Engenharia_Mecanica_tomo_XI_jun_2019

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Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
MATERIAL INSTRUCIONAL ESPECÍFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomo XI 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
2 
Questão 1 
Questão 1.1 
Na figura a seguir, está representado um sistema de veículo ferroviário em que a potência 
de saída do motor é de 50kW e a rotação constante é de 1000rpm; o raio da engrenagem 
menor é de 60mm e da maior, 100mm. 
Considere que todo o torque será absorvido por um equipamento, simbolizado pelo volante 
na extremidade esquerda. Considere, ainda, que a engrenagem maior esteja localizada no 
centro de um eixo com distâncias iguais de 200mm até os mancais. 
Desconsidere as perdas no sistema. 
 
 
Com base nas informações apresentadas, determine: 
a) a velocidade angular do eixo em que está localizada a roda, dada em rad/s; 
b) a força aplicada nas engrenagens, dada em N, e os momentos fletor e torçor máximos 
no eixo em que está localizada a roda, dado em Nm. 
Observação: quando for o caso, deixe as respostas em função de . 
 
Questão 2 
Questão 2.2 
A figura a seguir representa um trem de engrenagens, em que cada uma delas está 
identificada por um número de 1 a 6. 
 
1
2
3
5
4
6
 
 
1Questão Discursiva 3 – Enade 2017. 
2Questão 28 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
3 
Considerando que a engrenagem 1 seja a motora do trem e seus números de dentes sejam, 
respectivamente, z1=21, z2=63, z3=21, z4=84, z5=21, z6=63, avalie as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas. 
I. Desprezando-se as perdas, o torque na engrenagem 6 é 36 vezes maior que o torque na 
engrenagem 1. 
PORQUE 
II. Em um trem de engrenagens, o torque e a velocidade angular aumentam 
proporcionalmente à relação de transmissão. 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. 
A. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. 
B. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II não é uma justificativa da I. 
C. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II uma proposição falsa. 
D. A asserção I é uma proposição falsa, e a II uma proposição verdadeira. 
E. As asserções I e II são proposições falsas. 
 
1. Introdução teórica 
 
Transmissão por engrenagens 
 
Segundo Juvinall (2016), a transmissão de movimento entre duas engrenagens 
cilíndricas de dentes retos pode ser estudada por meio da transmissão entre duas 
circunferências, chamadas de circunferências primitivas, que representam dois cilindros 
pressionados, um contra o outro. 
Se não existe deslizamento entre os cilindros, a rotação de um causará a rotação do 
outro com a mesma velocidade periférica (BUDYNAS e NISSBETT, 2016). 
Considere a transmissão da figura 1, na qual dp é o diâmetro da circunferência 
primitiva da engrenagem motora e dc é o diâmetro da circunferência primitiva da 
engrenagem movida. Para essa situação, p é a velocidade angular da engrenagem motora 
e c é a velocidade angular da engrenagem movida. 
 
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4 
 
Figura 1. Transmissão por engrenagens cilíndricas de dentes retos (JUVINALL, 2016 – com adaptações). 
 
Para um ponto em rotação, a velocidade tangencial (v) é igual ao produto entre a 
velocidade angular () e o raio de rotação (r). As velocidades (v) dos pontos pertencentes 
às circunferências primitivas das duas engrenagens da figura 1 são as mesmas, e seu valor 
pode ser determinado por: 
 
p c
p c
d d
v      
2 2
 
 
Dessa forma, pode-se obter uma relação entre as velocidades angulares e os 
diâmetros das engrenagens, conhecida como relação de transmissão e indicada por (i): 
 
p c
c p
d
i
d

 

 
 
Conhecendo-se a frequência de rotação (n), a velocidade angular () pode ser 
determinada por: 
 
n 2
 
 
Assim, indicando a rotação da engrenagem motora por (np) e a rotação da 
engrenagem movida por (nc), a relação entre as velocidades angulares pode ser escrita 
como: 
 
p p p
c c c
n n
i
n n
 
  
 
2
2
 
 
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5 
Com essa última expressão, é possível observar que, em uma transmissão por 
engrenagens, a relação existente para as velocidades angulares é a mesma para as 
frequências de rotação. Isto é: 
 
p p c
c c p
n d
i
n d

  

 
 
Pela expressão anterior, é possível observar que relações de transmissão maiores do 
que 1 indicam redução de velocidade, isto é, a velocidade angular na engrenagem motora é 
maior do que a velocidade angular na engrenagem movida. Essa redução de velocidade é 
acompanhada pelo aumento no diâmetro, isto é, o diâmetro da engrenagem movida é maior 
do que o da motora. 
Com relação ao torque (T) que atua em cada engrenagem, sabendo que a potência 
disponível é P, temos: 
 
P
T 

 
 
 Considerando que não existam perdas na transmissão, o torque nas engrenagens 
pode ser escrito: 
 
p
p
P
T 

 
c
c
P
T 

 
 
 Lembrando que 
p
p
P
T
 
 e 
c
c
P
T
 
, a relação de transmissão pode ser escrita por: 
 

  

p p
c
c
P
T
i 
P
T
 
c
p
T
i
T

 
 
 Isso significa que, nas relações de transmissão maiores do que 1, existe aumento do 
torque na mesma proporção da redução da velocidade. 
O sistema mais utilizado para a fabricação de engrenagens é o sistema módulo. Nele, 
as engrenagens de uma transmissão têm o mesmo módulo, que fornece as mesmas larguras 
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6 
de dentes. Quando esse sistema é utilizado, o diâmetro de uma engrenagem pode ser 
obtido por (JUVINALL, 2016): 
 
 
Na expressão, m é o módulo e z é o número de dentes da engrenagem. 
Assim, considerando que dc=m em uma transmissão, a relação entre os diâmetros é 
igual à relação entre os números de dentes, podendo ser escritas as seguintes igualdades: 
 
p p c c
c c p p
n d z
i
n d z

   

 
 
A relação entre as velocidades angulares e, por consequência, a relação entre as 
frequências de rotação, são inversas à relação entre os diâmetros e à relação entre os 
números de dentes. 
 O conjunto de vários pares de engrenagens usados na transmissão simultânea de 
movimento entre eixos é conhecido como trens de engrenagens. De acordo com a 
disposição das engrenagens, os trens são classificados em: simples, compostos ou 
planetários. 
Os trens simples são aqueles em que as engrenagens estão dispostas de forma que a 
movida da primeira transmissão é a motora da segunda e assim sucessivamente. A figura 2 
é um exemplo de um trem simples. 
 
Figura 2. Trem de engrenagens simples. 
BRAIN, 2016 (com adaptações). 
 
 Indicando por i1,2 a relação de transmissão entre as engrenagens 1 e 2 e por i2,3 a 
relação entre as engrenagens 2 e 3, é possível escrever: 
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7 
,
n d
i
n d
 1 21 2
2 1
 e 
,
n d
i
n d
 2 32 3
3 2
 
 
,
n
n
i
 12
1 2
 e 
,
n
n
i
 23
2 3
 
 Como 
,
n
n
i
 12
1 2
, a rotação n3 fica: 
 
,
, ,
, , ,
n
i n n
n i i
i i i n
    

1
1 2 1 1
3 1 2 2 3
2 3 1 2 2 3 3
 
 
 Pelaexpressão anterior, é possível observar que a relação entre a rotação da primeira 
engrenagem do trem e a última (itotal) é igual ao produto das relações de transmissão 
existente entre elas. Ou seja: 
 
 
, , total
n
i i i
n
  1 1 2 2 3
3
 
 
 Quando as relações de transmissão são especificadas pela relação entre os diâmetros 
das engrenagens, pode-se escrever: 
 
total , , total total
d d d
i i i i i
d d d
      2 3 31 2 2 3
1 2 1
 
 
 Ou seja, a relação de transmissão de um trem de engrenagens simples é igual ao 
resultado do quociente do diâmetro da última engrenagem pelo diâmetro da primeira. 
 Nos trens compostos, cada transmissão tem seu próprio par de engrenagens, como 
mostra a figura 3. 
 
