Geometria Analitica - ESTUDO DE RETAS, PLANOS E CÔNICAS: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTÃO RELACIONADAS AO NOSSO COTIDIANO

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA 
LINEAR
CAPÍTULO 4 - ESTUDO DE RETAS, PLANOS E 
CÔNICAS: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTÃO 
RELACIONADAS AO NOSSO COTIDIANO?
Oswaldo Luiz Cobra Guimarães
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Introdução
Neste capítulo, estudaremos as retas e os planos, enfatizando como podemos determinar a posição relativa entre
duas retas, entre dois planos e entre retas e planos. Também nos preocuparemos em estudar ângulos formados
por esses elementos da Geometria Analítica, realçando a importância de um estudo vetorial.
Você já deve estar lembrando que vetores são entes matemáticos caracterizados por intensidade, direção e
sentido, certo? Como uma de suas características básicas é a direção, podemos determinar ângulos e posições
entre retas e planos pelo estudo de vetores diretores e vetores normais, respectivamente de retas e planos.
Os planos estão presentes em nosso cotidiano, e podem ser observados em situações corriqueiras. A mesa na
qual escrevemos, por exemplo, é um plano. Retas também estão presentes em nosso cotidiano. Você pode pensar
em um arquiteto projetando uma casa, e desenhando por meio de retas o esboço de seu projeto. Mas será que as
curvas cônicas também estão em nosso dia a dia? Com um simples exemplo, você poderá responder essa
pergunta: pense na antena parabólica de sua televisão, que é formada por uma superfície cônica que possibilita
de forma mais completa a recepção de sinais via satélite. Temos outros exemplos de situações do cotidiano em
que vemos a aplicação de cônicas? Sim. Imagine a trajetória de um corpo celeste; ele percorre trajetórias
elípticas.
Assim, neste capítulo, vamos entender um pouco mais sobre as retas, os planos, as formas e representações
geométricas. Acompanhe com atenção, para compreender todo o conteúdo. Bons estudos!
4.1 Estudo de Retas I
Neste tópico, vamos aprofundar nossos conhecimentos sobre o estudo de retas. Você já deve saber como
representar as retas em suas formas vetorial, geral, simétrica e paramétrica. Cada uma dessas representações
possui particularidades e deve se adequar ao tipo de problema estudado. Agora, veremos como podemos
caracterizar a posição entre duas retas e também o cálculo do ângulo formado por elas. Vamos lá?
4.1.1 Posição relativa entre retas
A partir de agora, iremos determinar a posição relativa entre duas retas. Confira, a seguir, a classificação dessa
posição.
a) : duas retas são definidas como concorrentes se, e somente se, tiverem um único pontoRetas concorrentes
em comum.
Figura 1 - Retas concorrentes.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
b) : serão paralelas se, e somente se, elas forem coplanares e, portanto, não tiverem entre siRetas paralelas
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b) : serão paralelas se, e somente se, elas forem coplanares e, portanto, não tiverem entre siRetas paralelas
nenhum ponto em comum, ou possuírem todos em comum, de tal forma que se sobreponham, sendo, nessa
situação, definidas como “ ”. Observe a figura abaixo!coincidentes
Figura 2 - Retas paralelas (coplanares) e retas paralelas (coincidentes).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
c) : duas retas são definidas como reversas se, e somente se, não existir um plano que contenhaRetas reversas
as duas retas.
Figura 3 - Retas reversas.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
d) podem ser concorrentes ou reversas. Retas perpendiculares são obrigatoriamenteRetas ortogonais
concorrentes.
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Figura 4 - Retas perpendiculares.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Exemplificando: temos duas retas que possuem equações dadas por: 
 Vamos estudar a posição relativa entre essas duas
retas. Os vetores diretores são dados por: . Inicialmente, em nossa análise, vamos
proceder o cálculo do produto escalar entre os vetores diretores, obtendo: . Desta
forma, podemos estabelecer que as retas são ortogonais entre si. Agora, verificaremos se elas são
perpendiculares entre si, bastando, para isso, verificarmos se são concorrentes.
Para continuarmos com nossa análise, considere a figura a seguir.
Figura 5 - Posição relativas das retas do exemplo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Na figura acima, temos os vetores diretores das retas , dados respectivamente por Podemos
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Na figura acima, temos os vetores diretores das retas , dados respectivamente por Podemos
estabelecer um outro vetor Vamos, então, verificar se esses três vetores são
coplanares. Sendo coplanares, as retas são perpendiculares, ao passo que não sendo coplanares as retas serão
reversas. Sendo reversas, não serão perpendiculares.
