Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Tecnologia
TT315 – Probabilidades e Teoria da Informac¸a˜o
Turma A
Lista 5
Questa˜o 1:
Considere que o tempo de vida (em horas) de um tipo particular de laˆmpadas pode
ser adequadamente modelado por uma varia´vel aleato´ria T , com func¸a˜o densidade de
probabilidade exponencial, ou seja fT (t) = a exp(−at), t ≥ 0. Determine e esboce a
func¸a˜o distribuic¸a˜o cumulativa de probabilidade de T . O uso desse tipo de laˆmpadas
indica que a probabilidade do seu tempo de vida exceder 200 horas e´ exp(−1) = 0, 368.
Calcule o valor de T0 tal que a probabilidade do tempo de vida da laˆmpada ser inferior
a T0 seja 0, 1.
Questa˜o 2:
Mostre que se X e´ uma varia´vel aleato´ria (v.a.) com densidade exponencial, fX(x) =
a exp(−ax), x ≥ 0, enta˜o, P [X > b+c|X > b] = P [X > c]. Interprete esta propriedade.
Questa˜o 3:
Considere o lanc¸amento de dois dados e a experieˆncia cujo resultado consiste da soma
do nu´mero de pontos das faces dos dados que ficaram voltadas para cima. Defina esta
soma como sendo uma v.a. X e esboc¸e sua func¸a˜o distribuic¸a˜o (massa) de probabili-
dade. Calcule a probabilidade de X assumir um valor no intervalo [7, 9].
Questa˜o 4:
Seja R uma v.a. com func¸a˜o densidade de probabilidade Rayleigh, ou seja,
fR(r) =
R
b
exp−
R
2
2b , R ≥ 0
Determine e esboce a sua func¸a˜o distribuic¸a˜o cumulativa de probabilidade. Calcule
(em func¸a˜o de b) o valor R0 para o qual a probabilidade de R > R0 e´ 1/e.
Questa˜o 5:
Seja X uma v.a. Gaussiana com paraˆmetros m = 1000 e σ2 = 400. Encontre as
probabilidades que seguem em termos da func¸a˜o Q(x) = (1/
√
2pi)
∫
∞
x
exp(−u2/2)du.
a) P [0 < X < 1020] b) P [X < 1020|X > 960]