Matemática Básica - Geometria Plana

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MATEMÁTICA BÁSICA, LIVRO 01 
GEOMETRIA PLANA 
 
 
 
 
 
 
A base para acompanhar suas aulas de geometria plana está aqui! 
 
 
 
 
 
 
Lafayette Spósito Goyano Jota 
 
 
 
 
2 
 
Esta é a versão 01 deste livro. 
Em homenagem a meus alunos, esta versão está sendo 
distribuída gratuitamente para pessoas físicas durante o ano de 2019. 
 
É recomendável imprimir para fazer um bom estudo. 
 
Encontre sempre a versão mais atualizada deste livro em 
https://materiaisdolafa.blogspot.com/ 
http://www.materiaisdolafa.com.br 
 
A versão 02 tem previsão de lançamento em início de 2020 
com mais conteúdos, correção de erros e preço super promocional. 
 
 
RESPEITE O DIREITO AUTORAL 
Este livro levou mais de 200 horas para ser escrito e está registrado na Biblioteca Nacional sob minha 
autoria. Durante o ano de 2019 ele está sendo distribuído gratuitamente para pessoas físicas 
(aproveite!) 
Caso tenha interesse em utilizá-lo como material adicional em um colégio ou curso, entre em contato 
com o autor para uma excelente oferta! 
 
SOBRE O AUTOR 
O professor Lafayette é formado pelo ITA, em Engenharia de Computação, e posteriormente Licenciado 
em Matemática. 
É professor de matemática para o Ensino Médio desde o ano de 2005, tendo a honra de ser e de ter sido 
professor em colégios maravilhosos. 
Também é autor pela editora FTD, tendo participado da elaboração em duas coleções do Sistema de 
Ensino FTD, e co-autor do livro Matemática do ENEM. 
 
CONTATO: 
professor.lafayette@gmail.com 
https://materiaisdolafa.blogspot.com/
http://www.materiaisdolafa.com.br/
 
 
3 
Dedicatória 
 
Em primeiro lugar, dedico este livro a Deus Todo-Poderoso, nosso Criador e mantenedor. É 
para Ele que peço que este livro seja útil no ensino de muitos estudantes. 
 
Dedico este livro ao meu pai, Paulo, e à minha mãe, Marinêz, meus primeiros professores de 
matemática. 
 
Dedico este livro à minha esposa, Rosselini, por ser A Rosselini. 
 
Dedico este livro a todos os meus professores de matemática. 
 
Dedico este livro a todos os meus patrões, presentes e passados, por abrirem colégios e assim 
mudarem para melhor a vida de milhares de pessoas entre funcionários, professores e alunos. 
 
Dedico este livro a todos os meus alunos, em especial àqueles que um dia não sabiam nada do 
início da geometria e queriam aprender. Foram as suas dúvidas que escreveram este livro. 
 
 
 
 
 
4 
Para quem é este livro? 
 
Este livro foi originalmente pensado com um único público: estudantes de cursinho e terceiro que estivessem 
sentindo falta de base para acompanhar a geometria plana. A intenção era exatamente essa: repetir, em forma 
de livro, o que já fiz em tantas aulas de matemática básica. Vejo todo ano que aulas de matemática básica 
funcionam, e acredito que este livro funcionará na mesa da sua casa. 
 
Conforme isso foi sendo feito, percebi que ele pode ajudar em outra finalidade. Por ser bastante rico em exercícios 
de vestibular, pode ser um bom recurso para alunos de 1° e 2° usarem como material adicional. Se você é um 
estudante de 1° ou 2° ano do ensino médio, certamente se tornará um estudante mais forte depois dos 200 
exercícios deste livro. 
 
Mas voltando à minha meta inicial. É muito comum em cursinhos de todo o Brasil termos estudantes que, por 
falta de uma base sólida em geometria, sofrem a cada aula com ângulos, triângulos, trapézios, senos e cossenos. 
As aulas de cursinho, e de terceirão, costumam ser bastante corridas, com pouco tempo para revisar. Os 
exercícios, muitas vezes vão direto para o nível do vestibular, e muitos estudantes ficam perdidos, tentando 
entender como é que poderão fazer aquilo que o professor está fazendo com tanta facilidade. 
 
Talvez você seja um deles. Neste caso, fico tão feliz que meu livro chegou até você! 
 
Se você se sente perdido em exercícios que abordem seno, cosseno, triângulos equiláteros.... este livro é para 
você. Se toda vez que você divide um lado ou ângulo ao meio, seu professor te conta que neste caso, não podia 
dividir ao meio... este livro é para você. 
 
É aqui que você vai construir uma boa base de geometria para acompanhar melhor seu professor de terceiro ou 
curso. 
 
Se não expliquei isso antes, já faço questão de esclarecer que este material não pretende ser completo de maneira 
alguma. Ele não tem todos os conteúdos, nem pretende ter. Ele ficará, de propósito, sempre abaixo daquela aula 
maravilhosa do seu professor de geometria. Aqui, você encontrará apenas o começo, com bastante detalhe e 
calma. Isso não é pouco: apenas com esse começo, cerca de metade das questões de geometria plana do 
vestibular já estarão ao seu alcance. 
 
 
 
5 
Índice 
 
Capítulo 01: Algumas Noções Básicas 06 
 
Capítulo 02: Usando Seno, Cosseno, Tangente e Pitágoras 21 
 
Capítulo 03: O Mínimo Sobre Segmentos Notáveis e Área de Triângulo 39 
 
Capítulo 04: Triângulos Equilátero e Isósceles 53 
 
Capítulo 05: Os Quadriláteros Notáveis 79 
 
Capítulo 06: Gabaritos e Resoluções 110 
 
 
6 
Capítulo 1: Algumas Noções Básicas 
 
Neste capítulo iremos aprender algumas noções básicas que você irá usar pelo resto do curso. Elas são: 
1) Alguns conceitos sobre ângulos e paralelismo. 
2) Soma dos ângulos internos de um triângulo. 
3) Área de Triângulo. 
 
1.1. Ângulos e Medida de Ângulo: 
 
Ângulo é o nome que damos à região pintada no espaço abaixo1. Como você pode ver, as linhas OA e OB 
delimitam, entre si, uma abertura. 
 
Olhando para a figura, imagine que as linhas podem se aproximar entre si ou se afastar, deixando o ângulo mais 
aberto ou mais fechado. 
 
 
A medida do ângulo é uma medida da sua abertura. Quanto mais “aberto”, maior o ângulo. Veja nas figuras acima: 
o ângulo da esquerda é o menor de todos; o central é de tamanho intermediário; e o ângulo da direita é o maior 
de todos. Veja como ele é mais “aberto” que os outros. 
 
Por isso, a medida de um ângulo é a medida do quão “aberto” ele é. 
 
 
 
 
1 A rigor, ângulo é a região do espaço limitada entre duas semi-retas. Mas se este livro promete ser bem simplificado, seria 
meio forte começar com uma definição destas. 
 
 
7 
Em algum ponto do passado bem distante – provavelmente por causa da duração do ano – as civilizações antigas 
associaram uma volta completa em um círculo a um ângulo de 360 graus. Por isso, até hoje, usamos: 
 
 
Uma volta completa = 360 graus 
 
O ângulo reto 
E é por isso que o ângulo reto tem 90 graus. Podemos dividir a circunferência em quatro partes iguais, como 
mostrado na figura abaixo: 
 
E a soma das partes tem que dar 360°. 
360
4 360
360
90
4
   


    
 

  
 
Por isso é que um ângulo reto tem a medida de 90°: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
O importantíssimo ângulo raso, ou ângulo de 180° 
E também por isso uma linha reta qualquer representa um ângulo de 180°. Veja: 
 
Na figura, 90 90    e, por isso, 180   . 
 
 
1.2. Determinação de alguns ângulos: Ângulos Suplementares e Ângulos Opostos pelo Vértice 
 
Ângulos Adjacentes e Suplementares (ou seja, ângulos que formam um ângulo raso) 
O ângulo raso, mostrado logo acima, é tão importante porque ele vale para qualquer linha reta. Isso nos deixa 
calcular vários ângulos em exercícios, como iremos mostrar no caso abaixo: 
 
 
Como determinar o ângulo  ? Basta observar que  e 135° fazem juntos uma linha reta, e por isso, devem 
somar 180°. Assim, 
 + 135° = 180° 
 = 180° - 135° 
 = 45°. 
 
Dois ângulos que somam 180°, como no caso acima, 
são chamados de ângulos suplementares. 
 
 
 
9 
Suplemento de um ângulo 
Da mesma forma, se dois ângulos são suplementares, dizemos que um é o suplemento do outro. 
Então 60° é o suplemento de 120°, por exemplo. 
O suplemento de um ângulo é aquantidade que falta para inteirar 180°. O suplemento de x é (180° - x). 
 
Ângulos Opostos Pelo Vértice 
Ângulos opostos pelo vértice são formados por duas retas ou segmentos que se cruzam “fazendo um x”, como 
na figura abaixo: 
 
 
Nas figuras acima: 
  e  são opostos pelo vértice. 
 x e y também são opostos pelo vértice. 
Veremos que 
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes (“iguais”) 
 
Para mostrar isso, veja a figura abaixo: 
 
 
 Os ângulos e x fazem parte de uma mesma linha reta, AB. 
 Os ângulos e x fazem parte de uma mesma linha reta, CD. 
 
Por isso, 
180
180
x
x


  

  
 
 
Multiplicando uma das equações por (-1) e somando: 
 
 
10 
180
180
180 180
0
x
x
x x


 
 
 
  

    
     
 

 
 
Por isso, voltando às figuras iniciais, temos: 
 
   e x y 
 
Exercícios de Tarefa: 
1. Determine todos os ângulos desconhecidos da figura. 
 
Espaço para sua resolução 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Veja que “a” e 130° fazem parte de uma mesma reta. 
Portanto, somam 180°. 
a + 130 = 180 
a = 50° 
 Veja que a e c são opostos pelo vértice: c = 50°. 
 Veja que b e 130° são opostos pelo vértice: b = 130°. 
 
2. Calcule os ângulos desconhecidos na figura abaixo: 
 
3. Sabendo que ABCD é um retângulo, quanto vale o 
ângulo  ? 
 
4. Quanto vale o ângulo desconhecido na figura abaixo? 
 
 
11 
 
 
5. Quanto vale cada ângulo marcado na figura abaixo? 
a) 
 
b) 
 
6. No caderno da estudante Rosselini, está anotado o 
exercício abaixo, para calcular os valores de x e y em cada 
caso. Como ela passou e formou na Unesp, talvez este 
exercício seja importante. Para não arriscar ficar de fora, 
calcule você também. 
a) 
 
 
b) 
 
 
1.2. O mínimo sobre Paralelismo 
 
Considere duas retas paralelas, r e s, cortadas por uma outra reta, t. Esta reta “t”, que corta as outras duas, é 
chamada sempre de transversal. 
 
