Análise de Circuitos 2ed O'Malley

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1 
C~ACU~TDS 
, 
ELETA~CDS 
2ª edição 
JOSEPH. A. E:DMJNISTER, M. S. E. 
Professor de Engenharia Elétrica da Universidade de Akron 
Tradução 
Lauro Santos Blandy 
Revisão Técnica 
Rodrigo Araês Caldas Farias 
FATEC, FAAP, Mauá, Mackenzie 
!v!AKRON Books do Brasil Editora Lt<la. 
Editora McGraw-Hill Lt<la. 
São Paulo 
Rua Tabapuã, 1.105, Itaim-Bibi 
CEP 04533 
(011) 829-8604 e (011) 820-8528 
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Rio de Janeiro• Lisboa• Porto• Bogotá• Buenos Aires• Guatemala• Madrid· México• New York 
•Panamá• San Juan • Santiago · 
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• Sydncy • Tokyo • Toronto • 
CAPÍTULO 1 
INTRODUÇÃO 
1.1 UNIDADES 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é usado em todo o livro. Este é formado sobre 
nove unidades básicas, listadas na Tabela 1-1, das quais todas as outras unidades são derivadas. 
Note que as letras a seguir são usadas como símbolos, com exceção dos locais onde a unidade 
é mencionada após um nome, de pessoa, como ampere (A) ou Kelvin (K). 
TABELA 1-1 
Quantidade Unidade Símbolo 
comprimento metro m 
massa kilograma kg 
tempo segundo s 
corrente ampere A 
temperatura kelvin K 
quantidade de substância mole mo! 
intensidade de luz candeia cd 
ângulo plano radiano rad 
ângulo sólido steradiano Sr 
As unidades derivadas comumente usadas em teoria de circuitos elétricos aparecem na 
Tabela 1-2. Algumas serão desenvolvidas neste capítulo, enquanto as outras serão aplicadas à 
medida que aparecem. · 
2 Circuitos Elétricos 
TABELA 1-2 
Quantidade Unidade Símbolo 
carga elétrica coulomb e 
potencial elétrico volt V 
resistência ohm n 
condutância siemens s 
indutância henry H 
capacitância farad F 
freqüência hertz Hz 
força newton N 
energia, trabalho joule J 
potência watt w 
fluxo magnético weber Wb 
densidade de fluxo tesla T 
magnético 
Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI deverão ser usados quando possível. 
Os símbolos dados na Tabela l -3 são prefixados aos símbolos das unidades das Tabelas 1-1 e 
1-2. Por exemplo, mm é usado para milímetro, 10- 3 m, MW para megawatt, 106 W. 
TABELA 1-3 
Fator Prefixo Símbolo 
109 giga G 
106 mega M 
HJ3 kilo k 
10- 2 centi e 
10-3 mili m 
10-ó micro µ. 
10-9 nano n 
10- 12 pico p 
1.2 FORÇA, TRABALHO, POT~NCIA 
As unidades derivadas seguem as expressões matemáticas as quais relacionam as quanti-
dades. De "força igual a massa vezes a aceleração", a força newton (N) é definida como uma 
Introdução 3 
força desequilibradora a qual dá à massa de l l<llograma uma aceleração de um metro por 
segundo ao quadrado. Daí, IN == l kg· m/s2 • 
O trabalho resulta quando uma força atua sobre uma distância. Um joule de trabalho 
equivale a um newton x metro: lJ = lN m. Trabalho e energia têm as mesmas unidades, logo a 
energia acumulada em um capacitor será expressa em joule. 
Potência é a taxa com a qual o trabalho é executado, ou a taxa à qual a energia é trocada 
de uma forma para outra. A unidade derivada de potência, o watt (W), é um joule por segundo 
(J/s). Por exemplo, elevar o peso de 3 newtons verticalmente através de 2 metros em 2 minutos 
requer (3N) x (2m) = 6J de trabalho (aumento de energia potencial), logo uma potência média 
de 
6J 
120 s == 0,05 w 
1.3 CORRENTE E CARGA ELITRICAS 
A unidade básica de corrente é o ampere (A), definida como a corrente contínua em dois 
condutores infinitos paralelos de seção circular desprezível, separados por um metro no vácuo, o 
qual produz uma força entre os condutores de 2 x 10- 7 newtons por metro de comprimento. 
Oaro que as correntes resultam de cargas em movimento e um ampere é um coulomb de carga 
movendo através de um local fixo em um segundo. Desta maneira, a forma derivada de carga, o 
coulomb (C), é equivalente a um ampere por segundo: lA = l C/s ou lC = 1 A. s. As cargas em 
movimento podem ser positivas ou negativas. Um líquido pode conter íons positivos conforme 
sugerido na Fig. 1-1 (a). Caso estes íons positivos se movam da direita para a esquerda, de tal 
sorte que eles passem pelo plano B indicado a uma média de um coulomb por segundo, então a 
corrente será de um ampere, dirigido para a esquerda. fons negativos movendo-se para a direita 
a uma média de um coulomb por segundo poderiam também constituir uma corrente de um 
ampere dirigida para a esquerda, conforme mostrado na Figura 1-1 (b ). De maior interesse na 
teoria de circuitos elétricos é a corrente em condutores metálicos, Fig. 1-1 (c). Os átomos do 
condutor estão fixados em uma estrutura cristalina. Os prótons carregados positivamente no 
núcleo atômico são circundados pelos elétrons carregados negativamente. Todos os bons condu-
tores terão um a dois elétrons no último nível, com todos os outros elétrons travados nos níveis 
inferiores mais próximos do núcleo. Estes elétrons mais externos são livres para se moverem de 
um átomo para outro próximo. Entretanto, as forças de coulomb os previne de serem arranca-
B B B 
l~O-
l C/l s 1 C/l s 1 Cil s 
-IA 
-IA - IA 
(a) (b) (e ) 
Fig. 1-1 
4 Circuitos Elétricos 
dos de uma localização. Uma figura razoavelmente precisa de condução num fio de cobre, por 
exemplo, é que aproximadamente 8,5 x 1028 elétrons por metro cúbico estão livres para se 
moverem. A carga de um elétron é -e = -1,602 x lCf 19 C, de tal sorte que a corrente de lA 
"t~TI~"t <>. ~-;i_ .... ..,,, '\,~'- ~"t"'\."\.'\'.)'°'~~~ ~~~';:.~~~"'-~°Tu..._,';:,.~~~~~""-~"'\,..""=>...._""-, ...... ~"""~""' · 
1.4 POTENCIAL ELÉTRICO 
Cargas elétricas experimentam forças nos campos elétricos as quais, caso não opostas, 
podem acelerar a partícula contendo a carga. De maior interesse aqui é o trabalho realizado para 
mover estas cargas contra o campo. Considere a carga Q na Fig. 1-2, submetida à ação de 
força de campo F e à força igual e oposta F a aplicada. Para mover a carga para a posição 1, é 
necessário trabalho. Caso Q seja um coulomb e o trabalho realizado por F a seja de um joule. 
então da posição 1 diz-se ter um potencial de um volt positivo em relaç:ro ao ponto original O. 
Isto é, IV= 11/C. 
Vo 
F 
Fig. 1-2 
O volt pode também ser definido {e, de fato, é definido oficialmente) como a diferença de 
potencial elétrico entre dois pontos ao longo de um condutor carregando uma corrente constan-
te de um ampere quando a potência dissipada entre os dois pontos é um watt. A potência p 
é o produto da corrente e a diferença de tensão, p =ui ou u = p/i. Daí, 
1.5 NOTAÇÃO 
l V = 1 W = 1 J/s = ..!...:!. 
1 A 1 C/s l C 
É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e variáveis 
com o tempo, pelo emprego de letras maiúsculas para as constantes e letras minúsculas para as 
variáveis. Por exemplo, uma corrente constante de dez amperes deverá ser escrita 1 = 10 A, 
enquanto uma corrente senoidal de amplitude de dez amperes deverá ser escrita 
i = (10 A) sen wt ou i = 10 sen wt {A) 
Normalmente, a segunda forma será a usada neste livro; ela indica que i estará em A determi-
nando que a constante 1 O será em A, w em rad/s, e t em s. 
Introdução 5 
1.6 FUNÇÕES CONTJNUAS E DESCONTINUAS 
Em um circuito elétrico, a corrente em um ramo é a primeira derivada da quantidade de 
carga que está livre para se mover i = dq/dt. (Isto será examinado posteriormente no Capítulo 2). 
Porém a carga é carregada pelos elétrons, e elétrons não podem aparecer ou desaparecer 
abruptamente. Por exemplo, na Fig. 1-3 a corrente i de oramo é mostrada no condutor 
ligado a um capacitor cuja carga é q. Agora, se as cargas aumentam no intervalo de tempo 
O< t < t 1 da forma mostrada na Fig. 1-4 (a), então a corrente será como está na Fig. 14 (b ). 
De r 1 a t 2 a carga permanece constante e a corrente é zero. Assim que a carga q retoma a zero 
a uma razão constanteno intervalo t 2 < t < t 3 , a corrente é constante e negativa. A função 
corrente é descontínua em t = O, t 2 e t 3 , porque nestes instantes i (t- ) = i (t + ).'.Em constraste, 
a função carga é sempre continua, uma vez que uma descontinuidade iria requerer que uma 
quantidade de carga mstantaneamente aparecesse ou desaparecesse. Os elétrons podem por 
vezes moverem-se rapidamente, mas nunca com velocidade infinita. 
q 
(a) 
(b) 
o /1 
-- ; 
Fig. J-3 Fig. 1-4 
Problemas Resolvidos 
LI Obtenha o tempo, em nanossegundos e em microssegundos, no qual a função 
y(t) = Ye-sx1~r 
tenha um valor que seja 20% de y (O). 
Uma vez que y (O)= Y, 
0,20 Y = Ye -8x10S1 
6 Circuitos Elétricos 
Resolvendo por logaritmo naturaJ 
t = 2,01 x 10 6 s = 2010 ns = 2,01 µ.s 
1.2 Uma impedância Z cm regime permanente é dado por 
onde/é a freqüência em hertz. Obtenha Z para as freqüências 9,95 kHz e 3,20 MHz. 
{( I0,5f - (2rr(9,95 X HY~ X 10 ')2} 112 = J0,79 n 
{( I0.5f - (27T(3,20 X icf'}t '< 10 ' )2}112 = 30,24 fi 
1.3 Em um movimento retilinear simples a uma massa de 2,5 kg é dada uma aceleraçâ'o cons-
tante de 25 m/s2 . (a) Achar a força atuante F. (b) Descubra a posição e a energia cinética 
do corpo após quatro segundos, caso ele estivesse inicialmente em repouso em x =O. 
(a ) 
(b ) 
F - ma = (2,5 kg)(25 m/s2 ) = 62,5 kg · m/s2 = 62,5 N 
x = !ar:= ; (25 m/s2)(4 <>i = 200 m 
Daí, pela relação trabalho-energia, 
KE = fa = (62,5 N)(200 m) = 12 500 N · m = 12 500 J 
011 12,S sfRJ. 
1.4 A força aplicada a um objeto movendo-se na direção x varia de acordo com F = l 2/x2 (N). 
(a) Descobrir o trabalho no intervalo lm ~ x ..; 3m. (ó) Que força constante agindo 
durante o mesmo intervalo poderia resultar no mesmo trabalho? 
(a) dW F dx tal que i' p [-l]J W = -5 dx = 12 - = 8 J 1 X X 1 
(b) 8 J = Fc(2 m) ou Fc= 4 N 
1.5 Um condutor tem uma corrente constante de cinco amperes. Quantos elétrons passam por 
um ponto fixo no condutor em um minuto? 
5 A= (5 C/s)((IJ s/min) = 300 C/min 
300 C/min 1,87 x 1<>21 elétrons por minuto 1,602 x 10- •9 C! elétron 
Introdução 7 
1.6 Um certo circuito elétrico requer 9,25µ.J para mover 0,5µC de um ponto para um segundo 
ponto. Que diferença potencial existe entre estes dois pontos? 
um volt =um joule por coulomb 9,25 X JO-" J v = o,5 x 10 "e= is,5 v 
1. 7 Energia elétrica é convertida em calor à razão de 7 ,56 kj/min em um resistor que tem 
270 C/min passando por ele. Que diferença de potencial existe nos terminais do resistor? 
DeP= VI, V = f = 7,56 x 1()3 J/ min 2B J /C = 2B V 
I 270 C/min 
1.8 Um certo elemento de circuito tem urna corrente i = 2,5 sen wc (mA), onde w é urna 
freqüência angular em rad/s, e a diferença de potencial entre os terminais é u = 45 sen 
wt (V). Achar a potência média Pm e a energia Wr transferidas em um período da função 
seno. 
