lista de exercícios com resolução para prova 3

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Quest~oes sobre Integrais de Superf��cie e Teoremas de Stokes e da Diverge^ncia
1. Calcule a �area da parte do plano z = 1000 + 3x+ 4y interior ao cilindro
(x� 51)2 + (y � 13)2 = 121:
Resp.: 121
p
26�.
Res: A superf��cie �e dada como gr�a�co de fun�c~ao, z = 1000 + 3x + 4y; com (x; y) 2 D =�
(x� 51)2 + (y � 13)2 � 121	 :Portanto,
dS =
q
(zx)2 + (zy)2 + 1dA (1)
Substituindo zx = 3 e zy = 4, obtemos dS =
p
26dA e, assim,
A(S) =
Z Z
S
dS =
Z Z
D
p
26dA =
p
26A(D) =
p
26121�:
2. Calcule a �area da parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2 que est�a acima do plano z = 1:
Resp.: 2� (a2 � a).
Res: A superf��cie �e dada como gr�a�co de fun�c~ao, z =
p
a2 � x2 � y2, com (x; y) 2 D =
fx2 + y2 � a2 � 1g : O contorno do dom��nio D �e a proje�c~ao da curva de interse�c~ao entre a esfera
e o plano z = 1 (a curva de equa�c~ao x2 + y2 + 1 = a2). Temos
zx =
�2x
2
p
a2 � x2 � y2 =
�xp
a2 � x2 � y2
e, analogamente,
zy =
�yp
a2 � x2 � y2 :
Logo,
dS =
q
(zx)2 + (zy)2 + 1dA =
s
x2
a2 � x2 � y2 +
y2
a2 � x2 � y2 + 1dA
=
s
x2 + y2 + a2 � x2 � y2
a2 � x2 � y2 dA =
ap
a2 � x2 � y2dA:
Assim,
A(S) =
Z Z
S
dS =
Z Z
D
ap
a2 � x2 � y2dA
=
Z 2�
0
Z pa2�1
0
ardrd�p
a2 � r2 = a
�Z 2�
0
d�
� Z pa2�1
0
rdrp
a2 � r2
!
= 2�a
h
�
p
a2 � r2
ipa2�1
0
= 2�a (a� 1) :
Observe que as derivadas parcias zx e zy podem ser calculadas implicitamente da equa�c~ao
x2 + y2 + z2 = a2: De fato, derivando essa equa�c~ao em rela�c~ao �a x obtemos
2x+ 2zzx = 0 =) zx = �x
z
= � xp
a2 � x2 � y2 :
Analogamente, derivando a equa�c~ao em rela�c~ao �a y :
2y + 2zzy = 0 =) zy = �y
z
= � yp
a2 � x2 � y2 :
3. Calcule
RR
S
(x2 + y2) dS em que S �e a parte do plano z = 2x+ 2y� 1 interior ao paraboloide
z = x2 + y2:
Resp.: 15�
2
.
Res.: A superf��cie �e dada como gr�a�co da fun�c~ao z = 2x+2y�1 com (x; y) 2 D = f(x� 1)2 + (y � 1)2 � 1g :
O contorno do dom��nio D �e a proje�c~ao da curva de interse�c~ao entre o plano e o paraboloide:
x2 + y2 = 2x+ 2y � 1 ) (x� 1)2 + (y � 1)2 = 1:
Como dS =
p
(zx)2 + (zy)2 + 1dA =
p
22 + 22 + 1dA = 3dA; temosZZ
S
(x2 + y2)dS = 3
ZZ
D
(x2 + y2)dA
= 3
Z 2�
0
Z 1
0
�
(1 + r cos �)2 + (1 + rsen �)2
�
rdrd�
= 3
Z 2�
0
Z 1
0
�
2r + 2r2(cos � + sen �) + r3
�
drd�
= 3
�Z 2�
0
d�
�Z 1
0
�
2r + r3
�
dr =
15�
2
:
4. Calcule a �area da parte do plano z = x+ y interior ao cilindro x2 + y2 = 4:
Resp.: 4�
p
3: A resolu�c~ao �e ide^ntica �a do exerc��cio anterior.
5. Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2; com
normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametriza�c~ao para S e utilize-a para
calcular a integral
RR
S
~F � d~S em que ~F = (x3 + cos(yz); y3; z) :
Resp.: 48�:
Res.: Parametrizamos o cilindro utilizando coordenadas cil��ndricas: ~r = h2 cos �; 2sen �; i z.
Logo,
~r� � ~rz =
������
~i ~j ~k
�2sen � 2 cos � 0
0 0 1
������ = h2 cos �; 2sen �; 0i :
Note que esse normal tem a dire�c~ao desejada.
O dom��nio da parametriza�c~ao �e D = f0 � � � 2� e 0 � z � 2g.
Portanto,ZZ
S
~F � d~S =
ZZ
D
�
(2 cos �)3 + cos(2zsen �); (2sen �)3; z
� � (2 cos �; 2sen �; 0) dA
=
ZZ
S
�
16 cos4 � + cos(2zsen �)2 cos � + 16sen4�
�
dA
= 16
�Z 2
0
dz
�Z 2�
0
(cos4 � + sen4�)d� +
Z 2
0
�
sen (2zsen �)
z
��=2�
�=0
dz
= 32
�
3
2
�
�
+ 0 = 48�:
Para resolver a integral Z 2
0
Z 2�
0
cos(2zsen �)2 cos �d�dz;
fa�ca uma substitui�c~ao simples u = 2zsen �: Da��, du = 2z cos �d� eZ
cos(2zsen �)2 cos �d� =
Z
cosudu = senu = sen (2zsen �):
6. Seja S �e a parte do cone x2 + y2 � z2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Encontre
uma parametriza�c~ao para S e utilize-a para calcular a integral
RR
S
(x2 + y2 + z2) dS:
Resp.: 15�
p
2:
Res.: A superf��cie �e dada como gr�a�co de fun�c~ao, z =
p
x2 + y2, o que nos d�a
dS =
s
x2
x2 + y2
+
y2
x2 + y2
+ 1dA =
p
2dA:
O dom��nio da fun�c~ao �e D = f1 � x2 + y2 � 2g : Assim,ZZ
S
(x2 + y2 + z2)dS = 2
ZZ
D
(x2 + y2)
p
2dA
= 2
p
2
�Z 2�
0
d�
��Z 2
1
r2rdr
�
= 15
p
2�:
Outra parametriza�c~ao poss��vel �e via coordenadas esf�ericas com � =
�
4
; uma vez que essa
�e a equa�c~ao do cone z =
p
x2 + y2 em coordenadas esf�ericas. Assim, a fun�c~ao vetorial que
parametriza S �e
�!r (�; �) = h� sin(�=4) cos �; � sin(�=4) sin �; � cos(�=4)i =
p
2
2
h� cos �; � sin �; �i ;
com (�; �) 2 D = �0 � � � 2� e p2 � � � 2p2	 : Note que, sobre o cone,
� =
p
x2 + y2 + z2 =
p
x2 + y2 + (x2 + y2) =
p
2z:
Temos
�!r� =
p
2
2
h�� sin �; � cos �; 0i e �!r� =
p
2
2
hcos �; sin �; 1i :
Logo,
�!r� ��!r� = det
0B@
�!
i
�!
j
�!
k
�
p
2
2
� sin �
p
2
2
� cos � 0p
2
2
cos �
p
2
2
sin � 1
1CA = 1
2
h� cos �; � sin �;��i ;
dS = k�!r� ��!r�k dA =
p
2
2
�dA
e ZZ
S
(x2 + y2 + z2)dS =
ZZ
D
�2
p
2
2
�dA
=
p
2
2
Z 2�
0
Z 2p2
p
2
�3d�d� = 15
p
2�:
7. Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 4 limitada pelos planos z = 0 e z = y + 2:
(a) Encontre uma parametriza�c~ao para S:
(b) Encontre ~n em cada ponto de S; de modo que ele aponte para fora.
