Resumo séries e edo

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Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias 
Prof Dr Marivaldo P Matos 
Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL 
 matos@mat.ufpb.br 
 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) 
Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead 
Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
 
Ementa 
 
 Sequências Numéricas, Séries Numéricas, Séries de Potências, Equações Diferenciais de Primeira 
Ordem, Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. 
 
Descrição 
 
 A disciplina Séries e Equações Diferenciais consiste em uma exposição passo a passo de conceitos e 
propriedades básicas de cálculo de limites de sequência numéricas, critérios de convergência para séries, 
representação das funções elementares do cálculo por séries de potências, métodos de resolução de equações 
diferenciais ordinárias e aplicações. 
O programa da disciplina divide-se em cinco unidades, as três primeiras sobre sequências e séries e 
as outras duas sobre equações diferencias. Na primeira unidade apresentam-se os conceitos e resultados 
básicos sobre sequências numéricas com vistas ao cálculo de limites; na segunda unidade apresentam-se os 
principais critérios de convergência para séries numéricas, com ênfase no Teste da Razão. Na terceira 
unidade dar-se-á ênfase ao desenvolvimento de funções em séries de potências. Na quarta unidade 
apresentam-se conceitos e métodos sobre equações diferenciais de primeira ordem enfatizando o processo 
que vai da modelagem à resolução de alguns problemas práticos. Finalmente, a quinta unidade trata das 
equações diferenciais lineares de segunda ordem, onde se apresentam conceitos e métodos com aplicações. 
 
Objetivos 
 
Ao final do curso espera-se que o aluno 
	 Compreenda o significado de limite de uma sequência numérica e de convergência de uma série 
numérica; 
	 Saiba determinar o domínio de uma função definida por uma série de potências e esteja 
habilitado a desenvolver as principais funções elementares do cálculo em séries de potências; 
	 Saiba aplicar os métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias e modelar alguns 
fenômenos físicos por equações diferenciais para, em seguida, resolvê-los. 
 
Unidades Temática Integradas 
 
Unidade I Sequências Numéricas 
 
 Conceitos Básicos 
Sequências Convergentes 
Cálculo de Limites 
 
Unidade II Séries Numéricas 
 
Séries Convergentes 
Séries de Termos Positivos. Critérios de Convergência 
Séries Alternadas. Critério de Leibniz 
Convergência Absoluta. Critério da Razão 
 
 
100
Unidade III Séries de Potências 
 
Intervalo de Convergência 
Funções definidas por Séries de Potências 
Derivação e Integração de Séries de Potências 
Séries de Taylor e Séries de Maclaurin 
 
Unidade IV Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
 
Modelagem de Problemas Práticos 
EDO Linear: solução geral 
EDO Não-Linear: métodos elementares 
 
Unidade V Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 
 
Alguns modelos como motivação 
Método dos Coeficientes a Determinar - MCD 
Método de Variação dos Parâmetros - MVP 
Soluções em Séries de Potências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101
Unidade I Sequências Numéricas 
 
1. Situando a temática 
 
Nesta unidade, apresentamos os conceitos básicos e a noção intuitiva de limite para sequências 
numéricas e formalizamos as principais propriedades para o cálculo de limites. A notação e terminologia 
fixadas são fundamentais para o acompanhamento das unidades posteriores. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 A importância de sequências (e séries) infinitas para o cálculo torna-se evidente quando se deseja 
aproximar certas funções por polinômios. Essa ideia já fora idealizada por Newton no cálculo de áreas onde 
ele frequentemente integrava funções a partir de sua representação como uma soma infinita de funções 
polinomiais. 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 Conceitos Básicos 
 
Informalmente, uma sequência é uma lista ordenada de coisas, mas nesta unidade as coisas serão 
números reais. Pensando desta forma, uma sequência nada mais é do que uma lista ordenada infinita de 
números reais 
a1 , a2 , a3 , ... an ,.... 
em que a1 é o primeiro termo e an é o n-ésimo termo ou termo de ordem n. Em se tratando de uma lista 
infinita, cada termo an tem um sucessor an+1 e assim fica estabelecida uma correspondência entre o conjunto 
� = {1,2,3,4,....} dos números naturais e o conjunto constituído pelos termos a1 , a2 , a3 , ... an ,.... da 
sequência. 
 
Uma sequência {an} é uma função f cujo domínio é o conjunto � dos números naturais e cujo valor no 
número natural n é precisamente o termo an, isto é, f(n) = an. Por simplicidade, essa sequência f é 
representada pelo seu termo genérico an. 
 
Uma sequência pode ser representada pelo seu termo geral an, bn, xn, etc. ou explicitando-se seus primeiros 
termos como mostram os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 
A sequência cujos termos são todos iguais a 1 é representada por an = 1 ou explicitando seus primeiros 
termos: 1, 1, 1, 1, ..... Uma sequência em que todos os termos são iguais é denominada sequência constante. 
 
Exemplo 
A sequência de termo geral an = (–1)n assume dois valores distintos: o valor –1, quando n for um número 
ímpar e o valor 1, quando n for par. Seus valores são alternadamente negativos e positivos e ela também é 
representada sob a forma: –1, 1, –1, 1, .... Quando os termos de uma sequência são alternadamente positivos 
e negativos ela recebe o nome de sequência alternada. 
 
Exemplo 
A sequência de termo geral an = 1/n é também representada por: 1, 1/2, 1/3, 1/4,.... Nesta sequência os 
termos an tornam-se cada vez menores, à medida que o índice n aumenta. 
 
Exemplo 
Os cinco primeiros termos da sequência alternada 
n
a
n
n
)1(−= são: 
.5/1,4/1,3/1,2/1,1 54321 −==−==−= aaaaa 
Em valor absoluto essa sequência se comporta como aquela do exemplo precedente. Em valores relativos os 
termos de ordem par decrescem e os termos de ordem ímpar crescem, à medida que o índice n aumenta. 
Independente de a ordem ser par ou ímpar, o termo an se aproxima cada vez mais do número zero, com n 
aumentando. 
 
 
102
Exemplo 
A sequência de termo geral nan = cresce com n e atinge valores arbitrariamente grandes, ao contrário da 
sequência 2nbn −= que decresce à medida que n aumenta. 
 
Definição 3.1A 
Uma sequência {an} é denominada não decrescente se: 
LL ≤≤≤≤≤≤ naaaaa 4321 . 
Quando ocorrer < no lugar de ≤ a sequência será denominada crescente. 
 
Definição 3.1B 
Uma sequência {an} é denominada não crescente se: 
LL ≥≥≥≥≥≥ naaaaa 4321 . 
Quando ocorrer > no lugar de ≥ a sequência denomina-se decrescente. 
 
De forma concisa, as definições anteriores ficam assim: 
 
• {an} é não decrescente se naa nn ∀≤ + ,1 ; 
• {an} é crescente se naa nn ∀< + ,1 ; 
• {an} é não crescente se naa nn ∀≤+ ,1 ; 
• {an} é decrescente se naa nn ∀<+ ,1 . 
Esses tipos de sequências classificam-se como sequências monótonas. 
 
Agora que você está familiarizado com os primeiros conceitos, veja as sequências dos exemplos do ponto de 
vista gráfico. Como o domínio de uma sequência é um conjunto de pontos isolados (recorde-se que o 
domínio de uma sequência é o conjunto � dos números naturais) o gráfico de uma sequência não é uma linha 
contínua, mas um conjunto de pontos isolados do plano cartesiano em que as ordenadas representam os 
termos an da sequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe como as ordenadas (as alturas) dos pontos (n,1/n) vão 
diminuindo à medida que o índice n aumenta. A sequência an=1/n é 
decrescente e seus termosse aproximam cada vez mais de zero, quando 
n vai crescendo. Existe uma simbologia apropriada que traduz essa 
aproximação da sequência an=1/n para zero. Usa-se a notação ∞→n 
para indicar que o índice n cresce arbitrariamente e 0→na indica que 
a sequência an se aproxima de zero. Assim, 
01lim =∞→ nn . 
 
A sequência de termo geral an =1/n 
 
 
A sequência constante 1=na 
 
A sequência alternada nna )1(−= 
 
103
Observe a figura e se convença que os termos de ordem par decrescem e se 
aproximam de zero, enquanto os termos de ordem ímpar crescem se 
aproximando também de zero, à medida que o índice n aumenta. Com a 
simbologia introduzida anteriormente, escreve-se: 
0)1(lim =−∞→ n
n
n
. 
Este exemplo mostra que uma sequência alternada pode sim aproximar-se 
de um determinado valor, quando o índice n torna-se arbitrariamente 
grande. Isso ocorre quando os termos de ordem par e os termos de ordem 
ímpar se aproximam do mesmo valor e aqui este valor é zero. Isso não 
ocorre com a sequência alternada da figura 3.1B, onde os termos de ordem 
par e os termos de ordem ímpar se aproximam de valores diferentes. 
 
 
 
 
 
A sequência alternada 
n
a
n
n
)1(−= 
 
Além da monotonia (Definição 3.1A e 3.1B), as sequências se classificam quanto à limitação em: limitada 
superiormente, limitada inferiormente e limitada, como estabelecem as definições a seguir. 
 
Definição 3.1C 
Uma sequência {an} é denominada limitada superiormente quando existir uma constante M, denominada 
cota superior da sequência, tal que: 
nMan ∀≤ , . 
 
Definição 3.1D 
Uma sequência {an} é denominada limitada inferiormente quando existir uma constante m, denominada cota 
inferior da sequência, tal que: 
nam n ∀≤ , . 
 
Definição 3.1E 
Uma sequência {an} é denominada limitada quando o for superiormente e inferiormente. Isto é equivalente a 
existência de uma constante positiva C tal que: 
nCan ∀≤ , . 
 
Exemplo 
• A sequência de termo geral nan = é limitada inferiormente por 1, mas não é limitada 
superiormente, porque ela atinge valores arbitrariamente grandes. 
• A sequência 2nbn −= é limitada superiormente por zero e ela atinge valores arbitrariamente 
pequenos. Isso faz com que ela não seja limitada inferiormente. 
• Todos os termos da sequência 
1+= n
nan estão entre 0 e 1, o que faz dela uma sequência limitada. O 
crescimento ou decrescimento é deduzido a partir de uma análise da razão 
n
n
a
a 1+ . Para calcular an+1 substitua 
n por n +1 na expressão que define an e, neste caso, obtenha 2
1
1 +
+=+ n
nan 
Assim, 
1
2
12
)2(
)1(
2
22
1 >+
++=+
+=+
nn
nn
nn
n
a
a
n
n 
e, portanto, nn aa >+1 e a sequência é crescente. 
 
