aula 04- porcentagem

Prévia do material em texto

23
4ºAula
Porcentagem
As taxas de juros representam a remuneração de qualquer capital aplicado em 
uma operação financeira, e sempre está em valores percentuais, daí a importância 
se de compreender bem o conceito de porcentagens.
Boa aula!
Figura 4.1 Porcentagem Fonte: WWW.folhailustrada.com.br
Matemática Financeira I
24
Objetivos de aprendizagem
1 - Porcentagens
2 - Exercícios de aplicação 
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• executar cálculos percentuais para controle da 
vida financeira pessoal e da empresa;
• entender algumas aplicações do conceito de 
porcentagem para calculo de aumentos e descontos;
• determinar preço de compra e venda e auferir 
lucros de uma operação. 
Seções de estudo
1- Porcentagem
Historicamente, a expressão por cento aparece nas 
principais obras de aritmética de autores italianos do século 
XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra 
cento utilizada nas operações mercantis.
O símbolo %, ao lado de um número, apenas indica que 
aquele número será dividido por 100. Na execução do 
cálculo o percentual precisa estar na sua forma unitária. 
Assim se queremos calcular 25% de 200 temos: 
25% . 200 = (25/100) . 200 = 0,25 . 200 = 50.
Porcentagem ou percentagem é uma fração cujo 
denominador é 100. Representa-se com o símbolo 
% (que se lê “por cento”). = x% . Porcentagem 
pode ser considerada como unidade de medida 
universal do sistema financeiro e também é aplicado 
em várias áreas do conhecimento.
Porcentagem pode ser entendida como uma parte 
do todo, e sempre está relacionada a uma grandeza. 
Notação: 
Por exemplo, quando escrevemos 10% temos 
uma representação percentual, o símbolo % indica
 isso que dizer que em um total de 100 
tomamos 10. Mas veja o seguinte se dividirmos 
10 por 100 teremos como resultado (0,10) e este 
resultado chama-se parte unitária. Vocês já devem 
ter percebido que a porcentagem pode aparecer 
 x
100
acompanhada do %, porém, todas as vezes que 
você tiver que calcular uma porcentagem esta 
deverá estar na forma unitária. 
Como já dissemos anteriormente, porcentagem 
pode ser entendida como parte do todo, por 
exemplo, suponha que você acabou de fazer uma 
prova de 80 questões para um concurso, e o edital 
dizia que para você ser aprovado você precisava de 
no mínimo 50% de acertos. Depois de conferido 
você percebeu que tinha acertado 47 questões das 
80. Será que você passou? 
Bom, vamos ver:
De 80 você acertou 47, temos, então: = 
0,5875. Vejam que o resultado está na forma unitária 
e, para transformamos isso para porcentagem, basta 
multiplicarmos por 100 assim teremos:
0,5875x100= 58,75% esse número representa 
o seu percentual de acerto.
1.1 Aplicação das porcentagens 
para aumentos e descontos
Exemplo:
Vocês querem comprar um objeto de $ 150,00 
e para pagamento a vista terá um desconto de 10%. 
Quanto irá desembolsar?
Resolução:
Bom!!!!!! Teremos um desconto de 10% sobre o 
valor da mercadoria.
O nosso desconto é de $ 15, 00. Agora vamos 
calcular quanto vamos pagar: 
V= 150,00 – 15,00 → V = 135,00
Outra maneira bastante interessante de se fazer é: 
Você pode pensar assim: o preço do objeto que 
quero comprar é 100%, como terei um desconto de 
10%, pagarei pelo objeto apenas 90% do seu valor. 
O valor final então será dado por:
 
Vf = 150(100% − 10%)
Devemos sempre transformar taxa percentual 
em taxa unitária então,
 10
100
 47 
 80
 d = 10 % . 150 → d = 10 . 150 → d = 0,10 . 150 → d = 15,00
 100
Vf = 150( 100 - 10 ) → Vf = 150(1 −0,10) → Vf = 150(0,90) →Vf = 135,00
 100 100
25
Então, podemos escrever uma fórmula 
geral onde:
 
Vf = valor final
V0 = valor inicial
p = percentual de desconto
Observação:
Agora se em vez de descontos tivéssemos um aumento, 
bom a ideia é a mesma a única diferença está no sinal no 
lugar de menos escrevemos mais.
Exemplo:
Vocês querem comprar um objeto de $ 150,00 
e para pagamento e por atraso terá um aumento de 
10%. Quanto irá desembolsar?
Resolução:
Bom!!!!!! Teremos um aumento de 10% sobre o 
valor da mercadoria.
O nosso aumento é de $ 15, 00, agora 
calculamos quanto vamos pagar:
V= 150,00 + 15,00 → V = 165,00
Outra maneira bastante interessante de se fazer é: 
Vocês podem pensar assim:
O preço do objeto que quero comprar é 100% 
como terei um aumento de 10% pagarei pelo objeto 
apenas 110% do seu valor. O valor final então será 
dado por:
Vf = 150(100% + 10%)
 
