Apostila Análise de Fourier e EDPs

Prévia do material em texto

¸˜ao4735.7.3169 ¸˜ao 4.8.3:5.8.2172
Ana´lise de Fourier e Suas Aplicac¸o˜es a`s Equac¸o˜es
Diferenciais Parciais
Marta Cilene Gadotti
Jean Cerqueira Berni
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o, Motivac¸a˜o e Preliminares 3
1.1 Deduc¸a˜o da Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Formulac¸a˜o Matema´tica do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Me´todo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Func¸o˜es Perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Convergeˆncia Simples e Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Produtos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Se´ries de Fourier para Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Integrac¸a˜o de Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.1 O Teorema sobre Integrac¸a˜o de Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10 Forma Complexa da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.11 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Convergeˆncia das Se´ries de Fourier 42
2.1 Classes das Func¸o˜es Consideradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1 A Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Convergeˆncia Pontual de Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Lema de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Convergeˆncia Pontual da Se´rie de Fourier (continuac¸a˜o) . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 A Geometria da Melhor Aproximac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Convergeˆncia Uniforme da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.8 Nu´cleos de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.9 Introduc¸a˜o e O Teorema da Aproximac¸a˜o de Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.10 O Teorema de Feje´r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.11 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.11.1 Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.12 Func¸o˜es de Variac¸a˜o Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 O Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis 104
3.1 Equac¸a˜o do Calor - Um Retorno Revisado sob uma Nova O´ptica . . . . . . . . . 104
3.2 Condic¸o˜es de fronteira na˜o-homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1
3.3 Conduc¸a˜o do calor em uma barra na˜o-homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4 Unicidade de Soluc¸a˜o do P.V.I.F.(3.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Equac¸a˜o das Ondas 123
4.1 Equac¸a˜o da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.1 Exemplos da equac¸a˜o (4.5) de acordo com o tipo de forc¸as externas . . . . 125
4.1.2 Corda finita com extremidades fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1.3 Corda finita com extremidades livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1.4 Outras condic¸o˜es de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Energia da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4 Harmoˆnicos, frequeˆncia, amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.1 A energia do n−e´simo harmoˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Corda dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Vibrac¸o˜es Forc¸adas. Ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.7.1 Fo´rmula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.8 Corda Semi-Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5 Transformada de Fourier e Aplicac¸o˜es 144
5.1 A` procura de motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 Teoria das Se´ries de Fourier e a Linguagem de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3 Passagem da Se´rie de Fourier para a Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 147
5.4 Definic¸a˜o da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 Espac¸o S e transformada de Fourier em S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6 O Produto de Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.7 Teorema de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.7.1 A transformada de Fourier em L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.8 Fo´rmula do somato´rio de Poisson e a equac¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.9 Problema de Cauchy para a equac¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.10 Conduc¸a˜o do calor na barra semi-infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.11 O Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.11.1 Laplaciano em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.11.2 Um exemplo importante de func¸a˜o harmoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.11.3 Formulac¸a˜o do problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.11.4 Unicidade do problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.12 O Problema de Dirichlet no Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.13 O Problema de Dirichlet no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o, Motivac¸a˜o e Preliminares
Esta apostila tem como objetivo o estudo detalhado da ana´lise de Fourier e de suas aplicac¸o˜es a`s
equac¸o˜es diferenciais parciais, como diz o pro´prio t´ıtulo.Ela se baseia nos frutos de uma prof´ıcua
iniciac¸a˜o cient´ıfica de mesmo tema, executada em 2009/2010, orientado pela Profa Dra Marta
Cilene Gadotti. O conteu´do que abrangeremos engloba os seguintes to´picos:
1. Se´ries de Fourier e Convergeˆncia
1.1 Coeficientes de Fourier e interpretac¸a˜o geome´trica. Se´ries de func¸o˜es pares e ı´mpares.
1.2 Integrac¸a˜o de se´ries de Fourier e estimativas.
1.3 Estudo da convergeˆncia pontual e uniforme: classes de func¸o˜es consideradas,desigualdades
de Bessel, de Cauchy-Schwarz e de Minkowski, o Teorema da Aproximac¸a˜o de Weierstrass,
Identidade de Parseval, Func¸o˜es de Variac¸a˜o Limitada.
2. Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis
2.1 Descric¸a˜o do me´todo.
2.2 O problema da conduc¸a˜o de calor em uma barra com extremidades mantidas a 0o. Existeˆncia
e unicidade da soluc¸a˜o.
2.3 Condic¸o˜es de fronteira na˜o-homogeˆneas.
2.4 Conduc¸a˜o de calor em uma barra na˜o-homogeˆnea.
3. Estudo da Equac¸a˜o da Onda
3.1 A equac¸a˜o da corda vibrante, resoluc¸a˜o por se´rie.
3.2 Harmoˆnicos, frequeˆncia e aplitude.
3.3 Corda dedilhada. Vibrac¸o˜es Forc¸adas. Ressonaˆncia
3.3 Soluc¸a˜o parao problema da corda infinita e da corda semi-infinita.
4. Transformada de Fourier e Aplicac¸o˜es
3
4.1 A transformada em L1 e o espac¸o de Schwartz.
4.2 A convoluc¸a˜o e desigualdades.
4.3 Fo´rmula do somato´rio de Poisson e aplicac¸a˜o da equac¸a˜o do calor.
4.4 Conduc¸a˜o do calor na barra semi-infinita.
4.5 O problema de Dirichlet no retaˆngulo e no disco.
Introduzimos o Me´todo de Fourier para a resoluc¸a˜o de certas EDPs atrave´s do problema de
calor em uma barra, ı´tens de 2. Pode-se considerar que conseguimos perscrutar grande parte de
nossa teoria, posto que foi necessa´rio um trabalho de nivelamento introduto´rio a este projeto.
Haja vista que as sec¸o˜es 1.4 e 1.5 deste relato´rio foram mais extensas e trabalhosas, pore´m de
patente importaˆncia para os fundamentos de toda a teoria que foi desenvolvida ate´ agora.
Abrangemos assim, nesta apostila, resultados importantes para o bom andamento de nosso
estudo, pretendemos na pro´xima etapa realizar alguns exemplos, que e´ uma etapa mais ra´pida.
Optamos por na˜o queimar etapas, primando por um desenvolvimento so´lido da Ana´lise de Fourier
de modo mais intelig´ıvel e claro.
Comec¸amos aqui, portanto, a desenvolver a teoria da Ana´lise de Fourier a partir de seus ele-
mentos mais rudimentares. Nossa motivac¸a˜o e´ a soluc¸a˜o de um tipo de equac¸a˜o diferencial parcial,
conhecido por equac¸a˜o do calor. Veremos que, ao resolver a equac¸a˜o utilizando-nos do Me´todo
de Fourier, chegaremos a uma se´rie trigonome´trica como soluc¸a˜o. Isto levantara´ questo˜es como a
de convergeˆncia e possibilidade de representac¸a˜o de uma func¸a˜o como se´rie trigonome´trica. Em
seguida, abordaremos to´picos imprescind´ıveis como, func¸o˜es perio´dicas, conceitos de convergeˆncia
de se´ries de func¸o˜es (simples e uniforme), ca´lculo dos coeficientes de Fourier, produtos internos,
se´ries de Fourier e o importante teorema sobre integrac¸a˜o de se´ries de Fourier. Vemos tambe´m
como representa´-la na forma complexa e parte do que tange a` Identidade de Parseval.
No segundo item estudaremos as classes de func¸o˜es a serem consideradas e culminaremos no
estudo da convergeˆncia simples e uniforme das se´ries de Fourier. Tambe´m veremos as desigual-
dades de Bessel, Cauchy-Schwarz e de Minkowski. Concluiremos com os nu´cleos de Dirac, cuja
fundamentac¸a˜o rigorosa encontra-se na Teoria das Distribuic¸o˜es.
Apesar de ser apenas a parte inicial da teoria de Ana´lise de Fourier, pudemos ter um panorama
da mesma. Comecemos, enta˜o na pro´xima sec¸a˜o com a nossa motivac¸a˜o.
1.1 Deduc¸a˜o da Equac¸a˜o do Calor
Considere uma barra condutora, de dimensa˜o linear preponderante e dimenso˜es seccionais in-
significantes, como, por exemplo, um arame bem fino e bem extenso em comprimento, isolado
termicamente do meio ambiente a na˜o ser por suas extremidades. Se colocarmos a barra, no
sentido deste seu comprimento sobre o eixo dos xx, e aquecermos uma das extremidades, o fluxo
de calor dar-se-a´ longitudinalmente, da extremidade mais quente para a mais fria, conforme rege
4
a lei do resfriamento. Deste modo, estamos tratando de um problema de conduc¸a˜o te´rmica unidi-
mensional.
Queremos uma func¸a˜o u : R ⊂ R2 → R, u(x, t), que descreva a temperatura num ponto x da
barra num dado instante t; esta e´ nossa motivac¸a˜o.
Figura 1.1: Barra Transversal
Fourier modelou, baseado em seus experimentos, uma equac¸a˜o que descreve a quantidade de
calor transferida de uma secc¸a˜o transversal para outra por unidade de tempo (fluxo Q
∆t
de calor,
cuja unidade S.I. e´ W , i.e., o watt [joule por segundo] ) em func¸a˜o da a´rea das mesmas, A, que
supomos constante, da distaˆncia entre duas destas secc¸o˜es, d, e do mo´dulo da diferenc¸a entre as
temperaturas nestas extremidades, T1 e T2.
A Lei de Fourier que modela este fenoˆmeno, fixando um intervalo de tempo ∆t, e´ :
Q
∆t
∝ A. | T2 − T1 |
d
Onde Q e´ a quantidade de calor absorvida ou cedida por um material, medida em joules, J ,
A e´ a a´rea da secc¸a˜o transversal da barra, T1 e T2 sa˜o as temperaturas nas extremidades e
d e´ o comprimento da mesma. Inserimos uma constante de proporcionalidade que se chama
condutibilidade te´rmica, κ, e temos:
Q
∆t
= κ.
A. | T2 − T1 |
d
(1.1)
A Lei de Fourier, como vemos, e´ independente do tempo (pois fixamos o intervalo de tempo),
portanto precisamos de uma func¸a˜o que descreva de modo mais completo a situac¸a˜o da barra, i.e.,
uma func¸a˜o que descreva a temperatura (dependente do fluxo do calor, Q
∆t
) em func¸a˜o do tempo
e de sua coordenada espacial.
Definamos, agora, a func¸a˜o na qual estamos interessados, sempre considerando que o calor esta´
fluindo da extremidade mais quente para a mais fria.
Definic¸a˜o 1.1.1. Uma func¸a˜o u : U ⊂ R2 → R, u(x, t), e´ dita de classe C(2) se suas derivadas
parciais de segunda ordem, i.e., ∂
2u
∂x2
, ∂
2u
∂t2
, ∂
2u
∂x∂t
e ∂
2u
∂t∂x
, existirem e forem cont´ınuas em U ⊂ R2.
5
Seja u(x, t) uma func¸a˜o de classe C(2) que descreve a temperatura da barra na sua coordenada
x, no instante t. Para contornar a dificuldade da auseˆncia da varia´vel tempo na Lei de Fourier,
introduzimos a grandeza fluxo de calor atrave´s de x num instante t, do seguinte modo:
- Fixamos o tempo em (1.1), e fazemos T2 = u(x+ d, t) e T1 = u(x, t);
- Passamos o limite da func¸a˜o u(x+ d, t)− u(x, t) quando d tende a zero em (1.1).
Assim, se denotarmos por q(x, t) o fluxo de calor atrave´s de x no instante t, temos:
q(x, t) := κ.A. lim
d→0
| u(x+ d, t)− u(x, t) |
d
= κ.A. lim
d→0
u(x+ d, t)− u(x, t)
d
(1.2)
Como a temperatura decresce conforme x cresce, introduzimos um sinal de menos em (1.2), que
fica:
q(x, t) = −κ.A.∂u(x, t)
∂x
(1.3)
Fixemos, agora, para δ > 0, um elemento entre os pontos x0 e x0 + δ, ao longo do eixo dos xx.
Calcularemos o calor que entra em x0 no per´ıodo de tempo, para τ > 0 entre t0 e t0 + τ .
