Prova resolvida - Séries numéricas

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Matemática em Exerćıcios
Prova resolvida - Séries Numéricas
Professor Guilherme Miguel Rosa
Questão 1. Calcule a soma da série ∑( 1
n + 1
− 1
n
)
.
Solução:
Fazendo as quatro primeiras somas parciais temos:
S1 =
1
2
− 1
1
S2 =
(
1
2
− 1
1
)
+
(
1
3
− 1
2
)
=
1
3
− 1
1
S3 =
(
1
3
− 1
1
)
+
(
1
4
− 1
3
)
=
1
4
− 1
1
S4 =
(
1
4
− 1
1
)
+
(
1
5
− 1
4
)
=
1
5
− 1
1
Percebe-se que a soma dos n primeiros termos é Sn =
1
n + 1
− 1, logo
∑( 1
n + 1
− 1
n
)
= lim
n→∞
(
1
n + 1
− 1
)
= −1.
Questão 2. Utilize a soma de uma série para determinar a fração geratriz da d́ızima 0, 272727...
Solução:
Escrevendo a d́ızima como uma soma infinita, temos:
0, 272727... =
2
10
+
7
100
+
2
1000
+
7
10000
+ · · · .
Reagrupando os termos encontramos duas séries geométricas:
0, 272727... =
(
2
10
+
2
103
+
2
105
+ · · ·
)
+
(
7
102
+
7
104
+
7
106
+ · · ·
)
=
∑ 2
10
(
1
102
)n−1
+
∑ 7
102
(
1
102
)n−1
=
2/10
1− 1/100
+
7/100
1− 1/100
=
2/10
99/100
+
7/100
99/100
=
27/100
99/100
=
27
99
.
1
Nas questões 3 e 4, utilize os critérios estudados para verificar se a série é absolutamente convergente,
condicionalmente convergente ou divergente.
Questão 3.
∑ n!
2n
Solução:
Como a série é de termos positivos,
∑
|an| =
∑
an. Pelo critério da razão:
lim
n→∞
(
an+1
an
)
= lim
n→∞
(
(n + 1)!
2n+1
· 2
n
n!
)
= lim
n→∞
(
(n + 1)n!
2 · 2n
· 2
n
n!
)
= lim
n→∞
n + 1
2
=∞.
Portanto, a série diverge.
Questão 4.
∞∑
n=2
(−1)n
ln n
Solução:
Como an = 1/(ln n) é decrescente, an ≥ 0, e lim an = 0, então pelo critério de Leibniz, a série
∞∑
n=2
(−1)n
ln n
é convergente.
Mas como a série é alternada, pode ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Para verificar, vamos analisar agora a série em módulo:
∞∑
n=2
1
ln n
.
Note que
1
ln n
>
1
n(ln n)
. Então se a série
∞∑
n=2
1
n(ln n)
diverge, sabemos que a série
∞∑
n=2
1
ln n
também
diverge, pelo critério da comparação. De fato, pelo teste da integral, temos que a série “menor”é
divergente, pois:
lim
b→∞
[∫ b
2
1
x(ln x)
dx
]
= lim
b→∞
[
ln(ln x)/b2
]
= lim
b→∞
[ln(ln b)− ln(ln 2)] =∞.
Logo,
∞∑
n=2
(−1)n
ln n
é condicionalmente convergente.
2