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Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES 0 Título: INTRODUÇÃO Objetivo: Definir a área de conhecimento da topografia, suas divisões e atuações, bem como os seus conceitos básicos. Conteúdo: Disciplina - Topografia Generalidades: Planimetria, Altimetria, Planialtimetria, Topologia, Topometria; Fotogrametria; Medida dos Ângulos; Bússola; Escalas; Medidas Diretas e Indiretas; Métodos de Levantamentos; Coordenadas Geográficas e Planimétricas; Desenho Topográfico – elaboração de curva de nível e perfil topográfico. Etimologicamente a palavra topografia deriva do grego topos (lugar); graphen (descrever), portanto descrição minuciosa do lugar. Definição: topografia é um conjunto de princípios, métodos, aparelhos e convenções utilizadas para a determinação do contorno, da superfície da terra, do fundo dos mares ou do interior de minas. A topografia faz parte de uma área de conhecimento mais geral, a Geodésia, que tem por objetivo o estudo da forma e das dimensões da terra. A representação do terreno com a utilização dos princípios geométricos e trigonométricos é a essência da topografia. As operações realizadas no terreno, com o objetivo de colher dados para a representação de sua superfície, são denominadas “levantamentos topográficos”. A superfície topográfica se refere à superfície de um terreno limitado a uma região suficientemente pequena onde, sendo possível desprezar-se a curvatura da terra, as verticais desse lugar formam um feixe de retas paralelas. A topografia assim estuda a representação de uma área no geoide em um plano topográfico. Os levantamentos geodésicos referem-se a áreas muito extensas, sendo necessário levar em conta a curvatura da terra, enquanto que a Topografia atua dentro de certos limites (25 a 30 km), dentro dos quais pode-se considerar, sem grande erro, a Terra como supostamente plana. 1.0 TOPOGRAFIA: HISTÓRICO/GENERALIDADES 1.1 RESUMO HISTÓRICO Há registros de que se praticava topografia, no antigo Egito, nos anos de 1.400 aC, quando se procurava delimitar as áreas produtivas que ficavam às margens do Rio Nilo. 1.2 DEFINIÇÃO Etimologicamente, significa “Descrição do lugar”. Do grego Topos, lugar e graphen, descrever. Por definição clássica, Topografia é uma ciência baseada na Geometria e Trigonometria, de forma a descrever (medidas, relevo) e representar graficamente (desenho) parte da superfície terrestre, restritamente, pois não leva em consideração a curvatura da Terra. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 1 1.3. OBJETIVO É a obtenção das dimensões (lineares, angulares, superfície), contornos (perímetro) e posição relativa (localização em relação a uma direção de referência) de uma parte da superfície terrestre. 1.4. FINALIDADE É a representação gráfica (gerar um desenho) dos dados obtidos no terreno sobre uma superfície plana. A esta se dá o nome de Planta ou Desenho Topográfico. 1.5. IMPORTÂNCIA E APLICAÇÃO A topografia é uma atividade básica para qualquer serviço de engenharia. Não é uma atividade “fim” e sim uma atividade “meio”, isto é, não se faz um levantamento topográfico e para por aí. Este levantamento terá uma finalidade pré-estabelecida para cada tipo de trabalho executado num plano topográfico. Quanto aos campos de aplicação tem-se: as Engenharias: Civil, Mecânica, Ambiental, Florestal; Agronomia; Arquitetura e paisagismo; Controle geométrico e execução de obras. 1.6. LIMITE DE ATUAÇÃO De uma maneira geral (varia de acordo com diversos autores), considera-se o limite de 25 a 30 km, a partir da origem do levantamento. A Norma NBR 13.133/94 – Execução de Levantamento Topográfico, da ABNT, considera um plano de projeção limitado a 80 km (item 3.40-d, da Norma). Consideremos a superfície terrestre de forma circular e observemos o plano topográfico que é suposto plano, até os limites adotados, conforme figura a seguir, adotando o Raio Terrestre de 6.370 km. 1.7. DIVISÕES DA TOPOGRAFIA A topografia tem três divisões básicas: Topometria, Taqueometria e Topologia, além da Fotogrametria e Agrimensura. Há uma corrente de autores que defendem que estas duas últimas, pela sua abrangência, terem certa independência, isto é, serem ciências à parte. 1.7.1. TOPOMETRIA: é o conjunto de métodos e procedimentos utilizados para a obtenção das medidas (distâncias e ângulos) de uma parte da superfície terrestre. Pode ser divida em: Planimetria: procedimentos para obtenção de medidas num plano horizontal; Altimetria (Hipsometria): procedimentos para obtenção de medidas plano vertical; Planialtimetria: procedimento para obtenção das medidas num plano horizontal e vertical. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 2 1.7.2. TAQUEOMETRIA (medida rápida); é parte da topografia que se ocupa dos processos de obtenção das medidas horizontais e verticais, simultaneamente, baseado no princípio da Estadimetria e trigonometria de triângulo retângulo. Esse processo é mais utilizado em terrenos de relevo ondulado, acidentado. 1.7.3. TOPOLOGIA: É a parte da topografia que se ocupa do estudo e interpretação da superfície externa da terra (relevo), segundo leis que regem a sua modelação. É a parte interpretativa da topografia. 1.7.4. FOTOGRAMETRIA: é uma ciência baseada da arte da obtenção fidedigna das medidas através de fotografias. Pode ser: Terrestre: Complementam a topografia convencional; Restauração de fachadas de prédios antigos (arquitetura); Aérea (Aerofotogrametria): bastante utilizada para grandes extensões da superfície terrestre (trabalhos de reconhecimento, estudos de viabilidade, anteprojeto); restituição aerofotogramétrica. 1.7.5. AGRIMENSURA: (medida agrária); trata dos processos de medição de superfícies do terreno, divisões de terra segundo condições pré- estabelecidas. Há uma corrente de autores que a coloca independente da topografia, pela sua abrangência. 1.7.6. MODELADO TERRESTRE Para entendermos a forma da terra é importante verificar a ciência que abrange a superfície da terra como um todo, e esta se chama Geodésia, que atua além dos limites da Topografia. 2. GEODÉSIA É uma ciência que se ocupa dos processos de medição e especificações para o levantamento e representação cartográfica de uma grande extensão da superfície terrestre, projetada numa superfície geométrica e analiticamente definida por parâmetros que variam em número, levando-se em consideração a curvatura terrestre. 2.1 DIFERENÇAS ENTRE TOPOGRAFIA E GEODÉSIA Então, conhecendo-se as definições das duas ciências, pode-se elaborar as seguintes diferenças entre elas: Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 3 TOPOGRAFIA GEODÉSIA Extensões limitadas Grandes extensões Não leva em consideração a curvatura da terra Leva em consideração a curvatura da terra Planta ou desenho topográfico Carta ou mapa 2.2 FORMA DA TERRA Várias são as formas técnicas de identificação da Terra, porém todas são muito aproximadas: natural, esfera, elipse e a convencionada internacionalmente, que é o Geoide. FORMA NATURAL (Superfície topográfica): É a forma real da terra que vem sendo estudada através de observações por satélite (imagens espaciais) e gravimetria (medidas do campo gravitacional). E ainda não se tem um modelo com parâmetros que a identifiquem. FORMA ESFÉRICA: Forma mais simples da terra, sendo utilizada para efeitode determinados cálculos na Topografia e Geodésia. FORMA DE UMA ELIPSE DE REVOLUÇÃO (Superfície elipsoidal) Como a terra tem a forma arredondada e achatada nos polos, há uma indicação, confirmada por observações espaciais, que ela se aproxima de uma Elipse. Esta é a superfície de Referência usada para cálculos geodésicos, pois há parâmetros matemáticos de sua geometria, como Equação da Elipse, achatamento, excentricidade. Este elipsoide é gerado a partir da rotação em torno do eixo menor. ELIPSE a = semieixo maior; Achatamento b = semieixo menor f = a - b a Parâmetros do SAD-69 South American Datum 69 a = 6.378.160,000 m; b = 6.356.774,719 m. Estes parâmetros são adotados no Brasil, na atualidade, porém já se introduziu um novo sistema denominado SIRGAS – Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS-2000), instituído pelo Decreto 5.334, de 06.01.2005, cujos parâmetros são: A = 6.378.137,000 m e 257222101,298 1 f b a Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 4 GEÓIDE (Superfície geoidal): Originada do elipsoide, convencionou-se dar um nome efetivamente relacionado com a Terra, e este nome é o Geoide, sendo definido como a superfície equipotencial (sobre mesma ação gravitacional) do Nível Médio dos Mares (NMM) em equilíbrio, prolongada através dos continentes. 