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Apostila de Matemática 2

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Capitalização Composta e Taxas de 
Révero Campos da Silva
DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO
Matemática Financeira
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE II 
Capitalização Composta e Taxas de Juros
Révero Campos da Silva 
DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO
Matemática Financeira 
Juros 
DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
1. Capitalização Composta ..................................................................... 3 
1.1 Conceitos e elementos financeiros ...................................................................... 3 
1.2 Taxas de juros efetiva, nominal e equivalentes ................................................... 4 
1.3 Exercícios de aplicação ....................................................................................... 5 
1.4 Equivalência de capitais ....................................................................................... 7 
 
 
2. Desconto Composto (comercial) ....................................................... 9 
3. Fórmulas úteis em Matemática Financeira ......................................... 10 
4. Taxas de juros em contexto inflacionário .......................................... 11 
4.1 Taxa real, aparente e de inflação ....................................................................... 11 
4.2 Índices de preços ............................................................................................... 12 
4.3 Exercícios de aplicação ..................................................................................... 14 
 
 
 
 PUC Minas Virtual •3 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
No regime de capitalização composta, a remuneração ou rendimento gerado pela aplicação será 
incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte. Podemos 
dizer que a juros compostos, a aplicação cresce exponencialmente ao longo do tempo, dado que os 
rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render 
juros. 
 
Valor Futuro (Montante): é caracterizado pelo recebimento do valor presente acrescido de juros e, 
se for o caso, de correção monetária. Veja: 
 
 
 M = P . (1 + i )n 
 
 
Exemplo: Qual o valor acumulado por um capital de $10 000,00 ao final de 4 anos, à uma taxa 
anual de 10% ? Admita capitalização composta. 
 
Período Saldo no início de cada ano Juros de cada ano Saldo no final de cada ano 
1º ano 
2º ano 
3º ano 
4º ano 
 
Representação gráfica: 
 
 Montante 
 Juros (x 1000) 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 anos 0 1 2 3 4 anos 
 
 
Veja os exemplos: 
 
01) Calcular o montante de um capital de $3 500,00 aplicado por 8 meses à taxa de 20% a.m. 
Resposta: $15.049,36 
02) No final de dois anos João Pedro deverá efetuar um pagamento de $200 000,00 referente ao 
valor de um empréstimo contraído hoje, cuja taxa é de 4% a.m. Qual o valor tomado 
emprestado? Resposta:$78.024,29 
03) Certa loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $16 000,00 sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação de $22 753,61, no final de 8 meses. Qual a taxa mensal 
praticada pela loja? Resposta: 4,5% a.m 
04) Em que prazo o empréstimo de $30 000,00 pode ser quitado em um único pagamento de 
$51 510,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% a.m? Resposta:12 meses 
05) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do 
capital aplicado? Resposta: 309 dias 
 
 PUC Minas Virtual •4 
TAXA DE JUROS EFETIVA 
 
Uma taxa de juros é dita efetiva, quando está expressa em unidade de tempo igual à unidade de 
tempo do período de capitalização. Assim, são taxas efetivas de juros: 
� 1% a.m com capitalização mensal; 
� 3% a.t com capitalização trimestral; 
� 6% a.s com capitalização semestral. 
 
 
TAXA DE JUROS NOMINAL 
 
Uma taxa de juros é dita nominal quando está expressa em unidade de tempo diferente da unidade 
de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas nominais de juros: 
� 12% a.t com capitalização mensal; 
� 36% a.a com capitalização trimestral; 
� 10% a.s com capitalização anual. 
Portanto, em regime de juros compostos é necessário que se conheça a taxa de juros efetiva que é 
aquela utilizada nas fórmulas; isso exige a explicitação do período de capitalização. Isso significa 
que, se a taxa de juros informada for a nominal, o ajuste será feito utilizando-se o critério da 
proporcionalidade para a mudança de período da taxa; e se a taxa de juros informada for a efetiva, 
o ajuste será feito pelo critério da equivalência. 
Por exemplo: a) o cartão de crédito é uma forma de pagamento eletrônico onde o limite de crédito 
em conta corrente é disponibilizado por um agente financeiro (um banco, por exemplo). O uso 
desse dinheiro é operado no regime de juros compostos com capitalização mensal. Vamos supor 
que para esse limite de crédito, o banco opere com taxa nominal de 43,24% a.a (consulte o extrato 
bancário de sua conta corrente), o que representa uma taxa efetiva de 3,6% a.m; b) a caderneta de 
poupança também é operada no regime de juros compostos, com rendimentos calculados 
mensalmente. Ela paga a rentabilidade sobre o valor mais baixo do depósito de cada mês, rentabili-
dade essa que é composta pela taxa nominal de 6% a.a, ou seja, uma taxa efetiva de 0,5% a.m, 
acrescida da variação da taxa referencial (TR) de juros. Veja como aplicar esses conceitos. 
 
Exemplo: Uma empresa toma emprestado em um Banco $500 000,00 à taxa de 21% ao ano, com 
capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao final de 2 anos? Qual a taxa efetivamente 
cobrada pelo Banco? Resposta: $750 365,18 ; 7% a.q 
 
 
TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES 
 
Duas taxas de juros são equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo 
prazo, gerarem montantes iguais. Como no dia-a-dia os períodos a que se referem as “taxas que se 
tem” e as “taxas que se quer” são os mais variados, será apresentada, a seguir, uma fórmula genéri-
ca que poderá ser utilizada para qualquer caso: 
 
 
100.1)i1(i t
q
tq 





−+=
 onde: 
 
 
 
 
 
iq= taxa que quero (percentual) 
it = taxa que tenho (unitária) 
q = prazo que quero 
t = prazo que tenho 
 
 
 PUC Minas Virtual •5 
Exemplos: Usando equivalência de taxas, determine 
 
01) a taxa anual equivalente a 5% ao mês. Resposta: 79,59% a.a 
 
02) a taxa semestral equivalente a 60,103% ao ano. Resposta: 26,53% a.s 
 
03) a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre. Resposta: 3,92% a.m 
 
04) a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia. Resposta: 101,22% a.a 
 
05) a taxa trimestral equivalente a 50% em dois anos. Resposta: 5,20% a.t 
 
06) a taxa anual equivalente a 2% à quinzena. Resposta:60,84% a.a 
 
07) a taxa mensal equivalente a 7,5% ao quadrimestre. Resposta: 1,82% a.m 
 
08) a taxa para 180 dias, equivalente a 56% ao ano. Resposta: 24,9% a.s 
 
09) a taxa para 400 dias, equivalente a 4% ao mês. Resposta: 68,7% no período de 400 dias 
 
10) a taxa para 35 dias, equivalente a 10% ao trimestre. Resposta: 3,78% no período de 35 dias 
 
11) a taxa mensal equivalente a 0,5% ao ano. Resposta: