Física - Livro-Texto - Unidade II

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FÍSICA MODERNA
Unidade II
Nesta unidade serão apresentados os conceitos de:
• radiação de corpo negro;
• quantização de energia;
• efeito fotoelétrico;
• efeito Compton;
• tubos de Crookes;
• descobertas do elétron e próton.
Após o estudo dessa unidade, o aluno será capaz de discorrer sobre o início da mecânica quântica e 
compreender os conceitos de quantização.
Quando pensamos na Mecânica Quântica, o que vem à mente são equações complicadas que 
explicam fenômenos os quais não entendemos facilmente.
No entanto, como grande parte do conhecimento em Física, os avanços foram surgindo à medida 
que o conhecimento experimental foi sendo confrontado com as ideias teóricas.
A Física, por essência, tem uma natureza experimental. Assim, os experimentos sempre foram como 
um “cão‑guia” para o desenvolvimento de novos conceitos.
Estudaremos como alguns desses conceitos novos surgiram baseados em resultados experimentais 
inicialmente impossíveis de serem explicados por modelos conhecidos.
3 ORIGENS DA FÍSICA MODERNA E BASES EXPERIMENTAIS DA 
MECÂNICA QUÂNTICA
3.1 A radiação de corpo negro
O estudo da radiação térmica emitida por um corpo aquecido levou às primeiras indicações da 
natureza quântica da matéria.
A explicação da emissão e absorção da radiação por um corpo é termodinamicamente simples. 
Corpos claros refletem a maior parte da radiação que neles incide, enquanto corpos escuros absorvem 
a maior parte da radiação que neles incide. Por esse motivo, por exemplo, quando vamos à praia e 
queremos ter a sensação de frescor, devemos usar roupas claras.
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Unidade II
Para o corpo negro, a radiação absorvida por ele implica um aumento da energia cinética das partículas 
que o constituem. A temperatura do corpo aumenta. Essas partículas possuem cargas elétricas (que já 
eram conhecidas no início do século XX), ao aumentar a temperatura do corpo, eleva‑se a vibração dessas 
partículas. Isso leva à emissão de radiação eletromagnética. Quando a quantidade de energia absorvida é igual 
à quantidade de energia emitida, o corpo encontra‑se em equilíbrio térmico com o meio. Essa explicação 
justifica o motivo pelo qual um bom absorvedor de radiação também é um bom emissor.
Dentro desses conceitos, toda vez que a temperatura de um corpo aumenta a radiação emitida 
aumenta, bem como a frequência dessa radiação. De forma simplificada, quando um corpo possui 
baixa temperatura (por exemplo, 300 K) a radiação emitida é de baixa frequência e se ele possui alta 
temperatura (por exemplo, 6000 K) a radiação emitida é de alta frequência. 
Isso significa que se um corpo for aquecido, por exemplo, a partir de 500 K para temperaturas maiores, 
a radiação emitida parte de baixa frequência (infravermelho), passando pelo visível e caminhando para 
alta frequência (ultravioleta).
Um corpo que absorve toda a radiação incidente é chamado de corpo negro ideal. O nome é extremamente 
adequado, pois ele não reflete luz (radiação eletromagnética que nele incide), portanto seria negro.
 Observação
As ondas eletromagnéticas possuem diversas frequências, destacaremos 
aqui algumas delas, por ordem crescente de frequência: infravermelho, 
visível, ultravioleta, raios X e raios gama.
Um exemplo de um corpo quase negro seria um bloco de ferro coberto por uma camada difusa de 
tinta preta. Outro ponto importante é que todos os corpos negros com a temperatura idêntica emitem 
radiação com o mesmo espectro.
No final do século XIX (1879), Stefan (TIPLER; LLEWELLYN, 2006) obteve uma relação experimental 
entre a intensidade de energia irradiada (I) por um corpo negro e sua temperatura absoluta (T):
I = σ . T4 (eq. 1)
A constante σ = 5,67 . 10‑8 W/m2K4 é conhecida como constante de Stefan‑Boltzmann.
A intensidade de energia emitida I pode ser entendida como a “velocidade” com que o corpo emite 
energia. Assim, se a temperatura absoluta de um corpo negro triplica, ele emite 27 vezes mais intensidade 
de radiação.
Quando os corpos não são negros (chamados de corpos cinzentos), a intensidade de radiação emitida 
é menor do que aquela do corpo negro com a mesma temperatura. O fator de correção é um índice 
chamado de emissividade, que é sempre menor que um.
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FÍSICA MODERNA
A figura a seguir mostra um arranjo experimental para obter a distribuição espectral da radiação de 
um corpo negro.
Essa distribuição é a função que relaciona a intensidade de radiação com o comprimento de onda 
(frequência) da radiação emitida para uma dada temperatura absoluta do corpo negro.
Radiação
Fenda
Prisma Detector
Radiação 
dispersada
Figura 6 – Esquema experimental para medida da distribuição espectral de um objeto
A ideia do experimento é ter uma dada temperatura absoluta (T) para o corpo negro. Esse emite 
radiação eletromagnética que é colimada pela fenda. Essa radiação, de vários comprimentos de onda 
(frequências), incide em um prisma que por efeito de refração a separa. Para cada comprimento 
de onda, existe um ângulo de saída do prisma. Ao variar a posição angular do detector, diferentes 
comprimentos de onda da radiação emitida são detectados e sua intensidade é medida.
Na sequência mostraremos os valores experimentais da distribuição espectral da intensidade de 
radiação em função do comprimento de onda (λ).
Visível
6.000 K
R(
λ)
R(
λ)
λm
λm
λ(nm)
0,001
0
5.000 K
4.000 K
3.000 K
1.500 K
2.000 K
2.000
2.0001.5001.000
Comprimento de onda λ(nm)
5000
0,1
0,2
0,3
4.000
1.000 K
Figura 7 – Distribuição espectral para várias temperaturas. O eixo vertical está em unidades arbitrárias. 
A região marcada pelo tracejado corresponde à emissão em visível
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Unidade II
Existem dois fatos importantes na figura anterior:
• Primeiro: na região de comprimentos de onda visível, à medida que a temperatura aumenta, a 
intensidade emitida aumenta.
• Segundo: há um deslocamento do comprimento de onda (λm) referente à intensidade máxima 
com relação à temperatura. Esse fato é chamado de Lei do deslocamento de Wien.
λm . T = 2.89 . 10
‑3 m . K (eq. 2.2)
O problema crucial em curvas como aquelas mostradas na figura é descrever por um modelo físico 
o comportamento apresentado.
Para resolver essa questão, foi proposto que o corpo negro fosse estudado como uma cavidade no 
qual ondas eletromagnéticas oscilantes poderiam interferir entre si, gerando os comprimentos de onda 
(frequências) emitidas.
