Matemática financeira und 1

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CAPÍTULO 1 - O que são e como
funcionam os juros?
Henrique Martins Rocha
INICIAR
Introdução
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Neste capítulo você estudará os juros: o que eles são, quais são os seus tipos, para
que servem, quais suas aplicações e como são calculados. No mundo atual é
inviável pensarmos em “não haver juros”. Mas, então, quando vemos um anúncio
que indica que a compra pode ser feita “sem juros” ou “com juros zero”, será que
isso é uma situação especial em que, de fato, não há juros? Vamos entender o que
acontece, na realidade. Você sabe quais são os fatores que atuam no valor dos
juros? Você estudará como são efetuados os cálculos dos juros e quais são os
fatores que influenciam tais cálculos. Há como pagarmos menos juros? Veremos
como podemos efetuar os cálculos e fazer escolhas entre alternativas. Como o
tempo altera o valor dos juros? Isso depende do tipo de juros utilizado e, por isso,
vamos estudar as diferenças entre os juros simples e compostos. Todas essas
perguntas poderão ser respondidas ao longo do estudo deste capítulo. Bons
estudos!
1.1 Conceitos iniciais da Matemática
Financeira   
É comum associarmos os cálculos financeiros a atividades extremamente
complexas, incompreensíveis para grande parte das pessoas. Mas, isso não é
verdade na maioria das vezes: na realidade, há conceitos lógicos muito
importantes que guiam toda a base da Matemática Financeira.
Esses conceitos fundamentam atividades que englobam empréstimos,
financiamentos, multas por atraso, antecipações de pagamentos, resgate de
títulos e tantas outras atividades de cunho financeiro. O conhecimento dos
mecanismos dessa dinâmica é importante para que pessoas, famílias e empresas
tomem decisões acertadas sobre suas finanças.
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E é isso que você vai estudar neste tópico: a lógica que relaciona valores
monetários com o tempo, o que serve de base para compreendermos o que são os
juros e como eles são calculados.  
1.1.1 Valor do dinheiro no tempo
Se você tivesse prestado um serviço e, por conta dele, tivesse direito a receber um
valor, por exemplo, R$1.000,00, e, lhe fosse dada a possibilidade de escolher entre
as alternativas:
receber os R$1.000,00 logo após a prestação do serviço; ou
receber os R$1.000,00 um ano após ter prestado o serviço.
O que você escolheria? Muito provavelmente sua resposta seria “escolho receber
os R$1.000,00 assim que prestar o serviço”, ao invés de escolher “receber os
R$1.000,00 um ano depois”. E sua resposta faria muito sentido! Mas, por que você
daria essa resposta? Vamos pensar em algumas possibilidades:
Figura 1 - Efeito do tempo sobre os juros e sobre o valor final de transações financeiras em qualquer
área. Fonte: Valery Evlakhov, Shutterstock, 2018.
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porque se escolhesse receber os R$1.000,00 um ano depois, a inflação iria
corroer o valor recebido;
porque o dinheiro (os R$1.000,00) já estaria contigo e você poderia fazer com
ele o que bem entendesse;
porque ao receber os R$1.000,00, você poderia pagar algumas dívidas;
porque poderia aplicar os R$1.000,00 e ganhar os rendimentos da aplicação;
etc.
Vamos analisar essas possíveis justificativas. Mas, antes disso, vamos discutir um
conceito muito relevante, que é a importância da disponibilidade de recursos, ou
seja, porque damos preferência a termos dinheiro disponível (seja na forma de
dinheiro vivo ou disponível no banco). Há quatro razões para essa preferência:
transações – precisamos de recursos para os gastos rotineiros, como, por
exemplo, um lanche, passagens de ônibus, pagamento do aluguel etc.;
precaução – precisamos de recursos para gastos eventuais, não planejados,
como, por exemplo, contratar um chaveiro para abrir uma fechadura que
travou ou consertar um pneu furado; 
certeza x incerteza – deixar de receber de imediato traz sempre a
possibilidade de alguma coisa acontecer e deixarmos de receber o que é
devido no futuro; e
especulação – boas oportunidades surgem sem aviso, como, por exemplo,
um desconto para a compra de um bem que desejamos. Mas, só
conseguimos obter os benefícios das oportunidades se tivermos recursos
disponíveis para fechar o negócio.
VOCÊ SABIA?
É comum vermos a palavra “especulação” com um significado pejorativo,
associado a aspectos antiéticos e mesmo ilegais. Mas em Finanças, o significado é
supor, imaginar. Por exemplo, imaginamos que o preço de um bem vai cair e, por
isso, postergamos a sua compra. Ou, podemos especular que o preço vai subir e,
por isso, compramos de imediato.
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Como você pôde perceber, ter os recursos disponíveis nos traz vantagens e, por
isso, sempre damos preferência a ter os recursos disponíveis, ao invés de
esperarmos por eles. E foi por isso que você preferiria receber os R$1.000,00 de
imediato e não um ano depois: seja para não perder valor, corroído pela inflação,
seja para fazer qualquer uso de imediato, isto é, pagar contas, adquirir alguma
coisa ou investir o dinheiro. 
A propósito, podemos tirar uma importante lição dessa análise: em Matemática
Financeira, não faz sentido falarmos de valores monetários se não os
relacionarmos ao tempo, isto é, informar quando esses valores ocorrem, sejam na
forma de pagamentos ou na de recebimentos. Afinal, se o tempo não fosse
relevante, a resposta à pergunta sobre preferir receber os R$1.000,00 de imediato
ou um ano depois seria “tanto faz, pois o valor é o mesmo”.
De fato, o valor (R$1.000,00) é o mesmo hoje ou no futuro. Chamamos isso de valor
nominal. Mas, se temos a clara preferência por receber de imediato, é porque
R$1.000,00 hoje valem mais do que R$1.000,00 daqui a um ano. Chamamos isso de
valor real.
  O valor real de R$1.000,00 hoje é maior do que daqui a um ano e, por isso,
preferimos receber hoje: recebemos um maior valor, percebe? Por outro lado, se
ao invés de recebermos, tivéssemos de efetuar um pagamento de R$1.000,00,
preferiríamos pagar mais tarde, pois, dessa forma, estaríamos pagando menos
(em termos reais).
Pode parecer estranha esta afirmação, mas ela é fácil de compreender se
tomarmos como exemplo a quarta possível razão para escolhermos receber os
R$1.000,00 de imediato, ou seja, “Porque eu poderia aplicar os R$1.000,00 e
ganhar os rendimentos da aplicação”. Imagine, por exemplo, que você recebesse
os R$1.000,00 e os investisse na Poupança e a mesma o remunerasse em 7% em
um ano: ao final do ano você teria ganhado R$70,00 (7% dos R$1.000,00 investido)
e, assim, teria então R$1.070,00.
A pergunta poderia, então, ter sido feita da seguinte forma: Você prefere receber
daqui a um ano R$1.000,00 ou R$1.070,00? A decisão se tornaria bem mais fácil e
óbvia: sempre vamos preferir receber mais, não é mesmo? E, dessa forma,
optaríamos por receber R$1.070,00 e não R$1.000,00. Mas, perceba que, nesse
caso, receber os R$1.070,00 em um ano seria a mesma coisa que receber
R$1.000,00 hoje.
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CASO
Já pensou em ser o dono da ilha de Manhattan, em Nova Iorque, um dos
metros quadrados mais caros do mundo? Mais do que isso, já pensou em
comprá-la por 24 dólares? Pois saiba que foi esse o valor aproximado (ou,
no máximo mildólares, seguindo alguns historiadores) dado pelo
holandês Peter Minuit para os indígenas locais pela ilha em 1626, na forma
de objetos diversos (ALANO, 2015; JACOBS, 2000; SONIAK, 2012). Mas não
considere que os índios foram enganados, pois, se o montante fosse
investido desde então, isso resultaria em um valor bastante elevado nos
dias de hoje. Ou seja, o fator tempo tem um peso bastante significativo
quando analisamos valores. Além disso, para os índios, era apenas mais
um pedaço de terra, dentre tantos disponíveis para eles.
Assim, valores e tempo são variáveis indissociáveis em Matemática Financeira, os
quais são considerados em todas as análises e cálculos, no contexto do preço do
dinheiro ao longo do tempo.  
1.1.2 O preço do dinheiro
Você já ouviu falar que tudo tem um preço? E isso faz sentido: se você quiser
comprar material escolar, terá de pagar um preço por ele. Se tiver de pegar um
táxi, terá de pagar pela corrida. Ou seja, todo produto tem seu preço, da mesma
forma que todo serviço. E, se tivermos de contratar alguém, como um pedreiro ou
uma diarista, fica claro que a mão de obra também tem seu preço.
O filme O mercador de Veneza (RADFORD, 2004) explora o aspecto dos juros cobrados por um agiota no
século XVI. No intrincado romance, o agiota impõe uma condição bastante severa caso o pagamento do
empréstimo que ele fez não seja cumprido dentro do prazo previsto: mutilação, o que levou o caso aos
tribunais, para que fosse julgado se a pena deveria ser aplicada ou não.
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Mas, e o dinheiro? Qual o preço do dinheiro?
Parece uma pergunta estranha e a tendência é responder que é o próprio valor
dele, afinal, por exemplo, R$10,00 são R$10,00 e nada diferente disso. Mas, não é
bem assim.
Repare que se você for sacar os R$10,00 de sua conta no banco, o valor será
mesmo de R$10,00, pois é o seu próprio dinheiro. Mas, se você não tiver saldo na
conta, o banco pode permitir que ainda assim você saque R$10,00. Mas, não será
seu dinheiro e, sim, dinheiro do banco e você terá de pagar um preço por ele. Ou
seja, você precisará, em algum momento futuro, devolver os R$10,00 ao banco e,
além disso, um valor adicional (por exemplo, mais R$1,00) como pagamento “pelo
dinheiro que recebeu”, ou seja, pagar o “preço do dinheiro”. Esse preço do dinheiro
é o que chamamos de juros.
Repare que nesse exemplo, ao pagar R$11,00 ao banco, estamos, na verdade
devolvendo os R$10,00 que tomamos para uso e mais R$1,00 como pagamento
pelo seu uso. Pense, por exemplo, como sendo o aluguel de um carro: ao final do
período, nós devolvemos o bem à locadora (ou seja, o carro que alugamos) e
pagamos pelo tempo em que usamos o veículo. No caso do dinheiro, o
devolvemos e pagamos pelo seu uso. Essa é a lógica dos juros. E, como o preço de
qualquer outra coisa, o dinheiro pode ser caro ou barato, isto é, os juros, que são o
preço do dinheiro, podem ser altos ou baixos, tornando o dinheiro mais caro ou
mais barato.
Há uma legislação específica, datada de 1933, que estabelece limites para impedir e reprimir excessos
praticados na cobrança de juros e prevê punição para os casos de abusos. Trata-se do Decreto n.
22.626, de 7 de abril de 1933, conhecido como “Lei da usura” (BRASIL, 1933). 