104
No Moodle 
 
 
 
 
3.2 Sequências Convergentes 
 
Em alguns exemplos da seção anterior foi abordada a noção intuitiva de convergência e, 
informalmente, pode-se dizer que uma sequência {an} tem limite L ou converge para L quando os termos 
{an} da sequência estiverem arbitrariamente próximos de L ao se fazer n suficientemente grande. Compare 
essa noção de convergência com as informações produzidas pelos gráficos das sequências nas figuras 3.1C e 
3.1D acima, onde o número L em ambos os casos é zero. Passando para a linguagem matemática, isso 
significa que qualquer intervalo aberto que contiver o número L conterá os termos da sequência a partir de 
certo índice N. 
 
Observe pela figura 3.2A que a distância entre os pontos do gráfico da 
sequência, e a reta horizontal y = L torna-se próxima de zero, à medida 
que o índice n cresce. A ideia que passa é que o gráfico da sequência 
toca a reta y = L, quando n for suficientemente grande. Isso até ocorre 
em alguns casos, mas não é regra geral. Se você olhar a figura 3.1C se 
convencerá de que o gráfico daquela sequência jamais tocará o eixo 
horizontal. Para indicar que a sequência {an} tem limite L ou converge 
para o número L, utiliza-se as notações LaLa nn →= ou lim , onde 
está implícito que n→∞. Agora que você absorveu a ideia intuitiva de 
limite, veja a definição formal. 
 
 
 
Definição 3.2A 
Uma sequência {an} tem limite L ou converge para L se para cada 0>ε existir um correspondente número 
natural N tal que 
ε<− Lan sempre que Nn > . 
 
 
 
Observação 
 Para confrontar a noção intuitiva de limite com a definição formal, observe que: 
(a) o número natural N da definição de limite em geral depende do número ε dado; 
(b) sendo a desigualdade ε<− Lan equivalente a ,εε +<<− LaL n ou ainda que na jaz no intervalo 
),( εε +− LL . A definição 3.2A estabelece que fora do intervalo aberto ),( εε +− LL existe no máximo 
uma quantidade finita de termos da sequência ou, em outras palavras, que os termos da sequência a partir da 
ordem N estão dentro do intervalo aberto ),( εε +− LL ; 
(c) a sequência {an} convergir para L significa que as distâncias |an –L| entre an e L se aproximam de zero 
quando n→∞; 
 
Critério da Limitação 
Se uma sequência {an} é convergente, então ela é limitada. 
Corolário 
 Uma sequência que não é limitada não pode convergir. 
 
De fato, se L=lim an, segue da definição de limite, com ε = 1, que existe um número natural N tal que 
|an -L| < 1, sempre que n > N, 
Agora vá à plataforma MOODLE e procure responder as questões e resolver os exercícios referentes ao 
tema estudado. 
 
105
 
e considerando C o maior entre os números a1 , a2 , ... , aN e 1 + |L|, então: 
. todopara , nCLLaLLaa nnn <+−≤+−= 
 
Exemplo 
O critério da limitação é bastante utilizado quando se deseja mostrar que uma dada sequência não 
converge. Por exemplo, as sequências an = n e bn = logn não são limitadas e, consequentemente, não podem 
convergir. 
 
Em geral o limite de uma sequência é calculado por meio de propriedades e regras que são 
estabelecidas a partir da definição de limite. Por exemplo, a distância entre dois termos consecutivos an e an+1 
de uma sequência convergente se aproxima de zero, quando n→ ∞. Para comprovar esse fato, seja L o limite 
da sequência an e use a desigualdade triangular para obter: 
 
| an+1 – an| = | an+1 – L + L − an| ≤ | an+1 − L| +| L – an|. 
 
Para concluir basta observar que os dois termos do lado direito da última desigualdade se aproximam de zero 
com n→ ∞. Como consequência dessa propriedade deduz-se que a sequência an =(-1)n não converge, porque 
a distância entre dois termos consecutivos dessa sequência é sempre 2. É oportuno observar que existem 
sequências que não convergem, e ainda assim, a distância entre quaisquer dois termos consecutivos se 
aproxima de zero, quando n→ ∞. Por exemplo, a sequência an = logn não converge e a distância entre dois 
termos consecutivos dessa sequência se aproxima de zero. De fato, 
 
)/11log(|log)1log(||| 1 nnnaa nn +=−+=−+ 
 
e o lado direito da última igualdade se aproxima de zero, quando n→∞. 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 Existem sequências que crescem arbitrariamente com o índice n, como é o caso da sequência an = n. 
Para essas sequências anota-se ∞=nalim , e existem sequências que decrescem arbitrariamente, à medida 
que n aumenta, como por exemplo, a sequência bn = – n; neste caso anota-se −∞=nblim . Para essas 
sequências, a distância entre dois termos consecutivos é sempre 1, e isso faz com que elas não sejam 
convergentes. Uma sequência que não converge, isto é, que não tem limite finito, é denominada sequência 
divergente. 
 
Observação 
Você deve está se perguntando: o que limite de sequência tem a ver com limite de funções? A 
diferença entre LxfLnf
xn
== ∞→∞→ )(lim e )(lim é que o número n deve ser um número natural. Então, se 
Lxf
x
=∞→ )(lim e nanf =)( , quando n é um número natural, tem-se Lann =∞→lim . Por exemplo, 
1
1
lim1
1
lim =+⇒=+ ∞→∞→ nn
x
x
nx
 
e daí segue que a sequência 
1+= n
nan converge para 1. 
 
 
 
 
Escrevendo para aprender 
Você já deve ter ouvido falar em unicidade do limite de uma função real. Pois é, usando o 
conceito de limite e a desigualdade triangular, deduza que uma sequência convergente não pode ter 
dois limites. 
 
106
 
3.3 Cálculo de limites 
 
As propriedades básicas para o cálculo de limites de sequências são similares àquelas estabelecidas 
para funções reais definidas em intervalos. Elas são demonstradas utilizando a definição de limite. 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre o uso da Regra de L’Hôpital 
Embora não exista uma regra de L’Hôpital para sequências, o limite do quociente an/bn de duas sequências 
que convergem para zero ou têm limite ±∞ pode ser calculado com base na última observação, considerando 
a função que estende o termo geral da sequência. Por exemplo, 
== ∞→∞→ x
x
n
n
xn
loglimloglim (usando a regra de L’Hôpital) 01lim
1
/1lim === ∞→∞→ x
x
xx
. 
Logo, a sequência (logn)/n converge para zero. 
 
3.3A Propriedades algébricas 
Sejam {an} e {bn} duas sequências convergentes com limites L e M, respectivamente. Então: 
(a) limite da soma: MLba nn +=+ )lim( ; 
(b) limite do produto: MLba nn ⋅=⋅ )lim( 
(c) limite do quociente: MLba nn /)/lim( = , se M e cada bn é diferente de zero. 
(d) limite do produto por constante: LCaC n ⋅=⋅ )lim( , sendo C uma constante real. 
 
Com as propriedades algébricas 3.3A, o cálculo de limites torna-se bem prático. Por exemplo, para calcular o 
limite da sequência 
124
3
2
2
+−
+=
nn
nan , coloca-se em evidência o termo de maior grau no numerador e no 
denominador, resultando: 
 
4
1
/1/24
/31lim
)/1/24(
)/31(lim
124
3limlim 2
2
22
22
2
2
=+−
+=+−
+=+−
+=
nn
n
nnn
nn
nn
nan 
 
Para que fique bem claro o procedimento acima, observe os limites do numerador e do denominador 
separadamente. Para o numerador, temos: 
 
10031)/1lim()/1lim(31lim)/31lim( 2 =××+=+=+ nnn 
 
Para o denominador, temos: 
 
400024)/1lim()/1lim()/1lim(24lim)/1/24lim( 2 =×+×−=×+−=+− nnnnn . 
 
3.3B Critério do Confronto 
Sejam {an}, {bn} e {cn} três sequências tais que an ≤ bn ≤ cn , a partir de certa ordem N. Se as sequências {an} 
e {cn} convergem para o mesmo valor L, então a sequência intermediária {bn} também converge para L. 
Escrevendo para aprender 
Seja x um número real tal que –1 < x < 1 e considere a sequência de termo geral an = xn. Se x = 0, a 
sequência an é identicamente nula e, é claro, seu limite é zero. Se x não é zero, então 0 < |x| <1 e 
log|x| está definido, é um número negativo e, além disso, dado 0>ε , então: 
||log
loglog||log||||
x
nxnxx nn εεεε >⇔<⇔<⇔< . 
A última desigualdade sugere escolher o índice N da definição de limite como o primeiro número 
natural maior do que 
||log
log
x
ε
. As sequências (1/2)n, (2/3)n e (1/5)n convergem todas para zero. 
 
107
3.3C Critério do Limite zero 
Se 0lim =na e {bn} é uma sequência limitada (convergente ou não), então o produto anbn tem limite zero. 
 
Exemplo 
Para provar que a sequência nnxn /)(cos= tem limite zero, observe que ela se escreve como o 
produto anbn, onde an = 1/n tem limite zero e bn = cosn é limitada pois – 1 < bn < 1, ∈∀n �. 
 
Você deve ter percebido através dos exemplos que uma sequência limitada pode ser divergente e uma 
sequência monótona também pode divergir. Se uma sequência além de limitada for também monótona, então 
ela será convergente. É isso o que estabelece o seguinte critério. 
 
3.3D Critério da Convergência Monótona 
Uma sequência que é ao mesmo tempo limitada e monótona é convergente. 
 
Exemplo Sequência envolvendo n! 
Se n é um inteiro positivo, define-se o fatorial de n por nn ××××= L321! e convenciona-se 0!=1. 
Considere a sequência de termo geral 
)12(531
!
−××××= n
nan L . 
• {an} é uma sequência limitada, porque )12(531321 −××××≤×××× nn LL e, portanto, 0 ≤ an 
≤ 1, para todo n; 
• {an} é uma sequência decrescente. Basta observar que ,,1
12
11 n
n
n
a
a
n
n ∀<+
+=+ e, 
consequentemente, an +1 < an. 
 