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Figura 3. Trem de engrenagens composto. 
SCHWEBEL, 2016 (com adaptações). 
 
Indicando por i1,2 a relação de transmissão entre as engrenagens 1 e 2 e por i3,4 a 
relação entre as engrenagens 3 e 4, é possível escrever: 
 
,
n d
i
n d
 1 21 2
2 1
 e 
,
n d
i
n d
 3 43 4
4 3
 
 
,
n
n
i
 12
1 2
 e 
,
n
n
i
 34
3 4
 
 
 Como 
n n2 3
, a rotação n4 fica: 
 
,
, ,
, , ,
n
i n n
n i i
i i i n
    

1
1 2 1 1
4 1 2 3 4
3 4 1 2 3 4 4
 
 
 Assim, da mesma forma que nos trens simples, a relação entre a rotação da primeira 
engrenagem do trem e a última (itotal) é igual ao produto das relações de transmissão 
existente entre elas, ou seja: 
 
 
, , total
n
i i i
n
  1 1 2 3 4
4
 
 
 Quando as relações de transmissão são especificadas pela relação entre os diâmetros 
das engrenagens, encontramos: 
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9 
total , , total
d d
i i i i
d d
    2 41 2 3 4
1 3
 
 
 Com relação aos torques, desconsiderada a perda entre a primeira e a última 
engrenagem do trem, e sabendo que para um par de engrenagens 
c
p
T
i
T

 a relação entre os 
torques da primeira e da última engrenagem do trem é obtida por: 
 
total , ,
T T
i i i
T T
   2 41 2 3 4
1 3
 
 
 Como as engrenagens 2 e 3 estão no mesmo eixo e, portanto, sujeitas ao mesmo 
torque, é possível obter: 
 
total , ,
T
i i i
T
   41 2 3 4
1
 
 
 Ou seja, a relação entre o torque da última engrenagem e o torque da primeira é 
igual ao produto das relações de transmissão existentes entre elas. 
 Deve ser observado que essa relação também é válida para os trens de engrenagens 
simples. 
 
2. Padrão de resposta do Inep e análise das asserções 
 
Questão 1. 
 
a) O estudante deve apresentar o desenvolvimento a seguir. 
Sabendo que a frequência de rotação do eixo do motor é (n), a velocidade angular do 
eixo motor (), expressa em rad/s, é 
 
rad
n . ,
s
 
    
2 2
1 000 33 3
60 60
 
 
A rotação do eixo da roda (N) é igual à rotação do eixo do motor multiplicada pela 
relação de transmissão das engrenagens, isto é, 
 
mm mm
N n . rpm rpm
mm mm
   
60 60
1 000 600
100 100
 
 
Assim, a velocidade angular do eixo da roda () fica 
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rad
N
s
 
    
2 2
600 20
60 60
 
 
b) O estudante deve apresentar o desenvolvimento a seguir. 
O torque no eixo de saída do motor pode ser calculado pela potência como 
 
motor
Nm
.
Pot .sT Nm
,
s
  
 
50 000
1 500
1
33 3
 
 
A força atuante entre os dentes das engrenagens pode ser calculada pelo quociente 
entre o torque no eixo do motor e o raio da engrenagem menor, isto é, 
 
motor
.
Nm
T .
F N
r , m
  

1 500
25 000
0 06
 
 
Considerando a engrenagem maior acoplada ao centro geométrico de um eixo bi 
apoiado, de comprimento L, o diagrama de momentos fletores indicará exatamente no 
centro do eixo a seção transversal mais solicitada, como mostra a figura 1, em que o 
momento fletor (Mmáx) é dado como segue. 
 
F
L
F
F/2 F/2
L/2 L/2
F/2 x L/2
Reação de apoioReação de apoio
 
Figura 1. Diagrama de momentos fletores no eixo. 
 
 
máx
.
N
F L .
M , m Nm    

25 000
2 500
0 200
2 2 2
 
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11 
O torque transmitido ao eixo da roda (T) será igual à força atuante nos dentes da 
engrenagem maior multiplicada pelo raio dessa engrenagem, isto é, 
 
. .
T F R N , m Nm    
 
25 000 2 500
0 100
 
 
Disponível em <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/padrao_resposta/2017/ 
Pad_Resp_Engenharia_Mecania.pdf>. Acesso em 12 mar. 2018. 
 
Questão 2. 
 
Pela figura apresentada no enunciado, é possível observar a existência de três pares 
de engrenagens (1 e 2; 3 e 4; 5 e 6), constituindo um trem composto. A relação de 
transmissão total (itotal) é igual ao produto das relações de transmissão existente entre elas, 
ou seja: 
 
total , , ,
T
i i i i
T
    61 2 3 4 5 6
1
 
 
 Como cada relação de transmissão é o resultado do quociente do diâmetro da movida 
pelo diâmetro da motora, é possível escrever: 
 
d d d T
d d d T
  2 4 6 6
1 3 5 1
 
 
 Sabendo que cada diâmetro pode ser escrito como sendo o produto entre o módulo 
do par e o número de dentes da engrenagem (d=m.z), obtemos: 
 
z z z T
z z z T
  2 4 6 6
1 3 5 1
 
 
T T T
T T T
        6 6 6
1 1 1
63 84 63
3 4 3 36
21 21 21
 
 
Com base nisso, podemos analisar as asserções apresentadas na questão. 
 
I – Asserção falsa. 
JUSTIFICATIVA. A solução da questão mostra que a relação entre o torque da engrenagem 
6 é 36 vezes o torque da engrenagem 1. 
 
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12 
II – Asserção falsa. 
JUSTIFICATIVA. Em um trem de engrenagens, o torque aumenta na mesma proporção em 
que a velocidade angular diminui, ou seja: 
 
n z z z T
n z z z T
   1 2 4 6 6
6 1 3 5 1
 
 
n T
n T
1 6
6 1
 
 
Alternativa correta: E. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 BRAIN, M. How gear ratios work. Disponível em <https://auto.howstuffworks.com/ 
gears4.htm>. Acesso em 20 mar. 2018. 
 BUDYNAS, R. G.; NISSBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. Porto Alegre: 
AMGH, 2016. 
 CUNHA, L. Elementos de máquinas. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
 JUVINALL, R. C.; MARSHEK, K. M. Fundamentos do projeto de componentes de 
máquinas. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
 SCHWEBEL, W. Jogo de rodas dentadas para transmissão de movimentos e força. 
Disponível em <https://www.buzzero.com/tecnologia-e-ciencias-aplicadas-414/ 
mecanica-hidraulica-e-pneumatica-423/curso-online-engrenagem-com-certificado-
39600>. Acesso em 20 mar. 2018. 
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13 
Questão 3 
Questão 3.3 
O gráfico a seguir representa curvas do sistema de bombeamento, em que H é a altura 
manométrica total, dada em m de coluna d’agua, e Q é a vazão volumétrica, dada em L/s. 
 
Para atender a essa instalação, pode-se utilizar só uma bomba ou duas iguais, associadas 
em paralelo ou em série. 
Com base nas informações apresentadas no texto e na análise do gráfico, verifica-se que a 
curva 
A. “A” representa uma associação em paralelo, e o ponto de operação indica vazão de 
145L/s e altura manométrica de 70m, aproximadamente. 
B. “B” representa uma associação em série, e o ponto de operaçãoindica vazão de 111L/s e 
altura manométrica de 56m, aproximadamente. 
C. “B” representa uma associação em paralelo, e o ponto de operação indica vazão de 
111L/s e altura manométrica de 56m, aproximadamente. 
D. da bomba, sem estar associada, fornece ao sistema vazão de 160L/s para altura 
manométrica de 58m. aproximadamente. 
E. “A” representa uma associação em série, e o ponto de operação indica vazão de 92L/s e 
altura manométrica de 50m, aproximadamente. 
 