Fixe um ponto qualquer da barra, x0, e defina ∆Q como sendo a quantidade de calor que
entra na regia˜o delimitada por x0 e x0 + δ num intervalo de tempo arbitra´rio, de t0 a t0 + τ . Esta
quantidade e´ escrita como:
∆Q =
∫ t0+τ
t0
q(x0, t)dt−
∫ t0+τ
t0
q(x0 + δ, t)dt (1.4)
Pela Lei de Fourier, (??), temos:
∆Q =
∫ t0+τ
t0
κ.
[
∂u(x0 + δ, t)
∂x
− ∂u(x0, t)
∂x
]
.A.dt
Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo em (1.4), temos:
∆Q =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
∂2u(x, t)
∂x2
.κ.A.dxdt (1.5)
Definic¸a˜o 1.1.2. Calor espec´ıfico e´ uma grandeza f´ısica que define a variac¸a˜o te´rmica de deter-
minada substaˆncia ao receber determinada quantidade de calor.
A unidade no S.I. e´ J
kg.K
(Joule por Quilograma Kelvin). Uma outra unidade mais usual para
calor espec´ıfico e´ cal
g.◦C
(Caloria por Grama Grau Celsius).
Sabemos, da f´ısica ba´sica, que
∆Q = m.c.∆θ = ρ.V.c∆θ = ρ.V.c[u(x0, t0 + τ)− u(x0, t0)]
Onde ρ e´ a densidade volume´trica da barra, c o calor espec´ıfico do material do qual esta e´
constitu´ıda, V o volume desta e ∆θ o incremento de temperatura que o pedac¸o da barra sofre
num dado intervalo de tempo.
Temos, enta˜o :
∆Q = ρ.V.c[u(x0, t0 + τ)− u(x0, t0)]
6
Mas observe que:
V = A.
∫ x0+δ
x0
dx
Enta˜o:
∆Q = ρ.A.c.
∫ x0+δ
x0
[u(x0, t0 + τ)− u(x0, t0)]dx
E usando novamente o Teorema Fundamental do Ca´lculo:
∆Q = ρ.A.c.
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
∂u(x, t)
∂t
dtdx (1.6)
Comparando (1.6) e (1.5), temos que:∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
∂u(x, t)
∂t
.c.ρ.Adtdx =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
∂2u(x, t)
∂x2
.κ.A.dxdt
Chegamos em: ∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
(
∂2u(x, t)
∂x2
.κ.A− ∂u(x, t)
∂t
.c.ρ.A
)
dtdx = 0
O argumento da integral acima e´ cont´ınuo pois supusemos que u(x, t) era de classe C(2), pelo
menos. Ademais, a igualdade acima e´ va´lida para todo t0, τ, x0, δ ∈ R. Afirmamos que o argu-
mentoda integral acima e´ identicamente nulo.
Suponhamos, ab absurdo, que este seja na˜o-nulo. Enta˜o este argumento seria positivo ou
negativo para algum t0, τ, x0, δ ∈ R. Suponha-o, sem perda de generalidade, positivo. Como este
argumento e´ cont´ınuo, segue que existe uma bola aberta B ⊂ R na qual este e´ positivo, o que
implica na na˜o-nulidade da integral, contrariando o fato da igualdade acima valer para qualquer
vizinhanc¸a, o que e´ absurdo. Logo, segue o fato. Portanto:
κ.
∂2u
∂x2
= c.ρ
∂u
∂t
Ou seja:
∂u
∂t
=
κ
c.ρ
.
∂2u
∂x2
Denominamos κ
c.ρ
por difusibilidade te´rmica, k, assim, podemos reescrever a equac¸a˜o acima como:
∂u
∂t
= k.
∂2u
∂x2
(1.7)
A equac¸a˜o (1.7) e´ conhecida por equac¸a˜o do calor ou equac¸a˜o da difusa˜o. Nosso objetivo principal
sera´ descobrir quais func¸o˜es u(x, t) satisfazem (1.7).
Observe que qualquer constante e´ soluc¸a˜o de (1.7), e a func¸a˜o u(x, t) = c.x tambe´m o e´. Enfim,
existem muitas outras; a determinac¸a˜o da soluc¸a˜o procurada depende de fatores f´ısicos. Algumas
das condic¸o˜es que interferem fortemente na determinac¸a˜o da soluc¸a˜o esta˜o listadas abaixo:
7
• I- condic¸a˜o inicial do problema
Podemos ter uma func¸a˜o f(x) que descreve a temperatura da barra na coordenada x no
instante t = 0, i.e.,
u(x, 0) = f(x)
Onde f : [0, L] −→ R
• II- condic¸a˜o de contorno do problema
Podem ser de va´rios tipos:
tipo 1: As temperaturas nas extremidades sa˜o conhecidas.
u(0, t) = T1
u(L, t) = T2
Num caso mais complexo, podemos ter que a temperatura num ponto de coordenada x da
barra no instante t = 0 pode ser expressa por uma func¸a˜o:
u(0, t) = h0(t)
e
u(L, t) = h1(t)
tipo 2: Temos as extremidades isoladas termicamente, i.e., na˜o ha´ fluxo de calor nas ex-
tremidades:
∂u(0, t)
∂x
=
∂u(L, t)
∂x
= 0
tipo 3: Ha´ transfereˆncia entre o meio e as extremidades. Para abordarmos este tipo pre-
cisaremos da seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.1.3. Em f´ısica, emissividade e´ relac¸a˜o entre o poder emissivo de um corpo
qualquer e a de um corpo negro. E´ conhecida como emissividade, e, e pode ter um ma´ximo
igual a 1, que e´ correspondente a` de um corpo negro, e um mı´nimo igual a zero. Corpos que
possuem emissividade inferior a um sa˜o chamados corpos cinza. Corpos onde a emissividade
e´ tambe´m dependente da temperatura e comprimento de onda sa˜o chamados corpos na˜o-
cinza. A emissividade mede a maior ou menor tendeˆncia que determinado corpo tem em
emitir radiac¸a˜o. O poder de emissividade esta´ associado a` natureza do corpo, a` a´rea exposta
e a` temperatura absoluta a que se encontra.
κ
∂u(0, t)
∂x
= e{u(0, t)− u0}
−κ∂u(L, t)
∂x
= e{u(L, t)− u0}
tipo 4: Qualquer combinac¸a˜o dos casos anteriores.
8
1.2 Formulac¸a˜o Matema´tica do Problema
Considere o plano cartesiano de eixos x e t, onde t sera´ a nossa coordenada temporal e x
sera´ a nossa coordenada espacial. Queremos definir uma func¸a˜o real u(x, t) no fecho do conjunto
R = {(x, t) ∈ R2/0 < t <∞, 0 < x < L}, R, que satisfac¸a:
∂u
∂t
= k.
∂2u
∂x2
em R, ale´m da condic¸a˜o inicial:
u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ (0, L)
e da condic¸a˜o de fronteira:
u(0, t) = u(L, t) = 0
Este tipo de problema e´ conhecido como “ problema de valores iniciais e de contorno ”. Um
me´todo desenvolvido para resolver este tipo de equac¸a˜o foi desenvolvido por Fourier, e o veremos
a seguir.
1.2.1 Me´todo de Fourier
Supomos inicialmente que a func¸a˜o procurada, u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas
func¸o˜es, uma exclusivamente dependente de x e outra exclusivamente dependente de t, isto e´, da
forma:
u(x, t) = F (x).G(t) (1.8)
Substituindo (1.8) na equac¸a˜o do calor, teremos:
F (x)G′(t) = k.F ′′(x)G(t)
1
k
G′(t)
G(t)
=
F ′′(x)
F (x)
Observe que aqui supusemos F (x) e G(t) nunca se anularem. Conclu´ımos da equac¸a˜o acima
que os quocientes na˜o podem depender nem de x nem de t, de modo que deve ser uma constante,
σ:
1
k
G′(t)
G(t)
= σ
e
F ′′(x)
F (x)
= σ
Agora, reduzimos o problema de resolver uma E.D.P. ao problema de resolver duas E.D.O.s.
Resolvamos uma delas:
F ′′(x)− σF (x) = 0 (1.9)
Como u(0, t) = u(L, t) = 0, segue que:
F (0)G(t) = F (L)G(t) = 0 ∀t > 0
9
o que implica F (0) = F (L) = 0 pois G(t) ≡ 0 na˜o nos interessa. Resolvendo o P.V.C. (problema
do valor de contorno): 

F”(x)− σF (x) = 0
F (0) = 0
F (L) = 0
teremos treˆs poss´ıveis valores de σ a analisar:
i) σ > 0
F (x) = c1e
√
σx + c2e
−√σx
Para satisfazer o problema do valor inicial temos que ter:{
c1 + c2 = 0; pois F (0) = 0
c1e
√
σL + c2e
√
σL = 0; pois F (L) = 0
o que implica c1 = c2 = 0, e F (x) ≡ 0 na˜o nos interessa.
ii) σ = 0
F (x) = c1x+ c2
Com c2 = 0 e c1L+ c2 = 0 ⇒ c1 = c2 = 0, uma soluc¸a˜o trivial que tampouco nos interessa;
iii) σ < 0
Fazemos σ = −λ2 para facilitar os ca´lculos. Temos:
F (x) = c1 cos (λx) + c2 sin (λx)
que devera´ satisfazer: {
c1 = 0
c2 sin (λL) = 0
Como, novamente, na˜o queremos uma soluc¸a˜o identicamente nula, i.e., c2 = 0, enta˜o devemos
ter:
c2 sin (λL) = 0 com c2 6= 0 ⇔ sin (λL) = 0
O que implica que:
λL = npi, ∀n ∈ Z∗
Assim, λ = npi
L
:
σ = −λ2 = −n
2pi2
L2
Como para cada n temos um λ diferente, enta˜o designaremos:
λ2n =
n2pi2
L2
que sera˜o designados os autovalores do P.V.C.
Chegamos a` conclusa˜o de que as func¸o˜es que satisfazem a` E.D.O. (1.9) sa˜o:
Fn(x) = sin
(npix
L
)
que sera˜o designadas as autofunc¸o˜es do P.V.C.
10
Agora, resta-nos achar a soluc¸a˜o geral da outra E.D.O. em t, a saber:
G′(t)− σkG(t) = 0 (1.10)
que sera´, para cada n:
Gn(t) = cn.e
−n2pi2
L2
kt
un(x, t) = Fn(x)Gn(t)
Portanto, para cada n ∈ N teremos uma func¸a˜o:
un(x, t) = cne
−n2pi2k.t
L2 . sin
(npix
L
)
Vamos definir u(x, t) como sendo:
u(x, t) =
∞∑
n=1
cn.e
−n2pi2k.t
L2 . sin
(npix
L
)
tambe´m e´ soluc¸a˜o, onde os cns sa˜o constantes. Observamos que esta soluc¸a˜o e´ descrita por uma
se´rie de func¸o˜es e, portanto, precisaremos de crite´rios para decidir sua convergeˆncia. Por hipo´tese,
u(x, 0) = f(x), o que implica:
f(x) =
∞∑
n=1
cn sin
(npix
L
)
o que sugere que a func¸a˜o f devera´ poder ser escrita como uma se´rie de senos.
E o me´todo de Fourier culmina na indicac¸a˜o deste candidato como soluc¸a˜o. Agora, temos que
provar que ele realmente e´ soluc¸a˜o do problema dado, o que implica em va´rios problemas.
Problema 1: Sera´ que a func¸a˜o dada, f(x), pode ser escrita como uma se´rie de senos? Se
na˜o puder, enta˜o u(x, t) como a encontramos na˜o servira´ como soluc¸a˜o. A´ı deveremos ver em que
condic¸o˜es f(x) pode ser escrita dessa forma, bem como obter os coeficientes cns para esta.
Problema 2: Sendo a func¸a˜o u(x, t) descrita em termos de uma se´rie, e´ mais que natural
levantarmos a questa˜o sobre sob quais condic¸o˜es esta converge, e se, de fato, esta satisfaz a` E.D.P.
dada.
