Questões de Álgebra Linear - Sistema de Equações, Matrizes, Matrizes Inversas e Detrerminantes.

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Universidade Federal do Ceará
Centro de Ciências
Departamento de Matemática
Lista de Exercícios 1
Álgebra Linear
Prof. Julio Araujo www.mat.ufc.br/~julio julio@mat.ufc.br
Aluno:
Matrícula:
• Justifique todas as suas respostas.
Sistemas Lineares
Questão 1 (B., Seção 2.6, Q. 9). Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade
(1 g) determinou-se que:
(i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 da vitamina B e 4 da vitamina C;
(ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades das vitaminas A, B e C, respectivamente;
(iii) O alimento III tem 3 unidades da vitamina A, 3 da C e não contém vitamina B.
Se são necessárias 11 unidades da vitamina A, 9 da B e 20 da C, então:
(a) encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de
vitaminas desejada;
(b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama, e os outros dois custam 10 centavos por grama, existe
uma solução que custe exatamente 1 real?
Questão 2 (B., Seção 2.6, Q. 11, 15 e 16). Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas
linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e,
se o sistema for possível, o grau de liberdade.
(a)
{
x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3 (b)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0 (c)

3x+ 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x+ 3y − 5z = 0
−x+ y + z = 1
Questão 3 (M.A., Cap. 1, Q. 13, itens (b) e (e)). Encontre uma matriz em escada que seja linha-
equivalente à:
(a)
[
2 0 −2 0
0 2 −1 0
]
(b)

2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8

Questão 4 (M.A., Cap. 1, Q.52). Determine a para o que o sistema

x+ y + z = 0
x+ 2y + az = 0
x+ 4y + a2z = 0
só admita a
solução trivial.
Questão 5 (M.A., Cap. 1, Q.74). Determine os valores de a e b que tornam o sistema linear abaixo
possível e indeterminado:
x+ 2y + az = −1
3x+ y + z = 4
−2x+ 4y − 2z = b
1
Questão 6 (M.A., Cap. 2, Q.24). Calcule o posto das matrizes abaixo:
(a)
 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1
 (b)

0 2 0 2
1 1 0 3
3 −4 0 2
2 −3 0 1

Matrizes
Questão 7 (B., Seção 1.4, Q. 1). Sejam A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[−2 0 1
3 0 1
]
, C =
−12
4
 e D = [2 1].
Encontre:
(a) A+B;
(b) A · C;
(c) B · C;
(d) C ·D;
(e) D ·A;
(f) D ·B;
(g) −A;
(h) −D.
Questão 8 (B., Seção 1.4, Q. 6). Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) (−A)t = −At.
(b) (A+B)t = Bt +At.
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB.
(e) (−A)(−B) = −AB.
(f) Se A e B são simétricas, então AB = BA.
(g) Se A ·B = 0, então B ·A = 0.
(h) Se podemos efetuar o produto A ·A, então A é
quadrada.
Questão 9 (B., Seção 1.4, Q.15). Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno,
mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:

Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13

(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material serão empregadas?
(b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectiva-
mente, 15, 8, 5, 1, 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
(c) Qual o custo total do material empregado?
Questão 10 (M.A., Cap. 1, Q. 1). Determine x sabendo que
[
2 x2
2x− 1 0
]
é simétrica.
Questão 11 (M.A., Cap. 1, Q. 3). Dê exemplo de matrizes quadradas, de mesmo tamanho, A e B, tais
que AB 6= BA.
Questão 12 (M.A., Cap. 1, Q. 5). Sejam A, B, C e X matrizes de mesmo tamanho. Sabendo que
2(X −A−B) = 13 (X − C), expresse X em termos de A, B e C.
Questão 13 (M.A., Cap. 1, Q. 11). Seja A =
[
1 9
0 16
]
. Mostre que a equação matricial X2 = A admite
exatamente 4 soluções e determine-as.
Questão 14 (M.A., Cap. 1, Q.17). Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA.
Demonstre que (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
2
Questão 15 (M.A., Cap. 1, Q.27). Sejam A e B, respectivamente, matrizes m× n e n× p. Mostre que
a k-ésima coluna de AB é A ·Bk. Conclua que as colunas de AB são A ·B1, . . . , A ·Bp.
Questão 16 (M.A., Cap. 1, Q.28). Seja A uma matriz quadrada n × n. O traço de A, denotado por
tr(A), é a soma dos termos de sua diagonal principal.
Demonstre que seA eB são matrizes n×n e x ∈ R, então tr(A+B) = tr(A)+tr(B), tr(xA) = x(tr(A))
e tr(AB) = tr(BA).
Questão 17 (M.A., Cap. 1, Q.38, item (b)). Demonstre que se A é linha-equivalente à B e B é
linha-equivalente à C, então A é linha-equivalente à C.
Determinantes e a Inversa
Questão 18. Calcule os seguintes determinantes das seguintes matrizes:
(a)
−1 2 10 1 −3
4 0 2
 (b)

