Raciocínio Lógico

Prévia do material em texto

DEFENSORIA PÚBLICA DO RS 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 
 
 
SUMÁRIO 
 
MATEMÁTICA 
1. Conjuntos Numéricos Q (Racionais) e R (Reais), 3 
- Números Naturais e Inteiros, 3 
- Números Racionais, 15 
- Números Reais, 20 
2. Números e Grandezas Proporcionais, 22 
- Razões e Proporções, 22 
- Divisão Proporcional, 26 
- Regras de Três, 30 
- Porcentagem, 38 
3. Juros Simples e Compostos, 46 
- Juros Simples, 46 
- Juros Compostos, 51 
4. Sistema Legal de Medidas, 59 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 
- Lógica Intuitiva (Estrutura lógica de relações arbitrárias entre 
pessoas, lugares,...), 68 
- Uso das funções intelectuais (raciocínio verbal, sequencial, 
matemático, ...), 73 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
2 
 
 
INTRODUÇÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
A) NÚMEROS NATURAIS 
 
 N = { 0, 1, 2, 3, ..., } 
 
B) NÚMEROS INTEIROS 
 
 Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., } 
 
C) NÚMEROS RACIONAIS 
 Q= { a/b |||| a∈∈∈∈Z e b∈∈∈∈Z* } 
∗∗ De acordo com a definição dada acima, um número racional é um número 
inteiro ou um número fracionário. 
 
 
D) NÚMEROS IRRACIONAIS 
 I = { x |||| x∈∈∈∈R e x∉∉∉∉Q } = R – Q 
E) NÚMEROS REAIS 
 R = { xx∈∈∈∈Q ou x ∈∈∈∈I } = Q ∪∪∪∪ I 
 
 
N Z Q R 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
3 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Q(RACIONAIS) E R(REAIS) 
 
 NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS 
 
►MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Múltiplo e Divisor 
Se a divisão dos números naturais a e b é exata (resto zero), diz-se que: 
1) a é múltiplo de b ou 
2) a é divisível por b ou ainda 
3) b é divisor de a. 
 
Por exemplo, podemos dizer que 32 é múltiplo de 8, 32 é divisível por 8, ou 
ainda, 8 é um divisor de 32. 
 
Conjunto dos Múltiplos 
Para obter os múltiplos de um número natural a qualquer, basta multiplicá-lo 
por todos os números naturais. Notação: M(a). 
Exemplos: 
a) M(2) = { 0, 2, 4, 6,...} ( números pares ) 
b) M(3) = { 0, 3, 6, 9,...} 
c) M(0) = { 0 } 
 
 
Conjunto dos Divisores 
Para obter os divisores de um número natural qualquer a, basta dividi-lo, 
sucessivamente, pelos números naturais a partir do 1 e verificar quais são as 
divisões exatas. Notação : D(a). 
 
Exemplos: 
a) D(4) = { 1, 2, 4 } 
b) D(15) = { 1, 3, 5, 15 } 
c) D(1) = { 1 } 
d) D(0) = { 1, 2, 3, ... }. 
 
 
Critérios de Divisibilidade 
Podemos verificar se um número natural é divisível por outro, simplesmente 
dividindo o primeiro pelo segundo. Mas para números grandes, este processo 
pode ser muito trabalhoso. Por isso, veremos algumas regras práticas, ditas 
Critérios de Divisibilidade, mais utilizados na prática. 
 
∗∗∗∗ Um número natural é: 
1º) Divisível por 2: 
“Quando é par, isto é, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 “. 
Exemplos: 134, 280, 576. 
 
2º) Divisível por 3: 
“Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número 
divisível por 3”. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
4 
Exemplos: 
a) 135 é divisível por 3. 
b) 3574 não é divisível por 3. 
 
3º) Divisível por 4: 
“Quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível 
por 4”. 
Exemplos: 
a) 4872 é divisível por 4. 
b) 301 não é divisível por 4. 
c) 35 700 é divisível por 4. 
 
4º) Divisível por 5: 
“Quando termina em 0 ou 5”. 
Exemplos: 
 a) 32 570 é divisível por 5. 
 b) 895 é divisível por 5. 
 c) 1346 não é divisível por 5. 
 
5º) Divisível por 6: 
“Quando é divisível por 2 e por 3”. 
Exemplos: 
a) 504 é divisível por 6. 
b) 2502 é divisível por 6. 
c) 6718 não é divisível por 6. 
 
5º) Divisível por 9: 
“Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número 
divisível por 9”. 
Exemplos : 
a) 7344 é divisível por 9 
b) 5613 não é divisível por 9. 
 
6º) Divisível por 10: 
“Quando termina em zero”. 
Exemplos : 
a) 350, 32.700, 45.000, 62030, são divisíveis por 10. 
 
7º) Divisível por 15: 
“Quando é divisível por 3 e por 5”. 
Exemplos : 
a) 90, 120, 285 e 960 são divisíveis por 15. 
b) 365 não é divisível por 15. 
 
Números Primos 
Um número primo é um número natural que admite exatamente dois divisores 
distintos. 
O conjunto dos números primos é o conjunto 
 
P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... } 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
5 
∗ Os números naturais que admitem mais de dois divisores são ditos números 
compostos ; 
∗∗ O número 1 não é primo nem composto; 
∗∗∗ O único número primo par é o 2. 
 
 
Decomposição em Fatores Primos ( ou Fatoração ) 
Divide-se o número dado, sucessivamente, pelos números primos, até obter o 
quociente 1. 
Exemplo: decompor 90 em fatores primos. 
 90 2 
 45 3 
 15 3 Logo, 90 = 2 . 32 . 5 
 5 5 
 1 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
Exemplo: Obter o mínimo múltiplo comum de 6 e 9, ou seja, mmc(6,9). 
M(6) = { 0, 6, 12, 18, ...} 
M(9) = { 0, 9, 18, 27, ...} 
Os múltiplos comuns formam o conjunto intersecção M(6) ∩ M(9) = ................ 
= { 0, 18, 36, ...} e o mmc(6,9) é o menor número não nulo deste conjunto, ou 
seja, mmc(6,9) = 18. 
 
 Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos 
Exemplo: obter mmc(6,8,15). 
 
6, 8, 15 2 Daí, mmc(6,8,15) = 23 . 3 . 5 = 120 
3, 4, 15 2 
3, 2, 15 2 
3, 1, 15 3 
1, 1, 5 5 
1, 1, 1 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
Exemplo: Obter o máximo divisor comum de 6 e 20, ou seja, mdc(6,20). 
D(6)= { 1, 2, 3, 6 } 
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } 
Os divisores comuns formam o conjunto intersecção D(6) ∩ D(20) = { 1, 2 } e o 
maior número deste conjunto é o mdc(6,20), ou seja, mdc(6,20) = 2. 
 
Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos 
 
 
 
 
 “Todo número natural não primo e maior que 1 pode ser escrito como um 
produto de fatores primos”. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
6 
Exemplo: obter o mdc(18,60) 
18, 60 2 
 9, 30 2 
 9, 15 3 
 3, 5 3 
 1, 5 5 
 1, 1 
 
Os números em negrito são os divisores comuns. O produto deles é o 
mdc(18,60), ou seja, mdc(18,60) = 2 . 3 = 6. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Dois trenzinhos de um zoológico saem do ponto inicial no mesmo instante. 
Se o 1º trenzinho parte de 20 em 20 minutos e o 2º de 25 em 25 minutos, após 
quanto tempo ocorrerá uma nova partida simultânea? 
Resp.: após 100 min 
 
02) (ESAF) Numa corrida de automóveis, o 1º corredor dá a volta completa 
na pista em 10 s; o 2º em 11s e o 3º em 12s. Quantas voltas terá dado cada 
um, respectivamente, até o momento que passarão juntos na linha de saída? 
 