A sequência {an}, sendo monótona e limitada, é convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
108
Unidade II Séries Numéricas 
 
1. Situando a Temática 
 
 Nesta unidade, apresentamos os conceitos e resultados básicos sobre convergência de séries 
infinitas, que formam a base para o desenvolvimento de uma técnica que nos permite aproximar funções por 
polinômios e, ao mesmo tempo, calcular o erro cometido nessa aproximação. Na primeira seção trataremos 
dos fundamentos gerais e nas seções subsequentes serão abordados temas específicos sobre séries de termos 
positivos e séries alternadas. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Uma soma infinita é um processo que sempre nos intriga porque literalmente não podemos somar, 
um a um, uma quantidade infinita de termos. Ao estabelecer que a soma infinita 
 
LL +++++ naaaa 321 
 
dos termos de uma sequência {an} tem valor S (ou converge para o número S) desejamos passar a seguinte 
ideia: o valor da soma a1+ a2+ a3+...+ an torna-se arbitrariamente próxima de S, à medida que o número n de 
parcelas aumenta. Em alguns casos uma soma infinita resulta em um número, como no caso da soma: 
 
12/18/14/12/1 =+++++ LL n , 
 
deduzida a partir da soma de áreas como na figura abaixo. Em outros casos, a soma infinita torna-se 
arbitrariamente grande à medida que se aumenta o número de parcelas. Não parece óbvio, mas isso ocorre 
com a soma: 
∞=+++++ LL n/13/12/11 , 
 
onde mais uma vez recorremos a intuição geométrica em nossa conclusão. 
 
 
 
Por fim, existem somas infinitas com resultado indefinido, como é o caso da soma: 
L+−+−+− 111111 
que pode ser 1, pode ser zero, dependendo de como seus termos são agrupados: 
(1−1) + (1−1) + (1−1) + ··· = 0 ou 1 + (−1+1) + (−1+1) + (−1+1) + ··· = 1. 
Assim, é fundamental nos familiarizarmos com os conceitos de convergência de sequências e somas 
infinitas. 
 
3. Conhecendo a Temática 
 
3.1 Fundamentos Gerais 
 
Para motivar o que será desenvolvido nesta seção apresentaremos como ilustração o cálculo da soma 
infinita: 
 
109
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ··· 
A esta soma infinita associamos uma sequência {Sn}, denominada sequência de somas parciais, definida da 
seguinte maneira: 
S1 = 0.9 
S2 = 0.9 + 0.09 = 0.99 
S3 = 0.9 + 0.09 + 0.009 = 0.999 
S4 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 = 0.9999, 
 
e assim por diante. É natural pensar na soma infinita como o limite da sequência {Sn}, quando n→∞, e 
considerando que 
321
 vêzes
9...999.0
n
nS = 
 
então limSn = 0.9999… é uma dízima periódica. Esse cálculo pode ser feito de outra maneira, escrevendo as 
parcelas da soma infinita como frações ordinárias. Neste caso, a soma infinita se escreve sob a forma: 
LL +++++ n10
9
1000
9
100
9
10
9
, 
de onde segue que: [ ]132 )10/1()10/1()10/1()10/1(1)10/9( −+++++= nnS L 
 
e a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r = 
1/10 e tem valor [1− (1/10)ⁿ]/(1−1/10), isto é: 
 
n
n
nS )10/1(110/11
)10/1(1
10
9 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−= . 
 
Na Unidade I aprendemos que lim(1/10)n = 0 e, dessa forma, limSn = 1. Este exemplo nos conduz à igualdade 
0.9999…= 1, a qual deve ser interpretada como um limite. 
Dada uma sequência {an} de números reais, a soma infinita LL +++++ naaaa 321 será representada 
simbolicamente por ∑∞
=1n
na e denominada série infinita ou simplesmente série; o termo an recebe o nome de 
termo geral da série . Nosso objetivo é estabelecer condições sobrea sequência {an} para que a soma infinita 
∑∞=1n na resulte em um número real. Se este for o caso, a série infinita denomina-se convergente. Conforme 
alertamos no início, literalmente não podemos somar, um a um, um número infinito de termos, entretanto, ao 
escrever Sa
n n
=∑∞=1 queremos dizer que somando um número suficientemente grande de termos a soma 
infinita torna-se arbitrariamente próxima de S. Formalmente, temos a seguinte definição: 
 
Definição 3.1A 
A série ∑∞=1n na é dita convergente quando a sequência {Sn} de suas somas parciais for convergente. Neste 
caso, a soma da série é o limite da sequência {Sn}, isto é: 
nn n
Sa lim
1
=∑∞= 
Quando uma série não for convergente ela será denominada série divergente. Neste caso, a sequência de 
somas parciais {Sn} é divergente, isto é, não tem limite. 
 
Exemplos 
Os primeiros exemplos: série geométrica, série harmônica e série de encaixe 
 
 
 
 
 
110
 
(a) Série Geométrica 
A série ∑∞= −1 1n nr em que o termo geral é 1−= nn ra denomina-se série geométrica de razão r. Neste caso as 
somas parciais são dadas por: 
121 −+++= nn rrrS L 
e no caso em que r ≠ 1, teremos 
r
rS
n
n −
−=
1
1
, obtida como n-ésima soma de uma progressão geométrica de 
razão r. A convergência da série geométrica depende do valor da razão r e será investigada por etapas. Para 
cada número natural n, temos: 
113211 +++ +=++++= nnn
S
nn aSaaaaaS
n
444 3444 21 L , 
de modo que |Sn+1−Sn| = |an+1| e no caso em que r = ±1 teremos |an+1| = |(−1)n+1|=1. Assim, |Sn+1−Sn| = 1 e a 
sequência de somas parciais{Sn} é divergente e, consequentemente, a série geométrica também diverge. 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
Quando r ≠ ±1, então 
r
rS
n
n −
−=
1
1
 e há dois casos a considerar: 
• 1º Caso: |r| < 1 
Neste caso a sequência {rn} converge para zero e, portanto, a limSn = 1/(1−r). Logo, a série geométrica é 
convergente e tem soma 1/(1−r); 
• 2º Caso: |r| > 1 
Neste caso, a sequência {1/rn} converge para zero, porque |1/r| < 1 e, consequentemente, |rn| → ∞ o que nos 
leva a concluir que a sequência {rn} é divergente, o mesmo ocorrendo com a sequência de somas parciais 
{Sn}. Assim, a série geométrica diverge. 
 
Resumo 
Se |r| < 1, então a série geométrica ∑∞= −1 1n nr converge e tem soma 1/(1−r). Se |r| ≥ 1 a série é diverge. 
 
(b) Série Harmônica 
A série ∑∞=1 /1n n recebe o nome de série harmônica devido à semelhança de seus termos aos nós em uma 
corda vibrando (nota musical). Por exemplo, 1/2 produz um harmônico igual ao dobro da frequência 
fundamental, 1/3 produz um harmônico igual ao triplo da frequência fundamental e assim por diante. Como 
vimos na explanação do tema, a série harmônica é divergente, já que ∑∞= ∞=1 /1n n . 
 
(c) Série de Encaixe 
Uma série do tipo LL +−++−+− + )()()( 13221 nn bbbbbb em que os termos se encaixam é 
representada simbolicamente por ∑∞= +−1 1 )(n nn bb e é denominada série de encaixe. A n-ésima soma parcial 
dessa série é: 
11113221 )()()()( ++− −=−+−++−+−= nnnnnn bbbbbbbbbbS L , 
 
de onde deduzimos que: 
 
• Se bn→B, então Sn→b1−B e a série ∑∞= +−1 1 )(n nn bb é convergente e tem soma b1−B; 
Alerta! 
Recorde-se que, se uma sequência {Sn} converge, então as distâncias entre dois termos consecutivos 
|Sn+1 − Sn| aproximam-se de zero, com n→∞ 
 
111
 
• Se a sequência {bn} diverge, então a sequência {Sn} ⎯ e, consequentemente, a série 
∑∞= +−1 1 )(n nn bb ⎯ também diverge. 
Como ilustração, vamos investigar a convergência da série ∑∞= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +1 1logn n
n
. Em primeiro lugar 
observamos que a série se escreve sob a forma ∑∞= +−1 1 )(n nn bb , com bn = logn, e, portanto, trata-se uma 
série de encaixe. Como a sequência bn = logn é divergente (tem limite ∞), então a série de encaixe também 
diverge. Outra série que se enquadra neste modelo é a série ∑∞= +1 2 1n nn . Se considerarmos a decomposição 
1
111
2 +−=+ nnnn 
 
a série identifica-se com a série de encaixe ∑∞= +−1 1 )(n nn bb , com bn = 1/n . Temos que b1 = 1 e limbn = 0 e, 
sendo assim, a série é convergente e tem soma: 
.1lim1 11 2 =−=+∑∞= nn bbnn 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critério do n-ésimo termo 
Se a série ∑∞=1n na é convergente, então o termo geral an tem limite zero. Em outras palavras, se o termo 
geral an não converge ou tem limite diferente de zero, então a série ∑∞=1n na é divergente. 
 
Demonstração: A demonstração baseia-se em um fato que já utilizamos outras vezes: se uma sequência é 
convergente, então a distância entre dois termos consecutivos tem limite zero. Ora, a série ser convergente 
significa que a sequência {Sn} de somas parciais converge e como |an | = |Sn – Sn-1|, então o termo geral an 
converge para zero. 
 
A condição liman=0 não dá informação sobre a convergência da série ∑∞=1n na , sendo necessária 
uma investigação adicional para determinar a convergência ou não da série. O critério do n-ésimo termo é 
utilizado como um critério de divergência, como sugere o seguinte diagrama: 
 
 
 
Raciocinando corretamente 
Quando estudamos séries numéricas pela primeira vez somos induzidos a pensar que a 
convergência do termo geral an é quem determina a convergência da série. Os primeiros 
exemplos nos mostram que o termo geral de uma série divergente pode ter limite zero, como 
ocorre com a série harmônica. Portanto, a convergência do termo geral an não implica na 
convergência da série ∑∞=1n na . O raciocínio correto é: se a sequência de somas parciais {Sn} 
for convergente, então a série será convergente. 
 
112
 
Mais exemplos 
As séries ∑∞= −1 )1(n n e ∑∞= +1 )1/(2n nn são divergentes. A primeira porque o termo geral an = (−1)n não 
tem limite (é divergente) e a segunda porque o termo geral an = 2n/(n+1) embora convergente, não tem limite 
zero. Em ambos os casos o critério do n-ésimo termo foi utilizado. 
 
Como consequência das propriedades básicas do limite, demonstram-se as seguintes propriedades para séries 
numéricas: 
 
Operações com séries 
Sejam ∑∞=1n na e ∑∞=1n nb duas séries numéricas e seja λ uma constante. 
• Se ∑∞=1n na e ∑∞=1n nb são convergentes, então ∑∞= +1 )(n nn ba e ∑∞=1 )(n naλ também convergem e 
valem as relações: 
∑∞= +1 )(n nn ba =∑∞=1n na +∑∞=1n nb e ∑∞=1 )(n naλ = ∑∞=1n naλ ; 
• Se ∑∞=1n na converge e ∑∞=1n nb diverge, então )(1 nn n ba +∑∞= diverge; 
• Se ∑∞=1n na diverge e λ ≠ 0, então ∑∞=1 )(n naλ diverge. 
 