A energia é a integral de tempo da potência instantânea. 
l2wf• 12..r/w J 12 51T WT = vi dt = 112,5 sen2 wtdt = - -'-º o w (mJ) 
A potência média será então 
Pm = 2~: = 56,25 mW 
Note que a Pm é independente de w. 
1.9 A unidade de energia elétrica usada por urna companhia de fornecimento de energia 
elétrica é o k:ilowatt-hora (kwh). (a) Quantos joules existem em um kwh? (b) Um apa-
relho de televisã'o em cores com consumo de 650 W fica ligado desde as 19 horas até as 
23:30. Qual é o consumo de energia, em mega-joules e em kilowatt-horas? 
(a) 
ou 3,6 MJ. 
(b) 
e 
1 kWh = (1000 W)(I h)= (1000 J/s)(3600 s) = 3,6X 106 J 
(650 X 10 3 kW)(4,5 h) = 2,93 kWh 
(2,93 kWh)(3,6 MJ/kWh} = 10,5 MJ 
1.10 A Fig. 1-5 (a) é o gráfico da corrente em um elemento de circuito. Achar a carga trans-
ferida por esta corrente, assumindo que o elemento está inicialmente descarregado. 
8 Circuitos Elétricos 
iA 
(a ) o l------''----li----11----11-----'~--.1~~~ 
12 1. ms 
- 5 
(h) 
Fig. 1·5 
De i = dq/dt e q(O) = O, 
q = L' i dt 
A integral de i pode ser encontrada graficamente pelo cálculo da área sob a curva da 
Fig. 1-S(a) entre O e t. O resultado é mostrado na Fig. 1-S(b ). Note que q é uma função 
contínua com o tempo, e mesmo assim i não é. Note também que porque o gráfico dei 
é antessimétrico ao redor de t = 6 ms, o gráfico de q é simétrico ao redor deste ponto. 
Problemas Propostos 
1.11 Obtenha o tempo tem microssegundos e em milissegundos nos quais 
V= 250(1 - e-lxto.>t) (V) 
tem o valor 97,S volts. Resp.:247µs ; 0,24 7 ms. 
l.12 Obtenha o tempo tem microssegundos e em nanossegundos do primeiro mínimo (máxi-
mo negativo) valor da senóide v = V m sen wt, onde V m >O e w = 27T x 106 rad/s. 
Resp.:0,75µ.s; 750 ns. 
Introdução 9 
1.13 Obter o trabalho e a potência associada com o movimento de uma massa de 3,5 x 10-2 kg 
por uma força 7,5 x 10 - 4 N sobre uma distância de dois metros em um temp<;> passado 
de quatorze segundos. Resp.:1,5 mJ; 0,0107 mW. 
1.14 Obtenha o trabalho e a potência requerida para mover uma massa de 5,0 kg em um plano 
inclinado sem atrito a um ângulo de 309 com a horizontal por uma distância de 2,0 m ao 
longo do plano em um tempo de 3,5 s. Resp.:49,0 J; 14,0 W. 
1.1 S Uma unidade de potência usada para os motores elétricos é o horsepower (hp ), igual a 
746 watts. Quanto de energia um motor de 5 hp desenvolve em duas horas? Expresse a 
resposta em MJ. Resp.:26,9 MJ ;· 
1.16 Um fio de cobre de# 12 AWG* contém aproximadamente 2,77 x 1023 elétrons livres por 
metro de comprimento, assumindo um elétron de condução por átomo. Para uma corren-
te de 25 A, descubra a porcentagem desses elétrons que irão passar em um dado ponto 
em um minuto. Resp.:3,38%. 
1.17 Encontre a carga, em coulombs, e o número de elétrons que devem passar por um ponto 
fixo em uma hora no filamento de um bulbo de lâmpada de 100 W a 120 V. Assumir a 
corrente contínua. Resp.:3000 C/h; 1,87 x 1022 h-1 
1.18 Um medidor de impulsos elétricos mediu 305 V; 0,15 A, durante 500µs. Que potência e 
energia isto representa? Resp.:45,75W; 22,9 mJ. 
1.19 Aparelhos domésticos são servidos por uma tensão deu= 120 J2 sen 1207T t (V). Um 
circuito nominal em 20 A tem uma corrente i = 20 .,/2 sen 120 1T t (A). Encontrar a 
potência média e a energia enviada em um período da função seno. Resp.:2400 W;40J. 
1.20 Um certo elemento de circuito tem a corrente e tensão 
1.21 
* 
i = lOe- sooo' (A) V = 50(1 - e-5000') (V) 
r.ncontre a energia total transferida durante t ~O. Resp.:50 mJ. 
Trabalho igual a 1361 é gasto em movimentar 8,5 x 1018 elétrons de um ponto para outro 
ponto em um circuito elétrico. Que diferença de potencial isto cria entre os dois pontos? 
Resp.: lOOV. . 
# 12 AWG significa bitola 12Arnerican Wue Gange; equivale a um fio de diâmetro. 
J O Circuitos Elétricos 
1.22 Uma bateria nonnal de automóvel típica de 12V é especificada segundo ampere-horas. 
Uma bateria de 70 - A • h, por exemplo, a uma razão de descarga de 3,5 A tem uma vida 
de 20 h. (a) Assumindo que a tensão pennaneça constante, obtenha a energia e a potên-
cia entregue na descarga completa da bateria acima. (b) Repita para uma taxa de descarga 
de 7,0 A. Resp.:(a) 3,02 MJ, 42 W, (b)3,02 MJ, 84 W-
1.23 Para t ~O, q = 4 x 10-4 (1 - e-250 t) (c). Obter a corrente em (a) t = O, (b) t = 3 ms. 
Resp.:(a) 0,10 A; (b) 0,0472 A. 
1.24 A capacitância de um elemento de circuito é definida como q/V, onde q é a-quantidade da 
carga annazenada no elemento e V é o valor da diferença de potencial através do elemen-
to. A unidade derivada do SI para capacitância é o farad (F). Expresse o farad em termos 
de unidades básicas. Resp.: 1 F = 1 A 2 • s4 /kg • m2 . 
CAPÍTULO 1 
CONCEITOS DE CIRCUITOS 
2.1 ELEMENTOS DE CIRCUITO 
Um diagrama de circuito ou rede é constituído de combinações série ou paralelo de 
elementos de dois tenninais que representam um dispositivo elétrico. Análise do diagrama do 
circuitoprediz o comportamento do dispositivo atual. O bloco construtivo básico é o elemento 
de dois terminais mostrado na forma geral na Fig. 2-1, com uma simples função ou um disposi-
tivo simples contido dentro dos símbolos e os dois terminais condutores perfeitos. Elementos 
ativos são fontes de tensão e corrente os quais são capazes de fornecer energia para a rede. 
Resistores, indutores e capacitores sã"o elementos passivos os quais podem absorver ou arma-
zenar a energia das fontes. 
Fig. 2-1 
A Figura 2-2 ilustra sete elementos básicos de circuito. Elementos de circuito ativos 
independentes são mostrados em (a) e (e), onde a tensão e corrente especificadas não são 
alteradas pela mudança na rede conectada. Fontes de tensão e corrente as quais mudam de 
acordo com as variáveis no circuito ligado são fontes vinculadas, com símbolos em forma de 
diamante como em (b) e (d). Os três elementos de circuito passivo são mostrados em (e), (f) e (g). 
11 
12 Circuitos Elétricos 
V R L 
(a) (b) (e) (d) (e) (/) (g) 
Fig. 2-2 
Os diagramas do circuito discutidos aqui são chamados circuitos de parâmetros concentrados, 
uma vez que um simples elemento em uma localização no diagrama é usado para representar 
uma resistência, indutância, ou capacitância distribuída. Por exemplo, uma bobina consistindo 
em muitas voltas de fio isolado tem resistência e indutância distribuída ao longo de todo o 
comprimento do fio. Entretanto, uma simples concentrada num ponto, conforme mostrado na 
Fig. 2-3(b ), é usada para representar a resistência distribuída da bobina. A indutância é da 
mesma forma agrupada em um único ponto, e em série com a resistência. 
R 
L 
(a) (b) 
Fig. 2-3 
2.2 POTENCIAL EÚTRICO 
Uma magnitude e uma polaridade devem ser especificadas para descrever completamente 
o potencial, ou tensão. Os sinais da polaridade no diagrama do circuito são colocados próximos 
dos dois condutores onde a tensão é definida. Caso, por exemplo, v = 15 V na Fig. 2-4, o termi-
nal A é positivo em relação ao terminal B. Caso v= 10 sen wt, o terminal A é positivo em rela-
ção ao term.inal B para o< wt < 1T, e B é positivo com relação a A para 1T < wt < 27T. 
2.3 CORRENTE 
Para ser completamente definida, a corrente deve ser dada com uma magnitude e uma 
direção. Na Fig. 2-5 a corrente i é mostrada entrando em um elemento de circuito generali-
v. 
Conceitos de Circuitos 13 
A 
V 
B 
Fig. 2-4 
zado. Caso i = 2,5 A, então a corrente convencional (atribuída à movimentação de correntes 
positivas) estão na direção da flecha. Entretanto, caso i = -4,0 A, então a corrente convencional 
passa através do elemento na direção oposta daquela mostrada pela flecha. 
Fig. 2-S 
2.4 CONVENÇÃO DE SINAIS 
Quando a corrente entra em wn elemento do circuito no terminal marcado + para a 
tensão v através do elemento, a potência absorvida é p = vi. Na Fig. 2-6(a), Va = 20 V, vb = 
= - 15 V. Vc = 5V. No elemento A 
p =-vai= - (20)(3) = -60 W 
_ 15 V + 
(a) (b) 
Fig. 2-6 
14 Circuitos Elétricos 
Absorção negativa é emissão positiva, conseqüentemente o elemento A deverá ser uma fonte. 
Os elementos B e C têm 45W e 1 SW de potência absorvida, respectivamente. O circuito da 
Fig. 2-0(b) com duas baterias e um resistor em série correspondem exatamente ao circuito da 
Fig. 2-6(a). A bateria de SV está sendo carregada à razão de 15 joules por segundo. 
Em tempo, é conveniente usar o termo potência gerada em vez de potência absorvida. 
Potência gerada por um elemento ativo do circuito é o negativo de potência absorvida. 
2.5 DIAGRAMA DE CIRCUITOS 
Cada diagrama de circuito pode ser construído de várias maneiras, podem ser vistos de 
forma diferente, porém são de fato idênticos. O diagrama apresentado em um problema pode 
não sugerir o melhor dos vários métodos de solução. Conseqüentemente, um diagrama deve ser 
examinado antes de se iniciar uma solução, e reprojetado se necessário para mostrar mais clara-
mente como os elementos são interligàdos. Um exemplo extremo é ilustrado na Fig. 2-7, onde 
os três circuitos são de atuação idêntica. Na Fig. 2-7(a) as três "junções" indicadas por A são 
mostradas como duas "junções" em (b). Entretanto, o resistor R4 é desviado por um curto 
circuito e pode ser removido por razão de análise. Logo, na Fig. 2-7(c) a junção simples A é 
mostrada com sua junção de três ramos. 
R1 
B 
R1 
-----4A 
A A 
(a) (b) (e) 
Fig. '2-7 
2.6 RELAÇÕES TENSÃO-CORRENTE 
Os elementos de circuitos passivos resistência, indutância e capacitância são conveniente-
mente definidos por uma forma na qual a tensão e corrente são relacionadas para os elementos 
individuais. Na Tabela 2-1, a corrente é assumida entrando no elemento pelo terminal de tensão 
marcado positivamente, seguindo a convenção de sinais da seção 2-4. 
Conceitos de Circuitos 15 
TABELA 2-1 
Elemento de 
Unidade Tensão Corrente Potência Circuito 
li ohms (!l} v= R i V p=vi=i2 R i=-R 
(Lei de Ohms) : 
Resistência 
!! henries (H) di i= r f v dt+k, . L .di v = L - p= Vl = z-dt dt 
Indutância 
!1 
farads (F) V = ~ J idJ + k2 i = cdv . e dv T p=v1= v-dt dt 
Capacitância 
; - + ;-
V1 R 1 
+ + 
V2 R2 li Req 
+ 
V) R3 
(a) (b) 
Fig. 2-8 
16 Circuitos Elétricos 
2.7 ELEMENTOS EM StRIE E PARALELO 
Os três resistores em ligação em série mostrados na Fig. 2-8(a) têm a mesma corrente i. A 
tensão pelo circuito inteiro é a sorna das tensões individuais. Um único resistor equivalente pode 
substituir os três resistores [Fig. 2-8(b )]. 