(c) Usando (a), determine a �area da superf��cie S:
Resp.: 8�:
Res.: Como na quest~ao5, parametrizamos o cilindro utilizando coordenadas cil��ndricas: ~r =
h2 cos �; 2sen �; zi : O dom��no da parametriza�c~ao �e D = f0 � � � 2� e 0 � z � 2 + 2sen �g
(note que 2 + 2sen � � 0).
O vetor
~r� � ~rz = h2 cos �; 2sen �; 0i
�e normal e tem a dire�c~ao desejada.
Como dS = k (2 cos �; 2sen �; 0) kdA = 2dA, temos
A(S) =
Z Z
S
dS =
Z Z
D
2dA = 2
Z 2�
0
Z 2+2sen �
0
dzd� = 2
Z 2�
0
(2 + 2sen �)d� = 8�:
8. Calcule
RR
S
rot ~F � d~S; em que
~F (x; y; z) =
D
�y; z ln(1 + x2 + y2); ex2+y2 sen2 (xy)
E
e S �e a superf��cie z = 5� x2 � y2; com z � 1; orientada com normal apontando para cima.
Resp.: 4�:
Res.: Pelo Teorema de Stokes, temos que
RR
S
rot ~F � d~S = R
C
~F � d~r, em que a curva C �e
a fronteira de S; dada pela interse�c~ao do plano z = 1 com o paraboloide z = 5 � x2 � y2 e
percorrida no sentido anti-hor�ario quando vista de cima (este �e sentido compat��vel com o normal
�a S: Substitu��ndo z = 1 na equa�c~ao do paraboloide encontramos a equa�c~ao da proje�c~aode C no
plano xy : 1 = 5� x2 � y2. Logo, a curva C �e o c��rculo de centro (0; 0; 1) e raio 2: Ela tamb�em �e
fronteria do disco S1 de centro (0; 0; 1) e raio 2:
O Teorema de Stokes nos permite trocar S por S1 pois ambas s~ao delimitadas pela mesma
curva C: A vantagem nessa troca �e que o nomal �!n de S1; compat��vel com a orienta�c~ao de C (que
por sua vez foi obtida da orienta�c~ao de S) �e bem simples:
�!n = h0; 0; 1i :
Portanto, ZZ
S
rot ~F � d~S =
ZZ
S1
rot ~F � d~S =
ZZ
S1
rot ~F � h0; 0; 1i dS:
Assim, podemos calcular apenas a componente em ~k de rot ~F , que �e igual a @
@x
(z ln(1 + x2 + y2))�
@
@y
(�y), com z = 1. Ou seja, sobre S1 temos
rot ~F � h0; 0; 1i = 2x
1 + x2 + y2
+ 1:
Consequentemente, observando que S1 �e o gr�a�co da fun�c~ao z = 1 com (x; y) 2 D = fx2 + y2 � 2g ;
temosZZ
S
rot ~F � d~S =
ZZ
S1
rot ~F � h0; 0; 1i dS
=
ZZ
S1
�
2x
1 + x2 + y2
+ 1
�
dS
=
ZZ
D
�
2x
1 + x2 + y2
+ 1
�
dA
=
Z 2�
0
Z 2
0
�
2r cos �
1 + r2
+ 1
�
rdrd� =
Z 2�
0
cos � d�
Z 2
0
2r
1 + r2
+ 2�
Z 2
0
rdr = 4�:
(Note que dS = dA uma vez que zx = zy = 0:)
9. Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular o 
uxo do campo vetorial
~F (x; y; z) =
D
z2x� ey2z ln �1 + z2� ; x2y � cos �z2x� ; y2z � x2Eatrav�es da semi-esfera superior S : z =
p
1� x2 � y2; orientada com o normal apontando para
fora.