Solução: 
1º) mmc(10,11,12) = 660 s 
2º) 660 /10 = 66 voltas; 660 / 11 = 60 voltas; 660 / 12 = 55 voltas 
Resp.: 66, 60 e 55 
 
03) (FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: 
Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 
ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse 
restaurante ocorrerá em 
a) 9 de dezembro de 2004 
b) 10 de dezembro de 2004 
c) 8 de janeiro de 2005 
d) 9 de janeiro de 2005 
e) 10 de janeiro de 2005 
 
 Solução: 
1º) mmc(15, 18) = 90 dias 
2º) Contando 90 dias a partir de 10/10/2004 chegaremos ao dia 08/01/2005.Resp.: c 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
7 
04) (FAURGS) O menor número inteiro que, ao ser dividido por 3, 5, 7 ou 9, 
deixa resto 2 é: 
a) um número par 
b) divisível por 21 
c) menor que 100 
d) maior que 900 
e) maior que 300 e menor que 400 
 
Solução: 
1º) mmc(3,5,7,9)= 315 
2º) 315 + 2 = 317. 
Resp.: e 
 
05) (FCC) Se os trabalhadores de uma certa empresa forem organizados em 
grupos de 4, 5 ou 6 pessoas, sempre sobrarão 3 trabalhadores. A empresa 
pretende aumentar o número de seus trabalhadores para 80. Para isso, o 
número de novos trabalhadores que ela deverá contratar é 
a) 12 b) 17 c) 20 d) 25 e) 60 
 
Solução: 
1º) mmc(4,5,6) = 60 
2º) 60 + 3 = 63 
3º) 80 – 63 = 17. 
Resp. : b 
 
06) Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio plástico. Esses 
rolos, medindo 450 cm e 756 cm, serão divididos em pedaços iguais e de maior 
tamanho possível, não devendo haver sobras. Calcule: 
a) o comprimento de cada pedaço; b) o número de pedaços obtidos em cada 
rolo. 
 
Solução: 
1º) mdc(450, 756) = 18 cm 
2º) 450 / 18 = 25 pedaços; 756 / 18 = 42 pedaços. 
Resp.: a) 18 cm b) 25 e 42 . 
 
07)(FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 
comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-
los em recepientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de 
um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recepientes 
deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de 
recepientes necessários para essa distribuição é 
a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 
 
Solução: 
1º) mdc(132,156) = 12 comprimidos 
2º)132/12 = 11 recepientes p/ analgésico; 156/12 = 13 recepientes p/ 
antibiótico. Total = 11 + 13 = 24 recepientes. 
Resp.: a 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
8 
08) Determine o número de divisores de 
 a) 40 b) 72 c) N= am. bn, onde a e b são números primos 
 Resp.: a)8; b)12; c) (m+1).(n+1). 
 
09) O número natural N= 7.82.25p tem 154 divisores. Determine p. 
 Resp.: p=5 
 
10) O número natural N= 94816a, onde a é o algarismo das unidades, é 
divisível por 15. O valor de a é 
 a)0 b)2 c)3 d)4 e)5 
 
Solução: 
Se N é divisível por 15, N é divisível por 3 e por 5. Então: 
1) N é divisível por 3 ⇒ 9+4+8+1+6+a = 28+a é divisível por 3; 
2) N é divisível por 5 ⇒ ou a = 0, ou a = 5. 
Basta agora testar a em 28+a , para ver que, se a = 0 N não é divisível por 3, 
e, se a = 5, N é divisível por 3. 
Resp.: e 
 
11) (FCC) Astolfo pretendia telefonar para um amigo, mas não conseguia se 
lembrar por inteiro do número de seu telefone. Lembrava-se apenas do prefixo 
(constituído pelos quatro algarismos da esquerda) e de que os outros quatro 
algarismos formavam um número divisível por 15. Ligou para sua namorada 
que lhe deu a seguinte informação: “lembro-me apenas de dois dos algarismos 
do número que você quer: o das dezenas que é 3, e o das centenas que é 4”. 
Com base no que ele já sabia e na informação dada pela namorada, o total de 
possibilidades para descobrir o número do telefone de seu amigo é 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
Solução: de acordo com o enunciado do problema, os últimos 4 números do 
telefone são x43y, sendo x43y um número div. Por 15. Então, x43y é div. Por 
3 e por 5. 
1) x43y é div. Por 3 ⇒ x+4+3+y = x+y +7 é div. Por 3; 
2) x43y é div. Por 5 ⇒ ou y = 0, ou y = 5. 
Se y = 0, x+y+7 = x+7 será div. Por 3 para x = 2, 5 ou 8 ( 3 possibilidades); se 
y = 5, x+y+7 = x+12 será div. Por 3 para x = 0,3,6 ou 9 ( 4 possibilidades). 
Assim, temos um total de 3+4 = 7 possibilidades. 
 Resp.: c 
 
12) (UFRGS) O resto da divisão do produto 123456 x 654321 por 6 é 
 a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 
Solução: como 123456x654321 é divisível por 6, porque o fator 123456 é 
divisível por 6, o resto na divisão de 123456x654321 por 6 é zero. 
 Resp.: a 
 
13) (UFRGS) O algarismo das unidades do número natural ( 610 + 1 ) é 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 
 Resp.: 7 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
9 
14) (FAURGS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural 
positivo: 
I) 10n + 2 
II) 2.10n + 1 
III) 10n+3 – 10n 
Quais são divisíveis por 6? 
Resp.: Apenas I e III 
 
 
P.M.S. 
15) (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas 
bobinas B1 e B2. 
 
 Comprimento(m) Largura(m) Espessura(mm) 
B1 23,10 0,18 1,5 
B2 18 0,18 1,5 
 
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 
como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do 
papel. 
Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é 
a) 135 
b) 137 
c) 140 
d) 142 
e) 149 
 
Solução: o menor número de folhas equivale a folhas com o maior 
comprimento possível. Assim, podemos usar o mdc. 
 
1) mdc(2310, 1800) = 30 cm (transformamos m em cm); 
2) 2310 / 30 = 77 folhas ; 1800 / 30 = 60 folhas. 
Total = 77 + 60 = 137 folhas. 
Resp.: b 
 
16) (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas 
esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi 
incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote 
contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. 
Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor 
quantidade de pacotes que ele poderá obter é 
 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 
 
Solução: 
Problema semelhante ao anterior (“Pega ratão”). A menor quantidade de 
pacotes equivale a pacotes com o maior número possível de canetas em 
cada um. 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
10 
1) mdc(224,160)= 32 
 2) 224 / 32 = 7; 160 / 32 = 5 
3)Total 7 + 5 = 12 pacotes. 
Resp.: c 
 
17) (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade 
possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 
150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a 
mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um 
único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? 
a) 33 
b) 48 
c) 75 
d) 99 
e) 165 
Resp.: a 
18) (FCC) Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições X, Y e Z 
realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 
2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três 
realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá 
em 
a) julho de 2015 
b) junho de 2014 
c) julho de 2013 
d) janeiro de 2012 
e) fevereiro de 2011 
Resp.: d 
 
19) (FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite 
dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira 
correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o 
que representa uma dessas quantidades é o 
a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24 
Resp.: c 
 
20) (FCC) Suponha que num banco de investimento, o grupo responsável pela 
venda de títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, 
cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos,o total de títulos 
vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de 
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
Solução: 
1) Como cada um dos 3 elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, temos as 
seguintes possibilidades: (4,4,4), (7,7,7), (4,4,7) ou (7,7,4) (não estamos 
considerando a ordem); 
 2) Totais de títulos vendidos pelo grupo: 12, 21, 15 e 18, respectivamente. 
Vemos que os totais são todos múltiplos de 3. 
Resp.: a 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
11 
►OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
 
Adição 
Para quaisquer números inteiros a, b e c valem as seguintes propriedades : 
A1) Fechamento: (a+b) é um número inteiro 
A2) Associativa: (a+b) +c = a+ (b+c) 
A3) Elemento neutro: a + 0 = a ( zero é o elemento neutro na adição) 
A4) Elemento oposto ( ou simétrico ): a + (-a) = 0 (-a é o oposto de a) 
A5) Comutativa: a+b = b+a 
 
Subtração 
A subtração é a operação inversa da adição. Assim, por definição, a diferença 
entre dois números inteiros é igual a soma do primeiro com o oposto do 
segundo, ou seja, a – b = a + (-b). 
 