A condição de coplanaridade entre esses três vetores será dada por:
Desta forma, os vetores diretores e o vetor não são coplanares e, portanto, as retas em questão não são
perpendiculares.
Exemplo: temos as retas de equações dadas por:
 .
Nosso objetivo aqui será o estudo da posição relativa entre essas duas retas.
Resolução
Para a reta , teremos:
Para , teremos os valores Logo, o ponto 
Façamos Teremos os valores Logo, o ponto 
Podemos estão, com esses dois pontos, estabelecer um vetor diretor para a reta 
Analisando a reta , teremos o vetor diretor dado por 
VOCÊ SABIA?
Você sabia que corpos celestes percorrem trajetórias elípticas? Isso mesmo! Para saber mais a
respeito, você pode aprofundar seu estudo da cônica elipse por meio de disciplinas como
Astronomia e Física. Sabemos que planetas descrevem trajetórias elípticas em torno do sol, da
mesma forma que outros corpos celestes, como cometas. As leis de movimento de Kepler, por
exemplo, que falam sobre corpos celestes, indicam que os corpos descrevem trajetórias
elípticas.
VOCÊ QUER LER?
Uma excelente leitura é o livro “Geometria Analítica”, de Reis e Silva (1994). Com uma
linguagem simples, porém precisa, os autores apresentam a teoria necessária para o
entendimento dos conceitos associados a retas e planos. O livro também apresenta a solução
passo a passo de seus exemplos, com gráficos que ajudam na compreensão dos conceitos.
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O produto escalar entre os dois vetores nos fornece: . Observamos por esse
resultado que os vetores diretores das retas em questão não são ortogonais. Outro aspecto interessante: observe
que . Dessa forma, entendemos que um vetor diretor é múltiplo escalar do outro e, portanto, podem ser
paralelos ou coincidentes. Observe que o ponto não pertence à reta e, portanto, concluímos que as retas são
paralelas.
Exemplo: temos as retas de equação dadas por: . Agora, determine a posição
relativa entre essas duas retas.
Resolução
Vamos determinar o vetor diretor da reta 
Será dado por 
Para a reta o vetor diretor é dado por:
. Temos que . Dessa forma, temos que os vetores diretores são paralelos ou podem ser
coincidentes. Vejamos essa diferença de posição. O ponto de coordenadas , então vamos ver se o mesmo
ponto pertence à reta 
Temos que: 
Dessa forma, o ponto e as duas retas são coincidentes. Agora, vamos verificar como podemos
determinar o ângulo entre duas retas.
4.1.2 Cálculo de ângulo entres retas
Aqui, veremos como podemos estabelecer o valor do ângulo entre duas retas. Observe no desenvolvimento desse
conteúdo, novamente, a importância do vetor diretor da reta, estabelecendo a direção da mesma. Winterle
(2014, p. 115) define o ângulo entre duas retas como sendo o menor ângulo de um vetor diretor da reta e de
um vetor diretor de uma reta 
O ângulo entre duas retas pode ser determinado pelo ângulo entre seus vetores diretores. Observe na figura a
seguir.
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Figura 6 - Ângulo entre duas retas.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
O ângulo entre as duas retas pode ser então determinado usando o produto escalar entre os vetores diretores: 
, com 
Exemplo: vamos determinar o ângulo entre as retas de equação:
?
Resolução
Temos que para a reta o vetor diretor será dado por que chamaremos de vetor Iremos agora
analisar como podemos determinar um vetor diretor para a reta 
Estabeleceremosos cálculos de dois pontos pertencentes à reta :
Para , teremos os valores Logo, temos o ponto 
Para , teremos os valores Logo, temos o ponto 
Um vetor diretor da reta pode ser dado por 
O ângulo entre os vetores diretores é dado por 
Exemplo (WINTERLE, 2014, p. 115): qual é o ângulo entre as retas de equação e 
Resolução
Os vetores diretores das retas são dados por:
O cosseno do ângulo entre os vetores diretores será dado por:
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O cosseno do ângulo entre os vetores diretores será dado por:
Agora, que já sabemos como determinar a posição relativa entre duas retas, bem como o ângulo formado entre
elas, vamos a um estudo de mais um importante elemento da Geometria Analítica: o estudo de planos.