Se levarmos o assunto adiante, constataremos que ele nos conduz naturalmente ao estudo de
conceitos como o de convergeˆncia uniforme de se´ries de func¸o˜es, a que classe de func¸o˜es pertence
f(x) ( de classe L1? Perio´dica? Absolutamente Integra´vel? Integra´vel?), o crite´rio de Cauchy para
a verificac¸a˜o da convergeˆncia de tais se´ries, a completude do espac¸o onde estamos trabalhando,
a importaˆncia da compacidade do domı´nio de certas func¸o˜es que consideramos, dentre inu´meros
outros assuntos.
A deduc¸a˜o da equac¸a˜o do calor nos leva, assim, a uma maravilhosa fonte de motivac¸o˜es para
estudos de ana´lise matema´tica ao nos apresentar uma aplicac¸a˜o “palpa´vel” desta no quotidiano,
mostrando-nos a complexidade e a utilidade das equac¸o˜es diferenciais parciais.
11
1.3 Func¸o˜es Perio´dicas
Uma func¸a˜o real, f : R → R, e´ dita perio´dica de per´ıodo T, se existir um T ∈ R, T 6= 0,
tal que f(x + T ) = f(x) ∀x ∈ Df . Como exemplos podemos citar as func¸o˜es trigonome´tricas,
sin x, cosx, de per´ıodo igual a 2pi. Para um exemplo mais elaborado, considere a func¸a˜o “ menor
inteiro”(func¸a˜o inteira ou func¸a˜o cha˜o [nome introduzido por Kenneth E. Iverson em 1962 ] ),bxc,
que a cada x ∈ R associa o menor inteiro que ele, isto e´, bxc = n se n ≤ x ≤ n + 1. A func¸a˜o
f(x) = x− bxc e´ perio´dica de per´ıodo 1.
Haja vista que se T e´ per´ıodo da func¸a˜o, 2T tambe´m o e´, pois:
f(x+ 2T ) = f([x+ T ] + T ) = f(x+ T ) = f(x)
devido a` associatividade do domı´nio, Df = R, e a` periodicidade per´ıodo T de f . De fato, afir-
mamos no:
Teorema 1.3.1. Se f : R → R e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T , enta˜o kT , com k ∈ N e´
tambe´m per´ıodo.
Demonstrac¸a˜o. O teorema e´ va´lido por definic¸a˜o para k = 1 e, pelo que foi visto acima para k = 2.
Suponha que seja va´lido para k = n− 1 e mostremos que e´ va´lido para k = n.
Com efeito:
f(x+ nT ) = f((x+ (n− 1)T ) + T ) = f(x+ (n− 1)T ) = f(x)
e a afirmac¸a˜o foi demonstrada. De fato, podemos provar que o teorema e´ va´lido para qualquer
k ∈ Z.
Definiremos como per´ıodo fundamental o menor dos per´ıodos positivos. Em seguida, mais uma
importante conceito para a teoria que visamos construir.
1.4 Convergeˆncia Simples e Uniforme
Neste cap´ıtulo discorreremos sobre a convergeˆncia de uma se´rie de func¸o˜es. Para tanto, pre-
cisaremos de alguns conceitos sobre se´ries nume´ricas.
Uma se´rie nume´rica
∑∞
n=1 an e´ dita convergente quando e somente quando a sucessa˜o das re-
duzidas, ou somas parciais e´ de Cauchy (pois aqui na˜o nos preocuparemos com o limite desta).
Agora trataremos de se´ries de func¸o˜es. Ha´ dois modos mais importantes de uma se´rie de func¸o˜es
convergir, que sa˜o os que estudaremos aqui: a convergeˆncia pontual e uniforme. Vejamos estes
casos enta˜o:
Dizemos que uma se´rie de func¸o˜es,
∑∞
n=1 un(x), onde un : I → R sa˜o func¸o˜es definidas em um
subconjunto I ⊂ R, converge pontualmente se, para cada x0 fixado no domı´nio, a se´rie nume´rica∑∞
n=1 un(x0) convergir.
Equivalentemente, uma se´rie
∑∞
n=1 un(x) converge pontualmente se ela (como se´rie nume´rica)
e´ de Cauchy (ja´ que estamos trabalhando em R, o qual e´ completo). Isto quer dizer que ela e´
12
convergente se ∀ε > 0 e x0 ∈ I, existir um inteiro N , dependendo de ε e de x0, tal que a sequeˆncia
das reduzidas e´ de Cauchy:
|Um − Un| < ε⇒
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
Ui −
n∑
i=1
Ui
∣∣∣∣∣ < ε
∣∣∣∣∣
m∑
j=n+1
uj(x0)
∣∣∣∣∣ < ε
para todo N ≤ n < m.
Uma se´rie de func¸o˜es
∑∞
n=1 un(x) convergira´ uniformemente se, dado ε > 0, existir um inteiro N
dependendo exclusivamente de ε tal que |∑mj=n uj(x)| < ε, para todo N ≤ n < m.
Exemplo 1: A se´rie de func¸o˜es
∑∞
n=1
x
n2
converge uniformemente quando definida no intervalo
[0, 1], pois e´ fato que para qualquerx ∈ [0, 1] temos:
x
n2
<
1
n2
Onde
∑∞
n=1
1
n2
e´ uma se´rie nume´rica convergente, e portanto:
∞∑
n=1
x
n2
≤
∞∑
n=1
1
n2
Assim, para todo ε > 0 existe um n0 ∈ N independente de x e dependente exclusivamente de
ε, tal que
∑m
j=n
1
j2
< ε, para m > n ≥ n0. (O ε da se´rie que limita superiormente e´ suficiente para
garantir a convergeˆncia da se´rie limitada, e este na˜o depende em nada e x).
Exemplo 2: A se´rie
∑∞
n=1 un(x), onde u1(x) = x, un(x) = x
n − xn−1, para n > 1, definida
em [0, 1] converge pontualmente para cada x ∈ [0, 1].
De fato, se observarmos a reduzida de ordem n, Un(x) = x
n pode ser vista como elemento de
uma progressa˜o geome´trica de raza˜o x, a qual convergira´ para 0 se x ∈ [0, 1) e para 1 se x = 1.
A convergeˆncia na˜o e´ uniforme pois se dado 0 < ε < 1
2
e n0 ∈ N, tomarmos x = (2ε)
1
n0−1 em:
m∑
j=n
uj(x) = x
m − xn0−1
e da´ı , |xm − xn0−1| = |(2ε) mn0−1 − 2ε|. Assim, se m for suficientemente grande, (2ε) mn0−1 < ε, e
obtemos que: ∣∣∣∣∣
m∑
j=n0
uj(x)
∣∣∣∣∣ > ε
Na verificac¸a˜o da convergeˆncia uniforme da se´rie dada no exemplo 1, utilizamo-nos do ar-
tif´ıcio de majorar a nossa se´rie de func¸o˜es por uma se´rie nume´rica convergente. E´ esta a ideia
subjacente ao chamado Teste M de Weierstrass, que enunciaremos a seguir. Este crite´rio, como
13
veremos, garante na˜o somente a convergeˆncia uniforme, mas tambe´m a convergeˆncia absoluta (isto
e´, quando a se´rie dos valores absolutos converge).
Teorema 1.4.1 (Teste M de Weierstrass:). Seja (fn)n∈N uma sequeˆncia de func¸o˜es reais (ou
complexas) definidas em um conjunto I, Mn uma sequeˆncia de nu´meros reais satisfazendo:
|fn(x)| ≤Mn
para todo n > 1, e todo x ∈ I.
Onde
∑∞
n=1Mn e´ uma se´rie nume´rica convergente.Enta˜o:
∞∑
n=1
fn(x)
converge uniforme e absolutamente em I
Demonstrac¸a˜o. O teste da comparac¸a˜o garante que a se´rie nume´rica:
∞∑
n=1
fn(x)
converge para cada x ∈ I,
Seja f0(x) o limite pontual de
∑
fn(x), o limite pontual de fn para cada x ∈ I. Para mostrar
que a convergeˆncia e´ uniforme, fixe um ε > 0,logo, da convegeˆncia da se´rie formada pelos Mn,
temos que existe um N , tal que:
∞∑
n=N
Mn < ε
Enta˜o estimamos pelo teste da comparac¸a˜o, mais uma vez, que para todo x ∈ I:
∞∑
n=n+1
fn(x) ≤
∣∣∣∣∣
∞∑
n=n+1
fn(x)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
n=n+1
|fn(x)| ≤
∞∑
n=N
Mn < ε
E o resultado segue, pois N , na˜o foi escolhido com base em x.
Tal crite´rio e´ extremamente coˆmodo, pois reduz o problema de verificar a convergeˆncia uni-
forme de uma se´rie de func¸o˜es ao problema de verificar a convergeˆncia de uma se´rie nume´rica,
o que e´ muito mais fa´cil. Sendo a convergeˆncia uniforme uma propriedade muito mais restritiva
que a convergeˆncia pontual, o que implica coisas mais importantes, temos que as func¸o˜es que
convergem uniformemente apresentam propriedades excelentes e convenientes ao nosso escopo.
Vejamos algumas destas propriedades a seguir.
Lema 1.4.2. Seja a um ponto de acumulac¸a˜o de I. Se a sequeˆncia de func¸o˜es un : I → R con-
verge uniformemente para u : I → R, e, para cada n ∈ N, existe Ln = limx→a un(x) enta˜o:
(1) Existe L = limn→∞Ln;
(2) Tem-se L = limx→a u(x).
14
Em outras palavras, vale:
lim
x→a
[ lim
n→∞
un(x)] = lim
n→∞
[lim
x→a
un(x)]
Pois:
lim
x→a
[ lim
n→∞
un(x)] = lim
x→a
u(x) = L
e
lim
n→∞
lim
x→a
un(x) = lim
n→∞
Ln = L
Demonstrac¸a˜o. Para mostrarmos que existe L = limn→∞Ln, basta provarmos que (Ln)n∈N e´ uma
sequ¨eˆncia de Cauchy (pois em I ⊂ R esta convergira´).
Seja ε > 0 dado. Como un → f uniformemente em I, existe n0 ∈ N tal que ∀m > n > n0 ⇒
|um(x) − un(x)| < ε3 para todo x ∈ I. Sejam m > n > n0. Podemos obter x ∈ I tal que
|Lm − um(x)| < ε3 e |un(x)− Ln| < ε3 . Com esta escolha de x podemos escrever:
|Lm − Ln| ≤ |Lm − um(x)|+ |um(x)− un(x)|+ |un(x)− Ln| < ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε
Logo m > n > n0 ∈ N implica |Lm − Ln| < ε, isto e´, (Ln)n∈N e´ uma sequeˆncia de Cauchy, que
converge em I ⊂ R, cujo limite denotaremos por L.
Mostremos agora que a func¸a˜o u = limn→∞ un tem limite igual a L quando x → a. De fato,
dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |L−Ln| < ε3 e |un(x)− u(x)| < ε3 . Como vimos,
limx→a un(x) = Ln, enta˜o existe δ > 0 tal que ∀x ∈ I, 0 < |x− a| < δ ⇒ |un(x) − Ln| < ε3 . Com
efeito, para todo x cumprindo tais condic¸o˜es, temos:
|u(x)− L| ≤ |u(x)− un(x)|+ |un(x)− Ln|+ |Ln − L| < ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε
Logo, limx→a un(x) = Ln, e segue o resultado.
Lema 1.4.3. Seja (un)n∈N uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas num conjunto I ⊂ R (na˜o neces-
sariamente cont´ınuas) que converge uniformemente para u(x).Enta˜o u(x) e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Seja a ∈ I. O resultado e´ evidente se a e´ ponto isolado de I. Se a e´ ponto de
acumulac¸a˜o de I, o Lema 1.4.2 nos permite escrever:
lim
x→a
u(x) =lim
x→a
[ lim
n→∞
un(x)] = lim
n→∞
[lim
x→a
un(x)] = lim
n→∞
un(a) = u(a)
Logo, u(x) e´ cont´ınua ∀x ∈ I, e segue o resultado.