Devemos sempre transformar taxa percentual 
em taxa unitária então,
Então, podemos escrever uma fórmula geral onde:
 
Vf = valor final
V0 = valor inicial
p = percentual de desconto 
Exercícios resolvidos:
1) em um teste com 150 questões você acertou 
40%. Quantas questões acertou?
a = 10% . 150 → a = 10 . 150 → a = 0,10 . 150 → a = 15,00
 100
Vf = 150( 100 + 10 ) → Vf = 150(1 +0,10) → Vf = 150(1,10) →Vf = 165,00
 100 100
•Resolução:
e = 40% . 150 → e = 40/100 . 150 → e = 0,40 
. 150 → e = 60 ou seja, você acertou 60 questões. 
2) Em uma empresa compareceram 90% 
dos funcionários, tendo faltado 15. Quantos 
funcionários têm essa empresa?
•Resolução:
Não sabemos quantos funcionários a empresa 
tem, suponha que a empresa tenha x funcionários. 
Mas os 10% que faltaram totalizam em 15. veja que 
os 10% faltantes fazem parte de x então temos que 
10%x = 15 → 0,10x = 15 → x = → x = 150, 
portanto a empresa tem 150 funcionários. 
3) obtenha 20% de 600
• Resolução 
20% . 600= (20/100) . 600= 0,20 . 600 = 120
4) obtenha 20% de 30% de 600
• Resolução 
(20%) . (30%) . 600 = (0,20) . (0,30) . 600 = 36
Agora, vamos passar para a seção 2, que traz 
exercícios de aplicação. Vejamos: 
 15 
 0,10
2 - Exercícios de aplicação 
1) Um objeto que custava $ 300,00 foi vendido 
com um desconto de 12%. De quanto foi o 
desconto. Por quanto foi vendido?
Dados do problema
C= 300
p = 12% ( de desconto) 
V = ?
V = C - D
Calculando o valor de D.
D = 12% . 300 → D = 0,12 . 300 → D = 36 
V = 300 − 36
V = 264,00 
Ou resolvendo de forma direta temos:
Matemática Financeira I
26
V = C(1 – p%) 
V = 300( 1 – 12%)
V = 300(1 − 0,12)
V = 300(0,88)
V = 264,00
2) 20% de minha herança representam $ 10.000. 
Com quanto ainda ficarei se gastar 5% do total de 
minha herança.
• Resolução: 
Vejam que vocês têm 20% da herança, então, 
primeiro deve calcular os 100% e depois calcular o 
que gastou. Vamos seguir o passo a passo: 
Vejam que o problema diz que 20% do que 
é seu (parte de sua herança) da 10.000. Com essa 
informação, conseguimos calcular o todo. 
Seja x o a sua herança (maior que 10.000), então 
se você pegar 20% de x tem que dar 10.000 assim:
20%x = 10.000 
0,20x = 10.000 
x = 10.000/0,20
x = 50.000
Agora você gasta 5 % do total.
5% . 50.000 = 2.500
Agora temos:
50.000 − 2.500 = 47.500
Ainda, ficarei com R$ 47.500 da herança recebida. 
3) Determine 2% de 3% de 1000.
N = 2% . 3% . 1000
N = 0,02 . 0,03 . 1000
N = 0.60
4) Escreva as taxas de 1,5%, 3%, 42,5% , 125%, 
1000% na forma unitária.
Para transformar em taxa unitária – basta 
dividir por 100.
1,5% = 1,5/100 = 0,015
3% = 3/100 = 0,03
42,5% = 42,5/100 = 0,425
125% = 125/100 = 1,25
1000% = 1000/100 = 10 
5) Quanto é 2,5% de R$ 60,00 ? 
N = 2,5% . 60 
N = 0,025 . 60
N = 15
6) 15 é 25% de que número? 
• Resolução: 
25% de um número devem resultar em 15. 
Como não sabemos que número é esse podemos 
dizer que seja x. 
Então temos:
25% . x = 15 
0,25 . x = 15 
x = 15/0,25
x = 60
 
7) O que é mais vantajoso, um desconto de 
40% ou dois descontos sucessivos de 20% e 20%? 
 