Multiplicação 
O sinal do produto de dois números inteiros segue a seguinte regra: 
 
 
 
 
Exemplos 
(+5). (+10) = 50 
(-3).(-15) = 45 
(+6).(-8) = -48 
 
 
 
Propriedades 
Para quaisquer números inteiros a, b, e c valem as seguintes propriedades: 
M1) Fechamento: (a . b) é um número inteiro 
M2) Associativa: a(b.c) = (a.b)c 
M3) Elemento neutro: a.1 = a ( 1 é o elemento neutro ) 
M4) Comutativa: a.b = b.a 
M5) Distributiva: a(b ± c) = a.b ± a.c 
 
Divisão 
O sinal do quociente de dois números inteiros segue a mesma regra de sinais 
dada na multiplicação, ou seja, 
 
 
 
 
Exemplos 
(+8) : (+4) = 2 
(-15) : (-3) = 5 
(-60) : (+10) = -6 
 
Propriedades 
Nenhuma das propriedades da multiplicação de inteiros vale na divisão. 
sinais iguais ⇒ produto positivo; 
sinais diferentes ⇒ produto negativo. 
sinais iguais ⇒ quociente positivo; 
sinais diferentes ⇒ quociente negativo. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
12 
Observação: cuidado com o zero ! 
 Para qualquer número inteiro a ≠ 0, temos 0 : a = 0. Mas a : 0 é impossível . 
 Por exemplo, 0 : 3 = 0, mas 3 : 0 é impossível.; 
 
Potenciação 
Sendo a um número inteiro diferente de zero e n um número natural diferente 
de zero, define-se a potência an por 
 
an = a.a.a.a…..a ( produto com n fatores ) 
 
O sinal da potência an pode ser obtido pela seguinte regra prática : 
 
Exemplos 
(-4)2 = 16 
25 = 32 
(-2)3 = -8 
(-1)100 = 1 
(-1)201 = -1 
 
Notas 
1ª) a0 = 1 ( a ≠ 0 ). 
 
2ª) (-a)2 ≠ - a2 ( a ≠ 0) 
Por exemplo, (-3)2 = 9 e –32 = -9. 
 
Propriedades 
A potenciação de números inteiros goza das seguintes propriedades: 
P1) Fechamento: an é um número inteiro 
P2) Produto de potências de mesma base: am. an = am+n 
P3) Quociente de potências de mesma base : am: an = am-n 
P4) Potência de potência: (am)n = amn 
P5) Potência de um produto: (a.b)n = an. bn 
P6) Potência de um quociente: (a : b)n = an: bn 
 
 
EXERCÍCIOS 
01) (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão de n por 4 
é 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
Resp.: d 
 
“Dica” para os testes : 02, 03 e 04 
quando o expoente é par, a potência é um número positivo; 
quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base. 
 
Algoritmo de Euclides 
Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e 
b, tem-se sempre 0 ≤≤≤≤ r <<<< b. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
13 
02) (TJ) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem 
apenas um algarismo, os divisores possíveis são 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 
b) 4, 5, 6 
c) 7 
d) 7, 8, 9 
e) 8, 9 
 
Solução : a = bq + 7, onde a= dividendo, b= divisor, q = quociente e resto = 7. 
De acordo com o Algoritmo de Euclides (dado acima), 7< b, ou seja, b> 7. 
Como o divisor deve ter apenas 1 algarismo, b = 8 ou 9. 
Resp.: e 
 
03) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 
17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas 
divisões é? 
 Resp.: 10 
 
04) Numa divisão de inteiros, a soma do dividendo com o divisor é 62. O 
quociente é 5 e o resto é o maior possível. A diferença entre o dividendo e o 
divisor é 
 a) 44 b) 45 c) 46 d) 57 e) 59 
 Resp.: a 
05) (FAURGS) A soma dos números inteiros que tornam a fração 
x
x
−
+
2
3
 positiva 
é 
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 
 Resp.: a 
 
06) Dividindo o número inteiro x pelo número inteiro y, obtém-se quociente 1 e 
resto 5. Se o quádruplo de y dividido por x dá quociente 2 e resto 8, então: 
a) x+y = 32 
b) y-x = 5 
c) x-y = 5 
d) x.y = 76 
e) x = 2y 
Resp.: c 
 
07) (FCC) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos 
para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. 
Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a 
cada um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de 
ingressos entregues a cada funcionário presente foi 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
Resp.: c 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
14 
08) (FCC) Bento e Caio tinham juntos R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a 
Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente, 
Bento tinha 
a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 d) R$ 52,00 e) R$ 50,00 
Resp.: d 
 
09) (FCC) Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos 
em x caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em 
quantidades iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas x-3 
caixas e, com isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto 
inicialmente. Nessas condições, o número de processos colocado em cada 
caixa foi 
 a) 24 b) 22 c) 21 d) 17 e) 15 
 Resp.: a 
 
10) (FCC) Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram 
formadas duas filas diante de um balcão, onde dois técnicos judiciários-
Casimiro e Domitila- prestariam atendimento ao público externo. Para que, 
naquele momento,as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, 
foram adotados os seguintes procedimentos: 
- primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas 
tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; 
- em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas 
pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. 
Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, 
então, inicialmente, o número de pessoas na fila de 
a) Casimiro era 18 
b) Domitila era 14 
c) Casimiro era 20 
d) Domitila era 15 
e) Casimiro era 24 
Resp.: c 
 
11) Usando os produtos notáveis (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 
calcule: 
a) 1012 b) 992 
Resp.: a) 10.201 b) 9.801 
 
12) Calcule mentalmente, usando o produto notável (a+b)(a-b)= a2 – b2 : 
a) 62 – 52 b) 212 – 202 c) 512 – 502 d) 432 – 422 
Resp.: a) 11 b) 41 c) 101 d) 85 
 
13) Calcule a2 + 2ab + b2 sabendo que a+b = 10. 
Resp.: 100 
 
14) (FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto é igual 
a 20, a soma de seusquadrados é igual a 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80 
Resp.: d 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
15 
 
 NÚMEROS RACIONAIS 
 
Obs.: Ao ler o texto que segue, lembre sempre que número racional é um 
número inteiro ou fracionário. 
 
►OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 
Adição 
A adição de números racionais goza das mesmas propriedades da adição de 
números inteiros: Fechamento, Associativa, Elemento neutro, Elemento oposto 
e Comutativa ( veja em Números Inteiros ). 
 
Multiplicação 
A multiplicação de números racionais goza das mesma propriedades da 
multiplicação de números inteiros, ou seja: Fechamento, Elemento neutro, 
Comutativa e Distributiva (veja em Números Inteiros), mais a propriedade do 
elemento inverso: 
 
M6) Elemento inverso: para todo número racional a ≠ 0, existe um número 
racional a-1 = 
a
1
 tal que a. a-1 = 1. 
O número a-1 = 
a
1
 é dito inverso de a. 
 
Potenciação 
A potenciação de números racionais goza das mesmas propriedades da 
potenciação de números inteiros ( veja Números Inteiros ). 
 
 
 
∗∗∗∗∗∗∗∗ Expoente negativo 
 Para todo número racional 
b
a
 ≠ 0, temos: 
 
Exemplos: 
a) 
22
5
6
6
5






=





−
 
 
b) 
3
7
3
7
7
3 11
=





=





−
 
c) 3-4 = 4
44
3
1
3
1
1
3
=





=





−
 
 
 
 
 
 
n






=





a
b
b
a
-n
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
16 
EXERCÍCIOS 
 
01. Efetue: 
a) 2/5 + 3/5 – 1/5 b) 2/3 – 3/5 – ½ c) 4 – 3/2 + 2/3 d)3 –1/4 +2 + 1/5 
Resp.: a) 4/5 b)-13/30 c) 19/6 d) 99/20 
 
02. Efetue: 
a) 2/3 x 1/5 b) 2/5 x 4/3 c) 3/5 x (-2/7) d) (-1/6) x (-1/4) 
Resp.: a) 2/15 b) 8/15 c) –6/35 d) 1/24 
 
03. Efetue: 
a) 2/3 : 4/5 b) (-1/4) : (-1/5) c) 2/3 : (-2/3) d) (-3) : (-1/2) 
Resp.: a) 5/6 b) 5/4 c) -1 d) 6 
 
04. Efetue: 
a) (3/5)2 b) (-1/2)3 c) (-1/2)5 d) (3/7)0 
Resp.: a) 9/25 b)-1/8 c)-1/32 d) 1 
05.(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por 
a) 1,25 b) 12,5 c) 1/80 d) 80 e) 125/100 
Resp.: d 
 
06. (FCC) Dividir certo número por 0,00125 equivale a multiplicá-lo por um 
número inteiro 
a) maior que 5 000 
b) menor que 100 
c) compreendido entre 100 e 400 
d) compreendido entre 400 e 1 000 
e) compreendido entre 1 000 e 5 000 
Resp.: d 
 