Proposic¸a˜o 1.4.4. Suponha que as func¸o˜es un(x) sejam cont´ınuas e que a se´rie
∑∞
n=1 un(x)
converge uniformemente. Enta˜o a soma da se´rie u(x) =
∑∞
n=1 un(x) tambe´m e´ uma func¸a˜o
cont´ınua
Demonstrac¸a˜o. Seja a ∈ I. O resultado e´ evidente se a for um ponto isolado de I. Se, todavia, a
for um ponto de acumulac¸a˜o de I, o Lema 1.4.2 nos permite escrever :
lim
x→a
u(x) = lim
x→a
∞∑
i=1
ui(x) = lim
x→a
lim
n→∞
n∑
i=1
ui(x) = lim
n→n
lim
x→a
∞∑
i=1
un(x) =
15
lim
n→∞
n∑
i=1
ui(a) =
∞∑
n=1
un(a) = u(a)
Logo, u(x) e´ cont´ınua ∀a ∈ I, e segue o resultado.
Lema 1.4.5. Se uma sequeˆncia de func¸o˜es cont´ınuas un : [a, b] → R converge uniformemente para
u : [a, b] → R, enta˜o u e´ integra´vel e vale:∫ b
a
u(x)dx = lim
n→∞
∫ b
a
un(x)dx
Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |un(x) − u(x)| < εb−a para todo
x ∈ [a, b], portanto:∣∣∣∣
∫ b
a
u(x)dx−
∫ b
a
un(x)dx
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣
∫ b
a
[u(x)− un(x)]dx
∣∣∣∣ ≤
∫ b
a
|u(x)− un(x)|dx < ε
para todo n > n0. E segue o resultado.
Proposic¸a˜o 1.4.6. Suponha que as func¸o˜es un(x) sejam integra´veis em um intervalo I ⊂ R e
que a se´rie
∑∞
n=1 un(x) convirja uniformemente. Enta˜o:∫
I
( ∞∑
n=1
un(x)
)
dx =
∞∑
n=1
∫
I
un(x)dx
Em outras palavras, e´ permitido integrar termo a termo uma se´rie uniformemente convergente.
Demonstrac¸a˜o. De fato,
∫
I
( ∞∑
n=1
un(x)
)
dx =
∫
I
(
lim
n→∞
n∑
j=1
uj(x)
)
dx
Como a convergeˆncia e´ uniforme, segue do Lema 1.4.5 que:
∫
I
(
lim
n→∞
n∑
j=1
uj(x)
)
dx = lim
n→∞
∫
I
n∑
j=1
uj(x)dx = lim
n→∞
n∑
j=1
∫
I
uj(x)dx =
∞∑
n=1
∫
I
un(x)
Teorema 1.4.7. Seja (fn) uma sequeˆncia de func¸o˜es deriva´veis no intervalo [a, b]. Se, para um
certo c ∈ [a, b] a sequeˆncia nume´rica ((fn(c))) converge e se as derivadas f ′n convergem uniforme-
mente em [a, b] para uma func¸a˜o g, enta˜o (fn) converge uniformemente em [a, b] para uma func¸a˜o
deriva´vel f , tal que f ′ = g.
Demonstrac¸a˜o. O Teorema Fundamental do Ca´lculo nos da´, para todo n ∈ N e todo x ∈ [a, b]:
fn(x) = fn(c) +
∫ x
c
f ′n(t)dt (1.11)
16
As duas parcelas do segundo membro convergem, a primeira, diretamente da hipo´tese, e a segunda
pelo fato de que (f ′n) converge uniformemente para g,e pelo Lema 1.4.5 segue que:
lim
n→∞
∫ x
c
f ′n(t)dt =
∫ x
c
g(t)dt
Logo existe, para cada x ∈ [a, b], o limite f(x) = limn→∞ fn(x) e o Lema 1.4.5 nos fornece ainda,
por passagem do limite, a igualdade:
f(x) = f(c) +
∫ x
c
g(t)dt (1.12)
Portanto f ′(x) = g(x).
Como para cada n, |f ′n(t)− g(t)| e´ integra´vel ∀t ∈ [a, b], segue que o conjunto:
S = {|f ′n(t)− g(t)|, t ∈ [a, b]}
e´ limitado, logo, admite supremo:
s = sup
t∈[a,b]
{|fn(t)− g(t)|}
Logo:
|f ′n(t)− g(t)| ≤ s∫ x
c
|f ′n(t)− g(t)|dt ≤ s
∫ x
c
dt = s.|x− c| ≤ s.(b− a)
Observe que, pela convergeˆncia uniforme de (f ′n), ∀ ε2(b−a) , ∃n′0 tal que ∀n > n′0:
|f ′n(t)− g(t)| <
ε
2(b− a)
Logo ε
2(b−a) e´ um limitante superior para S, de modo que:
s ≤ ε
2(b− a)
Para verificar a uniformidade da convergeˆncia fn → f , basta observar que, subtraindo as duas
igualdades acima, (1.11) - (1.12), vem:
|fn(x)− f(x)| ≤ |fn(c)− f(c)|+ |x− c|. sup
a≤t≤b
{|f ′n(t)− g(t)|}
Dado ε > 0, tomemos n′′0 tal que:
n > n′′0 ⇒ |fn(c)− f(c)| <
ε
2
e
|f ′n(t)− g(t)| <
ε
2(b− a)
para todo x ∈ [a, b]. Enta˜o n > max{n′0, n′′0} ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε para todo x ∈ [a, b].
17
Proposic¸a˜o 1.4.8. Suponha que as func¸o˜es un(x) definidas em um intervalo I sejam continua-
mente deriva´veis e que a se´rie das derivadas,
∑∞
n=1 u
′
n(x) convirja uniformemente. Suponha ainda
que, para um dado x0 ∈ I, a se´rie
∑∞
n=1 un(x0) convirja. Enta˜o:
d
dx
( ∞∑
n=1
un(x)
)
=
∞∑
n=1
u′n(x)
Demonstrac¸a˜o. Defina a sequeˆncia:
Un(x) = u1(x) + u2(x) + · · ·+ un(x) =
n∑
j=1
uj(x)
Assim,
Un(x0) =
n∑
j=1
uj(x0)
Logo, Un(x0) converge, por hipo´tese. Observe que:
U ′n(x) =
n∑
j=1
u′j(x)
Sabemos que, por hipo´tese, U ′n(x) converge uniformemente para U
′(x), logo Un(x) converge uni-
formemente para U ′(x) e reca´ımos nas condic¸o˜es do teorema anterior. Logo: Un(x) converge
uniformemente para uma func¸a˜o cuja derivada a´ U ′(x), e conclu´ımos que:
d
dx
∞∑
n=1
un(x) =
∞∑
n=1
duj(x)
dx
Teorema 1.4.9. (Teorema de Dini) Seja X ⊂ R compacto (fechado e limitado). Se uma
sequeˆncia de func¸o˜es cont´ınuas
fn : X → R
converge monotonicamente para uma func¸a˜o cont´ınua f : X → R, enta˜o a convergeˆncia e´ uni-
forme.
Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0, considere, para cada n ∈ N, o seguinte conjunto:
Kn = {x ∈ X/|fn(x)− f(x)| ≥ ε}
Como fn e f sa˜o cont´ınuas e X e´ fechado, segue-se que:
• Kn e´ limitado;
• Kn e´ fechado.
18
Kn e´ limitado por ser subconjunto de um limitado, logo os limitantes de X tambe´m limitam Kn
para cada n ∈ N.
Kn e´, de fato fechado pois, sendo f e fn cont´ınuas, podemos afirmar que as func¸o˜es gn : X → R
definidas por gn(x) = |f(x) − fn(x)| sa˜o tambe´m cont´ınuas (pois sa˜o compostas e somas de
cont´ınuas). Observemos ainda que [ε,∞) e´ um fechado de R, pois (−∞, ε) = [ε,∞)C e´ aberto.
Podemos afirmar que:
Kn = g
−1
n ([ε,∞)) ∩X
e´ fechado.
Como cada gn e´ cont´ınua e [ε,∞) e´ fechado, segue que g−1n ([ε,∞)) e´ fechado para todo n ∈ N,
e por hipo´tese, como X e´ compacto, X e´ fechado. A intersec¸a˜o de fechados e´ fechada e segue que
Kn e´ fechado para todo n ∈ N.
Como Kn ⊂ R e´ fechado e limitado, Kn e´ compacto.
Como a sequeˆncia (fn)n∈N e´ monotoˆnica , teremos que
K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Kn ⊃ · · ·
Mas, observe que: ⋂
Kn = ∅
De fato, suponha por absurdo que a intersec¸a˜o acima na˜o seja vazia. Enta˜o ∃y ∈ ⋂Kn. Assim:
|f(y)− fn(y)| ≥ ε(∀ε > 0)
o que contraria a hipo´tese que assegura a convergeˆncia de fn → f , Q.E.A.
Afirmamos que, nestas condic¸o˜es existe n0 ∈ N tal que ∀n > n0, Kn = ∅. Com efeito,
se supusermos que isto na˜o ocorre, enta˜o para cada n dado, existira´ um xn tal que xn ∈ Kn.
Considere, enta˜o, a sequeˆncia (xn)n∈N, com xn ∈ K1, ∀n ∈ N. Ora, como K1 e´ compacto, segue
que toda sequeˆncia (xn)n∈N em K1 admite uma subsequeˆncia (xnk)nk∈N convergente. Seja x0 o
limite de tal subsequeˆncia; enta˜o, como K1 e´ fechado:
x0 ∈ K1 ⊂ X
Assim, como fn → f , para este x0, dado ε > 0, existe n′k ∈ N tal que ∀n > n′k:
|f(x0)− fn(x0)| < ε
o que implica em x0 /∈ Kn′
k
+1, Kn′
k
+2, Kn′
k
+3, · · · , i.e., x0 pertence a apenas um nu´mero finito de
Kni, x0 ∈ Kn1 , · · ·Kn′k . Tome δ = d(x0, Kn′k) > 0, pois x0 /∈ Kn′k . Logo xnk /∈ V (x0, δ). Como
K1 ⊃ K2 ⊃ · · ·Kn · · · , ∀nk > n′k, xnk /∈ V (x0, δ), o que contradiz o fato de xnk → x0, Q.E.A.
Logo, existe n0 ∈ N tal que, ∀n > n0 temos que, ∀x ∈ X:
|f(x)− fn(x)| < ε
O que significa que fn converge uniformemente para f .
Tendo em posse tais resultados importantes, passaremos a computar os valores dos chamados
coeficientes de Fourier.
19
1.5 Coeficientes de Fourier
Se uma func¸a˜o real f(x) puder ser escrita na forma:
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(npix
L
)
+ bn sin
(npix
L
)
(1.13)
e´ de se esperar que os coeficientes an e bn estejam intimamente relacionados a` func¸a˜o f . Para
calcula´-los, vamos supor que a igualdade (1.13) se verifique, e mais ainda, que a se´rie em (1.13)
convirja uniformemente.
Como consequeˆncia da Proposic¸a˜o 1.4.4, a func¸a˜o f deve ser cont´ınua, e portanto, in-
tegra´vel, e deve ser perio´dica de per´ıodo 2L, pois o per´ıodo de cos
(
npix
L
)
e´ 2L, e 2L e´ per´ıododas demais func¸o˜es que aparecem na se´rie. Assim, usando a Proposic¸a˜o 1.4.6, podemos integrar
ambos os lados de (1.13) para obtermos:∫ L
−L
f(x)dx =
a0
2
∫ L
−L
dx+
∞∑
n=1
an
∫ L
−L
cos
npix
L
dx+ bn
∫ L
−L
sin
npix
L
dx
e enta˜o:
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x)dx (1.14)
pois, ∫ L
−L
cos
npix
L
dx =
∫ L
−L
sin
npix
L
dx = 0 (1.15)
Para obter os demais coeficientes, utilizamo-nos da mesma ide´ia, explorando os conceitos de or-
togonalidade.
1.5.1 Produtos Internos
Considere o espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas, F [R; R].
Definic¸a˜o 1.5.1. Um produto interno em um espac¸o vetorial sobre R e´ uma func¸a˜o de pares de
elementos deste espac¸o, i.e., a cada par f e g de elementos (func¸o˜es cont´ınuas no nosso caso)
associa um nu´mero 〈f, g〉, satisfazendo aos seguintes axiomas:
(1) 〈f, f〉 ≥ 0, ∀f ∈ F [R; R] se, e somente se f = 0;
(2) 〈f, g〉 = 〈g, f〉, ∀f, g ∈ F [R; R];
(3) 〈αf + βg, h〉 = α 〈f, h〉+ β 〈g, h〉;
(4) 〈f, αg + βh〉 = α 〈f, g〉+ β 〈f, h〉.
