APS- Matematica 21306604

Prévia do material em texto

APS- Atividade Prática Supervisionada
Matemática
Atividade: Juros Simples e Juros Compostos
Introdução
Um dos pilares centrais da matemática financeira é o “valor do dinheiro no tempo”, a tomada de decisões sobre investimentos envolve custos e benefícios que estão espalhados no tempo, sendo que preferível ter R$1000,00 reais hoje do que R$1000,00 daqui a dois anos. O porquê disso? Bem, podemos pensar em três principais fatores:
O recurso financeiro de hoje pode ser investido para que tenhamos um volume maior no futuro
O fato de o poder de compra do dinheiro muda através do tempo graças a inflação
E por último temos a incerteza do recebimento da receita no futuro, por exemplo, não é porque um banco empresta R$1000, reais que é certeza do recebimento desse montante.
Se o dinheiro muda de valor conforme o tempo e em relação as incertezas futuras, a forma de se manter o poder de compra do mesmo montante de capital e se proteger dos riscos seria através dos Juros, que representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. 
Juros compostos: esses juros são uma acumulação, ou seja, valores aumentam a cada período em uma dinâmica que pode virar uma bola de neve. Isso acontece porque o valor usado não é mais o capital inicial, e sim o montante acumulado até aquele período.
Problemas:
Problema A: Encontre um modelo matemático (fórmula) para classificar cada tipo de operação financeira. Exemplifique cada tipo de função com um exemplo do quotidiano
Como mencionado há duas classificações de juros, sendo que a diferença está sobre qual valor incidirá a taxa de juros, sobre o montante acumulado ou somente sobre o capital inicial. 
Pesquisando-se na literatura encontramos fórmulas para tratar de cada regime de capitalização, simples e composto.
Primeiramente, cabe fazermos algumas definições de conceitos:
Capital (C): O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
Juros (J): conforme dito anteriormente, representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva
Montante (M): também conhecido como valor acumulado é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo
Taxa de juros (i): A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período de tempo (t).
Para o cálculo do montante temos a seguinte fórmula, que pode ser aplicada tanto para o regime de juros simples quanto para o composto.
M=C+J
Juros Simples:
Seguindo para o Juros Simples, temos que o montante do período é calculado da seguinte forma:
M=C*(1+i*n)
Caso quiséssemos somente o valor dos juros no período teríamos que fazer um sistema com as duas equações apresentadas anteriormente, teríamos como resultado a fórmula que segue:
J= C x i x n
Tanto no Brasil, quanto no mundo, o regime de juros simples não é muito empregado, sendo por vezes usado em casos de empréstimos de curto prazo, como por exemplo:
Imagine que tenhamos pegamos um empréstimo de R$1000,00 com um amigo e o pagaremos em 10 meses, remunerando-o a uma taxa de 5% ao mês no regime de capitalização simples, qual seria o montante final pago e o total de juros pago?
Possuindo o i, o C e o n, podemos calcular o Montante (M) e o Total de Juros (J), conforme tabela de cálculos a seguir:
	Tabela 1 : Exemplo de cálculo referente ao regime de capitalização simples
	i
	7%
	n
	20 meses
	C
	R$ 1.000,00
	M
	=1000*(1+20*0,07)
	 = R$ 2400,00 
	J
	=1000*0,07*20
	 =R$ 1400,00 
Juros Compostos:
Já para juros compostos, encontramos a seguinte fórmula, para o cálculo do montante
M=C*(1+i)n
Substituindo a Primeira formula referente ao cálculo do montante (M=C+J) nesta última para o cálculo do montante de juros composto (M=C(1+i)n), obtemos o Valor somente dos juros compostos:
J= C*[(1+i)n-1]
Por um lado, se o regime de capitalização simples quase não é usado no mercado o regime de capitalização composto é aquele que domina, no Brasil e exterior, como em remuneração de títulos financeiros, juros de empréstimos, rendimento da poupança entre outros
Como exemplo, podemos pensar no caso de um empréstimo capitado em um banco no valor de R$1000,00, para pagamento em 10 meses, com uma taxa de juros de 5% ao mês e regime de capitalização composta. Qual seria o montante a ser pago ao banco após 10 meses e de quanto seria a parcela deste montante que corresponderia somente aos juros?
Com os dados fornecidos obtemos os resultados apresentados na tabela 2.