Para ilustrar, vamos demonstrar a primeira propriedade: a soma de duas séries convergentes produz uma 
série convergente. De fato, representando por {Sn} e {Rn} as somas parciais das séries convergentes 
∑∞=1n na e ∑∞=1n nb , respectivamente, então a n-ésima soma parcial da série ∑∞= +1 )(n nn ba é: 
 
.)()(
)()()()(
321321
332211
nnnn
nnn
RSbbbbaaaa
babababaU
+=+++++++++=
=+++++++=
LL
L 
 
Como {Sn} e {Rn} são convergentes, então {Un} é convergente e limUn= limSn+ limRn 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
(a) A série ∑∞
=
+
1
)2/1/1(
n
nn é divergente, porque ∑∞
=1
/1
n
n diverge e ∑∞
=1
)2/1(
n
n converge; 
(b) A serie [ ]∑∞
=
−+
1
1)2/1()3/1(
n
nn é convergente, porque ∑∞
=1
)3/1(
n
n e ∑∞
=
−
1
1)2/1(
n
n são convergentes. A 
soma da série é calculada com auxílio da fórmula padrão da soma de uma série geométrica. Temos: 
• ∑∑ ∞
=
−∞
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−== 1
1
3
1
1
2/1
3/11
1
3
1)3/1()3/1(
n
n
n
n (razão r = 1/3); 
• 2
2/11
1)2/1(
1
1 =−=∑
∞
=
−
n
n (razão r = 1/2). 
Logo, [ ] .2/522/1)2/1()3/1(
1
1 =+=+∑∞
=
−
n
nn 
Escrevendo para aprender 
As demais operações com séries listadas acima são demonstradas de maneira similar.Escreva as 
demonstrações usando os seguintes fatos sobre sequências que você aprendeu na unidade I: 
• Se Sn→L, então λ Sn→λL; 
• Se {Sn} é divergente e λ ≠ 0, então {λSn} também diverge; 
• Se {Sn} converge e {Rn} diverge, então {Sn + Rn} diverge. 
 
113
(c) Pode ocorrer de ∑∞=1n na e ∑∞=1n nb serem divergentes e ∑∞= +1 )(n nn ba convergir. De fato, as séries 
∑∞
=1
/1
n
n e [ ]∑∞
=
+−
1
)1/(1
n
n são divergentes e, ainda assim, a soma termo a termo é a série de 
encaixe∑∞
= +1 2
1
n nn
 convergente. 
 
A natureza (convergente ou divergente) de uma série não é alterada quando acrescentamos ou omitimos uma 
quantidade finita de termos. Por exemplo, as séries ∑∞
=1
/1
n
n e ∑∞
=5
/1
n
n são ambas divergentes, porque elas 
diferem em exatamente quatro termos. Já as séries ∑∞
=1
)3/1(
n
n e ∑∞
=10
)3/1(
n
n diferem em nove termos e são 
ambas convergentes, embora tenham somas diferentes. De forma geral, temos o seguinte: se duas séries 
diferem em uma quantidade finita de termos, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes. 
 
No Moodle ... 
 
 
 
 
 
3.2 Séries de termos positivos 
 
Nesta seção vamos investigar, por meio de critérios específicos, a convergência de uma série ∑∞
=1n
na 
em que todos os termos an são positivos. Para tal série, a sequência de somas parciais {Sn} é monótona 
crescente e sua convergência está condicionada à sua limitação. Uma série ∑∞
=1n
na onde cada termo an é 
maior do que zero é denominada série de termos positivos. O primeiro critério específico para séries de 
termos positivos que abordaremos ⎯ conhecido como Critério da Integral ⎯ relaciona a soma discreta 
(série) com a soma contínua (integral). 
 
Critério da Integral 
Consideremos uma função f:[1,∞)→a contínua e suponhamos que f seja não negativa e não crescente, isto é: 
 (a) f(x) ≥ 0, para x≥1; e (b) f(x) ≥ f(y), sempre que 1 ≤ x ≤ y. 
Nessas condições, se an = f(n) então a série ∑∞
=1n
na é convergente se, e somente se, a integral imprópria 
∫ ∞1 )( dxxf for convergente. 
 
Demonstração: Suponhamos que a função f tenha o aspecto mostrado na figura 3.1B abaixo e comparemos as 
áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f. Temos: 
121132
)( −++≤≤++ ∫ nnn aaadxxfaaa LL , 
isto é: 
,,0 11 nSRaS nnn ∀≤≤−≤ − 
onde Sn = a1 + a2 +…+ an é a n-ésima soma parcial da série e ∫= nn dxxfR 1 )( . Sendo as sequências {Sn} e 
{Rn} monótonas, segue das desigualdades acima que a limitação — e, portanto, a convergência — de uma 
delas implica na limitação e, por conseguinte, na convergência, da outra. Isso prova que as sequências {Sn} e 
{Rn} são ambas convergentes ou ambas divergentes 
Na plataforma MOODLE encontram-se diversas questões que já podem ser respondidas para fixação da 
teoria. Lá você vai encontrar questões do tipo Falso (F) ou Verdadeiro (V), alguns problemas práticos 
de aplicação da série geométrica e séries para testar a convergência. 
 
114
 
 
Exemplos 
(a) A função f(x)=1/x² atende às condições do Critério da Integral no intervalo [1,∞). De fato, nesse 
intervalo a função é claramente contínua e não negativa e como a derivada f′(x) = − 2/x³ é negativa, para x ≥ 
1, então f(x) é decrescente. A integral imprópria ∫ ∞1 2 )/1( dxx é convergente (seu valor é igual a 1) e, por 
conseguinte, a série correspondente ∑∞
=1
2/1
n
n converge. 
(b) Para x ≥ 2, a função f(x) = 1/(xlogx) também atende às condições do Critério da Integral (verifique!) 
e a integral imprópria [ ] ∞== ==∞→∞∫ BxxB xdxxx 21 )log(loglim)log/(1 sendo divergente deduzimos que a série 
∑∞
=2
)log/(1
n
nn também diverge. 
(c) Consideremos agora a função 
2
)( xxexf −= , definida para x ≥ 1. Não é difícil verificar que as 
condições do Critério da Integral são atendidas também neste caso e que a integral imprópria 
∫ ∞ −1 2 dxxe x converge para 1/2e. Logo, a série ∑
∞
=
−
1
2
n
nne é convergente. 
 
3.2.1 p-séries 
 
Uma classe importante de séries numéricas é aquela constituída das séries do tipo ∑∞
=1
/1
n
pn , que levam o 
nome de p-séries e que são bastante utilizadas como séries de prova nos critérios de comparação. O termo 
geral an = 1/np tem limite 1, quando p = 0, e limite ∞, quando p < 0. Em ambos os casos o critério do n-ésimo 
termo estabelece a divergência da série. No caso p > 0 a convergência das p-séries será determinada pelo 
critério da integral e iniciamos a investigação recordando algumas integrais impróprias elementares. Se p > 
0, a função f(x) = 1/xp, definida para x ≥ 1, atende às condições do critério da integral (verifique!) e temos: 
a) se p = 1, então 
∞=== ∞→∞→
∞ ∫∫ Bdxxdxx BBB loglim)/1(lim)/1( 11 
b) se p ≠ 1, então 
 
⎩⎨
⎧
>−
<<∞=−+−=+−==
−
∞→
+−
∞→
−
∞→
∞ ∫∫ 1 se ),1/(1 10 se,)1(lim111limlim)/1( 11
1
11 pp
p
B
pp
xdxxdxx p
B
Bp
B
B p
B
p . 
 
Assim, a integral imprópria ∫ ∞1 )/1( dxx p converge apenas quando p > 1 de onde deduzimos, pelo critério da 
integral, que a p-série ∑∞
=1
/1
n
pn converge quando p > 1 e diverge quando p ≤ 1. No quadro abaixo 
mostramos algumas p-séries convergentes e outras divergentes. 
 
115
 
p-séries convergentes ∑∞
=1
2/1
n
n ∑∞
=1
2/3/1
n
n ∑∞
=1
3/5/1
n
n 
p-séries divergentes ∑∞
=1
/1
n
n ∑∞
=1
/1
n
n ∑∞
=1
3/2/1
n
n 
 
3.2.2 Comparação de séries 
 
Recordemos os seguintes fatos para séries de termos positivos: 
(a) a sequência {Sn} de somas parciais é monótona crescente e será convergente se, e somente se, for 
limitada; 
(b) se a série ∑∞
=1n
na é dominada pela série ∑∞
=1n
nb , isto é, se an ≤ bn , para todo n, então as respectivas 
somas parciais {Sn} e {Rn} satisfazem a relação Sn ≤ Rn, para todo n. 
Esses fatos, juntamente com o critério da convergência monótona para sequências estabelecem o 
seguinte critério de convergência para séries conhecido como Critério da Comparação. 
 
Critério da Comparação 
Sejam ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1n
nb duas séries de termos positivos. 
(a) Se a série ∑∞
=1n
nb converge e an ≤ bn, para todo n, então a série ∑∞
=1n
na também converge. 
(b) Se a série ∑∞
=1n
nb diverge e an ≥ bn, para todo n, então a série ∑∞
=1n
na também diverge. 
 
Demonstração: As afirmações (a) e (b) são equivalentes e provaremos apenas a parte (a). Suponhamos então 
an ≤ bn e que ∑∞
=1n
nb converge. Sejam {Sn} e {Rn} as somas parciais das séries ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1n
nb , 
respectivamente. Como {Rn} é uma sequência limitada, por ser convergente, e 0 ≤ Sn ≤ Rn, para todo n, então 
{Sn}, além de monótona, é limitada e, portanto, convergente. Logo, a série ∑∞
=1n
na converge. 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
(a) Se n ≥ 3, então log n ≥ 1 e, portanto, (log n)/n ≥ (1/n). Como a série harmônica ∑∞
=3
/1
n
n é divergente 
segue do critério da comparação que a série ∑∞
=3
/)(log
n
nn é também divergente. 
(b) As séries ∑∞
=1 !
1
n n
 e ∑∞
= −+1 2 23
1
n nn
 são convergentes, já que elas são dominadas, respectivamente, 
pelas séries convergentes ∑∞
=
−
1
12
n
n e ∑∞
=1
2
1
n n
. 
Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enunciados e 
demonstrados admitindo-se que este domínio ocorra para todos os termos das séries, eles continuam 
válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de determinada ordem. 
 
116
(c) Se a série dominada (a menor) for convergente, então a série dominante (a maior) pode convergir ou 
divergir. Por exemplo, a série convergente ∑∞
=1
2
1
n n
é dominada pela série divergente ∑∞
=1
1
n n
.De modo análogo, 
se a série dominante for divergente, então a série dominada pode convergir ou divergir. 
 
