Apostila Analise Real I

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Análise Real
Professora Fátima
1 Exercícios de revisão
1. Verdadeiro ou falso? Justifique. (Nesta questão m, n, pe q são números
inteiros)
(a) A soma de dois números inteiros pares é um número inteiro par.
(b) Se m e n são ímpares então m+ n é ímpar.
(c) Para que o produto de dois números seja um número racionalé
necessário que cada um deles seja racional.
(d) Se p 6= 0, q 6= 0, então:
m
p
+
n
q
=
qm+ pn
pq
(e) Se p 6= 0, q 6= 0, n 6= 0, então:
m
p
n
q
=
mq
pn
(f) Se um natural divide dois outros, então ele divide a diferençaentre
ambos.
2. (Provão 98 - Parte B) O losango é um quadrilátero que tem os quatro
lados iguais. A partir desta definição, pode-se demonstrar aseguinte
afirmação: “Ter diagonais perpendiculares é uma condição necessária
para que um quadrilátero seja um losango”.
(a) Enuncie esta afirmação sob a forma de um teorema do tipo“Se. . . então. . . ”.
(b) Demonstre o teorema enunciado no item anterior.
(c) Enuncie a recíproca do teorema no item a) e decida se elaé ou não
verdadeira, justificando sua resposta. Dados/Informações adici-
onais: O teorema sobre os ângulos formados por duas paralelas
cortadas por uma transversal pode ser considerado conhecido,bem
como os casos de congruência de triângulos.
1
3. (Provão 98 - Parte B) Considere a seqüência
√
2,
√
2 +
√
2,
√
2 +
√
2 +
√
2,
. . . definidapor a1 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an, para n ≥ 1. Mostre que
an < 2 para todo n ≥ 1.Sugestão: Utilize o Princípio da Indução.
4. Mostre que n2 − 3n+ 4 é um número inteiro para todo n positivo.
5. Mostre que n2 − 3n+ 4 é um número inteiro para todo inteiro n.
6. Para n ≥ 0, mostre que 7n + 2 é um número divisívelpor 3.
7. Para n ≥ 1, mostre que Sn =
∑n
i=1 i! é um número ímpar.
8. (Desigualdade de Bernoulli) Para h > −1 e n ≥ 0, mostre que
(1 + h)n ≥ 1 + nh
2 Conjuntos Finitos, Infinitos, enumeráveis não
enumeráveis
Definição 1 (conjunto finito, conjunto infinito) Seja In = {1, 2, . . . , n}.
Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou quando existe uma bijeção
f : In → X, para algum n ∈ N. Neste caso dizemos que X possui n ele-
mentos, ou que o número cardinal do conjunto X é n. Um conjunto é dito
infinito quando não é finito.
Exercícios
1. Enuncie a definição de função injetiva (ou injetora). Dê exemplo de
uma função que seja injetiva e de uma função que não seja injetiva.
2. Enuncie a definição de função sobrejetiva (ou sobrejetora). Dê exem-
plo de uma função que seja sobrejetiva e de uma função que não seja
sobrejetiva.
3. Enuncie a definição de função bijetiva (ou bijetora). Dê exemplo de uma
função que seja sobrejetiva e de uma função que não seja sobrejetiva.
4. Considere o conjunto das vogais. Prove que o mesmo é finito e deter-
mine seu número cardinal.
2
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se existe uma bijeção f : X → Y então dados a ∈ X e b ∈ Y ,
existe também uma bijeção tal que g(a) = b?
(b) Todo subconjunto de um conjunto finito é finito?
(c) Dada f : X → Y , se Y é finito e f é injetiva então X é finito?
(d) Dada f : X → Y , se Y é finito e f é sobrejetiva então X é finito?
(e) Dada f : X → Y , se X é finito e f é sobrejetiva então Y é finito?
(f) Dada f : X → Y , se X é finito e f é injetiva então Y é finito?
(g) A interseção de dois conjuntos finitos é finito?
(h) A união de dois conjuntos finitos é finito?
(i) Seja An um conjunto finito e k um número natural. X = ∪kn=1An
é finito?
(j) Seja An um conjunto finito. X = ∪∞n=1An é finito?
(k) Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva
f : N→ X?
(l) Um conjunto é finito se e somente se é limitado.
(m) Um conjunto X ⊂ N é finito se e somente se é limitado.
Definição 2 (conjunto enumerável) Um conjunto Xé enumerável quando
é finito ou quando existe uma bijeção f : N→ X, neste último caso, X possui
a mesma cardinalidade de N.
Um conjunto é dito não enumerável quando não é enumerável.
Teorema 1 Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.
Teorema 2 Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável então X também
é. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Teorema 3 Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y
também é.
Teorema 4 N×N é enumerável.
Sugestão para a demonstração: Considerar a aplicação ψ(m,n) = 2m3n.
3
Teorema 5 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é enume-
rável.
Teorema 6 A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis
é enumerável.
Exercícios
1. O conjunto dos naturais pares é enumerável?
2. O conjunto dos naturais ímpares é enumerável?
3. Z é enumerável?
4. Q+ é enumerável?
5. Q é enumerável?
6. Exiba um número irracional x tal que 0, 005 < x < 0, 006
7. R é enumerável?
8. O conjunto { 0, x1x2x3 . . . ,onde xi = 0 ou xi = 1} é não enumerável?
9. O conjunto dos números irracionais é enumerável?
10. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se A e B são enumeráveis então A ∪B é enumerável?
(b) Se A e B são enumeráveis então A×B é enumerável?
(c) Se A ⊂ X e X é enumerável então A é enumerável?
11. (Provão 99 - Parte B) Sejam p1, p2, p3, . . . , pn os n primeiros primos
naturais.
(a) Deduza que p1p2p3 . . . pn+1 é divisível por um primo diferente de
p1, p2, p3, . . ., pn, mencionando os resultados necessários na sua
dedução.
(b) Conclua, a partir de a), que existem infinitos primos.
12. (Provão 98 - Parte A - 2a questão) Uma das afirmativas abaixo sobre
osnúmeros naturais é FALSA. Qual é ela? (JUSTIFIQUE!!!)
4
(a) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior
que ele.
(b) Se dois números não primos são primos entre si, um deles éímpar.
(c) Um número primo é sempre ímpar.
(d) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplode seis.
(e) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.
13. (Provão 98 - Parte A - 3a questão) Assinale a única afirmativa verda-
deira, a respeito de números reais.(Dê contra-exemplo para todas as
afirmativas falsas!!!)
(a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracio-
nal.
(b) O produto de dois números irracionais é sempre um número raci-
onal.
(c) Os números que possuem representação periódica são irracionais.
(d) Todo número racional tem uma representação decimal finita.
(e) Se a representação decimal infinita de um número é periódica,
então esse número é racional.
14. (Provão 99) Sobre a dízima periódica 0, 999 . . ., podemosafirmar que:
(a) é um número irracional.
(b)
√
0, 999 . . . = 0, 333 . . .
(c) 0, 999 . . . = 999
1000
(d) 0, 999 . . . = 1
(e) 0, 999 . . . não pode ser igual a 1, porque a geratriz não podeser um
número inteiro.
3 Supremo,ínfimo, máximo, mínimo
Definição (COTA SUPERIOR): Seja A ⊂ R. Dizemos que k é uma cota
superior para A se todo elemento de A for menor ou igual a k, ou seja,
x ≤ k, ∀x ∈ A.
5
Obs: Se um conjunto possui uma cota superior então ele possui várias cotas
superiores. Todo conjunto limitado superiormente possui cotas superiores.
Definição (COTA INFERIOR): Seja A ⊂ R. Dizemos que k é uma cota
inferior para A se todo elemento de A for maior ouigual a k, ou seja,
k ≤ x, ∀x ∈ A.
Obs: Se um conjunto possui uma cota inferior então ele possui várias co-
tas inferiores. Todo conjunto limitado inferiormente possui cotas inferiores.
Exemplos:
1. A = {1, 2, 3} . 3,5,9 e 500 são cotas superiores (qualquer número maior
ou igual a 3 é cota superior). 1,0,-10 são cotas inferiores (qualquer
número menor ou igual a 1 é cota inferior).
Definição (SUPREMO): Seja A ⊂ R um subconjunto dos números reais.
Dizemos que a ∈ R é o supremo de A e denotamosa = supA se a é a menor
das cotas superiores. Isto é equivalente as seguintes afirmações ocorrerem
simultaneamente:
1. x ≤ a, ∀x ∈ A (a é uma cota superior)
2.
c ≥ x, ∀x ∈ A⇒ c ≥ a,
ou equivalentemente,
c < a⇒ ∃x ∈ A tal que c < x.
( a = supA é a menor das cotas superiores)
Vamos justificar a equivalência estipulada em (2.) Considere as afimações:p−→
c ≥ x, ∀x ∈ A,q−→ c ≥ aO item ( 2.) da definição de supremo nos diz que
p⇒ q. Sabemos que isto possui o mesmo significado que ∼ q ⇒∼ p. Vemos
que:∼q −→ c < a∼ p −→ ∃x ∈ A tal que c < x.Analogamente definimos
ínfimo de um conjunto A. Definição (ÍNFIMO): Seja A ⊂ R um subconjunto
dos números reais. Dizemos que a ∈ R é o ínfimo de Ae denotamos a = infA
se a é a maior das cotas inferiores, isto é, quando ocorrem simultaneamente:
6
1. a ≤ x, ∀x ∈ A (a é uma cota inferior)
2.
c ≤ x,∀x ∈ A⇒ c ≤ a,
ou equivalentemente,
c > a⇒ ∃x ∈ A tal que c > x.
(a é a maior das cotas inferiores)
EXEMPLOS:
1. A = {1, 2, 3}. Então infA = 1, supA = 3.
2. A = { 1
n
, n = 1, 2, . . .}. Então infA = 0, supA = 1.
Exercícios:
1. Determine caso haja, ínfimo, supremo, máximo, mínimo de cada um
dos conjuntos abaixo. Caso não haja, justifique.
(a) N = {1, 2, 3, . . .}
(b) Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
(c) A =]− 3, 5]∪]− 1, 7]
(d) X = {(−1)n 1
n
, n ∈ N}
(e) X =]−∞, 0[
(f) B = {3}
(g) X = [−1, 2[
(h) N = {1, 2, 3, . . .}
(i) X =]−∞, 7[
(j) X = {0,−2, 7, 5}
(k) X = [2, 10]
2. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Todo subconjunto infinito de um conjunto não enumerávelé não
enumerável.
