 = 1.(22 ) + 0.( 21 ) + 1.( 20 ) 
O número 9 pode ser representado por (1001), pois 
9 = 1.( 23 ) + 0.( 22 ) + 0 .( 21 ) + 1.( 20 ) 
Utilizando os números a seguir, (10010)2 e (1010)2 
representados na base "2", somando-os e 
apresentando o resultado na base "2" teremos: 
A) (11000) 
B) (11100) 
C) (11011) 
D) (11101) 
E) (11111) 
 
 
 
06.(Escola Técnica Federal - RJ) Escrevendo o 
número 324 num sistema de base 3 obtemos: 
A) 110000 
B) 101110 
C) 122010 
D) 210010 
E) 112110 
 
 
 
07. ( PUC – MG ) Se A = 10023, B = 2214 e C = 
10012, o valor A + B – C, na base 6 é: 
A) 114 
B) 121 
C) 141 
D) 212 
E) 221 
 
 
 
 
 
14 
 
08.( CEFET – MG ) Seja x = ( 1001)
 2e y = ( 123 ) 8. O 
valor de ( x + y )
 16 é : 
A) 5C 
B) 5E 
C) 46 
D) 92 
E) 125 
 
 
09. ( UFLA – MG ) Dois números a e b, são 
representados em uma base x por 100 e 102, 
respectivamente. O produto a.b é representado na base 
5 por344. A base x é: 
A) 3 
B) 2 
C) 5 
D) 7 
E) 9 
 
 
10.(UNIMONTES) No sistema de numeração em base 5, a 
contagem é feita assim: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 
21, ... O número 69, na base 10, quando descrito em base 
5, é um número formado por 
A) 3 dígitos consecutivos. 
B) 2 dígitos consecutivos. 
C) 2 dígitos não consecutivos. 
D) 3 dígitos não consecutivos. 
 
 
 
11. (UNIMONTES) Um número de 3 dígitos tem, da 
esquerda para a direita, os dígitos h, t e u, sendo h >u. 
Quando o número com os dígitos em posição reversa é 
subtraído do número original, o dígito da unidade da 
diferença é 4. Então, os dois dígitos seguintes, da direita 
para a esquerda, são 
A) 9 e 5. 
B) 5 e 4. 
C) 5 e 9. 
D) 4 e 5. 
 
 
12. O computador trabalha convertendo pulsos elétricos 
em números binários onde cada conjunto binário de oito 
dígitos é chamado de BYTE e cada dígito desse número é 
chamado de BIT. Cada BYTE pode ser convertido para o 
sistema decimal e esse número corresponde a um 
caractere padronizado em uma tabela chamada de ASCII. 
Veja o exemplo abaixo: 
 
 
Quando o computador recebe o sinal elétrico acima, ele 
reconhece a letra “e” minúscula. 
De acordo com parte da tabela ASCII abaixo, o sinal 
elétrico indicado corresponde ao símbolo: 
 
A) Y 
B) Z 
C) [ 
D) \ 
E) ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. B 
2. D 
3. B 
4. B 
5. B 
6. A 
7. C 
8. A 
9. A 
10. A 
11. A 
12. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS, 
RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
01. ( PUC – MG) Em uma caixa há m pirulitos. Depois 
que a criança A retira 
7
2
 do total de pirulitos dessa caixa 
e a criança B retira 11 pirulitos, ainda restam na caixa, 
5
2
 de m. O valor de m é : 
A) 25 
B) 30 
C) 35 
D) 40 
 
 
02. ( Fatec – SP ) Se A = (–3)2 – 22, B = – 32 + (–2)2 e C 
= (–3 –2)2, então C + A × B é igual a 
a) –150 
b) –100 
c) 50 
d) 10 
e) 0 
 
 
03. ( Fuvest – SP ) Qual desses números é igual a 0,064 
? 
a) ( 1/80 )2 
b) ( 1/8 )2 
c) ( 2/5 )3 
d) ( 1/800 )2 
e) ( 8/10 )3 
 
 
04. ( UNIP ) Simplificando-se a expressão [(23)2]3, obtém-
se: 
a) 66 
b) 68 
c) 28 
d) 218 
e) 224 
 
 
05. ( UEL – PR ) Se x e y são números reais, então a 
única alternativa correta é: 
a) 
  yxyx 33 
 
b) (2x . 3y)2 = 22x . 32y 
c) (2x – 3x)y = 2xy – 3xy = –1xy 
d) 5x + 3x = 8x 
e) 3 . 2x = 6x 
 
 
06. ( PUC – MG ) O resultado da expressão {[29 : (2 . 22)3]–
3 } / 2 é: 
a) 1/5 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
 
07. ( CFTCE ) O valor da expressão [(0, 5)2]8.
32
64
1















 como uma só potência de 2 é: 
a) 2 16 
b) 2 18 
c) 2 20 
d) 2 22 
e) 2 24 
 
 
08. ( UFJF ) A soma 3.103 + 3.100 + 3.10– 1 é igual a: 
A) 303,3 
B) 27000.
30
1
 
C)3001,01 
D) 3001,3 
E) 3003,3 
 
 
09. ( Fuvest – SP ) O valor de ( 0,2 )3 + ( 0,16 )2é 
A) 0,0264 
B) 0,0336 
C) 0,1056 
D) 0,2568 
E) 0,6256 
 
 
10. ( PUC – RJ ) O maior número a seguir é: 
a) 3 31 
b) 8 10 
c)16 8 
d) 81 6 
e) 243 4 
 
 
11. ( UFG – GO ) O número 
2818 
 é igual a: 
A) 
8
 
B) 4 
C) 
618 
 
D) 
210 
 
E) 0 
 
12. ( Unaerp – SP ) O valor da expressão 
d
cba .. 23
, 
quando 
2
1
a 
, b = – 2, c = 4 e d = – 8 é : 
A) – 8 
B) – 4 
C) – 2 
D) – 1/4 
 
 
16 
 
E) – 1/8 
 
 
13. ( Izabela Hendrix – BH ) Se 2k = x e 2t = y, então 22k 
+ 3té : 
A) 2x + 3y 
B) x.y 
C) x + y 
D) x2. y3 
E) x3. y2 
 
 
14. ( PUC – MG ) O produto 21,2222.... 20,133333...é igual a : 
A) 51 922. 
B) 49 1122. 
C) 45 1622. 
D) 
30 22.
 
E) 25 1222. 
 
 
15. ( PUC – SP ) O valor da expressão 
   3 22 231212 
 é: 
A) 232 
B) 323 
C) 216 
D) 213 
E) 612 
 
 
16. (USP) Sela 
b
a
 a fração geratriz da dízima 0,1222... 
com a e b primos entre si. Nestas condições, temos: 
A) ab = 990 
B) ab = 900 
C) a – b = 8 
D) a + b = 110 
E) b – a = 79 
 
 
17. (UFMG) Efetuando as operações indicadas na 
expressão 
    04,014,012,001,0
3
1 2

 obtemos: 
A) 0,220 
B) 0,226 
C) 0,296 
D) 0,560 
E) 0,650 
 
 
18. (UFMG) O valor de 10–2 . [(–3)2 – (–2)3] 
3 001,0
 
é: 
A) –17 
B) – 1,7 
C) – 0,1 
D) 0,1 
E) 1,7 
 
19. (FUVEST) O valor da expressão 
12
22


 é: 
A) 
2
 
B) 
2
1
 
C) 2 
D) 
2
1
 
E) 
12 
 
 
 
20. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão 
23
2
23
1



 obteremos: 
 
A) 
22
 
B) 
323 
 
C) 
3222 
 
D) 
322 
 
E) 
232 
 
 
 
21.(Bombeiros-MG) Considere os números reais a, b 
e c tais que :
 0
a
b
 e 0
b
c
,cba 
 Nessas 
condições podemos afirmar que: 
 
 
22. (Bombeiros-MG) Sejam p e q dois números 
primos. Sabe-se que a soma dos divisores naturais de 
p2 é 133, e que a soma dos divisores naturais de 2q é 
18. O valor de p + q é 
A) 10 
B) 7 
C) 18 
D) 16 
 
23. (G1 - ifsp) Um pesquisador tem à disposição 
quatro frascos com a mesma substância. No frasco I, 
há um quarto de litro dessa substância; no frasco II, há 
um quinto de litro dessa substância; no III, há um oitavo 
de litro dessa substância; e no frasco IV há um décimo 
 
 
17 
 
de litro da substância. Se ele utilizar os dois frascos que 
mais contêm dessa substância, ele terá utilizado, ao todo: 
a) dois nonos de litro. 
b) dois dezoito avos de litro. 
c) nove vinte avos de litro. 
d) nove quarenta avos de litro. 
e) um nono de litro. 
 
24. (Uece) Dados os números racionais 
3
,
7
 
5
,
6
 
4
9
 e 
3
,
5
 a 
divisão do menor deles pelo maior é igual a 
a) 
27
.
28
 
b) 
18
.
25
 
c) 
18
.
35
 
d) 
20
.
27
 
 
25. (G1 - cp2) Veja a lista de meses e seus respectivos 
códigos: 
 
Janeiro: 
7.1.10
 
Fevereiro: 
9.2.6
 
Março: 
5.3.13
 
Abril: 
5.4.1
 
Maio: 
4.5.13
 
Junho: 
5.6.10
 
Julho: 
5.7.10
 
 
Qual é o código para o mês de Agosto? 
a) 
8.6.1
 
b) 
6.7.10
 
c) 
5.8.10
 
d) 
6.8.1
 
 
26. (Uerj) O segmento 
XY,
 indicado na reta numérica 
abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes 
pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I. 
 
 
 
Admita que 
X
 e 
Y
 representem, respectivamente, os 
números 
1
6
 e 
3
.
2
 
O ponto 
D
 representa o seguinte número: 
a) 
1
5
 
b) 
8
15
 
c) 
17
30
 
d) 
7
10
 
 
27. (Enem) Deseja-se comprar lentes para óculos. As 
lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis 
da medida 
3 mm.
 No estoque de uma loja, há lentes de 
espessuras: 
3,10 mm;
 
3,021mm;
 
2,96 mm;
 
2,099 mm
 
e 
3,07 mm.
 
 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura 
escolhida será, em milímetros, de 
a) 
2,099.
 
b) 
2,96.
 
c) 
3,021.
 
d) 
3,07.
 
e) 
3,10.
 
 
 
28. (Fgv) A raiz quadrada da diferença entre a dízima 
periódica 
0,444...
 e o decimal de representação finita 
10 vezes
0,444...4
64 7 48
 é igual a 
1
 dividido por 
a) 
90.000.
 
b) 
120.000.
 
c) 
150.000.
 
d) 
160.000.
 
e) 
220.000.
 
 
 
29. (G1 - cftmg) Um grupo de alunos cria um jogo de 
cartas, em que cada uma apresenta uma operação 
com números racionais. O ganhador é aquele que 
obtiver um número inteiro como resultado da soma de 
suas cartas. Quatro jovens ao jogar receberam as 
seguintes cartas: 
 
 1ª carta 2ª carta 
Maria 
41,333...
5

 
71,2
3

 
Selton 
10,222...
5

 
10,3
6

 
Tadeu 
31,111...
10

 
81,7
9

 
Valentina 
70,666...
2

 
10,1
2

 
 
O vencedor do jogo foi 
a) Maria. 
b) Selton. 
c) Tadeu. 
d) Valentina. 
 
 
18 
 
 
30. (Fuvest) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem 
uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros 
dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 
1.000.001
 
dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a 
zero. 
Considere as seguintes afirmações: 
 
I. x é irracional. 
II. 
10
x
3

 
III. 
2.000.000x 10
 é um inteiro par. 
 
Então, 
a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. 
b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
c) apenas a afirmação I é verdadeira. 
d) apenas a afirmação II é verdadeira. 
e) apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
31. (G1 - cp2) Operações realizadas com os números 
internos da figura resultam no número que aparece no 
centro. Este número também é obtido com operações 
realizadas com os números externos. Qual o número que 
substitui corretamente a interrogação? 
 
 
 
32. (G1 - cftrj) Qual é o valor da expressão numérica 
1 1 1 1
5 50 500 5000
  
? 
a) 0,2222 
b) 0,2323 
c) 0,2332 
d) 0,3222 
 
GABARITO 
 
1) C 
2) E 
3) C 
4) D 
5) B 
6) D 
7) C 
8) E 
9) B 
10) A 
11) E 
12) A 
13) D 
14) C 
15) E 
16) E 
17) A 
18) B 
19) A 
20) B 
21) C 
22) D 
23) C 
24) C 
25) D 
26) D 
27) C 
28) C 
29) C 
30) E 
31) 36 
32) A 
 
 
 
 
19 
 
MATEMÁTICA COMERCIAL 
 
QUESTÕES 
01.(Enem )No depósito de uma biblioteca há caixas 
contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em 
cada uma delas estão anotadas 10 títulos de livros 
diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma 
torre vertical de 1 m de altura. 
Qual a representação, em potência de 10, correspondente 
à quantidade de títulos de livros registrados nesse 
empilhamento? 
A) 102 
B) 104 
C) 105 
D) 106 
E) 107 
 
02.(ENEM) Os calendários usados pelos diferentes povos 
da terra são muito variados. O calendário islâmico, por 
exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a 
fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de Vênus, 
com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus 
corresponde a 8 anos de 365 dias da terra. 
MATSSURA, Oscar. Calendário e o fluxo do tempo. 
Scientific American Brasil. Disponível em: 
http://www.uol.com.br Acesso em: 14 out. 2008 (adaptado) 
 Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre 
de 48 anos? 
(A) 30 ciclos. 
(B) 40 ciclos.(C) 73 ciclos. 
(D) 240 ciclos. 
(E) 384 ciclos. 
 
 
03(ENEM) Pneus usados geralmente são descartados de 
forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e 
roedores e provocando sérios problemas de saúde 
pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam 
descartados 20 milhões de pneus usados. Como 
alternativa para dar uma destinação final a esses pneus, a 
Petrobras, em sua unidade de São Mateus do Sul, no 
Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de 
combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse 
procedimento permite, a partir de uma tonelada de pneu, 
um rendimento de cerca de 530 kg de óleo. 
Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. Acesso 
em 3 out. 2008 (adaptado) 
Considerando que uma tonelada corresponde, em média, 
a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados 
anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de 
combustível pela mistura com xisto, seriam então 
produzidas 
(A) 5,3 mil toneladas de óleo. 
(B) 53 mil toneladas de óleo. 
(C) 530 mil toneladas de óleo. 
(D) 5,3 milhões de toneladas de óleo. 
(E) 530 milhões de toneladas de óleo. 
 
04.(ENEM) No monte do Cerro Amazones, no deserto 
do Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da 
superfície terrestre, o Telescópio Europeu 
Extremamente Grande (E – ELT). O E–ELT terá um 
espelho primário de 42m de diâmetro, “O maior olho 
do mundo voltado para o céu”. 
Ao ler o texto em sala de aula, a professora fez uma 
suposição de que o diâmetro do olho humano mede 
aproximadamente 2,1cm. 
Qual a razão entre o diâmetro do olho humano, e o 
diâmetro do espelho primário do telescópio citado? 
a) 1:20; 
b) 1:100; 
c) 1:200; 
d) 1:1000; 
e) 1:2000. 
 
05.(PUC-MG) Um caminhão pode carregar 52 sacos de 
areia ou 416 tijolos. Se forem colocados no caminhão 
30 sacos de areia, o número de tijolos que ele ainda 
pode carregar é: 
A) 144 B) 156 
C) 176 D) 194 
 
 
06.(Unimontes)Um artesão faz um trabalho em 10 
dias. O mesmo trabalho é feito por outro artesão em 15 
dias. Se os dois trabalhassem juntos, quantos dias 
gastariam para fazer o trabalho? 
A) 6 dias. B) 5 dias. 
C) 12 dias e 12 horas. D) 9 dias. 
 
07. (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são 
3cm, 20mm e 0,07m. O volume dessa caixa, em 
mililitros, é 
A) 0,42 B) 4,2 C) 42 
D) 420 E) 4200 
 
08. (UFOP) Na planta de uma casa, escala 1:100, a 
área de uma sala retangular, com dimensões de 5 m 
por 6 m, é: 
A) 0,3 cm2 
B) 3 cm2 
C) 15 cm2 
D) 30 cm2 
E) 150 cm2 
 
09.(UFMG) Na maqueta de um prédio, feita na escala 
1:1000, a piscina com a forma de um cilindro circular 
reto, tem a capacidade de 0,6 cm3. O volume, em litros, 
dessa piscina será: 
A) 600 
B) 6.000 
C) 60.000 
D) 600.000 
E) 6.000.000 
 
 
 
 
20 
 
10.(PUC) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 
crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas 
crianças podem ainda entrar ? 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
 
 
11.(ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de 
uma aeronave que será fabricada para utilização por 
companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa 
fazer o desenho desse avião em escala de 1:150. 
 
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de 
papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às 
bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter? 
A) 2,9 cm × 3,4 cm. 
B) 3,9 cm × 4,4 cm. 
C) 20 cm × 25 cm. 
D) 21 cm × 26 cm. 
E) 192 cm × 242 cm. 
 
12.Se dois carteiros, de igual capacidade de produção, 
entregam uma certa quantidade de cartas em 5 horas, em 
quanto tempo três carteiros, de mesma capacidade de 
produção que os anteriores, entregarão a mesma 
quantidade de cartas? 
A. 3h 40min 
B. 3h 33min 
C. 3h 20min 
D. 3h 10min 
E. 3h 
 
 
13. (UFMG) Se, para encher um tanque, uma torneira A 
gasta 3 h, e outra, B, gasta 7 horas, ambas abertas ao 
mesmo tempo levam: 
A) 1 h 50 min. 
B) 2 h 06 min 
C) 2 h 10 min 
D) 2 h 20 min 
E) 2 h 30 min 
 
14. (UFMG) Dois operários, juntos, realizam uma tarefa 
em 5 horas. Sabendo que, trabalhando isoladamente. o 
primeiro gasta a metade do tempo do segundo. 
concluímos que o primeiro operário, sozinho, realiza a 
tarefa em 
A) 6 h 40 min 
B) 7 h 10 min 
C) 7 h 50 min 
D) 7 h 30 min 
E) 8 h 10 min 
 
 
15. (CESGRANRIO) Uma torneira enche um tanque 
em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 
horas. Estando o tanque cheio, abrimos, 
simultaneamente a torneira e o ralo. Então o tanque, 
nunca se esvazia. 
A) esvazia-se em 1 hora. 
B) esvazia-se em 4 horas. 
C) esvazia-se em 7 horas. 
D) esvazia-se em 12 horas. 
 
 
16. ( UFT – TO ) Em uma fazenda produtora de soja 
duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a 
colheita da produção. Quando trabalham juntas 
conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, 
utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se 
o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a 
colheita será feita em: 
a) 180 horas 
b) 165 horas 
c) 157 horas 
d) 192 horas 
 
 
17. Uma verba de R$ 2.700.000,00 deve ser dividida 
entre os municípios A, B e C em partes proporcionais 
ao número de matrículas no Ensino Fundamental de 
cada um deles. O número de alunos matriculados de A 
é o dobro do número de alunos matriculados de B 
que, por sua vez, tem o triplo do número de matrículas 
de C. Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que o município A deverá receber, em milhares de 
reais, uma quantia igual a: 
a) 270 
b) 810 
c) 1270 
d) 1620 
 
18. Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois 
sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José, 
resolveram construir, na saída da mina, uma caixa de 
água coberta e vão dividir as despesas entre si, em 
partes inversamente proporcionais às distâncias de 
suas casas em relação à mina. Se as despesas 
totalizarem R$ 5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e 
do Sr. José distam, respectivamente, 5 km e 3 km 
da mina, então a parte da despesa que caberá ao Sr. 
 
 
21 
 
Edson é 
a) R$ 1.900,00 
b) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.200,00 
d) R$ 3.100,00 
e) R$ 3.500,00 
 
19. ( UNICAMP – SP ) Uma obra será executada por 13 
operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando 
durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por 
dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários 
adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários 
restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual 
deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários 
restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no 
prazo previsto? 
a) 7h 42 
b) 7h 44 
c) 7h 46 
d) 7h 48 
e) 7h 50 
 
20.Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de 
álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 
75% de gasolina e de 25% de álcool, composição 
adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo 
brasileiro acenou para uma possível redução, nessa 
mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 
20%. Suponha que o número de quilômetros que esse 
carro percorre com um litro dessa mistura varia 
linearmente de acordo com a proporção de álcool 
utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado 
um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse 
carro percorrerá um total de 
A) 11,20 km . 
B) 11,35 km . 
C) 11,50 km . 
D) 11,60 km . 
 
21. (CTSP) O valor de √9% é: 
A) 30% 
B) 30 
C) 3 
D) 3% 
 
 
22. ( MACK – 2001 ) Numa festa, a razão entre o número 
de moças e o de rapazes é 
12
13
. A porcentagem de 
rapazes na festa é : 
a) 44% 
b) 45% 
c) 40% 
d) 48%e) 46% 
 
 
23. ( Fuvest – SP ) O quadrado de 6%, a raiz quadrada 
positiva de 49% e 4% de 180 valem, respectivamente : 
A) 36% ; 7% ; 7,2 
B) 0,36% ; 70% ; 7,2 
C) 0,36% ; 7% ; 72 
D) 36% ; 70% ; 72 
E) 3,6% ; 7% ; 7,2 
 
 
24(FIP).O Sr. Jair, proprietário de uma gráfica na 
cidade de Montes Claros, possui duas impressoras de 
modelos diferentes, utilizadas para a impressão de 
panfletos, mantendo cada qual sua velocidade de 
produção constante. Ao iniciar um serviço que lhe foi 
encomendado, percebeu que uma das máquinas não 
está funcionando. Para a realização desse serviço, as 
duas máquinas trabalhando juntas conseguem realizá-
lo em 2 horas e 40 minutos, e a máquina que quebrou, 
funcionando sozinha, mantendo sua velocidade 
constante, realizaria um terço do trabalho 
encomendado em 1 hora e 20 minutos. 
 
Utilizando apenas a máquina que não está quebrada, 
mantendo sua velocidade de produção constante, o 
serviço ficará pronto em 
 
a) 8 horas. 
b) 6 horas. 
c) 7 horas. 
d) 4 horas. 
e) 5 horas. 
 
25(FIP).As famílias Kent, Stark e Wayne realizaram 
uma viagem juntas, cada uma em seu carro. Cada 
família sabe muito bem o quanto o seu carro consome 
de gasolina. O quadro a seguir mostra o carro de cada 
uma das famílias, com os respectivos consumos 
médios. 
 
Nessa viagem, eles sempre pagaram a gasolina com o 
mesmo cartão de crédito. Ao final, eles perceberam 
que consumiram 1 200 litros de gasolina e gastaram 3 
mil reais com esses abastecimentos. Decidiram dividir 
a despesa de forma proporcional ao que cada família 
consumiu. 
 
Quanto deverá pagar a família Stark ? 
 
a) R$ 1 000,00 
b) R$ 750,00 
c) R$ 1 050,00 
d) R$ 1 250,00 
e) R$ 1 800,00 
 
26(FIP). O gerente de uma academia de dança faz uma 
promoção para aumentar o número de frequentadores, 
 
 
22 
 
tanto do sexo masculino quanto do feminino. Com a 
promoção, o número de frequentadores do sexo masculino 
aumentou de 80 para 126 e, apesar disso, o percentual da 
participação de homens caiu de 40% para 28%. 
 
O número de mulheres que frequentam essa academia, 
após a promoção, teve um aumento de: 
 
a) 170% 
b) 70% 
c) 200% 
d) 112% 
e) 240% 
 
 
27(FIP). Atualmente, a concentração do álcool na gasolina 
brasileira, segundo o Conselho Nacional de Petróleo, é de 
30%. Um posto de gasolina, após uma fiscalização, foi 
interditado, pois a gasolina possuía concentração de 40% 
de álcool. Havia, nesse posto, um estoque de 60.000 litros 
dessa gasolina adulterada. O órgão exigiu que fosse 
adicionado gasolina pura nessa mistura, a fim de ficar de 
acordo com a legislação. 
 
O número de litros de gasolina pura que deve ser 
adicionado é: 
 
a) 20 000. 
b) 16 000. 
c) 25 000. 
d) 24 000. 
e) 18 000. 
 
28(FIP). Hércules é síndico de um edifício que possui 4 
andares, com 4 apartamentos por andar, sendo que em 
cada andar 2 apartamentos possuem 60 m2, e 2 possuem 
80 m2.. O gasto mensal com a administração do edifício é 
de R$ 6.720,00. Em uma assembleia, ficou decidido que o 
valor do condomínio seria proporcional à área do 
apartamento. 
 
Um apartamento de 60 m2 deve pagar uma cota de: 
 
a) R$ 360,00. 
b) R$ 720,00. 
c) R$ 480,00. 
d) R$ 420,00. 
e) R$ 300,00. 
 
29. (Unicamp) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a 
previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo 
o Plano Nacional de Energia. 
 
 
 
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do 
país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas 
equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever 
que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada 
em cinza na figura, equivalerá a 
a) 178,240 milhões de tep. 
b) 297,995 milhões de tep. 
c) 353,138 milhões de tep. 
d) 259,562 milhões de tep. 
 
30. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Suponha que, em 
certo país, observou-se que o número de exames por 
imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo 
os termos de uma progressão aritmética de razão 6, 
chegando a 
94 milhões / ano,
 ao final de 10 anos. 
Nessas condições, o aumento percentual do número de 
tais exames, desde o ano da observação até ao final do 
período considerado, foi de 
a) 
130%.
 
b) 
135%.
 
c) 
136%.
 
d) 
138%.
 
 
31. (Unesp) Em um terreno retangular 
ABCD,
 de 
220 m ,
 serão construídos um deque e um lago, ambos 
de superfícies retangulares de mesma largura, com as 
medidas indicadas na figura. O projeto de construção 
ainda prevê o plantio de grama na área restante, que 
corresponde a 
48%
 do terreno. 
 
 
 
23 
 
 
 
No projeto descrito, a área da superfície do lago, em 
2m ,
 
será igual a 
a) 
4,1.
 
b) 
4,2.
 
c) 
3,9.
 
d) 
4,0.
 
e) 
3,8.
 
 
32. (G1 - cftmg) Em uma empresa, 
10
 funcionários 
produzem 
150
 peças em 
30
 dias úteis. O número de 
funcionários que a empresa vai precisar para produzir 
200
 peças, em 
20
 dias úteis, é igual a 
a) 
18.
 
b) 
20.
 
c) 
22.
 
d) 
24.
 
 
33. (G1 - cp2) Em tempos de escassez de água, toda 
medida de economia é bem vinda. Num banho de 
15
 
minutos com chuveiro aberto são gastos cerca de 
135
 
litros de água. Daniel resolveu reduzir seu banho para 
9
 
minutos, obtendo assim uma economia de água a cada 
banho. 
 
Se Daniel tomar apenas um banho por dia, em um mês ele 
terá economizado (considere 
1
 mês como tendo 
30
 dias) 
a) 
1620
 litros. 
b) 
2510
 litros. 
c) 
5700
 litros. 
d) 
3250
 litros. 
 
34. (G1 - ifpe) Um aluno do curso de Mecânica, do IFPE, 
recebeu o desenho de uma peça, fez as devidas medições 
e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da 
peça no desenho tinha 
1,5 mm
 e a largura da peça já 
fabricada tinha 
45 cm,
 qual a escala do desenho? 
a) 
1: 3
 
b) 
1: 30
 
c) 
1: 300
 
d) 
1: 3.000
 
e) 
1: 30.000
 
 
35. (G1 - ifsp) Em março de 2015, na Síria, de acordo 
com informações divulgadas pela Organização das 
Nações Unidas (ONU), 
4
 em cada 
5
 sírios viviam na 
pobreza e miséria. Sendo assim, a razão entre o 
número de habitantes que viviam na pobreza e miséria 
e o número de habitantes que não viviam na pobreza e 
miséria, naquele país, em março de 2015, podia ser 
representada pela fração: 
a) 
4
.
5
 
b) 
4
.
1
 
c) 
1
.
4
 
d) 
1
.
5
 
e) 
4
.
9
 
 
36. (G1 - cftmg) Numa fábrica de peças de automóvel, 
200
 funcionários trabalhando 
8
 horas por dia 
produzem, juntos, 
5.000
 peças por dia. Devido à crise, 
essa fábrica demitiu 
80
 desses funcionários e a 
jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 
6
 
horas diárias. 
 
Nessas condições, o número de peças produzidas por 
dia passou a ser de 
a) 
1.666.
 
b) 
2.250.
 
c) 
3.000.
 
d) 
3.750.
 
 
37. (G1 - cp2) A latinha de alumínio é o material mais 
reciclado nas grandes cidades. Um quilograma de 
latinhas é formado, em média, por 
75
 latinhas. 
 
 
 
Considerando que o quilograma de latinhas pode ser 
vendido por 
R$ 4,50
 e sabendo que o salário mínimo 
 
 
24 
 
nacional tem um valor diário de aproximadamente 
R$ 27,00,
 então o número necessário de latinhas 
vendidas, por dia, para se atingir esse valor é de 
a) 
225.
 
b) 
450.
 
c) 
500.
 
d) 
1250.
 
 
38. (G1 - ifsc) Em um determinado local e horário do dia, 
Márcio observou que sua sombra era de 1 metroe que a 
sombra projetada por um prédio em construção, no 
mesmo local e horário em que ele estava, era de 10 
metros. 
 
 
 
Sabendo-se que Márcio tem 
1,62 m
 de altura, é 
CORRETO afirmar que a altura desse prédio é de, 
aproximadamente, 
a) 
6,2
 metros. 
b) 
8,1
 metros. 
c) 
16,2
 metros. 
d) 
14
 metros. 
e) 
13,8
 metros. 
 
39. (Enem) Uma pessoa compra semanalmente, numa 
mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto 
que custa 
R$10,00
 a unidade. Como já sabe quanto deve 
gastar, leva sempre 
R$6,00
 a mais do que a quantia 
necessária para comprar tal quantidade, para o caso de 
eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar 
à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia 
aumentado 
20%.
 Devido a esse reajuste, concluiu que o 
dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas 
unidades a menos em relação à quantidade habitualmente 
comprada. 
 
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para 
fazer a compra era 
a) 
R$166,00.
 
b) 
R$156,00.
 
c) 
R$84,00.
 
d) 
R$46,00.
 
e) 
R$24,00.
 
 
 
GABARITO 
1. C 
2. A 
3. B 
4. E 
5. C 
6. A 
7. C 
8. D 
9. D 
10. B 
11. D 
12. C 
13. D 
14. B 
15. D 
16. A 
17. D 
18. B 
19. D 
20. A 
21. A 
22. D 
23. B 
24. A 
25. A 
26. A 
27. A 
28. A 
29. D 
30. B 
31. D 
32. B 
33. A 
34. C 
35. B 
36. B 
37. B 
38. C 
39. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
CÁLCULO ALGÉBRICO 
 
EXPRESSÃO ALGÉBRICA E EQUAÇÕES 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.(Upf 2015) Um grupo de amigos planejou fazer um 
“pão com linguiça” (PL) para comemorar o aniversário de 
um deles. Cada participante deveria contribuir com 
R$ 11,00.
 No dia marcado, entretanto, 
3
 desses amigos 
tiveram um imprevisto e não puderam comparecer. Para 
cobrir as despesas, cada um dos que compareceram 
contribuiu com 
R$ 14,00,
 e, do valor total arrecadado, 
sobraram 
R$ 3,00
 (que mais tarde foram divididos entre 
os que pagaram). Quantas pessoas compareceram à 
festa? 
 
a) 
10
 
b) 
11
 
c) 
12
 
d) 
13
 
e) 
15
 
 
02. (Unifor 2014) Uma indústria de cimento contrata uma 
transportadora de caminhões para fazer a entrega de 60 
toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a 
problemas operacionais diversos, em certo dia, cada 
caminhão foi carregado com 
500 kg
 a menos que o usual, 
fazendo com que a transportadora nesse dia contratasse 
mais 4 caminhões para cumprir o contrato. Baseado nos 
dados acima se pode afirmar que o número de caminhões 
usado naquele dia foi: 
a) 
24
 
b) 
25
 
c) 
26
 
d) 
27
 
e) 
28
 
 
03.(Espm 2012) Se três empadas mais sete coxinhas 
custaram R$ 22,78 e duas empadas mais oito coxinhas 
custaram R$ 20,22, o valor de uma empada mais três 
coxinhas será: 
a) R$ 8,60 
b) R$ 7,80 
c) R$ 10,40 
d) R$ 5,40 
e) R$ 13,00 
 
04. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As idades de dois irmãos 
hoje são números inteiros e consecutivos. 
Daqui a 
4
 anos, a diferença entre as idades deles será 
1
10
 da idade do mais velho. 
A soma das idades desses irmãos, hoje, é um número 
a) primo. 
b) que divide 
100
 
c) múltiplo de 
3
 
d) divisor de 
5
 
 
05. (G1 - utfpr 2015) A soma de dois números é 
64,
 
se um é o triplo do outro a diferença entre os dois é: 
a) 
16.
 
b) 
25.
 
c) 
27.
 
d) 
31.
 
e) 
32.
 
 
06.(G1 - cftce 2005) De um recipiente cheio de água, 
tira-se 2/3 de seu conteúdo; recolocando-se 30 litros de 
água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume 
inicial. A capacidade do recipiente é ____ litros: 
a) 45 
b) 75 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
07. (Uece 2016) Num certo instante, uma caixa-d’água 
está com um volume de líquido correspondente a um 
terço de sua capacidade total. Ao retirarmos 
80
 litros 
de água, o volume de água restante na caixa 
corresponde a um quarto de sua capacidade total. 
Nesse instante, o volume de água, em litros, 
necessário para encher totalmente a caixa-d’água é 
a) 
720.
 
b) 
740.
 
c) 
700.
 
d) 760. 
 
08. (Fuvest) Um empreiteiro contratou um serviço com 
um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 
a serem igualmente divididos entre eles. Como três 
desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido 
igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro 
pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o 
serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo 
original. 
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? 
 
 
 
 
 
b) Quanto recebeu cada um deles? 
 
 
 
 
 
 
09. (Fuvest 1989) Um açougue vende dois tipos de 
carne: de 1a a Cz$ 1.200,00 o quilo e de 2a a Cz$ 
1.000,00 o quilo. Se um cliente pagou Cz$ 1.050,00 por 
 
 
26 
 
um quilo de carne, então necessariamente ele comprou 
a) 300 g de carne de 1a 
b) 400 g de carne de 1a 
c) 600 g de carne de 1a 
d) 350 g de carne de 1a 
e) 250 g de carne de 1a 
 
 
10. (G1 - ifsul 2015) Um móvel de 
R$ 360, 00
 deveria ser 
comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em 
partes iguais. Como 
4
 deles desistiram, os outros 
precisaram aumentar a sua participação em 
R$ 15, 00
 
cada um. 
 
Qual era a quantidade inicial de rapazes? 
a) 
8
 
b) 
12
 
c) 
15
 
d) 
20
 
 
 
11. (Unioeste 2012) Um quintal tem a forma de um 
retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo 
da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à 
sua área em metros quadrados. Neste caso, quanto mede 
o maior lado do quintal? 
a) 3 m. 
b) 4 m. 
c) 8 m. 
d) 6 m. 
e) 18 m. 
 
 
12. (UFSJ)Deseja-se dividir igualmente 1.200 reais entre 
algumas pessoas. Se três dessas pessoas desistirem de 
suas partes, fazem com que cada uma das demais 
receba, além do que receberia normalmente, um adicional 
de 90 reais. Nessas circunstâncias, é CORRETO afirmar 
que 
a) se apenas duas pessoas desistissem do dinheiro, cada 
uma das demais receberia 60 reais. 
b) com a desistência das três pessoas, cada uma das 
demais recebeu 150 reais. 
c) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre oito pessoas. 
d) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre cinco 
pessoas. 
 
 
13. (Enem) Um dos grandes problemas enfrentados nas 
rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada 
pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro 
dos limites legais de carga, o piso das estradas se 
deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além 
disso, o excesso de carga interfere na capacidade de 
frenagem e no funcionamento da suspensão do 
veículo, causas frequentes de acidentes. 
Ciente dessa responsabilidade e com base na 
experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro 
sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 
1500 telhas ou 1200 tijolos. 
 
Considerando esse caminhão carregado com 900 
telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser 
acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a 
carga máxima do caminhão? 
a) 300 tijolos 
b) 360 tijolos 
c) 400 tijolos 
d) 480 tijolos 
e) 600 tijolos 
 
14. (Enem) O Salto Triplo é uma modalidade do 
atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, 
uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o 
salto com impulsão em um só pé será feito de modo 
que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a 
impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual 
o salto é realizado. 
 
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de 
estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo 
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, 
do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 
1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova 
e considerando os seus estudos, a distância alcançada 
no primeiro salto teria de estar entre 
a) 4,0 m e 5,0 m. 
b) 5,0 m e 6,0 m. 
c) 6,0 m e 7,0 m. 
d) 7,0 m e 8,0 m. 
e) 8,0 m e 9,0 m. 
 
15. (G1 - utfpr) Renata apresentou a sua amiga a 
seguinte charada: “Um número x cujo quadrado 
aumentado do seu dobro é igual a 15”. Qual é a 
resposta correta desta charada? 
a) x = 3 ou x = 5. 
b) x = –3 ou x = –5. 
c) x = –3 ou x = 5. 
d) x = 3 ou x = –5. 
e) apenas x = 3. 
 
16. (Enem) Uma escola recebeu do governo uma 
verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos 
pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de 
selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o 
primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 
 
 
27 
 
enquanto para folhetos do segundo tipo seriam 
necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e 
um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem 
selos de modo que fossem postados exatamente 500 
folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de 
selos que permitisse o envio do máximo possível de 
folhetos do primeiro tipo. 
 
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? 
a) 476 
b) 675 
c) 923 
d) 965 
e) 1 538 
 
17. (G1 - utfpr) O(s) valor(es) de m para que a equação 
2x mx 3 0  
 tenha apenas uma raiz real é(são): 
a) 0. 
b) 
4.
 
c) 12. 
d) 
2 3.
 
e) inexistente para satisfazer esta condição. 
 
18. (G1 - ifsc) Num mundo cada vez mais matematizado, 
é importante diagnosticar, equacionar e resolver 
problemas. Dada a equação 2(x + 5) – 3(5 – x) = 10, é 
CORRETO afirmar que o valor de x nessa equação é: 
a) Um múltiplo de nove. 
b) Um número inteiro negativo. 
c) Um número par. 
d) Um número composto. 
e) Um número natural. 
 
19. (Espm) Se as raízes da equação 22x 5x 4 0   são 
m
 e 
n,
 o valor de 
1 1
m n

 é igual a: 
a) 
5
4

 
b) 
3
2

 
c) 
3
4
 
d) 
7
4
 
e) 
5
2
 
 
20. (G1 - utfpr) Fulano vai expor seu trabalho em uma 
feira e recebeu a informação de que seu estande deve 
ocupar uma área retangular de 
212 m
 e perímetro igual a 
14 m.
 Determine, em metros, a diferença entre as 
dimensões que o estande deve ter. 
a) 2. 
b) 1,5. 
c) 3. 
d) 2,5. 
e) 1. 
 
 
 
GABARITO 
1. C 
2. A 
3. A 
4. A 
5. E 
6. E 
7. A 
8. A) 6 B) 1800 
9. E 
10. B 
11. C 
12. C 
13. D 
14. D 
15. D 
16. C 
17. D 
18. E 
19. A 
20. E 
 
 
 
28 
 
FATORAÇÃO 
 
01.( UC – MG ) A expressão 
2345
23
ba3ba6a3
baa


 
equivale a : 
A) 
ba3
a

 
B) 
 ba3
a

 
C) 
 ba3
1

 
D) 
 baa3
1

 
E) 
 baa3
1

 
 
 
02. ( Mack – SP ) Uma expressão equivalente a 
22
3223
xyyx
xyyx2yx


 é: 
A) x + y 
B) x – y 
C) x.y 
D) 
y
x
 
E) 
yx
yx
.

 
 
03. ( U. São Francisco ) O valor numérico da expressão 
   yx
yxy2x
yx
yx 22
2
22





 para x = 17,25 e y = 10,75, é 
igual a: 
A) 23,25 
B) 25,75 
C) 26,25 
D) 28,00 
E) 32,25 
 
04. (CTSP) O resultado da operação :
22
66
yxyx
yx


 para 
x = 5 e y = 3 é igual a: 
A) 304 
B) 268 
C) 125 
D) 149 
 
05. (CTSP) Sabendo que 
a
1b3a 22 
 , então a expressão 
( a + b )³ + ( a – b )³ é igual a : 
A) 1 
B) 2 
C) 2a² 
D) a 
 
06. (CTSP) Simplificando a expressão 
yz2xz2xy2zyx
xy2zyx
222
222


 
obtemos: 
A) 
2
z2yx2 
 
B) 
zy
xz2y2


 
C) 2x – z + y 
D) 
zyx
zyx


 
 
07. Se m  IN, o valor do quociente 
1m
1m3m
25
22




 
A) 1 
B) 2 
C) 4 
D) 8 
E) um valor que depende de m 
 
 
08. ( UFMG ) ( a–1 + b–1)–2 é igual a 
A) 
 2ba
ab

 
B) 
 222 ba
ab

 
C) a2 + b2 
D) 
 2
22
ba
ba

 
 
09.(UFOP) Simplificando a expressão 
22
22
y3xy4x
ayax


 
para x ≠ y, obtém-se 
A) 
y3x
yxa

 )(
 
B) 
y3x
yx


 
C) 
y3x
yxa

 )(
 
D) 
y3x
yx

 )(
 
 
10. (UFMG) Sejam x e y números reais não-nulos tais 
que 
2
x
y
y
x 2
2 
 . Então é correto afirmar que: 
A) x2 – y = 0 
B) x + y2 = 0 
C) x2 + y = 0 
D) x – y2 = 0 
 
 
29 
 
 
11. (Espm) O valor da expressão 
2 2
x y y x 6
:
x y x y x y
  
 
   
 
para x = 24 e y = 0,125 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
12. (G1 - utfpr) Simplificando a expressão algébrica 
1
5 1 22 22 x y4x y 2xy ,
2


 
   
     
  
 temos: 
a) x. 
b) y. 
c) 1. 
d) 0. 
e) 2x . 
 
13. (G1 - epcar (Cpcar)) O valor da expressão em que 
x
 
e 
y  ¡
 e 
x y
 e 
x y, 
 é 
a) 
1
 
b) 
2
 
c) 
1
 
d) 
2
 
 
 
GABARITO 
01. E 
02. A 
03. D 
04. A 
05. B 
06. D 
07. C 
08. D 
09. C 
10. B 
11. C 
12. D 
13. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
FUNÇÕES 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
1. (Enem PPL) O modelo predador-presa foi proposto de 
forma independente por Alfred J. Lotka, em 1925, e Vito 
Volterra, em 1926. Esse modelo descreve a interação 
entre duas espécies, sendo que uma delas dispõe de 
alimentos para sobreviver (presa) e a outra se alimenta da 
primeira (predador). Considere que o gráfico representa 
uma interação predador-presa, relacionando a população 
do predador com a população da sua presa ao longo dos 
anos. 
 