Onde α e β sa˜o escalares reais.
Definic¸a˜o 1.5.2. Dizemos que dois vetores, f e g sa˜o ortogonais se, e somente se 〈f(x), g(x)〉 = 0,
∀x ∈ R. No caso das func¸o˜es em F [−L,L], podemos considerar o seguinte produto interno:
〈f, g〉 =
∫ L
−L
f(x)g(x)dx
20
Observe que esta func¸a˜o definida acima satisfaz (1),(2),(3) e (4), logo, e´ um produto interno.
Definic¸a˜o 1.5.3. Um sistema infinito de func¸o˜es reais:
φ0(x), φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x), · · ·
e´ dito ortogonal no intervalo [−L,L] se:∫ L
−L
φn(x)φm(x)dx = 0
se n 6= m, n,m = 0, 1, 2, · · · Ale´m disso, sempre vamos assumir que:∫ L
−L
φn(x)
2dx 6= 0
Para todo n ∈ N. A primeira condic¸a˜o diz que cada par de func¸o˜es e´ ortogonal, e a segunda
condic¸a˜o diz que nenhuma de tais func¸o˜es e´ identicamente nula.
Com base nesta definic¸a˜o, computamos que:∫ L
−L
cos
npix
L
sin
mpix
L
dx = 0 (1.16)
Se n,m ≥ 1; ∫ L
−L
cos
npix
L
cos
mpix
L
dx = L;n = m ≥ 1 (1.17)
∫ L
−L
cos
npix
L
cos
mpix
L
dx = 0;n 6= m,n,m ≥ 1 (1.18)
∫ L
−L
sin
npix
L
sin
mpix
L
dx = L;n = m ≥ 1 (1.19)
∫ L
−L
sin
npix
L
sin
mpix
L
dx = 0;n 6= m,n,m ≥ 1 (1.20)
Para demonstrarmos (1.16), (1.18),(1.20) e (1.19) usamos as identidades trigonome´tricas.
Agora, multiplicando (1.13) por cos mpix
L
, para m ≥ 1 fixado, e integrando, obtemos:∫ L
−L
f(x) cos
mpix
L
dx = am.L (1.21)
de modo semelhante, obtemos: ∫ L
−L
f(x) sin
mpix
L
dx = bm.L (1.22)
Finalmente, de (1.14), (1.21) e (1.22), obtemos:
am =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
mpix
L
dx (1.23)
21
n ≥ 0
bm +
1
L
∫ L
−L
f(x) sin
mpix
L
dx (1.24)
n ≥ 1 Agora, estamos em condic¸o˜es de dar uma boa definic¸a˜o. Seja f : R → R uma func¸a˜o
perio´dica de per´ıodo 2L, integra´vel e absolutamente integra´vel em cada intervalo limitado; em
particular
∫ L
−L |f(x)|dx < ∞. Os nu´meros an, para n ≥ 0, e bn para n ≥ 1, dados em (1.23)
e (1.24) sa˜o os chamados coeficientes de Fourier da func¸a˜o f . A exigeˆncia da integrabilidade
absoluta e´ necessa´ria para que as expresso˜es (1.23) e (1.24) fac¸am sentido. E´ bom observar
tambe´m: ∣∣∣∣
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
∣∣∣∣ ≤
∫ L
−L
|f(x)|dx
1.6 Se´rie de Fourier
Pela sec¸a˜o precedente, temos que dada uma func¸a˜o f : R → R perio´dica, absolutamente
integra´vel de per´ıodo 2L, podemos calcular seus coeficientes de Fourier pelas expresso˜es (1.23) e
(1.24) . E assim, podemos escrever:
f(x) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
(npix
L
)
+ bn sin
(npix
L
))
(1.25)
Note que acima na˜o temos uma igualdade. A expressa˜o do lado direito de (1.25) e´ a se´rie
de Fourier de f. Mas qual relac¸a˜o tem uma func¸a˜o com sua se´rie de Fourier? Infelizmente nem
sempre temos uma igualdade, havendo casos em que a se´rie de Fourier pode ate´ divergir. Ha´
ate´ exemplo de func¸a˜o cont´ınua cuja se´rie de Fourier diverge. A seguir, estudaremos condic¸o˜es
suficientes para que a func¸a˜o f seja igual a` sua se´rie de Fourier.
Uma func¸a˜o f : R → R sera´ seccionalmente cont´ınua se ela tiver apenas um nu´mero finito de
descontinuidades, e todas de primeira espe´cie em qualquer intervalo limitado (i.e, f(x) tem uma
descontinuidade de primeira espe´cie em c se limx→c f(x) na˜o existe mas limx→c+ f(x) e limx→c− f(x)
existem ), tambe´m chamadas de descontinuidades de salto .Em outras palavras, dados a < b,
existem a ≤ a1 < a2 < a3 < · · · < an ≤ b, tais que f e´ cont´ınua em cada um dos intervalos abertos
(aj, aj+1), j = 1, 2, · · · , n− 1, e existem os limites:
f(aj + 0) = lim
x→a+j
f(x)
f(aj − 0) = lim
x→a−j
f(x)
Uma func¸a˜o f : R → R sera´ seccionalmente diferencia´vel se for seccionalmente cont´ınua e f ′ for
tambe´m seccionalmente cont´ınua. Observemos que f ′ na˜o esta´ definida em todo ponto de f , pois
nos pontos em que f e´ descont´ınua, f ′ na˜o existira´, e f ′′ na˜o existira´ nos pontos em que f ′ na˜o
for cont´ınua, logo pode na˜o existir mesmo em alguns pontos onde f e´ cont´ınua.
Enunciamos a seguir o Teorema de Fourier, que nos diz quais as condic¸o˜es suficientes para a
convergeˆncia da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f .
22
Teorema 1.6.1. (Teorema de Fourier) Seja f : R → R uma func¸a˜o seccionalmente difer-
encia´vel de per´ıodo 2L. Enta˜o a se´rie de Fourier da func¸a˜o f , dada em 1.13, converge em cada
ponto x para 1
2
[f(x+ 0) + f(x− 0)], i.e.,
1
2
[f(x+ 0) + f(x− 0)] = a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sin
npix
L
)
(1.26)
1.7 Se´ries de Fourier para Func¸o˜es Pares e I´mpares
Definic¸a˜o 1.7.1. Uma func¸a˜o f : R → R e´ dita par se f(x) = f(−x), para todo x ∈ R.
Geometricamente, isto significa que o gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico com relac¸a˜o ao eixo
dos yy.
Definic¸a˜o 1.7.2. Uma func¸a˜o f : R → R e´ dita ı´mpar se f(x) = −f(−x) para todo x ∈ R.
Geometricamente, isto significa que o gra´fico da func¸a˜o e´ sime´trico com relac¸a˜o a` origem.
Exemplo 1.7.3. (i) As func¸o˜es f(x) = cos
npix
L
, f(x) = x2n com n = 1, 2, · · · , sa˜o func¸o˜es pares;
(ii) As func¸o˜es f(x) = sin
npix
L
, f(x) = x2n−1, com n = 1, 2, · · · , sa˜o func¸o˜es ı´mpares.
Proposic¸a˜o 1.7.4. Temos que:
(i) A soma de duas func¸o˜es pares e´ uma func¸a˜o par e a soma de duas func¸o˜es ı´mpares e´ uma
func¸a˜o ı´mpar;
(ii)O produto de duas func¸o˜es pares e´ uma func¸a˜o par;
(iii)O produto de duas func¸o˜es ı´mpares e´ uma func¸a˜o ı´mpar;
(iv) O produto de uma func¸a˜o par por uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. (i) Sejam f : R → R e g : R → R duas func¸o˜es pares. Enta˜o:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x) = (f + g)(−x)
Logo, f + g e´ uma func¸a˜o par.
Se h : R → R e j : R → R sa˜o duas func¸o˜es ı´mpares, enta˜o:
(h+ j)(x) = −h(−x)− j(−x) = −(h + j)(−x)
Logo, h+ j e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
(ii)Sejam f : R → R e g : R → R duas func¸o˜es pares. Enta˜o:
(f.g)(x) = f(x).g(x) = f(−x).g(−x) = (f.g)(−x)
Logo, (f.g) e´ uma func¸a˜o par.
23
(iii)Sejam h : R → R e j : R → R duas func¸o˜es ı´mpares, enta˜o:
(h.j)(x) = h(x).j(x) = −h(−x).(−j(−x)) = (h.j)(−x)
Logo, h.j e´ uma func¸a˜o par.
(iv)Sejam f : R → R uma func¸a˜o par e g : R → R uma func¸a˜o ı´mpar. Enta˜o:
(f.g)(x) = f(x).g(x) = f(−x).[−g(−x)] = (−f.g)(−x)
Logo, (f.g) e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Teorema 1.7.5. O espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas, C[R; R] e´ a soma direta do espac¸o de
func¸o˜es cont´ınuas pares, CE [R; R], e func¸o˜es cont´ınuas ı´mpares,CO[R; R], i.e.,
C[R; R] = CE [R; R]⊕ CO[R; R]
Demonstrac¸a˜o. Tome f(x) ∈ C[R; R], e observe que podemos escrever f como:
f(x) =
[
f(x) + f(−x)
2
]
+
[
f(x)− f(−x)
2
]
Onde a primeira parcela e´ uma func¸a˜o par e a segunda parcela e´ uma func¸a˜o ı´mpar, logo,toda
func¸a˜o de C[R; R] pode ser escrita como soma de um elemento de CE [R; R] com um elemento de
CO[R; R]. Mostremos que:
CE [R; R] ∩ CO[R; R] = {0}
E´ o´bvio que {0} ⊆ CE [R; R]∩ CO[R; R]. Portanto, tome um elemento y(x) ∈ CE [R; R]∩ CO[R; R].
Como y(x) ∈ CE[R; R], segue que y(x) = y(−x), ∀x ∈ R.
Como y(x) ∈ CO[R; R], segue que y(x) = −y(−x), ∀x ∈ R.
Enta˜o, teremos que:
2y(x) = y(−x)− y(−x) = 0
Logo,
2y(x) = 0
E, portanto, y(x) = 0, ∀x ∈ R.
Proposic¸a˜o 1.7.6. Temos que:
(i)Se f : R → R e´ uma func¸a˜o par que e´ integra´vel em qualquer intervalo limitado, enta˜o:∫ L
−L
f(x)dx = 2.
∫ L
0
f(x)dx
(ii)Se f : R → R e´ uma func¸a˜o ı´mpar e integra´vel em qualquer intervalo limitado, enta˜o:∫ L
−L
f(x)dx = 0
24
Demonstrac¸a˜o. (i) Observe que:∫ L
−L
f(x)dx =
∫ 0
−L
f(x)dx+
∫ L
0
f(x)dx
E tambe´m: ∫ 0
−L
f(x)dx = −
∫ −L
0
f(x)dx =
∫ −L
0
−f(x)dx
Como f e´ par, segue que: ∫ −L
0
−f(x)dx =
∫ −L
0
f(−x)dx =
∫ L
0
f(x)dx
de modo que: ∫ L
−L
f(x)dx = 2.
∫ L
0
f(x)dx
(ii)Observe que: ∫ L
−L
f(x)dx =
∫ 0
−L
f(x)dx+
∫ L
0
f(x)dx
E tambe´m: ∫ 0
−L
f(x)dx = −
∫ −L
0
f(x)dx =
∫ L
0
−f(x)dx
Somando as duas igualdades acima na integral:∫ L
−L
f(x)dx =
∫ L
−L
f(x)− f(x)dx =
∫ L
−L
0dx = 0
Agora, de posse das proposic¸o˜es acima, podemos calcular se´ries de Fourier para func¸o˜es pares
e ı´mpares.
(a) Se f for uma func¸a˜o par, perio´dica com per´ıodo 2L, integra´vel e absolutamente integra´vel,
enta˜o:
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
npix
L
dx
Com bn = 0, pois em virtude da Proposic¸a˜o 1.7.4, a func¸a˜o f(x) cos
npix
L
e´ par e a func¸a˜o
f(x) sin
npix
L
e´ ı´mpar, e os valores de an e bn acima sa˜o obtidos aplicando a Proposic¸a˜o 1.7.6.
Portanto, podemos depreender disso que a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o par e´ uma se´rie de
cossenos.