Resp.: 3
20
�:
Res.: Como S n~ao �e fechada, utilizamos no Teorema da Diverge^ncia a superf��cie S [ S1 sendo
S1 o disco de raio 1 e centro na origem do plano z = 0; com normal ~n = �h0; 0; 1i : Denotando
por E o s�olido cuja superf��cie de fronteira �e S [ S1; temosZZZ
E
(z2 + x2 + y2)dV =
ZZ
S[S1
~F � ~ndS
=
ZZ
S
~F � ~ndS �
ZZ
S1
~F � h0; 0; 1i dS:
Da��, ZZ
S
~F � ~ndS = �
ZZ
S1
x2dS +
Z �
2
0
Z 2�
0
Z 1
0
�2�2sen�d�d�d�
= �
ZZ
D
x2dA+
 Z �
2
0
sen�d�
!�Z 2�
0
d�
��Z 1
0
�4d�
�
= �
Z 2�
0
Z 1
0
(r2 cos2 �)rdrd� +
2
5
�
= �
�Z 2�
0
cos2 �d�
��Z 1
0
r3dr
�
+
2
5
� = ��
4
+
2
5
� =
3
20
�:
,
10. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
H
C
~F � d~r; em que
~F (x; y; z) =
D
�y; z ln(4 + x2 + y2); ex2+y2 sen2(xy)
E
e C �e a curva de interse�c~ao do parabol�oide z = 9� x2� y2 com o cilindro x2 + y2 = 4; orientada
no sentido anti-hor�ario, quando vista de cima.
Resp.: 4�:
Res.: A curva C �e dada por z = 5 e x2 + y2 = 4: Ela �e a curva de fronteira da supef��cie S;
gr�a�co da fun�c~ao z = 5 com (x; y) 2 D = fx2 + y2 � 4g : Orientando S com normal unit�ario
~n = h0; 0; 1i podemos aplicar o Teorema de Stokes:I
C
~F � d~r =
ZZ
S
rot ~F � d~S
=
ZZ
S
rot ~F � h0; 0; 1i dS
=
ZZ
S
�
@
@x
z ln(4 + x2 + y2)� @
@y
(�y)
�
dS
=
ZZ
S
�
2zx
4 + x2 + y2
+ 1
�
dS =
ZZ
D
�
10x
4 + x2 + y2
+ 1
�
dA
= 10
ZZ
D
�
x
4 + x2 + y2
�
dA+ A(D) = 0 + 4� = 4�;
uma vez que ZZ
D
�
x
4 + x2 + y2
�
dA =
Z 2�
0
cos �d�
Z 2
0
r2dr
4 + r2
= 0
(
R 2�
0
cos �d� = 0):
11. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
RR
S
rot ~F � d~S; em que
~F (x; y; z) =
D
z ln
�
4 + x2 + y2
�
; x ; ex
2+y2 sen
�
x2 + y2
�E
e S �e a parte do cilindro x2 + y2 = 1 acima do plano z = 0 e abaixo do plano z = 1 + y com o
vetor normal apontando para fora de S.
Resp.: � ln 5:
Res.: Pelo Teorema de StokesZZ
S
rot ~F � d~S =
Z
C1
~F � d~r +
Z
C2
~F � d~r
em que:
� C1 �e a interse�c~ao do cilindro com o plano z = 1 + y orientada de modo que sua proje�c~ao
no plano xy seja percorrida no sentido hor�ario e
� C2 a interse�c~ao do cilindro com o plano z = 0 orientada no sentido anti-hor�ario.
Sobre C1 temos (observando que x
2 + y2 = 1 sobre esta curva):Z
C1
~F � d~r = �
Z
C1
z ln (4 + 1) dx+ xdy + e1 sen (1) dz
= �
Z 2�
0
((1 + sen t) ln 5(�sen t) + cos t cos t+ esen 1 cos t)dt
= ln 5
Z 2�
0
(1 + sen t)sen tdt�
Z 2�
0
cos2 tdt+ e
Z 2�
0
sen 1 cos tdt
= � ln 5� �:
Sobre C2 temos (observando que x
2 + y2 = 1; z = 0 e dz = 0 sobre esta curva):Z
C2
~F � d~r =
Z
C2
xdy =
Z 2�
0
cos2 tdt = �:
Logo, ZZ
S
rot ~F � d~S = � ln 5� � + � = � ln 5:
12. Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular o 
uxo do campo vetorial
~F (x; y; z) =
1
(x2 + y2 + z2)
3
2
hx; y; zi
atrav�es da parte superior do elips�oide S : x2 + y2 +
z2
4
= 1; orientada com o normal apontando
para fora. Resp.: 2�:
Res.: A superf��cie S n~ao �e fechada. Para aplicar o Teorema da Diverge^ncia �e necess�ario que
ela seja unida a outra superf��cie S1 de modo que S [ S1 seja fechada, isto �e, seja a superf��cie de
fronteira de um s�olido E; e tenha normal ~n exterior. Al�em disso, a origem n~ao pode pertencer
ao s�olido E uma vez que o campo
�!
