Fluxo Bidimensional em solos

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Fluxo Bidimensional 
em solos
GEOTECNIA II
SLIDES 03 / AULA 06
Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
prof.douglas.pucgo@gmail.com
SLIDES 03 / AULA 06 – Fluxo Bidimensional
GEOTECNIA II – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
Introdução
 Fluxo Unidimensional
 Fluxo d’água com direção constante
 Areia uniforme → gradiente constante em qualquer 
ponto
 Exemplo: permeâmetros
 Fluxo Tridimensional
 Fluxo d’água em qualquer direção
 Migração de água para um poço ou cava
 Barragens em vales fechados
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Introdução
 Fluxo Bidimensional
 Fluxo segue caminhos em planos paralelos
 Obras lineares
 Barragens em vales abertos
 Valas, canais
 Estudo de redes de fluxo
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Introdução
 Fluxo Bidimensional
 A rede de fluxo é a solução gráfica da Equação 
de Laplace, composta de dois grupos de curvas 
perpendiculares entre si, formando quadrados 
curvilíneos.
4
0
2
2
2
2






y
h
x
h
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Redes de fluxo
 Sistema utilizado no estudo da percolação de 
água em solos
 Representa o caminho percorrido pela água e a 
correspondente dissipação de carga
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LINHAS DE 
FLUXO
LINHAS 
EQUIPOTENCIAIS
Linhas espaçadas 
igualmente que 
determinam canais de 
fluxo de igual vazão
Regiões que possuem o 
mesmo potencial e linhas 
de igual carga total
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Redes de fluxo
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 É conveniente que sejam formados 
quadrados
 Escolher o número de linhas de fluxo e de 
equipotenciais para tal
 Definições
 Número de canais de fluxo: NF
 Número de faixas de perda de potencial: ND
 Dimensões de um quadrado genérico
 b: largura do canal de fluxo
 l: distância entre equipotenciais
 Obs.: NF e ND não precisam ser inteiros
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Redes de fluxo
 Linhas equipotenciais são desenhadas com o 
mesmo espaçamento
 Portanto, tem-se variações de carga sempre iguais 
entre equipotenciais (conveniente)
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D
F
DD
D
D
N
N
hkQ
N
h
kb
Nl
h
kq
Nl
h
l
h
i
N
h
h









 : totalVazão
 :elementopor Vazão
 :Gradiente
:potencialpor carga de Perda
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Rede de fluxo unidimensional
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Rede de fluxo unidimensional
 Pelas definições do Capítulo 6
 Na face inferior:
 Carga Altimétrica: 0 cm
 Carga Piezométrica: 20 cm
 Carga total: 20 cm
 Na face superior:
 Carga Altimétrica: 12 cm
 Carga Piezométrica: 2 cm
 Carga total: 14 cm
 h = 6 cm; i = 6/12 = 0,5
 q = k i A = 0,2 cm³/s
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Rede de fluxo unidimensional
 Pela rede de fluxo
 NF = 4; ND = 6
 b = l = 2cm
10
cmscm
N
N
hkQ
cmscmb
Nl
h
kq
Nl
h
l
h
i
cm
N
h
h
D
F
D
D
D
//2,0
6
4
605,0 : totalVazão
//05,02
62
6
05,0 :elementopor Vazão
5,0
2
1
 :Gradiente
1
6
6
:potencialpor carga de Perda
3
3












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Rede de fluxo bidimensional
 Mesmos princípios
 Canais de igual vazão
 Zonas de igual variação de 
potencial
 Exemplo: “permeâmetro curvo”
 Linhas de fluxo
 Linha AC: i = 6/12 = 0,5
 Linha BD: i = 6/24 = 0,25
 Demais linhas serão círculos 
concêntricos
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Rede de fluxo bidimensional
 Fato 1: Gradientes variam. 
Fato 2: Vazões devem ser 
iguais em todos os canais. 
Conclusão: velocidades de 
percolação menores nos 
canais externos (menor 
gradiente)
 Fato 1: Canais de igual vazão. 
Fato 2: velocidade menor. 
Conclusão: canais externos 
devem ser maiores
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Rede de fluxo bidimensional
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 Linhas equipotenciais
 h = 6 cm
 Diferença de carga se dissipa linearmente 
ao longo de cada linha de fluxo
 Variação de potencial de 0,5 cm entre cada 
equipotencial → 12 faixas (i.e., 6/0,5)
 Linha AC: 12 cm → Ex.: 12 faixas de 1 cm
 Linha BD: 24 cm → Ex.: 12 faixas de 2 cm
 Linhas intermediárias: comprimento total 
dividido em 12 faixas iguais
 Equipotenciais serão retas convergentes
 Resultado da construção: equipotenciais 
serão ortogonais às linhas de fluxo
 Sempre válido para materiais homogêneos
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Rede de fluxo bidimensional
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 Escolha das linhas de fluxo
 É útil ter figuras aproximadamente quadradas
 Primeiro se escolhe a quantidades de 
equipotenciais (no exemplo: 12)
 Na linha AC as equipotenciais surgem a cada 
1 cm
 Portanto, o primeiro canal de fluxo deve 
possuir largura de aproximadamente 1 cm
 A medida que se afasta, a largura dos canais 
deve aumentar
 Toma-se a distância média entre equipotenciais 
(ver figura)
 Esta construção leva a um último canal fracionário 
(70% do comprimento que o faria “quadrado”) 
b
l
h
kq


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Rede de fluxo bidimensional
 Percolação sob estacas-prancha 
(pranchada)
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Rede de fluxo bidimensional
 Percolação sob estacas-prancha 
(pranchada)
 A figura mostra uma rede de fluxo em uma 
camada de areia, sendo o nível de água 
rebaixado em um dos lados por bombeamento
 Área inferior disponível para passagem de água é 
menor que a área superior por onde a água infiltra
 Portanto, canais de fluxo devem ter largura 
reduzida conforme se aproximam da passagem 
por baixo das estacas-prancha
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Rede de fluxo bidimensional
 Canais se estreitam
 Vazão deve ser constante
 Logo, gradiente deve 
aumentar
 Mas Δh é constante
 Logo, a distância entre 
equipotenciais deve 
diminuir
 Examinar equação
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b
l
h
kq


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Rede de fluxo bidimensional
 A fluxo entre equipotenciais 
pode ser analisado de forma 
análoga à distância 
percorrida por uma esfera em 
uma superfície inclinada
 Em solos isotrópicos o fluxo segue o 
caminho de maior gradiente
 Em uma superfície a esfera rolará até 
a cota mais baixa pelo caminho mais 
íngreme (que é normal às curvas de 
nível)
 Portanto: linhas de fluxo são normais 
às equipotenciais
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Exemplo
 Calcular a vazão que passa pela fundação
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Exemplo
 Calcular a vazão que passa pela fundação
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D
F
t
N
N
hkq   
8
4
0,17,310 4  q
msmq //³1035,1 4