V= Vt +Vi+ V3 
iReq = i(R1 + R2 + R 3) 
Req = Ri + R2 + R3 
Em uma conexão paralela de três resistores [Fig. 2-9(a)] a corrente total é a soma das 
três correntes individuais. 
+ ; - i -
..... 
;,I . ~ i3 + •• , • R Req V . : :R • R.2 • J V 
(a) (b) 
Para dois resistores em paralelo 
Da Tabela 2-1, v =Ri e v = L di/dt. Daí, combinações série e paralelo de indutância terão 
expressões-~idênticas Leq por causa da relação inversa de v e de C, como mostrado na Tabela 
2-1, terão expressões para equivalentes série e paralelo reversas. Isto é, dois capacitares em 
paralelo têm Ceq = C 1 + C2 o qual é a mesma forma como de resistores em série, Req = R 1 + 
+ R2 . Ver os Problemas 2-10 e 2-12. 
Conceitos de Circuitos 17 
Todos os resultados citados seguem fundamentalmente uma única condição: nominal-
mente, que a potência nos elementos equivalentes deve ser igual à potência total dos elementos 
que eles substituem. 
2.8 RESISr~NCIA 
Energia pode ser armazenada no campo elétrico de um capacitar (ver Problema 2-18) ou 
no campo magnético do indutor e pode retomar num tempo posterior quando o capacitar é 
descarregado ou quando houver um colapso no campo do produtor. Em contrapartida, um 
resistor (também chamado de resistência) toma a energia da fonte de alimentação.a qual não pode 
ser devolvida. Portanto a potência média para a indutância e capacitância deve ser zero, enquan-
to que a expressão da potência para uma resistência, p = Ri2 , é claramente sempre positiva. 
Todos os dispositivos elétricos que consomem energia devem ter resistência em seus modelos 
de circuito. 
EXEMPW 2.1 Um resistor de 4!2 tem uma corrente dei= 2,5 sen 5001Tt (A). Determine a 
tensão instantânea, a potência instantânea e a energia por meio de um ciclo. 
' :::. 1 ) ..: 
VR = Ri = 10 sen 500711 (V) 
'-< C) 
p = Ri2 = 25 sen 1 5001Tt (W) 
e:v. 
w = f pdr=25G-se~1T') ..) ,4 (J) ~ ~3-.::> 
As curvas de i, p e w na Fig. 2-10 ilustram que p é sempre positivo. Segue-se daí que a 
energia aumenta o tempo todo; isto é, a energia é absorvida pelo resistor. 
2.9 INDUTÃNCIA 
Um indutor (também chamado de indutância) é um elemento do circuito que armazena 
energia durante um certo período de tempo e devolve esta durante outro período, de tal modo 
que a potência média é zero. Os enrolamentosdas bobinas nos motores elétricos, transforma-
dores e equipamentos similares têm indutância em seus modelos de circuitos. Da Tabela 2-1 a 
corrente em uma indutância é dada pela integral da tensão aplicada no tempo; esta corrente de-
ve ser, portanto, uma função contínua do tempo. Em particular, sei= O em t =o-; não é oos-
sível parai em t = o• ter outro valor que nlro zero. 
EXEMPW 2.2 No intervalo O ~ t ~ (rr/SO')s uma indutância de 30mH tem uma corrente 
i = 10 sen 50t (A). Em todos os outros instantes a corrente é zero. Obtenha a tensão, a potência 
e a energia para a indutância. 
di 
V L = L dJ = 15 cos 50t (V) p = vd = 75 sen lOOt (W) w = L' p dt + w(O) 
18 Circuitos Elétricos 
Se w(O) = O, 
w = 0,75(1 - cos 100t) (J) 
Conforme é mostrado pela Fig. 2-11, a dada corrente resulta em um máximo de energia 
armazenada de 1,501 em t = (7r/l00) s. Durante os próximos (1T/100)s esta energia retoma para 
fonte e a energia armazenada é zero novamente e t = (1T/50)s. 
i,A 
2,5 
(a) 
e, ms 
25 --
~w~ 
(b) 
o 2 3 4 t, ms 
w, rnJ 
5() 
37,5 
(e) 25 
12,5 
o 2 3 4 t, ms 
Fig. 2-10 
Conceitos de Circuitos J 9 
i A 
10 
1. s 
t·. V 
I~ 
1. s 
p. w 
15 
1. s 
w. J 
l,SO 
1. s 
Fig. ~li 
20 Circuitos Elétricos 
2.10 CAPACITÂNCIA 
Um capacitor (também chamado uma capacitância) é um elemento de circuito que, como 
o indutor, armazena e devolve energia. No capacitor, a armazenagem é em um campo elétrico, 
enquanto a armazenagem no indutor é em um campo magnético. A tensão do capacitor é uma 
integral da corrente no tempo (Tabela 2-1 ); portanto vc deve ser uma função contínua no 
tempo. Cargas no capacitor é diretamente proporcional à tensão: q = Cvc. Isto provê a melhor 
evidência que a tensão não pode ser mudada abruptamente de um valor para outro; para a carga 
que é um excesso de elétrons no condutor negativo na Fig. 2-12 e uma deficiência de elétrons 
no outro, não pode haver variação instantaneamente de um valor para outro. 
q, vc 
V 
Fig. 2-12 
Exemplo 2.3 No intervalo O ~ t ~ 51T ms, um capacitor de 20µ F tem uma tensão vc = 50 sen 
200 t (V). Achar a carga, a corrente, a potência e a energia. Fazer o gráfico de w (t) assumindo 
que w (O)= O. 
w. mJ 
2S 
q = Cvc = 1000 sen 200 t (JL C) 
i = C dvc = O 20 cos 200t (A) 
dt ' 
p = vci = 5 sen 400t (W) 
w = L' p dt = 12,5 (1 - cos 4001) (mJ) 
Fig. 2-13 
Conceitos de Circuitos 21 
No intervalo O ~ t ~ 2,511' ms, a tenSã"o e a carga aumentam de zero para SOV e lOOOµC , 
respectivamente. A Fig. 2-13 mostra que isto resulta em uma energia armazenada de 2SmJ. 
Esta energia é retomada para a fonte no próximo intervalo 2,51T-ms, e a energia armazenada 
final é zero. 
Problemas Resolvidos 
2.1 Obter a tensão v no ramo mostrado na Fig. 2-14 para (a) iz = 1 A, (b) i 2 = -2 A, (e) i 2 = O A. 
Tensão v é a soma da fonte de corrente independente de 10 - V e a fonte de tensão de 
corrente vinculada vx. Note que o fator de multiplicação 1 S, multipli~ando a corrente 
controle, carrega a unidade n. 
(a) 
(b) 
(e) 
V = 10 + Vz = 10 + 15(1) = 25 V 
V =10 + Vz = 10+ 15(-2) = - 20 V 
v = IO + 15(0) = 10 V 
t1, = I5ii (V) 
JO V 
F ig. 2- 14 
2.2 Ache a tensão v através do resistor lOQ na Fig. 2-15, caso a corrente de controle i 1 da 
fonte de corrente vinculada seja (a) 2 A, (b) -1 A. 
(a) 
(b) 
+ 
ti 10 o 
Fig. 2- 15 
v = {i - 4)10 = (4(2) -4]1 0 = 40 V 
v = (i - 4)10 = [4(- 1) - 4]10= -80 V 
22 Circuitos Elétricos 
2.3 Encontre a potência absorvida pelo elemento de circuito generalizado na Fig. 2-16, para 
(a)t: = 50 V, (b) v = - 50 V. 
i = R,5 A 
Fig. 2-16 
Desde que a corrente entra no elemento pelo terminal negativo 
(a) 
(b) 
P = - i:i = - <SOX8,5) = -425 w 
p = - vi = - (- 50)(8,5) = 425 W 
2.4 Para o circuito da Fig. 2-17 encontre as correntes, em microamperes, caso as potências 
absorvidas sejam: p 1 = 27,75 nW, p 2 = -0,3µW, e p3 = l,20µW. 
i: 
1,5 mV 
Fig. 2~17 
P• = vii ou 27.75 X 10-9 = 1,5 X 10-3 i 1 ou i 1 = 1,85 X 10- 5 A = 18,5 µA 
Pz = vii ou -0,30 X 10-6 = 1,5 X 10-3ii ou ii = - 2x 10~ A= - 200 µA 
{>3 = vh ou 1,20 X 10-6 = 1,5 X 10- 3i3 ou h = 0,8 X 10- 3 A = 800 µA 
Conceitos de Circuitos 23 
2.5 Encontre a potência gerada pelas fontes no circuito da Fig. 2-18. 
1n 
+ "-~\. + w = 50V 
2n 
Fig. 2-18 
i == 20 - 50 = - lO A 
3 
As potências absorvidas pelas fontes são: 
Pa =-vai = - (20)(- 10) = 200 W 
Pb = Vbi = (50)(- 10) = -500 W 
Desde que a petênciâ ge1ada é o negativo da potência absorvida, a fonte v0 gera - 200 
We avb 500W. 
2.6 (a) Obtenha a resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 2-l 9(a ).(b) Com 
uma tensão constante aplicada aos .terminais ab, qual absorve a maior potência? 
a 
a 
10 2 
10 n 2fl 
X 
X 
5n 15!1 
5 2 15 
b 
b 
Fig. 2-19 (a) (b) 
24 Circuitos Elétricos 
(a) Decomponha o circuito em subcircuitos série J e 2 confonne mostrado na Fig. 2.19(b ). 
Daí, 
R = 2(10) = 20 n 
eql 12 12 
(b) Existe apenas uma única diferença de potencial através do subcircuito 1 e uma única 
diferença de potencial pelo subcircuito 2. Daí, 
e 
da qual a máxima potência deve ser maior do que P2 e P3 , desde que a mesma corrente 
passe pelos dois subcircuitos e P = fl Req, 
P2 (P,o/ P2) + 1 20 
Ps 1 + (P1s/P.~) = 45 
P2 (2/ IO) + 1 20 
p5 1 + (5/15) = 45 
P2 40 
p$ "'81 
o resistor de sn absorve a potência maior. 
2.7 Encontre a corrente suprida por uma fonte de 50V na Fig. 2·20(a). 
s n X 
1) 2n 
12n sn 6 0 3 0 50 V 
y 
(a) 
Fag. 2-20 
') + -
(b) 
Conceitos de Circuitos 25 
O circuito de resistores é primeiramente reduzido para um único equivalente Req 
[Fig. 2-20(b)]. Podem ser feitos esboços como o processo de redução para ilustrar os pas-
sos necessários. 
A resistência para a esquerda do ramo xy é 
8(12) 
R ... , = 5 + 20 = 9,80 n 
e para a direita, Req2 = 6(3)/9 = 2Q. Estas duas partes estão em paralelo uma com a 
outra, e em série com 2Q. Daí, 
R . = 2 + (9,80)(2) = 3 66 fi 
º" 11,&l - ' 
~!= 50/3,66 = 13,7 A. 
2.8 Uma resistência de 25Q tem uma tensão v = 150 sen 377t (V). Obter a corrente i e a 
potência p. 
Da Tabela 2-1, 
i = ..!:'.. = 6 ~n377t (A) R p = vi= 900sen
2 3nt (W) 
Em uma resistência a tensão e a corrente são proporcionais; expressas como função do 
tempo, elas diferem sementa na amplitude. As formas da onda mostradas na Fig. 2-lO(a) 
e (b) são similares a aquelas para este problema. 
o 4 6 t, ms 
(a) 
·~~~ 
o 2 4 6 t, ms 
(b) 
Fig. 2--21 
26 Circuitos Elétricos 
2.9 A corrente em um resistor de 5Q aumenta linearmente de zero até IOA em 2ms. No 
instante t = 2 + ms a corrente é novamente zero, e ela aumenta linearmente para 10 A em 
t = 4 ms. Este padrão repete-se a cada 2 ms. Desenhe o gráfico da v correspondente. 
ma vez que v =Ri, a máxima tensão deverá ser (5) (10) = 50 V. Na Fig. 2-21 são mos-
tiados os valores gráficos dei eu. A natureza idêntica das funções é evidente. 