 
 
De acordo com o gráfico, nos primeiros quarenta anos, 
quantas vezes a população do predador se igualou à da 
presa? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 9 
 
2. (Esc. Naval) Considere 
f
 uma função real de variável 
real tal que: 
 
1. 
f(x y) f(x)f(y) 
 
2. 
f(1) 3
 
3. 
f( 2) 2
 
 
Então 
f(2 3 2)
 é igual a 
a) 108 
b) 72 
c) 54 
d) 36 
e) 12 
3. (Enem) O gráfico fornece os valores das ações da 
empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia 
em que elas oscilaram acentuadamente em curtos 
intervalos de tempo. 
 
 
 
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o 
mesmo volume de ações, porém em horários 
diferentes, de acordo com a seguinte tabela. 
 
Investidor Hora da Compra Hora da Venda 
1 10:00 15:00 
2 10:00 17:00 
3 13:00 15:00 
4 15:00 16:00 
5 16:00 17:00 
 
Com relação ao capital adquirido na compra e venda 
das ações, qual investidor fez o melhor negócio? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
4. (Enem) A figura a seguir apresenta dois gráficos 
com informações sobre as reclamações diárias 
recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao 
Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. 
O gráfico de linha tracejada informa o número de 
reclamações recebidas no dia, o de linha continua é o 
número de reclamações resolvidas no dia. As 
reclamaçõespodem ser resolvidas no mesmo dia ou 
demorarem mais de um dia para serem resolvidas. 
 
 
 
 
31 
 
 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da 
semana em que o nível de eficiência pode ser considerado 
muito bom, ou seja, os dias em que o número de 
reclamações resolvidas excede o número de reclamações 
recebidas. 
 
Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 
jan. 2012 (adaptado). 
 
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no 
conceito de eficiência utilizado na empresa e nas 
informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito 
bom na 
a) segunda e na terça-feira. 
b) terça e na quarta-feira. 
c) terça e na quinta-feira. 
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. 
e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 
 
5. (Fuvest) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma 
dos valores absolutos das raízes da equação 
    f g x g x
é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
6. (Pucrj) Sejam 
f(x) 2x 1 
 e 
g(x) 3x 1. 
 Então 
f(g(3)) g(f(3))
 é igual a: 
a) – 1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
 
7. (Uepb) Dada 
2f(x) x 2x 5,  
 o valor de 
f(f( 1))
 é: 
a) – 56 
b) 85 
c) – 29 
d) 29 
e) – 85 
 
8. (Espcex (Aman)) Sejam as funções reais 
  2f x x 4x 
 e 
 g x x 1. 
 O domínio da função 
f(g(x)) é 
a) 
 D x | x 3 ou x 1    ¡
 
b) 
 D x | 3 x 1    ¡
 
c) 
 D x | x 1  ¡
 
d) 
 D x | 0 x 4   ¡
 
e) 
 D x | x 0 ou x 4   ¡
 
 
9. (Ufsj) Considere a função 
 
x 3g x .
2x 1



O domínio 
de g(x) e a função inversa de g(x) são, 
respectivamente, 
a) 
 x ;x 1 2  ¡
 e 
 1
x 3g x
2x 1
 

 
b) 
 x ;x 1 2 e x 3   ¡
 e 
 1
x 3g x
2x 1
  

 
c) 
 x ;x 1 2  ¡
 e 
 1
x 3g x
2x 1
  

 
d) 
 x ;x 1 2 e x 3    ¡
 e 
 1
x 3g x
2x 1
 
 
 
 
10. (Espm) Sejam f e g funções reais tais que 
   f 2x 1 2x 4 e g x 1 2x 1     
 para todo 
x R.
 
Podemos afirmar que a função fog(x) é igual a: 
a) 2x – 1 
b) x + 2 
c) 3x + 1 
d) 2x 
e) x – 3 
 
11. (Uepb) Dada a função bijetora 
 
3x 2f(x) , D(f ) 1 ,
x 1

  

¡
 o domínio de 
1f (x)
 é 
a) 
 3¡
 
b) 
¡
 
c) 
 1¡
 
d) 
 1 ¡
 
e) 
2
3
 
  
 
¡
 
 
12. (Enem PPL) Alunos de um curso de engenharia 
desenvolveram um robô “anfíbio” que executa saltos 
somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos 
alunos representou a posição inicial desse robô, no 
plano cartesiano, pela letra 
P,
 na ilustração. 
 
 
 
 
 
32 
 
A direção norte-sul é a mesma do eixo 
y,
 sendo que o 
sentido norte é o sentido de crescimento de 
y,
 e a direção 
leste-oeste é a mesma do eixo 
x,
 sendo que o sentido 
leste é o sentido de crescimento de 
x.
 
Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de 
movimentação para o robô: 
4
 norte, 
2
 leste e 
3
 sul, nos 
quais os coeficientes numéricos representam o número de 
saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto 
corresponde a uma unidade do plano cartesiano. 
 
Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a 
posição do robô, no plano cartesiano, será 
a) 
(0; 2).
 
b) 
(0; 3).
 
c) 
(1; 2).
 
d) 
(1; 4).
 
e) 
(2;1).
 
 
 
13. (Uel) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 
9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) ∈ A x B 
│ x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto 
a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), 
(4,8)} 
b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)} 
c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)} 
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)} 
e) {(2,0), (2,2), (2,4)} 
 
 
14. (Ufsj) Sendo a função 
 f x ax b, 
 tal que 
  f f x 9x 8, 
 é CORRETO afirmar que 
a) 
 1
xf x 2
3
  
 
b) 
 f 0 8
 
c) 
 f x 3x 4 
 
d) 
 
 1 x 2f x
3
 
 
 
15. (Uece) A função real de variável real definida por 
x 2f(x)
x 2



 é invertível. Se 1f é sua inversa, então, o 
valor de 
1 1 2[f(0) f (0) f ( 1)]   
 é 
a) 1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 16. 
 
16. (Esc. Naval) Considere 
f
 e 
g
 funções reais de 
variável real definidas por, 
1f(x)
4x 1


 e 
2g(x) 2x .
 
Qual é o domínio da função composta 
(fog)(x)?
 
a) 
¡
 
b) 
1 1
x | x , x
2 2 2 2
 
    
 
¡
 
c) 
1
x | x
4
 
  
 
¡
 
d) 
1 1
x | x , x
4 2 2
 
   
 
¡
 
e) 
1 1
x | x , x
4 2 2
 
     
 
¡
 
 
 
17.(UFOP) Seja uma função f: R 

 R tal que: 
I) f ( x + y ) = f (x) . f (y) 
 II) f (1) = 2 
 III) 
  42 f
 
 Então o valor de 
 23 f
 é dado por: 
 a) 
 223
 b) 
29
 c) 16 
 d) 24 e) 32 
 
18.(UFOP) Sejam f:IR

IR e g:N

N, funções 
satisfazendo: 
  3x2xf 
e





 )()(
)()( ngng
g
xg
21
10
. 
 Então, f(3) – g(3) é igual a: 
a) 11 
b) 16 
c) 93 
d) 109 
e) 125 
 
 
19.( UE – Londrina ) Seja a função f( x ) = ax3 + b. Se 
f( – 1 ) = 2 e f( 1 ) = 4, então “a” e “b” valem, 
respectivamente: 
a) – 1 e – 3 
b) 3 e – 1 
c) – 1 e 3 
d) 3 e 1 
e) 1 e 3 
 
 
20.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y = 
2
4


x
x
? 
a)R – { 4 } 
b)
 ,4
 
c) [ 4, + ∞ ) 
d) ( 2, 5 ) 
e) x ≠ 2 
 
 
 
33 
 
21.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y = 
7x2
10x7x2


? 
a) R – 







2
7
 
b) 






 ,
2
7
 
c)






 ,
2
7
 
d) ( 2, 5 ) e)  
 
22.O domínio da função f(x) = 
5
42


x
x
está definido em 
qual dos intervalos reais abaixo? 
A) { x  R / 2 ≤ x < 5 } 
B) { x  R / 2 < x < 5 } 
C) { x  R / 2 ≤ x ≤ 5 } 
D) { x  R / 2 ≤ x <– 5 } 
E) { x  R / – 2 ≤ x < 5 } 
 
 
23. Dê o domínio de cada função abaixo 
 
a) f(x) = x3 + 7x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = 
3 47 35  xx
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = 
1
1
3



x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.( Unimontes / PAES) Os alunos da primeira série do 
ensino médio, ao concluírem o estudo do sinal de uma 
função g, obtiveram o seguinte resultado: 
g(x) = 0  x = – 3 ou x = – 1 ou x = 3 
g(x) > 0  – 3 < x < – 1 
g(x) < 0  x < – 3 ou x > – 1 e x ≠ 3 
Das figuras abaixo, a que representa o esboço do gráfico 
da função acima é : 
 
25.( PUC – SP ) Se D = { 1, 2, 3, 4, 5 } é o domínio da 
função f(x) = (x – 2).(x – 4), então seu conjunto 
imagem tem : 
1 elemento 
2 elementos 
3 elementos 
4 elementos 
5 elementos 
 
26.(ENEM) Muitas vezes o objetivo de um remédio é 
aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já 
existentes no corpo do indivíduo para melhorar as 
defesas do organismo. Depois de alcançar o objetivo, 
essa quantidade deve voltar ao normal. 
 Se uma determinada pessoa ingere um 
medicamento para aumentar a concentração da 
substância A em seu organismo, a quantidade dessa 
substância no organismo da pessoa, em relação ao 
tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico27.(Unimontes) Em relação ao esboço de gráfico 
apresentado na figura abaixo, podemos afirmar que: 
 
 
34 
 
 
 
a) representa uma função cujo domínio é [1, 5]. 
b) representa uma função cujo conjunto imagem é [3, 5] ∪ 
{2}. 
c) não pode representar uma função. 
d) representa uma função crescente. 
 
 
28.Observando o gráfico da função real f, pode-se afirmar 
que, das alternativas, a única falsa é : 
A) A função admite 6 raízes reais 
B) f( 1 ) = – 3 
C) A imagem de fé ( – ∞, 5 ] 
D) f(1) + f(7) = 1 
E) Para x >7, f(x) é crescente 
 
29. Observando o gráfico da função f, podemos concluir 
que : 
A) Se f(x) < 0, então x > 1 
B) Se x > 1, então f(x) é decrescente 
C) Se x < 1 , então f(x) é decrescente 
D) Se f(x) < 0, então x < 1 
E) Se x > 0, então f(x) > 0 
 
 
 
30. (FIP-2009) Seja uma função f(x) = 3 + 2 x – 1 e f –1 
(x) a sua inversa. Nessas condições, o valor de fof – 1






2
3
, é: 
 
 
31.(FIP-2013) A função afim abaixo definida mostra a 
concentração de álcool no sangue para um indivíduo 
do sexo masculino com 75 quilogramas de massa 
corporal, que ingere 1 lata de cerveja (350 ml) por hora, 
durante 5 horas: 
 
Onde a é a quantidade de álcool retido e t é o tempo 
em horas. 
Pela “Nova Lei Seca”, que entrou em vigor no Brasil em 
janeiro de 2013, a tolerância à presença de álcool 
retido no sangue é zero. 
Após ter cessado a ingestão de cerveja, o indivíduo 
apresentado na questão está apto a dirigir com 
segurança e não infringir a Lei de tolerância zero, 
aproximadamente em: 
A) 3 horas e 20 minutos. 
B) 3 horas e 30 minutos. 
C) 3 horas e 45 minutos. 
D) 3 horas e 7 minutos. 
 
 
 
GABARITO 
1. C 
2. B 
3. A 
4. B 
5. D 
6. A 
7. D 
8. A 
9. C 
10. D 
11. A 
 
 
35 
 
12. C 
13. B 
14. D 
15. C 
16. B 
17. E 
18. D 
19. E 
20. E 
21. B 
22. A 
23. _ 
24. D 
25. C 
26. D 
27. B 
28. C 
29. D 
30. B 
31. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO AFIM (1° GRAU) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (G1 - cftmg) Os preços dos ingressos de um teatro 
nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do 
primeiro grau crescente com a numeração dos setores. 
Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no 
setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em 
reais, custa 
a) 140. 
b) 180. 
c) 220. 
d) 260. 
 
2. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo está representado 
o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). 
 
 
 
A expressão algébrica que define a função inversa de 
f(x) é 
a) 
xy 1
2
 
 
b) 
1y x
2
 
 
c) 
y 2x 2 
 
d) 
y 2x 2  
 
e) 
y 2x 2 
 
 
3. (G1 - cftmg) O gráfico representa a função real 
definida por f(x) = a x + b. 
 
 
 
O valor de a + b é igual a 
a) 0,5. 
 
 
36 
 
b) 1,0. 
c) 1,5. 
d) 2,0. 
 
4. (Uece) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor 
inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia 
proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma 
corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 
km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é 
a) R$ 7,50. 
b) R$ 6,50. 
c) R$ 5,50. 
d) R$ 4,50. 
 
5. (Pucpr) Seja a uma função afim 
f(x),
 cuja forma é 
f(x) ax b, 
 com 
a
 e 
b
 números reais. Se 
f( 3) 3 
 e 
f(3) 1, 
 os valores de 
a
 e 
b,
 são respectivamente: 
a) 
2
 e 
9
 
b) 
1
 e 
4
 
c) 
1
3
 e 
3
5
 
d) 
2
 e 
7
 
e) 
2
3

 e 
1
 
 
6. (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n 
inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 
em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção 
de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da 
produção de n peças é uma função de n dada por 
a) C(n) = 200 000 + 0,50 
b) C(n) = 200 000n 
c) C(n) = n/2 + 200 000 
d) C(n) = 200 000 - 0,50n 
e) C(n) = (200 000 + n)/2 
 
7. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um 
produto representam, respectivamente, as quantidades 
que vendedores e consumidores estão dispostos a 
comercializar em função do preço do produto. Em alguns 
casos, essas curvas podem ser representadas por retas. 
Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de 
um produto sejam, respectivamente, representadas pelas 
equações: 
 
QO = –20 + 4P 
QD = 46 – 2P 
 
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de 
demanda e P é o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os 
economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, 
ou seja, quando QO e QD se igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de 
equilíbrio? 
a) 5 
b) 11 
c) 13 
d) 23 
e) 33 
 
8. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal 
no setor varejista da região metropolitana de São Paulo 
registrou alta. Comparando as contratações deste setor 
no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, 
houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 
880.605 trabalhadores com carteira assinada. 
 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 
26 abr. 2010 (adaptado). 
 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor 
varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros 
meses do ano. Considerando-se que y e x 
representam, respectivamente, as quantidades de 
trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro 
sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por 
diante, a expressão algébrica que relaciona essas 
quantidades nesses meses é 
a) 
y 4300x
 
b) 
y 884 905x
 
c) 
y 872 005 4300x 
 
d) 
y 876 305 4300x 
 
e) 
y 880 605 4300x 
 
 
9. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir 
uma rodovia para dar acesso a outro município. Para 
isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas 
empresas. A primeira cobrou 
R$ 100.000,00
 por km 
construído (n), acrescidos de um valor fixo de 
R$ 350.000,00
, enquanto a segunda cobrou 
R$ 120.000,00
 por km construído (n), acrescidos de 
um valor fixo de 
R$ 150.000,00
. As duas empresas 
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos 
serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser 
contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação 
possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que 
tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer 
uma das propostas apresentadas? 
a) 
100n 350 120n 150  
 
b) 
100n 150 120n 350  
 
c) 
100(n 350) 120(n 150)  
 
d) 
100(n 350.000) 120(n 150.000)  
 
e) 
350(n 100.000) 150(n 120.000)  
 
 
10. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa 
quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo 
com água até certo nível e medir o nível da água, 
conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado 
do experimento, concluiu-se que o nível da água é 
 
 
37 
 
função do número de bolas de vidro que são colocadas 
dentro do copo. 
 
 
 
O quadro a seguir mostra alguns resultados do 
experimento realizado. 
 
número de bolas (x) nível da água (y) 
5
 
6,35 cm
 
10
 
6,70 cm
 
15
 
7,05 cm
 
 
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 
2009 (adaptado). 
 
 
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da 
água 
(y)
 em função do número de bolas 
(x)?
 
a) 
y 30x.
 
b) 
y 25x 20,2. 
 
c) 
y 1,27x.
 
d) 
y 0,7x.
 
e) 
y 0,07x 6. 
 
 
11. (Enem 2ª aplicação)Em fevereiro, o governo da 
Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas 
de automóveis do mundo, passou a oferecer à população 
bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 
24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso 
livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e 
devolver em qualquer outra e, se quiser estender a 
pedalada, paga 3 dólares por hora extra. 
 
Revista Exame. 21 abr. 2010. 
 
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da 
bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras 
nesse período é 
a) 
f(x) 3x
 
b) 
f(x) 24
 
c) 
 f x 27
 
d) 
f(x) 3x 24 
 
e) 
f(x) 24x 3 
 
 
12. (Uerj) O reservatório A perde água a uma taxa 
constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório 
B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por 
hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os 
volumes, em litros, da água contida em cada um dos 
reservatórios, em função do tempo, em horas, 
representado no eixo x. 
 
 
 
Determine o tempo 
0x ,
 em horas, indicado no gráfico. 
 
13. (Enem 2ª aplicação) As sacolas plásticas sujam 
florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam 
matando por asfixia peixes, baleias e outros animais 
aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 
bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados 
brasileiros se preparam para acabar com as sacolas 
plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que 
se considera a origem como o ano de 2007. 
 
 
 
De acordo com as informações, quantos bilhões de 
sacolas plásticas serão consumidos em 2011? 
a) 4,0 
b) 6,5 
c) 7,0 
d) 8,0 
e) 10,0 
 
 
 
38 
 
14. (Ucs) O salário mensal de um vendedor é de 
R$ 750,00
 fixos mais 2,5% sobre o valor total, em reais, 
das vendas que ele efetuar durante o mês. 
Em um mês em que suas vendas totalizarem 
x
 reais, o 
salário do vendedor será dado pela expressão 
a) 
750 2,5x.
 
b) 
750 0,25x.
 
c) 
750,25x.
 
d) 
 750 0,25x .
 
e) 
750 0,025x.
 
 
15. (G1 - cftmg) Um experimento da área de Agronomia 
mostra que a temperatura mínima da superfície do solo 
t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de 
planta e biomassa na superfície, em g/m2, conforme 
registrado na tabela seguinte. 
 
x(g/m2) 10 20 30 40 50 60 70 
t(x) 
(°C) 
7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 
 
Analisando os dados acima, é correto concluir que eles 
satisfazem a função 
a) y = 0,006x + 7,18. 
b) y = 0,06x + 7,18. 
c) y = 10x + 0,06. 
d) y = 10x + 7,14. 
 
16. (G1 - cftmg) Um motorista de táxi cobra, para cada 
corrida, uma taxa fixa de 
R$5,00
 e mais 
R$2,00
 por 
quilômetro rodado. O valor total arrecadado 
(R)
 num dia é 
função da quantidade total 
(x)
 de quilômetros percorridos 
e calculado por meio da função 
R(x) ax b, 
 em que 
a
 é 
o preço cobrado por quilômetro e 
b,
 a soma de todas as 
taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista 
realizou 
10
 corridas e arrecadou 
R$410,00,
 então a 
média de quilômetros rodados por corrida, foi de 
a) 
14
 
b) 
16
 
c) 
18
 
d) 
20
 
 
17. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui 
somente dois planos para seus clientes optarem entre um 
deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 
27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No 
plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais 
R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar 
que, para o cliente, 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso 
que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais 
vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A 
igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, 
independente de quantos minutos sejam cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, 
independente de quantos minutos sejam cobrados. 
 
18. (Ueg) Considere o gráfico a seguir de uma função 
real afim 
f(x).
 
 
 
 
A função afim 
f(x)
 é dada por 
a) 
f(x) 4x 1  
 
b) 
f(x) 0,25x 1  
 
c) 
f(x) 4x 4  
 
d) 
f(x) 0,25x 3  
 
 
19. (Enem PPL) Os sistemas de cobrança dos serviços 
de táxi nas cidades 
A
 e 
B
 são distintos. Uma corrida 
de táxi na cidade 
A
 é calculada pelo valor fixo da 
bandeirada, que é de 
R$ 3,45,
 mais 
R$ 2,05
 por 
quilômetro rodado. Na cidade 
B,
 a corrida é calculada 
pelo valor fixo da bandeirada, que é de 
R$ 3,60,
 mais 
R$ 1,90
 por quilômetro rodado. 
Uma pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades 
para percorrer a mesma distância de 
6 km.
 
 
Qual o valor que mais se aproxima da diferença, em 
reais, entre as médias do custo por quilômetro rodado 
ao final das duas corridas? 
a) 
0,75
 
b) 
0,45
 
c) 
0,38
 
d) 
0,33
 
e) 
0,13
 
 
20. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em 3m 
por minuto, de uma torneira (aberta), em função do 
quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas 
posições do registro. 
 
Abertura da torneira 
(volta) 
Gasto de água por minuto 
3(m )
 
 
 
39 
 
1
2
 
0,02
 
1
 
0,03
 
(www.sabesp.com.br. Adaptado.) 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é 
uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a 
torneira está totalmente aberta, é de 
30,034 m .
 Portanto, é 
correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta 
quando houver um giro no seu registro de abertura de 
1
 
volta completa e mais 
a) 
1
2
 de volta. 
b) 
1
5
 de volta. 
c) 
2
5
 de volta. 
d) 
3
4
 de volta. 
e) 
1
4
 de volta. 
 
21. (Pucmg) A função linear 
R(t) at b 
 expressa o 
rendimento 
R,
 em milhares de reais, de certa aplicação. O 
tempo 
t
 é contado em meses, 
R(1) 1 
 e 
R(2) 1.
 
Nessas condições, o rendimento obtido nessa aplicação, 
em quatro meses, é: 
a) 
R$ 3.500,00
 
b) 
R$ 4.500,00
 
c) 
R$ 5.000,00
 
d) 
R$ 5.500,00
 
 
22. (Ufrn) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um 
produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no 
Brasil, e o restante é importado de outros países. Para 
aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu 
em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos, produzir, no 
Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do 
produto. 
Com base nesses dados e admitindo-se que essa 
porcentagem varie linearmente com o tempo contado em 
anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação 
desse produto será superior a 95% a partir de 
a) 2027. 
b) 2026. 
c) 2028. 
d) 2025. 
 
23. (Ucs) O custo total, por mês, de um serviço de 
fotocópia, com cópias do tipo A4, consiste de um custo 
fixo acrescido de um custo variável. O custo variável 
depende, de forma diretamente proporcional, da 
quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que 
esse serviço fez 50.000 cópias do tipo A4, seu custo total 
com essas cópias foi de 21.000 reais, enquanto em um 
mês em que fez 20.000 cópias o custo total foi de 
19.200 reais. 
Qual é o custo, em reais, que esse serviço tem por 
página do tipo A4 que reproduz, supondo que ele seja 
o mesmo nos dois meses mencionados? 
a) 0,06 
b) 0,10 
c) 0,05 
d) 0,08 
e) 0,12 
 
24(FIP). Marcela deseja contratar um plano de celular. 
Ao iniciar a pesquisa, ela recebe duas propostas: 
Operadora A - Assinatura mensal de R$ 15,00 mais R$ 
0,30 por cada minuto,durante o mês. 
 
Operadora B - Assinatura mensal de R$ 20,00 mais R$ 
0,20 por cada minuto, durante o mês. 
 
Acima de quantos minutos de ligações por mês é mais 
econômico optar pela operadora B? 
 
a) 50 
b) 80 
c) 60 
d) 20 
e) 40 
 
 
25.(FIP-2009) Um táxi cobra R$ 20,00 pelo primeiro 
quarto de quilômetro rodado e R$ 5,00 por cada quarto 
de quilômetro adicional. Quanto custará, em reais, uma 
viagem de x quilômetros? 
A) P(x) = 20 + 5.(4x – 1) 
B) P(x) = 20 + 4.(x – 1) 
C) P(x) = 20 + 20.(x – 1) 
D) P(x) = 20 + 5x 
 
26.(FIP-2012) Os preços cobrados por duas 
empresas que administram planos de saúde estão 
dispostos na tabela abaixo: 
 
Pode-se afirmar que o plano mais econômico é 
oferecido pela empresa: 
A) A, quando o número de consultas não exceder o 
total de 20 por mês. 
B) B, quando o número de consultas for superior a 3 
por mês. 
C) B, quando o número de consultas não exceder o 
total de 10 por mês. 
D) A, quando o número de consultas for superior a 6 
por mês. 
 
 
 
 
40 
 
27.(FIP-2012) A Gráfica Universitária das Fipmoc pretende 
comercializar a Revista Multidisciplinar no mercado norte-
mineiro. Os responsáveis pela empresa que irá 
confeccionar a revista estimam gastos variáveis de R$ 
1,50 por revista processada e gastos fixos na ordem de R$ 
10.000,00 por mês. Por outro lado, também esperam obter 
R$ 1,00 por revista comercializada, além de R$ 13.000,00 
mensais relativos à receita de publicidade. Permanecendo 
as demais condições constantes, para se alcançar um 
lucro de R$ 1.000,00 por mês, será necessário 
comercializar: 
A) 8.000 assinaturas. 
B) 4.000 assinaturas. 
C) 2.000 assinaturas. 
D) 6.000 assinaturas. 
 
28.(FIP-2013) Pensando em otimizar seu lucro, a 
empresa “Nexxus” fabrica um único tipo de produto, e 
todas as unidades são vendidas. O custo total (C) da 
produção e a receita (R),considerando a quantidade de 
produtos vendidos, estão representados abaixo: 
 
Com base nos dados apresentados, pode-se inferir 
corretamente que a expressão que fornece o lucro (L), 
considerando a quantidade de produtos vendidos (q) pela 
referida empresa, é: 
L(q) = 25q – 1000 
L(q) = 50q – 1000 
L(q) = 50q + 2000 
L(q) = – 25q + 2000 
 
29.(FIP-2013) Os estacionamentos em Montes Claros 
estão cobrando entre R$3,00 e R$5,00 por hora. Um 
estacionamento no centro da cidade cobra R$5,00 por 
hora, mas possui uma promoção em que o cliente pode 
comprar um selo no valor de R$20,00, com o qual passa a 
pagar apenas R$ 1,00 por hora. 
A partir de quanto tempo passa a ser vantajoso comprar o 
selo promocional? 
A) 3 horas 
B) 4h 20 min 
C) 5h 
D) 5h 40 min 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. D 
2. C 
3. C 
4. D 
5. E 
6. C 
7. B 
8. C 
9. A 
10. E 
11. D 
12. 30 
13. E 
14. E 
15. A 
16. C 
17. B 
18. B 
19. E 
20. B 
21. C 
22. A 
23. A 
24. A 
25. A 
26. D 
27. B 
28. A 
29. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
FUNÇAO QUADRÁTICA (2° GRAU) 
 
1. (Ufjf-pism 1) Uma função quadrática 
2f(x) ax bx c  
 
assume valor máximo igual a 
2,
 em 
x 3.
 Sabendo-se 
que 
0
 é raiz da função 
f,
 então 
f(5)
 é igual a: 
a) 
2
9

 
b) 
0
 
c) 
1
 
d) 
10
9
 
e) 
4
3
 
 
2. (G1 - cftmg) O saldo 
S
 de uma empresa 
A
 é calculado 
em função do tempo 
t,
 em meses, pela equação 
2S(t) 3t 39t 66.  
 
 
Considerando essa função, o saldo da empresa é negativo 
entre o 
a) 2º e o 11º mês. 
b) 4º e o 16º mês. 
c) 1º e 4º e entre o 5º do 16º mês. 
d) 2º e 5º e entre o 7º do 14º mês. 
 
3. (G1 - cftrj) Em uma brincadeira, uma bola é 
arremessada para o alto, e sua altura em relação ao solo, 
em função do tempo, é dada pela fórmula 
21h(t) (t 2) 5,
2
   
 com 
h
 em metros e 
t
 em segundos. 
A seguir temos o gráfico de 
h
 em função de 
t.
 
 
 
 
Dessa forma, determine a altura máxima atingida pela 
bola, e em que instante (tempo) isso acontece. 
 
4. (Imed) Em um determinado mês, o lucro de uma 
indústria de cosméticos é expresso por 
2L(x) x 10x 11,   
 em que 
x
 representa a quantidade 
de cosméticos vendidos e 
L(x),
 o valor do lucro em reais. 
Nessas condições, o lucro máximo, em reais, atingido por 
essa indústria corresponde a: 
a) 24. 
b) 36. 
c) 48. 
d) 56. 
e) 64. 
 
5. (G1 - ifba) Jorge planta tomates em uma área de 
sua fazenda, e resolveu diminuir a quantidade Q (em 
mil litros) de agrotóxicos em suas plantações, usando a 
lei 
2Q(t) 7 t 5t,  
 onde t representa o tempo, em 
meses, contado a partir de 
t 0.
 Deste modo, é 
correto afirmar que a quantidade mínima de 
agrotóxicos usada foi atingida em: 
a) 15 dias. 
b) 1 mês e 15 dias. 
c) 2 meses e 10 dias. 
d) 2 meses e 15 dias. 
e) 3 meses e 12 dias. 
 
6. (Pucmg) O transporte aéreo de pessoas entre as 
cidades de Belo Horizonte e Campinas é feito por uma 
única companhia em um único voo diário. O avião 
utilizado tem 
180
 lugares, e o preço da passagem 
p
 
relaciona-se com o número 
x
 de passageiros por dia 
pela equação 
p(x) 285 0,95x. 
 Nessas condições, o 
número de passageiros que torna a receita máxima 
possível por viagem é: 
a) 
150
 
b) 
160
 
c) 
170
 
d) 
180
 
 
7. (Enem) Um estudante está pesquisando o 
desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as 
bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em 
graus Celsius, é dada pela expressão 
2T(h) h 22h 85,   
 em que 
h
 representa as horas 
do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior 
possível quando a estufa atinge sua temperatura 
máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da 
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em 
graus Celsius, com as classificações: muito baixa, 
baixa, média, alta e muito alta. 
 
Intervalos de 
temperatura 
( C)
 
Classificação 
T 0
 Muito baixa 
0 T 17 
 Baixa 
17 T 30 
 Média 
30 T 43 
 Alta 
T 43
 Muito alta 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de 
bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como 
 
 
42 
 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
 
8. (Uepa) Leia o texto para responder à questão. 
 
 
 
 A utilização de computadores como ferramentas 
auxiliares na produção de conhecimento escolar tem sido 
uma realidade em muitas escolas brasileiras. O GeoGebra 
é um software educacional utilizado no ensino de 
Matemática (geometria dinâmica). Na ilustração acima se 
tem a representação dos gráficos de duas funções reais a 
valores reais, definidas por 
 
2g(x) x x 2  
 e 
f(x) x 5. 
 
 
Fonte: 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?
aula-53900 
 
 
Nestas condições, a soma das ordenadas dos pontos de 
interseção dos gráficos que representam as duas funções 
polinomiais acima ilustradas é: 
a) 2 
b) 5 
c) 7 
d) 11 
e) 12 
 
9. (Ibmecrj) Uma lanchonete vende, em média, 
200
 
sanduíches por noite ao preço de 
R$ 6,00
 cada um. O 
proprietário observa que, para cada 
R$ 0,10
 que diminui 
no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 
20
 
sanduíches. 
 
 
 
Considerando o custo de 
R$ 4,50
 para produzir cada 
sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao 
proprietário é: 
a) R$ 5,00 
b) R$ 5,25 
c)R$ 5,50 
d) R$ 5,75 
e) R$ 6,00 
 
10. (Enem PPL) Uma pequena fábrica vende seus 
bonés em pacotes com quantidades de unidades 
variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = 
−x2 + 12x − 20, onde x representa a quantidade de 
bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer 
um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro 
máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os 
pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual 
a 
a) 4. 
b) 6. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 14. 
 
11. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela 
rotação de uma parábola em torno de um eixo z, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
A função real que expressa a parábola, no plano 
cartesiano da figura, é dada pela lei 
 
 
43 
 
23f(x) x 6x C,
2
  
 onde C é a medida da altura do 
líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o 
ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, 
localizado sobre o eixo x. 
 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
12. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função é 
  2f x 40x 10x 50  
 mostra a velocidade, em 
quilômetros horários, de um automóvel num intervalo 
( x)
 
de 0 até 5 segundos. 
 
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa 
correta. 
 
I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a 
velocidade inicial em 
40 km h.
 
II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro 
indicava 
x 2,5
 segundos. 
III. O automóvel estava parado quando o cronômetro 
indicava 
x 5
 segundos. 
a) Todas as afirmativas estão corretas. 
b) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
d) Somente as afirmativas I e II estão corretas. 
e) Apenas uma das afirmativas está correta. 
 
13. (Uern) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c, 
cujo gráfico está representado a seguir. 
 
 
 
A soma dos coeficientes dessa função é 
a) – 2. 
b) – 3. 
c) – 4. 
d) – 6. 
 
14. (G1 - ifsc) A receita obtida pela venda de um 
determinado produto é representada pela função R(x) = – 
x2 + 100x, onde x é a quantidade desse produto. O 
gráfico da referida função é apresentado abaixo. 
 
 
 
É CORRETO afirmar que as quantidades a serem 
comercializadas para atingir a receita máxima e o valor 
máximo da receita são, respectivamente, 
a) 50 e 2.000. 
b) 25 e 2.000. 
c) 100 e 2.100. 
d) 100 e 2.500. 
e) 50 e 2.500. 
 
15. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY, 
os gestores contrataram um matemático para modelar 
o custo de produção de um dos seus produtos. O 
modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C 
= 15000 – 250n + n2, onde C representa o custo, em 
reais, para se produzirem n unidades do determinado 
produto. Quantas unidades deverão ser produzidas 
para se obter o custo mínimo? 
a) – 625. 
b) 125. 
c) 1245. 
d) 625. 
e) 315. 
 
16. (Uftm) Certa fonte multimídia promove um balé de 
água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que 
bombas hidráulicas fazem milhares de litros de água 
circularem por minuto em alta pressão por canos de 
aço, dando vida a um show de formas, entre as quais 
parábolas, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
44 
 
 
 
A trajetória de uma dessas parábolas pode ser descrita 
pela função 
  2h t 12t – t ,
 com 
t 0,
 onde t é o tempo 
medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do jato 
no instante t. 
 
Nessas condições: 
a) determine, após o lançamento, a altura máxima que o 
jato alcança. 
b) construa o gráfico da função, explicando o que 
acontece no instante 
t 12 s.
 
 
17. (Ucs) Uma dose de um medicamento foi administrada 
a um paciente por via intravenosa. Enquanto a dose 
estava sendo administrada, a quantidade do medicamento 
na corrente sanguínea crescia. Imediatamente após 
cessar essa administração, a quantidade do medicamento 
começou a decrescer. 
Um modelo matemático simplificado para avaliar a 
quantidade q, em mg, do medicamento, na corrente 
sanguínea, t horas após iniciada a administração, é 
  2q t t 7t 60.   
 
Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do 
medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser 
iniciada a administração da dose e o tempo que durou a 
administração dessa dose, em horas, foram, 
respectivamente, 
a) 5 e 12. 
b) 0 e 12. 
c) 0 e 3,5. 
d) 60 e 12. 
e) 60 e 3,5. 
 
18. (Uerj) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 
e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme 
representado no sistema de eixos ortogonais: 
 
 
 
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas 
com vértices C e D. 
A equação de uma dessas parábolas é 
2x 2xy .
75 5

 
 
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao 
ponto B, em metros, é igual a: 
a) 38 
b) 40 
c) 45 
d) 50 
 
19. (Uel) A função real f, de variável real, dada por f(x) 
= -x2 + 12x + 20, tem um valor 
a) mínimo, igual a -16, para x = 6 
b) mínimo, igual a 16, para x = -12 
c) máximo, igual a 56, para x = 6 
d) máximo, igual a 72, para x = 12 
e) máximo, igual a 240, para x = 20 
 
 
 
20.( PAES ) Maria e Joana são revendedoras de um 
certo produto de beleza. Em um determinado mês, a 
renda mensal ( em reais ) de Maria foi dada pela 
função R(x) = 17x – 30 e a de Joana foi R(x) = x2 + 
5x – 3, onde R é a renda mensal e x é o número de 
unidades que cada uma vendeu. Maria terá um 
rendimento mensal maior que o de Joana se vender: 
a) mais que nove unidades 
b) entre 3 e 9 unidades 
c) exatamente 10 unidades 
d) 9 unidades 
 
21.( Unimontes / PAES ) Um menino está à distância 
de 6m de um muro de 3m de altura e chuta uma bola 
que vai bater exatamente sobre o muro. Se a função da 
trajetória da bola em relação ao sistema de 
coordenadas indicado pela figura é y = ax2 + ( 1 – 4a ) 
x, então a altura máxima atingida pela bola é igual a: 
4m 
4,5m 
3m 
3,5m 
 
 
 
x 
y 
 
 
45 
 
22.( Cesgranrio – RJ ) Os valores de x, tais que 
1x2x
1x4
2 

 0, são aqueles que satisfazem : 
a) x  4 
b) x  4 
c)x 
4
1
 
d) x  1 
e)x 
4
1
 
 
23.( UFPA ) O domínio da função y = x . 
4x3x
x4
2
2


é o 
conjunto : 
] -1 ; 4 ] 
] -  ; - 2 ]  ] 4 ; +  [ 
[ - 2 ; 1 [  [ 2 ; 4 [  { 0 } 
] -  ; - 1 [  ] 4 ; +  [  { 0 } 
] -  ; - 1 [  ] 4 ; +  [ 
 
24.( PAES ) Considere a função f: ]1, 3[ 

]–1, 3 [ , definida por 
f(x) = x2 – 2x. O esboço da função inversa de f, f – 1 é 
 
 
 
 
 
25.(FIP-2010) Num dos jogos da Copa do Mundo, a bola 
chutada por um jogador, em determinado lance, descreve 
uma trajetória parabólica, conforme a figura abaixo: 
 
Supondo que a trajetória da bola seja descrita pela 
equação y = –x² + 6x, em que y é a altura atingida 
pela bola (em metros), e x é o tempo decorrido (em 
segundos), qual a altura máxima atingida por ela, e 
após quanto tempo isso ocorre, respectivamente? 
A) 6 metros e 9 segundos 
B) 9 metros e 6 segundos 
C) 6 metros e 3 segundos 
D) 9 metros e 3 segundos 
 
26.(FIP-2013) O dono de um restaurante vende, em 
média, 300 refeições por dia a R$5, 00 cada uma, que 
tem um preço de custo de R$3, 00. Ele observou que, a 
cada R$0, 20 que oferece de desconto no preço da 
refeição, há um aumento de 40 refeições em sua 
venda. 
A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu 
lucro seja máximo? 
A) R$7,40 
B) R$6,50 
C) R$5,25 
D) R$4,75 
 
27.(FIP-2013) Pensando em aproveitar o seu terreno, o 
Sr.Paulo observou que poderia construir um cercado 
para cultivar suas plantas. Ele possui um muro, com 6 
metros de comprimento, que irá aproveitar como parte 
dos lados desse cercado retangular. Para completar o 
contorno desse cercado,ele irá usar 34 metros de 
cerca. 
Veja na figura abaixo. 
 
A maior área que o Sr. Paulo poderá cercar é: 
 
 
46 
 
34 m2 
13 m2 
91 m2 
45,5 m2 
 
28. ( Fuvest – SP ) Sejam x’ e x’’ as raízes da função 
f(x) = 10x2 + 33x – 7.O número inteiro mais próximo do 
número N = 5.( x’. x’’ ) + 2.( x’ + x’’ ) é: 
 9 
– 9 
 10 
– 10 
– 13 
 
29. ( UFMG ) Observe a figura. 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, 
gráfico da função de segundo grau cuja expressão é 
a) y = (x2 / 5) – 2x 
b) y = x2 – 10x 
c) y = x2 + 10x 
d) y = (x2 / 5) – 10x 
e) y = (x2 / 5) + 10x 
 
 
 
 
 
30. ( Cesgranrio ) O diretor de uma orquestra percebeu 
que, com o ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas 
assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 
1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 
espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita 
seja máxima? 
a) R$ 9,00 
b) R$ 8,00 
c) R$ 7,00 
d) R$ 6,00 
e) R$ 5,00 
 
31. Uma criança arremessa uma bola de basquete cujo 
centro segue uma trajetória plana de equação 
2x
7
8
x
7
1y 2 
, na qual os valores de x e y são 
dados em metros. 
Essa criança acerta o arremesso, e o centro da bola passa 
pelo centro da cesta, que está a 3 metros de altura. A 
distância do centro da cesta ao eixo y é: 
a) 6 metros 
b) 7 metros 
c) 8 metros 
d) 9 metros 
e) 10 metros 
 
 
 
 
 
32. ( PUC – SP ) O lucro de uma empresa é definido 
pela função L(q) = – q2 +10q – 16, onde q representa 
a quantidade de produtos vendidos pela empresa num 
determinado mês. Podemos concluir que esta 
empresa terá lucro positivo, se o número q de 
produtos vendidos estiver compreendido em: 
(A) 2 ≤ q ≤ 8. 
(B) 2 < q < 8. 
(C) q < 2 ou q > 8 . 
(D) q ≤ 2 ou q ≥ 8. 
(E) q < 10 ou q > 16. 
 
33. ( FIPMoc – 2015 ) No Mercado Municipal de 
Montes Claros, é comum, no período de safra, 
encontrar diversos produtores vendendo pequi, fruto 
típico da região. Ao longo de um desses períodos, 
constatou-se que a quantidade diária de dúzia de pequi 
vendida (x) variava de acordo com o preço de venda da 
dúzia (p), e a relação quantitativa entre essas variáveis 
era dada pela lei: 
 
2
9
x
20
1)x(P 
 
Para que esse produtor tenha uma receita máxima, 
deve-se vender a dúzia de pequi por: 
A) R$2,25. 
B) R$1,25. 
C) R$3,25. 
D) R$4,25. 
E) R$5,25. 
 
34.(FIP) Um cinema de um shopping, com 200 lugares 
por sala, para evitar cancelamentos de sessões quando 
não atingir o número mínimo de ingressos vendidos, 
decide alterar a forma de cobrança do ingresso. A 
empresa cobrará de cada cliente a quantia de R$ 8,00 
mais R$ 0,20 por lugar vago da sala, não exigindo um 
número mínimo de ingressos vendidos para que ocorra 
a exibição do filme. 
 
A rentabilidade máxima que o cinema conseguirá em 
uma sala por sessão é: 
 
a) R$ 2 880,00 
b) R$ 2 400,00 
c) R$ 1 600,00 
d) R$ 3 200,00 
e) R$ 3 000,00 
 
35.(FIP) O dono de um sítio quer cercar, com tela de 
arame, uma região retangular dentro de uma grande 
área de pastagem. Ele também quer subdividir essa 
região em três áreas retangulares equivalentes, 
puxando duas telas de arame paralelas a uma de suas 
fronteiras, dispondo de 80 metros de tela de arame. 
 
