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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Matemática
MA71B - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
Professora Aura R. Belzarez Guedez
Lista de Exerćıcios 05 - Transformações Lineares
1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique.
(a) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x+ y, x− y)
(b) T : R2 → R tal que T (x, y) = xy
(c) T : M2×2(R)→ R tal que T
([
a11 a12
a21 a22
])
= det
[
a11 a12
a21 a22
]
(d) T : P2 → P3 tal que T (ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx
(e) T : R→ R tal que T (x) = |x|
(f) T : R2 → R2 dada por Tθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ).
2. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear para a qual sabemos que T (1, 1) = (2,−3) e
T (0, 1) = (1, 2).
(a) Determine T (3,−2) (b) Determine T (x, y)
3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) = (x+ 2y + 2z, x+ 2y − z,−x+ y + 4z).
(a) Determinar o vetor u ∈ R3 tal que T (u) = (−1, 8,−11).
(b) Determinar o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = v.
4. Sabendo que T : R2 → R3 é uma transformação linear e que
T (1,−1) = (3, 2,−2) e T (−1, 2) = (1,−1, 3),
determine T (x, y).
5. Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0).
(a) Determine T (x, y).
(b) Determnine N(T ) e Im(T ).
(c) T é injetora? T é sobrejetora?
6. Seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que
T (e1) = (1, 2), T (e2) = (0, 1) e T (e3) = (−1, 3),
sendo {e1, e2, e3} a base canônica de R3.
(a) Determine o N(T ) e uma de suas bases. T é injetora?
(b) Determine a Im(T ) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
7. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
(a) Encontre uma base para o núcleo de T
(b) Encontre uma base para a imagem de T
(c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T
8. Seja T : Rn → R5 uma transformação linear.
(a) Se T é sobrejetiva e dim(N(T )) = 2, qual o valor de n?
(b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n?
9. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 → R3 nas bases A =
{(−1, 1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é
[T ]AB =
3 12 5
1 −1
,
encontre a expressão de T (x, y) e a matriz [T ].
10. Seja T : R3 → R2 tal que
[T ]B1B2 =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
,
sendo B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2
respectivamente.
(a) Encontre a expressão de T (x, y, z).
(b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço do R2.
(c) Determine N(T ) e uma base para esse subespaço do R3.
(d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
11. Considere o operador linear
T : R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ 2y, x− y)
e as bases A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2,−1), (−1, 1)} e C canônica. Determine [T ]A,
[T ]B e [T ]C .
12. Para cada transformação linear abaixo, encontre a Matriz da Transformação Linear (em
relação as bases canônicas):
(a) T : R2 → R tal que T (x, y) = x+ y
(b) T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (y, x, x+ y)
13. Seja T : R3 → R2, com T (x, y, z) = (2x− y + z, 3x+ y − 2z). Considere as bases
A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B = {(2, 1), (5, 3)},
do R3 e do R2, respectivamente.
(a) Determine [T ]AB.
(b) Se v = (3,−4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R3), calcule [T (v)]B2
utilizando a matriz encontrada.
14. Para cada transformações linear abaixo, verifique se T é invert́ıvel e calcule a inversa,
T−1, se ela existe.
(a) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+ 2y + z, y + 2z, z)
(b) T : R3 → R3 definida por T (a, b, c) = (a,−2a+ b,−2a− 4b+ c)
(c) T : R3 → R3 definida por T (a, b, c) = (a+ b+ c, a+ 2b, a+ 2c)
Respostas
1.
(a) Sim
(b) Não
(c) Não
(d) Sim
(e) Não
(f) Sim
2.
(a) T (3,−2) = (1,−19) (b) T (a, b) = (a+ b,−5a+ 2b)
3.
(a) u = (1, 2,−3) (b) v = (2z,−z, z) com z ∈ R.
4. T (x, y) = (7x+ 4y, 3x+ y,−x+ y)
5.
(a) T (x, y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y).
(b) N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y,−x)|x, y ∈ R}.
(c) T é injetora, mas não é sobrejetora.
6.
(a) N(T ) = {(z,−5z, z)|z ∈ R}. (b) Im(T ) = R2.
7.
(a) {(1, 1, 0)} (b) {(0, 1, 0), (1, 0,−1)}
(c) O núcleo de T é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor (1, 1, 0) e a imagem
de T é o plano que passa pela origem que tem vetores diretores (0, 1, 0) e (1, 0,−1).
8.
(a) 7 (b) 5
9.
(a) T (x, y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y)
(b)
8 186 11
−2 −4
10.
(a) T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y)
(b) Im(T ) = R2
(c) N(T ) = {(x, x, 2x)|x ∈ R}
(d) T é sobrejetora. T não é injetora.
11.
[T ]A =
[
−2 1
−1 2
]
[T ]B =
[
3 −1
6 −3
]
[T ]C =
[
1 2
1 −1
]
12.
(a)
[
1
1
]
(b)
0 11 0
1 1
13.
(a) [T ]AB =
[
−4 5 13
2 −2 −5
]
(b) [T (v)]B =
[
31
−10
]
14.
(a) T−1(x, y, z) = (x− 2y + 3z, y − 2z, z)
(b) T−1(a, b, c) = (a+ 2b+ 10c, b+ 4c, c)
(c) T−1(a, b, c) = (4a− 2b− c,−a+ b,−2a+ b+ c)