Vamos voltar ao exemplo dos R$1.000,00 que você tinha para receber e que
preferia, obviamente, recebê-los de imediato: será que se fosse para receber um
valor maior do que os R$1.000,00, você aceitaria receber um ano depois? Por
VOCÊ QUER LER?
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exemplo, R$1.200,00?
Talvez isso fosse atrativo e você aceitasse. Ou seja, você aceitaria receber um valor
adicional (juros) como remuneração pelo seu dinheiro, isto é, por um valor que
você tinha direito de ter disponível (e nós já vimos as vantagens de termos
recursos disponíveis), mas que abriu mão visando um ganho, ou seja, receber
juros como pagamento pelo seu dinheiro.
A propósito, chamar juros de remuneração é algo bastante comum: Samanez
(2010, p. 1), Castanheira e Macedo (2012, p. 14) consideram os juros como sendo “a
remuneração do capital empregado”.
E quando vemos anúncios que indicam “sem juros” ou “juros zero”, qual a lógica
existente nesses casos?
Bem, nesses casos, o vendedor já incorporou os juros no valor final do bem e,
como forma de atrair clientes, anuncia que a venda será sem juros, ou seja, que o
valor à vista é o mesmo do valor parcelado.
Figura 2 - Cálculo de juros e de valores diversos, o que exige o uso de calculadoras científicas ou
financeiras. Fonte: Shutterstock, 2018.
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Mas como são, de fato, representados e calculados os juros e valores de bens e
serviços quando os juros são considerados? Vamos ver isso a seguir.  
1.1.3 Representação e cálculo dos juros
Por que o valor do dinheiro no futuro é superior ao valor atual? O que é adicionado
para aumentar o valor total? Vamos compreender essa dinâmica e fatores
envolvidos.
Supondo, então, que você aceitou receber R$1.200,00 um ano depois, ao invés de
R$1.000,00 agora, podemos separar as duas partes desse valor recebido:
R$1.000,00 sendo a devolução do dinheiro que você não recebeu no
momento atual, para receber um ano depois; e
R$200,00 que é a remuneração (juros) por ter aceitado tal condição.
Figura 3 - R$200,00 de juros, que é a remuneração referente ao tempo em que os recursos ficaram
indisponíveis para seu dono. Fonte: cifotart, Shutterstock, 2018.
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Vamos estabelecer, assim, uma simbologia e caracterização dos elementos
envolvidos nessa situação: você poderia ter recebido os R$1.000,00 de imediato,
ou seja, no primeiro momento que isso fosse possível. E nossa análise começará
por esse momento, o qual chamaremos de momento zero, momento atual ou
momento presente.
Assim, o valor de R$1.000,00, como seria o valor a ser recebido no momento
presente se chama valor presente, representado por VP. Desta forma:
VP = R$1.000,00
E, ao final de um ano, você recebeu os R$1.200,00. Como se trata de um valor
recebido no futuro, ou seja, algo após o momento presente, chamamos de
momento futuro e, consequentemente, o valor recebido é denominado valor
futuro, representado por VF. Assim:
VF = R$1.200,00
O VP de R$1.000,00 chegou aos R$1.200,00 (VF) devido à incidência dos juros, ou
simplesmente J. Consequentemente:
J = R$200,00
Com isso, podemos apresentar a equação básica da Matemática Financeira, qual
seja:
VF = VP + J
Reordenando a fórmula, podemos utilizá-la para calcular o valor dos juros, como
você pode ver a seguir:
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J = VF – VP
Alguns autores, como Samanez (2010) utilizam os mesmos conceitos, porém com
nomenclatura diferente: o valor investido, ou seja, aplicado durante determinado
tempo, é chamado de aplicação (P), o qual é remunerado (J), gerando um valor
(montante), representado por S, ao final do citado período. Desta forma, segundo
o autor: J = montante – aplicação; ou J = S – P.
Já Castanheira e Macedo (2012) representam o montante como M e o valor
investido, que eles denominam capital, como C. Nesse caso, segundo os autores:
J = M – C
E, ainda, Gimenes (2006) representa o VP como somente P e VF como F (ou Fn,
para representar o VF em um período n futuro) e, desta forma, para ele:
J = F – P
Voltaremosa usar tais nomenclaturas esporadicamente, para que você se
familiarize com a existência dela e não estranhe ver cálculos representados de
formas diferentes por diferentes autores. Mantendo a nomenclatura com a qual
iniciamos, para podermos estabelecer o valor dos juros como uma proporção de
VP, temos:
No nosso exemplo, temos:
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No entanto, como já discutimos antes, em Matemática Financeira é importante
que os valores estejam relacionados ao tempo. Dessa forma, pouco significado há
em falarmos de juros de 20%: isso é muito ou pouco?
Pense em extremos: 20% em um dia é muito, um percentual absurdamente alto,
ao passo que 20% em um século é algo irrisório. Por isso, é sempre importante
informarmos a ciclo de tempo de aplicação dos juros. 
No nosso exemplo, estamos falando de um intervalo de um ano entre o VP e o VF.
Assim, são 20% de juros ao ano. Ou simplesmente 20% a.a.
É usual que utilizemos as formas abreviadas para representar tais ciclos de
aplicação dos juros, como mostrado a seguir:
Ao ano – a.a.;
Ao semestre – a.s.;
Ao quadrimestre – a.q.;
Ao trimestre – a.t.;
Ao bimestre – a.b.;
Ao mês – a.m.; e
Ao dia – a.d.
1.2 Juros simples
A aplicação e a capitalização dos juros podem ocorrer de duas formas: juros
simples e juros compostos. A diferença entre tais regimes é a de que nos juros
simples o cálculo se aplica ao valor investido, ou seja, no VP, ao passo que nos
juros compostos, os juros auferidos são somados ao VP e, a partir daí, os juros são
calculados sobre este novo montante, gerando um valor ainda maior, sobre o qual
são calculados, novamente, os juros sobre o novo total e assim sucessivamente.
