Integração por frações parcfiais

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET 
 
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INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 
Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I CET-160 
Engenharia Química - Professor J.C.Chagas – Agosto de 2019 
 
 
Seja h uma função racional de polinômios P e Q, dividendo e divisor, respectivamente, 
funções de x. Assim, existem dois outros polinômios M e R tais que P=Q∙ 𝑀 + 𝑅 onde o 
grau do polinômio R é menor do que o grau do polinômio Q. O nosso objetivo é calcular 
∫ℎ(𝑥)𝑑𝑥 pelo método da integração de frações parciais e, para isso é preciso decompor 
Q num produto de fatores lineares ou quadráticos. 
Método 1. Para 
( )
( )
P x
dx
Q x
 os fatores de Q(x) são todos lineares sem repetição, 
assim 
( )1 1 2 2( ) ( )...( )n nQ x a x b a x b a x b= + + +
 e escrevemos 
1
1 1
( )
...
( )
n
n n
AAP x
Q x a x b a x b
= + +
+ +
 
onde cada 
iA
 é uma constante que será determinada. 
 
Exemplos Ilustrativos 
 
1. ∫
5𝑥−4
(𝑥+1)(𝑥−2)
𝑑𝑥; 2. ∫
𝑥−1
𝑥3−𝑥2−2𝑥
𝑑𝑥; 3. ∫
𝑥+3
𝑥2−3𝑥+2
𝑑𝑥. 
 
4. Verifique que ∫
𝑥2+2
𝑥2−3𝑥+2
𝑑𝑥 = 𝑥 − 3 ln|𝑥 − 1| + 6 ln|𝑥 − 2| + 𝑘. 
 
Método 2. Os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetidos. Para 
cada fator 
( )i ia x b+
 repetidos p vezes teremos: 
( ) ( ) ( ) ( )
11 2
1 2
p p
p p
A AA A
ax bax b ax b ax b
−
−
+ + + +
++ + +
. 
 
5. ∫
2𝑥−3
(𝑥−1)3
𝑑𝑥; 
 
6. ∫
𝑥2+1
(𝑥−2)3
𝑑𝑥; 
 
7. ∫
2
𝑥3(𝑥+2)
𝑑𝑥. 
 
 
Atenção! O cumprimento das atividades resultará no bom andamento do seu curso.