Estudar paralelismo é estudar as relações entre os ângulos que a reta transversal faz nas paralelas. 
Existem várias relações, mas neste livro, que é feito para ser o seu primeiro estudo sobre o tema, vamos nos 
concentrar apenas nas principais. 
 
 
12 
 
Ângulos Correspondentes: a principal posição relativa. 
 
 
 
Os ângulos  e  acima são chamados correspondentes. Eles são iguais entre si, e isso é um dos postulados mais 
importantes da Geometria Plana. 
Para entender a igualdade entre eles, você tem que notar que eles ocupam a mesma posição, e por isso poderiam 
ser sobrepostos. Veja: os dois estão logo acima de uma paralela; e os dois estão à direita da transversal. 
 
Você poderia imaginar que vai “empurrar” a reta s para cima, até que ela ficar em cima da outra reta. Nesta hora, 
 e  estarão perfeitamente sobrepostos, percebendo assim que os ângulos correspondentes são iguais2 
 
A congruência de ângulos correspondentes é um postulado de 
Euclides, ou seja, é aceita sem demonstração. 
 
Veja outra figura de ângulos correspondentes: 
 
Nesta figura, temos que: 
60   , porque são opostos pelo vértice. 
x  , porque são correspondentes. 
E neste caso, x = 60°. 
 
 
2 Como dito acima, dizer que os ângulos correspondentes são congruentes é um POSTULADO. Isso quer dizer que é um ponto 
de partida, que é aceito sem demonstração. Mas todo ponto de partida só é aceito porque faz pleno sentido; e a ideia geral 
é realmente esta: eles poderiam ser sobrepostos. 
 
 
13 
Agora eu vou dizer algo que talvez irá chocar a você, que já estudou alternos internos, alternos externos, colaterais 
externos, e que às vezes fica confundindo as coisas... 
 
Se você souber usar bem: 1.ângulos correspondentes, 2. ângulos opostos pelo vértice e 3. ângulos suplementares, 
consegue obter todos os casos de paralelismo. Mesmo sem saber os outros nomes ou as outras regras. Todos os 
outros casos que estudaremos depois (colaterais internos e externos; alternos internos e externos) são apenas 
consequência. 
 
Para ver isso, vamos fazer o seguinte: tente completar todos os ângulos faltantes da figura abaixo. 
 
Veja como é fácil: 
 b é oposto pelo vértice do 40°. Então também vale 40°. 
 g é correspondente do 40°. Então também vale 40°. 
Vamos marcar isso: 
 
 
Agora veja como é fácil marcar outros. 
 Na parte de cima da figura, “a” e “40°” fazem uma mesma reta horizontal, logo somam 180°. 
Por isso, a + 40 = 180 e chegaremos que a = 140°. 
 Da mesma maneira “c” e “40°” fazem uma mesma reta, e você encontrará que c = 140°. 
 “e” é oposto pelo vértice de um 40° 
 
 
14 
Chegaremos a: 
 
 
 Os ângulos faltantes podem ser obtidos de várias maneiras. Por exemplo, veja que d é correspondente ao 
140° da parte superior. Como d e f são opostos pelo vértice você facilmente chegará a d = f = 140°. 
 
Exercícios de Tarefa: 
7. Obtenha todos os ângulos faltantes na figura acima. 
 
8. Complete todos os ângulos da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
15 
1.3. Soma dos Ângulos Internos do Triângulo 
Usando os conhecimentos anteriores, vamos demonstrar a soma dos ângulos internos de um triângulo. Veja a 
figura abaixo: 
 
 
 A base do triângulo está na reta r. 
 A reta “s” é paralela com r. 
 
Antes de prosseguir, veja bem a figura e tente usar os conceitos anteriores para completar os ângulos da parte 
de cima, que estão marcadas com 1, 2 e 3. Observou? 
 
Vejamos: 
1. O ângulo marcado com “1” é correspondente de y. 
2. O ângulo marcado com “2” é oposto pelo vértice com z. 
3. O ângulo marcado com “3” é correspondente de x. 
 
“Transferindo” os ângulos, a figura fica: 
 
 
Aqui vem a prova. 
Veja na parte superior da figura que x, y e z juntos fazem uma mesma reta, portanto somam 180°. 
 
Soma dos Ângulos Internos do Triângulo: 
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. 
x + y + z = 180° 
 
 
16 
Exercícios de Tarefa 
9. Calcule os valores de x e y na figura abaixo: 
 
10. Calcule os valores de x, y e z na figura abaixo: 
 
11. Faça o desenho em cada caso, e responda: se um 
triângulo retângulo possui: 
a) Um ângulo agudo de 20°, quanto vale o outro? 
b) Um ângulo agudo de 40°, quanto vale o outro? 
 
12. Prove que em qualquer triângulo retângulo, a soma 
dos ângulos agudos é igual a 90°. 
 
13. Complete todos os ângulos internos da figura abaixo. 
 
14. Sabendo que o segmento de extremidades A e B é 
perpendicular ao segmento de extremidades C e D, qual é 
a medida do ângulo em Â? 
 
 
15. Complete todos os ângulos da figura abaixo: 
 
 
16. (UFT TO/2007) 
Observe esta figura: 
 
No triângulo ABC, o ângulo externo mede o triplo do 
ângulo . 
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar 
que, na mesma figura, o ângulo mede 
a) a metade do ângulo . 
b) o dobro do ângulo . 
c) o mesmo que o ângulo . 
d) o triplo do ângulo . 
 
17. (UNIFOR CE/2011) 
Na figura mostrada abaixo os valores de x e y são 
respectivamente: 
 
 
 
a) x = 5 e y = 26 
b) x =28 e y = 5 







 
 
17 
c) x = 5 e y = 28 
d) x = 6 e y = 28 
e) x = 6 e y = 26 
 
18. Os ângulos de um triângulo medem, respectivamente, 
3k, 4k e 5k. Então k vale em graus: 
a) 125o 
b) 55o 
c) 35o 
d) 65o 
e) 15o 
 
19. Determine o valor de x e associe com as alternativas 
abaixo: 
 
a) 44° 
b) 65° 
c) 70° 
d) 150° 
e) n.d.a 
20. Determine o valor de x e associe com as alternativas 
abaixo: 
 
a) 44° 
b) 65° 
c) 70° 
d) 150° 
e) n.d.a 
 
21. Determine o valor de x e associe com as alternativas 
abaixo: 
 
 
a) 44° 
b) 65° 
c) 70° 
d) 150° 
e) n.d.a 
 
22. Determine o valor de x e associe com as alternativas 
abaixo: 
 
 
a) 20° 
b) 30° 
c) 60° 
d) 100° 
e) n.d.a 
 
23. Determine o valor de x e associe com as alternativas 
abaixo: 
 
a) 20° 
b) 30° 
c) 60° 
d) 100°e) n.d.a 
20º
45º
x̂
50º
120º x̂
30º
120º
x̂
100º
x̂ 50º
x̂
50º50º
 
 
18 
1.4. Extra: Outras Posições Relativas de Ângulos 
Aqui, nos propomos a ensinar o mínimo necessário para você poder acompanhar bem um curso pré-vestibular 
de geometria. Indo um pouco além do mínimo, existem outras posições de ângulos em retas paralelas que são 
fáceis de você conhecer. Vamos mostrar algumas. 
 
Ângulos Colaterais Internos 
 
 
Os ângulos  e  são chamados de colaterais porque situam-se do mesmo lado da transversal (mesmo lado da 
reta que corta) e de internos porque estão entre as duas paralelas. 
É fácil demonstrar que 180    
 
Os ângulos colaterais internos sempre somam 180° 
Ângulos Alternos Internos 
 
 
Os ângulos  e  são chamados de alternos porque cada um deles se situa de um lado da reta transversal, e 
internos porque se situam entre as paralelas. 
 É fácil demonstrar que   . 
 
Os ângulos alternos internos sempre são iguais entre si. 
 
 
 
19 
Exercícios de Vestibular 
24. (UFRGS/2017) 
Em um triângulo ABC, é o maior ângulo e é o 
menor ângulo. A medida do ângulo é 70° maior que 
a medida de . A medida de é o dobro da medida 
de . Portanto, as medidas dos ângulos são 
 
a) 20°, 70° e 90°. 
b) 20°, 60° e 100°. 
c) 10°, 70° e 100°. 
d) 30°, 50° e 100°. 
e) 30°, 60° e 90°. 
 
25. (IFSP/2015) 
Uma professora escondeu alguns ângulos de triângulos e 
pediu que seus alunos determinassem apenas a soma dos 
ângulos escondidos pela nuvem dos triângulos retângulos. 
Assinale a alternativa que apresenta a resposta 
encontrada. 
 
a) 82°. 
b) 88°. 
c) 90°. 
d) 92°. 
e) 94°. 
 
26. (UNIMONTES MG) 
Ao desenhar a planta baixa de uma residência, o 
desenhista cometeu o seguinte erro: traçou um ângulo de 
60° em vez de traçar os do suplemento de 60° que vale 
a) 22°30’. 
b) 90°. 
c) 120°. 
d) 225°. 
 
27. (FUVEST SP) 
No retângulo ao lado, o valor, em graus, de  +  é 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
28. (UECE/2010) 
O triangulo equilátero XOZ é exterior ao quadrado XOVW. 
A medida do ângulo WÔZ é 
a) 75° 
b) 90° 
c) 105° 
d) 115° 
 
 
29. (UFAM) 
Os ângulos de um triangulo medidos em graus são: 
 3x – 36, 2x + 10 e x + 20. O maior ângulo mede: 
a) 72° 
b) 57° 
c) 51° 
d) 90° 
e) 86° 
 
30. (FUVEST SP) 
As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em 
graus, é 
CÂB BĈA
CÂB
BĈA CÂB
CB̂A
4
3
40º


 
 
20 
 
 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
e) 70 
 
 
 
140°
120°
.
x
t s
 
 
21 
Capítulo 02: Usando Seno, Cosseno, Tangente e Pitágoras 
 
2.1. Triângulo Retângulo 
Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo de 90°. 
Veja abaixo um triângulo retângulo com um dos seus ângulos destacados. 
 
 
Nomes: Catetos e hipotenusa 
No triângulo retângulo, chamamos de hipotenusa o lado que fica oposto ao ângulo de 90° (veja na figura acima). 
 
Os lados menores são chamados de catetos. 
O cateto que está ‘de frente’ para um ângulo  se chama de cateto oposto a  . 
Já o cateto que está ao lado de  se chama cateto adjacente a  . 
 
 Adjacente significa: ao lado. Seu colega que está sentado do seu lado direito ou esquerdo é seu colega 
adjacente. 
 
 
2.2. Seno, Cosseno e Tangente 
Para qualquer ângulo agudo de um triângulo retângulo, existem três definições muito importantes: 
 
 
cateto oposto
sen
hipotenusa
  
 
cateto adjacente
cos
hipotenusa
  
cateto oposto
tg
cateto adjacente
  
 
 
 
 
22 
2.3. O Teorema de Pitágoras 
Adicionalmente, para qualquer triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras: 
 
 
2 2 2b c a  
 
Veja que “a” é a medida da hipotenusa. E “b” e “c” são as medidas dos catetos. Assim, o teorema pode ser 
expresso como: 
“O quadrado da hipotenusa ( 2a ) é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
Veja dois exemplos resolvidos: 
 
R1. No retângulo abaixo, calcule a medida da diagonal e também os valores de seno, cosseno e tangente do 
ângulo indicado. 
 
