Superfícies de curvatura constante

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6 Superfícies de curvatura constante
Considere uma superfície tal que k (p) tenha o mesmo valor k em cada ponto p; chamamos isso de superfície de curvatura constante. Por exemplo, um plano é uma superfície de curvatura constante k = 0, assim como as outras superfícies em [4]; uma esfera é um exemplo (não o único) de uma superfície de curvatura positiva constante; e a pseudoesfera em [2] é um exemplo (não o único) de uma superfície de curvatura negativa constante. No caso de uma superfície de curvatura constante (e somente neste caso), descobrimos que (6) assume a forma, .
Mas isso é idêntico à fórmula fundamental (4) da geometria não euclidiana! Assim, como Beltrami percebeu,
A geometria euclidiana, esférica e hiperbólica pode ser interpretada concretamente como a geometria intrínseca de superfícies de constante curvatura desaparecida, positiva ou negativa.
A Figura [6] ilustra isso usando as superfícies mais simples de cada tipo. Para obter um bônus adicional, lembre-se de que anteriormente associamos uma unidade absoluta de comprimento R a uma geometria não euclidiana escrevendo k = ± (1 / R²). O bônus é que esse comprimento R agora assume um significado vívido: na geometria esférica R é simplesmente o raio da esfera, enquanto na geometria hiperbólica é o raio da base circular da pseudoesfera (chamada de raio da pseudoesfera). Essas duas interpretações serão justificadas posteriormente. 
O requisito de curvatura constante pode ser entendido de maneira mais intuitiva, reconsiderando a discussão no final do capítulo 1. Vimos que uma central
A idéia na geometria euclidiana é a de um grupo de movimentos do plano: mapeamentos um a um que preservam a distância entre todos os pares de pontos. Por exemplo, duas figuras são congruentes se, e somente se, existe um movimento que leva a primeira à coincidência com a segunda. Para que este conceito básico de igualdade esteja disponível na geometria não euclidiana, exigimos que nossa superfície admita um grupo de movimentos análogos. Se pegarmos um dos triângulos na superfície em [3], fica claro que não podemos deslizá-lo para um novo local e ainda assim ajustá-lo à superfície, porque a maneira pela qual a superfície é curvada no novo local é diferente: variação na curvatura é a obstrução ao movimento. 
Esta explicação intuitiva pode ser esclarecida recorrendo a (5). Primeiro, porém, desejamos eliminar uma possível confusão. O triângulo no plano plano em [6] pode claramente deslizar e girar livremente, mas e os triângulos nas superfícies curvas (extrinsecamente) em [4]? Afinal, essas superfícies são intrinsecamente planas e, portanto, Beltrami nos faria acreditar que são, portanto, tão boas quanto o plano para a geometria euclidiana. Se imaginarmos esses triângulos como completamente rígidos, fica claro que, se tentarmos movê-los para outro local na superfície, eles não se ajustarão mais à superfície. Mas se o triângulo for cortado em um pedaço de papel comum (dobrável, mas não elástico), ele poderá ser deslizado e girado livremente, sempre encaixando perfeitamente contra a superfície. Esse é o tipo de movimento com o qual estamos preocupados.
Para esclarecer a conexão entre a curvatura constante e a existência de movimentos, considere um triângulo infinitesimal (dobrável, mas não elástico) localizado em p. Se seu excesso angular é E e sua área é dA, (5) nos diz que a curvatura gaussiana da superfície em p é dada por k (p) = (E / dA). Agora, suponha que exista um movimento que transporta esse triângulo para um ponto arbitrário q na superfície. Podemos ter que dobrar o triângulo para ajustá-lo à superfície em q, mas como não podemos esticá-lo, os valores de E e dA não se alteram. Assim k (q) = (E / dA) = k (p), e a superfície tem curvatura constante. Finalmente, voltemos aos modelos específicos de geometria esférica e hiperbólica mostrados em [6]. Claramente, o triângulo na esfera pode ser deslizado e girado livremente. De fato, aqui, como no plano, não é necessária nenhuma flexão, porque a esfera não possui apenas curvatura intrínseca constante, também possui curvatura extrínseca constante. E a geometria hiperbólica na pseudoesfera? Certamente é muito menos óbvio, mas o fato [de ser provado mais tarde] de que a pseudoesfera tem uma curvatura constante garante que um triângulo dobrável, porém não esticável, possa deslizar e girar livremente, sempre encaixando-se perfeitamente à superfície. O Exercício 15 mostra como você pode construir sua própria pseudoesfera; uma vez criada, você pode verificar experimentalmente essa afirmação surpreendente.
7 A conexão com transformações de Mobius 
Como estabelecemos no Capítulo 1, se o plano euclidiano for identificado com C, seus movimentos (e semelhanças) serão representados pelas transformações Mobius particularmente simples da forma M (z) = az + b. Um dos principais milagres que desejamos explicar neste capítulo é que os movimentos da geometria esférica e hiperbólica também são transformações de Mobius!
O movimento mais geral (direto) da esfera é uma rotação em torno de seu centro. A projeção estereográfica em C (complexos) produz um mapa conforme da esfera, e as rotações da esfera tornam-se funções complexas atuando nesse mapa. Como mostramos algebricamente no Capítulo 3, são as transformações Mobius da forma .
Isso foi descoberto por Gauss, por volta de 1819. Na próxima seção, redefiniremos esse resultado de uma maneira mais esclarecedora e também exploraremos a conexão com as "quaternios" de Hamilton. Seguindo o mesmo padrão, também é possível construir mapas conformes (em C) da pseudoesfera, transformando seus movimentos em funções complexas. Um dos mapas mais convenientes é construído no disco da unidade. Os movimentos da geometria hiperbólica acabam sendo os automorfismos Mobius deste mapa circular: 
Esta bela descoberta foi feita por Henri Poincare [18821. Parece mágico o suficiente para que os movimentos das três geometrias bidimensionais sejam representados por tipos especiais de transformações de Mobius, mas há mais! No capítulo 3, vimos que a transformação geral do Mobius
tem profundo significado para a física: corresponde à transformação geral de Lorentz do espaço-tempo. Também pode ter significado na tentativa de geometria não-euclidiana? Como explicaremos no final deste capítulo, Poincare [1883] fez a surpreendente descoberta de que representa o movimento mais geral (direto) do espaço hiperbólico tridimensional!