método de schelkunoff

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Método de 
Schelkunoff 
 
 
 
 
Nome: João Pinto da Fonseca Neto 
Matricula: 371892 
Professor: Antenor 
Disciplina: Antenas 
 
 
 
 
 
NOVEMBRO DE 2018 
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Sumário 
 
 
Introdução.....................................................................3 
 
Método de Schelkunoff.................................................4 
 
Bibliografia...................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 
Em um problema de análise, uma antena escolhida(modelo) e é analisada por 
suas características de radiação como diretividade, impedância, polarização 
de eficiência, diagramas, etc. Na prática, nos é necessário projetar um 
sistema de antenas que seguem algumas determinadas características de 
radiação. Um exemplo que acontece muito é projetarmos um diagrama com 
uma certa distribuição, largura de feixe estreita e pequenos lóbulos laterais, 
lóbulos menores em decadência e assim por diante. Outro exemplo muito 
requisitado é projetar o diagrama de tal modo que os campos distantes em 
certas direções são nulos. 
O método de síntese é encontrar as configurações da antena, suas 
distribuições de excitação e dimensões geométricas. Além de satisfazer as 
restrições do sistema, o diagrama do sistema projetado deve ser exato ou 
aproximado. Síntese, na definição mais ampla da palavra se refere a síntese 
de diagramas de antenas, mas também é usada de maneira intercambiada 
com o design. 
Em geral, a síntese de um diagrama de uma antena requer 2 passos. O 
primeiro requer um modelo analítico aproximado que seja escolhido para 
representar o diagrama desejado, aproximadamente ou exatamente. O 
segundo passo é combinar o modelo analítico com o modelo físico da antena. 
Dessa forma, o diagrama de síntese de uma antena pode ser classificado de 
3 formas: uma categoria requer que o diagrama exiba uma distribuição 
desejada em toda região visível. Os métodos da transformada de Fourier e 
Woodward-Lawson são usados. A segunda categoria inclui técnicas que 
produzem padrões com feixes estreitos e pequenos lobos laterais. Usamos o 
método binomial e o método de Dolph-Tschebyscheff (Tchebyscheff ou 
Chebyshev). Já o ultimo método requer que os diagramas produzam valores 
nulos nas direções de interesse. O método de Schelkunoff é usado para 
resolver esse tipo de abordagem e nesse método que vamos nos aprofundar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método polinomial de Schelkunoff 
 
 
Esse método tem características favoráveis para síntese de matrizes 
cujo os diagramas possuem nulos nas direções de interesse. Esse 
método requer algumas informações para concluir o design, ou seja, é 
pré-requisito estão conhecer o número de nulos e suas localizações. 
Em mãos desses valores, o número de elementos e seus coeficientes 
de excitação são derivados. Começamos agora a formulação analítica 
das técnicas usadas. 
O fator da matriz (AF) para uma matriz de N elementos igualmente 
espaçados, com defasagem progressiva de excitação e amplitude não 
uniforme é apresentado na figura 1 e representado pela expressão 
abaixo: 
 
 
 
Onde 𝑎𝑛 considera a não uniformidade da amplitude da excitação de 
cada elemento. 𝛽 é a defasagem progressiva e d o espaçamento entre 
os elementos. Tomando a expressão abaixo: 
 
 
 
Substituindo na expressão de AF, ficamos com a seguinte expressão: 
 
 
Podemos ver facilmente que essa expressão é um polinômio de grau 
N-1. Se o grau do polinômio é N-1, então ele possui N-1 raízes que 
pode ser expresso da seguinte maneira, com 𝑍1, 𝑍2, 𝑍3 … 𝑍𝑁−1 suas 
raizes: 
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Há a possibilidade dessas raízes serem complexas, logo expressamos 
a mesma expressão em modulo: 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Relembrando as propriedades do numero complexo z, podemos 
reescrever ele da seguinte forma: 
 
 
Observando as expressões acima, fica evidente que o modulo de z é 
sempre unitário, não importa os valores de d, 𝜃, 𝛽. Por outro lado, 
esses parâmetros influencia a fase de z. A figura 2 mostra o valor de 
z, em amplitude e fase, para 𝛽 = 0 e variando 𝜃 de 0 a 𝜋 rad. Na figura 
2(a) vemos o valor de z para todos os ângulos 𝜃 fisicamente 
realizáveis. Desse modo, nenhum valor de z fora dessa região visível 
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(RV) é realizável. A parte do circulo que resta é chamada de região 
invisível pois nenhum valor de z fora da região visível é realizável. 
Quando observamos a figura 2(b-d), percebemos que a região visível 
aumenta com o aumento do espaçamento entre os elementos d. Assim, 
fica claro pela figura que precisa se de um espaçamento de no mínimo 
𝜆
2⁄ para percorrer o circulo completo. Além disso, fica evidente que 
qualquer valor acima dele leva a valores múltiplos de z. 
 
 
Figura 2 
 
Fazendo 𝛽 = 𝜋 4⁄ , observamos, na figura 3, que o tamanho das 
regiões visíveis e invisíveis não foram alterados. Apenas sua posição 
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foi alterada no circulo para um ângulo 𝛽 = 𝜋 4⁄ . Dessa maneira, 
concluímos que o comprimento total da região visível é controlado 
pelo espaçamento entre os elementos d e sua localização no círculo 
unitário é controlado pela defasagem de excitação dos elementos. 
 
 
 
Figura 3 
 
 
Voltando a falar da expressão abaixo, em posse dos valores de z 
obtidos anteriormente, podemos usar ela de forma proveitosa na 
análise e na síntese de conjuntos. 
 
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|AF| é proporcional ao produto das distancias entre z e 
𝑍1, 𝑍2, 𝑍3 … 𝑍𝑁−1. Esse modulo do fator do conjunto tem uma 
interpretação geométrica. Além disso a soma dos valores de fase de z 
e cada um dos seus zeros do polinômio da a fase de AF. 
 
A medida que 𝜃 varia, z também varia. Salta aos olhos que esse z 
variando passa por todas as raízes 𝑍𝑁 presentes na região visível do 
circulo unitário. Quando ele passa exatamente por uma raiz, a 
distancia z e um 𝑍𝑁 específico é nulo, fazendo |AF| = 0. 
 
Somente os zeros contidos no circulo unitário e na região visível conta 
para a construção do diagrama. De forma análoga, se nenhum zero 
existir na região visível, então AF não terá nulos para qualquer valor 
de 𝜃. O último caso, quando há um zero dentro do círculo unitário 
porem fora da região visível, podemos mudar a fase 𝛽 de excitação 
para incluir o zero na região visível. A figura 4 mostra esses fatos: 
 
 
 
Figura 4 
 
 
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Bibliografia 
 
 
 
 
 
C. A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design- third edition, 
2005. 
 
Constantine A. Balanis, Teoria de Antenas: Análise e síntese, volume 
1, terceira edição, 2009.