Ao aplicarmos o Critério da Comparação, a série de prova ∑∞=1n nb que desejamos encontrar, além 
de natureza conhecida, deve atender à condição an ≤ bn ou an ≥ bn, conforme o caso, para todo número 
natural n a partir de certo índice N. Dependendo da expressão que define o termo geral an, a desigualdade an 
≤ bn (ou an ≥ bn) pode ser de difícil verificação e o critério da comparação dado a seguir é em geral mais fácil 
de ser aplicado porque, uma vez escolhida a série de prova∑∞=1n nb , nossas conclusões dependem tão-
somente do limite da razão an/bn, com n→∞. 
 
Critério da Comparação no Limite 
Sejam ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1n
nb duas séries de termos positivos e seja )/lim( nn bal = . 
(a) Se l > 0 as séries ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1n
nb são ambas convergentes ou ambas divergentes; 
(b) Se l = 0 e ∑∞
=1n
nb converge, então ∑∞
=1n
na também converge; 
(c) Se l = ∞ e ∑∞
=1n
nb é divergente, então ∑∞
=1n
na também é divergente. 
 
Quando o termo geral an é um quociente, um bom caminho para se chegar a uma série de prova 
∑∞
=1n
nb adequada ao Critério da Comparação no Limite se obtém conservando no numerador e no 
denominador de an apenas os termos dominantes (termos de maior grau no caso de polinômios). Por 
exemplo, para a série ∑∞
= +1 45
6
n n
n temos )45/()6( += nnan e conservando os termos dominantes no 
numerador e no denominador obtemos nnnbn 5/6)5/(6 == . Como 01)/lim( >=nn ba e a p-série 
∑∞
=1n
nb diverge, então ∑∞
=1n
na também diverge. 
 
Exemplo 
Com o critério da comparação no limite deduzimos que as séries ∑∞
=
−
1
2
n
ne e ∑∞
=1
4 )/1(sen
n
n são con- 
vergentes. Basta compará-las com as p-séries convergentes ∑∞
=1
2/1
n
n e ∑∞
=1
4/1
n
n , e notar que: 
.1
/1
)/1(senlim e 0
/1
lim 4
4
2
2
==
−
n
n
n
e n
 
 
3.3 Séries Alternadas 
 
A sequência {Sn} de somas parciais de uma série de termos positivos ∑∞
=1n
na é crescente e sua 
convergência é decorrente da sua limitação. Esse foi o argumento usado na demonstração de critérios de 
convergência estudados até aqui, mais especificamente os Critérios da Comparação e da Integral, os quais 
são válidos apenas para séries de termos positivos. A restrição do Critério da Comparação às séries de termos 
 
117
positivos torna-se clara quando consideramos a série ∑∞
=
−
1
)(
n
n que é dominada pela série convergente 
∑∞
=1
2/1
n
n e, ainda assim, não converge. O critério da comparação no limite também não se aplica se uma das 
séries não for de termos positivos. Se considerarmos 
n
b
n
a
n
nn
)1( e 1 −== , então lim(an/bn) = 0, a 
série ∑∞
=1n
nb , como veremos adiante, converge e, contudo, ∑∞
=1n
na diverge. Neste caso o critério da 
comparação no limite não se aplica porque a série de prova ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
 tem seus termos alternadamente 
positivos e negativos e, por essa razão, ela recebe o nome de série alternada ou série de Leibniz. As séries 
alternadas aparecem, por exemplo, no estudo de fenômenos ondulatórios, cujo modelo matemático tem por 
solução funções representadas por séries trigonométricas (Séries de Fourier): 
 
[ ] ),/()/π()/πcos(),(
1
LxnsenLtnsenbLtnatxu
n
nn π∑∞
=
+= 
 
onde os coeficientes an e bn que aparecem na série determinam a posição inicial e a velocidade inicial, 
respectivamente, de um ponto da onda. As séries alternadas se apresentam em uma das seguintes formas: 
∑∞
=
−=+−++−+−
1
321 )1()1(
n
n
n
n
n bbbbb LL 
ou 
∑∞
=
++ −=+−+−+−
1
11
321 )1()1(
n
n
n
n
n bbbbb LL 
onde {bn} é uma sequência de termos positivos. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 
 
 
Critério de Leibniz 
Seja {bn} uma sequência de termos positivos, monótona decrescente e tal que lim bn = 0. Então a série 
alternada ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n b é convergente e se {Sn} representa a sequência de somas parciais da série, então para 
cada n a soma S satisfaz as seguinte estimativa: 
nn SSS 212 ≤≤− 
 
Demonstração: Um esboço da demonstração é ilustrado na figura 3.1C abaixo onde mostramos as primeiras 
somas parciais da série oscilando de um lado para o outro em torno do alvo S e a distância entre duas somas 
parciais consecutivas tornando-se cada vez menor, porque lim bn = 0. 
 
Como bn decresce, temos que: 
 
Jean-Baptiste Joseph Fourier foi um matemático e físico francês, celebrado por iniciar a 
investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes 
chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da condução do calor. A Transformada 
de Fourier foi designada em sua homenagem. 
 
118
46546
35435
24324
13213
212
11
)(
)(
)(
)(
SbbSS
SbbSS
SbbSS
SbbSS
bbS
bS
≤+−+=
≥−+=
≤+−+=
≥−+=
+−=
−=
−
+
−
+
43421
43421
43421
43421
 
 
Prova-se que as somas S2n decrescem e S2n-1 crescem e ambas convergem para S. Assim, deduzimos as 
estimativas S2n-1 ≤ S ≤ S2n, que podem ser utilizadas para aproximar a soma da série. 
 
Exemplo 
A sequência bn = 1/n é decrescente, tem limite zero e o critério de Leibniz assegura a convergência da série 
alternada ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
. De modo similar, deduzimos que as séries alternadas ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
 e ∑∞
=
−
1 5
)1(
n
n
n
n
são 
convergentes. Considerando os quatro primeiros termos da série ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
, encontramos 
583.04/13/12/114 −≅+−+−=S 
que é uma aproximação (por excesso) da soma da série. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
3.4 Convergência Absoluta 
 
Como vimos no último exemplo, a série alternada ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
 é convergente, enquanto que a série 
obtida desta, considerando cada termo em valor absoluto é a série harmônica ∑∞
=1
1
n n
 divergente. O processo 
inverso preserva a convergência, isto é, se a série ∑∞
=1
||
n
na é convergente, então a série ∑∞
=1n
na também 
converge. Para comprovar este fato primeiro usamos a relação 0 ≤ an + | an | ≤ 2 | an |, ∀n, e o critério da 
comparação para concluir que a série ∑∞
=
+
1
|)|(
n
nn aa é convergente. Em seguida, usamos a relação an = (an + 
|an|) − |an| e deduzimos que ∑∞
=1n
na é convergente, como soma de duas séries convergentes. Além disso, se Sn 
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanover, 14 de novembro 
de 1716) foi um filósofo, cientista, matemático, diplomata e bibliotecário alemão.A ele é 
atribuída a criação do termo "função" (1694), que usou para descrever uma quantidade 
relacionada a uma curva, como, por exemplo, a inclinação ou um ponto qualquer situado 
nela. É creditado a Leibniz e a Newton, o desenvolvimento do cálculo moderno, em 
particular o desenvolvimento da Integral e da Regra do Produto. Demonstrou genialidade 
também nos campos da lei, religião, política, história, literatura, lógica, metafísica e filosofia. 
 
119
e Rn representam as somas parciais das séries ∑∞
=1n
na e ∑∞
=1
||
n
na , respectivamente, segue da desigualdade 
triangular que: 
| Sn | = | a1 + a2 +...+ an | ≤ | a1| + | a2| + ··· + | an| = Rn, 
 
e, portanto, lim Sn ≤ lim Rn. Assim, 
.||
11
∑∑ ∞
=
∞
=
≤
n
n
n
n aa 
 
Esses comentários motivam as definições de Convergência Absoluta e Convergência Condicional dadas a 
seguir. 
 
Definição 3.1B 
A série ∑∞
=1n
na denomina-se absolutamente convergente quando a série ∑∞
=1
||
n
na for convergente. 
 
Exemplo 
As séries ∑∞
=
−
1
2
)1(
nn
n
 e ∑∞
=
−
1 2
)1(
n
n
n
 convergem absolutamente. A série ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
 embora convergente, não 
converge absolutamente, conforme observamos no início desta seção. A convergência dessa última série é de 
natureza condicional. 
 
Definição 3.1C 
A série ∑∞
=1n
na denomina-se condicionalmente convergente se for convergente e a série ∑∞
=1
||
n
na for 
divergente. 
 
A natureza da convergência (absoluta ou condicional) irá decidir se as somas infinitas se comportam 
como somas finitas, com respeito ao reagrupamento de seus termos. Em uma soma finita, é claro, seus 
termos podem ser reagrupados (ou rearranjados) sem que o valor da soma seja alterado. Nesse aspecto uma 
série absolutamente convergente se comporta como uma soma finita. Isso é estabelecido pelo seguinte 
critério: 
 
Critério do Reagrupamento 
Se a série ∑∞
=1n
na converge absolutamente e tem soma S, então a série ∑∞
=1n
nb obtida da série ∑∞
=1n
na por um 
reagrupamento de seus termos é absolutamente convergente e tem soma S. Em uma série condicionalmente 
convergente, um reagrupamento de seus termos pode alterar o valor de sua soma e até torna-la divergente. 
 
3.4.1 O Critério da Razão 
 
O critério de convergência que daremos a seguir, embora não conclusivo em alguns casos, constitui-
se em um dos mais importantes (senão o mais importante) dentre os critérios de convergência para séries 
numéricas, não apenas do ponto de vista técnico como também nas aplicações às Séries de Potências que 
serão abordadas na próxima unidade. 
 
Critério da Razão 
Dada uma série ∑∞
=1n
na , com an ≠ 0, ∀ n, seja 
n
n
a
a
L 1lim += . 
(a) Se L < 1, então a série converge absolutamente; 
(b) Se L > 1 ou L = ∞, então a série diverge. 
 
120
Exemplo 
Consideremos a série ∑∞
=
−
1
2
!
)1(
n
n
n
n
 em que o termo geral é 
!
)1( 2
n
na
n
n
−= . Temos: 
001
1
1)1(lim
)1(
!
)!1(
)1()1(limlim 2
2
2
21
1 =×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+×
+=−×+
+−==
+
+
nn
n
n
n
n
n
a
a
L n
n
n
n . 
Como L<1, então a série ∑∞
=
−
1
2
!
)1(
n
n
n
n converge absolutamente. 
 