 
 
3Questão 22 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
14 
1. Introdução teórica 
 
Associação de máquinas de fluxo em série e paralelo 
 
Nas instalações com máquinas de fluxo (bombas ou compressores), dependendo da 
necessidade física ou da versatilidade desejada nas instalações, pode-se optar por conjuntos 
em série ou em paralelo. 
Quando o problema está relacionado à altura manométrica, a solução é o emprego de 
máquinas em série. Quando a dificuldade é a vazão necessária, a associação deve ser em 
paralelo. Basicamente, as máquinas em série somam alturas monométricas, e as máquinas 
em paralelo somam vazões (BRUSTOLINI, 2015). A figura 1 mostra uma associação em 
paralelo entre duas bombas que alimentam um tanque. 
 
 
Figura 1. Associação entre duas bombas em paralelo. 
IESB, 2018 (com adaptações). 
 
Caso as duas bombas sejam iguais, trabalhando na mesma rotação, a altura 
manométrica e a vazão são as mesmas. Assim, em uma instalação em paralelo, a altura 
manométrica total é igual à altura manométrica de uma das bombas, e a vazão total é igual 
à soma das vazões das bombas. 
A figura 2 apresenta a curva manométrica da bomba e a curva da associação em 
paralelo. 
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15 
Q
H
Ponto de operação da
bomba
H1
Q1
Curva da bomba
 
Q
H
Q
Curva da bomba
Ponto de
funcionamento
da instalação
Curva da
associação em
paralelo
Q1
 
Figura 2. Curva característica de uma bomba e da associação entre duas bombas em paralelo. 
 
 Quando a associação é em série, como mostrado na figura 3, a entrada da segunda 
bomba fica na saída da primeira bomba. 
 
 
Figura 3. Associação entre duas bombas em série. 
IESB, 2018 (com adaptações). 
 
Considerando que as duas bombas sejam iguais, trabalhando na mesma rotação, com 
mesma altura manométrica e mesma vazão, na associação em série a altura manométrica 
da instalação é a soma das alturas manométricas das bombas. 
Considerando que a vazão das duas bombas seja a mesma, a vazão na tubulação de 
descarga da segunda será igual à da primeira. 
A figura 4 apresenta a curva manométrica da bomba e a curva da associação em 
série. 
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16 
Q
H
Ponto de operação da
bomba
H1
Q1
Curva da bomba
Q
H1
Q1
Curva da bomba
Ponto de
funcionamento
da instalação
H
H
Curva da
associação em
série
 
Figura 4. Curva característica de uma bomba e da associação entre duas bombas em série. 
 
2. Solução da questão e análise das alternativas 
 
O gráfico que acompanha a questão mostra a curva da bomba, a curva do sistema, a 
curva A (que é a curva da associação em série) e a curva B (que é a curva da associação em 
paralelo). Na figura 5, estão indicadas essas associações. 
 
 
Figura 5. Curva característica da bomba e da associação em série e em paralelo. 
 
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17 
O ponto de funcionamento de uma instalação hidráulica está na interseção entre a 
curva da instalação (sistema) e a curva da bomba (ou da associação entre bombas). Na 
figura 6, estão destacados os pontos de funcionamento da instalação para a bomba e para 
as suas possíveis associações. 
 
 
Figura 6. Curva característica da bomba e da associação em série e em paralelo com o destaque para os pontos de 
operação. 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A curva A é curva da associação em série. 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A curva B é curva da associação em paralelo. 
 
C – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. A curva B é curva da associação em paralelo. Como o ponto de 
funcionamento está na interseção entre a curva da associação com a curva da instalação, a 
vazão é de aproximadamente 115L/s e a altura manométrica é de aproximadamente 56m, 
aproximadamente. Isso pode ser observado na figura 7. 
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18 
 
Figura 7. Ponto de operação da associação em paralelo. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A bomba sem estar associada oferece ao sistema uma vazão de 
aproximadamente 100 L/s, como pode ser observado na figura 8. 
 
 
Figura 8. Vazão da bomba. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Embora a curva “A” represente a associação em série, a vazão no ponto de 
operação é de aproximadamente 150 L/s, como pode ser visto na figura 9. 
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19 
 
Figura 9. Vazão com a associação em série. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 BRUSTOLINI, E. J. L. Estudo da eficiência energética da estação elevatória de água bruta 
do ribeirão São Bartolomeu – Saae de Viçosa. Disponível em <https://pt.scribd.com/ 
document/320630941/90>. Acesso em 06 dez. 2017. 
 IESB. Aula 8 - Tubulação de Sucção e Recalque. Disponível em 
<https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG258/nova/au
la8.html>. Acesso em 12 mar. 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
Questão 4 
Questão 4.4 
A figura a seguir representa o Círculo de Mohr para o estado plano de tensões, com tensões 
normais 
x
e 
y
, tensão de cisalhamento
xy
, plano principal 
p
e tensões normais máxima e 
mínima, respectivamente 
máx
e 
mín
 (tensões principais). 
 
 
 
Com base nesses dados, avalie as afirmativas. 
I. Para um elemento com cisalhamento puro, as tensões principais no estado plano de 
tensões são 
xy
. 
II. Para um elemento com cisalhamento puro, a tensão de cisalhamento máxima no estado 
plano de tensões é 
xy2
. 
III. Para um elemento somente com tensão normal de tração 
x
(com 
y
e
xy 0
), as 
tensões principais para o estado plano de tensões são 
x
. 
IV. Para um elemento somente com tensão normal de tração 
x
(com 
y
e
xy 0
), a tensão 
de cisalhamento máxima é 
x 2
. 
É correto apenas o que se afirma em 
A. I e III. 
B. I e IV. 
C. II e III. 
D. I, II e IV. 
E. II, III e IV. 
 
4Questão 31 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
21 
1. Introdução teórica 
 
1.1. Estado plano de tensão 
 
 Quando um ponto material está sujeito a um estado plano de tensões, como 
mostrado na figura 1, apenas as faces cujas normais são x e y estão sob a ação de tensões. 
 
 
Figura 1. Elemento em um estado plano de tensões. 
GERE, 2017 (com adaptações). 
 
 A figura 2 mostra o mesmo elemento observado pela normal ao plano x, y. 
 
 
Figura 2. Vista bidimensional do elemento. 
GERE, 2017. 
 
 Uma observação importante a ser feita é que, para o equilíbrio do elemento, as 
tensões de cisalhamento xy e yx devem ter a mesma intensidade e sinais contrários. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
22Tomada a direção x como referência, a tensão normal () e a tensão de cisalhamento 
() variam de acordo com a inclinação entre o elemento e a direção x, como mostrado na 
figura 3 (GERE, 2017). 
 Deve ser observado que, para cada ângulo é , em uma das faces atua a tensão  e, 
na face perpendicular, atua a tensão ’, que deve ter a mesma intensidade e sinal contrário 
a . 
 Assim, é possível dizer que, em planos perpendiculares entre si, as tensões de 
cisalhamento são iguais e de sinais contrários (MORILLA, 2018). 
 
x
y
x x
y
y
xy
xy
yx
yx
x
y


'
'


'
'

 
Figura 3. Elemento inclinado em relação à posição original. 
GERE, 2017. 
 
