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UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco
Laboratório de Topografia da UNICAP 
 
 
 
 
Apostila de Exercícios
 Topografia 1 
 
Material de Apoio para a disciplina de Topografia I
do Curso de Engenharia Civil da UNICAP
Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
 
 
 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho
Prof. Eduardo Oliveira Barros
Prof. Glauber Carvalho Costa
Apostila de Exercícios
Topografia 1 
Material de Apoio para a disciplina de Topografia I
do Curso de Engenharia Civil da UNICAP
Recife, 2016 
 
Revisão 1 
 
Autores: 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
Apostila de Exercícios 
 
Material de Apoio para a disciplina de Topografia I 
do Curso de Engenharia Civil da UNICAP 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
 
Sumário 
 
 
 
1. Escalas 
 
2. Medidas de Distâncias 
 
3. Sistema de Coordenadas UTM 
 
4. Rumos, Azimutes e Estaqueamento 
 
5. Rumos, Azimutes, Coordenadas e Área 
 
6. Erros e Tolerâncias nas Poligonais 
 
7. Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
8. Formulário de Matemática Básica 
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UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Escalas 
 
 
Escalas Página 1 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Escalas 
 
 
 
Exercícios de Escalas 
 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Escalas 
 
 
Escalas Página 2 
 
 
1) Numa planta topográfica consta o desenho de uma avenida, cuja largura foi medida com uma régua comum e 
encontrou-se a sua dimensão gráfica com 12 mm. Sabe-se que esta mesma avenida teve sua largura medida no 
terreno durante o levantamento topográfico, cujo valor foi igual a 24,00 m. Solicita-se determinar o módulo da 
escala que a planta foi confeccionada. 
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Resp: O Módulo da escala é M = 2000 
 
2) O Laboratório de Topografia ocupa uma sala de aula com dimensões reais iguais a 6,20 m x 3,80 m. Numa 
planta a ser desenhada na escala 1:50, solicita-se informar quais as correspondentes dimensões gráficas que 
terá a sala. 
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Resp: 
Dimensão 1 do desenho correspondente a dimensão real de 6,20m = ddesenho1 = 12,4cm 
Dimensão 2 do desenho correspondente a dimensão real de 3,80m = ddesenho2 = 7,6cm 
 
3) Numa determinada planta topográfica, desenhada na escala 1:500, foi medida a distância gráfica entre dois 
marcos topográficos M-1 e M-2, utilizando-se de uma régua comum, e encontrou-se o valor 45,4 cm. Solicita-se 
determinar o valor da distância correspondente no terreno (real), em metros, entre os dois marcos. 
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Resp: A Dimensão real entre os marcos Topográficos M-1 e M-2 é DREAL = 22.700cm = 227m 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Escalas 
 
 
Escalas Página 3 
 
 
4) É preciso desenhar numa planta topográfica, representada na escala 1:2.000, uma linha reta que corresponde 
a um trecho de estrada e cuja extensão real é igual a 649,00 m. Não dispondo-se de um escalímetro com o 
referido módulo da escala da planta, pergunta-se que valor, em centímetros, deverá ter o comprimento gráfico 
a ser desenhado com a utilização de uma régua comum? 
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Resp: 
Dimensão do desenho correspondente a dimensão real de 649m = ddesenho = 32,45cm 
 
5) Dada a planta topográfica a seguir, solicita-se determinar: 
 
a) A escala em que está desenhada, sabendo-se que a distância correspondente no terreno (real) entre os pontos 
topográficos A e B é igual a 70,00 m; 
b) A distância real entre os pontos topográficos P e C, usando o conceito de escala; 
c) Estimar o valor da extensão horizontal de cerca; 
d) Estimar o valor da extensão e da largura deste trecho de estrada; 
e) Qual o valor do ângulo horizontal formado entre os alinhamentos que constituem a cerca? 
 
 
 
a) E = 1/2000 
b) D = 76m 
c) D = 138m 
d) Extensão da Estrada D = 192m 
Largura da Estrada D = 4m 
e) Ângulo de Aproximadamente = 250 
 
 
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Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Escalas 
 
 
Escalas Página 4 
 
 
6) Ao medirmos em um mapa cuja escala é ao milionésimo, isto é, 1: 1.000.000, encontramos uma estrada de 
180 km de extensão. O comprimento gráfico é equivalente a quanto? 
 
7) Um loteamento de forma triangular está representado em uma planta na escala de 1: 5000 por triângulo de 
perímetro igual a 240 cm e cujos dois de seus lados medem 80 e 60 cm. Calcule a área real do loteamento em 
m2 e em hectares. 
 
8) Uma propriedade rural está representada em uma planta na escala de 1:2000. Sabendo-se que ao medirmos 
sua área gráfica encontrou-se para a mesma 0,128 m2, pede-se. 
 
a) A sua área real em hectares 
b) Sabendo-se que sua forma é quadrada e o seu relevo é plano, calcule o comprimento da cerca que a limita. 
 
9) Em uma planta topográfica projetou-se um loteamento de forma regular cujas dimensões são de 1,8 km e 
1,35 km de lados. Sabendo-se que o mesmo deve ser representado numa folha de papel cujas dimensões úteis 
são 0,4 m e 0,3 m, pede-se a escala mais conveniente para o melhor aproveitamento do papel. 
 
10) Um loteamento de forma circular está desenhado numa escala de 1:1.000. Ao medirmos sua área gráfica 
encontrou-se para a mesma 0,2295 m2. Pede-se: 
 
a) A sua área real em hectares 
b) Supondo-se que este terreno fosse plano, qual perímetro da cerca que a limita. 
 
11) Chamando-se de precisão gráfica (σ) a menor distância que podemos desenhar em uma planta topográfica 
e, admitindo-se que este valor seja igual a 0,2 mm (desenho feito com lápis grafite), pergunta-se será que um 
acidente geográfico com as dimensões de 20m x 20m pode ser representado em escala em uma planta 
desenhada na escala 1:10.000? Justifique sua resposta.UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Medidas de Distâncias 
Medidas de Distâncias Página 1 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Medidas de Distâncias 
 
 
Medidas de Distâncias 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Medidas de Distâncias 
Medidas de Distâncias Página 2 
 
Medida de Distâncias 
 
Dentro dos objetivos de topografia de representar no papel uma porção limitada da superfície 
terrestre e o controle geométrico das obras de engenharia há a necessidade de se medir grandezas. 
As grandezas mais comuns, medidas dentro destes objetivos são os ângulos e as distâncias. 
 
A medição das distâncias pode ser feita de 02 formas: 
 
� Direta – quando o alinhamento a ser medido é percorrido e comparado com uma unidade de medida, 
determinando-se quantas vezes que esta unidade está contida nele Ex.: medida com trena. 
� Indireta – Neste caso, do alinhamento materializa-se apenas as extremidades e a distância é obtida através da 
medida de outras grandezas relacionadas matematicamente com a distância horizontal procurada Ex. medida 
com taqueometria e MED. 
 
Com relação à precisão das medidas os dispositivos utilizados no processo de medição de distâncias 
podem ser agrupados em 02 categorias: 
 
� Expeditos - possuem baixa precisão, sendo utilizados em levantamentos rápidos, quando se 
deseja uma avaliação com baixa precisão. 
- Estimativa visual 
- Passo médio 
- Odômetro 
- Taqueometria 
- Cadeia de agrimensor 
� Precisos - nesta categoria estão inseridos os equipamentos de precisão usuais de Topografia: 
- Trena 
- Distanciometro (MED) 
 
A estimativa visual é uma característica inata do ser humano, sendo fundamentada na capacidade de avaliação 
de comprimentos, facilitada, sobretudo, quando o objetivo da medição é estabelecer a comparação entre 
alinhamentos próximos, 
 
O passo médio está fundamentado no fato de que cada pessoa ao andar percorre um comprimento mais ou 
menos constante. Este comprimento quando conhecido pode ser usado para avaliação de distâncias, ou seja, 
percorre-se o alinhamento a ser medido, determinando-se o número de passos que foram dados para se percorrer 
o alinhamento. O comprimento do alinhamento será dado pelo número de passos vezes o valor do passo médio. 
 
 
O valor do passo médio pode ser determinado percorrendo-se uma distância conhecida materializada no 
terreno, por exemplo, marca-se 100m no terreno, percorre-se esta distância no mínimo umas 03 vezes, 
em cada uma delas conta-se o numero de passos dados. O passo médio será obtido pela divisão da 
distância percorrida pela média do número de passos dados nas vezes que a distância foi percorrida, ou 
seja: 
 
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Topografia 1 - Medidas de Distâncias 
Medidas de Distâncias Página 3 
 
 Pm = d / n 
 
 Onde: Pm = passo médio 
 d = distância percorrida 
 n = média do número de passos dados 
 
O Hodômetro é um instrumento que faz o registro do número de voltas dado por uma roda. O mais conhecido é 
aquele utilizado nos veículos automotores. Conhecido o raio da roda e conseqüentemente o seu arco, o 
Hodômetro acumula mecanicamente ou digitalmente este comprimento de arco a cada volta dada num percurso, 
medindo o comprimento do alinhamento percorrido. O erro nas medidas depende das irregularidades do terreno. 
Nos veículos automotores a precisão nominal varia de 100 a 1000m, mas existem hodômetros adaptáveis a outros 
tipos de rodas com leituras de decímetros. 
 
A Taqueometria é o processo que permite obter rapidamente a distância e a diferença de nível entre dois pontos. 
Esta determinação é feita através da medida de ângulos e distâncias verticais. O termo taqueometria é originário 
do grego: takhys (rápido) e metren (medida) significando a medida rápida de distância. 
 
O principio estadimétrico está baseado na semelhança de triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D/d = SI/ab, ou seja, D = d/ab x SI 
Mas d/ab = 100 (constante adotada pelos fabricantes de teodolitos) e SI é a diferença entre o fio superior e o 
inferior. Então D = 100 SI 
 
Quando a linha de visada é inclinada o principio de funcionamento é o mesmo acima, e as medições são feitas 
com teodolitos de fios reticulares ou estadimétricos sendo 01 vertical e 03 horizontais igualmente espaçados (S, M, 
I) 
 
 
 
 
 
 
 
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Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Medidas de Distâncias 
Medidas de Distâncias Página 5 
 
Feita a leitura na mira dos 03 fios reticulares e do ângulo vertical Z a distância horizontal D é obtida por: 
 
 D = k. S sen2 Z, onde 
 
 K = constante estadimétrica = 100 (por construção do aparelho) 
 S = diferença entre o fio superior e o inferior 
 Z = ângulo zenital medido 
 
No caso de teodolitos com ângulos verticais de inclinação (com zero no horizonte) D = K. S. cos 2 αααα 
Onde αααα é o ângulo de inclinação. 
 
A cadeia de agrimensor pode ser considerada uma ancestral da trena atual, na medida em que possuía a 
mesma função e modo de operação. A cadeia é constituída por uma série de elos de ferro, geralmente com 20 cm 
de comprimento unido entre si por argolas também de ferro formando uma cadeia ou corrente. Possuíam 
comprimento de 10, 20 ou 30 metros. Nas extremidades possuíam elos maiores (punhos) para facilitar o estica 
mento. Este equipamento se encontra em desuso devido à baixa precisão e, sobretudo pela dificuldade de 
manuseio. 
 
A trena é o equipamento mais usual na medida de distância empregado atualmente. No Brasil há registros do 
emprego de diversos materiais na confecção de trenas que vão desde lona, seda e linho com malha metálica. 
Atualmente os materiais mais usados são o aço, a fibra de vidro e em pequena escala o invar. (aço+níquel). 
 
A precisão das medidas efetuadas com trena está associada à precisão nominal da trena (função do coeficiente de 
dilatação do material) e dos erros acidentais cometidos. 
 
Os erros acidentais inerentes ao processo de medida de distâncias com trena são: 
 
- Falta de horizontalidade - As medidas em topografia devem ser feitas sempre na 
horizontal, pois a topografia trabalha no plano topográfico, considerando a Terra 
plana. Neste caso deve-se buscar sempre medidas com balizas na vertical e a trena 
na horizontal; 
- Catenária – a catenária é a curva formada pela trena, presa nas extremidades e 
submetida à forca da gravidade (a popular “barriga”) A medida nestas condições é 
maior que a real. A minimização do efeito da catenária nas distância é feito 
aplicando-se uma força nas extremidades da mesma, ou seja, é preciso “esticar” a 
trena; 
- Falta de alinhamento - este ocorre quando o alinhamento a ser medido é maior que 
a trena utilizada, sendo necessária mais de uma “trena da”. Neste caso a 
materialização de pontos intermediários no alinhamento deve ser feita precisão de 
modo a evitar os desvios, ou seja, cada “trena da” feita num alinhamento diferente e 
não sobre o alinhamento a ser medido. O controle deste erro pode ser feito através da 
definição do alinhamento com uma habilidade durante as medições ou através de 
balizamento. O balizamento é feito com no mínimo 03 pessoas portando balizas, 
sendo 02 nas colocadas nas extremidades e a terceira no ponto intermediário. De 
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Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOPTopografia 1 - Medidas de Distâncias 
Medidas de Distâncias Página 6 
 
uma das extremidades um observador controla o movimento da baliza intermediária 
de modo que a sua imagem coincida com as balizas das extremidades. Quando isto 
acontecer à medida pode ser feita; 
- Desvio vertical das balizas – Este erro pode ser contornado com a colocação de 
níveis de bolha (de cantoneira) nas balizas utilizadas nas medições. O nivelamento 
das bolhas garante a verticalidade das balizas. 
 
Os distanciometros ou medidores eletrônicos de distâncias (MED) são equipamentos que permitem medir 
distância enviando uma onda eletromagnética (luz visível, laser ou infravermelho) a um prisma refletor e 
recebendo esse sinal de volta. A distância é obtida a partir de um número inteiro de comprimentos de onda mais 
uma diferença de fase (entre a onda recebida e emitida) medida no equipamento. Em outros termos mede-se o 
tempo que a onda levou para ir e voltar, como se tem a sua velocidade, obtém-se o espaço. 
O distanciometro surgiu entre 1947 e 1957 sendo comercializado a partir dos anos 60 estando hoje incorporados 
nos teodolitos formando o que se chama de estação total ou Total Station (TS). 
 
O alcance das visadas é função da onda portadora, e da quantidade de prismas utilizados, Os tipos de 
ondas utilizados são: 
- Luz comum - tem propagação retilínea mas penetração atmosférica fraca, tendo o 
alcance na faixa de 300 a 500m para um prisma e de 1000m para 3 prismas; 
- Infravermelho – tem propagação retilínea e boa penetração atmosférica, são os mais 
comuns. Tem um alcance na faixa de 2,5Km a 7,5 km para um prisma; 
- Laser – tem baixa dispersão e em condições favoráveis possui alcance até 40 a 60 
km; 
- Microonda - possui propagação quase retilínea, mas possui uma penetração baixa. 
Tem alcance variado em função do comprimento de onda podendo chegar a 200 km. 
 
A precisão dos distanciometros é expressa por dois números na forma (a+ b). O primeiro, em milímetros, indica um 
termo constante (constante aditiva) e o segundo, em partes por milhão indica o erro dependente da distância (fator 
escala) a precisão de um levantamento é dada então por: 
 
P = a + b.s 
 
Os equipamentos atuais possuem precisão de (5mm + 5ppm) para usos em levantamento topográficos 
gerais, (3mm + 2ppm) para topografia de precisão e (1mm + 1ppm) para trabalhos mais apurados como 
controle de deslocamentos e calibração de bases de aferição de equipamentos. 
 
 
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Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 1 
 
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Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
Exercícios 
Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
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Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 2 
 
 
1ª QUESTÃO 
O mapeamento sistemático do Brasil, que compreende a elaboração de documentos topográficos, é 
feito na projeção UTM (Projeção Universal Transversa de Mercator). E corresponde a mapas, cartas e 
plantas em escalas padronizadas.No que diz respeito a este mapeamento podemos afirmar ser V 
(verdadeiro) ou F (Falso) de forma comentada: 
 
 
Se as coordenadas UTM, medidas na planta de PETROLINA (sudoeste de PE) da UNIVASF no canto 1 
do muro do Bloco H é respectivamente N=9009254m E=272140m e do outro canto 2 deste muro é de 
N=9009214m E=272140m. 
 
a) Este muro, situado entre os cantos 1 e 2, mede aproximadamente 40 m de extensão. 
b) O azimute do muro entre cantos 1 e 2 é de 160° 40’. 
c) O receptor de navegação GPS que determinou estas coordenadas registraria o fuso UTM 23 e a 
coordenada longitude deste Meridiano Central do fuso é 39ºW Greenwitch no Sistema 
Geodésico Brasileiro oficial SAD69. 
d) As coordenadas geodésicas (latitude e longitude) destes cantos de muro seriam, aproximadamente, 
conforme, mapa acima, de latitude= 8º S e longitude 39º W no Sistema Geodésico Brasileiro oficial. 
 
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Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 3 
 
 
2
ª QUESTÃO 
O mapeamento sistemático do Brasil, que compreende a elaboração de documentos topográficos, é 
feito na projeção UTM (Projeção Universal Transversa de Mercator). E corresponde a mapas, cartas e 
plantas em escalas padronizadas. No que diz respeito a este mapeamento podemos afirmar ser V 
(verdadeiro) ou F (Falso) de forma comentada: 
 
 
Se as coordenadas UTM, medidas na planta UNIBASE da UNICAP no canto 1 do muro do Bloco G é 
respectivamente N=9109254m E=292140m e do outro canto 2 deste muro é de N=9109214m 
E=292170m 
a) Este muro, situado entre os cantos 1 e 2, mede aproximadamente 50 m de extensão. 
b) O azimute do muro entre cantos 1 e 2 é de 60° 40’. 
c) O receptor de navegação GPS que determinou estas coordenadas registraria o fuso UTM 25 e a 
coordenada longitude deste Meridiano Central do fuso é 39ºW Greenwitch no Sistema 
Geodésico Brasileiro oficial SAD69. 
d) As coordenadas geodésicas (latitude e longitude) destes cantos de muro seriam, aproximadamente, 
conforme, mapa acima, de latitude= 8º S e longitude 36º W no Sistema Geodésico Brasileiro oficial. 
 
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Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 4 
 
 
3ª QUESTÃO 
O mapeamento sistemático do Brasil, que compreende a elaboração de documentos topográficos, é 
feito na projeção UTM (Projeção Universal Transversa de Mercator). E corresponde a mapas, cartas e 
plantas em escalas padronizadas. No que diz respeito a este mapeamento podemos afirmar ser V 
(verdadeiro) ou F (Falso) de forma comentada: 
 
 
Se as coordenadas UTM, medidas na planta cadastral da UFPE, campus Caruaru, no canto 1 do muro 
do Bloco F é respectivamente N=9109294m E=167140m e do outro canto 2 deste muro é de 
N=9109214m E=167140m. 
a) Este muro, situado entre os cantos 1 e 2, mede aproximadamente 50 m de extensão. 
b) O rumo do muro entre cantos 1 e 2 é 0° 00’ NE ou rumo norte. 
c) O receptor de navegação GPS que determinou estas coordenadas registraria fuso UTM 25 e a 
coordenada longitude deste fuso é 39ºW Greenwitch no Sistema Geodésico Brasileiro oficial 
SAD69. 
d) As coordenadas geodésicas (latitude e longitude) destes cantos de muro seriam, aproximadamente, 
conforme, mapa acima, de latitude= 4º S e longitude 39º W no Sistema Geodésico Brasileiro oficial. 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 5 
 
 
4
ª QUESTÃO 
O mapeamento sistemático do Brasil, que compreende a elaboração de documentos 
topográficos, é feito na projeção UTM (Projeção Universal Transversa de Mercator). E o 
memorial descritivo é peça fundamental para a elaboração da escritura do lote ou em 
uma área no RI- Registro de Imóveis. Um engenheiro recebe a planta de uma área no 
CABO DE SANTO AGOSTINHO-PE e junto o memorial que em parte está abaixo: 
 
DESCRIÇÃO 
NORTE: RUA TREZE 
SUL: RUA DOZE 
LESTE: RUA PROJETADA 
OESTE: LOTES 08 E 27 
 
Inicia-se se no marco denominado 'P1' no canto do muro, georreferenciado no 
Sistema Geodésico Brasileiro, DATUM – SAD 69, MC-33°W, coordenadas Plano 
Retangulares Relativas, Sistema UTM: E= 284847.515 m e N= 9082329.241 m 
dividindo-o com a RUA PROJETADA;Daí segue confrontando com RUA PROJETADA 
com o azimute de 185°15'00" e a distância de 72.00 m até o marco ou canto do muro 
'P2' (E=284840.927 m e N=9082257.543 m); 
 
 
Responda as questões abaixo, justificando-a e usando as coordenadas, sistema UTM, 
dos cantos P1 e P2: 
 
a) A razão deste muro, situado entre os cantos 'P1' e 'P2', mediu 72.00 m de 
extensão conforme o texto 
 
b) O azimute do muro entre cantos 'P1' e 'P2' ser ... com o azimute de 185°15' 00" 
conforme o texto. 
c) O receptor de navegação GPS que determinou estas coordenadas de P1 e P2 registraria fuso 
UTM 24 e a coordenada longitude do MC - Meridiano Central deste fuso é 33ºW Greenwitch no 
Sistema Geodésico Brasileiro oficial SAD69. 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 6 
 
 
5
ª QUESTÃO 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 7 
 
 
6
ª QUESTÃO 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Sistema de Coordenadas UTM 
 
 
Sistema de Coordenadas UTM Página 8 
 
 
7ª QUESTÃO 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 1 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
 
Exercícios de Azimutes, Rumos 
e Estaqueamento 
 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 2 
 
 
1ª Questão 
 
O croqui abaixo se refere a uma poligonal levantada por bússola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que: 
AZAB = 45º 
AZBC = 25º 
AZCD = 315º 50’ 
AZDE = 226º 50’ 
AZEA = 157º 
Indicar no croqui a direção norte e calcular os ângulos internos do polígono. 
 
2ª Questão 
 
O croqui abaixo se refere a um terreno urbano levantado para projeto de um edifício residencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que: 
AZ12 = 210º 20’ AZ23 = 280º 
AZ34 = 309º 20’ AZ45 = 45º 58’ 
AZ 51 = 140º 40’ 
 
Direção Nascente: 60º NE e Direção do vento dominante: 45º SE 
Indique no croquis a direção nascente e a do vento dominante e calcule os ângulos internos e os rumos 
dos lados do polígono. 
 
 
 
 
A 
E 
D 
B 
C 
4 
1 
2 
3 
5 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 3 
 
3ª Questão 
 
Um engenheiro precisa medir os ângulos internos de um terreno urbano, murado, com 06 lados e com 
área de cerca de 0,6 hectare. Verificando o equipamento disponível o mesmo percebe que só dispõe de 
uma trena de 20,00m e 02 balizas. É possível realizar o serviço? Se for, estabeleça um passo a passo 
para a sua realização. 
 
4ª Questão 
 
O croqui abaixo refere-se a lote de um distrito industrial, levantado para o projeto de uma fábrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo as coordenadas dos vértices 1 e 5 medidas com GPS tem os seguintes valores: 
 
Vértice N (m) E (m) 
1 11.789,455 12.890,450 
5 11.940,099 12.803,476 
 
Indique no croqui a direção norte e calcule os rumos dos lados externos do terreno. 
 