4.2 Estudo de Planos II
Você já deve conhecer as diferentes representações de um plano, inclusive que é possível representá-lo na forma
vetorial, geral, simétrica e paramétrica. Neste tópico, vamos aprofundar nossos conhecimentos sobre a posição e
o ângulo entre dois planos, aprendendo a determiná-los. Continue acompanhando!
4.2.1 Estudo das posições relativas entre planos
Inicialmente, vamos identificar as possíveis posições entre dois planos nomeados como respectivamente
de equações gerais dadas por Temos três possibilidades:
• Os planos são paralelos distintos e não existe intersecção entre eles, conforme mostra a próxima figura.
Figura 7 - Planos paralelos.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
• Os planos são coincidentes, conforme mostra a próxima figura.
Figura 8 - Planos coincidentes.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
• Os planos são transversais e intersecção entre eles é uma reta, conforme mostra a próxima figura.
•
•
•
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Figura 9 - Planos transversais.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Para identificarmos essas situações ou posições entre dois planos, lançaremos mão da determinação de seus
vetores normais. Temos que dois planos ( ) são paralelos se, e somente se, seus vetores normais possuírem a
mesma direção, o que implica em , com , ou ainda que , com os vetores normais dos
planos sendo dados por 
Colocando as equações dos planos em um sistema de equações, teremos:
.
Quando os planos são coincidentes, esse sistema possui duas variáveis livres, sendo possível, mas
indeterminado. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo: determine a posição relativa entre os planos 
Resolução
Os vetores normais são dados por 
Visto que , temos que os dois planos são concorrentes. Outro aspecto é que eles são também
perpendiculares, pois 
Exemplo: determine a posição relativa entre os planos de equações 
Resolução
Os vetores normais são dados por: 
Visto que , temos que os planos são coincidentes ou paralelos.
Vamos resolver o sistema linear abaixo e decidirmos a posição relativa entre os dois planos.
. Este sistema é incompatível e os planos são paralelos.
Agora que temos a noção de como podemos determinar a posição relativa entre dois planos, pelo estudo de seus
vetores normais, vejamos como podemos determinar a posição relativa entre uma reta e um plano.
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4.2.2 Estudo das posições relativas entre uma reta e um plano
Veremos como determinar se uma dada reta está ou não contida em um plano, sendo ou não paralela ao plano,
ou sendo concorrente de forma a interceptador o plano em um ponto. Vamos supor a seguinte situação
geométrica: possuímos uma reta e um plano , sendo que nosso vetor normal a esse plano é dado por . A
figura a seguir apresenta a situação que a reta é paralela ao plano. Observe!
Figura 10 - Reta paralela ao plano.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Sendo a reta paralela ao plano, observe que a reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Se a situação fosse
outra e a reta fosse perpendicular ao plano, esta reta seria paralela ao vetor normal do plano. Observe a figura a
seguir.
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Figura 11 - Reta perpendicular ao plano.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Nas figuras anteriores, realçamos que é o vetor diretor da reta. A próxima figura apresenta uma situação em
que é a reta é concorrente ao plano.
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Figura 12 - Reta concorrente ao plano.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Vejamos, agora, alguns exemplos adaptados de Boulos e Camargo (2010).
Exemplo: temos a reta , com suas equações paramétricas dadas por e o plano 
. Vamos verificar se essa reta é ou não paralela ao plano dado.
Resolução
O vetor diretor da reta é dado por 
O vetor normal do plano, observando a equação geral, é dado por 
Iremos, então, determinar o produto escalar entre esses dois vetores.
 Visto que o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano possuem
produto escalar igual a zero e, portanto, são perpendiculares entre si, concluímos que a reta e o plano são
perpendiculares.
Exemplo: temos a equação vetorial de um plano dada por e a reta dada por 
 Determine a posição relativa entre reta e plano.
Resolução
O plano passa pelo ponto . Vamos fazer com que o ponto pertença ao plano, obtendo 
, que também pertence ao plano.
Temos dois vetores diretores, que também pertencem ao plano, de coordenadas dadas por e . Visto
que todos os três vetores pertencem ao plano, podemos estabelecer a condição de coplanaridade. Assim,
teremos:
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Resolvendo, teremos: Dessa forma, o vetor normal ao plano possui coordenadas 
A equação vetorial da reta foi dada por . Portanto, as coordenadas do vetor diretor da reta
são 
Vamos determinar o produto escalar entre o vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta.
