Modelo de Solow e convergência

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I - Modelo de Solow
Conceitos prévios:
	Oferta agregada
	Função de produção
	Retornos constantes de escala
	Produtividade marginal dos fatores
	Agregados macroeconômicos (produto interno bruto, renda nacional)
	Preço real de aluguel do capital
	Salário
	Ocupados
	Estoque de Capital, investimento bruto e ei
	Longo prazo (médio prazo), curto prazo
Relações Prévias
	Função de produção (relação entre insumos e produto)
	Relação entre produtividade marginal do fator e sua remuneração
	Papel da demanda agregada no mercado de bens no longo prazo (médio prazo)
Introdução 
Objetivo: entender as causas das diferenças (estáveis) de rendas por trabalhador entre países (regiões).
Perguntas:
	Por que há diferença entre as rendas per capita dos países?
	É possível haver “reverso da fortuna”?
	Há diferenças entre as taxas de crescimento da renda per capita entre os países? (transitório x longo prazo)
	Quais os fatores que geram crescimento da renda per capita?
(transitório x longo prazo)
	É possível termos igualdade de renda per capita entre os países?
Evidências empíricas e fatos estilizados do crescimento
	Longo prazo  Oferta Agregada
[“Do curto para o médio prazo”: o que importa agora é a posição da reta!]
Y=F(K,LA) [colocar em setinhas] e y=f(k,A)
Y  K, L e A (determinantes em primeira instância do produto)
y  k, A (determinantes em primeira instância do produto por trabalhador)
Para Y/Y A/A K/K L/L
Para y/y A/A k/k
	
I.1) Modelo de Solow sem Progresso Tecnológico (g=0 e A=1)
g=A/A= progresso tecnológico
A= nível da tecnologia (posição da função de produção)
I.2.1) Função de Produção (oferta agregada)
Y=F(K,L)=KαL1-α
[int=intuição]
Y= produto (~produto interno bruto ~ renda nacional)
K= estoque de capital
L= total de ocupados
α= participação do capital na renda = rK/Y (r= preço de aluguel do capital)
1-α=participação do trabalho na renda = wL/Y (w=salário)
Hipótese 1: 
1a) retornos constantes de escala em K e L tomados conjuntamente [int]
&
1b) rendimentos marginais positivos e decrescentes para os fatores individualmente [int]
Hipótese 1: é essencial à caracterização do modelo de Solow
Como temos retornos constantes de escala: dividir ambos os lados por (L):
Y/L=(K/L)α  y=kα
Y/L =y = produto por trabalhador (produtividade do trabalho)
K/L=k (estoque de capital por trabalhador)
[int]
Gráfico 1
Se y=kα, 
Para y/y k/k [crescimento por insumos]
I..1.2Função de Acumulação de Capital
k = sy – (+n)k
“ A variação do estoque de capital per capita (investimento líquido) é igual ao investimento bruto per capita (e à poupança bruta per capita) menos a depreciação efetiva do capital per capita”
Poupança per capita= sy
Hipótese 2: s= taxa de poupança, s>0, exógena e constante.
Hipótese 3: = taxa de depreciação, positiva, exógena e constante.
Hipótese 4: n=taxa de crescimento populacional, positiva exógena e constante.
Depreciação efetiva do capital per capita = (+n)k
Gráfico 2
Intuição: (o resultado reflete os rendimentos marginais decrescentes do capital)
k 0 y 0  sy0  k
k1  y1 sy1k
k2 ....k=0 k*y* 
Exemplo Numérico: Mankiw (sétima edição), p. 155 Tabela 7.2
I..1.3 - Estado Estacionário (equilíbrio de longo prazo em que todas as taxas de crescimento são constantes)
*= símbolo para o valor da variável em estado estacionário
Rendimentos marginais decrescentes para o capital k=0 no longo prazo.
k=0k*y*
Se y=kα
k = sy – (+n)k=0
k*= (s/(+n))1/(1-α)
y*=(s/(+n))α/(1-α)
k=0y=0
k/k=k=0y/y=y=0 
 = taxa de crescimento
 não há crescimento da renda por trabalhador no longo prazo por meio do crescimento do estoque de capital per capita, em função dos efeitos dos rendimentos marginais decrescentes do capital.
BOX: k=K/L  loglnk=lnK-LnL  diferencia no tempok/k=K/K - L/L
Como k/k=0  K/K = L/L
K=Y=n
I.1.4- Inferências do Modelo de Solow (sem progresso tecnológico):
	Um país com maior capital per capita terá maior renda por trabalhador no longo prazo;
	Um país com maior taxa de poupança e menor taxa de crescimento da força de trabalho (e menor taxa de depreciação) terá maior capital por trabalhador e logo maior produto per capita;
	As diferenças entre as rendas por trabalhador decorrem de diferenças na taxa de poupança e na taxa de crescimento populacional (e na taxa de depreciação);
	Sem progresso tecnológico, não há crescimento sustentável do estoque de capital per capita e logo do produto per capita;
	O produto total cresce somente em função do crescimento populacional.