Castanheira e Macedo (2012) definem capitalização como sendo a incorporação
dos juros ao capital que o produziu. No próximo subtópico você vai aprender como
são calculados os juros no regime de capitalização pelos juros simples e como
funcionam as aplicações financeiras nesse regime.
1.2.1 Regimes de juros
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Vamos imaginar que você invista R$1.000,00 a uma taxa de 10% a.m. Ao final de
um mês, você terá ganhado R$100,00, ou seja, 10% do valor investido.
Mas, e se você deixar o dinheiro investido, o que acontecerá no próximo mês?
Bem, é aí que surge a diferença entre os dois regimes de juros existentes: juros
simples e juros compostos.
No regime denominado de juros simples, você continuará recebendo os 10%
sobre o valor investido, ou seja, continuará recebendo R$100,00 todo mês. Sendo
assim, ao final do primeiro mês você terá R$1.100,00 (os R$1.000,00 investidos
mais R$100,00 de juros); no final do segundo mês terá R$1.200,00 (ou seja, terá
recebido mais R$100,00 por mais um mês); R$1.300,00 no final do terceiro mês, e
assim sucessivamente.
Já no regime de juros compostos, os juros recebidos são incorporados à base de
cálculo do período seguinte. Ou seja, ao receber os R$100,00 no final do primeiro
mês, eles são incorporados aos R$1.000,00 investidos, totalizando R$1.100,00
(como no regime de juros simples), mas agora os juros de 10% são calculados
sobre este novo montante, isto é, sobre os R$1.100,00.
Ao final do segundo mês, então, serão recebidos R$110,00 (10% de R$1.100,00),
totalizando R$1.210,00 e; ao final do terceiro mês, receberá 10% sobre os
R$1.210,00, ou seja, mais R$121,00, totalizando R$1.331,00, e assim
sucessivamente.
Assim, o total que é indiferente entre os dois regimes quando consideramos
somente um período de investimento e juros recebidos, começa a se distanciar
conforme o tempo vai passando, como você pode ver na tabela a seguir:
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No gráfico a seguir, é possível visualizar as informações constantes na tabela que
vimos acima.
 Tabela 1 -
Juros acumulados ao longo do tempo (meses), considerando um investimento de R$1.000,00 e uma
taxa de juros de 10% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Repare que o crescimento dos juros é linear em relação ao tempo no regime de
juros simples. O mesmo acontecerá com o valor final (ou montante) (SAMANEZ,
2010). Já, no caso do regime de capitalização por juros compostos, o crescimento
dos juros é exponencial (GIMENES, 2006).
E qual regime é o melhor: simples ou compostos? Bem, depende de que lado
estamos: os juros compostos são os melhores para quem os recebe (por receber
mais, ao longo do tempo), mas são piores para quem tem de pagar por eles (por
pagar valores mais altos).
Mas, como podemos calcular os juros sem precisarmos montar a tabela e calcular
mês a mês? Bem, inicialmente vamos recordar a equação fundamental da
Matemática Financeira:
VF = VP + J
Tabela 2 - Juros acumulados ao longo do tempo (meses), considerando um investimento de
R$1.000,00 e uma taxa de juros de 10% a.m. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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No caso dos juros simples, vimos que os juros são calculados sobre o valor
investido, ou seja, sobre VP. Vimos, também, que os juros de cada mês (ou seja, os
R$100,00 no nosso exemplo) vão se acumulando a cada mês, ou seja, uma vez no
primeiro mês (1 x R$100,00 = R$100,00), duas vezes no segundo mês (2 x R$100,00
= R$200,00), e assim sucessivamente.
Podemos inferir, assim, que a forma de calcular os juros, no regime de juros
simples, é dado por:
J = VP x i x n
Sendo:
i = taxa de juros ao período (que deve ser utilizada na forma fracionária e
não na forma percentual. Ou seja, utilizar 0,1; 0,2, etc., ao invés de 10%, 20%
etc.); e
n = quantidade de períodos.
Fique atento: os fatores i e n devem ser compatíveis, ou seja, trabalharem na
mesma unidade de tempo. Ou seja, se n estiver em meses, i deve ser a.m. No caso
de estarem em unidades diferentes, será necessário convertê-los, para garantir
que os cálculos sejam efetuados corretamente.
Dessa forma, quando n = 1 (no nosso exemplo, 1 mês), temos J = 1.000 x 0,1 x 1 =
R$100,00; Para n = 2, temos J = 1.000 x 0,1 x 2 = R$200,00, e assim sucessivamente. 
1.2.2 Cálculos utilizando os juros simples
A partir da equação de cálculo dos juros simples, podemos inferir diversos outros
cálculos. Se: 
J = VP x i x n
E se:
VF = VP + J
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Então:
VF = VP + VP x i x n
Ou ainda:
VF =VP (1 + i x n)
Ou, utilizando a simbologia de Samanez (2010):
S = P (1 + i x n)
Ou ainda, utilizando a simbologia de Castanheira e Macedo (2012):
M = C (1+ i x n)
E, pela simbologia de Gimenes (2006):
F = P (1 + i x n)
Com essa fórmula, podemos calcular o VF que teremos em qualquer período. Ou
seja:
 Ao final do primeiro mês, teremos:
VF = 1.000 (1 + 1 x 0,1) = R$1.100,00
Ao final do segundo mês teremos:
VF = 1.000 (1 + 2 x 0,1) = R$1.200,00
Ao final de um ano teremos:
VF = 1.000 (1 + 12 x 0,1) = R$2.200,00
Além disso, podemos efetuar outros cálculos, simplesmente rearranjando as
fórmulas. Por exemplo, sabendo o VF ou J, podemos calcular o VP:
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Ou ainda, podemos calcular n ou i:
Em resumo, os cálculos no regime de jurossimples consideram as variáveis VP, FV,
i e n (ou J substituindo uma delas), que estão inter-relacionadas. Assim, podemos
calcular qualquer uma delas, sabendo o valor das demais.