 
Resolução: Observe que existe um triângulo retângulo e a diagonal dele é a hipotenusa: 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras: 
2 2 2
2
2
6 8
36 64
100 10
x
x
x x
 
 
  
 
Calculando seno, cosseno e tangente: 
 
 
23 
6 3
sen
10 5
   
8 4
cos
10 5
   
6 3
tg
8 4
   
 
R2. Obtenha seno, cosseno e tangente do ângulo  abaixo: 
 
Resolução: inicialmente podemos usar o Teorema de Pitágoras para obter x. Observe que 6 é a hipotenusa e x e 
4 são catetos. 
2 2 2
2
2
4 6
16 36
20 20
x
x
x x
 
 
  
 
 
Fatorando o 20: 
 
Assim, 
22 5
2 5
x
x
 

 
Assim, o triângulo fica: 
 
 
Observe no exercício acima o ângulo  . Você consegue responder quem é o cateto oposto e quem é o cateto 
adjacente? 
 
 
24 
 4 é o cateto oposto a  . Veja que ele está ‘de frente’ para o ângulo  . 
 2 5 é o cateto adjacente a  . Veja que ele é o cateto que está do lado do  . 
 6 é a hipotenusa. Cuidado para não confundir cateto adjacente e hipotenusa: cada triângulo retângulo 
só tem uma hipotenusa e ela está sempre oposta ao ângulo de 90°. 
 
Exercícios de Tarefa 
 
Tente ir sem calculadora! Assim você chegará ao final 
do capítulo bem melhor em fazer cálculos também. É 
importante! 
 
1. No triângulo ABC abaixo: 
 
a) Calcule a medida do lado faltante. 
b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo indicado na figura. 
 
2. Um triângulo ABC é retângulo em B. Além disso, AB = 10 
e BC = 8. Faça um desenho representativo da situação e 
calcule a medida da hipotenusa. 
 
3. Se em um triângulo ABC temos AB = 12, BC = 13 e  = 
90°: 
a) O lado faltante é cateto ou hipotenusa? 
b) Calcule a medida do lado faltante. 
 
4. Observe o triângulo abaixo: 
 
Obtenha os valores de seno, cosseno e tangente dos 
ângulos indicados. 
 
5. Calcule seno, cosseno e tangente de cada ângulo 
indicado nas figuras: 
 
 
6. No triângulo abaixo, sabe-se que 
2
tg
3
  . 
 
Calcule a medida da hipotenusa do triângulo. 
 
7. Em cada caso, faça um desenho representativo e calcule 
o lado que estiver faltando. Fique atento para simplificar 
ao máximo cada resposta! 
a) Triângulo retângulo em que um cateto mede 10 cm e a 
hipotenusa mede 20 cm. 
b) Triângulo retângulo em que os catetos medem 15 cm e 
20 cm. 
 
 
25 
c) Triângulo retângulo em que um dos catetos mede 8 cm 
e a hipotenusa mede 12 cm. 
d) Triângulo retângulo em que um cateto mede 2 3 cm 
e o outro mede 2 6 cm. 
 
8. Calcule as medidas faltantes em cada caso, sabendo que 
sen19 0,32  e cos19 0,95  
(lembre-se de não usar calculadora...! Use frações ou 
decimais e chegue em uma resposta exata!) 
a) 
 
b) 
 
 
9. Murillo tem uma tábua de 2 metros de comprimento e 
irá usá-la de rampa para passar, com um carrinho de mão, 
por um degrau de 60 cm de altura em uma obra. 
a) Faça um desenho representativo da situação. 
b) Qual será a distância horizontal entre o início da rampa 
e a base do degrau? 
c) Quais são o seno e a tangente do ângulo formado entre 
o chão horizontal, onde a rampa se inicia, e a tábua da 
rampa? 
 
10. A figura abaixo é um quadrado em que dois lados 
estão destacados: 
 
Neste caso, o valor de x é: 
a) 2 2 
b) 2 
c) 4 2 
d) 2 8 
e) 16 
 
11. Uma rampa para acesso de cadeirantes tem 
comprimento de 4 metros e inclinação de 8° com a 
horizontal. Sabendo que sen 8° = 0,14 e cos 8 ° = 0,99: 
a) Faça um desenho representando a situação. 
b) Calcule a altura do degrau que o cadeirante sobe 
quando usa esta rampa. 
 
12. Uma outra rampa para cadeirantes tem inclinação de 
7° com a horizontal. Sabendo que sen 7° = 0,12 e que a 
rampa tem uma altura total de 1,8 metros, calcule o 
comprimento total desta rampa. 
 
13. (CEFET RJ) Considere a figura, formada por dois 
triângulos retângulos justapostos. O valor de y é: 
x
12 9
17
y.
.
 
a) 8 
b) 12 
c) 13 
d) 15 
e) 18 
 
 
 
26 
14. (UFSC) Na figura abaixo, AB é tangente à 
circunferência. Se o raio da circunferência é 8 cm, e 
m( AB ) = 15 cm, calcule, em centímetros, a medida do 
segmento BC . 
O
A
B
C
 
 
15. (UFG GO) O teorema de Pitágoras é um dos mais 
importantes de toda a Geometria. O seu conhecimento é 
a chave da resolução desta questão. 
Seja ABCDE um polígono de 5 lados, como mostra a figura 
baixo, com AE = AB = BC = CD = 1: 
A
B
C
D
E 
 
a) Determine o comprimento das diagonais BE e CE. 
b) Qual o perímetro do polígono ABCDE? 
 
16. Obtenha os valores mais próximos dos ângulos  e  
nos triângulos mostrados. Para isso, use a tabela no final 
do exercício. 
 
 
 
 
TABELA TRIGONOMÉTRICA: 
 
Ângulo 
(graus) Seno Cosseno Tangente 
31 0,5150 0,8572 0,6009 
32 0,5299 0,8480 0,6249 
33 0,5446 0,8387 0,6494 
34 0,5592 0,8290 0,6745 
35 0,5736 0,8192 0,7002 
36 0,5878 0,8090 0,7265 
37 0,6018 0,7986 0,7536 
38 0,6157 0,7880 0,7813 
39 0,6293 0,7771 0,8098 
40 0,6428 0,7660 0,8391 
41 0,6561 0,7547 0,8693 
42 0,6691 0,7431 0,9004 
43 0,6820 0,7314 0,9325 
44 0,6947 0,7193 0,9657 
45 0,7071 0,7071 1,0000 
46 0,7193 0,6947 1,0355 
47 0,7314 0,6820 1,0724 
48 0,7431 0,6691 1,1106 
49 0,7547 0,6561 1,1504 
50 0,7660 0,6428 1,1918 
 
 
 
27 
 
2.4. Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis 
 
Na seção anterior vimos que: 
 
 
cateto oposto
sen
hipotenusa
  
cateto adjacente
cos
hipotenusa
  
cateto oposto
tg
cateto adjacente
  
 
E isso pode passar a impressão de que o valor do seno (por exemplo) depende apenas do triângulo. 
 
Mas na verdade os valores de seno, cosseno e tangente dependem do ângulo. 
 
Isso quer dizer, o seno de 30° (por exemplo) é o mesmo em qualquer triângulo, seja ele um triângulo grande 
ou um pequeno. Veja um exemplo apenas para ilustrar isso. 
 
 
No triângulo da esquerda, por exemplo: 
2
sen 30
4
1
sen 30
2
 
 
 
E no triângulo da direita: 
50
sen 30
100
1
sen 30
2
 
 
 
 
No exemplo acima, não importa se o ângulo de 30° estiver presente em um exercício de livro ou em uma pista 
inclinada de 200 metros de comprimento, o valor do seu seno vai ser sempre o mesmo. 
 
 
 
28 
Isso vale para qualquer ângulo. Alguns ângulos são mais importantes para exercícios de matemática em geral, e 
por isso iremos memorizar os valores de seno, cosseno e tangente deles. 
 
Os ângulos notáveis são: 30°, 45° e 60°. Veja quais são seus valores de seno, cosseno e tangente: 
 
 Seno Cosseno Tangente 
30° 
1
2
 
3
2
 
3
3
 
45° 
2
2
 
2
2
 1 
60° 
3
2
 
1
2
 3 
 
 
Veja a seguir um exemplo: 
 
Vamos aplicar a relação seno: 
sen 30
8
x
  
Em seguida, vamos substituir o valor de sen 30° da tabela: 
1
2 8
Multiplicando cruzado:
x

 
8 2
2 8
4 cm
x
x
x



 
 
Agora vamos aplicar a relação cosseno: 
cos30
8
y
  
Novamente, substituindo o valor de cos 30°: 
 
 
29 
3
2 8
y
 
2 8 3
8 3
4 3 cm
2
y
y

 
 
 
Decorando a tabela: 
A tabela dos ângulos notáveis terá que ser decorada. Existem musiquinhas, etc. Mas a melhor ideia é ir, 
simplesmente, consultando por enquanto e se acostumando com ela. Copie em um post-it, capa do caderno, 
etc. Alguma hora você acaba por decorar. 
 
Fora isso, saiba que a gente não decora “a tabela”. Quem sabe matemática geralmente decora ângulo por 
ângulo. Apareceu um ângulo de 30°? Você já se lembra de seno, cosseno, tangente. E assim por diante. 
 
Agora é sua vez: tente calcular x e y neste próximo antes de consultar a solução. 
 
SUA RESOLUÇÃO AQUI: 
 
 
 
 
 
 
Nossa resolução: 
 
sen 45
12
2
2 12
2 12 2
12 2
6 2
2
x
x
x
x
 


 
 e 
tg 45
1
6 2
x
y
x
y
y x
y
 



 
 
 
30 
Exercícios de Tarefa 
17. Calcule os valores de X e Y: 
 
 
18. Calcule os valores de X e Y: 
 
 
19. Veja o texto: 
O triângulo ABC é retângulo em A. O ângulo agudo situado 
em B mede 30° e a hipotenusa do triângulo mede 4 cm. 
a) Faça a figura representativa. 
b) Calcule a medida dos dois catetos desse triângulo. 
20. Complete a tabela abaixo com os valores de seno e 
cosseno dos ângulos notáveis: 
 
 
30° 45° 60° 
Seno 
 
 
 
Cosseno 
 
 
 
Tangente 
 
 
 
 
21. Calcule os valores de X e Y: 
 
22. Calcule os valores de X e Y: 
 
23. Julgue em verdadeiro ou falso cada um dos itens 
abaixo. 
( ) 
2
sen 30
2
  
( ) sen45 cos45   
( ) 
3
sen 60
2
  
( ) Se um triângulo retângulo tem dois catetos medindo 
2 então a hipotenusa mede 4. 
( ) Se um triângulo retângulo tem um ângulo agudo 
medindo 20° então o outro mede 60°. 
 