5ª Questão 
 
O terreno abaixo foi levantado visando a elaboração de um projeto de um shopping. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
123,0
1 2 3 
4 
5 6 
123,00 
123,0
123,0 189,0
189,0
2 
3 4 
5 
6 
1 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 4 
 
Após a realização das medições foram obtidas as seguintes dados: 
 
LLaaddoo RRuummoo 
12 27º 35’ 35” NW 
23 39º 09’ 30” NE 
34 11º 00’ 17” NW 
45 73º 37’ 32” NE 
56 14º 48’ 38” SE 
61 70º 02” 47” SW 
 
Para projeto do shopping o terreno foi dividido em duas partes pela diagonal 3-6. O prédio foi previsto 
na parte sul desta divisão e o estacionamento na parte norte. Sabendo que a direção nascente tem um 
rumo de 80º NE e a direção do vento um rumo de 85º SE, 
indique no croqui a direção norte, a direção do vento e a direção nascente e calcule os azimutes dos 
lados externos do estacionamento. 
 
6ª Questão 
O croqui abaixo se refere a uma poligonal levantada com estação total. Para orientação do levantamento 
foram medidas com GPS as coordenadas UTM de 02 vértices. De acordo com os dados mostrados 
indique no croquís a direção norte e calcule os rumos de todos os lados da poligonal. 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas UTM 
 
Ângulos internos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7ª Questão 
 
No projeto de duplicação da BR-101 PB está prevista a passagem e a conseqüente desapropriação de 
uma área da Terra Indígena Monte–Mor. O trecho a ser desapropriado situa-se no lado esquerdo, entre 
as estacas 1.472+11,50 e 1.541+ 6,30. A largura média da faixa é de 34,00m. Sabendo que neste trecho 
há uma igualdade de estaqueamento: Est. 1.500 + 0,00 = Est. 1.501 + 2,00, Calcule quantos hectares 
serão desapropriados. 
 
 
Vértice N(m) E(m) 
A 9.650.801 284.313 
B 9.650.760 284.395 
â 97º 58’ 30” 
b 91º 52’ 10” 
c 89º 48’ 20” 
d 116º 01’ 35” 
e 144º 19’ 25” 
A 
B 
C 
D 
E 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 5 
 
8ª questão 
 
Os O croqui abaixo se refere a um terreno urbano levantado por GPS 
Os dados obtidos no campo foram: 
 
Vértice N ( m) E ( m) 
1 80,00 205,10 
2 198,50 210,40 
3 230,40 303,30 
4 61,00 330,80 
 
a) Indique no croqui a direção norte 
b) Calcule a área do terreno em m
2 
 
c) Calcule o comprimento do muro necessário para fecha-lo. 
 
Sabendo que na região o vento dominante tem a direção NE, e que uma diretriz do projeto é evitar a 
carga de poluição pela fumaça e odores, trazidos pelo vento, na área urbana da cidade, indique qual das 
áreas é a mais adequada para o aterro e determine também qual das áreas é a mais distante do centro da 
cidade. 
 
9ª Questão 
 
O croqui abaixo se refere a uma poligonal utilizada no levantamento de uma faixa de terreno para o 
projeto de uma adutora num projeto de irrigação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo ainda que: 
 
Vértice N (m) E (m) 
1 2.510,2000 1.102,4000 
2 2.276,0942 1.081,9184 
5 1.329,8407 495,7216 
6 1.009.8461 271,0342 
 
Responda: 
a) O tipo de poligonal utilizada. Justifique a escolha 
b) Determine o erro angular cometido 
c) Qual deve ser o comprimento do lado 45 para que o 
 erro linear seja igual a zero? 
d) Utilizando a distancia calculada no item C, e sabendo 
 que a área a ser irrigada tem como perímetro os vértices 
 2,3,4,5 e aux1, determine a quantidade de hectares a serem 
 irrigados. 
Aux.1 
1 
3 
2 
 4 
 5 
6 
210º 20’ 10” 
169º 42’ 50” 
190º 00’ 
40” 
180º 00’ 
 90º 
300,00 
375,60 
549,00 
1 
2 
3 
4 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 6 
 
10ª Questão 
 
O croqui abaixo se refere a uma área levantada por GPS. 
Os dados obtidos no campo foram os seguintes: 
VVéérrttiicceeNN((mm)) EE ((mm)) 
1 102,50 566,10 
2 35,70 820,40 
3 176,00 810,00 
4 260,10 730,60 
5 295,60 520,30 
Arvore 1 112,00 652,10 
Arvore 2 246,00 663,00 
Arvore 3 110,00 770,00 
 
Supondo que o terreno seja dividido pela diagonal 52 calcule as áreas de cada lado da diagonal e indique 
quais as árvores ficarão de cada lado do terreno. 
 
 
11ª Questão 
 
No projeto de Restauração da BA-263, no trecho entre as cidades de Firmino Alves e Ibicarai foi prevista a 
construção de sarjetas revestidas de concreto em alguns segmentos de corte. Os segmentos e os lados estão 
listados abaixo: 
 
Estaca Inicial Estaca Final Lado 
148 + 12,00 161 + 5,00 LD 
194 + 11,00 201 + 0,00 LD / LE 
308 + 10,00 329 + 17,00 LE 
562 + 0,80 581 + 15,00 LD 
 
Sabendo que em cada m de sarjeta serão utilizados 0,15 m
3
 de concreto e que em cada m
3
 de concreto serão 
consumidos 250 kg de cimento, calcule a quantidade de cimento (em sacos de 50 kg) necessário para a construção 
das sarjetas. 
 
12ª Questão 
 
No projeto de duplicação da BR-101 PB está previsto a construção de um viaduto na travessia urbana da cidade 
de Mamanguape. Por ser uma área urbana foi prevista nos encontros do viaduto a construção de muros de arrimo 
de terra armada. O viaduto começa na Estaca 2004 + 7,00 e tem 72,00 de extensão. No lado esquerdo da pista o 
muro de arrimo terá 274,00m de extensão antes do viaduto e 262,00m após a obra. No lado direito o muro terá 
uma extensão de 261,00m antes da obra e 283,00m após o viaduto. Indique o estaqueamento de início e fim dos 
04 trechos do muro. 
 
 
13ª Questão 
 
No projeto de duplicação da BR-101 PB está prevista a passagem e a consequente desapropriação de uma área da 
Terra Indígena Monte–Mor. O trecho a ser desapropriado situa-se no lado esquerdo, entre as estacas 1.472+11,50 
e 1.541+ 6,30. A largura média da faixa é de 34,00m. Sabendo que neste trecho há uma igualdade de 
estaqueamento: Est. 1.500 + 0,00 = Est. 1.501 + 2,00, Calcule quantos hectares serão desapropriados. 
 
 
1 
2 
3 4 
5 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 7 
 
14ª Questão 
 
O croquis abaixo é da intersecção da Rodovia BA-210 com o acesso a Cidde de Glória. As linhas mostradas são 
os eixos das pistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No projeto de sinalização deste trecho está prevista a colocação de 03 pórticos e 06 placas indicativas. 
Observando os sentidos do tráfego o pórtico deve ser construído a 450m antes da intersecção e as placas 
indicativas serão colocadas a 350 e 250m antes da intersecção. Indique o estaqueamento dos pórticos e das placas 
colocados na rodovia e no acesso. 
 
15ª Questão 
 
Na duplicação da BR–101 está prevista a construção de 02 passarelas para pedestres. Na primeira, situada na 
estaca 467+10,00, está previsto a utilização de 240m
3
 de concreto e 650m2 de formas. Na segunda, situada na Est. 
710+15,00, serão utilizados 320m
3
 de concreto e 820m
2
 de formas. O concreto a ser utilizado será fabricado numa 
usina situada a 200m da Est. 600 +15,00. As formas serão fabricadas num canteiro situado a 4,7 km da Est. 620. 
Calcular a distancia média de transporte (ponderada) do concreto e das formas. 
 
16ª Questão 
 
O croquis abaixo é da interseção da Rodovia BA-210 com o acesso a cidade de Glória. As linhas mostradas são 
os eixos das pistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No projeto de sinalização deste trecho está prevista a colocação de 03 pórticos e 06 placas indicativas. 
Observando os sentidos do tráfego o pórtico deve ser construído 350m antes da interseção e as placas indicativas 
serão colocadas a 250 e 150m antes da interseção. Indique o estaqueamento dos pórticos e das placas colocados 
na rodovia e no acesso. 
 
 
Paulo Afonso 
 
Est 0 + 0,00 
Est.323 + 15,00 
Est 152 + 19,00 
Gloria 
Itaparica 
 
Est 1602 +13,78 
Est 0 + 0,00 
Paulo Afonso 
Est. 323 +15,00 
= Est 0 + 0,00 Itaparica 
Est 1602+13,78 
Est 152+19.00 
Glória 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 8 
 
17ª Questão 
 
Na Duplicação da BR -101 PB está previsto o alargamento da ponte sobre o Rio Camaratuba. O inicio da ponte é 
na Estaca 1.815+7,90 e a mesma possui 67,60m de comprimento. Para as obras do alargamento tem que ser 
previsto a colocação de placas e cavaletes de sinalização de obra nos 02 sentidos do tráfego. Serão colocadas 03 
placas: a 150, 250 e a 350m da ponte e um cavalete a 75m. Determine a estaca de cada placa e a de cada 
cavalete. 
 
18ª Questão 
 
Na duplicação de uma rodovia foi prevista a construção de um belvedere numa área situada às margens da 
rodovia no trecho entre as estacas 179+12,30 e 194+5,40 e com uma largura média de 36,00m. Iniciadas as obras, 
alterou-se o projeto reduzindo em 65,00 no seu comprimento. Determine a nova área do belverdere(m
2
) e a nova 
estaca do final. 
 
19ª Questão 
 
O croquis abaixo se refere eixos de ruas num projeto de pavimentação e urbanização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que a Avenida tem 14,00m de largura e será revestida com 5,0 cm de espessura de CBUQ, as ruas tem 
7,00m e serão pavimentadas com paralelepípedos e que nas laterais da avenida e das ruas será construída uma 
calçada de 2,00m de largura. Calcular o volume de CBUQ necessário, a área de paralelo e a área das calçadas. 
Considerar um raio de 6,00m na entrada das ruas. 
 
20ª Questão 
 
No projeto ambiental de uma rodovia está prevista a recuperação das áreas laterais da estrada, usadas para 
exploração de material, com a colocação de terra vegetal e a plantação de mudas de espécies nativas. A 
localização das áreas e a largura média de cada uma constam no quadro abaixo: 
 
Estaca Inicial Estaca Final Largura média(m) 
24+12,50 36+1,20 42,10 
169+18,00 181+19,10 35,30 
252+0,70 281+15,00 23,50 
 
Sabendo que a camada de terra vegetal terá uma espessura média de 25cm e que será plantada uma muda a cada 
25m
2
 determine o nº de mudas e o volume de terra vegetal necessário para a recuperação de todas as áreas, 
Est 223+13,10 
Rua 100 
Rua 200 
Rua 300 
Rua 400 
Est.31+17,00 
=Est. 408+13,00 
 Avenida 
Est. 9+7,00 
= 210+14,00 
Est. 0+3,50+ 
=Est. 112+13,00 
 
Est. 325+0,00 
Est. 421+4,00 
Est. 122+9,00 Est. 100 +5,00 
Est. 200 +0,00 
Est. 300 +0,00 
Est. 21+7,00 
=Est. 310 +13,50 
Est. 400 +0,00 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 9 
 
 
Gabaritos 
1ª Questão 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 10 
 
2ª Questão 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 11 
 
3ª Questão 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
 
4ª Questão 
 
Passo 1 - Marcar nos lados de cada vértice do terreno uma distância (d) constante usando a trena 
disponível, formando dessa forma um triângulo isósceles, com os dois lados de dimensão conhecidos e 
um ângulo a definir. Sendo o procedimento repetido para todos os vértices da Poligonal a ser levantada.
 
Passo 2 - Em seguida medir a distância 
medidas nos lados do vértice da 
procedimento repetido para todos os vértices da Poligonal a ser levantada.
 
Passo 3- Utilizar a Equaçãoconforme indicado abaixo
representa o terreno a ser levantado;
 
 
Universidade Católica de Pernambuco 
LABTOP 
Rumos e Estaqueamento 
Marcar nos lados de cada vértice do terreno uma distância (d) constante usando a trena 
orma um triângulo isósceles, com os dois lados de dimensão conhecidos e 
um ângulo a definir. Sendo o procedimento repetido para todos os vértices da Poligonal a ser levantada.
eguida medir a distância (D) entre as extremidades das duas distância
a poligonal (distância = d), usando a trena disponível. Sendo o 
procedimento repetido para todos os vértices da Poligonal a ser levantada. 
Utilizar a Equação conforme indicado abaixo para deter ninar os ân
; 
Página 12 
Marcar nos lados de cada vértice do terreno uma distância (d) constante usando a trena 
orma um triângulo isósceles, com os dois lados de dimensão conhecidos e 
um ângulo a definir. Sendo o procedimento repetido para todos os vértices da Poligonal a ser levantada. 
distâncias anteriormente 
ância = d), usando a trena disponível. Sendo o 
ngulos da poligonal que 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 13 
 
5ª Questão 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Azimutes, Rumos e Estaqueamento 
 
Azimutes, Rumos e Estaqueamento Página 14 
 
 
6ª Questão 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 1 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
 
Exercícios de Planimetria 
 
Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
PARTE 1 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 2 
 
 
Teoria Sobre Coordenadas Planas Retangulares 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 3 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 4 
 
 
 
 
 
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1-Exercício 
 
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2-Exercício
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3-Exercício
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4-Exercício 
 
No projeto para construção de uma linha de transmissão de energia elétrica entre as cidades de 
Parnarama/MA e Teresina (PI) está previsto a desapropriação de uma faixa de terreno com 200,00m 
de largura ao longo de toda a extensão da linha. Na passagem pelo município de Nazária(PI) a faixa a 
ser desapropriada atinge uma gleba rural conforme mostra a figura abaixo. Com base na figura 
mostrada e nos dados constantes no quadro abaixo calcule: 
 
 Coordenadas do terreno que corresponde a gleba rural (Vértices 1,2,3,4,5 e 6) 
Ponto Este (m) Norte (m) 
1 220.810,00 9.110.755,00 
2 220.325,10 9.110.424,50 
3 220.224,00 9.110.657,20 
4 220.342,60 9.110.750,00 
5 220.315,10 9.110.928,90 
6 220.538,40 9.111.171,20 
 
a) Calcule os azimutes dos lados 1_2, 2_3 e 1_6 da gleba rural 
b) Calcule as coordenadas dos pontos F1, F2, F3 ,F4 e do ponto A 
c) Calcule a área a ser desapropriada (hachurada), em hectares 
d) Sabendo que o eixo da faixa de servidão passa pelo vértice 2 e nesse ponto ele corresponde a Est 
11.126+18,00 calcule qual a estaca correspondente ao ponto A (interseção do eixo com o lado 16 
da gleba 
A 
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5-Exercício 
 
No projeto para construção de uma linha de transmissão de energia elétrica entre as cidades de 
Parnarama/MA e Teresina (PI) está previsto a desapropriação de uma faixa de terreno com 200,00m 
de largura ao longo de toda a extensão da linha. Na passagem pelo município de Nazária(PI) a faixa a 
ser desapropriada atinge uma gleba rural conforme mostra a figura abaixo. Com base na figura 
mostrada e nos dados constantes no quadro abaixo calcule: 
 
 Coordenadas do terreno que corresponde a gleba rural (Vértices 1,2,3,4,5 e 6) 
Ponto Este (m) Norte (m) 
1 220.810,00 9.110.755,00 
2 220.325,10 9.110.424,50 
3 220.224,00 9.110.657,20 
4 220.342,60 9.110.750,00 
5 220.315,10 9.110.928,90 
6 220.538,40 9.111.171,20 
 
a) Calcule os azimutes dos lados 1_2, 2_3 e 1_6 da gleba rural 
b) Calcule as coordenadas dos pontos F3, F4 e do ponto A 
c) Calcule a área remanescente da gleba no lado esquerdo da faixa de servidão (área hachurada) 
d) Sabendo que o eixo da faixa de servidão passa pelo vértice 2 e nesse ponto ele corresponde a Est 
11.126+18,00 calcule qual a estaca correspondente ao ponto A (interseção do eixo com o lado 16 
da gleba 
A 
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A = 11,153Hectares 
 
 
 
 
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6-Exercício 
 
No projeto para construção de uma linha de transmissão de energia elétrica entre as cidades de 
Parnarama/MA e Teresina (PI) está previsto a desapropriação de uma faixa de terreno com 200,00m de 
largura ao longo de toda a extensão da linha. Na passagem pelo município de Nazária (PI) a faixa a ser 
desapropriada atinge uma gleba rural conforme mostra a figura abaixo.Com base na figura mostrada e nos 
dados constantes no quadro abaixo calcule: 
 
Coordenadas do terreno que corresponde a gleba rural (Vértices1,2,3,4,5 e 6) 
Ponto Este (m) Norte (m) 
1 211.837,00 9.109.022,00 
2 211.727,00 9.109.598,00 
3 211.981,00 9.109.598,00 
4 212.019,00 9.109.453,00 
5 212.194,00 9.109.407,00 
6 212.327,00 9.109.105,00 
 
e) Calcule os azimutes dos lados 12 e 16 da gleba rural 
f) Calcule as coordenadas dos pontos F1 e F2 
g) Calcule a área remanescente da gleba no lado esquerdo da faixa de servidão (área hachurada) 
h) Sabendo que ao longo do eixo da faixa de servidão, que passa pelo vértice 2, será implantado um 
estaqueamento. No ponto P5 ele corresponde a Est 531+12,25 calcule as estacas correspondentes ao 
ponto F6 
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7-Exercício 
 
 
a) 
b) 
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8-Exercício 
 
 
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9-Exercício 
A figura abaixo mostra uma área, ás margens de uma rodovia que será duplicada. No projeto de duplicação da via está previsto o uso 
dessa área para construção do acampamento da obra. Para a construção do acampamento na área mostrada deverá ser feita o 
desmatamento da mesma e construída uma cerca de arame no seu perímetro. O projeto ambiental prevê, como compensação 
ambiental, que para cada um hectaredesmatado deverá ser repuperado 2 hectares da mara ciliar de uma rio próximo desta área. 
Sabendo que no levantamento topográfico da área foram obtidos os seguintes dados: 
 
Dados: Coordenadas dos pontos A: EA= 2.640,90m e NA=4.090,60m; Ângulos internos: αB=105
0
30’ e αC=89
0
40’; Rumo do lado AB: RA_B = 
85
0
40’SE 
 
a) Os azimutes dos lados BC e CD 
b) As coodenadas dos vértices B, C e D 
c) A área da mata ciliar a ser recuperada (em hectares) 
d) Se for criado um estaqueamento no perímetro da área iniciando no vértice A na estaca Est. 500+12,50 e considerando as distâncias 
indicada no desenho abaixo, qual deverá ser as estacas dos vértices B, C e D. 
 
 
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10-Exercício
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11-Exercício 
 
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12-Exercício 
 
A figura abaixo mostra o eixo de projeto de um canal atravessando um terreno (pontos 1, 2, 3 e 4) onde 
será executado um projeto de urbanização incluindo a pavimentação das ruas, revestimento do canal e 
casas para famílias de baixa renda. 
 
Sabendo que: 
Ponto Este (m) Norte (m) 
A 373.891,84 9.311.455,56 
B 374.105,32 9.311.314,26 
C 374.185,37 9.311.261,28 
D 374.194,14 9.310.884,38 
E 374.248,77 9.310.819,27 
F 374.415,90 9.310.620,10 
αD = 218°39'54" 
Distância B_1 = 461,95m 
Distância C_D = 377,00m 
 
Calcule o que se pede abaixo: 
 
a) Calcule as estacas dos pontos B, C, D, E e F. 
 
b) Quantidade de concreto que será usado no revestimento do canal, sabendo que o consumo previsto é de 
0,86m³ /m, como também observando que existe uma igualdade no ponto "I" entre os pontos C e D, 
correspondente a Est. 125+18,90 = Est. 131+11,60. 
 
c) Calcule o ângulo ααααC. 
 
d) Calcule as coordenadas dos vértices 1 e 2 do terreno. 
 
e) Calcule a quantidade de casas que poderão ser construídas considerando que uma casa terá área de 
60m² e que ocuparão a área oeste do terreno, sabendo que o terreno será dividido em duas partes a 
partir da linha que liga os pontos B e 4, e também que as coordenadas dos vértices 3 e 4 são: 
(E3=374.448,69 m; N3=9.310.972,65 m) ; (E4=374.199,74 m ; N4=9.310.763,76m). 
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Exercícios de Planimetria 
 
Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área 
 
PARTE 2 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
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13-Exercício 
 
A figura abaixo mostra parte do campus da UNICAP. Para o cálculo da área da quadra do 
bloco G foram realizados 02 levantamentos: o primeiro foi realizado com um receptor GPS 
de navegação e nele foram obtidas as seguintes coordenadas nos vértices do muro que 
circunda a área: 
Vértice N (m) E (m) 
A 9.109.168 292.125 
B 9.109.235 292.169 
C 9.109.325 292.003 
D 9.109.258 291.969 
 
O segundo levantamento foi realizado com um receptor GPS geodésico (de precisão) e 
nele foram obtidas as seguintes coordenadas dos mesmos pontos levantados no primeiro 
trabalho: 
 
Vértice N (m) E (m) 
A 9.109.174,00 292.127,00 
B 9.109.243,83 292.160,82 
C 9.109.324,76 291.993,74 
D 9.109.254,56 291.959,74 
 
 
 
 
Usando os dados acima responda as seguintes questões: 
a) Calcule o rumo do lado AB e indique na figura a direção norte ( usar os dados do GPS 
geodésico); 
b) Determine a escala da figurac) Calcule o % de diferença entre as áreas obtidas nos 02 levantamentos 
d) Dos 04 vértices qual apresenta maior deslocamento considerando como base os dados obtidos 
no levantamento com o GPS geodésico? 
e) Calcule os ângulos internos nos vértices A e B (dados GPS geodésico) 
A 
B C 
D 
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a) Rumos dos lados 
 
SEarctgR
E
N
LadoDA
SWarctgR
E
N
LadoCD
NWarctgR
E
N
LadoBC
NEarctgR
E
N
LadoAB
DA
CD
BC
AB
"57'16º64º28242505,64
56,80
26,167
26,16774,959.29100,127.292
56,8056,254.109.900,174.109.9
"32'50º25º84232165,25
20,70
00,34
00,3474,993.29174,959.291
20,7076,324.109.956,254.109.9
"19'09º64º15543885,64
93,80
08,167
08,16782,160.29274,993.291
93,8083,243.109.976,324.109.9
"30'50º25º84179148,25
83,69
82,33
820,3300,127.29282,160.292
830,6900,174.109.983,243.109.9
==
−
=
=−=∆
−=−=∆
==
−
−
=
−=−=∆
−=−=∆
==
−
=
−=−=∆
=−=∆
===
=−=∆
=−=∆
 
 
 
 
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B) Na Figura 
 
4,25 cm ---------100 m 
1 cm ------------- X 
 
5294,23
25,4
1001
==
x
X
 
 
em 1 cm ---------23,5294 m 
 1 cm ---------1.353 cm 
 
A escala é 1:2353 
 
 
b) Área 1 (GPS Navegação) 
 
 
 
 
 
 
 
364.392,00 499.375,00 
470.705,00 704.925,00 
639.925,00 516.774,00 
548.250,00 330.792,00 
2.023.272,00 2.051.866,00 
 
2
1
1
1
00,297.14
2
00,594.28
00,594.282
00,272.023.200,866.051.22
mA
A
A
==
=
−=
 
Área 2 (GPS Geodésico) 
 
 
 
 
 
 
 
375.928,68 518.526,41 
486.133,6242 701.747,9032 
636.445,1624 507.526,4544 
541.449,12 340.994,76 
2.040.010,5866 2.068.895,5276 
 
