Teoremas de Convergência

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Cálculo II 
 
 
 
TEOREMAS DE CONVERGÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. O Teorema do Confronto e o Teorema da Função Contínua para Sequências ..................... 2 
2. Teorema do Módulo ................................................................................................................. 6 
3. O Teorema da Função Exponencial para Sequências Numéricas ......................................... 7 
 
Exercícios .................................................................................................................................... 10 
 
Gabarito ...................................................................................................................................... 11 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
Introdução 
Na apostila envolvendo a convergência de sequências numéricas, vimos o 
significado detalhado da terminologia “convergir” matematicamente falando, onde 
apresentamos uma série de fenômenos de nosso conhecimento e que fazem parte 
do nosso dia a dia e que podem ser relacionados diretamente as sequências de 
números. 
 Além disso, a convergência de sequências numéricas pode ser feita com base 
nas regras operatórias envolvendo os limites das mesmas, bem como através da 
definição formal. 
Todavia, é importante conhecermos alguns outros resultados que são 
importantes nesse contexto associado ao cálculo de limites de sequências 
numéricas. Dentre eles, citamos os teoremas do módulo, função contínua e 
exponencial para a convergência de tais sequências. 
Nessa apostila, estaremos interessados em apresentar tais resultados com 
algumas ilustrações de resolução de exemplos, que nos familiarize com essa 
argumentação da caracterização da convergência de sequências com base neles. 
 
Objetivos 
• Estar plenamente familiarizado com alguns resultados importantes 
envolvendo a descrição da convergência de sequências numéricas. 
• Aplicar alguns teoremas específicos na resolução de exemplos que envolvam 
a caracterização do limite de sequências numéricas. 
 
1. O Teorema do Confronto e o Teorema da Função 
Contínua para Sequências 
A descrição ou cálculo do limite de sequências numéricas tem sua tarefa 
facilitada a partir do momento em que descrevemos alguns resultados importantes 
e particulares para determinadas situações, ou seja, nesse momento estaremos 
apresentando agora dois novos resutados que podem servir de procedimentos que 
visam facilitar a caracterização de alguns limites de sequências. 
Tais resultados são conhecidos rotineiramente por ‘teorema do confronto’ e 
‘teorema da função contínua’. 
Teorema 1 (Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduíche) (Adaptado 
de Guidorizzi 2003) Se tivermos 
lim limn n
n n
x y L
→ →
= =
 e se 
n n nx z y 
 para todo ‘n’ 
suficientemente grande, então
lim n
n
z L
→
=
 . 
 
 
3 
 
 
Prova: Como por hipótese, temos que 
lim limn n
n n
x x L
→ →
= =
 então, para todo 𝜀 > 
0 existem dois índices 
1 2,n n 
 tais que 
1 n nn n L x L x L   − + + e 
2 nn n L y L  − +
 . 
Logo, se tomarmos 
 0 1 1max ,n n n=
 , segue que para 
0 n n nn n L x z y L  −    +
, ou seja, conlcuímos que
( ),nz L L  − +
 e, 
portanto, segue que 
lim n
n
z
→
 . 
Vejamos alguns exemplos de aplicação do teorema acima como segue na 
descrição de limites de sequências numéricas. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: A sequência (zn) cujo e-nésimo termo é cosn
n
 
 
 
 é 
convergente ou divergente? Por quê? 
Solução: Primeiramente devemos notar que se tomarmos 
( ) 0nx =
 e 
( )
1
ny
n
 
=  
 
 (yn) = (
1
𝑛
) então 
lim lim 0n n
n n
x y
→ →
= =
 e, 
como, 
n n nx z 
 para n suficientemente grande, já que: 
coscosn 1
,
n
n n n
= 
 ≤ 
1
𝑛
, 
podemos nos utilizar diretamente do teorema do confronto. 
Assim sendo, concluímos que 
cosn
lim lim 0n n
n n
x x
n→ →
 
= = 
 
. 
 