 As tensões  e  podem ser determinadas pelas funções: 
 
x y xycos sen sen      
2 2 2
 
 
y x
xysen cos
 
     2 2
2
 
 
Nas funções,  é a tensão na direção que forma ângulo  com relação à direção x, e 
 é a tensão de cisalhamento atuante no plano cuja normal é a direção de  (GERE, 2017). 
 Por serem expressões cíclicas, elas apresentam valor de máximo e valor de mínimo. 
As tensões normais máxima e mínima são conhecidas como tensões principais, indicadas 
por 1 e 2, respectivamente, e determinadas por: 
 
x y x y
xy
    
     
 
2
2
1
2 2
 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
23 
x y x y
xy
    
     
 
2
2
2
2 2
 
 
 
 O ângulo que 1 faz com a direção x é determinado por: 
 
x
xy
arctg
  
     
1
1
 
 
 A tensão de cisalhamento máxima (máx) é determinada por: 
 
x y
máx xy
  
    
 
2
2
2
 
 
 Fazendo-se um estudo das expressões que mostram a variação de  e , podemos 
ainda concluir o que segue (MORILLA, 2018). 
 No plano de 1 e no plano de 2, a tensão de cisalhamento é igual a zero. Dessa forma, 
para que uma tensão normal seja tensão principal, basta que, no plano em que ela atua, 
a tensão de cisalhamento seja nula. 
 As tensões principais atuam em planos perpendiculares entre si. 
 A tensão de cisalhamento mínima é igual a -máx e atua em um plano perpendicular ao 
plano de máx. 
 O ângulo entre o plano de máx e o plano de 1 é sempre igual a 45o. 
 Nos planos de máx e mín , a tensão normal que atua é determinada por: 
 
x y 
 
2
 
 
 A soma entre tensões normais de direções perpendiculares entre si é constante: 
 
x y    1 2
 
 
1.2. Círculo de Mohr 
 
Uma maneira gráfica de representar o estado plano de tensões é por meio do Círculo 
de Mohr. Nesse círculo, cada plano de tensões é representado por um ponto cujas 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
24 
coordenadas são as tensões atuantes no plano. A figura 4 é a representação de um círculo 
de Mohr para um estado duplo de tensões (NORTON, 2013). 
 


xy
y x
yx
Plano da face com
normal na direção x
Plano da face com
normal na direção y


máx
mín
 
Figura 4. Círculo de Mohr. 
NORTON, 2013 (com adaptações). 
 
 O Círculo de Mohr apresenta algumas características, como as que seguem. 
 Os planos das tensões principais são representados por pontos que se encontram no eixo 
, já que neles a tensão de cisalhamento é igual a zero. 
 As tensões de cisalhamento, máxima e mínima, são representadas por pontos que são 
simétricos em relação ao eixo . Lembrar que nesses planos ocorre a mesma tensão 
normal e que as tensões de cisalhamento são iguais e de sinais opostos. 
 Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que estão à mesma 
distância do eixo , porém em lados opostos. Isto ocorre, pois, em planos 
perpendiculares entre si as tensões de cisalhamento são iguais e de sinais opostos. Note-
se aqui que a tensão normal média dos dois planos é igual à tensão média das tensões 
principais 
 Conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si, o centro do círculo de 
Mohr se encontra na média entre as tensões normais que atuam nestes planos, portanto, 
na intersecção entre a reta que une os dois pontos e o eixo . 
 Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que estão diametralmente 
opostos no círculo de Mohr. Assim, o centro do Círculo de Mohr encontra-se no eixo . 
 A tensão principal 1 é determinada pela intersecção entre o eixo  e o lado direito do 
círculo. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
25 
 A tensão principal 2 é determinada pela intersecção entre o eixo  e o lado esquerdo do 
círculo. 
 As tensões de cisalhamento máxima e mínima são determinadas pelas tangentes 
horizontais ao círculo. 
 
2. Análise das afirmativas 
 
I – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. O Círculo de Mohr para o cisalhamento puro fica como mostrado na figura 
5. Nessa figura, é possível observar que as tensões principais têm o mesmo módulo de 
xy
e 
sinais contrários. 
 
II – Afirmativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Pelo Círculo de Mohr para o cisalhamento puro mostrado na figura 5, a 
tensão de cisalhamento máxima é igual a 
xy
. 
 
2=-xy


máx=xy
1=xy
mín=-xy
 
Figura 5. Círculo de Mohr para o cisalhamento puro. 
 
 
III – Afirmativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O Círculo de Mohr para um elemento somente com tensão normal de tração 
x
 é mostrado na figura 6. Nessa figura, é possível observar que as tensões principais são 
x
 
e zero. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
26 
2=0


máx=x/2
1=x
mín=-x/2
 
Figura 6. Círculo de Mohr para a tração simples. 
 
 
IV – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Pelo Círculo de Mohr para um elemento somente com tensão normal de 
tração 
x
, mostrado na figura 6, a tensão de cisalhamento máxima é igual a 
x 2
. 
 
Alternativa correta: B. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Cengage, 2017. 
 MORILLA, J. C. Estado duplo de tensão. Disponível em <http://engenharia 
concursos.com.br/arquivos/resistencia/estado-duplo-tensao.pdf>. Acesso em 26 mar. 
2018. 
 NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. Porto Alegre: 
Bookmann, 2013. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
27 
Questão 5 
Questão 5.5 
Na figura a seguir, está representado um parafuso com diâmetro de 20mm, fabricado em 
aço carbono solicitado por carga F de 12kN. 
 
F F
 
 
Com base nesses dados, conclui-se que a tensão de cisalhamento (em MPa) no parafuso 
corresponde a 
A. 

15
 B. 

20
 C. 

24
 D. 

30
 E. 

40
 
 
1. Introdução teórica 
 
Relação entre tensão de cisalhamento e força cortante. 
 
Quando duas forças cortantes estão infinitesimalmente próximas, o efeito do 
momento existente entre elas pode ser desconsiderado. Dessa forma, as tensões 
provocadas nos pontos de uma seção podem ser atribuídas apenas a tais forças. 
A figura 1 mostra duas forças cortantes em equilíbrio e atuando em duas seções 
infinitesimalmente próximas. 
 
Figura 1. Forças cortantes que atuam em seções infinitesimalmente próximas. 
MORILLA, 2018. 
 
5Questão 27 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
28 
Desprezando o efeito do momento, o elemento de barra sofrerá deformação, fazendo 
com que as seções permaneçam planas e paralelas entre si. Podemos encararesse 
movimento como um escorregamento entre as seções (MORILLA, 2018). 
Para que as seções executem esse movimento, é necessário que nos pontos de cada 
uma atue uma tensão que provoque, em cada ponto, escorregamento em relação ao 
correspondente da outra. A esse tipo de tensão damos o nome de tensão de cisalhamento, 
representada pela letra grega tau (). 
Essa situação é chamada de cisalhamento puro. Podemos dizer que as seções, além 
de executarem movimento relativo, não sofrem alteração na forma e no tamanho. Com essa 
consideração, a tensão de cisalhamento provocada pela força cortante nada mais é do que a 
distribuição da força pelos pontos da área. Ou seja: 
 
A
V

 
 
Na expressão, V é a força cortante que atua na seção e A é a área da seção. 
 
2. Resolução da questão e análise das alternativas 
 
A força F, que, em relação às seções transversais do parafuso, é uma força cortante, 
irá cisalhar seis seções. A figura 2 mostra essas seções. 
 
F F
1
2
3
4
5
6
 
Figura 2. Seções que serão cisalhadas pela força F. 
 
 Assim, a força que irá cisalhar cada seção (
V
) é igual a 
F
6
. 
Sabendo que a tensão de cisalhamento nos pontos das seções (

) é o quociente da 
força cortante (
V
) pela área da seção (
A
) e que a área da seção é a área de um círculo 
com 20mm de diâmetro, encontramos: 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
29 
 
F kN
V kN N
dA mm mmmm
     
  
2 2 2 2
12
2 20006 6
100 10020
4 4
 
 
N
MPa
mm
    
 2
20 20 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Para que esse resultado fosse verdadeiro, uma possibilidade seria a 
consideração de cisalhamento em oito seções. 
 
B – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Veja a solução. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Para que esse resultado fosse verdadeiro, uma possibilidade seria a 
consideração de cisalhamento em cinco seções. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Para que esse resultado fosse verdadeiro, uma possibilidade seria a 
consideração de cisalhamento em quatro seções. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Para que esse resultado fosse verdadeiro, uma possibilidade seria a 
consideração de cisalhamento em três seções. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 MORILLA, J. C. Cisalhamento. Disponível em <http://cursos.unisanta.br/mecanica/ 
ciclo4/cisalhamento.pdf>. Acesso em 26 mar. 2018. 
 NORTON, R. L. Projeto de máquinas – uma abordagem integrada. Porto Alegre: 
Bookmann, 2013. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
30 
Questão 6 
Questão 6.6 
Analise o diagrama a seguir. 
 