(b)Se f for uma func¸a˜o ı´mpar, perio´dica de per´ıodo 2L, integra´vel e absolutamente integra´vel,
enta˜o, por outro lado, teremos:
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
npix
L
dx
25
e
an = 0
Usando as proposic¸o˜es 1.7.4 e 1.7.6, como fizemos no item (a) acima. Assim, a se´rie de Fourier de
uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma se´rie de senos.
Podemos interpretar este resultado com base no Teorema 1.7.5 da seguinte forma: uma func¸a˜o
cont´ınua par, f(x) ∈ C[R; R] so´ tem componentes em CE [R; R] e uma func¸a˜o ı´mpar f(x) ∈ C[R; R]
so´ tem componentes em CO[R; R].
1.8 Integrac¸a˜o de Se´ries de Fourier
Comec¸aremos com um lema importante sobre integrais de func¸o˜es perio´dicas:
Lema 1.8.1. Se f : R → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua, perio´dica de per´ıodo 2L, enta˜o ∀x ∈ R,
temos: ∫ x+L
x−L
f(x)dx =
∫ L
−L
f(x)dx
Demonstrac¸a˜o. Seja G(x) =
∫ x+L
x−L f(x)dx. Mostraremos que G e´ constante.
Com efeito, observe que, como f e´ cont´ınua, podemos usar o Teorema Fundamental do Ca´lculo
para computar o valor da derivada de G:
dG
dx
=
d
dx
∫ x+L
x−L
f(x)dx = f(x+ L)− f(x− L) = f(x)− f(x) = 0
Logo, a derivada de G e´ a func¸a˜o identicamente nula e depreendemos que G e´ constante, de modo
que G(x) = G(0) =
∫ L
−L f(x)dx, e segue o resultado. Ademais, se fizermos y = x + L neste
resultado, seguira´ que: ∫ x+2L
x
f(x)dx =
∫ L
−L
f(x)dx
1.8.1 O Teorema sobre Integrac¸a˜o de Se´ries de Fourier
Seja f uma func¸a˜o integra´vel e absolutamente integra´vel, de per´ıodo 2L, f : R → R a qual
supomos ser igual a´ sua se´rie de Fourier:
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(npix
L
)
+ bn sin
(npix
L
)
Ademais, supondo que a se´rie converge uniformemente para a func¸a˜o, podemos usar os resultados
da sec¸a˜o 1.4. Devido a este fato, usando a Proposic¸a˜o 1.4.6 da referida sec¸a˜o, conclu´ımos que:∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
a0
2
dx+
∞∑
n=1
[∫ b
a
an cos
(npix
L
)
dx+
∫ b
a
bn sin
(npix
L
)
dx
]
(1.27)
26
Nosso intento nesta sec¸a˜o sera´ demonstrar que (1.27) e´ va´lida mesmo se a se´rie de Fourier na˜o
convergir uniformemente para f , ou mesmo se a se´rie de Fourier sequer convergir para f . Isto nos
indica que a se´rie de Fourier e´ um tipo muito especial de se´rie, cheia de propriedades interessantes
e cativantes.
Comecemos com uma func¸a˜o f : R → R, perio´dica de per´ıodo 2L e seccionalmente cont´ınua.
Definimos a func¸a˜o F : R → R, pela seguinte expressa˜o:
F (x) =
∫ x
0
[
f(t)− a0
2
]
dt (1.28)
a qual e´ cont´ınua. Como consequeˆncia do Teorema Fundamental do Ca´lculo, temos que F ′(x)
existe em todos os pontos x onde f e´ cont´ınua e, mais ainda, F ′(x) = f(x) nesses pontos. Assim,
F ′(x) e´ seccionalmente cont´ınua.
Observemos tambe´m que F e´ perio´dica de per´ıodo 2L, pois, usando o Lema 1.8.1 na segunda
das igualdades abaixo, podemos escrever:
F (x+ 2L)− F (x) =
∫ x+2L
x
[
f(t)− a0
2
]
dx =
∫ L
−L
[
f(t)− a0
2
]
dt = (1.29)
=
∫ L
−L
f(t)dt−
∫ L
−L
a0
2
dt = a0L− a0L = 0 (1.30)
Resumindo, temos que F e´ cont´ınua (pois e´ integral de uma func¸a˜o), tem derivada F ′ = f(t)
cont´ınua por partes, pois foi esta a condic¸a˜o exigida primeiramente de f(t). Aplicando o Teorema
de Fourier, pois estamos satisfazendo suas hipo´teses:
F (x) =
A0
2
+
∞∑
n=1
[
An cos
(npix
L
)
+Bn sin
(npix
L
)]
(1.31)
Onde:
An =
1
L
∫ L
−L
F (x) cos
npix
L
dx, n ≥ 0
Bn =
1
L
∫ L
−L
F (x) sin
npix
L
dx, n ≥ 1
Integrando por partes, podemos obter:
An =
1
L
[
F (x)
L
npi
sin
npix
L
|L−L −
∫ L
−L
L
npi
F ′(x) sin
npix
L
dx
]
De modo que:
An =
−Lbn
npi
, n ≥ 1 (1.32)
Analogamente:
Bn =
1
L
[
−F (x) L
npi
cos
npix
L
|L−L −
∫ L
−L
L
npi
F ′(x) cos
npix
L
dx
]
27
De modo que:
Bn =
Lan
npi
, n ≥ 1 (1.33)
Para calcularmos A0, basta fazermos x = 0 em (1.31), e obtemos:
0 =
A0
2
+
∞∑
n=1
An
Assim,
A0 =
L
pi
∞∑
n=1
bn
n
(1.34)
Assim, usando (1.28), (1.31) e as expresso˜es para os coeficientes de Fourier em (1.32), (1.33) e
(1.34), obtemos: ∫ x
0
f(t)dt = F (x) +
a0x
2∫ x
0
f(t)dt =
a0x
2
+
L
pi
∞∑
n=1
bn
n
+
∞∑
n=1
− L
npi
bn cos
npix
L
+
L
npi
an sin
npix
L
Que pode, equivalentemente ser escrita como, se observarmos as igualdades entre os coeficientes
de F (x) e de f(x) em suas se´ries de Fourier:∫ x
0
f(t)dt =
∫ x
0
a0
2
dt+
∞∑
n=1
(∫ x
0
an cos
npit
L
dt+
∫ x
0
bn sin
npit
L
dt
)
(1.35)
A expressa˜o (1.35) fornece (1.27) fazendo-se x = a e x = b e subtraindo-se as expresso˜es enta˜o
obtidas.
Assim, acabamos de demonstrar o:
Teorema 1.8.2. Teorema sobre Integrac¸a˜o de Se´ries de Fourier: Seja f : R → R uma
func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L e seccionalmente cont´ınua e seja:
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sin
npix
L
)
(1.36)
sua se´rie de Fourier. Enta˜o:
(i) a se´rie pode ser integrada termo a termo e o valor da se´rie integrada e´ a integral de f ; mais
precisamente, ∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
a0
2
dx+
∞∑
n=1
(
an
∫ b
a
cos
npix
L
dx+ bn
∫ b
a
sin
npix
L
dx
)
(1.37)
(ii)a func¸a˜o F (x) =
∫ x
0
[f(t)− (a0
2
)]dt e´ perio´dica de per´ıodo 2L, cont´ınua, tem derivada F ′(x)
seccionalmente cont´ınua e e´ representada por sua se´rie de Fourier:∫ x
0
[
f(t)− a0
2
]
dt =
L
pi
∞∑
n=1
bn
n
+
∞∑
n=1
− L
npi
bn cos
npix
L
+
L
npi
an sin
npix
L
(1.38)
28
onde:
L
pi
∞∑
n=1
bn
n
=
1
2L
∫ L
−L
F (x)dx (1.39)
Observac¸a˜o 1.8.3. Para as aplicac¸o˜es, o teorema acima toma a forma pra´tica seguinte:
Se
f(x) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(npix
L
)
+ bn sin
(npix
L
)
enta˜o:
F (x) =
∫ x
0
(
f(t)− a0
2
)
dt =
=
1
2L
∫ L
L
F (x)dx+
L
pi
∞∑
n=1
(−bn
n
cos
npix
L
+
an
n
sin
npix
L
)
Aplicac¸o˜es: Todas as func¸o˜es a seguir sa˜o perio´dicas de per´ıodo fundamental L.
(i) Considere a func¸a˜o f(x) = x, para −L ≤ x < L. temos
f(x) ∼ 2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sin
npix
L
Logo,
F (x) =
x2
2
e
1
2L
∫ L
−L
F (x)dx =
L2
6
e, portanto:
x2
2
=
L2
6
+
2L2
pi2
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos
npix
L
(1.40)
Para −L ≤ x ≤ L.
(ii)Aplicando novamente o teorema a (1.40), e como:
F (x) =
∫ x
0
(
t2
2
− L
2
6
)
dt =
x3
6
− L
2x
6
1
2L
∫ L
−L
F (x)dx = 0
obtemos:
x3
6
− L
2x
6
=
2L3
pi3
∞∑
n=1
(−1)n
n3
sin
npix
L
− L ≤ x ≤ L (1.41)
Para −L ≤ x ≤ L
(iii) Usaremos o teorema acima mais uma vez em (1.41).Como
F (x) =
∫ x
0
(
t3
6
− L
2t
6
)
dt =
x4
24
− L
2x2
12
29
1
2L
∫ L
−L
F (x)dx = −7L
4
360
Obtemos:
x4
24
− L
2x2
12
= −7L
4
360
+
2L4
pi4
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
cos
npix
L
(1.42)
Fazendo x = L em (1.42), obteremos:
pi4
90
=
∞∑
n=1
1
n4
1.9 Estimativa dos Coeficientes de Fourier
Pretendemos mostrar nesta sec¸a˜o como obter certas estimativas dos coeficientes de Fourier de
uma dada func¸a˜o a partir de hipo´teses sobre a derivabilidade da mesma.
(i)Supondo que f seja perio´dica de per´ıodo 2L, integra´vel e absolutamente integra´vel, obtemos
imediatamente as seguintes estimativas:
|an| =
∣∣∣∣ 1L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
∣∣∣∣ ≤ 1L
∫ L
−L
|f(x)|dx (1.43)
|bn| =
∣∣∣∣ 1L
∫ L
−L
f(x) sin
npix
L
dx
∣∣∣∣ ≤ 1L
∫ L
−L
|f(x)|dx (1.44)
Onde usamos o fato das func¸o˜es seno e cosseno serem limitadas e assumirem valor ma´ximo igual
a 1. Logo, com a simples hipo´tese da integrabilidade de f e de |f |, conclu´ımos que existe uma
constante M1, tal que:
|an| ≤M1
|bn| ≤M1
∀n.
(ii) Suponhamos, agora que f seja perio´dica de per´ıodo 2L, deriva´vel e tal que a sua derivada
f ′ seja integra´vel e absolutamente integra´vel. Enta˜o, integrando por partes, temos, para n ≥ 1,
Lan =
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
L
npi
f(x) sin
npix
L
|L−L −
L
npi
∫ L
−L
f ′(x) sin
npix
L
dx
ou seja,
an = − 1
npi
∫ L
−L
f ′(x) sin
npix
L
dx (1.45)
E tomando os valores absolutos:
|an| ≤ 1
npi
∫ L
−L
|f ′(x)|dx
Analogamente, teremos :
Lbn =
∫ L
L
f(x) sin
npix
L
dx = − L
npi
f(x) cos
npix
L
|L−L +
L
npi
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx
30
O que e´ igual a:
Lbn =
−L
npi
{f(L) cosnpi − f(−L) cos npi}+ L
npi
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx
E como f e´ perio´dica:
bn =
1
npi
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx (1.46)
Tomando novamente valores absolutos, segue que:
|bn| ≤ 1
npi
∫ L
−L
|f ′(x)|dx
Logo, da hipo´tese exigida que f seja cont´ınua e que tenha derivada integra´vel e absolutamente
integra´vel, depreendemos que existe uma constante, M2, tal que:
|an| ≤ M2
n
, |bn| ≤ M2
n
(1.47)
Para todo n = 1, 2, 3, · · · .