2.10 Desenvolva a expressão para a indutância equivalente de várias indutâncias em série. 
A potência na indutância equivalente deve igualar a soma das potências nas indutâncias 
em série. 
T • di L . di L . di L,. . di 
"-"eq1- = 11 - + 21-+··· + 1 -dt dt dt dt 
conseqüentemente Leq = L, + L2 + · · · + L". 
2.1 1 Na Fig. 2-22 existem duas fontes, va e vb· Qual é a Ll!l/ do circuito, conforme visto por 
cada fonte? 
0,2mH 
0,6 mH 
Fig. 2-22 
0,4 mH 
Para encontrar Leq da fonte v0 remova~ e troque-a por um curto circuito. Então, 
[Cº·~~~·4) + o,6 ]co.2) 
Lec,o = 0,6 + [(O 4){0 4) ] = 0,760 mH 
. o 8' + 0,6 + 0,2 
' 
~ Similarmente, Leqb = 0,66 mH. 
2.1 2 Desenvolva a expressão para a capacitância equivalente de várias capacitânciasem série. 
Assumindo que não haja carga inicial nos capacitores, as tensões serão: 
v,=...!...J idt e, 
Conceitos de Circuitos 27 
e as potências 
1 ·J .d p, =e,, , e 1 . f .d />2 = -1 1 t C2 
Logo, a potência total é 
Conseqüentemente 
- 1 1 t +- 1 1 t + ··· = -1 1 I l ·f · d 1 ·J . d 1 ·J . d C, C2 Ceei 
1 1 1 
- =-+ -+· · · 
Ceei C1 C2 
2.13 Determine a capacitância equivalente dos quatro capacitores mostrados na Fig. 2-23. 
Ceei = (0,2 + 0,8)(0,7 + 0,3) =O 5 µ.. F (0,2+0,8) + (0,7+0,3) 1 
r 1 1 
0,2 µF Y º·' µF i 1 1 9 º''"' 
a b 
Fig. 2-23 
2.14 Para uma tensão constante de IOOV nos terminais ab na Fig. 2-23, detennine a corres-
pondente carga de cada um dos quatro capacitores. 
+ v, - + Vi -
o 1( 1( o b a ~I C.,.2 
Fig. 2-24 
Os dois circuitos em paralelo têm equivalentes Ceq 1 = Ceq2 = lµF. Veja Fig. 2-24. Logo, 
V1 = V2 = 50 V. Desde que Q =CV, a carga no 0,2µF será 
O o.2 = (0,2 x 10- 6)(50) = 10 µ..C 
Similarmente, Oo.s = 40 µ.. C, Oo.J = 15 µ..C, e Oo,7 = 35 µ..C. 
28 Circuitos Elétricos 
2.15 Um único elemento de circuito tem as funções corrente e tensão em gráfico na Fig. 2-25. 
Determine o elemento. 
i. A 
10 
o 
8 t. ms 
- 10 
v. V 
IS 
o 
4 6 8 t, ms 
1 
1 
-~ • • 
Fig. 2-25 
O elemento não pode ser um resistor uma vez que v e i não são proporcionais; v é uma 
integral de i. Para 2ms <e < 4ms, i =/=O, mas v é constante (zero); logo o elemento não 
pode ser um capacitar. Para o <e < 2ms. 
Conseq üen temente, 
d" ~= 5 X 1<>3 A/S dl e 
/
d . 
L = v d~ = 3 mH 
v = 15 V 
(Examine o intervalo 4ms <e < 6ms: L deverá ser o mesmo.) 
2.16 Um circuito série com R = 251, L = 2mH e C = 500µF tem uma corrente que aumenta 
linearmente de O até 10 A no intervalo O ~ e ~ 1 ms, permanece em 10 A para l ms 
~ t ~ 2ms, e decresce linearmente de 10 A em t = 2 ms e para zero em t = 3 ms. Desenhe 
o gráfico VR, VL, e Vc-
uR deve ser uma função de tempo idêntica ai, com Vmax = 2(10) = 20V. 
Para O< e< lms, 
di 
dt = 10 X 1<>3 A/s e 
Conceitos de Circuitos 29 
Quando di/dt =O, para 1 ms < t < 2ms, vi. = 0 · 
Assumindo que a carga inicial no capacitar seja zero, 
Para O ~ t ~ 1 ms, 
A tensão alcança um valor de IOV em lms. Para lms < r < 2rns, 
Vc = (20 X 1<>3}(t - 10- 3) + 10 (V) 
Veja Fig. 2-26 
i:~ IJt. V :!() ~ 
o 3 t. ms o 3 t. ms 
1 
1 
t·c. V 
40 
":~ Jo ~ 20 IO 
o 2 3 1. ms o 2 3 l. ms 
Fig. ~26 
2.17 Um capacitar de 25µF tem uma carga inicial de 2,5µC. No intervalo O< t < I µs, 
i = 5 X H>6t - 5 (A) 
Obtenha a tensão e a carga em (a) t = 0,5µs, (b) t = 0,9µ s, 
q = L' ide + k = L' (5 X IO"r - 5) dJ + 2,5 X 10-6 = 2,5 X lO"r - 51 + 2,5 X I0-6 (C) 
- q (V) 
v - 25x w-" 
30 Circuitos Elétricos 
(a) At t = 0,5 µ.s: q = 0,625 µ.C, v = 25 mV. 
(b) Ar t = 0,9 µs: q = 25 nC. i; = l mV. 
2.18 O capacitar no circuito mostrado na Fig. 2-27 tem uma tensão inicial de IOOV, que de-
cresce para t > O como 
vc = 10oe-l/0·º15 (V) 
Encontrar a energia enviada pelo capacitor como uma função do tempo. Compare com a 
energia absorvida pelo resistor e determine a energia total transferida. 
20 µ.F 
- ic 
1so n L-+: -
Fig. ~27 
A corrente ic entra no capacitor pelo terminal +, enquanto a corrente i no sentido 
horário é de sinal oposto. Nós temos: 
logo a energia absorvida pelo capacitor - isto é, energja armazenada no seu campo 
elétrico -é 
onde a constante de irltegração é zero porque wc deve se anular quando vc se anular 
(em t = 00 ). A energia enviada pelo capacitor é dada, então por 
wé= wc(O)- wc =; [v~O)- v~] 
= 0,10(1- e-oo,ocns) (J) 
A potência absorvida pelo resistor é PR = ·vRi = vc (- ic); uma vez que a energia absor-
vida é 
WR = - L' vcicdt = wc(O)- wc(t) = wé 
o que está de acordo com a conservação de energia. 
Conceitos de Circuitos 31 
A quantidade total de energia transferida é 
w(;(oo) = wc(O) = 0,10 J 
Esta é a quantidade de energia dissipada como calor no resistor. 
Problemas Propostos 
2.19 Encontre as tensões, v 1, v2 e v 3 na Fig. 2-28, dado que os elementos de circuito generali· 
zados têm potências absorvidas p 1 = 250W, p 2 = - 125W e p 3 =100W.Resp.:50V, -25V, 
- 20V 
s,oA -
+ 
Fig. 2-28 
2.20 No circuito mostrado na Fig. 2-29, v 1 = 20V e v 2 = v 3 = 15V. Qual é a potência absorvida 
nos três elementos do circuito? Resp.:50W 
+ 
+ 
-s,OA 
10,0A 
Fig. 2-29 
2.21 Considere a corrente i entrando em um elemento de circuito generalizado no terminal 
negativo, com v a tensão através do elemento. Caso a potência absorvida seja - 25 mW e 
o módulo da corrente a de 6,4 mA, obtenha as possíveis combinações de v e i constantes 
Resp.: = 3,91V,±6,4 mA. 
32 Circuitos Elétricos 
2.22 Encontrar a corrente no circuito mostrado na Fig. 2-30 caso o controle v2 da fonte de 
tensão vinculada tenha o valor (a) 4V, (b) 5V, (e) IOV. Resp.:IA, O A, -5A 
s n 
ii 
25 V R 
rag. 2-30 Fig. 2-31 
2.23 No circuito mostrado na Fig. 2-31 encontre a corrente i, dados (a) i 1 = 2A, i2 =O; (b) 
i 1 = -1 A, i2 =4 A;(c) i 1 =i2 =1A.Resp.:(a)10 A, (b) 11 A, (c)9 A 
2.24 Três resistores estão em série e têm tensão contínua total Vr • R 1 tem uma tensão de 
20V, R 2 uma potência de 25 W, e R 3 = 2fl. Caso a corrente contínua seja 5A, encontre 
VT. Resp.:35 V 
2.25 Um resístor de 2fl está em série com uma combinação de três resístores em paralelo, 
lOfl, IOfl e 5fl. (a) Caso o resistor de 5fl tenha uma corrente contínua de 14A, qual a 
tensão total VT pelo circuito inteiro? (b) Compare a razão VT/12 para a resistência equi-
valente. Resp.:(a) 126 V; (b) ambos 4,5.n 
2.26 No circuito mostrado na Fig. 2-32, o resistor variável R é colocado de tal forma que a 
potência no resístor de 5.Q seja 20 W (a) Encontre o valor de R. (b) Encontre a má>.ima 
corrente e a potência en'>'.iada pela fonte assim que R seja ajustada. Resp.:(a) 16.Q (b) 
12,5 A, 625 W 
s n L , 
20n 
R 0,5 H 
Fig. 2-32 Fig. 2-33 
2.27 Na Fig. 2-33, L 1 = 2L2 . Encontre L 1 e L2 caso a indutância equivalente das três indutân-
cias seja O, 70H. Resp.:0,60 H, 0,30 H. 
Conceitos de Circuitos 33 
2.28 Três indutâncias estão em paralelo: 0,50 H, 0,80 H e L. (a) Encontre L caso a indutância 
equivalente seja 75,5 mH. (b) Existe um valor de L para o qual Leq = 0,50H? (c) Caso L 
seja ajustável sem limite, qual é o máximo valor possível de Leq? Resp.:(a) 0,10 H; 
(b) não; (c) 0,308 H 
2.29 Encontre o valor de C na Fig. 2-34 a qual resulta em uma capacitância equivalente de 
0,5µF. Resp.:0,4µ.F 
0,8 µF 0,6 µF 
~..,.___µF 11-----<1 ----...~ 
Fig. 2-34 
2.30 Uma combinação de duas capacitâncias em série C 1 = 20µ F e C2 = 40µF são carregadas 
pela conexão momentânea com uma fonte de 50 V. Achar as tensões V, e V1 e as cargas 
Q1 e Q2 nos capacitores. Resp.:33,3 V, 16,7 V, 667 µC, 667 µC 
2.31 Determine a capacitância equivalente da combinação mostrada na Fig. 2-35, conforme 
visto da fonte de tensão v. Resp.:2,85 F 
V 
6F 
F1g. 2-35 
2.32 Uma resistência de 25!1 tem uma tensão v = 150 sen 377t (V). Encontre a potência 
instantânea e média. Resp.:900 sen2 377t (y{), 450W 
2.33 Uma resistência de 5n tem, para o< t < 2 ms, uma corrente i = 5 X 103 t (A). Achar a 
potência instantânea e média. Resp.: 125 t 2 f.YV), para tem ms; 167 W 
2.34 Uma indutância L (H) tem uma corrente i = I (1 - e -Rt/L) (A). Achar a máxima energia 
armazenada. Resp.: !LI2 (J) 
34 Circuitos Elétricos 
2.35 Uma indutância de 3 mH tem a seguinte forma de onda de tensão: para O < t < 2 ms, 
v = ISV; para 2 ms < t < 4 ms, v =O; e para 4 ms < t < 6 ms, v:;; -30V, Assumindo 
i (O)= O, ache a corrente nos instantes (a) 1 ms, (b) 4 ms, (e) 5 ms. Resp.:(a) 5 A; (b) 
lOA;(c)O 
2.36 Uma capacitância de 60µ F tem uma forma de onda de tensão conforme mostrada na 
Fig. 2-36. Achar (a)Pmax,(b) i e p em t = 3 ms. Resp.:(a) 15 W; (b) -1,5 A, - 37,5 W 
o 4 6 8 t. ms 
Fig. 2-36 
i.mA 
Fig. 2-37 
2.37 Uma capacitância C (F) tem uma corrente i = (Vm/R) e- t/RC (A). Encontre a máxima 
energia armazenada assumindo que a carga inicial seja zero. Resp.: !CV!. (J) 
2.38 Uma capacitância de 2µF tendo uma carga Q0 é conectada a um circuito em série com 
resistência de IOQ. Encontrar Q0 , caso a energia total dissipada na resistência seja de 
3,60 mJ. Resp.:120µC 
239 A corrente após t = O em um elemento de circuito único é mostrado na Fig. 2-37. Encon-
trar a tensão através do elemento em t = 6,5µs, caso o elemento seja (a) IOQ, (b) 15 mH, 
(e) 0,3 nF com Q (O)= O. Resp.:(a) 25 V; (b) -15 V; (e) 81,3 V 
CAPÍTULO J 
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE CONTfNUA 
3.1 LEI DE TENSÃO DE KIRCHHOFF 
Para qualquer malha fechada em uma rede que seja percorrida em um único sentido, a Lei 
de tensão de Kirchhoff (LTK) diz que a soma algébrica das tensões é zero. Algumas das tensões 
podem ser fontes de tensão, enquanto outras resultam de elementos passivos (Seção 2.1). Para 
os circuitos resistivos de cc, estas últimas tensões .serão da forma V = RI. Percorrendo a malha, 
caso entremos num elemento pelo terminal de potencial negativo, logo, a tensão é tomada como 
negativa na soma. 
