Transformações Lineares

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201UNIDADE VII
Nesta seção, será apresentada a definição de transformações lineares. Preste muita 
atenção, pois entender a definição é fundamental para prosseguir na discussão dessa 
importante ferramenta da álgebra linear.
DEFINIÇÃO 1
Seja T V W: → uma função do espaço vetorial V no espaço vetorial W . T é denomi-
nada transformação linear ou aplicação linear se as duas condições seguintes forem 
satisfeitas (LIMA, 2016):
( I ) Quaisquer que sejam os vetores u e v pertencentes a V , tem-se
T T Tu v u v�� � � � �� � �.
( II ) Quaisquer que sejam o número real a e o vetor u pertencente a V , tem-se:
T Tαu u( ) = ( ).α
Talvez você tenha achado a Definição 1 um pouco abstrata. Contudo, tudo ficará 
mais claro com os exemplos a seguir.
Mostre que a aplicação T R R:� 2 2→ dada por T x y x y x y, ,� � � � �� � é uma 
transformação linear.
Para resolver este exemplo, precisamos mostrar que T satisfaz as duas condições 
dadas na Definição 1. Assim, sejam os vetores v1 1 1� � �x y, e v2 2 2� � �x y, perten-
centes ao R2 . Observe que T x y x yv1 1 1 1 1� � � � �� �,� e T x y x yv2 2 2 2 2� � � � �� �,� . 
Dessa forma, temos:
v v1 2 1 2 1 2� � � �� �x x y y, .
Assim,
T T x x y y x x y y x x y yv v1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2�� � � � �� � � �� �� �� � �� �� �� �� �, , ,
T x y x y x y x yv v1 2 1 1 2 2 1 1 2 2�� � � �� �� � �� �� �( ( ), ( )),
T x y x y x y x yv v1 2 1 1 1 1 2 2 2 2�� � � �� � �� � � �� � �( , ) ( , ( )),
T T Tv v v v1 2 1 2�� � � � �� � �.
A condição ( I ) está satisfeita.
1 EXEMPLO
202 Transformações Lineares
Agora, resta-nos verificar a condição ( II ). Assim, seja o número real a, temos então
a a a av1 1 1 1 1� � � � � �x y x y, ,
Assim,
T T x y x y x y x y x y Tα α α α α α α α αv v1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) = ( ) = − +( ) = − +( ) = (, , )).
Percebemos que a condição ( II ) também foi satisfeita. Com isso, concluímos que a 
aplicação dada é, de fato, uma transformação linear.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Verifique se a aplicação T R R:� 2 → dada por T x y xy,� � � 2 é uma transformação linear.
Para resolver este exemplo, devemos verificar se as duas condições dadas na Defi-
nição 1 são satisfeitas. Sejam, então, os vetores v1 1 1� � �x y, e v2 2 2� � �x y, perten-
centes ao R2 . Observe que T x yv1 1 12� � � e T x yv2 2 22� � � . Perceba também que
v v1 2 1 2 1 2� � � �� �x x y y, .
Assim, temos
T T x x y y x x y yv v1 2 1 2 1 2 1 2 1 22�� � � � �� � � �� � �� �, ,
T x y x y x y x yv v1 2 1 1 1 2 2 1 2 22 2 2 2 ,
Ou seja
T T T x y x yv v v v1 2 1 2 1 2 2 12 2�� � � � �� � �� � .
Percebe-se assim que a condição ( I ) não é satisfeita. Assim, a aplicação dada no 
exemplo não é uma transformação linear.
Agora que você já sabe o que é uma transformação linear, mostraremos um teo-
rema muito importante envolvendo o vetor nulo dos espaços vetoriais associados a 
uma transformação linear.
2 EXEMPLO
203UNIDADE VII
Seja a transformação linear T V W: → , e sejam 0
V
 e 0
W
 os vetores nulos dos espaços 
vetoriais V e W , respectivamente; então:
T 0 0
V W� � � .