Qual a área máxima, em metros quadrados, da região 
cercada? 
 
x 
y 
5 
– 5 v 
x 
y 
 
 
47 
 
a) 200 
b) 250 
c) 180 
d) 100 
e) 140 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. D 
2. A 
3. 2 segundos e 5 metros 
4. B 
5. D 
6. A 
7. D 
8. E 
9. D 
10. B 
11. E 
12. C 
13. C 
14. E 
15. B 
16. a) Reescrevendo a lei da função 
h
 sob a forma 
canônica, obtemos 
2 2h(t) 12t t 36 (t 6) .    
 
 
Portanto, a altura máxima que o jato alcança é 
36 m,
 no instante 
t 6 s.
 
b) Quando 
t 12 s,
 
h
 é igual a zero, ou seja, o 
jato retorna ao solo. 
17. E 
18. B 
19. C 
20. B 
21. A 
22. C 
23. E 
24. A 
25. D 
26. D 
27. sem resposta ( 100 m2 ) 
28. D 
29. A 
30. D 
31. B 
32. B 
33. A 
34. A 
35. A 
 
 
 
 
48 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
1. (Imed) Em um experimento no laboratório de pesquisa, 
observou-se que o número de bactérias de uma 
determinada cultura, sob certas condições, evolui 
conforme a função 
t 1B(t) 10 3 , 
 em que 
B(t)
 expressa 
a quantidade de bactérias e 
t
 representa o tempo em 
horas. Para atingir uma cultura de 
810
 bactérias, após o 
início do experimento, o tempo decorrido, em horas, 
corresponde a: 
a) 
1.
 
b) 
2.
 
c) 
3.
 
d) 
4.
 
e) 
5.
 
 
2. (Ufrgs) A função 
f ,
 definida por 
xf(x) 4 2, 
 
intercepta o eixo das abscissas em 
a) 
2.
 
b) 
1.
 
c) 
1
.
2

 
d) 
0.
 
e) 
1
.
2
 
 
3. (Enem PPL) Em um experimento, uma cultura de 
bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada 
hora, devido à ação de um agente bactericida. 
Neste experimento, o número de bactérias em função do 
tempo pode ser modelado por uma função do tipo 
a) afim. 
b) seno. 
c) cosseno. 
d) logarítmica crescente. 
e) exponencial. 
 
4. (Acafe) Um dos perigos da alimentação humana são os 
microrganismos, que podem causar diversas doenças e 
até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a 
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, 
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a 
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que 
certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando 
sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o 
tempo que a população de 100 microrganismos passará a 
ser composta de 3.200 indivíduos é: 
a) 1 h e 35 min. 
b) 1 h e 40 min. 
c) 1 h e 50 min. 
d) 1 h e 55 min. 
 
5. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa 
quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir 
representa a função exponencial M(t), que fornece a 
quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t 
minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, 
podemos concluir que 
 
 
a) t4
75M(t) 2 . 
b) t4
50M(t) 2 . 
c) t5
50M(t) 2 . 
d) t5
150M(t) 2 . 
 
6. (Pucmg) O valor de certo equipamento, comprado 
por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 
meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 15t 2 , onde t 
é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, 
representa a variação do valor desse equipamento. 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar 
que o valor do equipamento após 45 meses de uso 
será igual a: 
a) R$ 3.750,00 
b) R$ 7.500,00 
c) R$10.000,00 
d) R$20.000,00 
 
7. (Ita) Se 
x
 é um número natural com 
2015
 dígitos, 
então o número de dígitos da parte inteira de 
7 x
 é 
igual a 
a) 
285.
 
b) 
286.
 
c) 
287.
 
d) 
288.
 
e) 
289.
 
 
8. (G1 - ifsul) O par ordenado 
(0, 2)
 pertence ao 
gráfico da função 
xy (k 1)e . 
 
 
Qual é o valor mínimo da função no intervalo 
[1, 2]?
 
a) 
3
e
 
 
 
49 
 
b) 
2
3
e
 
c) 
2
2
e
 
d) 
1
e
 
 
9. (Ufpr) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno 
quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 
65°C será possível segurar um de seus pedaços com as 
mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura 
T da pizza,em graus Celsius, possa ser descrita em 
função do tempo t, em minutos, pela expressão 
0,8 tT 160 2 25.   
 Qual o tempo necessário para que 
se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos 
nuas, sem se queimar? 
a) 0,25 minutos. 
b) 0,68 minutos. 
c) 2,5 minutos. 
d) 6,63 minutos. 
e) 10,0 minutos. 
 
10.(FIP) Em janeiro de 2016, dez pessoas fundaram um 
clube. Um dos regulamentos do regimento prevê que cada 
sócio pode apresentar, no máximo, 2 novos sócios, ao 
final de cada ano. 
 
A partir do mês de janeiro de qual ano o clube terá chance 
de alcançar 810 sócios? 
 
a) 2020 
b) 2018 
c) 2019 
d) 2017 
e) 2021 
 
11.( UFPA ) O conjunto solução da desigualdade 
4
1
2
1 2
2






x é : 
{ x  R / – 2 < x < 2 } 
{ x  R / x < – 2 ou x > 2 } 
{ x  R / x < 0 ou x > 2 } 
{ x  R / 0 < x < 2 } 
{ x  R / x < – 2 ou x > 0 } 
 
12.( FGV – SP ) Encontre a solução da inequação 
2
1
2
1 15
2






 xx 
 
 
 
13.( PUC – RS ) Encontre o domínio da função 
definida por f(x) =
xx   22 1
 
 
 
 
 
14.(ENEM) Suponha que o modelo exponencial y = 
363.e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 
1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e 
que y é a população em milhões de habitantes no ano 
x, seja usado para estimar essa população com 60 
anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento 
entre 2010 e 2050 Desse modo, considerando e0,3 = 
1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais 
estará, em 2030, entre 
A) 490 e 510 milhões. 
B) 550 e 620 milhões. 
C) 780 e 800 milhões. 
D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
 
15.(SEE-SP) Dez pessoas fundaram, no início do ano, 
um clube. Um dos regulamentos de seu regimento 
interno prevê que cada sócio pode apresentar, no 
máximo, 2 novos sócios ao final de cada ano. A 
expressão que permite calcular o número máximo de 
sócios após decorrerem x anos é 
A) 3. 10X + 10 
B) 2. 10X 
C) 10 + 2X 
D) 10. 2X 
E) 10. 3X 
 
16. ( FIPMOC ) Um jantar causou mal-estar nos 
clientes de um restaurante. Após análise, foi 
comprovada a presença da bactéria Salmonella na 
maionese. Essa bactéria multiplica-se, segundo a 
função B(t) = 200 . 2at, em que B(t) é o número de 
bactérias encontradas na amostra de maionese, t 
horas após o início do jantar, e a é uma constante real. 
Se, após 3 horas do início do jantar, o número de 
bactérias era 800, podemos concluir que o número de 
bactérias será maior ou igual que 3.200 bactérias 
depois de 
(A) 5 horas. 
(B) 6 horas. 
(C) 7 horas. 
(D) 8 horas. 
(E) 9 horas. 
 
 
GABARITO 
1. E 
2. C 
3. E 
4. B 
5. A 
6. B 
 
 
50 
 
7. D 
8. C 
9. C 
 
10. A 
11. B 12. S = { x  R / – 5 ≤ x ≤ 0 } 
13. Df = { x  R / x 
2
1

} 14. E 15. E 
16. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LOGARITIMOS 
 
 
01.(UFV) Os números reais log2(x −1), log2(2x) e 
log2(6x) formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética. O valor de x é: 
a) 3 
b) 9 
c) 2 
d) 4 
 
02. (UFOP) Se 𝒏 ∈ 𝒁+∗ eS é o conjunto solução da 
inequação 
    0232  nlognlog
, então, é correto 
afirmar que: 
a)S contém 4 múltiplos de 20. 
b)S contém 90 elementos. 
c)S contém 46 números ímpares. 
d)S contém 46 números pares. 
 
03. (UFOP) Considere que as funções logarítmicas 
envolvidas na equação a seguir são reais e de variável 
real. 
 
Se a é raiz dessa equação, então calcule 
 
 
04. ( FGV – SP ) Na equação y = 2 )x(log 43  , y 
será igual a 8 quando x for igual a : 
a) 13 
b) –3 
c) –1 
d) 5 
e) 23 
 
05.(UNIMONTES-2009) As soluções da equação 
4x+1 + 44-x - 80 = 0 são a e b, sendo a < b. O valor de 







a
b
ab 44 log)(log
 é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 1. 
 
06.(Unimontes-2007) Resolvendo a equação 3x = 7 
em uma calculadora que tem a tecla log x, obtêm-se 
os seguintes números: 
A) log3, log 7 e log 7 − log3. 
B) log3, log 7 e log73. 
C) log3, log 7 e log7 : log3. 
D) 
3
7
 e 
3
7log
 
 
07.(PASES) A intensidade M de um terremoto, na 
Escala Richter, pode ser calculada pela fórmula 3M = 
 
 
51 
 
2.log10 (kE), onde k é uma constante positiva e E , em 
quilowatt/hora, é a energia liberada no terremoto. Se um 
terremoto de intensidade 8 libera uma energia E1 e outro 
terremoto de intensidade 6 libera uma energia E2 , então 
a razão E1/E2 é a seguinte potência: 
a) 105 
b) 103 
c) 102 
d) 106 
e) 104 
 
08.(PASES) A intensidade I de uma onda sonora, medida 
em Watt por metro quadrado, possui uma faixa de valores 
muito grande. Por essa razão é conveniente o uso de 
logaritmos em seu cálculo. O nível sonoro N , medido em 
decibéis ( dB ), é definido por N(I) = 10.








0
10 I
Ilog
, onde 
I0 é uma intensidade de referência padrão. O nível sonoro 
de uma sala de aula típica é N1(I1) = 50 dB , enquanto 
que o nível sonoro mais intenso que um ser humano pode 
suportar antes de sentir dor é N2(I2) = 120 dB. A razão 
entre as intensidades sonoras I2 e I1 é: 
a) 104 
b) 105 
c) 106 
d) 107 
e) 108 
 
09.(PASES) Gastão resolveu fazer uma aplicação junto ao 
banco onde possui conta. O gerente o informou de que 
estão disponíveis as seguintes opções de investimento a 
juros compostos: 
 
I. taxa de rendimento de 20% ao ano, para aplicação 
mínima de R$ 500,00; 
II. taxa de rendimento de 30% ao ano, para aplicação 
maior ou igual a R$ 4.500,00. 
Sabendo que Gastão vai iniciar seu investimento com 
R$3.125,00, o tempo MÍNIMO, em anos, necessário para 
que seu capital alcance o valor de R$ 58.500,00 é: 
(Considere: log1,3 = 0,1.) 
a) 15 
b) 11 
c) 13 
d) 09 
 
10.(UNIMONTES) Acrescentando-se 16 unidades a um 
número, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 
unidades. Esse número é 
a) 5 
b) 8 
c) 2 
d) 4 
 
11. (FAAP) Resolver o sistema 





3323 yx
yyx logloglog
 
 
 
12.( UFU – 2007 ) Se x e y são números reais 
positivos, tais que logx3 = 4 e logy5 = 6, então, (xy)12 
é igual a 
a) 625. 
b) 640. 
c) 648. 
d) 675. 
 
13.(UNIMONTES-2010) Sendo a e b números reais, 
uma solução da equação log a + log b = log(a + b) 
existe se, e somente se, 
A) 
1b
b
a


 
B) 
b1
b
a
2


 
C) 
1b
b
a


 
D) 
1b
1
a


 
 
14.(UNIMONTES) A raiz da equação exponencial 
8x − 5x = 0 é 
log85 
5/8 
0 
8/5 
 
15. (Paes )A igualdade log2 = 0,30 significa que 
A) 0,3010 = 2 
B) 20,30 = 1 
C) 3002101 , 
D) 100,30 = 2 
 
16. ( FEI – SP ) Se a.b = 1, então logb
a
 é igual a: 
a) 2 
b) – 1/2 
c) 1/2 
d) 1/a2 
 
17.( UNIMONTES ) Os possíveis valores de x para os 
quais log 9 x + log x 9 = 5/2, são: 
a) divisores de 243 
b) múltiplos de 27 
c) primos entre si 
d) múltiplos de 9 
 
18.( Fuvest – SP ) O número real x que satisfaz a 
equação log2 (12 – 2x) = 2x é: 
a) log2 5 
b) log2
3
 
c) 2 
d) log2
5
 
e) log2 3 
 
 
52 
 
 
19.(PUC-SP) A energia nuclear, derivada de isótopos 
radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para 
fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem 
potência gradualmente,no decorrer do tempo. Isso pode 
ser descrito pela função exponencial 
250
0
t
ePP

 .
, na 
qual P é a potência instantânea, em watts, de 
radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência 
inicial do veículo;t é o intervalo de tempo, em dias, a partir 
de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos 
neperianos. Nessas condições, quantos dias são 
necessários, aproximadamente, para que a potência de 
um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência 
inicial? (Dado: In2=0,693) 
a) 336 
b) 338 
c) 340 
d) 342 
e) 346 
 
20.(FIP-2009) Sem uma fonte de energia, a capacidade de 
funcionamento celular cessaria, provocando a morte. Essa 
energia é satisfeita pelo consumo de alimentos que 
contém calorias. Um hambúrguer de dois andares, por 
exemplo, contém 512 cal. Qual das afirmativas abaixo 
expressa esse valor? 
 
 
21.(FIP-2012) Alpargatas anuncia fábrica em Montes 
Claros 
Maior empresa de calçados da América Latina, a 
Alpargatas S.A. anunciou a construção de uma nova 
fábrica, em Montes Claros, no norte de Minas. A empresa 
pretende investir R$ 177 milhões nos próximos quatro 
anos na unidade mineira, e espera gerar cerca de 2,3 mil 
empregos diretos e mais de 3 mil indiretos. 
O principal item das novas linhas de produção serão as 
sandálias Havaianas, tradicional marca da companhia 
controlada pelo grupo Camargo Corrêa. A nova planta, 
que começa a ser construída em agosto deste ano e deve 
entrar em operação no segundo semestre de 2012, vai 
fabricar cerca de 100 milhões de pares de calçados por 
ano, o que representa um aumento de 35% na produção 
atual. 
A empresa fabricou e vendeu no ano passado 244 milhões 
de unidades de calçados, vestuário e acessórios. 
"Optamos por gerar empregos no Brasil. Temos condições 
competitivas de fabricar nosso produto localmente", diz 
Márcio Utsch, presidente da Alpargatas S.A. 
Fonte: ADENORMG | Agência de Desenvolvimento da 
Região Norte de Minas Gerais. 
Suponha que um estudo estatístico tenha permitido a 
conclusão de que, após t anos (t ³ 0), a empresa terá 
sua produção dada pela expressão P(t) = 100. (1,35)t , 
em milhões de pares de calçados. 
Segundo esse estudo, a fábrica atingirá uma produção 
de 246 milhões de unidades de calçados em: 
(Dados: log 2,46 = 0,39 e log 1,35 = 0,13) 
A) 2015 
B) 2013 
C) 2017 
D) 2020 
 
22.(FIP-2012) O pH de uma solução varia de 0 a 14, 
conforme a tabela: 
 
O aparelho mostrado na figura a seguir é o phmetro. 
Para medir o pH de uma solução, ele utiliza a relação 
pH=log






H
1
, onde H+ é a concentração de hidrogênio 
em íons-grama por litro de solução. 
Um estudante ao realizar uma pesquisa, encontrou a 
concentração de hidrogênio de uma solução igual a 
H+ = 12.10– 4. 
Considerando: log2= 0,3 e log3=0,48, conclui-se que se 
trata de uma solução: 
A) ácida, uma vez que seu pH é maior que 0 e menor 
que 3. 
B) básica, uma vez que seu pH é maior que 11 e menor 
que 13. 
C) básica, uma vez que seu pH é maior que 7 e menor 
que 9. 
D) ácida, uma vez que seu pH é maior que 4 e menor 
que 6. 
 
23.(FIP-2012) Terremoto com mortos na Itália 
aumenta a apreensão por ser 2 pontos superior ao 
ocorrido em Montes Claros 
O terremoto de 6 graus ocorrido no Norte da Itália, na 
manhã de domingo, que provocou sete mortes e deixou 
50 feridos, causou mais apreensão nos moradores de 
Montes Claros por ser apenas dois pontos superior ao 
ocorrido no município mineiro. Contudo, o professor 
George Sands de França, do 
Observatório Sismológico da UnB, não vê motivo para 
alarme. “A população não deve se preocupar, 
pois trata-se de uma medição de ordem de grandeza. 
Se um tremor alcança 4 graus na escala Richter e outro 
passa de 5 graus, esse ponto de diferença significa 
uma intensidade 32 vezes maior”, explica França. O 
Observatório Sismológico confirmou que o tremor de 
sábado de manhã foi o de maior intensidade ocorrido 
em Montes Claros até hoje: 4,2 graus. 
 
 
53 
 
 
O professor George Sands França, se referiu, a relação 
)MM(5,1
2
1 2110
E
E  ,
onde é possível perceber quantas 
vezes um terremoto é mais intenso que outro, sendo que 
nesta relação: 
E1 = energia liberada pelo terremoto 1 
E2 = energia liberada pelo terremoto 2 
M2 = grau do terremoto 1 na escala Richter 
M2 = grau do terremoto 2 na escala Richter 
Considerando que 100, 7 = 5 , quantas vezes a intensidade 
do terremoto da Itália, foi maior do que o de Montes 
Claros? 
A) 500 
B) 150 
C) 800 
D) 1.000 
 
24.(FIP-2013) Devido a uma grande campanha de 
esclarecimento, realizada neste ano pelo Instituto 
Nacional do Câncer - INCA, sobre a prevenção das 
infecções causadas pelo HPV, é projetada uma 
importante redução do número de mulheres que 
desenvolverão câncer no colo do útero. 
Considerando MO como o número atual de mulheres com 
essa doença, daqui a t anos esse número será: 
 
Desse modo, sabendo-se que log2 = 0,3, pode-se 
considerar que o número de mulheres com a doença 
será igual a 
16
1
 do atual daqui a: 
A)12 anos. B)9 anos. 
C)6 anos. D)3 anos. 
 
25.(FIP-2013) O tremor de terra ocorrido na cidade de 
Montes Claros, no dia 18 de abril de 2013 teve amplitude 
de 1000 micrômetros. 
 
O sismógrafo mede a amplitude e a frequência dessas 
vibrações. A magnitude (Ms) do terremoto pode ser 
calculada pela equação logarítmica: 
 
Onde A é a amplitude, dada em micrômetros e f é a 
frequência, dada em Hertz (Hz). 
O referido tremor teve uma frequência de: 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 
2. D 
3. 1 
4. E 
5. D 
6. C 
7. B 
8. D 
9. C 
10. C 
11. (9,3) 
12. D 
13. C 
14. C 
15. D 
16. B 
17. A 
18. E 
19. E 
20. D 
21. A 
22. A 
23. A 
24. C 
25. C 
 
 
 
 
 
54 
 
EQUAÇÕES MODULARES 
 
 
01. (UESB) O gráfico que melhor representa a função 
𝑓(𝑥) = 2 − |𝑥 − 1| . 
 
 
02.(UFMG) Considere a função f(x) = x.| 1 – x | . 
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está 
CORRETO. 
 
 
03. Resolva, no universo R, as equações abaixo: 
a) | x – 3 | = 4 
 
 
 
 
b) | 3x – 8 | = 2x – 1 
 
 
 
 
 
 
c) | x | . | x – 5 | = 6 
 
 
 
 
 
 
 
04. A Resolva, no universo R, as inequações abaixo: 
 
a) | 3x – 1| ≤ 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) | x2 – 5x | > 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05.Esboce o gráfico de cada função abaixo: 
 
a) f(x) = | 3x – 6 | 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = | x2 – 6x + 8 | 
 
 
 
 
 
 
06. ( Unitau – SP ) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 
– x, então: 
a) 5 < x < 7. 
b) 2 < x < 7. 
c) – 5 < x < 7. 
d) – 4 < x < 7. 
 
 
55 
 
e) – 4 < x < 2. 
07.( Cesgranrio ) O conjunto Imagem da função f(x) = |x2 
– 4x + 8| + 1 é o intervalo: 
a) [ 5, +  [ 
b) [ 4, +  [ 
c) [ 3, +  [ 
d) [ 1, +  [ 
e) [ 0, +  [ 
 
08. ( UFLA – MG ) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4 é 
dado por: 
 
 
09. ( UFRN ) Um posto de gasolina encontra-se localizado 
no km 100 de uma estrada retilínea. Um automóvel parte 
do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se 
a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num dado 
instante, x denota a distância (em quilômetros) do 
automóvel ao km 0. Nesse instante, a distância (em 
quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é: 
 
 
 
a) |100 + x | 
b) x – 100 
c) 100 – x 
d) |x – 100| 
 
10. ( UFES ) O gráfico abaixo representa a função 
 
 
a) f(x) = | | x | - 1| 
b) f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 
c) f(x) = | | x | + 2| - 3 
d) f(x) = |x - 1| 
e) f(x) = | | x | + 1| - 2 
 
 
GABARITO 
1. 05 
2. B 
3. – 
4.– 
5. - 
6. E 
7. A 
8. A 
9. D 
10. A 
 
 
 
 
56 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
01.(UNIMONTES) João aplicou R$520,00 a juros simples 
de 3% ao mês. Seu irmão aplicou R$450,00 a uma outra 
taxa. Ao final do 6.° mês, ambos atingiram o mesmo 
montante. A taxa mensal de juros (simples) aplicada ao 
dinheiro do irmão de João foi de, aproximadamente, 
A) 6% ao mês. B) 5% ao mês. 
C) 4% ao mês. D) 3,5% ao mês. 
 
02.(UNIMONTES) Uma televisão, cujo preço de venda era 
R$2500,00, sofreu dois descontos sucessivos, um de 20% 
e outro de 15%. O novo preço da televisão ficou reduzido 
a 
A) 32% do preço inicial. 
B) 68% do preço inicial. 
C) 35% do preço inicial. 
D) 65% do preço inicial. 
 
03.(UNIMONTES) Um comerciante vendeu duas 
mercadorias a R$12,00 cada uma. Uma delas 
proporcionou 20% de lucro em relação ao custo e, a outra, 
20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de 
ambas, ele 
A) perdeu 1 real. 
B) não ganhou nem perdeu. 
C) ganhou 1 real. 
D) perdeu 50 centavos. 
 
04.(ENEM) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a 
uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o 
número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser 
devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas 
condições, a representação gráfica correta para M(x) é 
 
 
05.(UFOP) Em 2007, o salário mínimo sofreu 8,6% de 
reajuste sobre seu valor de 2006. Em 2008, foi reajustado 
em 9,2% e, em janeiro de 2009, sofreu mais um reajuste, 
de 12%, sempre sobre seu valor no ano anterior. Assim, 
em relação ao valor de 2006, o salário mínimo de 2009 
reflete um reajuste acumulado de: 
A) 29,8%. 
B) aproximadamente 32,8%. 
C) mais do que a metade. 
D) menos do que a quinta parte. 
 
06.(CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus 
clientes desconto de 10% para pagamento no ato da 
compra ou desconto de 5% para pagamento um mês 
após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, 
a taxa de juros mensal praticada deve ser, 
aproximadamente, 
A) 5,6%. 
B) 5,0%. 
C) 4,6%. 
D) 3,8%. 
E) 0,5%. 
 
07.(UFMG) Por um empréstimo de R$ 80000,00, à taxa 
de i% ao mês, paga-se, de uma única vez, após 2 
meses, o montante de R$ 115200,00. Por terem sido 
aplicados juros compostos, a taxa mensal foi de: 
A) 15% 
B) 20% 
C) 22% 
D) 24% 
E) 26% 
 
08.(UESB) Para fazer uma viagem ao exterior, uma 
pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. 
Nesse dia, um dólar estava sendo cotado a 0,85 euros 
e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base 
nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500 
dólares, essa pessoa gastou, em reais, 
01) 1700,00 
02) 1640,00 
03) 1520,00 
04) 1450,00 
05) 1360,00 
 
09.(UFMG) O preço de venda de determinado produto 
tem a seguinte composição: 60% referentes ao custo, 
10% referentes ao lucro e 30% referentes a impostos. 
Em decorrência da crise econômica, houve um 
aumento de 10% no custo desse produto, porém, ao 
mesmo tempo, ocorreu uma redução de 20% no valor 
dos impostos. Para aumentar as vendas do produto, o 
fabricante decidiu, então, reduzir seu lucro à metade. 
É CORRETO afirmar, portanto, que, depois de todas 
essas alterações, o preço do produto sofreu redução 
de 
A) 5%. 
B) 10%. 
C) 11%. 
D) 19%. 
 
10.(Unimontes) Uma loja de brinquedos resolveu fazer 
a seguinte promoção “Presenteie com bonecas”: a 
 
 
57 
 
pessoa paga o preço de 3 bonecas e leva 5. Quanto uma 
pessoa economizará comprando 5 bonecas nessa 
promoção? 
A) 60%. 
B) 40%. 
C) 33,3%. 
D) 66,66%. 
 
11.(Unimontes) Uma mercadoria, que custa R$50,00 à 
vista, é adquirida a prazo, com uma entrada de R$30,00 
mais uma parcela de R$25,00 com 30 dias de prazo. A 
taxa de juros mensal, cobrada nessa operação, é de 
A) 20%. 
B) 15%. 
C) 25%. 
D) 10%. 
 
12.(Unimontes) Um comerciante aplicou um capital a 24% 
ao ano e o triplo desse capital a 26% ao ano. Depois de 
um ano, ele recebeu R$1530,00. Qual o capital total 
aplicado? 
A) R$9000,00 
B) R$4500,00 
C) R$5000,00 
D)R$6000,00 
 
13. (UFMG) Um capital de R$ 30 000,00 foi dividido em 
duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de 
juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa 
de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-
se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram 
iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi 
de 
A) R$ 8 000,00. 
B) R$ 4 000,00. 
C) R$ 6 000,00. 
D) R$ 10 000,00. 
 
14. O preço de uma geladeira era igual a 60% do preço de 
uma TV.No último mês, esses produtos tiveram aumentos 
de 30% e 20% respectivamente. A razão entre os novos 
preços da geladeira e da TV passou a ser de: 
A) 62% B) 63% 
C) 64% D) 65% 
E) 66% 
 
15. (Uesc) Um automóvel foi comprado e revendido, 
sucessivamente, por três pessoas. Cada uma das duas 
primeiras pessoas obteve, por ocasião da revenda, um 
lucro de 10%, e a terceira teve um prejuízo de 10% sobre 
o respectivo preço de compra. Se a terceira pessoa 
vendeu o automóvel por 13068,00, então a primeira o 
adquiriu por 
a) R$12000,00 
b) R$12124,00 
c) R$12260,00 
d) R$12389,00 
e) R$12500,00 
 
16. ( Viçosa – MG ) Dois descontos sucessivos, um de 
10% e outro de 20%, correspondem a um desconto 
único de: 
30% 
29% 
28% 
27% 
26% 
 
17. ( PUC – SP ) Uma cooperativa compra a produção 
de pequenos horticultores, revendendo-a para 
atacadistas com um lucro de 50% em média. Estes 
repassam o produto para os feirantes, com um lucro de 
50% em média. Os feirantes vendem o produto para o 
consumidor e lucram, também, 50% em média. O preço 
pago pelo consumidor tem um acréscimo médio, em 
relação ao preço dos horticultores, de: 
a) 150% b) 187% c) 237,5% 
d) 285,5% e) 350% 
 
18. ( UFRS ) Um capital, aplicado a juros simples, 
triplicará em 5 anos se a taxa anual for de : 
a) 30% b) 40% 
c) 50% d) 75% 
e) 100% 
 
19. ( Vassouras ) Um artigo custa, à vista R$ 200,00 , 
mas também é vendido a prazo com uma entrada de 
R$ 120,00 e outra parcela de R$ 100,00 um mês 
depois. Quem opta pela compra a prazo paga juros 
mensais na taxa de : 
25% 
20% 
15% 
10% 
5% 
 
20. ( UFMG ) Uma compra de R$ 100 000,00 deverá 
ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e 
a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 
20% sobre o saldo devedor, então o valor de cada 
parcela, desprezando-se os centavos, será de : 
R$ 54 545,00 
R$ 56 438,00 
R$ 55 000,00 
R$ 58 176,00 
R$ 60 000,00 
 
21. (FIP-2010) Durante a Copa do Mundo de 2006, na 
Alemanha, o slogan no ônibus que transportava a 
seleção brasileira era: "Veículo monitorado por 180 
milhões de corações brasileiros". Essa frase dizia 
respeito à população total brasileira daquele ano. 
Segundo as estimativas do Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística – IBGE, no ano de 2025 a 
população brasileira deverá atingir 228 milhões de 
habitantes. Considerando os dados apresentados, qual 
é o aumento, aproximado, estimado pelo IBGE da 
população brasileira de 2006 até 2025? 
 
 
58 
 
A) 32,4% 
B) 26,7% 
C) 18,6% 
D) 41,2% 
 
22. (FIP-2011) Pequenos consumos podem parecer 
bobagem, mas, quando somados, tornam-se grandes 
gastos. Para ajudarmos nosso planeta e também 
economizarmos nosso salário, devemos desligar os 
aparelhos e não os deixar no modo de espera, conhecido 
por stand by. Diante disso, considere a situação: 
· Um determinado DVD consome 20W, em stand by; 
· Admita que esse DVD permaneça,em média, 23 horas 
por dia em stand by; 
· 1 kwh de energia equivale ao consumo de um aparelho 
de 1.000 w de potência durante uma hora de uso; 
· O preço de 1kwh é R$ 0,40. 
Considerando 1 ano de 365 dias, qual será, 
aproximadamente, a média anual, de consumo desse 
aparelho em stand by? 
A) R$ 19,00 
B) R$ 95,00 
C) R$ 67,00 
D) R$ 65,00 
 
23. (FIP-2011) Na compra a prazo de uma TV, o total pago 
por uma pessoa foi de R$ 672,00. A entrada teve valor 
correspondente a um sexto do total, e o restante foi pago 
em quatro parcelas, cujos valores formam uma progressão 
aritmética crescente de razão R$ 40,00. Qual foi o valor da 
última prestação? 
A) R$ 205,00 
B) R$ 210,00 
C) R$215,00 
D) R$ 200,00 
 
24. (FIP-2012) O preço do tomate teve alta de mais de 
100% para o consumidor em 2008, informação que foi 
divulgada no início do mês de março, pelo IBGE – Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística – e pela FGV – 
Fundação Getúlio Vargas. Mas, para os produtores, 
comerciantes e consumidores da Ceanorte – Central de 
abastecimento de Montes Claros –, o tomate iniciou esta 
semana com o preço médio quase 45% mais barato em 
relação à passada. A caixa com 22 quilos do fruto foi 
comercializada, na segunda-feira, a R$25,00. 
Fonte: O NORTE DE MINAS. 29 Mar 2011 
O Sr. Horta Liço, pequeno produtor de Nova Esperança, 
distrito de Montes Claros, entrega caixas de 22kg de 
tomate, na Ceanorte, ao preço estipulado de R$ 25,00 a 
caixa. Porém, na feira de fim de semana, para facilitar seu 
trabalho, ele distribui os tomates em sacolas de 2 kg. 
Quantas sacolas, nas condições especificadas, ele 
precisará vender para arrecadar R$ 300,00? 
A) 132 
B) 335 
C) 123 
D) 220 
 
25. (FIP-2012) A campanha de matrícula de uma 
escola para o ano de 2012 apresenta, em seu site, a 
seguinte regra de desconto: 
 
No mês de novembro, comparativamente a outubro, 
houve, em relação aos preços: 
A) redução de 10% 
B) aumento de 10% 
C) aumento de 12,5% 
D) redução de 12,5% 
 
26. (FIP-2012) Sem fazer tanto alarde o Hyundai HR, 
vem conseguindo conquistar um grande público no 
Brasil, o modelo figura entre os 10 utilitários mais 
vendidos. A receita é simples, um preço atrativo, (em 
média é achado por R$ 55.900 mil), uma mecânica 
robusta com motor turbodiesel, somada a uma ótima 
capacidade de carga, faz do HR uma boa opção para 
quem busca transportar cargas nas grandes cidades no 
dia-a-dia. 
HR HYUNDAI MODELO : 2011 
VALOR R$ 58.000,00 
PLANOS DE 80 MESES :R$ 867,66 
CAPACIDADE DE CARGA: 1.800 kg 
O Sr. Juvenal gostou da propaganda do Hyundai HR e 
adquiriu um. Algum tempo depois, precisou fazer um 
transporte de material de construção (cimento e tijolo) 
para uma obra de sua propriedade. Ele verificou que 
seria possível transportar 36 sacos de cimento ou 720 
tijolos em seu caminhão. 
De acordo com as informações, a ÚNICA alternativa 
INCORRETA é: 
A) Se já foi colocado 15 sacos de cimento sobre o 
caminhão, então é possível colocar mais 500 tijolos. 
B) 17 sacos de cimento totalizam 850 kg 
C) 460 tijolos totalizam 1.150 kg 
D) 12 sacos de cimento e 480 tijolos completam a 
carga máxima do caminhão 
 
27.(FIP-2012) Medida provisória que altera regras da 
poupança é publicada 
Foi publicada nesta sexta-feira (4) no "Diário Oficial da 
União" a medida provisória editada pelo governo 
federal que altera as regras da poupança. Segundo a 
nova resolução, quando a taxa básica de juros for de 
8,5% ao ano ou menor, o rendimento da caderneta 
será fixado em 70% da taxa Selic. A mudança só vale 
para os depósitos que forem feitos a partir desta sexta. 
 
 
59 
 
 
 
Suponha que um pequeno investidor, tenha feito uma 
aplicação de R$ 1.000,00 após essa mudança. 
Caso os juros caiam para 8,5% e se mantenham nesse 
patamar, qual será, de acordo com as informações acima, 
o rendimento anual desse investidor? 
 
A) R$58,00 B) R$61,70 C) R$61,50 D) R$63,70 
 
28.(FIP-2013) 
 
O IPVA (Imposto sobre a Propriedade de Veículos 
Automotores) é um imposto estadual, cobrado 
anualmente, cuja alíquota varia em cada Estado, de 
acordo com o valor do veículo. 
Em Minas Gerais, desde 2004, calcula-se o IPVA 
aplicando-se sobre a base de cálculo (preço de 
mercado) a alíquota de 4% para automóveis, veículos 
de uso misto e utilitários. Esse valor pode ser dividido 
em 3 parcelas mensais e iguais ou ser pago a vista 
com desconto de 3,6%. 
De acordo com as taxas apresentadas, é correto 
afirmar que: 
A)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, 
cujo preço de mercado é R$25.000,00 é 
R$1.200,00. 
B)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, cujo 
preço de mercado é R$25.000,00 é R$980,00, se for 
pago a vista. 
C)O valor de mercado de um veículo de uso misto 
cujo IPVA sem desconto foi de R$800,00 é 
R$15.000,00. 
D)O valor de mercado de um veículo de uso misto 
cujo IPVA, pago a vista, foi de R$771,20 é 
R$20.000,00. 
 
29. (FIP-2013) O Número de Ouro é um número 
irracional que surge numa infinidade de elementos da 
natureza na forma de uma razão. Esse número é 
representado pela letra grega Φ (Phi maiúscula) (lê-se 
“fi”) e é o número 1,618033989, sendo considerado por 
muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Esse 
número não é mais do que um valor numérico e é 
reconhecido como o símbolo da harmonia. 
 
Algumas curiosidades sobre o número de ouro: 
 
1) Se você pegar uma concha em formato de espiral e 
calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para 
a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 
1,618. 
 
2) Se você pegar sua altura e dividir pela distância 
entre seu umbigo e o chão, encontrará um valor de 
aproximadamente 1,618. 
 
3) Se você dividir o número de fêmeas pelo número de 
machos em uma colmeia de abelhas, sempre chegará 
ao mesmo número aproximado: 1,618. 
 
 
60 
 
 
Calcule, aproximadamente, o percentual de fêmeas em 
uma colmeia. 
A) 38,2% 
B) 65,7% 
C) 61,8% 
D) 54,5% 
 
30. (FIP-2013) A Lei 12.433/2011, que entrou em vigor no 
dia 29 de junho de 2011, alterou sensivelmente o 
panorama da remição de penas no Brasil. Ao modificar a 
redação dos artigos 126, 127 e 128 da Lei de Execução 
Penal, passou a permitir que, além do trabalho, o estudo 
seja causa de diminuição de pena. 
Essa lei determina que a contagem do tempo será feita à 
razão de 1 (um) dia de pena por 3 (três) de trabalho ou 
estudo, o que significa que, a cada três dias trabalhados 
ou estudados, o condenado terá direito a redução de 1 dia 
em sua pena. 
Fonte: http://jus.com.br/revista/texto/21100/a-nova-
remicao-de-penas acesso em 20/11/2012 
Um réu que foi condenado a 12 anos de prisão fez a prova 
do ENEM e foi aprovado; e fará o curso em 4 anos. Se ele 
completar o curso nesse período, quanto tempo deverá 
permanecer na prisão? 
A) 10 anos e 3 meses 
B) 10 anos e 8 meses 
C) 10 anos e 4 meses 
D) 11 anos e 3 meses 
 
31. (FIP-2013) A Rede Globo apresentou a novela 
Avenida Brasil, que foi um frenesi na vida dos brasileiros. 
Uma das situações da novela apresentou o sequestro de 
Tufão, cujo resgate foi de R$ 20 milhões. Na novela, foi 
mostrado que esse resgate foi colocado em duas sacolas 
de lixo. Considerando que os R$ 20 milhões tenham sido 
pagos em notas de R$100,00 e que cada nota pesa 1 
grama, e, ainda, que, em média, sacos de lixo de 
fabricação no Rio de Janeiro suportam 40 quilos, então a 
cena da novela: 
A) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 3 
sacos de lixo; 
B) não está correta, pois bastaria 1 saco de lixo; 
C) está correta, pois seriam necessários exatos 2 sacos 
de lixo. 
D) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 4 
sacos de lixo; 
 
 
GABARITO 
1. A 
2. B 
3. A 
4. A 
5. B 
6. A 
7. B8. 01 
9. A 
10. B 
11. C 
12. D 
13. C 
14. D 
15. A 
16. C 
17. C 
18. B 
19. A 
20. A 
21. B 
22. C 
23. D 
24. A 
25. C 
26. A 
27. C 
28. D 
29. C 
30. B 
31. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 
LINEARES 
 
 
EXERCÍCIOS I 
 
01. Determine os valores de a, b, x e y, nas matrizes 
abaixo sabendo que: 
 





 








70
13
bayx2
ba2yx
 
 
 
02. Qual a soma de todos os elementos bij da matriz B = 
[ bij ]3 x 3 tal que bij = ( i – j )2 ? 
 
 
03. Dadas as matrizes A e B abaixo, determine o valor 
de x, y e z para que B = At. 
 











215
36
420
yA
 e 









 

z84
13x
560
B
 
 
04. Ache x, y, z e w, nas matrizes abaixo de modo que: 
 






















58
01
14
32
wz
yx
 
 
05. Nas matrizes abaixo, ache m, n, p e q, de modo que: 
 




















51
87
q3q
nn
pp
m2m
 
 
 
06 .(UNIFEI MG) Dadas as matrizes 







32
21
A
, 







41
30
B
 e 









12
01C
, considere as seguintes 
afirmativas: 
I . X = A + B – C = 






81
52
 
II . Y = B – A – C = 






 23
10
 
 
III . Z = 2A – C = 






72
43
 
Pode-se afirmar que: 
A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
B) todas as afirmativas são verdadeiras. 
C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
D) todas as afirmativas são falsas. 
E) apenas II é verdadeira 
 
07. (UFBA) A matriz 2 x 3, com 






ji se j,ia
ji se j,2ia
ij
ij
 
é: 










11-
43-
02
a)
 










11
40
32
b)
 










21
40
32
c)
 






143
1-02
d)
 






143-
1-02
e)
 
 
08. ( ABC – SP ) Seja A = (
ija
) uma matriz quadrada 
de ordem 3, tal que 









ji se j,-i
ji se ,
 ji se ,0
jiaij
 
Então o valor da soma de todos os elementos da matriz 
A é: 
a) 16 
b) 14 
c) 12 
d) 10 
e) 8 
 
09. (Unesp – SP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e 
três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir 
descreve a quantidade de cada produto vendido por 
cada loja na primeira semana de dezembro. Cada 
elemento aij da matriz indica a quantidade do produto 
vendido pela loja , com i e j = 1, 2, 3. 
 
 
Analisando a matriz, podemos afirmar que 
A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela 
loja L2 é 11. 
B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela 
loja L3 é 30. 
C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 
vendidos pelas três lojas é 40. 
D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi 
vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52. 
E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e 
P2 vendidos pela loja L1 é 45. 
 
10. (FGV – RJ) A organização econômica Merco é 
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de 
negócios realizados entre os três parceiros é 
representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 
 
 
62 
 
colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa 
quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de 
dólares. 
 
Então o país que mais exportou e o que mais importou no 
Merco foram, respectivamente: 
a) 1 e 1 
b) 2 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 1 
e) 3 e 2 
 
11. ( Fatec – SP ) Sejam X = 










2
2
a2a4
a22a
 e Y = 






 712
67
, onde a  R . Se X = Y, então: 
a =3 
a = -3 
a = 1/3 
a = - 1/3 
12. ( ICÉS – MG ) Para que a matriz 












052
503
x30
 seja 
anti-simétrica, o valor de x deve ser : 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 10 
 
13. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-
SIMÉTRICA se A = – At. Nessas condições, se a matriz 
A = 












031
302
zyx
 é uma matriz anti-simétrica, então x + y 
+ z é igual a: 
a) 3 
b) 1 
c) 0 
d) –1 
e) – 3 
 
14. (UEL) Sejam as matrizes 
43xA
 e 
pxqB
. Se a matriz 
A.B é 3 x 5, então é verdade que 
a) p = 5 e q = 5 
b) p = 4 e q = 5 
c) p = 3 e q = 5 
d) p = 3 e q = 4 
e) p = 3 e q = 3 
 
15. (UEL) Sobre as sentenças: 
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1. 
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 5x2. 
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz 
quadrada 2x2. 
é verdade que 
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
 
16. ( VUNESP – SP ) Considere as matrizes A = 








11
12
 e I = 






10
01
. A Matriz B, tal que A.B = I é 
dada por : 
a) 






 21
11
 b) 






 11
12
 c) 








12
11
 
d) 








21
11
 e) 








21
11
 
 
17. ( FATEC – SP ) Se A = 








33
22
 e B = 






10
01
 
são duas matrizes quadradas de ordem 2, então A2 – 
5A + 3B é igual a : 
a) 9B b) 






03
01
 c) 






30
03
 
d) 








324
63
 e) 






 1618
00
 
 
18. ( UFV – MG ) Considere as matrizes: 
A = ( aij ), 3 x 4, definida por aij = i – j 
 B = ( bij ), 4 x 3, definida por bij = 2i – j 
C = ( cij ), C = A x B 
O elemento C32 é : 
– 7 
– 4 
– 2 
 0 
 2 
19. ( PUC – MG ) Se A = 






30
21
, B = 






50
y2
 e A.B = 
B.A, o valor de y é : 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
20. (UEL) Considere as matrizes M = 






 ab
a 0
 e M2 
= 






80
08
. Conclui-se que o número real “a” pode ser: 
 
 
63 
 
a) 2
3
 
b) 2
2
 
c) 2 
d) –
2
 
e) –
3
 
21. ( FEI – SP ) Dadas as matrizes:








21
01
A
, 







40
72
B
 e 







00
00
0
, determine a matriz X de 
ordem 2 tal que : 2X – AB = 0 . 
 