07. (FCC) Um certo prêmio foi repartido entre 5 pessoas de modo que cada 
uma recebesse 1/3 da quantia recebida pela anterior. Se a terceira pessoa 
recebeu R$ 81,00, o total distribuído foi 
a) R$ 729,99 
b) R$ 882,00 
c) R$ 918,00 
d) R$ 1 089,00 
e) R$ 1 260,00 
Resp.: d 
 
08. (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se 
que : 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e ¼ numa segunda. Se os 9 
processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de 
processos era 
a) 18 b) 24 c) 27 d) 30 e) 34 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
17 
Resp.: b 
 
09. (FCC) Certo dia, durante o almoço, o restaurante de uma empresa 
distribuiu aos usuários 15 litros de suco de frutas, que vem acondicionado em 
pacotes que contêm, cada um, 
3
1
 de litro. Se todos os freqüentadores tomaram 
suco, 17 dos quais tomaram cada um 2 pacotes e os demais um único pacote, 
o total de pessoas que lá almoçaram nesse dia é 
a) 23 
b) 25 
c) 26 
d) 28 
e) 32 
Resp.: d 
 
10. (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos 
gastaram: um, 54 minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as 
velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, 
era 
a) 11,475 b) 39,25 c) 40,5 d) 42,375 e) 45,5 
Resp.: c 
11. Há 19 anos, uma pessoa tinha ¼ da idade que terá daqui a 14 anos. A 
idade da pessoa, em anos está hoje entre 
a) 22 e 26 
b) 27 e 31 
c) 32 e 36 
d) 37 e 41 
e) 42 e 46 
Resp.: b 
 
12. (FCC) Considere as seguintes equivalências de preços, em reais: 
O de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de ao de 5 
cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis poderiam ser 
comprados com R$ 32,00? 
 a) 102 b) 100 c) 98 d) 96 e) 94 
 Resp.: b 
 
13. (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo 
número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, 
adotando o seguinte procedimento: 
- nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia 
página; 
- nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais 
meia página; 
Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia 
página. 
Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um 
número compreendido entre 
 a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 
 Resp.: a 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
18 
 ►REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE NÚMEROS RACIONAIS 
 
Todo número racional pode ser representado por uma forma decimal exata ou 
periódica. Por exemplo, 7 = 7,0 e 5,0
2
1
= são decimais exatas e 
...33333,0
3
1
= é uma decimal periódica ou uma dízima periódica. 
A fração que origina uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima 
periódica. 
A determinação da geratriz de uma dízima periódica é importante, já que não 
podemos operar diretamente com uma dízima periódica. Isso tiraria a 
precisão do nosso cálculo. 
Uma dízima periódica pode ser simples ou composta. Veremos através dos 
exemplos a seguir, como determinar a fração geratriz de uma dízima periódica 
qualquer( simples ou composta). 
 
Exemplo 1- Determine a geratriz das dízimas periódicas simples: 
a) 0,555... b) 0,2323... c) 1,222... d) 1,4545... 
Solução: 
a) x= 0,555... ⇒ 10x = 5,555... 
10x – x = 5,555... – 0,555... , ou seja, 9x = 5 ⇒ x = 
9
5
 
b) x= 0,2323... ⇒ 100x = 23,2323... 
 100x – x = 23,2323… - 0,2323…, ou seja, 99x = 23 ⇒ x = 
99
23
 
 
c) Basta fazer 1,222... = 1 + 0,222 = 1 + 2/9 = 11/9. 
d) Fazer 1,454545... = 1 + 0,454545 = 1 + 45/99 = 16/11 . 
 
Exemplo 2- Determine a geratriz das dízimas periódicas compostas: 
a) 0,2555... b) 0,5333... c) 1,2444... d) 3,74151515... 
Solução: 
a) Basta fazer 0,2555... = ...
10
...555,02
10
...555,2
=
+
= = 23/90 
b) Fazer 0,5333... = ...
10
...333,05
10
...333,5
=
+
= = 8/15 
Regra Prática 
Para obter a geratriz de uma dízima periódica do tipo 0, PPP... , onde P é o 
período , basta dividir o período P por 9, 99, 999, etc, conforme o número 
de algarismos do período seja, respectivamente, 1, 2, 3, etc. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
19 
c) Fazer 1,2444... = ...
10
...444,012
10
...444,12
=
+
= = 56/45 
d) 3,74151515...= 
300.3
347.12
100
33
5374
100
99
15374
100
...151515,0374
100
...151515,374
=
+
=
+
=
+
= 
 
 
 ►OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 
01) Determine as somas: 
a) 0,004+ 1,006 b) 15,2 + 1,45 c) 1,0005 + 2,9995 d) 0,12 + 5 + 14,88 
e)2,35 + 1,483 + 1 
 
Resp.: a) 1,01 b) 16,65 c) 4 d) 20 e) 4,833 
 
02) Determine as diferenças: 
a) 0,4 – 0,008 b) 5,76 – 3 c) 2,547 – 1,5 d) 5 – 1,32 e) 8 – 3,6 
 f) 1- 0,042 
Resp.: a) 0,392 b) 2,76 c) 1,047 d)3,68 e) 4,4 f) 0,958 
 
03) Efetue: 
a) 2,43 + 0,625 – 1,8 b) 3,65 + 2,35 – 5,095 c) 0,87 – 0,5 + 1,413 – 0,96 
d) 1 – 0,4771 – 0,301 e) 10 + 4,2 + 6,5 – 0,8 
Resp.: a) 1,255 b) 0,905 c)0,823 d) 0,2219 e)19,90 
04) Determine os produtos: 
a) 3,2 x 0,1 b) 6 x 1,5 c) 2,7 x 1,8 d) 7,68 x 0,054 e) 0,2 x 0,02 x 
0,002 f) 1,24 x 0,3 x 6 g) 0,28 x 3,5 x 8 h) 0,4020 x 5 
Resp.: a) 0,32 b) 9 c) 4,86 d) 0,41472 e) 0,000008 f) 2,232 
g) 7,84 h) 2,01 
 
05) Determine os quocientes exatos: 
a) 213 : 15 b) 24 : 200 c) 1 : 40 d) 2,4 : 0,8 e) 25,872 : 12 
f) 1,2 : 0,05 g) 0,0972 : 0,08 h) 13 : 325 I) 0,284 : 142 j) 79,3 : 26 
k) 24,036 : 12 
 
Resp.: a) 14,2 b) 0,12 c) 0,025 d) 3 e) 2,156 f) 24 g) 1,215 
h) 0,04 I) 0,002 j) 3,05 k) 2,003 
Os exercícios dados a seguir, tem por objetivo fazer uma breve revisão de 
como operar com números racionais representados na forma decimal. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
20 
06) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,1 
(precisão de décimos): 
a) 3 : 4 b) 1,25 : 0,4 c) 0,372 : 0,03 d) 1 : 3 e) 0,3407 : 0,42 
f) 443,36 : 81,2 
Resp.: a) 0,7 b) 3,1 c) 12,4 d) 0,3 e) 0,8 f) 5,4 
 
07) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,01 
 (precisão de centésimos) : 
a) 8 : 3 b) 0,0132 : 0,3 c) 0,188 : 1,2 d) 3,8797 : 1,5 e) 1,7153 : 0,9 
f) 16,58 : 8 g) 51,6 : 15 
Resp.: a) 2,66 b) 0,04 c) 0,15 d) 2,58 e) 1,90 f)2,07 g) 3,44 
 
 
 
 NÚMEROS REAIS 
Os números que não admitem representação decimal exata nem periódica, ou 
seja, os números reais que não são racionais, são chamados de números 
irracionais. Por exemplo: 
2 = 1,4142135623... , =pi 3,14159265... , e=2,718282... (Nº de Euler). 
De um modo geral, o número do tipo p , onde p é um número primo sempre 
é um número irracional. Por exemplo, 3 , 5 , 7 , são números irracionais. 
A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais é o conjunto dos números reais, ou seja, 
 
 R = { xx∈∈∈∈Q ou x ∈∈∈∈I } = Q ∪∪∪∪ I 
 
 
 
