aula 06- juros simples

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6ºAula
Juros Simples
Os juros simples têm algumas aplicações reais 
no dia a dia, principalmente para períodos menores 
que um. Em alguns casos, os bancos utilizam o 
regime de juros simples para o cálculo dos juros, 
tais como: juros do cheque especial dentro do mês, 
juros para os dias de atraso para a fatura do cartão de 
crédito. Para troca de cheques e duplicatas o banco 
também se baseia no regime de juros simples. 
Segundo o Dicionário Eletrônico Aurélio - Versão 
1.3: Juro [Do lat. jure.] S. m. 1. Lucro, calculado 
sobre determinada taxa, de dinheiro emprestado ou 
de capital empregado; rendimento, interesse. [Sin. 
(bras., RJ, gír.): jurema.] 2. Fam. Recompensa (2). 3. 
Ant. Jus, direito.
Juro composto: O que se soma ao capital para 
o cálculo de novos juros nos tempos seguintes. Juro 
simples: O que não se soma ao capital para o cálculo 
de novos juros nos tempos seguintes. Pagar com 
juros. Bras.: Pagar caro.
Boa aula!
Matemática Financeira I
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Objetivos de aprendizagem
1 - Juros simples 
2 - Exercícios de aplicação 
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• fazer aplicações adequadas no regime de juros 
simples;
• calcular o juro do cheque especial referente ao 
saldo devedor no mês;
• entender alguns conceitos e aplicações do 
regime de juros simples;
• diferenciar juros comercial e exato.
Seções de estudo
1 - Juros simples
“A matemática fi nanceira trata, em essência, do estudo do 
valor do dinheiro ao longo do tempo”.
Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/
ABAAABjeQAK/juros-composto. Acesso em 22/05/2012.
Nesse regime, os juros de cada período são 
sempre calculados em função do capital inicial 
aplicado. Destacando que tais juros não são 
capitalizados e, portanto, não rende juros. Assim só 
o capital que rende juros.
• O Juro é a remuneração pelo uso do capital;
• O Juro é o castigo pelo uso do crédito.
Juro e tempo andam juntos, uma vez que o juro:
• O juro é determinado por meio de um 
coeficiente referido a um dado intervalo de tempo.
• O coeficiente corresponde à remuneração da 
unidade de capital empregado por um prazo igual 
àquele da taxa.
Exemplo: 6% ao ano.
Forma porcentual
• Na forma porcentual, a taxa de juros é aplicada 
a centos do capital.
Exemplo: 6% ao ano.
Forma unitária
• Na forma unitária, a taxa de juros é aplicada às 
unidades do capital.
Exemplo: 0,06 ao ano. 
Juro simples
• A remuneração pelo capital inicial 
 (o principal) é diretamente proporcional:
→ Ao valor aplicado
→ Ao tempo de aplicação.
J = C . i . n
Onde: 
J = Juro
C = Capital inicial (Principal)
i = Taxa de Juros (na forma unitária)
n = prazo de aplicação 
Suponhamos que se tome emprestada a quantia 
de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% 
a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?
Mesma unidade que a taxa
• Resolução:
Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma 
unitária, temos o juro do primeiro ano como sendo:
 
J1 = 1.000,00 . 0,10 . 1 = $ 100,00
No segundo ano, teremos:
J2 = 1.000,00 . 0,10 . 1 = $ 100,00
O juro total será a soma do juro devido no 
primeiro ano
(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
J = J1 + J2
J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou, então, podemos resolver o problema 
diretamente:
 