 
 
4 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: A sequência (zn) cujo e-nésimo termo é 1
2n
 
 
 
 é 
convergente ou divergente? Por quê? 
Solução: Primeiramente, devemos notar que se chamarmos 
 
( ) 0nx =
 e 
( )
1
ny
n
 
=  
 
 então 
lim lim 0n n
n n
x y
→ →
= =
 omo, 
n n nx z 
 ficientemente grande, já que: 
11 1
2 22
n nn
= 
 , 
podemos nos utilizar do teorema do confronto. Assim sendo, 
concluímos que 
1
lim lim 0
2
n nn n
z
→ →
 
= = 
 
 . 
 
Exemplo 3: A sequência 
(z )n
 cujo e-nésimo termo é ( )1 n
n
 −
 
 
 
 é 
convergente ou divergente? Por quê? 
Solução: Primeiramente devemos notar que se chamarmos 
( ) 0nx =
 e 
( )
1
ny
n
 
=  
 
 então 
1
lim lim 0 lim 0
2
n nnn n n
z y
→ → →
 
= = = = 
 
 e, 
como, 
n n nx z 
 xn ≤ zn ≤ yn para n suficientemente grande, já 
que: 
( ) ( )11 1
n
n
n n n
−−
= 
 , 
podemos nos utilizar do teorema do confronto. Assim sendo, 
concluímos que ( )1
lim lim 0
n
n
n n
z
n→ →
 −
− = 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Vamos apresentar agora o conhecido teorema da função continua, que 
trabalha essencialmente com a caracterização do limite de uma sequência 
relacionada a funções contínuas em sua lei de formação. 
Teorema 2 (Teorema da Função Contínua) (Adaptado de Anton 2000) 
Consideremos (xn) uma sequência numérica com termos reais. Se 
lim n
n
x L
→
=
 e se f 
for uma função real continua no ponto x = L e definida para qualquer termo xn, então 
( )lim (x )n
n
f f L
→
=
 . 
Vejamos alguns exemplos de aplicação do teorema da função continua como 
segue na descrição de limites de sequências numéricas. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Caracterizar o limite da sequência 1
2n
 
 
 
 caso 
exista. 
Solução: Neste caso, primeiramente notemos que a 
sequência 
1
n
 
 
 
 é convergente e converge para 0. Desta 
maneira, vamos tomar 
( )
1
, (x) 2xnx f
n
 
= = 
 
 , logo pelo 
teorema da função contínua concluímos que 1
1
2n f
n
   
=   
  
 
converge para 
( ) 00 2 1f L = = =
 outras palavras, escrevemos 
que 
( )
1
lim 2 1n
n→
=
 
 
 
6 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Teorema do Módulo 
Vejamos agora um resultado que diz respeito ao módulo envolvendo o termo 
geral de uma sequência, que também é considerado um dos resultados 
fundamentais da teoria das sequências numéricas. 
Teorema 3 (Teorema do Módulo) (Adaptado de Leithold 2006) Consideremos 
(xn)uma sequência numérica convergente tal que 
lim n
n
x L
→
=
, então 
lim n
n
x L
→
=
 . 
Prova: Por hipótese, temos que 
lim n
n
x L
→
=
 , ou seja, sabemos que para todo 
0
 , existe um índice 
0n 
 tal que se n > n0 ⇒ |xn – L | < 𝜀. 
Além disso, devemos mostrar que lim
𝑛→∞
|𝑥𝑛| = | L |, ou seja, devemos provar 
que para todo 𝜀 > 0, existe um índice 
0n 
 tal que se 
0 nn n x L  −
 . 
 
 
Exemplo 6: Caracterizar caso exista o 
lim n
n
x
→
 , sendo 
( )
2 1
4 1
n
n
x
n
 +
=   + 
 . 
Solução: Primeiramente, devemos notar que a sequência
2 1
4 1
n
n
+ 
 
+ 
 é convergente e converge para 
1
2
L =
 . 
Logicamente, se considerarmos 
( )nf x x=
 e 
1
2
L =
 , pelo 
teorema da função contínua, concluímos que 
( )
2 1
4 1
n
n
x
n
+
=
+
 
(xn) = (√
2𝑛+1
4𝑛+1
) é convergente e converge para 
1 1 2
2 22
= =
 
√2
2
, ou seja, temos que 2 1 2
lim lim
4 1 2
n
n n
n
x
n→ →
 +
= =  + 
. 
 
 
7 
 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
 
Com base na segunda desigualdade triangular o resultado segue, ou seja, 
para todo 𝜀 > 0, existe um índice n0 ∈ ℕ tal que: 
se
0 nn n x L  −
 . 
 
3. O Teorema da Função Exponencial para Sequências 
Numéricas 
É sabido que a função exponencial dada por 
( )
1
1
x
f x
x
 
= + 
 
 (1 +
1
𝑥
)
𝑥
comparece rotineiramente em diversas situações cotidianas, como, por exemplo, 
nas modelagens envolvendo crescimento e decrescimento, função de ativação em 
redes neurais, estudo de vibrações mecânicas, etc. 
Desta maneira, no âmbito das sequências numéricas, é relevante estudarmos 
o resultado que relaciona a mesma com o limite de uma sequência numérica. 
Primeiramente, podemos observar sem grandes dificuldades que se a variável x 
cresce 
( )x→
 ), o quociente 
1
x
 tende a zero, todavia tal fração acrescida de 1 e o 
resultado dessa soma elevado a x não tem um valor direto de convergência 
evidenciado. 
Um dos maiores pesquisadores (matemático e astrônomo) de toda a história 
da ciência, Leonardo Euler (1707 – 1783) foi o primeiro cientista a observar a 
importância de tal função. 
Sabe-se da literatura envolvendo as funções, que à 
distância da origem ao ponto x, é o valor absoluto de x, ou 
seja, | x | (módulo de x). Assim sendo, uma das principais 
propriedades que temos é a desigualdade a seguir 
(chamada de segunda desigualdade triangular): 
| |x| – | y| | ≤ |x – y|, 
Para quaisquer dois números reais x e y. 
 
 
 
8 
 
 
De outra forma, Euler mostrou que o limite da função 
( )
1
1
x
f x
x
 
= + 
 
 , 
quando x tende a infinito era equivalente a um número irracional, mais 
precisamente situado entre os números 2 e 3, denotado nas entrelinhas por e 
(constante ou número de Euler), uma das constantes mais importantes da 
Matemática ao lado do número π, sendo as duas números irracionais. 
Se utilizarmos uma calculadora científica, é possível termos uma idéia com 
relação à convergência da função
( )
1
1
x
f x
x
 
= + 
 
 . 
Vejamos o Quadro a seguir, em que listamos alguns valores de f(x) quando x 
tende a infinito. 
 
x 
( )
1
1
x
f x
x
 
= + 
 
 
1 2 
2 2,250000 
5 2,488320 
10 2,593742 
20 2,653298 
50 2,691588 
100 2,704814 
200 2,711517 
500 2,715569 
1.000 2,716924 
5.000 2,718010 
50.000 2,718255 
100.000 2,718268 
1.000.000 2,718280 
 Elaborado pelo autor (2019). 
Podemos demostrar que o limite da função 
( )
1
1
x
f x
x
 
= + 
 
 também dá o 
número e = 2,718281828459... quando x tende a menos infinito, ou seja, podemos 
escrever: 
1
lim 1
x
n
n
x e
x→
 
+ = 
 
 
 
 
9 
 
 
 Com base em tal exposição inicial referente a função exponencial, podemos 
generalizar tal situação para o contexto das sequências numéricas, surgindo o 
resultado fundamental que apresentamos a seguir. 
Teorema 4 (Teorema da Função Exponencial) (Adaptado de Boulos 2006) A 
sequência numérica (xn) com n-ésimo termo dado por 
( ) 1
n
n
x
x
n
 
= + 
 
é convergente, 
mais precisamente, temos que 
lim lim 1
n
x
n
n n
x
x e
n→ →
 
= + = 
 
 para todo x real fixado. 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Caracterizar caso exista o 
lim n
n
x
→
, sendo 
( )
1
n
n
n
x
n
+ 
=  
 
. 
Solução: Primeiramente, devemos notar que podemos 
visualizar 1 nn
n
+ 
 
 
 como: 
1 1
1
n n
n
n n
+   
= +   
   
 
 Assim sendo, fazendo x = 1 no teorema da função exponencial 
vem que: 
 
11lim
n
n
n
n
x e e
n→
+ 
= = = 
 
 
Onde concluímos que a sequência em questão é convergente e 
converge para 
1L e=
. 
 