1.2.3 Aplicação dos juros simples no dia a dia
No dia a dia os valores para aquisição de qualquer bem ou serviço, bem como os
juros cobrados, são fatores importantes, sobre os quais é fundamental termos
pleno conhecimento, para tomar decisões acertadas. Vamos ver algumas
situações:
Exemplo 1 - Se você faz uma aplicação financeira de R$2.000,00 em um
investimento no regime de juros simples que rende 2% a.m., quanto terá ao
final de 5 meses. Para isso, vamos utilizar a fórmula:
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VF = VP (1 + i x n)
Ou seja:
VF = 2.000 (1 + 0,02 x 5) = R$2.200,00.
Exemplo 2 -  Quanto você receberá de juros se investir R$3.000,00 durante 4
meses em uma aplicação no regime de juros simples que paga 2,5% a.m.?
Podemos calcular diretamente pela fórmula: 
J = VP x i x n
Ou seja:
J = 3.000x 0,025 x 4 = R$300,00.
Exemplo 3 - Quanto seria necessário investir hoje em uma aplicação no
regime de juros simples que remunera à taxa de 2% a.m., para que, após 10
meses de investimento, alcançasse um total de R$1.200,00? Para isso, o
melhor é utilizarmos a fórmula: 
Exemplo 4 -  Por quanto tempo você deve investir R$1.000,00 no regime de
juros simples, a uma taxa de 2% a.m. para atingir o total de R$1.300,00?
Podemos calcular diretamente pela fórmula: 
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Exemplo 5 - Para que seu investimento dobre de valor em 10 meses, qual
deveria ser a taxa de juros a que deveria ser feito o investimento,
considerando o regime de juros simples? Nesse caso, se considerarmos o
seu investimento como sendo de R$X, o dobro dele seria, obviamente, R$2X
e, dessa forma, poderíamos efetuar o cálculo pela seguinte fórmula: 
Exemplo 6 - Uma loja vende à vista uma geladeira por R$1.000,00.
Alternativamente, ela vende a mesma geladeira por R$1.100,00, sendo
metade do valor dado como entrada e o restante 30 dias depois. Qual o valor
dos juros cobrados e qual a taxa de juros aplicada?
Aqui temos um problema mais complexo, pois uma análise precipitada pode nos
levar a um erro, ao imaginarmos que, ao passar de R$1.000,00 para R$1.100,00
teríamos R$100,00 de juros e que, consequentemente, a taxa de juros seria de 10%
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a.m. Na realidade, como tanto no pagamento à vista como no parcelado há um
pagamento feito no momento da compra, esse valor não deve entrar no cálculo.
Ou seja, no pagamento à vista, o comprador pagará R$1.000,00, enquanto, se
optar por parcelar, ele pagará R$550,00 (metade de R$1.100,00), devendo pagar os
outros R$550,00 um mês depois.
Vamos supor que você dispusesse dos R$1.000,00 para comprar a geladeira à vista,
mas optasse por parcelá-la: dos R$1.000,00, você retiraria os R$550,00 para dar a
entrada, sobrando, portanto, R$450,00. Mas, observe que, um mês depois, você
não terá de pagar R$450,00, mas sim R$550,00. Assim, de fato, estamos falando de
R$100,00 de juros, mas a taxa NÃO é de 10%. Por que não? Porque os R$450,00 que
teríamos pagado adicionalmente se a compra fosse à vista representa o VP e, ao
pagarmos um mês depois (VF), pagamos R$550,00. Assim, utilizando a fórmula
que já vimos: 
Como você pode perceber, há inúmeras possibilidades de cálculos, análises e
tomadas de decisão que podem ser feitas mediante o domínio dos cálculos dos
juros.
1.3 Juros simples
Como vimos, para efetuar os cálculos envolvendo juros, é necessário que a taxa e
o período estejam na mesma unidade de tempo. Os exemplos mostrados até o
momento respeitaram essa regra, mas, na vida real, isso nem sempre acontecerá.
Assim, é importante sabermos lidar com situações em que a taxa de juros está
representada por uma unidade que não é compatível com o período analisado,
sendo necessário executar conversões. Vamos ver como essas conversões
funcionam neste tópico. 
1.3.1 Proporcionalidade de juros no sistema de juros simples
Como vimos anteriormente, as taxas de juros são informadas a.a., a.s., a.q., a.t.,
a.b., a.m e a.d. Pois bem, tais ciclos de tempo têm relações entre si, quais sejam:
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1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses =
360 dias. Por convenção, não é comum utilizarmos os cálculos de Matemática
Financeira o ano com 365 dias ou 366, no caso dos anos bissextos. Também não se
considera meses com 31 ou 28/29 dias. Em termos práticos, tais arredondamentos
simplificadores do que se denomina “ano comercial” não causam variações
significativas nos cálculos e são chamados por Castanheira e Macedo (2012) de
juro ordinário, em oposição ao denominado “juros exatos” quando são
considerados os números exatos de dias em qualquer período (o que ocorre, por
exemplo, em alguns cálculos de empréstimos e financiamentos).