7
(b) Se A ⊂ R possui um ínfimo, então A possui mínimo.
(c) Se A ⊂ R possui mínimo então A possui mínimo.
(d) Todo subconjunto dos reais possui um ínfimo e um supremo.
(e) Seja A ⊂ R, a ∈ R, c ∈ R.Então a é supremo de A se e só se
i. a ≥ x, ∀x ∈ A
ii. Se c < a então existe x ∈ A tal que x > c.
3. Dê exemplo, se possível. Caso contrário, justifique
(a) Um conjunto cujo ínfimo seja igual ao supremo.
(b) Um conjunto cujo supremo seja menor que o ínfimo.
(c) Um conjunto infinito que possua supremo e ínfimo.
(d) Um conjunto ilimitado que possua supremo.
(e) Um conjunto ilimitado que possua ínfimo.
(f) Um conjuto ilimitado que possua supremo e ínfimo.
4 Corpo, Corpo Ordenado
Um corpo é um conjunto K, munido de duas operações, chamadas adição
e multiplicação, que satisfazem a certas condições,chamadas de axiomas do
corpo, abaixo especificadas.A adição faz corresponder a cada par de elementos
x, y ∈ K sua somax+y ∈ K, enquanto a multiplicação associa a esse números
seu produto x.y ∈ K. Os axiomas do corpo são os seguintes:
1. Axiomas da adição:
(a) Associatividade. Quaisquer que sejam x, y, z ∈ K, tem-se: (x +
y) + z = x+ (y + z)
(b) Comutatividade. Quaisquer que sejam x, y ∈ K, tem-se: x+ y =
y + x
(c) Elemento neutro. Existe 0 ∈ K tal que x + 0 = x, seja qual for
x ∈ K. O elemento 0 chama-se zero.
(d) Simétrico. Todo elemento x ∈ K possui um simétrico −x ∈ Ktal
que x+ (−x) = 0
8
item Axiomas da multiplicação: (Especifique-os em linguagem mate-
mática)
(a) Associatividade.
(b) Comutatividade.
(c) Elemento neutro.
(d) Inverso, exceto para o elemento neutro da adição.
2. Axioma da distributividade - Interliga operações de multiplicação e
adição: Dados x, y, z em K, tem-se:
x(y + z) = xy + xz
Definição 3 (Corpo Ordenado) Dizemos que X é um corpo ordenado quando
existe um subconjunto X+ ⊂ X, chamado conjunto de números positivos,
cumprindo asseguintes condições:
1. x, y ∈ X+ ⇒ x+ y, xy ∈ X+
2. Dado x ∈ X+ exatamente uma das três opções ocorre:x = 0, x ∈ X+
ou −x ∈ X+
O conjunto R dos números reais é um corpo ordenado.
Observação: R é um corpo ordenado completo. Isto significa que todo
subconjunto X ⊂ R
¯
limitado superiormente possui supremo b ∈ R.
Exercícios:
Seja K um corpo.Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira
ou falsa. Justifique.
1. x+ z = y + z ⇒ x = y, x, y, z ∈ K
2. y × 0 = y, y ∈ K
3. (x)(−y) = −xy, x, y ∈ K
4. x× 0 = 0, ∀x ∈ K
5. (−x)(y) = −xy, x, y ∈ K
6. (−x)(−y) = xy, x, y ∈ K
9
7. O conjunto N dos naturais é um corpo?
8. O conjunto Z dos inteiros é um corpo?
9. O conjunto das matrizes reais 2×2 com as operaçõesusuais é um corpo?
10. O conjunto das matrizes reais inversíveis 2× 2 com asoperações usuais
é um corpo?
11. O conjunto Z2 = {4,♥}, com as operações4+♥ = ♥+4 = ♥;4+
4 = ♥+♥ = 4;4×♥ = ♥×4 = 4×4 = 4; ♥×♥ = ♥.
5 Seqüências
Uma seqüência é uma função f : N → R,que a cada número natural
associa um número real. Freqüentementenos referimos a uma seqüência por
xn, indicando que x1 seria o primeiro termo, x2 o segundo termo e assim por
diante.
Definição 4 (Seqüência Limitada) Uma seqüência xn é dita limitada quando
existe M ∈ Rtal que −M ≤ xn ≤M , ∀n ∈ N.
Observação:
−M ≤ xn ≤M, ∀n ⇔ |xn| ≤M, ∀n
.
Definição 5 (Limite de uma seqüência) Dizemos que L ∈ R é o limite
de uma seqüência e denotamos
lim
n→∞
xn = L ou limxn = L
quando dado � > 0 existe N0 ∈ N tal que
L− � < xn < L+ �, ∀n > N0
Neste caso diz-se que a seqüência (xn) é convergente (para L ). Quando uma
seqüência não é convergente ela é dita divergente.
Observação:
L− � < xn < L+ �, ∀n > N0 ⇔ |xn − L| < �, ∀n > n0
10
Teorema 7 (Unicidade do limite) Uma seqüência não pode possuir dois
limites distintos.
Definição 6 (Subseqüência) Dada uma seqüência x = (xn)n∈Nde núme-
ros reais, uma subseqüência de x é a restrição da função x a um subconjunto
infinito
N′ = {n1 < n2 < . . . < ni < . . .} de N.
Escreve-se x′ = (xn)n∈N′, ou (xn1, xn2, . . . , xni, . . .),ou ainda (xni)i∈N
Observação: Estritamente falando, uma subseqüência x′ nãoé uma seqüência
pois seu domínio N′ não éem geral igual a N. Mas é trivial considerar x′
como função definida em N, como sugere a última notação apresentadana
definição de subseqüência.
Teorema 8 Toda seqüência limitada de números reais possui uma subseqüên-
cia convergente.
Definição 7 (Seqüência monótona) Uma seqüência (xn) chama-se mo-
nótona quando se tem xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N , isto é:
x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xk ≤ . . .
ou então xn ≥ xn+1 para todo n ∈ N, isto é,
x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xk ≥ . . .
No primeiro caso diz-seque (xn) é monótona não-decrescente e, no segundo,
que (xn)é monótona não-crescente.
Teorema 9 Toda seqüência monótona limitada é convergente.
Teorema 10 (Bolzano-Weierstrass) Toda seqüência limitada de números
reais possui uma subseqüência convergente.
Teorema 11 Se limxn = lim yn = L e xn ≤ zn ≤ yn para todo n suficiente-
mente grande então lim zn = L
Teorema 12 Se limxn = 0 e (yn) é uma seqüência limitada(convergente ou
não) então lim(xnyn) = 0
11
Teorema 13 Se limxn = a e lim yn = b então:
1. lim(xn + yn) = a+ b
2. lim(xnyn) = ab
3. lim xn
yn
= a
b
, b 6= 0
Exercícios:
1. Dê exemplo de uma seqüência não limitada mas que possua uma sub-
seqüência convergente.
2. Dê exemplo de uma seqüência monótona decrescente que não seja con-
vergente.
3. Dê exemplo de uma seqëncia que não seja monótona mas que convirja.
4. Dê exemplo de uma seqüência divergente que possua uma subseqüência
convergindo para 2.
5. Exiba 3 subseqüências distintas para seqüência an = 1n
6. Determine os 3 primeiros termos de cada seqüência. Diga se cada uma
das seqüências abaixo é limitada,monótona, convergente. Justifique.
(a) xn = n
2−n
n3+3
(b) xn − n
3+3
n2−n
(c) xn = 3
(d) xn = −n
(e) xn = (−1)n
(f) xn = (−1)n 1n
(g) xn = qn, q sendo uma constante real.
(h) xn = n
√
n.
(i) xn = (1 + 1n)
n
7. Em cada item ou dê um exemplo, explicando que seu exemplo é correto
ou justifique porque é impossíveldar um exemplo.
12
(a) Uma sequüência monótona decrescente que não seja convergente.
(b) Uma seqüência que não seja monótona mas que convirja.
(c) Uma seqüência não monótona que seja convergente.
(d) Uma seqüência que seja limitada, mas não seja convergente.
(e) Uma seqüência que seja convergente, mas não seja limitada.
(f) Uma seqüência crescente que seja convergente.
8. Prove que se uma seqüência (xn) possui duas seqüências que convergem
para limites distintos, então (xn) não é convergente.
9. Prove que uma seqüência que não seja limitada não podeser conver-
gente.
10. (35-Provão 98) Quando n → ∞, a seqüência an = n
5+2n
n4+3n
tem limite:
A)0 B)2
3
C)1 D)5
4
E)∞
11. (19-Provão 2000) A seqüência {an} definida poran = (−1)n + 13senn:
(a) não é convergente, mas admite subseqüência convergente.
(b) é convergente para um número irracional.
(c) é convergente para um número racional.
(d) é divergente para infinito.
(e) é monótona.
12. (24-Provão 99) Considere as seguintes afirmaçõessobreseqüências de
números reais:
I-Uma seqüência de irracionais pode convergir para um racional.
II-Uma seqüência de números positivos pode convergir para umnúmero
negativo.
III-Se todos os termos de uma seqüência são menores que 1, entãoseu
limite também será menor que 1.
Estão corretas as seguintes afirmativas:
(a) I, apenas.
(b) I e II, apenas
13
(c) I,II e III.
(d) II,apenas
(e) III,apenas.
6 Séries
Quando dividimos 1 por 3 encontramos a dízima periódica
0, 333 . . .
Na verdade este número pode ser lido como a soma infinita
3
10
+
3
100
+
3
1000
+ . . .
Repare que a seqüência (
3
10
,
3
100
,
3
1000
. . .
)
é uma progressão geométrica(PG) de primeiro termo a1 = 310 e razão q =
1
10
.
Sem surpresas, ao aplicarmos a fórmula para a soma dos termos de uma PG
infinita onde a razão tem módulo menor que 1, obtemos
S =
a1
1− q
=
3
10
1− 1
10
=
1
3
Ocorre que nem sempre as somas infinitas são tão amigáveis. Qual seria
o valor da soma infinita
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .?
