Progressão Aritmética (P.A.)

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Cálculo II 
 
 
 
AULA 7 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Progressão Aritmética – P.A. .................................................................................................... 2 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Anteriormente foi estudado sobre as diferentes operações que envolvem a 
matemática. Além disso foi apresentado o conceito de expressões algébricas, quanto 
a diferença entre as numéricas e algébricas, pois enquanto as expressões numéricas 
possuem apenas números as algébricas possuem números e letras ou apenas letras. 
Uma Progressão Aritmética (PA) representa uma sequência numérica. Neste 
contexto, cada termo, partindo do segundo, é obtido realizando-se a soma com o 
termo anterior e uma constante r, ou seja, a razão da (PA). 
As progressões aritméticas se dividem em finitas, quando apresentam um 
número determinado de termos e infinitas, quando são compostas por um número 
infinito de termos. Os termos da (PA) podem ser identificados pela posição que 
ocupam na sequência, neste caso utiliza-se uma letra e um índice, lembrando que a 
(PA) é um tipo de sequência. 
Nesta apostila, será abordado os conceitos de progressão aritmética (PA), que 
é uma forma de sequência numérica com uma relação pré-definida entre os seus 
elementos. 
Objetivos 
• Compreender os conceitos progressão aritmética; 
• Entender as razões presentes nas progressões aritméticas. 
 
1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA – PA 
Observe a sequência de números naturais pares (2, 4, 6, 8, ...), você consegue 
perceber uma relação entre os termos? 
 Repare que, com exceção do primeiro termo, os outros equivalem ao 
anterior adicionado a um número fixo, que neste caso é o 2. Este é um típico tipo de 
sequência, que pode ser chamado de progressão aritmética. 
 A (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, partindo 
do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante (r), que se denomina razão 
da progressão aritmética. 
 
 
 
 
3 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
Uma sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ... an, ...) é uma PA quando: 
1
2 1
3 2
4 3
1
...
...
n n
a
a a r
a a r
a a r
a a r−
= +
= +
= +
= +
 
Em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a 
razão (r): 
2 1 1 1
3 2 2 2
4 3 3 3
– – 
– – 
– – 
...
a a a r a r
a a a r a r
a a a r a r
= + =
= + =
= + =
 
A razão de uma determinada progressão aritmética pode ser obtida por meio 
da subtração de termos antecessores, ou seja, dois termos consecutivos. 
Quando se fala em adicionar um número, não 
necessariamente ocorre o aumento no valor, pois deve-se 
lembrar que existem números negativos, o que promove a 
diminuição dos números seguintes. 
Observe as sequências e determine a razão de cada uma: 
a) (2, 5, 8, 11, 14, ...), possui razão (3), perceba que os 
termos aumentam em 3; 
 
b) (10, 8, 6, 4, 2, 0, ...), possui razão (-2), perceba que 
os termos dessa sequência diminuem em 2. 
 
 
4 
 
PRATIQUE 
 
 
 
 
 
 
Vamos praticar mais um pouco? Temos mais três exemplos para que você: 
 
PRATIQUE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a razão da PA (18, 15, 12, 9)? 
Resolução: 
A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu 
antecessor. Lembra? 
Então basta calcular a diferença entre o 3º e o 2º termos: 
 12 – 15 3 r = = −
 
Portanto, a razão dessa PA é - 3. 
 
 
Determine se a sequência (-2, 1, 4, 8) é uma PA. 
Resolução 
Lembre-se que a sequência é uma PA se, subtraindo de 
cada termo o seu antecessor, o resultado for constante. 
Então fazendo o teste: 
( ) – 
 – 
 – 
− =
=
=
1 2 3
4 1 3
8 4 4
 
Se você perceber não há uma relação de razão que 
comprove que a sequência seja uma PA, portanto, a (-2, 1, 
4, 8) não corresponde a uma PA. 
 
 
 
5 
 
PRATIQUE 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre a classificação de uma PA: 
Classificação Razão Exemplo 
Crescente r > 0 (1, 5, 9, 13, 17, ...) r = 4 
Decrescente r < 0 (7, 4, 1, -2, -5, ...) r = -3 
Constante r = 0 (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) r = 0 
 
Calcula-se uma fórmula para o termo geral de uma PA, conforme já vimos em 
uma PA: 
2 1
3 2
4 3
1
 
 
 
 
...
 