Tais proporções servem de base para que façamos conversões das taxas de juros:
basta usar os valores de proporção para fazer as devidas conversões. Por exemplo,
como 1 ano = 2 semestres, para convertermos uma taxa de juros que está
informada como sendo a.a em a.s., basta multiplicá-la por ½.
Dessa forma, 10% a.a. = 5% a.s. Da mesma maneira, por exemplo, 15% a.a. = 5%
a.q.; 16% a.a. = 4% a.t. etc. Chamamos tais taxas de taxas equivalentes, visto que
os valores finais não se alteram se usarmos uma taxa ou sua equivalente.
Por exemplo, o valor dos juros de um investimento de R$1.000,00 aplicados por 2
anos, no regime de juros simples a uma taxa de 10% a.a. e o mesmo do aplicado
pelo mesmo período (lembrando que 2 anos = 4 semestres) a uma taxa de 5% a.s.
Vamos verificar:
J = VP x i x n
J10%a.a. = 1.000 x 0,1 x 2 = R$200,00; e
J5%a.a. = 1.000 x 0,05 x 4 = R$200,00.
A tabela a seguir mostra os valores que devemos utilizar para multiplicar taxas de
juros de determinado período para converter em taxas com períodos diferentes.
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Atenção: os cálculos e os valores de multiplicação para conversão mostrados na
Tabela 1 só se aplicam ao regime de juros simples, não podendo ser utilizados
como base para cálculos no regime de juros compostos. Para estes, o cálculo a ser
efetuado é diferente. 
Outro aspecto a ser destacado é quanto ao período de capitalização ou de
pagamento dos juros. Isso se refere à possibilidade de resgates e pagamentos em
períodos fracionários ou não. Por exemplo, vamos supor que você faça um
investimento de R$1.000,00 no regime de juros simples a uma taxa de 24% a.a.
Podemos calcular facilmente o valor final do investimento:
VF = 1.000 x 0,24 x 1 = R$240,00.
Mas, e se você mantiver o dinheiro aplicado por somente 6 meses? Consultando a
tabela 2, é possível perceber que a conversão de uma taxa a.a. para uma taxa a.s.
se faz multiplicando a mesma por ½ e, assim, a taxa seria 24% x ½ = 12% a.s. e,
desta forma, o valor ao final dos 6 meses seria de:
VF = 1.000 x 0,12 x 1 = R$120,00.
Tabela 3 - Fatores de multiplicação para conversão de taxas de juros com períodos diferentes. Fonte:
Elaborado pelo autor, 2018.
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Mas, isso só será verdadeiro se for previsto (em contrato ou pelo regimento do
fundo de investimentos etc.) que os juros possam ser pagos em período
fracionário. Caso contrário, os juros só seriam pagos quando o período de um ano
fosse concluído com o dinheiro mantido investido.
CASO
Você já deve ter ouvido falar ou mesmo já deve ter investido algum
dinheiro na Caderneta de Poupança. O rendimento mensal dela tem sido
ultimamente próximo a 0,6% a.m. Assim, se você investir R$1.000,00 nela,
ao final do mês deverá receber cerca de R$6,00 de juros, ficando, portanto,
com R$1.006,00. Mas, e se ao invés de manter os R$1.000,00 na Poupança
por um mês, você deixar o dinheiro lá por somente 15 dias, vai receber
metade dos juros? A resposta é “não”: os juros só são recebidos no
fechamento do ciclo previsto do investimento. Se retirados antes do
“aniversário”, você só retirará o próprio dinheiro investido, ou seja, os
R$1.000,00, sem o acréscimo de qualquer valor de juros.
Na verdade, há uma convenção de mercado que nos ajuda a lidar com tais
situações: as denominadas taxas de juros nominais e taxas de juros efetivas.
Abreu (2015, p. 69-70) as define como:
Taxa nominal – é aquela em que a unidade de referência de tempo não
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa
nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, enquanto os
períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais.
Taxa efetiva – é aquela em que a unidade de referência de tempo coincide
com as unidades de tempo dos períodos de capitalização. Sendo assim: 3%
a.m., capitalizados mensalmente; 4% ao trimestre, capitalizados
trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 10% a.a.,
capitalizados anualmente.
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Vimos diversas vezes a citação de Samanez. Trata-se do Professor Carlos Patricio Mercado Samanez,
falecido em fevereiro de 2016, autor de conhecidos livros da área financeira, dentre eles, Matemática
Financeira (2010).
Mas, como lidar simultaneamente com as variáveis de valor monetário e tempo,
representado em diferentes ciclos de capitalização de juros? Precisamos dominar
as regras de proporcionalidade e suas conversões.    
1.3.2 Aplicação da proporcionalidade no regime de juros simples
Uma vez compreendidos os conceitos de taxas nominais e efetivas, bem como os
mecanismos para conversão das unidades de tempo envolvendo as taxas de juros
e os períodos de aplicação, passa a ser possível resolvermos questões que
envolvam diferentes unidades de tempo entre taxas e juros.
VOCÊ O CONHECE?
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Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 1 -  Você recorreu a uma financeira para auxiliá-lo na compra de
uma loja, para iniciar um novo empreendimento. Supondo que o
empréstimo de R$100.000,00 foi contratado pelo regime de juros simples a
uma taxa de juros de 3% a.m. e que você deverá saldar a sua dívida de uma
única vez daqui a três anos, quanto você deverá dispor para honrar o
compromisso naquela data? Sendo uma taxa de 3% a.m., sua conversão
para taxa anual se faz pela multiplicação por 12, ou seja 3% x 12 = 36% a.a.
