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Métodos Estatísticos IIExercício Programado 1Profa. Ana Maria Farias
1 Considerações gerais sobre a Aula 1
Funções de densidade de variáveis aleatórias contínuas podem ser descritas por diversasfunções matemáticas. Como visto nas aulas, basta que uma função f satisfaça as condições (i)f (x) ≥ 0 e (ii) área sob a curva igual a 1 (em linguagem matemática, ∫ f (x)dx = 1) e ela seráfunção densidade de probabilidade de alguma variável aleatória contínua. Nesse curso iremosestudar apenas dois tipos de função de densidade: funções lineares (aula 1) e a densidadenormal (aulas 2 e 3).
O cálculo de probabilidades associadas a variáveis aleatórias contínuas é feito atravésdo cálculo de áreas sob a curva. Por área sob a curva queremos dizer a área que vai desde acurva da função até o eixo das abcissas. Veja a Figura 1. No gráfico à esquerda, temos umafunção do tipo exponencial; o cálculo de áreas requer integração e não lidaremos com essetipo de função. Mas note que a área vai desde a curva da função até o eixo das abcissas. Nográfico à direita, temos uma função linear e a área é a área de um trapézio,
Figura 1 – Cálculo de probabilidades associadas a variáveis aleatórias contínuas
Para as funções de densidade lineares, as áreas se resumem a áreas de figuras geo-métricas conhecidas (retângulos, triângulos, trapézios) e são facilmente calculadas. Assim, éimportante que você entenda bem os conceitos envolvidos e saiba fazer os cálculos adequa-dos. Entendendo bem esses conceitos, não é necessário fazer milhões de exercícios iguais ouparecidos. Mas se você não entender bem, qualquer exercício – igual ou parecido – será um“problemão”. Vamos, então, pontuar os conceitos e cálculos que você TEM que entender esaber executar.
1. Condições a serem satisfeitas por uma função de densidade
(a) f (x) ≥ 0 – em geral, vocês se esquecem de verificar essa condição. Essa verificaçãoé bastante simples: o gráfico da função tem que estar completamente sobre ouacima do eixo das abcissas.
Curso de Administração 1
(b) Área sob a curva tem que ser 1 – calcule a área sob a curva entre os limites dedefiniçao da função. Por exemplo, no gráfico à direita da Figura 1, você teria quecalcular a área compreendida entre x = 0, 2 e x = 2, 2. Essa é a área de um trapéziocom altura 2, base maior 0,75 e base menor 0,25. Essa área dá 0,25+0,752 × 2 = 1 eessa é uma função de densidade válida.
2. Determinação da equação da função de densidadeEm alguns exercícios, é necessário encontrar a expressão da função de densidade, cujográfico é dado. Lembre-se que todas as funções dadas compreendem segmentos lineares.Assim, você tem que saber os seguintes fatos:
(a) A equação de uma reta é do tipo f (x) = a + bx , em que a é o intercepto, ou seja,a = f (0), e b é a inclinação. Para funções decrescentes, b < 0 e para funçõescrescentes, b > 0.(b) Dois pontos determinam uma reta. Então, para encontrar a equação da reta, de-termine 2 pontos da reta, monte um sistema de 2 equações com 2 incógnitas eresolva. Voltando à função linear da Figura 1, temos uma reta que passa pelospontos (0, 2; 0, 75) e (2, 2; 0, 24). Ou seja, quando x = 0, 2, f (x) = 0, 75 e quandox = 2, 2, f (x) = 0, 25. Escreva essas informações em forma de sistema usando aequação da função linear:
x = 0, 2, f (x) = 0, 75⇒ 0, 75 = a+ b · 0, 2x = 2, 2, f (x) = 0, 25⇒ 0, 25 = a+ b · 2, 2
Isso resulta no sistema
a+ b · 0, 2 = 0, 75a+ b · 2, 2 = 0, 25
Subtraindo uma equação da outra, a incógnita a é eliminada – isso sempre acontecena determinação da equação da reta que passa por 2 pontos. Continuando com oexemplo, subtraindo a primeira equação da segunda, resulta que
2, 2b− 0, 2b = 0, 25− 0, 75⇒ 2b = −0, 5⇒ b = −0, 25
Note que b é a inclinação; nesse exemplo, como temos uma reta decrescente, ainclinação b tem que ser negativa. Use essas informações já conhecidas paraverificar se seus cálculos estão, pelo menos, coerentes. Às vezes, vocês erram nascontas e obtêm resultados absurdos. Nesse exemplo, um valor positivo para ainclinação b seria absurdo.Obtido o valor de b, substitua-o em uma das equações para obter o valor de a.Substituindo na primeira equação, por exemplo:
a+ (−0, 25) · 0, 2 = 0, 75⇒ a = 0, 8
Verifique se seu resultado é coerente. Para isso, imagine a reta se prolongandoaté cruzar o eixo vertical. Se ela cruzar na parte superior, a tem que ser positivo.Se ela cruzar na parte inferior, a tem que ser negativo. No nosso caso, está OK:
Curso de Administração 2
ao prolongar a reta, ela cruzará o eixo vertical acima do eixo das abcissas, ou seja,a > 0.Logo, a equação da função é
f (x) = { 0, 8− 0, 25x se 0, 2 ≤ x ≤ 2, 20 caso contrário
Depois de obtida a equação, faça uma verificação, certificando-se de que os doispontos realmente satisfazem a equação. No nosso exemplo, temos que ter f (0, 2) =0, 75 e f (2, 2) = 0, 25
f (0, 2) = 0, 8− 0, 25 · 0, 2 = 0, 8− 0, 05 = 0, 75f (2, 2) = 0, 8− 0, 25 · 2, 2 = 0, 8− 0, 55 = 0, 25
Logo, a equação está OK!
3. Cálculo de probabilidadesComo já dito, o cálculo de probabilidades equivale a cálculo de áreas. Assim, é funda-mental que você esboce o gráfico da função e sombreie a área desejada. Veja a formamais fácil de fazer o cálculo. Em alguns exercícios, a regra do complementar pode serútil, ou seja, em vez de calcular P(A) diretamente, você pode calcular P(A) e depois cal-cular P(A) = 1−P(A). Alguns exercícios envolvem probabilidade condicional; lembre-seque, para dois eventos quaisquer A e B,
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
Vamos supor que a função esteja definida no intervalo [m,M ]. Vamos considerar doispontos a, b ∈ [m,M ]. Nas figuras a seguir ilustram-se os intervalos para os quais sedeve calcular a área sob a curva. Embora tenhamos sombreado áreas, o objetivo dasilustrações está no intervalo sobre o eixo das abcissas, e não em áreas, pois não estamostrabalhando com uma função específica. As probabilidades podem ser dos seguintestipos:
(a) P(X > b) = P(X ≥ b) = área à direita de x = bVocê tem que calcular a área desde o ponto x = b até o valor superior de definiçãoda função, ou seja, você tem que calcular a área no intervalo (b,M). Veja a partesombreada de cinza claro na Figura 2.(b) P(X < a) = P(X ≤ a) = área à esquerda de x = aVocê tem que calcular a área desde o valor inferior de definição da função até oponto x = a, ou seja, você tem que calcular a área no intervalo (m,a). Veja a partesombreada de cinza escuro na Figura 2.
Curso de Administração 3
Figura 2 – Intervalos para cálculo de áreas: X < a (cinza escuro) e X > b (cinza claro)
(c) P(a < X < b) = área compreendida entre x = a e x = b Você tem que calcular aárea no intervalo (a, b). Veja a Figura 3.
Figura 3 – Intervalos para cálculo de áreas: a < X < b
(d) P(X > a|X < b)Veja novamente a Figura 3. Temos que
P(X > a|X < b) = P[(X > a) ∩ (X < b)]P(X < b) = P(a < X < b)P(X < b)Um erro comum no cálculo de probabilidades condicionais é o esquecimento dedividir pela probabilidade do evento condicionante, nesse caso dividir P(a < X < b)por P(X < b). É comum vocês apresentarem a probabilidade P(a < X < b)como resposta final, esquecendo que, ao condicionarmos, estamos num novo espaçoamostral.Analogamente,
P(X < b|X > a) = P[(X < b) ∩ (X > a)]P(X > a) = P(a < X < b)P(X > a)(e) P(X < a|X > b)Veja outra vez a Figura 2. Temos que
P(X < a|X > b) = P[(X < a) ∩ (X > b)]P(X > b) = P(∅)P(X > b) = 0
Curso de Administração 4
Analogamente,
P(X > b|X < a) = P[(X > b) ∩ (X < a)]P(X < a) = P(∅)P(X < a) = 0
(f ) P(X < a|X < b)Veja a Figura 4. Temos que
P(X < a|X < b) = P[(X < a) ∩ (X < b)]P(X < b) = P(X < a)P(X < b)Analogamente,
P(X < b|X < a) = P[(X < b) ∩ (X < a)]P(X < a) = P(X < a)P(X < a) = 1
Figura 4 – Intervalos para cálculo de áreas: (X < a) ∩ (X < b)
(g) P(X > a|X > b)Veja a Figura 5. Temos que
P(X > a|X > b) = P[(X > a) ∩ (X > b)]P(X > b) = P(X > b)P(X > b) = 1
Analogamente,
P(X > b|X > a) = P[(X > b) ∩ (X > a)]P(X > a) = P(X > b)P(X > a)
Não tente decorar esses resultados. É fundamental que você saiba fazer cadauma dasilustrações acima. Dessa forma, você poderá resolver QUALQUER problema!
Curso de Administração 5
Figura 5 – Intervalos para cálculo de áreas: (X > a) ∩ (X > b)
2 Exercícios sobre a Aula 1 ( Semanas 1 e 2)
1. Determine a equação da reta que passa por cada um dos pares de pontos a seguir:
(a) (2, 0) e (5, 2)(b) (3, 1) e (7, 1)(c) (−4, 5) e (3, 3)
2. Considere a função linear f (x) = 2 + 3x .
(a) Esboce o gráfico dessa função.(b) Determine se os pontos a seguir estão sobre a reta definida por f (x).(i) (2, 0)(ii) (1, 5)(iii) (−1, 1)(iv) (−1,−1)(v) (−3,−7)
3. O comprimento real (em metros) de uma determinada barra de aço é uma variável alea-tória uniformemente distribuída no intervalo [10,12]. As barras com comprimento menorque 10,5m não se ajustam às necessidades e devem ser vendidas como sucata. As barrascom comprimento maior que 11,5m têm que ser cortadas para se ajustarem às necessia-des. Qual é a proporção de barras colocadas à venda como sucata? Qual é a proporçãode barras que precisam ser cortadas? Qual é a proporção de barras perfeitas?
4. Considere a função f (x) dada na Figura 6.
(a) Verifique que f (x) define uma função densidade de probabilidade de uma variávelaleatória contínua X.(b) Encontre a expressão matemática para f (x).(c) Calcule a função de distribuição acumulada.(d) Calcule a mediana da distribuição.(e) Calcule as seguintes probabilidades:
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Figura 6 – Função de densidade para o Exercício 4
(i) P(X > 1, 5)(ii) P(2 < X < 4)(iii) P(X > 2, 1 | 1 < X < 4, 5)
5. O tempo de execução T (em minutos) de determinada tarefa pode ser descrito por umavariável aleatória com distribuição uiniforme no intervalo [20;40].
(a) Determine a função densidade de probabilidade de T .(b) Qual é o tempo médio de execução desta tarefa?(c) Se uma pessoa já gastou 25 minutos na execução da tarefa, qual é a probabilidadede que ela gaste menos de 30 minutos para terminar?
• NÃO DEIXE DE REFAZER TODOS OS EXEMPLOS DA APOSTILA!
• ENTENDENDO BEM OS EXEMPLOS E EXERCÍCIOS DA APOSTILA E OS EXER-CÍCIOS AQUI APRESENTADOS, VOCÊ ESTÁ PRONTO PARA ACERTAR AS QUES-TÕES DAS PROVAS!
Curso de Administração 7