Lista 11 GA

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Geometria Analítica
Lista 11
Prof: Rafael Santos
1o) Verifique se as equações descritas abaixo são quádricas:
a) x2 + y2 + z2 + 1 = 0.
b) (x − y)2 + (y − z)2 = 0.
c) (x − y)2 = 0.
d) (x + y + z)(x + y + z − 1) = 0.
2o) Verifique se a quádrica Ω : x2 + y2 + 3z2 − 2xy − 7 = 0 é totalmente simétrica,
isto é, se ela é simétrica em relação à origem, aos eixos coordenados e aos planos
coordenados. Para verificar que uma quádrica Ω é totalmente simétrica, basta tomar um
ponto P = (x, y, z) ∈ Ω e verificar se P1 = (−x, y, z), P2 = (−x,−y, z) e P3 = (−x,−y,−z)
estão em Ω. Recomendo a leitura da observação da página 403 do livro do Boulos.
3o) Escreva a equação de uma superfície sabendo que a sua interseção com os planos
pi1 : x = 0 e pi2 : y = 0 são, respectivamente, as elipses:
y2
25
+
z2
9
= 1 e
x2
4
+
z2
9
= 1
4o) Seja Ω a quádrica de equação 4x2 + y2 + 4z2 − 8x − 4y − 8z + 8 = 0
a) Complete quadrados para provar que Ω é um elipsóide.
b) Faça uma translação de modo a obter uma equação reduzida para Ω no sistema
novo.
c) Obtenha, em relação ao sistema antigo, uma equação do plano paralelo a Oxy
que determina elipse de interseção máxima.
d) A quádrica que você encontrou é uma superfície regrada? Justifique!
5o) O elipsóide Ω :
x2
4
+
y2
4
+
z2
1
= 1 é chamado de elipsóide de rotação. Dê uma
explicação intuitiva para este nome.
6o) Sendo Ω : 2x2− y2 + 4z2 = 1, determine os planos paralelos aos planos coordenados
que interceptam Ω em uma cônica de distância focal
√
6.
7o) Considere a quádrica Ω : 9x2 − 18x − 9y2 − 18y + 4z2 − 36 = 0 e o plano pi : z = 1.
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a) Identifique-a e esboce-a.
b) Identifique a cônica Ω ∩ pi e dê as coordenadas do(s) foco(s).
8o) Descreva a curva interseção do parabolóide Ω com o plano pi e determine, quando
for o caso, centro, focos, vértices, excentricidade, assíntotas e raio.
a) Ω : z + x2 + 3y2 = 0 e pi : z + 9 = 0.
b) Ω : 4y − 4x2 − z2 = 0 e pi : z − 1 = 0.
c) Ω : x + y2 + 2z2 = 0 e pi : x − 1 = 0.
9o) Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de R3 que são equidistantes
de P = (1, 1, 0) e pi : z + 2 = 0, e identifique-o.
Teoria
Como proceder numa quádrica em que temos o termo cruzado xy? Podemos fazer um
corte com um plano da forma pi : z = k e desse modo temos cônicas onde aparece
o termo cruzado xy, portanto basta fazermos a rotação conveniente nos eixos e pode-
remos identificar a quádrica com z qualquer. O mesmo ocorre se aparecerem xz ou
yz.
10o) Prove que z = 8x2 − 2xy + 8y2 é um parabolóide elíptico e faça um esboço.
11o) Faça uma mudança de coordenadas conveniente para concluir que Ω : z = xy é
um parabolóide hiperbólico.
12o) Paulinho foi jogar dominó com seus colegas da UFPE. Ele aguardava sua vez
de jogar enquando comia batatinhas, mas uma delas chamou bastante a atenção de
Paulinho, pois tinha a forma de um parabolóide hiperbólico:
Ele lembrou de GA e identificou que a quádrica possui equação Ω : y =
x2
4
− z
2
8
. Mostre
que:
3
a) O ponto (2, 1, 0) ∈ Ω.
b) A reta r : X = (2, 1, 0) + λ(2, 2, 2
√
2) está contida em Ω.
13o) Identifique a quádrica descrita pela equação Ω : x2 + 2xy − y2 + 6x − 2y − 3 = 0.