F acima n~ao �e de�nido na origem.
Uma boa alternativa �e considerar S1 a parte superior da esfera unit�aria x
2 + y2 + z2 = 1 com
normal ~n = �hx; y; zi :
Desta forma, lembrando que div ~F = 0 em qualquer regi~ao que n~ao contenha a origem, temos
0 =
ZZZ
E
div ~FdV
=
ZZ
S[S1
~F � d~S =
ZZ
S
~F � d~S +
ZZ
S1
~F � � hx; y; zi dS:
Logo, ZZ
S
~F � d~S =
ZZ
S1
~F � hx; y; zi dS
=
ZZ
S1
1
(x2 + y2 + z2)
3
2
hx; y; zi � hx; y; zi dS
=
ZZ
S1
x2 + y2 + z2
(x2 + y2 + z2)
3
2
dS =
ZZ
S1
dS = A(S1) =
4�
2
= 2�:
13. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
RR
S
rot ~F � d~S; em que
~F (x; y; z) =
D
z ln
�
4 + x2 + y2
�
; x ; ex
2+y2 sen2 (xy)
E
e S �e a superf��cie z = 9 � x2 � y2 com z � 5 com o vetor normal apontando para cima. Resp.:
4�:
Res.: �E ide^ntica �a quest~ao 8:
14. Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular a integral
RR
S
(x4 + y4 + z4) dS em que
S �e a esfera x2 + y2 + z2 = 4:
Resp.: 768�
5
:
Res.: Para utilizarmos o Teorema da Diverge^ncia precisamos escrever
x4 + y4 + z4 = ~F � ~n;
para algum campo vetorial ~F ; sendo ~n = ~n (x; y; z) o vetor normal exterior �a S no ponto (x; y; z) :
Mas, como S �e a esfera de centro na origem e raio 2, temos ~n =
1
2
(x; y; z) : Portanto, devemos
ter
x4 + y4 + z4 = ~F � 1
2
(x; y; z) ;
o que nos mostra que podemos tomar ~F = (2x3; 2y3; 2z3):
Assim, pelo Teorema da Diverge^ncia:
ZZ
S
�
x4 + y4 + z4
�
dS =
ZZ
S
~F � ~ndS =
ZZZ
E
div
�
2x3; 2y3; 2z3
�
dV
= 6
ZZZ
E
�
x2 + y2 + z2
�
dV = 6
Z 2�
0
Z �
0
Z 2
0
�2�2 sen�d�d�d�
= 6
�Z 2�
0
d�
��Z �
0
sen�d�
��Z 2
0
�4d�
�
= 6:2�:2:
25
5
=
768�
5
:
15. Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular a integral
RR
S
(x2 + y2 + z3) dS em que
S �e a esfera x2 + y2 + z2 = 4: Resp.: 128�
3
:
Res.: An�aloga �a do exerc��cio anterior com a escolha ~F = (2x; 2y; 2z2):
16. Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular o 
uxo do campo vetorial
~F (x; y; z) =
x; y; z2 + 1
�
atrav�es da semi-esfera superior S : z =
p
1� x2 � y2; orientada com o normal apontando para
fora.