J = 1.000,00 . 0,10 . 1 + 1.000,00 . 0,10 . 1
35
J = 1.000,00 . 0,10 . 2
J = $ 200,00
Juro simples
• Variações da fórmula básica
J = C . i . n
Com essa fórmula, podemos calcular qualquer 
uma das variáveis pedidas juros, capital, tempo ou taxa, 
Capital
• Capital é qualquer valor expresso em 
moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) 
disponível em determinada época. Referido 
montante de dinheiro, também é denominado de 
capital inicial ou principal.
• Juros é o aluguel que deve ser pago ou 
recebido pela utilização de um valor em dinheiro 
durante certo tempo; é o rendimento em dinheiro, 
proporcionado pela utilização de uma quantia 
monetária, por certo período de tempo.
• Taxa de Juros é um coeficiente que 
corresponde à razão entre os juros pagos ou 
recebidos no fim de um determinado período 
de tempo e o capital inicialmente empatado.
Montante
Denominamos Montante ou Capital Final 
de um financiamento (ou aplicação financeira) a 
soma do Capital inicialmente emprestado (ou 
aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).
Montante é a soma do juro mais o capital aplicado.
M = C + J
M = C(1 + in) 
Exemplo: 
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 
aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de dois anos ?
• Resolução:
Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 0,10 a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
E sendo:
M = C(1 + in)
Substituindo-se os valores, tem-se:
M = 1.000(1 + 0,10 . 2)
M = 1.000(1 + 0,20)
M = 1.000 . 1,20
M = $ 1.200,00
É possível resolver o problema, seguindo-se a 
definição dada por montante:
a) Calculando o juro devido:
J = C.i.n
J = 1.000,00 . 0,10 . 2 = $200,00
b) Somando-se o juro com o principal:
M = C + J
M = 1.000,00 + 2000,00 = $1.200,00
Taxa proporcional
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional 
à taxa i2 (referida ao período n2) se:
 = =
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 
20% ao ano são proporcionais.
• Resolução: 
Temos:
i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.
n1 = 3 meses
n2 = 12 meses
 
Como: 
Que são grandezas proporcionais, porque o 
produto dos meios (0,20 . 3) é igual ao produto 
dos extremos (0,05 . 12). Logo, as taxas dadas são 
proporcionais 
Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, 
determinar a taxa proporcional mensal.
• Resolução: 
Temos:
i1 = 24% a.a. = 0,24 a.a.
n1 = 12 meses
i2 = ?
n2 = 1 mês
i1
i2
n1
n2
i1
n1
i2
n2
0,05 = 3
0,20 12 
Matemática Financeira I
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E, como: 
0,24 . 1 = i2 . 12 
 
Taxa equivalente
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
• ambas produzem o mesmo juro.
i1 = n1 tem-se 0,24 = 12
i2 n2 i2 1
No regime de juros simples, as taxas de juros Proporcionais 
são igualmente equivalentes.
Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser 
aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 
24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, 
verificar se as taxas são equivalentes
• Resolução: 
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo 
prazo de 2 anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 . 0,02 . 24 = $ 4.800,00
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% 
a.a. por 2 anos, teremos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 . 0,24 . 2 = $ 4.800,00
Constatamos que o juro será gerado é igual nas 
duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que 
a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.
Períodos não inteiros 
Quando o prazo de aplicação não é um número 
inteiro de períodos a que se refere à taxa de juros, 
faz-se o seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte 
inteira de períodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de 
período que resta e o juro correspondente.
O juro total é a soma do juro referente à parte 
inteira com o juro da parte fracionária.
Qual o juro e qual o montante de um capital de 
$ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 
12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?
• Resolução: 
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:
5 . 2 semestres = 10 semestres
9 meses = 1 semestre e 3 meses
Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 
semestres e 3 meses.
a) Cálculo do juro:
1ª etapa:
J1 = 1.000,00 . 0,12 . 11 = $ 1.320,00
2ª etapa: calculamos a taxa de juros 
proporcional ao trimestre:
Portanto: 
J2 = 1.000,00 . 0,06 . 1 = $ 60,00
Logo, o totalde juros é:
 
J = J1 + J2
J = 1.320,00 + 60,00
J = =$ 1.380,00 
Observe-se que a solução se obtém mais 
rapidamente lembrando-se que 3 meses é igual a 
0,5 semestre e, nestas condições,5 anos e 9 meses 
equivalem a 11,5 semestres:
J = 1.000,00 . 0,12 . 11,5 = 1.380,00 
b) Montante:
O montante é:
 
M = C + J
M = 1.000,00 + 1.380,00
M = $ 2.380,00
Evidentemente poderíamos obter o mesmo 
resultado raciocinando por etapas para obter o 
montante.
 