I..1.5 – Avaliação
(Respostas para (a), (d), (e) e (f)) e Figuras 2.6 e 2.7 (Jones & Vollart, 2015)
I.1.6– Prática 
A)- (Palavras-chave e Perguntas de revisão)
Retornos de escala = tamanho (L) da economia não altera a relação entre k e y
Função de produção (como você descreveria a produção no modelo de Solow?)[visualize]
Função de acumulação de capital (Como varia o investimento líquido?) [visualize]
Poupança per capita (Como as famílias poupam neste economia?) [visualize]
Depreciação efetiva (Para que o estoque de capital permaneça constante, é necessário algum investimento?) [visualize]
Hipóteses do modelo (papel da hipótese 1) (Qual o efeito sobre o crescimento do estoque de capital per capita e do produto per capita dos rendimento marginais decrescentes na economia? [visualize]
Partindo de um estoque de capital inicial, abaixo do nível de estado estacionário, como você descreveria a evolução de k e y nesta economia até o longo prazo? [visualize]
Conclusões do modelo para nível e para taxa de crescimento (Quais as principais inferências do modelo?) [qual teste fariam para o modelo]
Checar causalidades e precisão dos conceitos
Como o modelo de Solow explica o milagre do Japão e da Alemanha no pós-guerra?
B) Exercícios
Mankiw (sétima edição) 1 e 3
I.2 – Resíduo de Solow (contabilidade do crescimento)
Exercício:
Deflacionar salário
I.3 - Modelo de Solow com Progresso Tecnológico
Hipótese 5:
At=A0gt  A/A=g e At = A0
I.3.1 - Função de Produção
Y=F(K,LA)=Kα (LA)1-α
[int=intuição]
At = nível da tecnologia (eficiência) em t (posição da função de produção)
A0= nível inicial da tecnologia
g= progresso tecnológico, exógeno, constante e positivo.
Redefinindo Hipótese 1:
Hipótese 1: 
1a) retornos constantes de escala em K e (LA) tomados conjuntamente [int]
&
1b) rendimentos marginais positivos e decrescentes para os fatores individualmente [int]
Hipótese 1: é essencial à caracterização do modelo de Solow
Como temos retornos constantes de escala: dividir ambos os lados por (L):
Y/L=(K/L)α A1-  y=kα A1-
Podemos também dividir ambos os lados por (LA):
Y/(LA) = K/(LA) = 
Y/(LA) = = razão produto/tecnologia ou produto por unidades efetivas do trabalho
K/(LA)= =razão capital/tecnologia ou estoque de capital por unidades efetivas de trabalho
A produtividade marginal do capital, variável crítica para a decisão de adquirí-lo para as firmas, varia inversamente com o tamanho do estoque de capital. Segundo a teoria econômica, as firmas adquirem capital até que o valor de sua produtividade marginal seja igual à taxa de juros real da economia. Nessa condição de equilíbrio, o estoque de capital por trabalhador fica constante. Na ausência de fontes exógenas – especialmente o progresso tecnológico, que afeta a produtividade marginal a determinado nível do mesmo, somente uma aumento na poupança por trabalhador (ou por queda da depreciação efetiva por trabalhador) haverá mudança deste estoque. Qualquer variação no estoque de capital por unidades 
O valor do produto por unidades efetivas de trabalho indica aquilo q
[int]
I.3.2 - Função de Acumulação do Capital por Unidades Efetivas de Trabalho
Log 
Diferenciando  
Rearranjando: 
I.3.3 - Estado Estacionário
Rendimentos marginais decrescentes  
			
				
Nível da
renda por trabalhador no estado estacionário: (xA)
Países com maior produtividade do trabalho possuem maiores taxas de poupança, menores taxas de depreciação efetiva.
Taxas de crescimento de estado estacionário:
=0=0
ktil/ktil=ktil=0y/ytil=ytil=0 
 não há crescimento da renda por unidades efetivas de trabalho no longo prazo por meio do crescimento do estoque de capital por unidades efetivas de trabalho, em função dos efeitos dos rendimentos marginais decrescentes do capital.
BOX: k~=K/(LA)  loglnk~=lnK-LnL - lnA  diferencia no tempok/ktil=K/K - L/L-A/A
menores taxas de depreciação e de crescimento da força de trabalho. Diferenças em A0 também podem gerar diferenças na produtividade do trabalho. A taxa de progresso tecnológico, por hipótese, é igual entre as regiões, logo não pode diferenciar as suas produtividades do trabalho.
Crescimento no longo prazo:
Log e diferenciando:
K=Y=n+g
[int]
I.3.4 - Inferências do Modelo de Solow com progresso tecnológico:
	Um país com maior taxa de poupança e menor taxa de crescimento da força de trabalho (e menor taxa de depreciação) terá maior capital por trabalhador e logo maior produto per capita;
	As diferenças entre as rendas por trabalhador decorrem de diferenças na taxa de poupança e na taxa de crescimento populacional (e na taxa de depreciação);
	Não há crescimento da renda por unidades efetivas do trabalho no longo prazo, no entanto...