EXEMPLO 3.1 Começando pelo canto esquerdo inferior de um circuito de apenas uma malha 
da Fig. 3-1 e aplicando a LTK para um caminho horário do elemento, resulta na seguinte 
função: - Va + V1 + Vb + V2 + V3 =O. Uma equação pode ser escrita para uma única malha 
fechada, tal como mnom da Fig. 3-1, pela introdução da tensão V0 m, onde o é tido como 
positivo com respeito a m. Novamente começando pelo canto esquerdo inferior, 
v. 
/ 
m 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
Fig. 3-1 
+ 
1 + 
v. + 
Fig. 3-2 
35 
A equação da LTK para o circuito da Fig. 3-2 é idêntica àquela para o circuito generali-
zado da Fig. 3-1. 
ou 
A malha pode ser percorrida no sentido de direção anti-horário, o que meramente troca o 
sinal de cada tenno de tensão. É usualmente mais simples primeiro indicar a direção positiva da 
corrente e daí atravessar a malha nesta direção. 
3.2 LEI DE CORRENTE DE KIRCHHOFF 
A conexão de dois ou mais elementos de circuito cria uma junção chamada nó. A junção 
de dois elementos é um nó simples; a de três ou mais elementos é um nó principal. No método 
de tensões nodais de análise de circuito (Seçã'o 4.6), as equações serão obtidas nos nós principais 
pela aplicação da Lei de Corrente de Kirchhoff (LCK). Esta lei detennina que em qualquer nó 
(principal ou não) a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem.A 
conservação da carga elétrica é a base da lei. Determinações alternativas da LCK são (i) a corren-
te total em um nó é z~o ; (ü) a corrente total fora do nó é zero. 
EXEMPLO 3.2 Na Fig. 3-3, cinco ramos conectados a uma junção comum fonnam um nó 
principal. A corrente total no nó é 
__ i_.____ ..........::_/_3 --
_,,)'f, '· 
Fig . .>3 
A mesma equação é obtida quando a soma das correntes que entram é igual à soma das 
que saem: 
3.3 DMSÃO DE TENSÃO E CORRENTE 
Um conjunto de dois ou mais resistores em série (Fig. 3-4) é freqüentemente referido 
como um divisor de tensão. - Da lei de Ohm. 
~= IRi =Bi. 
Vk IRk Rk 
P.· I 2R R .:...1.. -~- ::..1 
Pk - I2Rk - Rk 
isto é, a tensão total Vr e a potência total absorvida Pr são divididas na razão das resis-
tências. ,_ 
+ 
R, 
Ri 
VT R _, 
• . 
• 
+ 
v, 
+ 
Vi 
+ 
V; 
~~· 
Fig. ~4 
Dois ou mais resistores em ligação paralela (Fig. 3-5) irão dividir a corrente total Ir e a 
potência total absorvida P7 na razão inversa das resistências: 
fL = V/ Ri = Rk 
lk V/Rk Ri 
P.· V 2/R R k .:...J.. =~=-pk V !Rk Ri 
Em particular, para n = 2, 
I Ri 
1 
= R1+ R2 Ir 
Ri 
+ 
Fig.~S 
3.4 REDUÇÕES DE REDES S~RIB-PARALELO 
Os métodos da corrente de malha e tensão nodal do Capítulo 4 são as principais técnicas 
para a análise de circuitos resistivos cc. Entretanto, a resistência equivalente dos ramos em série 
e paralelo (Seção 2.7), combinados com as regras de divisão de corrente e tensão, fornece um 
outro método de análise de um circuito. Este método é tedioso e usualmente requer o desenho 
de inúmeros circuitos adicionais. Mesmo assim, o processo de reduzir a rede dá uma visão clara 
do funcionamento total da rede em termos de tensão, corrente e potência. A redução inicia com 
uma varredura da rede para pegar as combinações série e paralelo dos resistores. 
EXEMPLO 3.3 Obtenha a potência total fornecida por uma fonte de 60-V e a potência absor-
vida em cada resistor do circuito da Fig. 3-6. 
g 
«)V + 
Rab "'7 + 5 = 12 !l 
Rai"' (12)(6) = 4 n 
12+6 
7 0 e 
e 
12 n 6{} 
d 
f 
Fig. 3-6 
Estes dois equivalentes estão em paralelo (Fig. 3-17), dando 
Rq"' (4)(12) = 3 n 4+ 12 
a 
70 
5íl 
b 
Logo, esta resistência equivalente de 3U está em série com a resistência de 7U (Fig. 3-8), 
de tal forma que o circuito inteiro é, 
R..,= 7+3= 10 !l 
e g 7 fl e 
e a 
:= 4 fl 
• :: 12 fl 60 V + 3 fl 
d j b 
f f 
Fig. '>7 Fig. '>8 .-
A potência total absorvida, que é iguaj à potência total fornecida pela fonte, pode ser 
agora calculada como 
v 2 (60)2 
Pr = - = --= 360 W R«i 10 
Esta potência é dividida entre Rge e Ref como segue: 
7 P8 • = Pm = 7 + 3 (360) = 252 W 
3 P.1 = 7 + 3 (360) = 108 W 
Potência P ef é posteriormente dividida entre Rcd e Rab como segue : 
12 
Pcd = 4 + 12 (108) = 81 W 
4 
pab = 4+ 12 (108) = 27 w 
Finalmente, estas potências são divididas entre as resistências individuais como segue: 
6 
P 1ui = 12+ 6 (81) = 27 W 
7 
P7n = 7 + 5 (27) = 15,75 W 
12 P(,C) = 12+ 6 (81) = 54 W 
5 
Psn = 7 + 5 (27) = 11,25 W 
3.5 SUPERPOSIÇÃO 
Um cfrcuito linear (por exemplo, uma rede resistiva cc) que contenha duas ou mais fontes 
independentes pode ser analisado para obter as várias tensões e correntes nos ramos fazendo 
com que as fontes atuem uma de cada vez e daí superpondo os resultados. Este princípio 
aplica-se devido à relação linear entre corrente e tensão. Com fontes vinculadas, a superposição 
pode ser usada somente quando as funções controle são externas à rede contendo as fontes , de 
tal fonna que os controles não mudam quando as fontes atuam uma de cada vez. Fontes de 
tensão que são suprimidas, enquanto uma única fonte atua, são substituídas por curto-circuitos; 
fontes de correntes são trocadas por circuitos abertos. A superposição não pode ser diretamente 
aplicada ao cálculo da potência, porque a potência é um elemento proporcional ao quadrado da 
corrente ou ao quadrado da tensão, a qual não é linear. 
EXEMPLO 3.4 Calcule a corrente no resistor de 23D., da Fig. 3-9(a) pela aplicação do princí· 
pio da superposição. Com uma fonte de 200-V atuando sozinha, a fonte de corrente de 20-A é 
trocada por um circuito aberto, Fig. 3-9(b ). 
4fl 
(a) 
t 20 A 230 21 n 
200 V 
4fi 
47 n 
21 n t 20 A 
e.e. 
(e) 
Fig.3-9 
R .n = 47 + (27)(4 + 23) ~ 54 60,5 n 
200 Ir = 60 _ = 3,31 A 
,:> 
/Í:Jo = ~)(3,31) = 1,65 A 
4fl 
e.a. 23 n 
(b) 
! lt.n 
23 n 
Quando a fonte de 20-A atua sozinha, a fonte de 200-V é trocada por um curto-circuito, 
Fig. 3-9(c). A resistência equivalente para a esquerda da fonte é 
R = 4+ (2?}(47) = 21 15 !l 
<q 74 I 
daí 
l " = ( 21 •15 ){20) =958 A 230 2 1.15+23 , 
A corrente total no resistor de 23U é 
Ii.m = l h n + ['í_y1 = 11,23 A 
3.6 TEOREMAS DE TIIBVENIN E NORTON 
Uma rede linear, ativa, resistiva, a qual contém uma ou mais fontes de tensão e corrente, 
pode ser substituída por uma única fonte de tensão e uma resistência série (Teorema de Théve-
nin), ou por uma única fonte de corrente e uma resistência paralela (Teoremade Norton). A 
tensão é chamada tensão equivalente de Thévenin, V', e a corrente Corrente equivalente de 
Norton, /'; as duas resistências são iguais, R '. Quando os terminais ab na Fig. 3-1 O(a) são circui-
tos abertos uma tensão irá aparecer entre eles. 
R' 
a a 
\ \ 
Rede \ \ 
linear V' + 1 1 Ativa / I / 
b b 
(a) (b) 
a 
\ 
\ 
[ ' t R' 1 
/ 
/ 
b 
(e) 
Fig. ~10 
Da Fig. 3-IO(b) fica evidente que isto deve ser a tensão V' do circuito equivalente de 
Thévenin. Caso um curto-circuito (e.e.) seja aplicado aos terminais, conforme sugeódo por urna 
linha pontilhada na Fig. 3-IO(a), irá aparecer uma corrente. Da Fig. 3-IO(c) fica evidente que 
esta corrente deve ser!' do circuito equivalente de Norton. Agora, caso os circuitos em (b) e (e) 
sejam equivalentes do mesmo circuito ativo, eles serão equivalentes um do outro. Segue-se que 
r = V'/R '. Caso ambos V' e I' tenham sido determinados_do circuitos ativo, então R ' = V'/I'. 
EXEMPLO 3.5 Obtenha os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton para a rede ativa na 
Fig. 3-1 l (a). 
30 30 
--------~>A--......, a ------JWI"'- - --o a + 
20 V 
(a) (b) 
30 
-------~'-""--O a 
30 60 
e.e. e.e. 
L------'------o b 
(e) 
F'ag. ~l i 
Com os terminais ah abertos, as duas fontes enviam corrente no sentido horário através 
dos resistores de 3Q e 6Q [Fig. 3-11 (b)]. 
! =20 +10 = 30 A 
3+6 9 
Desde que nenhuma corrente passa pela parte superior direita do resistor 3!2, a tensão 
de Thévenin pode ser tomada de ambos ramos ativos: 
ou 
Vab = V'= 20 - (~)(3) = 10 V 
Vab = V'=~)6-10 =10V 
A resistência R' pode ser obtida curto-circuitando as fontes de tensão [Fig. 3-ll (c)] e 
encontrando a resistência equivalente desta rede nos terminais ab: 
R' = 3 + (3)(6) = 5 n 
9 
Quando um curto-circuito é aplicado aos terminais, a corrente /e.e.resulta das duas fontes. 
Assumindo que ela corra através do curto de a para b, nós teremos, por superposição, 
J _ , = (-6 ) [ 20 ] - (-3 ) [ 10 ] - . e.e. - I 6 + 3 3 +(3~6) 3 + 3 6 +(3~3) - 2A . 
A Fig. 3-12 mostra os dois circuitos équivalentes. No caso presente, V', R' e /' foram 
obtidos independentemente. Desde que eles estão relacionados pela lei de Olun, qualquer dois 
serve para obter o terceiro. 