Estamos buscando o valor da soma dos termos da seqüência
(1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .)
que por acaso também é uma PG. Se somamos um número par de parcelas
temos a sensação que a soma seria 0. Se somamos um número ímpar de
parcelas a soma parece ser 1. Pelo menos dois resultados diferentes são
nitidamente plausíveis. Surge a necessidade de definir o que seria somar
14
uma quantidade infinita de parcelas. Isto foi feito usando-se o conceito de
seqüências. Neste exemplo definimos a seqüência (sn) dada por
s1 = 1, s2 = 1− 1, s3 = 1− 1 + 1, s4 = 1− 1 + 1− 1, etc
Se existir um número real L que seja limite deste seqüência (sn) dizemos que
a soma vale L, ou, mais elegantemente, que a soma (ou a série) converge para
L. Se (sn) divergir dizemos que a soma( ou a série) diverge.
Neste exemplo (sn) diverge, já que identificamos duas subseqüências con-
vergindo para limites diferentes, a saber, (sn)n par converge para zero en-
quanto (sn)n ímpar converge para -1.
Já no primeiro exemplo, considerando
s1 =
3
10
, s2 =
3
10
+
3
100
, s3 =
3
10
+
3
100
+
3
1000
, etc
temos
L = lim
n→∞
sn =
1
3
Dada uma seqüência
(a1, a2, a3, a4, . . .)
Podemos nos perguntar se existe um número real L tal que
a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . . = L.
Como a1, a2, a3, etc. são parcelas da “soma infinita”, ak é por vezes
chamado do termo geral da soma (ou da série).
Para lidar com somas infinitas, convém recolcar a questão usando a lin-
guagem de limite. Queremos então saber se existe um número real L tal
que
lim
n→∞
sn = L,
onde (sn) é a seqüência das somas parciais
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
...
sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an
...
15
A seqüência das somas parciais, por abuso também chamada de série, é
freqüentemente denotada por
sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an =
n∑
k=1
ak
Para nos referirmos à série (ou mesmo à seqüência de parciais que define
a série) usamos fartamente as notações
∑
ak, ou ainda,
∞∑
k=1
ak.
Cabe observar que
L = lim
n→∞
sn = lim
n→∞
n∑
k=1
ak =
∞∑
k=1
ak
No entanto, mesmo quando a série não converge( a seqüência sn diverge),
ainda utilizamos
∑
ak para denotar a série. Esta notação pode ser usada
para referir-se ao valor da soma, ou à própria seqüência sn =
∑n
k=1 ak.
Exercícios:
1. Seja
sn =
n∑
k=1
ak.
Em cada item, faça conforme o exemplo. Determine os 6 primeiros
termos da seqüência (ak) e os 6 primeiros termos da seqüência das
somas parciais (sn). Identifique se ak é monótona (não crescente, não
decrescente), limitada, convergente. Idem para a seqüência das somas
parciais sn. Lembre que se lim sn = L então
a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . . = L
(a) ak = (−1)k, sn =
∑n
k=1 ak.
Solução:
Os 6 primeiros termos da seqüência são
a1 = −1, a2 = 1, a3 = −1, a4 = 1, a5 = −1, a6 = 1
16
A seqúência (ak), denotada ainda por
(−1, 1,−1, 1, . . .),
não é monótona, é limitada (|ak| ≤ 1, para todo k inteiro, não é
convergente (pois possui subseqüências convergindo para limites
diferentes).
Os 6 primeiros termos da série sn =
∑
(−1)k são
s1 = −1
s2 = −1 + 1 = 0
s3 = −1 + 1− 1 = −1
s4 = s3 + 1 = 0
s5 = s4 − 1 = −1
s6 = s5 + 1 = 0
A série (sn), vista como seqüência,denotada ainda por
(−1, 0,−1, 0,−1, 0, . . .),
não é monótona,é limitada e não é convergente.
(b) ak = 1/2, sn =
∑n
k=1 ak.
Solução:
Os 6 primeiros termos da seqüência são
a1 = 1/2, a2 = 1/2, a3 = 1/2, a4 = 1/2, a5 = 1/2, a6 = 1/2
A seqúência (ak), denotada ainda por
(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, . . .),
é monótona pois trata-se de uma seqüência constante, é limitada
(|ak| ≤ 1/2, para todo inteiro positivo) e é convergente (converge
para 1/2).
Os 6 primeiros termos da série sn =
∑
1/2 são
s1 = 1/2
s2 = 1/2 + 1/2 = 1
s3 = 1/2 + 1/2 + 11/2 = 3/2
s4 = s3 + 1/2 = 2
s5 = s4 + 1/2 = 5/2
s6 = s5 + 1/2 = 3
17
A série (sn), vista como seqüência,denotada ainda por
(1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, . . .),
é monótona(crescente), não é limitada, não é convergente.
(c) ak = 1k −
1
k+1
, sn =
∑n
k=1 ak.
Solução:
Os 6 primeiros termos da seqüência são
a1 = 1−1/2, a2 = 1/2−1/3, a3 = 1/3−1/4, . . . , a6 = 1/6−1/7
Observe que
ak =
1
k
− 1
k + 1
=
1
k(k + 1)
Isto ajuda a ver que a seqúência (ak) é monótona (decrescente),
é limitada (|ak| ≤ 1/2, para todo k inteiro), é convergente (toda
seqüência monótona e limitada é convergente - neste exemplo a
seqüência converge para zero).
Os 6 primeiros termos da série sn =
∑
( 1
k
− 1
k+1
) são
s1 = 1− 1/2
s2 = 1− 1/2 + 1/2− 1/3 = 1− 1/3
s3 = a1 + a2 + a3 = s2 + a3 = (1− 1/3) + (1/3− 1/4) = 1− 1/4
s4 = s3 + a4 = (1− 1/4) + (1/4− 1/5) = 1− 1/5
s5 = 1− 1/6
s6 = 1− 1/7
A série (sn), vista como seqüência, é monótona, é limitada (|sn| ≤
1/2, para todo inteiro positivo n) e é convergente (pois toda
seqüência limitada e monótona é convergente - neste exemplo ela
converge para 1) .
(d) ak = 2k, sn =
∑n
k=1 ak.
Solução Os 6 primeiros termos da seqüência são
a1 = 2, a2 = 2
2 = 4, a3 = 2
3 = 8, a4 = 2
4 = 16, a5 = 2
5 = 32, a6 = 2
6 = 64
A seqúência (ak), denotada ainda por
(2, 4, 8, 16, . . .),
18
é monótona (crescente), não é limitada e diverge para infinito.
Observe que cada novo termo da seqüência é o dobro do anterior,
trata-se portanto de uma progressão geométrica(PG) de razão 2.
Numa PG de razão q onde o primeiro termo é a1 os seguintes serão
a2 = a1q, a3 = a1q
2, a4 = a1q
3, . . . , a100 = a1q
99, . . .
A fórmula para o termo geral é
an = a1q
n−1 (1)
Os 6 primeiros termos da série sn =
∑n
k=1 2
k são
s1 = 2
s2 = 2 + 4 = 6
s3 = 2 + 4 + 8 = 14
s4 = s3 + a4 = 14 + 16 = 30
s5 = s4 + a5 = 30 + 32 = 62
s6 = s5 + a6 = 62 + 64 = 126
Observação: Existe uma fórmula que encontra a soma Sn dos n
primeiros termos de uma seqüência (ak) de primeiro termo a1 e
razão q, onde q 6= 1, a saber,
Sn =
a1(1− qn)
1− q
Verifique que a fórmula funciona para o exemplo acima. Para
verificar o caso geral basta fazer a conta Sn − qSn de dois modos
diferentes:
Primeiro modo: Sn − qSn = Sn(1− q)
Segundo modo: Observe, usando a fórmula(1) para o termo geral
da PG que
Sn = a1 + a1q + a1q
2 + . . .+ a1q
n−2 + a1q
n−1
assim
qSn = a1q + a1q
2 + . . .+ a1q
n−1 + a1q
n
19
Ao efetuarmos a diferença Sn − qSn muitos termos se cancelam e
obtemos apenas
Sn − qSn = a1 − a1qn = a1(1− qn)
Comparando os resultados obtidos através das duas maneira dis-
tintas no cálculo de Sn − qSn obtemos
Sn(1− q) = a1(1− qn)
portanto
Sn =
a1(1− qn)
1− q
A série (sn) =
∑n
k=1 2
k é monótona(crescente), não é limitada, e
diverge para infinito(não sendo portanto convergente).
(e) ak = 12k , sn =
∑n
k=1 ak.
Solução:
Os 6 primeiros termos da seqüência são
a1 = 1/2, a2 = 1/4, a3 = 1/8, a4 = 1/16, a5 = 1/32, a6 = 1/64
A seqúência (ak), denotada ainda por
(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, . . .),
é monótona (decrescente), é limitada e converge para zero. Ob-
serve que cada novo termo da seqüência é metade do anterior,
trata-se portanto de uma progressão geométrica(PG) de razão 1/2.
Os 6 primeiros termos da série sn =
∑n
k=1 1/2
k são
s1 = 1/2
s2 = 1/2 + 1/4
s3 = 1/2 + 1/4 + 1/8
s4 = 1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16
s5 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32
s6 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
20
Aqui novamente podemos usar a fórmula
Sn =
a1(1− qn)
1− q
A série (sn) =
∑n
k=1 1/2
k é monótona(crescente), pois cada novo
termo é o anterior adicionado de um valor positivo.
Para saber a que valor chegamos quando somamos "todos"os ter-
mos é razoável que estudemos o comportamento da soma Sn dos n
primeiros termos de uma PG quando n tende a infinito. Fazendo
o cálculo, obtemos
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a1(1− qn)
1− q
=
a1
1− q
,
desde que |q| < 1. Utilizando este resultado no exemplo, obtemos
S =
1/2
1− 1/2
= 1
Assim (sn) é limitada (|sn| ≤ 1, para todo n inteiro positivo) e
converge para 1.
(f) ak = (−1)k 12k ), sn =
∑n
k=1 ak.
(g) 1
100
, sn =
∑n
k=1 ak.
(h) ak = 1100 +
1
2k
, sn =
∑n
k=1 ak.
(i) ak = 1k , sn =
∑n
k=1 ak.
(j) ak = 1k2 , sn =
∑n
k=1 ak.
Decidir sobre a convergência de séries pode ser um problema delicado.
Todo um campo de estudo da matemática, designado hoje por análise real,
floresceu no século XIX em grande parte impulsionado por este problema.