12,5 kN
5 kN/m
5 kN/m
5 m 4 m 2 m
A
B
C
D
+
+
-
A B C
D
22,5
-2,5
10
-15
 
Considerando o diagrama de esforço cortante da viga apresentado, é possível afirmar que o 
diagrama de momento fletor 
A. é igual a zero nos pontos A, C e D. 
B. é uma função descontínua no trecho BC. 
C. possui valor máximo no ponto B sob a carga de 12,5 kN. 
D. possui a mesma direção e o mesmo sentido nos trechos AB e CD. 
E. possui, no ponto C, valor igual à soma das áreas do trecho AB e BC, correspondente a 
-10 kNm. 
 
1. Introdução teórica. 
 
Relação entre tensão de cisalhamento e força cortante 
 
 Ao se estudar como variam os esforços solicitantes ao longo de uma barra, verifica-se 
que existe uma relação entre força cortante e momento fletor (GERE e GOODNO, 2017). 
Para que seja possível relacionar essas funções de variação, será estudado um trecho de 
barra em equilíbrio, como mostrado na figura 1. 
 
6Questão 30 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
31 
 
Figura 1. Esforços externos em uma barra prismática em equilíbrio. 
MORILLA, 2018. 
 
 Quando se retira dessa barra um trecho reto, limitado por duas seções transversais 
infinitamente próximas, ele também fica em equilíbrio. Esse equilíbrio ocorre pela ação dos 
esforços solicitantes que atuam nas seções limítrofes do trecho. Com isso, os esforços que 
atuam neste trecho são os representados na figura 2. 
 
 
Figura 2. Trecho em equilíbrio. 
MORILLA, 2018. 
 
Note que não existem esforços horizontais no trecho em estudo, ou seja, a soma das 
forças horizontais é nula. Assim, para as forças horizontais, encontramos: 
 
FH  0
 
 
Quando tratamos das forças verticais: 
 
 V q dx VF dVV       0 0
 
 
q dx dV  
 
 
dV
q
dx
 
 (1) 
 
 Quando se aplica a condição de momento, obtemos: 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
32 
 A
dx
M M V dx q dx M dM         0 0
2
 
 
q dx
M V dx M dM

     
2
0
2
 
 
Note que o termo q dx 2
2
 é desprezível em relação aos demais, pois é um 
infinitésimo de segunda ordem enquanto os outros são de primeira ordem. Assim: 
 
M V dx M dM    0
 
 
V dx dM  0
 
 
dM
V
dx

 (2) 
 
 Quando observamos as expressões (1) e (2), é possível afirmar que a derivada da 
função momento fletor de um trecho reto é a função força cortante que existe neste trecho. 
 Derivando a expressão (2) em relação a x, encontramos: 
 
d M dV
q
dx dx
  
2
2
 (3) 
 
 A expressão (3) mostra a relação diferencial entre o momento fletor, a força cortante 
e a carga aplicada. 
 O estudo das expressões (1), (2) e (3) permite escrever: 
 
dV
q V qdx
dx
    
 
 
dM
V M Vdx
dx
   
 
 
 Isso permite concluir que a diferença entre os momentos de duas seções é igual à 
integral da função cortante existente entre essas seções. Como a integral de uma função 
entre dois pontos é numericamente igual à área sob a curva que representa a função, é 
possível dizer que a diferença entre os momentos de duas seções é igual à área sob a 
função cortante existente entre essas seções. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
33 
2. Resolução da questão e análise das alternativas 
 
A figura 3 mostra o diagrama de momentos fletores para a viga da questão. Nela, é 
possível observar que existe um trecho em que a variação é linear (trecho BC) e dois trechos 
onde a variação respeita uma função do segundo grau (trechos AB e CD). 
 
A B
C D
50,625
50
10
M (kNm)
+ +
-
4,5 m
 
Figura 3. Diagrama de momentos fletores para a viga. 
 
 No trecho AB, na seção que se encontra a 4,5m da extremidade A, ocorre o máximo 
momento fletor que irá atuar na viga, que é 50,625kNm. Observa-se que esta é a seção em 
que a força cortante é nula. 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Embora o momento seja nulo nas seções A e D, na seção C ele vale 
-10kNm. 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A função que rege a variação do momento no trecho BC é linear. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O momento máximo ocorre na seção que está 0,5m à esquerda do ponto B. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Embora as variações nos trechos AB e CD sejam positivas, os valores dos 
momentos nas seções do trecho AB são positivos, e os valores nas seções do trecho CD são 
negativos. 
 
E – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. O momento na seção C vale -10kNm e pode ser obtido pela soma das áreas 
das forças cortantes entre A e C. Na figura 5, estão indicadas as áreas entre os pontos A e 
C. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
34+
+
-
A B C
D
22,5
-2,5
10
-15
4,5 m
0,5 m
4 m 2 m
A1 A2 A3
 
Figura 5. Áreas entre os pontoas A e C no diagrama de forças cortantes. 
 
, kN , m
A , kNm

 
22 5 4 5
1 50 625
2
 , kN , m
A , kNm
 
  
2 5 0 5
2 0 625
2
 
 
A kN kNm    3 15 40 60
 
 
 cM A A A , , kNm     1 2 3 50 625 0 625 60
 
 
cM kNm 10
 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Cengage, 2017. 
 MORILLA, J. C. Estática das estruturas. Disponível em <https://www.academia.edu/ 
17744161/ =EST%C3%81TICA_NAS_ESTRUTURAS>. Acesso em 27 mar. 2018. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
35 
Questão 7 
Questão 7.7 
Em grandes construções, principalmente em regiões de abalos sísmicos, há necessidade de 
uma avaliação criteriosa dos projetos de edifícios, em razão das frequências de excitação. A 
realização da avaliação busca evitar possíveis ressonâncias que provoquem elevadas 
amplitudes de vibrações e que podem levar a estrutura ao colapso. 
Os absorvedores dinâmicos de vibrações são muito úteis para minimizar esses efeitos, pois 
eliminam as vibrações do sistema principal e as transferem para um sistema secundário 
composto de massa m2 e rigidez k2. A laje do piso, mostrada na figura a seguir, possui 
massa m, duas colunas, cada uma com rigidez k, e é excitada por uma força harmônica f(t), 
com amplitude de 16N e frequência de excitação de 400rpm. Um absorvedor dinâmico de 
vibrações, acoplado na direção de x(t), possui amplitude limitada em 10mm. 
 
k k
f(t)
x(t) Laje do
piso
m
 
BALACHANDRAN, B.; MAGRAB, E. Vibrações Mecânicas. São Paulo: Gengage Learning, 2011 (com adaptações). 
 
Considerando o sistema da laje com um grau de liberdade e 
3
, conclui-se que os valores 
do coeficiente de rigidez k2 e massa m2 utilizados no absorvedor dinâmico de vibrações 
devem ser, respectivamente, 
A. 1.600N/m e 1kg. 
B. 2.000N/m e 1kg. 
C. 16.000N/m e 5kg. 
D. 32.000N/m e 20kg. 
E. 4.000N/m, independentemente da massa do absorvedor. 
 
 
 
 
7Questão 29 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
36 
1. Introdução teórica 
 
Vibrações 
 
Vibração é todo movimento periódico de um corpo, ou de um sistema de corpos 
interligados, em torno de uma posição de equilíbrio. As vibrações podem ser classificadas 
em livres e forçadas (HIBBELER, 2017). 
As vibrações livres são aquelas que ocorrem quando o movimento se mantém por 
forças restauradoras gravitacionais ou elásticas. As vibrações forçadas são aquelas nas quais 
o movimento se mantém mediante a aplicação de força periódica ou intermitente. 
Sejam livres ou forçadas, as vibrações podem ser amortecidas ou não. A ideia central 
é que a vibração não amortecida pode continuar indefinidamente, enquanto a vibração 
amortecida tende a se extinguir. 
A figura 1 mostra um corpo de massa m em vibração livre sem amortecimento, 
sujeito à força restauradora linear F. 
 