3.0 DIREÇÃO E ORIENTAÇÃO DE MAPAS Algumas pessoas pensam que os animais e os povos primitivos tem um senso de direção inato. Isso é falso, pois tanto os animais quanto índios ou pessoas que vivem no campo podem muito bem um dia, por uma razão qualquer, se perderem. Porém, em geral eles aprenderam a ser mais observadores do que os povos modernos. Qualquer pessoa pode muito bem ter senso de direção, para isso basta apenas um pouco mais de atenção e ser mais perspectiva. A direção por definição, só pode ser determinada com referência (relação) a alguma coisa. O ponto de referência pode estar perto ou longe, pode ser concreto ou abstrato. Esse ponto de referência estabelece uma linha de referência baseada entre o observador e ele. Esse capítulo apresenta alguns pontos e linhas de referência úteis e os sistemas de referência baseados nelas. Depois, são relacionados ao mapa e seu uso no campo e gabinete. 3.1 OS TRÊS NORTES No início é essencial estar ciente de um fator importante: não existe uma linha de referência pela razão de não existir um único ponto de referência normalmente são utilizados os três Nortes (também existe os três Sul, mas não há necessidade de explicá- los porque é exatamente o oposto do Norte). Com suas respectivas vantagens e desvantagens, cada Norte apresenta certas conveniências para determinados propósitos em circunstância diferentes. Porém todos são importantes para os cartógrafos e leitores de mapas. 3.2 O Norte Geográfico (NG) (Também Chamado Norte Verdadeiro (NV) ou Norte Astronômico) O Norte Verdadeiro Norte geográfico está localizado no polo norte (no eixo de rotação da Terra) onde os meridianos se encontram, portanto, se vê que cada meridiano segue a direção exata do norte verdadeiro. Uma linha de qualquer lugar da terra para o polo norte, sendo uma linha de longitude (meridiano), serve como linha de referência do Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 5 norte verdadeiro, uma vantagem do norte verdadeiro é que pode geralmente ser localizado aproximadamente no campo sem a utilização de nenhum instrumento especial. Pode-se determinar sua direção com a utilização de objetos simples encontrados naturalmente no campo, exatamente como faziam alguns povos primitivos. Um bom exemplo disso é a utilização das estrelas e do sol para determinar o norte verdadeiro. Provavelmente o norte foi escolhido como o ponto zero nos mapas porque existem muitos sinais celestes que ajudam a encontrá-lo. Um dos mais velhos e mais práticos indicadores é a estrela do Norte ou Polares. Ela está situada no universo diretamente acima do polo norte. A diferença entre as linhas Polares e o eixo da rotação da terra é de apenas 11/2°, um desvio desprezível menos nos estudos de geodesia. Portanto, para encontrar o norte verdadeiro somente é necessário localizar Polares, o que é muito fácil. Ela é uma das maiores estrelas visíveis do hemisfério norte e por causa da rotação da terra em redor de seu eixo, todas as outras estrelas dão a impressão de estarem se movimentando em rotas concêntricas em volta de Polares. No hemisfério sul, o lugar no céu diretamente acima do polo sul é o cruzamento dos eixos da constelação Cruzeiro do Sul, isso é tão importante que está representado nas bandeiras de cinco países, Samoa ocidental, Brasil, Austrália, Nova Zelândia, e Papua Nova Guiné. O sol também indica a direção do norte verdadeiro. 3.3 O NORTE DA QUADRÍCULA (NQ) As cartas topográficas têm uma rede de quadrículas do sistema UTM. As linhas verticais dessas grades apontam para o norte e o sul da quadrícula. Diferente do norte verdadeiro, ele não se refere a nenhum lugar geográfico. É um sistema de direção artificial, estabelecido cientificamente em cada um dos 60 fusos de UTM. A rede de quadrículas é sobreposta no mapa para dar coordenadas e também facilitar o uso do compasso com a finalidade de medir a distância e direção. Porém, o norte de quadrícula não é necessariamente o mesmo que o norte verdadeiro. As linhas do norte da quadrícula correm paralelas de cima abaixo do mapa, enquanto as linhas do norte verdadeiro (só meridianos) convergem em direção aos polos norte e sul. Em cada fuso da UTM, o meridiano central coincide exatamente com da linha da quadrícula de valor 500.000 metros ao leste da linha zero. Para qualquer lugar ao longo dessa linha, o norte verdadeiro e norte da quadrícula estão exatamente na mesma direção. Quanto mais linhas da quadrícula se afastam do meridiano no centro do fuso (como pontos, F, G e H em relação ao ponto E) mais será o desvio entre estes dois. O desvio também aumenta quanto se aproxima do polo (compare pontos A, B, C). Se somente uma área pequena for mapeada o desvio será quase o mesmo em todo o mapa. Porém se a região mapeada for extensa, as linhas da quadrícula das duas margens laterais do mapa terão desvios bem diferentes em relação aos respectivos meridianos. O norte da quadrícula é uma excelente ajuda para o estudo de cartas topográficas no laboratório e no campo porque as linhas são impressas sobre toda a carta enquanto os meridianos são somente nas margens da área mapeada. É justamente onde uma linha de quadrícula cruza um meridiano (margem lateral) ou um paralelo (margem superior ou Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 6 inferior) que é possível medir com um transferidor a declinação entre o norte geográfico e o norte da quadrícula. 3.4 O NORTE MAGNÉTICO (NM) Esse terceiro norte é muito conveniente ao usuário de um mapa quando se encontre no campo com uma bússola. A direção do norte magnético (em teoria) é apontada pela agulha da bússola. Foi visto no anterior que o norte da quadrícula pode diferencia significativamente do norte verdadeiro. O mesmo problema ocorre com o norte magnético, mas por outras razões. O polo norte magnético está localizado ao norte do Canadá, aproximadamente 1500 km ao sul do polo norte. A diferença em ângulos entre o norte verdadeiro e o norte magnético é conhecida como declinação magnética. Em outras palavras, a declinação magnética nada mais é do que o ângulo formado entre uma linhaque sai de um ponto qualquer e segue na direção do norte verdadeiro e outra que sai também do mesmo ponto e vai em direção do norte magnético (polo magnético). Este ângulo pode ser de 0° até 180° leste e de 0° oeste. 4.0 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA Declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano verdadeiro e o meridiano magnético; ou também pode ser identificado como desvio entre o azimute ou rumo verdadeiro e os correspondentes magnéticos (figura abaixo). Atualmente, a declinação magnética diária de cada localidade do Brasil pode ser obtida na internet, na página do Observatório Nacional www.on.br, acessando o item “serviços”. Varia com o tempo e com a posição geográfica, podendo ser ocidental (δW), negativa quando o Polo magnético estiver a Oeste (W) do geográfico e oriental (δE) em caso contrário. Atualmente, em nosso país a declinação é negativa, logo ocidental. Representação da Declinação Magnética A variação anual em graus (curvas isogônicas) e curvas de igual variação anual em minutos (curvas isopóricas). A interpolação das curvas do grau e posteriormente no minuto, para uma dada posição na superfície física da Terra, nos permite a determinação da declinação magnética com precisão na ordem do minuto. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 7 No Brasil o órgão responsável pela elaboração das cartas de declinação é o Observatório Nacional e a periodicidade de publicações da mesma é de 10 anos. 4.1 CONVERGÊNCIA MERIDIANA A convergência meridiana é o ângulo C, que num determinado ponto P, é formado pela tangente ao meridiano deste, e a paralela ao meridiano central. Desta forma a convergência meridiana é o ângulo formado entre o norte verdadeiro e o norte de quadricula. NV = norte verdadeiro; NQ = norte da quadrícula; C = convergência meridiana; MC = Meridiano central. C positivo - no hemisfério sul - lado oeste do MC; - no hemisfério norte - lado leste do MC. C negativo - no hemisfério sul - lado leste do MC; - no hemisfério norte - lado oeste do MC. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 8 Utilização da convergência meridiana A convergência meridiana é utilizada para transformar o azimute verdadeiro, determinando por via astronômica, em azimute plano (norte de quadrícula) e vice-versa. O azimute plano é utilizado, em geodesia, no cálculo do transporte de coordenadas planas sistema UTM (E, N). Az VAB = azimute verdadeiro da linha AB; Az PAB = azimute plano da linha AB; C = convergência meridiana; NV = norte verdadeiro. NQ = norte de quadrícula. O azimute verdadeiro é utilizado em topografia para cálculos das coordenadas locais (x, y). O azimute geodésico é referenciado a superfície elipsoidal, enquanto o azimute verdadeiro é referenciado a superfície geoidal (superfície real da Terra). Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 9 5.0 GONIOLOGIA É a parte da Topografia que se encarrega do estudo dos ângulos utilizados na execução de seus trabalhos. A GONIOLOGIA é dividida em: 1) Goniometria 2) Goniografia Goniometria - É a parte da Goniologia que se encarrega da medição dos ângulos no campo. Goniografia - É a parte da Goniologia que se encarrega da representação gráfica ou geométrica dos ângulos. Goniômetro - Todo aparelho usado para medir ângulos. Nas operações topográficas, o goniômetro comumente empregado é o TEODOLITO. Limbo - Círculo graduado, onde fazemos as leituras dos ângulos horizontais e verticais. É a parte especializada dos teodolitos. CLASSIFICAÇÃO DOS LIMBOS: QUANTO AO SISTEMA DE GRADUAÇÃO: Centesimal - limbo dividido em 400 unidades (grados). Sexagesimal - limbo dividido em 360 unidades (graus, minutos e segundos). Centesimal Sexagesimal Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 10 As unidades de medidas angulares são: ♦ - sexagesimal; ♦ - centesimal (grados); ♦ - radianos. 5.1 SEXAGESIMAL No Brasil, o sistema adotado é o sexagesimal, no qual a circunferência está dividida em 360 partes iguais, sendo cada parte de 1 o (um grau, que constitui a unidade do sistema sexagesimal). Cada grau está dividido em 60 partes iguais, onde cada parte corresponde a um ângulo de 1’ (um minuto). Cada minuto está dividido em 60 partes iguais, sendo que cada parte corresponde a um ângulo de 1” (um segundo). NOTAÇÃO: grau (º) Minutos (‘) Segundos (“) 5.2 CENTESIMAL (GRADO) Na unidade centesimal, a circunferência está dividida em 400 partes iguais, cada parte correspondendo a 1g (um grado). Cada grado está dividido em 100 partes iguais, cada parte corresponde a 1 centígrado, 1 centésimo de grados ou 1 minuto centesimal. Cada centígrado está dividido em 100 partes iguais, onde cada parte corresponde a 1 decimiligrado ou milésimos de grado. 5.3 RADIANO Chama-se de radiano, ao ângulo central que corresponde a um arco de comprimento igual ao raio. A circunferência está dividida em rd (6,2832 rd), onde 1 radiano corresponde a um ângulo, no sistema sexagesimal, a 57º 17’44,8”. A aplicação prática desta unidade de medida angular dá-se principalmente na medida de ângulos pequenos. CONVERSÃO DE UNIDADES: CONVERSÃO DE GRAUS EM GRADO 400 g → 360 o X g → Y o Portanto: Exemplo: Converter 62º 37’21” em grados. Resolução: - Passagem do sistema sexagesimal para o sistema decimal: Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 11 Multiplicam-se os minutos por 60, adicionam-se os segundos e divide-se o resultado por 3.600 e obtêm a parte decimal. Daí: 62º 37’21” = 62,6225º. Passagem do sistema decimal para o sistema sexagesimal: 62,6225 º. Multiplica-se a parte fracionária por 60 para obter-se os minutos. Multiplica-se novamente a parte fracionária por 60 para obter-se os segundos. 0,6225 x 60 = 37,35’ (37 equivalem aos minutos). 0,35 x 60 = 21” Portanto: 62,6225º = 62 º 37’21”. CONVERSÃO DE GRAUS EM RADIANOS Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 12 6.0 DEFLEXÕES: Deflexão é o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o alinhamento que segue varia de 0° a 180° e necessita da indicação da direita (sentido horário) ou da esquerda (sentido anti-horário). 6.1 OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS As operações topográficas podem ser divididas em quatro etapas: Levantamento: É quando se obtém as medidas angulares e lineares; Cálculo: Transformação das medidas obtidas no levantamento em coordenadas, área e volume; Desenho: É a etapa onde se faz a representação das coordenadas; Locação: Confirmação no campo dos dados levantados e calculados. 6.2 ÂNGULOS DA MENSURAÇÃO Ângulo: É dado pela diferença de direção entre duas retas que se encontram em um determinado ponto chamado de vértice. 6.3 Ângulo Horizontal É o ângulo medido segundo o plano horizontal. ângulo horizontal é osentido horário. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 13 6.4 Ângulo Vertical É o ângulo medido segundo o plano vertical. três tipos de ângulos verticais: - Ângulo de al - - A medição do ângulo vertical, junto com a medição da distância inclinada, tem duas finalidades: servir ao cálculo da distância horizontal (reduzida) e do desnível entre pontos topográficos. A definição do que genericamente se chama “ângulo vertical” depende da origem de sua contagem. Define-se ângulo vertical (símbolo V) o ângulo formado entre a linha do horizonte (plano horizontal) e a linha de visada, sendo a origem de contagem do ângulo a própria linha do horizonte. Os ângulos verticais registrados acima desta linha são positivos ou ascendentes, variando de 0º a +90º, enquanto os indicados abaixo desta linha são negativos ou descendentes, variando de 0º a –90º. Define-se ângulo zenital (símbolo: Z) o ângulo formado entre a vertical do lugar e a linha de visada, sendo o zênite a origem de contagem do ângulo, que varia de 0º a 180º. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 14 Define-se ângulo nadiral (símbolo N) o ângulo formado entre a vertical do lugar e a linha de visada, sendo o nadir a origem de contagem do ângulo, que varia de 0º a 180º. A relação entre o ângulo zenital e o ângulo vertical é dada por: 6.5 INSTRUMENTAÇÃO A construção de instrumentos medidores de ângulos acompanha a evolução da engenharia. A groma, aparato da era romana para medição de alinhamentos, é o primeiro instrumento de medição angular que se tem notícia. Na sequência, a dioptra (dio: através; optero: observar) permitia também a medição de ângulos verticais. Na era moderna, surgiram os instrumentos ótico-mecânicos, por exemplo, os clinômetros para medição rápida de ângulos verticais e os teodolitos (theo: visar; hodos: caminho), para medição precisa de ângulos horizontais e verticais. 6.6. ÂNGULO DE ALTURA É o ângulo que vai da linha do horizonte, até a direção tomada. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 15 7.0 AZIMUTE E RUMO Azimute: é o ângulo horizontal formado entre a direção Norte/Sul e o alinhamento em questão. É medido a partir do Norte, no sentido horário (à direita), podendo variar de 0º a 360º ou 400 g. O azimute verdadeiro pode ser obtido a partir do azimute magnético, quando se conhece a declinação magnética local na mesma data do levantamento topográfico. 7.1 DETERMINAÇÃO DE AZIMUTE A partir do azimute do primeiro alinhamento [Az(n)], os azimutes dos demais alinhamentos são calculados usando o seguinte procedimento: Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário Se Az (n+1) > 180° => Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário – 180° Se Az (n+1) < 180° => Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário + 180° Se Az (n+1) > 360° => Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário - 360° Quando se toma como referência a meridiano magnético, o rumo obtido é chamado rumo magnético, e quando usamos o meridiano verdadeiro, o rumo obtido é chamado rumo verdadeiro. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 16 7.2 DESCRIÇÃO DO AZIMUTE EM FUNÇÃO DO RUMO Como Rumo negativo não existe, logo: Cálculo do azimute pela fórmula de Grafarend: Dado o alinhamento PP2 1, o azimute pode ser calculado diretamente pela fórmula de Grafarend: A função sgn(Δx) exprime o sinal algébrico do argumento Δx e a função sgn(Δy) exprime o sinal algébrico do argumento Δy . Os símbolos Δx e Δy chamam-se grandezas absolutas (ou módulos) dos números reais Δx e Δy, respectivamente. Exemplos. Com a fórmula de Grafarend, calcule o azimute dos alinhamentos definidos pelos pontos. dados: Relação entre azimutes e rumos à ré e à vante: 1º e 2º Quadrante: 3º e 4º Quadrante: Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 17 Azimute (ré) = Azimute (vante) + 180º Azimute (ré) = Azimute (vante) – 180º Azimute (vante) = Azimute (ré) – 180º Azimute (vante) = Azimute (ré) + 180º Rumo (ré) = Rumo (vante), com sentido oposto (NE ↔ SW ou SE ↔ NW). 8.0 RUMO Rumo de uma linha é o menor ângulo horizontal, formado entre a direção NORTE/SUL e a linha, medindo a partir do NORTE ou do SUL, no sentido horário (à direita) ou sentido anti-horário (à esquerda) e variando de 0º a 90º ou 0g a 100g sendo contado do Norte ou do Sul por leste e oeste. Este sistema expressa o ângulo em função do quadrante em que se encontra. Além do valor numérico do ângulo acrescenta-se uma sigla (NE, SE, SW, NW) cuja primeira letra indica a origem a partir do qual se realiza a contagem e a segunda indica a direção do giro. Conversão de Azimute para Rumo e vice versa: Quadrante Azimute → Rumo Rumo → Azimute 1º R = Az (NE) Az = R 2º R = 180° - Az (SE) Az = 180° - R 3º R = Az - 180° (SO) Az = R + 180° 4º R = 360° - Az (NO) Az = 360° - R 9.0 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Os ângulos são medidos normalmente com teodolitos, mas podemos também deduzi-los quando conhecidos as distâncias do triângulo. Através do teorema dos cossenos, temos: Ä Medidas dos lados do triângulo: A² = b² + c² - 2bc * Cos A B² = a² + c² - 2ac * Cos B C² = a² + b² - 2ab * Cos C Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 18 Exemplo: Calcule os ângulos A, B e C do triângulo cujos lados são: AB = 23m, BC = 28 m e AC = 30m então: a = 28m, b = 30m e c = 23m. Isolando-se o ângulo temos: Cálculo da área: ½ x Ca x Cb x sen > α. Temos dois métodos de cálculo: Triangulação e Irradiação: O método de triangulação formou triângulos de toda a área através de pontos distintos. O método de radiação formou triângulos a partir de um único ponto. Calcule a área da poligonal abaixo: Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 19 9.1 ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS NO PLANO HORIZONTAL Os ângulos topográficos podem ser observados ou calculados, sendo que se entende como observados os ângulos medidos através de instrumentos no campo e os calculados aqueles deduzidos através de cálculo: Os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser: - Internos; - Deflexão; - Irradiados. - Azimute; - Rumo. MEDIÇÕES DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS: A medida da distância entre dois pontos, em Topografia, corresponde à medida da distância horizontal entre esses dois pontos. Na Mensuração, o comprimento de um alinhamento pode ser obtido através de: Medidas diretas: uma medida é considerada ‘direta’ se o instrumento usado na medida apoiar-se no terreno ao longo do alinhamento, ou seja, se for aplicado no terreno ao longo do alinhamento; Medidas indiretas: uma medida é considerada ‘indireta’ no caso da obtenção do comprimento de um alinhamento através de medida de outras grandezas com ele relacionada matematicamente. 9.2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (ALTIMÉTRICO) De acordo com a ABNT (1994, p3), o levantamento topográfico altimétrico ou nivelamento é definido por: “levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma superfície de referência dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhe, pressupondo-se o conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação altimétricada superfície levantada”. Basicamente quatro métodos são empregados para a determinação dos desníveis: nivelamento geométrico, trigonométrico, taqueométrico e barométrico. Nivelamento geométrico ou nivelamento direto: “nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre pontos no terreno por intermédio de leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas com um nível, em miras colocadas verticalmente nos referidos pontos.” ABNT (1994, p3). Nivelamento trigonométrico: “nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre pontos no terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical da direção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na relação trigonométrica entre o ângulo e a distância medidos, levando em consideração a altura do centro do limbo vertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.” ABNT (1994, p.4). Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 20 Nivelamento taqueométrico: “nivelamento trigonométrico em que as distâncias são obtidas taqueometricamente e a altura do sinal visado é obtida pela visada do fio médio do retículo da luneta do teodolito sobre uma mira colocada verticalmente no ponto cuja diferença de nível em relação à estação do teodolito é objeto de determinação.” ABNT (1994, p.4). A NBR 13133 estabelece, em seu item 6.4, quatro classes de nivelamento de linhas ou circuitos e de seções, abrangendo métodos de medida, aparelhagem, procedimentos, desenvolvimentos e materialização (ABNT, 1994, p.15): a) Classe IN - nivelamento geométrico para implantação de referências de nível (RN) de apoio altimétrico; b) Classe IIN - nivelamento geométrico para a determinação de altitudes ou cotas em pontos de segurança (Ps) e vértices de poligonais para levantamentos topográficos destinados a projetos básicos executivos e obras de engenharia; c) Classe IIIN - Nivelamento trigonométrico para a determinação de altitudes ou cotas em poligonais de levantamento, levantamento de perfis para estudos preliminares e/ou de viabilidade de projetos; d) Classe IVN - Nivelamento taqueométrico destinado a levantamento de perfis para estudos expeditos. A norma apresenta para estas quatro classes uma tabela abrangendo os métodos de medição, aparelhagem, desenvolvimento e tolerâncias de fechamento. Somente como exemplo, para a classe IN (nivelamento geométrico), executado com nível de precisão alta, a tolerância de fechamento é de 12 mm k1/2, onde k é a extensão nivelada em um único sentido em quilômetros. Cabe salientar que na prática costuma-se adotar o valor de k como sendo a média da distância percorrida durante o nivelamento e contranivelamento, em quilômetros. Independente do método a ser empregado em campo, durante um levantamento altimétrico destinado a obtenção de altitudes/cotas para representação do terreno, a escolha dos pontos é fundamental para a melhor representação do mesmo. Nivelamento Barométrico O nivelamento barométrico baseia-se na relação que existe entre a pressão atmosférica e a altitude num ponto, o que se expressa pela fórmula, chamada barométrica. Este processo parte do princípio em que a pressão do ar menor nas camadas superiores da atmosfera do que nas inferiores, assim pode-se, pela avaliação da diferença de pressão entre dois pontos, determinar a sua diferença de altitude. Em média para cada milímetro de variação de pressão, há uma diferença de altitude de aproximadamente 11 metros. Esse processo de levantamento altimétrico do ponto apresenta-nos a vantagem de não ser condicionado à medida de distâncias; e, de verdade, se ele não nos apresenta grande precisão, entretanto, a rapidez de suas operações nos aconselha seu mais amplo emprego nos levantamentos expeditos de grandes extensões. Os instrumentos usados são os barômetros, que podem ser: a) Barômetros de Mercúrio; b) Barômetros Aneroides; c) Barômetros Hipsômetro. Apesar de ser simples, tal processo não tem a precisão requerida para serviços topográficos, apontado neste estudo, para simples registro. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 21 9.3 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO (MÉTODO MAIS PRECISO) Para se calcular as cotas ou altitudes dos pontos a nivelar é necessário conhecer-se a cota ou altitude do ponto inicial (por exemplo, ponto A). Então a cota de A, será conhecida ou arbitrada e o ponto A passa a chamar-se de RN, ou seja, Referência de Nível. A=RN. Precisa-se agora determinar o APV, altura do plano de visada, que seria a cota ou altitude do plano criado pelo instrumento. APV = CRN + Leitura de Ré RN → APV = CA + Leitura de Ré A. Leitura de Ré – é uma leitura feita a um ponto cuja cota ou altitude é conhecida. No caso, já conhecemos a cota de A. A leitura de ré serve somente para o cálculo do APV. Para calcular a cota dos demais pontos usamos a seguinte fórmula: Cota B = APVI – Leitura de VanteB → CB = APVI - VB Leitura de Vante – é uma leitura a um ponto de cota ou altitude desconhecida. A leitura de vante serve para o cálculo da cota do ponto. Cota C = APVI – VC; Cota D = APVI – VD Da estação I somente foi possível ler-se até o ponto D. É necessário mudar a estação para a posição II. Uma vez instalado o aparelho na estação II, então a primeira atitude que se toma é determinar a nova altura do plano de visada, APVII, fazendo-se uma visada de ré no ponto D. APVII = CD + Ré DLeitura Vante de Mudança - é uma leitura feita a um ponto que de uma estação é leitura de Vante e da estação seguinte será feita uma leitura de Ré neste mesmo ponto. Nivelamento Geométrico (mais preciso): Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 22 PRECISÃO DOS NIVELAMENTOS GEOMÉTRICOS Classificação pelo grau de precisão 1. De alta precisão: O erro médio admitido é da ordem de ±1,5 mm/km percorrido. É uma classe especial. 2. De 1º ordem ou nivelamento de precisão: O erro médio admitido é da ordem de ± 2,5 mm/km percorrido. 3. De 2º ordem: O erro médio admitido é da ordem de ± 1,0 mm/km percorrido. 4. De 3º ordem: O erro médio admitido é da ordem de ± 3,0 cm/km percorrido. 5. De 4º ordem: O erro médio admitido é da ordem de ± 10 cm/km percorrido. Os nivelamentos geométricos com erros maiores do que os citados são desclassificados ou inaceitáveis. 10.0 CURVAS DE NÍVEL – Interpolação. As curvas de nível podem ser obtidas basicamente por dois processos: 1. Seções transversais. Definição de uma linha base na área onde se quer criar as curvas de nível, e o seu estaqueamento. A partir desta linha base, são feitas as seções transversais. As seções transversais são cortes feitos nas estacas inteiras e pontos relevantes da linha base. As seções transversais são linhas perpendiculares à linha base. Contra nivelamento: APVIII CG-RE G 50-1,50 48,50 m CF APVIII+VF 48,50+0,50 49,00 m CE APVIII+VE 48,50+0,40 48,90 m APVII CE-RE E 48,90-1,40 47,50 m CD APVII+VD 47,50+0,80 48,30 m CC APVII+VC 47,50+0,50 48,00 m APVI CC-RE C 48,00-1,50 46,50 m CB APVI+VB 46,50+0,80 47,30 m CA APVI+VA 46,50+0,60 47,10 m DESNÍVEL CG-CA 50-47,10 2,90 m Nivelamento: APVI CA+RE A 50+0,60 50,60 m CB APVI-VB 50,60-0,80 49,80 m CC APVI-VC 50,60-1,50 49,10 m APVII CC+RE C 49,10+0,50 49,60 m CD APVII-VD 49,60-0,80 48,80 m CE APVII-VE 49,60-1,40 48,20 m APVIII CE+RE E 48,20+0,40 48,60 m CF APVIII-VF 48,60-0,50 48,10 m CG APVIII-VG 48,60-1,50 47,10 mDESNÍVEL CA-CG 50-47,10 2,90 m Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 23 Figura 1: representação de uma área com a indicação da linha base e seções transversais. O nivelamento da linha base e das seções transversais, normalmente é feito através de nivelamento geométrico, trigonométrico ou estadimétrico. O nivelamento à régua também pode ser usado, mas é desaconselhável, uma vez que existem métodos mais precisos. 2. Malha triangular A partir do desenho dos pontos com as respectivas cotas é criado para cada três pontos, um triângulo. Este processo define uma malha triangular que recobrirá todos os pontos do levantamento. A geração das curvas de nível se dará pela interpolação das cotas dos vértices dos triângulos. Em cada aresta será definido o ponto onde está localizada a cota inteira. A ligação dos pontos de cota inteira calculados anteriormente permitirá a geração das curvas de nível. Pontos cotados 1.800 2.810 3.804 4.808 5.805,525 6.812,210 Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 24 Malha triangular gerada a partir dos pontos cotados. O cálculo das distâncias, a partir dos vértices da malha triangular, onde estão localizadas as cotas inteiras que permitirão a geração das curvas de nível, é feito da seguinte forma: Identificar em cada aresta a distância e a diferença de nível entre os vértices. Através de uma regra de três, calcular a distância para a próxima cota inteira a partir de um determinado vértice. Em cada aresta será definido o ponto onde passa a cota inteira. Calcular e desenhar as curvas de nível para o desenho da figura 1, considerando um plano de corte com afastamento de 1 metro (curva de nível de um metro em um metro): Aresta 1-2 Distância linear entre os vértices: 5,51m Desnível entre os vértices: 810 - 800 = 10m Distância vertical entre as curvas de nível: 1m d = distância entre as cotas inteiras Construção de uma regra de três para calcular a distância entre as cotas inteiras: d=0,551m é a distância entre as cotas inteiras. Como a cota dos vértices é inteira, a partir de qualquer um deles marca-se 0,551m e neste ponto temos uma cota inteira, mais 0,551m teremos a próxima cota e assim sucessivamente até alcançar o próximo vértice. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 25 Aresta 1 e 2 com indicação dos pontos de localização das cotas inteiras. Aresta 5 e 6 distância linear entre os vértices: 5,50m Desnível entre os vértices: 812,210 - 805,525 = 6,685m Distância vertical entre as curvas de nível: 1m d = distância entre as cotas inteiras. Construção de uma regra de três para calcular a distância entre as cotas inteiras: d=0,823m é a distância entre as cotas inteiras. Como a cota dos vértices 5 e 6 não é inteira, deveremos calcular para cada vértice qual é próxima cota inteira a partir deles, e definir qual é o desnível do vértice para esta cota. Pegar o valor deste desnível e multiplicar por d para identificar a distância para a próxima cota inteira a partir do vértice. V5 —>806 - 805,525 = 0,475m (desnível entre o vértice V5 e a próxima cota inteira - 806). 0,475*0,823 = 0,391m (distância entre o vértice V5 e a próxima cota inteira - 806). V6 —> 812 - 812,210 = 0,210m (desnível entre o vértice V6 e a próxima cota inteira - 812). 0,210*0,823 = 0,173m (distância entre o vértice V6 e a próxima cota inteira - 812). Com a distância entre os vértices V5 e V6 e as cotas inteiras, e a distância entre as cotas inteiras, é necessário marcar estas distâncias na aresta correspondente. Aresta 1 e 2 com indicação dos pontos de localização das cotas inteiras. Após o cálculo dos pontos de cota inteira em todas as arestas, fazer a ligação dos pontos de mesma cota, obtendo as curvas de nível. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 26 Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 27 A distância vertical entre as curvas de nível, normalmente é indicada como um milésimo do denominador da escala. Este valor é meramente indicativo, sendo a distância vertical escolhida de acordo com as necessidades. Ex.: planta na escala 1:50.000 —> a distância vertical entre as curvas de nível indicada é 50 metros. A representação das curvas de nível é feita com a quinta curva de nível sempre destacada em relação às demais, e recebe o nome de curva de nível mestra, ou simplesmente curva mestra. Este destaque pode ser feito através de cor ou espessura. A espessura é a mais indicada uma vez que os desenhos técnicos são apresentados normalmente monocromáticos. Indicação da curva mestra em função da distância vertical entre as curvas: Distância vertical de 1m —>mestra terminada em O ou cinco; Distância vertical de 2m —> mestra terminada em 0; Distância vertical de 5m —> mestra terminada em O ou 5. OBS.: As curvas de nível devem ser traçadas a partir dos pontos notáveis definidores do relevo, passando pelas interpolações controladas nas altitudes ou cotas entre pontos de detalhe; As curvas de nível podem ser classificadas em curvas mestras ou principais e secundárias. As mestras são representadas com traços diferentes das demais (mais espessos, por exemplo), sendo todas numeradas; As curvas-mestras, espaçadas de cinco em cinco curvas, devem ser reforçadas e cotadas. No caso de haver poucas curvas-mestras, as intermediárias também devem ser cotadas; As curvas de nível devem ser numeradas para que seja possível a sua leitura; As curvas de nível são "lisas", ou seja não apresentam cantos; Duas curvas de nível nunca se cruzam; As curvas de níveis cruzam cursos d’água; Duas curvas de nível nunca se encontram e continuam em uma só; Quanto mais próximas entre si, mais inclinado é o terreno e quanto mais distantes o terreno é mais plano. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 28 11.0 TERRAPLANAGEM / TERRAPLENAGEM Terraplanagem é a movimentação de terra de uma determinada área, com o objetivo de ajustar o relevo do terreno para implantação de construção civil, estradas, barragens, etc. Nesta, o objetivo é calcular o volume de material para aterro e desaterro, fazendo os cortes da superfície em questão. A diferença entre as situações acima são: Terraplanagem: deixar a superfície plana. Terraplenagem: deixar a superfície plena. Nem tudo que é plano é pleno. Para elaborar um trabalho de terraplanagem ou terraplenagem é imprescindível a execução de um levantamento topográfico aos quais é escolhido pelo profissional o método a ser aplicado, por exemplo: Nivelamento taqueométrico; Nivelamento trigonométrico; Nivelamento geométrico simples ou composto conforme o caso. Não esquecendo que a escolha do método dependerá do tamanho da obra e do volume de terra a ser movimentado. O esquema abaixo mostra um projeto com quatro seções para serem calculadas: 1º passo: fazer o corte da seção escolhida para cálculo, neste caso será a seção 1 (S1). Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 29 2º passo: elaborar o esquema de cálculo conforme abaixo: Para o cálculo das áreas são dadas as seguintes fórmulas:CÁLCULOS DA SEÇÃO 01 Figuras Altura (h) Base maior (B) Base menor (b) Área (m²) Prof. Volume (m³) 01 2,5805 1,00 0,00 1,2903 2,5 3,226 02 3,0005 2,00 1,00 4,5008 2,5 11,252 03 3,483 3,00 2,00 8,7075 2,5 21,769 04 3,9845 4,00 3,00 13,9458 2,5 34,864 05 2,248 5,00 4,00 10,1160 2,5 25,290 06 2,16 6,00 5,00 11,8800 2,5 29,700 07 2,5435 7,00 6,00 16,5328 2,5 41,332 Área total da seção (m²) 66,9730 m² Volume total da seção (sem empolamento >>> m³) 167,4325 m³ Empolamento (30% >>> m³) 217,6623 m³ Peso do material (± 1.700,0 kg/m³) 284.635,2500 kg Cálculo de terraplanagem em platôs Segundo (CORRÊA, I.C.S, 2007) o método mais apropriado para o levantamento das curvas de nível do terrenos é o do nivelamento por quadriculação (triangulação). A área a ser terraplenada deve ser locada e em seguida quadriculada. O lado dos quadrados tem seu comprimento estabelecido em função da extensão da área e da sinuosidade do terreno, considerando-se que as cotas a serem obtidas serão as dos vértices dos quadrados. Os estaqueamentos para a quadriculação deverão ser o mais próximo possível de uma reta, acompanhando o perfil do terreno, para que os resultados a serem obtidos sejam o mais próximo da realidade. Em geral as quadrículas podem apresentar lados com comprimento de 10, 20, 30 ou 50 metros. Isto dependerá do relevo do terreno. Para terrenos localizados em áreas urbanas pode-se utilizar quadrados com lados de 5 ou 4 metros. Estabelecido o comprimento a ser adotado, este será padrão para toda a quadriculação. Em terraplenagem, quatro situações podem ocorrer: a) Estabelecimento de um plano horizontal final sem a imposição de uma cota final pré-estabelecida. A este método, a cota obtida é a COTA MÉDIA (CM) com VOLUME DE CORTE (Vc) = VOLUME DE ATERRO (Va); b) Estabelecimento de um plano horizontal final com a imposição de uma cota pré- estabelecida. Dependendo da cota estabelecida pelo projeto, o terreno poderá ser objeto de CORTE ou ATERRO; Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 30 c) Estabelecimento de um plano inclinado sem a imposição da cota que este plano deverá apresentar. Semelhante ao Método do item 1 considerando que o VOLUME DE CORTE (Vc) = VOLUME DE ATERRO (Va); d) Estabelecimento de um plano inclinado impondo uma determinada cota a este, através da escolha da cota de um determinado ponto. Para este caso deve-se analisar a situação real em função do projeto proposto. 11.1 DETERMINAÇÃO DA COTA MÉDIA – MÉTODO DAS SEÇÕES Para o cálculo dos referidos volumes (Vc ou Va) serão necessários executá-los utilizando-se o MÉTODO DAS SEÇÕES. Para um melhor entendimento será desenvolvido um exemplo numérico onde será explicada cada etapa para a dedução do método dos pesos, considerando cada situação descrita acima. Exemplo: Seja o levantamento planialtimétrico representado pela figura abaixo, calcular a cota média pelo Método das Seções e Método dos Pesos. MÉTODO DAS SEÇÕES 1 – Cálculos das áreas das seções acima da cota 1,00 m: Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 31 Portanto, não faça confusão. A Altura média é a distância vertical medida da Cota de Apoio do projeto (cálculos) até a Cota Média. Cota Média pode ser considerada a distância vertical medida a partir da RN = 0,00 m. 11.2 CÁLCULO SIMPLIFICADO PARA PLATÔS Neste cálculo utiliza-se a média das cotas de cada platô, desta forma poderemos calcular de maneira simplificada o volume do material conforme abaixo: Método para cálculo: Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 32 CÁLCULOS Ordem Níveis Cotas de níveis Platô 01 0,00 0,10 0,08 0,12 0,18 0,25 Platô 02 1,00 1,26 1,35 1,05 0,90 0,96 Platô 03 2,00 1,87 2,12 2,10 2,18 2,07 2,190 Média (níveis do Platô 01) 0,1460 D.N. 0,1460 Área 01 (m²) 108,00 Média (níveis do Platô 02) 1,1040 D.N. 0,1040 Área 02 (m²) 108,00 Média (níveis do Platô 03) 2,0883 D.N. 0,0883 Área 03 (m²) 120,00 Ordem Volume do material (m³) S/E Volume do material (m³) C/E - 30% Platô 01 15,768 20,4984 Platô 02 11,232 14,6016 Platô 03 10,600 13,780 Ordem Peso do material (± 1.700,0 kg/m³) Platô 01 26.805,600 kg Platô 02 19.094,400 kg Platô 03 18.020,000 kg 12.0 ESCALAS Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel. Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distâncias são reduzidas segundo uma razão constante. É comum em levantamentos topográficos a necessidade de representar no papel certa porção da superfície terrestre. Para que isto seja possível, teremos que representar as feições levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de uma distância medida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho técnico: procedimentos) define escala como sendo a relação da dimensão linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto. Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala: Onde: M = denominador da escala; d = distância no desenho; D = distância no terreno. Por exemplo, se uma feição é representada no desenho com um centímetro de comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno é de 100 metros, então a escala Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 33 de representação utilizada é de 1:10.000. Ao utilizar a fórmula (3.2) para o cálculo da escala deve-se ter o cuidado de transformar as distâncias para a mesma unidade. Por exemplo: d = 5 cm D = 0,5 km As escalas podem ser de redução (1:n), ampliação (n:1) ou naturais (1:1). Em Topografia as escalas empregadas normalmente são: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que não é algo rígido e estes valores dependerão do objetivo do desenho. Uma escala é dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo, 1:100, 1:200, 1:50, etc.). Já uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.000, 1:500.000, etc.). O valor da escala é adimensional, ou seja, não tem dimensão (unidade). Escrever 1:200 significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milímetro do desenho corresponde a 200 milímetros no terreno. Como as medidas no desenho são realizadas com uma régua, é comum estabelecer esta relação em centímetros: É comum medir-se uma área em um desenho e calcular-se sua correspondente no terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma: Imagina-se um desenho na escala 1:50. Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), não interessa qual é esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho. A área do quadrado no desenho (Ad) será: QUADRADO 2u x 2u. Ad = 2u. 2u => Ad = 4u2 A área do quadrado no terreno (At) será então: At = (50 . 2u) . (50 . 2u) At = (2 . 2) . (50 . 50) u2 At = 4u2 . (50 . 50) Substituindo a equação (3) na (4) e lembrando que M=50 é o denominador da escala, a área do terreno, em função da área medida no desenho e da escala é dada pela equação.At = Ad . m² 12.1 - PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 34 A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicações. Aplicação Escala Detalhes de terrenos urbanos 1:50 Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000 Planta de propriedades rurais 1:1000 1:2000 1:5000 Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais 1:5000 1:10 000 1:25 000 Cartas de municípios 1:50 000 1:100 000 Mapas de estados, países, continentes, etc. 1:200 000 a 1:10 000 000 Exercícios: 01. Em um mapa topográfico na escala 1:100.000 a maior dimensão gráfica medida entre as margens de um rio é de 15,7 mm. Assim sendo, é verdadeiro afirmar que a respectiva distância máxima natural entre essas margens é de a) 1.570 m. b) 6.369,40 m. c) 157.000 m. d) 15.700 m. e) 636,94 m. 02. Leia as afirmativas que seguem e assinale a correta: a) A escala numérica é representada por uma linha reta dividida em partes iguais. b) A escala 1:50.000 é maior que a escala de 1:250.000. c) Na escala de 1:500.000, a área representada foi reduzida 50 mil vezes. d) As escalas podem ser numéricas ou geográficas. e) Na escala de 1:100.000, 1 cm no mapa vale 100 km no terreno. 03. Um mapa cuja escala é 1:55.000.000, a distância, em linha reta, entre as cidades de São Paulo e Brasília é de 1,6 cm. Na realidade, essa distância é de aproximadamente a) 880 km b) 1200 m c) 8875 km d) 239 km Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 35 e) 890 m 04. A escala é definida como a relação da distância real entre dois pontos quaisquer na superfície da Terra com a distância entre esses dois pontos num documento cartográfico. Se, em uma carta, na escala 1:50.000, a distância em linha reta entre duas cidades for de 10 cm, no terreno essa distância será de: a) 0,5 km. b) 1 km. c) 100 km. d) 500 km. e) 5 km 05. Assinale a alternativa que indica corretamente a distância real entre duas cidades, A e B, considerando que no mapa de escala 1:50.000.000, a distância linear é de 3,5 cm. a) 1.500 km b) 15.000 jm c) 175 km d) 17.500 km e) 1.750 km 06. A distância real entre São Francisco e Nova York é de 4.200km. A distância sobre a carta é de 105mm. Com base nestes dados, assinale a alternativa que indica corretamente a escala deste mapa é: a) 1 : 400.000 b) 1 : 4200.000 c) 1 : 10.500.000 d) 1 : 40.000.000 e) 1 : 105.000.000 07. Para obter, em um mapa, informação mais detalhada, qual das escalas a seguir é utilizada? a) 1/100. b) 1/1.000. c) 1/10.000. d) 1/100.000. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 36 e) 1/1000.000. 