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2
2
2
2
4705,442.14
2
9410,884.28
9410,884.282
5866,010.040.25276,895.068.22
mA
A
A
==
=
−=
 
 
Variação: 
 
0101749,1
00,297.14
4705,442.14
1
2
==
A
A
 
Área 2 é maior 1,0175% que a área 1 
 
d) Cálculo dos deslocamentos 
 
Vértice A 
 
md
EEE
NNN
AGAN
AGAN
32,6)2()6(
2127.292125.292
6174.109.9168.109.9
22
=−+−=
−=−=−=∆
−=−=−=∆
 
 
Vértice B 
 
md
E
N
04,12)18,8()83,8(
18,882,160.292169.292
83,883,243.109.9235.109.9
22
=+−=
=−=∆
−=−=∆
 
 
Vértice C 
 
md
E
N
26,9)26,9()24,0(
26,974,993.291003.292
24,076,324.109.9325.109.9
22
=+=
=−=∆
=−=∆
 
 
Vértice D 
 
md
E
N
87,9)26,9()44,3(
26,974,959.291969.291
44,356,254.109.9258.109.9
22
=+=
=−=∆
=−=∆
 
O vértice que mais se deslocou foi o B (12,04 m) 
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14-Exercício 
A figura abaixo mostra uma área às margens da rodovia PE-007 que foi levantada visando a construção de uma 
base de uma empresa de telefonia celular. Na área será construído um galpão para deposito de equipamentos e 
02 torres de telefonia. No levantamento foram materializados na área os vértices dos limites do terreno e após 
os cálculos e controles foram obtidas as seguintes coordenadas retangulares deles: 
 1 2 3 4 5 6 
N(m) 9.098.484.10 9.098.229,20 9.098.163,80 9.098.129.00 9.098.187,00 9.098.337,70 
E(m) 284.114,50 284.100,00 284.208,70 284.302,90 284.402,50 284.255,10 
No projeto consta que o galpão será construído na parte do terreno situada a leste da linha 36. Das torres o 
projeto fornece as seguintes informações: 
- O centro da primeira será locado no ponto de coordenadas: N= 9.098.250,00 e E= 284.143,50; 
- A segunda deverá está situada a 100,00m da primeira, na direção 6º 50’ NE; 
 
Sabendo ainda que para a construção do galpão será necessário uma escavação no terreno, em toda a parte 
situada a leste da linha 36, com altura média de 1,30m e que o terreno será fechado com um muro de 2,50m de 
altura na parte frontal da rodovia e com uma cerca de arame farpado(10 fios) com postes de concreto no 
restante, calcule: 
- O volume de escavação necessário para a construção do galpão na área selecionada; 
- A quantidade de tijolos necessários para construção do muro sabendo que o consumo é de 25 
tijolos/m2; 
- As quantidades de postes(und.) e arame(m) necessárias para construção da cerca. 
- Os elementos de locação da primeira torre (ângulo e distancia) em relação ao vértice do terreno 
mais próximo dela; 
- As coordenadas da segunda torre; 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
6 
4 
5 
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1) Direção do Norte 
 
"21'15º183
º255765,3
90,254
50,14
50,1450,114.28400,100.284
90,25410,484.098.920,229.098.9
12
12
12
12
12
=
=
−
=
−=−=−=∆
−=−=−=∆
AZ
arctgR
EEE
NNN
R
 
 
 
2) Volume de escavação 
 
Área do Galpão: 3456 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2
763,010.2730,151,777.20
51,777.20
02,555.412
21,719.21923,274.2612
mxV
mA
A
A
==
=
=
−=
 
 
 
b)Quantidade de Tijolos 
 
Comprimento do muro: 16 + 65 
 
 
 
3º Q 
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Lado 16 
 
80,210)40,147()70,150(
40,14710,25550,402
70,15070,33700,187
65
98,202)60,140()40,146(
60,14050,11410,255
40,14610,48470,337
22
22
=+−=
=−=∆
−=−=∆
=+−=
+=−=∆
−=−=∆
d
E
N
Lado
md
E
N
 
 
 
 
Quantidade de Tijolos = (202,98+210,80) x 2,50 x 25 = 25.861,25 = 25.862 tijolos 
 
c) Poste de arame 
 
Lado 12 
42,100)20,94()80,34(
20,9470,20890,302
80,3480,16300,129
34
"01'02º121
"59'57º58º966531,58
40,65
70,108
85,126)70,108()40,65(
70,10800,10070,208
40,6520,22980,163
23
31,255)50,14()90,254(
22
23
23
22
22
=+−=
=−=∆
−=−=∆
=
==
−
=
=+−=
+=−=∆
−=−=∆
=−+−=
d
E
N
Lado
AZ
SEarctgR
d
E
N
lado
md
 
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26,115)60,99()00,58(
60,9990,30250,402
00,5800,12900,187
45
22
=+=
=−=∆
=−=∆
d
E
N
Lado
 
 
Número de postes = (255,31+126,85+100,42+115,26) = 
00,2
84,597
 
 
Nº de postes = 299 postes 
 
Arame = 597,84 x 10 = 5.978,40 m 
 
Locação da 1ª torre: 
 
Lado mais próximo: 2 
 
R23 = 58º57’59” SE 
 
22,48)50,43()80,20(
"41'26º64º444696,64
80,20
50,43
50,4300,100.28450,143.284
80,2020,229.098.900,250.098.9
22
12
12
=+=
===
+=−=∆
+=−=∆
d
NEarctgd
E
N
d
T
T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
md
RR T
22,48
"20'35º56º588889,56)(180 1223
=
==+−=α
 
 
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Coordenadas T2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40,155.284
'50º6sen00,10050,143.284cos
29,349.098.9'50º6cos00,10000,250.098.9cos
2
212112
212112
=
+=+=
=+=+=
T
TTTTT
TTTTT
E
xAzxdEE
AzxdNN
 
 
 
 
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15-Exercício 
 
A figura no verso mostra um croqui de uma área identificada como um sítio 
histórico na componente ambiental do projeto de duplicação da BR-101/PB no 
trecho entre a Divisa RN/PB e a cidade Mamanguape-PB. 
 
Como pode ser visto a área está situada às margens da rodovia e tem nos seus 
limites a faixa de domínio da rodovia (vértices 1,2 e 3) e os pontos 4 e 5 
levantados a partir do eixo de locação da referida via. 
 
Sabendo que a largura da faixa de domínio é 20,00m em relação ao eixo locado e 
que a localização no estaqueamento da rodovia dos pontos A, B, C, D e E as 
coordenadas UTM dos pontos A, C e E constam no quadro abaixo, calcule a área 
do sítio histórico em hectares. 
 
 
Vértice Estaca N(m) E(m) 
A 765+10,00 9.320.120,3200 280.650,4500 
B 767+05,00 - - 
C 775+18,00 9.319.943,9260 280.760,6732 
D 783+04,00 - 
E 787+03,00 9.319.719,0211 280.767,2173 
 
 
 
No levantamento topográfico para projeto de implantação de uma rodovia, foi 
implantada uma poligonal fechada em bases diferentes com 14 vértices. As 
medidas angulares foram feitas com Estação total (k = 5”) e as distancias 
medidas com distanciometro. Quais os erros máximos que poderiam ser cometidos 
neste trabalho? 
 
 
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1) Azimutes 
 
Lado AC 
∆N = 9.319.943,9260 – 9.320.120,3200 = -176,3940 
∆E = 280.760,6732 – 280.650,4500 = +110,2232 
 
SEarctgRAC º32
3940,176
2232,110
=
−
= 
 
 
∆ZAC = 148º 
 
 
00,208)2232,110()3940,176(
22
=+−=ACd 
 
 
Lado CE 
 
5441,66732,760.2802173,767.280
9049,2249260,943.319.90211,719.319.9
+=−=Λ
−=−=Λ
N
N
 
 
"
00`40º1º666676,1
9049,224
5441,6
==
−
= arctgRCE 
 
 
 
 
 
 
2) Distâncias 
 
 
 
 
 
 
3) Coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
md
Z
CE 00,225)5441,6()9049,224(
20º17840º1º180
22
,,
=+−=
=−=Λ
00,146184)20)775783((
00,35105)20)765767((
=−+−=
=−+−=
xd
xd
CD
AB
0362,652.280º238sen00,209972,668.280
0399,080.320.9º238cos00,206383,090.320.9
º238180270º148
9972,668.280º148sen00,354500,650.280
6383,090.320.9º148cos00,353200,120.320.9
1
1
5
=+=
=+=
=−+=
=+=
=+=
xE
N
AZ
xE
xN
B
B
B
2º Q 
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4) Área 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
haA
ou
mA
A
954153,4
53,541.49
06,083.992
2
=
=
=
 
 
14 lados 
Tolerancia angular 
"708,1814"5 ==T 
Tolerancia linear 
1 : 2000 
 
 
 
0084,555.28020º268sen2109196,764.280
8800,791.319.920º268cos00,2109878,797.319.9
9281,744.28020º268sen00,209196,764.280
4061,797.319.920º268cos00,209878,797.319.9
9196,764.28020º178sen00,1466732,760.280
9878,797.319.920º178cos00,1469260,943.319.9
20º268º18027020º178
7122,743.280º238sen00,206732,760.280
3276,933.319.9º238cos00,209260,943.319.9
º238
7122,743.280º238sen00,1899972,668.280
4236,990.319.9º238cos00,1896383,090.320.9
,
4
,
4
,
3
,
3
,
,
,,
4
2
2
52
5
5
=+=
=+=
=+=
=+=
=+=
=+=
=−+=
=+=
=+=
==
=+=
=+=
xE
xN
xE
xN
xE
xN
AZ
xE
xN
AZAZ
xE
xN
D
D
D
BC
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16-Exercício 
A figura abaixo se refere a uma área na parte central da cidade de Nova Iorque, no 
Estado do Maranhão. Esta cidade foi planejada, por de ter sido relocada em função da 
construção da barragem de Boa Esperança no Rio Parnaíba. A área em destaque foi 
destinada originalmente para a construção de um edifício para a prefeitura. Em vista do 
crescimento da cidade a prefeitura resolveu dividir a área e construir um centro esportivo 
na parte situada a oeste da linha 14. 
De um levantamento topográfico da área foram obtidas as seguintes coordenadas 
retangulares dos vértices de contorno da área: 
 
Vértice N(m) E (m) 
1 9.550.280 220.368 
2 9.550.200 220.365 
3 9.550.094 220.448 
4 9.550.086 220.540 
5 9.550.229 220.550 
6 9.550.282 220.500 
 
Baseado nas informações acima, responda as questões abaixo: 
 
a) Determine a escala da figura 
b) Calcule o Rumo do lado ___ e Indique na figura a direção norte 
c) Calcule a área destinada ao centro esportivo, em hectares 
d) Determine o comprimento do muro necessário para separar a área destinada ao 
centro esportivo da área destinada à prefeitura 
e) Se for criado um eixo de estaqueamento ao longo da linha 1234, e for adotado no 
vértice 1 a estaca 0+10,00, calcule a estaca do vértice 4 
 
. 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
127m 
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5) Lado 12 
NEarctgR
d
E
N
Lado
SEarctgR
d
E
N
Lado
SEarctgR
d
E
N
Lado
SEarctgR
d
E
N
,,,
45
22
,,,
23
22
,,,
12
22
,,,
12
22
0100º4º0002,4
143
10
35,143)10()143(
00,10540.220550.220
00,143086.550.9229.550.9
45
4901º85º0303,85
00,8
00,92
35,92)92()0,8(
00,92448.220540.220
00,8094.550.9086.550.9
34
4203º38º0616,38
106
00,83
63,134)83()106(
00,83365.220448.220
00,106200.550.9094.550.9
23
5108º2º1476,2
80
3
05,80)3()80(
00,3368.220365.220
00,80280.550.9200.550.9
===
=+=
+=−=∆
+=−=∆
==
−
+
=
=+−=
+=−=∆
−=−=∆
==
−
=
=+−=
+=−=∆
−=−=∆
==
−
−
=
=−+−=
−=−=∆
−=−=∆
 
 
3ºQ 
2ºQ 
2ºQ 
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53
00,50
86,72)50()53(
00,50550.220500.220
00,53229.550.9282.550.9
56
56
22
−
=
=−+=
−=−=∆
=−=∆
arctgR
d
E
N
Lado
 
 
 
SWarctgR
d
E
N
Lado
"55'07º89º1319,89
00,2
132
01,132)132()2(
00,132500.220368.220
00,2282.550.9280.550.9
61
61
22
61
==
−
−
=
=−+−=
−=−=∆
−=−=∆
 
 
 
 
c) Cálculo da área 
 
 área 12341 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
00,715.11
00,430.232
00,208.27400,638.2972
mA
A
A
=
=
−=
 
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d) Comprimento do muro 
 
Lado 41 
 
md
E
N
27,259)172()194(
00,172368.220540.220
00,194280.550.9080.550.9
22
=+−=
=−=∆
−=−=∆
 
 
 
 
e) Comprimentos: 
 
 
 
 Cálculo na letra B 
 
 
 
98,1615
)98,615(00,100
)98,306(00,100
4
4
4
+=
+++=
++=
EV
EV
EstV
 
a) Escala da figura 
 
127m ---------4,1cm 
xm-------------1cm 
 
x=30,98m então 1cm=30,98m 
 1cm=3098cm 
 
Escala= 1 : 3980 
 
 
Lado L(m) 
12 80,05 
23 134,63 
34 92,35 
 306,98 
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17-ExercícioUNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
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18-Exercício 
 
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19-Exercício 
 
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20-Exercício 
 
A figura abaixo mostra a divisão de uma área em glebas para a utilização num projeto de irrigação. 
A disponibilidade de água na adutora (vazão) é suficiente para a irrigação simultânea de 18,0 
hectares. 
 Utilizando os dados fornecidos, calcule a área da GLEBA 01 e verifique se a vazão da adutora é 
suficiente para a irrigação simultânea das 03 glebas 
Dados: 
 
Pontos Este (m) Norte (m) 
E 215.622,6740 9.108.122,698 
F 215.605,7500 9.108.510,329 
 
Gleba Área (m²) 
1 
2 46.806,89 
3 66.467,46 
 
 
 
L 
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21-Exercício 
QUESTÃO 
No projeto de duplicação da BR-423, no trecho entre as cidades de São Caetano/PE e Águas Belas/PE, inicialmente foi 
previsto a duplicação da pista existente na passagem pela área urbana da cidade de Garanhuns/PE. Numa avaliação 
posterior foi feito um estudo para eliminar a passagem por dentro da área urbana, projetando–se um contorno pelo lado 
norte da cidade. Na figura abaixo é mostrada a situação onde pode-se ver o traçado proposto inicialmente (A1, A2, A3, A4, 
A5 e A6) e a proposta para o contorno (A1, C1, C2, C3 e A6). Com base nos dados fornecidos abaixo, responda as questões 
propostas: 
Dados: 
αC2 = 168° 56' 03" e αΑ4 = 136° 46' 28” 
Pontos Estaca E (m) N(m) 
A1 1.494+06,20 = 3.000+00,00 780.998,88 9.024.688,74 
A2 1.761+08,35 778.862,88 9.019.792,20 
A3 1.814+02,27 779.187,80 9.018.789,61 
A4 1.984+18,50 776.136,04 9.017.254,22 
A6 2.248+00,25 771.013,77 9.018.427,78 
C1 776.902,18 9.023.611,50 
C2 775.004,21 9.022.460,29 
A5 2.088+05,18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Considerando que o norte obtido pelas coordenadas é o norte verdadeiro e que a declinação magnética é de 25° 45’W 
indique na figura as direções dos nortes verdadeiro e magnético 
b) Sabendo que a área localizada entre as BR's 423, 424 e o contorno será destinada futuramente a expansão dos distrito 
industrial de Garanhuns, calcule o valor dessa área em m² 
c) Sabendo que a distância entre os vértices C2 e C3 é de 2.385,80m calcule a extensão total do contorno. 
d) Se for adotada a estaca 3.000+00,00 no início do contorno qual será a estaca dos vértices C2, C3 e a igualdade de 
estaqueamento no seu final ( vértice A6). 
e) Utilizando as coordenadas desenhe na escala de 1/25.000 a área da expansão do distrito industrial. 
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22-Exercício 
Supondo que você é o engenheiro responsável pela elaboração do projeto geométrico de uma central de 
deposição de resíduos sólidos. A central será composta de uma incineradora de resíduos e áreas para deposição 
dos resíduos incinerados e nela serão processados os resíduos sólidos (lixo) de parte das cidades da RegiãoMetropolitana do Recife. No levantamento topográfico da área foi implantada uma poligonal de exploração 
com vértices nos pontos "A" “B” e "C". Com base nos dados listados abaixo, responda as questões propostas: 
Dados: 
α3 = 149°06'36" e α4 = 286°31'06” 
 
Pontos X (m) Y (m) 
4 276.990,283 9.105.614,296 
5 277.365,345 9.105.849,464 
A 277.270,621 9.106.072,020 
B 277.137,682 9.105.867,503 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Considerando que o norte obtido pelas coordenadas é o norte 
verdadeiro e que a declinação magnética é de 10° 45” oeste 
indique na figura as direções dos nortes verdadeiro e magnético 
g) Calcule o rumo dos lados 4-3 e 2-3 
h) A extensão da poligonal entre os pontos "A" e "C" 
i) Sabendo que a área destinada a incineradora é aquela formada 
pelos vértices B, C, 4 e o ponto médio do lado 4-5(Ponto M) 
calcule as coordenadas do ponto C, do ponto médio do lado 4-5 
(Ponto M) e o valor da área destinada a incineradora 
j) Utilizando as coordenadas desenhe na escala de 1/2000 a área 
da incineradora 
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Exercícios 
 
Erros e Tolerâncias nas Poligonais 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
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Exemplo de processamento 
 
 
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1ª QUESTÃO - Calcular os erros angular e linear da Poligonal Fechada indicada abaixo e as coordenadas corrigida. 
 
 
 
 
 
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2ª QUESTÃO - Calcular os erros angular e linear da Poligonal Fechada indicada abaixo e as coordenadas corrigidas.
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3ª QUESTÃO - Calcular os erros angular e linear da Poligonal Fechada indicada abaixo e as coordenadas corrigidas. 
 
 
 
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4ª QUESTÃO - Calcular os erros angular e linear da Poligonal Fechada indicada abaixo e as coordenadas corrigidas. 
 
 
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5ª QUESTÃO - Calcular os erros angular e linear da Poligonal Fechada em bases diferentes (Enquadrada) indicada abaixo 
e as coordenadas corrigidas. 
 
 
 
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UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Erros e Tolerâncias nas Poligonais 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 43 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Erros e Tolerâncias nas Poligonais 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 44 
 
6ª QUESTÃO 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Erros e Tolerâncias nas Poligonais 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 45 
 
7ª QUESTÃO 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Erros e Tolerâncias nas Poligonais 
Apostila de Exercícios de Rumos, Azimutes, Coordenadas Planas e Área Página 46 
 
8ª QUESTÃO 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 1 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
Exercícios de Altimetria 
 
Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 4 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométric
 
1- Compor a tabela de nivelamento Geométrico, calculando as cotas 
realizadas leituras das miras em metros e indicadas no desenho abaixo, como também o RN
234,541m. 
2- Um engenheiro civil fez um nivelamento geométrico composto com múltiplas estações
em milímetros e indicadas no desenho abaixo. Portanto, pede
erro cometido no levantamento está dentro da tolerância, sabendo
520m, que a Cota do RN-1 é de 558,893m e que a Cota do Ponto RN
também a tolerância para esse levantamento será de T=12mm
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
Universidade Católica de Pernambuco 
LABTOP 
e Trigonométrico 
étrico e Trigonométrico 
Compor a tabela de nivelamento Geométrico, calculando as cotas dos pontos visados de 2 a 7, sabendo que foram
realizadas leituras das miras em metros e indicadas no desenho abaixo, como também o RN-1 apresenta Cota igual a 
Um engenheiro civil fez um nivelamento geométrico composto com múltiplas estações, realizando as leituras das miras 
em milímetros e indicadas no desenho abaixo. Portanto, pede-seque calcule a caderneta de nivelamento, verifique se o 
erro cometido no levantamento está dentro da tolerância, sabendo-se que do RN-1 até o ponto 9 tem distâ
1 é de 558,893m e que a Cota do Ponto RN-1 no Contranivelamento foi de 558,895m, como 
também a tolerância para esse levantamento será de T=12mm.(k)
1/2
 
 
LEITURAS (mm) PR 
(mm) 
COTA 
(mm) Ré Vante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 2 
dos pontos visados de 2 a 7, sabendo que foram 
1 apresenta Cota igual a 
 
, realizando as leituras das miras 
se que calcule a caderneta de nivelamento, verifique se o 
1 até o ponto 9 tem distância igual a 
nivelamento foi de 558,895m, como 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométric
 
3- Foi realizado o transporte de RN conforme a figura abaixo, partindo
leituras foram tomadas em milímetros, na ordem em que foram coletadas: 280; 1077; 1790; 1399; 1686; 687; 1201; 3002; 
2914; 417. Prepare e complete as anotações de campo na caderneta abaixo, calculando o erro cometido, sabendo
cota da RN2 deverá ser de 124,751m, verificar se o erro cometido é admissível, sabendo que a tolerância para o 
levantamento é de T=12mm.(k)
1/2
 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
 
4- Compor a tabela de nivelamento Geométrico, calculando as cotas dos pontos visados, 
é de 125,768m. 
 
Universidade Católica de Pernambuco 
LABTOP 
e Trigonométrico 
étrico e Trigonométrico 
Foi realizado o transporte de RN conforme a figura abaixo, partindo-se do RN1 (cota 123,456m) ao RN2, as seguintes 
leituras foram tomadas em milímetros, na ordem em que foram coletadas: 280; 1077; 1790; 1399; 1686; 687; 1201; 3002; 
omplete as anotações de campo na caderneta abaixo, calculando o erro cometido, sabendo
cota da RN2 deverá ser de 124,751m, verificar se o erro cometido é admissível, sabendo que a tolerância para o 
LEITURAS (mm) PR 
(mm) 
COTA 
(mm) Ré Vante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compor a tabela de nivelamento Geométrico, calculando as cotas dos pontos visados, sabendo
Página 3 
se do RN1 (cota 123,456m) ao RN2, as seguintes 
leituras foram tomadas em milímetros, na ordem em que foram coletadas: 280; 1077; 1790; 1399; 1686; 687; 1201; 3002; 
omplete as anotações de campo na caderneta abaixo, calculando o erro cometido, sabendo-se que a 
cota da RN2 deverá ser de 124,751m, verificar se o erro cometido é admissível, sabendo que a tolerância para o 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sabendo-se que a cota do Ponto 1 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 4 
 
5- Para o nivelamento geométrico composto com múltiplas estações, calcule a caderneta de nivelamento e o erro 
cometido, verificando se o mesmo está dentro ou fora da tolerância admissível para levantamento geométrico Classe IIN. 
 
