DESAFIO IV: TRANSFORMAÇÕES Trabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas é, muitas vezes muito complicado. Uma alternativa é util...

1) Para encontrar a matriz "M" da transformação linear T(x, y) = (2x + 3y, 3x + 2y), basta organizar os coeficientes das variáveis x e y em uma matriz. Assim, temos: M = | 2 3 | | 3 2 | 2) Para encontrar os autovalores e autovetores da matriz "M", podemos utilizar o conceito de diagonalização. Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica det(M - λI) = 0, onde det representa o determinante, M é a matriz e λ é o autovalor. Calculando o determinante, temos: det(M - λI) = | 2-λ 3 | | 3 2-λ | (2-λ)(2-λ) - 3*3 = λ² - 4λ + 4 - 9 = λ² - 4λ - 5 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores λ1 = 5 e λ2 = -1. Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na matriz (M - λI) e resolvemos o sistema de equações resultante. Para λ1 = 5: (M - 5I) = | -3 3 | | 3 -3 | Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v1 = (1, 1). Para λ2 = -1: (M - (-1)I) = | 3 3 | | 3 3 | Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v2 = (1, -1). Portanto, os autovalores da transformação linear são λ1 = 5 e λ2 = -1, e os autovetores correspondentes são v1 = (1, 1) e v2 = (1, -1). 3) Para calcular M^10, podemos utilizar a diagonalização da matriz M. Seja P a matriz formada pelos autovetores de M e D a matriz diagonal formada pelos autovalores de M. Temos: M = PDP^(-1) Elevando M à décima potência, temos: M^10 = (PDP^(-1))^10 Como D é uma matriz diagonal, podemos elevar cada elemento à décima potência: D^10 = | 5^10 0 | | 0 (-1)^10 | D^10 = | 9765625 0 | | 0 1 | Substituindo na fórmula de M^10, temos: M^10 = P(D^10)P^(-1) Calculando o produto das matrizes, encontramos M^10.