►INTERVALOS 
01) Defina usando a notação de conjuntos e represente geometricamente (na 
reta orientada) os intervalos seguintes: 
a) [2, 5] = 
b) (1, 4) = 
c) [0, 3) = 
d) (-1, 5] = 
e) [0, +∞) = 
f) (-∞, 1] = 
g) (-2, +∞) = 
h) (-∞, 7) = 
 
Observação: 
As propriedades das operações de Adição, Multiplicação e Potenciação de 
números reais são as mesmas dos números racionais. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
21 
02) Dados os intervalos A = [1, 4] e B = [2, 7], determine: 
a) A ∩ B b) A ∪ B c) A – B 
Resp.: a) [2, 4] b) [1, 7] c) [1, 2) 
 
 
 
► RADICAIS 
 
01) Propriedades da Radiciação no conjunto R: 
P1) n ma = am/n P2) n a.b = nn ba. P3) n b
a
= 
n
n
b
a
 P4) ( n a )m = n ma 
P5) m n a = mn a 
 
02) Simplifique: 
 
 1) 3 122 
 
 2) 3 23ba 
 3) 5 615 a.2 
 4) 4 6x512 
 5) 52y27x 
Resp.: 1) 16 2) a 3 2b 3) 8a 5 a 4) 4x 4 2x2 5) 3xy2 y3 
 
03) Simplifique: 
 
1) 2 3 + 4 3 
2) 5 + 5 5 - 7 5 
3) 8 + 18 + 50 
4) 2 . 3 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
22 
5) 5 . 2 
6)3 2 . 2 3 
7) 2 . 3 3 
8) 2 . 3 2 . 4 2 
Resp.: 1) 6 3 2) - 5 3) 10 2 4) 6 5) 10 6) 6 6 
7) 6 72 8) 212 2 . 
 
2. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
 
►RAZÕES 
Dados dois números racionais a e b, com b ≠ 0, chama-se razão entre a e b ao 
quociente 
b
a
 . 
Na razão 
b
a
 (ou a : b) a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo 
termo ou consequente. 
 
 
Exemplos: 
1.Tiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos. A razão entre as idades 
de Tiago e de Rodrigo é 
7
5
14
10
= . 
2. A razão entre 
10
3
 e 
5
2
 é 
 
3
4
3
10
x
5
2
10
3
5
2
== 
3. A razão entre um trimestre e um ano é 
4
1
. 
4. A razão entre um minuto e vinte e quatro segundos é 
2
5
24
60
= 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
23 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine a razão entre 
a) 3 e 
7
6
 
b) 
3
1
e 
2
1
 
c) 1,5 e 5 
d) 7 e 
2
13 
Resp.: a) 
2
7 ; b) 
2
3 ; c) 
10
3 ; d) 2 
 
2. Numa razão igual a 2/5 o antecedente é 8. Determine a razão. 
Resp.: 
20
8
 
 
3. O triplo do conseqüente de uma razão igual a 3/7 é 63. Determine o 
antecedente e a razão inversa. 
Resp.: 9 e 
9
21
 
4. Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e 
Paulo, em 30 arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de 
pontos por arremessos? 
Resp.: André 
 
5. O perímetro de um triângulo é 28m e o lado de um quadrado mede 0,09hm. 
Qual é a razão entre os perímetros dessas figuras? 
 
 Solução: como 0,09 hm = 9 m, o perímetro do quadrado é 4x9= 36m e a 
razão entre os perímetros do triângulo e do quadrado é 
9
7
36
28
= . 
Resp.: 
9
7
 
 
6. Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que 
fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto? 
Resp.: 1/5 e 1/6. 
 
7. Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. 
Adicionando-se 11 unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão 
original é 
a) 54/57 
b) 30/33 
c) 33/36 
d) 42/45 
e) 18/21 
Resp.: d 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
24 
►PROPORÇÕES 
 
Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. 
Uma proporção com duas razões é representada por 
d
c
b
a
= ou a : b : : c : d 
(lê-se “a está para b assim como c está para d”), sendo a e d os extremos e b 
e c os meios. 
 
Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
Isto é: ⇒=
d
c
b
a
 ad = bc 
 
Aplicação: Calcular x na proporção 
20
1x
5
3 +
= . 
Pela propriedade fundamental, temos 
5 (x+1) = 20.3 ⇒ 5 (x+1) = 60 ⇒ x+1 = 12 ⇒ x = 11. 
 
• Nota: Como consequência da propriedade fundamental, temos que, se 
d
c
b
a
= então: 
 
a) 
a
c
b
d
 e 
d
b
c
a
== (troca dos meios ou dos extremos); 
 
b) 
c
d
a
b
= (inversão das razões). 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Calcule o valor de x nas proporções: 
01. 
6,25
x
5
2
= 
 
02. 
8
12
4
0,753
x
−
=
−
 
03. 
x
4
32
4
323 +
=
−
 
Resp.: 1) 2,5 2) 
5
24
 3) 
48
55
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
25 
04. Uma foto de dimensões 3cm x 4cm foi ampliada passando o seu 
comprimento de 4cm para 28cm. Quanto passou a medir sua largura? 
Resp.: 21cm 
05. A soma dos perímetros de dois quadrados é 52m. Determine esses 
perímetros sabendo que a razão entre eles é 
10
3
. 
Resp.: 12m e 40m 
 
06. A idade de um pai e a de seu filho estão na razão de 
1
3
. Qual a idade de 
cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? 
Resp.: 36 anos e 12 anos 
07.(FDRH)Um pai tem 36 anos e sua idade é 
5
4
 da soma das idades de seus 
dois filhos. Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas estão entre si como 4 
está para 5? 
Solução: 






=
=+
5
4
36)(
5
4
y
x
yx
 
Resolvendo este sistema obtemos x = 20 e y = 25. 
Resp.: 20 anos e 25 anos. 
 
08. (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, 
respectivamente. Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros 
dessa mistura? 
a) 135 000 
b) 32 400 
c) 1 350 
d) 324 
e) 135 
Solução: Numa mistura com 6 litros, a razão entre álcool e gasolina é 
5
1
 e a 
razão entre a gasolina e o total da mistura é .
6
5
 Assim, podemos escrever a 
proporção: 
1626
5 x
= , donde tiramos x = 135 l = 135 dm3 = 135.000 cm3. 
Resp.: a 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
26 
09. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si 
assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do 
salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários 
dos dois? 
a) R$ 200,00 
b) R$ 250,00 
c) R$ 300,00 
d) R$ 350,00 
e) R$ 400,00 
 
Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo 




=+
=
680023
4
3
BA
B
A
 obteremos A= 1200, B=1600 e daí 1600-1200= 400. 
Resp.: e 
 
10. (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de 
uma unidade do TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão: 
 
,
3
13
13
13
−
−
−=
m
h
 em que h=nº de homens e m=nº de mulheres. Sabendo que o 
total de participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto 
afirmar que : 
a) h+m=158 b) h-m=68 c) 70<h<100 d) 50<m<70 e) m.h<4000 
Resp.: b 
 
 
►DIVISÃO PROPORCIONAL 
01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são 
sucessões de números 
a) diretamente proporcionais; 
b) inversamente proporcionais. 
 
Solução: 
a) Os números serão diretamente proporcionais se 
 
 
 
 
A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5. 
 
b) Os números serão inversamente proporcionais se 
 
 
 
 A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5. 
k
d
c
b
a
=====
10
4
6
21
2
 ( no caso, k=2). 
2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2). 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
27 
02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6. 
Solução: 
1) x = 9k, y = 8k, z = 6k. 
2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e 
z=6.4=24. 
 Resp.: 36, 32 e 24. 
 
03) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 
e 4. 
Solução: 
1) x = 
2
k
, y =
3
k
, z = 
4
k ; 
2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39. 
 Resp.: 78, 52 e 39 
 
04) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles, 
sabendo que a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60. 
 
Solução: Substituíndo 





=
=
=
kz
ky
kx
6
4
3
 em 3x – y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = 72. 
 Resp.: 72. 
 
05) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2, 
3, 4 e 6. Calcule esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360°. 
 Resp.: 48°, 72°, 96° e 144°. 
 