24. Marque verdadeiro ou falso sobre os itens abaixo: 
 
( ) AP = 4 
( ) BP = 4 
( ) BC = 2 
( ) 2 3CP  
( ) BC = 8 
 30° 
 8 
 x 
y A B 
 C 
 
 
31 
25. Observe o triângulo abaixo: 
 
a) Responda se o triângulo ABC é um triângulo retângulo, 
justificando, e calcule a medida de h. 
b) Calcule as medidas CB e AB. 
 
26. (IFAL/2017) 
Ao soltar pipa, um garoto libera 90m de linha, supondo 
que a linha fique esticada e forme um ângulo de 30° com 
a horizontal. A que altura a pipa se encontra do solo? 
a) 45m. 
b) . 
c) . 
d) . 
e) 30m. 
 
Exercícios de Vestibular 
 
27. (Unievangélica GO/2015) 
Suponha que um sítio esteja situado no mapa, conforme a 
figura a seguir. Sabendo-se que a reta que liga o povoado 
de Santa Rita a Anápolis é perpendicular à reta que liga 
Anápolis ao sítio, qual a distância, em quilômetros, do sítio 
ao povoado de Santa Rita? 
 
 
 
a) 30 
b) 60 
c) 
d) 15 
 
28. (UniRV GO/2015) 
A partir da figura a seguir, assinale V se verdadeiro e F se 
falso. 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
29. (IFPE/2017) 
O professor de matemática do Campus Pesqueira lançou 
um desafio à turma de Edificações: estimar a altura da 
Serra do Ororubá utilizando apenas um transferidor. Sara, 
aluna da turma, lembrou que existe uma placa turística a 
1 km de distância da serra de onde se consegue enxergar 
o cume da Serra. Chegando a esta placa, Sara, com o 
transferidor perpendicular ao solo, estimou um ângulo de 
50° entre a base e o cume da Serra do Ororubá. Sabendo 
que sen 50° = 0,77; cos 50° = 0,64; tg 50° = 1,19; e tomando 
como referência o esquema mostrado na figura abaixo, 
certo que Sara não errou os cálculos, qual é a altitude 
estimada da Serra do Ororubá calculada por ela? 
 
m345
m330
m245
320
5
4
 sen 
5
3
 osc 
5
4
 gt 
5
3
 sen 
 
 
32 
 
 
a) 1000 m 
b) 640 m 
c) 770 m 
d) 1190 m 
e) 830 m 
 
30. (PUCCampinas SP/2017) 
Burj Khalifa, localizado em Dubai, é considerado o edifício 
mais alto do mundo, com cerca de 830 m. A figura ao lado 
da fotografia representa a extensão vertical desse edifício 
altíssimo, dividida em 8 níveis igualmente espaçados. 
 
 
 
Dado: adote em suas contas finais. 
 
Utilizando os dados fornecidos, um feixe de laser emitido 
a partir do ponto indicado na figura por P atingiria a coluna 
central do Burj Khalifa, aproximadamente, na marca 
 
a) N5. 
b) N6. 
c) N7. 
d) N4. 
e) N3. 
 
31. (PUCCampinas SP/2016) 
“...tudo teria começado com a haste vertical ao sol, que 
projetava sua sombra num plano horizontal demarcado.” 
Com um ângulo de inclinação de 30°, em relação ao solo 
plano, os raios solares incidindo sobre uma haste vertical 
de 2,5 m de comprimento geram uma sombra de x m. Um 
pouco mais tarde, quando o ângulo de inclinação dos raios 
solares é de 45° graus, a mesma sombra gerada agora é de 
y m. A diferença ente x e y é de, aproximadamente, 
 
sen 30° = 0,5 cos 30° = 0,866 tg 30° = 0,577 
sen 45° = 0,707 cos 45° = 0,707 tg 45° = 1 
 
73,13 
 
 
33 
a) 1 m. 
b) 1,83 m. 
c) 2,45 m. 
d) 0,88 m. 
e) 2,27 m. 
 
32. (PUCCampinas SP/2018) 
Paulo está deitado nacama e assistindo à TV. Na figura, C 
representa um ponto sobre a cama a partir do qual o 
controle remoto da TV foi acionado na direção do receptor 
de sinal indicado por R. A medida do ângulo entre a linha 
que representa o sinal transmitido e a cama é igual a . 
 
 
Sabe-se, ainda, que: 
− R está a 1,2 m do chão; 
− a altura da cama em relação ao chão é de 40 cm; 
− C está a 4 metros de distância da parede em que 
a TV está fixada; 
− a espessura da TV é desprezível. 
 
Nas condições descritas e consultando a tabela, α é igual a 
a) 78,5° 
b) 11,5° 
c) 12,1° 
d) 12,4° 
e) 11,3° 
 
33. (UNCISAL/2017) 
De um ponto do chão situado a 150 m de distância de um 
edifício, vê-se o topo do prédio sob um ângulo de 60°, 
como mostra a figura, desenhada sem escala. 
 
 
Se for adotado , o ponto do chão a partir do qual 
se vê o topo sob um ângulo de 45° ficará a uma distância 
do edifício igual a 
a) 75,0 m. 
b) 105,0 m. 
c) 127,5 m. 
d) 255,0 m. 
e) 355,0 m. 
 
34. (UNCISAL/2017) 
Numa praça retangular (dimensões: AB = 40 m, AD = 20 m) 
há um único passeio ligando um canto a um ponto da 
calçada oposta como mostra a figura, desenhada sem 
escala. 
 
Se o passeio faz com a calçada da maior das dimensões um 
ângulo de 30° e adotarmos , o caminho para ir de 
A até C através da calçada e do passeio mede, em metros, 
a) 34. 
b) 40. 
c) 46. 
d) 60. 
e) 74. 
7,13 
1,7 3 
 
 
34 
35. (IFPE/2017) 
Um professor de matemática do curso de Eletrotécnica, no 
Campus Pesqueira, desafiou os alunos a calcularem a que 
altura um transformador estava preso ao poste próximo à 
portaria do campus. O aluno Ranieri topou o desafio e 
resolveu calcular esta altura com os seus conhecimentos 
de trigonometria. Dirigiu-se até a base do poste e 
caminhou 12 m em linha reta, virou-se para o poste e, com 
a ajuda de um aplicativo em seu celular, verificou que 
hipotenusa imaginária até o transformador formava com 
o chão um ângulo de 22° conforme a figura abaixo. 
 
Sabendo que sen 22° = 0,37; cos 22° = 0,93 e tg 22° = 0,40, 
calcule a que altura do solo está o transformador. 
a) 11,16 m 
b) 4,44 m 
c) 4,80 m 
d) 3,00 m 
e) 3,24 m 
 
36. (IFPE/2016) 
Um indivíduo encontra-se a 50 metros de distância de um 
edifício e seus olhos estão a 1,80 metros do chão. Ele avista 
o topo do edifício segundo um ângulo de 60° com a 
horizontal. A altura aproximada do edifício é: (use a 
aproximação decimal .) 
a) 87 m 
b) 85 m 
c) 50 m 
d) 52 m 
e) 30 m 
 
37. (UNITAU SP/2016) 
Considerando o triângulo retângulo apresentado abaixo, 
no qual as medidas dos catetos são 12x e x2 + 36, pode-se 
afirmar CORRETAMENTE que o valor de x é 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
38. (UFRN/2011) 
A Figura abaixo representa uma torre de altura H 
equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e L2, 
fixados nos pontos C e D, respectivamente. 
 
 
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição 
das distâncias entre esses pontos. Apenas com as medidas 
dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro 
calculou a quantidade de cabo (L1+ L2) que usou para fixar 
a torre.O valor encontrado, usando e = 10m, 
é 
a) 54,6m. 
b) 44,8m. 
c) 62,5m. 
d) 48,6m. 
7,13 
73,13  BD
 
 
35 
39. (FAMERP SP/2016) 
No caminho de ida de sua casa (C) para a escola (E), Laura 
passa pela farmácia (F), pela padaria (P), e depois segue 
para a escola, como indica a figura 1. 
 
 
Na volta da escola para casa, Laura passa pelo mercado 
(M), pela padaria (P), e depois segue para casa (C), como 
indica a figura 2. 
 
 
Os caminhos de ida e de volta são formados por 
segmentos de retas, sendo que a farmácia, a padaria e o 
mercado estão em uma mesma avenida reta e plana. 
Considerando CF = FP = 4 km, PE = 2 km, 2 1, 4 e 
3 1,7 , o caminho de Laura de casa à escola na ida 
superou o de volta em 
a) 1,7 km. 
b) 2,3 km. 
c) 1,2 km. 
d) 2,0 km. 
e) 0,9 km. 
 
 
 
40. (ENEM/2017) 
A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como 
muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem 
inclinações durante ou após suas construções. 
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente 
e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de 
um ângulo , e a projeção ortogonal de sua fachada 
lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, 
conforme mostra a figura. 
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado 
fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada. 
 
 
 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação , quando 
dado em grau, é tal que 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
41. (UNESP SP/2015) 
A figura representa a vista superior do tampo plano e 
horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com 
caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em 
representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB = 1,5 
m e PA = 1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se desloca 
em linha reta colidindo com no ponto T, sendo a 


0,10 
5,10,1 
8,15,1 
0,28,1 
0,30,2 
,AB
BC
 
 
36 
medida do ângulo igual a 60°. Após essa colisão, a 
bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa 
D. 
 
 
Nas condições descritas e adotando a largura do 
tampo da mesa, em metros, é próxima de 
 
a) 2,42. 
b) 2,08. 
c) 2,28. 
d) 2,00. 
e) 2,56. 
 
42. (IFSP/2014) 
Ao atender o chamado de um incêndio em um edifício, o 
corpo de bombeiros de uma cidade utilizou um veículo de 
combate a incêndio, dotado de escada magirus. Esse 
veículo possibilita atender a resgates a uma altura máxima 
de 54 metros. 
 
 
Na figura, considere que 
• A é o ponto de apoio da escada no caminhão; 
• C é o ponto de apoio da escada no edifício; 
• as retas e são perpendiculares entre si; 
• a distância do ponto A ao solo é de 2 m; e 
• a medida do ângulo é de 60°. 
 
Nessas condições, o comprimento da escada magirus, 
quando totalmente esticada (medida do segmento ), 
é, em metros, aproximadamente, 
Adote: sen 60° = 0,9 e cos 60° = 0,5 
 
a) 58. 
b) 60. 
c) 88. 
d) 104. 
e) 108. 
 
43. (UNIFOR CE/1999) 
Na figura abaixo têm-se os triângulos retângulos ABC, BCD 
e BDE. 
 
