AULA 03

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Professora: CAMILA ALBUQUERQUE FERNANDES 
EMAIL: camila.albfer@gmail.com 
 
Mecânica dos Sólidos 
 
Vetores Força 
Mecânica Estática 
 
Recife- PE 
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OBJETIVOS 
 Apresentar método de representações e operações vetoriais a partir 
de um ponto; 
 Apresentar métodos para a determinação das resultantes de 
sistemas de forcas não concorrentes; 
 Mostrar como simplificar um sistema com muitas forcas para um 
sistema único equivalente 
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DEFINIÇÕES 
 Vetor é definido como uma grandeza que tem módulo, direção e 
sentido. 
Tais como: deslocamento, velocidade, força e aceleração. 
 
O módulo ou tamanho do vetor pode ser representado como a distância entre 
os pontos de origem e extremidade no plano cartesiano. 
Observe que a distância representa a hipotenusa 
do triângulo retângulo ABC, sendo assim deve 
ser aplicado o Teorema de Pitágoras . Logo, o módulo do vetor 
será dado por 𝑉 = (𝑥2 − 𝑥1)2 +(𝑦2 − 𝑦1)2 
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ESCALARES X VETORES 
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser 
completamente especificada por sua intensidade. 
 
• Comprimento 
• Massa 
• Tempo 
 
 
Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, uma direção e um 
sentido para sua completa descrição. 
• Força 
• Posição 
• Momento 
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REPRESENTAÇÃO VETORIAL 
 
A intensidade (ou módulo de força) é representado pelo tamanho do vetor, 
enquanto que a direção da força é mostrada pela direção da reta e, por fim, o 
sentido da força é indicado pela seta. 
 
 
 
 
Por exemplo: uma força de 30 N fazendo um ângulo de 45° com uma reta x e 
sentido da esquerda para direita. 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Multiplicação por um escalar 
 
Produto entre um vetor e um número qualquer. Se temos o vetor 𝑈 sendo 
multiplicado por um escalar a, o produto será a𝑼 . 
 
 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Soma de Vetores 
 Para formar a soma a + b deve ser construído o segmento orientado da origem 
a a extremidade de b, formando assim o resultante dos vetores a e b. 
Diferente da soma algébrica comum, na soma de vetores o módulo e orientação 
também estão envolvidos na operação. Existem duas formas diferentes para realização 
da soma de vetores, elas são conhecidas como regra do polígono e regra do 
paralelogramo. 
Considerando 𝑆 o vetor soma de 
𝑎 e 𝑏 . Logo, 𝑎 + 𝑎 = 𝑆 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Regra do Polígono / Triângulo 
Dados dois vetores não-nulos, devemos desenhar o 𝑎 no ângulo apropriado e 
𝑏 , também no ângulo correto, com sua origem na extremidade de 𝑎 . 
O vetor soma seria o vetor que liga a origem de um dos vetores a extremidade do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
A lei de comutatividade e associatividade são válidas para a soma entre vetores: a ordem 
em que os vetores são somados é irrelevante. 
𝑎 + 𝑏 ² = 𝑎² + 𝑏² − 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Regra do Polígono 
 
Essa regra também é válida para quando temos três ou mais vetores. 
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A adição de vetores obedece a lei associativa. Somar o vetor c com 
o resultado da adição a + b é o mesmo que somar ao vetor a a soma de b + 
c, ou seja, (a + b) + c = a + (b + c). 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
REGRA DO PARALELOGRAMO 
Dados dois vetores 𝒂 e 𝒃, para determinarmos o módulo, direção e sentido, devemos 
desenhar o paralelogramo defino por eles, unindo ambas origens e propagando retas 
paralelas em cada extremidade. 
𝑎 + 𝑏 ² = 𝑎² + 𝑏² + 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝛽 
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COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA 
As componentes cartesianas 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 e a decomposição 𝑭 podem ser expressas por: 
 
 
 
 
Se pode definir dois vetores unitários (módulo um), onde o vetor i está orientado 
segundo o eixo x , e o vetor j está orientado segundo o eixo y, resultando na 
decomposição da Força Resultante F. 
𝑭𝒙 = 𝑭𝒙𝒊 
𝑭𝒚 = 𝑭𝒚𝒋 
 𝑭 = 𝑭𝒙𝒊 + 𝑭𝒚𝒋 - vetor na forma cartesiana! 
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NOTAÇÃO ESCALAR 
Dado um vetor em um plano, as suas componentes podem formar um 
triângulo retângulo, e suas intensidades são dadas por: 
𝑭𝒙 = 𝑭. 𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝑭𝒚 = 𝑭. 𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
 
 
A depender dos dados fornecidos, no lugar de se utilizar o ângulo, pode ser 
aplicado a semelhança de triângulos, a partir das razão de proporcionalidade que 
existe. 
𝐹𝑥
𝐹
= 
𝑎
𝑐 
 -- > 𝐹𝑥 = 𝐹.
𝑎
𝑐
 
 
𝐹𝑦
𝐹
= 
𝑏
𝑐 
 -- > 𝐹𝑦 = − 𝐹. (
𝑏
𝑐
) 
 
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FORÇAS COPLANARES 
Soma de três ou mais forças pode ser aplicada uma forma analítica, com decomposição 
de cada uma das forças em suas componentes cartesianas. R = H + I + J 
Dessa forma as componentes escalares Rx e Ry são obtidas adicionando 
algebricamente as componentes correspondentes das forças dadas. Ou seja, cada força 
deve ser decomposta, para ao final fazer uma soma algébrica. 
𝑹 = 𝑯𝒙 + 𝑰𝒙 + 𝑱𝒙 𝐢 + 𝑯𝒚 + 𝑰𝒚 + 𝑱𝒚 j 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem 
ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas 
as forças, ou seja: 
𝑭𝑹𝒙 = 𝑭𝒙 
 
𝑭𝑹𝒚 = 𝑭𝒚 
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas 
podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com 
seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante 
pode ser determinada pela adição vetorial. 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
A intensidade da força resultante pode ser calculada 
através do Teorema de Pitágoras. 
𝑭𝑹 = 𝑭𝑹𝒙² + 𝑭𝑹𝒚² 
Além disso, o ângulo 𝜃 , que especifica a direção da força resultante, é 
determinado por: 
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏
𝑭𝑹𝒚
𝑭𝑹𝒙
 
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RESUMO 
• A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se for 
estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao 
longo dos eixos. 
• A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação forma 
com um dos eixos. 
• A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser 
especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j. 
• As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das 
componentes de todas as forças coplanares. 
• A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, 
quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é 
determinada por meio da trigonometria.