Trabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas é, muitas vezes muito complicado. Uma alternativa é utilizar matrizes para representa...

1) Para encontrar a matriz "M" da transformação linear T(x, y) = (2x + 3y, 3x + 2y), basta escrever os coeficientes das variáveis x e y nas colunas da matriz. Portanto, a matriz "M" será: M = | 2 3 | | 3 2 | 2) Para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear, precisamos resolver a equação característica. A equação característica é dada por |M - λI| = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Calculando |M - λI| = 0, temos: | 2-λ 3 | | 3 2-λ | (2-λ)(2-λ) - 3*3 = 0 (λ-5)(λ+1) = 0 Portanto, os autovalores são λ = 5 e λ = -1. Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na matriz (M - λI) e resolvemos o sistema homogêneo (M - λI)v = 0, onde v é o autovetor. Para λ = 5: (2-5)x + 3y = 0 3x + (2-5)y = 0 -3x + 3y = 0 3x - 3y = 0 x = y Portanto, o autovetor correspondente a λ = 5 é dado por v = (1, 1). Para λ = -1: (2+1)x + 3y = 0 3x + (2+1)y = 0 3x + 3y = 0 3x + 3y = 0 x = -y Portanto, o autovetor correspondente a λ = -1 é dado por v = (-1, 1). 3) Para calcular M^10 usando o conceito de diagonalização de matrizes, precisamos diagonalizar a matriz M. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que M = PDP^(-1), onde D contém os autovalores na diagonal. Os autovalores de M são λ = 5 e λ = -1, como encontramos anteriormente. Para λ = 5: (2-5)x + 3y = 0 3x + (2-5)y = 0 -3x + 3y = 0 3x - 3y = 0 x = y Portanto, o autovetor correspondente a λ = 5 é dado por v1 = (1, 1). Para λ = -1: (2+1)x + 3y = 0 3x + (2+1)y = 0 3x + 3y = 0 3x + 3y = 0 x = -y Portanto, o autovetor correspondente a λ = -1 é dado por v2 = (-1, 1). A matriz diagonal D é formada pelos autovalores na diagonal: D = | 5 0 | | 0 -1 | A matriz P é formada pelos autovetores como colunas: P = | 1 -1 | | 1 1 | A matriz P^(-1) é a inversa de P. Calculando P^(-1), temos: P^(-1) = (1/2) * | 1 1 | | -1 1 | Agora, podemos calcular M^10: M^10 = P * D^10 * P^(-1) Calculando D^10, temos: D^10 = | 5^10 0 | | 0 (-1)^10 | D^10 = | 9765625 0 | | 0 1 | Substituindo os valores na fórmula, temos: M^10 = P * D^10 * P^(-1) M^10 = | 1 -1 | * | 9765625 0 | * (1/2) * | 1 1 | | 1 1 | | 0 1 | | -1 1 | Calculando a multiplicação, temos: M^10 = | 1 -1 | * | 9765625 0 | * (1/2) * | 1 1 | | 1 1 | | 0 1 | | -1 1 | M^10 = | 9765625 0 | * (1/2) * | 1 1 | | 0 1 | | -1 1 | M^10 = (1/2) * | 9765625 9765625 | | 0 1 | M^10 = | 4882812.5 4882812.5 | | 0 1 | Portanto, M^10 = | 4882812.5 4882812.5 | | 0 1 |

Vamos resolver cada uma das suas perguntas:

1. A matriz "M" da transformação linear (T.L.) T(x, y) = (2x + 3y, 3x + 2y) é uma matriz 2x2 que representa como a transformação afeta vetores no espaço 2D. Para encontrar a matriz "M," precisamos determinar como a transformação age nos vetores de base padrão [(1, 0)] e [(0, 1)] e, em seguida, organizar os resultados em uma matriz.

Vamos calcular T(1, 0):

T(1, 0) = (21 + 30, 31 + 20) = (2, 3)

Agora, vamos calcular T(0, 1):

T(0, 1) = (20 + 31, 30 + 21) = (3, 2)

A matriz "M" é construída colocando os resultados em colunas:

M = [[2, 3],

[3, 2]]

1. Para encontrar os autovalores e autovetores da matriz "M," precisamos resolver a equação característica:

det(M - λI) = 0

onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade 2x2.

M - λI = [[2-λ, 3],

[3, 2-λ]]

Agora, encontre o determinante dessa matriz:

det(M - λI) = (2-λ)(2-λ) - 33

det(M - λI) = (4 - 4λ + λ^2) - 9

det(M - λI) = λ^2 - 4λ - 5

Agora, resolvemos a equação característica:

λ^2 - 4λ - 5 = 0

Podemos resolver isso fatorando ou usando a fórmula quadrática:

(λ - 5)(λ + 1) = 0

As soluções são λ1 = 5 e λ2 = -1. Portanto, esses são os autovalores da matriz "M."

Agora, para encontrar os autovetores associados a cada autovalor, substitua os autovalores na matriz (M - λI) e resolva o sistema linear resultante.

Para λ1 = 5:

M - 5I = [[-3, 3],

[3, -3]]

Vamos encontrar o autovetor v1:

(-3x + 3y = 0

3x - 3y = 0

Essas equações são equivalentes e representam o mesmo conjunto de autovetores. Portanto, podemos escolher uma das equações e encontrar uma solução. Vamos escolher a primeira:

-3x + 3y = 0

3y = 3x

y = x

Portanto, um autovetor associado a λ1 = 5 é [1, 1].

Para λ2 = -1:

M - (-1)I = [[3, 3],

[3, 3]]

Vamos encontrar o autovetor v2:

3x + 3y = 0

3(x + y) = 0

x + y = 0

y = -x

Portanto, um autovetor associado a λ2 = -1 é [1, -1].

1. Para calcular M^10, podemos usar a diagonalização da matriz M. A matriz diagonalizada D e a matriz inversa P da seguinte forma:

M = PDP^(-1)

Onde D é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores de M, e P é uma matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.

Para nossa matriz M:

D = [[5, 0],

[0, -1]]

P = [[1, 1],

[1, -1]]

P^(-1) é a matriz inversa de P, que pode ser encontrada facilmente:

P^(-1) = (1/2)[[1, 1],

[1, -1]]

Agora, podemos calcular M^10:

M^10 = (PD(P^(-1)))^10

M^10 = PD(P^(-1))PD(P^(-1))...PD(P^(-1))

Podemos simplificar isso:

M^10 = PD^10P^(-1)

D^10 é fácil de calcular, pois é uma matriz diagonal:

D^10 = [[5^10, 0],

[0, (-1)^10]]

D^10 = [[9765625, 0],

[0, 1]]

Agora, calcule M^10:

M^10 = P[[9765625, 0],

[0, 1]]P^(-1)

M^10 = [[1, 1],

[1, -1]][9765625, 0],

[0, 1][[1, 1],

[1, -1]]

Realize as multiplicações matriciais:

M^10 = [[1, 1],

[1, -1]][9765625, 0],

[0, 1][[1, 1],

[1, -1]]

M^10 = (1/2)[[9765625, 0],

[0, 1]][[1+1, 1-1],

[1+1, -1-1]]

M^10 = (1/2)[[9765625, 0],

[0, 1]][[2, 0],

[2, -2]]

Realize as multiplicações matriciais finais:

M^10 = (1/2)[[19531250, 0],

[2, -2]]

M^10 = [[9765625, 0],

[1, -1]]

Portanto, M^10 é igual a:

[[9765625, 0],

[1, -1]]