Se os lados têm as medidas indicadas, então a medida do 
lado , em centímetros, é 
a) 
b) 
c) 
d) 2 
e) 
 
BT̂P
,73,13 
AB CD
CÂB
AC
2 cm
1 cm
1 cm
1 cm
A B
C
E
D
BE
7
6
5
3
 
 
37 
44. (UNIP SP) 
Duas rodovias A e B encontram–se em O, formando um 
ângulo de 30°. Na rodovia A existe um posto de gasolina 
que dista 5 km de O. O posto dista da rodovia B: 
a) 5 km 
b) 10 km 
c) 2,5 km 
d) 15 km 
e) 1,25 km 
 
45. (Enem/06) 
 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada 
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do 
corrimão e igual a 
a) 1,8 m 
b) 1,9 m 
c) 2,0 m 
d) 2,1 m 
e) 2,2 m 
 
46. (Enem/05) Quatro estações distribuidoras de energia 
A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado 
de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central 
que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B 
e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova 
estação deve ser localizada 
a) no centro do quadrado. 
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por 
seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. 
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por 
seu ponto médio, a 25 km dessa estrada. 
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, 
oposto a essa base. 
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. 
 
47. (Enem/13) As torres Puerta de Europa são duas torres 
inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida 
de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° 
com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m 
(a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas 
torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base 
quadrada e uma delas podeser observada na imagem. 
 
 
Disponível em: www.fickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente 
de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se 
que a área da base desse prédio ocupa na avenida um 
espaço: 
a) Menor que 100 2m 
b) Entre 100 m2 e 300 m2 
c) Entre 300 m2 e 500 m2. 
d) Entre 500 2m e 700 m2 
e) Maior que 700 m2. 
 
http://www.fickr.com/
 
 
38 
48. (Enem/11) Para determinar a distância de um barco 
até a praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo 
visual fazendo mira em um ponto fixo P da praia. 
Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um 
ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P 
da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura 
ilustra essa situação 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º  
e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia 
percorrido a distância AB = 2.000 m. Com base nesses 
dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância 
do barco até o ponto fixo P será 
a) 1000 m 
b) 1000 3 m 
c) 
2000 3
3
 m 
d) 2000 m 
e) 2000 3 m 
 
49. (Enem/10) Um balão atmosférico, lançado em Bauru 
(343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), caiu nesta 
segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente 
Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz 
parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por 
Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição 
do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se 
deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. 
Acesso em: 02 maio 2010 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. 
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o 
avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da 
posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no 
mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob 
um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se 
encontrava o balão? 
a) 1,8 km 
b) 1,9 km 
c) 3,1 km 
d) 3,7 km 
e) 5,5 km 
 
 
 
 
 
 
39 
Capítulo 03: O mínimo sobre Segmentos Notáveis e Área de Triângulos 
 
3.1. Altura de Um Triângulo: 
 
 
 
Altura de um triângulo é o segmento que tem uma extremidade em um dos vértices e faz 90° com o lado oposto. 
 
É isto que marca a altura: 
Ela sai de um vértice e faz 90° com o lado oposto. 
 
Vamos ver agora as coisas que a altura não faz. 
 
Ela não divide o ângulo ao meio. Veja o exemplo abaixo: 
 
NÃO podemos dizer que a altura divide o ângulo de 90° ao meio. Isso simplesmente não é uma propriedade da 
altura. Então você NÃO PODE fazer isso: 
 
 
 
 
40 
 
Ela não divide o lado oposto ao meio: 
 
Você mesmo pode olhar na figura e ver que PC é maior que BP. 
 
Caso especial: Triângulo Isósceles. 
Somente em alguns casos especiais, a altura divide o lado em duas partes iguais. 
Estes casos especiais são o triângulo equilátero e o isósceles. Veja um exemplo: 
 
Este é o caso especial: o triângulo é isósceles (veja os dois lados iguais a “a”). Só neste caso, você pode dizer que 
a altura “cai” no ponto médio da base – ou seja, divide a base em duas partes iguais. 
A mesma coisa aconteceria com um triângulo equilátero, afinal, um triângulo equilátero também é um tipo de 
triângulo isósceles. 
 
 
 
 
 
41 
Um triângulo tem três alturas: 
Normalmente desenhamos um dos lados na horizontal e desenhamos uma única altura. Mas na verdade, um 
triângulo possui três alturas. Veja aa figura abaixo: 
 
 
Cada uma das alturas tem uma extremidade em um vértice e uma extremidade no lado oposto. 
Veja que normalmente as alturas não possuem tamanhos iguais. Elas podem ser, e costumam ser, diferentes 
entre si. 
 
3.3. Área de Um Triângulo: 
A área de um triângulo é uma medida do seu espaço interno. Veja na figura abaixo: 
 
 
Se fosse uma placa triangular, por exemplo, a área indicaria quanta tinta seria gasta para pintar toda a parte de 
dentro da placa. 
 
Para calcular a medida desta área, dependemos da base e da altura, como na figura abaixo: 
 
 
 
 
42 
E a área é dada por: 
2
b h
A

 
Ou seja, base vezes altura, dividido por dois. 
Veja dois exemplos de cálculo: 
 
Área: 
2
b h
A

 
24 6 12 cm
2
A

  
 
Importante: veja que se as medidas estão em centímetros, a área estará em centímetros quadrados. 
 
 
Veja deste exemplo que a altura pode ser medida fora do triângulo. 
De fato, considerando o vértice P. Pense na altura: ela tem que começar no vértice P e fazer 90° com o lado AB. 
Se você tentar desenhá-la de qualquer outra forma, vai concluir que ela não faz 90°. De fato, a única forma de 
desenhá-la é entendendo que ela se situa fora do triângulo. Mesmo assim, a área é calculada da mesma forma: 
 
2
b h
A

 
26 11 33 cm
2
A

  
 
 
 
43 
Exercício Resolvido 
Aposto que você já consegue resolver esse exercício sozinho. Tente resolvê-lo sem consultar a solução primeiro! 
 
R1. Calcule a altura relativa ao lado AC e a área do triângulo abaixo: 
 
Observação: “altura relativa ao lado AC” significa a altura que “cai” no lado AC. 
Resolução: desenhando a referida altura: 
 
Para calcular h, usamos seno. 
sen 60
10
3
5 3
2 10
h
h
h
 
  
 
Então a área do triângulo é: 
2
b h
A

 
A base é AC = 18 e a altura é “h”, que acabamos de calcular. 
18 5 3
9 5 3
2
45 3 u.a.
A
A

  

 
 
 
 
 
44 
Um Caso Importante: Área de um Triângulo Retângulo. 
Um caso muito fácil ocorre quando o triângulo é retângulo. Veja a questão abaixo: 
Calcular a área do triângulo retângulo de lados 6, 8 e 10 mostrado abaixo: 
 
 
 
Usando a base igual a 10, teríamos o problema de calcular a altura. Mas no caso do triângulo retângulo, 
podemos fazer uma ideia interessante: “girar” o triângulo. Assim (veja na figura da direita): 
 A base mede 6 
 A altura mede 8, porque é perpendicular à base. 
E a área, muito simples, é: 
6 8
2 2
24 u.a.
b h
A
A
 
 

 
 
Em aulas de 1° ano, costumamos dizer que o triângulo retângulo pode ficar “sentado” sobre um dos catetos, e o 
outro será a altura... 
 
Exercícios de Tarefa 
1. Referente ao triângulo ABC abaixo: 
 
a) Calcule a altura relativa ao lado AC . 
b) Calcule a área deste triângulo. 
c) Calcule a altura relativa ao lado AB . 
 
2. Considere que no triângulo abaixo, existe uma altura 
que tem sua extremidade no vértice B. Esta altura 
intercepta o lado AC no ponto P, dividindo-o em 
segmentos AP e PC. 
 
a) Faça o desenho da altura e dos segmentos citados no 
texto. 
 
 
45 
b) Qual é a medida da altura? 
c) Quanto medem os segmentos AP e PC? 
 
3. No triângulo abaixo, o segmento pontilhado é altura. 
 
 
a) A linha pontilhada divide o triângulo maior em 2 
triângulos. Marque os ângulos internos destes triângulos. 
b) Descubra se a referida altura dividiu o ângulo de 105° 
em dois ângulos menores iguais entre si. 
 
4. No triângulo abaixo, BD = DC = 4 e h é altura. 
 
a) Qual é a medida da altura “h” mostrada? 
b) Qual a medida da área do triângulo ABC? 
 
5. (Não é o mesmo exercício... atenção aos valores dos 
lados) No triângulo abaixo, BD = DC = 4 e h é altura. 
 
a) Qual é a medida da altura “h” mostrada? 
b) Qual a medida da área do triângulo ABC? 
c) Desenhe na própria figura um esboço da altura relativa 
ao lado AC. 
d) Calcule a medida da altura que você desenhou no item 
anterior. 
 
6. Na figura abaixo, AB = 20, BC = 14 e CP = 12. 
 
a) Qual é a área do triângulo? 
b) Qual é a medida da altura AQ? Ela é maior, menor ou 
igual a CP? 
 
7. Calcule a área de cada triângulo, sabendo que as 
medidas estão em centímetros. 
a) 
 
 
 
46 
b) 
8. O triângulo MNP abaixo é retângulo em P: 
 
a) Calcule a área deste triângulo. 
b) Calcule a altura relativa à hipotenusa.9. Na malha quadriculada abaixo, cada quadradinho 
mede 1 cm. 
 
a) Desenhe a altura relativa ao lado BC . 
b) Calcule a área do triângulo. 
c) Faça um esboço tentando representar as outras duas 
alturas. 
 
10. Na malha quadriculada abaixo, cada quadradinho 
mede 1 cm. 
 
a) Desenhe a altura relativa ao lado BC. 
b) Calcule a área do triângulo. 
 
11. (Mackenzie SP/2018) 
 
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e 
sua área vale 6, então o valor do é 
 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
12. (IFAL/2017) 
Considere um triângulo retângulo, cujos ângulos agudos 
 e satisfazem à condição e . 
Determine a área desse triângulo, em cm2, sabendo que o 
comprimento da hipotenusa é 5 cm. 
a) 4,5 
b) 6 
c) 7,5 
d) 8 
e) 10 
B̂ sen
5
3
5
4
5
2
5
1
  0,8 cos  0,6 cos 
 
 
47 
3.4. Mediana de Um Triângulo: 
 
Mediana de um triângulo é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. 
Veja diversas representações de medianas: 
 
 
 
O segmento 1AM é uma mediana porque liga A até o ponto médio de BC . 
Veja que “ponto médio” quer dizer que as medidas 1CM e 1BM são iguais entre si (por isso, colocamos “d” e 
“d” na figura). 
 
Da mesma maneira, o segmento 2BM é mediana na figura abaixo. 
 
 
 
Uma mediana sempre liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. 
Por isso, ela sempre divide o lado oposto na metade. 
Se você tiver que desenhar uma mediana, use uma régua para ver onde está exatamente a metade do lado 
oposto. 
 
 
 
48 
Veja também que altura e mediana são diferentes. No triângulo abaixo, veja como são diferentes a altura e a 
mediana que saem do vértice A: 
 
 
 O segmento AP é altura. Veja que ele é altura porque cai no lado BC fazendo 90°. 
 O segmento AM é mediana. Veja que ele divide o lado BC na metade, e por isso é mediana. 
 