. Logo, a reta e o plano são concorrentes.
Exemplo: vamos analisar a posição da reta de equação em relação ao plano .
Resolução
As coordenadas do vetor diretor da reta são dadas por e o vetor normal ao plano possui
coordenadas dadas por Podemos, então, determinar o produto escalar entre estes dois vetores e
teremos:
 Portanto, ou a reta é paralela ao plano ou está contida no plano. Vamos
substituir um ponto da reta na equação do plano. Iremos substituir o ponto na equação do plano dada por 
.
. Dessa forma, a reta pertence ao plano e, portanto, está contida no plano.
Para que uma reta esteja contida em um plano, lembre-se de que o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao
vetor normal do plano e que algum ponto da reta deve pertencer ao plano.
4.2.3 Cálculo de ângulos entre planos e entre retas e planos
Vamos, agora, investigar como podemos determinar ângulos entre planos e entre retas e planos. Observe com
atenção a figura a seguir.
VOCÊ SABIA?
O Geogebra possui eficientes comandos para desenhar gráficos de planos eretas. Os software 
comandos são simples e o apresenta a possibilidade de mudança de pontos de vistasoftware
das figuras, com movimentos de rotação inclusive. Um excelente ambiente para o estudo de
retas e planos. Saiba mais em:
< >.https://www.geogebra.org
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Figura 13 - Ângulo entre reta e plano.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Clique na interação a seguir e veja o que temos em função da figura acima.
Vejamos um exemplo de aplicação dessa fórmula. 
Exemplo: qual é o ângulo formado entre a reta e o plano, dadas as equações e 
Resolução
O vetor normal ao plano é dado por e o vetor diretor da reta é dado por . Logo,
teremos:
Portanto, temos que 
Agora, vejamos como podemos determinar o valor do ângulo entre dois planos. O ângulo entre dois planos pode
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Agora, vejamos como podemos determinar o valor do ângulo entre dois planos. O ângulo entre dois planos pode
ser calculado pelo ângulo formado por dois vetores normais de cada plano. Dessa forma, teremos:
De forma que os vetores da fórmula são os vetores normais aos planos.
Exemplo: calcule o ângulo entre os planos de equação 
Resolução
Os vetores normais aos planos são dados por 
Aplicando a fórmula , teremos:
Observe que as fórmulas de ângulos que deduzimos são função de vetores normais aos planos e de vetores
diretoresdas retas. Na sequência, estudaremos outras formas da Geometria; as figuras cônicas.
4.3 Cônicas: circunferência e parábolas
Estudaremos, neste tópico, duas importantes curvas pertencentes ao estudo de Geometria Analítica: as
circunferências e parábolas. É desnecessário salientar a importância desse estudo, visto a ampla existência de
objetos em nosso cotidiano que possuem a forma de círculos e perfis parabólicos. Vejamos, então, um pouco do
estudo analítico desses elementos da Geometria.
4.3.1 Definição de cônicas
Sejam duas retas e concorrentes em um ponto , sendo também não perpendiculares. Faremos com que a reta 
 seja fixa e com que a reta faça um giro de em torno da reta , mantendo constante o ângulo entre as retas
(WINTERLE, 2014).
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Figura 14 - Superfície cônica.
Fonte: WINTERLE, 2014, p. 167.
Observe que é formada pela reta uma superfície cônica infinita composta por duas folhas separadas pelo
vértice. Temos então que a reta é chamada geratriz da superfície cônica e a reta , é chamada eixo da superfície.
Damos o nome de ao conjunto de pontos formados pela intersecção do plano com a superfície cônica. cônica
Vejamos diferentes situações nas quais um plano secciona uma superfície cônica. Clique nos itens abaixo.
a) A cônica será uma parábola quando o plano π for paralelo a uma geratriz da superfície.
b)
A cônica será uma elipse quando o plano não for paralelo a uma geratriz e interceptar apenas
uma das folhas da superfície. A cônica também poderá ser uma circunferência quando o
plano for perpendicular ao eixo da superfície cônica.
c)
A cônica será uma hipérbole quando o plano não for paralelo a uma geratriz da superfície
cônica e interceptar as duas folhas da superfície. A hipérbole é uma curva só, constituída de
dois ramos, um em cada folha da superfície.
