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Capitalização Composta e Taxas de Révero Campos da Silva DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO Matemática Financeira UNIDADE II Capitalização Composta e Taxas de Juros Révero Campos da Silva DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO Matemática Financeira Juros DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO Sumário 1. Capitalização Composta ..................................................................... 3 1.1 Conceitos e elementos financeiros ...................................................................... 3 1.2 Taxas de juros efetiva, nominal e equivalentes ................................................... 4 1.3 Exercícios de aplicação ....................................................................................... 5 1.4 Equivalência de capitais ....................................................................................... 7 2. Desconto Composto (comercial) ....................................................... 9 3. Fórmulas úteis em Matemática Financeira ......................................... 10 4. Taxas de juros em contexto inflacionário .......................................... 11 4.1 Taxa real, aparente e de inflação ....................................................................... 11 4.2 Índices de preços ............................................................................................... 12 4.3 Exercícios de aplicação ..................................................................................... 14 PUC Minas Virtual •3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA No regime de capitalização composta, a remuneração ou rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte. Podemos dizer que a juros compostos, a aplicação cresce exponencialmente ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. Valor Futuro (Montante): é caracterizado pelo recebimento do valor presente acrescido de juros e, se for o caso, de correção monetária. Veja: M = P . (1 + i )n Exemplo: Qual o valor acumulado por um capital de $10 000,00 ao final de 4 anos, à uma taxa anual de 10% ? Admita capitalização composta. Período Saldo no início de cada ano Juros de cada ano Saldo no final de cada ano 1º ano 2º ano 3º ano 4º ano Representação gráfica: Montante Juros (x 1000) 0 1 2 3 4 anos 0 1 2 3 4 anos Veja os exemplos: 01) Calcular o montante de um capital de $3 500,00 aplicado por 8 meses à taxa de 20% a.m. Resposta: $15.049,36 02) No final de dois anos João Pedro deverá efetuar um pagamento de $200 000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, cuja taxa é de 4% a.m. Qual o valor tomado emprestado? Resposta:$78.024,29 03) Certa loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $16 000,00 sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $22 753,61, no final de 8 meses. Qual a taxa mensal praticada pela loja? Resposta: 4,5% a.m 04) Em que prazo o empréstimo de $30 000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $51 510,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% a.m? Resposta:12 meses 05) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do capital aplicado? Resposta: 309 dias PUC Minas Virtual •4 TAXA DE JUROS EFETIVA Uma taxa de juros é dita efetiva, quando está expressa em unidade de tempo igual à unidade de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas efetivas de juros: � 1% a.m com capitalização mensal; � 3% a.t com capitalização trimestral; � 6% a.s com capitalização semestral. TAXA DE JUROS NOMINAL Uma taxa de juros é dita nominal quando está expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas nominais de juros: � 12% a.t com capitalização mensal; � 36% a.a com capitalização trimestral; � 10% a.s com capitalização anual. Portanto, em regime de juros compostos é necessário que se conheça a taxa de juros efetiva que é aquela utilizada nas fórmulas; isso exige a explicitação do período de capitalização. Isso significa que, se a taxa de juros informada for a nominal, o ajuste será feito utilizando-se o critério da proporcionalidade para a mudança de período da taxa; e se a taxa de juros informada for a efetiva, o ajuste será feito pelo critério da equivalência. Por exemplo: a) o cartão de crédito é uma forma de pagamento eletrônico onde o limite de crédito em conta corrente é disponibilizado por um agente financeiro (um banco, por exemplo). O uso desse dinheiro é operado no regime de juros compostos com capitalização mensal. Vamos supor que para esse limite de crédito, o banco opere com taxa nominal de 43,24% a.a (consulte o extrato bancário de sua conta corrente), o que representa uma taxa efetiva de 3,6% a.m; b) a caderneta de poupança também é operada no regime de juros compostos, com rendimentos calculados mensalmente. Ela paga a rentabilidade sobre o valor mais baixo do depósito de cada mês, rentabili- dade essa que é composta pela taxa nominal de 6% a.a, ou seja, uma taxa efetiva de 0,5% a.m, acrescida da variação da taxa referencial (TR) de juros. Veja como aplicar esses conceitos. Exemplo: Uma empresa toma emprestado em um Banco $500 000,00 à taxa de 21% ao ano, com capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao final de 2 anos? Qual a taxa efetivamente cobrada pelo Banco? Resposta: $750 365,18 ; 7% a.q TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES Duas taxas de juros são equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo, gerarem montantes iguais. Como no dia-a-dia os períodos a que se referem as “taxas que se tem” e as “taxas que se quer” são os mais variados, será apresentada, a seguir, uma fórmula genéri- ca que poderá ser utilizada para qualquer caso: 100.1)i1(i t q tq −+= onde: iq= taxa que quero (percentual) it = taxa que tenho (unitária) q = prazo que quero t = prazo que tenho PUC Minas Virtual •5 Exemplos: Usando equivalência de taxas, determine 01) a taxa anual equivalente a 5% ao mês. Resposta: 79,59% a.a 02) a taxa semestral equivalente a 60,103% ao ano. Resposta: 26,53% a.s 03) a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre. Resposta: 3,92% a.m 04) a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia. Resposta: 101,22% a.a 05) a taxa trimestral equivalente a 50% em dois anos. Resposta: 5,20% a.t 06) a taxa anual equivalente a 2% à quinzena. Resposta:60,84% a.a 07) a taxa mensal equivalente a 7,5% ao quadrimestre. Resposta: 1,82% a.m 08) a taxa para 180 dias, equivalente a 56% ao ano. Resposta: 24,9% a.s 09) a taxa para 400 dias, equivalente a 4% ao mês. Resposta: 68,7% no período de 400 dias 10) a taxa para 35 dias, equivalente a 10% ao trimestre. Resposta: 3,78% no período de 35 dias 11) a taxa mensal equivalente a 0,5% ao ano. Resposta:0,042% a.m 12) a taxa mensal equivalente a 4,37% ao semestre. Resposta: 0,72% a.m Em síntese, verificamos que: CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Taxas efetivas proporcionais CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Taxas efetivas equivalentes 5% a.m = a.a 5% a.m = a.a 4,37% a.s = a.m 4,37% a.s = a.m 10% a.t = no período de 35 dias 10% a.t = no período de 35 dias Por exemplo: o limite de cheque especial é uma conta garantida que o banco disponibiliza em conta corrente. O uso desse dinheiro, por mais de um mês, é operado no regime de juros compostos com capitalização mensal. Vamos supor que para esse limite de crédito, o banco opere com taxa efetiva de 11,8% a.m (consulte o extrato bancário de sua conta corrente), o equivalente a uma taxa anual de 281,33%. EXERCÍCIOS 01) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por $10 000,00 no seu vencimento que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40% a.a, determinar seu valor presente. 02) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% a.a, gerou um montante de $820 000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 03) Um empréstimo de $62 000,00 é quitado por $78 000,00 no prazo de 120 dias. Calcule a taxa para esse período. Determine também a taxa mensal, anual, bimestral, trimestral, quadrimestral e semestral. PUC Minas Virtual •6 04) Uma pessoa aplica $15 000,00 num título de renda fixa com vencimento no final de 61 dias, a uma taxa de 72% a.a. Calcular o seu valor de resgate. 05) Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de $64 000,00 para ser quitado por $79 600,00 no prazo de 117 dias? 06) Uma pessoa empresta $80 000,00 hoje, para receber $507 294,46 no final de dois anos. Calcular a taxa mensal e anual de juros utilizada nesse empréstimo. 07) A aplicação de $38 000,00 proporcionou um rendimento de $24 000,00 no final de 208 dias. Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros. 08) Qual o valor do capital que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de $5 000,00? 09) No final de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% a.m, quadruplica o seu valor, a) no regime de capitalização composta? b) no regime de capitalização simples? 10) O que é mais vantajoso: aplicar $10 000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% a.m, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% a.m? 11) A que taxa mensal de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? 12) Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar $2 000 000,00 à taxa de 150% a.a? E qual a taxa mensal equivalente? 13) Quanto uma pessoa deve depositar em um Banco que paga 24% ao ano, com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua $200 000,00? Qual a taxa efetivamente paga pelo Banco? 14) Um capital de $25 000,00 foi aplicado por 3 anos a uma taxa de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente. a) Qual é o valor de resgate? b) Qual é a taxa anual efetiva de juros? 15) Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz ao final de 5 anos, juros totais iguais a 60% do capital aplicado? GABARITO 01) $9 193,23 02) $396 288,79 03) id = 0,19% ; i120 = 25,81% ; im = 5,91% ; ia = 99,12% ; ib = 12,16% it = 18,79% ; iq = 25,81% ; is = 41,11% 04) $16 443,73 05) 5,75% a . m 6) im = 8% e ia = 151,82% 07) id = 0,236% ; im = 7,32% ; it = 23,59% ; ia = 133,33% 08) $3 584,32 09) a) 36 meses b) 75 meses 10) composta: $28 982,78 ; simples: $28 000,00 11) 4,16% 12) $2 534 143,27 ; i = 7,93% a m 13) $61 663,73 ; 4% a.b 14) a) $50 304,91 b) 26,25% a.a 15) 9,51% a.a PUC Minas Virtual •7 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Utilizamos a equivalência de capitais para compararmos capitais que se encontram em datas diferentes. Essa comparação só terá sentido se for feita em uma mesma época, uma vez que somente em uma mesma época podemos saber se uma série de capitais equivale a outra. Assim, nosso problema é estabelecer uma época, chamada data de comparação, e levar os capitais para lá, capitalizando ou descapitalizando, conforme a posição de cada capital. Veja os exemplos: 01) Dados dois títulos, um de valor nominal $100 000,00 e outro de $146 410,00 vencíveis, de hoje a 2 e 6 meses, respectivamente; verificar se a uma taxa de juros compostos de 10% a.m, são equivalentes nas seguintes datas: a) hoje; b) de hoje a 4 meses. 02) Um título com valor nominal de $7 200,00 vence em 180 dias. Para uma taxa de juros compostos de 29,8407% a.a, pede-se explicitar o valor desse título dois meses antes do seu vencimento. Resposta: $6 893,36 03) Ana Maria tem uma dívida de $1.000,00 com vencimento para daqui a 10 meses. Propõe amortizar $350,00 no fim de três meses e $300,00 quatro meses mais tarde. Determinar o valor da última parcela, paga no final do 10º mês, que liquida toda sua dívida e os juros pagos nesse empréstimo. Considere juros compostos de 4% a.m. Resposta: $201,96 ; J = $176,40 04) Uma empresa fez um empréstimo de $750 000,00 e ficou de saldar sua dívida no fim de 8 anos, tendo sido cobrados juros de 2,5% a.m. Decorridos três anos, ela propõe renegociar sua dívida com dois pagamentos: um imediato e o segundo 5 anos mais tarde. Calcular o valor dos pagamentos, sendo o segundo 50% maior que o primeiro. Resposta: $1 360 554,07 e $2 040 831,11 05) Uma pessoa deve dois títulos no valor de $25 000,00 e $56 000,00 cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo, um mês após. O devedor deseja propor a substituição dessas duas obrigações por um único pagamento, no final do 5º mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros compostos, determine o valor desse pagamento único. Resposta: $86 728,58 EXERCÍCIOS 01) Se tenho um título com valor nominal de $15 000,00 com vencimento para daqui a 2 anos e a taxa de juros corrente for de 28% a.a, qual será o valor desse título nas seguintes datas: a) hoje; b) daqui a 1 ano; c) 4 meses antes do vencimento. 