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10/04/2015 1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Gilson Amorim 1 • Nessa aula estudaremos corpos que oscilam sinusoidalmente com o tempo (função seno ou co-seno do tempo). 2 • Ver-se-á corpos que oscilam obedecendo a lei de Hooke, regidos por uma oscilação sinusoidal. Será também estudado o movimento de corpos em equilíbrios estáveis, os quais obedecem um comportamento também sinusoidal. 3 A Força Harmônica Definição – É toda força sobre um corpo proporcional ao deslocamento da origem e sempre dirigida para origem. 4 Tomando-se a direção do deslocamento com o eixo x, a expressão (1) F kx 5 Representa uma força harmônica, em que x é o deslocamento da posição de equilíbrio. 6 10/04/2015 2 O melhor exemplo de um fenômeno regido por esta expressão é o caso de um sistema massa-mola conforme mostra a figura abaixo. 7 • Sistema massa-mola m 8 A expressão (1) pode ser escrita segundo a relação onde x1, é a posição de equilíbrio. A constante k é a constante de elasticidade da mola, para x1=0, dada por 1( )F k x x 9 10 Movimento Harmônico Simples (MHS) Tome-se FR= ma, em que FR é a força exercida pela mola, ou seja escrevendo a aceleração , 2 2 d x a dt kx ma 11 http://phet.colorado.edu/sims/mass- spring-lab/mass-spring-lab_en.html Sistemas Massa-Mola 12 10/04/2015 3 que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, tem-se: ou (3) 2 2 d x kx m dt 2 2 d x k x o dt m 13 Buscando-se a solução da equação diferencial de segunda ordem (3), obtém-se: (4) dadas as condições iniciais de x0=0 para t=0 0 cosx x wt 14 x é a posição da partícula onde, x0 é a amplitude de oscilação máxima, é a velocidade angular. Testando a solução, tem-se: (5) 0 dx x wsenwt dt w 15 Derivando novamente, tem-se: (6) Substituindo-se (6) e (4) em (3), resulta em: 2 2 2 coso d x x w wt dt 2 cos cos 0o o k x w wt x wt m 16 de onde se deduz que: A expressão (5) representa a velocidade, enquanto que (6) expressa a acele- ração do sistema. 2 kw m 17 Da expressão (5), deduz-se que a velocidade máxima será: (7) 0máxV wx 18 10/04/2015 4 quando x=0. Observa-se também que (6) pode ser reescrita como (8) 2 2 2 o d x w x dt 19 O Período Toda vez que uma função periódica se repete, a este ciclo denomina-se período. Para encontrá-lo, basta que se analise por exemplo, a expressão 0 cosx x wt 20 tomando-se t=T, onde T é o período da função. Para que a função co-seno se repita, é necessário que ou seja 2wT 2 T w 21 O número de oscilações num tempo T é: O primeiro membro é conhecido como frequência de oscilação representado por f: (9) 1 n T 1 f T 22 Sabendo que e , pode-se escrever como: 2 kw m 2 T w 2 m T k 23 que é o período de oscilação de uma massa m presa a uma mola fixa na outra extremidade, e a mola tem constante elástica k. 24 10/04/2015 5 Exemplo 1 Um bloco de 3,94 kg distende uma mola de 15,7 cm, em relação a sua posição não-deformada. O bloco é, então, substituído por um objeto de 0,520 kg que é posto a oscilar. Determine o período de oscilação desse movimento. 25 m1= 3,94 kg x=15,7 cm=0,157 m m2=0,520 kg A massa m1 exercerá uma força equivalente ao seu peso, desta forma tem-se: Exemplo 1 - Solução 2 m T k F F kx k x 26 F=3,94 (kg) 9,8 (m/s2)=38,61 kg m/s2= 38,61N Obtêm-se daí a constante da mola F=kx donde, 38,61 0,157 F N k x m Exemplo 1 - Solução 27 k=245,94 N/m Calcula-se agora o período solicitado, desta vez usa-se a massa m2: Exemplo 1 - Solução 28 T=0,289 s 2 2 0,520 2 2 245,94 m kg T mk kg s m Exemplo 1 - Solução 29 A Energia do Movimento Harmônico Simples (MHS) Para o caso em que não há forças dissipativas a energia total do sistema se conserva, ou seja ETotal=Ec+U (10) 30 10/04/2015 6 Sabendo-se que a força do MHS é dado por e que a energia potencial pode ser escrita como: 0 x U Fdx F kx A Energia do Movimento Harmônico Simples (MHS) 31 Obtém-se daí, , ou seja (11) Substituindo (11) em (10) e sabendo-se que , tem-se: (12) 0 ( ) x U kx dx 21 2 U kx 21 2 cE mv 2 21 1 2 2 Total xE mv kx 32 Sabendo-se que a posição da partícula é dada por , tem-se U em função do tempo: (13) cosox x wt 2 21 cos 2 oU kx wt A Energia do Movimento Harmônico Simples (MHS) 33 Por outro lado, pode-se obter a velocidade derivando a posição x em relação ao tempo, ou seja ( cos ) ( )x o o dx d v x wt x wsen wt dt dt A Energia do Movimento Harmônico Simples (MHS) 34 Substituindo este valor na expressão da energia cinética, tem-se: como , fica: (14) 2 2 21 2 c oE mx w sen wt 2k mw 2 21 2 c oE kx sen wt A Energia do Movimento Harmônico Simples (MHS) 35 Substituindo (14) e (13) em (10), tem-se: 2 2 2 21 1 cos 2 2 Total o oE kx sen wt kx wt A Energia do Movimento Harmônico Simples (MHS) 36 10/04/2015 7 Da identidade trigonométrica, , é correto afirmar que: (15) O gráfico abaixo mostra a variação das energias cinética e potencial em função do tempo de um MHS 2 2cos 1sen 21 2 Total oE kx A Energia do Movimento Harmônico Simples(MHS) 37 ( ) ( )cE t U t tempo E n e r g i a 1 2 T T Energia Cinética e Potencial em função do tempo 38 Energia Cinética e Potencial em função da posição E n e r g i a +xo posição -xo ( ) ( )cE x U x 39 Lembrando que e que , tem-se: Obtém-se o valor de 21 2 c oE U kx 21 2 c xE mv 2 2 21 1 1 2 2 2 x omv kx kx xv 40 (16) vx é máximo p/ x=0 vx é nulo p/ x= x0 2 2 2 x omv kx kx 1 . m 2 2 2( )x o k v x x m 2 2( )x o k v x x m 41 vx é máximo p/ x=0 vx é nulo p/ x= x0 42 10/04/2015 8 Exemplo 2 Um estilingue grande (hipotético) é distendido 1,53m a fim de lançar um projétil de 130 g com velocidade suficiente para escapar da Terra (11,2 Km/s). (a) Qual deve ser a constante elástica desse dispositivo supondo que toda a energia potencial seja convertida em energia cinética? 43 (b)Admita que uma pessoa normal possa exercer uma força de 220 N. Quantas pessoas são necessárias para distender este estilingue? Exemplo 2 44 Exemplo 2 - Solução y0=1,53 m m= 130 g =0,13 kg Vy=11,2 km/s =11.200m/s (a)No ponto de velocidade máxima, y=0 e sabendo que tem-se: Total cE E 21 2 Total oE ky 45 Evidenciando o valor de k, fica: 2 2 0 1 1 2 2 yky mv 2 2 2 2 (11.200 / ) 0,13 (1,53 ) y o v m s k m kg y m 6.966.209,58 /N m 46 (b) Sabendo que F=-kx , podemos calcular o módulo da força total para distender o estilingue. 66,97 10 1,53 N F kx m m 10.658.300,66F N 47 Dividindo este valor pela força de 1 pessoa tem-se: 48.446,82 pessoas 48 10/04/2015 9 O Pêndulo Simples 49 Definição- É um instrumento ou montagem que consiste em uma partícula suspensa por um cabo com massa desprezível e inextensível. O Pêndulo Simples 50 A figura abaixo mostra um pêndulo simples onde é o ângulo entre uma linha vertical e a posição do cabo, L é o comprimento do cabo, é a tensão no cabo, é o peso da partícula de massa m. T mg O Pêndulo Simples 51 T mg mgsen cosmg 52 O peso é decomposto em duas componente: a componente radial é . Ela é responsável pela restauração do movimento, atuando sempre no sentido oposto ao movimento (indicado pelo sinal menos), e pode ser escrita como: (17) mgsen xF mgsen 53 onde o sinal negativo indica que, para qualquer ângulo não podemos afirmar que o movimento é harmônico simples. Entretanto, se o ângulo for inferior a 15º, é correto afirmar que com isso a expressão (17) ficará: (18) sen x x mg F mg mg x L L 54 10/04/2015 10 Conforme mostra a figura abaixo Comparando (17) com a equação da força do sistema massa-mola, tem-se: x sen L L x y 55 onde , é correto afirmar que, F kx x mg F x L mg k L O Pêndulo Simples 56 o período 2 2 m m T mgk L 2 L g O Pêndulo Simples 57 É importante notar que o período independe da massa da partícula. O Pêndulo Simples 58 Simulação do Pêndulo Simples • http://phet.colorado.edu/sims/pendulum- lab/pendulum-lab_en.html 59 Exemplo 3 Considere que o pêndulo de um relógio seja simples e que ele oscila 20 cm de um lado a outro em cada segundo sendo, o período Total T=4s. (a)Qual o comprimento do pêndulo? (b)Qual sua velocidade máxima? 60 10/04/2015 11 Exemplo 3 - Solução Sabendo-se que o período de um pêndulo simples é dado por: , tem-se: 2 LT g 2 2 2 49,8 / 2 2 T s L g m s 61 Exemplo 3 - Solução (b) É correto afirmar que: 2 2 2 4 39,2 9,8 3,97 9,86 m s m L m s max 2 o ov wx x T 62 Exemplo 3 - Solução em que logo, 0,20 0,10 2 o m x m max 2 0,10 0,0785 / 4 v m m s s 63 Referências 64 • HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física. V.2. 8.Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2007. • SERWAY, Raymond A. Princípios de Física; tradução técnica André Koch Torres Assis.São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
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