Observe a imagem a seguir:
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Figura 15 - a) parábola b) elipse c) hipérbole.
Fonte: WINTERLE, 2014, p. 168.
Vejamos um pouco mais sobre as cônicas circunferência e parábola.
4.3.2 Equação e propriedades de circunferências e parábolas
Vamos estudar inicialmente a cônica parábola. Aqui, devemos considerar no plano cartesiano uma reta , que
chamaremos de diretriz, e um ponto fixo , que chamaremos de foco. Inicialmente, esse foco irá pertencer ao
eixo das abscissas, ou seja, o eixo dos .
A parábola é uma curva plana, aberta e de um único ramo. Podemos defini-la como sendo o lugar geométrico
definido pelos pontos do plano que estão equidistantes do foco e da reta diretriz.
Figura 16 - Elementos da parábola.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
O número real é chamado de “parâmetro da parábola”. Na parábola, temos a relação notável dada por 
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O número real é chamado de “parâmetro da parábola”. Na parábola, temos a relação notável dada por 
. Nessa relação, é a distância do vértice ao foco da parábola.
Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Nessa situação, o eixo de simetria da parábola coincide com o eixo das abscissas e o vértice estará na origem,
teremos o foco dado . Visto que , pela fórmula da distância de dois pontos, teremos:
Desenvolvendo e simplificando essa expressão, teremos , que é equação reduzida da parábola de eixo
horizontal e vértice na origem.
Figura 17 - Parábola de equação reduzida .
Fonte: WINTERLE, 2014, p. 172.
Temos o foco dado por e a reta diretriz de equação .
VOCÊ SABIA?
Trajetórias de lançamento de projéteis percorrem trajetórias parabólicas e a parábola é uma
cônica. O estudo de planos, retas e as superfícies cônicas também se preocupa com suas
representações geométricas e formas. Outro exemplo bem próximo de trajetórias parabólicas é
quando você aperta o botão do bebedouro de água. Observe o perfil parabólico quando for
beber água.
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Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto 
Caso a parábola tenha seu vértice em um ponto , teremos sua equação como sendo dada por 
Parábola de eixo vertical e vértice na origem
A parábola com vértice na origem e eixo vertical tem sua equação reduzida por:
. Vejamos outra forma da parábola. Observe a figura a seguir.
Figura 18 - Elementos da parábola de equação reduzida .
Fonte: WINTERLE, 2014, p 171.
Temos o foco dado por e a reta diretriz de equação .
Parábola de eixo vertical e vértice em (x0, y0)
Tem sua equação dada por . Vejamos alguns exemplos.
Exemplo: qual a equação da parábola que possui foco no ponto com seu vértice na origem?
Resolução
Temos que 
Por substituição em , temos que:
Exemplo: Determine a equação da parábola com foco e com vértice em 
Resolução
Nessa situação, temos que:
Substituindo em:
, teremos:
Vejamos agora como podemos representar parábolas quando ocorre uma translação de eixos.
4.3.3 Translação de eixos coordenados
Vamos considerar no plano cartesiano um novo sistema Observe a figura.
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Figura 19 - Translação de eixos.
Fonte: WINTERLE, 2014, p. 175.
Observe que agora todo ponto do plano cartesiano pode possuir duas representações, por exemplo Da
figura, obtemos as fórmulas de translação:
Vamos então representar parábolas que sofreram movimentos de translação. Inicialmente, a parábola de
vértices em 
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Figura 20 - Parábola com centro em .
Fonte: WINTERLE, 2014, p. 175.
A parábola em relação a esse novo sistema de referência possui equação dada por:
Quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x, sua representação no novo sistema será dada por:
Exemplo: Determine a equação da parábola com vértice em eixo paralelo ao eixo 
Resolução
A equação será da forma , visto que o eixo da parábola é paralelo ao eixo 
Desta forma, teremos:
Agora, vejamos outras cônicas, as elipses e as hipérboles.
4.4 Cônicas: elipses e hipérboles
Dentre os tipos de cônicas que trabalhamos, temos as cônicas elipses e hipérboles. Neste tópico, vamos entender
melhor cada uma delas e acompanhar exemplos que nos mostrem as aplicações possíveis. Prossiga com atenção!
4.4.1 Equações e propriedades
Vamos começar estudando as elipses. A elipse pode ser definida como sendo o lugar geométrico no plano onde a
distância aos pontos focais é uma constante de valor Para a elipse, temos a equação de definição de
lugar geométrico dada por Steinbruch (2006), que define os elementos da elipse, conforme apresentamos a
seguir.