Resultado 1 O termo geral de uma série convergente tem limite zero, ou
seja, ∑
ak é convergente⇒ lim ak = 0
21
Demonstração: Seja (sn) a seqüência das somas parciais, iassim:
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
...
sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an
...
Por hipótese a “soma infinita"converge, logo existe um número real S tal
que
S = lim
n→∞
sn
.
Considere a seqüência yn = sn+1 cujos termos são
y1 = s2 = a1 + a2
y2 = s3 = a1 + a2 + a3
y3 = s3 = a1 + a2 + a3 + a4
...
yn = sn+1 = a1 + a2 + a3 + . . .+ an + an+1
...
Para finalizar a demonstração resolva as seguintes questões.
1. Sabendo-se que lim
n→∞
sn = S, quanto vale lim
n→∞
yn?
2. Calcule yn − sn
3. Calcule lim
n→∞
(yn − sn)
4. Seja zn = an+1. Se lim
n→∞
zn = 0, quanto vale lim
n→∞
an?
Você deve ter concluído que lim
n→∞
yn = S e que yn − sn = an+1. Agora
lim
n→∞
(yn − sn) = lim
n→∞
an+1 ⇒
S − S = lim
n→∞
an+1 ⇒
0 = lim
n→∞
an+1
22
Logo
lim an = lim an+1 = 0
#
Observação A recíproca deste teorema é falsa. Um contra-exemplo clás-
sico á série
∑
1/k. Embora a seqüência ak = 1/k convirja para zero, a soma∑
1/k diverge para infinito.
Observação: Este resultado é útil para demonstrar que determinadas
séries são divergentes. De fato, se o termo geral não estiver convergindo para
zero, a série não tem chances de convergir.
Exemplo:A série
∑
(−1)k diverge e podemos provar isto observando que
ak = (−1)k é uma seqüência divergente (não converge para número algum,
portanto não pode convergir para zero).
Resultado 2 (Critério da comparação) Seja 0 ≤ ak ≤ bk, para todo in-
teiro positivo k. Então:
• ∑ bk converge ⇒ ∑ ak converge.
• ∑ ak diverge ⇒ ∑ bk diverge.
Exemplo 1:Queremos investigar se a série
∑ 1
2k+5
converge. Já vimos que a
série geométrica
∑ 1
2k
converge. Como
0 ≤ 1
2k + 5
≤ 1
2k
podemos afirmar, usando a primeira afirmativa do teste da comparação que∑ 1
2k+5
converge.
Exemplo 2:Será que a série
∑ 1
3k−1 converge? Vimos que a série
∑ 1
k
diverge. Assim ∑ 1
3k
=
1
3
∑ 1
k
será divergente. Como
0 ≤ 1
3k
≤ 1
3k − 1
usando a segunda afirmação do teste da comparação podemos garantir que∑ 1
3k−1 diverge, visto que
∑ 1
3k
diverge.
23
Observação: No resultado anterior podemos substituir a hipótese 0 ≤
ak ≤ bk por 0 ≤ ak ≤ cbk, com c ∈ R, já que∑
bk converge ⇔
∑
cbk converge
Exercícios:
1. Covergente ou divergente? Justifique.
(a)
∑∞
k=1
1
k3
(b)
∑ 1
k3+1
(c)
∑∞
k=1
1√
k
(d)
∑∞
k=1
[
(1 + (−1)k
]
(e)
∑∞
k=1 cos k
(f)
∑ 1
k+3
(g)
∑ 1
2k−1
2. Demonstre o Teste da comparação.Defina
xn =
n∑
k=1
ak e yn =
n∑
k=1
bk
Verifique que tanto xn quanto yn são monótonas (Por quê?). Para
provar a primeira afirmação verifique que sob as hipóteses especificadas
yn será limitada, use este fato, juntamente com o anterior para provar
que yn converge e conclua a demonstração da primeira parte. Para
provar a segunda parte verifique que sob as hipóteses vigentes yn não
pode ser limitada, e daí conclua a demonstação da segunda parte.
Definição 8 (Série absolutamente convergente, s’erie condicionalmente convergente)
Uma série
∑
ak diz-se absolutamente convergente quando
∑ |ak| converge. Se∑
ak converge, mas
∑ |ak| diverge, dizemos que a série é condicionalmente
convergente.
Resultado 3 Toda série absolutamente convergente é convergente.
24
Demonstração: Seja
∑
ak uma série tal que
∑ |ak| convirja. Defina as
seqüências (bk) e (ck) como abaixo:
bk =
{
ak, se ak ≥ 0
0, se ak < 0
; ck =
{
−ak, se ak ≤ 0
0, se ak > 0
Assim 0 ≤ bk ≤ |ak| e 0 ≤ ck ≤ |ak|. Pelo teste da comparação
∑
bk e∑
ck são convergentes, assim
∑
ak =
∑
bk −
∑
ck converge.
Teorema 14 (Critério da raiz) Considere a série
∑
ak. Então
1. limk→∞ k
√
|ak| < 1⇒
∑
ak converge.
2. limk→∞ k
√
|ak| > 1⇒
∑
ak diverge.
Resultado 4 (Teste da razão ou de D’Alembert) Sejam (ak) uma seqüên-
cia de termos não nulos. Então:
1. lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ < 1⇒∑ ak converge.
2. lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ > 1⇒∑ ak diverge.
Demonstração: Como
lim
k→∞
∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ = L < 1
existe c satisfazendo 0 ≤ c < 1 tal que para k suficientemente grande∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ < c
Assim ∣∣∣∣ak+1ak
∣∣∣∣ < ck+1ck
e portanto
|ak+1|
ck+1
<
|ak|
ck
25
A seqüência yk = |ak|ck possui apenas termos positivos e pela última de-
sigualdade é decrescente. Daí concluímos que (yk) é limitada, digamos, por
M .
|ak|
ck
< M ⇒ |ak| < Mck
Como |c| < 1, a série ∑ ck, que é uma série geométrica, converge. Assim∑
(Mck) = M
∑
ck também converge. Pelo teste da comparação
∑ |ak| con-
verge, e como toda série absolutamente convergente é convergente, vem que∑
ak converge.
A demosntração da segunda parte do teorema fica como exercício.
Exercícios:
1. Demonstre o critério da raiz.
2. Verifique se a série
∑( lnn
n
)n
é convergente.
3. Verdadeiro ou falso? “ Se lim an = 0 então
∑
an converge.”
4. Diga se as seguintes séries são ou não convergentes, justificando.
(a)
∑
(−1)n
(b)
∑
(−1)n 1
2n
(c)
∑ an
n!
, a constante
(d)
∑ n2
an
, a constante .
(e)
∑ n!
nn
Sugestão: Use que lim(1 + 1
n
)n = e
5. (Na questão abaixo, escolha o item correto, justificando. Além disso dê
um contra-exemplo para cada um dos itens incorretos.) (Provão 2001
- Questão 26) Observe as seguintes séries determos gerais:
(1)
∞∑
k=1
ak e (2)
∞∑
k=1
(a2k−1 + a2k)
respeito dessas séries, é correto afirmar que:
(a) não podem ser ambas convergentes.
(b) Se (1) converge, então (2) converge.
(c) Se (2) converge então (1) converge.
26
(d) Se lim ak = 0, então (1) e (2) convergem.
(e) Se lim ak = 0, então (1) converge, mas (2) pode não convergir.
Teorema 15 (Leibniz) Se (an) é uma seqüência montótona decrescente
que tende parazero então
∑
(−1)n+1an é uma série convergente.
Sugestão para a demonstração: Trabalhe com as subseqüências (s1, s3, s5, . . .)e
(s2, s4, s6, . . .). Observe a monotocidade para concluir que ambas as sub-
seqüências são convergentes, digamos paraL1 e L2. Tente mostrar que L1 =
L2.
Teorema 16 ( Critério da Integral) Seja f uma função real contínua,
decrescente e positiva. Considere a desigualdade
f(2) + f(3) = . . .+ f(k) ≤
∫ n
1
f(x)dx ≤ f(1) + f(2) + f(3) . . .+ f(k − 1)
1. Se sn =
∫ n
1 f(x)dx converge então
∞∑
k=1
f(k) é convergente.
2. Se sn =
∫ n
1 f(x)dx diverge então
∞∑
k=1
f(k) é divergente.
Exercícios
1. Prove que
∑ 1
k
diverge e que
∑ 1
k2
converge.
2. (Provão 2000 - Parte B ) Seja
∑
An uma série convergente de números
reais.
(a) É sempre verdade que
∑∞
n=1A2n converge?
(b) Forneça uma demonstração se a sua resposta em a) for afirmati-
vaou dê um contra-exemplo se negativa.
3. (Provão 2001 - Questão 31) Uma partícula se move sobre o eixo dos x,
partindo da origem. No primeiro minuto, ela avança 1 unidade para
a direita; no segundo minuto ela retrocede 0,5 unidade; no terceiro
minuto ela avança 0,25 unidade; e assim sucessivamente alternando
27
avanços com retrocessos, as distâncias percorridas formando uma pro-
gressão geométrica. O limite daabscissa da partícula quando o tempo
tender para o infinito é:
a)
1
2
b)
2
3
c)
3
4
d)
3
5
e)
7
10
4. O vigésimo termo de uma seqüência, na qual para todo inteiro n a soma
dos n primeiros termos vale 1
n
é:
a)
1
20
b)
1
342
c)
1
380
d)− 1
342
e)− 1
380
5. Decida se as séries abaixo convergem ou não.
(a)
∑− 1
n
(b)
∑
(−1)n 1
n
6. Em cada item ou dê um exemplo, explicando que seu exemplo é correto
ou justifique porque é impossíveldar um exemplo.
(a) Uma seqüência que seja decrescente e ilimitada.
(b) Uma série divergente, cujo termo geral tenda a zero. Isto é,
∑
an
diverge, mas lim an = 0.
(c) Uma série que convirja, mas não convirja absolutamente. Istoé∑
an converge, mas
∑ |an| não converge.
(d) Uma série tal que
∑ |an| seja convergente, mas ∑ an nãoconvirja.
(e) Uma seqüência ilimitada que possua uma subseqüência conver-
gente.
(f) Uma série tal que é classificada como convergente, se usamos o
teste da razão, mas divergente se usamos o teste da raiz.