Essa ideia deve‑se a John Strutt (Lord Rayleigh) e James Jeans (TIPLER; LLEWELLYN, 2006) e por isso 
a expressão que descreve o comportamento da intensidade de radiação com relação ao comprimento de 
onda é conhecida como Lei de Rayleigh‑Jeans. Essa lei é descrita na equação a seguir:
( ) 4
8 kT
u
π
λ =
λ
 (eq. 2.3)
O termo u(λ) corresponde à energia por volume da cavidade, densidade de energia e está diretamente 
relacionado à intensidade de radiação emitida para cada comprimento de onda (λ).
A equação da Lei de Rayleigh foi obtida a partir de considerações sobre o modelo de cavidade 
e leis da termodinâmica. Mas um detalhe é importantíssimo no seu desenvolvimento: as ondas 
eletromagnéticas no interior da cavidade são produzidas pelas oscilações harmônicas das cargas 
elétricas da parede da cavidade.
A energia média desses osciladores pode ser obtida pela integração da função de distribuiçãode energia proveniente do fator de Boltzmann. Essa particularidade matemática de integração está 
vinculada ao fato físico de que as energias dos osciladores poderiam assumir valores contínuos.
A lei de Rayleigh‑Jeans está de acordo com os dados experimentais para comprimentos de onda 
grandes (baixas frequências). No entanto, para comprimentos de onda pequenos (altas frequências, em 
direção ao violeta), a lei indica que a densidade de energia deveria aumentar. Observe na equação 2.3 
que a densidade de energia é inversamente proporcional à quarta potência do comprimento de onda.
O fato de existir uma grande discrepância, para baixos comprimentos de onda, entre o modelo de 
cavidade derivado a partir da física clássica e os dados obtidos em laboratório ficou conhecido como 
catástrofe do ultravioleta e pode ser visto na sequência.
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Quente
Frio
f Frequência
Lei de 
Rayleigh‑Jeans
Modelo clássico
λ ‑ comprimento de onda (nm)
In
te
ns
id
ad
e 
(u
.a
.)
Figura 8 – Confronto entre a lei de Rayleigh‑Jeans e o comportamento obtido experimentalmente
O termo catástrofe não era exagerado. Lembre‑se de que o modelo de cavidade usava vários conceitos 
estabelecidos pela Termodinâmica, Eletromagnetismo e Física Estatística de Boltzmann.
Como a radiação de corpo negro poderia ser explicada por um modelo teórico?
Parecia que a nuvem carregada tinha alcançado o barco. Os físicos não estavam mais em um mar de calmaria.
3.2 A hipótese de Planck
Em 14 de dezembro de 1900, Max Planck (NUSSENSVEIG, 1998) propôs, em uma reunião da Sociedade 
Alemã de Física, uma ideia que permitia obter a distribuição espectral do corpo negro em perfeita 
concordância com os dados experimentais.
No entanto, essa ideia abandonou um dos pontos principais do desenvolvimento proposto por Rayleigh.
A ideia de Planck era simples, mas revolucionária:
A troca de energia entre a radiação e os “osciladores” da parede da cavidade não se daria de modo 
contínuo como classicamente esperado, mas de forma discreta. Assim a radiação do corpo negro deveria 
ser emitida na forma de “minúsculos pacotes de energia”, ou quanta de energia.
Além dos mais, foi necessário supor que a energia era proporcional à frequência dos osciladores e logo à 
frequência da radiação. A ideia revolucionária de Planck se traduzia matematicamente a assumir então que:
En = n . h . ν (eq. 4: Hipótese de Planck).
O fator h é conhecido como constante de Planck e seu valor é:
h = 6,626 . 10‑34 J . s; n é um número inteiro e ν é a frequência da radiação.
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Unidade II
 Observação
Nós usaremos o símbolo ν (letra grega ni) para a frequência. Geralmente, 
na física clássica ondulatória, o símbolo para a frequência é a letra f (latina).
Essa mudança em considerar a energia dos osciladores da forma quantizada (apenas em valores 
discretos) implicava ter um somatório e não uma integral (como na forma de Rayleigh) para se obter a 
densidade de energia espectral.
Planck conseguiu a partir de sua hipótese deduzir a expressão da distribuição espectral em 
concordância com todos os dados experimentais da época. Apesar da simplicidade da ideia, ela foi 
totalmente revolucionária.
O próprio Planck admitiu mais tarde que só foi forçado a criar esse postulado por um “ato de 
desespero”, que se tratou de uma hipótese puramente formal, à qual não deu muita atenção, adotando‑a 
porque era preciso, a qualquer custo, encontrar uma explicação teórica (NUSSENSVEIG, 1998).
Para ele, o fenômeno de radiação do corpo negro poderia ser explicado de outra forma, tendo 
ele inclusive trabalhado para reconciliar sua hipótese com os conceitos da física clássica. Mas ele não 
obteve resultados nessa abordagem.
A partir de sua hipótese, Planck abria a porta de uma nova forma de compreender o mundo 
microscópico: a quantização.
Em 1905, Einstein usou a mesma hipótese para explicar o efeito fotoelétrico e, consequentemente, 
indicou que a quantização não era apenas uma propriedade misteriosa dos osciladores nas paredes do 
corpo negro, como Planck suponha, mas uma propriedade fundamental da radiação eletromagnética.
Exemplo 1
Temperatura do Sol (adaptado)
Supondo que o Sol tenha um comportamento térmico de um corpo negro para comprimentos de 
ondas altas e que medidas da distribuição espectral mostram um máximo para o comprimento de onda 
de 500 nm, qual é, aproximadamente, a temperatura da superfície do Sol?
Resolução: para resolver esse problema, precisamos usar a lei de deslocamento Wien.
λm . T = 2.89 . 10
‑3 m . K, lembrando que 1 nm= 1.10‑9 m. Assim:
3
9 3
9
2,89.10
500.10 T 2,89.10 T T 5.780 K
500.10
−
− −
−= → = → =
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Exemplo 2
Temperatura do Universo 
Em 1965, Penzias e Wilson mediram uma radiação de micro‑ondas, com comprimento de onda 
máximo de 0,107 cm, proveniente de todas as direções do universo. Essa radiação, denominada 
radiação cósmica de fundo, é interpretada como um resquício da grande explosão que poderia ter 
originado nosso universo (Big Bang). Penzias e Wilson (TIPLER; LLEWELLYN, 2006) descobriram que 
a densidade de energia em função dos comprimentos de onda poderia ser descrita pela distribuição 
de Planck. Considerando‑se esse comprimento de onda máximo, qual seria a temperatura de corpo 
negro do universo?