13.0 Levantamento topográfico De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: “Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré- determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” Os levantamentos topográficos compreendem o conjunto de atividades dirigidas para as medições e observações que se destinam a representação do terreno em um plano ou desenho topográfico em escala. Podem ser executados para fins: a. De controle; fornecem arcabouço de pontos diversos com coordenadas e altitudes, destinadas à utilização em outros levantamentos de ordem inferior; b. Legais cadastrais; destinado ao levantamento, detalhamento e avaliação de áreas rurais ou urbanas, enfatizando a quantificação da ocupação humana e suas intervenções; c. Para fins de engenharia; empregado na locação, instalação e construção de obras civis de engenharia e serviço de parcelamento de imóveis etc; d. Topográficos; destinados ao levantamento da superfície topográfica, seus acidentes naturais, culturais e a configuração do terreno. O Levantamento Topográfico pode ser entendido como um cconjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos e distâncias com instrumentos adequados, implanta e materializa pontos para o detalhamento topográfico necessário. Com os dados de campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução de um levantamento topográfico, além da necessidade de se conhecer os instrumentos utilizados nas medições requer conhecimentos de geometria, trigonometria plana e esférica, física, astronomia e teoria dos erros e sua compensação. O Levantamento topográfico pode ser dividido em: 13.1 Levantamento Topográfico Planimétrico Levantamento dos limites e confrontações de uma propriedade, pela determinação do seu perímetro, incluindo, quando houver, o alinhamento da via ou logradouro com o Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 37 qual faça frente, bem como a sua orientação e a sua amarração a pontos materializados no terreno de uma rede de referência cadastral, ou, no caso de sua inexistência, a pontos notáveis e estáveis nas suas imediações. Quando este levantamento se destinar à identificação dominial do imóvel, são necessários outros elementos complementares, tais como: perícia técnico-judicial, memorial descritivo, etc. Compreende o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas X e Y (representação bidimensional). 13.2 Levantamento topográfico altimétrico Levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma superfície de referência, dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo- se o conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação altimétrica da superfície levantada. Compreende o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de referência, terão sua representação em relação a um plano de referência vertical ou de nível através de suas coordenadas X, Y e Z (representação tridimensional). 13.3 Levantamento Topográfico Planialtimétrico Levantamento topográfico planimétrico acrescido da determinação altimétrica do relevo do terreno e da drenagem natural. 14.0 TAQUEOMETRIA 14.1 Princípios Gerais A Taqueometria, do grego “takhys” (rápido), “metren” (medição), compreende uma série de operações que constituem um processo rápido e econômico para a obtenção indireta da distância horizontal e diferença de nível. O instrumento utilizado é o teodolito provido de fios estadimétricos, que além de medir ângulos, acumula, também, a função de medir oticamente as distâncias horizontais e verticais. São feitas as leituras processadas na mira com auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de inclinação do terreno, lido no limbo vertical do aparelho. 14.2 Cálculos da Distância Horizontal e Diferença denível A determinação indireta de uma distância está detalhadamente descrita no capítulo de Planimetria, procedendo-se de forma idêntica neste caso. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 38 Recordando, a fórmula de determinação indireta da distância horizontal, deduzida da figura 4.1 é a seguinte: DH = 100.I.cos² α ou DH = 100.I.sen² Z onde: DH é a distância horizontal; I é o intervalo de leituras na mira; α é o ângulo vertical; e Z é o ângulo zenital. 14.3 Determinações da diferença de nível A diferença de nível obtém-se de forma idêntica aquela descrita no capítulo de altimetria, no item referente ao nivelamento trigonométrico. Sendo assim, a fórmula do cálculo da diferença de nível entre dois pontos pelo nivelamento trigonométrico, deduzida no item acima especificado, é a seguinte: DN = DH.tg α - FM + Ai onde: DH = distância horizontal entre os dois pontos; α = ângulo de inclinação; FM = leitura Lc, realizada na mira com a linha de vista central; Ai = altura do centro ótico da luneta até o ponto topográfico. FI = (FM x 2) - FS FM = (FS + FI) /2 FS = (FM x 2) – FI DH=(FS-FI)x100 Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 39 ou DN = DH.cotg Z - FM + Ai sendo que Z é o ângulo zenital. Substituindo a fórmula da distância horizontal anteriormente vista: DN = 100.I.cos² α.tg α - FM + Ai sendo: tg α = sen α / cos α temos: DN = 100.I.cos² α.(sen α / cos α) - FM + Ai DN = 100.I.cos α.sen α - FM + Ai sendo: cos α.sen α = ½ .sen (2.α) temos: DN = 100.I.½ .sen (2.α) - FM + Ai DN = 50.I.sen (2.α) - FM + Ai ou DN = 50.I.sen (2.Z) - FM + Ai 15.4 Técnicas de Levantamento Taqueométrico pelo processo da Irradiação O levantamento taqueométrico é usado principalmente para definição planialtimétrica de parcelas do terreno, realizado através de poligonais e de irradiações a partir dos vértices das poligonais. A poligonal, desenvolvida em geral ao longo do contorno da área considerada, serve de arcabouço. Todo levantamento, enquanto as irradiações têm por finalidade a determinação dos pontos capazes de definirem os acidentes aí existentes e de caracterizarem o relevo do terreno. O método correntemente empregado é o de num vértice de coordenadas conhecidas, obtidas através da poligonação, ou mesmo de uma triangulação, levantar os pontos em todas as direções que definam nitidamente as feições da superfície terrestre necessárias ao trabalho que se está realizando. Para a boa prática das operações é essencial que o vértice onde o instrumento é estacionado seja nivelado com precisão, pois um vértice mal nivelado afetará, naturalmente, o cálculo de todas as cotas ou altitudes dos pontos e, consequentemente, o traçado das curvas de nível. O exemplo a seguir é de um levantamento taqueométrico pelo processo da irradiação. O teodolito foi estacionado na estaca A e irradiaram visadas para três pontos. Sabe-se que: AzA1 = 330º00’00”, CA = 20,00 m e Ai = 1,60 m. 16.0 COORDENADAS GEOGRÁFICAS O sistema de mapeamento da Terra, através de coordenadas geográficas, expressa qualquer posição horizontal sobre o planeta através de duas das três coordenadas existentes num sistema esférico de coordenadas, alinhadas com o eixo de rotação da Terra. 16.1 Localização Absoluta Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 40 Para localizar qualquer lugar, na superfície terrestre, de forma exata é necessário usar duas indicações, uma letra e um número. Temos que utilizar elementos de referência que nos permitam localizar com exatidão qualquer lugar da Terra. A rede cartográfica ou geográfica nos dá a indicação das coordenadas geográficas. Os pontos de orientação dão um rumo, isto é, uma direção, mas não permitem localizar com exatidão um ponto na superfície terrestre. Assim, quando dizemos que a área X está a leste de Y, não estamos dando a localização precisa dessa área, mas apenas indicando uma direção. Para saber com exatidão onde se localiza qualquer ponto da superfície terrestre — uma cidade, um porto, uma ilha, etc. — usamos as coordenadas geográficas. As coordenadas geográficas baseiam-se em linhas imaginárias traçadas sobre o globo terrestre: Os paralelos são linhas paralelas ao equador — a própria linha imaginária do equador é um paralelo; Os meridianos são linhas semicirculares, isto é, linhas de 180° — eles vão do Polo Norte ao Polo Sul e cruzam com os paralelos. Cada meridiano possui o seu antemeridiano, isto é, um meridiano oposto que, junto com ele, forma uma circunferência. Todos os meridianos têm o mesmo tamanho. Convencionou-se que o meridiano de Greenwich, que passa pelos arredores da cidade de Londres, na Inglaterra, fosse o meridiano principal. A partir dos paralelos e meridianos, estabeleceram-se as coordenadas geográficas, que são medidas em graus, para localizar qualquer ponto da superfície terrestre. Latitude é a coordenada geográfica ou geodésica definida na esfera, no elipsoide de referência ou na superfície terrestre, que é o ângulo entre o plano do equador e a normal à superfície de referência. A latitude mede-se para norte e para sul do equador, entre 90º sul, no Polo Sul (ou polo antártico) (negativa), e 90º norte, no Polo Norte (ou polo ártico) (positiva). A latitude no equador é igual a 0º. Longitude, algumas vezes representada pela letra grega λ(lambda), descreve a localização de um lugar na Terra medido em graus, de zero a 180 para leste ou para oeste, a partir do Meridiano de Greenwich. Diferentemente da latitude, que tem a linha do Equador como um marco inicial natural, não ha uma posição inicial natural para marcar a longitude. Portanto, um meridiano de referencia tinha que ser escolhido. 