Trigonometria: Ângulos, Triângulos e Medidas

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1. TRIGONOMETRIA
1.1. ÂNGULOS E SUAS UNIDADES
O grau é uma medida de ângulo. Um grau, notado por 1o , equivale a 1/180 de um
ângulo raso ou 1/360 de um ângulo correspondente a uma volta completa em torno de
um eixo.
Outra medida de ângulo é o radiano. Um radiano, denotado por 1 rad, equivalente ao
ângulo central quando o comprimento de arco equivale ao raio da circunferência em
questão (veja figura abaixo).
(fonte da imagem: http://www.sofisica.com.br/conteudos/dicionario/figuras/radiano.jpg)
Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é
uma constante numérica equivalente a 3,14159...).
Exercício resolvido:
a) Qual o valor de 90o em radianos?
b) Qual o valor de π/6 radianos em graus?
Resolução:
a) Seja x o valor procurado. Como π rad = 180o , então temos

180
= x
90
Segue que x = 90(π/180) = π/2 radianos. Logo, 90o = π/2 rad.
b) Seja x o valor procurado. Como π rad = 180o , então temos

180
=/6
x
Segue que x = 180/6 = 30 graus. Logo, π/6 rad = 30o.
1.2. TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto, isto
é, possui 90 graus. Os lados menores de um triângulo retângulo são chamados
catetos, e o lado menor é chamado hipotenusa (ver figura logo abaixo).
1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS
A relação entre os lados de um triângulo retângulo é dada pelo Teorema de Pitágoras:
o quadrado do valor da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos valores dos
catetos. Isto é, se a é o valor da hipotenusa e b e c são os valores dos catetos de um
triângulo retângulo, então
a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
Nota: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus.
Exercício resolvido:
Se um cateto de um triângulo retângulo tem comprimento 7 e a hipotenusa tem
comprimento 11, qual é o valor do outro cateto?
Resolução:
Se x é o cateto desconhecido, temos, pelo Teorema de Pitágoras:
112 = 72 + x2
Segue que
x2 = 112 – 72 = 121 – 49 = 72
Logo,
x = 72 = 62 ≈ 8,5
1.4. MEDIDAS TRIGONOMÉTRICAS
As principais medidas trigonométricas associadas um ângulo são definidas a partir do
triângulo retângulo, como na figura abaixo.
(fonte da imagem: http://cabelovivaolinux.files.wordpress.com/2009/08/fig_tri-6.jpg?w=284&h=353 )
Exercício resolvido:
Um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 8 possui um ângulo
interno de 30o. Sabendo que sen 30o = ½, determine:
a) o valor dos catetos dos triângulos
b) o valor de cos 30o e tg 30o.
Resolução:
a) Se chamarmos b o cateto oposto ao ângulo de 30o, pela definição de seno
temos que
sen 30o = (cateto oposto a 30o) / (hipotenusa) = b / 8
Como sen 30o = ½, logo b/8 = ½. Segue que b = 8/2 = 4. Se chamarmos c o
cateto adjacente a 30o, pelo Teorema de Pitágoras temos
82 = 42 + c2
Logo c2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48. Segue que c = 48 = 212 .
Nota: 48 = 4.12= 412= 212
b) Por definição, temos
cos 30o = (cateto adjacente a 30o) / (hipotenusa) = c / 8 = 2128 =
12
4 e
tg 30o = (cateto oposto a 30o) / (cateto adjacente a 30) = b / c =
4
212 =
12
6
Nota: 4212
= 2
12
= 2
12
. 12
12
= 212
12
= 12
6
Imagens: acesso em agosto de 2010