Aplicamos, então, a fórmula para calcular o FV:
VF = 100.000 (1 + 0,36 x 3) = R$208.000,00
Exemplo 2 - O gerente de seu banco entrou em contato com você trazendo
uma oferta de investimento nas seguintes condições: uma taxa de juros de
2,5% a.b., pelo regime de juros simples. O investimento é taxado com
retenção de 20% na fonte pelo imposto de renda se houver saque em prazo
Figura 4 - Calculando os juros, o valor presente e o valor futuro no regime de capitalização de juros
simples. Fonte: Lisa S., Shutterstock, 2018.
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inferior a 5 anos. Quanto você acumulará de ganhos se aguardar os 5 anos
para evitar taxação sobre os juros? Convertemos os 2,5% a.b. multiplicando
a taxa por seis, ou seja, 2,5% x 6 = 15% a.a. e, em seguida, podemos calcular
os juros:
J = VP x 0,15 x 5 = 0,75 x VP. Ou seja, os juros são de 75% do valor investido.
Exemplo 3 - E se no exemplo anterior, o resgate acontecesse após 4 anos, de
quanto seriam os juros efetivamente recebidos? A princípio seria somente
uma questão de utilizarmos novamente a fórmula de cálculo dos juros:
J = VP x 0,15 x 4 = 0,60 x VP.
No entanto, com o saque ocorrendo antes de 5 anos, há retenção de 20% dos
ganhos na fonte, ou seja, 20% dos 60% de juros. Assim, 12% dos juros seriam
retidos (20% de 60% = 12%), restando, portanto, 48% (60% - 12% = 48%).
Exemplo 4 -  O quanto você deve investir, pelo regime de capitalização de
juros simples, para que, com uma taxa de 1,8% a.t., consiga acumular o total
de R$10.000,00 em 2 anos? 1,8% a.t. x 4 = 7,2% a.a. Usamos este valor na
fórmula: 
1.4 Juros compostos
No regime de capitalização por juros compostos, os juros auferidos em
determinado período de tempo são disponibilizados e, se não sacados, são
integralizados, isto é, são somados ao valor investido. Isso pode parecer uma
diferença sutil quando comparado ao regime de juros simples, mas o fato é de que
esses pequenos acréscimos fazem com que o valor que é reinvestido seja maior,
fazendo assim com que os juros sejam maiores.
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E os juros maiores são novamente acrescidos ao valor inicial, fazendo com que
eles cresçam ainda mais, gerando lucros ainda maiores, e assim sucessivamente.
Sendo assim, ainda que em curtos períodos de tempo a diferença dos juros entre o
sistema de juros simples e compostos não seja significativo (na realidade, são
rigorosamente iguais quando n = 1), ao longo do tempo eles se distanciam
bastante.
Vamos estudar como são calculados os juros no sistema e a capitalização por juros
compostos, como são aplicados no dia a dia, em diversas operações e transações e
vamos discutir a dinâmica das taxas nominais, efetivas e reais.
1.4.1 Cálculos financeiros de juros compostos
Nos juros compostos, as equações básicas de Matemática Financeira são as
mesmas dos juros simples, ou seja: 
A diferença está na forma como os juros são calculados a partir do valor investido,
pois este não permanece constante, isto é, a cada valor de juros que são gerados,
eles são adicionados ao valor investido.
VOCÊ SABIA?
É comum nas lojas ou concessionárias os vendedores fazerem os cálculos de
quanto seria o valor das prestações, na compra parcelada de bens. Mas eles não
utilizam diretamente as fórmulas da Matemática Financeira: eles trabalham com
tabelas, as quais já têm os juros embutidos. Assim, é só multiplicar o valor do bem
pelo valor informado na tabela e eles obtêm o valor das prestações.
Como vimos anteriormente, se você investe R$1.000,00 a uma taxa de 10% a.m.,
ao final do primeiro mês receberá R$100,00 de juros e, a partir deste ponto, surge a
diferença entre os dois regimes de capitalização: nos juros simples, os juros
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continuam a ser calculados sobre os R$1.000,00 investidos, mas, no regime de
juros compostos, os R$100,00 recebidos são somados ao valor investido.
O valor sobre o qual incidirão os juros no segundo mês, então, não permanecerá
R$1.000,00 nos juros compostos, mas simR$1.100,00. E, assim, serão aplicados
10% sobre este montante, fazendo com que os juros gerados no final do segundo
mês sejam de R$110,00, os quais serão, também, incorporados ao valor a ser
investido no terceiro mês e assim sucessivamente.
Vamos compreender o que acontece: como os juros são dados por i x VP, temos
que:
VF = VP + i x VP
Podemos rearranjar a equação para:
VF = VP (1 + i)
E este será o VF ano final do período n =1. Para o período n = 2, temos que:
VF2 = VF1 + i x VF1 = VF1 (1 + i)
Mas como o VF1 = VP (1 + i), temos, então:
VF2 = VP (1 + i) (1 + i) = VP (1 + i)2
Ao calcularmos o VF no período 3, a lógica se repete, pois os juros seriam
calculado sobre o VF2 e, desta forma, inferimos que:
VF3 = VP (1 + i)2 (1 + i) = VP (1 + i)3
É fácil perceber, então, que o VF de um investimento feito sob o regime de juros
compostos ao longo de n períodos é dado por:
VF = VP (1 + i)n
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Esta é a fórmula básica para os cálculos do regime de juros compostos e, a partir
dela, podemos fazer diversos rearranjos, possibilitando identificar outros
elementos, como mostrado a seguir:
1.4.2 Aplicação do sistema de juros compostos no dia a dia
Vamos ver como a aplicação das fórmulas permite identificar os diversos
elementos nos cálculos do regime de juros compostos: a exemplo do que acontece
nos juros simples, as variáveis VP, VF, J, i e n se inter-relacionam e, a partir das
informações sobre as primeiras, podemos calcular as demais.