1
Foco: São os pontos 
2
Distância focal: Distância entre os focos. 
- -22
3
Centro: Ponto médio do segmento 
4
Eixo maior: Segmento de comprimento 
5
Eixo menor: Segmento de comprimento 
6
Excentricidade: 
7
Visto que na elipse , temos que 
8
Vértices são os pontos 
9
Em toda elipse, vale a relação 
Observe a figura a seguir e os elementos de uma elipse.
Figura 21 - Elementos da elipse.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Vejamos casos de representação da elipse.
Elipse com centro na origem do sistema
Primeiro caso: eixo maior sobre o eixo dos x. A equação da elipse é dada por .
Exemplo: seja a elipse de equação , vamos determinar seus elementos.
- -23
Resolução
Temos que 
Visto que 
Os focos são dados por:
A distância do centro a cada foco é igual a .
A excentricidade é dada por: 
Eixo maior sobre o eixo dos y
Nesse caso, a equação reduzida da elipse é dada por .
Exemplo: vamos estudar a elipse de equação dada por 
Resolução
Visto que temos que:
Lembre-se que para a elipse temos .
Logo, teremos:
Os focos são dados por:
Os vértices são dados por: 
Elipse com centro fora da origem do sistema
As elipses também podem ser transladadas e terão suas equações alteradas.
Primeiro caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x. A elipse possui equação: , com centro .
Exemplo: determine os elementos da elipse de equação reduzida dada por:
Analisando a equação, teremos:
Lembre-se de que para a elipse temos .
A excentricidade é igual a .
Os focos são dados por 
Logo: 
O vértice do eixomenor será dado por:
No eixo maior , portanto:
VOCÊ QUER LER?
O livro “Cálculo com Geometria Analítica”, de Louis Leithold (1982) é considerado um dos
melhores livros de Cálculo associado à Geometria Analítica. Por possuir linguagem clara e
muitos exercícios teóricos e aplicados, sugerimos sua leitura.
- -24
No eixo maior , portanto:
Logo, teremos:
Vamos achar o vértice do eixo maior.
No eixo maior , portanto:
Logo, teremos:
Segundo caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos y. A elipse possui equação dada por:
Exemplo: vamos estudar a elipse de equação dada por 
Resolução
Comparando om , temos que:
Lembre-se de que para a elipse temos 
Excentricidade .
O centro é dado pelas coordenadas .
Os focos serão dados pelas coordenadas:
Logo, teremos:
Temos os vértices dados por:
Hipérboles
Steinbruch (2006) define a hipérbole como sendo o lugar geométrico dos pontos cuja diferença em distâncias,
em valor absoluto, a dois pontos fixos é constante. Vamos considerar dois pontos distintos com distância 
 Também vamos considerar a um número real, de forma que . O autor define que ao conjunto
de todos os pontos P do plano, tais que dá-se o nome de hipérbole.
VOCÊ O CONHECE?
Quem pela primeira vez utilizou os nomes parábola, elipse e hipérbole foi o matemático
britânico Arthur Cayley (1821-1895), que desenvolveu muitos trabalhos em Álgebra. Foi um
dos primeiros matemáticos a descobrir a Álgebra relacionada às matrizes.
- -25
Figura 22 - Hipérbole e seus elementos.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
A hipérbole possui alguns elementos definidos. Navegue na interação a seguir e veja quais são eles.
Focos são os pontos .
Distância focal é a distância dada por entre os focos.
Vértices são os pontos dados por .
Eixo real é o segmento de comprimento .
Eixo imaginário é o segmento de comprimento .
Observe a figura a seguir:
- -26
Figura 23 - Hipérbole e seus elementos.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
O valor de é definido por . Observe a figura!
- -27
Figura 24 - Hipérbole e seus elementos (com assíntotas).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Perceba que as retas tracejadas são chamadas de assíntotas. Outro elemento da hipérbole é chamado
“excentricidade”: . Assíntotas são retas que delimitam o comportamento de uma curva. Os pontos da
hipérbole aproximam-se, mas não tocam ou cruzam as retas assíntotas.
Hipérbole com centro na origem do sistema
Vamos estudar alguns casos da hipérbole.
Primeiro caso: o eixo real está sobre o eixo dos x. A hipérbole possui equação reduzida dada por: .
