geometria espacial

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Cursinho Alternativo da UEPA 2018 
Disciplina: Matemática 
Equipe de Matemática 
E-mail: equipematematicacursinho@gmail.com 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL: Poliedros e Prismas 
 
Aulas 11 e 12 
 
O que é Geometria Espacial? 
A Geometria Espacial corresponde a área da 
matemática que se encarrega de estudar as figuras 
no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de 
duas dimensões. 
 Ex: 
 duas dimensões três dimensões 
 
 
 
Poliedros 
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro 
ou mais polígonos planos, pertencentes a planos 
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta 
em comum. 
 
Dentro do grupo de poliedros existem os poliedros 
regulares, que recebem estes nomes por serem 
constituídos por polígonos regulares, onde cada 
polígono possui o mesmo número de lados e, para 
todo vértice, converge um mesmo número de arestas. 
Existem 5 poliedros regulares: 
 
I. RELAÇÃO DE EULER 
Em todo poliedro convexo é válida a relação 
seguinte: 
V - A + F = 2 
Onde V é o número de vértices, A é o número de 
arestas e F, o número de faces. 
II. POLIEDROS DE PLATÃO 
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: 
a) for convexo; 
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de 
arestas; 
c) toda face tiver o mesmo número de arestas; 
d) for válida a relação de Euler. 
OBS: Todo poliedro regular é poliedro de Platão, 
mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular. 
 
Prismas 
Prisma é todo poliedro convexo construído tomando-
se dois polígonos congruentes situados em planos 
paralelos e unindo-se os pontos desses polígonos 
através de segmentos paralelos. 
Ex: 
 
• Os elementos que compõem o prisma são: bases, 
altura, arestas, vértices e faces laterais. 
I. NOMENCLATURA DOS PRISMAS 
Os prismas recebem nomes conforme os polígonos 
que constituem suas bases. 
Ex: 
Triângulos formando a base → Prisma triangular 
Quadrilátero formando a base → Prisma quadrangular 
Pentágono formando a base → Prisma Pentagonal 
Hexágono formando a base → Prisma Hexagonal 
 
II. CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS 
Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à 
base, cujas faces laterais são retângulos. 
Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à 
base, cujas faces laterais são paralelogramos. 
 
Paralelepípedo 
É um prisma reto cujas bases são retângulos. A 
superfície total de um paralelepípedo é a reunião de 
seis retângulos. 
 
Vértice 
Aresta Lateral 
Base 
Face 
Aresta da Base 
 V = a x b x c 
ou 
 V = Abase x h 
 
 
 
I. DIAGONAIS, ÁREA E VOLUME DO PARALELEPIPEDO 
• Diagonal 
 
 
• Áreas 
 
• Volume 
 
 
Hexaedro (Cubo) 
Cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas 
são congruentes, onde a superfície total é constituída 
de seis quadrados. 
 
 
I. DIAGONAIS, ÁREAS E VOLUME DO CUBO 
• Diagonal 
 
• Áreas 
 
• Volume 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. (ENEM – 2017) Um casal realiza sua mudança de 
domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão 
um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode 
ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, 
com diferentes dimensões, conforme descrito: 
• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm 
• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm 
• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm 
• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm 
• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm 
 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto 
caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em 
seu interior. 
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
2. (ENEM – 2017) Uma empresa especializada em 
conservação de piscinas utiliza um produto para 
tratamento da água cujas especificações técnicas 
sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto 
para cada 1 000 L de água da piscina. Essa 
empresa foi contratada para cuidar de uma piscina 
de base retangular, de profundidade constante 
igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 
m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d'água 
dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da 
piscina. 
 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve 
ser adicionada a essa piscina de modo a atender às 
suas especificações técnicas é 
 
a) 11,25 b) 27,00 c) 28,80 d) 32,25 e) 49,50 
 
3. (ENEM – 2017) Uma rede hoteleira dispõe de 
cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, 
conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de 
cada uma dessas cabanas está representada na 
Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada 
livre de tecnologia, mas conectada com a natureza. 
 