02) Por uma propriedade foi feita a seguinte proposta de pagamento: uma entrada no valor de $120.000,00 mais uma parcela de $180.000,00 a ser paga no fim de 3 meses. Admitindo uma taxa de juros compostos de 29,8407% a.a, explicitar: a) o valor financiado. b) o valor dos juros pagos nesse financiamento. 03) São dados os três títulos: o primeiro de $40 000,00 vencível em 60 dias; o segundo de $60 000,00 vencível em 90 dias e o terceiro de $100 000,00 vencível em 120 dias. Quanto se deve pagar na data de hoje, para substituir a dívida dos títulos acima por um único título de $120 000,00 vencível em 180 dias, considerando-se uma taxa de juros de 12,6162% ao semestre? PUC Minas Virtual •8 04) Uma empresa fez um empréstimo de $300 000,00 e ficou de pagá-lo de duas vezes, dentro de 3 e 6 meses, respectivamente, a juros de 4% ao mês. Sabendo-se que a segunda parcela é o dobro da primeira, determine seus valores. 05) Uma empresa fez uma dívida de $800 000,00 num banco que cobra juros de 8% ao bimestre. Decorridos dois bimestres, a empresa abate $ 300 000,00 e combina de liquidar o saldo devedor no final de mais 6 bimestres. Qual o valor do pagamento final? 06) Uma empresa fez um empréstimo e ficou de pagar, no fim de 5 anos, o montante de $1.500.000,00, tendo sido acordado juros de 18% ao ano.Decorridos dois anos, a indústria quer liquidar a dívida com dois pagamentos: um imediato e o segundo daí a 3 anos. Calcular o valor dos pagamentos, sendo o segundo 50% maior que o primeiro. 07) Uma pessoa toma um empréstimo no valor de $35.000,00, pelo prazo de 18 meses, a juros de 2,8% ao mês, tendo feito no decorrer deste prazo os seguintes abatimentos: a dez meses do vencimento $ 20.000,00 e a três meses do vencimento $15.000,00. Qual o saldo final da dívida, na época do vencimento? 08) São dados dois títulos: o primeiro de $24 000,00 pagável em 60 dias e o segundo de $60.000,00 pagável em 120 dias. Calcular o valor de um título pagável em 180 dias, capaz de substituir os títulos dados, considerando-se a taxa de juros de 26,8242% a.a. 09) Uma dívida composta de três títulos de valor final de $11 640,00 cada, vencíveis respectiva- mente em 60, 90 e 150 dias deve ser paga por meio de um título de $34.650,12. Quando deve vencer este último título (em meses), considerando-se juros de 34,4889% a.a? 10) Uma compra pode ser paga por $1.400,00 à vista, ou financiada por meio de uma entrada de 30% (calculada sobre o valor à vista) mais dois pagamentos mensais, o segundo 50% maior que o primeiro. Sabendo-se que o início dos pagamentos será ao fim de um período de carência de 4 meses e que a taxa de juros compostos é de 5% ao mês, calcular o valor dos pagamentos. 11) Por um eletrodoméstico com valor à vista de $720,00, uma pessoa deve pagar uma entrada no ato da compra e mais duas prestações mensais de $320,00 cada, vencendo a primeira ao final de 60 dias. Considerando uma taxa mensal de juros compostos de 4%, determine: a) o valor da entrada. b) o valor dos juros pagos numa compra financiada. 12) Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor anunciado como entrada, e o restante a ser liquidado em três prestações mensais e iguais. Se a taxa de juros compostos cobrada for de 6% a.m, determinar o valor de cada prestação mensal que liquida uma mercado- ria anunciada por $500,00. 13) O valor à vista de um bem é $6.000,00. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra e mais três parcelas mensais e consecutivas de $2.000,00 cada uma. Se a taxa de juros cobrada for de 7% ao mês, calcular o valor dado como entrada. 