14o) Determine o centro e o raio da circunferência dada pela interseção das superfícies:
z = x2 + y2
x2 + y2 + z2 = 1
15o) Jailson passou em GA com média 9,9 e quis comemorar. Logo pediu uma garrafa
de Klein com suco de laranja para relaxar. O copo foi em forma de parabolóide z =
x2
4
+
y2
1
, mas sabemos que tal quádrica é ilimitada e ninguém bebe infinitamente, logo
foi feito um corte, para limitar, com um plano da forma pi : z = k de modo que a cônica
interseção tem distância focal igual a 2
√
6. Determine o valor de k.
4
16o) Encontre uma superfície tal que sua interseção com um plano da forma pi : x = k
dá a elipse:
z2
4
+
y2
9
= k2
com um plano da forma pi : y = k, dá a hipérbole:
9x2 − 9z
2
4
= k2
e, com um plano da forma pi : z = k, dá a hipérbole:
4x2 − 4y
2
9
= k2
Gabarito/Dicas
1o) Todas as equações descrevem quádricas, mas elas são do tipo degeneradas. Você
identificou que conjunto cada equação descreve? Pode ser interessante...
2o) Não é totalmente simétrica.
3o) Temos um elipsóide de equação
x2
4
+
y2
25
+
z2
9
= 1.
4o) Relembre o que foi visto em sala:
a) Complete quadrados...
b)
u2
1
+
v2
4
+
w2
1
= 1.
c) pi : z − 1 = 0.
d) Não! O elipsóide é limitado, logo não pode ser escrito pela união de uma família
de retas.
5o) Se −1 < k < 1, as interseções de Ω com pi : z = k são circunferências. Intuitiva-
mente, isso quer dizer que o elipsóide pode ser obtido pela rotação de uma elipse.
6o) São os planos de equações x = ±
√
11
10
, z = 0, z = ± 1√
2
, que correspondem a
hipérboles, e y = ±√5, que correspondem a elipses.
7o) Use um software se tiver dificuldades:
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a) Hiperbolóide de uma folha com centro C = (1,−1, 0) e eixo distinguido paralelo
a Oy.
b) A interseção é uma hipérbole de focos F1 = (−5/3,−1, 1) e F2 = (11/3,−1, 1).
8o) Faça os cortes e analise:
a) Elipse de centro C = (0, 0,−9), focos F1 = (−
√
6, 0,−9), F2 = (
√
6, 0,−9),
vértices A1 = (−3, 0,−9), A2 = (3, 0,−9), B1 = (0,−
√
3,−9), B2 = (0,
√
3,−9) e
excentricidade e =
√
6
3
.
b) Parábola de vértice V = (0, 1/4, 1), foco F = (0, 1/2, 1), parâmetro p =
1
4
,
excentricidade e = 1 e diretriz r : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 0).
c) pi ∩Ω = ∅.
9o) O lugar geométrico é o parabolóide de rotação Ω : z + 1 =
(x − 1)2
4
+
(y − 1)2
4
.
Compare com a definição, inicial, de parábola que eu apresentei na aula de cônicas
e faça uma analogia (os carros são como as lanchas, as motos como os jet skis e os
pedestres são como os banhistas). Segue uma figura para auxiliar:
6
10o) Considerando um corte com um plano da forma pi : z = k obtemos uma cônica
com termo misto, logo basta fazermos a rotação conveniente neste corte (como k é
arbitrário, você está fazendo isso em cada corte com k real) e desse modo poderemos
verificar o que se pede. Note que os cortes produzem circunferências, logo o efeito de
rotação nelas é imperceptível, no entanto, algebricamente a equação muda nitidamente
(encontre-a!).
11o) Tome θ = 45◦ e faça uma rotação de eixos.
12o) Você só precisa verificar que o ponto dado e os pontos da reta satisfazem a equa-
ção.
13o) Quádrica cilíndrica hiperbólica.
14o) C =
0, 0, −1 + √52
. Em algum momento você pode cogitar existirem dois valo-
res para z, mas isso não ocorre (preste atenção nas equações!). Eu também disse que
não iria cobrar interseção de quádricas, mas não resisti. MUAHAHAHA...
15o) k = 2. Não deixe um oco nos seus estudos! Foco total!
16o) x2 =
y2
9
+
z2
4
.