ESTAÇÃO 
PONTOS 
VISADOS 
Leitura (mm) 
PR (mm) 
Cota 
(mm) 
OBS: 
ESTACA Ré Vante 
I 
0 + 0.00 1470 
 
 Est. 0 = RN =50000mm 
1 + 0.00 1660 
2 + 0.00 2220 
3 + 0.00 1840 
II 
3 + 0.00 2457 
 
 
4 + 0.00 2222 
5 + 0.00 2380 
6 + 0.00 2700 
III 
6 + 0.00 3112 
 
 
7 + 0.00 3004 
8 + 0.00 3022 
9 + 0.00 3111 
10 + 0.00 3000 
IV 
10 + 0.00 2888 
 
 
11 + 0.00 2777 
12 + 0.00 2420 
13 + 0.00 2338 
14 + 0.00 2000 
 
 
 
 
Classe do levantamento IIN 
 
Cota do RN de partida = 50000mm 
 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO = 50007mm 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométric
 
6- Você contratou um topógrafo para realizar um nivelamento 
previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. Após os 
trabalhos de campo, o topógrafo forneceu as leituras da mira coletadas em campo em cad
Referência de Nível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 4+0,00, e seu valor foi de 145,781m, 
portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e com isso poder desenhar o perfi
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 
145,787m. Responda o que se pede abaixo:
 
a) A extensão total do trecho nivelado em km.
b) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico.
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório 
não segundo Norma NBR-13133. 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
Ré
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
 
 
Universidade Católica de Pernambuco 
LABTOP 
e Trigonométrico 
étrico e Trigonométrico 
Você contratou um topógrafo para realizar um nivelamento geométrico de Classe IN ao longo do eixo de uma rodovia 
previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. Após os 
trabalhos de campo, o topógrafo forneceu as leituras da mira coletadas em campo em cad
Referência de Nível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 4+0,00, e seu valor foi de 145,781m, 
portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e com isso poder desenhar o perfi
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 
a o que se pede abaixo: 
a) A extensão total do trecho nivelado em km. 
b) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico. 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório 
 
LEITURAS (mm) PR 
(mm) 
COTA 
(m) Ré Vante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 5 
geométrico de Classe IN ao longo do eixo de uma rodovia 
previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. Após os 
trabalhos de campo, o topógrafo forneceu as leituras da mira coletadas em campo em cada estaca e indicou que a 
Referência de Nível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 4+0,00, e seu valor foi de 145,781m, 
portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e com isso poder desenhar o perfil 
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométric
 
7- Você contratou um topógrafo para realizar um nivelamento geométrico de Classe IIN ao longo do eixo de uma rodovia 
previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. Após os 
trabalhos de campo, o topógrafo forneceu as leituras da 
Referência deNível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 8+0,00, e seu valor foi de 532,971m, 
portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e c
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivela
532,983m e que existe uma igualdade de estaqueamento E.15+0,00 = 17+10,50, conforme indicado no croqui abaixo. 
Responda o que se pede abaixo: 
 
a) A extensão total do trecho nivelado em km.
b) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório 
não segundo Norma NBR-13133. 
ESTAÇÃO ESTACAS 
Ré
I 8+0,000 1294
I 10+0,000 
I 12+0,000 
I 14+0,000 
II 14+0,000 2398
II 18+0,000 
II 20+0,000 
II 22+0,000 
III 22+0,000 1567
III 24+0,000 
III 26+0,000 
III 27+2,372 
 
 
 
 
 
Universidade Católica de Pernambuco 
LABTOP 
e Trigonométrico 
étrico e Trigonométrico 
para realizar um nivelamento geométrico de Classe IIN ao longo do eixo de uma rodovia 
previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. Após os 
trabalhos de campo, o topógrafo forneceu as leituras da mira coletadas em campo em cada estaca e indicou que a 
Referência de Nível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 8+0,00, e seu valor foi de 532,971m, 
portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e com isso poder desenhar o perfil 
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivela
532,983m e que existe uma igualdade de estaqueamento E.15+0,00 = 17+10,50, conforme indicado no croqui abaixo. 
a) A extensão total do trecho nivelado em km. 
b) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico. 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório 
 
 
LEITURAS (mm) 
PR 
(mm) 
COTA 
(m) Ré Vante 
1294 - 
 
- 1597 
 
- 1078 
 
- 806 
 
2398 - 
 
- 1893 
 
- 1396 
 
- 956 
 
1567 - 
 
- 2430 
 
- 3556 
 
- 2098 
 
Página 6 
para realizar um nivelamento geométrico de Classe IIN ao longo do eixo de uma rodovia 
previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. Após os 
mira coletadas em campo em cada estaca e indicou que a 
Referência de Nível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 8+0,00, e seu valor foi de 532,971m, 
om isso poder desenhar o perfil 
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 
532,983m e que existe uma igualdade de estaqueamento E.15+0,00 = 17+10,50, conforme indicado no croqui abaixo. 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 7 
 
8- Você foi designado para realizar um transporte de cota de um RN-4X localizado na entrada do bloco da Reitoria da 
UNICAP até o Museu, conforme indicado no desenho da UNIBASE abaixo. O transporte de cota foi realizado através de um 
nivelamento geométrico composto de Classe IN, nos trabalhos de campo foram coletadas as leituras da mira nos pontos 
necessários para realizar o transporte da Cota (tabela abaixo). Sabendo que a cota do RN-4X é de 3345mm em relação ao 
Nível Médio do Mar – NMM e que a distância do RN-4X ao RN-1 é de 257m. Responda o que se pede abaixo: 
 
Estação Visada de RÉ (mm) Visada de Vante (mm) 
I 1567 1265 
II 879 1245 
III 2341 1891 
IV 719 2345 
V 1378 882 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de transporte de Cota do RN-4X ao RN-1. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 3352m, a 
tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo Norma NBR-13133. 
 
 
 
 
RN-4X 
I 
II 
III 
IV 
V 
RN-1 
Aux-1 
Aux-2 
Aux-3 
Aux-4 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 8 
 
9- Você foi designado para realizar a verificação de um transporte de cota do RN-1 localizado no Museu da UNICAP até o 
RN-4X localizado no bloco da Reitoria da UNICAP, conforme indicado no desenho da UNIBASE abaixo. A verificação do 
transporte de cota será realizada através de um contranivelamento geométrico composto de Classe IN, nos trabalhos de 
campo foram coletadas as leituras da mira, conforme a tabela abaixo. Sabendo que a cota do RN-1 é de 103456mm em 
relação ao Nível Médio do Mar – NMM e que a distância do RN-1 ao RN-4X é de 468,37m. Responda o que se pede abaixo: 
Estação Visada de RÉ (mm) Visada de Vante (mm) 
I 1025 895 
II 789 2356 
III 2254 1823 
IV 905 1459 
V 1065 983 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de transporte de Cota do RN-1 ao RN-4X e calcule o desnível entre as duas 
referências de nível, usando para isso o dado encontrado na caderneta de transporte de Cota. 
 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, sabendo que a cota do RN-4X é de 101,987m, a tolerância altimétrica 
e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo Norma NBR-13133. 
 
 
 
RN-4X 
V 
IV 
III 
II 
I 
RN-1 
Aux-4 
Aux-3 
Aux-2 
Aux-1 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 9 
 
10- Você foi designado para realizar um transporte de cota de um RN-1 localizado na entrada da Igreja da Soledade 
até a entrada do bloco da Reitoria da UNICAP, denominado de RN-2, conforme indicado no desenho da UNIBASE 
abaixo. O transporte de cota será realizado através de Nivelamento Geométrico de Classe IIN. Após a realização dos 
trabalhos de campo, foram coletadas as leituras da mira nos pontos necessários para realização do transporte de Cota 
(tabela abaixo). Sabendo que a cota do RN-1 é de 3012mm em relação ao Nível Médio do Mar – NMM e que a distância 
do RN-1 ao RN-2 é de 462,65m. Responda o que se pede abaixo: 
 
Estação Visada de RÉ (mm) Visada de Vante (mm) 
I 1678 2234 
II 1345 1125 
III 1898 894 
 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de transporte de Cota do RN-1 ao RN-2. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 3,027m, 
tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo a Norma NBR-13133. 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 10 
 
11- Você foi designado para realizar um transporte de cota do RN-3641C localizado na base de concreto de 
sustentação do mastro central das bandeiras da Reitoria da UFPE, até a calçada em frente ao Hospital Barão de Lucena 
na Av. Caxangá, conforme indicado no desenho de Nucleação abaixo. O transporte de cota destina-se a implantação da 
rede altimétrica das obras do corredor exclusivo de ônibusdo Ramal Leste-Oeste, também conhecido como sistema 
BRT (Bus Rapid Transit) ou Trânsito Rápido de Ônibus. O transporte de cota será realizado através de Nivelamento 
Geométrico de Classe IN. Após a realização dos trabalhos de campo, foram coletadas as leituras da mira nos pontos 
necessários para realização do transporte de Cota (tabela abaixo). Sabendo que a cota do RN-3641C é de 9,253 m em 
relação ao Nível Médio do Mar – NMM e que a distância do RN-3641C ao RN-1 é de 1.835,85m. Responda o que se pede 
abaixo: 
 
Estação Visada de RÉ (mm) Visada de Vante (mm) 
I 897 2908 
II 1278 1035 
III 1897 2897 
 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de transporte de Cota do RN-3641C ao RN-1. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 9,268m, 
tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo a Norma NBR-13133. 
 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 11 
 
12- Você contratou um topógrafo para realizar um nivelamento geométrico de Classe IIN ao longo do eixo de uma 
rodovia previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas no Croqui abaixo. 
Após os trabalhos de campo, o topógrafo forneceu as leituras da mira coletadas em campo em cada estaca e indicou 
que a Referência de Nível para os trabalhos realizados em campo coincidia com a estaca E. 67+0,00, e seu valor foi de 
103,435m, portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e com isso poder desenhar o 
perfil longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta e o erro cometido no levantamento, verificando se 
o erro é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 102,227m e que existe uma igualdade 
de estaqueamento E.75+14,730 = 72+10,340, conforme indicado no croqui abaixo. Responda o que se pede abaixo: 
 
a) A extensão total do trecho nivelado em km. 
b) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico e calcule o valor do erro de fechamento altimétrico, a 
tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo a Norma NBR-13133. 
 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
67+0,000 1675 
68+0,000 1234 
69+0,000 2345 
II 
69+0,000 768 
70+0,000 1789 
71+0,000 1458 
III 
71+0,000 2365 
72+0,000 3479 
73+0,000 1567 
74+0,000 1278 
75+0,000 1890 
a73+0,000 1234 
a74+0,000 1123 
a75+0,000 678 
IV 
a75+0,000 1245 
a76+0,000 1456 
a77+0,000 2345 
a78+0,000 3567 
a78+09,594 2786 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 12 
 
13- Você contratou um topógrafo para realizar um levantamento altimétrico no terreno localizado na cidade de 
Gravatá/PE, para fins de elaboração de um projeto de um Hotel Fazenda. O levantamento altimétrico foi realizado por 
Nivelamento Geométrico (Nível Eletrônico e Mira Falante) de Classe IN, partindo-se do RN-1 de cota conhecida 
(CotaRN-1 = 5,096m). Para você obter as cotas de cada ponto levantado em campo, será necessário calcular a caderneta 
de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável 
ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 5,104m e a extensão nivelada foi de 256,47m. 
 
a) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não segundo a Norma NBR-13133. 
 
 
 
ESTAÇÃO 
PONTOS 
LEVANTADOS 
LEITURAS DA MIRA (mm) PR 
(mm) 
COTA 
(mm) 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante 
I 
 
I 
 
I 
 
I 
 
II 
 
II 
 
II 
 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 13 
 
14- Um topógrafo realizou um levantamento altimétrico por Nivelamento Geométrico para determinar as cotas dos pontos 
P1, P2, P3, P4 e P5. Nos levantamentos o topógrafo utilizou um Nível óptico e uma mira falante de 4,0m. Durante o 
levantamento, o topógrafo posicionou o nível e fez uma primeira visada no RN-1 (Cota do RN-1 = 567,921 m), e fez as 
visadas nos pontos, obtendo-se os resultados, indicados abaixo. Responda o que se pede: 
 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico. 
 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica para levantamento Classe IN com 
distância nivelada de 158,0m, como também justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo Norma 
NBR-13133/94, sabendo que a cota final do Contranivelamento foi de 569,075m. 
 
c) Na hipótese de ocorrer uma inundação na RUA A, com uma Lâmina d´água de 1,0m acima da cota do RN-1, 
responda se a água irá ultrapassar a cota da soleira da casa (ponto P5), Justifique sua resposta. 
 
d) Determine os desníveis das rampas 1 e 2. 
 
Estação Visada de Ré (mm) Visada de Vante (mm) 
RN-1 1689 - 
P1 - 818 
P2 - 1554 
P3 - 787 
P4 - 1501 
P5 - 539 
 
 
 
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15 - Você foi designado para realizar um transporte de cota do RN-3 localizado próximo a Antiga Fábrica Tacaruna, 
até a o viaduto da Av. Norte no RN-4, na Av. Agamenon Magalhães, conforme indicado no desenho de Nucleação 
abaixo. O transporte de cota destina-se a implantação da rede altimétrica das obras do corredor exclusivo de ônibus 
do Ramal Norte-Sul (Ramal Agamenon), também conhecido como sistema BRT (Bus Rapid Transit) ou Trânsito 
Rápido de Ônibus. O transporte de cota será realizado através de Nivelamento Geométrico de Classe IN. Após a 
realização dos trabalhos de campo, foram coletadas as leituras da mira nos pontos necessários para realização do 
transporte de Cota (tabela abaixo). Sabendo que a cota do RN-3 de partida é de 3,458 m em relação ao Nível Médio do 
Mar – NMM e que a distância do RN-3 ao RN-4 implantado no final é de 1639m. Responda o que se pede abaixo: 
Estação Visada de RÉ (mm) Visada de Vante (mm) 
I 1254 1293 
II 1892 1045 
III 1289 1078 
IV 770 1289 
 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de transporte de Cota do RN-3 ao RN-4. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 3,471m, 
tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo a Norma NBR-13133/94. 
 
 
 
 
RN-3 
RN-4 
I 
II 
Aux-1 IV 
Aux-2 Aux-3 II 
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16 - Você foi designado para realizar um transporte de cota do RN-1 localizado na Praça do Derdy, até a calçada em 
frente ao Hospital Português no RN-2, na Av. Agamenon Magalhães, conforme indicado no desenho de Nucleação 
abaixo. O transporte de cota destina-se a implantação da rede altimétrica das obras do corredor exclusivo de ônibus 
do Ramal Norte-Sul (Ramal Agamenon), também conhecido como sistema BRT (Bus Rapid Transit) ou Trânsito 
Rápido de Ônibus. O transporte de cota será realizado através de Nivelamento Geométrico de Classe IIN. Após a 
realização dos trabalhosde campo, foram coletadas as leituras da mira nos pontos necessários para realização do 
transporte de Cota (tabela abaixo). Sabendo que a cota do RN-1 de partida é de 4,458 m em relação ao Nível Médio do 
Mar – NMM e que a distância do RN-1 ao RN-2 implantado no final é de 686,89m. Responda o que se pede abaixo: 
 
Estação Visada de RÉ (mm) Visada de Vante (mm) 
I 1054 1287 
II 1792 1012 
III 1089 1071 
 
a) Monte e faça o cálculo da caderneta de transporte de Cota do RN-3641C ao RN-1. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 4,471m, 
tolerância altimétrica e justifique se o trabalho está satisfatório ou não segundo a Norma NBR-13133. 
 
 
 
 
Aux-2 
RN-1 
II III 
RN-2 
Aux-1 I 
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17- Você contratou um topógrafo para realizar um nivelamento geométrico de Classe IIN ao longo do eixo de um segmento 
da BR232/PE, previamente locada e estaqueada, realizando as leituras das miras nas estacas indicadas abaixo. Durante os 
trabalhos de campo, o topógrafo implantou uma Referência de Nível denominada de RN-1, e seu valor foi de 598,561m, 
portanto para você obter as cotas de cada uma das estacas do eixo da estrada e com isso poder desenhar o perfil 
longitudinal da rodovia, será necessário calcular a caderneta de nivelamento indicada abaixo, como também é necessário 
verificar se o erro cometido no levantamento é tolerável ou não, sabendo que a cota final do contranivelamento foi de 
598,555m. Sabendo disso responda o que se pede abaixo: 
 
a) A extensão total do trecho nivelado em km. 
b) Faça o cálculo da caderneta de nivelamento geométrico e indique o ponto mais baixo do eixo da BR232/PE 
nesse segmento. 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica, como também justifique se o 
trabalho está satisfatório ou não, segundo Norma NBR-13133/94. 
 
 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR 
(mm) 
COTA 
(m) 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante 
1 
RN-1 1250 
 
70 
 
1382 
 
71 
 
1689 
 
72 
 
1890 
 
73 
 
2560 
 
74 
 
2741 
 
75 
 
2897 
 
76 
 
2914 
 
2 
76 2501 
 
77 
 
870 
 
78 
 
1450 
 
79 
 
1812 
 
80 
 
1987 
 
80+10,78 
 
2191 
 
 
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18- Você foi designado para realizar um transporte de cota do RN-12 localizado na Praça Oswaldo Cruz, conforme indicado no 
desenho da Unibase abaixo, até o Terreno de Nº 130, onde será iniciado um levantamento topográfico planialtimétrico, para 
subsidiar a elaboração do projeto de um edifício empresarial. O transporte de altitude foi realizado através de um nivelamento 
geométrico de Classe IN, nos trabalhos de campo foram coletadas as leituras da mira nos pontos necessários para realizar o 
transporte da Cota (tabela abaixo). Sabendo que a altitude do RN-12 (IBGE) é de 4114 mm e que a distância do RN-12 ao RN-1 
implantado é de 250,59m. Responda o que se pede abaixo: 
 
a) Calcule a caderneta de Nivelamento e Contranivelamento do transporte de altitude do RN-12 ao RN-1. 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico e a tolerância altimétrica, e por fim justifique se o trabalho está satisfatório 
ou não segundo Norma NBR-13133/94. 
 
 
Acima é mostrada uma planta com o caminhamento do Transporte a Altitude do RN-12 (IBGE) ao RN – 1 (OBRA) - NIVELAMENTO 
 
 
Caderneta de Nivelamento 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN-12 1250 - 
 
RN do IBGE 
Aux-1 - 1382 
 
 
2 
Aux-1 1565 - 
 
 
RN-1 - 1890 
 
 
 
 
 
Caderneta de Contranivelamento 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
3 
RN-1 1497 - 
 
 
Aux-2 - 2651 
 
 
4 
Aux-2 2500 - 
 
 
RN-12 - 897 
 
RN do IBGE 
 
 
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19- Um Topógrafo foi designado para verificar se a Catenária de uma linha de transmissão que cruza um 
determinado trecho da Ferrovia Transnordestina, está de acordo com as exigências para o Gabarito Mínimo que 
a Norma exige. Para isso ele utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias sem o auxílio de prisma a uma 
distância de até 2000m. Para realizar o levantamento, ele posicionou a estação total no ponto “A” e fez 
medições nos pontos P1 e P2, obtendo os seguintes dados. 
 
Altura do instrumento: i = 1,67m 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP1= 3°57'37"e αP2= -7°02'52" 
 
Utilizando o distanciômetro eletrônico da Estação Total registraram-se os valores correspondentes as distâncias 
inclinadas segundo a linha de visada: dP1 = 85,646m e dP2 = 85,246m 
 
Sabendo que a cota do RN no Ponto “A” é de 539,189 m, a Altura da Locomotiva é de 3,80m e que o Gabarito 
Mínimo é de 10,00m, quando uma ferrovia cruza abaixo de uma Linha de Transmissão. Faça o que se pede 
abaixo: 
 
e) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
f) Verificar se o Gabarito Mínimo foi atendido, ou seja, se a Ferrovia Transnordestina cruza o cabo da Linha de 
Transmissão respeitando o Gabarito Mínimo. 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulos 
Lidos 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
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20- Um Engenheiro agrimensor realizou um levantamento altimétrico na Barragem de Tapacurá no estado de 
Pernambuco, para isso ele utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias sem o auxílio de prisma a uma 
distância de até 1500m. Para realizar o levantamento, ele posicionou a estação total no ponto “A” e fez 
medições nos pontos P1 e P2, obtendo os seguintes dados. 
 
Altura do instrumento: i = 1,59m 
Ângulo Zenital: ΖP1= 49°45'00" e ΖP2= 82°26'33" 
 
Utilizando o distanciômetro eletrônico da Estação Total registraram-se os valores correspondentes as distâncias 
inclinadas segundo a linha de visada: dP1 = 27,62m e dP2 = 16,44m 
 
Sabendo que a cota do RN no Ponto “A” é de 137,234 m e que a cota de máxima enchente da bacia do 
reservatório da barragem é de 155,170m, faça o que se pede abaixo: 
 
 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e 
P2. 
b) Determinar qual é a altura da barragem. 
c) Determinar qual é a folga em relação ao topo da barragem, quando a barragem estiver com seu nível 
d´água na cota máxima. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Zenital 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
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21- Um Engenheiro realizou um levantamento altimétrico estacionando um taqueômetro eletrônico na Estação 
1, e fez as seguintes medições ao visar os pontos P1 e P2 no topo dos telhados de uma casa: 
 
Altura do aparelho: i = 1,58m 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP1= 31°44'34" e αP2= 13°23'57" 
Utilizando um distanciômetro eletrônico registraram-seos valores correspondentes as distâncias inclinadas 
segundo a linha de visada: dP1 = 12,27m e dP2 = 22,88m 
 
Sabendo que a cota do ponto na Estação 1 é de 128,586 m, determine quais as cotas dos pontos P1 e P2 através 
do preenchimento da caderneta abaixo, e a diferença de nível entre os pontos P1 e P2 referente aos dois 
telhados da casa. 
 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Ponto 
Visado 
Ângulos 
Lidos 
Distância ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
Cota do Ponto P1: __________ 
Cota do Ponto P2: __________ 
Diferença de nível entre os pontos P1 e P2: _______________ 
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22- Um Engenheiro realizou um levantamento altimétrico estacionando um taqueômetro eletrônico na Estação 
1, e fez as seguintes medições ao visar os pontos P1 e P2 no topo dos telhados de uma casa: 
 
Altura do aparelho: i = 1,62m 
Ângulo Zenital: ΖP1= 50°05'43" e ΖP2= 70°35'29" 
Utilizando os Fios Estadimétricos e uma Mira Falante, foram medidos para cada ponto visado P1 e P2: 
 
Pontos 
Visados 
Fio 
Superior 
Fio Médio 
Fio 
Inferior 
(mm) (mm) (mm) 
P1 1467 1382 1296 
P2 1327 1204 1081 
 
Sabendo que a cota do ponto na Estação 1 é de 579,124 m, determine quais as cotas dos pontos P1 e P2 através 
do preenchimento da caderneta abaixo, e a diferença de nível entre os pontos P1 e P2 referente aos dois 
telhados da casa. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Ponto 
Visado 
Ângulos 
Lidos 
Distância Leitura da Mira 
Fio Médio 
(m) 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
Cota do Ponto P1: __________ 
Cota do Ponto P2: __________ 
Diferença de nível entre os pontos P1 e P2: _______________ 
 
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23- Um topógrafo realizou um levantamento trigonométrico para determinar a altura da torre de uma turbina 
eólica construída no alto de um morro na Cidade de Gravatá. Para realizar o levantamento, ele estacionou um 
teodolito na Estação 1, e fez as seguintes medições ao visar os pontos P1 e P2: 
 
Altura do aparelho: i = 1,65m 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP1= 33°38'21" e αP2= 11°39'40" 
 
Utilizando uma trena, foi medida a distância horizontal entre a estação 1 e a base da torre da turbina eólica, 
conforme indicado no desenho abaixo: 
 
 
Sabendo que a cota na Estação 1 é de 341,192 m, responda: 
 
a) Quais são as cotas dos pontos P1 e P2 através do preenchimento da caderneta abaixo. 
b) Qual a altura da torre da turbina eólica construída no alto do morro. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Vertical 
Distância 
Horizontal 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
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24- Um Engenheiro Projetista precisa determinar a altura máxima de aterro de um projeto rodoviário que 
cruzará uma linha de transmissão da CHESF, para isto ele contratou um topógrafo para medir a Catenária da 
linha de transmissão no ponto de cruzamento com o eixo do projeto da estrada. Nos levantamentos o topógrafo 
utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias inclinadas sem uso de prismas. 
 