Exemplo 
Para as séries ∑∞
=
−
1
2
)1(
n
n
n
, ∑∞
=
−
1
)1(
n
n
n
 e ∑∞
=1
1
n n
, o limite da razão nn aa /1+ é igual a 1 e o Critério da Razão 
não se aplica. A convergência deve ser investigada por outros argumentos. A primeira converge 
absolutamente, porque ∑∑ ∞
=
∞
=
=−
1
2
1
2
1)1(
nn
n
nn
 é convergente. A segunda, conforme foi estabelecido, converge 
condicionalmente e a terceira é a série harmônica divergente. Este exemplo mostra que o Critério da Razão 
não se aplica aos casos em que a razão nn aa /1+ tem limite 1. 
 
3.4.2 Estratégia para testar a convergência de uma série 
 
Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência 
de uma série numérica e a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade 
também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. 
Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação. 
 
1. Se lim an ≠ 0 ou a sequência {an} é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para 
concluir que a série ∑ an diverge; 
2. Se a série é da forma ∑∞
=
−
1
1
n
nrα ela é uma série geométrica, que converge para α/(1 – r) se |r| < 1 e 
diverge se |r| ≥ 1; 
3. Se a série é da forma ∑∞
=
+−
1
1 )(
n
nn bb ela é uma série de encaixe, que converge para nbb lim1 − , se 
{bn} convergir. Se {bn} divergir a série de encaixe também diverge; 
4. Se a série é da forma ∑∞
=1
/1
n
pn ela é uma p-série e será convergente apenas quando p > 1; 
5. Nos outros casos tenta-se o Teste da Razão seguindo o esquema: 
 
 
 
No Moodle 
 
 Com as unidades I e II montamos o cenário para a apresentação do personagem principal ⎯ as séries 
de potências ⎯ que discutiremos na próxima unidade. É fundamental você se familiarizar com os 
conceitos e critérios de convergência para sequências e séries numéricas e, por isso, recomendamos 
que você vá à plataforma MOODLE e resolva os exercícios para a fixação da teoria. 
 
121
Unidade III Séries de Potências 
 
1. Situando a Temática 
 
 O objetivo principal desta unidade é representar as funções elementares do cálculo como séries de 
potências, que são aquelas séries cujos termos contêm potências de uma variável x. Ao mesmo tempo 
apresentaremos uma técnica que nos permite aproximar funções por polinômios. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 As séries de potências aparecem em muitos problemas da Física-Matemática, como por exemplo, em 
fenômenos ondulatórios e distribuição de temperatura em placas, onde recorremos às funções de Bessel: 
∑∞
=
+
+
−=
0
2
)!(!
)2/()1()(
n
knn
k knn
xxJ 
que são tipos especiais de séries de potências, para descrever determinados modelos. Além de produzir 
aproximações polinomiais, as séries de potências fornecem uma maneira eficiente de avaliar integral não 
elementar, a exemplo da integral ∫ 10 2 dxe x , e resolver equações diferenciais que nos permitem compreender 
fenômenos físicos como a transmissão de calor e de sinais e vibrações. 
 
3. Conhecendo a Temática 
 
3.1 Fundamentos Gerais 
 
São séries de potências as séries do tipo: 
LL +−++−+−+−+ nn axcaxcaxcaxcc )()()()( 332210 , 
 
representadas simbolicamente por: 
∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc , 
onde, por simplicidade, convencionamos (x − a)0 = 1, quando x = a. Se considerarmos na série cn = 1, para 
todo n, a série se torna uma série geométrica de razão x − a, convergente quando |x − a| < 1. O número real a 
denomina-se centro da série e os números cn os coeficientes. Um caso particular ocorre quando a = 0 e, neste 
caso, a série de potências resultante será: 
LL ++++++ nn xcxcxcxcc 332210 , 
 
simbolicamente representada por: 
∑∞
=0n
n
n xc 
 
onde, mais uma vez, convencionamos x0 = 1, quando x= 0. 
Ao lidarmos com séries de potências, duas perguntas naturais que surgem são: para que valores reais 
atribuídos a x a série de potências é convergente? Se f é a função representada pela série, qual a relação entre 
f e os coeficientes cn da série? É claro que toda série de potências do tipo ∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc é convergente 
quando x = a, sendo, neste caso, a soma da série igual a c0. O conjunto dos valores reais atribuídos a x que 
tornam a série de potências convergente é, portanto, não vazio e para tal x a série representa um número real 
que é a sua soma. Dessa forma, a série de potências ∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc define uma função real f cujo valor em x 
é: 
∑∞
=
−=
0
)()(
n
n
n axcxf 
 
122
e cujo domínio é precisamente o conjunto dos números x para os quais a série converge. Uma série de 
potências se assemelha a um polinômio, com a diferença de possuir uma infinidade de termos, e a função que 
ela representa é aproximada em seu domínio (intervalo de convergência) pelos polinômios Sn, que são as 
somas parciais da série. As relações entre a função f e os coeficientes cn da série serão estabelecidas na Seção 
3.2. 
Os valores de x que tornam uma série de potências convergente serão determinados pelo Critério da 
Razão, sendo o caso extremo (L = 1) analisado em separado. Para ilustrar algumas situações, admitiremos 
que as operações Derivação e Integração sejam possíveis termo a termo para séries. É claro que podemos 
derivar e integrar termo a termo no caso de uma soma finita e as generalizações para somas infinitas 
trataremos adiante na Seção3.1.2. 
 
Exemplo Representando a função ex em séries de potências 
A série de potências ∑∞
=0 !n
n
n
x
 é absolutamente convergente para qualquer valor da variável x. Para comprovar 
esse fato, observamos que o termo geral da série é an = xⁿ/n! e: 
 
.,0
1
1lim||!
)!1(
limlim
1
1 x
n
x
x
n
n
x
a
a
L n
n
n
n ∀=+=×+==
+
+ 
Como L = 0, independentemente do valor real que se atribua a x, segue do Critério da Razão que a série 
converge absolutamente, seja qual for o valor real assumido pela variável x, e, sendo assim, podemos definir 
uma função real f: �→� por: 
∑∞
=
=+++++=
0
2
!!!2
1)(
n
nn
n
x
n
xxxxf LL . 
 
Formalmente, derivamos termo a termo a função f com respeito à variável x e encontramos: 
 
)(
)!1(
)(
1
1
xf
n
xxf
n
n
=−=′ ∑
∞
=
−
 
 
e, por conseguinte, a função f(x) satisfaz à equação diferencial: 
 
0)()( =−′ xfxf 
 
 para qualquer valor de x. Para deduzir que f(x) = ex, basta observarmos que: 
 
x
e
xfxf
e
xf
dx
d
xx ∀=−
′=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ,0)()()( 
 
e, portanto, f(x) = Cex, sendo C uma constante. Notando que f(0) = 1, segue que C = 1 e obtemos f(x) = ex, 
para todo x. Assim, obtivemos a seguinte série de potências para representar a função exponencial: 
 
∑∞
=
=
0 !n
n
x
n
xe 
 
e esta representação é válida seja qual for o valor de x real. 
 
 
Nota histórica 
Por volta de 1748 Leonhard Euler usou a representação em série de potências de ex, com x = 1, para obter o 
valor do número e com 23 dígitos. Em 2000, X. Gourdon e S. Kondo usaram a mesma representação e 
técnicas especiais e obtiveram o valor para e com mais de 10 bilhões de casas decimais. Consulte 
<www.numbers.computation.free.fr> 
 
 
123
Ampliando seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 3.1A exibimos os gráficos da função ex e das primeiras somas parciais da série ∑∞
=
=
0 !n
n
x
n
xe onde 
observamos que à medida que n aumenta o gráfico da n-ésima soma Sn aproxima-se do gráfico da função ex. 
 
 
 
Exemplo Um valor aproximado para ∫ 10 2 dtet 
 
Se na série de ex a variável x for substituída por t², obteremos: 
∑∞
=
=
0
2
!
2
n
n
t
n
te , 
 
para qualquer valor de t, e integrando de 0 até 1, termo a termo, resultará: 
 
∑∫ ∑∑∫ ∞
=
∞
=
∞
=
=
=
+
+=+== 0
1
0
00
1
0
1221
0 )12(!
1
)12(!!
2
n nn
t
t
nn
t
nnnn
tdt
n
tdte . 
 
A integral que aparece no lado esquerdo da relação acima não pode ser calculada pelos métodos elementares 
do cálculo integral e essa relação permite que ela seja calculada numericamente. Aí está uma boa razão para 
representarmos as funções elementares do cálculo por séries de potências. Por exemplo, aproximando a série 
pela soma parcial S4, obtemos: 
.4571.1
42
1
10
1
3
11
1
0
2 ≅+++≅∫ dtet 
 
Exemplo Representação para log(1+x) e arctg x 
 
Vimos na unidade II que a série geométrica ∑∞
=0n
nx é convergente quando |x| < 1, e somente neste caso. 
Quando aplicamos o Critério da Razão a essa série deduzimos que para esses valores de x a convergência é 
absoluta e conforme estabelecemos: 
Leonhard Euler 
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. 
Leonhard Paul Euler (Basileia, 15 de Abril de 1707 - São Petersburgo, 18 de Setembro 
de 1783) foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de 
sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos 
variados nos Cálculos e Teoria dos Grafos. Ele também fez muitas contribuições para a 
matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para a Análise 
Matemática, como a noção de uma função matemática. Além disso, ficou famoso por 
seus trabalhos em mecânica, ótica e astronomia. Euler é considerado o mais proeminente 
matemático do século XVIII. Foi também um dos mais prolíficos.Uma declaração 
atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a 
matemática: “Leia Euler, leia Euler, ele é o comandante de todos nós.” 
 
124
.11,
1
1
0
<<−=− ∑
∞
=
xx
x n
n 
Se na última igualdade trocarmos x por −x e depois x por x², obteremos, respectivamente: 
 
11,)1(
1
1 e)1(
1
1
0
2
2
0
<<−−=+−=+ ∑∑
∞
=
∞
=
xx
x
x
x n
nn
n
nn . 
 
Por integração termo a termo de 0 até x, −1 < x < 1, resulta, respectivamente: 
 
11,
12
)1( e
1
)1()1log(
0 0
121
<<−+
−=+
−=+ ∑ ∑∞
=
∞
=
++
x
n
xarctgx
n
xx
n n
nnnn
. 
 
Usando o Critério de Leibniz para séries alternadas podemos verificar sem maiores dificuldades que a série 
de potências que representa arctg x encontrada acima também converge quando x = ±1. O que não é óbvio, 
embora seja verdadeiro, é que a representação é ainda válida em x = ±1 e considerando x = 1, encontramos a 
fórmula de Leibniz para o número π: 
L+−+−=
7
1
5
1
3
11
4
π . 
 