Demonstração: seja u um vetor pertencente ao espaço vetorial V . Neste caso, T u� � 
pertence ao espaço vetorial W . Temos que:
0 0u
V
= .
Assim,
T T T0 0 0 0
V W
u u� � � � � � � � � .
E o teorema está mostrado.
Como exemplo, considere a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por 
T x y
x y x y
x y, , ,( ) = − + +





2 2
2 .
O vetor nulo do R2 é 0 0 02
R
� � �, . Calculando a transformação deste vetor de acordo 
com a regra estabelecida, temos:
 
cujo resultado é o vetor nulo do R3.
Conforme você verá no decorrer desta unidade, as transformações lineares são intrin-
sicamente relacionadas com a física e a computação gráfica, por exemplo. Contudo, 
antes de estudar essas aplicações, você deve entender um pouco mais das formali-
dades das transformações lineares. Para esse fim, seguem alguns teoremas e algumas 
definições importantes (FRANCO, 2016).
TEOREMA1
204 Transformações Lineares
Considere dois espaços vetoriais reais V e W . Seja o conjunto u � u � u �1 2, , ,�� �n uma 
base de V e sejam w1 2, , , n… elementos quaisquer de W .
Existe uma única transformação linear T V W: → tal que T u w1 1� � � , �T u w2 2� � � ,...,
�T
n
u w
n� � � . Tal transformação linear é dada por,
Se u u u u� � ���a a an n1 1 2 2 ,
T a T a Tnu u un( ) = ( )+…+ ( )1 1
T a an nu w w( ) = +…+1 1
Para que você perceba a relevância do Teorema 2, veja o exemplo a seguir.
Descubra qual é a transformação linear T R R:� 2 3→ tal que T 1 0 1 1 2, , ,� � � � � e 
T 0 1 1 1 0, , , .� � � �� �
Resolução: primeiramente, note que 1 0 0 1, , ,� � � �� � é uma base do R2 , coincidente-
mente é a base canônica. Você deve escrever o vetor genérico u � � �x y, nesta base. 
Como é a base canônica, está tarefa é bastante simples (note que se não fosse a base 
canônica, você teria um pouco mais de trabalho),
x y x y, , , .� � � � �� � �1 0 0 1
Agora você deve tomar a transformação linear de ambos os lados da equação, obtendo:
T x y T x y, , , .� � � � �� � �� �1 0 0 1
Como T é linear, você pode escrever
T x y xT yT, , , .� � � � �� � �1 0 0 1
Usando o comando da questão, você obtém:
T x y x y, , , , , ,� � � � �� �� �1 1 2 1 1 0
T x y x x x y y, , , , , ,� � � � �� �� �2 0
T x y x y x y x, , , .� � � � �� �2
Perceba como esse exemplo foi instrutivo. Você conhecia apenas duas transformações 
específicas, mas como eram transformações de elementos da base do domínio da 
transformação, você foi capaz de escrever a lei geral da transformação!
TEOREMA2
3 EXEMPLO
206 Transformações Lineares
Para que você entenda melhor essa definição, veja o exemplo a seguir.
Seja a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 . 
Determine o núcleo de T .
Resolução: a resolução deste exemplo é bastante simples, conforme você notará. A De-
finição 2 estabelece que o núcleo de uma transformação linear é um conjunto de vetores 
que são levados ao vetor nulo do contradomínio mediante a transformação. Assim, para 
descobrirmos quem é o núcleo da transformação dada, devemos resolver a equação:
T x y, , , ,� � � � �0 0 0
x y x y x+ −( ) = ( ), , .2 0 0 0
x y
x y
x
� �
� �
�
�
�
�
�
�
0
0
2 0
Este sistema nos fornece x = 0 � e y = 0. Portanto, ker ,T� � � � �� �0 0 . Observe que o 
núcleo dessa transformação é apenas um ponto, e um ponto tem dimensão nula. 