Durante o levantamento, o topógrafo posicionou a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1 
e P2, obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Ângulo Zenital: ΖP1= 82°40'35" e ΖP2= 51°58'48" 
 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 23,534m e DIP2 = 29,629m 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 123,892 m e que o Gabarito Mínimo é de 12,00m. Faça o que se pede 
abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
b) Determine qual deverá ser a altura máxima de aterro para que o Gabarito Mínimo seja respeitado no 
projeto da rodovia que cruzará a linha de transmissão. 
 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Zenital 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
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25- Um topógrafo realizou um levantamento altimétrico trigonométrico para determinar as cotas dos pontos 
P1, P2, P3 e P4. Nos levantamentos o topógrafo utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias inclinadas 
utilizando bastão com prisma. 
 
Durante o levantamento, o topógrafo posicionou a estação total centrada e calada no RN (Cota do 
RN = 578,342m), e fez as medições nos pontos, obtendo-se os resultados, indicados na caderneta abaixo. 
Responda o que se pede abaixo: 
 
a) Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico indicada abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, 
P2, P3 e P4. 
 
b) Na hipótese de ocorrer uma inundação na RUA A, com uma Lâmina d´água de 1,0m acima da cota do ponto 
P4, responda se a água irá ultrapassar a cota da soleira da casa (ponto P3), Justifique sua resposta. 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Altura 
do 
Prisma 
Ponto 
Visado 
Ângulo de 
inclinação 
Horizontal (αααα) 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,59 2,00 P1 12º 12´34" 8,56 
 
1 1,59 2,00 P2 28º 45´56" 15,90 
 
1 1,59 2,00 P3 22º 10´14" 23,67 
 
1 1,59 2,00 P4 24º 56´19" 18,45 
 
 
 
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26- Um Engenheiro Projetista precisa determinar a altura máxima de aterro de um projeto rodoviário que 
cruzará uma linha de transmissão da CHESF, para isto ele contratou um topógrafo para medir a Catenária da 
linha de transmissão no ponto de cruzamento com o eixo do projeto da estrada. Nos levantamentos o topógrafo 
utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias inclinadas sem uso de prismas. 
 
Durante o levantamento, o topógrafo posicionou a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1 
e P2, obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP1= 11°20'14" e αP2= 41°54'31" 
 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 23,807m e DIP2 = 31,365m 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 487,981 m e que o Gabarito Mínimo é de 12,00m. Faça o que se pede 
abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
b) Indique e justifique se o Gabarito Mínimo foi respeitado, sabendo que a Altura do Aterro da rodovia no 
cruzamento com a linha de transmissão é de 5,27m. 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo de 
Inclinação 
Horizontal (αααα) 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
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27- Um topógrafo realizou um levantamento altimétrico trigonométrico para determinar as cotas dos pontos 
P1, P2, P3 e P4. Nos levantamentos o topógrafo utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias inclinadas 
utilizandobastão com prisma. 
 
Durante o levantamento, o topógrafo posicionou a estação total centrada e calada no RN (Cota do 
RN = 578,342m), e fez as medições nos pontos, obtendo-se os resultados, indicados na caderneta abaixo. 
Responda o que se pede abaixo: 
 
 
a) Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico indicada abaixo, determinando as cotas dos pontos 
P1, P2, P3 e P4. (2,00) 
 
b) Na hipótese de ocorrer uma inundação na RUA A, com uma Lâmina d´água de 4,0m acima da cota do ponto 
P4, responda se a água irá ultrapassar a cota da soleira da casa (ponto P3), Justifique sua resposta. (1,00) 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulo Zenital 
(ΖΖΖΖ) 
Distância 
Inclinada = 
DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,59 P1 1,50 78º 11´31" 8,58 
 
1 1,59 P2 1,50 60º 46´54" 15,90 
 
1 1,59 P3 1,50 59º 11´11" 20,94 
 
1 1,59 P4 1,50 66º 57´18" 18,45 
 
 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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28- Um engenheiro projetista solicitou ao topógrafo a realização de um levantamento altimétrico 
trigonométrico no eixo de projeto de uma nova rampa de acesso a um Sítio localizado em Gravata/PE, 
objetivando obter o perfil longitudinal do terreno natural, e assim poder elaborar o projeto do greide do acesso 
ao Sítio, o topógrafo utilizou um Teodolito, Trena e Mira Falante. 
 
Durante o levantamento, o topógrafo posicionou a estação total centrada e calada no ponto “A” (Cota do 
Ponto “A” = 149,568m), e fez as medições nos pontos B, C e D, obtendo-se os resultados, indicados no desenho 
abaixo. Responda o que se pede abaixo: 
 
a) Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico indicada abaixo. 
b) Calcule o desnível entre o ponto “A” e “D”. 
 
 
NOTA: As distâncias Lineares do Desenho acima estão dadas em metro. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Ângulo 
Zenital 
 
Leitura da 
Mira 
Distância 
Horizontal 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) (m) 
A 
 
B 87°58'50" 
 
A 
 
C 76°51'37" 
 
A 
 
D 71°11'58" 
 
 
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29- Um Topógrafo foi designado para verificar se a Catenária de uma linha de transmissão que cruza um 
determinado trecho da Ferrovia Transnordestina, está de acordo com as exigências para o Gabarito Mínimo que 
a Norma exige. Para isso ele utilizou uma Estação Total capaz de medir distâncias sem o auxílio de prisma a uma 
distância de até 2000m. Para realizar o levantamento, ele posicionou a estação total no ponto “A” e fez 
medições nos pontos P1 e P2, obtendo os seguintes dados. 
 
Altura do instrumento: i = 1,67m 
Ângulo de Inclinação Horizontal: ΖP1= 49°45'00" e ΖP2= 84°26'33" 
 
Utilizando o distanciômetro eletrônico da Estação Total registraram-se os valores correspondentes as distâncias 
inclinadas segundo a linha de visada: dP1 = 27,62m e dP2 = 21,19m 
 
Sabendo que a cota do RN no Ponto “A” é de 539,189 m, a Altura da Locomotiva é de 3,80m e que o Gabarito 
Mínimo é de 8,00m, quando uma ferrovia cruza abaixo de uma Linha de Transmissão. Faça o que se pede 
abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
b) Verificar se o Gabarito Mínimo foi atendido, ou seja, se a Ferrovia Transnordestina cruza o cabo da Linha de 
Transmissão respeitando o gabarito mínimo. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Vertical 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
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30- Supondo que você é o engenheiro responsável pelo cálculo da vazão e pressão da água que abastece 
uma residência, para isso você fez uso do nivelamento trigonométrico, utilizando como equipamento uma 
Estação Total capaz de medir distâncias com e sem uso de prismas. 
 
Durante o levantamento, posicionou-se a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1, P2, 
P3 e P4, obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Ângulo Zenital: ZP1= 67°23'28", ZP2= 69°31'53" e ZP3= 75°38'30" 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP4= -24°49'49" 
 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 75,253m, DIP2 = 74,151 m, DIP3 = 71,709m e DIP4 = 16,819m. 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 587231mm, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 
1,58m e que a altura do prisma durante a leitura no ponto P3 foi de 1,780m. Faça o que se pede abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 P2, 
P3 e P4. 
b) Determine qual é o Desnível entre a saída da água do Reservatório e a entrada da água que abastece a 
residência, como também a altura da caixa d’água (distância de P3 a P2). 
c) Determine qual é o volume em m³ e em Litros do reservatório, sabendo que ele possui as seguintes 
dimensões em planta: largura de 3,00m e comprimento de 5,00m. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Vertical 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
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31- Supondo que você é o engenheiro responsável pelo cálculo da vazão e pressão da água que abastece 
uma residência, para isso você fez uso do nivelamento trigonométrico, utilizando como equipamento uma 
Estação Total capaz de medir distâncias com e sem uso de prismas. 
 
Durante o levantamento, posicionou-se a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1, P2, P3 
e P4, obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP1= 22°09'21", αP2= 20°00'07", αP3= 13°48'11" e αP4= -24°49'49" 
 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 75,008m, DIP2 = 73,929 m, DIP3 = 71,535m e DIP4 = 16,819m. 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 132,786m, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 
1,58m e que a altura do prisma durante a leitura no ponto P3 foi de 1,780m. Faça o que se pede abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos 
P1 P2, P3 e P4. 
b) Determine qual é o Desnível entre a saída da água do Reservatório e a entrada da água que abastece a 
residência, como também a altura da caixa d’água (distância de P3 a P2). 
c) Determine qual é o volume em m³ e em Litros do reservatório, sabendo que ele possui as seguintes 
dimensões em planta: largura de 3,50m e comprimento de 3,80m. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Vertical 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
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32- Durante as obras de construção do Estádio da Arena Pernambuco, foi utilizada a topografia em todos os estágios 
da obra, desde das etapas de concepção do projeto, como também durante a execução, sobretudo no controle 
geométrico da obra. Durante a instalação da cobertura do estádio, foram realizadas medições altimétricas para 
verificar a correta inclinação e posicionamentodas estruturas de sustentação que fizeram parte da cobertura do 
estádio. Supondo que você é o engenheiro responsável pelo controle geométrico da instalação dessa cobertura, e que 
para isso você fez uso do nivelamento trigonométrico, utilizando como equipamento uma Estação Total capaz de 
medir distâncias com e sem uso de prismas. Faça o que se pede abaixo: 
 
Dados: 
Durante o levantamento, posicionou-se a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos 
P1, P2 e P3, obtendo-se os seguintes resultados. 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP1= 46°34'34", αP2= 30°32'24" e αP3= -5°21'10" 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 49,884m, DIP2 = 68,839m e DIP3 = 17,365m 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 75997mm, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 1,620m. 
Faça o que se pede abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos 
P1, P2 e P3. 
b) Sabendo que deverá haver um desnível entre a extremidade da estrutura metálica de sustentação da coberta do 
estádio (P1) e sua base de apoio (P2) de 1,20m, verifique se esse desnível foi respeitado. Justifique sua resposta. 
c) Verifique se a extremidade da coberta (P4) respeitou a distância vertical de 38,20m, sabendo que o desnível 
entre o ponto P1 e P4 é de +0,35m. 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Vertical 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
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33- Durante as obras de construção do Estádio da Arena Pernambuco, foi utilizada a topografia em todos os estágios 
da obra, desde das etapas de concepção do projeto, como também durante a execução, sobretudo no controle 
geométrico da obra. Durante a instalação da cobertura do estádio, foram realizadas medições altimétricas para 
verificar a correta inclinação e posicionamento das estruturas de sustentação que fizeram parte da cobertura do 
estádio. Supondo que você é o engenheiro responsável pelo controle geométrico da instalação dessa cobertura, e que 
para isso você fez uso do nivelamento trigonométrico, utilizando como equipamento uma Estação Total capaz de 
medir distâncias com e sem uso de prismas. Faça o que se pede abaixo: 
 
Dados: 
Durante o levantamento, posicionou-se a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos 
P1, P2 e P3, obtendo-se os seguintes resultados. 
Ângulo Zenital: ΖP1= 43°25'26" 
Ângulo de Inclinação Horizontal: αP2= 30°32'24" e αP3= -5°21'10" 
 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 49,884m, DIP2 = 68,839m e DIP3 = 17,365m 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 61,563m, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 1,620m. 
Faça o que se pede abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos 
P1, P2 e P3. 
b) Sabendo que deverá haver um desnível entre a extremidade da estrutura metálica de sustentação da coberta do 
estádio (P1) e sua base de apoio (P2) de 1,25m, verifique se esse desnível foi respeitado. Justifique sua resposta. 
c) Verifique se a extremidade da coberta (P4) respeitou a distância vertical de 37,10m, sabendo que o desnível 
entre o ponto P1 e P4 é de +0,35m. 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Vertical 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
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34-A empresa de topografia que você trabalha, foi contratada para realizar o levantamento topográfico da 
Igreja de Santa Isabel na cidade de Paulista/PE, supondo que você foi designado para determinar a altura 
da torre principal da igreja, para isso você fez uso do nivelamento trigonométrico, utilizando como 
equipamento uma Estação Total capaz de medir distâncias com e sem uso de prismas. Durante o 
levantamento, posicionou-se a estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1 e P2, obtendo-se 
os seguintes resultados. 
 
Ângulo Zenital: Z1=54°31'28" e Z2= 86°24'07" 
Distâncias inclinadas: DI1 = 41,75m e DH2 = 34,00 m 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 12239mm, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 
1,52m e que a leitura da Mira no ponto P2 foi de 3658mm. Faça o que se pede abaixo: 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e 
P2 (2,0) 
b) Determine qual é a altura da torre principal da igreja 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
 
Leitura da 
Mira 
(m) 
Ponto 
Visado 
Ângulo Zenital 
Distância ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
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35- Supondo que você foi designado para realizar o levantamento topográfico para medir o gabarito 
vertical de um viaduto Rodoviário localizado na BR101/PE, utilizando como equipamento uma Estação 
Total capaz de medir distâncias com e sem uso de prismas. Durante o levantamento, posicionou-se a 
estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1, P2 e P3, obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 198453mm, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 
1,630m e que a altura do prisma durante a leitura no ponto P3 foi de 1,890m. Faça o que se pede abaixo: 
Ângulo Zenital: ZP1= 87°57'47", ZP2= 76°03'53" e ZP3= 69°21'12" 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 26,362m, DIP2 = 27,144 m e DIP3 = 28,153m 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, 
P2 e P3. 
b) Sabendo que o gabarito mínimo entre o topo do pavimento (P1) e a face inferior da viga do viaduto 
rodoviário (P2) deverá ser 6,00m, verifique se o Gabarito Mínimo foi respeitado, justificando sua 
resposta. 
c) Considerando o item anterior (b), se o gabarito rodoviário não for respeitado, qual deveria ser a cota 
do pavimento (ponto P3) para que o gabarito mínimo fosse respeitado. 
d) Determine a altura da viga do viaduto rodoviário e o desnível entre os pavimentos das duas pistas 
rodoviárias (P3 e P1). 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Zenital 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
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36- Supondo que você foi designado para realizar o levantamento topográfico para medir o gabarito 
vertical de um viaduto Rodoviário localizado na BR101/PE, utilizando como equipamento uma Estação 
Total capaz de medir distâncias com e sem uso de prismas. Durante o levantamento, posicionou-se a 
estação total no ponto “A” e fez as medições nos pontos P1, P2 e P3, obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Sabendo que a cota do Ponto “A” é de 634129mm, a altura do instrumento durante todas as medições foi de 
1,630m e que a altura do prisma durante a leitura no ponto P3 foi de 1,78m. Faça o que se pede abaixo: 
Ângulo Zenital: ZP1= 87°57'47", ZP2= 74°50'32" e ZP3= 67°29'30" 
Distâncias inclinadas: DIP1 = 26,362m, DIP2 = 27,295 m e DIP3 = 28,517m 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotasdos pontos 
P1, P2 e P3. 
b) Sabendo que o gabarito mínimo entre o topo do pavimento (P1) e a face inferior da viga do viaduto 
rodoviário (P2) deverá ser 6,00m, verifique se o Gabarito Mínimo foi respeitado, justificando sua 
resposta. 
c) Considerando o item anterior (b), se o gabarito rodoviário não for respeitado, qual deveria ser a cota 
do pavimento (ponto P3) para que o gabarito mínimo fosse respeitado. 
d) Determine a altura da viga do viaduto rodoviário e o desnível entre os pavimentos das duas pistas 
rodoviárias (P3 e P1). 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo Zenital 
Distância 
Inclinada = DI 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
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37 - Supondo que você foi contratado para determinar a altura máxima que deverá ter um edifício a ser 
construído em um terreno localizado na orla da cidade de Olinda/PE, e que a premissa estabelecida pelo 
3º Distrito do Comando Naval da Marinha do Brasil, foi que o edifício não deverá obstruir o feixe de 
iluminação do farol posicionado atrás do terreno, sabendo que a distância horizontal entre o ponto mais 
elevado do edifício até o ponto onde o feixe de iluminação do farol parte é de DH3 = 308,540m, Faça o que 
se pede abaixo: 
 
Especificações técnicas do levantamento: 
Altura do instrumento: i = 1,56m 
Altura do Prisma, quando utilizado nas medições: Ap = 1,80m 
Ângulo de Abertura do feixe luminoso do canhão do Farol: β = 4°44'45" 
Ângulos Verticais: ΖP1= 66°41'59", ΖP2= 75°14'45" e ΖP3= 92°32'57" 
Distância Medidas em Campo: DI1 = 192,960m, DI2 = 183,266m e DI3 = 131,447m 
Cota estabelecida para o Ponto “M1” é de 143,546 m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
b) Determinar a altura do Farol (Distância vertical entre os pontos P1 e P2). 
c) Determinar as Cotas dos Pontos "A" e "B". 
d) Determinar a altura máxima do Edifício (H). 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulos 
Verticais 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38 - Supondo que você foi contratado para determinar a altura máxima que deverá ter um edifício a ser 
construído em um terreno localizado na orla da cidade de Olinda/PE, e que a premissa estabelecida pelo 
3º Distrito do Comando Naval da Marinha do Brasil, foi que o edifício não deverá obstruir o feixe de 
iluminação do farol posicionado atrás do terreno, sabendo que a distância horizontal entre o ponto mais 
elevado do edifício até o ponto onde o feixe de iluminação do farol parte é de DH3 = 270,669m, Faça o que 
se pede abaixo: 
 
Especificações técnicas do levantamento: 
Altura do instrumento: i = 1,56m 
Altura do Prisma, quando utilizado nas medições: Ap = 1,80m 
Ângulo de Abertura do feixe luminoso do canhão do Farol: β = 4°44'45" 
Ângulos Verticais: αP1= 23°18'01", αP2= 15°03'19" e αP3= -03°34'48" 
Distância Medidas em Campo: DI1 = 192,960m, DI2 = 183,266m e DI3 = 93,628m 
Cota estabelecida para o Ponto “M1” é de 523,128 m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
b) Determinar a altura do Farol (Distância vertical entre os pontos P1 e P2). 
c) Determinar as Cotas dos Pontos "A" e "B". 
d) Determinar a altura máxima do Edifício (H). 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulos 
Verticais 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39 - Supondo que você foi contratado para determinar a altura máxima que deverá ter um edifício a ser 
construído em um terreno localizado na orla da cidade de Olinda/PE, e que a premissa estabelecida pelo 
3º Distrito do Comando Naval da Marinha do Brasil, foi que o edifício não deverá obstruir o feixe de 
iluminação do farol posicionado atrás do terreno, sabendo que a distância horizontal entre o ponto mais 
elevado do edifício até o ponto onde o feixe de iluminação do farol parte é de DH3 = 346,769m, Faça o que 
se pede abaixo: 
 
Especificações técnicas do levantamento: 
Altura do instrumento: i = 1,56m 
Altura do Prisma, quando utilizado nas medições: Ap = 1,95m 
Ângulo de Abertura do feixe luminoso do canhão do Farol: β = 4°44'45" 
Ângulos Verticais: αP1= 23°18'01", αP2= 14°45'15" e ΖP3= 91°58'30" 
Distância Medidas em Campo: DI1 = 192,960m, DH2 = 177,223m e DI3 = 169,646m 
Cota estabelecida para o Ponto “M1” é de 108,908 m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
b) Determinar a altura do Farol (Distância vertical entre os pontos P1 e P2). 
c) Determinar as Cotas dos Pontos "A" e "B". 
d) Determinar a altura máxima do Edifício (H). 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulos 
Verticais 
Distâncias ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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40 - Supondo que você foi contratado para medir o valor do deslocamento vertical (Recalque) sofrido por um 
edifício localizado na Região Metropolitana do Recife (RMR) após um ano de sua conclusão, ocasionado pela 
acomodação do solo na base da fundação do empreendimento, para essa tarefa você fará uso de uma estação 
total capaz de fazer leituras ângulos verticais e distância com ou sem a necessidade do uso do Prisma Refletor. 
Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
Especificações técnicas do levantamento: 
Altura do instrumento: i = 1,69m 
Altura do Prisma, quando utilizado nas medições: Ap = 1,80m 
Ângulos Verticais: ΖP1= 28°23'49", ΖP2= 29°51'40" e ΖP3= 91°19'09" 
Distância Medidas em Campo: DH1 = 34,890m, DI2 = 74,297m e DH3 = 34,890m 
Cota estabelecida para o Ponto “M1” é de 38,129 m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
b) Determinar o Recalque Vertical sofrido pelo Edifício. 
c) Qual a Altura do Edifício Antes e Após o Recalque acontecer. 
 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulos 
Verticais 
Distâncias ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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41 - Supondo que você foi contratado para medir o valor do deslocamento vertical (Recalque) sofrido por um 
edifício localizado na Região Metropolitana do Recife (RMR) após um ano de sua conclusão, ocasionado pela 
acomodação do solo na base da fundação do empreendimento, para essa tarefa você fará uso de uma estação 
total capaz de fazer leituras ângulos verticais e distância com ou sem a necessidade do uso do Prisma Refletor. 
Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
Especificações técnicas do levantamento: 
Alturado instrumento: i = 1,69m 
Altura do Prisma, quando utilizado nas medições: Ap = 1,80m 
Ângulos Verticais: αP1= 59°15'15", αP2= 57°36'17" e αP3= -01°19'09" 
Distância Medidas em Campo: DI1 = 68,248m, DI2 = 69,047m e DH3 = 34,890m 
Cota estabelecida para o Ponto “M1” é de 23,908 m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
b) Determinar o Recalque Vertical sofrido pelo Edifício. 
c) Qual a Altura do Edifício Antes e Após o Recalque acontecer. 
 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulos 
Verticais 
Distâncias ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 41 
 
 
42- Supondo que você foi contratado para medir o valor do deslocamento vertical (Recalque) sofrido por um 
edifício localizado na Região Metropolitana do Recife (RMR) após um ano de sua conclusão, ocasionado pela 
acomodação do solo na base da fundação do empreendimento, para essa tarefa você fará uso de uma estação 
total capaz de fazer leituras ângulos verticais e distância com ou sem a necessidade do uso do Prisma Refletor. 
Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
Especificações técnicas do levantamento: 
Altura do instrumento: i = 1,51m 
Altura do Prisma, quando utilizado nas medições: Ap = 1,80m 
Ângulos Verticais: ΖP1= 30°44'45", ΖP2= 32°23'43" e ΖP3= 91°19'09" 
Distância Medidas em Campo: DI1 = 68,248m, DI2 = 69,047m e DI3 = 34,900m 
Cota estabelecida para o Ponto “M1” é de 8,477 m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
b) Determinar o Recalque Vertical sofrido pelo Edifício. 
c) Qual a Altura do Edifício Antes e Após o Recalque acontecer. 
 
 
 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Pontos 
Visados 
Altura do 
Prisma 
(m) 
Ângulos 
Verticais 
Distâncias ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 42 
 
 
43 - Supondo que você foi contratado para realizar o levantamento altimétrico de um eixo previamente locado e 
estaqueado, na interseção do entroncamento entre as rodovias estaduais PB-008 e PB-044 no estado da Paraíba, 
conforme especificações técnicas o eixo precisa ser nivelado e contranivelamento geometricamente, o levantamento 
deverá se enquadrar na Classe IN, sabendo que o levantamento destina-se a obtenção das cotas de cada uma das estacas 
do eixo da estrada , com fins de elaboração do desenho do perfil longitudinal da rodovia nesse trecho levantado, responda 
o que se pede abaixo: 
 
a) Faça o cálculo da caderneta abaixo e indique a estaca e a cota do ponto mais baixo do eixo estaqueado da PB-044 nesse 
segmento levantado geometricamente. 
 
b) A extensão total do trecho nivelado em metros do intervalo entre as estacas Est. 21+0,00 a Est. 32+18,56. 
 
c) Calcule o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica, como também justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não, segundo a Norma NBR-13133/94, sabendo que a cota do RN-29 usado como referência de partida na 
etapa de nivelamento geométrico é de 453,370m. 
 