 
10 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1 – (Autor, 2019) A sequência 
( )nz
 cujo e-nésimo termo é ( )sen n
n
 
 
 
 é 
convergente ou divergente? Por quê? 
 
2 – (Autor, 2019) Caracterizar o limite da sequência cujo e-nésimo termo é 
dado por 1n
n
 +
  
 
 caso exista, justificando os seus cálculos. 
 
 3 – (Autor, 2019) Vamos caracterizar caso exista o limite da sequência 
numérica (xn), onde o e-nésimo termo é dado por 
( )
1
n
n
n
x
n
− 
=  
 
. 
Exemplo 8: Caracterizar, caso exista, o 
lim n
n
x
→
 , sendo 
( )
2
n
n
n
x
n
− 
=  
 
. 
Solução: Primeiramente devemos notar que podemos 
visualizar 2 nn
n
− 
 
 
 como: 
2 2
1
n n
n
n n
− −   
= +   
   
 
 Assim sendo, fazendo x = – 2 no teorema da função 
exponencial vem que: 
22lim lim
n
n
n n
n
x e
n
−
→ →
− 
= = 
 
 
Donde concluímos que a sequência em questão é 
convergente e converge para 
2L e−=
 . 
 
 
11 
 
 
Gabarito 
1 – Em um primeiro momento devemos observar que se chamarmos 
( ) 0nx =
 
e 
( )
1
ny
n
 
=  
 
) então 
lim lim 0n n
n n
x y
→ →
= =
 e, como, 
n n nx z y 
 para n suficientemente 
grande, já que 
(n) (n) 1sen sen
n n n
= 
 , podemos nos utilizar diretamente do teorema 
do confronto ou sanduíche. Assim sendo, concluímos que 
(n)
lim lim 0n
n n
sen
z
n→ →
 
= = 
 
 . 
2 – Num primeiro momento devemos notar que a sequência 
1n
n
+ 
 
 
 é 
convergente e converge para L = 1. Assim sendo, se considerarmos a função real 
( )f x x=
 e L = 1, pelo teorema da função contínua concluímos que 
( )
1
n
n
x
n
 +
=   
 
 é convergente e converge para 
1 1=
 , ou seja, temos que 
1
lim lim 1n
n n
n
x
n→ →
 +
= =  
 
. 
3 – Inicialmente devemos observar que podemos visualizar 1 nn
n
− 
 
 
 como: 
1 1
1
n n
n
n n
− −   
= +   
   
 
Assim sendo, fazendo x = – 1 no teorema da função exponencial vem que: 
11lim lim
n
n
n n
n
x e
n
−
→ →
− 
= = 
 
, 
 donde concluímos que a sequência em questão é convergente e converge 
para 
 
1L e−−
 . 
 
Resumo 
Nesta apostila, nos familiarizamos com alguns resultados adicionais que 
possibilitamde forma direta a simplificação do cálculo de limites para algumas 
situações peculiares envolvendo as sequências numéricas. 
 
 
12 
 
 
 Desta forma, trabalhamos inicialmente com o terorema do confronto ou 
teorema do sanduíche, que nos permite computar limites de sequências que sejam 
majoradas por desigualdades entre os seus termos gerais característicos. Esse 
resultado é muito utilizado em situações que temos uma sequência majorada por 
duas outras sequências que convergem para zero. 
 A seguir, discutimos e aplicamos o teorema da função continua e da função 
exponencial, que são dois importantes resultados vinculados ao cálculo de limites 
de sequências numéricas, sendo o primeiro direcionado ao aparecimento de funções 
contínuas e o segundo com base na função exponencial. Lembremos que as funções 
continuas apresentam um papel importante no cálculo diferencial e integral, 
especificamente falando em termos geométricos por conta da sua representação 
gráfica sem saltos ou furos. Além disso, a função exponencial aparece 
rotineiramente em modelagens envolvendo crescimento e decrescimento, bem 
como na capitalização contínua dos juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Volume 2. São Paulo: Harbra, 
2006. 
 
THOMAS, G. B. Cálculo. Volume 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003. 
 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 2. São Paulo: Bookman, 2000. 
 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 2. SP: Makron Books, 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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