Portanto, a dimensão do núcleo dessa transformação é zero, ou seja, di Ker T( ) = 0.
Algumas observações sobre o núcleo de uma transformação linear T V W: →
(HOLT, 2016):
( I ) ker T� � é um subespaço vetorial de V .
( II ) ker T� � nunca será uma conjunto vazio, pois conterá pelo menos o vetor nulo de V .
O conceito de núcleo ficará cada vez mais claro, quando você estudar algumas trans-
formações lineares específicas no decorrer desta unidade.
4 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 2
Seja T V W: → uma transformação linear. O conjunto dos vetores em V que trans-
forma em 0
w
 é denominado núcleo de T e representado por Ker T� �, ou kernel de 
T (ANTON; RORRES, 2012).
DEFINIÇÃO 3
Seja T V W: → uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores em W 
que são imagem de T de pelo menos um vetor em V é denominado imagem de T e 
representado por Im T� �.
207UNIDADE VII
Com a finalidade de o conceito tornar-se mais claro, acompanhe o exemplo a seguir:
Seja a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 . 
Determine a imagem de T .
Resolução: conforme você aprendeu na Definição 3, a imagem de uma transformação 
linear nada mais é que o conjunto devetores que pertencem a W que se relacionam, 
por meio da transformação linear, a pelo menos um vetor pertencente a V . Neste caso, 
para determinarmos a imagem da transformação, devemos fazer:
Im T x y x y x x y R( ) = + −( ) ∈{ }, , ; ,2
Separando as variáveis, temos:
Im T x x x y y x y R( ) = ( )+ −( ) ∈{ }, , , , ; ,2 0
Colocando x e y em evidência, chegamos a
Im T x y x y R( ) = ( )+ −( ) ∈{ }1 1 2 1 1 0, , , , ; ,
Portanto, a imagem dessa transformação linear possui dois vetores (ou duas variáveis 
independentes), logo, a sua dimensão é igual a dois, ou seja, dim Im T� � � 2 .
Observando os exemplos 4 e 5, você deve ter notado que a soma das dimensões do 
núcleo e da imagem de T é igual a dois, que coincide com a dimensão do domínio da 
transformação, ou seja, dim dim dimIm T Ker T R� �� � � � �2 2. Isso sempre ocorre, 
constituindo uma propriedade das transformações lineares.
Logo, em geral, podemos considerar a propriedade:
Seja T V W: → , então dim dim dimIm T Ker T V� �� � � � � � .
Uma observação importante sobre a imagem de uma transformação linear é a 
seguinte: Im T� � é subespaço vetorial de W .
5 EXEMPLO
209UNIDADE VII
Uma forma prática de verificar se a transformação linear é injetora é identificar o seu 
núcleo, pois se kerT = 0
V
, a transformação é injetora. Essa afirmação é um Teorema, 
cuja demonstração pode ser encontrada na referência Anton e Rorres (2012, p. 445).
TEOREMA3
DEFINIÇÃO 4
Dada uma transformação linear T V W: → , dizemos que T é injetora se dados quais-
quer dois vetores u e v pertencentes a V , com v≠ , então T Tu v� � � � �.
Ou seja, uma transformação linear é denominada injetora se as imagens de vetores 
distintos forem distintas.
DEFINIÇÃO 5
Dada uma transformação linear T V W: → , dizemos que T é sobrejetora se a imagem 
de T coincidir com W .
Verifique se as transformações lineares abaixo são injetoras e sobrejetoras.
a) T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 .
b) T R R:� 2 2→ dada por T x y y x, ,� � � � � .
Resolução:
a) Podemos verificar se a transformação linear é injetora, descobrindo o seu 
núcleo. Caso o núcleo da transformação seja constituído apenas do vetor nulo 
do domínio da transformação, temos que a transformação é injetora. Assim, 
já mostramos no Exemplo 4 que para esta transformação ker ,T� � � � �� �0 0 . 