-------""'°-----<JO ------.-------o a sn 
2 A 5 fl 
L-----------o b L-____ _._ ____ --0 b 
(a) Equivalente Thévenin (b) Equivalente Norton 
Fig. 3-12 
O valor dos circuitos equivalentes de Thévenin e Norton fica claro quando um circuito 
ativo deva ser examinado sob um número de condições de carga, cada uma representada por um 
resistor. Isto é sugerido na Fig. 3-13, onde está evidente que os resistores R 1, R 2 , . • • ;Rn 
podem ser conectados um de cada vez, e as correntes resultantes e potências imediatamente 
obtidas. Caso isto fosse tentado no circuito original, usando, por exemplo, redução de circuito, 
o trabalho seria bastante tedioso e demorado. 
--------o a 
R ' 
v· R , 
------ob 
Fig. 3-13 
3. 7 TEOREMA DA MÃXIMA TRANSFER.ENCIA DE POT!NCIA 
Às vezes é desejável obter-se a máxima transferência de potência de uma rede ativa para 
uma carga externa resistiva RL. Assumindo que o circuito seja linear, ele pode ser reduzido a 
um circuito equivalente como o da Fig. 3-14, daí, 
V' 
[ = R '+ RL 
logo a potência absorvida pela carga será 
V'2Rt V'2 [ ( R' - Rt)2 ] 
PL = (R ' + RS = 4R' l - R ' + R t 
Vê-se que PL alcança o valor máximo, V'2/4R'; quandoRL =R ' e, neste caso, a potência 
em R' é também V12 /4R '. Conseqüentemente, quando a potência transferida é a máxima, a 
eficiência é 50%. 
R' 
R, 
(, : 
v· + Pmub 
1 
1 
1 
Fig. 3-14 
Problemas Resolvidos 
3.1 Desenhe o diagrama tensão versus corrente característica para a fonte de 60-V na 
Fig. 3-1 S(a ). Mostre os pontos de mudança da chave para as posições a, b, e e d. 
V. V 
a b e d 
(i() 
a 
d 
e 
2n 1n 
o 6 30 (i() /, A 
(a) (b) 
Fig. 3-JS 
L,. = 60/co =O A; Ib = 60/10 = 6 A; I, = 60/2 = 30 A; e Id = 60/1 = 60 A. 
O gráfico está mostrado na Fig. 3-15(b). A fonte permanece constante em 60-V para 
todas as correntes, entretanto, não é permitida resistência zero. 
3.2 Calcule a resistência interna de uma bateria que tem uma tensão em aberto de 12,0 V e 
fornece 100 A para uma resistência de 0,10!1. 
A bateria com sua resistência interna é mostrada na Fig. 3-16. 
12 
I = 100 = R + 0.10 
da qualR =o.o 2n. 
í - - -- - ------
: R ~ 
1 1 0,10 n 
1 12 V ..:.. 1 
1 1 
L - - .. _--------
Fig. 3-16 
3.3 Medidas feitas em uma fonte prática e.e.mostram uma tensão nos terminais de 100 V para 
uma carga de 1 oon e 105 V para uma resistência de 2 lOil. Obtenha o modelo do circuito 
para esta fonte. 
Uma fonte de tensão constante e uma resistência em série podem ser usadas para 
modelo de fonte prática, como na Fig. 3-16. As seguintes equações podem ser escritas: 
11 = 100/100 = 1,0 A 
12 = 105/210 = 0,5 A 
V = 1,0R + 100 (V) 
V = 0,5R + 105 (V) 
Resolvendo as duas equações simultaneamente temos V= 110 V ,R = lOil. 
3.4 Calcule a potência fornecida pelo gerador vinculado na Fig. 3-17. 
2n 
41 (V) 
3fi 
Fig. 3-17 
Usando a lei de tensão de Kirchhoff, 1 O = 2l + 41 + 31, ou I = 1, 11 A. A corrente 
entra pelo terminal positivo, logo a potência absorvida é 1,11 x 4 (l ,11) = 4,93 W e a 
potência fornecida é -4,93 W. 
3.5 Desenhe uma fonte de alimentação de corrente de 10-A, usando uma fonte constante de 
20-V e uma resistência em série R. Faça o diagrama da corrente versus resistência-carga 
para O ~RL ~ 10on. 
Assumindo que 10 mA é a máxima corrente, ela irá ocorrer quando RL =O. Daí, 
R=2000!1 
ParaRL = 1oon 
20 
I = 2000 + lOO 9,52 mA 
Desde que a relação corrente versus resistência deva ser linear, a característica ao longo da 
faixa O ~R L ~ 1 OOD será conforme a Fig. 3-18. 
l , mA 
10~~~~~!!!':"~-::::--==~.._ __ .. 
9 ,76 ----
9,52 
o .so 
Fig. 3-18 
a 
0 
+ 
1000 n 
...._ ___ ..., __ ....... + -lo---... 
b 
10 V 
Fig. 3-19 
10 
3.6 Dois resistores de ln, nominais de 25 W e 50 W, são disponíveis para uso no circuito 
mostrado na Fig. 3-19, (a) Podem ser usados os resistores? (b) Encontre as potências 
absorvidas por cada elemento. 
O resistor de 1000-.n faz uma fonte prática de corrente de 7-A, providenciando uma 
passagem de corrente quando o circuito está aberto. Quando a chave é fechada, 
1 = ( 10~~ 1)(7) = 6,99 = 7 A 
Pin = (7)2(1) = 49 W 
(a) O resistor de 25-W não pode ser usado, uma vez que 49 W excede de muito sua potên-
cia 
(b) Piov = - (7)(10) = - 70 W 
vab = 7(1)- 10 = - 3 v P7A = (3)(7) = 21 w 
A corrente entra na fonte de 7-A pelo terminal positivo. Conseqüentemente, esta fonte 
está absorvendo potência de 21 W enquanto a fonte de 10 V fornece potência de 70 W. 
(Assumindo 7 A em um resistor de lil faz com que tanto a corrente como a potência 
sejam nulas no resistor de 1000!!). 
3.7 Na Fig. 3-20 os geradores de corrente vinculado e independente fornecem corrente através 
do resistor R. O valor de Ré univocamente determinado? 
R 
10 A 
Fig.~20 
A corrente I deve ser 10 A, pela definição de uma fonte independente. Então, 
l = 10 A = 2VR V.R = 5 V 5 V= (IO)(R) R=0,50 
Não é possível nenhum outro valor paraR. 
3.8 No circuito mostrado na Fig. 3-21, encontrar a potência absorvida pela bateria de 5 V. 
2A 
-:- 10v 
+ 
- 2A 
B 
+-
f 1 6V 
Ri 5 V -:"' 
+ 
f 1 
-A 
3 A 
J11a.>2t 
A corrente I entrando na bateria de 5 V no tenninal positivo pode ser encontrada 
usando a LCK tanto nos nós A ou B. Em A, 
3 + 1 + (- 2) = o l= - 1 A 
Logo a potência absorvida é Ps v = (-1) (5) = -5 W; a bateria de 5 V gera ou fornece 5 W 
para o circuito. 
3.9 Referindo-se à Fig. 3-22. Calcular a energia dissipada no resistor de 5n nointervalo 
O <r <s ms, caso vg = 5000r (V). 
R 
2111 (A) 5 O 
v, 
Fig. >22 
-i = 2v, = W't (A) 
p = i25 = 5 X IQ8t2 (W) 
(SxJ0--3 [(3 $><10--) 
W = Jo 5 X l(ff dt = (5 X l o') J:l = 20,8 J 
.:> • .1u '--ill~wt: a putt:11~1a ue ~a10a ue um moror cc ue L;)U v, caso o reno1mento sep ':JL'Yo 
quando a corrente de entrada for 12 A. 
Por definição, 
rendimento percentual = p saída (IOO%) 
Pentr. 
Para o dado, P entr. = (250) (l 2) = 3.000 W, então 
92% 
p saída = 100% (3000) = 2760 W 
3.11 Para o circuito mostrado na Fig. 3-23, imagine os elementos mostrados à direita conecta-
dos um por vez ao terminal ab. O controle para as fontes vinculadas é Ix. Determine o 
parâmetro vinculado para cada caso. 
75 V 
+ 36 V _ 
a 
+ 
vob + ~ + R 
2n v, 1, kl, (V) 
b 
(a) (b) (e) (d) (e) 
Fig. 3-23 
Uma vez que a tensão pela resistência de 18U é 36 V, a corrente Ix deverá ser 2 A. 
Portanto a L VK nos dará 
(a) 
(b) 
(e) 
(d) 
(e) 
vab + (2)(2) - 75 + 36 =o ou 
Vg = 35 V 
lg = lx = 2A 
klx = 35 V k = 17,5 fl 
klx = - I. k = - ! 
vR = 1.R = 35 v R = 11,5 n 
3.12 Determine as leituras de um voltímetro ideal conectado na Fig. 3-24 aos (a) terminal 
a e b, e ( b) terminal e e g. A potência média no resistor de sn é 20 W. 
h 13!1 d 7!1 b 
Fag. 3-24 
/ = ~=±2A 
A direça-o de l pelo resistor de SD é determinada observando que a polaridade da fonte 
de 90 V requer que a corrente passe de d para e. Portanto, d é positivo em relação a 
e e Vcc = (2)(5) = 10 V. 
Um voltímetro i.d~l indica a tensão sem drenar qualquer corrente. Ele pode ser consi· 
derado como tendo uma resistência infinita. 
(a) L VK aplicada à malha fechada acdba resulta em 
O - 10 + O - VM = O 
VM = - lOV 
Caso o medidor seja do tipo digital, ele irá indicar -IOV. Um galvanômetro de bobina 
móvel irá tentar ir escala abaixo, com o ponteiro parando no pino. Caso os fios sejam 
invertidos, ele irá indicar 10 V. (E com o terminal +no ponto b sabe-se que b tem 10 
volts positivos em relação a a.) 
(b) LVK.aplicada ao percurso cefgc dará: 
Vc. + Vet+ V1a + V8c=O 
2(17) - 90 + 2(6) + VM = O 
VM = 44 V 
Na conexão, o medidor lerá 44 V positivos, indicando que o ponto g está 44 volts 
acima do ponto e. 
3.13 Para o circuito mostrado na .t<·ig. j-'.L), encontre a tente de tenslfo V8 a qual resulta em 
uma corrente de 7 ,S mA no resistor de 3Q. 
a b e d 
s n .in 1n 
V, 7!'1 60 3{} 17,5 mA (1 A) 
12 n 2n 
h g f e .· 
Fig. 3-25 
Suporemos urna corrente de 1 A: a tensão necessária para produzir 1 A está na mesma 
razão para 1 A, como Vs está para 7 ,5 mA, por causa da linearidade do circuito. 
Vct = 1(1+3 + 2) = 6 V 
Daí, pela LCK, lbc = 1 + 1 = 2 A, e 
V1>6 = 2(4)+6= 14 V 
Novamente da LCK,/ab = 2 + 2 = 4A;e daí Vah =(8) + 14 + 4 (12) =94 V. Agora, esca-
lonando para baixo, 
V, = 0,705 V 
3.14 Detemúne a corrente I para o circuito mostrado na Fig. 3-26. 
-2A 
!-3 A 
Fig. 3-26 
-4A 
Sem os valores dos resistores não é possível calcular as correntes nos ramos. Mesmo 
assim, o circuito dentro da área sombreada pode ser visto como um único nó, e da LCK 
temos 
2-3- 1-4=0 ou I = -5 A 
3.1 5 No Problema 2.7 verificou-se que uma fonte de 50 V enviava a uma corrente de 13,7 A para 
o circuito mostrado na Fig. 3-27. Obtenha as correntes em todos os ramos do circuito. 
,-
s n a 
! / 1 l /z _,J i.- /5 ! h! 2fl 
12 n 80 6 !l 3 !l 
13,7 A 
b 
Fig. J.27 
A resistência equivalente à esquerda e direita do ramo ab são calculadas como segue: 
Referindo-se ao circuito reduzido, Fig. 3-28 
1, = (i2j~8)cB,7) = 2,32 A 
/ 4 = (ii~)(t3,7) = 11,38 A 
A divisão posterior dessas correntes é obtida por referência ao circuito original. 