(iii)Se supusermos f perio´dica com per´ıodo 2L e primeira derivada cont´ınua, segunda derivada
integra´vel e absolutamente integra´vel, melhoramos as estimativas em (1.47), realizando mais uma
vez a integrac¸a˜o por partes em (1.45) e (1.46). De fato, em (1.45), obteremos:
an = − 1
npi
{
−f ′(x) L
npi
cos
npix
L
|L−L +
L
npi
∫ L
−L
f ′′(x) cos
npix
L
dx
}
E da´ı:
|an| ≤ L
n2pi2
∫ L
−L
|f ′′(x)|dx
De modo que analogamente, obteremos:
|bn| ≤ L
n2pi2
∫ L
−L
|f ′′(x)|dx
E conclu´ımos finalmente que existe uma constante M3 , que e´ Lpi
−2 ∫ L
−L |f ′′(x)|dx, tal que:
|an| ≤ M3
n2
|bn| ≤ M3
n2
para n = 1, 2, 3, · · · .
Observe que, quanto mais hipo´teses sobre a integrabilidade absoluta das derivadas exigimos,
mais apurada fica a aproximac¸a˜o. No primeiro caso, onde so´ exig´ıamos a integrabilidade absoluta
de f , conseguimos uma aproximac¸a˜o “uniforme”, no sentido em que |an| independe do n.
31
No segundo caso onde, ale´m da integrabilidade absoluta de f exigimos a integrabilidade ab-
soluta de f ′, conseguimos uma aproximac¸a˜o um tanto melhor, posto que |an| depende de cada n.
Isto ja´ satisfaz a um crite´rio necessa´rio para a convergeˆncia de qualquer se´rie, limn→∞ |an| = 0.
No terceiro caso onde, ale´m da integrabilidade absoluta de f e de f ′ exigimos a integrabilidade
absoluta de f ′′, conseguimos uma aproximac¸a˜o ainda melhor, visto que |an| estara´ relacionado ao
rec´ıproco do quadrado de n, satisfazendo o mesmo crite´rio acima referido. Estes sa˜o resultados
fortes. Poder´ıamos enfraqueceˆ-los, simplesmente por exigir que f fosse de classe C(1) no segundo
caso e de classe C(2) no terceiro caso.
Agora passaremos a uma representac¸a˜o mais compacta e elegante de uma se´rie de Fourier de
qualquer func¸a˜o.
1.10 Forma Complexa da Se´rie de Fourier
Usamos a fo´rmula de Euler:
eiθ = cos θ + i sin θ
e suas consequeˆncias:
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
e
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Para escrevermos a se´rie de Fourier com o aux´ılio de exponenciais complexas:
an cos
npix
L
+ bn sin
npix
L
=
(
an
2
+
bn
2i
)
e
inpix
L +
(
an
2
− bn
2i
)
e−
npix
L
De modo que o coeficiente de e
inpix
L , cn, sera´ dado por:
cn =
an
2
+
bn
2i
=
1
2
(an − ibn) = 1
2L
∫ L
−L
f(x)
(
cos
npix
L
− i sin npix
L
)
dx
Ou seja,
cn =
1
2L
∫ L
−L
f(x)e
−inpix
L dx
Definimos tambe´m um c0 como sendo:
c0 =
a0
2
=
1
2L
∫ L
−L
f(x)dx
Compactando todos os resultados acima, mostramos que uma se´rie de Fourier de uma func¸a˜o
f : R → R, perio´dica de per´ıodo 2L, integra´vel e absolutamente integra´vel, pode ser escrita como:
∞∑
n=−∞
cne
inpix
L
32
onde:
cn =
1
2L
∫ L
−L
f(x)e−
inpix
L dx
Para n = 0± 1,±2,±3, · · ·
De fato, observe o termo geral da se´rie de Fourier:
an cos
npix
L
+ bn sin
npix
L
Usando a fo´rmula de Euler, chegamos que a expressa˜o acima se iguala a :
1
2
(an + ibn)e
−
inpix
L +
1
2
(an − ibn)e
inpix
L
Desenvolvendo an e bn em termos da func¸a˜o f em questa˜o:
1
2
∫ L
−L
f(x)
(
cos
npix
L
+ i sin
npix
L
)
dx+
1
2
∫ L
−L
f(x)
(
cos
npix
L
− i sin npix
L
)
dx (1.48)
Mas observe que: 

cos
npix
L
=
e
inpix
L + e−
inpix
L
2
sin
npix
L
=
e
inpix
L − e− inpixL
2i
Substituindo isto em (1.48), vem:
c−ne−
inpix
L + cne
inpix
L
Logo, podemos escrever a se´rie de Fourier de f com o termo geral acima, do seguinte modo:
∞∑
n=1
(
c−ne−
inpix
L + cne
inpix
L
)
Que podemos “quebrar”em dois somato´rios:{∑∞
n=1 c−ne
− inpix
L∑∞
n=1 cne
inpix
L
O primeiro dos quais podemos renomear m = −n, de modo que:
∞∑
n=1
c−ne
− inpix
L =
1∑
m=−∞
cme
impix
L
Assim, somando aos resultados acima c0 =
a0
2
, a se´rie tem o termo geral igual a:
∞∑
n=−∞
cne
inpix
L
33
1.11 Identidade de Parseval
Dada uma func¸a˜o f : R → R, perio´dica de per´ıodo 2L, integra´vel e absolutamente integra´vel,
podemos calcular sem problemas os seus coeficientes de Fourier, a0, an e bn. A Identidade de
Parseval ( em homenagem ao matema´tico franceˆs do se´culo XVIII, Marc-Antoine Parseval des
Cheˆnes) nos diz que:
1
2
a0
2 +
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n) =
1
L
∫ L
−L
|f(x)|2dx (1.49)
Se considerarmos a forma complexa da se´rie de Fourier, apresentada na sec¸a˜o precedente, teremos,
mutatis mutandis: ∞∑
n=−∞
|cn|2 = 1
2L
∫ L
−L
|f(x)|2dx
De fato, da sec¸a˜o precedente sabemos que cn =
an
2
+ bn
2i
, e portanto:
|cn|2 = a
2
n + b
2
n
4
Assim, computamos:
∞∑
n=−∞
|cn|2 =
−1∑
n=−∞
|cn|2 +
(a0
2
)2
+
∞∑
n=1
|cn|2
Logo, a expressa˜o acima iguala-se a:
1
4
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n) +
(a0
2
)2
+
1
4
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n)
=
1
2
( ∞∑
n=1
(a2n + b
2
n) +
a20
2
)
=
1
2L
∫ L
−L
|f(x)|2dx
E redundamos em: ∞∑
n=−∞
|cn|2 = 1
2L
∫ L
−L
|f(x)|2dx
Informalmente essa igualdade asserciona que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier
de uma func¸a˜o e´ igual a` integral do quadrado da func¸a˜o. Mais formalmente, observamos que a
igualdade de Parseval valera´ para func¸o˜es cujo quadrado e´ absolutamente integra´vel.
Este resultado nos da´ a relac¸a˜o entre a me´dia do valor absoluto do quadrado da func¸a˜o e seus
coeficientes de Fourier. Devemos observar, portanto, que o objetivo deste teorema na˜o e´ calcular a
me´dia do valor absoluto do quadrado de uma func¸a˜o sabendo-se seus coeficientes de Fourier (pois
isto pode ser feito por meio de simples integrac¸a˜o), mas sim relacionar tais valores.
Vamos dar uma demonstrac¸a˜o da Identidade de Parseval no caso particular em que a se´rie de
Fourier de f(x) converge uniformemente para f(x) em (−L,L), e f(x) e´ tal que seu quadrado e´
integra´vel.
34
Demonstrac¸a˜o. Admitindo que:
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sin
npix
L
)
como a se´rie converge uniformemente, podemos multiplicar por f(x) e integrar termo a termo a
igualdade acima, donde obteremos:
∫ L
−L
f(x)2dx =
a0
2
∫ L
−L
f(x)dx+
+
∞∑
n=1
(
an
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx+ bn
∫ L
−L
f(x) sin
npix
L
dx
)
onde usando as expresso˜es
∫ L
−L f(x) cos
npix
L
dx = anL,
∫ L
−L f(x) sin
npix
L
dx = bnL e
∫ L
−L f(x)dx =
La0, chegamos a: ∫ L
−L
f(x)2dx =
a20
2
L + L
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n)
E finalmente a:
1
L
∫ L
−L
f(x)2dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n)
A identidade de Parseval e´, como veremos mais adiante, va´lida sob condic¸o˜es menos restri-
tivas que estas que impusemos aqui.
Vejamos agora algumas aplicac¸o˜es da igualdade de Parseval.
Aplicac¸a˜o 1: Usaremos a identidade de Parseval para encontrar a soma de uma se´rie infinita.
Considere a expressa˜o (1.41), que nos diz que os coeficientes de Fourier da func¸a˜o f(x) = x3−L2x,
integra´vel e absolutamente integra´vel, perio´dica de per´ıodo 2L sa˜o an = 0 (trata-se de uma func¸a˜o
ı´mpar) e:
bn =
(−1)n12L3
n3pi3
Da´ı, se aplicarmos diretamente a identidade de Parseval, (1.49), obteremos:
∞∑
n=1
1
n6
=
pi6
945
Aplicac¸a˜o 2: Podemos utilizar a identidade de Parseval, (1.49) para garantir a convergeˆncia
de algumas se´ries. Por exemplo, seja f : [0, L] → R uma func¸a˜o continuamente deriva´vel tal que
f(0) = f(L) = 0, e seja:
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
npix
L
dx (1.50)
35
Mostraremos que
∞∑
n=1
|bn| <∞ (1.51)
I.e., que a se´rie dos termos bn converge absolutamente, e, portanto, converge. Para tanto,
integramos por partes (1.50), para chegarmos em:
bn =
2
npi
∫ L
0
f ′(x) cos
npix
L
dx
Portanto, pensando em f como uma func¸a˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2L, sua derivada, f ′ e´
uma func¸a˜o par, perio´dica de per´ıodo 2L, conclu´ımos que:
bn =
L
npi
a′n (1.52)
Onde bns sa˜o os coeficientes de Fourier de f e a
′
ns sa˜o os coeficientes de Fourier de f
′.
Observe que, para quaisquer a, b temos:
(a+ b)2 ≥ 0
a2 + 2ab+ b2 ≥ 0
1
2
a2 +
1
2
b2 ≥ ab
Usando a desigualdade acima, obtemos de (1.52):
|bn| ≤ L
2
2pi2
1
n2
+
1
2
|a′n|2
Logo, temos que:
∞∑
n=1
|bn| ≤ L
2
2pi2
∞∑
n=1
1
n2
+
1
2
∞∑
n=1
|a′n|2
Onde a segunda se´rie (a dos coeficientes de Fourier de f ′) converge grac¸as a` Identidade de Parse-
val. Veremos que, nas aplicac¸o˜es e´ importante estabelecer a convergeˆncia de se´ries tipo (1.51).
Aplicac¸a˜o 3: Veremos nesta aplicac¸a˜o algo que concerne a` decisa˜o de que certas se´ries
trigonome´tricas na˜o sa˜o se´ries de Fourier de func¸o˜es f tais que f e |f |2 sejam integra´veis. Por
exemplo, para todo α > 0, a se´rie:
∞∑
n=1
sinnx
nα
converge para todo x ∈ R, e ale´m disso, a convergeˆncia e´ uniforme em todo subintervalo fechado
de (0, 2pi). Eis aqui um exemplo de uma se´rie convergente, e que na˜o converge absolutamente se
α < 1. Consequentemente, teremos que a convergeˆncia da se´rie acima na˜o pode ser decidida pelo
teste M de Weierstrass.
Para estudarmos a convergeˆncia desta se´rie precisaremos de dois crite´rios de convergeˆncia condi-
cional de se´ries nume´ricas, que enunciaremos a seguir.
36
Teste de Dirichlet.Este teste demonstra a convergeˆncia de se´ries nume´ricas que podem ser
escritas na forma: ∞∑
n=1
anbn
onde as duas propriedades sa˜o verificadas:∣∣∣∣∣
N∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ < M
b1 ≥ b2 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn → 0
para todo N > 0.