Dessa forma, podemos dizer que a transformação dada é injetora.
Apesar de ser injetora, a transformação dada nesta alternativa não é sobrejeto-
ra, pois conforme constatamos no Exemplo 5, a sua imagem possui dimensão 
2, diferindo do seu contradomínio, o qual tem dimensão 3.
6 EXEMPLO
DEFINIÇÃO 6
Dada uma transformação linear T V W: → , dizemos que T é bijetora se T é injetora e 
sobrejetora. Neste caso, podemos dizer que T é um isomorfismo. Assim, se T V W: → 
é um isomorfismo, dizemos que V e W são isomorfos.
210 Transformações Lineares
Como a transformação dada é injetora, mas não é sobrejetora, também não 
pode ser classificada como um isomorfismo.
b) Para verificar se a transformação dada nesta alternativa é injetora, descubra-
mos o seu núcleo:
T x y, , ,� � � � �0 0
y x, , ,� � � � �0 0
o que implica x = 0 e y = 0. Assim, ker ,T� � � � �� �0 0 e a transformação 
dada é injetora.
Para verificar se ela é sobrejetora, descubramos a sua imagem.
Im T y x x y R( ) = ( ) ∈{ }, ;
separando as variáveis, temos:
Im T y x x y R( ) = ( )+ ( ) ∈{ }, , ; ,0 0
colocando x e y em evidência, chegamos a
Im T y x x y R( ) = ( )+ ( ) ∈{ }1 0 0 1, , ; ,
Perceba que a imagem é constituída de dois vetores (ou duas variáveis in-
dependentes), portanto a sua dimensão é igual a 2. Como o contradomínio 
da transformação linear dada é o R2, temos que a imagem é igual ao contra-
domínio. Assim, podemos concluir que a transformação dada é sobrejetora.
Como ela é injetora e sobrejetora, também é um isomorfismo.
DEFINIÇÃO 7
Uma transformação linear em que o domínio e o contradomínio são o mesmo conjunto, 
T V V: → , é denominada de operador linear.
Por exemplo, a transformação linear dada na alternativa b do Exemplo 6 é um operador 
linear, pois nela temos que o domínio e a imagem são o mesmo conjunto, ou seja, o R2.
212 Transformações Lineares
Sejam V e W dois espaços vetoriais. Seja a uma base de V , b uma base de W e 
T V W: → uma transformação linear. Se v for um vetor que pertença a V e w for 
um vetor pertencente a W , vale (ANTON; RORRES, 2012):
w v v� � � � ��� �� �β β β
α
αT T [ ]
em que T v� � representa a transformação linear do vetor v, e Tβ
α representa a matriz 
transformação linear em relação às bases a e b.
Demonstração: para demonstrar este teorema, consideraremos sem perda de ge-
neralidade, apenas para reduzir o espaço da demonstração, que a � � �v v v1 2 3,� ,� e 
b � � �w w1 2,� . Ou seja, a dimensão de V é 3 e de W é 2.
Sabemos que T v1� � , T v2� � e T v3� � pertencem a W e por isso podem ser escritos 
como combinação linear dos elementos de b . Assim, temos:
T a av w w1 11 1 21 2� � � � ,
T a av w w2 12 1 22 2� � � � ,
T a av w w3 13 1 23 2� � � � .
Considere agora um vetor v pertencente a V escrito como v v v v� � �x x x1 1 2 2 3 3 . 
Calculando a transformação linear de v, temos:
T x T x T x Tv v v v� � � � �� � �� � �1 1 2 2 3 3 ,
T x a a x a a x a av w w w w w w� � � �� �� �� �� �� �1 11 1 21 2 2 12 1 22 2 3 13 1 23 2 ;
aplicando a distributiva e colocando w1 e w2em evidência, temos:
T v� � � (a x a x a x a x a x a x11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2+ + + + +w w
Contudo, sendo T v� � pertencente a W , pode ser escrito como combinação linear 
dos elementos de b da seguinte forma:
T y yv w w� � � �1 1 2 2.