Exercícios de Tarefa 
13. Desenhe a mediana AM em cada um dos triângulos 
abaixo. Use uma régua para encontrar o ponto certo. 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
14. O triângulo abaixo é retângulo. Desenhe a mediana BM 
e a altura BH. Use uma régua para facilitar seus desenhos. 
 
15. Observe o triângulo abaixo: 
 
Desenhe a mediana relativa ao lado AC e calcule a sua 
medida. Faça o mesmo para a mediana relativa a CD. 
 
 
 
49 
16. Desenhe as três medianas do triângulo ABC abaixo. 
 
 
 
3.4. Bissetriz de Um Triângulo: 
 
Bissetriz de um triângulo é o segmento que divide o ângulo em dois ângulos iguais entre si. 
Veja alguns exemplos de bissetriz: 
 
 
Vamos traçar a bissetriz do ângulo de 90°: 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Outro exemplo: Veja que o ângulo  possui medida de 60°. 
 
Traçando a bissetriz (figura à direita), o ângulo de 60° se divide em dois ângulos de 30°. 
 
Uma observação importante é que a bissetriz é do ângulo, e não do triângulo. 
Isso quer dizer que todo ângulo pode ter bissetriz, inclusive ângulos desenhados fora de um triângulo. Veja, por 
exemplo, uma bissetriz externa de um triângulo ABC: 
 
 
 
A bissetriz marcada divide o ângulo CBD em outros dois ângulos iguais. 
 
Exercícios de Tarefa 
17. No caderno da aplicada estudante Rosselini, está o 
seguinte exercício: 
 
Admitindo que 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅̅seja bissetriz de 𝐴�̂�𝐵, determine x. 
 
Como Rosselini resolveu este exercício antes de ser 
aprovada na Unesp, é bom você também resolver. Calcule 
x. 
 
18. Continuamos no mesmo caderno... 
Considerando que 𝑂𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅é bissetriz de 𝐴�̂�𝐵, determinar x e 
y. 
 
 
 
51 
19. Analisando a figura abaixo, marque como Verdadeiras 
(V) ou Falsas (F) cada uma das afirmativas abaixo. 
 
 
 
 
 
 
( ) O segmento CD é bissetriz do triângulo ABC. 
( ) O segmento CD é mediana do triângulo ABC. 
( ) O segmento FH é mediana do triângulo EFG. 
( ) O segmento FH é altura e mediana do triângulo 
EFG. 
( ) O segmento IM é altura do triângulo IPQ. 
( ) O segmento OQ é bissetriz do triângulo AOB. 
( ) O segmento DB é bissetriz do triângulo ABC, pois 
une o ponto médio D do lado AC do triângulo ao vértice 
oposto. 
 
Exercícios Acumulativos 
 
Decidimos terminar este capítulo de maneira um pouco 
diferente. Os exercícios de vestibular já foram 
apresentados ao longo dos tópicos anteriores. Outros 
virão no próximo capítulo. 
Agora faremos uma revisão um pouco mais completa. 
Estes exercícios usam toda a matéria vista até agora. Pense 
bem no que pode fazer em cada um. Aquilo que você não 
conseguir, poderá aprender com a resolução, disponível 
no final. 
Lembre-se de usar os conceitos: 
 Seno, cosseno e tangente sempre que tiver um 
triângulo retângulo; 
 Pitágoras (também sempre que tiver um 
triângulo retângulo); 
 Altura de um triângulo (faz 90° com a base) 
 Área de um triângulo (A = bh/2) 
 
20. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B 
e C são, respectivamente, de 30° e 60°. A hipotenusa mede 
4. 
a) Faça um desenho representativo. 
b) Desenhe a altura relativa à hipotenusa e calcule a 
medida dessa altura. 
c) Calcule a área deste triângulo. 
 
 
 
52 
21. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B 
e C são, respectivamente, de 45° e 45°. A hipotenusa mede 
4. 
a) Faça um desenho representativo. 
b) Desenhe a altura relativa à hipotenusa e calcule a 
medida dessa altura. 
c) Calcule a área deste triângulo. 
 
22. (UFC CE/2007) 
A área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 
e um cateto mede 6 é: 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
e) 32 
 
23. (UFV MG/2008) 
Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 5 cm e a 
hipotenusa mede 13 cm. O valor da área deste triângulo, 
em cm2, é: 
a) 25 
b) 30 
c) 60 
d) 65 
24. No triângulo retângulo abaixo, H é pé da altura e CM 
é mediana. 
 
a) Calcule a área do triângulo ACD. 
b) Calcule a medida de CH. 
c) (Super desafio) Calcule a distância HM. 
 
25. Desenhe na figura as três alturas do triângulo dado. 
Use uma régua e o que mais precisar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
Capítulo 04: Triângulos Equilátero e Isósceles 
 
Nos capítulos anteriores, você teve como aprender um pouco sobre a utilização das ferramentas básicas da 
trigonometria. 
Agora, você vai aprender a aplicar estas ferramentas às figuras mais presentes na geometria plana, na geometria 
espacial, no Enem e nos vestibulares de uma maneira em geral. 
Neste capítulo veremos os triângulos. No capítulo seguinte, os quadriláteros. 
 
4.1. O Triângulo Isósceles 
Triângulo Isósceles é todo triângulo que possua dois lados de mesma medida. 
São exemplos de triângulos isósceles: 
 
 
 
Observe que o último destes triângulos tem os três lados iguais. Ele é equilátero e isósceles ao mesmo tempo. 
 
Lados e Ângulos do Triângulo Isósceles: 
Todo triângulo isósceles possui: 
 Dois lados iguais. 
 Dois ângulos iguais. São os ângulos que estão opostos aos lados iguais. 
 
 
 
 
 
54 
Simbologia: lados iguais costumam ser identificados por este símbolo: 
 
Em que todos os lados iguais possuem o mesmo número de traços. 
 
Observação: quando dizemos ou escrevemos “vértice do triângulo isósceles” costumamos nos referir ao vértice que tem o 
ângulo diferente dos outros. No exemplo acima, o vértice de cima seria chamado simplesmente de “vértice”. 
 
Usando esta propriedade é possível calcular vários ângulos e lados de triângulos isósceles. Veja os exemplos 
abaixo antes de fazer os exercícios seguintes: 
 
Exercícios Resolvidos 
R1. Calcule os ângulos indicados por  e  nos triângulos abaixo. 
a) b) 
 
Resolução: 
a) Observe pelos ‘tracinhos’ que há dois lados iguais. Então os ângulos  e  são iguais. 
Lembrando que a soma dos ângulos é 180°: 
70 180
70 180
2 110
55
 
 


    
    
 
 
 
E assim, 55   
b) 
80 80 180
160 180
20



    
   
 
 
 
 
55 
Exercícios de Tarefa 
1. Marque o valordos ângulos desconhecidos em cada 
triângulo abaixo. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
2. No exercício anterior, se eu dissesse “o ângulo do vértice 
do triângulo isósceles...” – a qual ângulo eu estaria me 
referindo em cada caso? 
 
3. Julgue os seguintes itens em verdadeiro ou falso. 
( ) Se um triângulo possui dois ângulos medindo 40°, ele 
é isósceles. 
( ) Se um triângulo possui três lados iguais, ele é isósceles. 
( ) Se um triângulo é retângulo e isósceles ao mesmo 
tempo, então ele possui ângulos de 90° e 45°. 
( ) As medidas dos ângulos de um triângulo são 15°, 15° e 
150°. Este triângulo pode possuir três lados de medidas 
diferentes. 
( ) Se um triângulo é isósceles e possui pelo menos um 
ângulo de 60°, podemos concluir que os três ângulos são 
de 60°. 
( ) Existe triângulo isósceles e equilátero. 
 
4. Determine o valor de x e associe com as alternativas 
abaixo: 
 
 
 
a) 20° 
b) 30° 
c) 60° 
d) 100° 
e) n.d.a 
 
x̂
120º
 
 
56 
 Propriedade da Altura do Triângulo Isósceles 
 
 
Veja se você ainda se lembra disso: 
Altura de um triângulo é o segmento que tem uma extremidade em um dos vértices e faz 90° com o lado oposto. 
Observe que na figura acima, a altura (AH) faz 90° com a base, mas não divide o lado BC ao meio. 
 
Observe agora o que acontece quando desenhamos a altura que parte de um vértice de um triângulo isósceles: 
 
1) A altura cai no ponto médio da base, ou seja, dividindo a base ao meio. 
2) A altura divide o ângulo de cima ao meio, ou seja, em dois ângulos iguais. 
 
O triângulo isósceles é uma figura simétrica, isto é, seu lado direito é igual ao seu lado esquerdo. Quando uma 
figura é simétrica, se ela for dividida ao meio, os dois lados resultantes são iguais. 
 
Além disso, o triângulo isósceles fica dividido em dois triângulos retângulos, um de cada lado. Com isso é possível 
aplicar seno, cosseno, tangente e Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
57 
 
Exercício Resolvido 
R2. Calcular a área do triângulo abaixo. 
 
Resolução: Desenhando a altura h, observe que são formados dois triângulos retângulos iguais. 
 
 
A base se divide na metade porque o triângulo é isósceles. 
Aplicando Pitágoras, podemos calcular h: 
2 2 2
2
2
4 12
16 144
128
h
h
h
 
 

 
2 2 2128 2 2 2 2
2 2 2 2 8 2
h
h
    
   
 
 
Lembrando que a área é: 
2
b h
A

 , temos 
8 8 2
2
A

 . 
Então 32 2 u.a.A 
 
 
58 
Exercícios de Tarefa 
5. Um triângulo isósceles possui dois lados medindo 8 cm 
cada e um terceiro lado medindo 12 cm. 
a) Faça um desenho deste triângulo. 
b) Calcule a área do triângulo. 
 
6. Considere um triângulo isósceles com dois lados de 
medida 13 cm e um lado de medida 10 cm. 
a) Faça um desenho e calcule a medida da altura relativa 
ao lado de medida 10 cm. 
b) Calcule a área deste triângulo. 
c) Qual é a medida da altura relativa ao lado de 13 cm? 
 
7. Observe o triângulo abaixo: 
 
Dados: sen 80° = 0,98 e cos 80° = 0,17 
a) Calcule a medida da altura que sai do vértice superior 
deste triângulo. 
b) Calcule a medida do lados faltantes do triângulo. 
 
8. Referente ao triângulo abaixo: 
 
 
a) Calcule a medida dos ângulos faltantes. 
b) Calcule a área deste triângulo. 
9. Observe o triângulo retângulo abaixo. 
 
a) Podemos afirmar que os catetos possuem a mesma 
medida. Explique detalhadamente o porquê. 
b) Calcule a medida dos catetos faltantes. 
 