Exemplo 1 -  Se você investir R$1.000,00 a uma taxa de 1% a.m no regime de
juros compostos, quanto obterá ao final de um ano e de quanto serão os
juros auferidos?
VF = 1.000 (1 + 0,01)12 = R$1.126,38
J = 1.126,38 – 1000,00 = R$126,38
Exemplo 2 - Qual a taxa de juros mensal, que triplica o valor investido em um
ano, pelo regime de juros compostos? 
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Exemplo 3 - Quanto tempo você deveria manter aplicados R$2.500,00 para
conseguir acumular o total de R$3.000,00, considerando um investimento a
juros compostos na taxa de 1,2% a.m.? 
Observe que se investido por 15 meses, seriam obtidos somente  FV = 2.500 (1 +
0,012)15  = R$2.989,84 e, por esta razão, o investimento deverá ser mantido por
mais um mês:
FV = 2.500 (1 + 0,012)16 = R$3.025,72
1.4.3 Taxas reais de juros
Da mesma forma que acontece nos juros simples, devemos levar em consideração
as taxas nominais e efetivas nos juros compostos. E os cálculos são efetuados,
basicamente, da mesma forma. No entanto, diferentemente do que acontece com
os juros simples, no regime de capitalização pelos juros compostos, as diferenças
nos valores calculados são substanciais.
A razão para isso está justamente no acúmulo que existe dos juros (ou seja, sua
capitalização cumulativa) compostos ao longo dos períodos. Vamos verificar essa
dinâmica considerando um exemplo de um investimento de R$1.000,00 a uma
taxa nominal de 36% a.a., capitalizados mensalmente ao longo de um ano.
Em ambos os regimes, devemos calcular a taxa efetiva. Como a capitalização é
mensal, temos:
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Sendo a taxa efetiva, vamos utilizar a mesma para calcular o VF nos regimes de
juros simples e juros compostos, ou seja, respectivamente:
VF = 1000 (1 + 0,03 x 12) = R$1.360,00; e
VF = 1000 (1 + 0,3)12 = R$1.425,76
Outro aspecto relevante no que tange à tomada de decisão sobre investimentos é
a denominada taxa de juros reais, a qual leva em consideração as eventuais
perdas inflacionárias.
Por exemplo, o fato de determinado investimento remunerá-lo, por exemplo, a
uma taxa de 10% a.a. não significa que isso seja suficiente sequer para compensar
a perda inflacionária. Ou seja, em uma situação como essa, os ganhos auferidos
por meio dos juros podem representar, na verdade, uma perda.
Imagine, por exemplo, que no mesmo ano em que havia um valor de juros de 5%,
a inflação fosse no mesmo valor – o ganho “líquido” seria zero. Assim, é fácil
perceber que quando a taxa de juros é superior à taxa de inflação, há um ganho
real, ao passo que, na situação inversa, há uma perda, apesar dos juros. Quanto,
de fato, ganhamos ou perdemos nessas situações?
Para isso, é necessário calcularmos a denominada taxa de juros reais. A taxa de
juros reais, expressa por ir se inter-relaciona com a taxa nominal i (também
chamada de taxa aparente) e com a taxa de inflação I por meio da seguinte
equação:
(1 + i) = (1 + ir) x (1 + I)
E, por meio dela, podemos saber se há ganhos reais ou não. Por exemplo,
considerando a taxa de 5% a.a. que discutimos, caso a inflação anual fosse de 3%,
teríamos:
(1 + 0,05) = (1 + ir) x (1 + 0,03); ou seja:
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E assim, a taxa real (ir) é de somente 1,94% a.a.  Por outro lado, caso a inflação
anual fosse de 7%, teríamos:
(1 + 0,05) = (1 + ir) x (1 + 0,07); ou seja:
E, nesse caso, a taxa real (ir) nos mostraria um valor negativo. Ou seja, na verdade,
haveria uma perda de -1,87% a.a.
Saiba mais sobre taxa de juros nominal, efetiva e real no artigo "Taxa de juros: nominal, efetiva ou
real?" (VIEIRA SOBRINHO, 1981) de José Dutra Vieira Sobrinho, publicado na Revista de Administração
de Empresas. 
Como você pôde perceber, os diversos conceitos envolvidos na aplicação de juros
podem ser indecifráveis para quem não é exposto aos fundamentos que
acabamos de ver, o que torna a Matemática Financeira uma área de estudos
bastante útil a todos. 
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Síntese
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Você concluiu os estudos sobre o que são e como funcionam os juros. Agora, você
já conhece a lógica dos juros, ou seja, a razão de sua existência e suas aplicações,
bem como os regimes existentes.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
interpretar o conceito do valor do dinheiro no tempo;
reconhecer o conceito dos juros como sendo o preço do dinheiro;
resolver cálculos envolvendo juros;
distinguir entre os regimes de capitalização de juros simples e compostos;
avaliar a aplicação dos juros no dia a dia;
analisar situações em que são utilizadas taxas nominais, efetivas e reais de
juros.
Referências bibliográficas
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ALANO, G. O milagre dos juros compostos. ParMais, 16 set. 2015. Disponível em:
<https://www.parmais.com.br/blog/o-milagre-dos-juros-compostos-2/
(https://www.parmais.com.br/blog/o-milagre-dos-juros-compostos-2/)>. Acesso
em: 31/12/ 2017.
BRASIL. Decreto n. 22.626, de 7 de abril de 1933. Dispõe sobre os juros nos
contratos e da outras providências. Disponível em:
<http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/decreto/d22626.htm
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