Resp.: 17
6
�:
Res.: Consideremos o s�olido E cuja fronteira �e a supef��cie S [ S1; com S1 a superf��cie plana
gr�a�co de z = 0 com (x; y) 2 D = fx2 + y2 � 1g e ~n = h0; 0;�1i. Ent~ao,ZZZ
E
div ~F dV =
ZZ
S
~F � d~S +
ZZ
S1
x; y; z2 + 1
� � h0; 0;�1i dS:
Assim, notando que z = 0 sobre S1;ZZZ
E
(1 + 1 + 2z)dV =
ZZ
S
~F � d~S +
ZZ
S1
x; y; z2 + 1
� � h0; 0;�1i dSZZ
S
~F � d~S = 2
Z 2�
0
Z �
2
0
Z 1
0
(1 + � cos�)�2sen�d�d�d� +
ZZ
S1
dS
= 4�
"Z �
2
0
sen�d�
Z 1
0
�2d�+
Z �
2
0
cos�sen�d�
Z 1
0
�3d�
#
+ �
= 4�
�
1
3
+
1
8
�
+ � =
17
6
�:
17. Considere a curva C interse�c~ao do parabol�oide z = 10� x2 � y2 com o cilindro x2 + y2 = 1;
orientada no sentido anti-hor�ario quando vista de cima. Calcule a integral de linhaI
C
yez�3dx+ xz2dy + exyzdz :
(a) Diretamente.
Res.: Uma parametriza�c~ao para a curva C �e dada por x = cos t; y = sin t e z = 9; com
0 � t � 2�: Portanto,I
C
yez�3dx+ xz2dy + exyzdz =
I
C
ye9�3dx+ 81xdy
=
Z 2�
0
(�e6 sin2 t+ 81 cos2 t)dt = (81� e6)�:
(b) Utilizando o Teorema de Stokes.
Res.: A curva C �e fronteira da superf��cie S; parte do plano z = 9 interior ao cilindro
x2 + y2 = 1: Como S �e o gr�a�co da fun�c~ao z = 9 com (x; y) 2 D = fx2 + y2 � 1g ; temos
dS =
p
02 + 02 + 1dA = dA: Como �!n = h0; 0; 1i (compat��vel com a orienta�c~ao de C),
precisamos calcular apenas terceira componente de rot ~F , que �e igual a 81� e6. AssimI
C
yez�3dx+ xz2dy + exyzdz =
ZZ
S
rot ~F � h0; 0; 1i dS
=
ZZ
S
(81� e6)dS = (81� e6)
ZZ
D
dA = (81� e6)�:
Resp.: (81� e6)�:
18. Utilize o Teorema da Diverge^ncia para calcular a integral
RR
S
~F � d~S em que
~F =
x3 + cos(yz); y3; z
�
e S �e a parte do cilindro x2 + y2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2; com normal
apontando para fora do cilindro.
Resp.: 48�:
Res.: Para utilizar o Teoremada Diverge^ncia temos que de�nir um s�olido E adequado de modo
que S seja parte de sua fronteira. Al�em disso, a superf��cie de fronteira de E deve ser orientada
com normal exterior. O modo mais simples de fazer isso �e de�nir E como o s�olido limitado pela
superf��cies S; S1 e S2 em que S1 �e a parte do plano z = 0 com x
2 + y2 � 4 e �!n1 = �h0; 0; 1i ; e
S2 �e a parte do plano z = 1; com x
2 + y2 � 4 e �!n2 = h0; 0; 1i : Desta forma,Z Z Z
E
div ~FdV =
ZZ
S
~F � d~S +
ZZ
S1
~F � �!n1dS +
ZZ
S
~F � �!n2dS:
Como div ~F = @
@x
(x3 + cos(yz)) + @
@y
(y3) + @
@z
(z) = 3x2 + 3y2 + 1; temosZ Z Z
E
(3x2 + 3y2 + 1)dV =
ZZ
S
~F � d~S �
ZZ
S1
~F � h0; 0; 1i dS +
ZZ
S2
~F � h0; 0; 1i dSZ 2�
0
Z 2
0
Z 2
0
(3r2 + 1)rdzdrd� =
ZZ
S
~F � d~S �
ZZ
S1
zdS +
ZZ
S2
zdSZ 2�
0
d�
Z 2
0
(3r3 + r)dr
Z 2
0
dz =
ZZ
S
~F � d~S �
ZZ
S1
0dS +
ZZ
S2
2dS
4�
�
3r4
4
+
r2
2
�2
0
=
ZZ
S
~F � d~S + 2A(S2)
56� =
ZZ
S
~F � d~S + 8�:
Portanto, ZZ
S
~F � d~S = 48�:
19. Seja S a parte do cone x2 + y2 � z2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Encontre
uma express~ao para o vetor normal unit�ario ~n apontando para fora do cone em cada ponto
(x; y; z) 2 S:
Resp.: ~n =
p
2
2z
hx; y;�zi :
Res.: S �e parte de uma superf��cie de n��vel: x2+ y2� z2 = 0: Sabemos que o gradiente da fun�c~ao
x2 + y2 � z2 �e normal �a S: Calculando tal gradiente e dividindo-o por seu comprimento obtemos
o vetor
~n =
1p
4x2 + 4y2 + 4z2
h2x; 2y;�2zi = 1p
x2 + y2 + z2
hx; y;�zi :
Como x2 + y2 = z2 e z > 0 (pois 1 � z � 2) podemos reescrever
~n =
1p
z2 + z2
hx; y;�zi =
p
2
2 jzj hx; y;�zi =
p
2
2z
hx; y;�zi :
Podemos ver, geometricamente, que este vetor aponta para fora do cone.