F
x
m
x
kx F
mg
N
 
Figura 1. Corpo em vibração livre sem amortecimento. 
MERIAM, 2016 (com adaptações). 
 
A equação do movimento do corpo da figura 1 é
0xxk 2n 
, sendo que 
m
k
n 
. 
Logo: 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
37 
0x
m
k
xk 
  
0kxxm  
 
Nas equações anteriores, x é a posição do corpo, que depende do tempo t, k é a 
constante elástica da mola, e 
x
 é a derivada de segunda ordem da função posição, ou seja, 
é a aceleração do corpo. 
A constante 
n
 é chamada de frequência angular natural, ou pulsação natural, e é 
expressa em rad/s. A ela, é possível associar uma frequência, conhecida como frequência 
natural (fn), dada em Hertz (Hz), pela expressão: 
 
nn f2
m
k
 
 
 
No caso de a vibração ser excitada por uma massa desbalanceada com velocidade 
angular ω e excentricidade h, a força de desbalanceamento é dada por: 
 
   tsenhmtF 20 
 
 
Na expressão, m0 é a massa desbalanceada, e h é a distância de m0 ao centro de 
rotação (excentricidade). 
Como 
f2 
, sendo f a frequência de excitação do corpo, podemos escrever: 
 
    F t m h sen f t  20 2
 
 
 Com isso, a equação do movimento fica: 
 
  mx kx m h sen f t   20 2
 
 
2. Resolução da questão e análise das alternativas 
 
O problema informa que a frequência de excitação é 400 rpm. Com isso, a frequência 
angular fica: 
 
f  2
 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
38 
    
min s s
1 1 1
2 400 2 400 40
60
 
 
  Hz40
 
 
Tomando a expressão que relaciona a força de excitação e a frequência, lembrando 
que a força é máxima (16N) quando
 sen t 1
 e sabendo que a amplitude máxima é 10mm 
(0,01m), encontramos: 
 
   F t m h sen t  20
 
 
 F máx m h N m , m .
s
 
       
 
2
2
0 0
1
1 16 0 01 40 1
 
 

 
 
 
N
m
, m .
s
0 2
16
1
0 01 40 1
 
 
m kg0 1
 
Da figura 1, é possível escrever: 
 
F(t ) k x(t ) 
 
 
F(t )
k
x(t )

 
 

N
k
, m
16
0 01
 
 

N
k
m
1600
 
 
A – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Veja a solução. 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Embora a massa esteja correta, a constante da mola não está. 
 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
39 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Para que a constante da mola fosse a resposta da alternativa, a amplitude 
deveria estar limitada a 1mm. Nessa situação, a massa é igual a 10kg. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Para que a constante da mola fosse a resposta da alternativa, a amplitude 
deveria estar limitada a 0,5mm. Nessa situação, a massa é a apresentada na alternativa, ou 
seja, igual a 20kg. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Não há como a força independer da massa. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson, 2017. 
 MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia– Dinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 
2016. 
 RAO, S. S. Vibrações mecânicas. São Paulo: Prentice Hall, 2016. 
 SILVA, S. Vibrações mecânicas. Disponível em <http://www.joinville.ifsc.edu.br/ 
~pauloboni/MECANISMOS/DIN%C3%82MICA%20DE%20M%C3%81QUINAS/Apostila%2
0-%20Samuel%20da%20SIlva%20-%20MUITO%20BOA%20-20Did%C3%A1tica.pdf> 
Acesso em 27 mar. 2018. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
40 
Questão 8 
Questão 8.8 
Considere a situação em que uma nova empresa de fundição tenha recebido uma proposta 
para fornecer mensalmente comandos de válvulas em ferro fundido nodular perlítico. 
Efetuada a análise técnica pelo setor de engenharia da empresa, foi definido que as peças 
deveriam ser produzidas por modelos gêmeos, com duas peças por molde, na linha de 
produção por moldagem em casca. 
O setor de planejamento e controle de produção, em reunião com os setores de vendas, 
engenharia e contabilidade, estimou os principais dados para o projeto de investimento, 
conforme descrito a seguir. 
 Investimento total de R$800.000,00, a ser aplicado integralmente no início do projeto, 
sendo R$650.000,00 em ativo fixo e R$150.000,00em capital de giro. 
 Conforme o prazo da proposta recebida, a duração para o projeto será de cinco anos. Os 
bens fixos serão depreciadospelo método linear, com valor residual desprezível, e o 
capital de giro terá retorno ao fim do projeto. 
 A alíquota de imposto de renda a ser aplicada é de 34% sobre os resultados líquidos. 
 O gerente geral consultado informou que será usado capital próprio. 
Os resultados previstos para o projeto de investimento são: 
 
Em R$ x 1.000 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 
Receita de vendas 1.300,00 1.500,00 1.800,00 2.400,00 3.200,00 
Custo do produto vendido 700,00 850,00 980,00 1.150,00 1.500,00 
Despesas operacionais 280,00 350,00 420,00 490,00 620,00 
WOILER, S.; MATHIAS, W. F. Projetos: planejamento elaboração e análise. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2008 (com adaptações). 
 
Com base nas informações apresentadas, conclui-se que, utilizando o método do payback 
simples, em que se consideram os valores de lucro líquido após o pagamento de imposto de 
renda, o retorno do investimento será obtido no 
A. primeiro ano, quando a receita de R$1.300,000,00 será maior que o investimento total 
(R$800.000,00). 
B. terceiro ano, quando a receita líquida acumulada, após o pagamento do imposto de 
renda ultrapassará R$650.000,00. 
C. quarto ano, quando a receita líquida acumulada, após o pagamento do imposto de renda 
ultrapassará o investimento total de R$800.000,00. 
 
8Questão 33 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
41 
D. quinto ano, quando os bens fixos terão valor residual desprezível, devido à depreciação 
linear e ao retorno do capital de giro, com a conclusão do projeto. 
E. segundo ano, quando a receita acumulada (R$2.800.000,00) menos o custo dos 
produtos (R$1.550.000,00) será igual a R$1.250.000,00 ou R$825.000,00, após o 
pagamento do imposto de renda. 
 
1. Introdução teórica 
 
Análise de investimento 
 
Considerando que todo investimento deve gerar valor para o investidor, é necessário 
analisar cautelosamente um possível investimento antes de sua efetivação. Dentre os 
métodos de análise, os mais conhecidos são o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna 
de Retorno (TIR) e o Payback (BRIGHAM, 2016). 
A técnica de análise de investimento denominada Payback contabiliza o tempo 
necessário para o retorno de um investimento. 
Segundo Gitman (2010), os períodos de Payback são comumente utilizados na 
avaliação de investimentos, visto que essa técnica mostra o tempo necessário para que a 
empresa recupere seu investimento inicial em um projeto. O período de Payback pode ser 
encontrado dividindo-se o investimento inicial pela entrada de caixa em intervalos de tempo 
determinados. 
Quando o período de Payback é utilizado na tomada de decisão entre aceitar ou não 
aceitar um projeto, os critérios a serem considerados são os que seguem. 
 Se o período de Payback for menor do que o período máximo aceitável de recuperação, o 
projeto deve ser aceito. 
 Se o período de Payback for maior do que o período máximo aceitável de recuperação, o 
projeto deve ser rejeitado. 
Existem dois tipos de Payback: 
 o simples, que considera apenas o retorno do investimento; 
 o descontado, que considera a taxa de juros para trazer o valor do fluxo de caixa para o 
valor presente. 
 
 
 
 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
42 
2. Resolução da questão e análise das alternativas 
 
Para resolvermos a questão, será construído o quadro 1, no qual é mostrado o 
resultado líquido em cada ano de operação. Esse resultado é igual à diferença entre a 
receita de vendas e a soma do custo do produto vendido com as despesas operacionais. 
 