Exemplo Representação para log x em série de potências de x −1 
 
Para representar a função log x por uma série de potências de x −1, procedemos como no exemplo precedente 
e começamos escrevendo: 
1|1| para,)1()1(
)1(1
11
0
<−−−=−+= ∑
∞
=
tt
tt n
nn , 
 
e integrando essa igualdade, termo a termo, de 1 até x, encontramos: 
∑∞
=
+
+
−−=
0
1
1
)1()1(log
n
nn
n
xx , 
 
representação válida para |x − 1| < 1, isto é, 0 < x < 2. 
 
Existem séries de potências que convergem em um único valor de x, como é o caso da série∑∞
=0
!
n
nxn , 
que converge somente quando x = 0, porque neste caso: 
⎩⎨
⎧
≠∞
==+== +
0 se,
0 se,0
)1lim(lim 1
x
x
nx
a
a
L
n
n 
 
e existem séries para as quais o conjunto de valores de x onde elas convergem é maior do que aquele 
determinado pelo critério da razão. Isso ocorre quando o caso extremo L = 1 é analisado separadamente, 
fornecendo dois valores para x onde a série pode convergir absolutamente ou convergir condicionalmente. 
No caso da série que representa a função arctg x ela converge, também, nos pontos x = ±1, obtidos a partir de 
L = 1. Outro exemplo que ilustra essa situação é dado a seguir. 
 
Exemplo Usando o critério da razão 
 
Apliquemos o critério da razão à série∑∞
=
+−
1
1)3(
n
n
n
x
. Neste caso temos: 
3
1
lim3
)3(1
)3(limlim 1
2
1 −=+−=−×+
−== +
+
+ x
n
nx
x
n
n
x
a
a
L n
n
n
n 
 
125
e, portanto, a série converge absolutamente quando |x−3| <1, o que equivale a 2 < x < 4, e diverge quando 
|x−3| > 1. Essa é a informação contida no critério da razão e a convergência da série nas extremidades desse 
intervalo não pode ser prevista antecipadamente. Esse é o caso extremo L=1 que será analisado agora. A 
equação |x − 3| = 1 tem soluções x1 = 4 e x2 = 2 e, levando estes valores na série original, obtemos a série 
divergente∑∞
=1
1
n n
, para x = 4, e a série (condicionalmente) convergente ∑∞
=
+−
1
1)1(
n
n
n
, para x = 2. Portanto, o 
conjunto dos valores de x que tornam a série convergente é o intervalo semiaberto 2 ≤ x < 4. 
 
3.1.1 Intervalo de convergência 
 
Nos exemplos apresentados no início desta seção, verificamos que uma série de potências 
∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc pode convergir apenas quando x = a, pode convergir absolutamente em qualquer valor de x 
ou pode ser absolutamente convergente em um intervalo |x−a| < R e divergente quando |x−a| > R, podendo 
ser convergente ou não nos extremos desse intervalo. Esse número real R, que é o raio do intervalo, é 
denominado raio de convergência da série e o intervalo correspondente é o intervalo de convergência. O 
intervalo de convergênciade uma série de potências pode ser de qualquer um dos seguintes tipos: 
 
(a−R, a +R), [ a−R, a +R), ( a−R, a+R] ou [a −R, a +R], 
 
dependendo da convergência ou não da série nos extremos do intervalo. As informações fornecidas pelo 
critério da razão estão ilustradas na figura 3.1B abaixo. 
 
 
 Para séries de potências do tipo∑∞
=0n
n
n xc , onde o centro é a = 0, o intervalo de convergência pode ser de 
qualquer um dos tipos [−R, R], [ −R, R), ( −R, R] ou (−R, R). Na tabela abaixo ilustramos essas situações 
com algumas séries apresentadas na introdução, indicando as respectivas funções que elas representam no 
intervalo de convergência. Adiante formalizaremos os resultados para séries de potências em geral. 
 
série raio de convergência intervalo de convergência 
∑∞
=
=
0 !n
n
x
n
xe R = ∞ (−∞,∞) 
∑∞
=
=
0
!0
n
nxn R = 0 {0} 
∑∞
=
=− 01
1
n
nx
x
 R = 1 (−1,1) 
∑∞
=
−=+ 0 )1(1
1
n
nn x
x
 R = 1 (−1,1) 
∑∞
=
+
+
−=
0
12
12
)1(
n
nn
n
xarctgx R = 1 [−1,1] 
 
Teorema 3.1 
Com relação à série de potências∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc , apenas uma das condições abaixo se verifica: 
 (a) a série converge apenas quando x = a; 
 
126
 (b) a série converge absolutamente para qualquer valor que se atribua a x; 
 (c) existe um número real R > 0, denominado raio de convergência, tal que a série converge absolutamente 
quando |x − a| < R e diverge quando |x − a| > R.. 
 
Com relação ao raio de convergência R estabelecido no Teorema 3.1, nos casos em que ocorrer a 
condição (a) diremos que o raio de convergência é R = 0 e quando a série for convergente em qualquer valor 
de x diremos que o raio de convergência da série é R = ∞. Assim, toda série de potências tem um raio de 
convergência que pode ser zero, um número real positivo ou ∞. Uma maneira prática de calcular o raio de 
convergência de uma série de potências é estabelecida a seguir. 
 
Teorema 3.2 
Se o limite l = lim|cn+1/cn| existe e é diferente de zero, então o raio de convergência R da 
série∑∞
=
+−
0
)(
n
pkn
n axc , sendo k > 0, é igual a (1/l)1/k. Se l = 0, então R = ∞ e se l = ∞, então R = 0. 
 
Demonstração: Representando por an o termo geral da série, então pknnn axca
+−= )( e temos: 
lax
c
c
ax
axc
axc
a
a
L k
n
nk
pkn
n
pkkn
n
n
n ×−=−=−
−== ++
++
++ 111 lim
)(
)(
limlim 
 
e usando o critério da razão deduzimos que: se l = 0, então L = 0 e a série converge absolutamente em 
qualquer valor que se atribua a x e, neste caso, R = ∞; se l = ∞, então a única possibilidade de se ter L < 1 
ocorre quando x = a e, neste caso, R = 0; finalmente, se 0 < l < ∞, então a série converge absolutamente se |x 
− a| k × l < 1, isto é, |x − a| < (1/l)1/k e diverge se |x − a| k × l > 1, isto é, |x − a| × l > (1/l)1/k . Neste caso 
deduzimos que R = (1/l)1/k. 
 
Exemplo 
Na série ∑∞
=
−
0 10
)5(!
n
n
nxn
 vemos que a = 5 e cn = n!/10ⁿ, de modo que: 
∞=+=×+== ++ 10
1lim
!
10
10
)!1(limlim 1
1 n
n
n
c
c
l
n
n
n
n . 
Assim, R = 0 e a série converge apenas quando x = 5. Procedendo de maneira inteiramente análoga com a 
série∑∞
=
−−
0 !
)4(3)1(
n
nnn
n
x
, obtemos: 
0
3
!
)!1(
3limlim
1
1 =×+==
+
+
n
n
n
n n
nc
c
l 
o que indica ser R = ∞ e a série converge absolutamente para qualquer valor atribuído a x. O intervalo de 
convergência, neste caso, é (− ∞, ∞). 
 
Exemplo 
Consideremos a série∑∞
=0
2
24
n
nn
n
x
, onde temos a = 0, k = 2 e cn = 4n/n2, de modo que 
4
)1(
lim4
4)1(
4limlim 2
22
2
1
1 =+×=×+==
+
+
n
nn
nc
c
l n
n
n
n 
Assim, R = (1/4)1/2 = 1/2 e a série converge absolutamente quando |x| < 1/2 e diverge quando |x| > 1/2. Nos 
pontos extremos x = ±1/2 obtemos a p-série convergente ∑1/n². Logo, a série converge absolutamente no 
intervalo [−1/2, 1/2]. 
 
 
 
 
127
3.1.2 Derivação e Integração 
 
Como observamos anteriormente, uma série de potências ∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc define uma função real 
cujo domínio é o intervalo de convergência da série. A série derivada∑∞
=
−−
1
1)(
n
n
n axnc , que é obtida por 
derivação termo a termo, tem o mesmo raio de convergência da série original, o que é facilmente 
comprovado, notando-se que: 
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
n
n
nc
cn 111 limlim1lim
)1(
lim +++ =×+=+ , 
 
quando o último limite existir. O mesmo é válido para a série integral ∑∞
=
+
+
−
0
1
1
)(
n
n
n
n
axc
 e, neste caso: 
 
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
n
n
c
n
n
c 111 limlim
2
1lim1
2
lim +++ =×+
+=+×+ , 
 
onde, mais uma vez, admitimos a existência do último limite. 
 Os processos de derivação e integração termo a termo para série de potências são motivados pelas funções 
polinomiais, para as quais essas operações são óbvias. Formalmente temos os resultados seguintes: 
 
Teorema 3.3 (derivação termo a termo) 
Se a série ∑∞
=
−
0
)(
n
n
n axc tem raio de convergência R > 0, então a série∑∞
=
−−
1
1)(
n
n
n axnc , obtida por 
derivação termo a termo, tem raio de convergência R, a função ∑∞
=
−=
0
)()(
n
n
n axcxf é derivável no 
intervalo (a−R, a+R) e neste intervalo ∑∞
=
−−=′
1
1)()(
n
n
n axncxf . 
 
Teorema 3.4 (integração termo a termo) 
Se a série ∑∞
=
−=
0
)()(
n
n
n axcxf tem raio de convergência R > 0, então a série∑∞
=
+
+
−
0
1
1
)(
n
n
n
n
axc
, obtida por 
integração termo a termo, tem raio de convergência R e para cada x no intervalo de convergência 
∑∑∫ ∞
=
+∞
=
=
=
+
+
−=+
−=
0
1
0
1
1
)(
1
)(
)(
n
n
n
n
xt
at
n
nx
a n
axc
n
atcdttf . 
 
Esses teoremas sobre derivação e integração de séries de potências justificam plenamente aquelas 
operações feitas na introdução, quando obtivemos o desenvolvimento de algumas funções em séries de 
potências. Naquela ocasião efetuamos, formalmente, a derivação e a integração termo a termo. As 
demonstrações desses teoremas podem ser encontradas nas referências bibliográficas. 
 