Resolução: através da lei de Wien: λm . T = 2.89 . 10
‑3 m . K
3
2 3
2
2,89.10
0,107.10 T 2,89.10 T T 2,7K
0,107.10
−
− −
−= → = → ≅
Exemplo 3
Lei de Wien 
Contando com um prisma e um contador de número de fótons por segundo, deseja‑se medir a 
temperatura de uma estrela com base no seu espectro eletromagnético obtido por meio de um telescópio.
• Projete esquematicamente esse experimento representando o prisma como um triângulo e o 
contador de fótons por segundo como um quadrado.
• Explique os conceitos usados em (a) para obter a temperatura da estrela.
Resolução: a) Veja a montagem experimental na figura a seguir
Estrela
Prisma
Controlador de 
fótons
Figura 9 – Montagem experimental
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O prisma promove a dispersão da luz da estrela e o contador de fótons permite a construção do 
perfil da densidade de energia T (λ) em função do comprimento de onda λ. O ponto máximo do gráfico 
associa o valor de λmáx à temperatura T da estrela por meio da Lei de Wien.
 Saiba mais
Planck escreveu seus artigos em uma revista de língua alemã. No 
entanto, é possível encontrarmos uma versão traduzida dele no link 
a seguir:
PLANCK, M. Sobre um aperfeiçoamento da equação de Wien para o 
espectro. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 22, n. 4, dez. 
2000. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v22_536.pdf>. 
Acesso em: 3 dez. 2018.
3.3 O efeito fotoelétrico
A descoberta do efeito fotoelétrico foi feita por Hertz, em 1887, quando este criou e transmitiu 
as ondas eletromagnéticas com o intuito de comprovar a previsão feita por Maxwell (TIPLER; 
LLEWELLYN, 2006).
Hertz usava um circuito elétrico primário para gerar as ondas de Maxwell. Este circuito produzia 
uma centelha que indicava que uma onda eletromagnética tinha sido gerada e emitida. Outro circuito 
secundário, semelhante ao primeiro, ao receber a onda eletromagnética, produziria uma centelha. 
Observe que o funcionamento do segundo circuito é parecido com o do primeiro,mas em ordem inversa. 
Hertz observou que a luz (da centelha) emitida pelo primeiro circuito facilitava a detecção das ondas 
pelo segundo circuito. Veja a figura a seguir.
Nas palavras do próprio físico:
Ocasionalmente, coloquei o centelhador do circuito B (receptor) dentro de 
uma caixa escura para poder observar melhor as centelhas produzidas; ao 
fazer isso, observei que o tamanho das centelhas era visivelmente menor 
quando o centelhador estava dentro da caixa (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 
2009, p. 188).
Esse fenômeno observado por ele levou‑o a pesquisar o efeito em profundidade. Hertz concluiu que 
partículas negativas eram emitidas quando uma superfície metálica era exposta à luz.
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Chave
Bateria
Bobina
Capacitor
Centelhador
Ondas eletromagnéticas
Centelhador 
(espaçamento ajustável)
Espira 
receptora
Figura 10 – Esquema do experimento de Hertz
A ideia do efeito elétrico observada por Hertz pode ser exemplificada a seguir:
Metal
Radiação 
eletromagnética
Elétron
Figura 11 – Efeito fotoelétrico. A radiação eletromagnética incide em uma placa metálica e libera elétrons da placa
Em 1900, Philipp Lenard também investigou o efeito e concluiu que as partículas negativas 
observadas no efeito fotoelétrico descrito nas pesquisas de Hertz eram na verdade elétrons (TIPLER; 
LLEWELLYN, 2006).
O experimento de Lenard consistia em incidir luz em uma placa metálica (cátodo). Esse emitiria 
elétrons, os quais poderiam ser acelerados em direção ao ânodo por uma diferença de potencial V. Para 
que houvesse essa aceleração, o potencial do ânodo deveria ser maior que o do cátodo.
Esses elétrons chegariam ao ânodo e seriam detectados como por um microamperímetro. Lenard 
mostrou que quanto mais intensa a luz incidente, maior a corrente elétrica detectada. Esse fato 
era esperado, pois classicamente o número de elétrons emitidos (a corrente detectada) deveria ser 
proporcional à potência (energia por unidade de tempo) que incide no cátodo.
Logo, classicamente também deveria ter sido observada uma intensidade mínima abaixo da qual 
nenhuma corrente seria detectada, pois não haveria potência suficiente para arrancar esses elétrons da 
superfície do metal.
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Entretanto, isso não foi observado nos experimentos de Lenard.
Por outro lado, quando V é negativo (o ânodo está a um potencial menor que o cátodo) os 
elétrons devem ser freados após a emissão. O potencial que faz com que a corrente detectada seja 
nula, ou seja, que consegue frear todos os elétrons emitidos, é chamado de potencial de corte V0. 
Por conservação de energia:
2
0
máx
m.v
e.V
2
 
= 
 
 (eq. 2.5)
Os resultados experimentais mostraram que V0 não depende da intensidade da radiação incidente. 
Isso significava que o aumento da potência incidente no cátodo não levaria a um aumento da energia 
cinética máxima dos elétrons emitidos. Esse fato não era compatível com os conceitos da física clássica.
Em 1905 (o ano miraculoso), Einstein propôs que a ideia de Planck de quantização da radiação de 
corpo negro era uma característica universal das ondas eletromagnéticas. Assim, a luz seria constituída 
de quanta isolados de energia, chamados de fótons. A energia de cada fóton é dada por:
E = h . ν (eq. 2.6)
Para explicar o efeito fotoelétrico, Einstein considerou que esses fótons que chegam à superfície 
do metal têm toda a sua energia transferida para o elétron. Considerando que a energia necessária 
para arrancar um elétron seja φ (função trabalho e depende do metal considerado), a energia cinética 
máxima do elétron emitido pelo cátodo é determinada por conservação de energia.
Assim: ECmáx = h . ν ‑ φ 
2
0
máx
m.v
h. e.V
2
 
= ν − φ = 
 
 (eq. 2.7)
Se isolarmos o potencial de corte e colocarmos em função da frequência ν, teremos uma reta cuja 
inclinação é dada pela razão: h
e
 .
A ousadia de Einstein consistia em supor que a constante de Planck estava vinculada ao processo de 
emissão fotoelétrica.
Devemos lembrar que não havia anteriormente nenhum indício de que as ideias de Planck pudessem 
ser aplicadas a outros fenômenos além da radiação de corpo negro.
Millikan conseguiu mostrar em 1916 que a equação de Einstein estava certa e que o potencial de corte 
era uma função da frequência da radiação incidente na superfície do metal (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
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A equação de Einstein também permite determinar a frequência mínima da radiação incidente para 
que o efeito fotoelétrico seja observado. Considere na equação: V0 = 0J
mín mính. h
φ
ν = φ → ν = (eq. 2.8)
De acordo com as ideias de Einstein, caso uma radiação incida com uma frequência menor que a 
mínima, não ocorrerá o efeito fotoelétrico, independentemente da intensidade da radiação.