10. (UNESP SP) 
A área de um triângulo isósceles é 154 dm2 e a altura 
desse triângulo, relativa à sua base, mede 152 dm. O 
perímetro desse triângulo é igual a 
a) 16 dm 
b) 18 dm 
c) 20 dm 
d) 22 dm 
e) 23 dm 
 
11. (UFPB) 
Na figura abaixo, ABD e BCD são triângulos retângulos 
isósceles. Se AD = 4, qual é o comprimento de DC? 
 
a) 24 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 28 
 
 
59 
4.2. O Triângulo Equilátero 
O próprio nome já explica: equi (igual) + látero (lados). Assim, equilátero é o triângulo que possui três lados 
iguais. 
Por consequência, ele também terá três ângulos iguais. 
Por isso, todo triângulo equilátero tem a seguinte representação: 
 
 
Observe: 
 Três lados iguais. 
 Três ângulos de 60°. 
 
TODO triângulo equilátero é assim. 
 
Altura do Triângulo Equilátero (o caminho mais fácil, com seno e cosseno) 
 
O caminho mais fácil para calcular a altura de um triângulo equilátero é desenhar a altura e depois, aplicar seno 
e cosseno. Veja o seguinte exemplo: 
 
Exemplo: um triângulo equilátero tem seus lados medindo 10 cm. Qual é a sua altura e qual é o valor da sua 
área? 
Solução: Veja na figura como a altura divide o triângulo ao meio. 
Separando o triângulo retângulo da esquerda: 
 
 
 
 
60 
Veja que o ângulo é de 60° porque todo triângulo equilátero tem ângulos de 60° nos vértices. Olhe no triângulo 
destacado e veja que “h” é cateto oposto de 60°. Como você já decorou o valor de seno de 60°, basta aplicar 
seno: 
sen 60
10
h
  
3
2 10
h
 
2 10 3h  
10 3
5 3
2
h   
 
Para calcular a área basta lembrar que: 
2
b h
A

 
10 5 3
2
A

 25 3 u.a.A  
 
Fórmula da Altura do Triângulo Equilátero: 
Se fizermos esse mesmo processo, usando letras, podemos chegar a uma fórmula: 
 
Chamamos cada lado de e queremos calcular a altura h. 
Aplicando seno: 
sen 60
h
  
3
2
h
 
2 3h  
 
Agora lembre-se que queremos “calcular” h. Por isso, vamos passar o 2 dividindo. 
3
2
h  
 
 
61 
Esta é a fórmula da altura de um triângulo equilátero: 
Altura do Triângulo Equilátero 
3
2
h  
 
O normal é tentar decorar e esquecer a fórmula (já aconteceu com você?) 
Por isso, é importante saber montar a figura e calcular usando o valor do seno sempre que precisar. 
 
Altura do Triângulo Equilátero (Usando Pitágoras) 
Outro caminho bastante simples para calcular altura de um triângulo equilátero é aplicar o Teorema de Pitágoras 
a qualquer um dos triângulos retângulos que observamos ao desenhar a altura. 
Veja novamente um exemplo numérico: Um triângulo equilátero tem lados de medida 10. Calcular a sua altura. 
 
 
Aplicando Pitágoras: 
2 2 25 10h   
2 25 100h   
2 75h  
75h  
Observe que temos um número fatorável na raiz. Quando isto ocorre temos que fatorar e simplificar: 
 
Assim, 275 3 5  
275 3 5
5 3
h
h
  

 
Que é o mesmo resultado que tínhamos encontrado quando aplicamos seno. 
 
 
 
62 
Com este estudo, é hora de um passo importante. É hora de você fazer o exato mesmo raciocínio. Por isso, resolva 
em ordem os três exercícios abaixo: 
 
EXERCÍCIO FEITO NO LIVRO: 
 
Um triângulo equilátero tem todos os lados medindo 8 cm. Faça um desenho representativo e obtenha a sua 
altura usando seno. Obtenha também a sua área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO FEITO NO LIVRO: 
Um triângulo equilátero tem todos os lados medindo 8 cm. Obtenha a sua altura usando Pitágoras e também a 
sua área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
E finalmente, tente este exercício mais difícil abaixo: 
EXERCÍCIO FEITO NO LIVRO: 
Aplique Pitágoras no triângulo abaixo, tomando muito cuidado com as frações, e obtenha de novo as fórmulas 
da altura e da área. Sozinho(a)! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
O gabarito dos dois primeiros exercícios é: Altura 4 3 cm, área 16 3 cm2. 
A resolução do segundo exercício é: 
 
Veja que 
2
 e h são catetos de um triângulo retângulo, e é a hipotenusa. 
2
2 2
2
h
 
  
 
 
2
2 2
4
h   
Como queremos “calcular” h, vamos isolá-lo. Para isso, vamos passar todos os outros termos para o lado direito. 
2
2 2
4
h   
Tirando o mínimo: 
2 2
2 4
4
h

 
2
2 3
4
h  
Como queremos o valor de h, vamos aplicar raiz quadrada de ambos os lados. 
2
2 3
4
h  
E com isso, 
3
2
h  . 
Agora, deduzindo a área: Veja novamente o triângulo equilátero. 
 
 
 
65 
Sua base temmedida (que é a medida de todos os lados). E nós já calculamos que sua altura é dada por 
3
2
h  . 
Com isso podemos escrever uma fórmula da área: 
2
b h
A

 
3
2
2
A

 
2 3
2
2
A  
Lembrando que em divisão de frações devemos manter a de cima e multiplicar pelo inverso da de baixo: 
2 3 1
2 2
A   
2 3
4
A  
 
Esta dedução é mais difícil de acompanhar que a anterior. 
Mas será bem útil para você se você conseguir repeti-la passo a passo em uma folha em branco. É um marco 
importante de aprendizado. Tente! 
Conselho dos autores: não se esforce para memorizar esta fórmula. Vejo como muitos estudantes tentam 
apenas memorizar estas fórmulas – da altura e da área – e as confundem na hora de uma prova importante. 
O mais fácil é aprender como se faz. Na hora da prova, apenas calcule a altura e se precisar calcular a área, use 
que 
2
b h
A

 . 
 
 
Exercícios de Tarefa 
12. Mostre que sempre que um triângulo tiver os três 
ângulos iguais, então os ângulos medem 60° cada um. 
 
13. Na malha quadriculada ao lado, cada quadradinho tem 
lado de 1 cm e o triângulo possui os três lados iguais. 
Calcule a medida de d. 
 
 
 
 
 
66 
14. Abaixo está mostrado um triângulo equilátero ABC. 
 
Sabendo que M é ponto médio de CB e também que MB 
= 6 cm: 
a) Calcule as medidas dos lados do triângulo e marque 
todos os ângulos possíveis na figura. 
b) Responda: AM também é altura do triângulo? 
Explique. 
c) Calcule a medida de AM . 
 
15. Três pequenos vilarejos A, B, C formam um triângulo 
equilátero entre si. Uma estrada horizontal passa pelos 
vilarejos A e B, e uma pequena estrada de terra liga a 
cidade C ao ponto médio da primeira estrada. Esta 
estradinha de terra tem comprimento de 18 km. 
a) Faça uma figura representativa. 
b) Calcule a distância entre as cidades A e B. 
(Sugestão: faça uma vez usando Pitágoras, e uma usando 
seno/cosseno/tangente) 
 
16. Um triângulo equilátero tem sua altura medindo 9 
cm. A medida do seu lado é: 
a) 6 2 cm 
b) 6 3 cm 
c) 
9 3
 cm
2
 
d) 
9 2
 cm
2
 
e) 12 cm 
 
17. O quadrado ABEF tem lado medindo 10 cm e o 
triângulo ABC é equilátero. Sabendo que D é ponto médio 
do lado EF do quadrado, calcule a medida DC. 
 
 
18. Um triângulo equilátero foi dividido em outros quatro 
triângulos equiláteros, conforme figura: 
 
 
Calcule a área pintada. 
 
19. Um hexágono regular pode ser dvidido em seis 
triângulos equiláteros, como mostra a figura abaixo: 
 
Se cada lado do hexágono mede 4 cm, calcule a área do 
hexágono. 
 
 
 
67 
20. Ainda analisando o hexágono regular, e considerando 
que todos os seus lados medem 4 cm, calcule as 
seguintes distâncias marcadas na figura abaixo: 
a) Distância AB 
b) Distância CD 
 
 
21. Analisando o erro dos outros: 
Um estudante teve que calcular a medida AP na seguinte 
figura: 
 
Em sua resolução, ele fez o seguinte: 
3
2
18 3
2
9 3
h
h
h




 
 
a) Explique o que este estudante fez de errado (não o que 
ele deveria ter feito, mas o que ele fez de errado.) 
b) Explique o que o estudante poderia ter feito. 
 
22. Analisando o erro dos outros, parte II: 
Um estudante teve que calcular a medida AP na seguinte 
figura: 
 
Em sua resolução, ele fez o seguinte: 
 
cos30
18
3
2 18
2 18 3 9 3
x
x
x x
 

  
 
E neste caso, qual foi o erro do estudante? 
 
23. Calcule a área de um triângulo equilátero cujo lado 
mede 8 cm. Sugestão: faça um desenho e calcule a altura, 
como etapa intermediária. 
 
24. Um terreno destacado em uma fazenda tem a forma 
de um triângulo equilátero, e sua área é de 2500 3 m2. 
Calcule a medida dos lados do triângulo equilátero. 
 
25. O Hall de entrada de uma área de exposições foi 
decorado com ladrilhos hexagonais, como mostrado na 
figura abaixo. O Hall tem forma retangular, e a maior das 
 
 
68 
suas dimensões mede 544 cm. Por motivo artístico, o piso 
foi decorado com ladrilhos hexagonais regulares. 
 
Usando como aproximação que 3 1,7 , a medida do 
lado de cada ladrilho está mais próxima de: 
a) 30 cm 
b) 40 cm 
c) 50 cm 
d) 60 cm 
e) 70 cm 
 
Exercício Resolvido 
R3. Três grandes toras de madeira, cada uma com 40 cm de raio, são empilhadas no chão conforme a figura 
abaixo. Qual é a altura da pilha? 
 
 
Resolução: ligando os centros das circunferências, teremos um triângulo equilátero. Como todos os raios 
medem 40 cm, a figura fica assim: 
 
 
69 
 
 
Então a altura da pilha é um raio (de baixo), mais um raio (de cima), mais a altura do triângulo equilátero. A 
altura é: 
3 80 3
40 3 cm
2 2
h    
 
Com isso, a altura da pilha será: 
40 40 40 3
80 40 3 cm
H
H
  
 
 
 
26. Empilhando 3 toras de madeira, cada uma com 
diâmetro de 100 cm, qual é a altura da pilha gerada? 
 
 
 
 
 
27. Um caminhão tem que transportar cinco grandes 
tubos de madeira, empilhados conforme a figura. Cada 
tubo tem raio de 60 cm. Usando a aproximação 3 1,7
, qual é a menor altura que a caçamba do caminhão precisa 
ter para que os tubos caibam? 
 