Igualando as duas últimas equações, temos:
y a x a x a x
y a x a x a x
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
= + +
= + +



TEOREMA4
213UNIDADE VII
ou matricialmente,
y
y
a a a
a a a
x
x
x
1
2
11 12 13
21 22 23
1
2
3
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
A matriz
T
a a a
a a a
β
α
�
�
�
�
�
�
�
11 12 13
21 22 23
é a matriz transformação linear em relação às bases a e b .
Observe que a matriz Tβ
α �obtida é de ordem 2 por 3, enquanto a transformação 
linear era de um espaço de dimensão 3 para outro de dimensão 2. Em geral, a uma 
transformação linear T R Rn m:� → podemos associar uma matriz de ordem m por 
n. Sendo assim, a matriz que representa um operador linear é quadrada.
Então, para você recapitular como obter a matriz transformação linear, basta 
seguir as etapas a seguir.
Dada a transformação linear T V W: → . Caso você queira descobrir a matriz que 
representa essa transformação em relação às bases a � � �v v v1 2 3,� ,� de V e b � � �w w1 2,� 
de W , basta fazer:
( I ) Calcule as transformações lineares nos vetores v v v1 2 3,� ,� e em seguida escreva 
essas transformações em função da base b :
T a av w w1 11 1 21 2� � � � ,
T a av w w2 12 1 22 2� � � � ,
T a av w w3 13 1 23 2� � � � .
( II ) Escreva a transposta da matriz dos coeficientes deste sistema. Essa matriz será 
a matriz que representa a transformação linear Tβ
α .
T
a a a
a a a
β
α
�
�
�
�
�
�
�
11 12 13
21 22 23
Viu como foi fácil? Agora você vai exercitar um pouco por meio dos exemplos a seguir.
214 Transformações Lineares
Seja a transformação linear T R R:� 2 3→ dada por T x y x y x y x, ,( ) = + −( )2 e as 
bases a � �� � �� �� �1 1 0 1, , , e β = ( ) −( ) ( ){ }1 1 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , , escreva a matriz Tβα 
que representa T .
Resolução: então faça o primeiro passo. Primeiro calcule as transformações dos 
vetores da base do domínio da transformação:
T �� � �� � � � �� � � � �� �1 1 1 1 1 1 2 0 2 2, , , , , .
T 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0, , , , .−( ) = − +( ) = −( )
Agora, escreva os resultados obtidos na base b :
0 2 2 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 0 1, , , , , , , ,� �� � � � �� �� �� � �
�� � � � � �� �� �� � �1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1, , , , , , , ,
Agora, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema:
Tβ
α � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
2 1
2 0
.
Observe que a transformação era T R R:� 2 3→ e a matriz obtida foi de ordem três por dois.
Perceba que apesar de ser simples, resolver o exemplo acima ainda deu um pouco 
de trabalho. Isso porque as bases utilizadas não foram as bases canônicas. Contudo, 
na maioria das aplicações, as bases usadas são bases canônicas. Isso possibilita uma 
economia de tempo, conforme veremos no próximo exemplo. Quando as bases en-
volvidas forem as canônicas, denotaremos Tβ
α simplesmente por T .
Seja a transformação linear T R R3 2→ dada por T x y z x y z x y z, , ,�� � � � � � �� �2 3 
escreva a matriz que representa T em relação às bases canônicas.
Como você já sabe, as bases canônicas do R2 e do R3 são, respectivamente, 
1 0 0 1, ,( ) ( ){ } e 1 0 0 0 1 0 0 0 1, , ,� , , ,� , ,� � � � � �� � .