 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (m) 
5 
32+18,56 1150 - 
 
 
32 - 1232 
 
 
31 - 1359 
 
 
6 
31 556 - 
 
 
30 - 890 
 
 
29 - 1576 
 
 
28 - 2040 
 
 
7 
28 656 - 
 
 
27 - 690 
 
 
26 - 1076 
 
 
25 - 1541 
 
 
24 - 1623 
 
 
8 
22 1531 - 
 
 
21 - 1798 
 
RN-29 - 1841 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 43 
 
 
44 - Supondo que você foi contratado para realizar o levantamento altimétrico de um eixo previamente locado e 
estaqueado, na interseção do entroncamento entre as rodovias estaduais PB-008 e PB-044 no estado da Paraíba, 
conforme especificações técnicas o eixo precisa ser nivelado e contranivelamento geometricamente, o levantamento 
deverá se enquadrar na Classe IIN, sabendo que o levantamento destina-se a obtenção das cotas de cada uma das estacas 
do eixo da estrada , com fins de elaboração do desenho do perfil longitudinal da rodovia nesse trecho levantado, responda 
o que se pede abaixo: 
 
a) Faça o cálculo da caderneta abaixo e indique a estaca e a cota do ponto mais baixo do eixo estaqueado da PB-044 nesse 
segmento levantado geometricamente. 
 
b) A extensão total do trecho nivelado em metros do intervalo entre as estacas Est. 21+0,00 a Est. 36+19,45. 
 
c) Calcule o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica, como também justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não, segundo a Norma NBR-13133/94, sabendo que a cota do RN-29 usado como referência de partida na 
etapa de nivelamento geométrico é de 453,622m. 
 
 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (m) 
5 
36+19,45 1150 - 
 
 
36 - 1232 
 
 
35 - 1359 
 
 
6 
35 556 - 
 
 
34 - 874 
 
 
33 - 1576 
 
 
32 - 2040 
 
 
7 
32 456 - 
 
 
31 - 690 
 
 
30 - 1076 
 
 
29 - 1489 
 
 
28 - 1623 
 
 
8 
28 1989 
 
 
22 1798 
 
 
21 1678 
 
 
RN-29 - 1841 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 44 
 
 
45 - Supondo que você foi contratado para realizar o levantamento altimétrico de um eixo previamente locado e 
estaqueado, na interseção do entroncamento entre as rodovias estaduais PB-008 e PB-044 no estado da Paraíba, 
conforme especificações técnicas o eixo precisa ser nivelado e contranivelamento geometricamente, o levantamento 
deverá se enquadrar na Classe IN, sabendo que o levantamento destina-se a obtenção das cotas de cada uma das estacas 
do eixo da estrada , com fins de elaboração do desenho do perfil longitudinal da rodovia nesse trecho levantado, responda 
o que se pede abaixo: 
 
a) Faça o cálculo da caderneta abaixo e indique a estaca e a cota do ponto mais baixo do eixo estaqueado da PB-044 nesse 
segmento levantado geometricamente. 
 
b) A extensão total do trecho nivelado em metros do intervalo entre as estacas Est. 22+0,00 a Est. 36+19,45. 
 
c) Calcule o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica, como também justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não, segundo a Norma NBR-13133/94, sabendo que a cota do RN-67 usado como referência de partida na 
etapa de nivelamento geométrico é de 30,433m. 
 
 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (m) 
4 
36+19.45 1150 - 
 
 
36 - 1232 
 
 
35 - 1359 
 
 
5 
35 656 - 
 
 
34 - 874 
 
 
33 - 1576 
 
 
32 - 2040 
 
 
6 
32 456 - 
 
 
31 - 690 
 
 
30 - 1076 
 
 
29 - 1489 
 
 
28 - 1623 
 
 
22 2721 
 
 
RN-67 - 3223 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 45 
 
46 - Supondo que você foi contratado para monitorar o deslocamento vertical (Recalque)sofrido nos pilares de um Galpão 
Industrial localizado na Região Metropolitana do Recife (RMR) ao longo de um ano, deslocamento esse ocasionado pela 
acomodação do solo na base da fundação do empreendimento, para essa tarefa você fará uso de uma estação total capaz 
de fazer leituras de ângulos verticais e distâncias sem a necessidade do uso do Prisma Refletor e de pinos previamente 
fixados na parede dos pilares (pontos nos pilares indicados no desenho abaixo). Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
Cota estabelecida para o Ponto “RN-1” é de 100,345m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pinos de controle de recalque 
fixados na face dos pilares de P1 a P8, das leituras do segundo levantamento de monitoramento da estrutura do 
galpão. 
 
b) Indique quais pilares estão fora do valor limite de recalque que é de até -10mm, conforme especificação 
técnica do calculista da estrutura, e sabendo que as cotas obtidas no primeiro levantamento de monitoramento 
da estrutura do galpão usado como referência, encontram-se também indicado na tabela abaixo. 
 
c) Com base nos valores dos recalques calculados, determine o desnível (em milímetros) entre o pino fixado na 
face do pilar de maior recalque e o RN-1 usado como referência, usando a cota do segundo levantamento. 
 
 
 
 
Estação 
Primeiro Levantamento Segundo Levantamento RECALQUE 
(R) 
 
(mm) 
Pontos 
Visados 
Cotas 
(mm) 
Pontos 
Visados 
i Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) 
Inclinada 
(m) (m) 
1 P1 101962 P1 1,56 α= 0°04'27" 40,45 
 
1 P2 101856 P2 1,56 α= -0°05'04" 38,98 
 
1 P3 101744 P3 1,56 α= -0°15'06" 40,11 
 
1 P4 101762 P4 1,56 α= -0°13'09" 40,45 
 
1 P5 101898 P5 1,56 Z= 90°01'10" 43,56 
 
1 P6 101829 P6 1,56 Z= 90°06'08" 45,78 
 
1 P7 101797 P7 1,56 Z= 90°08'20" 46,56 
 
1 P8 101759 P8 1,56 Z= 90°11'01" 46,89 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 46 
 
47 - Supondo que você foi contratado para monitorar o deslocamento vertical (Recalque) sofrido nos pilares de um Galpão 
Industrial localizado na Região Metropolitana do Recife (RMR) ao longo de um ano, deslocamento esse ocasionado pela 
acomodação do solo na base da fundação do empreendimento, para essa tarefa você fará uso de uma estação total capaz 
de fazer leituras de ângulos verticais e distâncias sem a necessidade do uso do Prisma Refletor e de pinos previamente 
fixados na parede dos pilares (pontos nos pilares indicados no desenho abaixo). Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
Cota estabelecida para o Ponto “RN-1” é de 58,891m 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pinos de controle de recalque 
fixados na face dos pilares de P1 a P8, das leituras do segundo levantamento de monitoramento da estrutura do 
galpão. 
 
b) Indique quais pilares estão fora do valor limite de recalque que é de até -10mm, conforme especificação 
técnica do calculista da estrutura, e sabendo que as cotas obtidas no primeiro levantamento de monitoramento 
da estrutura do galpão usado como referência, encontram-se também indicado na tabela abaixo. 
 
c) Com base nos valores dos recalques calculados, determine o desnível (em milímetros) entre o pino fixado na 
face do pilar de maior recalque e o RN-1 usado como referência, usando a cota do segundo levantamento. 
 
 
 
 
Estação 
Primeiro Levantamento Segundo Levantamento RECALQUE 
(R) 
 
(mm) 
Pontos 
Visados 
Cotas 
(mm) 
Pontos 
Visados 
i Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) 
Inclinada 
(m) (m) 
1 P1 60462 P1 1.56 Z= 89°59'33" 35.45 
 
1 P2 60407 P2 1.56 Z= 90°05'04" 32.98 
 
1 P3 60372 P3 1.56 Z= 90°08'06" 35.11 
 
1 P4 60318 P4 1.56 Z= 90°13'09" 35.45 
 
1 P5 60348 P5 1.56 α= -0°10'18" 37.00 
 
1 P6 60391 P6 1.56 α= -0°06'08" 38.78 
 
1 P7 60355 P7 1.56 α= -0°08'20" 41.56 
 
1 P8 60430 P8 1.56 α= -0°02'01" 41.89 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 47 
 
48 - Você foi designado para checar e aprovar um transporte de altitude do RN-1 pertencente e Rede 
Brasileira de Primeira Ordem (IBGE), até o início do levantamento de uma rua a ser pavimentada, com fins 
de elaboração de um projeto viário. O levantamento foi realizado por meio de nivelamento geométrico 
(Mira e Nível), com levantamento do tipo Classe IIN, nos trabalhos de campo foram coletadas as leituras 
da mira nos pontos necessários para realizar o transporte da altitude (desenho abaixo). Sabendo que a 
altitude do RN-1 (IBGE) é de 5791mm e que a distância do RN-1 ao RN-2 implantado é de 178,45m. 
Responda o que se pede abaixo: 
 
a) Calcule a cota do RN-2 implantado para o levantamento da rua a ser pavimenta, preenchendo a tabela 
abaixo, mas sabendo que o topógrafo não anotou a visada de Vante da Estação II para o ponto Aux-2, 
entretanto o ponto Aux-2 usado no levantamento pelo topógrafo, coincide com um RN de altitude 
previamente conhecida e pertencente a Rede altimétrica da PCR - Prefeitura da Cidade do Recife (Desnível 
entre a rede altimétrica do IBGE e da PCR é de 1,323m), e que a rede da PCR está referenciada ao nível 
mínimo do mar e o IBGE o nível médio do mar, e sabendo também que a Altitude do RN da PCR é de 5578mm. 
 
b) Determine o valor da visado de Vante da Estação II no ponto Auxiliar 2 (Aux-2). 
 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico e a tolerância altimétrica, e por fim justifique se o 
trabalho está satisfatório ou não segundo Norma NBR-13133/94, sabendo que a altitude do RN-1 no 
Contranivelamento realizado posterior ao nivelamento foi de 5782mm. 
 
 
Caderneta de Nivelamento 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1245 345 
672 ? 
945 1021 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 48 
 
49 - Você foi designado para checar e aprovar um transporte de altitude do RN-1 pertencente e Rede 
Brasileira de Primeira Ordem (IBGE), até o início do levantamento de uma rua a ser pavimentada, com fins 
de elaboração de um projeto viário. O levantamento foi realizado por meio de nivelamento geométrico 
(Mira e Nível), com levantamento do tipo Classe IN, nos trabalhos de campo foram coletadas as leituras da 
mira nos pontos necessários para realizar o transporte da altitude (desenho abaixo). Sabendo que a 
altitude do RN-1 (IBGE) é de 4561mm e que a distância do RN-1 ao RN-2 implantado é de 150,59m. 
Responda o que se pede abaixo: 
 
a) Calcule a cota do RN-2 implantado para o levantamento da rua a ser pavimenta, preenchendo a tabela 
abaixo, mas sabendo que o topógrafo não anotou a visada de Vante da Estação II para o ponto Aux-2, 
entretanto o ponto Aux-2 usado no levantamento pelo topógrafo, coincide com um RN de altitude 
previamente conhecida e pertencente a Rede altimétrica da PCR - Prefeitura da Cidade do Recife (Desnível 
entre a rede altimétrica do IBGE e da PCR é de 1,323m), e que a rede da PCR está referenciada ao nível 
mínimo do mar e o IBGE o nível médio do mar, e sabendo também que a Altitude do RN da PCR é de 4,351m. 
 
b) Determine o valor da visado de Vante da Estação II no ponto Auxiliar 2 (Aux-2). 
 
c) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico e a tolerância altimétrica, e por fim justifique se o 
trabalho está satisfatório ou não segundo Norma NBR-13133/94, sabendo que a altitude do RN-1 no 
Contranivelamentorealizado posterior ao nivelamento foi de 4565mm. 
 
 
Caderneta de Nivelamento 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1245 345 
678 ? 
945 1037 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 49 
 
 
50 - Um engenheiro civil fez um nivelamento geométrico composto com 2 estações, destinado ao 
levantamento altimétrico dos vértices de uma poligonal fechada na mesma base, para isso ele realizou um 
nivelamento geométrico com Mira Falante e Nível, fazendo as leituras na mira, e mostrada no desenho 
abaixo com seus valores expressos em metros. Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
a) Pede-se que calcule a caderneta de nivelamento geométrico, determinando assim as cotas dos vértices 
da poligonal levantada altimetricamente. 
 
b) Verifique se o erro cometido no levantamento está dentro da tolerância altimétrica ou não, sabendo-se 
que a distância nivelada foi de 467,34m, que a Cota do RN de partida é de 100,912m e que a Cota do Ponto 
RN no Contranivelamento foi de 100923mm, como também que a tolerância para esse levantamento será 
correspondente a Classe IIN. 
 
 
 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 50 
 
 
51 - Um engenheiro civil fez um nivelamento geométrico composto com 2 estações, destinado ao 
levantamento altimétrico dos vértices de uma poligonal fechada na mesma base, para isso ele realizou um 
nivelamento geométrico com Mira Falante e Nível, fazendo as leituras na mira, e mostrada no desenho 
abaixo com seus valores expressos em metros. Sabendo disso faça o que se pede abaixo: 
 
a) Pede-se que calcule a caderneta de nivelamento geométrico, determinando assim as cotas dos vértices 
da poligonal levantada altimetricamente. 
 
b) Verifique se o erro cometido no levantamento está dentro da tolerância altimétrica ou não, sabendo-se 
que a distância nivelada foi de 467,34m, que a Cota do RN de partida é de 4981mm e que a Cota do Ponto 
RN no Contranivelamento foi de 4,993m, como também que a tolerância para esse levantamento será 
correspondente a Classe IN. 
 
 
 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 51 
 
 
52 - Supondo que você foi contratado para realizar o levantamento altimétrico de um eixo previamente locado e 
estaqueado, numa interseção na rodovia estadual AP-010, conforme especificações técnicas o eixo precisa ser nivelado e 
contranivelamento geometricamente, o levantamento deverá se enquadrar na Classe IN, sabendo que o levantamento 
destina-se a obtenção das cotas de cada uma das estacas do eixo da AP-010 , com fins de elaboração do desenho do perfil 
longitudinal da rodovia nesse trecho levantado está indicado abaixo, responda o que se pede: 
 
a) Faça o cálculo da caderneta de Contranivelamento indicada abaixo, sabendo que a cota da estaca Est. 532+3,800 usada 
como partida na etapa do Contranivelamento Geométrico foi de 4,567m. 
 
b) A extensão total do trecho nivelado em metros do intervalo entre as estacas Est. 519+0,00 a Est. 532+3,80. 
 
c) Calcule o valor do erro de fechamento altimétrico, a tolerância altimétrica, como também justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não, segundo a Norma NBR-13133/94, sabendo que a cota do RN-451J usado como partida na etapa do 
Nivelamento Geométrico foi de 2544mm e que a distância do RN-451J a Est. 519+0,00 é de 40,46m. 
 
d) Desenhe um Croqui do perfil longitudinal do Eixo levantado entre as estacas Est. 519+0,00 a Est. 532+3,80. 
 
 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
5 
532+3,800 1454 - 
 
 
531 - 1401 
 
 
530 - 1471 
 
 
6 
530 556 - 
 
 
529 - 890 
 
 
528 - 1045 
 
 
527 - 1289 
 
 
526 - 1456 
 
 
7 
526 656 - 
 
 
525 - 967 
 
 
524 - 1076 
 
 
523 - 1345 
 
 
521 - 1456 
 
 
8 
521 1531 
 
 
520 1675 
 
 
519 1798 
 
 
RN-451J - 1841 
 
RN da partida 
 
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Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 52 
 
53 - Supondo que você foi designado para verificar as cotas de topo de coroamento dos pilares de apoio de um 
equipamento pertencente a uma fábrica de cimento, a ser construída na divisa dos estados de Pernambuco e Paraíba, 
sabendo que os pilares de apoio P1, P3 e P5, conforme especificação técnica do fabricante do equipamento, deverão ficar 
58cm mais altos que seus pilares frontais (P1 -> P2, P3 -> P4 e P5 -> P6), e não poderão ter desnível superior a +/-10mm, 
pois desníveis superior a esse poderão comprometer a integridade da máquina, por gerar vibrações indesejáveis que 
causariam comprometimento ao funcionamento do equipamento. Para essa tarefa você fará uso de uma estação total 
capaz de realizar leituras de ângulos verticais e distâncias sem a necessidade do uso do Prisma Refletor.Cota estabelecida 
para marco “RN-1” é de 67,678m. 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas do topo de coroamento dos pilares de 
apoio do equipamento pertencente a fábrica de cimento, pilares de P1 a P6. 
 
b) Indique quais pilares estão fora do valor limite de desnível, conforme especificação técnica do fabricante do 
equipamento a ser instalado na fábrica de cimento, preencha também a última coluna da planilha abaixo. 
 
c) Com relação as duas linhas de pilares, Linha 1 (P1, P3 e P5) Linha 2 (P2, P4 e P6), verifique se existem desníveis 
superiores a tolerância de +/-10mm entre os pilares da Linha 1 e da Linha 2, determinando suas discrepâncias. 
 
 
 
 
Estação 
 Nivelamento Trigonométrico 
Pontos 
Visados 
Ai Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) 
Desnível entre os 
Pilares (mm) 
Inclinada 
(m) (m) 
1 
P1 1,62 Z=75°59'36" 30,74 
 
 P1 - P2 
P2 1,62 Z=74°33'26" 25,74 
 
 Valor = _______ 
P3 1,62 Z=76°12'45" 31,24 
 
 P3 - P4 
P4 1,62 α=15°5'25" 26,33 
 
 Valor = _______ 
P5 1,62 α=13°15'20" 32,51 
 
 P5 - P6 
P6 1,62 α=14°16'10" 27,83 
 
 Valor = _______ 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 53 
 
54 - Supondo que você foi designado para verificar as cotas de topo de coroamento dos pilares de apoio de um 
equipamento pertencente a uma fábrica de cimento, a ser construída na divisa dos estados de Pernambuco e Paraíba, 
sabendo que os pilares de apoio P1, P3 e P5, conforme especificação técnica do fabricante do equipamento, deverão ficar 
57cm mais altos que seus pilares frontais (P1 -> P2, P3 -> P4 e P5 -> P6), e não poderão ter desnível superior a +/-20mm, 
pois desníveis superior a esse poderão comprometer a integridade da máquina, por gerar vibrações indesejáveis que 
causariam comprometimento ao funcionamento do equipamento. Para essa tarefa você fará uso de uma estaçãototal 
capaz de realizar leituras de ângulos verticais e distâncias sem a necessidade do uso do Prisma Refletor.Cota estabelecida 
para marco “RN-1” é de 14,567m. 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas do topo de coroamento dos pilares de 
apoio do equipamento pertencente a fábrica de cimento, pilares de P1 a P6. 
 
b) Indique quais pilares estão fora do valor limite de desnível, conforme especificação técnica do fabricante do 
equipamento a ser instalado na fábrica de cimento, preencha também a última coluna da planilha abaixo. 
 
c) Com relação as duas linhas de pilares, Linha 1 (P1, P3 e P5) Linha 2 (P2, P4 e P6), verifique se existem desníveis 
superiores a tolerância de +/-10mm entre os pilares da Linha 1 e da Linha 2, determinando suas discrepâncias. 
 
 
 
 
Estação 
 Nivelamento Trigonométrico 
Pontos 
Visados 
Ai Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) 
Desnível entre os 
Pilares (mm) 
Inclinada 
(m) (m) 
1 
P1 1,55 Z=75°59'36" 30,74 
 
 P1 - P2 
P2 1,55 α=15°26'44" 25,74 
 
 Valor = _______ 
P3 1,55 Z=76°12'45" 31,24 
 
 P3 - P4 
P4 1,55 Z=74°54'35" 26,33 
 
 Valor = _______ 
P5 1,55 α=13°15'55" 32,51 
 
 P5 - P6 
P6 1,55 Z=75°43'55" 27,83 
 
 Valor = _______ 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 54 
 
55- Supondo que você foi designado para realizar o levantamento das cotas dos topos dos pilares de uma ponte ferroviária 
da obra da Ferrovia Transnordestina, deverão estar referenciadas a rede altimétrica de primeira ordem do IBGE, para isso 
você primeiramente realizou o transporte de cota através de um nivelamento e um contranivelamento de um RN do IBGE 
(RN-1) localiza a 658,34m do RN implantado na obra da Ponte Ferroviária (RN-2). Portanto primeiramente foi utilizado um 
nível óptico mecânico e Mira falante para o nivelamento geométrico destinado ao transporte de cota/altitude do RN-1 ao 
RN-2, e posteriormente com a Estação Total a partir do RN-2 a determinação das cotas/altitudes dos topos dos pilares da 
ponte ferroviária da obra da Ferrovia Transnordestina. Sabendo disso responda o que se pede abaixo. 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento Geométrico abaixo, correspondente ao transporte de cota/altitude, 
determinando o valor da cota/altitude do RN-2, sabendo que a cota do RN do IBGE (RN-1) de partida é de 3782mm. 
 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico e a tolerância altimétrica, e por fim justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não segundo Norma NBR-13133/94 para Classe IN, sabendo que a altitude do RN-1 no Contranivelamento 
realizado posterior ao nivelamento foi de 3777mm. 
 
c) Preencha a caderneta de Nivelamento Trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos topos dos pilares da ponte 
ferroviária da obra da Ferrovia Transnordestina. 
 
 
 
 
Caderneta de Nivelamento Geométrico - Transporte de Cota 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN-1 1435 - 
 
Aux-1 - 907 
 
2 
Aux-1 1234 - 
 
RN-2 - 1879 
 
 
Caderneta de Nivelamento Trigonométrico 
Estação 
Pontos Visados 
Pilares 
Ai Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) Inclinada 
(m) (m) 
A 
P1 1,62 Z=75°58'36" 30,74 
 
 
P2 1,62 Z=73°11'45" 25,74 
 
 
P3 1,62 Z=76°12'45" 31,24 
 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 55 
 
56- Supondo que você foi designado para realizar o levantamento das cotas dos topos dos pilares de uma ponte ferroviária 
da obra da Ferrovia Transnordestina, deverão estar referenciadas a rede altimétrica de primeira ordem do IBGE, para isso 
você primeiramente realizou o transporte de cota através de um nivelamento e um contranivelamento de um RN do IBGE 
(RN-1) localiza a 358,34m do RN implantado na obra da Ponte Ferroviária (RN-2). Portanto primeiramente foi utilizado um 
nível óptico mecânico e Mira falante para o nivelamento geométrico destinado ao transporte de cota/altitude do RN-1 ao 
RN-2, e posteriormente com a Estação Total a partir do RN-2 a determinação das cotas/altitudes dos topos dos pilares da 
ponte ferroviária da obra da Ferrovia Transnordestina. Sabendo disso responda o que se pede abaixo. 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento Geométrico abaixo, correspondente ao transporte de cota/altitude, 
determinando o valor da cota/altitude do RN-2, sabendo que a cota do RN do IBGE (RN-1) de partida é de 109345mm. 
 
b) Calcular o valor do erro de fechamento altimétrico e a tolerância altimétrica, e por fim justifique se o trabalho está 
satisfatório ou não segundo Norma NBR-13133/94 para Classe IIN, sabendo que a altitude do RN-1 no Contranivelamento 
realizado posterior ao nivelamento foi de 109358mm. 
 
c) Preencha a caderneta de Nivelamento Trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos topos dos pilares da ponte 
ferroviária da obra da Ferrovia Transnordestina. 
 