Esta é a equação da hipérbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x.
Exemplo: vamos estudar a hipérbole de equação dada por e determinar os elementos que a compõem.
a) Determinação dos vértices
Observe que, no vértice, a ordenada vale zero.
Logo, teremos:
Portanto, os vértices são dados por:
Vamos calcular a medida dos semieixos:
Comparando as duas equações, teremos:
Os semieixos real e imaginário medem .
b) Determinação dos focos
- -28
Os focos são dados, para esse caso de hipérbole centrado na origem e eixo real no eixo x, por:
Logo, teremos os focos dados por:
c) A excentricidade
d) equações das assíntotas.
Vamos estabelecer a fórmula: 
Figura 25 - Hipérbole de equação com assíntotas.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Segundo caso: o eixo real está sobre o eixo dos y. A equação reduzida da hipérbole neste caso é dada por 
 Nesta situação, teremos o foco dado por 
Exemplo: vamos determinar os elementos da hipérbole dada por 
Resolução
a) Vamos determinar os vértices.
Faremos em e teremos:
Os vértices estarão em:
.
b) Vamos calcular a medida dos semieixos.
Vamos comparar com 
c) Vamos determinar os focos.
Os focos são: 
d) Excentricidade.
e) Equação das assíntotas
Vamos estabelecer a fórmula:
- -29
e) Equação das assíntotas
Vamos estabelecer a fórmula:
Hipérbole com centro fora da origem do sistema
Lembre-se que as cônicas podem ser transladadas horizontalmente e verticalmente, deslocando o seu centro.
Primeiro caso: eixo real paralelo ao eixo dos x. Teremos a equação dada por:
As assíntotas são dadas por: .
Exemplo: Vamos estudar os elementos de uma hipérbole com vértices nos pontos . Temos
que um dos focos é dado pelo ponto .
Resolução
Observe os vértices: Eles estão localizados em .
Dessa forma, o eixo real é paralelo ao eixo dos . A hipérbole terá a equação dada por 
O centro da hipérbole é o ponto médio dos vértices: .
Temos que é o semieixo real e, portanto, 
Temos também que c é a distância do centro ao foco .
Vamos lembrar que:
Dessa forma, a equação da hipérbole é dada por:
A excentricidade é igual a .
As assíntotas são dadas por: .
Segundo caso: eixo real paralelo ao eixo dos y. Neste caso, a hipérbole possui equação dada por:
As assíntotas são dadas por .
Vamos a um exemplo!
Exemplo: vamos plotar a hipérbole e determinar os elementos da hipérbole de equação reduzida dada por 
Comparando com: 
temos que: .
Dessa forma, percebemos que:
• o centro é o ponto ;
• o eixo real é paralelo ao eixo dos y. No caso, ;
VOCÊ QUER VER?
O filme (1914) mostra um pouco da vida de Arquimedes, que foi um dos matemáticos Cabiria
que estudou as cônicas. É um filme da época do cinema mudo, vale o alerta, tendo sido dirigido
por Giovanni Pastrone. Ele também apresenta um pouco da história das Guerras Púnicas.
•
•
- -30
• o vértice é dado por ;
• os vértices serão dados por
;
• os focos são dados por . No caso, ;
• a excentricidade é igual a ;
• por fim, as assíntotas serão dadas por .
4.4.2 Representação das cônicas na forma polar e superfícies no espaço
Neste tópico, estudaremos como podemos representar algumas cônicas na forma polar. Inicialmente, vejamos a
representação de circunferências na forma polar. Observe na próxima figura, uma circunferência com centro 
Figura 26 - Elaborada pelo autor, 2019.
Fonte: Representação circunferência na forma polar.
Aplicando a regra dos cossenos em relação ao triângulo :
, que representa a equação da circunferência na forma polar.
Podemos estabelecer alguns casos particulares de circunferências em coordenadas polares.
a) Circunferência que contém o polo 
•
•
•
•
•
- -31
Figura 27 - Circunferência contendo o polo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
A equação padrão da circunferência é dada por 
Dessa forma, observando a figura, temos que:
Desta forma, teremos:
 e 
b) Circunferência com centro sobre o polo .