1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0
 (c)

1 0 0 3
2 4 2 −1
1 3 0 2
−1 −2 6 4
 (d)

0 2 0 0 0
1 3 0 0 3
2 −1 4 2 −1
1 4 3 0 2
−1 2 −2 6 4

Questão 19 (M.A., Cap.2, Q.1). Dê exemplo de matrizes quadradas A e B de mesmas dimensões tais
que det(A+B) = det(A) + det(B).
Questão 20 (M.A., Cap.2, Q.3). Seja A uma matriz n×n e x ∈ R. Demonstre que det(xA) = xn det(A).
Questão 21 (M.A., Cap.2, Q.14). Seja A =
∣∣∣∣∣∣
1 a a2
1 b b2
1 c c2
∣∣∣∣∣∣. Mostre que det(A) = (b− a)(c− a)(c− b).
Questão 22 (M.A., Cap. 1, Q.49, item (b)). Calcule a inversa de
−1 4 −50 8 2
−3 0 1

Questão 23 (M.A., Cap. 2, Q.15). Uma matriz A é ortogonal se At = A−1. Mostre que se A é
ortogonal, então det(A) = +1 ou det(A) = −1.
Questão 24 (M.A., Cap. 2, Q.20). Seja A uma matriz n× n. Mostre que A é invertível se, e somente
se, existem matrizes elementares E1, . . . , Er tais que A = E1, . . . , Er.
Questão 25 (M.A., Cap. 1, Q.50, item (b)). Resolva o seguinte sistema linear calculando a inversa da
matriz dos coeficientes e aplicando a fórmula X = A−1B:
2x− y + 5z = 4
7x+ z = −1
y + 3z = 0
Questão 26 (B., Seção 3.10, Q.16). Resolva o sistema linear usando a Regra de Cramer:
x− 2y + z = 1
2x+ z = 3
y − 5z = 4
Questão 27 (M.A., Cap. 1, Q.55). Dê exemplo de duas matrizes invertíveis cuja soma não é invertível.
Questão 28 (M.A., Cap. 1, Q.57). Seja A uma matriz n × n. Mostre que se A tem uma linha nula,
então A não é invertível.
Questão 29 (M.A., Cap. 1, Q.61). Mostre que a matriz
[
a b
c d
]
é invertível se, e somente se, ad−bc 6= 0.
Em caso afirmativo, expresse A−1 em função de a, b, c e d.
3
Questão 30 (M.A., Cap. 1, Q.70). Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se é invertível e sua
inversa é igual a sua transposta. Mostre que se uma matriz diagonal é também ortogonal, então os
termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou -1.
Questão 31 (M.A., Cap.2, Q.10). Mostre que as matrizes abaixo são invertíveis e calcule suas inversas
pela fórmula A−1 = 1det(A)adj(A).
(a)
−1 2 10 1 −3
4 0 2
 (b)

1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0

Questão 32 (M.A., Cap.2, Q.32 e 33). Seja A uma matriz n× n.
(a) Demonstre que se det(A) = 0, então existe uma coluna de A que é combinação linear das demais.
Dica: Lembre que existe uma coluna Aj que é combinação das demais se existem y1, . . . , yn ∈ R tais que
Aj = y1A
1 + . . . + yj−1Aj−1 + yj+1Aj+1 + . . . + ynAn. Logo, se não existe uma coluna que é combinação
das demais então: x1A1, . . . , xnAn = 0 se e somente se xi = 0, para todo i ∈ [n].
(b) Deduza que se det(A) = 0, então existe uma linha de A que é combinação linear das demais.
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