16.2 Sistemas de Coordenadas Geográficas Existem pelo menos quatro modos de designar uma localização exata para qualquer ponto no globo terrestre. Nos três primeiros sistemas, o globo é dividido em latitudes, que vão de 0 a 90º (Norte ou Sul) e longitudes, que vão de 0 a 180º (Leste ou Oeste). Para efeitos práticos, usam-se as siglas internacionais para os pontos cardeais: N=Norte, S=Sul, Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 41 E=Leste/Este, W=Oeste. Para as latitudes, o valor de cada unidade é bem definido, pois o grande círculo tem 20.003,93km, dividindo este último por 180, conclui-se que um grau (°) equivale a 111,133km. Dividindo um grau por 60, toma-se que um minuto (') equivale a 1.852,22m. Dividindo um minuto por 60, tem-se que um segundo (") equivale a 30,87m. Para as longitudes, há um valor específico para cada posição, que aumenta de 0 nos Polos até a Linha do Equador, onde está o seu valor máximo. Como forma de se demonstrar as diferenças entre cada um dos sistemas, usar-se-á o exemplo para as coordenadas de um lugar específico: a Catedral Metropolitana de Porto Alegre. 16.3 Graus - Minutos - Segundos Neste sistema, cada grau é dividido em 60 minutos, que por sua vez se subdividem, cada um, em 60 segundos. A partir daí, os segundos podem ser divididos decimal mente em frações cada vez menores. Deste modo, a localização da Catedral neste sistema é: 30°01'59,512"S e 51°14'07,012"W. 16.4 Graus - Minutos Decimais Neste sistema, cada grau é dividido em 60 minutos, que por sua vez são divididos decimalmente. A localização da Catedral fica sendo: 30°01,992'S e 51°14,117'W. 16.5 Graus Decimais Neste sistema,cada grau é dividido em frações decimais. A forma de nomeação difere um pouco dos dois primeiros sistemas: a latitude recebe a abreviatura lat e a longitude, lon. Há valores positivos e negativos. Os valores positivos são para o Norte (latitude) e o Leste (longitude) e não recebem um símbolo específico. Os valores negativos são para o Sul (latitude) e o Oeste (longitude), sendo acrescidos do símbolo -. A Catedral tem aqui esta localização: lat -30,0331977° e lon - 51,2352811°. 16.6 Coordenadas UTM Sistema referencial de localização terrestre baseado em coordenadas métricas definidas para cada uma das 60 zonas UTM, múltiplas de 6 graus de longitude, na Projeção Universal Transversal de Mercator e cujos eixos cartesianos de origem são o Equador, para coordenadas N (norte) e o meridiano central de cada zona, para coordenadas E (leste), devendo ainda ser indicada a zona UTM da projeção. As coordenadas N (norte) crescem de S para N e são acrescidas de 10.000.000 (metros) para não se ter valores negativos ao sul do Equador que é a referência de origem; já as coordenadas E (leste) crescem de W para E, acrescidas de 500.000 (metros) para não se ter valores negativos a oeste do meridiano central. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 42 Observar que enquanto o sistema de coordenadas geográficas, angulares, em graus, minutos e segundos é de uso geral para referenciar qualquer ponto da Terra, o sistema UTM, além de limitado pelos paralelos 80º S e 84º N, deve contar com a indicação da Zona UTM, pois as mesmas coordenadas métricas N e E repetem-se em todas as 60 zonas. As projeções de linhas meridianas geográficas em mapas próximos das bordas das zonas (múltiplas de 6º de longitude) mostram ângulo com as linhas cartesianas do sistema UTM. Exemplo de coordenadas UTM: Zona 23, N 8.569.300, E 645.750 o que significa que o ponto referenciado acha-se entre 36 e 48º W (zona 23), 145.750 m a leste do meridiano central (no caso 39º W) e 1.430.700 m a sul do Equador. 16.7 Coordenadas Retangulares Pela facilidade e rapidez das operações, este método é especialmente indicado para levantamento de detalhes que apresentam configuração curvilínea; tais detalhes normalmente são encontrados em sinuosidades de rios e em algumas divisas de propriedades. Neste processo, a posição do ponto topográfico de interesse é definida pela medição de suas coordenadas retangulares (x, y). Um dos lados da poligonal de apoio servirá como eixo de referência para a medição das abscissas e ordenadas. 17.0 DATUM O Datum indica o ponto de referência a partir do qual a representação gráfica dos paralelos e meridianos, e consequentemente de todo o resto que for desenhado na carta, está relacionado. A diferença entre os data (plural de Datum) são baseadas em modelos matemáticos distintos da forma e dimensões da Terra e do fator adicional da projeção, seja por razões históricas, seja para garantir uma representação gráfica mais proporcionada; tomando como exemplo o Japão, onde usam um ponto de projeção que não está no centro da terra, mas em algum lugar sob o Japão, isto permite uma menor distorção na projeção de uma esfera sobre o plano, quando o Japão é representado, mas, no entanto o uso dessa mesma projeção para os EUA resultaria em um mapa muito estranho! A importância do Datum prende-se com a necessidade de projetar um corpo curvo e a três dimensões (a Terra), num plano a duas dimensões, mantendo, no entanto os cruzamentos em ângulo retos dos meridianos e paralelos (o mapa). A primeira abordagem de sucesso foi a famosa projeção de Mercator, em que a Terra é transformada num cilindro que toca a superfície terrestre no equador (Latitude 0º 0' 0"). Posteriormente surgiram outras em que um cone intercepta a Terra em duas latitudes com pontos acima do polo, e outra ainda é a de um cilindro tocando a Terra numa determinada latitude ou longitude. Todas estas projeções criam representações gráficas diferentes, ou seja, datas diferentes. Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 43 18.0 CÁLCULO DE COORDENADAS UTM. (UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCARTOR) Consiste em calcular coordenadas determinando: Pontos; Determinar ∆x e ∆y; Determinar os rumos; Determinar as distâncias; Determinar os Azimutes; Determinar as deflexões; Determinar os ângulos da poligonal; Desenhar a poligonal; Calcular os erros de tolerância. Exemplos: Calcular as coordenadas e desenhar a poligonal: 1. Determinação dos Pontos: PONTOS COORDENADAS DISTÂNCIAS ORIENTAÇÃO X (LESTE) Y (NORTE) A 3412 2462 AB SW B 3320 2360 BC SE C 3382 2254 CD NE D 3530 2288 DE SE E 3712 2224 EF NE F 3773 2384 FG NW G 3590 2488 GA SW 2. Determinação ∆x e ∆y: ∆x ∆y 3. Determinação dos Rumos: Fórmula: ϴarc.tg ∆x ∆y AB= BC= CD= DE= EF= FG= GA= Obs: Não existe rumo negativo (neste caso desconsideramos os sinais). Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 44 4. Determinação das Distâncias: Fórmula: D AB= √ (∆X AB)² + (∆Y AB)² 5. Determinação dos Azimutes: NE >> AZ = ϴ SE > >AZ= 180º - ϴ SW >>AZ = 180º+ ϴ NW >>AZ = 360º - ϴ 6. Cálculo das deflexões: 1. Defl. AB = AZ AB – AZ GA 2. Defl. BC = AZ BC – AZ AB 3. Defl. CD = AZ CD – AZ BC 4. Defl. DE = AZ DE – AZ CD 5. Defl. EF = AZ EF – AZ DE 6. Defl. FG = AZ FG – AZ EF 7. Defl. GA = AZ GA – AZ FG 7. Cálculo do Ângulo da Poligonal: 1. αAB = δAB + 180º => 2. αBC = δBC + 180º => 3. αCD = δCD + 180º => 4. αDE = δDE + 180º => 5. αEF = δEF + 180º => 6. αFG = δFG + 180º => 7. αGA = δGA + 180º => 8. Desenho da poligonal: A ser desenhado em sala de aula. 9. Calcular os erros - Método das deflexões (mais simples e preciso): ∑ Deflexões à direita: ______________________. ∑ Deflexões à esquerda: Valores expressos em minutos). 10. Cálculo da área: Teorema de GAUSS Pontos Leste (X) X*Y Norte (Y) Y*X A 8.052.320,00 8.173.840,00 B 7.483.280,00 7.981.520,00 C 7.738.016,00 7.956.620,00 D 7.850.720,00 8.493.056,00 E 8.849.408,00 8.391.152,00 F 9.387.224,00 8.558.560,00 RESULTADO ∑X 58.199.548,00 ∑Y 58.043.804,00 Área = (∑X - ∑Y) / 2 Área total: 77.872,00 m² Apostila de Topografia – Curso > EDIFICAÇÕES Topografia – Professor Emerson Liberio 45 Exercícios: Calcular a poligonal abaixo: PONTOS COORDENADAS ORIENTAÇÃO X (E) Y (N) 1. A 30131,101 8347,324 AB – NE 2. B 30315,147 8353,947 BC – NE 3. C 30453,449 8410,202 CD – NE 4. D 30653,218 8609,650 DE – NW 5. E 30642,974 8829,555 EF – NW 6. F 30545,650 8885,809 FG – NW 7. G 30438,660 9104,794 GH – NW 8. H 30317,889 9192,644 HI – NW 9. I 30313,123 9338,637 IJ – NW 10. J 30150,255 9428,974 JK – SW 11. K 29980,149 9414,520 KL – SW 12. L 29795,565 9353,091 LM – SW 13. M 29737,656 9194,009 MN – SE 14. N 29821,006 9088,578 NO – SW 15. O 29755,859 9001,855 OP – SW 16. P 29730,524 8770,593 PQ – SE 17. Q 29763,098 8676,643 QR – SE 18. R 29835,484 8597,146 RS – SE 19. S 29988,634 8574,373 ST – SE 20. T 30012,485 8498,504 TU – SE 21. U 30143,719 8468,268 UA - SO 19.0 ERROS DETERMINAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR (Efa) Após a leitura dos ângulos à direita da poligonal (internos ou externos), faz-se uma verificação do fechamento angular.
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