 
22. ( ICÉS – MG ) Sendo K = 






wz
yx
 e L = 






 28
911
, 
para que se tenha K x L = 






 122
911
 é necessário que os 
valores de x, y, z e w sejam, nessa ordem, iguais a: 
0, 0, 4, 6 
1, 0, 2, 3 
1, 1, 4, – 6 
1, 2, 0, 3 
1, 1, 1/4, – 6 
 
23. ( CEFET - MG ) Se a matriz inversa de A = 






x3
32
 é 








23
35
 o valor de x é : 
5 
6 
7 
9 
10 
 
24. (UNIMONTES) Considere as seguintes matrizes 
 
Podemos afirmar que: 
A) A. B = B . A = I. 
B) não existe a matriz inversa da matrizA. 
C) A e B são inversas, pois A.B = I. 
D) B.I = I.B = B. 
 
25. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz 
n x m, então: 
a) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3 
b) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3 
c) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B 
d) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3 
e) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = 
B. 
 
26. (Unimontes) Sejam x e y números reais 
positivos. Considere as matrizes 
 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar 
que os valores de x e y, de modo que se tenha A.B = 
B.A, são, respectivamente, 
 
 
27. (UNIMONTES) Uma fábrica produz 3 tipos 
diferentes de artigos . Numa semana são vendidos 100 
unidades do artigo A , 150 unidades do artigo B e 200 
unidades do artigo C . Os preços de venda , por 
unidade de cada artigo , são respectivamente . 
R$20,00 , R$30,00 , R$10,00 . A quantidade total de 
artigos , na ordem A, B e C , vendidos em uma 
semana, podem ser representada pela matriz 
 200150100X 
. A matriz 











10
30
20
Y
representa o 
preço de venda por unidade de artigo , tomado na 
ordem dada . Com base nos dados apresentados , é 
correto afirmar que o produto 
Y.X
 representa . 
a)Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado 
diariamente pela venda dos artigos A, B e C . 
b) Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado 
semanalmente pela venda dos artigos A, B e C . 
c) Uma matriz de ordem 3 . 
d) Uma matriz de 3 linhas e 1 coluna . 
 
28. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas 
regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. 
A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em 
hectares, por região: 
 
A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, 
em kg, por hectare, em cada cultura: 
 
a) CALCULE a matriz C = AB. 
 
 
 
64 
 
 
 
 
b) EXPLIQUE o significado de C23, o elemento da segunda 
linha e terceira coluna da matriz C. 
 
 
 
29. ( UFV – MG ) Sejam as matrizes 







21
64
A
 e 









 2
2
1
yx
M
 . Onde x e y são números reais e M é a 
matriz inversa de A. Então o produto x. y é: 
A) 0 
B) – 3 
C) 4 
D) – 2 
E) 3 
 
30. (FIP) Considere a matriz de segunda ordem 
21
32A


 e seja A–1 sua inversa. Se a matriz B, 
também de segunda ordem é dada por 
75
32B 
então a expressão 
  B.A.A 3215 
 é igual a: 
 
 
 
02.(FIP-2012) O Brasileirão 2011 contou com 20 clubes 
que disputaram entre si, ponto a ponto, qual o melhor time 
brasileiro da atualidade. A forma de pontuação manteve 
igual a do ano passado, em que cada vitória valia 3 pontos 
e os empates, apenas 1 ponto, conforme tabela 1. E para 
se tornar campeão, todos os times disputaram, entre si, 
em jogos de turno e returno; ao final, o time com mais 
pontos sagrou-se o campeão brasileiro. 
 
 
 
Na 33ª rodada do Campeonato Brasileiro 2011, o 
resultado dos 4 últimos times era o que se lê na 
tabela2: 
 
Sabendo que cada tabela pode ser transformada em 
uma matriz, temos a seguinte situação: 
Tabela 1, que corresponde à seguinte matriz 
 
Tabela 2, que corresponde à seguinte matriz 
 
Nessa rodada do campeonato, qual matriz abaixo 
corresponde ao resultado dos pontos para cada 
equipe? 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) x = 1, y = 2, a = 2 e b = – 5 2) 12 
 
3) y = 8 x = 
2
 4) x = –3; y = 3; z = 12; w = –6 
 
5) m = 5; n = 2; q = –1; p = 2 6) B 7) D 8) A 
 
9) E 10) C 11) B 12) B 13) D 14) B 
 
 
65 
 
 
15) B 16) E 17) C 18) C 19) C 20) B 
 
21) 














2
11
2
71
X
 22) B 23) A 24) B 
 
25) B 26) B 27) B 
 
28) 
a) 
 
 
b) A massa de fertilizante Z usada na área Q. 
 
 
29) E 
 
30) C 
 
31) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINANTES 
 
01. ( Faap – SP ) Resolva a equação 
14
x24
x3x

 
 
 
 
02. ( FGV – SP ) Se 
dc
ba
 = 0, então o valor do 
determinante 
20c
1d0
0ba
 é : 
0 
bc 
2bc 
3bc 
b2c2 
03. ( UFES ) A solução real da equação 
3x0
331
02x
 = 0 
é : 
x = 1 e x = 2 
x = 2 e x = 3 
x = -1 e x = 2 
x = 1 e x = 3 
 
04. ( UFRS ) A solução da equação 
103
x21
211  = 0 é: 
–3 
–1 
0 
1 
3 
 
05. ( PUC-RS) A equação 
12
x0x
1x14
312

 , tem 
como conjunto verdade: 
{-6, 2} 
{-2, 6} 
{2, 6} 
{-6, 6} 
{-2, 2} 
 
06. ( FGV – SP ) A solução da equação 
0
x10
0x1
10x

 ( “x” real ) é: 
 
 
66 
 
não tem solução real 
x = 
3
 
x =  1 
x = 1 
x = -1 
07.( UFBA ) Se 
1200
5110
478
X 
 e 
5110
1200
478
Y 
, 
então : 
X = Y  0 
X = Y = 0 
 X = 2Y 
2X = Y 
X + Y = 0 
 
08. ( Unicap – PE ) Calcule o valor de x, a fim de que o 
determinante da matriz A seja nulo. 
 
 
 
09. ( UNIFORM ) Sejam as matrizes 









220
101
A
 e 









 

10
21
12
B
 . O determinante da matriz A.B é: 
a) 64 
b) 8 
c) 0 
d) – 8 
e) – 64 
 
10. ( UESP ) Se o determinante da matriz 










14p
44p
22p
 é 
igual a –18, então o determinante da matriz 













12p
42p
21p
 é 
igual a: 
a) – 9 
b) – 6 
c) 3 
d) 6 
e) 9 
 
11. (MACK) Se A3 =








64
12
, o triplo do determinante da 
matriz A é igual a 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
e) 15 
 
 
12. (UFRGS) Se A é uma matriz 2x2 e det A = 5, então 
o valor de det 2A é: 
a) 5 
b) 10 
c) 20 
d) 25 
e) 40 
 
 
13. ( FATEC – SP ) Se x é um número real positivo tal 
que A =





 
0x
11
, B =








11
1x
 e det (A.B) = 2, 
então xx é igual a: 
A) – 4 
B) 1/4 
C) 1 
D) 2 
E) 4 
 
 
14. (Ufes) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 
com det(A) = 3 e se k é um número real tal que 
det(kA) = 192, então o valor de k é: 
a) 4 
b) 8 
c) 32 
d) 64 
 e) 96 
15. ( UESP ) Se o determinante da matriz 










 221
kkk
012
 
é igual a 10, então o determinante da matriz 












221
1k3k4k
012
 é igual a: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
16. ( PUC – SP ) O cofator do elemento a23 da matriz 











210
121
312
A
 é: 
a) 2 
b) 1 
c) – 1 
d) – 2 
e) 3 
 
 
 
67 
 
17. (ESAF) Considere as matrizes 
 
onde os elementos a, b e c são números naturais 
diferentes de zero. Então, o determinante do produto das 
matrizes X e Y é igual a 
a) 0. 
b) a. 
c) a + b + c. 
d) a + b. 
e) a + c. 
 
18. (Unimontes) Indicaremos por det(X) o determinante 
de uma matriz X. Seja A uma matriz 2×2. Nessas 
condições, é CORRETO afirmar: 
A) det(2A) é igual a 2.det(A). 
B) se det(A) = 1, então A é a matriz identidade. 
C) se multiplicarmos a segunda linha de A por 2, o 
determinante da nova matriz será igual a 2.det(A). 
D) se det(A) = 0, então A é a matriz nula. 
 
19. (UNIMONTES) As afirmações abaixo são falsas, 
EXCETO 
a) Se det A = det B, então A = B. 
b) det(A⋅A) = det A. 
c) Se det A ≠ 0 , então a matriz A possui matriz inversa. 
d) Se a matriz B possui inversa, então det B = 1. 
 
20. ( FMJ – SP ) O valor do determinante 
4100
1300
0020
0001


 é : 
– 26 
– 24 
– 13 
24 
26 
 
21. ( ABC – SP ) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 
ordem 3, tal que ( aij ) 










jiseji
jiseji
jise0
,
,
,
 . Então o valor do 
determinante da matriz A é: 
 a) 0 
 b) 12 
 c) 24 
 d) 48 
 e) 60 
22.(CEFET) Para que a matriz A =









 
3k1
31k
101
 
não seja 
inversível, os valores de k são: 
a) k = – 4 e k = 1 
b) k = – 3 e k = 2 
c) k = – 5 e k = -2 
d) k = 3 e k = 2 
 
 
GABARITO 
 
1) S = {-1, 7 } 2) D C) A 4) A 5) B 6) E 
 
7) E 8) x = 13 9) D 10) E 11) B 12) C 
 
13) B 14) A 15) C 16) D 17) A 18) C 
 
19) C 20) A 21) D 22) A 
 
 
 
 
68 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
01.(UFRN) A solução do sistema 








1323
524
6
zyx
zyx
zyx
 é: 
a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) 
d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3) 
 
02.( PAES ) Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas 
custam, juntos, R$100,00. Dois pares de tênis, cinco bermudas e 
oito camisetas custam, juntos, R$235,00. Um par de tênis, duas 
bermudas e duas camisetas custam, juntos, R$95,00. Quanto 
custam, juntos, um par de tênis, uma bermuda e uma camiseta? 
A) R$50,00 
B) R$70,00 
C) R$60,00 
D) R$65,00 
 
03.( PAES ) Em uma loja de brinquedos, uma bola, duas petecas 
e três quebra-cabeças custam R$10,00. Duas bolas, cinco 
petecas e oito quebra-cabeças custam R$23,50. Na compra de 
uma bola, uma peteca e um quebra-cabeça, pagarei 
A) R$7,00. 
B) R$6,00. 
C) R$7,50. 
D) R$8,50. 
 
04. (FUVEST-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com 
seu cachorro Bidú à farmácia de seu avó. Lá encontraram 
uma velha balança com defeito, que só indicava 
corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se 
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; 
• Carlos e Andréia pesam 126 kg; e 
• Andréia e Bidú pesam 66 kg. 
Podemos afirmar que: 
A) Cada um deles pesa menos que 60 kg. 
B) Dois deles pesam mais que 60 kg. 
C) Andréia é mais pesada dos três. 
D) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidú juntos. 
 
05. (UEL – PR ) Se os sistemas abaixo são equivalentes, 
encontre o valor de a2 + b2 
 





5y2x
1yx
 





1aybx
5byax
 
 
 
06. (Unimontes) Se um número de dois dígitos é 9 vezes 
a soma de seus dígitos, então o número formado pela 
troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por 
A) 2. 
B) 3. 
C) 4. 
D) 1. 
 
07.(Unimontes) O conjunto solução do sistema de 
equações lineares 
 
 
 
08. (FGV-SP) É dado o sistema {𝟐𝒙 = 𝟖𝒚+𝟏
𝟗𝒚 = 𝟑𝒙−𝟗
, pode-se 
dizer que x + y é igual a: 
a) 18 b) -21 c) 27 
d) 3 e) -9 
 
09. (BNB-ACEP) Uma agência bancária vende dois 
tipos de ações. O primeiro tipo é vendido a R$1,20 por 
cada ação e o segundo a R$1,00. Se um investidor 
pagou R$1.050,00 por mil ações, então 
necessariamente ele comprou: 
300 ações do primeiro tipo 
300 ações do segundo tipo 
250 ações do primeiro tipo 
250 ações do segundo tipo 
200 ações do primeiro tipo 
 
10. (Bnb/2007) Dentre os serviços que um BANCO 
presta à comunidade, há três pelos quais cobra as 
taxas X, Y e Z em reais. Ao final do expediente de um 
dia de trabalho, os caixas A, B e C anotaram os valores 
recebidos referentes às taxas supracitadas: 
 
 Logo, a soma das taxas X + Y + Z é, em real, igual 
a: 
a) 35,40 
b) 46,20 
c) 44,70 
d) 33,80 
e) 36,70 
 
11. (CTSP) Um mesmo conjunto de farda é vendido em 
duas lojas A e B, sendo R$ 40,00 mais caro na loja 
B. Se a loja B oferecer 10% de desconto no preço do 
produto, este ainda assim será 5 % mais caro do que 
custa na loja A. O preço do conjunto na loja A é: 
A) R$ 300,00 
B) R$ 280,00 
C) R$ 260,00 
D) R$ 240,00 
 
12. (CTSP) Os 180 alunos de uma escola estão 
dispostos de forma retangular,em filas, de tal modo que 
o número de alunos de cada fila supera em 8 o número 
de filas.Quantos alunos há em cada fila? 
A) 20 
 
 
69 
 
B) 15 
C) 18 
D) 22 
 
13. (Esaf-MPU).Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, 
fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem 
olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. 
Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, 
consideradas as idades em número de anos completados, 
são iguais a números primos. Segue-se que a idade de 
Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos 
completados, é igual 
A) à idade de Júlia mais 7 anos. 
B) ao triplo da idade de Júlia. 
C) à idade de Júlia mais 5 anos. 
D)ao dobro da idade de Júlia. 
E) à idade de Júlia mais 11 anos. 
 
14. ( UFVJM ) Considere o sistema indeterminado 





2byx4
ayx2
. Nele o valor de a + b vale: 
a) 1/2 
b) 3/2 
c) 2 
d) 3 
 
15. (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é: 





1y7x2
9kyx6
 
a) impossível, para todo k real diferente de - 21; 
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de 
- 63; 
c) possível e determinado, para todo k real diferente de - 
21; 
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de 
- 3; 
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -
1 e - 63. 
 
16. (UFV – MG) O sistema linear 





63
13
2 kyxk
yx
 possui 
infinitas soluções. Logo pode-se afirmar que: 
a) k = 3 b) k = ± 3 c) k = – 3 
d) k = 0 e) não existe K real 
 
17. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema 





543
182
ayx
yx
 seja possível e indeterminado é: 
a) -6 b) 6 c) 2 
d) -2 e) 3/2 
 
18. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear 








2kZy
3Z2yx3
1Zyx
 é compatível e determinado? 
 
19. (CEFET) A respeito do sistema 








2z2yx3
1zyx2
3zy2x
,podemos afirmar que ele é: 
A) possível e determinado 
B) possível e indeterminado 
C) impossível 
D) homogêneo 
E) impossível e homogêneo 
 
20. (FGV – SP) O sistema 








014
042
032
zx
zyx
zyx
 é: 
a) determinado. 
b) Impossível 
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1). 
d) Indeterminado. 
e) N.D.A. 
 
21. (UFSC) Para qual valor de m o sistema 








023
02
02
yx
zmyx
zymx admite infinitas soluções? 
a) m = 0 b) 
0m
 c) m = 2 
d) m = 10 e) m = 1 
 
22. (FCC – BA) O sistema 






0
02
kyx
yxk
 nas incógnitas x e 
y: 
é impossível se 
1k
 
admite apenas a solução trivial se k = 1 
é possível e indeterminado se k = -1 
é impossível para todo k real 
admite apenas a solução trivial para todo k real. 
 
23. (Cesgranrio) O sistema 








byx
zayx
zyax
1
0
 tem uma 
infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos 
parâmetros a e b, podemos concluir que: 
a = 1 e b arbitrário. 
a = 1 e 
0b
 
a = 1 e b = 1 
a = 0 e b = 1 
a = 0 e b = 0 
24. (Fuvest – SP) O sistema linear: 








3
1
02
zyx
zyx
zyx
admite solução se  for igual a: 
0 b) 1 c) -1 
d) 2 e) -270 
 
25. O sistema linear abaixo 








17936
14624
732
zyx
zyx
zyx
 
Pode ser representado geometricamente como: 
Três planos paralelos e distintos 
Três planos coincidentes 
Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois 
Três planos secantes dois a dois 
Dois planos coincidentes e outro paralelo aos dois 
 
26. O sistema linear abaixo 








1743
12422
92
zyx
zxy
zyx
 
Pode ser representado geometricamente como: 
Dois planos coincidentes e outro paralelo aos dois 
Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois 
Três planos paralelos e distintos 
Três planos coincidentes 
Três planos secantes dois a dois 
 
27. ( PAES – 2006 ) 












7
4
z
7
2y
7
2
x
7
2
3
2
z
3
1y
3
1
x
3
1
5
2
z
5
1y
5
1
x
5
1
 
Quanto ao número de soluções do sistema de equações lineares 
apresentado acima, é CORRETO afirmar que 
A) esse sistema tem infinitas soluções. 
B) esse sistema não tem solução. 
C) esse sistema tem uma única solução. 
D) esse sistema tem apenas duas soluções. 
 
28.( PAES – 2011 ) Para o sistema linear 





946
932
xy
yx
, a 
solução geométrica é: 
 
 B) 
 
 
 
 C) 
 D) 
 
 
29.( PAES ) O conjunto-solução do sistema de equações lineares 








00
000
000
zyx
zyx
zyx 
pode ser interpretado, geometricamente, como sendo: 
Um ponto 
Um plano 
Uma reta 
Uma reta e um plano paralelos 
 
30. O sistema linear abaixo 








364
2423
2232
zyx
zyx
zyx
 
Pode ser representado geometricamente como: 
Três planos paralelos e distintos 
Três planos coincidentes 
Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois 
Três planos secantes dois a dois 
Três planos que se interceptam em um único ponto 
 
 
 
31.( PAES ) Ao escalonar o sistema linear 
 
 
 
chegou-se a . 
 
 
Então, È CORRETO afirmar que os três planos dados pelas 
equações do sistema inicial 
A) têm apenas uma reta em comum. 
B) têm apenas um ponto em comum. 
C) são paralelos. 
D) têm interseção vazia, porque dois deles são paralelos. 
 
32.( PAES ) O sistema linear 








0
4222
1
zy
zyx
zyx
 
pode ser representado, geometricamente, por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33. (UFJF) Um nutricionista está preparando uma 
refeição com 2 alimentos A e B. Cada grama do 
alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades 
de carboidrato e 2 unidades de gordura. Cada grama 
do alimento B contém 4 unidades de proteína, 4 
unidades de carboidrato e 3 unidades de gordura. Essa 
refeição deverá fornecer exatamente 400 unidades de 
proteína e 500 unidades de carboidrato. A quantidade 
de gordura que essa refeição irá fornecer é: 
A) 300 unidades. 
B) 350 unidades. 
C) 400 unidades. 
D) 450 unidades. 
E) 500 unidades. 
 
34. (UFJF) Uma lanchonete vende cada copo de suco 
de laranja por R$ 1,50, obtendo um lucro de 50% sobre 
o custo do suco. Devido a uma queda na safra, o preço 
da laranja subiu, o que acarretou um aumento de 20% 
A) B) 
C) D) 
 
 
71 
 
no custo do suco. O dono da lanchonete, para não 
diminuir as vendas de suco de laranja, decidiu manter o 
preço de cada copo de suco em R$ 1,50 e reduzir o 
tamanho do copo de modo a conservar a margem de lucro 
de 50% sobre o custo do suco. Originalmente, a 
capacidade do copo era 300 ml. O novo copo deve ter 
capacidade de: 
A) 150 ml. 
B) 200 ml. 
C) 250 ml. 
D) 275 ml. 
E) 280 ml. 
 
35. (FIP-2012) Durante os três primeiros dias de exibição 
do filme “Os Vingadores”, em determinada cidade, foram 
vendidos 8000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$ 
76.800,00. O preço do bilhete para adulto era de R$ 12,00 
e, para criança, era de R$ 8,00. 
A razão entre o número de crianças e o de adultos que 
assistiram ao filme nesse período foi de: 
A) 1/2 
B) 3/4 
C) 3/2 
D) 1/4 
 
 
GABARITO 
1. E 
2. B 
3. NULA ( 6,50 ) 
4. D 
5. 10 
6. A 
7. A 
8. C 
9. C 
10. A 
11. D 
12. C 
13. D 
14. D 
15. C 
16. C 
17. A 
18. {k  IR/ k ≠ 1/4} 
19. C 
20. A 
21. C 
22. C 
23. D 
24. E 
25. E 
26. B 
27. B 
28. C 
29. C 
30. D 
31. A 
32. D 
33. B 
34. C 
35. A 
 
 
 
 
 
72 
 
TRIGONOMETRIA 
 
1. (Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres 
inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida 
de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° 
com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m 
(a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas 
torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base 
quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 
15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se 
que a área da base desse prédio ocupa na avenida um 
espaço 
a) menor que 100m2. 
b) entre 100m2 e 300m2. 
c) entre 300m2 e 500m2. 
d) entre 500m2 e 700m2. 
e) maior que 700m2. 
 
2. (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o 
skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", 
conseguiu realizar a manobra denominada "900", na 
modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta 
no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" 
refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em 
torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a 
a) uma volta completa. 
b) uma volta e meia. 
c) duas voltas completas. 
d) duas voltas e meia. 
e) cinco voltas completas. 
 
3. (Ufjf) Uma praça circular de raio R foi construída a 
partir da planta a seguir: 
 
 
 
Os segmentos 
AB,
 
BC
 e 
CA
 simbolizam ciclovias 
construídas no interior da praça, sendo que 
AB 80 m.
De acordo com a planta e as informações dadas, é 
CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: 
a) 
160 3
m
3
 
b) 
80 3
m
3
 
c) 
16 3
m
3
 
d) 
8 3
m
3
 
e) 
3
m
3
 
 
4. (Ufsm) A figura a seguir apresenta o delta do rio 
Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. 
Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, 
importante parque de preservação ambiental. Sua 
proximidade com a região metropolitana torna-o 
suscetível aos impactos ambientais causados pela 
atividade humana. 
 
 
 
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo 
µA mede 45° e o ânguloµC mede 75°. Uma maneira de 
estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do 
 
 
73 
 
meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. 
Essa distância, em km, é 
a) 8 6
3
 
b) 
4 6
 
c) 
8 2 3
 
d) 
8( 2 3)
 
e) 2 6
3
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de 
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. 
Uma das constatações que fez foi a de que existe grande 
proximidade entre Engenharia e Matemática. 
 
 
5. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos 
aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado 
para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é 
possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o 
observador desloca-se 100 metros na direção do percurso 
do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada 
na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a 
figura abaixo.Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em 
metros, é 
a) 
100 3
3
 
b) 
100 3
2
 
c) 
100 3
 
d) 
50 3
3
 
e) 200 
 
6. (Uftm) Na figura estão posicionadas as cidades 
vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha 
reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a 
distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 
km. 
 
 
 
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, 
entre B e C é igual a 
a) 
8 17.
 
b) 
12 19.
 
c) 
12 23.
 
d) 
20 15.
 
e) 
20 13.
 
 
7. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de 
uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado 
do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. 
Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela 
anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em 
que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do 
mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e 
o vale 105°, como mostra a figura: 
 
 
a) 12,5. 
b) 12,5
2
. 
c) 25,0. 
d) 25,0
2
. 
e) 35,0. 
 
8. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com 
um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da 
pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a 
decolagem, fora de escala. 
 
 
 
 
 
74 
 
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma 
altura, a partir da sua base, de 
a) 3,8 tan (15°) km. 
b) 3,8 sen (15°) km. 
c) 3,8 cos (15°) km. 
d) 3,8 sec (15°) km. 
 
9. (Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou 
como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que 
contém uma área de extração de ouro delimitada por um 
quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior 
esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de 
extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a 
propriedade de modo que cada um ficasse com a terça 
parte da área de extração, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a 
porcentagem da área do terreno que coube a João 
corresponde, aproximadamente, a 
(considere 3
3
= 0,58) 
a) 50%. 
b) 43%. 
c) 37%. 
d) 33%. 
e) 19%. 
 
10. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do 
IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele 
toma os pontos A e C que estão em margens opostas do 
rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 
100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são 
perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir 
do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, 
determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele 
determinou a largura do rio e achou, em metros: 
 
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75 
 
 
a) 60 
b) 65 
c) 70 
d) 75 
e) 80 
 
11. (G1 - utfpr) Um caminhão, cuja carroceria está a 
uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um 
terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina 
pesada neste caminhão e para isso será colocada uma 
rampa da carroceria do caminhão até o chão. O 
comprimento mínimo da rampa para que esta forme 
com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, 
de: 
(Considere: 
1 3 3
sen 30° , cos 30° e tg 30°
2 2 3
  
) 
a) 
0,8 3.
 
b) 2,4. 
c) 
1,2 3.
 
d) 
0,6 3.
 
e) 0,6. 
 
12. (Unifor) Uma pessoa está a 
80 3 m
 de um prédio 
e vê o topo do prédio sob um ângulo de 
30 ,
 como 
mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Se o aparelho que mede o ângulo está a 
1,6 m
 de 
distância do solo, então podemos afirmar que a altura 
do prédio em metros é: 
a) 
80,2
 
b) 
81,6
 
c) 
82,0
 
d) 
82,5
 
e) 
83,2
 
 
 
 
75 
 
 
13. (Uemg) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís 
Alves e Guiomar observaram um monumento de 
arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus 
conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 
1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme 
mostra a figura: 
 
 
 
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 
cm, a altura do monumento, em metros, é 
aproximadamente 
a) 6,86. 
b) 6,10. 
c) 5,24. 
d) 3,34. 
 
14. (Ufsm) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em 
excesso pelos veículos causam graves problemas a toda 
população. Durante o inverno, a poluição demora mais 
para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento 
de doenças respiratórias. 
Suponha que a função 
 
   N x 180 54cos x 1
6
π 
   
 
 
 
represente o número de pessoas com doenças 
respiratórias registrado num Centro de Saúde, com 
x 1
 
correspondendo ao mês de janeiro, 
x 2,
 ao mês de 
fevereiro e assim por diante. 
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias 
registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é 
igual a 
a) 693. 
b) 720. 
c) 747. 
d) 774. 
e) 936. 
 
15. (Espcex (Aman)) Um tenente do Exército está fazendo 
um levantamento topográfico da região onde será 
realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a 
largura do rio que corta a região e por isso adotou os 
seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma 
árvore que ele observou na outra margem) e B (uma 
estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se 
encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, 
fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal 
modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma 
medida de 
3
π
 rad para o ângulo 
ˆACB.
 
 
Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 
a) 
9 3 metros
 
b) 
3 3 metros
 
c) 
9 3
metros
2
 
d) 
3 metros
 
e) 4,5 metros 
 
16. (G1 - ifce) O valor de cos (2 280°) é 
a) 
1
.
2

 
b) 
1
.
2
 
c) 
2
.
2

 
d) 
3
.
2

 
e) 
3
.
2
 
 
17. (G1 - cftmg) O valor de y = cos 150° + sen 300° - tg 
225° - cos 90° é 
 
18. (Espcex (Aman)) O valor numérico da expressão 
 
  
    
 
2sec1320 532 cos tg2220
2 3
π
 é: 
a) 
1
 
b) 0 
c) 
1
2
 
d) 1 
e) 

3
2
 
 
19. (G1 - ifsp) A base de um triângulo isósceles mede 
3 3 cm
 e o ângulo oposto à base mede 120°. A 
medida dos lados congruentes desse triângulo, em 
centímetros, é 
a) 3. 
b) 2. 
c) 
3.
 
d) 
1 3.
 
e) 
2 3.
 
 
20. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 
6 m
 de 
comprimento liga dois andares de uma loja e tem 
 
 
76 
 
inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre 
estes dois andares. 
Use os valores: 
sen 30 0,5, 
 
cos 30 0,87 
 e 
tg 30 0,58. 
 
a) 3,48. 
b) 4,34. 
c) 5,22. 
d) 5. 
e) 3. 
 
21. (Ufpb) Um especialista, ao estudar a influência da 
variação da altura das marés na vida de várias espécies 
em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, 
dada em metros, em um espaço de tempo não muito 
grande, poderia ser modelada de acordo com a função: 
 
A(t) 1,6 1,4 sen t
6
 
   
 
 
 
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, 
em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse 
contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], 
está representada pelo gráfico: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
22. (Ucs) Para colocar um objeto em movimento e 
deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é 
necessário aplicar uma força de 
 20 10 sen x
 
newtons sobre ele. 
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 
 0,3 ,
 está 
representada a relação entre a força aplicadae a 
distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
23. (Pucrj) Se 
1 etgθ θ
 pertence ao primeiro 
quadrante, então 
cosθ
 é igual a: 
a) 0 
 
 
77 
 
b) 
1
2
 
c) 
2
2
 
d) 
3
2
 
e) 1 
 
24. (G1 - cftmg) Uma raposa avista um cacho de uvas em 
uma parreira sob um ângulo de 
30
 formado com a 
horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda 
3 m
 em direção à base da parreira e olha para as uvas 
sob um ângulo de 
60 ,
 como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Nessas condições, a altura 
h
 do cacho de uvas, em 
metros, é 
a) 
1,0
 
b) 
1,5
 
c) 
1,7
 
d) 
3,4
 
 
25. (Fgv) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de 
lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. 
 
 
 
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a 
a) 
4 2
 
b) 
4 3
 
c) 6 
d) 
4 5
 
e) 
2(2 2)
 
 
26.(FIP) O Sr. Afonso deseja fazer uma reforma em 
sua residência, incluindo trocar o telhado, cuja estrutura 
tem a forma de um prisma triangular reto, conforme a 
figura. 
 
Ele decide pelo modelo de telha americana, sendo 
necessárias 20 telhas por metro quadrado. 
 
A quantidade aproximada de telhas necessárias será: 
 
a) 4080 
b) 5712 
c) 4896 
d) 3670 
e) 2856 
 
27.(FIP-2013) Num dia chuvoso, uma descarga elétrica 
queimou uma das lâmpadas da casa de Bernardo. 
Após a chuva, ele resolveu trocar a lâmpada 
queimada. Para isso, encostou uma escada na 
parede, de modo que o topo da escada ficou a uma 
altura de 4 metros, conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
Após subir alguns degraus, Bernardo tomou um 
susto, pois a base da escada escorregou por 1 
metro, e só parou ao tocar um muro paralelo à parede, 
formando, assim, um ângulo de 45º com o piso 
 
 
78 
 
horizontal. A nova situação pode ser observada na figura a 
seguir: 
 
A distância entre a parede da casa e o muro é de: 
 
28.(FIP/2014) Uma empresa produz telhas senoidais, 
como a da figura abaixo. 
 
Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é 
necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva 
geratriz da telha. A telha padrão produzida pelo fabricante 
possui por curva geratriz o gráfico da função y = sen (x). 
 
Um cliente solicitou a produção de telhas que fossem duas 
vezes mais sanfonadas e que tivessem o triplo da altura 
da telha-padrão, como na figura abaixo. 
 
 
Marque a opção que representa a curva geratriz dessa 
nova telha. 
A) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥
2
) 
B) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
C) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥
3
) 
D) 𝑌 = 1
3
𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) 
E) 𝑌 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
29.(FIP/2014) Num hemocentro, o número de doações 
de sangue varia periodicamente. No ano de 2013, esse 
número, de janeiro a dezembro, foi calculado mediante 
a função 
𝐷(𝑡) = 3 − 𝐶𝑂𝑆
(𝑡 − 1)𝑛
6
, 
em que D(t) é dado em milhares e t em meses, com 0 ≤ 
t ≤ 11. 
O número de doações de sangue nos meses de agosto 
e outubro foi de: 
A) 4 B) 7,5 C) 3,5 D) 3,86 E) 7 
 
 
GABARITO 
 
01. E 
02. D 
03. B 
04. B 
05. C 
06. B 
07. B 
08. A 
09. E 
10. D 
11. B 
12. B 
13. D 
14. B 
15. A 
16. A 
17. C 
18. D 
19. A 
20. E 
21. A 
22. A 
23. C 
 
 
79 
 
24. B 
25. B 
26. A 
27. A 
28. B 
29. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
1. (Unicamp) O módulo do número complexo 
2014 1987z i i 
 é igual a 
a) 
2.
 
b) 
0.
 
c) 
3.
 
d) 
1.
 
 
2. (G1 - ifal) O valor da potência 
10(1 i)
 é: 
a) 
11i.
 
b) 
5i.
 
c) 
32i.
 
d) 
50i.
 
e) 
1 5i.
 
 
3. (Upf) O número complexo 
z,
 tal que 
5z z 12 16i,  
 é igual a: 
a) 
2 2i 
 
b) 
2 3i
 
c) 
3 i
 
d) 
2 4i
 
e) 
1 2i
 
 
4. (Uern) Considere a igualdade 
2z i z 1.  
 É 
correto afirmar que o número complexo 
z,
 da forma 
z a bi, 
 é 
a) 
i1 .
3

 
b) 
i2 .
2

 
c) 
1 3i.
 
d) 
3 2i.
 
 
5. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e 
denotamos por i o número complexo tal que 2i 1.  
Então 0 1 2 3 2013i i i i i    L vale 
a) 0. 
b) 1. 
c) i. 
d) 
1 i.
 
 
6. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x= 
1 i
1 i


 e i = 
1
, o 
valor de (x + y)2 é 
a) 9i 
b) – 9 + i 
c) –9 
d) 9 
e) 9 – i 
 
 
 
80 
 
7. (Espcex (Aman)) Sendo 
Z
 o conjugado do número 
complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo 
Z que satisfaz à condição 
Z 2Z 2 Zi  
 é 
a) 
z 0 1i 
 
b) 
z 0 0i 
 
c) 
z 1 0i 
 
d) 
z 1 i 
 
e) 
z 1– i
 
 
8. (Unicamp) Sejam 
x
 e 
y
 números reais tais que 
x yi 3 4i,  
 onde 
i
 é a unidade imaginária. O valor de 
xy
 é igual a 
a) 
2.
 
b) 
1.
 
c) 
1.
 
d) 
2.
 
 
9. (Fgv) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 
– i)20 é igual a 
a) –1024. 
b) –1024i. 
c) 0 
d) 1024. 
e) 1024i. 
 
10. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo 



x yi
z ,
3 4i
 
com x e y reais e 
 2i 1.
 
Se 
 2 2x y 20,
 então o módulo de z é igual a: 
a) 0 
b) 
5
 
c) 
2 5
5
 
d) 4 
e) 10 
 
11. (Fgv) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos 
números complexos, o valor da expressão 
6 6(i 1) (1 i)  
 
é: 
a) 0 
b) 16 
c) 
16
 
d) 16i 
e) 
16i
 
 
12. (Uel) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 
3i)/(2 - i) é 
a) 1/2 - 3i 
b) 5/3 + (7i/3) 
c) -1/5 + (7i/5) 
d) -1/5 + 7i 
e) 3/5 + (4i/5) 
 
13. (Unicamp) Considere o número complexo 
1 ai
z ,
a i



 onde 
a
 é um número real e 
i
 é a unidade 
imaginária, isto é, 2i 1.  O valor de 2016z é igual a 
a) 
2016a .
 
b) 
1.
 
c) 
1 2016i.
 
d) 
i.
 
 
14. (Uepb) O produto dos números complexos (3 – i) (x 
+ 2yi) é um número real quando o ponto P(x,y) está 
sobre a reta de equação: 
a) 
6x y 0 
 
b) 
6x y 0 
 
c) 
x 6y 0 
 
d) 
6y x 0 
 
e) 
3y x 0 
 
 
15. (Unitau) A expressão i13+i15 é igual a: 
a) 0 
b) i. 
c) - i. 
d) - 2i. 
e) 3i. 
 
 
16.(FIP-2011) Numa aula de Matemática, o tema era 
Números Complexos. Inicialmente, o professor definiu 
a unidade imaginária como sendo uma das soluções da 
equação x2 +1 = 0 . Após a explicação, o professor 
sugeriu a seguinte questão: 
 
Qual o valor da soma dos “n” primeiros elementos da 
sequência 
( i2006 + i2007 + i2008 + i2009 + ... ) ? 
Na tentativa de acertar a questão proposta, quatro 
alunos fizeram as seguintes afirmações: 
 
· ANA: A soma será –1 se n Î { 2 , 6 , 10 , ...}; 
· BETO: A soma será (–1 – i ) se n Î { 4 , 8 , 12 , ...}; 
· CAIO: A soma será –i se n Î { 3 , 7 , 11 , ...}; 
· DANIEL: A soma será 0 se n Î { 1, 5, 9, ...}; 
 
Considerando-se as respostas apresentadas, qual 
aluno acertou a questão? 
 
A) Beto. 
B) Ana. 
C) Daniel. 
D) Caio. 
 
GABARITO 
01. A 
02. C 
03. D 
04. A 
 
 
8105. D 
06. C 
07. D 
08. D 
09. C 
10. C 
11. E 
12. C 
13. B 
14. D 
15. A 
16. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLINÔMIOS 
 
 
1. (Espm) O resto da divisão do polinômio 5 2x 3x 1  
pelo polinômio 2x 1 é: 
a) x – 1 
b) x + 2 
c) 2x – 1 
d) x + 1 
e) x – 2 
 
2. (Ueg) A divisão do polinômio 3 2x 2x – 5x – 6 por 
  x 1 x – 2
 é igual a: 
a) x – 3 
b) x + 3 
c) x – 6 
d) x + 6 
 
3. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 – 
7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é 
a) -1. 
b) -0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 
4. (Unesp) Sabe-se que, na equação 
3 2x 4x x 6 0,   
 uma das raízes é igual à soma das 
outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é 
a) S = {– 3, – 2, – 1} 
b) S = {– 3, – 2, + 1} 
c) S = {+ 1, + 2, + 3} 
d) S = {– 1, + 2, + 3} 
e) S = {– 2, + 1, + 3} 
 
5. (Unesp) O polinômio 
3P(x) a x 2 x b    
 é 
divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa 
resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, 
respectivamente, são 
a) 1 e 4. 
b) 1 e 12. 
c) –1 e 12. 
d) 2 e 16. 
e) 1 e –12. 
 
6. (Espm) O trinômio 2x ax b  é divisível por x 2 e 
por 
x 1.
 O valor de 
a b
 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
82 
 
7. (Ime) Seja 

 o determinante da matriz 2 3
1 2 3
x x x .
x x 1
 
 
 
 
 
 O 
número de possíveis valores de x reais que anulam 

 é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
8. (G1 - utfpr) Quais são os polinômios que representam o 
quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio 
  3 2p x x 5x 6  
pelo polinômio 
  2d x x – 3
? 
a) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x + 21. 
b) q(x) = x + 5 e r(x) = – (3x + 21). 
c) q(x) = x – 5 e r(x) = – 3x + 21. 
d) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x – 21. 
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21. 
 
9. (Espcex (Aman)) O polinômio 
5 3 2f(x) x x x 1,   
 
quando dividido por 
3q(x) x 3x 2  
 deixa resto 
r(x).
 
Sabendo disso, o valor numérico de 
r( 1)
 é 
a) 
10.
 
b) 
4.
 
c) 
0.
 
d) 
4.
 
e) 
10.
 
 
10. (Espcex (Aman)) Os polinômios A(x) e B(x) são tais 
que 
       3 2A x B x 3x 2x x 1.
 Sabendo-se que 
1
 
é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então 
    A 3 B 1
 é 
igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
11. (Uftm) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx 
+ 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse 
caso, o valor de m é igual a 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 
12. (Uel) O polinômio 
  3 2p x x x 3ax 4a   
é 
divisível pelo polinômio 
  2q x x x 4  
. Qual o valor de 
a? 
a) a = −2 
b) a = −1 
c) a = 0 
d) a = 1 
e) a = 2 
 
13. (Insper) A equação 3 2x 3x 7x 5 0    possui 
uma raiz real r e duas raízes complexas e não reais 
1z
 
e 
2z .
 O módulo do número complexo 
1z
 é igual a 
a) 
2.
 
b) 
5.
 
c) 
2 2.
 
d) 
10.
 
e) 
13.
 
 
14. (Unesp) A equação polinomial x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0 
admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são 
a) 
   1 3 i e 1 3 i .   
 
b) 
   1 i e 1 i . 
 
c) 
   2 i e 2 i . 
 
d) 
   1 i e 1 i .   
 
e) 
   1 3 i e 1 3 i .     
 
 
15. (Pucrj) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
3 2p(x) 2x ax 2x,  
 podemos afirmar que 
p(x)
 é 
igual a: 
a) 
 22x x 2
 
b) 
  2x x 1 x 1 
 
c) 
 22x x 2
 
d) 
  x x 1 x 1 
 
e) 
 2x 2x 2x 1 
 
 
16. (Ita) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da 
equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b 
 ¡
, então a2 – 
b3 é igual a 
a) – 64. 
b) – 36. 
c) – 28. 
d) 18. 
e) 27. 
 
17. (Unesp) Dado que as raízes da equação 
3 2x 3x x k 0   
, onde 
k
 é uma constante real, 
formam uma progressão aritmética, o valor de 
k
 é: 
a) – 5. 
b) – 3. 
c) 0. 
d) 3. 
e) 5. 
 
 
 
83 
 
18. (Cefet MG) Perdeu-se parte da informação que 
constava em uma solução de um problema, pois o papel 
foi rasgado e faz-se necessário encontrar três dos 
números perdidos que chamaremos de A, B e C na 
equação abaixo. 
 
2
2 3 2
Ax 2 B Cx 9x C
2x 1x x 3 2x x 5x 3
  
 
    
 
 
O valor de A + B + C é 
a) –3. 
b) –2. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 7. 
 