...
n n
a a r
a a r
a a r
a a r−
= +
= +
= +
= +
 
Assim, podemos escrever todos os termos de uma PA em função de (a1) e (r): 
( )
1
2 1
3 2 1 1
4 3 1 1
1
 
 2
 2 3
...
 – 1
...
n
a
a a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a n r
= +
= + = + + = +
= + = + + = +
= +
 
Determine x na PA (x, 4, 7). 
Resolução 
Sabe-se que a razão d e uma PA é a diferença entre um 
termo qualquer e seu antecessor. 
 Desta forma: 
2 1 3 2– – 
4 – 7 – 4
7 – 4 3
a a a a
x
=
=
=
 
Portanto, x = 3. 
 
 
 
6 
 
Portanto, o termo geral da PA será dado pela fórmula: 
an = a1 + (n – 1)r , n € N* 
a1 = primeiro termo 
an = enésimo termo 
r = razão 
n = número de termos 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Autora, 2019) Encontre seis meios aritméticos entre (- 8 e 13). 
 
2. (ENEM, 2011) O número mensal de passagens de uma determinada 
empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro 
foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse 
padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens 
foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? 
a) 38.000 
Determine o termo geral da PA (-19, -15, -11, ...) 
Sabe-se que (
1 19a = −
), então: 
( ) 15 – 19 
 4
r
r
= − −
=
 
Por meio da razão, pode-se obter o termo geral da 
sequência: 
( )
( )
1 – 1
 19 – 1 4
 19 4 – 4
 4 – 23
n
n
n
n
a a n r
a n
a n
a n
= +
= − +
= − +
=
 
Assim, o termo geral da PA (-19, -15, -11, ...) será: 
an = 4n – 23 
 
 
7 
 
b) 40.500 
c) 41.000 
d) 42.000 
e) 48.000 
 
3. (Autora, 2019) Considerando que em uma PA o 2º termo é o número 9 e o 
11º termo é o número 45, escreva essa PA completa. 
Gabarito 
1. De acordo com o enunciado tem-se que: 
1 8a = −
; 
13na =
; 
8n =
 e 
?r =
 
 
( )
( )
1 – 1
13 8 8 1
13 8 7
 21 7
3
na a n r
r
r
r
r
= +
= − + −
+ =
=
=
 
Partindo do valor encontrado para a razão,pode-se obter a sequência. 
 (-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13). 
 
2. Considera-se que as quantidades de passagens vendidas sejam os elementos 
da sequência, portanto, pode-se escrever: 
1
2
3
 33000
34500
36000
janeiro a
fevereiro a
março a
= =
= =
= =
 
Para encontrar a razão da progressão aritmética basta fazer a diferença entre 
dois termos subsequentes: 
12 34500 33000 1500a a− = − =
 
Sabe-se que julho é o mês 7 do ano, portanto, para encontrar quantas 
passagens foram vendidas em julho, deve-se encontrar o valor de a7 . 
 
( )
( )7
7
7
1
1
1 .
7, 1500
7 1 .15
33000 6.1500
4200
00
0
na a
a a
a
a
n r
n r
= +
=
= +
=
−
= =
+ −
 
 
8 
 
Portanto, foram vendidas 42.000 passagens em julho e a alternativa correta é 
a letra d. 
 
3. Escrevendo estes termos em função de (a1 ) e (r): 
2
1
11
1
 9
 9
 45
 10 45
a
a r
a
a r
=
+ =
=
+ =
 
Agora monte um sistema de equações: 
( )1
1
 9 1 
 10 45 
a r x
a r
+ = −
+ =
 
1
1
 9
 10 45 
a r
a r
− − = −
+ =
 
1
1
1
9 36
 4
 9
 4 9
 5
r
r
a r
a
a
=
=
+ =
+ =
=
 
 
Portanto, a PA é (5, 9, 13, 17, ...). 
Resumo 
Nesta apostila foi estudado sobre a progressão aritmética (P.A.), que é uma 
sequência de números que diferem entre si por uma diferença comum. 
Neste tipo de sequência, cada novo termo, após o primeiro (a1), é obtido 
adicionando uma constante (r) ao termo anterior, da seguinte maneira: 
( )1 2 1 3 2 1, , , n na a a r a a r a a r−= + = + = +
 
Pode-se encontrar a diferença comum de um (P.A.), ao realizar diferença 
entre quaisquer dois termos adjacentes, pois a sequência de uma (P.A.) apresenta a 
mesma diferença entre cada dois termos consecutivos. Desta forma, a partir do 
segundo elemento, os números formados serão devido a da constante com o valor 
do elemento anterior e pode-se obter um termo geral, que pode ser dado por: 
( )1 – 1na a n r= +
 
 
9 
 
Referências bibliográficas 
GIOVANNI, J. R. Matemática 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992. 
RUDIN, W. Princípios de Análise Matemática. Ed. Ao Livro Técnico S.A., 1971. 
STEWART, J. Cálculo, volume II. 4ª. Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.