 
 
 
Caderneta de Nivelamento Geométrico - Transporte de Cota 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN-1 1435 - 
 
Aux-1 - 907 
 
2 
Aux-1 1234 - 
 
RN-2 - 1879 
 
 
Caderneta de Nivelamento Trigonométrico 
Estação 
Pontos Visados 
Pilares 
Ai Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) Inclinada 
(m) (m) 
A 
P1 1,72 Z=90°59'12" 10,969 
 
 
P2 1,72 Z=90°59'45" 11,486 
 
 
P3 1,72 Z=90°50'56" 13,911 
 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 56 
 
57 - Supondo que você foi designado para realizar o controle geométrico da verticalidade da fachada de um edifício 
localizado no na cidade de Olinda/PE, sendo esse edifício posicionado com sua fachada frontal voltada para o mar, portanto 
sujeito aos efeitos agressivos das intempéries. Para essa tarefa você fará uso de uma estação total capaz de fazer leituras 
de ângulos verticais e distâncias inclinadas sem a necessidade do uso do Prisma Refletor.Sabendo que a cota estabelecida 
para marco “RN-1” onde a estação total encontra-se centrada e calada é de 67,678m, determinar o que se pede 
abaixo. 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos utilizados para 
monitoramento da fachada, localizados no 1º Piso, 5º Piso, 9º Piso e topo do Edifício, pontos P1, P2, P3 e P4 
respectivamente. 
 
b) Usando o Ponto P1 como referência, determine o deslocamento horizontal da fachada do edifício nos pontos 
de monitoramento P2, P3 e P4 (deslocamento máximo). 
 
c) Determine qual é o desnível (diferença de cotas) entre os pontos P1 → P2 e P2 → P3, que correspondem a 
quatro pavimentos do edifício monitorado, sabendo que o desnível deverá ser de 11,50m, com variação máxima 
de +/-15cm. Indique se existem desníveis superiores a tolerância indicada (+/-15cm) entre P1 → P2 e P2 → P3, 
mostrando os valores calculados. 
 
 
 
Estação Pontos Visados 
Ai Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) Inclinada 
(m) (m) 
1 
P1 1,62 Z=81°55'06" 29,193 
 
 
P2 1,62 Z=61°53'01" 32,814 
 
 
P3 1,62 Z=47°10'13" 39,516 
 
 
P4 1,62 Z=34°55'15" 50,752 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 57 
 
58 - Supondo que você foi designado para realizar o controle geométrico da verticalidade da fachada de um edifício 
localizado no na cidade de Olinda/PE, sendo esse edifício posicionado comsua fachada frontal voltada para o mar, portanto 
sujeito aos efeitos agressivos das intempéries. Para essa tarefa você fará uso de uma estação total capaz de fazer leituras 
de ângulos verticais e distâncias inclinadas sem a necessidade do uso do Prisma Refletor.Sabendo que a cota estabelecida 
para marco “RN-1” onde a estação total encontra-se centrada e calada é de 12,978m, determinar o que se pede 
abaixo. 
 
a) Preencha a caderneta de Nivelamento abaixo, determinando as cotas dos pontos utilizados para 
monitoramento da fachada, localizados no 1º Piso, 5º Piso, 9º Piso e topo do Edifício, pontos P1, P2, P3 e P4 
respectivamente. 
 
b) Usando o Ponto P1 como referência, determine o deslocamento horizontal da fachada do edifício nos pontos 
de monitoramento P2, P3 e P4 (deslocamento máximo). 
 
c) Determine qual é o desnível (diferença de cotas) entre os pontos P1 → P2 e P2 → P3, que correspondem a 
quatro pavimentos do edifício monitorado, sabendo que o desnível deverá ser de 11,55m, com variação máxima 
de +/-15cm. Indique se existem desníveis superiores a tolerância indicada (+/-15cm) entre P1 → P2 e P2 → P3, 
mostrando os valores calculados. 
 
 
 
Estação Pontos Visados 
Ai Ângulos 
Verticais 
Distância 
∆H 
(mm) 
Cotas 
(mm) Inclinada 
(m) (m) 
1 
P1 1,70 Z=81°55'06" 29,193 
 
 
P2 1,70 Z=61°54'24" 32,838 
 
 
P3 1,70 Z=47°13'32" 39,557 
 
 
P4 1,70 Z=34°59'08" 50,792 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 58 
 
1ª QUESTÃO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN1 = 1 2167 - 236708 234541 
2 - 1348 236708 235360 
2 
2 3401 - 238761 235360 
3 - 1556 238761 237205 
4 - 3007 238761 235754 
3 
4 288 - 236042 235754 
5 - 2082 236042 233960 
6 - 3528 236042 232514 
7 - 3749 236042 232293 
 
2ª QUESTÃO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN-1 769 559662 558893 
1 2301 559662 557361 
2 1148 559662 558514 
3 1987 559662 557675 
2 
3 481 558156 557675 
4 1488 558156 556668 
5 231 558156 557925 
6 2678 558156 555478 
3 
6 3405 558883 555478 
7 2691 558883 556192 
8 1458 558883 557425 
9 893 558883 557990 
 
Tolerância = 8,65mm 
 
Ec (mm) = 558893-558895 = 2mm 
Como o Ec < T o levantamento está OK conforme a NBR13133 
 
3ª QUESTÃO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN1 280 - 123736 123456 
Aux1 - 1077 123736 122659 
2 
Aux1 1790 - 124449 122659 
Aux2 - 1399 124449 123050 
3 
Aux2 1686 - 124736 123050 
Aux3 - 687 124736 124049 
4 
Aux3 1201 - 125250 124049 
Aux4 - 3002 125250 122248 
5 
Aux4 2914 - 125162 122248 
RN2 - 417 125162 124745 
 
 
Tolerância = 7,12mm 
 
Ec (mm) = 124745-124751 = 6mm 
Como o Ec < T o levantamento está OK conforme a NBR13133 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 59 
 
4ª QUESTÃO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
1 982 - 126750 125768 
2 - 1745 126750 125005 
3 - 3092 126750 123658 
2 
3 815 - 124473 123658 
4 - 1902 124473 122571 
5 - 2334 124473 122139 
6 - 3717 124473 120756 
3 
6 508 - 121264 120756 
7 - 2423 121264 118841 
 
5ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO 
PONTOS 
Leitura (mm) 
PR (mm) Cota (mm) OBS: VISADOS 
ESTACA Ré Vante 
I 
0 + 0.00 1470 51470 50000 Est. 0 = RN =50000mm 
1 + 0.00 1660 51470 49810 
2 + 0.00 2220 51470 49250 
3 + 0.00 1840 51470 49630 
II 
3 + 0.00 2457 52087 49630 
4 + 0.00 2222 52087 49865 
5 + 0.00 2380 52087 49707 
6 + 0.00 2700 52087 49387 
III 
6 + 0.00 3112 52499 49387 
7 + 0.00 3004 52499 49495 
8 + 0.00 3022 52499 49477 
9 + 0.00 3111 52499 49388 
10 + 0.00 3000 52499 49499 
IV 
10 + 0.00 2888 52387 49499 
11 + 0.00 2777 52387 49610 
12 + 0.00 2420 52387 49967 
13 + 0.00 2338 52387 50049 
14 + 0.00 2000 52387 50387 
 
 
Tolerância = 10,6mm 
 
 
Ec (mm) = 50000-50007 = 7mm 
 
 
Como o Ec < T o levantamento está OK conforme a NBR13133 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 60 
 
 
6ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (m) 
I 
4+0,00 1234 - 147015 145,781 
0+0,00 - 882 147015 146,133 
2+0,00 - 951 147015 146,064 
6+0,00 - 2345 147015 144,670 
II 
6+0,00 2367 - 147037 144,670 
8+0,00 - 678 147037 146,359 
10+0,00 - 1289 147037 145,748 
12+0,00 - 1189 147037 145,848 
III 
12+0,00 1567 - 147415 145,848 
14+0,00 - 1439 147415 145,976 
16+0,00 - 2789 147415 144,626 
16+11,872 - 3456 147415 143,959 
 
 
Extensão 0,3319 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 145,787m 
 
Classe IN T=12mm√k 
 
Ec (mm) 6,00mm 
 
T 6,913 mm 
 
 
7ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (m) 
I 
8+0,000 1294 - 534265 532,971 
10+0,000 - 1597 534265 532,668 
12+0,000 - 1078 534265 533,187 
14+0,000 - 806 534265 533,459 
II 
14+0,000 2398 - 535857 533,459 
18+0,000 - 1893 535857 533,964 
20+0,000 - 1396 535857 534,461 
22+0,000 - 956 535857 534,901 
III 
22+0,000 1567 - 536468 534,901 
24+0,000 - 2430 536468 534,038 
26+0,000 - 3556 536468 532,912 
27+2,372 - 2098 536468 534,370 
 
 
Extensão 0,332 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 532,983 m 
 
Classe IIN T=20mm√k 
 
Ec 12,00 mm 
 
T 11,522 mm 
 
d1 (m) 140,0 0 
 Como o Ec > T o levantamento Não está OK 
d2 (m) 191,87 
 
Extensão (km) = d1/1000+d2/1000 = 0,332 km 
 
 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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8ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
RN-4X 1567 - 4912 3345 
Aux-1 - 1265 4912 3647 
II 
Aux-1 879 - 4526 3647 
Aux-2 - 1245 4526 3281 
III 
Aux-2 2341 - 5622 3281 
Aux-3 - 1891 5622 3731 
IV 
Aux-3 719 - 4450 3731 
Aux-4 - 2345 4450 2105 
V 
Aux-4 1378 - 3483 2105 
RN-1 - 882 3483 2601 
 
 
Extensão 0,257 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 3352 mm 
 
Classe IN T=12mm√k 
 
Ec 7 mm 
 
T 6,083 mm 
 
 Como o Ec > T o levantamento Não está OK 
 
 
9ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
RN-1 1025 - 104481 103456 
Aux-1 - 895 104481 103586 
II 
Aux-1 789 - 104375 103586 
Aux-2 - 2356 104375 102019 
III 
Aux-2 2254 - 104273 102019 
Aux-3 - 1823 104273 102450 
IV 
Aux-3 905 - 103355 102450 
Aux-4 - 1459 103355 101896 
V 
Aux-4 1065 - 102961 101896 
RN-4x - 983 102961 101978 
 
 
Extensão 0,468 km 
 
CRN-4x 101987 mm 
 
Classe IN T=12mm√k 
 
Ec 9,00 mm 
 
T 8,213 mm 
 
 Como o Ec > T o levantamento Não está OK 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 62 
 
10ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
RN-1 1678 - 4690 3012 
Aux-1 - 2234 4690 2456 
II 
Aux-1 1345 - 3801 2456 
Aux-2 - 1125 3801 2676 
III 
Aux-2 1898 - 4574 2676 
RN-2 - 894 4574 3680 
 
 
Extensão 0,463 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 3027 mm 
 
Classe IN T=20mm√k 
 
Ec 15 mmT 13,604 mm 
 
 Como o Ec > T o levantamento não está OK 
 
11ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
RN-3641C 897 - 10150 9253 
Aux-1 - 2908 10150 7242 
II 
Aux-1 1278 - 8520 7242 
Aux-2 - 1035 8520 7485 
III 
Aux-2 1897 - 9382 7485 
RN-1 - 2897 9382 6485 
 
 
Extensão 1,836 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 9268 mm 
 
Classe IN T=12mm√k 
 
Ec 15 mm 
 
T 16,259 mm 
 
 Como o Ec < T o levantamento está OK 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 63 
 
12ª QUESTÃO 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
67+0,000 1675 105110 103435 
68+0,000 1234 105110 103876 
69+0,000 2345 105110 102765 
II 
69+0,000 768 103533 102765 
70+0,000 1789 103533 101744 
71+0,000 1458 103533 102075 
III 
71+0,000 2365 104440 102075 
72+0,000 3479 104440 100961 
73+0,000 1567 104440 102873 
74+0,000 1278 104440 103162 
75+0,000 1890 104440 102550 
a73+0,000 1234 104440 103206 
a74+0,000 1123 104440 103317 
a75+0,000 678 104440 103762 
IV 
a75+0,000 1245 105007 103762 
a76+0,000 1456 105007 103551 
a77+0,000 2345 105007 102662 
a78+0,000 3567 105007 101440 
a78+09,594 2786 105007 102221 
 
 
Extensão 0,2940 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 102227 mm 
 
Classe IN T=12mm√k 
 
Erro 6,00 mm 
 
Tolerância 6,506 mm 
 
 Como o Ec < T o levantamento está OK 
 
13ª QUESTÃO 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
Ré Vante (mm) (m) 
I 
RN-1 1602 - 6698 5,096 
1 - 3239 6698 3,459 
2 - 1947 6698 4,751 
II 
2 1045 - 5796 4,751 
3 - 2325 5796 3,471 
III 
3 3175 - 6646 3,471 
4 - 909 6646 5,737 
 
 
Extensão 256,470 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 5,104 m 
 
Classe IIN T=12mm√k 
 
Ec 8,00 mm 
 
T 6,077 mm 
 
 Como o Ec > T o levantamento NÃO está OK 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 64 
 
 
14ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO 
Pontos 
Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN-1 1689 569610 567921 
P1 818 569610 568792 
P2 1554 569610 568056 
P3 787 569610 568823 
P4 1501 569610 568109 
P5 539 569610 569071 
 Dist. (km) 0.158 
 Resposta item . Sabendo que a cota da Soleira da Casa 
corresponde a cota do Ponto P5 (569,071m), temos que a cota 
de inundação é a CotaRN-1 + 1,0m = 567,921m+1,0m = 
568,921m, ou seja, temos que o Ponto P5 (Soleira da Casa) 
estará 15cm mais alto que o nível da lâmina d´água. 
T (mm) 4.77 
 
Erro (mm) 4.0 E<T OK 
 Desnível Rampa (mm) 
 
Rampa 1 Rampa 2 
 
736 714 
 
 
15ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO 
Pontos 
Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
RN-3 1254 - 4712 3458 
Aux-1 - 1293 4712 3419 
II 
Aux-1 1892 - 5311 3419 
Aux-2 - 1045 5311 4266 
III 
Aux-2 1289 - 5555 4266 
Aux-3 - 1078 5555 4477 
IV 
Aux-3 770 - 5247 4477 
RN-4 - 1289 5247 3958 
 Dist. (km) 1.639 
 
Final do contranivelamento 3471 
 
T (mm) 15.36 
 
Erro 13 Erro < T - OK 
 
16ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO 
Pontos 
Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
I 
RN-1 1054 - 5512 4458 
Aux-1 - 1287 5512 4225 
II 
Aux-1 1792 - 6017 4225 
Aux-2 - 1012 6017 5005 
III 
Aux-2 1089 - 6094 5005 
Aux-2 - 1071 6094 5023 
 Dist. (km) 0.687 
 
Final do contranivelamento 4471 
 
T (mm) 9.95 
 
Erro 13 Erro > T - Não OK 
 
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Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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17ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (m) 
 70 1250 599811 598561 
 70 1384 599811 598427 
 71 1689 599811 598122 
 72 1890 599811 597921 
 73 2560 599811 597251 
 74 2741 599811 597070 
 75 2897 599811 596914 
 76 2914 599811 596897 
 76 2501 599398 596897 
 77 870 599398 598528 
 78 1450 599398 597948 
 79 1812 599398 597586 
 80 1987 599398 597411 
 80+10,78 2191 599398 597207 
 
 
Extensão 0,19905 km 
 
CFINAL_CONTRANIVELAMENTO 598555 mm 
Classe IN T=20mm√k 
 
Ec 6,00 mm 
T 8,923 mm 
 
 
Como o Ec < T o levantamento está OK 
 
18ª QUESTÃO 
Caderneta de Nivelamento 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 
RN-12 1250 5364 4114 RN do IBGE 
Aux-1 1382 5364 3982 
2 
Aux-1 1565 5547 3982 
RN-1 1890 5547 3657 
 Caderneta de Contranivelamento 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
3 
RN-1 1497 5154 3657 
Aux-2 2651 5154 2503 
4 
Aux-2 2500 5003 2503 
RN-12 897 5003 4106 RN do IBGE 
 
 
Erro (mm) -8 
 
Classe IN 
 
Cota Saída (mm) 4114 T (mm) 6,01 
 
Ec (mm) -8,00 Ext(km) 0,25059 
 
 
Como o Ec > T o levantamento Não está OK 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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19ª QUESTÃO 
 
Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
 
Verificar se o Gabarito Mínimo foi atendido, ou seja, se a Ferrovia Transnordestina cruza o cabo da Linha de Transmissão 
respeitando o Gabarito Mínimo. Resp. O Gabarito Mínimo foi atendido, pois o Gabarito Calculado foi maior que o Gabarito 
Mínimo necessário, ou seja, 12,575m é maior que 10,00m. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Ponto Visado 
Ângulos 
Lidos 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
A 1,67 P1 3º 57´37" 85,646 7,585 546,774 
A 1,67 P2 7º 2´52" 85,246 -8,789 530,400 
 
Desnível entre P1 e P2 (m) 16,375m 
 
Altura da Locomotiva (m) 3,80m 
 
Gabarito Calculado (m) 16,375m - 3,80m = 12,575m 
 
 
20ª QUESTÃO 
 
Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
Determinar qual é a altura da barragem. Resp. 15,684m 
Determinar qual é a folga em relação ao topo da barragem, quando a barragem estiver com seu nível d´água na cota máxima.Resp. 
1,50m 
Estação 
Altura do 
Instrumento Ponto Visado 
Ângulos 
Lidos 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,59 P1 49º 45´0" 27,620 19,436 156,670 
1 1,59 P2 82º 26´33" 16,440 3,752 140,986 
 
Desnível entre P1 e P2 (m) = Altura da Barragem (m) 15,684m 
 
Folga (m) = Cota do P1 – (Cota de máxima enchente da bacia do reservatório da barragem) 156,6504m – 155,170m= 1,50m 
 
21ª QUESTÃO 
 
Cota do Ponto P1: 136,661m 
Cota do Ponto P2: 135,508m 
Diferença de nível entre os pontos P1 e P2: 1,153m 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Lidos 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,58 P1 31º 44´34" 12,270 8,035 136,621 
1 1,58 P2 13º 23´57" 22,880 6,882 135,468 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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22ª QUESTÃO 
 
Cota do Ponto P1: 587,775m 
Cota do Ponto P2: 587,252m 
Diferença de nível entre os pontos P1 e P2: 0,523m 
 
Pontos Visados 
Fio Superior Fio Médio Fio Inferior 
(mm) (mm) (mm) 
P1 1467 1382 1296 
P2 1327 1204 1081 
 
Estação Altura do Instrumento Ponto Visado Ângulos Distância Leitura da Mira ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Lidos 
 
Fio Médio 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,62P1 50º 5´43" 10,060 1,382 8,651 587,775 
1 1,62 P2 70º 35´29" 21,890 1,204 8,128 587,252 
 
 
23ª QUESTÃO 
Quais são as cotas dos pontos P1 e P2 através do preenchimento da caderneta abaixo. 
Qual a altura da torre da turbina eólica construída no alto do morro. Resp. 8,937m 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Ângulo 
Vertical 
Distância 
Horizontal 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,65 P1 33º 38´21" 19,470 14,605 355,797 
1 1,65 P2 11º 39´40" 19,470 5,668 346,860 
 
Desnível entre P1 e P2 (m) = Altura da Turbina Eólica (m) 8,937m 
 
 
24ª QUESTÃO 
Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,67 P1 82º 40´35" 23,534 4,670 128,562 
1 1,67 P2 51º 58´48" 29,629 19,920 143,812 
 
Determine qual deverá ser a altura máxima de aterro para que o Gabarito Mínimo seja respeitado no projeto da rodovia que 
cruzará a linha de transmissão. 
 
Desnível 15,250m 
Gabarito mínimo +Altura do maior veículo 12,00m 
Altura máxima de aterro 3,250m 
 
 
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Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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25ª QUESTÃO 
 
Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico indicada abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2, P3 e P4. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Altura do 
Prisma 
(m) 
Ponto 
Visado 
Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 Verticais Inclinada 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,59 2,00 P1 12º 12´34" 8,56 1,40 579,742 
1 1,59 2,00 P2 28º 45´56" 15,90 7,24 585,584 
1 1,59 2,00 P3 22º 10´14" 23,67 8,52 586,864 
1 1,59 2,00 P4 24º 56´19" 18,45 7,37 585,711 
 
Na hipótese de ocorrer uma inundação na RUA A, com uma Lâmina d´água de 1,0m acima da cota do ponto P4, responda se a 
água irá ultrapassar a cota da soleira da casa (ponto P3), Justifique sua resposta. 
Resp. Sabendo que o desnível entre os pontos P3 e P4 é de 1,15m, e que a lâmina d’água irá subir 1,00m acima do ponto P4, 
conclui-se que a água não irá ultrapassar a cota da soleira da casa que corresponde ao ponto P3. 
 
26ª QUESTÃO 
Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 Lidos Inclinada 
(m) (m) (m) (m) 
1,00 1,67 P1 11º 20´14" 23,81 6,35 494,331 
1,00 1,67 P2 41º 54´31" 31,37 22,62 510,601 
Indique e justifique se o Gabarito Mínimo foi respeitado, sabendo que a Altura do Aterro da rodovia no cruzamento com a 
linha de transmissão é de 5,27m. 
 
16,27m Desnível 
12,00m Gabarito mínimo 
5,27m Altura do aterro 
11,00m Não respeitou o gabarito mínimo 
 
27ª QUESTÃO 
Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico indicada abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2, P3 e P4. 
Estação 
Altura do 
Instrumento Altura do 
Prisma 
 
Ponto 
Visado 
 
 
Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 Verticais Inclinada 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,59 1,50 P1 78º 11´31" 8,58 1,85 580,188 
1 1,59 1,50 P2 60º 46´54" 15,90 7,85 586,193 
1 1,59 1,50 P3 59º 11´11" 20,94 10,82 589,158 
1 1,59 1,50 P4 66º 57´18" 18,45 7,31 585,654 
 
Na hipótese de ocorrer uma inundação na RUA A, com uma Lâmina d´água de 4,0m acima da cota do ponto P4, responda se a 
água irá ultrapassar a cota da soleira da casa (ponto P3), Justifique sua resposta. 
Resp. Sabendo que o desnível entre os pontos P3 e P4 é de 3,50m, e que a lâmina d’água irá subir 4,00m acima do ponto P4, 
conclui-se que a água irá ultrapassar a cota da soleira da casa que corresponde ao ponto P3. 
 