7 EXEMPLO
8 EXEMPLO
215UNIDADE VII
Então, você deve calcular as transformações dos vetores da base do R
3
:
T 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 1, , ,� , ,� � � � � � �� � � � �
T 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1, , ,� , ,� � � � � � �� � � �� �
T 0 0 1 0 0 1 0 0 3 1 3, , , .( ) = + − − +( ) = −( )
Agora, você tem que escrever os resultados da transformação como combinação 
linear dos vetores da base canônica do R
2
, mas isso é uma tarefa muito fácil, pois 
neste caso os coeficientes são as próprias coordenadas dos vetores:
2 1 2 1 0 1 0 1, , , ,� � � � �� � �
1 1 1 1 0 1 0 1, , , ,�� � � � �� � �
�� � � � � �� � �1 3 1 1 0 3 0 1, , , .
Por último, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema
T �
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1 1
1 1 3
.
Observe que a transformação era T R R:� 3 2→ e a matriz obtida foi de ordem dois por três.
Agora, vamos focar a discussão nos operadores lineares, pois eles são representa-
dos por matrizes quadradas. Suponha que você tenha aplicado um operador linear 
em um dado vetor e se indague: é possível fazer o caminho reverso, ou seja, reobter 
o vetor original? A resposta é positiva, desde que o operador linear seja injetor. E 
mais: se uma matriz T representa um dado operador linear, a operação linear inversa 
é representada simplesmente pela inversa da matriz T , ou seja, por T −1.
Você visualizará este procedimento pela situação a seguir. Considere a transforma-
ção linear T R R:� 2 2→ dada por T x y y x, ,� � � � �2 . Ou seja, trata-se de um operador 
linear, pois o domínio é o mesmo do contradomínio. Essa transformação é injetora, 
conforme você pode verificar. Veja que o resultado da aplicação da transformação 
no vetor 2 3,�� � :
T 2 3 3 4, ,�� � � �� �
216 Transformações Lineares
Agora, perceba que a matriz que representa T em relação à base canônica é dada por
T �
�
�
�
�
�
�
0 1
2 0
.
Se você aplicar (multiplicar) a matriz no vetor 2 3, ��� � obterá:
0 1
2 0
2
3
3
4
3 4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� � �� �, .
Ou seja, você obtém o mesmo resultado da aplicação da transformação linear. Isso já 
era mais que esperado, pois a matriz dada representa a transformação linear. Suponha 
que agora você queira voltar, ou seja, reobter o vetor 2 3,�� � a partir do vetor �� �3 4, . 
Para isso, você pode utilizar a transformação inversa, a qual pode ser encontrada pela 
matriz inversa de T :
T
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0 1
2
1 0
.
Aplicando T −1 no vetor �� �3 4, , obtém-se:
0 1
2
1 0
3
4
2
3
2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � �� �, .
Isso evidencia que T −1 é realmente a transformação inversa.
Neste momento, podemos retornar à discussão inicial desta unidade. Tendo em 
vista que você já tenha explicado todo o conteúdo desta unidade ao seu pequeno 
primo, você já pode explicá-lo um pouco do funcionamento da computação gráfica, 
inclusive como o Super Mario aumenta de tamanho ao engolir o cogumelo.
Para esse fim, considere a transformação linear T R R:� 2 2→ dada por 
T x y x y, ,� � � � �2 2 . É fácil notar que essa transformação duplica o tamanho do ve-
tor. A matriz que representa essa transformação é dada por:
T �
�
�
�
�
�
�
2 0
0 2
.
217UNIDADE VII
Assim, se você quiser dobrar o tamanho de uma figura plana, o primeiro passo é 
discretizar o contorno da figura no maior número de pontos possível, depois repre-
sentar esses pontos por meio de vetores e, em seguida, multiplicar cada um desses 
vetores pela matriz T dada acima. No fim, você terá o resultado esperado. A Figura 
1 mostra o resultado da aplicação da transformação linear T x y x y, ,� � � � �2 2 no 
quadrado indicado. Isso pode ser feito representando os vértices do quadrado por 
vetores e aplicando a transformação dada nesses quatro vetores. Em geral, quando 
queremos dilatar ou contrair uma figura, basta multiplicar os vetores pela matriz
T
a
a
�
�
�
�
�
�
�
0
0
,
se o valor absoluto de a for maior que um ( a >1 ), temos uma dilatação (expansão). 