	Tabela 2: Exemplo de cálculo referente ao regime de capitalização composta.
	i
	7%
	n
	20 meses
	C
	R$ 1.000,00
	M
	=1000*(1+0,07)^20
	 =3869,68 
	J
	=1000*((1+0,07)^20-1)
	 =2869,68 
Problema B: Use softwares gráficos para fazer o desenho dessas funções. Comente a diferença entre elas.
No problema B foi utilizado os mesmos exemplos elaborados para explicar os cálculos do montante e de Juros no regime simples e compostos, os cálculos estão representados na tabela 1 e 2, na qual podemos observar a evolução do montante e juros como o passar dos meses. As representações gráficas da evolução do montante e dos juros acumulados também foram apresentadas para juros simples e compostos.
	Tabela 3: Capitalização por período – Juros Simples
	Taxa de Juros (i)
	7%
	Capital inicial (C)
	 R$ 1.000,00 
	Período (n)
	Montante (M)
	Juros (J)
	1
	R$ 1.070,00 
	R$ 70,00 
	2
	R$ 1.140,00 
	R$ 140,00 
	3
	R$ 1.210,00 
	R$ 210,00 
	4
	R$ 1.280,00 
	R$ 280,00 
	5
	R$ 1.350,00 
	R$ 350,00 
	6
	R$ 1.420,00 
	R$ 420,00 
	7
	R$ 1.490,00 
	R$ 490,00 
	8
	R$ 1.560,00 
	R$ 560,00 
	9
	R$ 1.630,00 
	R$ 630,00 
	10
	R$ 1.700,00 
	R$ 700,00 
	11
	R$ 1.770,00 
	R$ 770,00 
	12
	R$ 1.840,00 
	R$ 840,00 
	13
	R$ 1.910,00 
	R$ 910,00 
	14
	R$ 1.980,00 
	R$ 980,00 
	15
	R$ 2.050,00 
	R$ 1.050,00 
	16
	R$ 2.120,00 
	R$ 1.120,00 
	17
	R$ 2.190,00 
	R$ 1.190,00 
	18
	R$ 2.260,00 
	R$ 1.260,00 
	19
	R$ 2.330,00 
	R$ 1.330,00 
	20
	R$ 2.400,00 
	R$ 1.400,00 
	Tabela 4: Capitalização por período – Juros Compostos
	Taxa de Juros (i)
	7%
	Capital inicial (C)
	R$ 1.000,00 
	Período (n)
	Montante (M)
	Juros (J)
	1
	R$ 1.070,00 
	R$ 70,00 
	2
	R$ 1.144,90 
	R$ 144,90 
	3
	R$ 1.225,04 
	R$ 225,04 
	4
	R$ 1.310,80 
	R$ 310,80 
	5
	R$ 1.402,55 
	R$ 402,55 
	6
	R$ 1.500,73 
	R$ 500,73 
	7
	R$ 1.605,78 
	R$ 605,78 
	8
	R$ 1.718,19 
	R$ 718,19 
	9
	R$ 1.838,46 
	R$ 838,46 
	10
	R$ 1.967,15 
	R$ 967,15 
	11
	R$ 2.104,85 
	R$ 1.104,85 
	12
	R$ 2.252,19 
	R$ 1.252,19 
	13
	R$ 2.409,85 
	R$ 1.409,85 
	14
	R$ 2.578,53 
	R$ 1.578,53 
	15
	R$ 2.759,03 
	R$ 1.759,03 
	16
	R$ 2.952,16 
	R$ 1.952,16 
	17
	R$ 3.158,82 
	R$ 2.158,82 
	18
	R$ 3.379,93 
	R$ 2.379,93 
	19
	R$ 3.616,53 
	R$ 2.616,53 
	20
	R$ 3.869,68 
	R$ 2.869,68 
Como podemos perceber o pela analise dos gráficos, tanto em relação a juros ou a montante acumulado, a uma evolução linear, ou seja, uma reta, o que nos permite concluir que a função seria uma polinomial de primeiro grau.
Porém, no caso do regime de capitalização composto, notamos que os gráficos se comportam como uma função exponencial, e com o passar dos períodos, no caso analisado meses, a diferente entre o montante acumulado na capitalização simples e composta tende a aumentar, Isso já era esperado, já que no regime composto a taxa de juros incide sobre o montante acumulado (capital inicial mais juros), e no regime simples a taxa sempre incidira somente no capital inicial. 
Concluímos pela análise que o mais vantajoso seria adquirirdividas no regime de capitalização simples e ser remunerado sobre o regime de capitalização composto, quando as demais variáveis são idênticas.