14) Foi feita uma aplicação de $33.000,00 para ser resgatada em duas parcelas de mesmo valor, ao final do 3o e 6o meses após a aplicação. Determine o valor dos saques realizados para que o aplicador receba juros compostos de 3% ao mês. PUC Minas Virtual •9 15) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é $1 200,00. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas mensais e iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de 4% a.m. Determine: a) o valor de cada parcela paga. b) os juros pagos nesse financiamento. GABARITO 01) a) $9 155,27 b) $11 718,75 c) $13 815,12 02) a) $168.624,16 b) $11.375,84 03) $80 814,04 04) 1ª) $121 475,91 2ª) $242 951,82 05) $1 004 681,87 06) 1º) $477.246,18 2º) $715.869,26 07) $14 880,02 08) $88 402,38 09) 3 meses 10) Entrada: $420,00 1º) $490,49 2º) $735,74 11) a) $139,66 b) $59,66 12) $149,64 13) $751,36 14) $18 828,89 15) a) $611,76 b) $23,53 DESCONTO COMPOSTO É aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. Raramente se toma conhecimento de um caso em que esse critério tenha aplicação, pois, para qualquer Instituição Financeira é mais rentável trabalhar com desconto simples a desconto composto. Veja, a seguir, no exemplo. Exemplo: Uma duplicata no valor de $28 800,00, pré-datada para 120 dias, é descontada em um banco à taxa mensal de 2,5%. Calcular o valor do desconto concedido e o valor líquido creditado ao cliente. Resolva essa situação-problema por meio dos conceitos de desconto simples e desconto composto. Em seguida, discuta sobre os resultados obtidos em cada caso. Com base no que foi desenvolvido acima, tem-se que: VR = VN . (1 – id )n onde: e D = VN – VR EXERCÍCIOS 01) Um título com valor nominal de $10 000,00 é apresentado para desconto, 60 dias antes do seu vencimento, a uma taxa mensal de 1,2%. Determinar o valor creditado ao cliente e o valor do desconto pago pela antecipação do recebimento. 02) Um título pré-datado para 90 dias foi descontado à taxa de 3% a.m, produzindo um desconto no valor de $1 379,77. Calcular o valor nominal do título. 03) Uma empresa descontou um título no valor de $67 300,00, com 51 dias antes do seu vencimen- to, à taxa de 5% a.m. Calcular o valor creditado na conta dessa empresa. 04) Calcular o valor do desconto concedido num título de valor de resgate igual a $200 000,00, sabendo que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% a.m. D : desconto VN : valor nominal VR : valor de resgate id : taxa de desconto (unitária) n : prazo de antecipação PUC Minas Virtual •10 GABARITO 01) a) $9 761,44 b) $238,56 02) $15 800,04 03) $61 680,12 04) $24 649,15 FÓRMULAS ÚTEIS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA CAPITALIZAÇÃO DESCONTO 1) J = P . i . n D = VN . id . n 2) M = P + J VR = VN – D 3) M = P . (1 + i . n) VR = VN . (1 – id . n) 4) M = P . (1 + i)n + = 2 tt .n.i.VND n1dT 5) 100.1)i1(i t q tq −+= PUC Minas Virtual •11 TAXA REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO Quando se realiza uma operação financeira, a uma determinada taxa, espera-se uma remuneração do capital utilizado na operação, a essa mesma taxa. Entretanto com a desvalorização das unidades monetárias, essa remuneração fica distorcida. Um índice de inflação busca medir indiretamente a desvalorização da unidade monetária, quando da aquisição de um determinado grupo de bens e serviços, em um dado período. A inflação é um desajuste de ordem econômica que se reflete em um processo de aumento generalizado de preços de produtos e serviços, que incide de modo diferente em cada setor da economia causando uma redistribuição de renda, quase sempre perversa. Ela cria uma série de problemas de ordem prática (para além dos problemas de ordem social), alguns dos quais estão listados abaixo: � dificulta o planejamento financeiro em todos os níveis; � torna ilusórios os registros contábeis e as projeções econômico-financeiras deles decorrentes; � cria um imposto inflacionário na medida em que tributa lucros fictícios; � dificulta as operações do mercado financeiro