Eq5

Prévia do material em texto

GEOMATRIA NÃO EUCLIDIANA E
APLICAÇÕES
Equivalentes Quinto Postulado de Euclides
Fernando Henrique Vital Filho
Universidade Federal de Uberlândia
2023
1
Outras Proposições Equivalentes ao 5º Postulado de Eu-
clides
Proposição 5.5. (Transitividade do Paralelismo) Se a reta r é paralela à reta s e a
reta s é paralela à reta t, então a reta r é paralela à reta t.
Resumidamente, a proposição nos diz que:
r//s e s//t ⇒ r//t .
Mostraremos que P5.1⇔ P5.5. Como P5.1⇔ P5, temos P5.5⇔ P5.
Demonstração das implicações P5.1⇒ P5.5 e P5.5⇒ P5.1.
P5.1⇒ P5.5) Se r = t (ou s = t ou s = r), o resultado é trivial.
s
t
r
Sejam, então, as retas distintas r e t, ou seja, r ̸= t. Temos duas possibilidades para
as retas:
• r ∩ t = ∅ (r//t) ou
• r ∩ t = P (r e t concorrem em um ponto P).
Suponhamos que r ∩ t = P.
s
t
r
P
Pela hipótese, como s//r e s//t, P /∈ s. Pela proposição P5.1 (Axioma de
Playfair), temos que pelo ponto P (P /∈ s) passa uma única reta paralela a s. Como
s//r e s//t, temos que r=t. Absurdo!
Logo, r ∩ t = ∅ ⇒ r//t.
P5.5 ⇒ P5.1) Seja r uma reta e P um ponto fora dela (P /∈ r). Conseguimos
construir uma reta paralela a r passando pelo ponto P sem usar o P5. Para tal,
basta traçar uma perpendicular r’ a r passando por P e uma outra perpendicular s
a r’ passando por P. Pela Proposição 3.3, temos s paralela a r.
r’
r
s
P
2
. Suponhamos t ̸= s uma outra reta paralela a r que passe por P. Assim, temos que
s//r e r//t. Por P5.5, temos que s//t, o que é um absurdo, uma vez que elas se
intersectam no ponto P. Logo, não existe uma outra reta t paralela a r e s é unica.
t
r
s
P
□
Proposição 5.7. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é sempre
a mesma.
Demonstração das implicações P5.1⇒ P5.5 e P5.5⇒ P5.1.
3
Proposição 5.8. Dados quaisquer três pontos não colineares, existe um ćırculo pas-
sando por estes três pontos.
Demonstração das implicações P5.1⇒ P5.7 e P5.7⇒ P5.1.
P5.5 ⇒ P5.7) Sejam os pontos não colineares P, Q e R e, dessa forma, conside-
remos o triângulo PQR. Sejam as mediatrizes AB e CD dos segmentos QR e RP,
respectivamente.
P
Q R
A
B
C
D
Como P, Q e R são não colineares, temos que as mediatrizes AB e CD não são
paralelas. Seja O o ponto de interseção de AB e CD e consideremos os segmentos
OP, OQ e OR.
P
Q R
O
Como O está na mediatriz de QR, temos que:
OQ = OR .
Além disso, temos que O também está na mediatriz de PR. Logo,
OP = OR .
Assim, seja OP = OQ = OR = r.
Tomando O como o centro de um ćırculo de raio r, por P3, temos que o ćırculo de
centro O e raio r passa por P, Q e R.
4
.
P
Q R
P5.8 ⇒ P5.7) Sejam um ćırculo de centro O e raio r e P, Q e R três pontos sobre
esse ćırculo. Consideremos o triângulo PQR.
r
P
Q R
O
5
Proposição 5.9. Se três ângulos internos de um quadrilátero são retos, então o
quarto ângulo também é reto.
Demonstração das implicações P5⇒ P5.9 e P5.9⇒ P5.
P5 ⇒ P5.9) Seja um quadrilátero ABCD tal que  = B̂ = Ĉ = π2 . Consideremos
as retas r =
←→
AB, s =
←→
CD, m =
←→
AD e n =
←→
BC.
Pela Proposição 3.3, temos que r//s.
r
s
m n
A B
D C
θ
Pela contrapotiviva de P5, temos que, como r//s, Â+ D̂ = θ + π2 = π ⇒ θ =
π
2 .
P5.9 ⇒ P5.1) Sejam uma reta r =
←→
AB e um ponto C fora dela (C /∈ r). Con-
seguimos contruir, a partir da Proposição 3.3, uma reta s//r. Para tanto, seja uma
reta perpendicular n à reta r no ponto B e uma outra reta perpendicular s à reta n
no ponto C.
Isto posto, consideremos uma reta perpendicular m à reta r no ponto A e seja D o
ponto de intersecção entre as retas m e s.
r
s
m n
A B
D C
6
. Por P5.9, temos que ∠ADC = π2 .
Devemos mostrar, agora, que s é a única reta paralela à reta r passando pelo ponto
D /∈ r.
Assim, seja t̸=s uma outra reta paralela a r que passa pelo ponto D.
r
s
m n
t
A B
D C
Proposição 5.10. Uma reta que corta uma de duas paralelas, corta também a outra.
Resumidamente, a proposição nos diz que:
r//s e t intersecta r (t ̸= r) ⇒ t intersecta s .
Mostraremos que P5.1⇔ P5.10. Como P5.1⇔ P5, temos P5.10⇔ P5.
7
Demonstração das implicações P5.1⇒ P5.10 e P5.10⇒ P5.1.
P5.1⇒ P5.10) Se r = s, o resultado é trivial.
Dessa forma, sejam as retas paralelas distintas r e s. Seja t ̸= r uma reta tal que t
intersecta r no ponto P.
t
r
s
P
Por P5.1 (Axioma de Playfair), existe somente uma reta paralela a s que passa
por P. Como r//s e t ̸= r, temos que t ∦ s e, portanto, t intersecta s.
P5.10 ⇒ P5.1) Seja r uma reta e P um ponto fora dela (P /∈ r). Conseguimos
construir uma reta paralela a r passando pelo ponto P sem usar o P5. Para tal,
basta traçar uma perpendicular r’ a r passando por P e uma outra perpendicular s
a r’ passando por P. Pela Proposição 3.3, temos s paralela a r.
r’
r
s
P
Devemos mostrar agora que s é a única reta paralela a r passando por P. Assim,
seja t ̸= s uma reta que passa por P. Por P5.10, como t intersecta s, também deve
intersectar r. Logo, t não pode ser paralelo à r.
Portanto, só pode haver uma reta paralela a r que passe por P.
t
r
s
P
□
8
Proposição 5.13. Existem retângulos.
(retângulo: quadrilátero com quatro ângulos retos)
Demonstração das implicações P5.1⇒ P5.7 e P5.7⇒ P5.1.
9