Quadro 1. Resultado líquido de cada ano do projeto 
Em R$ x 1.000 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 
Receita de vendas 1.300,00 1.500,00 1.800,00 2.400,00 3.200,00 
Custo do produto vendido 700,00 850,00 980,00 1.150,00 1.500,00 
Despesas operacionais 280,00 350,00 420,00 490,00 620,00 
Resultado líquido 320,00 300,00 400,00 760,00 1.080,00 
 
No quadro 2, são apresentadas, em cada ano, as receitas líquidas (resultado líquido 
menos o imposto de renda a ser pago em cada ano) e a receita líquida acumulada. 
 
Quadro 2. Receitas líquidas e acumuladas ao final de cada ano após o pagamento do imposto de renda. 
Em R$ x 1.000 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 
Resultado líquido 320,00 300,00 400,00 760,00 1.080,00 
Imposto de renda 108,80 102,00 136,00 258,40 367,20 
Receita líquida 211,20 198,00 264,00 501,60 712,80 
Acumulado 211,20 409,20 673,20 1.174,80 1.887,60 
 
 O gráfico da figura 1 é uma representação gráfica dos valores apresentados no 
quadro 2. Nele, é possível observar que o retorno do investimento dar-se-á durante o quarto 
ano do projeto. 
 
 
Figura 1. Receitas acumuladas ao final de cada ano após o pagamento do imposto de renda. 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
43 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Embora a receita de vendas do primeiro ano seja maior do que o 
investimento, a receita líquida é de R$211.200,00, menor do que o total do investimento 
(R$800.000,00). 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. No final do terceiro ano, a receita líquida é de R$673.200,00, menor do que 
o total do investimento (R$800.000,00). 
 
C – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. No final do quarto ano, a receita líquida é de R$1.174.800,00, maior do que 
o total do investimento (R$800.000,00). Como no final do terceiro ano a receita líquida 
acumulada é de R$673.200,00, isso significa que durante o quarto ano a receita acumulada 
atingirá o valor do investimento. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Embora no final do quinto ano os bens fixos terão valor residual 
desprezível, e será feito o retorno do capital de giro, o retorno do investimento ocorre 
durante o quarto ano. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. No final do segundo ano, a receita líquida é de R$409.200,00, menor do 
que o total do investimento (R$800.000,00). 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 BRIGHAM, E. F. Administração financeira – teoria e prática. São Paulo: Cengage, 2016. 
 DAVIS, M. M.; AQUILANO, N. J.; CHASE, R. B. Fundamentos da administração da 
produção. São Paulo: Bookman, 2006. 
 GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley, 
2010. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
44 
Questão 9 
Questão 9.9 
Equipamento de proteção individual (EPI) é todo dispositivo ou produto de uso individual que se 
destina a proteger o trabalhador de possíveis riscos que ameaçam sua saúde e segurança no 
trabalho. 
Disponível em <http://www.blog.inbep.com.br>. Acesso em 28 jul. 2017 (com adaptações). 
 
Com relação aos equipamentos de proteção individual (EPI), avalie as afirmativas. 
I. O EPI não previne a ocorrência de acidentes de trabalho, apenas evita ou atenua a 
gravidade de lesões. 
II. O EPI só poderá ser posto à venda com a indicação do certificado de aprovação, 
expedido pelo Ministério do Trabalho e Emprego. 
III. O certificado de aprovação do EPI indica que ele foi submetido a testes laboratoriais que 
comprovaram a satisfação de requisitos e de características para as quais se destina. 
IV. É dever dos empregados adquirir EPI com certificado de aprovação, assim como guardar 
e conservar os equipamentos. 
É correto apenas o que se afirma em 
A. I e III. 
B. I e IV. 
C. II e IV. 
D. I, II e III. 
E. II, III e IV. 
 
1. Introduçãoteórica 
 
Riscos no trabalho 
 
A Segurança no Trabalho é um conjunto de ciências e tecnologias que buscam a 
proteção do trabalhador em seu local de trabalho, referente às questões da segurança e da 
higiene. 
As Normas Regulamentadoras (NR) relativas à segurança e à medicina do trabalho 
são de observância obrigatória pelas empresas privadas e públicas e pelos órgãos públicos 
da administração direta e indireta, bem como pelos órgãos dos Poderes Legislativo e 
Judiciário que tenham empregados regidos pela Consolidação das Leis do Trabalho (CLT) 
(SZABÓ JR, 2017). 
 
9Questão 34 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
45 
São 33 NRs que visam a dar ao trabalhador toda a proteção de que ele necessita, 
para que, assim, ele possa exercer suas funções com o maior conforto possível e com a 
eficácia necessária. 
Segundo o artigo 19 da Lei N° 8.213/1991, acidente de trabalho é o que ocorre no 
exercício do trabalho a serviço da empresa, provocando lesão corporal ou perturbação 
funcional que cause morte, perda ou redução, permanente ou temporária, da capacidade 
para o trabalho. Segundo o artigo 20 dessa lei, são acidentes de trabalho as doenças 
profissionais desencadeadas pelo exercício do trabalho, adquiridas em função das condições 
de trabalho (CAMPOS, 2014). 
Para evitar acidentes de trabalho, a empresa deve adotar medidas coletivas e 
individuais de proteção e de segurança do trabalhador, como (CAMPOS, 2014): 
 fornecer equipamentos de proteção; 
 dotar máquinas e equipamentos de trabalho de dispositivos de segurança eficientes; 
 treinar os empregados; 
 prestar informações sobre os riscos das operações e da manipulação de produtos. 
Em toda atividade, estão previstos equipamentos de proteção laboral de caráter 
individual (EPI) para proteger o trabalhador e equipamentos de caráter coletivo (EPC) para 
proteger todos aqueles que se encontram no ambiente de trabalho (SZABÓ JR., 2017). 
Os EPIs são regulamentados pela norma NR-6, que considera EPI todo dispositivo de 
uso individual destinado a proteger a saúde e a integridade física do trabalhador. A empresa 
é obrigada a fornecê-los gratuitamente aos empregados (MTE, 2018). 
Na alínea c do item 6.6.1 da NR 6, está expresso que é vedado ao empregador o 
fornecimento de EPI que não tenha Certificado de Aprovação (CA) emitido pelo Ministério do 
Trabalho (BRASIL, 2018). 
Essa exigência tem a finalidade de garantir que, antes de chegar nos pontos de 
venda, um EPI tenha sido submetido a testes que possam garantir a eficácia de sua 
proteção, a durabilidade do equipamento e o conforto na hora da utilização. O CA é a 
garantia dada pelo MTE de que o EPI é considerado apto para uso (WALDHELM NETO, 
2018). 
O EPI deve ser utilizado em lugares onde exista risco no serviço que não possa ser 
removido por outros meios (ou em situações emergenciais) tais como locais nos quais 
houver fumos; névoas e vapores tóxicos ou irritantes; manuseio de cáusticos, corrosivos, 
ácidos, materiais inflamáveis; calor excessivo; perigo de impacto de partículas ou estilhaços 
que voam; perigo de queda de objetos sobre os pés; perigo de queimaduras; ruído etc. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
46 
2. Análise das afirmativas 
 
I – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. O EPI deve ser utilizado em lugares onde exista risco no serviço que não 
possa ser removido por outros meios. Isso significa que o EPI não previne a ocorrência de 
acidentes: ele apenas evita ou atenua uma lesão. 
 
II – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. De acordo com a alínea c do item 6.6.1 da NR 6, um EPI só pode ser 
utilizado desde que ele tenha o Certificado de Aprovação (CA) emitido pelo MTE. 
 
III – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. De acordo com Waldhelm Neto (2018), o CA busca garantir que, antes de 
chegar nos pontos de venda, um EPI tenha sido submetido a testes que possam garantir a 
eficácia de sua proteção a durabilidade do equipamento e o conforto na hora da utilização. 
 
IV – Afirmativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O EPI deve ser fornecido gratuitamente pela empresa aos empregados. 
 