19. (Uepb) Para que o resto da divisão de 
4 32x 3x mx 2  
 por 3x 1 seja independente de x, 
devemos ter: 
a) 
m 2 
 
b) 
m 2
 
c) 
m 4
 
d) 
m 0
 
e) 
m 3
 
 
20. (Insper) A figura, feita fora de escala, representa a 
planta de uma sala de aula, que conta com uma área para 
armários dos alunos (parte hachurada). 
 
 
 
A sala está sendo projetada de modo que o teto fique a 
uma distância de x metros do chão e, para que haja uma 
ventilação adequada, o volume total da sala mais o hall de 
entrada, descontando-se o espaço dos armários (que vão 
até o teto), deve ser de 280 m3. O menor valor de x que 
atende a todas essas condições é 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. E 
02. B 
03. B 
04. B 
05. E 
06. D 
07. C 
08. E 
09. A 
10. C 
11. D 
12. E 
13. B 
14. B 
15. B 
16. C 
17. D 
18. D 
19. B 
20. A 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
84 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
EXERCÍCIO 1 
 
01. ( FCM Santos – SP ) Às 9h 10min, o ângulo 
formado pelos ponteiros de um relógio é: 
a) 150º 
b) 147º 30’ 
c) 145º 
d) 160º 
e) n.d.a 
 
 
02. ( PUC – MG ) Uma circunferência é dividida em 
sete arcos de medidas iguais. Dente as alternativas, o 
valor que mais se aproxima da medida de cada um 
desses arcos é: 
a) 51º 43’ 
b) 52º 
c) 51º 25’ 42” 
d) 51º 25’ 10” 
e) 53º 
 
 
03. ( Mackenzie – SP ) A figura abaixo mostra dois 
ângulos adjacentes suplementares. 
 
 
 
 
Podemos afirmar que: 
a) As bissetrizes dos ângulos AÔB e BÔC são 
perpendiculares. 
b) A medida do ângulo AÔB é a metade da medida do 
ângulo BÔC. 
c) O ângulo BÔC mede o triplo de AÔB. 
d) O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos 
AÔB e BÔC tem medida menor que 90º. 
e) N.d.a. 
 
 
04. ( Cescem – SP ) A medida de um ângulo está para 
a medida do seu complemento assim como 1 está para 
5. Esse ângulo mede: 
a) 75º 
b) 20º 
c) 10º 
d) 15º 
e) 25º 
 
 
05. (UFAM) Se um ângulo mede 85°45'54", o valor do 
seu complemento é: 
A) 01°02'16" 
B) 07°09'46" 
C) 04º14'06" 
D) 05°14'26" 
E) 06º14'06" 
 
 
06. (UFPA) O quíntuplo do suplemento do complemento 
de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu 
suplemento. O ângulo é: 
A) 45º 
B) 47º 
C) 50º 
D) 54º 
 
 
07. (UFBA) O suplemento do triplo do complemento da 
metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento 
desse ângulo. Determine o ângulo. 
a) 65º 
b) 70º 
c) 75º 
d) 80º 
e) 85º 
 
 
 
08. ( Fuvest – SP ) Quantos graus mede, 
aproximadamente, um arco de 0,105 rad ? 
a) 4º 
b) 5º 
c) 6º 
d) 7º 
e) 8º 
 
 
 
09. ( UnB – DF ) Quanto mede, em radianos, um arco 
de 2º 15’ ? 
a) 
rad
80
b) 
rad
70

 
c) 
rad
100

 
d) 
rad
25

 
e) n.d.a 
 
 
10. ( UFES ) O triplo do complemento de um ângulo é 
igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse 
ângulo mede: 
a) 
rad
8
7
 
b) 
rad
16
5
 
c) 
rad
4
7
 
d) 
rad
16
7
 
 
 
C O A 
B 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
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85 
 
11. ( U.F.Uberlândia ) Dois ângulos consecutivos são 
complementares. Então, o ângulo formado pelas 
bissetrizes desses ângulos é : 
a) 20º 
b) 30º 
c) 35º 
d) 40º 
e) 45º 
 
 
12. ( UFMG ) Na figura, 
OC
 é a bissetriz do ângulo 
AÔB, BÔD = 50º e AÔD = 22º . A medida do ângulo 
DÔC é : 
a) 36º 
b) 28º 
c) 22º 
d) 16º 
e) 14º 
 
 
 
 
 
13. ( Cesgranrio ) As retas r e s da figura são 
paralelas cortadas pela transversal t . Se o ângulo 
Bˆ
 é 
o triplo de 
Aˆ
, então 
Bˆ
 – 
Aˆ
 é : 
a) 90º 
b) 85º 
c) 80º 
d) 75º 
 
 
 
 
 
14. ( UniUb – 2000 ) Considere a figura abaixo em que 
as retas p e q são paralelas e as retas r e s são 
perpendiculares. Sendo  = 36º, qual é a medida, em 
graus, do ângulo  ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. ( Fuvest – SP ) Na figura, as retas r e s são 
paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 
55º. A medida em graus do ângulo 3 é: 
a) 50º 
b) 55º 
c) 60º 
d) 80º 
e) 100º 
 
 
 
 
16. ( FEI – SP ) Na figura, as retas r e s são 
paralelas. A medida do ângulo indicado com x é: 
a) 70 
b) 50 
c) 60 
d) 85 
e) 65 
 
 
 
 
17. ( PUCCAMP – SP ) Na figura, r e s são retas 
paralelas. O ângulo x mede : 
a) 60º 
b) 65º 
c) 70º 
d) 75º 
e) 80º 
 
 
 
18. ( F. C. C – SP ) Na figura seguinte tem-se r // s ; t 
e u são transversais ; o valor de  +  é ? 
a) 140º 
b) 130º 
c) 120º 
d) 100º 
e) 90º 
 
 
 
 
 
19. ( PUC ) Na figura, r // s, então x vale ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. ( UFMG –2001 ) Observe esta figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma 
reta e as retas CB e ED são paralelas. 
 Assim sendo, o ângulo ABC mede : 
a) 39º 
b) 44º 
c) 47º 
d) 48º 
 
O 
B 
A 
C 
D 
r 
 
p 
s 
q 
 
1 
3 
2 
r 
s 
x 
2x + 20º 
70º 
s 
r 
x 
150º 
130º 
70º 20º 
 r 
 
s 
t 
 
u 
 
r 
s 
10º 
x 
D 
F 
A 
E 
C 
57º 
B 
28º 
105º 
A 
B 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
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86 
 
21. ( UFSC ) Na figura a seguir sabe-se que r// s// t. A 
diferença x – y é: 
a) 20º 
b) 22º 
c) 24º 
d) 26º 
e) 28º 
 
 
 
 
 
22. ( PUC – PR ) Na figura, as retas r e s são 
paralelas. O valor de x é: 
a) 38º 30’ 
b) 39º 30’ 
c) 40º 30’ 
d) 39º 
e) 40º 
 
 
 
 
23. ( MACK – SP ) Na figura, DE é paralelo a BC. O 
valor de  é : 
a) 90 
b) 80 
c) 70 
d) 60 
e) 50 
 
 
 
 
 
 
24. (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são 
transversais. O valor de x + y é: 
 
a) 100° 
b) 120° 
c) 130° 
d) 140° 
e) 150° 
 
 
 
 
 
 
25. (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas 
formando ângulos alternos internos expressos em graus 
por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses 
ângulos é: 
a) 40° 
b) 58° 
c) 80° 
d) 116° 
e) 150° 
 
 
26. (UFG) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. 
A medida do ângulo b é: 
a) 100° 
b) 120° 
c) 110° 
d) 140° 
e) 130° 
 
 
 
 
 
27. (UEMG) As retas r e s da figura abaixo são 
paralelas. O valor de 3b + a é: 
A) 220º 
B) 225º 
C) 230º 
D) 235º 
 
 
 
 
 
 
 
 
28. (FIP-2013) Sobre um relógio de forma circular, 
graduado de 1 a 12, sendo os dígitos igualmente 
espaçados entre si, pode-se afirmar corretamente que: 
A) O menor ângulo formado por seus ponteiros das 
horas e minutos quando estiver marcando 3h 25min 
mede 47º30’. 
B) O maior ângulo formado por seus ponteiros das 
horas e minutos quando estiver marcando 14h 20min 
mede 210º. 
C) O maior ângulo formado por seus ponteiros das 
horas e minutos quando estiver marcando 3h 25min 
mede 254º45’. 
D) O menor ângulo formado por seus ponteiros das 
horas e minutos quando estiver marcando 14h 20min 
mede 52º. 
 
 
GABARITO 
1) C 2) C 3) A 4) D 5) C 6) A 7) D 
 
8) C 9) A 10) D 11) E 12) E 13) A 
 
14) 126º 15) E 16) B 17) E 18) B 
 
19) 100º 20) D 21) C 22) B 23) C 24) C 
 
25) D 26) A 27) D 28) A 
 
 
 
 
 
3x 
79º 
x 
r 
 
s 
 
 
60º 
 
130º 
D E 
 
B C 
A 
Rinaldo
Realce
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87 
 
EXERCÍCIO 2 
 
01. ( UFMG ) Num triângulo, dois lados medem 3 e 7. 
Se a medida do terceiro lado pertence ao conjunto x = { 
2, 3, 4, 5, 10 }, então o terceiro lado mende : 
a) 10 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
e) 2 
 
02. ( UNEB ) Os lados 
AB
, BC , CD e DA de um 
quadrilátero convexo ABCD medem respectivamente 2, 
4, 2 e 6. Se a medida de uma das diagonais desse 
quadrilátero é um número inteiro, essa diagonal mede : 
a) 2 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
03. ( Fuvest – SP ) No quadrado ABCD de 12 de lado, 
temos AE = 13 e CF = 3. O ângulo AÊF é agudo, 
reto ou obtuso ? 
Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. ( Cesgranrio ) Na figura, ABCD é um quadrado, 
ADE e ABF são triângulo equiláteros. Se os pontos C, 
A e M são colineares, então o ângulo FÂM mede : 
a) 75º 
b) 80º 
c) 82º 30’ 
d) 85º 
e) 87º 30’ 
 
 
 
05. ( STA CASA – SP ) O triângulo ABC, representado 
na figura abaixo, é isósceles. A medida do ângulo x 
indicado é : 
a) 90 
b) 100 
c) 105 
d) 110 
e) 120 
 
 
 
 
06. ( UFPA ) Na figura abaixo, os comprimentos dos 
lados AB e BC do triângulo ABC são congruentes. 
Qual a medida, em graus, de  ? 
A) 18º 
B) 20º 
C) 25º 
D) 22º 
E) 17º 
 
 
 
 
 
07. ( Conc. Público – GDF ) Na figura abaixo, o 
triângulo ABC representa a vista frontal da sustentação 
de um telhado. Por questão de economia, os segmentos 
CH, HD, DG, GE, EF, e FB têm comprimentos iguais. 
Sabendo que os triângulos CGD e BGE são isósceles 
de bases DG e EG, respectivamente, podemos 
afirmar que a medida x do ângulo DÂE é igual a : 
a) 108º 
b)115º 
c) 120º 
d) 130º 
e) 135º 
 
 
 
 
 
 
 
08. (UFF) O triângulo MNP é tal que M = 80º e P = 60º. 
A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo 
interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: 
a) 20° 
b) 30° 
c) 40º 
d) 50º 
e) 60º 
 
 
 
09. (Unesp) Considere o triângulo ABC da figura 
adiante. 
 
Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz 
externa do ângulo C um ângulo de 50°, determine a 
medida do ângulo interno A. 
 
 
 
 
 
B 
F 
C E D 
A 
E 
M 
B C 
D A 
F 
 
 
 
 
20º 
 
x 
A 
B C 
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88 
 
10. ( MACK – SP ) Na figura, AB = AC e AD = AE. A 
medida do ângulo CDE é: 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
 
 
 
 
 
 
 
11. ( UFMG ) Observe a figura. Nessa figura, AB = BD 
= DE e BD é bissetriz de 
CBˆE
. A medida de AÊB, 
em graus, é : 
a) 96º 
b) 100º 
c) 104º 
d) 108º 
e) 110º 
 
 
 
 
 
12. ( UFMG ) Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
BD é bissetriz de CBA ˆ , BCE ˆ = 2(EÂB) e a medida 
do ângulo BCE ˆ é 80º. A medida do ângulo BDC ˆ é : 
a) 40º 
b) 50º 
c) 55º 
d) 60º 
e) 65º 
 
 
 
13. ( UFLA ) Na figura abaixo, o ponto O é o centro da 
circunferência inscrita no triângulo ABC. Se os ângulos 
CBA ˆ
 
e BÂC medem respectivamente 60º e 70º, 
pode-se afirmar que o valor de 
COB ˆ
 
é: 
A) 105º 
B) 110º 
C) 115º 
D) 120º 
E) 125º 
 
 
14. Na figura abaixo temos que o triângulo ABC é 
isósceles de base BC. Se AD = DE = EF = FC = CB, a 
medida do ângulo BÂC é : 
a) 15º 
b) 20º 
c) 25º 
d) 30º 
e) 36º 
 
 
 
 
15. Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero 
e ABMN é um quadrado. Qual a medida do ângulo  ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) B 2) C 3) AGUDO 4) A 5) B 6) B 
 
7) A 8) C 9) 100º 10) B 11) D 12) D 
 
13) C 14) B 15) 15º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
E 
C B 
D 
 
A B 
D 
C 
E 
A 
D 
F 
C 
B 
E 
A 
O 
B C 
A B 
C 
M N 
 
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89 
 
EXERCÍCIO 3 
 
01. (UFRGS–RS) O número de diagonais de um 
polígono é o dobro de seu número n de lados. O valor 
de n é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
02. (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 
diagonais tem 
a) 6 lados. 
b) 9 lados. 
c) 10 lados. 
d) 12 lados. 
e) 20 lados. 
 
 
03. ( PUC – PR ) O polígono convexo em que o número 
de lados é igual ao número de diagonais é : 
a) Pentágono 
b) Heptágono 
c) Eneágono 
d) Dodecágono 
 
 
04. ( ACAFE – SC ) Num polígono regular convexo, o 
ângulo interno vale 3/2 do ângulo externo. O polígono 
é: 
a) pentágono 
b) hexágono 
c) heptágono 
d) eneágono 
 
 
05. (F. Ruy Barbosa–BA) Sendo o número de diagonais 
de um octógono o quíntuplo do número de lados de um 
polígono, conclui-se que esse polígono é um: 
a) triângulo 
b) quadrilátero 
c) pentágono 
d) hexágono 
e) heptágono 
 
 
06. (Mackenzie - SP) Os ângulos externos de um 
polígono regular medem 20°. Então, o número de 
diagonais desse polígono é: 
a) 90 
b) 104 
c) 119 
d) 135 
e) 152 
 
 
07. (Puc – Rio) Os ângulos internos de um quadrilátero 
medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O 
menor ângulo mede: 
a) 90° 
b) 65° 
c) 45° 
d) 105° 
e) 80° 
 
 
08. (UNICAMP-SP) O polígono convexo cuja soma dos 
ângulos internos mede 1440º tem exatamente:? 
a)15 diagonais 
b)20 diagonais 
c)25 diagonais 
d)35 diagonais 
 
 
09. (Unesp-2001) O número de diagonais de um 
polígono convexo de x lados é dado por N(x) = (x2 –
3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de 
lados é 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
 
 
10. (Fuvest-2000) Na figura adiante, ABCDE é um 
pentágono regular. A medida, em graus, do 
ângulo α é: 
a) 32° 
b) 34° 
c) 36° 
d) 38° 
e) 40° 
 
 
 
 
11. (Faap) A medida mais próxima de cada ângulo 
externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25: 
a) 60° 
b) 45° 
c) 36° 
d) 83° 
e) 51° 
 
 
 
12. (Ita ) De dois polígonos convexos, um tem a mais 
que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total 
dos números de vértices e de diagonais dos dois 
polígonos é igual a: 
a) 63 
b) 65 
c) 66 
d) 70 
e) 77 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
90 
 
 
13. ( UNIFESP ) Pentágonos regulares congruentes 
podem ser conectados lado a lado, formando uma 
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a 
seguir 
Nessas condições, o ângulo  vale: 
A) 108º 
B) 72º 
C) 54º 
D) 36º 
E) 18º 
 
 
 
 
 
 
14. (FUVEST) Na figura abaixo os ângulos a, b, c e d 
medem, respectivamente, x/2, 2x, 3x/2 e x. O ângulo e 
é reto. Qual a medida do ângulo f ? 
 
 
 
 
 
15. (MACK – SP ) Calcule a soma das medidas dos 
ângulos dos vértices ( a + b + c + d + e ) na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. ( ITA – SP ) O número de diagonais de um polígono 
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da 
circunferência circunscrita a este polígono é dado por: 
a) 2n( n – 2 ) 
 
b) 2n( n – 1 ) 
 
c) 2n( n – 3 ) 
 
d) 
 
2
5nn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) C 2) C 3) A 4) A 5) B 6) D 7) B 
 
8) D 9) E 10) C 11) E 12) B 13) D 
 
14) 18º 15) 180º 16) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 4 
 
01. (Saresp-SP) No desenho abaixo estão 
representados os terrenos I, II e III. 
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que 
o proprietário do terreno II construirá para fechar ao lado 
que faz frente com a rua das Rosas? 
a) 24 m 
b) 20 m 
c) 35 m 
d) 32 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 .(FIP-2012) A figura a seguir mostra a planta de três 
lotes, disponíveis para venda. Todos eles têm frente 
tanto para a rua “Bela Vista” quanto para a rua 
“Recanto”. As divisas laterais são perpendiculares à 
rua “Bela Vista”. 
Sabendo que a frente total para a rua “Recanto” 
tem 180m, assinale a alternativa que indica as 
medidas CORRETAS da frente dos lotes A, B e C 
respectivamente: 
 
 
b 
c 
a 
e 
d 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
RealceCURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
91 
 
A) 100 m, 55 m e 25m. 
B) 70 m, 60 m e 50 m. 
C) 80 m, 70 m e 50 m. 
D) 80 m, 60 m e 40 m. 
 
 
 
03. Na figura abaixo, as retas r, s, t e u, são paralelas. 
Qual o valor de x + y + z ? 
 
 
 
 
04. ( UFSM ) A crise energética tem levado as médias e 
grandes empresas a buscarem alternativas na geração 
de energia elétrica para a manutenção do maquinário. 
Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de 
construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a 
correnteza de um rio que passa próximo às suas 
instalações. Observando a figura e admitindo que as 
linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar 
que a barreira mede: 
a) 33 
b) 38 
c) 43 
d) 48 
e) 53 
 
 
 
 
 
 
 
05. ( UnB ) Determine o valor de x, na figura abaixo, 
onde r, s e t são retas paralelas. 
 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
 
 
 
 
 
 
 
06. (FEI-SP) Na figura, BC // DE. Então, o valor de x é: 
a) 4 
b) 6 
c) 14 
d) 9 
e) 2 
 
 
 
07. (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num 
certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. 
Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m 
de altura poderá se afastar do centro da base do 
obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar 
totalmente na sombra. 
 
 
 
 
 
08. (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano, 
numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse 
mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um 
poste de altura 5 m mede 3 m. 
A altura do prédio, em metros, é 
a) 25. 
b) 29. 
c) 30. 
d) 45. 
e) 75. 
 
 
 
 
 
09. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, 
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em 
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. 
Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após 
caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros 
de altura em relação ao solo. 
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. 
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 
 
 
 
 
 
10. ( Itaúna ) Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado 
e ABC, um triângulo de altura H = 5 cm e AB = 7,5 cm. 
Então a área do quadrado MNPQ é, em cm2 : 
a) 1,5 
b) 3 
c) 6 
d) 9 
 
 
 
 
A 
Q P 
M N B 
C 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
92 
 
11. ( FUVEST ) Dados: 
CBM ˆ = BÂC, AB = 3, BC = 2 e AC = 4, então MC = 
? 
a) 3,5 
b) 2 
c) 1,5 
d) 1 
e) 0,5 
 
 
12. ( MAPOFEI ) Um triângulo equilátero ABC tem 60m 
de perímetro. Prolonga-se a base BC e sobre o 
prolongamento toma-se CS = 12m. Une-se o ponto S 
ao ponto médio M do lado AB. Calcular a área do 
quadrilátero BCNM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. (FGV – SP ) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC 
= 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, 
até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, 
semelhante ao triângulo PCA . 
O comprimento do segmento PC é 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
 e) 11. 
 
 
 
 
 
14. (Fuvest – SP ) Uma folha de papel ABCD de 
formato retangular é dobrada em torno do segmento 
EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como 
mostra a figura. 
Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do AF é igual a: 
A) 
2
53
 
B) 
8
57
 
C) 
4
53
 
D) 
5
53
 
E) 
3
5
 
 
 
15. (Fuvest – SP ) No retângulo ABCD da figura tem-
se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à 
diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é 
perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo 
ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF 
mede: 
 
 
 
 
16. (Puccamp) Os triângulos ABC e AED, 
representados na figura a seguir, são semelhantes, 
sendo o ângulo ADE congruente ao ângulo ACB 
 
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 
cm, encontre o perímetro do quadrilátero BCED, em 
centímetros. 
 
 
 
 
17. (CESGRANRIO) O losango ADEF está inscrito no 
triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12m e 
AC = 6m, o lado a do losango mede : 
a) 5m 
b) 3m 
c) 2m 
d) 4m 
e) 8m 
 
 
 
 
18. (ITA – SP) Considere uma circunferência inscrita 
num triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de 
4 cm. Seja t uma reta tangente a esta circunferência e 
paralela à base do triângulo. Determine a medida do 
segmento de t compreendido entre os lados do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
A 
B C 
D 
E 
C 
G 
B F A 
A 
D 
F 
B E C 
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93 
 
19. (UFPA) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de 
uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra 
circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura abaixo. 
Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do 
centro da esfera até a parede, em cm, é: 
A) 23 
B) 24 
C) 25 
D) 27 
E) 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20.(CESGRANRIO) Na figura dada, as circunferências 
de centro P e S são ambas tangentes à reta l no 
mesmo ponto Q e a reta que passa por P e R tangencia 
a circunferência menor no ponto T. Sendo os raios das 
circunferências respectivamente 8m e 3m, a medida do 
segmento QR é: 
a) 4 m 
b) 6 m 
c) 8 m 
d) 2 m 
e) n.r.a 
 
 
 
 
 
21. ( MACK – SP ) O triângulo ABC da figura foi 
dividido em duas partes de mesma área pelo segmento 
DE, que é paralelo a BC. A razão 
DE
BC
 vale : 
a) 2 
b) 
2
3
 
c) 
2
5
 
d) 
2
 
e) 
2
23
 
 
 
 
22. (ENEM-2013) O dono de um sítio pretende colocar 
uma haste de sustentação para melhor firmar dois 
postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura 
representa a situação real na qual os postes são 
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é 
representada pelo segmento EF, todos perpendiculares 
ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os 
segmentos AD e BC representam cabos de aço que 
serão instalados. 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
A) 1 m 
B) 2 m 
C) 2,4 m 
D) 3 m 
E) 2 m 
 
 
23. (ENEM-2009) A fotografia mostra uma turista 
aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito.. A 
figura a seguir mostra como, na verdade, foram 
posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge 
 
 
 
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, 
verifica-seque a medida do queixo até o alto da 
cabeçada turista é iguala 2/3 da medida do queixo da 
esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas 
medidas na realidade são representadas por d e d’, 
respectivamente, que a distância da esfinge à lente da 
câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do 
queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e 
que a distância da turista à mesma lente, por a 
A razão entre b e a será dada por 
A) b/a = d’/c 
T 
S Q 
R 
l 
P 
A 
E D 
B C 
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94 
 
B) b/a = 2d/3c 
C) b/a =3d’/2c 
D) b/a = 2d’/3c 
E) b/a = 2d’/c 
 
 
 
GABARITO 
1) D 2) D 3) 97/5 4) B 5) E 6) B 7) 4,08 
 
8) A 9) 20,5 m 10) D 11) C 12) 
11
3800
 
 
13) C 14) D 15) E 16) 44,4 17) D 18) 1,519) A 20) B 21) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5 
 
01. (CEFET – RJ) Na figura abaixo, ABCD é um 
paralelogramo, as retas r e s são paralelas, D e E são 
pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto de 
AD, CBA ˆ = 30° e EDC ˆ = 120°. Quanto mede, em 
graus, o ângulo 
GFD ˆ
? 
A) 120º 
B) 130º 
C) 140º 
d) 150º 
 
 
 
 
 
 
02. (IFSP/2014) Considerando que as medidas de dois 
ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, 
por 3x + 60° e 135° – 2x, a medida do menor ângulo 
desse losango é 
a) 75° 
b) 70° 
c) 65° 
d) 60° 
e) 55° 
 
 
 
 
03. (INSPER 2012) Considere um Iosango ABCD em 
que M, N, P e Q são os pontos médios dos lados, 
respectivamente. Um dos ângulos internos desse 
Iosango mede α, sendo 0°< α < 90°. 
Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ 
a) é um quadrado. 
b) é um retângulo que não é Iosango. 
c) é um Iosango que não é retângulo. 
d) é um paralelogramo que não é retângulo nem 
Iosango. 
e) não possui lados paralelos. 
 
 
 
 
04. (IFSC/2011) O perímetro de um Iosango é 40 cm e 
uma diagonal mede 16 cm. A outra diagonal mede: 
a) 10 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 8 cm. 
e) 5 cm. 
 
 
 
05. (UDESC) No paralelogramo ABCD, conforme 
mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo 
DCB. 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
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95 
 
 
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do 
perímetro do paralelogramo ABCD é: 
a) 26 
b) 16 
c) 20 
d) 22 
e) 24 
 
 
06. (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se representado 
o Iosango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. 
 
A medida do lado desse Iosango, em centímetros, é 
a) 6
3
 
b) 6 
c) 4
3
 
d) 4 
e) 2
3
 
 
 
 
07. (UECE 2014) O palco de um teatro tem a forma de 
um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de 
frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a 
medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a 
medida da área do palco, em m2, é 
a) 80. 
b) 90. 
c) 108. 
d) 1182. 
 
 
 
08. (FUVEST – SP) Um trapézio retângulo tem bases 5 
e 2 e altura 4. 0 perímetro desse trapézio é: 
a) 13 
b) 14 
c) 15 
d) 16 
e) 17 
 
 
09. (CONC. DA PM) Se um quadrilátero plano convexo 
tem todos os lados iguais, então esse quadrilátero é o: 
A) Quadrado 
B) Losango 
C) Retângulo 
D) Trapézio 
E) Paralelogramo 
 
 
10. (ITA 2014) Considere o trapézio ABCD de bases e. 
Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e 
BD, respectivamente. Então, se AB tem comprimento x 
e CD tem comprimento y<x, o comprimento de MN é 
igual a 
a) x - y 
b) 1/2.(x - y) 
c) 1/3.(x - y) 
d) 1/3.(x + y) 
e) 1/4.(x + y) 
 
 
11. ( CESGRANRIO ) Seja ABC um triângulo retângulo, 
onde D é o ponto médio da hipotenusa BC. Se AD = 
AB, então o ângulo ABC mede: 
a) 67º 30’ 
b) 60º 
c) 55º 
d) 52º 30’ 
e) 45º 
 
 
12. ( ITA – SP ) Considere um quadrilátero ABCD cujas 
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 
6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados 
do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero 
RSTU vale: 
a) 22 cm 
b) 13 cm 
c) 11 cm 
d) 8,5 cm 
e) 5,5 cm 
 
 
13. ( UFMG ) Num triângulo equilátero ABC, de 8 cm de 
lado, traça-se MN // BC, de modo que ele se 
decomponha num trapézio e num novo triângulo. 
O valor de MN para o qual o perímetro do trapézio é 
igual ao do triângulo AMN é: 
a) 2 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 5 cm 
e) 6 cm 
 
 
14. (ENEM-2010) Em canteiros de obras de construção 
civil é comum perceber trabalhadores realizando 
medidas de comprimento e de ângulos e fazendo 
demarcações por onde a obra deve começar ou se 
erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas 
marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das 
seis estacas colocadas, três eram vértices de um 
triângulo retângulo e as outras três eram os pontos 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Nota
Rinaldo
Realce
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96 
 
médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser 
visto na figura, em que as estacas foram indicadas por 
letras. 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria 
ser calçada com concreto. 
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde 
A) À mesma área do triângulo AMC 
B) À mesma área do triângulo BNC 
C) À metade da área formada pelo triângulo ABC 
D) Ao dobro da área do triângulo MNC 
E) Ao triplo da área do triângulo MNC 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. ( ITA – SP ) Dadas as afirmações: 
I – Quaisquer dos ângulos opostos de um quadrilátero 
são suplementares. 
II – Quaisquer dos ângulos consecutivos de um 
paralelogramo são suplementares. 
III – Se as diagonais de um paralelogramo são 
perpendiculares entre si, então esse paralelogramo é o 
losango. 
Podemos garantir que: 
a) Todas são verdadeiras; 
b) Apenas I e II são verdadeiras; 
c) Apenas II e III são verdadeiras; 
d) Apenas II é verdadeira; 
e) Apenas III é verdadeira. 
 
 
16. Na figura, ABCD é um paralelogramo. AE é 
bissetriz de DÂB e EB = EC. A medida do ângulo 
BCD ˆ
 
é : 
a) 50º 
b) 52º 
c) 56º 
d) 60º 
e) 65º 
 
 
 
17. No trapézio isósceles da figura, DB é bissetriz de 
CDˆA e é perpendicular a BC. O ângulo CDˆB mede : 
a) 30º 
b) 35º 
c) 40º 
d) 45º 
e) 50º 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) A 3) B 4) C 5) E 6) D 7) C 
 
8) D 9) B 10) B 11) B 12) C 13) E 
 
14) E 15) C 16) B 17) A 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 6 
 
01. (FATEC-SP) Se os catetos de um triângulo 
retângulo T, medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, 
então a altura de T relativa à hipotenusa é: 
a) 12/5 m 
b) 5/13 m 
c) 12/13 m 
d) 25/13 m 
e) 60/13 m 
 
 
 
02. (Cesgranrio-RJ) Num triângulo retângulo em A, a 
altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos 
segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O 
menor lado do triângulo mede: 
a) 12,5 
b) 13 
c) 15 
 d) 16 
 e) 16,5 
 
 
 
 
03. ( FATEC – SP ) Na figura abaixo, ABCD é um 
retângulo. A medida do segmento 
EF
 é : 
a) 0,8 
b) 1,4 
c) 2,6 
d) 3,2 
e) 3,8 
 
 
 
 
 
04. ( PUC – SP ) A soma dos quadrados dos três lados 
de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a 
hipotenusa do triângulo ? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 8 
 
 
 
78º 
D E C 
A B 
 A B 
 D C 
F 
E 
D C 
B A 
3 
4 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Realce
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
97 
 
05. ( UFPA ) Uma corda de 3,9 m de comprimento 
conecta um ponto na base de um bloco de madeira a 
uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme 
o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto 
dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse 
bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na 
direção indicada abaixo, a distância x que o bloco 
deslizará será de: 
A) 1,0 m 
B) 1,3 m 
C) 1,6 m 
D) 1,9 m 
E) 2,1 m. 
 
 
 
 
06. ( Enem – 2006 ) Na figura abaixo, que representa o 
projetode uma escada com 5 degraus de mesma 
altura, o comprimento total do corrimão é igual a 
A) 1,8 m. 
B) 1,9 m. 
C) 2,0 m. 
D) 2,1 m. 
E) 2,2 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de 
comprimento está encostado na parede vertical de um 
edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da 
base do edifício, como na figura. Se o topo da escada 
escorregar 4m para baixo ao longo da parede, qual será 
o deslocamento do pé da escada? 
A) 4 m 
B) 8 m 
C) 9 m 
D) 13 m 
E) 15 m 
 
 
 
 
 
 
08. ( UnB ) De um círculo, conhece-se apenas a parte 
que é representada na figura abaixo. Então, a medida 
de seu raio é : 
a) 3m 
b) 4m 
c) 5m 
d) 6m 
e) 7m 
 
09. ( FATEC ) O valor do raio da circunferência de 
centro O da figura é : 
a) 7,5 
b) 14,4 
c) 12,5 
d) 9,5 
 
 
 
 
 
10. ( UFRJ ) Duas circunferências são tangentes 
exteriores. A distância entre seus centros é de 13 cm e 
a diferença entre seus raios é de 5 cm. A medida do raio 
menor, do raio maior e do segmento 
AB
 da reta 
tangente comum às circunferências, nessa ordem, é : 
a) 3; 8; 11 
b) 4; 9; 12 
c) 3; 8; 12 
d) 4; 9; 11 
e) 5; 10; 13 
 
 
 
11. ( MACK – SP ) A circunferência de raio a é 
tangente às duas semicircunferências menores e à 
semicircunferência maior. Se 
NPMN 
= R, então a é 
igual a: 
a) 
2
2R
 
b) 
2
3R
 
c) 
4
R
 
d)
3
R
 
e)
2
R
 
 
12. ( ENEM - 2012 ) Em exposições de artes plásticas, é 
usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas 
giratórias. Uma medida de segurança é que a base da 
escultura esteja integralmente apoiada sobre a 
plataforma. Para que se providencie o equipamento 
adequado, no caso de uma base quadrada que será 
fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico 
do evento deve estimar a medida R do raio adequado 
para a plataforma em termos da medida L do lado da 
base da estátua. 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá 
apresentar de modo que a exigência de segurança seja 
cumprida? 
A) R ≥ L / 2 
B) R ≥ 2L / π 
C) R ≥ L / 

 
D) R ≥ L / 2 
E) R ≥ L / (2
2
) 
 
3m 
1m 
3m 
A 
B 
5 
O 
10 10 
 
M N P 
a 
Rinaldo
Realce
Rinaldo
Nota
fiz na cagadanull
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
98 
 
13. ( PUC – Campinas ) Um quadrado tem dois vértices 
numa circunferência e um lado tangente a ela no ponto 
T, como mostra a figura. Se a área do quadrado é 64 
cm2, o raio da circunferência é: 
a) 4
2
 
b) 3
2
 
c) 5
2
 
d) 5 
 
 
 
 
14. Uma corda foi amarrada do ponto A ao ponto B 
contornando um bloco retangular maciço cujas 
dimensões são: 3m, 2m e 6m como indicado na 
figura abaixo. A medida dessa corda é: 
A) 9 metros 
B) 10 metros 
C) 11 metros 
D) 12 metros 
E) 13 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. ( ENEM – 2010 ) Uma fábrica de tubos acondiciona 
tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos 
cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro 
tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente 
em um tubo com raio maior. 
Suponha que você seja o operador da máquina que 
produzirá os tubos maiores em que serão colocados, 
sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. 
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for 
igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser 
ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base 
igual a 
A) 12 cm 
B) 12
2
cm 
C) 24
2
cm 
D) 6(1 + 
2
)cm 
E) 12(1 + 
2
)cm 
 
 
16. ( ENEM – 2010 ) Devido aos fortes ventos, uma 
empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a 
segurança de suas plataformas marítimas, colocando 
cabos de aço para melhor afixar a torre central. 
Considere que os cabos ficaram perfeitamente 
esticados e terão uma extremidade no ponto médio das 
arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular 
regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que 
é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da 
torre central e centro coincidente com o centro da base 
da pirâmide), como sugere a ilustração. 
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, 
respectivamente, 24 m e 6
2
m e o lado da base da 
plataforma mede 19
2
m, então a medida, em metros, 
de cada cabo será igual a 
 
A) 
288
 
B) 
313
 
C) 
328
 
D) 
400
 
E) 
505
 
 
 
 
 
17. (ENEM-2013) Um restaurante utiliza, para servir 
bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os 
copos desse restaurante têm o formato representado na 
figura. 
Considere que 
BDAC
5
7

 
e que L é a medida de um 
dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor 
valor da razão 
 
 para que uma bandeja tenha 
capacidade de portar exatamente quatro copos de uma 
só vez? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. A logomarca de uma empresa é composta de 
círculos tangentes, como indicados na figura abaixo. 
Essa empresa resolveu fazer chaveiros com o mesmo 
formato dessa logomarca, para presentear seus 
clientes. Se o raio do circulo menor deve medir 1cm, 
qual medida, aproximada, do raio dos outros dois 
círculos? ( considere
2
= 1,4 ) 
A) 2,5 cm e 6 cm 
B) 2,1 cm e 5,6 cm 
C) 2,8 cm e 6,2 cm 
D) 2,2 cm e 5,8 cm 
 
 
 
 
3 m 
2 m 
6 m 
A 
B 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
99 
 
19. ( Fuvest – SP ) Num plano são dadas duas 
circunferências de raios R e r cujos centros distam de 
um comprimento a, a > R + r. Uma reta tangencia as 
circunferências nos pontos P e Q e encontra o 
segmento que une seus centros. Determinar a distância 
PQ em função de a, R e r . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. ( UFMG ) Os círculos C1, C2 e C3 são tangentes à 
reta r e entre si dois a dois. Se os raios de c1 e c2 
valem 6
2
 cm, o raio de c3, em cm é: 
a) 2
2
 
b) 
4
27
 
c) 
2
23
 
d) 
3
24
 
e) 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) E 2) C 3) B 4) B 5) C 6) D 
 
7) B 8) C 9) C 10) B 11) D 12) A 
 
13) D 14) B 15) D 16) D 17) D 
 
18) A 19) 
22 )( rRa 
 20) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 7 
 
01. ( PUC - SP ) Na figura, AB é diâmetro da 
circunferência. O menor dos arcos AC mede: 
a) 100º 
b) 120º 
c) 140º 
d) 150º 
e) 160º 
 
 
02. ( U. C. SALVADOR ) Sabendo que O1 e O2 são os 
centros das circunferências, calcule o valor de “x”. 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
e) 30º 
 
 
03. ( MACK - SP ) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 
20º e m(CÊD) = 70º. Então AMB é igual a: 
a) 50º 
b) 45º 
c) 60º 
d) 22º 30’ 
e) 30º 
 
 
 
 
 
 04. (UNIMONTES) Sendo O o centro do círculo, calcule 
o valor de x que aparece nos ângulos assinalados na 
figura abaixo. 
a) 12º 
b) 9º 
c) 18º 
d) 6º 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
05. ( UFMG – 99 ) Observe a figura: 
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulosABD e AÊD 
medem, respectivamente, 20º e 85º. 
Assim sendo, o ângulo 
DBˆC
 mede: 
a) 40º 
b) 25º 
c) 35º 
d) 30º 
 
 
 
 
c1 c2 
r 
A 
B 
D 
E 
C 
C 
A B 40º 
6x + 48º 
5x 
V 
B 
A 
O 
 A B 
E 
D C 
M 
 
x 
O1 O2 
80º 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
100 
 
06. ( UFGO ) Se a corda AB da figura é um lado de um 
triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro 
em O, a medida do ângulo , em radianos é: 
a) 2/3 
b) 3/2 
c) 3/4 
d) /3 
e) /6 
 
 
 
 
 
 
07. ( FEI – SP ) Na figura, ABCD é um quadrilátero 
inscrito num círculo; x e y são as medidas, em graus, 
de 
DCA ˆ
 e 
CDA ˆ
, respectivamente. O valor de y – x é : 
a) 55º 
b) 35º 
c) 50º 
d) 42º 30’ 
e) 45º 
 
 
 
 
 
 
 
08. ( UECE – 2000 ) Na figura, a reta MN é tangente à 
circunferência em P, a secante MQ passa pelo centro 
O da circunferência e a medida do ângulo QMP é 40º. 
A medida do ângulo 
QPN ˆ
 é igual a : 
a) 65º 
b) 60º 
c) 55º 
d) 50º 
 
 
 
 
 
 
09. (UFMG) – Na figura A, B e D são pontos da 
circunferência de centro O e diâmetro AC, M é ponto 
médio da corda AB e o ângulo 
MDA ˆ
 mede 35º. A 
medida x do ângulo BÂC em graus, é : 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 35 
e) 37,5 
 
 
 
 
10. ( PUC – SP ) Na figura abaixo, AP é tangente e AB 
é secante à circunferência. Se o arco b = 100º e  = 
50º, a medida do arco a, em graus, é igual a: 
a) 50 
b) 60 
c) 65 
d) 75 
e) 80 
 
 
 
11. ( UFES ) Na figura, a medida de em graus é : 
a) 50º 
b) 52º 
c) 54º 
d) 56º 
e) 58º 
 
 
 
 
12. ( UC - Salvador ) Na figura abaixo, o triângulo ABC 
é isósceles de base BC e BD é a bissetriz do ângulo 
de vértice B. A medida  do ângulo assinalado é: 
a) 55º 
b) 50º 
c) 45º 
d) 40º 
e) 35º 
 
 
 
 
 
13. ( UFMG ) Observe a figura abaixo. 
Suponha que as medidas dos ângulos 
QSˆP
, 
RSˆQ
 e 
RPˆS
, assinalados na figura, sejam 45º, 18º e 38º, 
respectivamente. A medida do ângulo 
SQˆP
, em graus, 
é: 
a) 38º 
b) 63º 
c) 79º 
d) 87º 
 
 
 
 
14. ( CESGRANRIO ) As semi-retas PM e PN são 
tangentes ao círculo da figura e o comprimento do arco 
NGM
 é 4 vezes o do arco NFM . O ângulo NPˆM vale: 
a) 76º 
b) 80º 
c) 90º 
d) 108º 
e) 120º 
 
40º 
45º 
B 
A D 
C 
a 
b B 
P A 
M 
G P 
N 
F 
 
32º 
 35º 
A 
D 
C B 
M P N 
O 
Q 
O  
A 
B 
S 
Q 
R 
P 
38º 
45º 18º 
 B 
O 
M 
C A 
D 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
101 
 
15. ( CESGRANRIO ) Em um círculo de centro O, está 
inscrito o ângulo . Se o arco 
BMA
 mede 130º, o 
ângulo mede : 
a) 25º 
b) 30º 
c) 40º 
d) 45º 
e) 50º 
 
 
 
16. ( PUC – SP ) O pentágono ABCDE abaixo está 
inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central 
CÔD mede 60º. Então x + y é igual a: 
a) 180º 
b) 185º 
c) 190º 
d) 210º 
e) 250º 
 
 
 
 
17. ( UFMG ) De um ponto M, exterior a um círculo de 
centro O, traçam-se as tangentes MA e MB. Se a corda 
AB é um lado do pentágono regular inscrito nesse 
círculo, a medida do ângulo 
BMA ˆ
 é: 
a) 144º 
b) 120º 
c) 108º 
d) 96º 
e) 72º 
 
 
 
 
18. ( MACK ) Na figura, temos um trapézio inscrito. Se o 
menor dos arcos AB = 60º, então o menor dos arcos MN 
mede: 
a) 90º 
b) 110º 
c) 120º 
d) 140º 
e) 150º 
 
19. ( VUNESP ) Os pontos A, B, C, D, E, e F 
pertencem à circunferência. O valor de  é ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. ( Cesgranrio ) Se, na figura, AB = 20º, BC = 124º, 
CD = 36º e DE = 90º, então o ângulo x mede: 
a) 34º 
b) 35º 30’ 
c) 37º 
d) 38º 30’ 
e) 40º 
 
 
 
 
 
21. ( Fuvest - SP ) Numa circunferência está inscrito um 
triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da 
circunferência. O ângulo BÂC mede: 
a) 15º 
b) 30º 
c) 36º 
d) 45º 
e) 60º 
 
 
22. ( MACK ) Na figura abaixo, tem-se m(BÂD) = 108º 
e m( CDˆA ) = 112º. A medida de CBˆE é: 
a) 68º 
b) 72º 
c) 108º 
d) 112º 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
13) ( CESGRANRIO ) Um quadrilátero convexo está 
inscrito em um círculo. A soma em radianos, dos 
ângulos e  mostrados na figura é: 
a) /4 
b) /2 
c)  
d) 3/2 
e) 2 
 
 
GABARITO 
 
1) A 2) C 3) E 4) A 5) B 6) A 7) A 
 
8) A 9) A 10) E 11) E 12)D 13) C 
 
14) D 15) A 16) D 17) C 
 
 18) C 19) 50º 20) C 21) B 
 
22) D 23) C 
 
 
 
 
A B 
M N 
75º 
A 
B 
C 
D 
E 
x 
E 
B 
A 
C 
D 
A 
M 
B 
O 
 
 
A 
C 
B 
 
F 
E 
D 
120º 
110º 
A 
B E 
O 
C D 
x y 
M 
O 
A B 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
102 
 
EXERCÍCIOS 8 
 
1) ( CESCEM ) Seja P o ponto de tangência da 
circunferência inscrita no triângulo ABC, com o lado 
AB. Se AB = 7, BC = 6 e AC = 8, quanto vale AP ? 
 