Constam na sequência alguns exemplos:
Exemplo 1 (adaptado)
Uma placa é feita de um metal cuja função trabalho W é menor que hν, sendo ν uma frequência 
no intervalo do espectro eletromagnético visível e h a constante de Planck. Deixada exposta, a placa 
interage com a radiação eletromagnética proveniente do Sol, absorvendo uma potência P. Sobre a ejeção 
de elétrons da placa metálica nessa situação, é correto afirmar que os elétrons:
A) Podem ser ejetados instantaneamente, com energia que depende da frequência da radiação 
absorvida e da energia do elétron no metal.
B) Podem ser ejetados instantaneamente com uma mesma energia cinética para qualquer elétron.
C) Não podem ser ejetados, pois a placa metálica apenas reflete toda a radiação.
D) Não são ejetados instantaneamente, já que precisam de um tempo mínimo para acúmulo 
de energia.
E) Não podem ser ejetados instantaneamente e a energia cinética após a ejeção depende da 
frequência da radiação absorvida e da energia do elétron no metal.
Resolução: a afirmativa correta é a letra A.
Lembre‑se de que a energia cinética dos fotoelétrons emitidos no efeito fotoelétrico é dada por:
EC = h . ν ‑ φ
onde φ é a função trabalho do material e a absorção instantânea do fóton pelo elétron não apresenta 
uma correspondência na Física Clássica.
Exemplo 2 (adaptado)
Efeito fotoelétrico: a emissão de elétrons de uma superfície, devido à incidência de luz sobre essa 
superfície, é chamada de efeito fotoelétrico. Em um experimento um físico faz incidir uma radiação 
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luminosa de frequência ν e intensidade I sobre uma superfície de sódio, fazendo com que N elétrons 
sejam emitidos desta superfície. Em relação aos valores iniciais ν e I, assinale a alternativa que apresenta 
como devem variar a frequência e a intensidade da luz incidente para duplicar o número de elétrons 
emitidos, mantendo a energia cinética de cada elétron.
A) Duplicar a frequência e manter a intensidade. 
B) A Emissão de elétrons independe da frequência e da intensidade da luz incidente.
C) Reduzir a frequência pela metade e manter a intensidade.
D) Manter a frequência e quadruplicar a intensidade.
E) Manter a frequência e duplicar a intensidade.
Resolução: a afirmativa correta é a letra E.
Comentário: de acordo com a explicação de Einstein do efeito fotoelétrico, a quantidade de elétrons 
emitidos é proporcional à intensidade da luz incidente. Para duplicar o número de elétrons emitidos, 
basta duplicar a intensidade da luz incidente. No entanto,a energia cinética do elétron emitido depende 
da frequência da luz incidente e da função trabalho do material. Para manter a energia cinética, devemos 
manter a frequência da luz incidente.
Exemplo 3 (adaptado)
Em um laboratório de física, estudantes fazem um experimento em que radiação eletromagnética 
de comprimento de onda λ = 300 nm incide em uma placa de sódio, provocando a emissão de 
elétrons. Os elétrons escapam da placa de sódio com energia cinética máxima Ec = E ‑ W, sendo E a 
energia de um fóton da radiação e W a energia mínima necessária para extrair um elétron da placa. 
A energia de cada fóton é E = h.ν, sendo h a constante de Planck e ν a frequência da radiação. 
Use as seguintes informações:
Módulo da velocidade da radiação eletromagnética: c = 3,0 x 108 m/s.
1 nm = 10–9 m
h = 4 x 10–15 eV.s.
W (sódio) = 2,3 eV. 
1 eV = 1,6 x 10–19 J.
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Calcule:
• a energia cinética máxima Ec de um elétron que escapa da placa de sódio;
• a frequência ν0 da radiação eletromagnética, abaixo da qual é impossível haver emissão de 
elétrons da placa de sódio.
Resolução: precisamos determinar a energia do fóton incidente correspondente ao comprimento de 
onda λ= 300 nm.
Assim:
8
15
9
c 3.10
E h. h. 4,0.10 . 4,0eV
300.10
−
−= ν = = =λ
A energia cinética máxima dos fotoelétrons emitidos será:
EC = 4 ‑ 2,3 = 1,7eV ≅ 2,72 . 10
‑19 J
A frequência de corte ν0 será dada por:
14
0 0 0 15
W 2,3
W h. 5,75.10 Hz
h 4.10−
= ν → ν = → ν = =
Exemplo 4
Uma lâmpada comum, de 30 W irradia energia no comprimento de onda (considere este como sendo 
o único) λ= 660 nm. Assim, quantos fótons por segundo são emitidos pela lâmpada?
Resolução: 
E
P
t
=
∆
 – como a potência é de 30 W temos que em um segundo são emitidos 30 J. Essa 
energia é transportada pelos fótons, então:
8 9
34
9 34 8
3.10 30 . 660.10
E N.h. 30 N.6,6.10 . N
660.10 6,6.10 . 3.10
−
−
− −= ν → = → =
→ N = 1,0 . 1020 fótons por segundo.
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Unidade II
 Saiba mais
Experimentos virtuais podem ser usados para o ensino‑aprendizagem 
de conceitos de mecânica quântica. Veja os seguintes artigos:
OSTERMANN, F.; RICCI, T. F. Conceitos de física quântica na formação 
de professores: relato de uma experiência didática centrada no uso de 
experimentos virtuais. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, 
v. 22, n. 1, p. 9‑35, 2005. Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.
php/fisica/article/view/6392/5917>. Acesso em: 4 dez. 2018.
SILVA, I. Uma nova luz sobre o conceito de fóton: para além de imagens 
esquizofrênicas. Revista Brasileira de Ensino de Física, Feira de Santana, 
v. 37, n. 4, p. 4.204, 2015. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbef/
v37n4/0102‑4744‑rbef‑37‑4‑4204.pdf>. Acesso em: 4 dez. 2018.
3.4 Raio X
Os denominados raios X foram descobertos por W. Roentgen, em 1895. Ele estava estudando a 
radiação (a qual chamou de raios) emitida quando “raios catódicos” (elétrons) colidiam com alvos. Essa 
radiação tinha a propriedade de atravessar objetos opacos e excitar um filme fluorescente.
Ele descobriu também que o fato de esses “raios” (radiação eletromagnética) atravessarem objetos 
opacos estava vinculado à espessura do objeto, de tal forma que, quanto mais fino o objeto, mais fácil 
era para esses raios atravessá‑lo.
Como Roentgen descobriu que esses raios não eram afetados por campos eletromagnéticos, ele 
também não conseguiu observar fenômenos ondulatórios clássicos, como aqueles observáveis na luz 
visível. Portanto, esses “raios” tinham um comportamento totalmente inusitado para a época. Foi por 
causa desses fatos que ele deu a esses raios (radiação) o nome de raios X.