(g) Uma série
∑
an que seja convergente, mas lim
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ não seja me-
nor que 1.
(h) Uma série
∑
an que seja convergente, mas que lim n
√
|an| não seja
menor que 1.
(i) Uma série
∑
an divergente, mas quelim
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ não seja maior que
1.
28
(j) Uma série
∑
an que seja divergente, masque lim n
√
|an| não seja
maior que 1.
7. Calcule lim an, para (an) dada em cada item, dizendo se as seqüências
são ou não convergentes.
(a) an = n
√
n
(b) an = (
√
n2 + 12n− 15− n)
(c) an = ncos( 1n)
(d) an = nsen( 1n)
(e) an = 1ncosn
(f) an =
∑n
k=1 e
−k
(g) an =
∫ n
2
1
x2−xdx Dica: para resolver a integral observe que x
2−x =
x(x− 1) e use frações parciais.
8. Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
(a)
∑( 1
k
sen
(
1
k
))
. Sugestão: Compare 1
k
sen
(
1
k
)
e 1
k2
(b)
∑
senk
(c)
∑
(−1)k+1 1
2k
(d)
∑ 1
k
1
3
(e)
∑ 1
k!
7 Noções de Topologia
A topologia é um ramo da Matemática no qual são estudadas, com grande
generalidade, as noções de limite, continuidade e idéias relacionadas a estes
conceitos.
Definição 9 (Ponto interior) Diz-se que um ponto a é interior ao con-
junto X ⊂ R quando existe um número real � > 0 tal que o intervalo aberto
(a− �, a+ �) ⊂ X. Denominaremos interior de X e denotaremos por int(X),
o conjunto de todos os pontos interiores a X.
Definição 10 (Vizinhança) Quando a ∈ int(X) diz-se que X é uma vizi-
nhança do ponto a.
29
Definição 11 (aberto) Um conjunto A ⊂ R chama-se aberto, quando A =
int(A), isto é quando todos os pontos de A são interiores a A.
Definição 12 (ponto aderente) Diz-se que um ponto a ∈ é aderente ao
conjunto X ⊂ R quando a é o limite de alguma seqüência xn ∈ X.
Definição 13 (fecho) Chama-se fecho de um conjunto ao conjunto X for-
mado por todos os pontos aderentes a X.
Definição 14 (fechado) Um conjunto X ⊂ R diz-se fechado quando X =
X
Definição 15 (denso) Seja X ⊂ Y . Diz-se que X é denso em Y quando
Y ⊂ X, isto é, quando todo ponto b ∈ Y é aderente a X.
Definição 16 (cisão) Uma cisão de um conjunto X ⊂ R é uma decompo-
sição X = A ∪ B tal que A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅. Em particular, nenhum
ponto de A é aderente a B e nenhum ponto de B é aderente a A.
Definição 17 (cisão trivial) Seja X = A ∪ B uma cisão de X. Se A = ∅
ou B = ∅, a cisão é denominada cisão trivial.
Definição 18 (conexo) Um conjunto X denomina-se conexo quando ad-
mite somente a cisão trivial.
Definição 19 (Ponto de acumulação) Seja X ⊂ R. Dizemos que a ∈ R
é ponto de acumulação de X se para todo intervalo aberto U ⊂ R tal que
a ∈ U existe p 6= a tal que p ∈ U ∩X. O conjunto de pontos de acumulação
de X é denotado por X ′.
Definição 20 (ponto isolado) Se a ∈ X não é ponto de acumulação de
X, então a é um ponto isolado de X, isto é, ∃� > 0 tal que a é o único ponto
de X no intervalo (a− �, a+ �).
Definição 21 (conjunto limitado) X ⊂ R é dito limitado quando existe
c ∈ R tal que
|x| ≤ c, ∀x ∈ X
Definição 22 (conjunto discreto) Se todos os pontos de X forem isola-
dos, diz-se que X é um conjunto discreto.
30
Teorema 17 Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equiva-
lentes:
1. a é ponto de acumulação de X
2. a é limite de uma seqüência de pontos de xn ∈ X − {a}.
3. Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de
X.
Definição 23 (conjunto compacto) Um conjunto X ⊂ R é dito com-
pacto quando é limitado e fechado.
Exercícios:
1. Para cada um dos conjuntos X ⊂ R
¯
abaixo, determine int(X) e diga
se o conjunto é aberto. Determine também X e diga se o conjunto é
fechado. Para cada um dos conjuntos calcule X ′. Diga se cada um dos
conjuntos é limitado. Diga se cada um dos conjuntos é compacto. Diga
se cada um dos conjuntos abaixo é discreto.
(a) X = {1, 2, . . . , n}
(b) X = {x1, x2, . . . , xn}
(c) X = (a, b) =]a, b[
(d) X = (−∞, b)
(e) X = (a,∞)
(f) X = [a, b]
(g) X = [c,∞)
(h) X = (−∞, d)
(i) X = (−∞, d]
(j) X = {a+ 1
n
, n ∈ N}
(k) X = N
(l) X = Q
(m) X = ∅
(n) X = R
31
2. Dê exemplo, se possível de um conjunto fechado, cujo complementar
seja aberto.
3. Dê exemplo, se possível de um conjunto aberto, cujo complementar seja
fechado.
4. Dê exemplo, se possível de um conjunto fechado, cujo complementar
seja fechado.
5. Dê exemplo, se possível de um conjunto aberto, cujo complementar seja
aberto.
6. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Se A1 e A2 são abertos então A1 ∩ A2 é aberto?
(b) Se A1 e A2 são abertos então A1 ∪ A2 é aberto?
(c) Se A1 e A2 são fechados então A1 ∩ A2 é fechado?
(d) Se A1 e A2 são fechados então A1 ∪ A2 é fechado?
(e) Se (Aλ)λ∈L é uma família qualquer de conjuntos abertos então
A = ∪λ∈LAλ é um conjunto aberto?
(f) Se (Aλ)λ∈L é uma família qualquer de conjuntos abertos então
A = ∩λ∈LAλ é um conjunto aberto?
(g) Se (Aλ)λ∈L é uma família qualquer de conjuntos fechados então
A = ∪λ∈LAλ é um conjunto fechado?
(h) Se (Aλ)λ∈L é uma família qualquer de conjuntos fechados então
A = ∩λ∈LAλ é um conjunto fechado?
(i) Q é denso em R?
(j) Um conjunto é fechado se e somente se seu complementar é aberto?
(k) Existem conjuntos que são abertos e fechados?
(l) Existem conjuntos que não são nem abertos nem fechados?
(m) ]0, 1] = { 1
n
, n ∈ N}?
(n) Um ponto a ∈ R é aderente a um conjunto X ⊂ R se e somente
se dado � > 0 entõa X ∩ (a− �, a+ �) 6= ∅?
(o) Se X ⊂ R, então X ⊂ X?
(p) Se X ⊂ R, então X ⊂ X?
32
(q) Se X ⊂ R, então X ⊂ X ′?
(r) Se X ⊂ R, então X ′ ⊂ X?
(s) Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo me-
nos um ponto de acumulação.
8 Limite e continuidade de funções
Definição 24 (Limite de função) Seja f : X ⊂ R → R e seja a um
ponto de acumulação de X. Diz-se queo número real L é o limite de f(x)
quando x tende a ae denota-se
lim
x→a
f(x) = L,
quando dado � > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < �
Definição 25 (Continuidade de função em um ponto) Seja f : X ⊂
R→ R, seja a ∈ X. Diz-se quef é contínua em aquando dado � > 0, existe
δ > 0 tal que
|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < �
Definição 26 (Continuidade de função) Diz-se que uma função é con-
tínua quando é contínuaem todos os pontos do seu domínio.
Exercícios
1. Verdadeiro ou falso? Justifique
(a) Se f é contínua em a então
lim
x→a
f(x) = f(a)
(b) lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= 0
Teorema 18 Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′, lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M .
Se L < M então existe δ > 0 tal que f(x) < g(x), sempre que 0 < |x−a| < δ,
com x ∈ X.
33
Teorema 19 (Teorema do Sanduíche) Sejam f, g, h : X → R, a ∈ X ′
e lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x),∀x ∈ X − {a} então
limx→a h(x) = L
Demonstração: Dado � > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ1 → L− � < f(x) < L+ �
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ2 → L− � < f(x) < L+ �
Tome δ = min{δ1, δ2}. Então
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ → L− � < f(x ≤ h(x) ≤ g(x) < L+ �,
assim lim
x→a
h(x) = L
CQD
Teorema 20 Sejam f : X → R
¯
e a ∈ X ′. A fim de que seja lim
x→a
f(x) = L é
necessário e suficiente que, para toda seqüência de pontos xn ∈ X −{a} com
limxn = a, tenha-se lim f(xn) = L.
Teorema 21 (Unicidade do limite)Sejam f : X → R e a ∈ X ′. Se
lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
f(x) =M então L =M .
Demonstração: Seja � > 0,existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ1 ⇒ |f(x)− L| < �2
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ2 ⇒ |f(x)−M | < �2
Tome δ = min{δ1, δ2}. Assim usando a desigualdade triangular:
x ∈ X e 0 < |x− a| < δ ⇒ |L−M | = |L− f(x) + f(x)−M |
≤ |L− f(x)|+ |M − f(x)| < �
2
+
�
2
= �,
logo L =M . Observe que como a é ponto de acumulação de X efetivamente
existe x ∈ X tal que 0 < |x− a| < δ.
CQD
Exercício: Demonstre este resultado usando o teorema anterior e a uni-
cidade de limite para seqüência.
Teorema 22 (Operações com limites) Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′,
com limx→a f(x) = L e limx→a g(x) =M . Então:
1. lim
x→a
(f(x) + g(x)) = L+M
34
2. lim
x→a
(f(x)g(x)) = LM
3. lim
x→a
(
f(x)
g(x)
)
=
L
M
, se M 6= 0
Além disso, se lim
x→a
f(x) = 0 e g é limitada numa vizinhança de a tem-se
lim
x→a
(f(x)g(x)) = 0.
Teorema 23 (Valor intermediário) Seja f : [a, b] → R contínua. Se
f(a) < d < f(b) então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.
Teorema 24 A imagem f(X) de um conjunto compacto X ⊂ R por uma
função contínua f : X → R é um conjunto compacto.