 
 
 
2) Na figura, determine a medida do segmento BD 
sabendo que a circunferência de centro O está 
inscrita no triângulo ABC, e que os lados AB, BC e 
AC medem respectivamente 6cm, 8cm e 10cm. 
 
 
 
 
 
3) ( UFMG ) Na figura, o círculo está inscrito no 
triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC 
= 8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência. 
A medida de MB é : 
a) 5 cm 
b) 5,5 cm 
c) 6 cm 
d) 6,5 cm 
 
 
 
4) Na figura, PA = 10 cm. Calcule o perímetro do 
triângulo PRS sabendo-se que RS é tangente à . 
 
 
 
 
 
 
5) Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC, 
retângulo em A. Se BM = 6 m e MC = 4 m, o raio 
do círculo é : 
a) 1,8 
b) 2,0 
c) 2,2 
d) 2,4 
e) 2,5 
 
 
 
6) Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no 
trapézio retângulo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
7) ( F.C.M.S.C ) Na figura abaixo, o valor de d é : 
a) 
ab 
 
b) 
ab2
 
c) 
ab2
 
d) 
baa2 
 
e) 
a2ab2 
 
 
 
8) ( MACK – SP ) A hipotenusa de um triângulo 
retângulo é 8 e o raio do círculo inscrito é 2. O 
perímetro do triângulo é igual a: 
a) 28 
b) 26 
c) 24 
d) 22 
e) 20 
 
 
 
 
9) ( EPUSP ) As bases de um trapézio isósceles 
circunscrito a uma circunferência medem 9m e 
6m. Cada um dos outros dois lados do trapézio 
mede: 
a) 4,5 m 
b) 6 m 
c) 7,5 m 
d) 8 m 
e) n.d.a 
 
 
10) ( UFMS ) Na figura abaixo, tem-se uma 
circunferência inscrita num triângulo ABC, retângulo 
em A e isósceles. Se a hipotenusa do triângulo 
mede 8
2
cm, o raio da circunferência, em cm, é 
: 
a) 
824 
 
b) 
284
 
c) 
248
 
d) 
236
 
 
 
A 
B D C 
A R 
S B 
P 
A 10 
13 
15 B C 
D 
C 
A M B 
A 
C M B 
A B 
C 
a 
b 
d 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
10311) A figura abaixo representa uma praça triangular. 
Nela deseja-se fazer um heliporto circular com a 
maior área possível. O raio desse círculo será? 
A) 3 metros 
B) 3,5 metros 
C) 4 metros 
D) 4,5 metros 
E) 5 metros 
 
 
12) (ENEM – 2010) Uma metalúrgica recebeu uma 
encomenda para fabricar, em grande quantidade, 
uma peça com o formato de um prisma reto com 
base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 
8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve 
ser vazada de tal maneira que a perfuração na 
forma de um cilindro circular reto seja tangente às 
suas faces laterais, conforme mostra a figura. 
O raio da perfuração da peça é igual a 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
 
 
 
GABARITO 
1) 4,5 2) 2 3) C 4) 20 5) B 6) 6 7) C 
 
8) E 9) C 10) C 11) C 12) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 10 
 
7) ( UFRJ – 99 ) Na figura, o triângulo AEC é 
equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2cm. 
Calcule a distância do vértice B ao vértice E . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) ( PUC/RIO – 2001 ) Qual a razão entre os raios dos 
círculos circunscrito e inscrito de um triângulo 
equilátero de lado a ? 
a) 2 
b) 
3
 
c) 
2
 
d) 3a 
e) 
2a3.
 
 
 
9) ( UFPA ) Uma pista de atletismo está representada 
na figura abaixo, sendo que os arcos são 
semicircunferências. Nesse contexto, assinale a 
única alternativa correta. 
A) O contorno interno da pista é maior que 290 m. 
B) A área da região englobada pela pista é maior 
que 4500 m2 
C) A área da pista é maior que 3200 m2 
D) O contorno externo da pista é menor que 350 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) (PUC – SP) A figura mostra um hexágono regular 
de lado a a diagonal AB mede ? 
a) 2a 
b) a
2
 
c) 
2
3a
 
d) a
3
 
 
 
 
24 m 
10 m 
A 
B 
B 
C 
E 
A 
D 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
104 
 
11. (FIP-2013) A quadratura do círculo 
Quando uma pessoa está fazendo um cálculo errado, 
absurdo, é comum dizer que ela quer “quadrar o 
círculo”. 
 
Essa expressão significa, simplesmente, que, dado 
um círculo, deve-se construir um quadrado que 
tenha exatamente a mesma área do círculo, usando 
somente uma régua não graduada e um compasso. 
É muito fácil construir um quadrado de área 
aproximadamente igual à de um círculo dado. 
Sobre a situação apresentada, três estudantes 
formularam as seguintes hipóteses: 
I – Abel: Para que um quadrado tenha área igual à de 
um círculo de raio 1, seu lado deve medir 

. 
II – Bianca: Se um círculo possui área igual a 4, a 
diagonal do quadrado de mesma área mede 
22
. 
III – Camila: Um quadrado de lado igual a 5 possui 
mesma área de um círculo de raio igual a 
5
. 
É correto o que é afirmado em: 
A)somente III. 
B) I e III somente 
C) I e II somente 
D) I, II e III. 
 
12. (ENEM-2013) Em um sistema de dutos, três canos 
iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e 
colocados dentro de um cano de raio maior, de medida 
R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é 
necessário haver uma distância de 10 cm entre os 
canos soldados e o cano de raio maior. 
Essa distância é garantida por um espaçador de metal, 
conforme a figura: 
Utilize 1,7 como aproximação para . 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
A) 64,0. 
B) 65,5. 
C) 74,0. 
D) 81,0. 
E) 91,0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO 
 
 7) 
26 
 8) A 9) D 
 
10) D 11) D 12) C 
 
EXERCÍCIO 11 
 
01. (UFRGS) Os babilônios utilizavam a fórmula A = (a 
+ c).(b + d)/4 para determinar aproximadamente a área 
de um quadrilátero com lados consecutivos de medidas 
a, b, c, d. 
Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre 
o valor aproximado da área obtido utilizando-se a 
fórmula dos babilônios e o valor exato da área é 
a) 11/4. 
b) 3. 
c) 13/4. 
d) 4. 
e) 21/4. 
 
 
 
 
 
02. ( UFMG ) Considere um trapézio isósceles ABCD, 
em que 
CDBCAB 
 = 4 cm. Se 
AD
 = 8 cm, pode-se 
afirmar que a área do trapézio, em cm2, é : 
a) 4
3
 
b) 6
3
 
c) 8
3
 
d) 12
3
 
e) 24
3
 
 
 
 
03. ( U. E. Londrina ) O Tangram é um quebra-cabeça 
de origem chinesa. É formado por cinco triângulos 
retângulos isósceles ( T1, T2, T3, T4 e T5 ), um 
paralelogramo ( P ) e um quadrado ( Q ) que, juntos, 
formam um quadrado, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Em relação às áreas das figuras, é correto afirmar : 
a) Se a área de Q é 1, então a área do quadrado 
maior é 4. 
b) A área de T1 é o dobro da área de T3. 
c) A área de T4 é igual à área de T5. 
d) A área de T5 é um quarto da área do quadrado 
maior. 
e) A área de P é igual à área de Q. 
 
 
 
04. ( Conc. Publ./ MG – 2002 ) Para facilitar o cálculo 
da área de um terreno, representado pela figura 
poligonal fechada abaixo, foi superposto a ela um 
reticulado onde cada um de seus menores quadrados 
tem área igual a 10 m2. 
A D 
B C 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
105 
 
Utilizando-se esse recurso, a área desse terreno foi 
estimada em : 
a) 390 m2 
b) 470 m2 
c) 510 m2 
d) 630 m2 
 
 
 
 
 
 
05. ( PUC – Poços / 2001 ) Na figura, o quadrilátero 
ABCD é um quadrado de lado medindo 4 m. O ponto 
E se desloca sobre o lado 
AB
, em direção ao ponto 
A, a partir de B, de modo a formar o retângulo AEFG, 
em que 
EF
= 
EB
= x. A medida da área desse 
retângulo, expressa em função de x, é : 
a) 4 – x2 
b) 2x – x2 
c) 3x – x2 
d) 4x – x2 
e) n.d.a 
 
 
 
06. (Escola Técnica Federal - RJ) O perímetro de um 
hexágono regular inscrito em um círculo de 25 cm2 de 
área é igual a 
a) 150 cm 
b) 75 cm 
c) 25 cm 
d) 15 cm 
e) 30 cm 
 
 
07. ( Mack – 97 ) No hexágono regular da figura, a 
distância do vértice E à diagonal AC é 3. Então a 
área do polígono assinalado é: 
a) 6 
b) 4
3
 
c) 5
3
 
d) 6
3
 
e) 8
3
 
 
 
 
08. ( CESCEM ) A figura abaixo representa um 
hexágono regular, inscrito num círculo de centro O e 
raio medindo 6
2
. A área da região assinalada na 
figura é : 
a) 72 – 32
3
 
b) 72 – 108
3
 
c) 96 – 32
3
 
d) 36 – 192
3
 
e) 36 – 32
3
 
09. ( Vunesp – SP ) Uma empresa tem o seguinte 
logotipo : 
 
 
 
 
 
 
Se a medida do raio da circunferência inscrita no 
quadrado é 3 cm, a área, em cm2, de toda a região 
pintada de preto é : 
A) 9 – 
4
9
 
B) 18 – 
4
9
 
C) 18 – 
2
9
 
D) 36 – 
4
9
 
E) 36 – 
2
9
 
 
 
10. ( U. E. Londrina ) Na figura, ABCD é um quadrado 
cujo lado mede a . Um dos arcos está contido em uma 
circunferência de centro C e raio a , e o outro é uma 
semi- circunferência de centro no ponto médio de BC e 
de diâmetro a . A área da região hachurada é : 
 
 
 
 
 
 
 
a) Um quarto da área do círculo de raio a. 
b) Um oitavo da área do círculo de raio a. 
c) O dobro da área do círculo de raio 
2
a
. 
d) Igual a área do círculo de raio 
2
a
. 
e) A metade da área do quadrado. 
 
 
 
 
11. ( MACK – 2001 ) Na figura, ABCD é um quadrado 
e o arco AP tem centro em D. Se a área assinaladamede 
8
4 
, o perímetro do quadrado é igual a: 
A) 2 
B) 4
2
 
C) 4 
D) 
2
 
E) 8 
 
 
A 
B C 
D 
E F 
O 
 
 A D 
B C 
 
P 
A B 
D C 
A B 
D C 
E 
F G 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
106 
 
12. ( MACK – SP ) É dado um hexágono regular de 
lado 2. A área da figura que se obtém eliminando do 
hexágono a sua interseção com os 6 círculos de raios 
unitários e centros, respectivamente, nos vértices do 
hexágono é : 
a) 6
3
 – 2 
b) 3
6
 –  
c) 
6
 – 
3
 
d) 6. (
3
 –  ) 
e) n. d. a 
 
 
 
 
13. ( Mackenzie – SP ) Na figura a seguir, os círculos 
internos são iguais e a região assinalada tem área 8( 
– 2). Então a área do círculo externo é: 
a) 20 . 
b) 16 . 
c) 8 . 
d) 4 . 
e) 2 . 
 
 
 
 
 
 
14. ( Cesgranrio ) O polígono a seguir, em forma de 
estrela, tem todos os lados iguais a 1 cm e todos os 
ângulos iguais a 60° ou 240°. Sua área é: 
a) 3 cm2 
b) 3
3
 cm2 
c) 6 cm2 
d) 6
3
 cm2 
e) 9 cm2 
 
 
 
 
15. ( UFRJ ) O Tangram é um antigo quebra-cabeça 
chinês formado por um quadrado decomposto em sete 
peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um 
quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a 
partir da figura A por meio de translações e rotações de 
seis dessas peças. A razão da área da figura A para a 
área da figura B é: 
a) 8/7 
b) 8/6 
c) 7/6 
d) 1 
e) 8/9 
 
 
 
 
 
 
16. ( CFTCE ) Calcule a área hachurada da figura, 
sabendo-se que "O" é o centro das circunferências e 
OA = 4 cm e AB = 5 cm. 
a) 65 / 2 cm2 
b) 63 / 2 cm2 
c) 61 / 2 cm2 
d) 59 / 2 cm2 
e) 57 / 2 cm2 
 
 
 
 
 
17. ( UFRS ) Na figura abaixo, C é o centro do círculo, 
A é um ponto do círculo e ABCD é um retângulo com 
lados medindo 3 e 4. Entre as alternativas, a que 
apresenta a melhor aproximação para a área da região 
sombreada é 
a) 6,5 
b) 7,0 
c) 7,5 
d) 8,0 
e) 8,5 
 
 
 
 
18. ( CFTMG ) O quadrilátero ABCD da figura abaixo 
tem 16 cm2 de área. M e N são pontos médios dos 
lados CD e BC respectivamente. 
A área do triângulo AMN, em cm2, é 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. ( CFTMG ) Na figura seguinte, o quadrado ABCD 
tem área igual a 100 cm2. Sabe-se que AE = AF e que 
as medidas de AE e EB estão na razão de 1 para 4. A 
área do quadrilátero CEFD, em cm2, é 
a) 58 
b) 63 
c) 64 
d) 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
107 
 
20. ( PUC – MG ) O ponto O é o centro de uma 
circunferência de raio r, conforme a figura. A área da 
região sombreada, em função de r, é: 
a) (r2 )/4 
b) [r2 ( – 2)]/4 
c) [r2 ( – 2)]/2 
d) [r2 ( + 4)]/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. ( UFG – 2000 ) Um quadrado de 4 cm de lado é 
dividido em dois retângulos. Em um dos retângulos, 
coloca-se um círculo tangenciando dois de seus lados 
opostos, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Determine o raio que o círculo deve ter, para que a 
soma das áreas do círculo e do retângulo, que não o 
contém, seja a menor possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. ( UFJF – 2001 ) Na figura abaixo, temos que os 
arcos ADB, BEC e ABC são semicircunferências de 
diâmetros AB , BC e AC , respectivamente. Mostre 
que a área sombreada é igual à área do triângulo ABC 
inscrito na semicircunferência ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. ( UEL – PR ) Uma lembrança de festa foi 
confeccionada em cartolina a partir de um hexágono 
regular de lado igual a 3 cm. Com centro em cada 
vértice foram construídos semicírculos com raio igual ao 
lado do hexágono. A seguir, foi retirada a região do 
semicírculo que ficava por baixo do semicírculo 
seguinte, resultando a figura abaixo. Use o valor 3,14 
para  e 1,73 para 
3
. 
A alternativa que contém o valor mais aproximado da 
área total da figura é : 
a) 113,04 cm2 
b) 108,14 cm2 
c) 103,22 cm2 
d) 84,78 cm2 
e) 82,52 cm2 
 
 
 
GABARITO 
 
1) C 2) D 3) E 4) C 5) D 6) E 7) C 
 
8) B 9) B 10) B 11) C 12) A 13) B 
 
14) B 15) A 16) A 17) C 18) A 
 
19) A 20) B 21) 4/ 22) 23) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
A 
B 
D 
C 
E 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
108 
 
01. (UECE/2011) Se os números x1, x2 e x3 formam, 
nesta ordem, uma progressão aritmética, com x2 = 1, 
então o valor de 
9log
(x1+ x2 + x3) é: 
A) 0. 
B) 1/2. 
C) 1. 
D) 3/2. 
E) 5/2. 
 
 
 
02. (IBMEC SP/2011) Um número triangular é um inteiro 
da forma 
2
)1n(n 
, sendo n um inteiro positivo. 
Considere a tabela: 
 
A soma dos algarismos de X é 
A) 10. 
B) 11. 
C) 12. 
D) 13. 
E) 14. 
 
 
 
03. (PUC MG) A soma de três números naturais em 
progressão aritmética é trinta; a diferença entre o maior 
e o menor destes números é doze. O menor termo 
dessa progressão é igual a: 
A) 2. 
B) 3. 
C) 4. 
D) 5. 
E) 6. 
 
 
04. (PUC PR) O 4.º e o 9.º termos de uma progressão 
aritmética crescente são as raízes de x2 - 8x - 9 = 0. O 
1.º termo desta progressão é: 
A) -1. 
B) -5. 
C) -3. 
D) -9. 
E) -7. 
 
 
 
05. (UNESP SP) Duas pequenas fábricas de calçados, 
A e B, têm fabricado, respectivamente, 3.000 e 1.100 
pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a 
fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 
pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a 
produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica 
B superará a produção de A a partir de 
A) Março. 
B) Maio. 
C) Julho. 
D) Setembro. 
E) Novembro. 
 
 
 
06. Acompanhando o desenvolvimento de uma 
população de vírus, certo biólogo montou a seguinte 
tabela, que apresenta o número de vírus ao final de 
cada um dos 5 primeiros minutos: 
 
Supondo-se que o ritmo de crescimento dessa 
população tenha continuado a obedecer a essa mesma 
lei, o número de vírus, ao final de 50 minutos, era: 
A) 87. 
B) 90. 
C) 197. 
D) 200. 
E) 210. 
 
 
07. (PUC SP) Sobre as casas de um grande tabuleiro 
de xadrez devem ser colocados grãos de arroz, em 
quantidades que obedeçam a uma lei de formação 
sequencial, conforme é mostrado na figura seguinte. 
 
A quantidade de grãos de arroz que devem ser 
colocados na casa em que se encontra o ponto de 
interrogação é um número compreendido entre 
A) 170 e 175. 
B) 175 e 180. 
C) 180 e 185. 
D) 185 e 190. 
E) 190 e 195. 
 
 
08. (PUC PR) Qual a soma dos múltiplos de 7 
compreendidos entre 1 e 100? 
A) 735. 
B) 742. 
C) 728. 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
109 
 
D) 749. 
E) 746. 
 
 
09. (FGV /2005) A tabela indica a sequência de teclas 
digitadas em uma calculadora (da esquerda para a 
direita) e o resultado apresentado no visor após a 
sequência: 
 
 
Sabendo que X e Y representam dois algarismos de 0 a 
9, e que após digitarmos X + Y seguido de 20 vezes 
a digitação da tecla = obtivemos o número 87, é 
corretoafirmar que X + Y é igual a: 
A) 12. 
B) 11. 
C) 10. 
D) 9. 
E) 8. 
 
 
10. (IBMEC SP) Considere a sequência de matrizes 
abaixo: 
 
O maior número que constará da 27ª matriz é: 
A) 222. 
B) 220. 
C) 216. 
D) 214. 
E) 208. 
 
 
11. (UFV MG) Os números inteiros x + 1, 2x e 5, nesta 
ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de 
x2 é: 
A) 9. 
B) 4. 
C) 1. 
D) 0. 
E) -2. 
 
 
12. (MACK SP) Na sequência (a1, a2, a3, ....), de 
décimo termo 92, tem-se que a2 – a1 = 2, a3 – a2 = 4, a4 
– a3 = 6 e assim sucessivamente. O valor de a1 é 
A) 2. 
B) 0. 
C) 8. 
D) 1. 
E) 3. 
 
 
13. (UNIFESP SP) A soma dos termos que são 
números primos da sequência cujo termo geral é dado 
por an = 3n + 2, para n natural, variando de 1 a 5, é: 
A) 10. 
B) 16. 
C) 28. 
D) 33. 
E) 36. 
 
 
14. (UNIMONTES MG) Se ( 3 – x, x, 
x9
) é uma 
progressão aritmética, seu 6.º termo é 
A) 5. 
B) −5. 
C) 0. 
D) 3. 
E) 6. 
 
 
15. (MACK SP) No primeiro semestre deste ano, a 
produção de uma fábrica de aparelhos celulares 
aumentou, mês a mês, de uma quantidade fixa. Em 
janeiro, foram produzidas 18.000 unidades e em junho, 
78.000. Se a fábrica exporta 30% de sua produção 
mensal, o total de aparelhos celulares exportados nos 
meses de março e abril foi: 
A) 32.400. 
B) 30.600. 
C) 24.500. 
D) 26.200. 
E) 28.800. 
 
 
16. (Unifra RS/2012) O décimo sexto elemento da 
sequência abaixo tem uma quantidade de cubos igual a 
 
A) 73. 
B) 74. 
C) 75. 
D) 76. 
E) 77. 
 
 
17. (UEPB) Programado para soar de 20 em 20 
minutos, um relógio soou às 10 h e 30 min. A partir 
desse horário quantos toques serão dados até às 15 h e 
30 min? 
A) 51. 
B) 31. 
C) 25. 
D) 15. 
E) 11. 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
110 
 
18. (UFAM) Durante 13 dias, um automóvel é submetido 
a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele 
percorre 30 km; no segundo, 45 km; no terceiro, 60 km; 
e assim sucessivamente, até o último dia, quando 
percorre x km. Então o valor de x/10 é: 
A) 35. 
B) 30. 
C) 45. 
D) 60. 
E) 21. 
 
 
 
19. (Anhembi Morumbi SP/2013) Uma pessoa está 
tomando diariamente 500 mg de um medicamento e, 
por ordem médica, diminuirá gradativamente a 
dosagem, até parar de usá-lo. Isso será feito da 
seguinte maneira: do 1.º ao 7.º dia, tomará 480 mg por 
dia, do 8.º ao 14.º dia reduzirá para 460 mg diárias, do 
15.º ao 21.º dia tomará diariamente 440 mg, e assim 
sucessivamente até parar de ingerir o medicamento. 
Contando a partir do primeiro dia em que essa pessoa 
passou a tomar 480 mg, o número de dias que ela ainda 
tomará o medicamento será 
A) 178. 
B) 182. 
C) 172. 
D) 168. 
E) 164. 
 
 
20. (OSEC-SP) Um jardim tem uma torneira e dez 
roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 
metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros 
da seguinte. 
Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde 
na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à 
torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. 
Após regar a última roseira e voltar à torneira para 
deixar o balde ele terá andado: 
a) 1200 m 
b) 1180 m 
c) 1130 m 
d) 1110 m 
e) 1000 m 
 
 
21. (UNIFESP) Se os primeiros quatro termos de uma 
progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente 
d/b é igual a 
A) 1/4 
B) 1/3. 
C) 2. 
D) 7/3. 
E) 5. 
 
22. (UFPel RS/2005) Durante anos, paleontólogos vêm 
buscando indícios que possam ajudar a desvendar o 
mistério da verdadeira origem do homem. A partir de 
várias investigações, foi possível conhecer algumas 
espécies de hominídeos, estimar altura e capacidade 
craniana. 
A ilustração abaixo mostra uma sequência da evolução 
da espécie, com relação à altura. Sabendo que as 
alturas estão em progressão aritmética, que a sua soma 
é 4,59 m e que a razão entre elas é 0,26 m, analise as 
afirmativas abaixo. 
 
 
I. A altura do Homo habilis é 1,27 m. 
II. O Homo sapiens é 0,52 m mais alto do que o Homo 
habilis. 
III. A altura do Homo erectus é a média aritmética das 
alturas do Homo sapiens e do Homo habilis. 
IV. A altura do Homo sapiens é 1,53 m. 
Estão corretas apenas as afirmativas 
A) I, II e III. 
B) II, III e IV. 
C) I e II. 
D) I e III. 
E) III e IV. 
 
 
23. (UNIFOR CE) Em uma progressão aritmética em 
que a2 = 3 e a3 = 2, é verdade que 
A) a5 = – 1. 
B) a10 = – 6. 
C) a15 = – 15. 
D) a50 = – 45. 
E) a100 = –99. 
 
 
24. (UNIFOR CE) Um casal tem três filhos cujas idades 
estão em progressão aritmética. Se a soma dessas 
idades é 36 anos e o filho mais velho tem 16 anos, 
quantos anos tem o filho mais novo? 
A) 6. 
B) 8. 
C) 10. 
D) 12. 
E) 14. 
 
 
25. (UNIFOR CE) Considere o seguinte problema: 
“As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo 
retângulo são numericamente iguais aos termos de uma 
progressão aritmética de razão 2. Determinar essas 
medidas”. 
É verdade que esse problema 
A) não tem solução. 
B) admite infinitas soluções. 
C) admite duas soluções sendo que em uma delas o 
menor cateto mede 5 cm. 
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111 
 
D) admite uma única solução, em que o maior cateto 
mede 6 cm. 
E) admite uma única solução, em que a hipotenusa 
mede 10 cm. 
 
 
26. (UNIFOR CE) Em um triângulo, as medidas dos 
ângulos internos estão em progressão aritmética. Se a 
menor dessas medidas é 10º, a maior delas é 
A) 90º. 
B) 100º. 
C) 110º. 
D) 120º. 
E) 130º. 
 
 
 
27. (UNIFOR CE) Hoje, as idades de três irmãos, em 
anos, são numericamente iguais aos termos de uma 
progressão aritmética de razão 3. Se daqui a 5 anos, a 
soma de sua idades for igual a 57 anos, atualmente, a 
idade do mais 
A) velho é 18 anos. 
B) jovem é 13 anos. 
C) velho é 16 anos. 
D) jovem é 11 anos. 
E) velho é 14 anos. 
 
 
 
28. (UFCG PB) Num período de 10 meses 
consecutivos, uma fábrica deseja produzir 60.000 pares 
de calçados, de modo que a produção a cada mês (a 
partir do segundo) seja 900 pares a mais, em relação ao 
mês anterior. Nessas condições, a produção ao final do 
primeiro mês deve ser de 
A) 1.980 pares. 
B) 1.950 pares. 
C) 1.910 pares. 
D) 1.890 pares. 
E) 1.850 pares. 
 
 
 
29. (UNIUBE MG) Um estacionamento cobra R$ 15,00 
pela primeira hora. A partir da segunda hora os preços 
caem em progressão aritmética, sendo que o valor da 
segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima segunda 
é R$ 4,00. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas 
nesse local, o seu proprietário gastará 
A) R$ 54,10. 
B) R$ 53,10. 
C) R$ 51,40. 
D) R$ 48,50. 
E) R$ 45,80. 
 
30. (EFOA MG) Para angariar recursos para formatura, 
uma turma de 3º ano do ensino médio de um colégio 
organizou uma rifa, cujos bilhetes foram numerados de 
3 em 3, de 100 a 997. Sabendo-se que os bilhetes 
foram vendidos a R$ 8,00 cada um e que foram 
vendidos 92% do total de bilhetes, o valor arrecadado 
com a rifa, em reais, foi: 
A) 2.304. 
B) 2.128. 
C) 2.248. 
D) 2.136. 
E) 2.208. 
 
 
 
31. (PUC RS) As medidas das alturas de três irmãos 
estão em Progressão Aritmética. Se o maior mede 1,68 
m e o de medida média tem 1,60 m, então o menor 
mede, aproximadamente, 
A) 1,42m. 
B) 1,50m. 
C) 1,52m. 
D) 1,54m. 
E) 1,58m. 
 
 
 
32. (MACK SP) As medidas dos lados de um triângulo 
retângulo estão em progressão aritmética. Se b é a 
medida do maior cateto, a área do triângulo é 
 
 
 
33. (UNESP SP) Em 05 de junho de 2004, foi 
inaugurada uma pizzariaque só abre aos sábados. No 
dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A 
partir daí, o número de fregueses que passaram a 
frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética 
de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 
pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados 
que se passaram, excluindo-se o sábado de 
inauguração, para que a cota máxima de fregueses 
fosse atingida pela primeira vez, foi: 
A) 15. 
B) 16. 
C) 17. 
D) 18. 
E) 26. 
 
34. (PUC MG) Um restaurante, que só abre aos 
sábados, foi inaugurado no dia 02 de julho de 2005, 
quando recebeu 60 fregueses. A partir daí, o número de 
fregueses que passaram a frequentar esse restaurante 
aumentou à razão de 12 pessoas por semana, até 
atingir a capacidade máxima de 180 pessoas, a qual 
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112 
 
tem se mantido. Sem contar o da inauguração, o 
número de sábados transcorridos, até que a capacidade 
máxima fosse atingida pela primeira vez, foi: 
A) 10. 
B) 12. 
C) 14. 
D) 16. 
E) 18. 
 
 
 
35. (UFU MG) Sabendo-se que o quinto e o oitavo 
termos de uma progressão aritmética crescente são as 
raízes da equação x2 – 14x + 40 = 0, seu terceiro termo 
é: 
A) –2. 
B) 0. 
C) 2. 
D) 14. 
E) –35. 
 
 
 
36. (PUC RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas 
estão em progressão aritmética. Se a segunda e a 
quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 
400,00, a primeira possui 
A) R$ 200,00. 
B) R$ 180,00. 
C) R$ 150,00. 
D) R$ 120,00. 
E) R$ 100,00. 
 
 
37. (UEPB) Com o intuito de atrair mais clientes, um 
estacionamento de veículos adotou a seguinte regra de 
pagamento para as primeiras 10 horas: 
1ª hora: valor a pagar R$ 3,00 
2ª hora: valor a pagar R$ 2,50 
A partir daí, cada hora terá um desconto de R$ 0,20. 
Quanto pagará um cliente se estacionar o seu carro por 
8 horas? 
A) R$ 10,00. 
B) R$ 15,00. 
C) R$ 14,50. 
D) R$ 16,30. 
E) R$ 19,20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) B 3) C 4) E 5)D 6)C 7) A 
 
8) A 9)B 10)D 11)B 12) A 13) D 
 
14) A 15) E 16) D 17) D 18) E 19) D 
 
20) B 21) D 22) A 23) D 24) B 25) E 
 
26) C 27) D 28) B 29) C 30) E 31) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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113 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTICA 
 
01. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o 
primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada: 
A) decrescente 
B) crescente 
C) constante 
D) alternante 
E) singular 
 
 
 
02. (Vunesp – SP) Várias tábuas iguais estão em uma 
madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a 
seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada 
uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na 
pilha. Por exemplo: 
 
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª 
pilha. 
 
 
 
 
 
03. (PUC-RIO) A sequência 10x , 10x+1 , 10x+2 ,... 
representa: 
A) uma progressão aritmética de razão 10. 
B) uma progressão aritmética de razão 1. 
C) uma progressão geométrica de razão 10. 
D) uma progressão geométrica de razão 1. 
E) nem progressão aritmética nem progressão 
geométrica. 
 
 
 
04. (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 
000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o 
restante em 5 parcelas que se encontram em 
progressão geométrica. Um cliente que optou por esse 
plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda 
parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 
000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na 
aquisição desse carro? 
 
 
 
 
 
05. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 
e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: 
A) -1700 
B) -850 
C) 850 
D) 1700 
F) 750 
 
 
06. (UDESC) O primeiro termo de uma progressão 
geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão 
dessa progressão é: 
A) 2 
B) 10 
C) 5 
D) 4 
E) 6 
 
 
 
07. ( UNESP ) No início de janeiro de 2004, Fábio 
montou uma página na internet sobre questões de 
vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à 
página. Supondo que o número de visitas à página, 
durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de 
visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 
foi 
a) 36 
b) 24 
c) 18 
d) 16 
e) 12 
 
 
 
08. (PUC - RIO) Na sequência 1, 3, 7,..., cada termo é 
duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o 
quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é: 
A) 1000 
B) 1002 
C) 1015 
D) 1023 
E) 1024 
 
 
 
09. (UDESC) Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem, 
uma progressão aritmética crescente, cuja soma é igual 
a 21. Então os termos 








cb,ac,
b2
ca
formam, 
nesta ordem, uma progressão geométrica de razão igual 
a: 
A) -2 
B) 2 
C) 16 
D) 4 
E) -4 
 
 
 
10. (FUVEST) Numa progressão geométrica de 4 
termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a 
soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da 
progressão. 
 
 
 
 
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114 
 
11. (MACKENZIE) A sequência de números reais e 
positivos dada por 
,...)2x2,11x,2x( 2 
 é uma 
progressão geométrica cujo sétimo termo vale: 
A) 96 
B) 192 
C) 484 
D) 252 
E) 384 
 
 
 
12. (Viçosa - MG) A superfície de certa folha vegetal 
aumenta 50% de semana em semana. Ao final de 5 
semanas de controle, foi medida sua superfície e 
obteve-se 30 cm². A superfície atingirá exatamente 60 
cm²: 
a) somente após a 10ª semana 
b) entre a 9ª e a 10ª semana 
c) entre a 7ª e a 8ª semana 
d) entre a 6ª e a 7ª semana 
e) precisamente na 10ª semana 
 
 
 
13. As idades de três irmãos são números inteiros que 
estão em PG. Se o produto dessas idades é 64 e a 
soma das idades dos dois mais velhos é 20, quantos 
anos têm cada um dos irmãos? 
 
 
 
 
 
 
14. (UFES) Uma pesquisa acompanhou o crescimento 
de uma colônia de bactérias. Na 1º observação 
constatou-se um total de 1500 bactérias. Observações 
periódicas revelaram que a população da colônia 
sempre duplicava em relação à observação 
imediatamente anterior. Em que observação a colônia 
alcançou a marca de 375 x 255 bactérias? 
a) 50ª 
b) 54ª 
c) 58ª 
d) 62ª 
e) 66ª 
 
 
15. (UFBA) Um jogador faz uma série de apostas e, na 
primeira vez, perde R$1,00; na segunda, duplica a 
aposta e perde R$2,00; na terceira, duplica a aposta 
anterior e perde R$4,00; e assim, sucessivamente, até 
ter perdido um total de R$255,00. Calcule quantas 
vezes o jogador apostou. 
 
 
 
 
 
16. (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro 
termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois 
primeiros é 24. Nessa progressão a razão é 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
 
 
 
17. (PUC) De acordo com a disposição dos números 
abaixo, 
 
A soma dos elementos da décima linha vale: 
A) 2066 
B) 5130 
C) 10330 
D) 20570 
E) 20660 
 
 
 
 
18. (PUC – MG ) Depois de percorrer um comprimento 
de arco de 12 m, uma criança deixa de empurrar o 
balanço em que está brincando. Se o atrito diminui a 
velocidade do balanço de modo que o comprimento de 
arco percorrido seja sempre igual a 80% do anterior, a 
distância total percorrida pela criança, em metros,até 
que o balanço pare completamente, é dada pela 
expressão: 
D = 12 + 0,80 × 12 + 0,80 × (0,80 × 12) + ... . 
Observando-se que o segundo membro dessa 
igualdade é a soma dos termos de uma progressão 
geométrica, pode-se estimar que o valor de D, em 
metros, é igual a: 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 60 
 
 
 
19. (UERJ) A figura 1 mostra um molusco 'Triton 
tritonis' sobre uma estrela do mar. 
Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, 
geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O 
esquema na figura 2 indica quatro desses 
semicírculos. 
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115 
 
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, 
FG, ...) formem uma progressão tal que (AB)/(BC) = 
(BC)/(CD) = (CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + 
DE + ... será equivalente a: 
a) 2 + 
3
 
b) 2 + 
5
 
c) 3 + 
3
 
d) 3 + 
5
 
e) 5 + 
3
 
 
 
 
20. ( Ufsm ) No piso do hall de entrada de um shopping, 
foi desenhado um quadrado Q1 de 10 m de lado, no qual 
está inscrito um segundo quadrado Q2 obtido da união 
dos pontos médios dos lados do quadrado anterior e, 
assim, sucessivamente, Q3, Q4, ..., formando uma 
sequência infinita de quadrados, segundo a figura. 
Dessa forma, a soma das áreas dos quadrados é de 
a) 25 m2 
b) 25
2
m2 
c) 200 m2 
d) 50
2
 m2 
e) 100 (2 + 
2
) m2 
 
 
 
 
 
21. ( ITA – SP ) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 
e 5 cm. A partir dele, constrói-se uma sequência de 
triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos 
lados de um triângulo são os vértices do seguinte. 
Dentre as alternativas abaixo, o valor em cm2 que está 
mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros 
triângulos assim construídos, incluído o triângulo inicial 
é: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
 
22. ( FGV – SP ) Na equação 1 + 
2x1
1

 + 
 22x1
1

+ 
... = 2 o primeiro membro é a soma dos termos de 
uma progressão geométrica infinita. A soma das raízes 
da equação é : 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
23. ( UFU – MG ) Seja S(x) = x – x3 + x5 – x7 + ... + (– 
1)n x2n – 1 + ... uma série geométrica. Se S(x) = 6/13, 
então, o valor de x é: 
a) 3/2 
b) 1/2 
c) 1/3 
d) 2/3 
e) 5/3 
 
 
24. (UNIFESP) No interior de uma sala, na forma de um 
paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com 
arestas de medidas 1, 1/3, 1/9, 1/27, e assim por 
diante, conforme mostra a figura. O menor valor para a 
altura h, se o empilhamento pudesse ser feito 
indefinidamente, é: 
a) 3 
b) 5/2 
c) 7/3 
d) 2 
e) 3/2 
 
 
 
 
 
 
 
25. (UFR – RJ) Uma forte chuva começa a cair na 
UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas 
de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois 
cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal 
forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a 
queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo 
entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à 
metade na medida em que a chuva piora. Se a situação 
assim se mantiver, em quanto tempo, 
aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a 
goteira se transformará em um fio contínuo de água ? 
 
 
 
 
 
 
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116 
 
 
26. ( UNI – BH ) A construção de modelos de pontos 
para números pentagonais satisfaz a uma sequência 
lógica de etapa para a outra, conforme se pode 
observar no desenho abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
considerando-se o exposto, pode-se afirmar que o 
número de pontos a mais que se terá da quinta para a 
sexta etapa é ? 
 
 
 
 
 
27. ( FEI – SP ) Um trabalho escolar de 150 páginas 
deverá ser impresso em uma impressora que apresenta 
os seguintes problemas: nas páginas 6, 12, 18, ... 
(múltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e nas 
páginas 8, 16, 24, ... (múltiplos de 8) falha o cartucho 
de tinta azul. Supondo-se que em todas as páginas do 
trabalho sejam necessárias as cores amarela e azul, 
quantas páginas serão impressas sem essas falhas? 
a) 105 
b) 107 
c) 113 *** 
d) 116 
e) 120 
 
 
GABARITO 
 
1) A 2) 2048 3) C 4) 8500,00 5)B 
 
6)A 7) E 8) D 9)D 10)3 11)B 12)D 
 
13) 1, 4, 16 14) B 15) 8 16) C 17) C 18)D 
 
19) D 20)C 21)A 22)A 23)D 24)E 25)60 
 
26)19 27)C 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
POLIEDROS 
 
01. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem 
seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O 
número de arestas e vértices do poliedro é, 
respectivamente 
A) 34, 10 
B) 19, 10 
C) 12, 10 
D) 19, 12 
 
 
 
02. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, numa de suas 
explorações, um cristal de rocha no formato de um 
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces 
triangulares. O número de vértices deste cristal é 
A) 35 
B) 34 
C) 33 
D) 32 
 
 
 
03. (PUCCAMP) Sobre as sentenças: 
I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
É correto afirmar que apenas: 
A) II é verdadeira 
B) III é verdadeira 
C) I e II são verdadeiras 
D) II e III são verdadeiras 
 
 
 
04. (PUCPR) Um poliedro convexo de 10 vértices 
possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. 
Qual é o número total de faces desse poliedro? 
A) 6 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
 
 
 
05. (UPE) Até 1985, as únicas formas conhecidas de 
organização de cadeias carbônicas puras e estáveis 
eram o diamante e o grafite. Nesse mesmo ano, três 
pesquisadores revelaram ao mundo a terceira forma 
estável de carbono além do diamante e do grafite. Os 
fulerenos, substância cuja molécula possui átomos de 
carbono nos vértices de um poliedro denominado de 
icosaedro truncado. Esse poliedro possui 12 faces 
pentagonais e 20 faces hexagonais. Pode-se afirmar 
que o número de vértices do icosaedro truncado é igual 
a 
A) 80 
B) 60 
C) 70 
D) 90 
 
 
06. (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces 
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o 
1ª ETAPA 2ª ETAPA 3ª ETAPA 
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117 
 
número de faces desse poliedro, sabendo que o número 
de arestas é o quádruplo do número de faces 
triangulares. 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
 
 
07. Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado 
por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas 
regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola 
de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do 
Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro? 
A) 54 
B) 60 
C) 64 
D) 68 
 
 
 
 
08. (UPF) É correto o que se afirma em: 
A) o tetraedro possui quatro faces quadrangulares. 
B) o tetraedro possui 12 arestas iguais. 
C) um poliedro regular que tem 6 faces quadrangulares 
tem 8 vértices. 
D) o hexaedro tem 6 faces triangulares. 
 
 
 
09. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a 
soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O 
número de vértices deste prisma é igual a 
a) 11 
b) 32 
c) 10 
d) 20 
e) 22 
 
 
 
10. (PUC-PR) Se a soma dos ângulos das faces de um 
poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas 
desse poliedro é: 
a) 12 
b) 8 
c) 6 
d) 20 
e) 4 
 
 
 
11. (PUC – MG ) Um poliedro convexotem 3 faces 
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o 
número de faces desse poliedro, sabendo que o número 
de arestas é o quádruplo do número de faces 
triangulares. 
 
 
 
 
 
12. (UF – AM) O número de faces de um poliedro 
convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. 
Então, qual o número de faces do poliedro? 
 
 
 
 
 
 
13. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. 
Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses 
vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, 
concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro 
é igual a: 
A) 16 
B) 18 
C) 24 
D) 30 
E) 44 
 
 
14. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma 
pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta 
pirâmide possui 
a) 33 vértices e 22 arestas. 
b) 12 vértices e 11 arestas. 
c) 22 vértices e 11 arestas. 
d) 11 vértices e 22 arestas. 
e) 12 vértices e 22 arestas. 
 