Para explicar o efeito da emissão desses raios, precisamos lembrar que de acordo com as leis do 
eletromagnetismo clássico os elétrons, ao serem desacelerados, deviam emitir radiação.
Como esse era ao caso que estava acontecendo nos experimentos, pois os raios X eram emitidos 
quando elétrons colidiam (logo, desaceleravam) com alvos, era razoável supor que esses “raios” na 
verdade fossem radiação eletromagnética.
As medidas experimentais indicavam que essa radiação devia possuir comprimentos de onda da 
ordem de 1 Angstrom (1Ǻ= 10‑10 m).
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FÍSICA MODERNA
Esta característica levou Von Laue a sugerir que essa radiação poderia ser usada para investigar 
a estrutura da matéria, pois o espaçamento dos átomos de um cristal possui a mesma dimensão do 
comprimento de onda dos raios X.
Usando essa ideia, W. Bragg propôs uma lei que permitia analisar a difração dos raios X por cristais. 
Essa lei ficou conhecida como Lei de Bragg (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). Ele analisou estruturas cristalinas 
simples e conseguiu verificar que as ondas difratadas por átomos situados no mesmo plano cristalino 
interferem‑se construtivamente se a diferença entre os dois percursos for um múltiplo inteiro do 
comprimento de onda.
Assim, a lei de Bragg pode ser escrita como:
2 . dsenθ = m . λ (eq. 2.9)
onde m são números inteiros, d é a distância entre os planos desses átomos e λ é o comprimento 
de onda.
Experimentalmente podemos medir a intensidade dos raios X que são difratados por um cristal 
em função do comprimento de onda desses raios, usando um equipamento simples, como o 
mostrado a seguir.
Colimador de chumbo
Feixe de 
elétrons
Tubo de 
raio x
Câmara de 
ionização
Cristal
Raio XÂnodo
Figura 12 – Esquema do experimento de Bragg para medir a intensidade de raios X 
difratados em um cristal em função do comprimento de onda
A intensidade da radiação difratada possui uma característica marcante: um comprimento de onda 
de corte (λm) que não depende do tipo do cristal, mas da energia dos elétrons.
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Unidade II
Experimentalmente podemos escrever:
( )
3
m
1,24.10
nm
V
λ = (eq. 2.10)
onde V é a tensão do tubo de raios X. Essa equação é conhecida como Lei de Duane‑Hunt.
Exemplo 1 (adaptado)
Raios X, descobertos por Röntgen em 1895 (TIPLER; LLEWELLYN, 2006), são largamente utilizados 
como ferramenta de diagnóstico médico por radiografia e tomografia. Além disso, o uso de raios X foi 
essencial em importantes descobertas científicas, como, por exemplo, na determinação da estrutura do 
DNA. Em um dos métodos usados para gerar raios X, elétrons colidem com um alvo metálico perdendo 
energia cinética e gerando fótons de energia E = h . ν, sendo h = 6,6 . 10–34 J.s e f a frequência da 
radiação. A figura adiante mostra a intensidade da radiação emitida em função do comprimento de 
onda. Se toda a energia cinética de um elétron for convertida na energia de um fóton, obtemos o fóton 
de maior energia. Nesse caso, a frequência do fóton torna‑se a maior possível, ou seja, acima dela a 
intensidade emitida é nula.
Calcule a energia cinética dos elétrons incidentes para a maior frequência possível.
25
In
te
ns
id
ad
e
35 45 55 65 75 85
λ (10‑12 m)
Figura 13 
Resolução: para a maior frequência temos o menor comprimento de onda, pois: 
c
c .= λ ν → ν =
λ
 
por inspeção no gráfico, o menor comprimento de onda é igual a: λ = 30 . 10‑12 m.
Para esse comprimento de onda, a energia é dada por:
8
34 15
12
c 3.10
E h. h. 6,6.10 . 6,6.10 J
30.10
− −
−= ν = = =λ
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FÍSICA MODERNA
3.5 Explicação de Einstein para a Lei de Duane‑Hunt
A fim de explicar teoricamente a Lei de Duane‑Hunt, Einstein considerou que a produção de raios X 
por bombardeio de elétrons na verdade era um efeito fotoelétrico inverso (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
Assim, o comprimento de onda de corte corresponderia à energia de um fóton com a energia cinética 
máxima dos elétrons. Para essa hipótese, ele desconsiderou a função trabalho, pois esse valor seria 
pequeno em comparação com a energia cinética dos elétrons no tubo de raio X.
De acordo com a hipótese de Einstein, teremos:
34 8 6
c
h.c h.c 6,6.10 .3,0.10 1,24.10 m
E e.V h.
e.V V V
− −
= ≅ ν = → λ = → λ = → λ =
λ
31,24.10 nm
V
→ λ = (eq. 2.11)
A descoberta dos raios X foi uma daquelas que revolucionaram rapidamente a medicina. Poucas 
semanas após a publicação de seus estudos, foram feitas em todo o mundo diversas radiografias de 
pacientes através dos raios X.
Vários equipamentos foram fabricados para uso médico e recreativo. Era comum em circos haver o 
equipamento para que pessoas pudessem tirar a “fotografia” da silhueta óssea.
Algumas lojas de calçados possuíam o equipamento para mostrar aos clientes como os pés ficavam 
acondicionados confortavelmente dentro de sapatos.
O grande inventor norte‑americano Thomas Alva Edison era um dos fabricantes de equipamentos 
de raios X para uso comercial. Foi ele também que observou alguns efeitos nocivos dos raios X em 
funcionários de sua empresa.
Esses efeitos foram mais tarde estudados e permitiram a criação e o uso de proteção para 
essa radiação.
4 O EFEITO COMPTON
Em 1923, Arthur Compton (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) fez diversos experimentos para 
analisar o espalhamento de raios X por um cristal. A ideia do experimento era bem simples: fazia‑se 
incidir raio X sobre um cristal e observava‑se com um detector o comportamento dos raios espalhados.
O autor notou que o espalhamento dos raios X apresentava dois picos de intensidade em comprimentos 
de onda diferentes para cada valor do ângulo θ de espalhamento. Existia experimentalmente um 
deslocamento de intensidade conhecido como deslocamento Compton.
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Unidade II
No entanto, esse efeito não poderia ser explicado classicamente. De acordo com as leis do 
Eletromagnetismo, se os raios X possuíssem apenas um comportamento ondulatório, o comprimento de 
onda do raio difratado deveria ser o mesmo do raio incidente e duas intensidades não seriam observadas.
A grande contribuição de Compton foi entender que o processo de difração dos raios X poderia ser 
considerada uma colisão entre um fóton incidente (raio X incidente) com energia h . ν1 com um elétron. 