06) (FCC) Três técnicos judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem 
arquivar 340 processos e, para executar essa tarefa, decidiram dividir o total 
entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. 
Sabe-se que: 
-Alberico tem 36 anos; 
-Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais 
jovem em 12 anos; 
-caberá a Corifeu arquivar 90 processos. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) as idades dos três somam 105 anos. 
b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos. 
c) Corifeu tem 28 anos. 
d) Alberico deverá arquivar 120 processos. 
e) Benivaldo tem 35 anos. 
 Resp.: d 
 
07) Decomponha 520 em partes inversamente proporcionais a 8/5, 12/5 e 16/5. 
 Resp.: 240, 160 e 120. 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
28 
08) O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobre com 3 de zinco. Quantos 
gramas de cobre e de zinco são necessários para produzir 150g de latão? 
Solução: 
 substituindo 



=
=
kz
kc
3
7
 em c+z = 150 obtemos k = 15. Daí, c= 105 e z= 45. 
Resp.: 105g de cobre e 45g de zinco. 
 
09) Um pai tem 4 filhos na escola. No final do ano, como todos foram 
aprovados, distribuiu $3.700,00 entre eles, de maneira inversamente 
proporcional às suas faltas. Se o primeiro teve 2 faltas, o segundo 4, o terceiro 
8 e o quarto 20, quanto recebeu cada um? 
Resp.: $2.000,00, $1.000,00, $500,00 e $200,00. 
 
10) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z. 
Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do 
maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais 
a 
a) 1, 3 e 6. 
b) 1, 4 e 6. 
c) 1, 5 e 6. 
d) 1, 6 e 7. 
e) 1, 7 e 8. 
Resp.: c 
 
11) (FCC) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 
documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas 
idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem 
foi 
a) 87 b) 85 c) 70 d) 68 e) 65 
Resp.: b 
 
 
FCC 
Atenção: Para responder às duas questões a seguir, use os dados do texto 
seguinte. 
 
 
12) Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar alguns 
documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas 
idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a 
mesma capacidade operacional, então, se Julião levou duas horas e 30 
minutos para arquivar sua parte, Cosme arquivou a sua em 
 
a) 1h30min b) 1h40min c) 1h50min d) 2h10min e) 2h40min 
Resp.: b 
 
 Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos 
são Técnicos Judiciários de uma mesma unidade do Tribunal Regional do 
Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
29 
13) (FCC) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas por Julião e 
Cosme ao longo de certo mês eram diretamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles 
cumpriram o total de 28 horas extras, é correto afirmar que 
 
a) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras 
b) Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme 
c) Julião cumpriu 8 horas extras a mais que osme 
d) O número de horas extras cumpridas por Julião era 30% do de Cosme 
e) o número de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julião 
Rep.: b14) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas 
participado com R$ 11.000,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra 
participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3 dias por semana. Após algum 
tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas 
proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma. 
Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior 
capital é 
 
a) R$ 2.200,00 
b) R$ 4.400,00 
c) R$ 5.400,00 
d) R$ 6.600,00 
e) R$ 7.400,00 
 
Solução: 



==
==
kky
kkx
00027.3.9000
00022.2.11000
 
Substituíndo em x + y = 9 800 obteremos k =
5
1
 e daí, x = 22 000. 
5
1
= 
=4.400,00. 
 
15) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente 
proporcionais a 5, 8 e 10 e inversamente proporcionais a 6,3 e 4. 
Solução: x = 
4
10
,
3
8
,
6
5 k
z
kyk == = 
2
5k
. Substituindo em x + y + z = 360, 
obtemos k = 60. A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150. 
 Resp.: 50,160 e 150. 
 
“Dica” : Se x é um número 
1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ; 
2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = 
ab
k ; 
3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo 
tempo, escrevemos x =
b
ak
. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
30 
16) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente 
proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do 
segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma 
franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 
60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é 
f) 4 meses 
g) 4 meses e meio 
h) 5 meses 
i) 5 meses e meio 
j) 6 meses 
Resp.: a 
 
17) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois 
técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição 
judiciária. 
 
 Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos) 
João 36 8 
Maria 30 12 
 
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. 
Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de 
seus tempos de serviço no tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas 
do processo era 
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 
Resp.: c 
 
18) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de 
arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas 
respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. 
Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e 
está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números 
de processos que cada um arquivou é 
a) 48 
b) 50 
c) 52 
d) 54 
e) 56 
Resp.: c 
 
 
►REGRAS DE TRÊS 
São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais. 
 
 
 
Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP) 
quando os valores numéricos assumidos por elas são, respectivamente, 
números direta ou inversamente proporcionais. 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
31 
Exemplos: 
1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y: 
 
 
 Resp.: x = 8 
 
 Resp.: x=2, y=3,5 
 
 
2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais. Determine x: 
 
 Resp.:x=12 
 
 Resp.: x=5 
 
REGRA DE TRÊS Simples: Direta: envolve duas GDP 
 Inversa: envolve duas GIP 
 Composta: envolve mais de duas grandezas 
Exemplos 
1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido? 
 5m  600 
 8m  x 
Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo: 
 960
5
8.600
x 
x
600
8
5
==⇒= 
 Resp.: $ 960 
 2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em 
quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro 
fosse de 64km/h? 
 80km/h  4h 
 64km/h  x 
Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo: 
 5
64
80.4
x
4
x
64
80
==⇒= 
 Resp.: 5 horas 
A 20 30 40 
B 4 6 x 
A 10 8 14 
B 2,5 x y 
A 6 12 
B 24 x 
A 8 x 
 B 10 16 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
32 
 3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. 
Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças? 
 GIP GDP 
 
4 máquinas 
 
8 dias 
 
600 peças 
2 máquinas 
 
x dias 
 
900 peças 
Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada 
uma das outras. Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” 
são GDP. Assim, temos: 
24x
900
600
4
2
x
8
=⇒⋅= 
Resp.: 24 dias 
4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. 
Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que 
apresenta uma dificuldade igual aos ¾ da primeira? 
 
 
8h 
 
1000 m 

dif. 4 10d 
xd  6h  2000 m dif. 3 
 
 20x
3
4
2000
1000
8
6
x
10
=⇒⋅⋅= 
 Resp.: 20 dias 
EXERCÍCIOS 
 
01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de 
farinha que se obtém com 480 kg de trigo? 
 Resp.: 408 kg 
02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no 
mesmo instante, é 0,9 m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara 
tem 2 m de comprimento. 
 Resp.: 10m 
03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas 
para avançar 77 mm? 
 Resp.: 14 
04. Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são 
escoados em 8 minutos? 
 Resp.: 160 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
33 
05. (FDRH) Em cada 3m2 de uma fazenda são plantadas 15 sementes. O 
número de hectares necessários para se plantar 200 mil sementes é... 
 Resp.: 4 
 
06. (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B 
faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto 
tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? 
a)2h7min b)2h5min c)1h57min d)1h43min e)1h36min 
 
Solução: 
1) Em 1h, A e B limpam juntos: 
12
7
3
1
4
1
=+ do salão. 
2) 




1............
12
7
..........1
x
h
 
Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x 
=
7
12
12/7
1.1
= h, ou seja x = 1h43min aproximadamente. 
 Resp.: d 
 
07. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir 
certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 
horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o 
esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente, 
a) 1 hora e 40 minutos 
b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos 
c) 2 horas e 20 minutos 
d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos 
e) 2 horas e 54 minutos 
Resp.: b 
 
08. (ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a 
primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se 
apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 
horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em 
quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas 
Resp.:e 
 
09. Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os 
dois começam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho. Dois 
dias após a saída deste, Carlos também o abandona. Antônio, sozinho, 
consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho, 
Antônio levaria ? 
Resp. : 50 dias 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
34 
10. (FCC) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, 
em média, 54 pessoas por dia. Espera-se que seis técnicos, com a mesma 
capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por dia, a 
quantas pessoas? 
a) 71 b) 75 c) 78 d) 81 e) 85 
Resp.: d 
 
11. (FAURGS) Para se fazer a estimativa do número de pessoas presentes na 
apresentação de um conjunto musical, considerou-se que cada metro 
quadrado, do local da apresentação, foi ocupado por 5 pessoas. Se o conjunto 
apresentou-se em uma praça de 0,80 hectares, completamente lotada, o 
número estimado de pessoas presentes na praça é 
a) 4000 b) 4500 c) 25000 d) 40000 e) 45000 
Resp.: d 
 