Contudo, se o valor absoluto de a for um número entre zero e um (0 1< <a ), temos 
uma contração do vetor.
Programas de computadores que necessitam transformar figuras, por exemplo 
na área da computação gráfica, executam essa tarefa, muitas vezes, utilizando trans-
formações lineares.
y
a
a
x
y
2a
2a
x
Figura 1 - Dilatação do quadrado
Fonte: os autores.
E aí, você notou a grande importância prática de mais um conteúdo de álgebra linear?
Considere a transformação linear T R R:� 2 2→ dada por 
T x y x y x y, cos sin , sin cos� � � � �� �q q q q . Essa transformação rotaciona (gira) 
um vetor de um ângulo q no sentido anti-horário a partir do eixo x . A Figura 2 
mostra um quadrado no qual essa transformação foi aplicada. Escreva a matriz 
que representa essa transformação linear em relação às bases canônicas.
9 EXEMPLO
218 Transformações Lineares
Figura 2 - Rotação do quadrado
Fonte: os autores.
Resolução: o primeiro passo é calcular a transformação dos vetores da base ca-
nônica do R2:
T 1 0, cos ,sin� � � � �q q
T 0 1, ( sin ,cos ).( ) = − θ θ
Agora, você deve escrever os resultados encontrados como combinação linear dos 
vetores da base canônica do R2 :
cos ,sin cos , sin , ,q q q q� � � � �� � �1 0 0 1
( sin ,cos ) sin , cos , .− = − ( )+ ( )θ θ θ θ1 0 0 1
Por último, basta escrever a transposta da matriz dos coeficientes desse sistema:
T �
��
�
�
�
�
�
cos sin
sin cos
q q
q q
E essa é a matriz que gira um vetor de um ângulo q no sentido anti-horário a partir 
do eixo x .
Agora que você já aprendeu bastante sobre as transformações lineares, tente re-
solver as atividades a seguir.
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ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2012.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
HOLT, J. Álgebra Linear com Aplicações. 1. ed. São Paulo: Editora LTC, 2016.
LIMA, E. L. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.
224
1. 
I) T v v T v T v( ) ( ) ( )1 2 1 2� � �
II) T u T u( ) ( )a a=
a) T : 2 2→ , T x y x y y( ; ) ( ; )� � 3
v x y1 1 1= ( ; ) v x y2 2 2= ( ; )
I) T v x y y( ) ( ; )1 1 1 13� �
T v x y y( ) ( ; )2 2 2 23� �
T v v x x y y y y( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 23 3� � � � � � �
T vv x y y x y y( ) ( ; ) ( ; )1 2 1 1 1 2 2 23 3� � � � �
Assim, T v T v T v v( ) ( ) ( )1 2 1 2� � � .
II) T v x y y( ) ( ; )a a a a1 1 1 13� �
a aT v x y y( ) ( ; )1 1 1 13� �
a a a aT v x y y( ) ( ; )1 1 1 13� �
Assim, T v T v( ) ( )a a1 1= .
b) T : 2 2→ , T x y y x x y( ; ) ( ; )� � �3 2 3
I) T v y x x y( ) ( ; )1 1 1 1 13 2 3� � �
T v y x x y( ) ( ; )2 2 2 2 23 2 3� � �
T v v y y x x x x y y( ) ( ; )1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 3 2 2 3 3� � � � � � � �
T v v y x x y y x x y( ) ( ; ) ( ; )1 2 1 1 1 1 2 2 2 23 2 3 3 2 3� � � � � � �
Assim, T v T v T v v( ) ( ) ( )1 2 1 2� � � .
228