O elétron absorveria parte da energia desse fóton incidente e logo o fóton difratado teria energia menor 
h . ν2. Assim a frequência desse fóton difratado e também seu momento linear (
2h.
c
ν ) seriam menores 
do que a frequência e o momento do fóton incidente.
Compton usou as leis de conservação de momento e de energia (na forma relativística) para 
analisar esse processo de colisão fóton‑elétron. Essa análise permitiu que ele calculasse a diferença de 
comprimento de onda entre o fóton difratado e incidente (deslocamento Compton). A equação obtida 
por esse estudo é chamada de equação de Compton:
( )2 1
h
1 cos 
m.c
λ − λ = − θ (eq. 2.12).
Interessante notar que a diferença entre os comprimentos de onda não depende da frequência do 
fóton incidente e da grandeza:
h
0,00243 nm
m.c
=
possui dimensão de comprimento (comprimento de onda Compton do elétron).
4.1 Dedução da equação de Compton
Considere λ1 e λ2 os comprimentos de onda dos raios X que incidem e são difratados nessa ordem. 
Os momentos lineares correspondentes são:
1
1
1
E h
p
c
= =
λ e 
2
2
2
E h
p
c
= =
λ
De acordo com a conservação de momento, escrevemos:
2 ep p p= +
 

 que possui a relação entre os módulos:
2 2 2 2 2 2
e 1 2 1 2 e 1 2 1 2p p p 2.p .p p p p 2.p .p .cos= + − → = + − θ
 
onde ep

 é o momento do elétron depois da colisão e θ é o ângulo de difração do fóton. A energia 
do elétron antes da colisão é sua energia de repouso:
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E0 = m . c
2 e depois da colisão: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2e eE m.c p c E m.c p c= + → = + .
Através da lei de conservação de energia, a energia total antes da colisão é igual à energia total 
depois da colisão:
( ) ( )22 2 21 0 2 0 ep c E p c E p c+ = + +
Subtraindo toda a expressão de p2c, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 21 2 0 0 e 1 2 0 0 ep c p c E E p c c p p E E p c− + = + → − + = + elevando ambos os lados 
dessa equação ao quadrado:
( ) ( ) ( ) ( )2222 2 2 20 1 2 0 1 2 0 eE c p p 2.E .c. p p E p c+ − + − = + simplificando o termo E20 escrevemos:
( ) ( ) ( ) ( )2222 2 2 20 1 2 0 1 2 0 eE c p p 2.E .c. p p E p c+ − + − = + dividindo todos os 
termos por c2 e isolando o quadrado do momento do elétron p2e :
( ) ( )22 0e 1 2 1 2
2.E
p p p . p p
c
= − + − →
( )2 2 2 0e 1 2 1 2 1 2
2.E
p p p 2.p .p . p p
c
→ = + − + −
igualando o quadrado do momento do elétron dessa equação com o valor correspondente da 
equação obtida a partir da conservação do momento, teremos:
( )2 2 01 2 1 2 1 2
2.E
p p 2.p .p . p p
c
+ − + − = p21 + p
2
2 ‑ 2 . p1 . p2 . cosθ eliminando os termos equivalentes:
( )2 2 01 2 1 2 1 2
2.E
p p 2.p .p . p p
c
+ − + − = p21 + p
2
2 ‑ 2 . p1 . p2 . cosθ
Dividindo todos os termos restantes por 2 e trocando o lado da igualdade do termo 2 . p1 . p2, teremos:
( )0 1 2 1 2 1 2
E
. p p p .p p .p .cos
c
− = − θ colocando o termo p1 . p2 em evidência do lado direito da igualdade:
( ) ( )0 1 2 1 2
E
. p p p .p 1 cos
c
− = − θ multiplicando essa equação restante por 
1 2 0
h.c
p .p .E
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Obtemos:
( ) ( )1 2
1 2 0
h h.c
. p p 1 cos
p .p E
− = − θ resolvendo o lado esquerdo da igualdade:
( )
2 1 0
h h h.c
1 cos
p p E
− = − θ mas lembrando que 
h
p
= λ e que E0 = m . c
2, escreveremos que:
( )2 1 2
h.c
1 cos
m.c
λ − λ = − θ → λ2 ‑ λ1 = 
h
m c.
 (1 ‑ cosθ)
 Saiba mais
O efeito Compton é discutido nos seguintes artigos:
SILVA, I.; FREIRE JÚNIOR, O. A descoberta do efeito Compton: de uma 
abordagem semiclássica a uma abordagem quântica. Revista Brasileira de 
Ensino de Física, Feira de Santana, v. 36, n. 1, p. 1.601, 2014. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/rbef/v36n1/26.pdf>. Acesso em: 6 dez. 2018.
SILVA, I.; FREIRE JÚNIOR, O.; SILVA, A. P. B. O modelo do grande elétron: 
o background clássico do efeito Compton. Revista Brasileira de Ensino de 
Física, Feira de Santana, v. 33, n. 4, p. 4.601, 2011. Disponível em: <http://
www.scielo.br/pdf/rbef/v33n4/19.pdf>. Acesso em: 6 dez. 2018.
Exemplo 1
Em um experimento para estudar o efeito Compton, observou‑se que o comprimento de onda da 
radiação incidente (λ1) sofreu um deslocamento de 2,0 % quando o ângulo de difração é igual a 1.500. 
Qual o valor de λ1?
Resolução: partindo da equação do deslocamento Compton:
( ) ( )02 1 h 1 cos 0,00243. 1 cos150 0,00453nmm.cλ − λ = − θ → ∆λ = − → ∆λ =
e tendo em vista que:
1 1
1
0,00453 nm
0,02 0,2265 nm
0,02 0,02
∆λ ∆λ
= → λ = → λ = =
λ
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FÍSICA MODERNA
4.2 Tubos de Geissler e Crookes
A Física Moderna deve grande parte de seu avanço a descobertas experimentais que não podiam ser 
explicadas de acordo com os conceitos da Física Clássica. Um dos principais dispositivos experimentais 
usados para este avanço é o conhecido tubo de Geissler‑Crookes.
Esse tubo é feito de vidro e dele é retirado todo o ar que seja possível, abaixando a pressão interna. 
Em suas extremidades são colocados dois eletrodos constituídos por duas placas de metal, cada uma 
delas ligada a um polo de uma fonte de tensão. A placa ligada ao polo negativo recebe o nome de 
cátodo e a ligada ao polo positivo é denominada ânodo.
Geissler, que era um artesão de vidros, na verdade foi quem aprimorou a fabricação desses tubos, 
conseguindo resolver diversos problemas com relação à vedação (a pressão interna é muito menor que 
a externa), bem como a dilatação dos materiais, pois nesses tubos o vidro é soldado em metais, fazendo 
com que a pressão interna seja baixa e estável.