 
 
 
 
70 
Neste capítulo, existe um pouco mais de teoria e uma seção de exercícios de aprofundamento logo depois dos 
“exercícios de vestibular”. Mas não tenha pressa: primeiro, domine o básico. O “aprofundamento” em questão é 
algo que você certamente verá nas aulas de seu cursinho: as propriedades do baricentro do triângulo equilátero. 
 
Exercícios de Vestibular 
 
28. (FIEB SP/2016) 
Considere as seguintes informações: 
 
 
Sabendo-se que um terreno triangular tem as dimensões 
apresentadas na figura a seguir, é correto afirmar que a 
área desse terreno, em metros quadrados, é de 
 
 
 
a) 850 
b) 900 
c) 950 
d) 1000 
e) 1050 
 
29. (IFSP/2014) 
A base de um triângulo isósceles mede cm e o ângulo 
oposto à base mede 120°. A medida dos lados congruentes 
desse triângulo, em centímetros, é 
 
a) 3 
b) 2 
c) 
d) 
e) 
 
30. (UFT TO/2012) 
Para que o telhado de uma casa possa ser construído deve-
se levar em consideração alguns fatores de 
dimensionamento, dentre os quais as especificações 
relacionadas com a largura e o ângulo de elevação do 
telhado. Conforme exemplo ilustrado na figura a seguir: 
 
De acordo com as informações anteriormente indicadas 
no exemplo ilustrado, a medida da elevação do telhado é 
(considere duas casas decimais após a vírgula e tg30° = 
0,58) 
a) 0,90m. 
b) 1,74m. 
c) 1,80m. 
d) 3,00m. 
e) 3,48m. 
 
3
3
3
3
3
33
3
31
32 
 
 
71 
31. (PUCCampinas SP/2012) 
Uma pessoa está sentada em uma sala de projeção, na 
cadeira central de uma fileira. De um plano horizontal, na 
altura de seus olhos, ela vê a tela plana sob um ângulo de 60°, 
como mostra a figura abaixo. 
 
 
Se, nesse plano, as distâncias do observador às extremidades 
da tela são iguais a 12m, então a distância dele à tela, em 
metros, é igual a 
a) 4 
b) 6 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
32. (UESPI/2009) 
 Na ilustração abaixo, temos um paralelogramo composto 
por seis triângulos eqüiláteros com lados medindo 1. Qual a 
medida da diagonal do paralelogramo, indicada na figura? 
 
 
 
a) 13 
b) 3,5 
c) 4 
d) 32 
e) 3,4 
33. (UNESP SP/2016) Uma mesa de passar roupa possui 
pernas articuladas e , conforme indica a figura. Sabe-
se que AB = CD = 1 m, e que M é ponto médio dos segmentos 
coplanares e . Quando a mesa está armada, o tampo 
fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo é 
60°. 
 
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da 
espessura do tampo e adotando , a altura do tampo 
dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em 
centímetros, está entre 
a) 96 e 99. 
b) 84 e 87. 
c) 80 e 83. 
d) 92 e 95. 
e) 88 e 91. 
 
34. (UFC CE/2000) Na figura abaixo, os segmentos de reta 
 são congruentes,  é um ângulo externo, 
e  um ângulo interno do triângulo ABD. 
 
Assinalea opção que contém a expressão correta de  
em termos de . 
a)  = 3. 
b)  = 2 
c)  = /2. 
d)  = 2/3. 
e)  = 3/2. 
2
2
3
3
3
AB CD
AB CD
CM̂A
7,13 
CDeAC,AB
A
B C D


 
 
72 
4.3. Tópico Extra: Baricentro do Triângulo Equilátero 
 
Em um triângulo equilátero, você já sabe que altura, bissetriz e mediana são o mesmo segmento. 
Se desenharmos as alturas relativas aos três lados, teremos a figura a seguir: 
 
 
 
Veja algumas coisas que você já sabe: 
 As altura são iguais entre si. 
 Elas são alturas mas também são bissetrizes e medianas. 
 Elas se cruzam em um mesmo ponto, que está mostrado acima. 
 
Vamos agora às coisas que você talvez não saiba. 
 
 
 
73 
Para isso, vamos destacar na figura uma única altura AM , mas como elas são iguais, tudo o que fizermos vale 
para as três. 
 
 
O ponto G, onde as retas se encontram, é chamado BARICENTRO3. 
O ponto M é ao mesmo tempo “pé” da altura AM e ponto médio do lado de baixo. 
 
Além disso, não se esqueça de que o segmento AM é a altura do triângulo equilátero. Chamaremos AM h . 
 
Agora, antes de prosseguir, olhe para a figura e pense por um instante no seguinte: parece, visualmente, que o 
ponto G divide a altura h ao meio? Ou a parte de cima e a parte de baixo (ou seja, AG e GM) são diferentes? 
 
Creio que é fácil perceber que a parte de cima (parte AG) é maior que a de baixo (parte GM). 
 
Vamos enunciar primeiro, e provar daqui a pouco, a seguinte propriedade que você estudará em sua sala de 
aula: 
 
O baricentro do triângulo equilátero divide a altura em duas partes, mas elas não são iguais. 
A parte que contém o vértice é igual a 
2
3
 da altura, ou seja, 
2
3
AG h  
E a parte que não contém o vértice é igual a 
1
3
 da altura, ou seja, 
2
3
GM h  
 
 
3 O encontro das alturas chama-se Ortocentro. O encontro das bissetrizes chama-se Incentro. E o encontro das medianas 
chama-se Baricentro. O ponto G é as três coisas ao mesmo tempo. Aqui, chamaremos apenas de baricentro, que é o mais 
comum. Também usaremos sempre a letra G para indicar o baricentro, que também é o mais comum de se ver escrito em 
teoria e exercícios. 
 
 
74 
Assim, veja em um exemplo numérico: se o lado do triângulo equilátero é igual a 6 cm, qual é a medida dos 
segmentos AG e GM? 
 
Começamos calculando a altura do triângulo equilátero. 
3
2
6 3
3 3 cm
2
h
h


 
 
Em seguida, vamos usar as propriedades. A maior parte da altura é a parte AM, que tem o vértice do triângulo. 
Ela mede 2/3 da altura, ou seja: 
2
3
2
3 3 =2 3 cm
3
AM h
AM
 
 
 
 
A menor parte é GM, que mede 1/3 da altura. 
1
3
1
3 3 = 3 cm
3
GM h
GM
 
 
 
 
Vamos à demonstração4: 
 
4 A divisão em partes que são 1/3 e 2/3 da mediana vale para qualquer mediana. É algo mais geral, que possui uma 
demonstração mais geral. Só aqui que estamos preocupados só com o caso do triângulo equilátero. Você estudará este 
caso mais geral se for se aprofundar um pouco na geometria plana. 
 
 
75 
 
 
Como todas as alturas são iguais e divididas da mesma forma, vamos chamar a menor parte de x e a maior parte 
de y. 
No triângulo destacado, veja que x é cateto e y é hipotenusa. 
sen 30
1
2
2
x
y
x
y x
y
 
  
 
 
Agora, observe que a altura é dada por (x + y). Então, 
2
3
x y h
h
x x h x
 
   
 
Com isso provamos que 
3
h
GM x  e também que 
2
3
h
AM y  . 
 
 
 
 
76 
Consequências Importantes: 
Este estudo tem duas consequências muito importantes que são: 
 
Circunferência Inscrita: 
 
Existe uma circunferência que tem centro em G e tangencia os três lados do triângulo por dentro. Ela se chama 
circunferência inscrita. 
Veja que o raio desta circunferência é igual a GM. 
 
Circunferência Circunscrita: 
 
 
Existe uma circunferência que tem centro em G e passa pelos vértices A, B, C. 
Ela se chama circunferência circunscrita. 
Veja que o raio desta circunferência é igual a AG. 
 
 
 
77 
Exercícios Extras 
36. (UNIFOR CE/2018) Na saga de um famoso bruxinho do 
cinema, havia um conjunto de objetos que juntos formavam 
as chamadas “relíquias da morte”. Tais objetos eram 
representados pelo símbolo abaixo, no qual temos um 
triângulo equilátero, um círculo com centro no incentro do 
triângulo e um segmento de reta contendo um vértice e o 
incentro. 
 
 
Se o raio da circunferência é 2 cm, podemos afirmar que o 
perímetro do triângulo é 
a) 32 cm 
b) 6 cm 
c) 34 cm 
d) 12 cm 
e) 312 cm 
 
37. Qual é o raio da circunferência que passa pelos três 
vértices de um triângulo equilátero cujos lados medem 12 
cm? 
a) 6 3 cm 
b) 4 3 cm 
c) 3 3 cm 
d) 4 cm 
e) 6 cm 
 
38. Uma circunferência de raio 2 3r  está inscrita em 
um triângulo equilátero. Qual é o lado deste triângulo? 
 
39. (ENEM/2017) A manchete demonstra que o transporte 
de grandes cargas representa cada vez mais preocupação 
quando feito em vias urbanas. 
 
Caminhão entala em viaduto no Centro 
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto 
no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro 
da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, 
na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre 
e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na 
foto. 
 
Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. 
Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado). 
 
Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 
0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja 
parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a 
vista traseira do empilhamento dos canos. 
 
 
A margem de segurança recomendada para que um veículo 
passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a 
carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão 
do viaduto. Considere 1,7 como aproximação para . 
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para 
que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu 
vão? 
a) 2,82 
b) 3,52 
c) 3,70 
3
 
 
78 
d) 4,02 
e) 4,20 
40. (PUC MG/2013) 
A medida da área do triângulo equilátero ABC da figura é 
igual a . O ponto P pertence à mediatriz do lado de tal 
modo que a área do triângulo APB vale . 
 
 
 
Nessas condições, a distância de P ao segmento é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
41. (ENEM/2013) 
Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 
cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de 
raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil 
manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm 
entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância 
é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para . 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
 
a) 64,0. 
b) 65,5. 
c) 74,0. 
d) 81,0. 
e) 91,0. 
 
42. A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado L 
com todas as alturas desenhadas, dividindo o triângulo em 
seis triângulos menores. 
 
a) Obtenha as medidas de todos os ângulos da figura. 
b) Obtenha a medida dos segmentos: AD, GD, GC, GE, 
BG. 
 
43. A figura mostra um triângulo equilátero, de lado de 
medida 8 unidades. Na figura também estão desenhadas as 
três alturas do triângulo e sua circunferência circunscrita. 
 
a) Calcule o raio da circunferência mostrada na figura. 
b) Calcule a medida 1GM . 
3 AB
2
AB
2
3
22
32
3
 
 
79 
5. Os Quadriláteros Notáveis 
 
No capítulo anterior, estudamos triângulos. Agora, veremos os quadriláteros mais notáveis. 
 
5.1. Quadrado e Retângulo 
 
O Quadrado 
Quadrado é um quadrilátero com: 
 Quatro lados iguais entre si, e 
 Quatro ângulos de 90°. 
 
 
Diagonal do Quadrado: 
O segmento notável do quadrado é sua diagonal. 
 
 
Veja que a diagonal