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28ª QUESTÃO 
Calcule a caderneta de nivelamento trigonométrico indicada abaixo. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 Verticais Inclinada 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,40 B 87º 58´50" 2,028 -0,244 149,324 
1 1,40 C 76º 51´37" 6,191 1,193 150,761 
1 1,40 D 71º 11´58" 11,505 4,451 154,019 
Calcule o desnível entre o ponto “A” e “D”.Resp. 4.45m 
 
29ª QUESTÃO 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 e P2. 
b) Verificar se o Gabarito Mínimo foi atendido, ou seja, se a Ferrovia Transnordestina cruza o cabo da Linha de Transmissão 
respeitando o Gabarito Mínimo. Resp. O Gabarito Mínimo foi atendido, pois o Gabarito Calculado foi menor que o 
Gabarito Mínimo necessário, ou seja, 11,994m é maior que 8,00m. 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento Ponto Visado 
 
Ângulos 
Lidos 
Distância 
Inclinada 
∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
A 1,67 P1 49º 45´00" 27,62 19,516 558,705 
A 1,67 P2 84º 26´33" 21,19 3,722 542,911 
 
Desnível entre P1 e P2 (m) 15,794m 
Altura da Locomotiva (m) 3,80m 
Gabarito Calculado (m) 15,794m - 3,80m = 11,994m 
 
30ª QUESTÃO 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 P2, P3 e P4. 
 
b) Determine qual é o Desnível entre a saída da água do Reservatório e a entrada da água que abastece a residência, como também 
a altura da caixa d’água em relação ao ponto P3. 
 
c) Determine qual é o volume em m³ e em Litros do reservatório, sabendo que ele possui as seguintes dimensões em planta: 
largura de 3,00m e comprimento de 5,00m. 
 
32,993m Desnível entre a saída da água do Reservatório e a entrada da água que abastece a residência 
9,927m Altura da caixa d’água em relação ao ponto P3 
3,000m Altura da caixa 
45,000 m³ Volume da caixa (m³) 
45000 litros Volume da caixa (litros) 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Altura Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Prisma Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,58 P1 0 67º 23´28" 75,253 30,510 617,741 
2 1,58 P2 0 69º 31´53" 74,151 27,510 614,741 
3 1,58 P3 1,78 75º 38´30" 71,709 17,583 604,814 
4 1,58 P4 0 24º 49´49" 16,819 -5,483 581,748 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 70 
 
31ª QUESTÃO 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1 P2, P3 e P4. 
 
b) Determine qual é o Desnível entre a saída da água do Reservatório e a entrada da água que abastece a residência, como também 
a altura da caixa d’água em relação ao ponto P3. 
 
c) Determine qual é o volume em m³ e em Litros do reservatório, sabendo que ele possui as seguintes dimensões em planta: 
largura de 3,50m e comprimento de 3,80m. 
32,350m Desnível entre a saída da água do Reservatório e a entrada da água que abastece a residência 
10,000m Altura da caixa d’água em relação ao ponto P3 
3,000m Altura da caixa 
39,900 m³ Volume da caixa (m³) 
39900 litros Volume da caixa (litros) 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Altura Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Prisma Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,58 P1 0 22º 9´21" 75,008 29,868 162,654 
2 1,58 P2 0 20º 00´07" 73,929 26,868 159,654 
3 1,58 P3 1,78 13º 48´11" 71,535 16,867 149,653 
4 1,58 P4 0 24º 49´49" 16,819 -5,483 127,303 
 
32ª QUESTÃO 
 
a) Preencha a caderneta de nivelamento trigonométrico abaixo, determinando as cotas dos pontos P1, P2 e P3. 
 
b) Sabendo que deverá haver um desnível entre a extremidade da estrutura metálica de sustentação da coberta do estádio (P1) e 
sua base de apoio (P2) de 1,20m, verifique se esse desnível foi respeitado, Justifique sua resposta. 
 
c) Verifique se a extremidade da coberta (P4) respeitoua distância vertical de 38,20m, sabendo que o desnível entre o ponto P1 e 
P4 é de +0,35m. 
 
1,250 
Desnível entre a extremidade da estrutura metálica de sustentação da coberta do estádio (P1) e sua base 
de apoio (P2) 
38,200 Distância vertical P4 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Altura Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Prisma Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,62 P1 0 46º 34´34" 49,884 37,850 113,847 
2 1,62 P2 0 30º 32´24" 68,839 36,600 112,597 
3 1,62 P3 0 5º 21´10" 17,365 0,000 75,997 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 71 
 
33ª QUESTÃO 
 
1,250m 
Desnível entre a extremidade da estrutura metálica de sustentação da coberta do estádio (P1) e sua 
base de apoio (P2) 
38,200m Distância vertical P4 
 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto Visado Altura Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Prisma Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,62 P1 0 43º 25´26" 49,884 37,850 99,413 
2 1,62 P2 0 30º 32´24" 68,839 36,600 98,163 
3 1,62 P3 0 5º 21´10" 17,365 0,000 61,563 
 
34ª QUESTÃO 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
 
Leitura da 
Mira 
(m) 
Ponto 
Visado 
Ângulo Zenital 
Distância ∆∆∆∆H Cota 
(m) (m) (m) (m) 
1 1,52 0 P1 54º 31´28" 41,750 25,750 37,989 
2 1,52 3,658 P2 86º 24´07" 34,000 0,000 12,239 
 
25,750m Altura da torre principal da igreja 
 
35ª QUESTÃO 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Altura Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Prisma Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1,63 P1 0 87º 57´47" 26,362 2,567 201,020 
2 1,63 P2 0 76º 3´53" 27,144 8,167 206,620 
3 1,63 P3 1,89 69º 21´12" 28,153 9,667 208,120 
 
5,600m Altura do topo do pavimento (P1) e a face inferior da viga do viaduto rodoviário (P2) 
208,520m Cota do pavimento (ponto P3) para que o gabarito mínimo fosse respeitado. 
1,500m Altura da viga do viaduto rodoviário 
7,100m Desnível entre os pavimentos das duas pistas rodoviárias (P3 e P1) 
 
36ª QUESTÃO 
Estação 
Altura do 
Instrumento 
Ponto 
Visado 
Altura Ângulos Distância ∆∆∆∆H 
Cota 
 
Prisma Lidos Inclinada 
 
 
(m) 
 
(m) (m) (m) 
1 1.63 P1 0 87º 57´47" 26,362 2,567 636,696 
2 1.63 P2 0 74º 50´32" 27,295 8,767 642,896 
3 1.63 P3 1.78 67º 29´30" 28,517 10,767 644,896 
 
6,200m Altura do topo do pavimento (P1) e a face inferior da viga do viaduto rodoviário (P2) 
Não Necessário Cota do pavimento (ponto P3) para que o gabarito mínimo fosse respeitado. 
2,00m Altura da viga do viaduto rodoviário 
8,200m Desnível entre os pavimentos das duas pistas rodoviárias (P3 e P1) 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 72 
 
37ª QUESTÃO 
 
 
38ª QUESTÃO 
 
 
39ª QUESTÃO 
 
 
 
Altura do 
Prisma
Ângulos Distância
(m) Verticais Inclinada
(m) (m) (m) (m)
1.56 P1 0 66°41'59" 192.960 77.885 221.431
1.56 P2 1.8 75°14'45" 183.266 46.433 189.979
1.56 P3 0 92°32'57" 131.447 -4.286 139.260
(m)
Determinar a altura do Farol (Distância vertical entre os pontos P1 e P2) 31.453
Cota "A" Cota "B"
234.217 208.646
69.386 Determinar a altura máxima do Edi`cio (H)
Determinar as Cotas dos Pontos "A" e "B"
Respostas
M1
Estação
Altura do 
Instrumento
Pontos 
Visados
∆∆∆∆H Cota
Altura do 
Prisma
Ângulos Distância
(m) Verticais Inclinada
(m) (m) (m) (m)
1.56 P1 0 23°18'01" 192.960 77.885 601.013
1.56 P2 1.8 15°03'19" 183.266 47.363 570.491
1.56 P3 0 03°34'48" 93.628 -4.286 518.842
(m)
Determinar a altura do Farol (Distância vertical entre os pontos P1 e P2) 30.522
Cota "A" Cota "B"
612.230 589.797
70.955
M1
Respostas
Determinar as Cotas dos Pontos "A" e "B"
 Determinar a altura máxima do Edi`cio (H)
Estação
Altura do 
Instrumento
Pontos 
Visados
∆∆∆∆H Cota
Altura do 
Prisma
Ângulos Distância
(m) Verticais Inclinada
(m) (m) (m) (m)
1.56 P1 0 23°18'01" 192.960 77.885 186.793
1.56 P2 1.95 14°45'15" 177.223 44.744 153.652
1.56 P3 0 91°58'30" 169.646 -4.287 104.621
(m)
Determinar a altura do Farol (Distância vertical entre os pontos P1 e P2) 33.142
Cota "A" Cota "B"
201.163 172.424
67.802
M1
Respostas
Determinar as Cotas dos Pontos "A" e "B"
 Determinar a altura máxima do Edi`cio (H)
Estação
Altura do 
Instrumento
Pontos 
Visados
∆∆∆∆H Cota
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 73 
 
40ª QUESTÃO 
 
 
 
41ª QUESTÃO 
 
 
 
42ª QUESTÃO 
 
 
 
 
Altura do 
Prisma
Ângulos Distância
(m) Verticais
(m) (m) (m) (m)
1.69 P1 0 28°23'49" 34.890 66.226 104.355
1.69 P2 0 29°51'40" 74.297 66.123 104.252
1.69 P3 1.8 91°19'09" 34.890 -0.913 37.216
(m)
Determinar o Recalque Vertical sofrido pelo Edifício 0.103
Antes (Hedif) Depois (Hedif)
67.139 67.036
Estação
Altura do 
Instrumento
Pontos 
Visados
∆∆∆∆H Cota
M1
Respostas
Qual a Altura do Edifício Antes e Após o Recalque acontecer 
Altura do 
Prisma
Ângulos Distância
(m) Verticais
(m) (m) (m) (m)
1.69 P1 0 59°15'15" 68.248 60.345 84.253
1.69 P2 0 57°36'17" 69.047 59.991 83.899
1.69 P3 1.8 01°19'09" 34.890 -0.913 22.995
(m)
Determinar o Recalque Vertical sofrido pelo Edifício 0.354
Antes (Hedif) Depois (Hedif)
61.259 60.905
Estação
Altura do 
Instrumento
Pontos 
Visados
∆∆∆∆H Cota
M1
Respostas
Qual a Altura do Edifício Antes e Após o Recalque acontecer 
Altura do 
Prisma
Ângulos Distância
(m) Verticais
(m) (m) (m) (m)
1.51 P1 0 30°44'45" 68.248 60.165 68.642
1.51 P2 0 32°23'43" 69.047 59.811 68.288
1.51 P3 1.8 91°19'09" 34.900 -1.093 7.384
(m)
Determinar o Recalque Vertical sofrido pelo Edifício 0.354
Antes (Hedif) Depois (Hedif)
61.259 60.905
M1
Respostas
Qual a Altura do Edifício Antes e Após o Recalque acontecer 
Estação
Altura do 
Instrumento
Pontos 
Visados
∆∆∆∆H Cota
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 74 
 
43ª QUESTÃO 
 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
5 
32+18,56 1150 - 457495 456345 
32 - 1232 457495 456263 
31 - 1359 457495 456136 
6 
31 556 - 456692 456136 
30 - 890 456692 455802 
29 - 1576 456692 455116 
28 - 2040 456692 454652 
7 
28 656 - 455308 454652 
27 - 690 455308 454618 
26 - 1076 455308 454232 
25 - 1541 455308 453767 
24 - 1623 455308 453685 
8 
24 1531 455216 453685 
22 1778 455308 453530 
21 1798 455216 453418 
RN-29 - 1841 455216 453375 
 
Erro (mm) -5.0 E < T - OK 
 
21 0.000 22 11.500 31.5 
 
24 0.00 32 18.560 178.56 
 
 
Ext. (m) 210.06 
 
 
T (mm) 5.500 
 
 
44ª QUESTÃO 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
5 
36+19.45 1150 - 457495 456345 
36 - 1232 457495 456263 
35 - 1359 457495 456136 
6 
35 556 - 456692 456136 
34 - 874 456692 455818 
33 - 1576 456692 455116 
32 - 2040 456692 454652 
7 
32 456 - 455108 454652 
31 - 690 455108 454418 
30 - 1076 455108 454032 
29 - 1489 455108 453619 
28 - 1623 455108 453485 
8 
28 1989 455474 453485 
22 1798 455474 453676 
21 1678 455474 453796 
RN-29 - 1841 455474 453633 
 
Erro (mm) -11.0 E > T - Não OK 
 
21 0.000 22 11.500 31.5 
 
28 0.00 36 19.450 179.45 
 
 
Ext. (m) 210.95 
 
 
T (mm) 9.19 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório deTopografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 75 
 
 
45ª QUESTÃO 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
4 
36+19.45 1150 - 35939 34789 
36 - 1232 35939 34707 
35 - 1359 35939 34580 
5 
35 656 - 35236 34580 
34 - 874 35236 34362 
33 - 1576 35236 33660 
32 - 2040 35236 33196 
6 
32 456 - 33652 33196 
31 - 690 33652 32962 
30 - 1076 33652 32576 
29 - 1489 33652 32163 
28 - 1623 33652 32029 
22 2721 33652 30931 
RN-67 - 3223 33652 30429 
 
Erro (mm) 4.0 E < T - OK 
 
22 0.000 22 10.800 10.8 
 
28 0.00 36 19.450 179.45 
 
 
Ext. (m) 190.25 
 
 
T (mm) 5.2 
 
 
46ª QUESTÃO 
 
Estação 
Primeiro Levantamento Segundo Levantamento RECALQUE (R) 
R = C2º_lev - C1º_lev 
 
(mm) 
Pontos 
Visados 
Cotas 
(C1º_lev) 
(mm) 
Pontos 
Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H 
Cotas 
(C2º_lev) Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
1 P1 101962 P1 1.56 0°4'27" 40.45 1612 101957 -5 
1 P2 101856 P2 1.56 -0°5'4" 38.98 1503 101848 -8 
1 P3 101744 P3 1.56 -0°15'6" 40.11 1384 101729 -15 
1 P4 101762 P4 1.56 -0°13'9" 40.45 1405 101750 -12 
1 P5 101898 P5 1.56 90°1'10" 43.56 1545 101890 -8 
1 P6 101829 P6 1.56 90°6'8" 45.78 1478 101823 -6 
1 P7 101797 P7 1.56 90°8'20" 46.56 1447 101792 -5 
1 P8 101759 P8 1.56 90°11'1" 46.89 1410 101755 -4 
 
 
Cota 
RN-1 
(mm) 
100345 
 
Desnível 
(mm) 
1384 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 76 
 
47ª QUESTÃO 
Estação 
Primeiro Levantamento Segundo Levantamento RECALQUE (R) 
R = C2º_lev - C1º_lev 
 
(mm) 
Pontos 
Visados 
Cotas 
(C1º_lev) 
(mm) 
Pontos 
Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H 
Cotas 
(C2º_lev) Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
1 P1 60462 P1 1.56 89°59'33" 35.45 1565 60456 -6 
1 P2 60407 P2 1.56 90°5'4" 32.98 1511 60402 -5 
1 P3 60372 P3 1.56 90°8'6" 35.11 1477 60368 -4 
1 P4 60318 P4 1.56 90°13'9" 35.45 1424 60315 -3 
1 P5 60348 P5 1.56 0°10'18" 37.00 1449 60340 -8 
1 P6 60391 P6 1.56 0°6'8" 38.78 1491 60382 -9 
1 P7 60355 P7 1.56 0°8'20" 41.56 1459 60350 -5 
1 P8 60430 P8 1.56 0°2'1" 41.89 1535 60426 -4 
 
 
Cota 
RN-1 
(mm) 
58891 
 
Desnível 
(mm) 
1491 
 
48ª QUESTÃO 
Caderneta de Nivelamento 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 RN-1 345 6136 5791 
 Aux-1 1245 6136 4891 
2 Aux-1 672 5563 4891 
 Aux-2 1308 5563 4255 
3 Aux-2 945 5200 4255 
 RN-2 1021 5200 4179 
 
Cota Contra 5782 
 
 
Classe IIN T (mm) 8.4 
 
 
ERRO (mm) -9 Não OK 
 
Extensão 178.45 
 
 
Cota PCR (mm) 2932 
 
49ª QUESTÃO 
Caderneta de Nivelamento 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
1 RN-1 345 4906 4561 
 Aux-1 1245 4906 3661 
2 Aux-1 678 4339 3661 
 Aux-2 1311 4339 3028 
3 Aux-2 945 3973 3028 
 RN-2 1037 3973 2936 
 
Cota Contra 4565 
 
 
Classe IN T (mm) 4.7 
 
 
ERRO (mm) 4 Ok 
 
Extensão 150.59 
 
 
Cota PCR (mm) 1705 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 77 
 
 
50ª QUESTÃO 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
 
 
1 
 
 
 
 
P1 1695 - 102607 100912 RN 
P2 - 2352 102607 100255 
P3 - 2475 102607 100132 
P4 - 1994 102607 100613 
P5 - 3075 102607 99532 
 
 
2 
 
 
P5 2867 - 102399 99532 
P6 - 1730 102399 100669 
P7 - 3268 102399 99131 
 
Cota Contra 100923 
 
 
Classe IIN T (mm) 13.7 
 
 
ERRO (mm) 11 OK 
 
Extensão 467.34 
 
 
51ª QUESTÃO 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
ESTAÇÃO PONTOS VISADOS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
 
 
1 
 
 
 
 
P1 1695 - 6676 4981 RN 
P2 - 2352 6676 4324 
P3 - 2475 6676 4201 
P4 - 1994 6676 4682 
P5 - 3075 6676 3601 
 
 
2 
 
 
P5 2867 - 6468 3601 
P6 - 1730 6468 4738 
P7 - 3268 6468 3200 
 
Cota Contra 4993 
 
 
Classe IN T (mm) 8.2 
 
 
ERRO (mm) 12 Não OK 
 
Extensão 467.34 
 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
Apostila de Exercícios de Nivelamento Geométrico e Trigonométrico Página 78 
 
52ª QUESTÃO 
Caderneta de Contranivelamento Geométrico 
ESTAÇÃO ESTACAS 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Ré Vante (mm) (mm) 
5 
532+3,800 1454 - 6021 4567 
531 - 1401 6021 4620 
530 - 1471 6021 4550 
6 
530 556 - 5106 4550 
529 - 890 5106 4216 
528 - 1045 5106 4061 
527 - 1289 5106 3817 
526 - 1456 5106 3650 
7 
526 656 - 4306 3650 
525 - 967 4306 3339 
524 - 1076 4306 3230 
523 - 1345 4306 2961 
521 - 1456 4306 2850 
8 
521 1531 4381 2850 
520 1675 4381 2706 
519 1798 4381 2583 
RN-451J - 1841 4381 2540 
 
2544 
 
 
Erro (mm) 4.0 E < T 
 
OK 
519 0.000 521 12.500 52,5 
522 5.00 532 3.800 198,8 
Dist. RN - Est. 519 40.46 Ext. (m) 291.76 
 
T (mm) 6,5 
 
 
53ª QUESTÃO 
Estação 
Pontos 
Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H Cotas 
Desnível entre 
os Pilares 
(mm) 
Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
1 
P1 1,62 75°59'36" 30,74 9060 76738 
586 
P2 1,62 74°33'26" 25,74 8474 76152 
P3 1,62 76°12'45" 31,24 9065 76743 
590 
P4 1,62 15°5'25" 26,33 8475 76153 
P5 1,62 13°15'20" 32,51 9074 76752 
594 
P6 1,62 14°16'10" 27,83 8480 76158 
 
 
Cota RN-1 (mm) 67678 
 
 
 
 Fora do Limite P3 - P4 (mm) - Pilares Frontais 14 
 
 
 Fora do Limite P1 - P5 (mm) - Pilares Linha 1 - Linha 2 14 
 
 
UNICAP – Universidade Católica de Pernambuco 
Laboratório de Topografia da UNICAP - LABTOP 
Topografia 1 - Nivelamento Geométrico e Trigonométrico 
 
 
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54ª QUESTÃO 
Estação 
Pontos 
Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H Cotas 
Desnível entre 
os Pilares 
(mm) 
Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
1 
P1 1,55 75°59'36" 30,74 8990 23557 
585 
P2 1,55 15°26'44" 25,74 8405 22972 
P3 1,55 76°12'45" 31,24 8995 23562 
590 
P4 1,55 74°54'35" 26,33 8405 22972 
P5 1,55 13°15'55" 32,51 9010 23577 
601 
P6 1,55 75°43'55" 27,83 8409 22976 
 
 
Cota RN-1 (mm) 14567 
 
 
 Fora do Limite P5 - P6 (mm) - Pilares Frontais 31 
 
 
 Fora do Limite P1 - P5 (mm) - Pilares Linha 1 - Linha 2 20 
 
 Fora do Limite P3 - P5 (mm) - Pilares Linha 1 - Linha 2 15 
 
 
55ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Cota RN-1 3782 Nivelamento 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
Cota RN-1 3777 Contranivelamento 
1 
RN-1 1435 - 5217 3782 
 
Aux-1 - 907 5217 4310 
 
k (km) 0.65834 
 
2 
Aux-1 1234 - 5544 4310 
 
T (IN) 9.74 
 
RN-2 - 1879 5544 3665 
 
Erro (mm) 5.0 Erro < T - OK 
 
Estação Pontos Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H Cotas 
Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
A 
P1 1.62 75°58'36" 30.74 9069 12734 
P2 1.62 73°11'45" 25.74 9061 12726 
P3 1.62 76°12'45" 31.24 9065 12730 
 
 
56ª QUESTÃO 
 
ESTAÇÃO Pontos Visados 
LEITURAS (mm) PR COTA 
OBSERVAÇÕES 
Cota RN-1 109345 Nivelamento 
Ré Vante (mm) (mm) 
 
Cota RN-1 109358 Contranivelamento 
1 
RN-1 1435 - 110780 109345 
 
Aux-1 - 907 110780 109873 
 
k (km) 0.35834 
 
2 
Aux-1 1234 - 111107 109873 
 
T (IIN) 11.97 
 
RN-2- 1879 111107 109228 
 
Erro (mm) 13.0 Erro > T - Não OK 
 
Estação Pontos Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H Cotas 
Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
A 
P1 1.72 90°59'12" 10.969 1531 110759 
P2 1.72 90°59'45" 11.486 1520 110748 
P3 1.72 90°50'56" 13.911 1514 110742 
 
 
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57ª QUESTÃO 
 
Estação 
Pontos 
Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H Cotas Desnível entre os 
Pilares (mm) 
Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
1 
P1 1.62 81°55'6" 29.193 5724 73402 
-11360 P1 → P2 
P2 1.62 61°53'1" 32.814 17084 84762 
P3 1.62 47°10'13" 39.516 28484 96162 
-11400 P2 → P3 
P4 1.62 34°55'15" 50.752 43234 110912 
 
 
Cota RN-1 (mm) 67678 
 
DH1 28.903 
 
DH2 28.942 
 
P1 → P2 (m) 0.039 
 
DH3 28.980 
 
P1 → P3 (m) 0.077 
 
DH4 29.053 
 
P1 → P4 (m) 0.150 
 
 
 
58ª QUESTÃO 
 
Estação 
Pontos 
Visados 
Altura do 
Instrumento Ângulos 
Distância 
∆H Cotas Desnível entre os 
Pilares (mm) 
Inclinada 
(m) (m) (mm) (mm) 
1 
P1 1.700 81°55'6" 29.193 5804 18782 
-11360 P1 → P2 
P2 1.700 61°54'24" 32.838 17164 30142 
P3 1.700 47°13'32" 39.557 28564 41542 
-11400 P2 → P3 
P4 1.700 34°59'8" 50.792 43314 56292 
 
 
Cota RN-1 (mm) 12978 
 
DH1 28.903 
 
DH2 28.969 
 
P1 → P2 (m) 0.066 
 
DH3 29.036 
 
P1 → P3 (m) 0.133 
 
DH4 29.123 
 
P1 → P4 (m) 0.220 
 
 
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Matemática Básica 
Autores: 
 
Prof. Fernando José de Lima Botelho 
Prof. Eduardo Oliveira Barros 
Prof. Glauber Carvalho Costa 
Prof. Diogo Coelho Maia 
 
Recife, 2016 
Revisão 1 
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