Figura 28 - Circunferência com centro sobre o polo p.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Nesta situação, temos , com a equação da circunferência em coordenadas polares dada por:
c) Circunferência que contém o polo e tem centro no eixo polar
- -32
Figura 29 - Centro à direita do polo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
A equação da circunferência que contém o polo (item b) é dada por . Vamos lembrar que o centro
da circunferência é dado por . Mas, para esse caso, temos que . Logo: , que é a equação da
circunferência que passa pelo polo e tem centro sobre o eixo polar. Observe que o centro se encontra à
direita do polo 
Para o centro à esquerda do polo, temos que: .
Figura 30 - Circunferência com centro à esquerda do polo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Vejamos uma situação algébrica na qual uma curva cônica deve ter sua equação convertida de coordenadas
polares para coordenadas cartesianas.
- -33
Elipse na forma polar
Vamos considerar a elipse apresentada na figura a seguir.
CASO
A equação da circunferência na forma polar dada por . Qual a equação na forma
cartesiana?
Resolução
Temos que as equações de transformação de sistema cartesiano para polar são dadas por:
Observe:
Substituindo em , teremos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
- -34
Figura 31 -Representação polar da elipse.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
O ponto representa um ponto qualquer da elipse.
A equação polar da elipse é dada por .
A relação é chamada parâmetro da elipse e desta forma, teremos:
.
Hipérbole na forma polar
Vamos analisar a figura a seguir.
Figura 32 - Representação polar da hipérbole.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
- -35
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
O ponto representa um ponto qualquer da hipérbole e a hipérbole possui equação em coordenada polar
dada por . A relação é chamada parâmetro da hipérbole e, desta forma, teremos: .
Observe a semelhança das equações polares da elipse e da hipérbole. Elas diferem apenas pelo valor da
excentricidade. Clique na interação a seguir.
Para hipérbole: .
Para a elipse: 
Para a parábola 
Para a circunferência e excentricidade aproxima-se de .
Lembre-se que a excentricidade está relacionada à forma das cônicas. Saiba mais sobre este assunto assistindo
ao vídeo a seguir.
https://cdnapisec.kaltura.com/p/1972831/sp/197283100/embedIframeJs/uiconf_id/30443981/partner_id
/1972831?iframeembed=true&playerId=kaltura_player_1552917619&entry_id=0_p3itin8n
Estamos nos aproximando do final do capítulo, e de nosso estudo sobre os elementos da Geometria, como retas e
planos e suas formas de representação. Observe que, agora, você consegue compreender e associar alguns
elementos do cotidiano, com retas, planos e cônicas, a representações geométricas. É fundamental em um
projeto entender como podemos representar objetos por modelos matemáticos, que frequentemente envolvem
elementos da Geometria.
Síntese
Neste capítulo, estudamos importantes temas da Geometria Analítica, bem como nos aprofundamos em
conceitos ligados a retas e planos, como posições relativas e ângulos entre esses elementos. Também estudamos
as chamadas cônicas, parábolas, elipses e hipérboles, determinando suas equações, propriedades e elementos.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• determinar posições e ângulos entre retas e planos;
• determinar elementos e representar cônicas, entendendo seu comportamento gráfico conforme suas 
propriedades.
Bibliografia
BOULOS, P.; CAMARGO, I. . São Paulo: Makron, 2010.Geometria Analítica
CABIRIA. Direção: Giovanni Pastrone. Produção: Giovanni Pastrone. Itália, 1914, P&B. Duração: 181 min.
REIS, G. L. dos; SILVA, V. V. da. . São Paulo: LTC, 1994.Geometria Analítica
STEINBRUCH, A. . São Paulo: Martins Fontes, 2006.Geometria Analítica
WINTERLE, P. . 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.Vetores e Geometria Analítica
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1982.
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	Introdução
	4.1 Estudo de Retas I
	4.1.1 Posição relativa entre retas
	4.1.2 Cálculo de ângulo entres retas
	4.2 Estudo de Planos II
	4.2.1 Estudo das posições relativas entre planos
	4.2.2 Estudo das posições relativas entre uma reta e um plano
	4.2.3 Cálculo de ângulos entre planos e entre retas e planos
	4.3 Cônicas: circunferência e parábolas
	4.3.1 Definição de cônicas
	4.3.2 Equação e propriedades de circunferências e parábolas
	4.3.3 Translação de eixos coordenados
	4.4 Cônicas: elipses e hipérboles
	4.4.1 Equações e propriedades
	4.4.2 Representação das cônicas na forma polar e superfícies no espaço
	Síntese
	Bibliografia