12. (FAURGS) Em média, a massa de um grão de certo feijão é 2,4.10-2 g. Em 
6 kg desse feijão, existem, portanto, 
a) 2.500 grãos 
b) 20.000 grãos 
c) 25.000 grãos 
d) 150.000 grãos 
e) 250.000 grãos 
Resp.: e 
 
13.(FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O 
número de horas correspondente a esse tempo é 
a) 0,25.10-3 
b) 2,5.10-3 
c) 25.10-3 
d) 2,5.10-1 
e) 0,25.10 
Resp.: b 
 
14 .(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão 
de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos 
essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha 
igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo 
comprimento? 
a) 36 
b) 35,5 
c) 34 
d) 33,3 
e) 32 
Resp.: a 
 
15. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de 
voltas da primeira, quando a segunda dá 600 voltas por minuto? 
Solução: 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
35 



xdentes
vdentes
..........50
min/600.........40
 
Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos 
60050
40 x
= e daí obtemos x = 480 v/min. 
Resp.: 480 
16. (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 
horas. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o 
número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
Resp.: e 
17. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma 
solução salina(água e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a 
3%(sal) é 
a) 90g b) 94g c) 97g d) 98g e) 100g 
Resp.: e 
 
18. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo, 
empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são 
necessárias? 
Resp.: 250 
19. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram 
necessários 20 caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão 
pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para 
fazer o mesmo serviço? 
Resp.: 16 
20. Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por 
dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 
horas por dia? 
Resp.: 18 dias 
21. (CESGRANRIO) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 
máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 
máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias 
serão embalados 108.000 bombons? 
a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e)5 
Resp.: c 
 
22. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 
horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, 
trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os 
primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? 
a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 
Resp.: c 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
36 
 
23. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em 
quantos dias faria uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia? 
Resp.: 4 
24. Se 
3
2
 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 
horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 
10 horas por dia em... 
Resp.: 2 dias 
25. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras. 
Utilizando-se os mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas 
ele terá com 45 linhas por página e 50 letras por linha? 
Resp.: 288 
 
26. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade 
e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e 
meio. Aumentando de 400 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 
horas por dia, em quanto tempo os operários construiriam um outro canal com 
o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura dupla do primeiro? 
Resp.: 42 dias 
27. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de 
comprimento, trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte 
operários, com capacidade 4, trabalhando 12 horas por dia, num terreno de 
dificuldade 2, abririam uma vala de quantos metros de comprimento? 
Resp.: 576m 
28. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em 
200 dias e 8 horas de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empre 
gando 45 homens. Em quantos dias de trabalho concluirá a preparação de 
outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10 máquinas e 48 homens 
em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é 
5
4
 
da do trecho concluído? 
 Resp.: 144 dias 
 
29. (FCC) Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um 
livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, 
outra máquina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um 
livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de 
 
a) 2 minutos e 30 segundos 
b) 5 minutos 
c) 6 minutos e 15 segundos 
d) 7 minutos 
e) 7 minutos e 30 segundos 
Resp.: b 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
37 
30. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em 
quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? 
 
Solução: 1,5 gatos...........1,5 sardinhas.........1,5 min 
 9 gatos..............18 sardinhas.......... x min 
 
 
18
5,1
.
5,1
95,1
=
x
 e daí, obtemos x = 3. 
 
 Resp.: 3 minutos 
 
31. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come 
uma galinha em 
a) 20 minutos 
b) 40 minutos 
c) 60 minutos 
d) 80 minutos 
e) 100 minutos 
Resp.: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
38 
►PORCENTAGEM 
Uma porcentagem é uma razão na qual o �squecendo� é 100. 
Simbologia: % 
Exemplos: 









==
==
==
47,1
100
147%147)3
27,0
100
27%27)2
05,0
100
5%5)1
 
 
a) Aumento (acréscimo) 





=
=
=
aumentodetaxai
finalvalorVf
inicialvalorVo
 ⇒ Vf = Vo (1 + i) , onde 1 + i = fatorde aumento. 
 Exemplo: 
Vo = $ 50 
i = 35% (aumento) 
Vf = ? ⇒ Vf = 50 x 1,35 = 67,50 
 
b) Diminuição (desconto) 





=
=
=
descontodetaxai
finalvalorVf
inicialvalorVo
 ⇒ Vf= Vo (1 – i) , onde 1 – i = fator de desconto. 
 Exemplo: 
Vo = $ 120 
i = 10% (desconto) 
Vf= ? ⇒ Vf = 120 x 0,90 = 108 
 
c) Aumentos sucessivos 
Vf = Vo (1 + i1) (1 + i2)... (1 + in) 
 
Exemplo: 
Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual 
o valor final da mercadoria? 
Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121 
 
d) Descontos sucessivos 
Vf = Vo (1 – i1) (1 – i2)... (1 – in) 
Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos 
sucessivos de 30% e 5%. Qual o valor líquido da fatura? 
Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $ 133 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
39 
EXERCICIOS 
01) Calcule: a) 20% de 800 
 b) 12% de 200 
 c) 3,5% de 150 
 d) 4,7% de 600 
Solução: 
a) 160800
100
20
=× ; b) 24200
100
12
=× ; c) 25,5150
100
5,3
=× ; d) 2,28600
100
7,4
=× 
 
02) A quantos por cento representa 
a) 15 de 150 b) 40 de 50 c) 17 de 200 d) 65 de 1000 
 
Solução: 
a) %10
150
100.15
= ; b) %80
50
100.40
= ; c) %5,8
200
100.17
= ; d) %5,6
1000
100.65
= 
 
03) Escreva na forma de porcentagem os números 
a) 2/5 b) ¾ c) 4/5 d) 3/2 e) 1,5 f) 7/4 g) 5 
 
Solução: 
a) %40100
5
2
=× ; c) %80100
5
4
=× ; e) 1,5 × 100=150%; g) 5 × 100= 500%. 
 
04) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a 
a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 
Resp.: c 
 
05) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram 
por realizar um curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz 
localizada na capital. Possui também duas filiais, uma em Ouro Preto e outra 
em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de 
Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos 
empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos 
empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem 
dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual 
a ? 
Resp.: 60 % 
 
06) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De 
quantos por cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por 
igual? 
a) 5% 
b) 10% 
c) 15% 
d) 20% 
e) 25% 
Resp. : e 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
40 
07) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote. 
Se 35% do número restante corresponde a 42 processos, então o total 
existente inicialmente no lote era 
a) 110 
b) 120 
c) 140 
d) 150 
e) 180 
Resp.: d 
 
08) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 
20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o 
preço de custo e o preço de venda é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) ¾ 
e) 5/6 
 
Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120. 
Daí: 
6
5
120
100
==
V
C
 
Resp.: e 
 
09) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que 
apresentam, entre si, a razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de 
y nessa mistura é 
a) 43,75% 
b) 47,55% 
c) 56,25% 
d) 65,25 
e) 87,53 
Resp.: c 
 
10) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de 
seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele 
prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80 % ao preço de custo, 
porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. 
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de 
tabela, de modo a não ter prejuízo? 
a) 10% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 36% 
Resp.: c 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
41 
11) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 
mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de 
mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência 
que são homens ou fumantes é 
a) 42 
b) 43 
c) 45 
d) 48 
e) 49 
Resp.: b 
 
12) A produção de trigo num dado ano foi de 80 t e no ano seguinte aumentou 
5%. A nova produção de trigo foi de? 
Solução: Vf = Vo(1+i) ⇒ Vf = 80(1,05) =84 t 
 
13) Numa competição,um nadador cujo tempo era de 50s, diminui em 10% o 
seu tempo. O seu novo tempo é de? 
Solução: Vf = Vo(1-i)⇒ Vf = 50 (0,9) = 45 s 
 
14) Ao pagar a conta de um restaurante, paguei $ 165,00 já incluindo 10% de 
gorjeta para o garçom. O valor da conta, sem a gorjeta, foi de? 
Solução: 
Vf=Vo(1+i)⇒ 165 = Vo(1,1) ⇒ Vo = 150
1,1
165
= 
Resp.: $ 150,00 
 
15) Uma escola tem atualmente 4.600 alunos. Sabendo que no último ano, o 
número de alunos aumentou 15%, o número de alunos no ano anterior era ? 
Resp.: 4.000 
 
16) Comprei uma mercadoria por $120.000,00 e desejo vendê-la com um lucro 
de 40% sobre o preço de custo. Por quanto devo vendê-la? 
Solução: Vf = 120. 000(1,4) = $168.000 
 
17) (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma 
empresa gasta 25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto 
com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do 
produto 
a) baixará de 2%. 
b) aumentará de 3,2%. 
c) baixará de 1,8%. 
d) aumentará de 1,2%. 
e) permanecerá inalterado. 
Resp.: a 
 
18) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, 
sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, 
é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, 
relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários 
concursados do sexo 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
42 
a) feminino é maior que 42%. 
b) masculino está compreendida entra 45% e 52%. 
c) feminino é menor que 35%. 
d) masculino é maior que 50%. 
e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. 
Resp.: b 
 
19) (ESAF) Um terreno foi vendido por $16.500,00 com um lucro de 10%. Em 
seguida foi revendido por $ 20.700,00. O lucro total das duas transações, 
representa ,sobre o custo inicial do terreno, um percentual de? 
Resp.: 38% 
 
20) (PUCRS) A medida do lado de um quadrado sofre um aumento de 10%. 
Em quantos por cento aumenta a área do quadrado? 
Resp.: 21% 
 
21) (FAURGS) Um volume Vo sofre um aumento de 20%, resultando no 
volume V1. O volume V1 sofre uma diminuição de 20%, resultando no volume 
V2. A razão entre os volume V2 e V0 é? (“Dica” : suponha Vo = 100). 
Resp.: 96% 
 
22) No 1º dia de um certo mês ,uma ação estava cotada a $20,00. Do dia 1º 
até o dia 15 do mesmo mês, ela sofreu um aumento de 15%. Do dia 15 até o 
dia 25, sofreu uma queda de 7%. Qual a cotação da ação no dia 25 ? 
Solução: Vf = 20 x1,15 x 0,93 = $21,39. 
 
23) (FAURGS) João vendeu dois terrenos por $ 12.000,00 cada um. Um deles 
deu 20% de lucro em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao 
custo. Na venda de ambos, João 
a) ganhou $1.000,00 
b) perdeu $ 1.000,00 
c) não perdeu nem ganhou 
d) perdeu $ 400,00 
e) ganhou $ 400,00 
Resp.: b 
 
24) (ULBRA) A mensalidade de uma escola é, neste mês, 70. Para o mês 
seguinte, aumentará 4/5 dos 80% da inflação ocorrida nos últimos 30 dias, que 
foi de 25%. O valor da mensalidade reajustada será 
a) 82,00 b) 81,20 c) 87,50 d) 84,00 e) 80,00 
 
Solução: 
1)Aumento da mensalidade= 16,0
100
25
100
80
5
4
=×× ou 16% 
2) Vf = 70 × 1,16 = 81,20. 
Resp.: b 
 
25) (FAURGS) Uma nota fiscal se compõe de duas parcelas: valor dos serviços 
e 5% deste, como encargos de ISS. Se o total da nota é N, o valor dos serviços 
é 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
43 
a) 1,05N b) 0,95N c) N/0,95 d) N/1,05 e) N/1,5 
Resp.: d 
 
26) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um 
trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse 
trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário 
já reajustado em 20 % deveria, ainda, sofrer um reajuste de 
a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 32% 
Solução: (1,20)(1+i) = 1,32 ⇒ 1+i = 1,1
20,1
32,1
= ⇒ i = 0,1 ou 10%. 
 
27) (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só 
possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse 
concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 para que 
eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é 
a) R$ 254,00 
b) R$ 242,00 
c) R$ 237,00 
d) R$ 220,00 
e) R$ 210,00 
 
Solução: 
1) Tenho 70% de P. Faltam 30% de P; 
2) Com o abatimento de 12% de P, ainda faltam 30%-12%= 18% de P, que 
correspondem a R$ 54,00; 
3)Fazendo-se uma regra de três: 18% de p.................54 
 70% de P...............x 
obtemos x = .00,210
18
54.70
= A resposta correta é a letra e. 
Obs.: para calcular P (que não foi pedido), basta fazer 54.
100
18
=P , donde 
 P=R$ 300,00. 
 
28) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou ¼ do 
número de páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser 
digitadas é 
a) 20% 
b) 25% 
c) 45% 
d) 50% 
e) 60% 
Resp.: e 
 
29) (FAURGS) Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram 
mulheres. Depois de transferido um certo número de funcionários do sexo 
masculino, as mulheres passaram a representar 30% do total de funcionários. 
O número de homens transferidos foi 
a) 5 b) 10 c)15 d)35 e) 45 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
44 
Solução: 
1º) 25% de 60 = 15 mulheres; 
2º) Sendo t o total de funcionários após a transferência dos x homens,teremos: 
15
100
30
=t e daí obtemos t = 50; 
 3º) x = 60 – 50 = 10 homens 
Resp.: b 
 
30) (FAURGS) Em um Tribunal, 30% dos funcionários eram mulheres. Após 
um concurso, o total de funcionários aumentou 20% e o número de mulheres 
aumentou 40%. Portanto, o percentual do total de funcionários representado 
por mulheres, após o concurso, é 
a) 20% 
b) 35% 
c) 45% 
d) 55% 
e) 60% 
Resp.: b 
 
31) (FAURGS) Em 3 kg de arroz, existem 135 g de gordura. O percentual de 
gordura, nesse tipo de arroz, é, portanto, 
a) 4,0% b) 4,5% c) 4,8% d) 5,0% e) 5,5% 
 
Solução: 3kg = 3.000 g e %5,4
3000
100.135
= 
 Resp.: b 
 
32) (FAURGS) Certa empresa projeta um aumento anual de 50% em sua 
produção. Se, em determinado ano, ela produz 1.000 unidades de determinado 
produto, então, 3 anos após, o número de unidades desse produto produzido 
pela empresa é estimado em 
a) 50%(1000)3 
b) 3(0,5)1000 
c) 1,5(1000.3) 
d) 1000(1,5)3 
e) 1000(0,50)3 
 
Solução: Vf = 1000(1,5)(1,5)(1,5) = 1000(1,5)3 
Resp.: d 
 
33) (FAURGS) Certo produto, cujo preço de compra é c, foi vendido por p, 
com um prejuízo de 40%. Se esse produto fosse vendido por 3p, haveria, em 
relação ao preço de compra c, um lucro de 
a) 40% 
b) 60% 
c) 80% 
d) 120% 
e) 180% 
Resp.: c (“Dica”: suponha c = 100) 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
45 
34) (FCC) Se y é diferente de zero, e se 4
y
x
= , então a razão de 2x – y para x, 
em termos percentuais, é igual a 
a) 75% b) 25% c) 57 d) 175% e) 200% 
 
Solução: 1º) Supondo x=4 e y=1, teremos 
4
72
=
−
x
yx
 
 2º) %175100.
4
7
= 
Resp.: d 
 
35) (FCC) Alguns técnicos judiciários foram designados para prestar serviços 
de segurança em alguns setores da Justiça Eleitoral: X deles para executar a 
fiscalização de material para votação e, os Y restantes, junto aos órgãos 
apuradores. Se X é igual aos 
5
3
 de Y, então, em relação ao total de agentes 
designados, X corresponde a 
 
a) 25% b) 37,5% c) 40% d) 60% e) 62,5% 
Resp.: b 
 
36) (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de 
uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa 
empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma 
desvalorização de 20% em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se 
valorizaram em 20% em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas 
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do 
investimento foi de 
a) 20% 
b) 18,4% 
c) 18% 
d) 15,2% 
e) 15% 
Resp.: d 
 
37) (ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, ¼ dos participantes 
são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em 
geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, ¼ dos 
participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados 
em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras 
graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais 
graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de 
participantes com duas graduações? 
a) 40% 
b) 33% 
c) 57% 
d) 50% 
e) 25% 
Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki 
 
46 
} 
Resp.: c 
 
38. (ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área 
de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências 
exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da 
universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam 
física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual 
a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que 
estudam em cursos de ciências exatas? 
a) 20,00% b) 21,67% c) 25,00% d) 11,00% e) 33,33% 
Resp.: c 
 
 
 
 
3. JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
► JUROS SIMPLES 
Simbologia: 
C = capital inicial (principal); 
 i =taxa unitária de juros; 
n = nº de períodos (prazo); 
J = total de juros em n períodos; 
M = montante no final de n períodos = C + J