Corolário: Se X ⊂ R é compacto então toda função f : X → R é
limitada, isto é , existe c > o tal qeu |f(x) ≤ c para todo x ∈ X.
Exerxícios:
1. Seja a função f definida pr f(x) = 5x − 2,∀x ∈ R. Determine L tal
que lim
x→2
f(x) = L. Encontre um δ tal que para � = 0, 01 tenha-se
0 < |x− 2| < δ ⇒ |f(x)− L| < �
Interprete geometricamente.
2. Usando a definição demonstre que lim
x→1
(3x+2) = 5. Interprete geomen-
tricamente.
Limites laterais
Definição 27 Sejam f : X → R, a ∈ X ′+, onde X+ = {x ∈ X tais que x >
a}. Diz-se que um número real L é limite à direita de f(x) quando x tende
para a qando para todo � > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal
que |f(x)− L| < � sempre que x ∈ X e 0 < x− a < δ. Isto é
lim
x→a+
= L ≡ ∀� > 0;x ∈ X ∩ (a, a+ δ)⇒ |f(x)− L| < �
35
Definição 28 Sejam f : X → R, a ∈ X ′−, onde X− = {x ∈ X tais que x >
a}. Diz-se que um número real L é limite à esquerda de f(x) quando x tende
para a qando para todo � > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal
que |f(x)− L| < � sempre que x ∈ X e −δ < x− a < 0. Isto é
lim
x→a−
= L ≡ ∀� > 0;x ∈ X ∩ (a− δ, a)⇒ |f(x)− L| < �
As propriedades gerais dos limites, demonstradas anteriormente se adap-
tam facilmente para os limites laterais.
Teorema 25 Seja I um intervalo aberto tal que a ∈ I e seja f uma função
definida para x ∈ I − {a}. Temos
lim
x→a
f(x) = L⇔
 existirem limx→a+ f(x) e limx→a− f(x)lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L
Exercícios
1. Dada a função f definida por
f(x) =

3x− 2, se x > 1
2 se x = 1
4x+ 1, se x < 1
,
faça seu gráfico e calcule, caso exista:
(a) lim
x→1+
f(x)
(b) lim
x→1−
f(x)
(c) lim
x→1
f(x)
2. Dada a função f definida por f(x) = |x|
x
, x ∈ R∗. Faça o gráfico e
calcule caso exista
(a) lim
x→1+
f(x)
(b) lim
x→1−
f(x)
(c) lim
x→1
f(x)
36
Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas
Definição 29 Seja X ⊂ R ilimitado superiormente. Dada f : X → R,
escreve-se lim
x→∞
f(x) = L, quando o número real L satisfaz á seguinte condi-
ção:
∀� > 0∃A > 0; (x ∈ X, x > A⇒ |f(x)− L| < �),
ou seja, dado arbitrariamente � > 0, existe A > 0 tal que L−� < f(x) < L+�,
sempre que x > A.
Definição 30 Seja X ⊂ R ilimitado inferiormente. Dada f : X → R,
escreve-se limx→−∞ f(x) = L, quando o número real L satisfaz á seguinte
condição:
∀� > 0∃A > 0; (x ∈ X, x < −A⇒ |f(x)− L| < �)
Exemplos:
1. Faça o gráfico de f(x) = 1
x
. Calcule lim
x→∞
f(x), lim
x→−∞
f(x), lim
x→0+
f(x)
lim
x→0−
f(x)
2. Faça o gráfico de f(x) = senx. Calcule, caso exista lim
x→∞
f(x)
Definição 31 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′, f : X → R. Dizemos que lim
x→a
f(x) =
∞, quando para cada A > 0 dado arbitrariamente, existe δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ, x ∈ X ⇒ f(x) > A
Exemplo:
lim
x→a
1
(x− a)2
=∞.
De fato, dado A > 0, tomemos δ = 1√
a
. Então
0 < |x− a| < δ ⇒ 0 < (x− a)2 < 1
A
⇒ 1
(x− a)2
> A
Esboce o gráfico de f(x) = 1
(x−a)2 e interprete geometricamente.
37
Definição 32 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′, f : X → R. Dizemos que lim
x→a
f(x) =
−∞, quando para cada A > 0 dado arbitrariamente, existe δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ, x ∈ X ⇒ f(x) < −A
Exemplo:
lim
x→a
−1
(x− a)2
= −∞.
De fato, dado A > 0, tomemos δ = 1√
a
. Então
0 < |x− a| < δ ⇒ 0 < (x− a)2 < 1
A
⇒ 1
(x− a)2
> A⇒ − 1
(x− a)2
< −A
Esboce o gráfico de f(x) = − 1
(x−a)2 e interprete geometricamente.
Observação: Claramente ∞ e −∞ não são números reais, de modo que
as afirmações lim
x→a
f(x) = ∞ e lim
x→a
f(x) = −∞ não exprimem limites no
sentido estrito do termo.
Expressões indeterminadas: 0/0, ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 00, ∞0, 1∞.
Suponhamos que limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0 e que, pondo Y = {x ∈
X|g(x) 6= 0}, ainda se tenha a ∈ Y ′. Então f(x)
g(x)
está definida quando x ∈ Y
Neste exemplo trata-se de uma inderminação 0/0. Apenas com o conheci-
mento do tipo de indeterminação não é possível determinar o valor do limite,
ou mesmo, se ele existe. Dependendo das funções f e g as respostas são
diferentes.
Exercício:
1. Diga o tipo de indeterminação e calcule (caso haja )
lim
x→0
f(x)
g(x)
para f, g estabelecidas em cada um dos itens abaixo:
(a) f(x) = cx, onde c é constante real e g(x) = x
(b) f(x) = xsen( 1
x
), x 6= 0 e g(x) = x
2. Diga o tipo de indeterminação e calcule (caso haja )
lim
x→0
(f(x)− g(x))
para f, g estabelecidas em cada um dos itens abaixo:
38
(a) f(x) = c+ 1
(x−a)2 , x 6= a e g(x) =
1
(x−a)2 , x 6= a
(b) f(x) = sen 1
x−a +
1
(x−a)2 , x 6= a e g(x) =
1
(x−a)2 , x 6= a
9 Derivadas
Definição 33 (Derivada) Sejam f : X → R e a ∈ X ⊂ X ′. A derivada
da função f no ponto a é o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Bem entendido, o limite acima pode existir ou não. Se existir,diz-se que f
é derivável no ponto a. Quando a derivadaf ′(x) existir em todos os pontos
x ∈ X ∩X ′ diz-se que a função f : X ⊂ R→ R é derivável e obtem-se uma
nova função f ′ : X ⊂ R→ R chamada função derivada.
Exercícios:
1. Prove que a derivada de uma constante é zero.
2. Calcule pela definição as derivadas das seguintes funções:
(a) f(x) = x2
(b) f(x) = x3
(c) f(x) = 1
x
(d) f(x) =
√
x
(e) f(x) = senx
3. Seja f uma função derivável. Suponha que f ′ é contínua. Sabe-se que
a reta tangente ao grá fico da função f no ponto (3,2) também passa
pelo ponto (-2,5). Pede-se calcular f ′(3) e determinar se f é crescente
em uma vizinhança de 3.
4. Verdadeiro ou falso. Justifique.
(a) Toda função contínua é derivável.
(b) Se f ′(p) = 0 então f assume um máximo ou um mínimo relativo
em p.
39
item Faça o gráfico de uma função f que possua as seguintes caracte-
rísticas simultaneamente.
(a) Tenha derivada positiva no intervalo ]2,5[.
(b) f(3) = −7
(c) Não tenha limite em x=8.
(d) f(8) = 1
5. Encontre uma fórmula para a derivada da soma e para a derivada do
produto de duas funções f e g deriváveis.
6. Sejam f e u funções deriváveis cujo domínio sejaR. Prove que (f(u(x)))′ =
f ′(u(x))× u′(x)
7. Calcule a derivada de f(x) = cos x
8. (Regra de L’Hospital] Suponha que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0. Suponha
também f e g deriváveis em a, com g′(a) 6= 0. Prove que:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
9. Prove que se f(x) = xn, com n ∈ N , então f ′(x) = nxn−1
10. Prove que se se f é derivável em um ponto P então f é contínua em P.
11. Prove que se f : U → R (onde U é um intervalo aberto) é derivável e
assume um máximo relativo em P ∈ U , então f ′(P ) = 0.
12. Faça o gráfico de uma função f que possua asseguintes características
simultaneamente.
(a) Tenha derivada positiva no intervalo ]2,5[.
(b) f(3) = −7
(c) Não tenha limite em x=8.
(d) f(8) = 1
13. Esboce (se possível ) o gráfico de uma função que possua derivada 4
em x = −2.
40
14. Esboce (se possível) o gráfico de uma função estritamente positiva, cuja
derivada seja estritamente negativa.
15. Esboce (se possível o gráfico de uma função que não possua nemmá-
ximo nem mínimo relativo.
16. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Toda função contínua é derivável?
(b) Se f’(P)=0 então ou há um máximo relativo, ou há um mínimo
relativo em P .
(c) Se f ′′(P ) = 0 então (P, f(P )) é ponto de inflexão.
(d) Se (P, f(P )) é ponto de inflexão e f possui segunda derivada então
f ′′(P ) = 0
17. Como pagamento por um serviço prestado no campo, João recebeu o
direito de escolher um pedaço de terra retangular.Seu patrão forneceu
a ele um barbante de 28 metros de comprimento, o retângulo que João
cercasse com tal barbante seria seu ede sua família. Quais as dimensões
do retângulo que proporcionam a João um terreno maior possível? Qual
o valor da maior área possível para o terreno de João?
18. Maria quer reservar um pedaço retangular de 16m2 para seu cão feroz.
Maria também quer cercar este terreno e sabe queo metro da cerca que
deseja (uma cerca com 3 metros de altura, e por cortesia, portão sob
encomenda no lugar desejado) custa 10 reais. Quais as medidas do
retângulo com 16 m2 que fariam Maria economizar o mais possível com
a cerca?Qual o preço mínimo que Maria pagaria para colocar a cerca
que deseja?
19. Com 80m de cerca uma família deseja circundar umaárea retangular
junto a um rio para confinar alguns animais,mas sem impedir o acesso
ao rio. Quais devem ser as medidas doretângulo para que a área seja a
maior possível?
20. Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão.A companhia
exigiu de cada passageiro 800 reais mais 10 por cada lugar vago. Para
que número de passageirosa rentabilidade da empresa é máxima?
41
21. Maria é vendedora de picolés. Ela vende, em média, 300 caixas de pico-
lés por 20 reais cada. Entretanto percebeuque, cada vez que diminuía
um real no preço da caixa,vendia 40 caixas a mais. Quanto ela deveria
cobrar para quea receita fosse máxima?
Teorema 26 (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] ⊂ R → R contínua em
[a,b] e derivável em (a,b). Suponha que f(a) = f(b) Então existe c ∈ (a, b)
tal que f ′(c) = 0
Teorema 27 ( Valor Médio) Seja f : [a, b] ⊂ R→ R contínua em [a,b] e
derivável em (a,b). Então existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a))
b−a
Atividade no Winplot:
Atividade 1
1) Escolha o menu dim2, depois equa, depois y = f(x). Digite a função
f(x) = −x2 + 4x− 1. Use o domínio 1 ≤ x ≤ 3.
2) Escolha o menu dim2, depois equa, depois x = f(t). Faça a reta
(t, 2), 1 ≤ t ≤ 3.
3)Calcule f(1) e f(3). Pelo Teorema de Rolle, existe c tal que f’(c)=0.
Neste exemplo quem seria c?
4)Considere f(x) = −x2 + 4x − 1, no intervalo 1 ≤ x ≤ 4). Trace no
Winplot a r reta que passa por (1, f(1)) e (4, f(4)).
5) Escolha c que satisfaça o Teorema do valor médio. Trace uma reta
paralela a r, passando pelo ponto (c, f(c)). Interprete geometricamente
Atividade 2:
No menu dim2, two, combination, faça a diferença das funções f(x) =
−x2 + 4x − 1 e g(x) = −x + 3, h(x) = f(x) − g(x). Calcule h(1) e h(4).
Suponha h definida no intervalo [1,4] e escolha c adequado ao teorema de
Rolle. Interprete geometricamente.
Exercícios
1. (Provão 2001 - Questão 27) Segundo o Teorema do Valor Médio, se
uma dada função é contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no
intervalo aberto (a,b), existe um ponto c ∈ (a, b) tal que:
(a) f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)
(b) f ′(c) está entre f(a) e f(b)
42
(c) f ′(c) = 0
(d) f(b)− f(a) = f ′(c)
(e) f ′(c) = f(a)+f(b)
2
2. Prove o Teorema do Valor Médio. Sugestão: Use o Teorema de Rolle.
3. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
(a) Se f : [a, b] ⊂ R → R é contínua em [a,b] e derivável em (a,b),
então existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
(b) Se f : [a, b] ⊂ R → R é contínua em [a,b] e f(a) = f(b), então
existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
(c) Se f : [a, b] ⊂ R → R é derivável em (a,b) e f(a) = f(b), então
existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
4. Exiba uma função f que satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor
Médio, mas não satisfaça as hipóteses do Teorema de Rolle. Se o do-
mínio de f é o intervalo [a, b] exiba c tal que f ′(c) = f(b)−f(a)
b−a
10 Integrais
Definição 34 (Partição) Uma partição do intervalo [a, b] é um subconjunto
finito de pontos P = {t0, t1, . . . , tn} ⊂ [a, b] tal que a = t0 < t1 < t2 < . . . <
tn = b. O intervaloδti = [ti−1, ti] de comprimento ti − ti−1.
Exercício: Calcule
∑n
i (ti)− ti−1
Definição 35 (Refinamento) Sejam P e Q partições do intervalo [a, b].
Dizemos qeu Q refina P quando P ⊂ Q.. A maneira mais simples de refinar
uma partição é acrescentar-lhe um ponto.
Notação: Dada uma função limitada f : [a, b] → R, usaremos as nota-
ções:
m = inf{f(x), x ∈ [a, b]},
M = sup{f(x), x ∈ [a, b]},
mi = inf{f(x), x ∈ [ti−1, ti]},
Mi = sup{f(x), x ∈ [ti−1, ti]}
wi = Mi −mi
43
Definição 36 (Soma inferior) A soma inferior de f em relação a uma
partição P é o número
s(P ; f) =
n∑
i
mi(ti − ti−1)
Definição 37 (Soma superior) A soma superior de f em relação a uma
partição P é o número
S(P ; f) =
n∑
i
Mi(ti − ti−1)
Definição 38 (integral inferior) A integral inferior da função limitada
f : [a, b]→ R é definida por:∫ b
a
f(x)dx = sup
P
s(f ;P )
Definição 39 (integral superior) A integral superior da função limitada
f : [a, b]→ R é definida por:
∫ b
a
f(x)dx = inf
P
S(f ;P )
Definição 40 (integral de Riemann) Uma função limitada f : [a, b] →
R diz-se integrável quando sua integral inferior e sua integral superior são
iguais. Esse valor comum chama-se integral (de Riemann) de f e é indicado
por
∫ b
a f(x)dx. Em particular:∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx
Teorema 28 (Condição imediata de integrabilidade) Seja f : [a, b]→
R limitada. As seguintes afirmações são equivalentes:
1. f é integrável.
2. Para todo � > 0 existem partições P,Q de [a, b] tais que
S(f ;Q)− s(f ;P ) < �.
44
3. Para todo � > 0, existe uma partição P = {t0, t1, . . . , tn} de [a, b] tal
que
S(f ;P )− s(f ;P ) =
n∑
i=1
wi(ti − ti−1)
Teorema 29 Seja a < c < b. A função limitada f : [a, b] → R é integrá-
vel se, e somente se, suas restrições f |[a,c] e f |[c,b] são integráveis. No caso
afirmativo, tem-se ∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Teorema 30 Sejam f, g : [a, b]→ R integráveis. Então:
1. A soma f + g é integrável e∫ b
a
(f(x) + g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx
2. O produto fg é integrável. Se c ∈ R,∫ b
a
cf(x)dx = c
∫ b
a
f(x)dx
3. Se 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b] entõa o quociente f
g
é inegrável.
4. Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] então∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx
5. |f | é integrável e ∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ ≤
∫ b
a
f(x)dx
Teorema 31 Toda função contínua f : [a, b]→ R é integrável.
Observação: A demonstração deste resultado usa o conceito de continuidade
uniforme, que não foi visto no curso.
Teorema 32 Toda função monótona é integrável.
45
Teorema 33 ( Fundamental do Cálculo) Se f : I → R é contínua no
intervalo I. As seguintes afirmações a respeito de uma função F : I → são
equivalentes:
1. F é uma integral indefinida de f , isto é, existe a ∈ I tal que∫ x
a
f(t)dt = F (x)− F (a),∀x ∈ I
2. F é uma primitiva de f , isto é F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I
Teorema 34 (Mudança de Variáveis) Sejam f : [a, b] → R contínua,
g : [c, d]→ R com derivada contínua e g([c, d]) ⊂ [a, b]. Então
∫ g(d)
g(c)
f(x)dx =
∫ d
c
f(g(t))g′(t)dt
Teorema 35 (Integração por partes) Se f, g : [a, b] → R possuem deri-
vadas contínuas então:∫ b
a
f(x)dx = fg|ba −
∫ b
a
f ′(x)g(x)dx
Exercícios:
1. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Seja qual for a partição P vale a desigualdade
m(b− a) ≤ s(f ;P ) ≤ S(f, P ) ≤M(b− a)
(b) Seja qual for a partição P temos
S(f ;P )− s(f ;P ) =
n∑
i
wi(ti − ti−1)
(c) Quando se refina uma partição a soma inferior não diminui, ou
seja, s(f ;P ) ≤ s(f ;Q).
(d) Quando se refina uma partição a soma superior não aumenta, ou
seja, S(f ;Q) ≤ S(f ;Q).
46
(e) Seja f : [a, b]→ R definida por
f(x) =
{
0 , se x ∈ Q
1 , se x ∈ R−Q
é (Riemann) integrável?
2. Encontre a integral
∫ 2
0 xdx pela soma de Riemann e pelo Teorema Fun-
damental do Cálculo. Compare os resultados.
3. Encontre a integral
∫ 3
0 x
2dx pela soma de Riemann. e pelo TeoremaFundamental do Cálculo. Compare os resultados. Sugestão: Use que
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Esta igualdade pode ser demonstrada por indução ou utilizando-se
=
n∑
1
(k + 1)3 =
n∑
1
(k3 + 3k2 + 3k + 1)
4. Demonstre o Teorema Fundamental do Cálculo.
5. Considere a função f dada pelo gráfico abaixo. Se A1 é a área entre o
gráfico de f , o eixo x e a reta x = a e A2 é a área entre o gráfico de f ,
o eixo x e a reta x = b. Quanto vale
∫ b
a f(x)dx. Este valor é positivo?
Série de Potências
Professora Fátima
11 Convergência e convergência uniforme
Definição 41 (covergência pontual)Dizemos que uma seqüência de funções
fn(x) : D ⊂ R→ R converge pontualmente para uma função f quando para
cada x a seqüência fn(x) converge para f(x), isto é, dado � > 0 existe N0
(dependente de x e de �) tal que
n > N0 ⇒ f(x)− � < fn(x) < f(x) + �
47
Definição 42 (convergência uniforme) Dizemos que uma seqüência de fun-
ções fn(x) : D ⊂ R→ R converge uniformemente para uma função f quando
dado � > 0 existe N0 (dependente apenas de �) tal que
n > N0 ⇒ f(x)− � < fn(x) < f(x) + �,∀x ∈ D
Exemplo 1: A seqüência fn(x) = xn , fn(x) : R → R converge pon-
tualmente para a função f(x) = 0 mas não uniformemente. No entanto se
restringimos o domínio para o intervalo [0,1] a convergência é uniforme. Neste
último caso, dado � > 0 , escolhendo N0 > � todas as funções fn(x) = xn com
n > N0, assumirão valores menores que �, quando 0 ≤ x ≤ 1. Na figura
usamos � = 0, 2.
Os conceitos de convergência simples e uniforme de seqüências de funções
se aplicam naturalmente para séries de funções
∑
fn(x), que podem ser vistas
como uma seqüência (gn(x)) dada por
gn(x) =
n∑
k=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + . . . fn(x)
Teorema 36 (Teste M de Weierstrass) Seja fn uma seqüência de fun-
ções com o mesmo domínio D, satisfazendo a condição |fn(x)| ≤ Mn para
todo x ∈ D, onde ∑Mn é uma série numérica convergente. Então a série∑
fn(x) converge absoluta e uniformemente em D.