Consequentemente, o que Geissler fabricava eram tubos de vidro que podiam conter gases rarefeitos. 
Quanto a esses tubos, era aplicada uma tensão relativamente alta. Alguns gases emitiam luz visível.
Plücker, em 1858, usando os tubos de Geissler e diferentes gases, observou raios de cores diversas 
nas quais as trajetórias se desviavam nas paredes do objeto quando um campo magnético (ímã) era 
colocado nas proximidades.
Hittorf, aluno de Plücker, alguns anos depois, conseguiu observar que, ao pormos um objeto na frente 
do cátodo surgia uma imagem projetada (sombra) na parede oposta do vidro. Esse efeito indicava que 
esses raios descreviam trajetórias retilíneas. De acordo com ele, esses raios tinham origem no cátodo. O 
físico Goldstein deu‑lhes o nome de “raios catódicos”.
Em 1879, o físico William Crookes conseguiu aprimorar os tubos de Geissler, melhorando a bomba 
de vácuo usada neles. Ele conseguiu obter pressões baixíssimas, da ordem de 105 vezes menor que a 
pressão atmosférica. Desde esse aprimoramento, os tubos de Geissler também ficaram conhecidos como 
tubos de Crookes (CHESMAN; ANDRÉ; MACEDO, 2004).
Bomba de vácuo
Fonte de alta‑tensão
‑ +
Figura 14 – Tubo de Crookes
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4.3 A descoberta do elétron
Faraday (CHESMAN; ANDRÉ; MACEDO, 2004) foi o primeiro a fazer estimativas da ordem de grandeza 
da carga elétrica. Ele estudava a condução de eletricidade em meios líquidos. Seus estudos permitiram 
obter uma lei para a eletrólise e entender a natureza elétrica das forças entre átomos.
O fenômeno estudado por Faraday era simples. Ele colocava dois eletrodos em uma solução, fazendo 
com que uma corrente elétrica circulasse por ela. Após um período, ele observava a deposição dos 
elementos da substância nos eletrodos.
Suas experiências permitiram deduzir que a carga elétrica fosse quantizada, ou seja, formada por 
partículas com um certo valor mínimo de carga elétrica.
Em 1874, Stoney sugeriu que a menor unidade de carga elétrica fosse chamada de elétron e estimou 
o seu valor em aproximadamente 10‑20 C (CHESMAN; ANDRÉ; MACEDO, 2004).
Em 1896, Zeeman estimou através de medidas espectrais que a razão q/m era de aproximadamente 
1,6.1011 Kg/C.
No final do século XIX, muitos estudos relacionados com descargas elétricas em gases, através 
dos tubos de Crookes, estavam sendo realizados. Eles permitiram concluir que o tipo de carga elétrica 
responsável pela condução elétrica em gases também efetuava a condução elétrica em soluções, como 
aquelas das experiências de Faraday.
Em 1897, Thomson realiza experimentos medindo o movimento dos raios catódicos na presença de 
campos elétricos. Um diagrama deste experimento pode ser visto na figura a seguir (CHESMAN; ANDRÉ; 
MACEDO, 2004).
Fonte de 
tensão 1
Tubo de Crooke
Fonte de 
tensão 2
P1
P2
D
BAC
E+
+
‑
‑
+
+‑
‑
Figura 15 – Experimento de Thomson
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FÍSICA MODERNA
No experimento, Thomson conectou dois eletrodos (o cátodo C e o ânodo B) a uma primeira fonte 
de tensão (1). Entre eles existia uma fenda A usada para colimar (focalizar e controlar) os raios catódicos. 
Esses raios colimados seguiam em direção às placas paralelas de um capacitor (D e E) que estavam 
ligadas a outra fonte de tensão (2). No final do tubo, existia uma tela fluorescente que emitia luz 
quando os raios catódicos a atingiam. A posição do ponto de emissão de luz, no final do tubo, podia ser 
controlada pelo ajuste da tensão da fonte. Essa tensão determinava o campo elétrico fornecido aos raios 
catódicos. A intensidade desse campo elétrico determinava o desvio (P1 para P2).
Esse equipamento usado por Thomson foi o precursor dos tubos de raios catódicos usados em 
televisões, osciloscópios e telas de computadores.
Thomson precisava medir a velocidade com que os raios catódicos estavam sendo emitidos. Para 
isso, ele inseriu um campo magnético externo, perpendicular ao elétrico, de tal forma que o feixe não 
sofresse deflexão. Assim, teríamos:
e mag
E
F F q.E q. v .B v
B
= → = → =



   
 (eq. 2.13)
Ao retirar o campo magnético, os raios catódicos sofrem um desvio. Enquanto os raios estão entre 
as placas, o desvio y1 é dado por:
2
2
1
1
q.Eat d
y
2 2.m v
 
= =  
 

 (eq. 2.14)
Onde d é o comprimento das placas.
Observe que o desvio y é proporcional à razão q/m.
Para as várias experiências de Thomson, o valor encontrado para a razão q/m foi:
11q C1,76.10
m Kg
=
Na verdade, uma segunda contribuição deveria ser levada em consideração, a que se dá depois de as 
partículas saírem da região entre as placas.
Na dedução proposta, essa contribuição foi desprezada, bem como a contribuição do campo 
magnético terrestre e as correções relativísticas na velocidade dos raios catódicos.
Thomson refez seu experimento por diversas vezes usando cátodos de metais diferentes, tais como: 
cobre, ferro e alumínio. Contudo, obteve sempre o mesmo valor da razão q/m.
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Esse fato fez com que ele considerasse que essas partículas constituintes dos raios catódicos, que 
tinham uma carga elétrica negativa, estavam presentes em todos os metais usados. Anos mais tarde, 
Lorentz denominou tais partículas de elétrons.
4.4 O espectrômetro de massa
O espectrômetro de massa é um dos principais aparelhos usados em laboratórios de físico‑química. 
Este equipamento permite obter a relação q/m (carga elétrica por massa) de uma partícula.
Para isso, ele mede o raio de curvatura quando uma partícula acelerada por uma diferença de 
potencial (proveniente de uma fonte de tensão) adquire a energia cinética, sendo inserida em uma 
região onde existe um campo magnético uniforme.
Pela lei de Lorentz, como o vetor velocidade da partícula é perpendicular à direção do campo magnético, 
a partícula sofrerá a ação da força magnética, que nesse caso atua como uma resultante centrípeta.
Essa força faz com que a partícula tenha um movimento circular. O equipamento mede o raio da 
trajetória, o que permite determinar a relação q/m.
Emissor de cargasFonte de tensão
‑ q
R
Figura 16 – Esquema de um espectrômetro de massa
Atualmente, os espectrômetros de massa permitem resoluções da ordem de 10‑9. Para isso o método 
usado consiste em comparar o raio da trajetória da partícula com um padrão.