Exemplo 
Como veremos adiante, a função senx é representada no intervalo (−∞, ∞) pela série: 
LL ++
−+−+−=
+
)!12(
)1(
!5!3
1253
n
xxxxsenx
nn
 
e por derivação termo a termo obtemos a seguinte representação em série para a função cos x: 
 
128
LL +−+−+−=
)!2(
)1(
!4!2
1cos
242
n
xxxx
nn
, −∞ < x < ∞. 
Em símbolos essas séries se escrevem sob a forma: 
 
∞<<∞−−=+
−= ∑∑ ∞
=
∞
=
+
x
n
xxc
n
xsenx
n
nn
n
nn
,
)!2(
)1(os e 
)!12(
)1(
0
2
0
12
 
 
Combinando as séries de senx e cosx e usando alguns artifícios simples encontramos séries que 
representam as funções sen²x, cos²x e x²senx. Por exemplo, a série de sen²x é obtida usando a relação sen²x = 
(1−cos2x)/2 juntamente com a série que representa cos x, com 2x no lugar de x. Veja este procedimento 
passo-a-passo: 
∑∑
∑∑∑
∞
=
+∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
×
−=−=⇒−=−
⇒−+=−=⇒−=
0
21
2
0
21
1
2
0
2
0
2
)!2(2
4)1(
2
2cos1
)!2(
4)1(2cos1
)!2(
4)1(1
)!2(
)2()1(os2
)!2(
)1(os 
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nn
n
nn
n
xxxsen
n
xx
n
x
n
xxc
n
xxc
 
 
Já a série de x²senx é obtida simplesmente multiplicando a série de senx por x². Neste caso, obtemos: 
∑∑ ∞
=
+∞
=
+
+
−=+
−=
0
32
0
12
22
)!12(
)1( 
)!12(
)1(
n
nn
n
nn
n
xn
xxsenxx . 
 
Exemplo 
Considerando a série geométrica ,11,
1
1
0
<<−=− ∑
∞
=
xx
x n
n obtemos por derivação termo a termo a 
seguinte representação em série para a função 1/(1−x)2: 
∑∑ ∞
=
−∞
=
=−⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
− 1
1
1
2)1(
1)(
1
1
n
n
n
n nx
x
x
dx
d
xdx
d . 
Multiplicando a última série por x, chegamos a: 
L++++==− ∑
∞
=
432
1
2 432)1(
xxxxnx
x
x
n
n 
 
3.2 Séries de Taylor e de Maclaurin 
 
As funções ex e (1−x)−1 foram representadas em séries de potências sem maiores dificuldades; no 
primeiro caso, usamos derivação termo a termo e, no segundo, uma série geométrica. Existem funções que, 
embora infinitamente deriváveis em um ponto a, não podem ser representadas nas proximidades de a por 
uma série de potências de x − a. As funções que podem ser representadas por séries de potências de x − a são 
aquelas infinitamente deriváveis em algum intervalo aberto contendo a e que neste intervalo estão 
arbitrariamente próximas do seu Polinômio de Taylor. Se f(x) é uma função derivável até a ordem n em um 
intervalo aberto contendo a, o Polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio Pn(x) 
dado por: 
n
n
n axn
afaxafaxafafxP )(
!
)()(
!2
)()(
!1
)()()(
)(
2 −++−′′+−′+= L . 
 
Se considerarmos a = 0 obteremos o Polinômio de Maclaurin de f: 
x
n
fxfxffxP
n
n !
)0(
!2
)0(
!1
)0()0()(
)(
2 ++′′+′+= L . 
 
No caso da função f(x) = ex, o Polinômio de Maclaurin de ordem n é: 
,
!!2!1
1)(
2
n
xxxxP
n
n ++++= L 
 
129
o qual coincide com a n-ésima soma parcial Sn da série que representa a função ex. Para esta função, usando o 
fato que lim (rⁿ/n!) = 0, seja qual for o número real r, deduzimos que se 0 < ξ < x, então 
 
0
)!1(
)(lim)(
)!1(
)(lim
1
1
)1(
=+
−=−+
+
+
+
n
axeax
n
f nnn ξξ . 
 
O resultado principal desta seção, conhecido como Fórmula de Taylor com Resto, estabelece uma condição 
necessária e suficiente para que uma função infinitamente derivável possa ser aproximada pelo seu 
Polinômio de Taylor. 
 
Teorema 3.5 (fórmula de Taylor com resto) 
Seja f(x) uma função derivável até a ordem n +1 em um intervalo I contendo a no seu interior. Dado qualquer 
x nesse intervalo, existe um número ξ entre a e x tal que: 
.)(
)!1(
)()()( 1
)1(
+
+
−++=
n
n
n axn
fxPxf ξ 
 Além disso, se f é infinitamente derivável no intervalo I, a sequência {Pn (x)} converge para f(x) se, e 
somente se: 
0)(
)!1(
)(lim 1
)1(
=−+
+
+
n
n
ax
n
f ξ
. 
O termo 1
)1(
)(
)!1(
)()( +
+
−+=
n
n
n axn
fxR ξ denomina-se resto da aproximação da função f pelo seu Polinômio 
de Taylor. 
Corolário 
Se existirem constantes M e r tais que 1)1( )( ++ ≤ nn Mrf ξ , para todo n =1, 2, 3,… e todo ξ entre a e x, então 
)!1(
)(
11
+
−≤
++
n
axMr
xR
nn
n , para todo n. 
Neste caso, limRn(x) = 0. 
 
Se f é uma função infinitamente derivável em um intervalo aberto contendo a e se {Sn(x)} representa 
a sequência de somas parciais da série n
n
n
ax
n
af )(
!
)(
0
)(
−∑∞
=
, então a condição limRn(x) = 0 nos conduz a 
 [ ] )()(lim)()()(lim)(lim)(lim xfxRxfxRxfxPxS nnnn =−=−== 
 
e, portanto, a série converge para f(x) em cada x do intervalo de convergência. Assim, 
 
n
n
n
ax
n
afxf )(
!
)()(
0
)(
−= ∑∞
=
. 
 
Em homenagem ao matemático inglês Brook Taylor (1685-1731), essa série denomina-se Série de Taylor de 
f em torno de x = a. No caso em que a = 0, a série de Taylor correspondente recebe o nome de Série de 
Maclaurin de f, em homenagem ao matemático escocês Colin Maclaurin (1698-1746) que a popularizou em 
suas publicações. 
 
Exemplo 
Se f(x) = ex, temos que f (n)(0) = 1, para todo n, e, portanto, a série de Maclaurin de ex é aquela obtida na 
introdução. 
 
Exemplo 
Se f(x) = senx, então f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −1, f (4)(0) = 0, e assim por diante. De forma 
geral, ξξξξ cos)( e )( )12()2( ±=±= −nn fsenf e, portanto, o resto Rn(x) tende para zero, quando n→ ∞, 
comprovando que a Série de Maclaurin de senx é de fato aquela que mencionamos na seção anterior. 
 
 
130
 
3.2.1 Aproximação Polinomial 
 
Ao aproximar uma função f(x) pelo polinômio de Taylor Pn(x) gerado por ela devemos ter em mente 
dois aspectos: (i) se a aproximação atende as expectativas e (ii) que grau deve ter o polinômio Pn(x) para 
obtermos a precisão desejada. O grau do polinômio determina o número de termos que devem ser 
considerados na aproximação e o erro é estimado usando relação 
)()()( xPxfxR nn −= . 
 
Se a série for alternada a estimativa de Leibniz para séries alternadas pode ser utilizada para medir o 
tamanho do erro. Em qualquer caso podemos usar a Fórmula de Taylor para obtermos: 
1)1(
11
|)(|,
)!1(
)( ++
++
≤+
−≤ nn
nn
n Mrxfonden
axMr
xR 
 
Exemplo aproximando log(1+ x) por x 
Vamos encontrar os valores positivos de x de modo que ao aproximar log(1+x) por x o erro não ultrapasse 
1% do valor de x. Na seção 3.1 encontramos 
∑∞
=
+
+
−=+
0
1
1
)1()1log(
n
nn
n
xx , 
válida no intervalo −1< x < 1. Se f(x) = log(1 + x) e 0 < ξ < x < 1, então 
!2!2)1(
1
!2
)()(
22
2
2
1
xxxfxR ≤×+=
′′= ξ
ξ
 
e para o erro não ultrapassar 1% do valor de x, basta considerar x2/2 < x/100, isto é, x < 0.02. 
Exemplo aproximação quadrática para f(x) = ex 
Ao considerarmos a aproximação quadrática 
1.0 intervalo no,1 221 <++≅ xxxe x , 
cometemos um erro que pode ser estimado pela Fórmula de Taylor ou pelo Critério de Leibniz, no caso em 
que x < 0. De fato, o resto é dado por: 
.10)76.1(
6
)1.0(
!3
)()( 4
31.03
2
−×≅≤′′′= exfxR ξ 
 
Exemplo o teste da segunda derivada 
Suponhamos que a função f e suas derivadas f′ e f′′ sejam contínuas em um intervalo aberto I contendo o 
ponto a e consideremos a aproximação quadrática de f 
2)(
!2
)()(
!1
)()()( axfaxafafxf −′′+−′+= ξ , 
onde ξ está entre a e x, conforme estabelece o Teorema de Taylor. Observando a expressão acima deduzimos 
o Teste da Segunda Derivada para extremos locais: 
 (a) se f ′(a) = 0 e f ′′ < 0 no intervalo I, então f(x) ≤ f(a), para todo x no intervalo I e, portanto, a função f 
tem um máximo local no ponto x = a; 
 (b) se f ′(a) = 0 e f′′ > 0 no intervalo I, então f(x) ≥ f(a), para todo x no intervalo I e, portanto, a função f 
tem um mínimo local no ponto x = a. 
 
Ampliando seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função f(x) denomina-se analítica em x = a quando ela puder ser representada 
por sua Série de Taylor em algum intervalo aberto contendo a. De acordo com o Teorema de 
Taylor, uma função infinitamente derivável em uma vizinhança de a é aí analítica se, e 
somente se, o resto de sua aproximação de Taylor tende para zero, com n→ ∞. Assim, a soma 
e o produto de funções analíticas são analíticas, como também são analíticas, além dos 
polinômios, as demais funções elementares do cálculo: ex, log x, senx, cos x etc. em seus 
respectivos domínios. Um fato crucial, porém não tão óbvio, é que se uma função f(x) é 
analítica em um intervalo I, onde ela nunca se anula, então a função 1/f é também analítica em 
I. Com isto queremos enfatizar que as funções racionais são analíticas em todo intervalo onde 
o denominador é diferente de zero. 
 
131
3.3 Série Binomial 
 
A expansão binomial 
kkkkk yyxkkyxkxyx ++−++=+ −− L221
!2
)1(
!1
)( , k∈� 
simbolicamente representada por 
∑
=
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛k
j
jkj yx
j
k
0
, onde 
)!(!
!
jkj
k
j
k
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
e conhecida por binômio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que o 
expoente