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere à taxa está expresso 
em dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
i2 = 24 = 0,02 a.m
 12
37
Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 
que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a.?
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso 
em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial.
Calcular o juro comercial correspondente ao 
exercício do item anterior.
Observe que, nas mesmas condições de 
aplicação, o juro comercial é maior que o juro exato.
Exemplos:
1) Um banco cobrou 3.4% de juros pelo atraso 
de 16 dias no pagamento de uma duplicata. Qual foi 
a taxa diária de juros cobrada?
• Resolução: 
No regime de juros simples podemos resolver 
por um regra de três simples: 
3,4% _____16 dias 
x% _______1 dia
Temos, 
Agora 
16 . x = 3,4 então x = 3,4 /16 que x = 0,2125% ao dia.
Se a taxa diária é de 0.2125%, a taxa mensal será 
de 6.375%. 
2) Vocês possuem uma conta corrente no banco 
Pepe’s S.A. vamos supor que você tenha utilizado 
o R$ 1.300 do limite por 13 dias. Determinem o 
quanto terá que pagar de juros, se a taxa do banco 
for de 8.61% a.m.
• Resolução:
Temos:
J = C . i . n 
C= 1.300
n = 13 dias 
i = 8.61% a.m
Je = Cin
 365
J = 1300 . 0,0861 . 13
 30
J = 48,50
3,4 = 16 
 x 1
Jc = Cin
 360
Os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor e 
durante o período que a conta fi ca devedora.
Diagramas de capital no tempo
• representam o fluxo de dinheiro no tempo;
• representam o fluxo de caixa: entradas e 
saídas de dinheiro.
Valor nominal
É quanto vale um compromisso na data do seu 
vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai 
resgatá-la por 20.000 daqui a 12 meses.
20.000
12 meses0
20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.
Valor atual
É o valor que um compromisso tem em uma 
data que antecede ao seu vencimento.
20.000
1260
C
meses
c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na 
data 6.
→ Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a 
taxa de juros.
Valor futuro
Corresponde ao valor do título em qualquer 
data posterior à que estamos considerando no 
momento.
Exemplo: uma pessoa possui 10.000 hoje.
¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6.
Matemática Financeira I
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→ Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a 
taxa de juros.
C
10.000
0 6 (meses)
1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje 
uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, 
um título que irá valer $ 24.000,00 no mês 12.
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha 
sido de $ 15.000,00. Então, podemos calcular a taxa de 
juros simples utilizada na aplicação, do seguinte modo:
• Resolução: 
N = C (1 + in)
N = 24.000,00
C = 15.000,00
i = ?
n = 12 meses
Nestas condições:
24.000 = 15.000 (1+ i . 12)
 
Dividindo os dois lados da igualdade por 
15.000, a mesma não se altera:
Logo: 1,6 = 1 + i . 12
Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a 
mesma não se altera:
1,6 − 1 = 1 − 1 + i . 12
0,6 = i . 12
Logo: i = 0,05
Observem que, como a unidade de tempo 
utilizada foi o “mês”, a taxa também fica referida ao 
mesmo intervalo de tempo.
Ou seja:
i = 0,05 ao mês
Ou, o que dá no mesmo:
i = 5% ao mês.
b) Vamos admitir agora que não sabemos qual 
o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa 
de aplicação, que é de 6% ao mês. Nesse caso, 
podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que 
corresponde ao próprio valor aplicado:
 
N = C (1 + i . n)
Onde:
N = 24.000,00
C = ?
i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste 
modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária)
n = 12 meses
Então:
24.000 = C (1 + 0,06 . 12)
24.000 = C (1 + 0,72)
24.000 = C.1,72
2) Considerem que uma pessoa possui hoje a 
quantia de $ 10.000,00.Qual será o valor futuro se 
a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao 
mês, daqui a 3 meses ?
Temos: 
N = C (1 + i . n)
Onde:
N = ?
C = 10.000,00
i = 0,05
n = 3 meses
Logo:
N = 10.000 (1 + 0,05 . 3)
N = 10.000 (1,15)
N = 11.500,00
 
O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui 
a 3 meses
Passemos, então, para os exercícios resolvidos!
2 - Exercícios resolvidos
1) Comprei o material para a reforma da minha 
casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. 
O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de 
juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei 
por este material?
• Resolução: 
Em primeiro lugar, devemos calcular o valor 
39
do juro total. Obtemos o valor do juro total ao 
subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor 
do capital (R$ 27.000,00): 
Observem que neste caso a taxa de juros e o 
período não estão na mesma unidade de tempo. 
Nestas condições, devemos converter uma das 
unidades. 
Montando uma regra de três simples 
diretas, temos: 
Resolvendo: 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
Para calcularmos o período de tempo 
utilizaremos a fórmula: 
 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
n = 15 anos
 
Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da 
reforma por 1,5 anos. 
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar 
ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de 
juros, iremos obter o juro referente a cada período: 
27.000,00 . 0,288 = 7.776,00
 