11 = (~)(2,32} = 0,93 A /2 = G~)(2,32} = 1,39 A 
Is = a)(l t,38) = 3, 79 A 16 = (~)(t l ,38) = 7159 A 
- --- 1 
+ 12250!1 1 
1 1 
-1; 1.-
9,8 n 2,0 n 1 1 
Ventr.I I +) 
VM 
1 250 n 1 "saída 
1 1 _ R 
Fig. 3-28 Fig. 3-29 
3.16 O divisor de corrente mostrado na Fig. 3-29 é também chamado atenuador (quando um 
único resistor tem uma derivação ajustável, ele é chamado potenciômetro ou pot). Para 
descobrir o efeito de carregamento, calcule a relação Vsatda /Ventr. para os seguintes 
valores de R: (a) 00 , (b) 1 MD., (e) 10 kD., (d) 1 kD. 
(a) 250 V saída / Ventr. = 2250 + 250 = 0,100 
(b) Com R = 106 n, o equivalente paralelo com a resistência de 250.Q deve ser calculado 
primeiro. 
(250)(1<>6) 249 9 
Rcq = 250 + 106 = 249,9 ü V saída / Ventr. = 2250 + 249,9 = 0,100 
( ) R = (250)(10 000) = 243 9 a V: . /V, _ 243,9 O e cq 250 + 10 000 , sazda entr. - 2250 + 243,9 = ,098 
(d) R = (250)(lOOO) = 200 O a V / 200 cq 250 + 1000 ' saída Ventr. = 2250 + 200 = 0,082 
Um divisor de tensão pode aparentemente ser construído para fornecer uma relação 
1 :10. Entretanto, o carregamento pode mudar isto consideravelmente. 
3.17 Obter a corrente em cada resistor da Fig. 3-30{a), usando o método de redução de rede. 
Como primeiro passo, a combinação de dois resistores em paralelo será convertida em 
seu equivalente. Para 6U e 3!2, Req = (6) (3)/(6 + 3) = 2n. Para dois resistores de 4.Q 
Req = 2n. O circuito é redesenhado adicionando-se os resistores em série [Fig. 3-30(b)]. 
Agora os qois resistores de 6!2 em paralelo tem a resistência equivalente Req = Jn, e 
está em série com 2!2. Dai, R T = sn, conforme Fig. 3-30(c ). A corrente total resultante 
será 
2n 
25 V 6fi 
(b) 
25 Ir = - =5 A 5 
6fi 
Ftg. 3-30 (com.) 
25 V 5fi 
(e) 
Agora as correntes nos ramos podem ser obtidas trabalhando-as de volta através dos 
circuitos da Fig. 3-30(b) e (a). 
lc = [F = !Ir = 2,5 A 
lo= [E =! Ic = 1,25 A 
3 5 
IA = 6+ 3 Ir = 3 A 
6 10 ls = - - Ir = -A 6+3 3 
3.18 Obter a corrente lx no resistor de 10n da Fig. 3-3 1 (al, usando superposição. 
Para permitir que a fonte de 50 V atue sozinha, a corrente de 5 A da fonte é trocada 
por um circuito aberto [Fig. 3-3l(b)). Daí, 
I~ = lO + ~ + 20 = 1 A 
A seguir, a fonte de tensão é removida e trocada por um curto-circuito [Fig. 3-3l(c)]. 
l~= @§)(-5) = - 2 A 
logo, I,, = g + I~ = -1 A 
1, -
1on 
30 n 20 n 
20n 
(a) 
.-
r;-
10.n 
30 n e.a. 20n 
20 n 
(b) 
r~-
1on 
e.e. 30 n t SA 20 n 
20 n 
(e) 
Fig. ~31 
6 .que a rede ativa à esquerda do terminal ab na Fig. 3-32(a) pelo equivalente de Théve-
---~--• a 
R' =50 n 
200 V 
(a) b 
------• b 
(b) 
A tensão do circuito aberto Vab na Fig. 3-32(a) é a tensão através do resistor 40U. 
V.= (~)(200)= 80 V (i()+ 40 
A resistência R' pode ser encontrada olhando-se o circuito de ab com a fonte de tensão 
curtocircuitada. 
Ver a Fig. 3-32(b) para o equivalente de Thévenin. 
3.20 Obter o equivalente Norton para a rede ativa do Problema 3.19. 
A corrente de Norton/' é a corrente de curto-circuito. Assumindo a direção de a para 
b através de um curto-circuito [veja Fig. 3-32(a)] 
e Ic.c. = I' = (:)c2,64) = I,(i() A Ir = (40)(2ó) 2,64 A 
(i()+ (J6 
200 
A resistência paralela R' foi obtida no Problema 3 .19. Como comprovação 
R ' =Vc.a.= 80 = 50 O 
Ic.c. l,(i() 
A Fig. 3-33 mostra o equivalente Norton. 
_____ .,. ____ ,.a 
/'sl,60A R ' =SO íl 
- ------- --· b 
Fig. 3-33 
1 
& bt0< o equiv'1ento Thévenin pa<> o ci<CUito ativo mootrado na Fig. B4 
Desde que o circuito contém uma fonte de tensão vinculada, Vc.a. e Ic.c. serão usados 
para encontrar R '. Aplicando um curto-circuito, 
- 20 + Ic.c.(4) - 61 .. = O e 1,. =O 
61, (V) 
40 6 n ! 1, 
b 
Fig. 3-34 
Urna vez quelc.c.=I'= 5 A. Com o circuito aberto, 
- 20+ 41. - 61. + 61. =o ou lx = 5 A 
Daí, V'= 5 (6) = 30 V e R '= 30/5 = 6.Q. 
Ver a Fig. 3-35(a) e (b) para ambos os circuitos equivalentes Thévenin e Norton. 
R' = 6fi 
-----------.a 
V'=30V 1' =5 A R' = 60 
_____ .._ ____ ... b 
(a) (b) 
Fig. 3-35 
3.22 Um circuito equivalente Thévenin pode ser convertido em um circuito equivalente Nor· 
ton, sob certas limitações da resistência série R '. Determine estas limitações. 
Desde que I' ~ V'/R ', o valor R' = O não é permitido, uma vez que ele implicaria uma 
corrente I' infinita. No outro extremo R ' = 00 ·levaria a uma corrente I' = O. Uma fonte 
prática de tensão deve incluir uma resistência em série que não seja nem zero nem infinita. 
Similarmente, uma fonte de corrente prática deve incluir uma resistência shunt que não 
seja nem zero nem infinita. 
~ncontrar os valores da resistência variávelR que pe~ite transferência máxima de potên-
1 U cia pelos terminais ab do circuito mostrado na Fig. 3-36. 
a 
10 n s n 
100 V 1s n R 
b 
Fig. ~36 
Inicialmente é obtido um equivalente Thévenin com V' = 60 V e R ' = 11 Q. Pela 
Seção 3. 7, a potência máxima transferida ocorre para R = R ' = 11 n, com 
Vª 
P_,,, = 4R ' = 81,82 W 
Problemas Propostos 
3.24 Que elementos de circuito estão indicados pela Fig. 3·37(a) e (b)? Resp.:(a) Uma fonte 
de 10 V na faixa de corrente O a 10 . (b) Uma fonte de 3 A sobre uma faixa de tensão 
Oa Vo. 
1. 
(a) 
V. V 
v. ----
LA 
Fig. ~37 
3 LA 
(b) 
3.25 O circuito equivalente de uma bateria é mostrado na Fig 3-38. Obter a relação entre a 
tensão V nos terminais e a corrente 1 Resp.: V = -0,051 +45 (V) 
3.26 Uma fonte prática de corrente tem uma corrente de 22,0 A. Carregando fonte com 50.Q 
resulta em uma tensão terminal de 390,3 V. Obter as constantes 1 e R da fonte. 
Resp.: 22,0 A, 27 ,sn 
, ---, 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
L ___ _J 
V 
Fig. 3-38 
Ouga 
3.27 Na Fig. 3.39, as potências nominais dos resistores sã'o adequadas se os resistores forem 
conectados aos terminais ab (a) uma de cada vez? (b) todos os três em paralelo? 
Resp.: (a) cada uma é inadequada 
(b) adequada 
ª 2000 n 
100 V 2 k!l 10 k!l 30 k!l 
!W !w ~w 
b 
Fig. 3-39 
3.28 Determine a potência fornecida pela fonte de corrente na Fig. 340. Resp.: 228 W 
20 n 
5!1 
I 
~A 
2v, (A) 5 !l 
4!1 2!1 v, 
Fig. 3-40 Fig. 3-41 
3.29 Calcule a energia dissipada no resistor de sn, da Fig. 341 , durante o intervalo O <. t <. 5 s, 
caso 
Resp.: 32,l kJ 
3.30 Para o circuito da Fig. 3-42, mostre que a potência fornecida pela fonte é igual à potência 
dissipada nos resistores. Resp. : PT= 940,3 W 
25V 42 n + VR m 12 n q 
-
+ -
30 
5<Xl n 3VR 180 
+-
r 17 n 
1,75 V 75 V 
Fig. ~2 Fig . .>43 
3.31 Na Fig. 3-43, determine as leituras de um voltímetro digital quando ligado (a) vermelho 
em m, preto em r, (b) vermelho em q, preto em r, (e) vermelho em q, preto em m; (d) 
vermelho em p, preto em n. Resp.:(a) 66 V; (b) 14 V; (c) - 52 V; (d)-25 V. 
3.32 Determine as correntes 11 e 12 na Fig. 3-44. Resp.:-6 A, 9 A 
3A 
J, V 
Fig. ,3-44 
3.33 Encontre 12 /ls para o circuito da Fig. 3-45.Resp.: R,(l + µ.~R R 2+(1+µ. , 
µV 
R , 
Fig. 3-45 
3.34 Encontre o valor da fonte de tensão na Fig. 3-46, caso a potência dissipada no resistor de 
3D. seja 0,75 W. Resp.:Ys = 0,49R + 3,0 (V) 
3.35 Usando a regra de divisão de tensão, calcule V1 e V2 na Fig. 3-47.Resp.:ll,39V,-73,07 V 
3.36 Desenhe um circuito divisor de alta tensão que reduz 1 MV para 100 V e limite a corrente 
para um máximo de 0,5 A. Resp.:Rs = 2 MD., RL = 200Q 
8!1 4!1 R 
V, 20 4 !1 3 !1 
40 sn 
Fig. 3-46 
74,0 n 16,4 n 
+ 
36,o n 12,0 n v, ~ 105 V 103,2 !1 Vi 
+ 
28,7 !1 
Fig. 3-47 
3.3 7 Mostre que com quatro resístores .em paralelo 
R * 
l. = R * + R.fr onde R* 
3.38 Na Fig. 348, ambos amperímetros indicam 1,70 A. A fonte fornece 300 W. Encontre 
R 1 eR2 • Resp.:23,9D., 443[2 
+ 
Fonte 95 n 154,30 
R, 
Fig. 3-48 
3.39 Usando redução de rede, obter a corrente em cada resistor na Fig. 3-49. 
Resp.: 12,•sn = 3, 10 A , 111.•10 == 0,595 A, 16,3()0 = 1,65 A, 16,m = 0,855 A, 110,m1 = 0,466 A, 
112,00 == 0,389 A 
2,45fl 
6.7 n 11,41 n 
18 V 
12,0 n 6,30 n 
3.40 O resistor de 12ll na Fig. 3-50 dissipa 147 W. Encontre a fonte de tensão Vs. 
Resp.:100 V 
+ V, -
s.s n 
V, 4,o n 16,0 n 
Fig. >SO 
10,0 n 
V, (A} 
7,3 
s,2 n 
t4,0 n 
s,8 n 
3.41 Usando superposição, encontre a corrente I na Fig. 3-51. Resp.:16,2 A 
s n 
-I 
12 n 30 n 
3.42 Usando superposição, encontre a corrente Ida Fig. 3-52. Resp.:-12 A 
Fig. > 52 
12,0 n 
( 3.43 )Sem carga, a tensão no tenninal de um gerador de cc é 120 V. Quando envia sua corrente 
t nominal de 40 A, sua tensão nos terminais cai para 112 V. Represente o gerador pelo seu 
equivalente Thévenin. Resp.: V'= 120 V, R '= 0,2Q. 
3.44 Na Fig. 3-53, troque a rede à esquerda do terminal ab pelo seu equivalente Thévenin. 
Ache também o equivalente Norton da rede. 
Res V' = IOOR (V) R' = 50R + 625 2R p.: 25 +R ' R+25 (í?).J'=R +l2,5 (A) 
a 
.· 
2.s o 250 
100 V R 
b 
Fig. >53 
3.45 Troque o circuito da Fig. 3-54 pelo seu equivalente Norton. Resp.:I' = 0,8 A, R' = 1 O,OQ 
40 60 
20V 
Fig. >54 
.46 / Troque o circuito da Fig. 3-55 pelo seu equivalente Thévenin. 