Alternativa correta: D. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 BRASIL – MINISTÉRIO DO TRABALHO E EMPREGO (MTE). Equipamentos de proteção 
individual. Disponível em <http://portalfat.mte.gov.br/programas-e-acoes-2/programa-
de-protecao-do-emprego-ppe/perguntas-frequentes/equipamentos-de-protecao-
individual/>. Acesso em 02 abr. 2018 
 CAMPOS, A. A. M. Cipa – Comissão Interna de Prevenção de Acidentes: uma nova 
abordagem. São Paulo: SENAC, 2014. 
 COSTA, A. T. Manual de segurança e saúde no trabalho. São Paulo: Difusão, 2014. 
 SZABÓ JR, A. M. Manual de segurança, higiene e medicina do trabalho. São Paulo: 
Rideel, 2017. 
 WALDHELM NETO, N. O que é certificado de aprovação – CA. Disponível em 
<https://segurancadotrabalhonwn.com/o-que-e-certificado-de-aprovacao-ca/>. Acesso 
em 02 abr. 2018. 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
47 
Questão 10 
Questão 10.10 
Os micrômetros possuem um sistema de parafuso e porca em que, a cada volta do tambor, 
ocorre um deslocamento de comprimento equivalente ao passo do parafuso. Possuem 
também uma escala auxiliar móvel (nônio ou vernier), que ajuda a dividir a escala principal 
fixa. 
A figura a seguir representa as escalas de um micrômetro com passo de rosca de 0,5 mm e 
tambor com 50 divisões. As indicações em A, B, C e D devem ser consideradas para leitura. 
 
ALVES, C. C. Apostila de Metrologia. Instituto de Educação, Ciência e Tecnologia – Campus de Guarulhos, 2012 (com 
adaptações). 
 
A partir das informações apresentadas avalie as informações a seguir. 
I. A leitura final é de 20,618 mm. 
II. A resolução do nônio é de 0,001 mm. 
III. A existência do nônio exclui a utilização centesimal do tambor. 
É correto o que se afirma em 
A. I, apenas. B. III, apenas. C. I e II, apenas. 
D. II e III, apenas. E. I, II e III. 
 
1. Introdução teórica 
 
Instrumentos de medição - micrômetros 
 
Os instrumentos mais comuns usados nas medições de diâmetros de peças usinadas 
são os paquímetros e os micrômetros. 
 
10Questão 25 – Enade 2017. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
48 
O paquímetro é um instrumento utilizado para medir dimensões. Ele consiste em uma 
régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. Em geral, a precisão da 
medição é décimo de milímetro (0,1mm). Na figura 1 (a), está representado um paquímetro 
com a indicação de suas partes. 
 
 
Figura 1. Paquímetro (a) e micrômetro (b). 
Disponíveis em <http://www.industriahoje.com.br/o-que-e-um-micrometro> e <http://www.industriahoje.com.br/o-que-e-
um-paquimetro>. Acesso em 18 abr. 2018. 
 
O micrômetro é um instrumento usado em medições nas quais se deseja precisão 
maior do que a obtida com um paquímetro. Os micrômetros comuns têm precisão de 
centésimo de milímetro (0,01mm), podendo chegar a milésimo de milímetro (0,001mm). Na 
figura 1(b), está representado um micrômetro com a indicação de suas partes. 
Segundo Valentina (2018), o micrômetro tem como porta-medida um fuso roscado, 
sobre o qual gira o tambor, cujo passo satisfaz em precisão e grandeza aos objetivos da 
medição. Em geral, os micrômetros têm um passo de 0,5 mm. Isso significa que a cada 
volta do tambor as faces de medição distanciam-se entre si de 0,5mm. 
No corpo do micrômetro (bainha), está gravada uma escala que marca o número de 
voltas do tambor. Na figura 2, essa escala está em destaque.Figura 2. Escala gravada no corpo do micrômetro. 
FERRAMENTAS GERAIS, 2018 (com adaptações). 
 
Note que cada marcação na bainha indica uma volta do tambor, que significa variação 
de 0,5 mm na distância entre as faces de medição. 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
49 
A fim de determinar o deslocamento longitudinal do fuso de medição, na parte 
dianteira do tambor acha-se gravada uma escala que subdivide uma rotação em 50 partes. 
O deslocamento de uma divisão de escala no tambor corresponde a um deslocamento 
longitudinal da face de medição que está no encosto móvel de 0,01 mm. 
O nônio, gravado no corpo do micrômetro, indica o valor a ser acrescentado à leitura 
obtida na bainha e no tambor. A medida indicada pelo nônio é igual à leitura do tambor, 
dividida pelo número de divisões do nônio. 
 
Figura 3. Nônio gravado no corpo do micrômetro. 
FERRAMENTAS GERAIS, 2018 (com adaptações). 
 
 A leitura de uma medida nesse tipo de micrômetro é feita da maneira ordenada a 
seguir. 
1. Leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha. 
2. Leitura dos meios milímetros na mesma escala. 
3. Leitura dos centésimos na escala do tambor. 
4. Leitura dos milésimos com o auxílio do nônio da bainha. 
 
2. Análise das afirmativas 
 
I – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. A leitura a ser efetuada é: 
 
 
 
A = 20,000 mm 
B = 0,500 mm 
C = 0,110 mm 
D = 0,008 mm 
Total = 20,618 mm 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
50 
II – Afirmativa correta. 
JUSTIFICATIVA. A resolução do nônio é um décimo da resolução do tambor. Como a 
resolução do tambor é 0,01 (um centésimo), a resolução do nônio é 0,001 (um milésimo). 
 
III – Afirmativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O nônio fornece a resolução de um décimo da obtida no tambor. Isso não 
exclui a leitura feita no tambor. 
 
Alternativa correta: C. 
 
3. Indicações bibliográficas 
 
 ABAKERLI, A. J. et al. Metrologia para a qualidade. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. 
 FERRAMENTAS GERAIS. Micrômetro externo analógico 0 a 25mm - resolução 0,001mm. 
Disponível em <http://www.fg.com.br/micrometro-externo-analogico-0-a-25mm-
resolucao-0001mm/p>. Acesso em 02 abr. 2018. 
 GONÇALVES, J. F. S. Sistema de medição – Micrômetro. Disponível em 
<http://paginapessoal.utfpr.edu.br/janainaf/metrologia/aulas/AULA_11.pdf/at_download/
file>. Acesso em 02 abr. 2018. 
 INDÚSTRIA HOJE. O que é um micrômetro? Disponível em 
<http://www.industriahoje.com.br/o-que-e-um-micrometro>. Acesso em 30 ago. 2017. 
 _________________. O que é um paquímetro? Disponível em 
<http://www.industriahoje.com.br/o-que-e-um-paquimetro>. Acesso em 30 ago. 2017. 
 SILVA NETO, J. C. Metrologia e controle dimensional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2012. 
 VALENTINA, L. V. O. D. Micrômetros. Disponível em <http://www.joinville.udesc.br/ 
portal/professores/veriano/materiais/04_Micrometros.pdf>. Acesso em 02 abr. 2018. 
 
Material Específico – Engenharia Mecânica – Tomo XI – CQA/UNIP 
51 
ÍNDICE REMISSIVO 
 
Questão 1 
Projeto de máquinas. Mecânica aplicada. Transmissão mecânica. Mecânica 
dos sólidos. Esforços solicitantes. 
Questão 2 
Projeto de máquinas. Mecânica aplicada. Transmissão mecânica. Trens de 
transmissão. 
Questão 3 
Máquinas de fluxo. Associação de máquinas de fluxo. Ponto de operação de 
instalações hidráulicas. 
Questão 4 Mecânica dos sólidos. Estado duplo de tensão. Círculo de Mohr. 
Questão 5 Mecânica dos sólidos. Força cortante e tensão de cisalhamento. 
Questão 6 Mecânica geral. Estática. Esforços internos solicitantes. 
Questão 7 Dinâmica de sistemas mecânicos. Vibrações. Amortecedores dinâmicos. 
Questão 8 Gestão de projetos. Análise de viabilidade econômica de projetos. Payback. 
Questão 9 
Segurança do trabalho. Equipamentos de proteção individual. NR 6. 
Certificado de aprovação para EPI. 
Questão 10 Metrologia. Instrumentos de medição. Micrômetros.