Demonstração: Como |fn(x)| ≤ Mn e
∑
Mn converge pelo teste da
comparação vem que
∑ |fn(x)| converge (pontualmente). Como ∑Mn con-
verge, dado � > 0 existe N0 ∈ N tal que se n > N0 então
∑∞
j=n+1Mn < �
Assim, para todo x ∈ D temos
n > N0 ⇒
∣∣∣∣∣∣f(x)−
n∑
j=1
fj(x)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=n+1
fj(x)
∣∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
j=n+1
Mj < �,
portanto a convergência é uniforme.
#
Exemplo: A série
∑ cos(nx)
n!
converge uniformemente em toda reta, pois∣∣∣ cos(nx)
n!
∣∣∣ ≤ 1
n!
e
∑ 1
n!
converge.
48
12 Série de Potências
Um exemplo importante de séries de funções são as séries de potências
dadas por
∑
an(x− x0)n onde x0 e os coeficientes an são constantes. A série
é dita centrada em x0 ou desenvolvida em torno de x0.
Por exemplo:
∞∑
n=0
(x− 1)n
n!
= 1 + (x− 1) + 1
2
(x− 1)2 + 1
3!
(x− 1)3 + . . .
é uma série de potências onde an = 1n! e está centrada em x0 = 1.
Usando o teste M de Weierstrass verifica-se neste exemplo que em cada
intervalo fechado centrado em x0 = 1 a série converge uniformemente.
Tomando y = x− x0 notamos que basta estudarmos as séries
∑
any
n, ou
seja, séries com centro em x0 = 0.
Teorema 37 Uma série de potências
∑
anx
n, ou converge apenas para x = 0
ou existe r, com 0 < r ≤ ∞ tal que a série converge absolutamente no inter-
valo aberto (−r, r) e diverge fora do intervalo fechado [-r,r]. Nos extremos -r
e r, a série pode convergir ou divergir. Se existir L = lim n
√
|an|(obtido pelo
teste da raiz), ou ainda L = lim
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ (obtido pelo teste da razão), L 6= 0,
então r = 1
L
. O número r chama-se raio de convergência da série.
Teorema 38 (Unicidade de representação da série de potências) Se
uma função f admite desenvolvimento em série de potências e torno de um
ponto x0, esse desenvolvimento é único.
Definição 43 Quando a série de potências
∑
an(x− x0)n tem raio de con-
vergência r > 0, diz-se que ela é a série de Taylor, em torno do ponto x0, da
função f : (x0 − r, x0 + r)→ R, definida por f(x) =
∑
an(x− x0)n.
Muitas das funções importantes da matemática admitem desenvolvimento
em série de Taylor. Podemos pensar na função como sendo aproximada por
uma seqüência de polinômios convergindo uniformemente para a função em
questão.
Teorema 39 Toda série de potências
∑
anx
n, com raio de convergência r >
0 (r podendo ser infinito) converge uniformemente em todo intervalo [−c, c]
onde 0 < c < r.
49
Exercícios:
1. Prove que as séries abaixo convergem uniformemente em R:
a)
∞∑
n=1
1
n2 + x2
b)
∞∑
n=0
sen(nx)
n2 + cos(nx)
2. Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência para
cada uma das séries abaixo:
(a)
∑ xn
n!
(b)
∑ xn
n2
(c)
∑ xn
n
(d)
∑
xn
(e)
∑∞
n=1
(x−3)n
n
(f)
∑∞
n=1
3n
n3
xn
3. Determine o domínio da função f(x) =
∑∞
n=1 n
nxn
4. Determine uma expressão para o raio de convergência usando o teste
da raiz e usando o teste da razão.
12.1 Aproximação por polinômio de Taylor
Definição 44 (polinômio) Dizemos que p : I ⊂ R → R é um polinômio
se
p(x) = a0+a1x+a2x
2+. . . anx
n, onde a0, a1, . . . ansão constantes reais, x ∈ I,
onde I é um intervalo real.
Como polinômios são funções fáceis de lidar: fáceis de integrar, derivar,
etc, surgiu a idéia de aproximar funções por polinômios. Escrever uma função
como série de potências é aproximá-la por uma seqüência de polinômios, isto
é, estabelecer uma seqüência de polinômios que convirja uniformemente para
esta função num dado intervalo.
50
Teorema 40 Se f : I ⊂ R→ R é k vezes diferenciável em a ∈ I então para
todo h ∈ R tal que a+ h ∈ I tem-se:
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+
f ′′(a)
2!
h2 +
f ′′(a)
3!
h3 . . .+
f [n](a)
n!
hn + r(h),
onde limh→0 r(h)hn = 0. Além disso
p(h) =
n∑
k=0
f [k](a)
k!
hk
é o único polinômio de grau menor ou igual a n tal que
f(a+ h) = p(h) + r(h), com lim
h→0
r(h)
hk
= 0
p(h) descrito acima é o polinômio de Taylor de ordem n para f em torno de
a.
Idéia da demonstração Usando a regra de L’Hospital pode-se mostrar
que
lim
h→0
r(h)
hk
= 0⇔ r[k](0) = 0,
resultado que usaremos no esboço da demonstração. Seja
f(a+ h) = a0 + a1h+ a2h
2 + a3h
3 + a4h
4 + . . .+ anh
n + r(h) (2)
O objetivo é calcular a0, a1, . . . , an, e concluir que ak = f
[k](a)
k!
, onde 0 ≤
k ≤ n. Calculando limite quando h tende a zero em ambos os membros da
igualdade obtemos
f(a+ 0) = a0 + a1 × 0 + a2 × 02 + . . .+ an0n + r(0),
isto é , a0 = f(a) Derivando ambos os membros da igualdade (2) temos
f ′(a+ h) = a1 + 2a2h+ 3a3h
2 + 4a4h
3 + . . .+ nanh
n−1 + r′(h) (3)
Calculando o limite quando h tende a zero nesta última igualdade encontra-
mos a1 = f ′(a). Derivando ambos os membros de (3) e calculando o limite
quando h tende a zero na igualdade
f ′′(a+ h) = 2a2 + 3× 2a3h+ 4× 3a4h2 + . . .+ n(n− 1)anhn−2 + r′′(h) (4)
51
obtida obtemos a2 = f
′′(a)
2
. Derivando ambos os membros da igualdade (4) e
calculando o limite quando h tende a zero obtemos a3 = f
′′′(a)
3!
. Procedendo
assim podemos calcular cada um dos novos coeficientes.
#
Teorema 41 Se
∑ f [k](a)
k!
hk converge uniformemente para |h| < r, então
f(a+ h) =
∑ f [k](a)
k!
hk para h ∈ (−r, r)
A expressão no membro direito da igualdade acima é a série de Taylor de f
em torno de a.
Exemplo : Tomando a = 0 e h = x e fazendo os cálculos obtemos
ex =
∞∑
k=0
xk
k!
.
A série que aparece no membro direito da igualdade acima converge para todo
valor de x, portando R = ∞ e para todo intervalo fechado [−ρ, ρ] em torno
de zero a série converge uniformemente. Assim dado � > 0 existe N0 ∈ N tal
que todo polinômio p(x) = 1 + x+ x2
2!
+ x
3
3!
+ . . .+ x
n
n!
, com n > N0 é tal que
ex − � < p(x) < ex + �
Exemplo A seqüência fn(x) = xn converge no itenrvalo fechado [0, 1]
para a função
f(x) =
{
0, se x ∈ [0, 1)
1, se x = 1
mas a convergência não é uniforme neste intervalo.
Teorema 42 Se fn é uma seqüência de funções contínuas num mesmo domí-
nio D, que converge uniformemente para uma função f , então f é contínua
em D.
Teorema 43 Se fn é uma seqüência de funções contínuas num mesmo do-
mínio D = [a, b], que converge uniformemente para uma função f , entãolim
∫ b
a
fn(x)dx =
∫ b
a
(lim fn(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx
52
Exemplo: Pelo teorema fundamental do cálculo
∫ 1
0 cosxdx = senx|10 =
sen(1)
O mesmo resultado é obtido usando-se f(x) = cos x =
∑∞
n=0(−1)n x
2n
(2n)!
∫ 1
0
cosxdx =
∫ 1
0
( ∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
)
dx
=
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)(2n)!
|10
=
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
|10
= sen1,
como queríamos. Na última passagem utilizamos que
senx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
Exercícios:
1. Prove que eix = cos(x) + i sin(x).Sugestão: Desenvolva seno, cosseno e
exponencial em série de Taylor.
2. Desenvolva f(x) = ex2 em série de Taylor. Dê um valor aproximado
para
∫ 1
0 e
x2dx
3. Desenvolva f(x) = cos(−x) em série de Taylor.
4. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) =
∑∞
n=0
xn
n!
(b) f(x) =
∑∞
n=0(−1)n x
2n+1
(2n+1)!
(c) f(x) =
∑∞
n=0(−1)n x
2n
(2n)!
5. Decida se as igualdades abaixo são verdadeiras ou não, justificando.
(a) 1− 1
3!
+ 1
5!
− 1
7!
+ . . . = sin 1
(b) 1 − 1
2
+ 1
3
− 1
4
+ . . . + (−1)n 1
n+1
+ . . . = ln 2 Sugestão: Verifique
que
∫ 1
0
1
x+1
dx = ln 2 e desenvolva 1
1+x
em série de potências.
53
(c) 1− 1
3
+ 1
5
− 1
7
+ . . . = π
4
Sugestão: Verifique que π
4
=
∫ 1
0 1
1
1+x2
dx.
6. Prove que
arctg(x) = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
+ . . .
Sugestão: Verifique que
∫ x
0
1
1+t2
dt = arctg(x)
54
	 Exercícios de revisão
	 Conjuntos Finitos, Infinitos, enumeráveis não enumeráveis
	Supremo,ínfimo, máximo, mínimo
	Corpo, Corpo Ordenado
	Seqüências
	Séries
	 Noções de Topologia
	Limite e continuidade de funções
	 Derivadas
	Integrais
	 Convergência e convergência uniforme
	 Série de Potências
	Aproximação por polinômio de Taylor