 
15. (Puccamp) Sobre as sentenças: 
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
é correto afirmar que APENAS 
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira. 
d) I e II são verdadeiras. 
e) II e III são verdadeiras. 
 
 
 
16. (Ita – SP) Um poliedro convexo de 10 vértices 
apresenta faces triangulares e quadrangulares. O 
número de faces quadrangulares, o número de faces 
triangulares e o número total de faces formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. O número de 
arestas é: 
a) 10 
b) 17 
c) 20 
d) 22 
e) 23 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
118 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) D 3) D 4) D 5) B 6) A 7) B 
 
8) C 9) E 10) A 11) 6 12) 12 13) A 
 
14) E 15) E 16) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRISMAS 
 
01. ( ENEM – 2010 ) Um porta-lápis de madeira foi 
construído no formato cúbico, seguindo o modelo 
ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do 
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é 
interno, mede 8 cm. 
O volume de madeira utilizado na confecção desse 
objeto foi de: 
A) 12 cm3 
B) 64 cm3 
C) 96 cm3 
D) 1216 cm3 
E) 1728 cm3 
 
 
 
02. (Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o 
volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três 
números em progressão geométrica. A área total desse 
cubo é: 
A) 20 
B) 48 
C) 24 
D) 18 
E) 12 
 
 
 
03. (Unesp) Sendo ABCDA'B'C'D' um cubo, calcular o 
seno do ângulo α. 
 
 
 
04. (Mackenzie) Se, no cubo da figura, a distância entre 
as retas t e u é 
23
cm, a área total desse cubo é: 
a) 150 cm2 
b) 300 cm2 
c) 216 cm2 
d) 180 cm2 
e) 280 cm2 
 
 
 
 
 
05. (ENEM – 2009) Considere um caminhão que tenha 
uma carroceria na forma de um paralelepípedo 
retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de 
comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. 
Suponha que esse caminhão foi contratado para 
transportar 240 caixas na forma de cubo com 1m de 
aresta cada uma e que essas caixas podem ser 
empilhadas para o transporte. 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
119 
 
Qual é o número mínimo de viagens necessárias para 
realizar esse transporte? 
A) 10 viagens. 
B) 11 viagens. 
C) 12viagens. 
D) 24 viagens. 
E) 27 viagens. 
 
 
 
06. (Enem) Uma editora pretende despachar um lote de 
livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 
30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes 
em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 
40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de 
caixas para esse envio é: 
A) 9 
B) 11 
C) 13 
D) 15 
E) 17 
 
 
 
07. ( CEFET – PR ) A diferença entre as áreas totais de 
dois cubos é 270 cm2. Se a aresta do menor dos cubos 
mede 7
3
cm, então a diferença entre as diagonais é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
08. (MACK) Aumentando em 1m a aresta de um cubo, a 
sua área lateral aumenta de 164 m2. O volume do cubo 
original é: 
a) 6000m3 
b) 7000m3 
c) 8000m3 
d) 12000m3 
e) 16400m3 
 
 
 
 
 
 
09. ( UFES ) Uma formiga para na superfície de um 
cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve 
seguir para ir de um vértice a um vértice oposto tem 
comprimento: 
a) a
2
 
b) a
3
 
c) 3.a 
d) ( 1 + 
2
) a 
e) a 
5
 
 
 
 
10. ( UFMG ) Considere um reservatório, em forma de 
paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de 
comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade. 
Bombeia-se água para dentro desse reservatório, 
inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. 
Com base nessas informações, é correto afirmar que, 
para se encher completamente esse reservatório, serão 
necessários 
a) 40 min . 
b) 240 min . 
c) 400 min . 
d) 480 min . 
 
 
 
11. ( Ufes – 2001 ) Um aquário em forma de 
paralelepípedo reto, de altura 50cm e base retangular 
horizontal com lados medindo 80cm e 60cm, contém 
água até um certo nível. Após a imersão total de uma 
pedra decorativa nesse aquário, o nível da água subiu 
0,5cm sem que a água entornasse. O volume da pedra 
imersa é : 
a) 1.200 cm3 
b) 1.500 cm3 
c) 2.000 cm3 
d) 2.400 cm3 
 
 
 
 
12. ( Unirio ) Na fabricação da peça acima, feita de um 
único material que custa R$ 5,00 o cm3, deve-se gastar 
a quantia de: 
a) R$ 400,00 
b) R$ 380,00 
c) R$ 360,00 
d) R$ 340,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. ( Unimontes – PAES ) Uma peça de madeira, com 
forma de paralelepípedo de base quadrada, foi 
seccionada determinando um cubo e um prisma 
quadrangular regular ( figura abaixo ). Sabendo-se que 
esse prisma forma com o plano da base um ângulo de 
30º e que a área lateral do cubo é 48 cm2, é possível 
afirmar que o volume do prisma determinado é: 
a) 12 cm3 
b) 4 cm3 
c) 6
3
cm3 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
120 
 
d) 48
3
 cm3 
 
 
 
 
14. (Enem) Prevenindo-se contra o período anual de 
seca, um agricultor pretende construir um reservatório 
fechado, que acumule toda a água proveniente da 
chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um 
período anual chuvoso. As ilustrações a seguir 
apresentam as dimensões da casa, a quantidade média 
mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do 
reservatório a ser construído. 
 
 
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de um metro quadrado, a profundidade (›) do 
reservatório deverá medir 
A) 4m 
B) 5m 
C) 6m 
D) 7m 
E) 8m 
 
 
15. ( UFMG ) Um tanque retangular, cuja base é um 
retângulo de 30 m por 20 m, está com água até o 
nível de 7,5 m. Se esse nível se eleva de 
3
5
 m 
quando um cubo sólido é completamente mergulhado 
no tanque, então a aresta do cubo mede: 
a) 7 m 
b) 8 m 
c) 9 m 
d) 10 m 
 
 
 
 
16. ( FAFEOD – 2002 ) Observe a figura a seguir, que 
representa uma escada de concreto, compacta, formada 
de três blocos retangulares, possuindo três degraus, 
cada um medindo 25cm de altura, 30cm de piso e 
1m de largura. 
Admitindo-se que o custo de cada metro cúbico de 
concreto seja R$ 200,00 , é correto concluir que na 
construção dessa escada, o gasto, em reais,relativo à 
compra de concreto será igual a : 
a) 80 
b) 125 
c) 90 
d) 100 
 
 
 
 
 
 
17. (PUCCAMP) De uma folha quadrada de papelão, 
com 60 cm de lado, devem ser cortados os quatro 
cantos, para montar a base inferior e as faces laterais 
de uma caixa de base quadrada, como mostram as 
figuras abaixo. 
Essa caixa será fechada com uma tampa de acrílico e, 
no seu interior, serão colocadas bolas com 3 cm de 
raio, acomodadas em uma única camada ou em várias 
camadas, dependendo da medida x da altura da caixa. 
Se todas as camadas devem ter o mesmo número de 
bolas, a maior quantidade de bolas que podem ser 
acomodadas é 
a) 72 
b) 64 
c) 48 
d) 24 
e) 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. (Ita – SP) As dimensões x, y, z de um 
paralelepípedo retângulo estão em progressão 
aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual 
a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 
694 cm2, então o volume deste paralelepípedo, em cm¤, 
é igual: 
A) 1.200 
B) 936 
C) 1.155 
D) 728 
E) 834 
 
 
 
 
 
 
19. (FGV – SP) A soma das medidas das 12 arestas de 
um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm. Se a 
distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo 
é 21 cm, sua área total, em cm2, é 
a) 776. 
b) 784. 
c) 798. 
e) 812. 
 
 
 
 
25 cm 
30 cm 
1m 
20m 7,5m 
30m 
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121 
 
 
20. (Uem) Uma indústria fabrica reservatórios sem 
tampa, em forma de paralelepípedos retângulos, de 
base quadrada, altura interna h = 5 m e capacidade 
para 180.000 litros. Os reservatórios são 
impermeabilizados interna e externamente, com 
exceção das bordas. Sabe-se que a espessura do 
material utilizado na confecção dos reservatórios é 10 
cm e que, com uma lata de impermeabilizante, 
impermeabiliza-se exatamente 15 m£ de superfície. 
Quantas dessas latas de impermeabilizante, no mínimo, 
são necessárias para impermeabilizar um reservatório? 
 
 
 
 
 
 
 
21. ( Fatec – SP ) Temos na figura abaixo a 
planificação de um sólido cujo volume é : 
a) 6
3
 
b) 12
3
 
c) 24 
d) 18
3
 
 
 
 
 
 
22. ( UFBA ) Um prisma hexagonal regular tem para a 
altura a diagonal de um cubo de aresta “a”. Se o 
volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base 
do prisma mede : 
a) a
3
 
b) 
2
 
c) 
3
3a
 
d) 
3
2a
 
 
 
 
 
23. (UFPEL) As embalagens abaixo, com a forma de 
prismas hexagonais regulares, têm a mesma 
capacidade de armazenamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo h1 = 4 3 cm, a1 = 2 3 cm e h2 = 3 3 cm, 
com relação à aresta a2 e à quantidade de material 
empregado na confecção das embalagens, abertas nas 
bases superiores, podemos afirmar que 
a) a2 = 4 3 cm e a embalagem 2 é menos 
econômica, pela quantidade de material empregado na 
sua confecção. 
b) a2 = 4 cm e a embalagem 2 é mais econômica, pela 
quantidade de material empregado na sua confecção. 
c) a2 = 4 cm e a embalagem 1 é mais econômica, pela 
quantidade de material empregado na sua confecção. 
d) a2 = 4 3 cm e é gasta a mesma quantidade de 
material, na confecção de cada embalagem. 
e) a2 = 4 cm e é gasta a mesma quantidade de material, 
na confecção de cada embalagem. 
 
 
 
 
 
 
24. (Ufsc 2013) Uma conhecida marca de chocolate 
utiliza como embalagem um prisma regular de base 
triangular cuja aresta da base mede 3,5cm. Se sua 
altura tem o dobro do perímetro da base, então calcule 
sua área lateral. 
 
 
 
 
 
 
 
25. (Ufjf 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como 
embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e 
cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um 
retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em 
cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo 
isósceles de catetos de medida 1cm. 
 
Calcule o volume da embalagem. 
 
 
 
 
 
26. (Ufrj) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro 
vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a 
3 
3 
3 
3 
8 
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122 
 
superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a 
face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, 
calcule o raio r. Justifique. 
 
 
 
27. (Ufrs) A figura a seguir representa a planificação de 
um sólido. O volume deste sólido é 
a) 20
3
 
b) 75 ** 
c) 50
3
 
d) 100 
e) 100
3
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) E 3) 
3
/6 4) C 5) C 6) C 
 
7) C 8) C 9) E 10) C 11) D 12) B 
 
13) D 14) D 15) D 16) C 17) A 18) C 
 
19) B 20) 22 latas 21) D 22) D 23) B 
 
24) 220,5 cm2 25) 1980 cm3 26) r = 6,25 
 
27) B 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
01. (Unirio) 
 
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a 
figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é 
de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a: a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
 
 
 
02. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm 
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a 
metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: 
a) H/6 
b) H/3 
c) 2H 
d) 3H 
e) 6H 
 
 
 
03. (Ufrs) Na figura, O é o centro do cubo. 
 
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base 
ABCD e vértice O é 
a) 1/2. 
b) 1/3. 
c) 1/4. 
d) 1/6. 
e) 1/8. 
 
 
 
04. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com 
a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do 
volume da pirâmide, a altura da pirâmide será: 
a) O triplo da do prisma. 
b) O dobro da do prisma. 
c) O triplo da metade da do prisma. 
d) O dobro da terça parte da do prisma. 
e) n.d.a 
 
 
 
05. ( UNIV ) As faces laterais de uma pirâmide 
hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 
12cm² cada.A área lateral do sólido vale: 
a) 36 cm² 
b) 48 cm² 
c) 54 cm² 
d) 72 cm² 
e) 108 cm² 
 
 
 
 
06. (ENEM/2009) Uma fábrica produz velas de parafina 
em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm 
de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são 
formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de 
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123 
 
pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte 
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a 
base superior de cada bloco é igual à base inferior do 
bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando 
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, 
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm 
de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, 
quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar 
uma vela? 
A) 156 cm3. 
B) 189 cm3. 
C) 192 cm3. 
D) 216 cm3. 
E) 540 cm3. 
 
 
 
 
 
 
 
07. (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a 
forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada 
para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide 
quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da 
base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, 
e levando-se em conta que não houve desperdício de 
papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de 
papel corresponde a: 
a) 20 % 
b) 16 % 
c) 15 % 
d) 12 % 
e) 10 % 
 
 
 
08. ( Fuvest – SP ) Um telhado tem a forma da 
superfície lateral de uma pirâmide regularde base 
quadrada. O lado da base mede 8 metros e a altura 
da pirâmide 3 metros. As telhas para cobrir esse 
telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m2. 
Supondo que possa haver 10 lotes de telhas 
desperdiçadas ( quebras e emendas ), qual o número 
mínimo de lotes de telhas a ser comprado ? 
a) 90 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
e) 130 
 
 
 
09. ( UNESP – SP ) O prefeito de uma cidade pretende 
colocar em frente à prefeitura um mastro com uma 
bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide reta de 
base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a 
figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide 
terá 6 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o 
volume de concreto (em m3) necessário para a 
construção da pirâmide será 
a) 48 
b) 36 
c) 28 
d) 12 
e) 4 
 
 
 
 
 
 
10. (Pucsp) Um imperador de uma antiga civilização 
mandou construir uma pirâmide que seria usada como 
seu túmulo. As características dessa pirâmide são: 
1° - Sua base é um quadrado com 100 m de lado. 
2° - Sua altura é de 100 m. 
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 
1000 m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, 
gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o 
tempo necessário para a construção da pirâmide, 
medido em anos de 360 dias, foi de: 
a) 40 anos. 
b) 50 anos. 
c) 60 anos. 
d) 90 anos. 
e) 150 anos. 
 
 
 
 
 
11. (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta 
medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados 
medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual 
a: 
a) 2
7
 
b) 3
7
 
c) 4
7
 
d) 5
7
 
 
 
 
12. (Uerj) Leia os quadrinhos: 
 
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124 
 
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-
de-mão do personagem seja igual ao do sólido 
esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide 
reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, 
o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada 
ano de trabalho é, em dm3, igual a: 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
 
 
13. (Ufrs) Considere uma pirâmide regular de base 
quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo. 
 
Se a altura da pirâmide é o dobro do lado "a" da base, o 
valor de h no padrão é 
a) h =
2/17a
 
b) h = 
5a
 
c) h = 
2/22a
 
d) h = 
6a
 
e) h = 5a/2 
 
 
14. (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga 
construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular 
de base quadrada, com 137m de altura. Cada face 
dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura 
relativa à base mede 179m. A área da base dessa 
pirâmide, em m2, é: 
 
a) 13272 
b) 26544 
c) 39816 
d) 53088 
e) 79 432 
 
 
 
15. (Uff) O hexágono regular ABCDEF é base da 
pirâmide VABCDEF, conforme a figura. 
 
A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a 
mesma medida do segmento AD. 
O seguimento AB mede 6cm. Determine o volume da 
pirâmide VACD. 
 
 
 
 
 
 
16. (Ufrs) A figura abaixo representa a planificação de 
uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, sendo 
ADV triângulo equilátero. 
 
 
O volume da pirâmide é 
a) 12
3
. 
b) 27
3
. 
c) 36
3
. 
d) 72
3
. 
e) 108
3
. 
 
 
17. (Ita) Uma pirâmide regular tem por base um 
quadrado de lado 2cm. Sabe-se que as faces formam 
com a base ângulos de 45°. Então, a razão entre a área 
da base e a área lateral é igual a: 
a) 
2
 
b) 1/3 
c) 
6
 
d) 
2
/2 
e) 
3
/3 
 
 
 
18. (Ufc) Um tetraedro regular tem arestas medindo 
6
 
cm. Então a medida de suas alturas é igual a: 
a) 1/2 cm 
b) 1 cm 
c) 3/2 cm 
d) 2 cm 
e) 5/2 cm 
 
 
 
19. (Ufrj) O sólido representado na figura é formado por 
um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base 
coincide com a face superior do cubo. O vértice O do 
cubo é a origem do sistema ortogonal de coordenadas 
cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencem 
respectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz. 
O vértice S tem coordenadas (2, 2, 8). 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
125 
 
 
Considere o plano z = k que divide o sólido em duas 
partes de volumes iguais. Determine o valor de k. 
 
 
 
 
 
 
 
20. (Unesp) As arestas do prisma triangular reto 
mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. 
Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos 
vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que 
o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume 
do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter 
BM igual a: 
a) 3/4 BA 
b) 2/3 BA 
c) 3/5 BA 
d) 1/3 BA 
e) 1/6 BA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) E 3)D 4) C 5) D 6) B 
 
7) E 8) A 9) D 10) B 11) B 12) D 
 
13) A 14) D 15) 72
3
cm3 16)C 17)D 
 
18)D 19) 8/3 20) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CILINDROS E CONES 
 
01. (UFGO) Para encher de água um reservatório que 
tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias 
5 horas. Se o raio da base é 3m e a altura 10m, o 
reservatório recebe água à razão de: 
a) 18π m
3
 por hora. 
b) 30π m
3
 por hora. 
c) 6π m
3
 por hora. 
d) 20π m3 por hora. 
e) Nenhuma. 
 
 
 
02. (U.C.DOM BOSCO-DF) Um cilindro reto, cuja base 
é um círculo de raio R = 3m, tem 108π m
3
 de volume. 
Então, a área total desse cilindro é: 
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126 
 
a) 126π m
2
. 
b) 81π m
2
. 
c) 72π m
2
. 
d) 90π m
2
. 
e) 108π m
2
. 
 
 
 
03. (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma 
caneta esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10cm de 
comprimento. Se você gasta 5π mm
3
 de tinta por dia, a 
tinta de sua esferográfica durará: 
a) 20 dias 
b) 40 dias 
c) 50 dias 
d) 80 dias 
e) 100 dias 
 
 
 
 
04. (PUCC-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar 
tambores cilíndricos para a armazenagem de um certo 
tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30cm 
para o raio da base e 80cm para a altura. O material 
utilizado na tampa e na lateral custa R$100,00 o metro 
quadrado. Devido à necessidade de um material mais 
resistente no fundo, o preço do material para a base 
inferior é de R$200,00 o metro quadrado. Qual o custo 
de material para a confecção de um desses tambores 
sem contar as perdas de material? 
a) R$235,50. 
b) R$24250. 
c) R$247,20. 
d) R$249,20. 
e) R$250,00. 
 
 
 
 
05. (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3
2
 cm 
tem volume igual a 18
2
π cm
3
 . O raio da base desse 
cone, em centímetros, mede: 
a) 2. 
b) 2
2
. 
c) 3. 
d) 3
2
 . 
 
 
 
06. (Ufg) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda 
em estado líquido, em recipientes, como mostram as 
figuras a seguir. 
 
Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi 
preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em 
dois recipientes em forma de paralelepípedo, como 
representado na figura acima, a quantidade preparada, 
em litros, foi de (Use  = 3,14) 
a) 1,01 
b) 1,19 
c) 1,58 
d) 1,64 
e) 1,9507. (UEPG-PR) A área lateral de um cone de revolução 
é 600π cm2 e sua geratriz te 25cm. O raio de sua base 
é: 
a) 20 cm. 
b) 25 cm. 
c) 24 cm. 
d) 27 cm. 
e) nenhuma. 
 
 
 
 
08. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro 
da base é 8m. Então, a área total, em metros 
quadrados, vale: 
a) 52π 
b) 36π 
c) 20π 
d) 16π 
e) 12π 
 
 
 
09. (FUVEST-SP) O diâmetro da base de um cone é 
igual a geratriz. A razão da área total para a área lateral 
do cone é: 
a) 3/2 . 
b) 1/2 . 
c) 2/3 . 
d) 3/4 . 
e) 
2
/3 . 
 
 
 
10. (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o 
formato de um cilindro circular reto na posição vertical, 
está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 
de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 
12 metros, calcule a altura da camada de petróleo. 
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127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. (UFG) Um produtor de suco armazena seu produto 
em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de 
20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a 
caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de 
mesma altura e mesma capacidade. Para que isso 
ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem 
cilíndrica? 
 
 
 
 
 
12. (UFRGS) A superfície lateral de um cone de altura 
h, quando planificada, gera um semicírculo de raio 10. O 
valor de h é: 
a) 
3
 
b) 3 
c) 5 
d) 5
3
 
e) 10 
 
 
 
13. (Ita) Considere um cilindro circular reto, de volume 
igual a 360 cm3, e uma pirâmide regular cuja base 
hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo 
que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e 
que a área da base da pirâmide é de 54
3
 cm2, então, 
a área lateral da pirâmide mede, em cm2, 
a) 18
427
 
b) 27
427
 
c) 36
427
 
d) 108
3
 
e) 45
427
 
 
 
14. (UFRGS) Um cone circular reto é tal que cada seção 
obtida pela interseção de um plano que passa por seu 
vértice e pelo centro da sua base é um triângulo 
retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao 
longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua 
superfície lateral, será obtido um setor circular cujo 
ângulo central tem medida x. Então: 
a) 
º180x 
 
b) 
º200xº180 
 
c) 
º220xº200 
 
d) 
º240xº220 
 
e) 
º240x 
 
 
 
 
15. (Unesp) Num tonel de forma cilíndrica, está 
depositada uma quantidade de vinho que ocupa a 
metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de 
seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. 
O número que expressa a capacidade desse tonel, em 
litros é: 
a) 200. 
b) 300. 
c) 400. 
d) 500. 
e) 800. 
 
 
 
16. (ACAFE) Uma dona de casa está preparando a 
festa de aniversário de seu filho. Com semicírculos de 
raio 12cm vai confeccionar copos de papel em forma de 
cone. Para 30 destes copos, a quantidade de papel 
necessário será de aproximadamente:(adote π = 3) 
a) 7.530cm2. 
b) 8.500 cm2 
c) 6.000 cm2 
d) 6.480 cm2 
e) 9.500 cm2 
 
 
 
 
 
17. (Ufrrj) Um copo cilíndrico tem 18 cm de altura, raio 
da base 2 cm e metade de seu volume ocupado por 
uma bebida. Colocando-se no copo uma pedra de gelo 
com a forma de um cubo de 2 cm de aresta e ficando o 
gelo completamente submerso, de quanto subirá o nível 
da bebida? Considere π = 3,14. 
 
 
 
 
 
 
18. (FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto 
com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, 
recorta-se, em cartolina, um setor circular para a 
superfície lateral e um círculo para a base. A medida do 
ângulo central do setor circular é: 
a) 144° 
b) 192° 
c) 240° 
d) 288° 
e) 336° 
 
 
 
 
19. (ACAFE) Um fazendeiro solicitou a um engenheiro o 
projeto de um depósito para estocar a ração de seus 
animais. A figura abaixo mostra o esboço do depósito 
criado pelo engenheiro. 
12 m 
h = ? 
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128 
 
 
A capacidade total desse depósito é de: 
a) 96 π m
3
 
b) 24 π m
3 
 
c) 64 π m
3
 
d) 48 π m
3
 
e) 72 π m
3
 
 
 
 
 
20. (Ufrrj) Uma empresa fabricante de óleo de soja 
mandou confeccionar miniaturas de seu produto, 
semelhantes às latas originais (cilíndricas com raio e 
altura variando na mesma proporção). Enquanto a altura 
das primeiras é de 24cm, a das miniaturas é de 6cm. O 
número de miniaturas que seriam necessárias para 
encher uma lata original é 
a) 4. 
b) 8. 
c) 16. 
d) 32. 
e) 64. 
 
 
 
 
21. (EN) Um copo cilíndrico tem 6 cm de altura e tem 
uma circunferência da base medindo 16 cm. Um inseto 
está do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto, 
do lado de dentro, a 5 cm do topo, está uma gota de 
mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do 
cilindro que são simétricas em relação ao eixo do 
cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para 
a para atingir a gota de mel é: 
 
a) 10 cm 
b) 14 cm 
c)
 cm565 
 
d) 
 cm189 
 
e) 
cm54
 
 
 
 
22. (Unesp) Um recipiente, na forma de um cilindro 
circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade 
com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um 
cone circular reto, contém uma substância química que 
forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2). 
 
a) Sabendo que R = (3/2)r, determine o volume da água 
no cilindro e o volume da substância química no cone, 
em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a 
aproximação π = 3.) 
 
b) A substância química do cone é despejada no 
cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). 
Determine a concentração (porcentagem) da substância 
química na mistura e a altura h atingida pela mistura no 
cilindro. 
 
 
 
 
 
23. (Uerj) Em um supermercado, podemos encontrar 
manteiga em dois tipos de embalagens de forma 
cilíndrica: - a menor tem raio da base medindo 4 cm, 
altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75; - a 
maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual 
a 8 cm e custa R$ 4,00. Supondo que a densidade da 
manteiga seja constante, determine: 
a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na 
embalagem maior; 
 
b) a embalagem que apresenta o menor preço por 
unidade de medida. 
 
 
 
 
 
 
24. (Uerj) Um lago circular com diâmetro de 40 m e 
profundidade uniforme de 3 m tem 80% de sua 
capacidade ocupada por água poluída que apresenta 
uma concentração de sais de mercúrio de 0,5 kg por 
litro. Uma indústria despeja no lago, a uma taxa de 10 L 
por segundo, água poluída com a mesma substância, 
porém com concentração de 1,5 kg por litro. 
a) Considerando π = 3, calcule o número de horas 
necessário para que o lago fique totalmente cheio. 
 
b) Supondo uma mistura homogênea, determine a 
concentração de sais de mercúrio no lago, no instante 
em que ele está cheio. 
 
 
 
 
 
 
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129 
 
 
25. (Ufg) Num laboratório, um recipiente em forma de 
um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da 
substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da 
base do cilindro mede 10 cm, qual a distância 
aproximada entre duas dessas marcas consecutivas? 
 
 
 
 
 
 
 
26. (Ufpe) O sólido ilustrado na figura abaixo foi obtido 
perfurando-se um cubo de aresta 4 com uma broca 
circular de raio 1, cujo o eixo passoupelos pontos 
médios de duas faces adjacentes do cubo. Indique o 
inteiro mais próximo do volume do cubo perfurado. 
(Dados: use as aproximações π = 3,14 e 
2
 = 1,41). 
 
 
 
27. (Pucsp) O retângulo ABCD seguinte, representado 
num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é 
tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0). 
 
Girando-se esse retângulo em torno do eixo das 
ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo 
volume é 
a) 24π 
b) 32π 
c) 36π 
d) 48π 
e) 96π 
 
 
 
 
28. (Fuvest) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos 
de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são 
moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de 
lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e 
B, respectivamente, tem-se: 
a) VA = 2 VB 
b) VB = 2 VA 
c) VA = VB 
d) VA = 4 VB 
e) VB = 4 VA 
 
 
 
 
29. (Uff) Em certo posto de gasolina, há um tanque com 
a forma de um cilindro circular reto, com 5 m de altura e 
diâmetro da base 2 m, mantido na horizontal, sob o 
solo. Devido à corrosão, surgiu, em sua parede, um furo 
situado 13 cm acima do plano horizontal que o apoia, 
conforme ilustrado na figura: 
 
O combustível vazou até que seu nível atingiu a altura 
do furo, em relação ao plano em que o tanque está 
apoiado. Indicando-se por V o volume desse tanque e 
por v o volume do combustível restante, considerando-
se 
3
/2 = 0,87 e π = 3,14, pode-se afirmar que: 
a) 0,20 < v/V < 0,30 
b) 0,10 < v/V < 0,20 
c) 0,05 < v/V < 0,10 
d) 0,01 < v/V < 0,05 
e) v/V < 0,01 
 
 
30. (Ufpr) A obtenção de lâminas de madeira para a 
fabricação de compensados consiste em se colocar 
uma tora em um torno e cortá-la, ao mesmo tempo em 
que é girada, com uma faca disposta paralelamente ao 
eixo da tora. O miolo da tora não é utilizável para a 
produção de lâminas. 
 
 
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130 
 
Uma tora em forma de cilindro circular reto de 40 cm de 
diâmetro e 2 m de comprimento será utilizada para obter 
lâminas de 0,1 cm de espessura e 2 m de largura. 
Considere que: a parte utilizada da tora seja 
transformada em lâmina, sem perda de madeira; o 
miolo não utilizado da tora seja um cilindro circular reto 
com 10 cm de diâmetro; a lâmina obtida, quando 
estendida sobre uma superfície plana, seja um 
paralelepípedo retângulo de 0,1 cm de altura. Nessas 
condições, é correto afirmar: 
(01) O volume da tora é 0,08 π m3. 
(02) O volume da lâmina obtida é 0,075 π m3. 
(04) Quando se tiver utilizado 0,02 m3 da tora, o 
comprimento da lâmina obtida será 10 m. 
(08) De uma lâmina de 5 m de comprimento poderão 
ser recortadas 16 chapas retangulares de base 30 cm, 
altura 2 m e espessura 0,1 cm. 
(16) Durante o processo de obtenção da lâmina, a cada 
giro completo da tora corresponde um comprimento de 
lâmina, em centímetros, e a sequência desses 
comprimentos é uma progressão aritmética de razão - 
0,1π 
Soma ( ) 
 
 
 
 
 
 
31. (Ufg) Um recipiente sem tampa possui a forma de 
um cilindro circular reto e está parcialmente preenchido 
com água. O raio da base desse cilindro mede 5 cm, a 
altura mede 20 cm e a água ocupa 4/5 do volume do 
cilindro. A figura a seguir mostra esse recipiente 
inclinado até a posição em que o nível da água está na 
altura do ponto mais baixo da borda, de modo que uma 
inclinação adicional fará a água derramar. Nessa 
posição, o ângulo que uma geratriz do cilindro faz com a 
vertical é denotado por , e a altura do nível da água em 
relação ao plano horizontal é denotada por h. 
 
Considerando o exposto, julgue os itens a seguir: 
( ) O volume da região não ocupada pela água no 
cilindro é 300 cm¤. 
( ) O ângulo  mede 45°. 
( ) A altura h mede 15 cm. 
( ) A medida do segmento de geratriz AB, da base do 
cilindro até o nível da água, é 12 cm. 
 
 
 
 
 
32. (Ufal) Na figura abaixo têm-se duas vistas de um 
tanque para peixes, construído em uma praça pública. 
 
Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com 
altura de 1,2m e raios da base medindo 3m e 4m. Se, 
no momento, a água no interior do tanque está 
alcançando 3/4 de sua altura, quantos litros de água há 
no tanque? (Use: π = 22/7) 
a) 1.980 
b) 3.300 
c) 6.600 
d) 19.800 
e) 66.000 
 
 
 
33. (Fgv) Deseja-se construir uma piscina de formato 
quadrado sendo 100m2 a área do quadrado e 1,5m a 
profundidade. Se as paredes laterais e o fundo forem 
revestidos com azulejos de dimensões 15cm×15cm: a) 
Qual o número (aproximado) de azulejos necessários? 
 
b) Se a piscina fosse circular sendo 100m2 a área do 
círculo e 1,5m a profundidade, qual seria o número 
(aproximado) de azulejos necessários para revesti-la? 
Adote o resultado: 

 = 1,8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
34. (Ita) Um cilindro circular reto é seccionado por um 
plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5cm do eixo 
e separa na base um arco de 120°. Sendo de 30
3
 
cm2 a área da secção plana retangular, então o volume 
da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm¤, 
a) 30π - 10
3
. 
b) 30π - 20
3
. 
c) 20π - 10
3
. 
d) 50π - 25
3
. 
e) 100π - 75
3
. 
 
 
 
 
(Mackenzie) Na figura, a rotação completa do triângulo 
CBD em torno de åæ gera um sólido de volume: 
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131 
 
 
a) 72π 
 b) 108π 
 c) 60π 
d) 144π 
e) 54 π 
 
 
 
GABARITO 
 
1) A 2) D 3) D 4) A 5) D 6) D 7) C 
 
8) B 9) C 10) 7m 11) 

50
 12) D 
 
13) A 14) E 15) C 16) D 17) 0,63 
 
18) D 19) B 20) E 21) A 
 
22) a) volume da água no cilindro: 108r2 cm3; volume da 
substância química na mistura: 27r2 cm3 
 b) 20% ; h = 20 cm 
 
23) a) 500g b) a embalagem maior apresenta o 
menor preço por unidade de medida 
 
24) a) 2 horas b) 0,7 kg / L 
 
25) 1,27 cm 26) 55 27) E 28) A 29) D 
 
30) 15 31) F F F V 32) D 
 
33) a) 7112 azulejos. b) 6845 azulejos. 
 
34) E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
01. (Ufsm) A área da superfície de uma esfera e a área 
total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da 
base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16π 
cm3, o raio da esfera é dado por 
a) 
3
 cm 
b) 2 cm 
c) 3 cm 
d) 4 cm 
e) 4 + 
2
 cm 
 
 
 
 
02. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera 
a sua superfície aumentará: 
a) 21%. 
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132 
 
b) 11%. 
c) 31%. 
d) 24%. 
e) 30 %. 
 
 
 
 
03. (Uel) Na figura a seguir são dados uma esfera de 
centro O, uma reta que contém O e intercepta superfície 
esférica nos pontos A e B e um ponto C na superfície 
esférica. 
 
Em relação às medidas dos segmentos determinados 
na figura é sempre verdade que 
a) OC < OA 
b) OB > OA 
c) AC = OC 
d) OB = OC/2 
e) AB = 2.OC 
 
 
 
04. (Ufmt) A região sombreada na figura a seguir sofre 
uma rotação completa em torno do eixo y. Os pontos O 
= (0, 0); A = (1, 1); B = (0, 2); C = (1, 3); D = (0, 3) e E 
= (0, 1). OAB é uma semicircunferência com centroem 
E, conforme mostra a figura a seguir. 
 
 Sendo V a medida do volume do sólido de revolução 
gerado, calcule o valor de (36/5π).V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. (Ufrj) Ping Oin recolheu 4,5m3 de neve para 
construir um grande boneco de 3m de altura, em 
comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. O 
boneco será composto por uma cabeça e um corpo 
ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo 
maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. 
Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin 
aproximou π por 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule, usando a aproximação considerada, os raios 
das duas esferas. 
 
 
 
 
 
 
06. (Fgv) Deseja-se construir um galpão em forma de 
um hemisfério, para uma exposição. Se, para o 
revestimento total do piso, utilizou-se 78,5 m2 de lona, 
quantos metros quadrados de lona se utilizaria na 
cobertura completa do galpão? (Considerar π = 3,14). 
a) 31,4 
b) 80 
c) 157 
d) 208,2 
e) 261,66 
 
 
 
 
07. (Mackenzie) A altura de um cone reto é igual ao raio 
da esfera a ele circunscrita. Então o volume da esfera é: 
a) o dobro do volume do cone. 
b) o triplo do volume do cone. 
c) o quádruplo do volume do cone. 
d) 4/3 do volume do cone. 
e) 8/3 do volume do cone. 
 
 
 
 
 
 
08. (Uerj) Duas esferas metálicas maciças de raios 
iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, 
no interior de um recipiente de vidro com forma 
cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste 
recipiente despeja-se a menor quantidade possível de 
água para que as esferas fiquem totalmente submersas, 
como mostra a figura. 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
133 
 
 
Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. 
A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, 
corresponde, aproximadamente, a: 
a) 10,6 
b) 12,4 
c) 14,5 
d) 25,0 
 
 
 
09. (Unesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base 
R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera 
de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 
1/6 R, conforme mostra a figura. 
 
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. 
 
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes 
da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 da altura 
do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à 
citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que 
a água atinja o topo do cilindro sem transbordar. 
 
 
 
 
10. (Ufrn) No final de um curso de Geometria, o 
professor fez um experimento para saber a razão entre 
os diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos 
diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num 
recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da 
água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a 
bola maior, observou que o nível da água subiu 12,0 
mm. O professor concluiu que a razão entre o diâmetro 
da bola maior e o diâmetro da bola menor é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 6 
d) 8 
 
 
 
 
11. (Ufrj) Considere um retângulo, de altura y e base x, 
com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do 
retângulo, como na figura a seguir. 
 
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da 
região sombreada em torno de um eixo que passa pelos 
centros dos semicírculos. Justifique. 
 
 
 
 
 
12. (Uerj) 
 
 
Na figura anterior, há um círculo de raio R e uma reta 
(e) que contém o seu centro - ambos do mesmo plano. 
Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor 
da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu 
a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser 
calculada através da fórmula 2πRm, sendo m a 
projeção ortogonal do arco AB sobre a reta (e). 
a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo 
original, em função de R e m. 
 
 
b) Demonstre que a área da calota esférica gerada pelo 
arco AB é equivalente à área plana limitada por uma 
circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida 
da corda AB. 
 
 
 
 
 
 
 
13. (Ufv) Considere as afirmações abaixo: 
I - A esfera de volume igual a 12π cm3 está inscrita em 
um cilindro equilátero cujo volume é 24π cm3. 
II - A esfera de raio 4
3
 cm circunscreve um cubo de 
volume igual a 64cm3. 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
134 
 
III - Dobrando o raio da base de um cilindro circular reto, 
o seu volume será quadruplicado. 
Assinalando V para as afirmações verdadeiras e F para 
as afirmações falsas, obtém-se a seguinte sequência 
CORRETA: 
a) V F V 
b) F V F 
c) V V F 
d) F F V 
e) V V V 
 
 
 
14. (Uerj) Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro 
igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem 
cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam a superfície 
interna da embalagem nos pontos de contato, como 
ilustra a figura a seguir. 
 
Calcule: 
a) a área total, em cm2, da superfície da embalagem; 
 
b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas 
bolas. 
 
 
 
 
 
15. (Uff) Na figura estão representados três sólidos de 
mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um 
prisma - cujos volumes são V1, V2‚ e V3, 
respectivamente. 
 
A relação entre V1•, V2 e V3 é: 
a) V3 < V2 < V1• 
b) V2 < V3 < V1• 
c) V1 < V2 < V3 
d) V3 < V1 < V2 
e) V2 < V1 < V3 
 
 
 
16. (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos 
parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. 
Nas figuras a seguir, os triângulos ABC e A'B'C' são 
equiláteros com lados medindo 3 cm, e DE e D'E' são 
arcos de circunferência com centro em O e raios iguais 
a 3 cm e 2 cm, respectivamente. 
 
Seja S1 o sólido obtido pela rotação de 360° do triângulo 
ABC em torno de I1•, S2 pela rotação de 360° de A'B'C' 
em torno de I2‚ e S3 pela rotação de 360° da região 
hachurada em torno de I3. Podemos afirmar que: 
( ) S1 é obtido de um cone circular reto retirando-se 
dois outros cones circulares retos. 
( ) O volume de S1 é igual ao volume do cone com raio 
igual a 3/2cm e altura igual 3
3
/2cm. 
( ) S2 é obtido de um cilindro circular reto retirando-se 
dois cones circulares retos. 
( ) A área da superfície de S2 é igual à área de um 
cone circular reto de raio 3
3
/2cm e altura 3cm. 
( ) S3 é obtido de um hemisfério retirando-se outro 
hemisfério. 
 
 
 
 
 
 
17. (Fuvest – SP) Um cálice com a forma de cone 
contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma 
esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do 
cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas 
laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a 
cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, 
determinar o valor de V. 
 
 
 
 
 
 
 
18. (Uerj) Admita uma esfera com raio igual a 2 m, cujo 
centro O dista 4 m de um determinado ponto P. 
Tomando-se P como vértice, construímos um cone 
tangente a essa esfera, como mostra a figura. 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
135 
 
 
Calcule, em relação ao cone: 
a) seu volume; 
 
b) sua área lateral. 
 
 
 
 
 
19. (Uff) Considere duas superfícies S = ABCD e S' = 
E'B'C' obtidas, respectivamente, pelas interseções de 
um cilindro circular reto e de uma semi-esfera com 
semiplanos que formam um ângulo diedro de 60°, 
conforme as figuras a seguir. 
 
Tem-se: 
O - centro da base do cilindro 
OE - altura do cilindro 
OB - raio da base do cilindro 
O'E' - raio da semi-esfera 
OE = OB = O'E' 
Sendo área(S) a área da superfície S e área(S') a área 
da superfície S', calcule o valorde área(S)/área(S'). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. (Ufrs) No desenho abaixo, em cada um dos vértices 
do cubo está centrada uma esfera cuja medida do 
diâmetro é igual à medida da aresta do cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão entre o volume da porção do cubo ocupado 
pelas esferas e o volume do cubo é 
a) π/6. 
b) π/5. 
c) π/4. 
d) π/3. 
e) π/2. 
 
 
 
21. (Ufrs) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num 
copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, 
de modo que a água do copo recubra exatamente a 
esfera. 
 
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água 
era 
a) 27/8 cm 
b) 19/6 cm 
c) 18/5 cm 
d) 10/3 cm 
e) 7/2 cm 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) C 2) A 3) E 4) 22,6 
 
5) Raio da esfera menor = 1/2 
 Raio da esfera maior = 1 
 
6) C 7) C 8) C 
 
9) a) r = R/2 b) 6 esferas. 
 