Dessa forma, basta-nos dividir o valor de R$ 
11.664,00, referente ao valor total do juro, por 
R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em 
cada período, obtendo assim o período de tempo 
procurado: 
 (Disponível em www.matematicadidatica.com.br,
acessado em 14 de maio de 2012, às 18 horas)
2) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 
74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos 
juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 
n = j
 C.i
n = 11.664,00
 27.000,00 . 0,288
11.664,00 = 1,5
7.776,00
• Resolução: 
Inicialmente, o valor do capital será obtido 
subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor 
total do juro (R$ 22.932,00): 
Perceba que, nesse caso, a taxa de juros e o 
período não estão na mesma unidade de tempo. 
Sendo assim, devemos converter uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
Resolvendo: 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C = R$ 52.000,00
j = R$ 22.932,00
n = 3,5 semestre = 10,5 bimestres
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a 
fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 
4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual 
Aninha investiu. Alternativamente, poderíamos 
dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo 
valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar 
a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se, então, esta taxa de 0,441 pelo 
período de tempo, 10,5 bimestres, obteríamos a 
taxa desejada:
(Disponível em www.somatematica.com.br.
Acessado em 14 de abril de 2012, às 19 horas) 
i = j
 C.n
 22.932,00 = 0,441
 52.000,00
 0,441 = 0,042
 10,5
i = 0,042 = 4,2 = 4,2 % a.b
 100 
i = 22.932,00 = 0,042 
 52.000,00 . 10,5
Matemática Financeira I
40
3) Comprei um novo computador, mas como não 
tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimopara pagá-
lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só 
de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. 
Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o 
preço do computador sem os juros?
• Resolução: 
Primeiramente, iremos calcular o valor do 
capital. 
A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e 
o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor 
do capital: 
Veja que, nesse caso, a taxa de juros e o período 
não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, 
devemos converter uma das unidades. Montando 
uma regra de três simples direta, temos: 
Resolvendo: 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
Para calcularmos o período de tempo 
utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
n = 2 anos 
Portanto: 
 O valor do computador sem os juros era de 
R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos. 
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar 
ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de 
juros, iremos obter o juro referente a cada período: 
 2.500,00 . 0,36 = 900,00
Neste caso, basta-nos dividir o valor de 
R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, 
por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro 
em cada período, obtendo, assim, o período de 
tempo procurado: 
n = j
 C.i
n = 1.800,00
 2.500,00 . 0,36
 1.800,00 = 2
 900,00
(Disponível em www.somatematica.com.br.
Acessado em 14 de abril de 2012, às 19 horas)
4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 
2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 
1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?
• Resolução: 
Para começar, devemos calcular o valor do juro 
total subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o 
valor do capital (R$ 2.000,00): 
Esteja atento que, neste caso, a taxa de juros e 
o período não estão na mesma unidade de tempo. 
Quando isto acontece, devemos converter uma das 
unidades. 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C = R$ 2.000,00
j = R$ 450,00
n = 1 mës = 30 dias 
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a 
fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 
A taxa de juros da aplicação resgatada é de 
0,75% a.d. 
Alternativamente poderíamos dividir o valor 
total dos juros, R$ 450,00, pelo valor do principal, 
R$ 2.000,00, de forma a encontrar a taxa de juros 
total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo 
período de tempo, 30, obteríamos a taxa desejada: 
i = j
 C.n
i = 450,00 = 0,0075 
 2.000,00 . 30
i = 0,0075 = 0,75 = 0,75% a.d 
 100
 450,00 = 0,225 = 2,25% ao mês
 2.000,00
41
Disponível em www.somatematica.com.br. 
Acessado em 14 de abril de 2012, às 19 horas)
 0,225 = 0,0075 ou seja 0,75% ao dia
 30 
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao fi nal da sexta aula. 
Espera-se que agora tenha fi cado mais claro 
o entendimento de vocês sobre o conceito 
juros e descontos simples e equivalência de 
capitais. Vamos, então, recordar: 
1 - Juros simples 
Nesse regime, os juros de cada período são 
sempre calculados em função do capital inicial 
aplicado. Os juros não são capitalizados e, portanto, 
não rende juros. Assim, só o capital que rende 
juros. Sempre se aplica a períodos de capitalizações 
inferiores a um, como, por exemplo, a taxa de juros 
do cheque especial cobrada dentro do mês.
2 - Exercícios resolvidos 
Resoluções de alguns exercícios importantes 
relacionados com a prática do dia a dia. 
OBS: Não esqueçam! Em caso de 
dúvidas, acessem as ferramentas 
“Fórum” ou “Quadro de Avisos”.
Matemática Financeira com HP 12C e Excel. Uma 
Abordagem descomplicada. Cristiano Marchi 
Gimenes . PERSON- prentice hall. 
www.matematicadidatica.com.br
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42
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