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão 
representadas na Figura 2 é 
a) Tetraedro b) Pirâmide retangular c)Tronco de 
pirâmide retangular 
i. Triângulo amarelo: 
 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏² 
ii. Triangulo vermelho: 
𝐷 = √𝑐2 + 𝑎2 + 𝑏² 
ALateral = 2.(ac + ab) 
ATotal = 2.(ac + ab + bc) 
 
 
I. Triângulo dB = 
𝑎√2 
II. Triangulo D = 𝑎√3 
ALateral= 4.a² 
ATotal = 6.a² 
 
 
V = a.a.a → V = a³ 
 
a 
a 
a 
d) Prisma quadrangular reto e)Prisma triângular reto 
 
(ENEM – 2017) Viveiros de lagostas são 
construídos, por cooperativas locais de 
pescadores, em formato de prismas reto-
retangulares, fixados ao solo e com telas 
flexíveis de mesma altura, capazes de suportar 
a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser 
construído, a cooperativa utiliza integralmente 
100 metros lineares dessa tela, que é usada 
apenas nas laterais. 
 
 
Quais devem ser os valores de X e de Y, em 
metro, para que a área da base do viveiro seja 
máxima? 
a) 1 e 49 b) 1 e 99 c) 10 e 10 d) 25 e 25 e) 
50 e 50 
 
(ENEM – 2017) Às 17h 15min começa uma forte 
chuva, que cai com intensidade constante. Uma 
piscina em forma de um paralelepípedo 
retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, 
começa a acumular a água da chuva e, às 18 
horas, o nível da água em seu interior alcança 
20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o 
registro que libera o escoamento da água por 
um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja 
vazão é constante. Às 18h 40min a chuva cessa 
e, nesse exato instante, o nível da água na 
piscina baixou para 15 cm. 
O instante em que a água dessa piscina 
terminar de escoar completamente está 
compreendido entre 
a) 19 h 30 min e 20 h 10 min. 
b) 19 h 20 min e 19 h 30 min. 
c) 19 h 10 min e 19 h 20 min. 
d) 19 h e 19 h 10 min. 
e) 18 h 40 min e 19 h. 
 
(ENEM – 2015) Uma carga de 100 contêineres, 
idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, 
deverá ser descarregada no porto de uma 
cidade. Para isso, uma 
área retangular de 10 m 
por 32 m foi cedida 
para o empilhamento 
desses contêineres 
(Figura 2). 
De acordo com as normas 
desse porto, os 
contêineres deverão ser 
empilhados de forma 
a não sobrarem espaços 
nem ultrapassarem a 
área delimitada. 
Após o empilhamento 
total da carga e 
 atendendo à norma do porto, a altura mínima a 
ser atingida por essa pilha de contêineres é 
a) 12,5 m b) 17,5 m c) 25,0m d) 22,5m e) 32,5m 
 
(ENEM – 2014) Conforme regulamento da 
Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o 
passageiro que embarcar em voo doméstico 
poderá transportar bagagem de mão, contudo 
a soma das dimensões da bagagem (altura + 
comprimento + largura) não pode ser superior 
a 115 cm. 
A figura mostra a planificação de uma caixa 
que tem a forma de um paralelepípedo 
retângulo. 
 
O maior valor possível para x, em 
centímetros, para que a caixa permaneça 
dentro dos padrões permitidos pela Anac 
é 
a) 25 b) 33 c) 42 d) 45 e) 49 
 
(ENEM – 2016) Um petroleiro possui 
reservatório em formato de um 
paralelepípedo retangular com as 
dimensões dadas por 60 m x 10 m de 
base e 10 m de altura.Com o objetivo de 
minimizar o impacto ambiental de um 
eventual vazamento, esse reservatório é 
subdividido em três compartimentos, A, 
B e C, de mesmo volume, por duas placas 
de aço retangulares com dimensões de 7 
m de altura e 10 m de base, de modo 
que os compartimentos são interligados, 
conforme a figura. Assim, caso haja 
rompimento no casco do reservatório, 
apenas uma parte de sua carga vazará. 
 
 
Suponha que ocorra um desastre quando o 
petroleiro se encontra com sua carga máxima: 
ele sofre um acidente que ocasiona um furo no 
fundo do compartimento C. 
Para fins de cálculo, considere desprezíveis as 
espessuras das placas divisórias. 
 Após o fim do vazamento, o volume de 
petróleo derramado terá sido de 
a) 1,4 x 10³m³ 
b) 1,8 x 10³m³ 
c) 2,0 x 10³m³ 
d) 3,2 x 10³m³ 
e) 6,0 x 10³m³