	O capital por trabalhador cresce por meio de g, o que alavanca o crescimento da renda per capita no longo prazo;
	Sem choques, os países deveriam ter rendas per capitas relativamente constante (paralelas) no tempo.
	O capital total cresce à taxa g+n, assim como a renda total;
	A participação do capital e do trabalho na renda tendem a ser constantes.
I.4.5 – Avaliação
Oded 
I.4.6 – Prática 
A)- (Palavras-chave e Perguntas de revisão) 
Retornos de escala = tamanho (L) da economia não altera a relação entre k e y
Função de produção (como você descreveria a produção no modelo de Solow?)[visualize]
Função de acumulação de capital (Como varia o investimento líquido?) [visualize]
Poupança per capita (Como as famílias poupam neste economia?) [visualize]
Depreciação efetiva (Para que o estoque de capital permaneça constante, é necessário algum investimento?) [visualize]
Hipóteses do modelo (papel da hipótese 1) (Qual o efeito sobre o crescimento do estoque de capital per capita e do produto per capita dos rendimento marginais decrescentes na economia? [visualize]
Partindo de um estoque de capital inicial, abaixo do nível de estado estacionário, como você descreveria a evolução de k e y nesta economia até o longo prazo? [visualize]
Conclusões do modelo para nível e para taxa de crescimento (Quais as principais inferências do modelo?) [qual teste fariam para o modelo]
Checar causalidades e precisão dos conceitos
Como o modelo de Solow explica o milagre do Japão e da Alemanha no pós-guerra?
Progresso tecnológico (hipóteses)
Como o progresso tecnológico afeta o crescimento do capital per capita?
Por que ocorre crescimento da renda per capita no longo prazo?
Quais as implicações da introdução do progresso tecnológico para a determinação dos valores da renda per capita e das taxas de crescimento de longo prazo?
B – Exercícios
Demais exercícios do Mankiw e do Jones
C) MP I
I.3.5 - Milagres Econômicos (crescimento de transição):
A) – Milagres e desastres econômicos
y←k← s,n,d
y←At←A0
“Reverso da Fortuna” :choques nos determinantes do nível da renda per capita de longo prazo podem gerar um crescimento do capital per capita acima do progresso tecnológico. Este crescimento será, no entanto, positivo e decrescente, até que a economia atinja o maior nível estável de estoque de capital per capita e longo maior renda per capita de longo prazo, momento em que volta a crescer à taxa g. O milagre perde força em função dos rendimentos marginais decrescentes do capital.
Suponha um aumento de s (s1>s0): 
Em k0*  s1y0 > (+n+g)k0 ky (pois s1>s0)
Em k1 s1y1> (+n+g)k1ky sy (pois y1>y0)...
k >0, mas decrescentes até k=0 
Em knovo*: s1y novo= (+n+g)knovo
Gráfico
Podemos também visualizar na forma de taxas:
Se y=kα
k/k= sy/k – (+n+g)
y/y= α k/k
Gráfico
Na transição:
No novo equilíbrio de longo prazo:
		 
I.3.6 – Inferências
a) choques em s e n geram crescimento positivo, porém decrescente, do estoque de capital por unidades efetivas de trabalho, do estoque de capital per capita;
b) o crescimento dos estoques de capital acima geram crescimento da renda por unidades efetivas do trabalho e da renda por trabalhador;
c) o crescimento é positivo, mas decrescente;
d) o crescimento de y é menor do que de k, aprofundando K/Y
I.3.7 – Avaliação
Figura 2.15 (Jones, cap. 2)
Milagre brasileiro (Gomes et al (2003))
I.3.8 – PC e Questões de Revisão
A)Milagre/desastre econômico
O que ocorre com ktil, y til, k e y quando há um aumento de s (na transição e no longo prazo)? Descreva cuidadosamente as causalidades
O que ocorre com a relação K/Y na transição e no longo prazo?
B) Exercícios
C) MP1
I.5 - Convergência
Convergência beta absoluta: os países menos dotados de capital (menor y) por trabalhador crescerão mais rapidamente do que os mais dotados de k, logo com mais y, em função dos rendimentos marginais decrescentes do capital.
y = α+βy0 + υt
Teste: se β<0 e significativo, modelo de Solow correto
Mas este teste omite variável, viesando o coeficiente de β!
Convergência beta condicional: quando comparamos países similares nos determinantes da y de estado estacionário (A0,s,n), os países menos dotados de capital (menor y) por trabalhador crescerão mais rapidamente do que os mais dotados de k, logo com mais y, em função dos rendimentos marginais decrescentes do capital.
y = α+β1y0 + β2 s+ β3n + υt
Teste: se β1<0 e significativo, modelo de Solow correto.[quais valores esperados para os demais coeficientes?]
Convergência sigma: a dispersão das rendas per capita diminui com o tempo.
Condição necessária: convergência beta condicional,
mas não suficiente, pois pode haver choques!
Observação: a dispersão cai, mas não necessariamente zera!