ao introduzir uma componente de previsão incerta, além de outros. Para corrigir essas dificuldades e minorar os problemas de ordem social criaram-se mecanismos de indexação econômica que serão, em parte, estudados aqui. CÁLCULO DAS TAXAS DE JUROS REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO Ao se considerar a inflação tem-se um complicador nos cálculos financeiros, porque há duas taxas a serem consideradas: a taxa de inflação (ou correção monetária) e a taxa real de juros. Os conceitos de taxa aparente, taxa de inflação e taxa real de juros serão apresentados por meio das seguintes situações-problema: 1ª situação: Suponha um empregado com salário de $2 000,00, no qual, ao final de certo período, sofre reajuste de 30%. Deseja-se apurar o valor desse salário após o reajuste. Para esse cálculo, deve-se aplicar sobre o salário de $2 000,00 o fator de correção (ou índice de reajuste) 1,30. Veja como fica: $2 000 . 1,30 = $2 600,00. 2ª situação:Suponha que, nesse mesmo período, uma cesta básica de alimentos que custava $100,00 foi reajustada em 10%. Deseja-se apurar o valor dessa cesta básica após o reajuste. De forma análoga ao cálculo anterior, tem-se: $100 . 1,1 = $110,00. A tabela abaixo nos permite analisar o poder de compra desse assalariado, a partir das situações apresentadas: Valor inicial Valor final Variação percentual Identificação do elemento financeiro Salário $2 000 $2 600 30% Taxa aparente. Reajuste que o assalariado pensa ter recebido, efetivamente, naquele período. Preço da cesta básica de alimentos $100 $110 10% A taxa de inflação pode ser calculada pela variação do preço da cesta básica de produtos e serviços, no período analisado. Poder de compra, medido em cestas básicas (CB). 20 CB 23,6364 CB 18,182% Taxa real. O poder de compra daquele assalariado aumentou, efetivamente, 18,182% no período analisado. PUC Minas Virtual •12 � Veja outra forma de calcular a taxa real de juros, no período, a partir dos índices (fator de correção) relativos às taxas aparente e de inflação, indicadas nas situações-problema anteriores: 1,30 1,10 − 1 = 0,18182 . 100 = 18,182% � Para se calcular o montante aparente, no período, basta corrigir o capital pela taxa de inflação e, em seguida, pela taxa de juros real. Veja como ficam os cálculos no problema do assalariado, apresentado anteriormente: Map = $2 000 . 1,1 . 1,18182 = $2 600,00. Exemplo: Um investimento obteve variação nominal de 45% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 15%. Explicite a taxa de juros real para esse investimento. Resposta: 26,09% a.a ÍNDICES DE PREÇOS Um índice de preços é um número índice (fator de correção) estruturado e construído para medir a mudança que ocorre nos preços de um determinado grupo de bens e serviços, em um dado período de tempo. Esses índices são compostos sob critérios metodológicos específicos e tomam como referência uma cesta básica de consumo de bens e/ou serviços que satisfaçam a uma determinada necessidade. É possível construir índices a partir de cestas básicas de construção civil, de cesta básica de alimentos, de cesta básica de consumo de famílias que pertencem à determinada faixa de renda e outros. Para o entendimento do funcionamento do processo, vamos utilizar a tabela de índices de preços apresentada abaixo. Ela reproduz a inflação ocorrida nos anos de 19X0 a 19X2 e, os índices de preço se referem ao início de cada mês. Se você observar a linha do mês de maio para os três anos, encontrará os valores 100, 114,95 e 154,65. O que você entende por isso? Significa simplesmente o seguinte: para comprar a mesma cesta básica de bens, você precisou de 100 unidades monetárias em 19X0, de 114,95 unidades PUC Minas Virtual •13 monetárias em 19X1 e de 154,65 unidades monetárias em 19X2. O dinheiro perdeu valor porque você precisa de mais para comprar a mesma cesta. E então, como devemos proceder para calcular o índice e a taxa de inflação (ou de correção monetá- ria), a partir das informações da tabela de preços apresentada anteriormente? � Se você quiser