TRABALHO CALCULO 2 - integrais duplas

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Curso de Engenharia Unificada
Trabalho de Cálculo II
Integrais Duplas
Salvador
2016
SUMÁRIO
Objetivo _________________________________________________03
Introdução_______________________________________________03
Definição_________________________________________________03
Propriedades Básicas_______________________________________03
Interpretação geométrica____________________________________03
Integrais integradas – Teorema de Fubbini _____________________03
Cálculo de volumes _________________________________________03
Cálculo de áreas ____________________________________________03
Conclusão _________________________________________________03
Data do Trabalho: 10/05/2016
Objetivo:
Introdução:
Definição:
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como por exemplo, na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. 
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra. 
A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.
Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.
Interpretação Geométrica
A definição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica análogaa definição de integral definida simples, associando-a ao problema de calculo de volume da mesma forma que a integral definida e associada ao calculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto e, diferenciais de áreas, ou seja, com a finalidade de obter-se uma quantidade total apos esta operação. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas.
Exemplos: Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo-x e pelas funções abaixo:
f(x) = 2x + 1, no intervalo [1,3].
f(x) = x2 - 4x, xÎ[1,3] .
Notação:
(f) Área sob a curva y=f entre A e B
f(x)= Função integrando
ᶴ= símbolo da integral
A e B são números chamados limite da integração
A= Limite inferior
B= Limite Superior
Propriedades:
P1. Se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a,b] e se k é uma constante real qualquer, então 
P2. Se as funções f(x) e g(x) são integráveis em [a,b] , então f(x)±g(x) é integrável em [a,b] e
	