Nesse caso podemos supor um valorpara a compra. 
Imagine que o valor seja de R$ 100.00. 
Se colocarmos um desconto de 40% temos:
V = 100x( 1 – 40% ) 
V = 100x(1 – 0,40)
V = 100x(0,60)
V = 60,00
Se colocarmos um desconto de 20% e depois 
outro desconto de 20% temos:
V = 100x( 1 − 20%)
V= 100x(1− 0,20)
V= 100x(0.80)
V = 80
Agora vamos dar mais um desconto de 20%:
V= 80x(1 − 20%) 
V= 80x(1 − 0.20)
V= 80x(0.80)
V = 64
Mas, também, poderá ser resolvido na 
seguinte maneira.
V = 100x(1 – 20% )( 1 – 20%) 
V = 100x(1 – 0,20) . ( 1 – 0,20)
V = 100x(0,80) . (0,80)
V = 64,00
27
Ou seja, para quem está comprando é mais 
vantajoso um desconto de 40%. 
8) (FUVEST) Uma mercadoria que custava 
R$ 2.400 sofreu um aumento passando a custar R$ 
2.700. A taxa de aumento foi de quantos por cento?
• Resolução: 
C = 2400
V = 2700 
A = 300 
Note que houve um aumento de R$ 300 sobre 
o valor de custo, ou seja,
p = [300/2400] . 100%
p = (0.125) . 100%
p = 12,5%
Um aumento de 12,5%. 
9) Em uma cidade de 5.000 eleitores, 5,2% 
não votaram, na última eleição. Quantos foram os 
eleitores ausentes?
a) 520 b) 360 c) 260 
d)120 e) 90
Lembrando que 5,2% = 5,2/100 = 0,052
Agora é só multiplicar: 
5,2% . 5000 = 0,052 . 5000 = 260
Alternativa C.
10) A Baixada Fluminense, segundo as 
pesquisas, registra 2.000 crimes por ano. Seu índice 
de homicídio é de 74 por 100 mil habitantes, 
comparável ao de países em guerra. 
Julgue o item a seguir:
- Na Baixada Fluminense, 0,74% da população 
morre anualmente vítima de homicídio.
Vamos estabelecer uma razão entre o número 
de homicídios e o número de habitantes, ou seja:
Agora para transformar em porcentagem 
devemos multiplicar por 100.
 74 = 0,00074
1000000
0.00074 . 100 = 0.074% 
Pelo valor obtido, conclui-se que o item a ser 
julgado é falso.
11) Do meu salário líquido dedico:
 → 25% ao aluguel,
 → 30% à alimentação,
 → 5% à compra de medicamento,
 → 15% pagamento de mensalidades.
 
O resto que me sobra é R$ 550,00 para lazer. 
Dessa forma, pode-se afirmar que meu salário é no 
valor de:
 
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
e) R$ 650,00
• Resolução: 
Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 
25% + 30% + 5% + 15% = 75%.
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 
100%da operação.
 
Montando uma regra de três:
 
550,00____25
x________100
25x = 55000
x = 55000/25
x = 2200
 
Então, a resposta correta da questão acima é a 
letra “c”.
12) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em 
uma loja, o metro de um determinado tecido teve 
seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com 
R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode 
comprar a mais é de :
a) 19,5%
b) 20%
c) 20,5%
d) 21%
e) 21,5%
Matemática Financeira I
28
OBS: Não esqueçam! Em caso de 
dúvidas, acessem as ferramentas 
“Fórum” ou “Quadro de Avisos”.
 • Resolução: 
Cenário 1: quantidade que podemos comprar 
antes do desconto 
 
1m_____R$ 5,52
 x______R$ 126,96
 
5,52x = 126,96
x = 126,96 / 5,52
x = 23m
 
Cenário 2: quantidade que podemos comprar 
depois do desconto
 
1m______R$ 4,60
 x_______R$ 126,96
 
4,60x = 126,96
x = 126,96/4,60
x = 27,60
 
Temos, então:
 
23m___100% (Total do metro encontrado 
com preço maior)
27,6___x (Total do metro encontrado com 
preço menor)
23x = 100 . 27,6
23x = 2760
x = 2760/23
X = 120%
 
Desta forma: 120% − 100% = 20%
 
Então a resposta correta da questão acima é a 
letra “b”.
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao fi nal da quarta aula. Espera-se 
que agora tenha fi cado mais claro o entendimento 
de vocês sobre o conceito de porcentagens e suas 
aplicações. Vamos, então, recordar:
1 - Porcentagens
O assunto dinheiro ou qualquer negociação, 
compra, venda investimentos, lucros ou prejuízos 
sempre estão associados a uma porcentagem, 
note então, que porcentagem e uma unidade de 
medida do sistema financeiro. Daí a importância 
do conhecimento para manipular dados inerentes a 
situação financeira de uma empresa. 
2 - Exercícios de aplicação
Resoluções de alguns exercícios importantes 
relacionados com a prática do dia a dia. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e 
Suas Aplicações. Editora ATLAS, 2009.
AYRES JÚNIOR, F. Matemática financeira: 
resumo da teoria, 500 problemas resolvidos. São 
Paulo: Mc Graw-Hill, 1981.
<www.juliobattisti.com.br>
Vale a pena
Vale a pena ler
Vale a pena acessar