4.5 A experiência de Millikan: quantização da carga elétrica
Robert Andrews Millikanrealizou em 1909 a famosa experiência de óleo, o que lhe permitiu medir 
e mostrar a quantização da carga elétrica. O experimento consistia na verdade em um aprimoramento 
da câmara de bolhas de Wilson.
Na câmara de bolhas, a trajetória de partículas poderia ser visualizada através do rastro deixado por 
elas devido à colisão dessas partículas com bolhas de vapor saturado dentro de uma câmara.
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FÍSICA MODERNA
J. Townsend estava usando as câmaras de Wilson para observar uma pequena nuvem, com gotas de 
água supostamente idênticas e com a mesma carga elétrica, que caíam por efeito gravitacional.
Townsend determinava experimentalmente a carga total da nuvem (que, por ser carregada, sofre 
efeitos eletromagnéticos), a sua massa e o raio de uma gota individual. Assim, ele poderia determinar 
quantas gotas carregadas a nuvem continha.
O estudo de Townsend possuía duas limitações:
• a velocidade de evaporação da nuvem precisava ser levada em consideração, mas era uma medida 
difícil de ser feita;
• a hipótese de que cada gota de água continha apenas uma unidade de carga elétrica.
O experimento de Millikan tentava sobrepor essas dificuldades.
Ele usou óleo (de azeite) em vez de água, o que eliminava o problema da evaporação. Para controlar 
o movimento das gotas de óleo carregadas, usou um campo elétrico intenso, gerado por duas placas 
alimentadas por uma fonte de tensão elétrica.
Millikan então descobriu que era possível observar gotas isoladas. Elas ficavam em equilíbrio por causa 
do campo elétrico entre as placas que produzia uma força elétrica capaz de equilibrar a força peso.
No entanto, algumas vezes, essas gotas, por terem adquirido carga elétrica, se deslocavam para cima 
ou para baixo. Portanto, poderia ser observada a carga de um íon de forma isolada.
Os experimentos de Millikan permitiram concluir que a carga elétrica sempre ocorre em múltiplos 
inteiros de um valor fundamental chamado de carga elétrica elementar.
Fonte de tensão
Atomizador
Luneta
KV
‑+
Figura 17 – Esquema do experimento da gota de Millikan
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Unidade II
 Resumo
Nessa unidade vimos que as medidas de intensidade de radiação 
do corpo negro levaram ao início do desenvolvimento das ideias 
da mecânica quântica. O problema inicial estava relacionado ao 
espectro de radiação emitida por um corpo negro aquecido a uma 
dada temperatura. A descrição baseada nas leis da Física Clássica não 
permitia obter uma forma matemática que descrevesse corretamente 
as medidas experimentais.
Planck propôs um modelo que permitiu resolver esse problema. Para 
isso, ele usou o argumento de que a energia dos modos de vibração da 
cavidade de corpo negro era quantizada e múltipla de uma constante, h. 
Dessa forma, ele introduziu a ideia de quantização de energia.
Logo após a descoberta de Planck, Lorentz descobriu o efeito fotoelétrico 
estudando as ondas de Maxwell. Nesse efeito, elétrons são emitidos por 
placas de metais que recebem radiação eletromagnética. O problema era 
que a emissão desses elétrons estava vinculada à frequência da radiação 
incidente, fato este que, novamente, como a radiação de corpo negro, não 
era possível de ser explicado pelas leis da Física Clássica.
Albert Einstein explicou o efeito fotoelétrico usando as ideias de 
quantização de Planck. Para isso, ele considerou que a luz era constituída 
de quanta de energia, chamadas de fótons.
Compton descobriu que a radiação eletromagnética possui momento 
linear (quantidade de movimento) observando o espalhamento angular 
da radiação eletromagnética. Para explicar esse efeito, ele também aplicou 
as ideias de quantização de Planck somadas aos efeitos relativísticos da 
energia eletromagnética.
Os tubos de Geissler‑Crookes são um tipo de arranjo em que gases são 
percorridos por correntes elétricas e esses efeitos podem ser controlados 
por campos elétricos e magnéticos externos.
Esses arranjos experimentais permitiram que Millikan obtivesse a 
relação carga‑massa para uma partícula fundamental da natureza: 
o elétron.
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FÍSICA MODERNA
 Exercícios
Questão 1. Em um laboratório foi executado um experimento em que radiação eletromagnética de 
comprimento de onda λ incide em uma placa de sódio, provocando a emissão de elétrons. Os elétrons 
escapam da placa de sódio com energia cinética máxima Ec = E ‑ W, sendo E a energia de um fóton da 
radiação e W a energia mínima necessária para extrair um elétron da placa. A energia de cada fóton é 
E = h . ν, sendo h a constante de Planck e ν a frequência da radiação.
Módulo da velocidade da radiação eletromagnética:
8 mc 3,0 10
s
= ⋅
. 
1nm = 10‑9 m
h = 4 . 10‑15 eV . s
W(sódio) = 2,3 eV
1eV = 1,6 . 10‑19 J
Considerando que a energia cinética máxima Ec de um elétron que escapa da placa de sódio é 
1,12 . 10‑19 J; o comprimento de onda λ que incide na placa é:
A) 400 nm.
B) 300 nm.
C) 0.
D) 1.500 nm.
E) 100 nm.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: veja a resolução:
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Unidade II
A energia cinética máxima dos fotoelétrons emitidos é:
19
19
C –19
1,12 10 J
E 1,12 10 J eV 0,7eV
1,6 10 J
−
− ⋅= ⋅ = =
⋅
Com essa energia, a energia do fóton incidente fica:
EC = E ‑ 2,3 = 0,7eV → E = 3,0eV
Assim, o comprimento de onda λ para essa energia é:
8
15c 3 10E h. h. 4,0 10 3,0eV−
⋅
= ν = = ⋅ ⋅ =
λ λ
8
15 3 104,0 10
3,0eV
− ⋅⋅ ⋅ = λ
λ = 4 . 10‑7 m
λ = 400 . 10‑9 m = 400 nm
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: para que essa resposta seja verdadeira, EC = 2,7eV.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: se não há comprimento de onda, então não há incidência.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: não há como essa resposta ser verdadeira.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: para que essa resposta seja verdadeira, EC = 9,7eV.
Questão 2. Em um experimento para estudar o efeito Compton, observou‑se que o comprimento 
de onda da radiação incidente (λ1 = 0,1215 nm) sofreu um deslocamento de 3,0%. Qual é o ângulo de 
difração nessa situação?
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FÍSICA MODERNA
( ) ( )2 1
h
1 cos 0,00243. 1 cos
m.c
λ − λ = − θ → ∆λ = − θ
A) 30º.
B) 60º.
C) 90º.
D)120º.
E) 150º.
Resolução desta questão na plataforma.