10) A 11) π.y2(3x - 2y)/12 
 
12) a) 
Rm2AB 
 
 
13) D 14) a) 126π cm2 b) 2/3 15) E 
 
16) V F V F V 17) 
3cm
3
4
 
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136 
 
 
18) a) 3π m3 b) 6π m2 19) 1 20) A 21) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRONCO DE CONE E TRONCO DE 
PIRÂMIDE 
 
1) ( FCMMG ) Observe a figura : 
 
 
 
Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone, contém 
suco até a metade da altura do cone interno. Se o 
volume do cone interno é igual a V, então o volume do 
suco nele contido é: 
a) 
16
V
 
b) 
8
V
 
c) 
4
V
 
d) 
2
V
 
 
2) ( UFMG ) Um reservatório de água tem forma de 
um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para 
baixo. Quando o nível de água atinge a metade da 
altura do tanque, o volume ocupado é igual a . A 
capacidade do tanque é: 
a) 2 
b) 
3
8
 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
3) ( UnB – DF ) Um cálice tem a forma de um cone de 
revolução, de altura igual a 100mm e volume V1. 
Esse cálice contém um líquido que ocupa um 
volume V2 , atingindo a altura de 25mm, conforme 
mostra a figura. O valor do quociente 








2
1
V
V
 é: 
a) 4 
b) 8 
c) 16 
d) 32 
e) 64 
 
 
 
4) ( FCC – SP ) Uma pirâmide de altura 6 e área da 
base 27 é interceptada por um plano, cuja 
distância ao vértice é 2 e que é paralelo ao plano 
da base. Qual o volume do tronco de pirâmide 
assim determinado ? 
a) 52 
b) 48 
c) 44 
d) 40 
e) 24 
 
 
5) ( PUC – SP ) O recipiente abaixo, em forma de um 
cone circular reto, tem raio com 12 cm e altura 
com 16 cm. O líquido ocupa 
8
1
 do volume do 
recipiente. A altura x do líquido é: 
a) 1 cm 
b) 2 cm 
c) 4 cm 
d) 6 cm 
e) 8 cm 
 
 
 
6) ( UEPI – PI ) Uma pirâmide de base quadrangular 
tem esta base com área de 64 cm2. Efetuando-se 
nesta pirâmide um corte a 6 cm da base, obtém-se 
100mm 
x 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
137 
 
uma secção transversal com área de 16 cm2. A 
altura da pirâmide, então, é de : 
a) 8 cm 
b) 10 cm 
c) 12 cm 
d) 14 cm 
e) 16 cm 
 
 
 
7) ( PUC – SP ) Um quebra-luz é um cone de geratriz 
medindo 17 cm e altura com 15 cm. Uma lâmpada 
acesa no vértice do cone projeta no chão um 
círculo de 2 metros de diâmetro. A que altura do 
chão se encontra a lâmpada? 
a) 1,50 metros 
b) 1,87 metros 
c) 1,90 metros 
d) 1,97 metros 
e) 2,00 metros 
 
 
 
8) ( UFAL ) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano 
, um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e 
cujo raio da base mede 4 cm. O plano  é 
paralelo a  e a distância entre os dois planos é 
de 6 cm. O volume do cone que está apoiado no 
plano  é, em centímetros cúbicos, igual a 
a)  / 3 
b)  / 2 
c) 2 / 3 
d) 3 / 4 
e) 4 / 5 
 
 
 
 
 
9) ( PUC – SP ) Um cone reto cuja geratriz mede 15 
cm e o raio da base mede 9 cm, é interceptado por 
um plano paralelo à base, distando 4 cm de seu 
vértice. O volume do tronco de cone obtido dessa 
interseção é, em cm3: 
a) 246 
b) 312 
c) 324 
d) 348 
e) 421 
 
 
10) ( Cesgranrio ) Um tanque cônico, de eixo vertical e 
vértice para baixo, tem água até a metade de sua 
altura. Se a capacidade do tanque é de 1200 litros, 
então a quantidade de água nele existente, em 
litros, é de : 
a) 600 
b) 450 
c) 300 
d) 200 
e) 150 
 
 
11) ( Vunesp – SP ) Cortando um cone reto com um 
plano paralelo à base e distante H/2 da base, 
onde H é a altura do cone, obtemos um círculo de 
área A. O volume V do cone é igual a: 
a) (A.H)/3 
b) (2.A.H)/3 
c) A.H 
d) (4.A.H)/3 
e) (5.A.H)/3 
 
 
 
12) ( Vunesp – SP ) É dada uma pirâmide de altura H, 
H = 9 cm, e volume V, V = 108 cm3. Um plano 
paralelo à base dessa pirâmide corta-a 
determinando um tronco de pirâmide de altura h, h 
= 3 cm. Qual o volume do tronco de pirâmide 
resultante ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) ( PUC – RS ) Uma secção paralela à base feita a 3 
cm do vértice de uma pirâmide tem área igual a 1/3 
da área da base. A altura da pirâmide é, em 
centímetros, igual a: 
a) 3
3
 
b) 5 
c) 2
6
 
d) 2
3
 
e) 
3
 
 
 
14) ( Fuvest – SP ) Qual das expressões seguintes dá o 
volume do tronco de cone circular de bases 
paralelas em função de H, R, h, r ? 
a) /3[ HR2 + (H – h) r2 ] 
b) /3[ HR2 – (H + h) r2 ] 
c) /3[ HR2 – (H – h) r2 ] 
d) /3[ HR2 + (H + h) r2 ] 
e) n.r.a 
 
 
 
 
15) ( UCMG ) A área lateral de um tronco de cone 
circular reto de altura 4 cm, raio maior 8 cm e raio 
menor 5 cm é, em cm2, igual a: 
a) 45 
r H 
h 
R 
17 15 
6 cm 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
138 
 
b) 55 
c) 65 
d) 75 
e) 85 
 
 
 
16) ( PUC – RJ ) Um tanque subterrâneo tem a forma 
de um cone circular invertido, de eixo vertical, e está 
cheio até a boca ( nível do solo ) com 27000 litros 
de água e 37000 litros de petróleo ( o qual é 
menos denso que a água ). Sabendo que a altura 
total do tanque é 8 m e que os dois líquidos não 
são miscíveis, a altura da camada de petróleo é : 
a) 6 metros 
a) 2 metros 
b) 3 metros 
c) 1 metro 
d) 4 metros 
 
 
 
17) ( Unicamp – 95 ) Uma pirâmide regular, de base 
quadrada, tem altura igual a 20 cm. Utilizando-se a 
base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo 
que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide 
em um quadrado de lado igual a 5 cm. O volume 
do cubo nessas condições é: 
a) 1000 
b) 1728 
c) 2197 
d) 3375 
 
 
 
 
 
 
18) ( Fuvest – SP ) Um copo tem a forma de um cone 
com 8 cm de altura e 3 cm de raio da base. 
Queremos enchê-lo com quantidades de água e 
suco iguais. Para que isso seja possível a altura h 
atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser: 
a) 8/3 
b) 6 
c) 4 
d) 4
3
 
e) 4 
3 4
 
 
 
 
19) ( Cesgranrio – RJ ) Uma ampulheta é formada por 
dois cones de revolução iguais, com eixos verticais 
e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno 
orifício que permite a passagem de areia da parte 
de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada 
para marcar um intervalo de tempo, toda aareia 
está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura 
da areia na parte de cima reduziu-se à metade, 
como mostra a figura. Supondo que em cada 
minuto a quantidade de areia que passa do cone de 
cima para o de baixo é constante, em quanto tempo 
mais toda a areia terá passado para a parte de 
baixo? 
a) 5 minutos 
b) 10 minutos 
c) 15 minutos 
d) 20 minutos 
e) 30 minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) ( Cesgranrio – RJ ) Um recipiente cônico, com 
altura igual a 2, contém água até a metade de sua 
altura ( Fig. I ). Invente-se a posição do recipiente, 
como mostra a figura II. A distância do nível da 
água ao vértice, na situação da figura II é : 
a) 
2
3
 
b) 
2
3
 
c) 
3
 
d) 
3 7
 
e) 
3 6
 
 
 
 
 
 
21) ( Fuvest – SP ) As bases de um tronco de cone 
circular reto são círculos de raios 6 cm e 3 cm. 
Sabendo que a área lateral do tronco é igual à 
soma das áreas das bases, calcule: 
a) a altura do tronco de cone 
 
 
 
 
 
 
 
b) o volume do tronco de cone 
 
 
 
 
 
 
 
22. Um cone oco, fechado e com 12 cm de altura, 
contém água até a metade dessa altura (figura 1). Se 
solo 
Figura I Figura II 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
139 
 
esse cone for colocado de forma invertida (figura 2), o 
valor da altura da parte sem água é : 
A) 
3 7.6
 
B) 
3 6.7
 
C) 
3 4.6
 
D) 
3 6.4
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) E 3) E 4) A 5) E 6) C 
 
7) B 8) C 9) B 10) E 11) D 
 
12) 76 cm3 13) A 14) C 15) C 
 
16) B 17) A 18) E 19) A 20) D 
 
21) a) k = 4 cm b) 84 cm3 
 
22) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
01. ( PAES – 2009 ) Numa festa de aniversário com 25 
crianças, podemos afirmar: 
A) pelo menos 3 crianças nasceram num mesmo mês. 
B) pelo menos 4 crianças nasceram num mesmo mês. 
C) pelo menos 5 crianças nasceram num mesmo mês. 
D) no máximo, 3 crianças nasceram num mesmo mês. 
 
 
02. (Esaf-MPU) Ana guarda suas blusas em uma única 
gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas 
azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três 
vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e 
pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que 
Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao 
menos duas blusas da mesma cor é 
A) 6. 
B) 4. 
C) 2. 
D) 8. 
E) 10. 
 
 
03. (UFSJ) O código Morse, inventado por Samuel 
Morse em 1834, usa dois símbolos, ponto e traço, para 
representar letras e sinais de pontuação da linguagem 
escrita, combinando, para tal efeito, de um a quarto 
desses símbolos. Considerando-se essa informação, é 
CORRETO afirmar que o número total de letras e sinais 
de pontuação possíveis representados dessa forma pelo 
código Morse é igual a: 
A) 30 
B) 24 
C) 28 
D) 36 
 
 
04. (FUVEST) Um lotação possui três bancos para 
passageiros, cada um com três lugares, e deve 
transportar os três membros da família Sousa, o casal 
Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso: 
1 - A família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 
2 - Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. 
Nessas condições, o número de maneiras distintas 
de dispor os nove passageiros no lotação é igual a 
a) 1152 
b) 1828 
c) 2412 
d) 3456 
e) 3654 
 
 
05. (UFPE) Na figura a seguir temos um esboço de 
parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. 
As setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de 
veículos. De quantas maneiras, utilizando apenas o 
esboço, poderá uma pessoa ir de carro do ponto A ao 
ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida 
passando exatamente por três pontes distintas? 
 
A) 8 
B) 13 
C) 17 
D) 18 
E) 20 
 
 
06. (UFMG) Observe o diagrama. 
12 
 FIGURA 1 FIGURA 2 
h = ? 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
140 
 
X
R
Y Z
S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número de ligações distintas entre X e Z é : 
a) 39 
b) 35 
c) 45 
d) 41 
 
 
07. ( UNIRIO ) Nos anos de 1987 e 1988, discutiu-se na 
Assembleia Nacional Constituinte a criação de um novo 
estado na Região Sudeste. Resultante da divisão do 
Estado de Minas Gerais, este receberia o nome de 
Estado do Triângulo e o novo mapa da região Sudeste 
seria como na figura a seguir: 
 
 
Suponha que um cartógrafo pretenda colorir o novo 
mapa da região Sudeste, de acordo com as seguintes 
regras: 
(i) Cada Estado será colorido com uma cor. 
(ii) Estados com fronteira comum não podem ter a 
mesma cor. 
De quantos modos distintos este mapa pode ser 
colorido, usando, no máximo, 5 cores ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
08. ( UFRN ) Em virtude de uma crise financeira, uma 
fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para 
ocuparem sete postos de vigilância. 
Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um 
vigilante e que o posto da entrada principal não pode 
ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao 
número de maneiras distintas de que o chefe de 
segurança pode dispor para distribuir os vigilantes. 
Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, 
os vigilantes ocupam os mesmos postos e cada posto é 
ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas 
distintas. 
a) 35 
b) 80 
c) 480 
d) 840 
 
 
 
09. (UNIMONTES) O número de inteiros positivos, 
pares, que se escrevem com três algarismos distintos é: 
a) 320 
b) 360 
c) 328 
d) 405 
 
 
 
10. (ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de 
sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas 
numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana 
quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da 
amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O 
número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de 
modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 
é igual a: 
A) 681.384 
B) 382.426 
C) 43.262 
D) 7.488 
E) 2.120 
 
 
 
11. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones 
têm 7 algarismos e não podem começar por zero. Os 
três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-
se que, em todas as farmácias, os quatro últimos dígitos 
são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o 
número de telefones que podem ser instalados nas 
farmácias é igual a: 
a) 540 
b) 720 
c) 684 
d) 648 
e) 842 
 
 
12. ( ENEM – 2004 ) No Nordeste brasileiro, é comum 
encontrarmos peças de artesanato constituídas por 
garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, 
formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças 
com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, 
mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da 
paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
141 
 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; 
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, 
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a 
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma 
questão de contraste, então o número de variações que 
podem ser obtidas para a paisagem é 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
 
 13. (ESAF) A senha para um programa de 
computador consiste em uma sequência LLNNN, onde 
“L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 
26 letras e “N” é um algarismode 0 a 9. Tanto letras 
como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é 
essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro 
lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa 
não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, 
o número total de diferentes senhas possíveis é dado 
por: 
a) 226 . 310 
b) 262 . 103 
c) 226 . 210 
d) 26! . 10! 
e) C26,2 . C10,3 
 
 
14. ( FGV ) Uma pessoa vai retirar dinheiro de um caixa 
eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, 
esquece o número. Lembra que o número tem 5 
algarismos, começa com 6, não tem algarismos 
repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O 
número máximo de tentativas para acertar a senha é: 
a) 1680 
b) 1344 
c) 720 
d) 224 
e) 136 
 
 
 
15. (ESAF) Para ter acesso a um arquivo, um operador 
de computador precisa digitar uma sequência de 5 
símbolos distintos, formados de duas letras e três 
algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da 
sequência em que aparecem. O maior número de 
tentativas diferentes que o operador pode fazer para 
acessar o arquivo é: 
a) 115 
b) 120 
c) 150 
d) 200 
e) 249 
 
 
 
16. (FIP-MOC) Considere a figura abaixo 
 
A sequência de pontos forma a letra A de nosso 
alfabeto. Existem n triângulos distintos com vértices 
nos pontos dessa figura. Qual é o valor de n? 
A) 286 
B) 5 
C) 242 
D) 728 
 
 
 
17. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em 
dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa, 
Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, 
Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e 
Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com 
quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, 
a distribuição é a seguinte: - primeiro dia: Língua 
Portuguesa - Literatura Brasileira, Língua Estrangeira 
Moderna, Biologia e Matemática; - segundo dia: 
História, Geografia, Química e Física. A UEG poderia 
distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, 
com quatro por dia, de 
a) 1.680 modos diferentes. 
b) 256 modos diferentes. 
c) 140 modos diferentes. 
d) 128 modos diferentes. 
e) 70 modos diferentes. 
 
 
18. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão 
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um 
certo número de membros, de acordo com o tamanho 
de sua representação no Congresso Nacional. Faltam 
apenas dois partidos para indicar seus membros. O 
partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, 
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 
membro. Assinale a alternativa que apresenta o número 
de possibilidades diferentes para a composição dos 
membros desses dois partidos nessa CPI. 
a) 55 
b) (40 - 3) . (15-1) 
c) [40!/(37! . 3!)]. 15 
d) 40 . 39 . 38 . 15 
e) 40! . 37! . 15! 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
142 
 
 
 
19. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas, 
quer-se formar uma comissão constituída de quatro 
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, 
que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. 
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses 
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser 
formada. Nessas condições, de quantas maneiras 
distintas se pode formar essa comissão? 
a) 70 
b) 35 
c) 45 
d) 55 
 
 
 
20. (Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de 
vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 
desses nutrientes para obter um composto químico. O 
número de compostos que poderão ser preparados 
usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: 
a) 32 
b) 28 
c) 34 
d) 26 
e) 30 
 
 
21. ( FIP – 2014 ) Numa fábrica, dentre os diretores há 
um casal. Oito deles serão selecionados para participar 
de um treinamento na área de gestão de projetos que 
será realizado no exterior. O casal, no entanto, só 
participará do treinamento se ambos forem convocados. 
O número de escolhas distintas que incluem o casal é 
igual ao número de escolhas que o excluem. 
O número de diretores existentes nessa fábrica é: 
A) 6 
B) 8 
C) 16 
D) 17 
E) 18 
 
 
 
22. ( IFAP ) Considerando-se que uma sala de aula 
tenha trinta alunos, incluindo Roberto e Tatiana, e que a 
comissão para organizar a festa de formatura deva ser 
composta por cinco desses alunos, incluindo Roberto e 
Tatiana, a quantidade de maneiras distintas de se 
formar essa comissão será igual a 
A) 3.272. 
B) 3.274. 
C) 3.276. 
D) 3.278. 
E) 3.280. 
 
 
 
23. (FIP – 2015) Do corpo clínico de um hospital, 
participam 12 cardiologistas e 8 endocrinologistas. Para 
atender às demandas, será criado um comitê de ética 
composto por 4 médicos do corpo clínico. 
O número de comitês de ética distintos que podem ser 
formados que contenham pelo menos um cardiologista 
é: 
A) 4845. 
B) 4325. 
C) 4565. 
D) 4635. 
E) 4775. 
 
 
 
24. ( UFSM ) A reforma agrária ainda é um ponto crucial 
para se estabelecer uma melhor distribuição de renda 
no Brasil. Uma comunidade de sem-terra, após se alojar 
numa fazenda comprovadamente improdutiva, recebe 
informação de que o INCRA irá receber uma comissão 
para negociações. Em assembléia democrática, os sem-
terra decidem que tal comissão será composta por um 
presidente geral, um porta-voz que repassará as 
notícias à comunidade e aos representantes e um 
agente que cuidará da parte burocrática das 
negociações. Além desses com cargos específicos, 
participarão dessa comissão mais 6 conselheiros que 
auxiliarão indistintamente em todas as fases da 
negociação. 
Se, dentre toda a comunidade, apenas 15 pessoas 
forem consideradas aptas aos cargos, o número de 
comissões distintas que poderão ser formadas com 
essas 15 pessoas é obtido pelo produto 
a) 13. 11. 7. 52. 32. 24 
b) 13. 11. 7. 5. 3. 2 
c) 13. 11. 72. 52. 33. 26 
d) 13. 72. 52. 33. 26 
e) 13. 11. 72. 5. 32. 23 
 
 
 
25. (UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações. 
Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de 
respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação 
seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se 
obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de 
maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é 
a) 455 
b) 576 
c) 560 
d) 620 
 
 
 
26. ( Fuvest ) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 
números distintos, escolhidos ao acaso, entre os 
números 1, 2, 3, ..., até 50. Uma aposta consiste na 
escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre 
os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que 
acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) 
números sorteados. 
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, 
escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos 
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143 
 
possíveis de serem realizados com esses 20 números. 
Realizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6 
números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. 
Além de uma aposta premiada com a sena. 
a) Quantas apostas premiadas com a quina este 
apostador conseguiu? 
 
 
 
b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele 
conseguiu? 
 
 
 
 
 
27. (UFPA) No cartão da mega-sena existe a opção de 
aposta em que o apostador marca oito números inteiros 
de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco 
de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais 
vantajoso marcar um determinado número de cartões, 
usando apenas os oito números, de modo que, se os 
seis números sorteados estiverem entre os oito 
números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas 
quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta 
seja feita usando apenas seis números, a quantidade de 
cartões que o apostador deve apostar é(A) 8 
(B) 25 
(C) 28 
(D) 19 
(E) 17 
 
 
 
28. (Ufc 2003) O número de maneiras segundo as quais 
podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos 
fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal, 
sem levar em conta a posição do casal no banco, é: 
a) 9 
b) 18 
c) 24 
d) 32 
e) 36 
 
 
29. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em 
parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste 
em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada 
e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma 
trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada 
um deles acompanhado de uma criança, e que, em 
cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança 
e o seu responsável. De quantos modos podem as dez 
pessoas ocupar os cinco bancos? 
a) 14 400 
b) 3 840 
c) 1 680 
d) 240 
e) 120 
 
 
30. (Diamantina 2003) Considere a seguinte situação: 
Cinco meninos e cinco meninas terão aula de 
computação em um mesmo laboratório de informática, 
onde existem apenas cinco computadores. 
Em frente de cada computador, há um banco de dois 
lugares. 
O professor exige que, em cada banco, haja um menino 
e uma menina. 
Considerando os dados acima, é CORRETO afirmar 
que a quantidade total de modos diferentes de atender à 
exigência do professor é igual a 
a) 480.600 
b) 350.400 
c) 460.800 
d) 340.500 
 
 
 
31. ( Puc – mg ) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos 
e 3 tipos de doces para oferecer em festas de 
aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 
tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê 
tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O 
valor de x é: 
a) 180 
b) 360 
c) 440 
d) 720 
 
 
 
32. (UFSJ) O código Morse, inventado por Samuel 
Morse em 1834, usa dois símbolos, ponto e traço, para 
representar letras e sinais de pontuação da linguagem 
escrita, combinando, para tal efeito, de um a quarto 
desses símbolos. Considerando-se essa informação, é 
CORRETO afirmar que o número total de letras e sinais 
de pontuação possíveis representados dessa forma pelo 
código Morse é igual a 
A) 30 
B) 24 
C) 28 
D) 36 
 
 
33. ( MACK – SP ) Uma prova de atletismo é disputada 
por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os 
resultados possíveis para a prova, de modo que pelo 
menos um brasileiro fique numa das três primeiras 
colocações, são em número de: 
a) 426 
b) 444 
c) 468 
d) 480 
e) 504 
 
 
 
34. ( UERJ ) Ana dispunha de papéis com cores 
diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses 
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144 
 
papéis e embalou 30 caixinhas de modo a não usar a 
mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 
embalagens. 
A menor quantidade de cores diferentes que ela 
necessitou utilizar para a confecção de todas as 
embalagens foi igual a: 
a) 30 
b) 18 
c) 6 
d) 3 
 
 
35. ( UNESP ) Nove times de futebol vão ser divididos 
em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, 
para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada 
uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. 
Nessas condições, o número de maneiras possíveis e 
diferentes de se completarem as chaves é: 
a) 21. 
b) 30. 
c) 60. 
d) 90. 
e) 120. 
 
 
36. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser 
contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em 
um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma 
única empresa e todas elas devem ser contratadas. De 
quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os 
trabalhos? 
a) 12 
b) 18 
c) 36 
d) 72 
e) 108 
 
 
37. (UFMG) Para montar a programação de uma 
emissora de rádio, o programador musical conta com 10 
músicas distintas, de diferentes estilos, assim 
agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. Sem 
tempo para fazer essa programação, ele decide que, em 
cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de 
forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é 
CORRETO afirmar que o número de programas 
distintos em que as músicas vão ser tocadas 
agrupadas por estilo é dado por 
a) 4! . 3! . 3! . 3! 
b) 10! / 7! 
c) 4! . 3! . 3! 
d) 10! / (7! . 3! ) 
 
 
38. ( Ufrs ) No desenho a seguir, as linhas horizontais e 
verticais representam ruas, e os quadrados representam 
quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento 
mínimo ligando A e B que passam por C é 
a) 12 
b) 13 
c) 15 
d) 24 
e) 30 
 
 
 
 
39. ( Uff ) Três ingleses, quatro americanos e cinco 
franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha 
reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade 
estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a 
fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila 
seja um francês? 
a) 34.560 maneiras 
b) 30.240 maneiras 
c) 28.720 maneiras 
d) 26.430 maneiras 
e) 24.210 maneiras 
 
 
 
40. (ENEM - 2011) O setor de Recursos Humanos de 
uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles 
pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar 
a lista de números em ordem numérica crescente e usá-
la para convocar os interessados. Acontece que, por um 
defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e em nenhum deles apareceram 
dígitos pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que 
tiver recebido o número 75.913 é 
a) 24 
b) 31 
c) 32 
d) 88 
e) 89 
 
 
41. (FIP-2010) Os professores de Educação Física de 
uma escola, animados com o sucesso da Copa do 
Mundo, organizaram um torneio de futebol. Segundo o 
regulamento do torneio, todas as equipes deveriam 
enfrentar-se apenas uma vez, e a equipe com maior 
número de vitórias seria a campeã. Se durante toda a 
competição foram realizados 190 jogos, quantas 
equipes participaram do torneio? 
A) 40 
B) 10 
C) 20 
D) 30 
 
 
 
42. (FIP-2011) A dengue é considerada, na atualidade, 
um dos principais problemas de saúde pública de todo o 
mundo. Ela é uma doença infecciosa febril aguda, 
causada por um vírus da família Flaviridaee é 
transmitida através do mosquito Aedes aegypti, também 
infectado pelo vírus. 
Pensando nesse grave problema, um professor das FIP-
Moc deseja realizar um trabalho sobre o combate à 
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145 
 
dengue. A turma que fará a pesquisa é constituída por 
20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres. Antes de 
iniciar as atividades, o professor solicitou a formação de 
duplas, de modo que as mulheres não ficassem juntas. 
O número de maneiras diferentes de formar as duplas 
na sala, atendendo à regra do professor, é igual a 
A) 180. 
B) 190. 
C) 200. 
D) 240. 
 
 
 
43. (FIP-2012) Os anéis olímpicos são o emblema 
dos Jogos Olímpicos. Eles são compostos de cinco 
anéis entrelaçados, nas cores azul, amarelo, preto, 
verde e vermelho. 
Um artista plástico deseja construir um conjunto de 
anéis olímpicos e pintá-los, seguindo as seguintes 
regras: 
• O anel central, e somente ele, deverá ser pintado de 
preto; 
• Os demais anéis poderão ser pintados com as 
quatro cores restantes, podendo-se repetir a mesma 
cor, desde que dois anéis que se entrelacem não sejam 
pintados da mesma cor. 
Assim, pode-se afirmar que o artista plástico poderá 
pintar os anéis olímpicos de k maneiras distintas, sendo 
k igual a: 
A) 288 
B) 72 
C) 144 
D) 256 
 
 
 
44. (FIP-2013) 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro 
de 2002 foi um momento que entrou para a história. 
Durante um minuto, houve uma formação numérica que 
somente ocorre duas vezes por milênio:20h0220/02/2002 
Esta é uma simetria que na matemática recebe o nome 
de capicua (números inteiros que lidos da esquerda 
para a direita ou da direita para a esquerda não se 
alteram). 
A próxima vez que ocorrerá outra capicua será às 
21horas e 12 minutos de 21 de dezembro de 2112: 
21h12 21/12/2112 
Depois,nunca mais haverá outra capicua, pois em 
30 de março de 3003 não ocorrerá essa 
coincidência matemática, uma vez que não existe a 
hora 30. 
Quantas capicuas é possível formar com cinco 
algarismos? 
A) 720 
B) 900 
C) 1200 
D) 360 
 
 
 
45. (Cesgranrio) Um mágico se apresenta em público 
vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para 
que ele possa apresentar-se em 24 sessões com 
conjuntos diferentes, o número mínimo de peças 
(número de paletós mais número de calças) de que ele 
precisa é 
a) 24 
b) 13 
c) 12 
d) 10 
e) 11 
 
 
 
46. ( FGV – SP ) De um grupo de seis senadores e 
cinco deputados, pretende-se formar uma CPI com 
dois senadores e três deputados. O número de 
formas diferentes de se formar essa comissão é 
a) 60 
b) 120 
c) 150 
d) 360 
e) 380 
 
 
 
47. (FESP) Numa classe existem 10 alunas, das quais 
uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome 
de um deles. Formaram-se comissões constituídas 
por 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões 
das quais participaram, simultaneamente, João e Maria? 
a) 840 
b) 1.800 
c) 4.200 
d) 2.100 
e) 10.080 
 
 
 
48. (UNIFESP) As permutações das letras da palavra 
PROVA foram listadas em ordem alfabética, como 
se fossem palavras de cinco letras em um 
dicionário. A 73ª palavra nessa lista é 
a) VAPOR 
b) RAPOV 
c) ROVAP 
d) RAOPV 
 
 
49. (Fgv 2008) O número de permutações da palavra 
ECONOMIA que não começam nem terminam com a 
letra O é 
a) 9.400. 
b) 9.600. 
c) 9.800. 
d) 10.200. 
e) 10.800. 
 
 
 
 
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146 
 
GABARITO 
 
1) A 2) B 3) A 4) D 5) C 6) D 7) 642 
 
8) C 9) C 10) A 11) D 12) B 13) B 
 
14) B 15) B 16) C 17) E 18) C 19) D 
 
20) C 21) C 22) C 23) E 24) E 25) B 
 
26) a)84 b)1365 27) C 28) E 29) B 30) C 
 
31) D (60) 32) A 33) B 34) C 35) D 36) C 
 
37) A 38) E 39) A 40) E 41) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DO ENEM 
 
01. (ENEM-2009) O xadrez é jogado por duas pessoas. 
Um jogador joga com as peças brancas, o outro, com as 
peças pretas. Neste jogo, vamos utilizar somente a 
Torre, uma das peças do xadrez. Ela pode mover-se 
para qualquer caso ao longo da coluna ou linha que 
ocupa, para frente ou ara trás, conforme indicado na 
figura a seguir. 
 
O jogo consiste em chegar a um determinado ponto 
sem passar por cima dos pontos pretos já indicados. 
 
Respeitando-se o movimento da peça Torre e as regras 
de movimentação no jogo, qual é o menor número de 
movimentos possíveis e necessários para que a Torre 
chegue à casa C1? 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 7 
 
 
02. (ENEM-2009) Uma pessoa decidiu depositar 
moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cifre 
durante certo tempo. Todo dia da semana ela 
depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 
5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim 
sucessivamente. 
Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-
feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de 
R$95,05 após depositar a moeda de 
(A) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda feira. 
(B) 5 centavos no 186º dia, que caiu numa quinta feira. 
(C) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta feira. 
(D) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado. 
(E) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta feira. 
 
 
 
03. (ENEM-2010) João mora na cidade A e precisa 
visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes 
da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por 
uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto 
ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando 
as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a 
cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras 
informa o custo do deslocamento entre as cidades. a 
figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma 
das cidades. 
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147 
 
 
Como João quer economizar, ele precisa determinar 
qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco 
clientes. Examinando a figura, percebe que precisa 
considerar somente parte das sequências, pois os 
trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele 
gasta 1min30s para examinar uma sequência e 
descartar sua simétrica, conforme apresentado. 
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as 
sequências possíveis no problema é de 
A) 60 min. 
B) 90 min. 
C) 120 min. 
D) 180 min. 
E) 360 min. 
 
 
04. (ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um 
torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio 
foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram 
sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, 
entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times 
para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o 
primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o 
segundo seria o time visitante. A quantidade total de 
escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total 
de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser 
calculadas através de 
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
D) duas combinações. 
E) dois arranjos. 
 
05. (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes 
a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, 
formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso 
à conta corrente pela internet. 
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança 
eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar 
seus usuários, solicitando, para cada um deles, a 
criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo 
agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos 
algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra 
maiúscula era considerada distinta de sua versão 
minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros 
tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de 
senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é 
a razão do novo número de possibilidades de senhas 
em relação ao antigo. 
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 
 
 
 
 
 
 
 
06. (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua 
disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, 
azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas 
por uma liga metálica, a partir de um molde no formato 
de um losango não quadrado com pedras nos seus 
vértices, de modo que dois vértices consecutivos 
tenham sempre pedras de cores diferentes. 
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, 
cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições 
ocupadas pelas pedras. 
Com base nas informações fornecidas, quantas joias 
diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? 
A) 6 
B) 12 
C) 18 
D) 24 
E) 36 
 
 
 
 
 
07. (ENEM – 2014) Um cliente de uma videolocadora 
tem o hábito de sempre alugar dois filmes por vez. 
Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e 
assimsucessivamente. Ele soube que a videolocadora 
recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 
de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma 
estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. 
Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e 
um de comédia. Quando se esgotarem as 
possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de 
ação e um de drama, até que todos os lançamentos 
sejam visto e sem que nenhum filme seja repetido. 
A) 20 x 8! + (3!)2 
B) 8! x 5! x 3! 
C) 
82
!3!5!8 xx
 
D) 
22
!3!5!8 xx
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
148 
 
E) 
82
!16
 
 
 
08. (ENEM – 2009 ) A população brasileira sabe, pelo 
menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as 
seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. 
Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por 
essa loteria, especialmente quando o prêmio se 
acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada 
aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 
02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. 
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 
2009. 
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente 
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar 
apenas cinco das seis dezenas da mega sena, 
justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é 
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis 
dezenas diferentes, que não tenham cinco números em 
comum, do que uma única aposta com nove dezenas, 
porque a probabilidade de acertar a quina no segundo 
caso em relação ao primeiro é, aproximadamente: 
A) 1
2
1
 vezes menor 
B) 2
2
1
 vezes menor 
C) 4 vezes menor 
D) 9 vezes menor 
E) 14 vezes menor 
 
 
09. (ENEM – 2011) O setor de recursos humanos de 
uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles 
pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar 
a lista de números em ordem numérica crescente e usá-
la para convocar os interessados. Acontece que, por um 
defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram 
dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do 
candidato que tiver recebido o número 75.913 é: 
A) 24. 
B) 31. 
C) 32. 
D) 88. 
E) 89. 
 
 
 
10. (ENEM – 2012) O diretor de uma escola convidou os 
280 alunos de terceiro ano a participarem de uma 
brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 
personagens numa casa de 9 cômodos; um dos 
personagens esconde um dos objetos em um dos 
cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar 
qual objeto foi escondido por qual personagem e em 
qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os 
alunos decidiram participar. A cada vez um aluno e 
sorteado e da a sua resposta. As respostas devem ser 
sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não 
pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do 
aluno estiver correta, ele e declarado vencedor e a 
brincadeira e encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertara a resposta 
porque há: 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas 
distintas. 
 
 
 
11. (ENEM-2012) O designer português Miguel Neiva 
criou um sistema de símbolos que permite que pessoas 
daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na 
utilização de símbolos que identificam as cores 
primarias (azul, amarelo e vermelho), Além disso, a 
justaposição de dois desses símbolos permite identificar 
cores secundarias (como o verde, que é o amarelo 
combinado com o azul). O preto e o branco são 
identificados por pequenos quadrados: o que simboliza 
o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é 
vazio. Os símbolos que representam preto e branco 
também podem ser associados aos símbolos que 
identificam cores, significando se estas são claras ou 
escuras. 
Folha de São Paulo. Disponível em: 
www1.folha.uol.com.br. 
Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado) 
De acordo com o texto, quantas cores podem ser 
representadas pelo sistema proposto? 
a) 14 
b) 18 
c) 20 
d) 21 
e) 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. C 
02. D 
03. B 
04. A 
05. A 
06. B 
07. B 
08. C 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
149 
 
09. E 
10. A 
11. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 
01. (ENEM – 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando 
dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis 
faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará 
dois dados simultaneamente. José acredita que, após 
jogar seus dados, os números das faces voltadas para 
cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita 
que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua 
soma será igual a 8. 
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de 
acertar sua respectiva soma é 
A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as 
escolhidas. 
B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para 
escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há 
apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. 
C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para 
a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e 
há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. 
D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua 
soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e 
apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. 
E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 
 
 
 
02. (CEF) A tabela abaixo apresenta dados sobre a 
folha de pagamente de um banco. 
 
Um desses empregados foi sorteado para receber um 
prêmio. A probabilidade de esse empregado ter seu 
salário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é de: 
A) 7/10 
B) 3/5 
C) 1/2 
D) 2/5 
E) 1/3 
 
 
03. (ENEM – 2012) Em um blog de variedades, 
músicas, mantras e informações diversas, foram 
postados ”Contos de Halloween“. Após a leitura, os 
visitantes poderiam opinar, assinalando suas relações 
em: ”Divertido“, ”Assustador“ ou ”Chato“. Ao final de 
uma semana, o blog registrou que 500 visitantes 
distintos acessaram esta postagem. 
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete. 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
150 
 
O administrador do blog irá sortear um livro entre os 
visitantes que opinaram na postagem ”Contos de 
Halloween“. 
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, 
a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso 
entre as que opinaram ter assinalado que o conto 
”Contos de Halloween“ é ”Chato“ é mais aproximada por 
A) 0,09. 
B) 0,12. 
C) 0,14. 
D) 0,15. 
E) 0,18. 
 
 
04. ( ENEM – 2015 ) Em uma escola, a probabilidade de 
um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três 
alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção 
de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem 
chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de 
chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, 
oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser 
respondida por qualquer um dos alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter 
sua pergunta oralmente respondida em inglês é 
A) 23,7% 
B) 30,0% 
C) 44,1% 
D) 65,7% 
E) 90,0% 
 
 
 
05. (UFJF) Um soldado de esquadrão anti-bombas tenta 
desativar um certo artefato explosivo que possui 5 fios 
expostos. Para desativá-lo, o soldado precisacortar 2 
fios específicos, um de cada vez, em uma determinada 
ordem. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para 
cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do 
artefato não explodir ao cortá-lo é igual a: 
a) 
25
2
 
b) 
20
1
 
c) 
5
2
 
d) 
10
1
 
 
 
 
06. (ENEM – 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi 
realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses 
em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. 
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam 
inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer 
um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e 
sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade 
de que esse aluno fale espanhol? 
A) 1/2 
B) 5/8 
C) 1/4 
D) 5/6 
E) 5/14 
 
 
07. (MPU) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro 
delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de 
Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de 
ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas 
essas- em sua pequena caixa de joias. Uma noite, 
arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com 
João, Maria, retira, ao acaso, uma pulseira de sua 
pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma 
pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a 
probabilidade de que a pulseira de prata que Maria 
retirou seja uma das pulseira que ganhou de João é 
igual a: 
A) 1/3 
B) 1/5 
C) 9/20 
D) 4/5 
E) 3/5 
 
 
08 .(UFU) De uma urna que contém bolas numeradas 
de 1 a 100 será retirada uma bola. Sabendo-se que 
qualquer uma das bolas tem a mesma chance de ser 
retirada, qual é a probabilidade de se retirar uma bola, 
cujo número é um quadrado perfeito ou um cubo 
perfeito? 
A) 0,14 
B) 0,1 
C) 0,12 
D) 0,16 
 
 
09. (UNIMONTES) Na tabela abaixo, estão dispostos 
números de votos válidos para a categoria prefeito, 
obtidos pelos partidos A, B e C, nas cidades M, N e 
P, no processo eleitoral de setembro/2000. 
 
Selecionando-se o acaso uma pessoa que votou nessa 
categoria, qual a possibilidade de ela ser eleitora do 
partido A ou C? 
A) 
187
134
 
B) 
187
120
 
C)
187
53
 
D) 
187
67
 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
151 
 
 
 
10. (TCE – RN) A probabilidade de um gato estar vivo 
daqui a 5 anos é de 3/5. A probabilidade de um cão 
estar vivo daqui a 5 anos é de 4/5. Considerando os 
eventos independentes, a probabilidade de somente o 
cão estar vivo daqui a 5 anos é de: 
A) 2/25 
B) 8/25 
C) 2/5 
D) 3/25 
E) 4/5 
 
 
11. ( UNESP ) Dois dados perfeitos e distinguíveis são 
lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos 
resultados obtidos seja 3 ou 6 é: 
a) 7/18 
b) 1/18 
c) 7/36 
d) 7/12 
e) 4/9 
 
 
 
12. (Auditor – CE) Um número é sorteado ao acaso 
entre os inteiros 1, 2, ..., 300. Se o número sorteado for 
um múltiplo de 3, então a probabilidade de que seja o 
número 30 é de: 
A) 1/99 
B) 2/101 
C) 1/100 
D) 1/50 
 
 
 
13. ( UFES ) Um dado é lançado duas vezes e todos os 
resultados possíveis para cada lançamento são 
equiprováveis. Sabendo que pelo menos um dos 
resultados destes dois lançamentos foi um número par, 
a probabilidade de que ambos os resultados sejam 
pares é: 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 4/9 
e) 1/3 
 
 
14. ( PUCC ) Considere um lançamento de dois dados 
iguais. A probabilidade de a soma das faces obtidas ser 
um valor x tal que 6  x  8 é: 
a) 4/9 
b) 1/2 
c) 1/6 
d) 5/6 
e) 6/13 
 
 
 
15. ( Unesp ) Numa gaiola estão nove camundongos 
rotulados 1, 2, 3, . . ., 9. Selecionando-se 
conjuntamente dois camundongos ao acaso, a 
probabilidade de que na seleção ambos os 
camundongos tenham rótulo ímpar é : 
a) 0,3777... 
b) 0,47 
c) 0,17 
d) 0,2777... 
e) 0,1333... 
 
 
 
16. ( UFMG ) Dois jovens partiram do acampamento em 
que estavam em direção à Cachoeira Grande e à 
Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a 
trilha indicada nesse esquema: 
Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles 
escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos 
caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO 
afirmar que a probabilidade de eles chegarem a 
Cachoeira Pequena é: 
a) 1/2 
b)2/3 
c) 3/4 
d) 5/6 
 
 
 
 
 
17. Pedro e João se encontram diante de uma urna com 
duas bolas azuis e uma bola verde. Eles, confiando na 
sorte, apostam em quem consegue tirar a bola verde 
primeiro, sendo que, os apostadores irão repor as bolas 
tiradas até a bola verde sair. Se Pedro começar o jogo, 
qual a probabilidade dele vencer ? 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 2/5 
d) 3/5 
e) 4/5 
 
 
18. (IFAC – 2012 ) Paulo e Ana resolvem fazer um jogo 
usando uma moeda honesta. Paulo inicia o jogo 
lançando a moeda e, se obtiver cara ele ganha, caso 
contrario, Ana joga a moeda e se der cara ela vence. 
Portanto, o jogo será vencido pelo primeiro que obtiver 
cara num arremesso. Qual a probabilidade de Paulo 
vencer? 
A) 50% 
B) 55% 
C) 57,75% 
D) 60% 
E) 66,67% 
 
 
 
19. ( Unirio ) Em uma fábrica de parafusos, a 
probabilidade de um parafuso ser perfeito é de 96%. Se 
Cachoeira Grande 
Cachoeira Pequena 
Acampamento 
 CURSO DE MATEMÁTICA HAMILTON E ALEX 
 
 
152 
 
retirarmos da produção, aleatoriamente, três parafusos, 
a probabilidade de todos eles serem defeituosos é igual 
a: 
a) 5 –2 
b) 5 –3 
c) 5 –4 
d) 5–5 
e) 5 –6 
 
 
 
20. ( FGV ) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 
brancas. Três bolas são sucessivamente sorteadas, 
sem reposição. A probabilidade de observarmos 3 bolas 
brancas é: 
a) 1/15 
b) 1/20 
c) 1/25 
d) 1/30 
e) 1/35 
 
 
 
21. ( FEI – SP ) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 
bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são 
retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de 
ambas serem da mesma cor é: 
a) 13/72 
b) 1/18 
c) 5/18 
d) 1/9 
e) 1/4 
 
 
 
22. ( PUC – RJ ) As cartas de um baralho são 
amontoadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de 
a carta de cima ser de copas e a de baixo também ? O 
baralho é formado por 52 cartas de 4 naipes 
diferentes, sendo 13 cartas de cada naipe. 
a) 1/17 
b) 1/25 
c) 1/27 
d) 1/36 
e) 1/45 
 
 
 
23. ( UNAERP ) Em um campeonato de tiro ao alvo, 
dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 
60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas 
condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é: 
a) 30 % 
b) 42 % 
c) 50 % 
d) 12 % 
e) 25 % 
 
 
24. ( Mack – SP ) A probabilidade de um casal ter um 
filho do sexo masculino é 0,25. Então a probabilidade do 
casal ter dois filhos de sexos diferentes é: 
a) 1/16 
b) 3/8 
c) 9/16 
d) 3/16 
e) 3/4 
 
 
 
25. A probabilidade de que um atirador acerte o alvo em 
cada tiro é 
5
2
. Em três tiros, qual é a probabilidade de 
que esse atirador : 
a) Acerte os dois primeiros tiros e erre o terceiro tiro ? 
 
 
 
b) Acerte apenas dois tiros ? 
 
 
 
 
26. ( Cesgranrio ) Três moedas não viciadas são 
lançadas simultaneamente. A probabilidade de se obter 
duas caras e uma coroa é: 
a) 1/8 
b) 1/4 
c) 5/16 
d) 3/8 
e) 1/2 
 
 
 
27. ( UEL – PR ) Um juiz de futebol tem três cartões no 
bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o 
terceiro é