saber o índice de inflação entre outubro de 19X1 e maio de 19X2, basta fazer a relação entre os números índices correspondentes, da seguinte maneira: 154,65 137,64 = 1,12358 E o que esse número índice significa? Os preços de maio de 19X2 são 1,12358 vezes mais elevados que os preços de outubro de 19X1; em outras palavras: � A taxa de inflação (no período) pode ser calculada a partir do índice de inflação determinado anteriormente, do seguinte modo: A partir das informações que constam da tabela de preços apresentada anteriormente, é possível calcular a taxa de inflação, mês a mês, no período de outubro de 19X1 a maio de 19X2: Período Índice de inflação Taxa de inflação outX1 a novX1 140,61 137,64 = 1,02158 2,158% novX1 a dezX1 142,38 140,61 = 1,01259 1,259% dezX1 a janX2 144,21 142,38 = 1,01285 1,285% janX2 a fevX2 146,40 144,21 = 1,01519 1,519% fevX2 a marX2 148,83 146,40 = 1,01660 1,660% marX2 a abrX2 151,62 148,83 = 1,01875 1,875% abrX2 a maiX2 154,65 151,62 = 1,01998 1,998% � Em seguida, deseja-se calcular a taxa de inflação acumulada nesse período. Para isso proceda do seguinte modo: ��1,02158 . 1,01259 . 1,01285 . 1,01519 . 1,01660 . 1,01875 . 1,01998 � − 1� . 100 = 12,358% Observe que esse mesmo resultado foi encontrado anteriormente, quando buscamos os preços da cesta básica nos meses de out/X1 e mai/X2 e calculamos a taxa de inflação no período. (Preços de mai/X2) = 1,12358 . (Preços de out/X1) 1,12358 –1 = 0,12358 . 100 = 12,358% no período PUC Minas Virtual •14 Exemplo: Um investidor aplicou o capital de $10 000,00 em uma instituição financeira e resgatou, ao final de 3 meses, $10 770,00. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 2% no primeiro mês, 1,3% no segundo mês e 1% no terceiro mês. a) Qual é a taxa de inflação acumulada no período do investimento? Resposta: 4,3593% a.t b) Explicite a taxa de juros real e aparente para esse investimento. Resposta: Taxa real de 3,2012% a.t ; Taxa aparente de 7,7% a.t EXERCÍCIOS Nas atividades abaixo, utilize, quando necessário, os índices de preços constantes da tabela apresentada na página 12. Ela reproduz a inflação ocorrida nos anos de 19X0 a 19X2 e, os índices de preço se referem ao início de cada mês. 01) Suponha um empréstimo tomado em maio de 19X0 no valor de $5 000,00, a ser pago 60 dias depois. Corrigir o valor da dívida por meio da inflação registrada no período. 02) Calcular o índice e a taxa de correção monetária entre os meses de julho e setembro de 19X0. 03) Corrigir o capital de $1 500,00, levando em consideração a inflação no período de maio de 19X1 a março de 19X2. 04) Abaixo foram indicadas, mês a mês, as taxas de inflação no primeiro semestre de determinado ano. Explicite a taxa de inflação acumulada no período indicado. 1,966% 1,047% 1,499% 1,262% 1,636% 2,123% 05) Para uma inflação de 15%, qual a taxa aparente que um banco deveria praticar para ter um ganho real de 10%? 06) Em um ano no qual a inflação foi 25%, uma aplicação de $10 000,00 lhe rendeu juros de $3 200,00, nesse mesmo período. a) De quanto foi o seu ganho real, descontada a inflação? b) Qual foi a taxa de juros implícita nessa operação financeira? 07) Considere a venda de um ativo qualquer por um preço à vista de $10 000,00. O cliente aceita uma proposta de pagar uma entrada de $5 000,00 e o restante depois de 6 meses, com uma taxa de juros real de 2% a.m. Considerando uma inflação média, no período, de 9%, qual será o valor desse pagamento? 08) Você comprou um título com valor nominal de $50 000,00 e vencimento em 12 meses, por $37 037,03. Cinco meses depois você foi ao mercado financeiro e vendeu esse título por $41 000,00. A inflação nesse período de cinco meses foi de 10%. a) Quanto você ganhou com o investimento? b) Qual foi a taxa efetiva de juros praticada? GABARITO 01) $5 119,50 02) 1,01738 e 1,738% no período 03) $1 942,11 04) 9,915% a.s 05) 26,5% 06) a) $560,00 ; b) 5,6% a.a 07) $6 137,58 08) a) $3 727,28 ; b) 0,6364% no período de 5 meses. PUC Minas Virtual •15
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