P3. Se a < c < b e a função f(x) é integrável em [a,c] e em [c,b], então, f(x) é integrável em [a,b] e
P4. Se a função f(x) é integrável e se f(x)≥g(x) para todo x em [a,b], então,
P5. Se as funções f(x) e g(x) são integráveis em [a,b]e f(x)≥g(x) para todo x em [a,b], então,
P6. Se f(x) é uma função integrável em [a, b] , então |f(x)| é integrável em [a, b] 
e 
Integrais Iteradas:
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:∫ dc [∫ b
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral ∫ b a f(x,y)dx como integral de uma variável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com limites de integração c e d.
A integral ∫ b f(x,y)dy] dx é calculada de forma análoga.
O Cálculo da Área:
A busca de processos exatos ou mesmo aproximados para o cálculo de área Sda região limitada por uma curva fechada deu a Arquimedes (século IIIa.C.aproximadamente) a glória de ser considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Com seu método da exaustão, conseguiu calcular áreas de regiões limitadas por inúmeros tipos de curvas.
Após Arquimedes, só no século XVII, por volta de 1670, é que o processo definitivo, com a invenção do Cálculo Integral, simultaneamente por Newton, na Inglaterra, e por Leibniz, na Alemanha.
A idéia do método é, resumidamente, a seguinte: seja f(x) uma função contínua e "positiva" (f(x)≥0) num intervalo [a,b].
Vamos escolher no intervalo [a,b] uma seqüência de pontos, que chamaremos de seqüência de partição:
P=a=x0,x1,x2,⋯,xn−1,xn=b,sendo n≥2(1)
com a condição:
a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b(2)
Cada intervalo terá a extensão dxi=xi−xi−1, sendo i=1,2,⋯n e nesse i-ésimo intervalo a função f terá os valores máximos e mínimos Mi e mi, respectivamente.
Escolhido um ponto amostral xi¯¯¯¯¯ nesse intervalo, a imagem f(xi¯¯¯¯¯) será com valor amostral de f.
A figura abaixo sugere os cálculos das seguintes áreas elementares:
midxi,f(xi¯¯¯¯¯),Midxi(3)
Se variarmos o índice i de 1 a n, teremos os somatórios:
relativas à sequência de partição escolhida:
An=∑i=1nmidxi⟶Soma inferiorBn=∑i=1nf(xi¯¯¯¯¯)dxi⟶SomaamostralCn=∑i=1nMidxi⟶Soma superior(4)(5)(6)
Uma primeira propriedade dessas somas salta logo à vista:
An≤Bn≤Cn(7)
Isto decorre da desigualdade mi≤f(xi¯¯¯¯¯)≤Mi e das propriedades algébricas das desigualdades.
Esses números An≤Bn≤Cn constituem atraentes aproximações da área Sprocurada (da região entre a curva e o eixo dos x, no intervalo [a,b]).
É de esperar também que se procure melhorar as aproximações, como era feito por Arquimedes: aumentando muito, muito mesmo, o número n de divisões de [a,b], isto levando certamente ao uso da palavra limite na procura da aproximação ideal, aquela que deverá ser considerada como, por definição, o valor da área S.
Para alguns tipos de funções, sendo as mais importantes as contínuas, prova-se que existe um, e somente um, número real S, tal que:
S=limn→∞An=limn→∞Bn=limn→∞Cn(8)
Desde que em cada sequência de partição a máxima extensão dxi tenda a zero.
Portanto:
S=limn→∞∑i=1nmidxi=limn→∞∑i=1nf(xi¯¯¯¯¯)dxi=limn→∞∑i=1nMidxi(9)
Desde que max(dxi)→0 e que esses limites sejam de fato iguais, isto é, que f(x) seja integrável em [a,b].
Esse número S recebeu o nome de Integral de f(x) no intervalo [a,b] e é indicado por:
S=∫baf(x)dx(10)
Se tiramos a condição f(x)≥0, a integral acima pode não representar a área entre a curva no intervalo [a,b], como nos casos sugeridos pelas figuras seguintes:
∙∫baf(x)dx=−S
∙∫baf(x)dx=A−A1−A2
O Cálculo da Área:
Seja R uma região do plano xy representada por
R = 
Seja g(x,y) uma função contínua de duas variáveis tal que g(x,y) ³ 0 para todo (x,y) na região R. O volume V do sólido compreendido entre o gráfico de z = g(x,y) e acima de R é dado por
 V = .
ou
V = .
Utilizando os comandos do Mathematica a fórmula dada acima é representada por "Integrate[1,{x,a,b},{y,f1(x),f2(x)}]", isto é,
V =  = Integrate[1,{x,a,b},{y,f1(x),f2(x)}].
Veja a seguir alguns exemplos para o cálculo de volume em coordenadas cartesianas utilizando a integração dupla:
Exemplo 5.12
a) Encontrar o volume do sólido limitado pela superfície g(x,y) =  e os planos x = 4 e y = 3 e os três planos coordenados; 
b) Encontrar o volume do espaço limitado pelas superfícies x =0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.
Resolução
a) É dado que g(x,y) =  e as variações de x e y são 0 £ x £ 4 e 0 £ y £ 3, respectivamente. Colocando estes valores na integral que dá o volume, obtemos
.
Utilizando o comando "Integrate", obtemos
 In[ ]:= Integrate[2- 1/3 x^2 + 1/6 y^2,{x,0,4},{y,0,3}]
Out[ ]= 
Logo, concluímos que o volume do espaço desejado é dado por V =  u.v..
b) É dado que x + y + z = 1, daí achamos o valor da função g(x,y), isto é, z = g(x,y) = 1 - x - y. Como é dado que z = 0, daí concluímos que x + y = 1, isto é, y = 1 - x. Quando y = 0 em x + y = 1 achamos o valor máximo de x, isto é, x = 1. Resumindo temos as seguintes variações:
0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1 - x, e g(x,y) = 1 - x - y.
Substituindo estes valores na integral que dá o volume obtemos
 V = .
Damos o seguinte comando para calcular o valor da integral:
In[ ]:= Integrate[1- x- y,{x,0,1},{y,0,1- x}]
Out[ ]= 
Logo, concluímos que o volume desejado é dado por V =  u.v..
Conclusão
Em meus estudos pude notar que os há vários tipos de expressar um mesmo conceito dependendo da disciplina em questão (física ou cálculo, por exemplo).
Dessa forma, também há diferentes formas de se resolver o mesmo problema. De acordo com as informações que você tem pode se tornar mais fácil ou, mais complicado. Entretanto, todos deverão chegar ao mesmo resultado.
Referencias:
http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math53/Math53.html
 Cálculo D
Márcia Rosales Ribeiro Simch
Germán Ramón Canahualpa Suazo
Silvia Prietsch Wendt Pinto
Ministério da Educação
Universidade Federal de Pelotas
Pelotas 2008 Curso de Licenciatura em Matemática a Distância.	
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(Alexandre Fontenele dos Santos)
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(Cléber Pereira)
	
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(Felipe Aragão Liborio)
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(Guilherme Dantas)
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(Juliana Silva de Araújo)
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(Mateus Leite Batista)
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(Marcus Figueredo)
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(Vinicius Henrique Aquino )
PROFESSORA: Sandra Crisóstomo
ANEXO I - Atividades