Resp.: V' = - 2903 Ventr. R ' = 38,707 kn 
1 kO 
+ 
Ventr. 751 30 kfl Vo 
Fig. >ss 
1\3.47 IPara o circuito na Fig. 3-56, encontre o valor de R que irá receber a potência máxima. 
\ Detennine estapotência.Resp.:10,0!2, 1,09 W 
R 
CAPÍTULO 4 
ANÁLISE EM e.e. DE MALHAS E NOS 
4.1 CORRENTES NOS RAMOS E MALHAS 
É mostrado na Fig. 4-I(a) um circuito de três ramos ativos. Uma solução para as co"entes 
de ramo I 1, I2 , I3 pode ser obtida pela aplicação da lei de corrente de Kirchhoffnos nós princi-
pais (Seção 3.2) e equacionando as tensões dos ramos paralelos. Logo, a LCK no nó a fornece 
b 
(a) 
b 
(b) 
Fig. 4-1 
65 
66 Circuitos Elétricos 
li = 12 + 13 e a tensão Vab pode ser escrita para cada um dos três ramos, quando especi-
ficaremos os elementos dentro dos ramos. O resultado serão três equa-;ões independentes nas 
três correntes de ramos desconhecidas. 
Na Fig. 4-1 (b ), as correntes de malha I i e I 2 estão indicadas para a mesma rede de três 
ramos. A corrente no ramo central (flecha tracejada) é dada pela diferença das duas correntes 
de malha,Ii -12 • 
Desta forma LCK está únplicitamente incluída no método de corrente de malha. Duas 
equações independentes nas desconhecidas correntes li e 12 podem ser obtidas pela aplicação 
da lei de tensão de Kirchhoff às duas malhas fechadas por meio das quais as correntes de malha 
fluem. É geralmente melhor percorrer as malhas na mesma direção que as cortentes, de tal for-
ma que os sinais das tensões seguem um único padrão. Para uma rede plana geral, uma corrente 
de malha é indicada no perímetro de cada região limitada, pelas quais a rede divide o plano. É 
também possível usar outros conjuntos de laços (veja Problema 4.5); neste caso usualmente 
falamos das correntes como correntes de laços. 
EXEMPLO 4.1 Resolva o circuito da Fig. 4-2 pelo método da corrente de ramos. 
Aplicando LCK no nó a, 
Escrevendo Vab para os três ramos conectados a a e b (por exemplo, aplicando LCK para o 
laço esquerdo e para o laço externo). 
20- J,(5) = h(IO) 
20 - J,(5) = M2) + 8 
Resolvendo (1), (2) e (3) simultaneamente 
O método da corrente de ramo pode ser difícil de se aplicar a redes externas, porque ele 
não sugere um ponto de partida na rede e wna progressão lógica nos ramos até que todas as 
correntes sejam obtidas. 
50 a 
b 
Fig. 4-2 
20 
Análise em CCdeMalhas e Nós 67 
sn 2n 
Fig. 4-3 
.-
EXEMPLO 4.2 Resolva o circuito da Fig. 4-3 (o mesmo da Fig. 4-2) pelo método da corrente 
de malha. 
As correntes de malha são mostradas no diagrama do circuito. Aplicando LTK ao redor 
do laço esquerdo,começando pelo ponto o:. 
- 20 + 511 + 10(11 - 12) = o 
a ao redor do laço direito, começando no ponto (3 
Rearranjando os tennos, 
1511 - 1012 = 20 
-101, + 1212 = - 8 
Resolvendo estas equações simultâneas resulta 11 = 2 A e 12 = 1 A. Se a corrente no resistor 
10n na direção para baixo for pedida, é encontrado 11 - 12 = 1 A; isto foi identificado como 
corrente / 3 no exemplo 4.1. 
4.2 CORRENTES DE MALHAS E MATRIZES 
As n equações simultâneas das n malhas do circuito podem ser escritas na forma de ma-
triz. (Refira-se ao Apêndice C para uma introdução a matrizes e determinantes). 
EXEMPLO 4.3 Quando LTK é aplicada na rede de três malhas na Fig. 4-4, são obtidas as três 
equações a seguir, 
-Rsh 
-Rs11 + (Rs + R c+ RD)I2 - RD/3= O 
- Ro/2 + (RD + RE)/3 = - vb 
68 Circuitos Elétricos 
Colocando as equações em forma matricial 
[
RA+Rs -Rs 
- Rs Rs + Rc+ Ro 
O - Ro 
R,. Rc 
v. 
Fig. 4-4 
Os elementos das matrizes podem ser indicados na fonna geral como segue : 
Observe que o elemento R 11 (linha 1, coluna 1) é a soma de todas as resistências pelas 
quais passa a corrente de malha 11 . Na Fig. 4-4, ele é RA + Rs. Igualmente, os elementos 
R 22 e R 33 são as somas de todas as resistências pelas quais 12 e 13 passam respectivamente. 
O elemento R 12 (linha l, coluna 2) é a soma das resistências pela quais passam as corren-
tes / 1 e / 2 das malhas. O sinal R 12 é t , caso as duas correntes estejam na mesma direção por 
meio de cada resistência, e - se elas forem em direção oposta. Na Fig. 4-4 Rs é a única resis-
tência comum às correntes / 1 e / 2 ; e como as direções das correntes são opostas em Rs, o sinal 
é negativo. Da mesma fonna, os elementosR21 , R 23, R 13 são as somas das resistências comuns 
às duas correntes de malha indicadas pelo índice, com o sinal determinado, como já descrito 
para R 12 . Deverá notar-se que para todos i e j, R;j = Rji· Como wn resultado, a resistência 
matricial é simétrica com relação à diagonal principal. A matriz da corrente não requer explica-
ções, uma vez que os elementos estão em uma única coluna com subscritos 1,2, 3 .... para 
identificar a corrente com a respectiva malha. Estas são as incógnitas no método das correntes 
das malhas de análise de rede. 
O elemento V 1 na matriz de tensão é a soma de todas as fontes de tensão que drenam a 
corrente de malha 11 . Uma tensão é indicada como positiva na soma se 11 passa de - para + nos 
tenninais da fonte; de outra forma, é indicada como negativa. Em outras palavras, uma tensão 
é positiva, caso a fonte drene na direção da corrente da malha. Na Fig. 4-4 a malha 1 tem uma 
fonte V0 drenando na direção de / 1 ; a malha 2 não tem fonte ; e a malha 3 tem uma fonte Vb 
drenando na direção oposta à direção de / 3 , tomando V3 negativa. 
Análise em CC de Malhas e Nós 69 
4.3 ~TODO DAS CORRENTES DE MALHA E DETERMINANTES 
A equação matricial que surge no método de corrente de malha pode ser resolvida por 
várias técnicas. Um destes, o método dos determinantes (Regra de Cramer), será representado 
aqui. Deve ficar claro, entretanto, que para redes maiores outras técnicas são bem mais efi-
cientes. 
EXEMPLO 4.4 Resolva a equação matricial (J) do Exemplo 4.3 pelo método dos determinantes. 
A corrente desconhecida / 1 é obtida como a razão de dois determinantes. O determinante 
denominador tem os elementos da matriz resistência. Isto pode ser indicado coqio determinante 
dos coeficientes e dado o símbolo Í:::.R. O determinante numerador tem os mesmos elementos 
que DR, exceto na primeira coluna, onde os elementos da matriz de tensão substituem aquelas 
do determinante dos coeficientes. Daí, 
v, R12 R13 / R11 R12 R,~ v, R1 2 R13 li= V2 Rn R23 R 21 R 22 R2~ 5 - V2 Rn Rn V3 R32 R 33 R J 1 RJ2 R_33 L1R V3 R 32 R JJ 
Da mesma fonna, 
l 
R 11 V. R13 l R11 R1 2 
v, 
12 =- R 1 1 V2 R 23 [3 =- R 11 Rn Vi LlR 
R J1 V 3 R 33 
LlR 
RJ1 R 32 V3 
Uma expansão do determinante numerador pelos cofatores dos termos de tensão resulta 
em um conjunto de equações que podem ajudar o entendimento da rede, particularmente em 
termos de ponto de alimentação e resistência de transferência: 
(1) 
(2) 
(3) 
Aqui, Í:::.ij indica o cofator de R;j (o elemento de linha i, colunaj) em l>.R· Deve-se tomar 
cuidado com o sinal dos cofatores - veja Apêndice C. 
4.4 RESIST~NCIA DE ENTRADA 
Em redes com um único gerador são sempre de interesse a resistência de entrada ou 
a resistência do ponto de alimentação. Esta rede é sugerida na Fig. 4-5, onde a tensão de alimen-
70 Circuitos Elétricos 
tação foi designada com V1 e a corrente correspondente como I 1 • Uma vez que a única fonte é 
V1 , a equação para I 1 é [veja (J) do Exemplo 4.4 ]: 
1. = v1 (!~) 
A resistência de entrada é a relação de V1 para I 1 : 
/::,.R 
Rent 1=T 
L.111 
O leitor deverá verificar que b:.Rf b:.11 tem unidade Q. 
v, 
Fig. 4-5 
V, 
Fig. 4-6 
4.5 RESISTtNCIA DE TRANSFERtNCIA 
Rede 
Passiva 
Uma tensão de alimentação em local da rede faz surgir correntes em todos os ramos da 
rede. Por exemplo, uma fonte de tensão aplicada a uma rede passiva resulta em uma corrente de 
saída no local da rede onde foi ligada uma resistência de carga. Neste caso a rede tem resistência 
de transferência total. Considere a rede passiva da Fig. 4-6, onde a fonte de tensão foi designa-
da como Vr e a corrente de saída como Is. A equação de corrente de malha para Is contém 
apenas um termo, o único resultante de Vr no determinante numerador: 
1, = co)(!~) + ···+o+ v,(!;) +o+ ... 
Análise em CC de Malhas e Nós 71 
A resistência de transferência da rede é a relação de Vr para Is: 
Ó.R R transfer,rs = -;;-
rs 
Porque a matriz resistência é simétrica, b.rs = b.sr, logo 
R transfer.rs = R transfer.sr 
Isto exprime uma importante propriedade de redes lineares: se uma certa tensão na malha 
r faz surgir uma certa corrente na malha s então a mesma tensão na malha s produz a mesma 
corrente na malhar. 
Considere agora a situação mais geral de uma rede de n-malhas contendo um número 
genérico de fontes de tens_ão. A solução para a corrente na malha k pode ser reescrita em 
termos de resistências de entrada e de transferência [reporte-se a (J), (2) e (3) do Exemplo 
4.4]: 
l V1 vk- l vk Vk+I vn k= + .. ·+ +---+ + ···+----
R1ransfer.lk R1ransfer.(k-l)k R ent. k R1ransfer,(k+l)k Riransfer,nk 
Não há nada novo aqui matematicamente, mas esta forma de equação de corrente ilustra 
muito claramente o princípio da superposição, mostrando como as resistências controlam os 
efeitos que as fontes de tensão têm sobre uma corrente de malha particular. Uma fonte retirada 
da malha k terá uma alta resistência de transferência naquela malha e irá contribuir, portanto, 
muito pouco para h · Fontes Vk, e outras malhas adjacentes à malha k, irão fornecer a maior 
parte deh. 
4.6 ~TODO DA TENSÃO NODAL 
O circuito mostrado na Fig. 4-7(a) contém cinco nós, onde os nós 4 e 5 são simples e 
1, 2 e 3 são nós principais. No método da tensão nodal, um destes nós principais é selecionado 
como referência e são escritas as equações, baseadas na LCK, para os outros nós principais. A 
cada um destes outros nós principais, é indicada uma tensão, onde deve ser entendido que esta 
é uma tensão em relação ao nó de referência. Estas tensões são as incógnitas e, quando deter-
minadas pelo método apropriado, resultam na solução da rede. 
O circuito é redesenhado na Fig. 4-7(b) e o nó 3 selecionado como a referência para as 
tensões V1 e V2 • A LCK requer que a corrente total para fora do nó seja zero : 
72 Circuitos Elétricos 
4 2 5 
Rs Ro 
J 
3 (ref.) 
(a) (b) 
Fig. 4-7 
Igualmente, a corrente total para fora do nó 2 deve ser zero: 
(Aplicando LCK nesta forma não implica que todas as correntes atuais dos ramos sejam dirigi· 
das para fora de ambos os nós. Realmente,