20. Utilize o Teorema da Diverge^ncia e o exerc��cio anterior para calcular a integralZZ
S
�
x2 + y2 + z2
�
dS
em que S �e a parte do cone x2 + y2 � z2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2:
Resp.: 15�
p
2:
Res.: Primeiramente precisamos escrever a integral acima como o 
uxo de um campo vetorial
~F atrav�es de S; com ~n apontando para fora. Para tanto, precisamos que tal campo satisfa�ca
~F �~n = x2+y2+z2: Como j�a sabemos que ~n =
p
2
2z
hx; y;�zi ; precisamos encontrar ~F = hP;Q;Ri
tal que
hP;Q;Ri �
p
2
2z
hx; y;�zi = x2 + y2 + z2:
Esta identidade pode ser escrita assimp
2
2
Px
z
+
p
2
2
Qy
z
�
p
2
2
Rz
z
= x2 + y2 + z2:
Existem in�nitas possibilidades para P;Q e R: Uma mais simples �e a seguinte:8>>>>><>>>>>:
p
2
2
Px
z
= x2 =) P = p2xzp
2
2
Qy
z
= y2 =) Q = p2xy
�
p
2
2
Rz
z
= z2 =) R = �p2z2:
Assim, escolhendo ~F =
p
2 hxz; yz;�z2i temosZZ
S
�
x2 + y2 + z2
�
dS =
ZZ
S
~F � ~ndS:
Observe que div ~F =
p
2(z + z � 2z) = 0:
Agora, para utilizarmos o Teorema da Diverge^ncia precisamos ainda escolher um s�olido E de
tal modo que S seja parte de sua fronteira, a qual deve ser orientada com normal exterior. Uma
maneira simples �e escolher E como o s�olido limitado por S [ S1 [ S2 em que S1 �e a parte do
plano z = 1; com x2 + y2 � 1 e ~n1 = �h0; 0; 1i ; e S2 �e a parte do plano z = 2; com x2 + y2 � 4
e ~n2 = h0; 0; 1i :
Desta forma, o Teorema da Diverge^ncia nos diz queZZZ
E
div ~FdV =
ZZ
S
~F � ~ndS +
ZZ
S1
~F � ~n1dS +
ZZ
S2
~F � ~n2dS:
Da��, como div ~F =
p
2(z + z � 2z) = 0; temos
0 =
ZZ
S
~F � ~ndS �
ZZ
S1
~F � h0; 0; 1i dS +
ZZ
S2
~F � h0; 0; 1i dS;
ou seja, ZZ
S
~F � ~ndS =
ZZ
S1
~F � h0; 0; 1i dS �
ZZ
S2
~F � h0; 0; 1i dS
= �
p
2
ZZ
S1
z2dS +
p
2
ZZ
S2
z2dS
= �
p
2
ZZ
S1
dS +
p
2
ZZ
S2
4dS
= �
p
2A(S1) + 4
p
2A(S2) =
p
2 (�� + 16�) = 15�
p
2: