Sistemas de Amortização

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Aula 4
Sistemas de Amortização	2
Conceito	2
Sistema Francês de Amortização (Sistema de Amortização Progressiva)	2
Tabela Price	4
Descrição das parcelas no Sistema Francês	4
Exercícios Resolvidos	5
Sistema de Amortização Constante (SAC)	18
Exercícios Resolvidos	23
Sistema Americano de Amortização	28
Exercícios Resolvidos	29
Fundo de Amortização (Sinking Fund)	31
Relação das questões comentadas nesta aula	34
Gabaritos	40
Tabelas Financeiras	41
�
Sistemas de Amortização
Conceito
A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o capital emprestado de modo que, para efeito de concursos, estudaremos apenas quatro, a saber: Sistema Francês (Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema de Americano de Amortização (SAA).
Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a descrição do estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada prestação (juros + quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação.
Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações, que correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à remuneração do capital emprestado.
Sistema Francês de Amortização (Sistema de Amortização Progressiva)
Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização.
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o capital.
Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas:
as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado.
os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado.
P = A + J
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro.
Já que a prestação é constante, à medida que são pagas as parcelas, a quota de amortização vai aumentando enquanto a quota de juros vai diminuindo.
�
Esse sistema corresponde à sequência de anuidades periódicas postecipadas e esquematizadas da seguinte forma:
D
Onde D é o valor do empréstimo na data 0 e P é o valor de cada prestação.
Trata-se na realidade do cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de capitais. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir:
�
Onde
�
ani
�D = P · an¬i
é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
�
Utilizaremos esta expressão caso a questão forneça a tabela financeira. Caso contrário, utilizaremos o fato de que:
�
an¬i = D = P ·
�(1 + i)n — 1 
i · (1 + i)n
(1 + i)n — 1 
�
i · (1 + i)n
�
Podemos também escrever a prestação em função do valor da dívida:
D
P = 
an¬i
Ou ainda:
�
P = D ·
�1
�
an¬i
�
�
Onde o número 1
an¬i
�é chamado de Fator de Recuperação de Capital.
�
Tabela Price
Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da taxa de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não acontecer, isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema Francês será chamado de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao teólogo, filósofo e especialista em finanças e seguros Richard Price.
Trata-se apenas de um caso particular do Sistema Francês.
Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês. O único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais.
O enunciado da questão será idêntico, a taxa que poderá ser escrita assim, por exemplo:
24% ao ano com capitalização mensal
24% ao ano, Tabela Price
Ao informar “Tabela Price” já estará indicada que a capitalização será na mesma unidade que o número de parcelas.
Por exemplo: 20 parcelas bimestrais, a uma taxa de 24% ao ano, Tabela Price. Isso significa que a taxa será 24% ao ano com capitalização bimestral.
Descrição das parcelas no Sistema Francês
Descrever as parcelas no Sistema Francês significa indicar qual o juro pago e qual a quota de amortização em cada parcela.
No Sistema Francês de Amortização as parcelas são calculadas a partir das seguintes expressões:
�
P = D ·
�1
an¬i
�
= D ·
�i · (1 + i)n (1 + i)n — 1 
�
Vamos aprender agora a calcular a quota de amortização em cada prestação e, consequentemente, o juro pago em cada prestação.
O primeiro passo é calcular o juro pago na primeira prestação. Para isso, basta calcular D  i .
A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de amortização do capital
(A1), somada aos juros do primeiro período (J1 = D.i). Logo, P = A1 + J1
Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An  A1  (1 i)
�
Para calcular o juro, basta efetuar P = An + Jn.
Exercícios Resolvidos
(AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos.
a) R$ 300,00
b) R$ 240,00
c) R$ 163,00
d) R$ 181,00
e) R$ 200,00
Resolução
Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema Francês de Amortização.
O juro pago na primeira prestação é dado por:
J1  D  i
J1  15.000  0, 02
J1  300
Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da prestação.
D  P  ani
São 18 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês.
15.000  P  a182%
�
15.000  P 14, 992031
P  1.000, 00
�
E como sabemos que
�J1  300 , então a quota de amortização da primeira prestação será:
P  A1  J1 A1  P  J1
A1  1.000  300
A1  700
�
Estamos interessados na décima prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An  A1  (1 i)
Assim, a quota de amortização da 10ª prestação será:
A10  A1  (1 i)
�
�
A10
� 700 1, 029
�
O valor de 1,029 foi dado na tabela abaixo.
�
A10
A10
� 700 1,195092
 836, 56
�
Como a prestação é constante e igual a R$ 1.000,00, o juro pago na décima prestação é igual a 1.000 – 836,56 = 163,44.
Letra C
(BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é
a) R$ 273,30
b) R$ 272,70
c) R$ 270,00
d) R$ 266,70
e) R$ 256,60
Resolução
Temos nessa questão um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 para ser quitado em 10 prestações mensais iguais.
A taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal deverá ser transformada em uma taxa efetiva. Já que a capitalização é mensal, a taxa de juros efetiva mensal será 24% / 12 = 2% ao mês.
�
Temos uma novidade nessa questão: “para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111.”
O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta:
1
ani
Para começar, vamos calcular o valor de cada prestação.
D  P  ani
�
P 		D ani
� D 
�1
ani
�
�
P  15.000 
�1
a102%
� 15.000  0,111  1.665
�
�
Calculemos o juro da primeira prestação.
�
J1  D  i
�
J1  15.000  0, 02
J1  300
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 1.665,00 e o juro pago na primeira prestação é iguala R$ 300,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 1.665,00 – 300,00 = 1.365,00.
�
Ou seja, já que
�P  A1  J1
�
A1  P  J1
A1  1.665  300  1.365
�
Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An  A1  (1 i)
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
�
A2  A1  (1 i)
A  1.365 1, 021
A2  1.392, 30
�
Já que
�P  A2  J2
�
J2  P  A2
J 2  1.665 1.392, 30  272, 70
Letra B
(AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação.
a) R$ 75.560,00.
b) R$ 76.120,00.
c) R$ 78.220,00.
d) R$ 77.440,00.
e) R$ 76.400,00.
Resolução
Trata-se novamente da quitação de um financiamento pelo Sistema Francês. O valor do financiamento é de R$ 82.000,00 e será feito em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre.
O grande problema é que nessa prova não foi fornecida a tabela financeira. O valor da parcela será calculado com o auxílio da seguinte expressão:
(1+ i)n — 1 
�
D = P · an¬i = P ·
�
�
(1+ i)n ·i 
�
Onde i = 0,10 e n = 18.
O problema surge aqui. A questão foi anulada porque alguns candidatos receberam a tabela financeira e outros candidatos não receberam.
Quem recebeu a tabela financeira fez apenas uma divisão. Quem não recebeu, teve que calcular
1,1018 na mão, o que não deve ter sido agradável.
D = P · an¬i
�
82.000 = P · a18¬10%
82.000 = P · 8,20
�
O juro pago na primeira parcela é
�P = 10.000,00
J1  D  i  82.000  0,10  8.200
�
Assim a quota de amortização da primeira parcela é A1 = 10.000 – 8.200 = 1.800
Ou seja, dos R$ 82.000,00 (valor da dívida), foram pagos R$ 8.200,00 de juros e amortizados R$ 1.800 da dívida. Assim, o saldo devedor é igual a 82.000 – 1.800 = 80.200.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An  A1  (1 i)
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2  A1  (1 i)
A  1.800 1,101
A2  1.980
Ao efetuar o pagamento da 1ª prestação (R$ 10.000,00) o saldo devedor foi de R$ 80.200,00. Ao efetuar o pagamento da 2ª prestação (também de R$ 10.000,00) foram amortizados mais R$ 1980,00. Assim, o saldo devedor é igual a 80.200 – 1.980 = 78.220,00.
Letra C (questão anulada)
(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de
a) R$ 37.473,15
b) R$ 36.828,85
c) R$ 35.223,70
d) R$ 35.045,85
e) R$ 34.868,15
Resolução
Por definição, o fator de recuperação de capital é o número:
1
an¬i
�
Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser quitado em 20 prestações mensais iguais.
�
Calculemos o valor de cada prestação.
�
D  P  ani
�
�
P 		D ani
� D 
�1
ani
�
P = 40.000 · 0,06415 = 2.566,00
Vamos calcular agora o juro da primeira prestação.
J1  D  i
J1 = 40.000 · 0,025 = 1.000,00
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 2.566,00 – 1.000,00 = 1.566,00.
Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An  A1  (1 i)
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2  A1  (1 i)
A2 = 1.566 · 1,025 = 1.605,15
O	saldo	devedor	após	o	pagamento	da	segunda	prestação	será D – A1 – A2 = 40.000 – 1.566,00 – 1.605,15 = 36.828,85
Letra B
(ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que:
a taxa é nominal de 12% ao ano,
o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência
os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento.
�
a) US$ 37,134.00
b) US$ 39,253.00
c) US$ 40,564.00
d) US$ 43,740.00
e) US$ 45,175.00
Resolução
As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres).
A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral.
Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado.
300.000,00
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir:
�
D  P  ani
�(1)
�
�
Onde
�ani
�é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
�
�
Tem-se que
�ani
�(1 i)n 1
	.
(1 i)n  i
�
Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo.
Em suma, não pode haver carência. Carência é o período compreendido entre a tomada do empréstimo e o pagamento da 1ª parcela.
A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre.
Lembre-se sempre: a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo.
Assim, devemos transportar o empréstimo de US$ 300.000,00 para o 4º semestre.
�
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Assim, devemos multiplicar 300.000,00 por (1 0, 06)4
�
Dessa forma, US$ 300.000,00 na data 0 equivale a semestre. O desenho da questão ficará assim:
Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês.
D  P  ani
378.743,10  P  a126%
�300.000 1, 064  378.743,10
�no 4º
�
378.743,10  P 8, 383844
P  378.743,10  45.175, 35
8, 383844
�
Letra E
(Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos.
a) R$ 20.330,00
b) R$ 18.093,00
c) R$ 16.104,00
d) R$ 15.431,00
e) R$ 14.000,00
Resolução
As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres).
A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral.
Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado.
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir:
D  P  ani
�
Onde
�ani
�é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
�
�
Tem-se que
�ani
�(1 i)n 1
	.
(1 i)n  i
�
Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo.
�
A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre.
Assim, devemos transportar o empréstimode R$ 100.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n .
Assim, devemos multiplicar 100.000,00 por (1 0, 06)4
�
Assim, R$ 100.000,00 na data 0 equivale a desenho da questão ficará assim:
�100.000 1, 064  126.247, 70
�no 4º semestre. O
�
Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês.
D  P  ani
126.247, 70  P  a86%
126.247, 70  P  6, 209794
�
P  126.247, 70  20.330, 42
6, 209794
Letra A
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de:
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 14.147,53.
c) R$ 14.198,84.
d) R$ 14.213,05.
e) R$ 14.322,01.
Resolução
A próxima prestação é composta pelo juro e pela quota de amortização. O juro pago na próxima prestação é igual a:
2% de R$ 14.696,13 = 0,02 · 14.696,13 = 293,92
Como a parcela é constante e igual a R$ 777,00, então a quota de amortização é igual a:
A = 777,00 — 293,92 = 483,08
O saldo devedor ao final do 12º mês era de R$ 14.696,13 e com o pagamento da próxima prestação foram amortizados R$ 483,08. Assim, o saldo devedor após este pagamento será de:
SD = 14.696,13 — 483,08 = 14.213,05
Letra D
(AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta.
a) $ 51.492,10
b) $ 58.492,10
c) $ 62.492,52
d) $ 66.492,10
e) $ 68.234,52
Resolução
O primeiro passo é calcular o valor da prestação P.
(1 + i)n — 1 
�
D = P ·
�
�
(1 + i)n ·i 
1,0112 — 1 
�
100.000 = P ·
�
�
1,0112 · 0,01
�
Infelizmente a FEPESE não forneceu as tabelas financeiras.
�
100.000 = P ·
�0,12682503
�
1,12682503 · 0,01
�
100.000 = P · 11,25507746 P = 8.884,88
Para saber o saldo devedor no 6º mês, basta calcular o valor na data 6 de todas as parcelas que ainda faltam ser pagas.
Precisamos pagar ainda 6 prestações (pois são 12 prestações). Logo,
(1 + i)6 — 1 
�
SD6 = P ·
�
�
(1 + i)6 ·i 
1,016 —1 
�
SD6 = 8.884,88 · 1,016 · 0,01
1,06152015 — 1
SD6 = 8.884,88 · 1,06152015 · 0,01
1,06152015 — 1
SD6 = 8.884,88 · 1,06152015 · 0,01 = 51.492,11
Letra A
Infelizmente, esta banca não ofereceu tabelas financeiras.
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a
a) R$ 3.168,00.
b) R$ 3.232,00.
c) R$ 3.264,00.
d) R$ 3.368,00.
e) R$ 3.374,00.
Resolução
No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da dívida e as prestações.
D = P · an¬i
D
P = 
an¬i
�
�
P = D ·
�1
�
an¬i
�
�
O número 1
an¬i
�é o chamado Fator de Recuperação de Capital.
P = 80.000 · 0,04 P = 3.200,00
�
O juro pago na primeira prestação é dado por:
J1 = D · i = 80.000 · 0,02 = 1.600
Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a
A1 = P — J1 = 3.200 — 1.600 = 1.600
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An = A1 · (1+ i)n–1
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2 = A1 · (1+ i)2–1 A2 = 1.600 · 1,021
A2 = 1.632
A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a
A1 + A2 = 1.600 + 1.632 = 3.232
Letra B
1.3	Sistema de Amortização Constante (SAC)
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros.
Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas:
as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado.
os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado.
P = A + J
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro.
�
Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são constantes. Logo, as prestações não serão constantes.
É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais amortizamos a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão diminuindo.
O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior.
Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC.
Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$ 96.000,00 que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à taxa de 9% ao trimestre.
Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada período, discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e qual o saldo devedor após o pagamento.
O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em cada prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ 96.000,00 será quitado em seis prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização seja o mesmo, devemos dividir R$ 96.000,00 por 6 para saber quanto será amortizado em cada prestação.
Chamando de A a quota de amortização:
A  96.000  16.000
6
�
Chamando o valor da dívida de D, então
�A  D
n
�
Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida. Assim para calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido ao saldo devedor do período anterior.
Vejamos passo a passo:
A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim, como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira prestação serão pagos 0, 09  96.000  8.640
referentes aos juros.
Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$ 16.000,00 mais o juro relativo ao saldo devedor – R$ 8.640,00.
P1  16.000  8.640  24.640, 00
E qual o novo saldo devedor?
Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença:
�
(Saldo devedor anterior) – (quota de amortização).
Assim, como antes o saldo devedor era de R$ 96.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida, então o novo saldo devedor é de R$ 80.000,00.
Observe que juros não amortizam dívida.
Eis o início da planilha para esse empréstimo.
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Capital total amortizado
	0
	96.000,00
	-
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	16.000,00
	8.640,00
	24.640,00
	16.000,00
Vejamos a segunda prestação: o saldo devedor é de R$ 80.000,00 e como a taxa de juros é de
9% ao trimestre, então o juro pago no próximo trimestre será igual a 0, 09  80.000  7.200 . Como a quota de amortização é igual a R$ 16.000,00, então a prestação será igual a R$ 16.000,00 + R$ 7.200,00 = R$ 23.200,00.
Como o saldo devedor era de R$ 80.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00, então o novo saldo devedor é igual a R$ 80.000,00 – R$ 16.000,00 = R$ 64.000,00.
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Capital total amortizado
	0
	96.000,00
	-
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	16.000,00
	8.640,00
	24.640,00
	16.000,00
	2
	64.000,00
	16.000,00
	7.200,00
	23.200,00
	32.000,00
Terceira prestação: O saldo devedor é de R$ 64.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao
�
trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, 09  64.000  5.760
�referentes aos juros.
�
Como no SAC a quotade amortização é constante, a dívida de R$ 64.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 48.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 5.760,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Capital total amortizado
	0
	96.000,00
	-
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	16.000,00
	8.640,00
	24.640,00
	16.000,00
�
	2
	64.000,00
	16.000,00
	7.200,00
	23.200,00
	32.000,00
	3
	48.000,00
	16.000,00
	5.760,00
	21.760,00
	48.000,00
Quarta prestação: O saldo devedor é de R$ 48.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao
trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, 09  48.000  4.320 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 48.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 32.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 4.320,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Capital total amortizado
	0
	96.000,00
	-
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	16.000,00
	8.640,00
	24.640,00
	16.000,00
	2
	64.000,00
	16.000,00
	7.200,00
	23.200,00
	32.000,00
	3
	48.000,00
	16.000,00
	5.760,00
	21.760,00
	48.000,00
	4
	32.000,00
	16.000,00
	4.320,00
	20.320,00
	64.000,00
Quinta prestação: O saldo devedor é de R$ 32.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao
trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0, 09  32.000  2.880 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 32.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 16.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 2.880,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Capital total amortizado
	0
	96.000,00
	-
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	16.000,00
	8.640,00
	24.640,00
	16.000,00
	2
	64.000,00
	16.000,00
	7.200,00
	23.200,00
	32.000,00
	3
	48.000,00
	16.000,00
	5.760,00
	21.760,00
	48.000,00
	4
	32.000,00
	16.000,00
	4.320,00
	20.320,00
	64.000,00
	5
	16.000,00
	16.000,00
	2.880,00
	18.880,00
	80.000,00
�
Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 16.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre,
então no próximo trimestre serão pagos 0, 09 16.000  1.440 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 16.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 1.440,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Capital total amortizado
	0
	96.000,00
	-
	-
	-
	-
	1
	80.000,00
	16.000,00
	8.640,00
	24.640,00
	16.000,00
	2
	64.000,00
	16.000,00
	7.200,00
	23.200,00
	32.000,00
	3
	48.000,00
	16.000,00
	5.760,00
	21.760,00
	48.000,00
	4
	32.000,00
	16.000,00
	4.320,00
	20.320,00
	64.000,00
	5
	16.000,00
	16.000,00
	2.880,00
	18.880,00
	80.000,00
	6
	-
	16.000,00
	1.440,00
	17.440,00
	96.000,00
Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC.
Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros pagos nas prestações vão diminuindo).
Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela par outra foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$ 1.440,00. O mesmo aconteceu com o juro de cada período.
Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão Aritmética de razão
1.440 . Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200 prestações não precisaríamos construir a planilha passo a passo como o fizemos aqui. Basta utilizar os conceitos de Progressão Aritmética.
Os passos que seguiremos serão os seguintes:
Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor da dívida original
�
pelo	número	de	prestações.	Assim,
A  96.000  16.000 .
6
�A  D
n
�
.	No	nosso	exemplo,
�
Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original
�
da dívida. Assim,
�J1  i  D . No nosso exemplo,
�J1  0, 09  96.000  8.640 .
�
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com
o juro referente ao primeiro período. Assim, P1  A  J1 . No nosso exemplo, temos
P1  16.000  8.640  24.640 .
Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é
decrescente. Assim, r  i  A . No nosso exemplo, r  0, 09 16.000  1.440 .
Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das
�
progressões. No caso, o módulo de na última prestação.
�1.440
�é igual a 1.440 , que é justamente o juro pago
�
�
O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é igual a
�Sn  D  n  A .
�
Por exemplo, o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação será igual a
S4  D  4  A .
No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será
S3  D  3  A  96.000  3 16.000  48.000
É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma comparação entre os dois sistemas de amortização estudados – Sistema Francês (Price) e SAC – a primeira prestação será maior no SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de prestações).
1.3.1 Exercícios Resolvidos
(SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de:
a) R$ 5.000,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.666,00.
d) R$ 500,00.
e) R$ 1.500,00.
Resolução
As prestações são formadas por duas parcelas:
As quotas de amortizações (a quota de amortização é constante no SAC).
Os juros.
Ou seja,
�
Prestação = Quota de amortização + Juros
Para calcular a quota de amortização no SAC, basta dividir o valor da dívida pelo número de prestações. Assim:
�
D
A =	=
n
�50.000
100
�
= 500 reais
�
O juro pago na primeira prestação corresponde a 2% da dívida.
2
J1 = 2% de 50.000 = 100 · 50.000 = 1.000
Dessa forma,
P1 = A + J1 = 500 + 1.000 = 1.500
Letra E
(Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de:
a) R$ 3.020,00
b) R$ 3.160,00
c) R$ 3.240,00
d) R$ 3.300,00
e) R$ 3.450,00
Resolução
Calculemos o valor da quota de amortização.
�
D
A =	=
n
�180.000
120
�
= 1.500
�
O juro pago na primeira prestação corresponde a 1% da dívida.
1
J1 = 1% de 180.000 = 100 · 180.000 = 1.800
Desta forma, a primeira prestação é de:
P1 = A + J1 = 1.500 + 1.800 = 3.300 reais
Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 2010, a prestação referente a junho de 2010 é a quinta.
Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética decrescente de razão
—i · A.
�
r = —i · A = —
�1
100
�
· 1.500 = —15 reais.
�
Queremos calcular a quinta prestação.Utilizemos a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética.
P5 = P1 + 4 · r
P5 = 3.300 + 4 · (—15) = 3.240 reais.
Letra C
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em
(A) R$ 3.625,00.
(B) R$ 3.687,50.
(C) R$ 3.750,00.
(D) R$ 3.812,50.
(E) R$ 3.875,00.
Resolução
Queremos calcular a diferença P1 — P59.
O primeiro passo é calcular a quota de amortização.
�
D
A =	=
n
�150.000
60
�
= 2.500
�
As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão r = —i · A. A razão é negativa porque as prestações são decrescentes.
r = —0,025 · 2500 = —62,5
São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação.
Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação e a 1ª prestação é a seguinte.
P59 = P1 + 58 · r P1 — P59 = —58 · r
P1 — P59 = —58 · (—62,5) P1 — P59 = 3.625
Que é justamente o que queríamos calcular.
Letra A
(CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira
�
prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de
a) R$ 2.260,00
b) R$ 1.350,00
c) R$ 1.500,00
d) R$ 1.750,00
e) R$ 1.800,00
Resolução
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a dívida pelo número de
�
prestações. No caso, a quota de amortização será
�A  D  3.600  450
�
. O saldo devedor,
�
n	8
�
logo após o pagamento da quarta prestação
�S4  D  4  A  S4  3.600  4  450  1.800 .
�
Letra E
(CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser
a) R$ 2 950,00
b) R$ 3 000,00
c) R$ 3 050,00
d) R$ 3 100,00
e) R$ 3 150,00
Resolução
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais.
A  D  50.000  2.500
n	20
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida.
�
Assim,
�J1  i  D  J1  0, 02  50.000  1.000 .
�
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, P1  A  J1  P1  2.500  1.000  P1  3.500 .
Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se
�
que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r  i  A . No
�
nosso exemplo,
�r  0, 02  2.500  50 .
�
Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão r  50 e primeiro termo igual a R$ 3.500,00.
�
Assim,
�P10  P1  9  r  P10  3.500  9  (50)  3.500  450  3.050
�
Letra C
(CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será
a) 50,00
b) 55,00
c) 60,00
d) 65,00
e) 70,00
Resolução
Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente.
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais.
�
D
A =	=
n
�200
4
�= 50
�
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, J1 = i · D ‹ J1 = 0,10 · 200 = 20.
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, P1 = A + J1 = 50 + 20 = 70.
Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r = —i · A. Dessa forma, , r = —0,10 · 50 = —5.
Vamos calcular a terceira prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão r = —5 e primeiro termo igual a R$ 70,00.
Assim, P3 = P1 + 2 · r ‹ P3 = 70 + 2 · (—5) = 60.
Letra C
(AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa
�
de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a
a) R$ 3.700,00
b) R$ 3.650,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 3.550,00
e) R$ 3.500,00
Resolução
Vimos anteriormente que o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. Ou seja, o juro pago na última prestação é igual a J48 = i · A ‹ J48 = 0,02 · A.
Sabemos que as prestações são iguais aos juros correspondentes do período mais a quota de amortização. Assim, a última prestação é igual a
A + J48 = 2.550,00
A + 0,02 ·A = 2.550,00
1,02 · A = 2.550,00
�
2.550
A = 
1,02
�
= 2.500
�
E a razão da progressão é dada por r = —i · A = —0,02 · 2.500 = —50.
Temos a 48ª prestação e estamos querendo calcular a 26ª prestação.
P26 = P48 — 22 · r
Isso porque 26 – 48 = - 22.
P26 = 2.550 — 22 · (—50)
P26 = 2.550 — 22 · (—50)
P26 = 3.650,00
Letra B
Sistema Americano de Amortização
O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento.
Exemplo: Construa a planilha de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 deve ser quitado pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de 10% ao mês. Considere uma carência de 3 meses e que os juros são pagos durante o período de carência.
�
Resolução
O juro pago em cada período da carência é de 10% ao mês. Logo, o juro pago em cada período é igual a:
�
J = 10% de 100.000 =
�10
100
�
· 100.000 = 10.000
�
	Mês
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Saldo Devedor
	0
	0
	0
	0
	100.000
	1
	0
	10.000
	10.000
	100.000
	2
	0
	10.000
	10.000
	100.000
	3
	100.000
	10.000
	110.000
	0
1.4.1	Exercícios Resolvidos
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir:
No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente.
No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00.
O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante.
Assinale
se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
se somente a afirmativa III estiver correta.
se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
se todas as afirmativas estiverem corretas.Resolução
Verdadeiro. Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização.
A quota de amortização é de R$ 80.000,00/5 = R$ 16.000,00.
	Trimestre
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	80.000,00
	-
	-
	-
	1
	64.000,00
	16.000,00
	0,2 x 80.000 =
16.000,00
	32.000,00
	2
	48.000,00
	16.000,00
	0,2 x 64.000 =
12.800,00
	28.800,00
�
Portanto, a proposição II é verdadeira.
Verdadeiro. O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento.
Letra E
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir:
Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00.
No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes.
No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00.
Assinale:
se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
se somente a afirmativa III estiver correta.
se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
se todas as afirmativas estiverem corretas.
Resolução
Analisemos cada uma das alternativas de per si.
Falso
A quota de amortização é dada por:
�
D
A =	=
n
�50.000
25
�
= 2.000
�
O juro pago na primeira prestação é igual a 5% de 50.000.
5
J1 = 5% de 50.000 = 100 · 50.000 = 2.500
Portanto, a primeira prestação é igual a:
P1 = A + J1 = 2.000 + 2.500 = 4.500
As prestações formam uma progressão aritmética decrescente de razão r = —i · A.
r = —0,05 · 2.000 = —100
Desta forma:
P2 = P1 — 100 = 4.500 — 100 = 4.400
P3 = P2 — 100 = 4.400 — 100 = 4.300
�
O valor acumulado das três primeiras prestações é igual a:
P1 + P2 + P3 = 4.500 + 4.400 + 4.300 = 13.200
Falso
As prestações no Sistema Francês são constantes.
Verdadeiro
No Sistema Americano de Amortização, apenas os juros são pagos durante o período de carência, de forma que a dívida é liquidada de uma vez no último pagamento.
Durante o período de carência, a quota de amortização é 0, de forma que a prestação é composta apenas pelo juro do período. Em cada período, o juro corresponde a 5% da dívida.
�
J = 5% de 50.000 =
�5
100
�
50.000 = 2.500 reais por período
�
O valor total pago pelas três primeiras prestações é igual a:
T = 3 · 2.500 = 7.500 reais.
Letra C
Fundo de Amortização (Sinking Fund)
No sistema americano de amortização, é muito comum a constituição, pelo devedor, de um fundo cuja finalidade é garantir o pagamento único a ser efetuado ao final do período de carência. Trata- se do fundo de amortização, também conhecido como sinking fund, e que é formado por uma série de depósitos periódicos, em uma conta remunerada, de tal forma que, na data do pagamento do principal, seu montante seja igual ao valor necessário para liquidar a dívida.
O fundo de amortização, portanto, decorre de uma aplicação feita pelo devedor, com vistas a fazer face ao valor que deverá ser desembolsado futuramente para o pagamento do empréstimo.
Essa aplicação, como regra geral, será feita a uma aplicação de juros igual ou inferior à taxa utilizada para o cálculo dos juros do financiamento.
Considerando um financiamento feito pelo Sistema Americano, em que os juros são pagos durante o prazo de carência, ao final desse prazo o devedor deverá desembolsar um valor igual ao principal. Este também deverá ser o valor do fundo de amortização.
Considerando que o devedor, para a formação do fundo, faça n depósitos iguais, periódicos e postecipados, no valor P, remunerados à taxa de juros compostos i, então esses depósitos formam uma renda certa (série uniforme), no modelo visto na aula passada, cujo valor futuro é:
(1 + i)n — 1 
�
F = P ·
i
�ou F = P · sn¬i
�
O valor de cada depósito será:
F
P = 
sn¬i
Em que o valor futuro F corresponde ao valor a ser desembolsado para liquidar o financiamento.
Vamos à prática...
Guilherme faz um financiamento, no valor de R$ 50.000,00, pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de 30% ao ano. O principal deverá ser restituído ao final de 5 anos, sendo os juros pagos durante o prazo de carência. Considerando que o fundo de amortização é formado por depósitos anuais, à taxa de juros de 20% ao ano, pede-se:
construir a planilha de amortização.
determinar o valor do depósito, que deve ser feito ao final de cada ano, para a formação do fundo de amortização.
determinar o valor total desembolsado pelo devedor, a cada ano, durante o período de carência.
Resolução
a) construir a planilha de amortização.
O juro pago em cada período da carência é de 30% ao ano. Logo, o juro pago em cada período é igual a:
�
J = 30% de 50.000 =
�30
100
�
· 50.000 = 15.000
�
	Mês
	Amortização
	Juros
	Prestação
	Saldo Devedor
	0
	0
	0
	0
	50.000
	1
	0
	15.000
	15.000
	50.000
	2
	0
	15.000
	15.000
	50.000
	3
	0
	15.000
	15.000
	50.000
	4
	0
	15.000
	15.000
	50.000
	5
	50.000
	15.000
	65.000
	0
b) determinar o valor do depósito, que deve ser feito ao final de cada ano, para a formação do fundo de amortização.
O fundo de amortização será constituído por cinco depósitos anuais, sendo que, ao final do 5º ano, o valor do fundo deverá ser R$ 50.000,00. Assim, o valor de cada depósito deve ser:
�
F
P =	=
s5¬20%
�50.000
�
7,4416
�
P = 6.718,99
�
Portanto, o devedor deverá fazer 5 depósitos anuais iguais a R$ 6.718,99. Sobre esses depósitos incidirão juros compostos de 20% ao ano, de tal forma que, ao final do 5º ano, o valor do fundo será de R$ 50.000,00 (este fundo será utilizado para amortizar a dívida no final do 5º ano).
c) determinar o valor total desembolsado pelo devedor, a cada ano, durante o período de carência.
Durante o período de carência o devedor pagará, a cada ano, R$ 15.000,00 de juros e desembolsará, ainda, mais R$ 6.718,99, para a constituição do fundo de amortização. Assim, o total desembolsado, a cada ano, será:
15.000 + 6.718,99 = 21.718,99 reais
Ficamos por aqui. Um abraço, bons estudos e até a próxima aula! Guilherme Neves
�
Relação das questões comentadas nesta aula
(AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos.
a) R$ 300,00
b) R$ 240,00
c) R$ 163,00
d) R$ 181,00
e) R$ 200,00
(BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é
a) R$ 273,30
b) R$ 272,70
c) R$ 270,00
d) R$ 266,70
e) R$ 256,60
(AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento dasegunda prestação.
a) R$ 75.560,00.
b) R$ 76.120,00.
c) R$ 78.220,00.
d) R$ 77.440,00.
e) R$ 76.400,00.
(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de
a) R$ 37.473,15
b) R$ 36.828,85
c) R$ 35.223,70
�
d) R$ 35.045,85
e) R$ 34.868,15
(ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que:
a taxa é nominal de 12% ao ano,
o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência
os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento.
a) US$ 37,134.00
b) US$ 39,253.00
c) US$ 40,564.00
d) US$ 43,740.00
e) US$ 45,175.00
(Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos.
a) R$ 20.330,00
b) R$ 18.093,00
c) R$ 16.104,00
d) R$ 15.431,00
e) R$ 14.000,00
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de:
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 14.147,53.
c) R$ 14.198,84.
d) R$ 14.213,05.
e) R$ 14.322,01.
(AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta.
�
a) $ 51.492,10
b) $ 58.492,10
c) $ 62.492,52
d) $ 66.492,10
e) $ 68.234,52
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a
a) R$ 3.168,00.
b) R$ 3.232,00.
c) R$ 3.264,00.
d) R$ 3.368,00.
e) R$ 3.374,00.
(SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de:
a) R$ 5.000,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.666,00.
d) R$ 500,00.
e) R$ 1.500,00.
(Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de:
a) R$ 3.020,00
b) R$ 3.160,00
c) R$ 3.240,00
d) R$ 3.300,00
e) R$ 3.450,00
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em
(A) R$ 3.625,00.
(B) R$ 3.687,50.
(C) R$ 3.750,00.
(D) R$ 3.812,50.
(E) R$ 3.875,00.
(CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira
�
prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de
a) R$ 2.260,00
b) R$ 1.350,00
c) R$ 1.500,00
d) R$ 1.750,00
e) R$ 1.800,00
(CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser
a) R$ 2 950,00
b) R$ 3 000,00
c) R$ 3 050,00
d) R$ 3 100,00
e) R$ 3 150,00
(CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será
a) 50,00
b) 55,00
c) 60,00
d) 65,00
e) 70,00
(AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a
a) R$ 3.700,00
b) R$ 3.650,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 3.550,00
e) R$ 3.500,00
(Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo.
�
O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a
a) R$ 3.320,00
b) R$ 3.360,00
c) R$ 3.480,00
d) R$ 4.140,00
e) R$ 4.280,00
(AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir:
No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente.
No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00.
O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante.
Assinale
se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
se somente a afirmativa III estiver correta.
se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
se todas as afirmativas estiverem corretas.
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir:
Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00.
No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes.
No Sistema Americano de Amortização,para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00.
�
Assinale:
se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
se somente a afirmativa III estiver correta.
se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
se todas as afirmativas estiverem corretas.
�
Gabaritos
C
B
C (anulada)
B
E
A
D
A
B
E
C
A
E
C
C
B
B
E
C
�
Tabelas Financeiras
1	2	3	4	5	6	7	8
n
0
P	P	P	P	P	P	P	P
P
n1
n1
101
n1
21
2
n1
21
2
n1
21
1	2	3	4	5	6	7	8	9 10	11 12 13 14 15 16
0
P	P	P	P	P	P	P	P	P	P	P	P