Demonstrac¸a˜o. Defina:
RN =
N∑
n=1
an, N > 0
SN =
N∑
n=1
anbn, N > 0
R0 = S0 = 0
Escreva para k > 0:
SN+k − SN =
N+k∑
n=N+1
anbn =
N+k∑
n=N+1
(Rn −Rn−1) bn =
=
N+k∑
n=N+1
Rnbn −
N+k∑
n=N+1
Rn−1bn
Trocando ı´ndices de R e de b por n e n + 1 respectivamente, temos que:
SN+k − SN =
N+k∑
n=N+1
Rnbn −
N+k−1∑
n=N
Rnbn+1 =
=
N+k∑
n=N+1
Rn (bn − bn+1)− RN+kbN+k+1 +RNbN
Tomamos mo´dulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que, pela monotonicidade
(bn ≥ bn+1):
|bn − bn+1| = bn − bn+1
|SN+k − SN | ≤
N+k∑
n=N+1
|Rn| (bn − bn+1) + |RN+k|bN+k+1 + |RN |bN
37
Da primeira hipo´tese,
|Rn| ≤ M ∀n > 0
e assim:
|SN+k − SN | ≤M
N+k∑
n=N+1
(bn − bn+1) +M (bN+k+1 + bN )
Observac¸a˜o 1: Em matema´tica, a soma telesco´pica e´ uma soma da seguinte forma:
(a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + . . .+ (an − an−1)
Esta soma pode ser simplificada:
(a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + . . .+ (an − an−1) = an − a1
Naturalmente qualquer sequeˆncia de termos bn pode ser escrita como uma soma telesco´pica:
bn = b1 + (b2 − b1) + (b3 − b2) + . . .+ (bn − bn−1)
Agora, a soma telesco´pica:
N+k∑
n=N+1
(bn − bn+1)
pode ser simplificada:
N+k∑
n=N+1
(bn − bn+1) = bN+1 − bN+k+1
De modo que:
|SN+k − SN | ≤M (bN+1 − bN+k+1) +M (bN+k+1 + bN ) ≤ 3MbN
Como bn → 0, ∀ε′ > 0, ∃N > 0 tal que:
0 < bN < ε
′
Tomando ε′ =
ε
3M
, vem:
0 ≤ bn ≤ ε
3M
, ∀n > N
Tome este N . Conclui-se que, ∀ε > 0 ∃N > 0 tal que ∀k > 0:
|SN+k − SN | ≤ ε
E portanto Sn e´ uma sucessa˜o de Cauchy. Como R e´ completo, temos que a sequeˆncia e´ conver-
gente, o que completa a demonstrac¸a˜o.
Teste de Abel.Este teste demonstra a convergeˆncia de se´ries nume´ricas que podem ser escritas
na forma: ∞∑
n=1
anbn
onde as duas propriedades sa˜o verificadas:
(i)
∑N
n=1 an converge;
(ii) (bn)n∈N e´ mono´tona e limn→∞ bn = b∞ 6= ±∞ .
38
Demonstrac¸a˜o. Uma demonstrac¸a˜o para o teste de Abel pode ser obtida como um caso particular
do teste de Dirichlet, demonstrado acima, escrevendo bn = (bn − b∞) + b∞ , assim:
∞∑
n=1
anbn = b∞
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
an(bn − b∞)
As duas se´ries do segundo membro acima convergem, a primeira por hipo´tese e a segunda pelo
teste de Dirichlet, o que conclui a demonstrac¸a˜o.
Observac¸a˜o 2: Observe que, o teste de Leibniz, que decide a convergeˆncia de se´ries alternadas
e´ um caso particular do teste de Dirichlet.
Exemplo 1.11.1. Considere a seguinte se´rie nume´rica:
∞∑
n=1
1
n(n− 1)
Para decidir sua convergeˆncia ou na˜o, podemos tentar o “teste da raza˜o”:
lim
n→∞
n(n− 1)
(n+ 1)n
= lim
n→∞
1− 1
n
1 + 1
n
= 1que como vemos, aqui e´ inconcludente. Ademais, temos que, pelo teste da raiz:
lim
n→∞
n
√
1
n(n− 1) = 1
e ambos os testes sa˜o inconcludentes para esta se´rie. Pore´m, para utilizarmos o teste de Abel,
observamos que:
∞∑
n=1
1
n(n− 1) =
∞∑
n=1
1
n2
(
n
n− 1
)
Chamando an =
1
n2
e bn =
n
n− 1 , observamos que
∑N
n=1 an converge e limn→∞ bn = 1 6= ∞. Logo,
pelo teste de Abel, esta se´rie e´ convergente.
Agora exibiremos a versa˜o do Teste de Dirichlet para se´ries de func¸o˜es.
Teorema 1.11.2. Teste de Dirichlet para Se´ries de Func¸o˜es : Sejam (un(x))n∈N e (vn(x))n∈N
duas sequeˆncias de func¸o˜es definidas em um intervalo I ⊂ R. Enta˜o a se´rie:
∞∑
n=1
un(x)vn(x)
converge uniformemente se:
∞∑
n=1
un(x) converge uniformemente em I
39
e existe uma constante k tal que :
∞∑
n=1
|vn+1(x)− vn(x)| ≤ k e |v1(x)| ≤ k
Demonstrac¸a˜o. Seja Un =
∑N
n=1 un(x). Como, por hipo´tese, esta se´rie converge uniformemente
em I, segue que,dado ε > 0 para todo x ∈ I, temos que ∃n0 tal que ∀m > n > n0 temos
|Um(x)−Un(x)| < ε. Nosso objetivo e´ provar que, dado ε > 0, existem n0 e c tais que ∀m > n > n0
tem-se: ∣∣∣∣ m∑
j=n
uj(x)vj(x)
∣∣∣∣ ≤ cε
onde c e´ uma constante independente de ε e de n0.
Temos que:
m∑
j=n
uj(x)vj(x) = Un(x)vn(x)− Um+1(x)vm(x) +
m∑
j=n+1
Uj(x)(vj(x)− vj−1(x)) (1.53)
A fim de obtermos uma majorac¸a˜o para o primeiro membro de (1.53), necessitamos ter uma
estimativa dos vs:
|vn(x)| ≤ |vn(x)− vn−1(x)|+ · · ·+ |v2(x)− v1(x)|+ |v1(x)| ≤ 2k
Logo, em (1.53), para m > n > n0:∣∣∣∣ m∑
j=n
uj(x)vj(x)
∣∣∣∣ ≤ 2kε+ 2kε+ ε m∑
j=n+1
|vj(x)− vj−1(x)| ≤ 5kε
Obtivemos c = 5k e n0 desejados. Logo, a convergeˆncia e´ uniforme.
No caso em que nos encontramos e´ conveniente usarmos o teste de Dirichlet (a se´rie dos ans
na˜o precisa convergir, como no teste de Abel), tomando an = n
−α e bn = sin nx; a condic¸a˜o (i) e´
facilmente verifica´vel se observarmos que:∣∣∣∣ 1(n+ 1)α − 1nα
∣∣∣∣ ≤ α + 1(n+ 1)α+1
em virtude do teorema do valor me´dio.
De fato, a func¸a˜o :
f(x) =
1
xα
e´ cont´ınua e deriva´vel para todo x 6= 0. Tomando os pontos a = n e b = n + 1, segue que existe
um certo ξ ∈ (n, n+ 1) tal que:
f ′(ξ) = (1− α) 1
ξα
=
1
(n + 1)α−1
− 1
nα−1
40
Majorando por considerar que α < 1 e ξ ∈ (n, n+ 1):
(1− α) 1
ξα
≤ α 1
(n+ 1)α
e, portanto segue o resultado.
Em resumo, a se´rie acima apresentada define uma func¸a˜o f(x), i.e.,
f(x) =
∞∑
n=1
1
nα
. sinnx =
∞∑
n=1
sinnx
nα
Entretanto, se tivermos α < 1
2
, a se´rie definida por f na˜o e´ se´rie de Fourier, pois neste caso:
∞∑
n=1
1
n2α
= ∞
e a conclusa˜o se segue da identidade de Parseval, porque vemos que a se´rie dos quadrados dos
termos da expansa˜o de Fourier diverge, i.e.:∫ L
−L
|f(x)|2dx =
∞∑
n=1
1
n2α
= ∞
Se f e g sa˜o func¸o˜es limitadas e integra´veis em [a, b], enta˜o f.g e´ limitada e integra´vel em
[a, b]. Ora, se f existe e tem se´rie de Fourier, enta˜o f e |f | sa˜o integra´veis em [−pi, pi], logo∫ pi
−pi |f(x)|2dx <∞.
No entanto, pela identidade de Parseval a integral de |f |2 diverge, o que e´ um absurdo. O
absurdo estava em supor que f representada por tal se´rie trigonome´trica exista.
Temos, portanto, um exemplo de uma se´rie trigonome´trica que na˜o representa nenhuma func¸a˜o,
que e´ o oposto do que procuramos ate´ agora: as func¸o˜es que admitem se´rie de Fourier.
41
Cap´ıtulo 2
Convergeˆncia das Se´ries de Fourier
Vimos no cap´ıtulo anterior que dada uma func¸a˜o f : R → R, perio´dica de per´ıodo 2L, pouco se
e´ exigido para obtermos os seus coeficientes de Fourier, a saber, que esta seja uma func¸a˜o integra´vel
e absolutamente integra´vel no intervalo [−L,L]. Um dos objetivos principais deste cap´ıtulo sera´
estudar a convergeˆncia da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f , e para tanto, outras condic¸o˜es nos
sera˜o necessa´rias. Tambe´m estudaremos va´rios tipos de convergeˆncia: pontual, uniforme e em
me´dia.
Comecemos com uma classificac¸a˜o das func¸o˜es f que iremos considerar.
2.1 Classes das Func¸o˜es Consideradas
Para que pude´ssemos computar os coeficientes de Fourier e, consequentemente tive´ssemos a
se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f , as hipo´teses mı´nimas exigidas eram a periodicidade (per´ıodo
2L), a integrabilidade e a integrabilidade absoluta no intervalo [−L,L].
Destrinchemos tais noc¸o˜es. A integral que estamos usando neste trabalho e´ a integral de Rie-
mann, usualmente estudada nos cursos de Ca´lculo Diferencial e Integral. Consideremos as func¸o˜es
f : [a, b] → R definidas em um intervalo limitado [a, b]. Temos dois casos a considerar:
(i) A func¸a˜o f e´ limitada. Neste caso ela e´ integra´vel segundo Riemann se o supremo das
somas inferiores e´ igual ao ı´nfimo das somas superiores.
(ii)A func¸a˜o f na˜o e´ limitada. Neste caso, a func¸a˜o f e´ integra´vel (e sua integral e´ chamada
integral impro´pria) se o intervalo [a, b] puder ser decomposto em um nu´mero finito de intervalos,
I1, · · · , In, com Ik = [ak, bk], tais que para todos δ > 0 e δ′ > 0, a func¸a˜o f e´ limitada e integra´vel
em [ak + δ, bk − δ′] e os limites abaixo existem:∫ bk
ak
f(x)dx = lim
δ→0
δ′→0
∫ bk−δ′
ak+δ
f(x)dx
42
Neste caso, a integral impro´pria de f e´:∫ b
a
f(x)dx =
n∑
k=1
∫ bk
ak
f(x)dx
A func¸a˜o sera´, enta˜o, absolutamente integra´vel se |f | for integra´vel em um dos sentidos acima, (i)
ou (ii).
Observamos que as func¸o˜es cont´ınuas e, de um modo mais geral, seccionalmente cont´ınuas no
intervalo [a, b] sa˜o limitadas e, portanto, integra´veis segundo (i).
Algumas Observac¸o˜es:
(1) Sendo f integra´vel e limitada, enta˜o |f | sera´ integra´vel. A rec´ıproca em geral na˜o e´ verdadeira.
Como contra-exemplo, tome a func¸a˜o de Dirichlet, f : [−1, 1] → R, definida como se segue:
f(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
na˜o e´ integra´vel em [0, 1] (segundo Lebesgue, pois o conjunto de descontinuidades desta func¸a˜o
e´ na˜o-enumera´vel [pois R = Q ∪ (R − Q), e sendo Q enumera´vel e R na˜o-enumera´vel, R − Q e´
na˜o-enumera´vel]). Entretanto, observe que
|f(x)| = 1 ∀x ∈ [−1, 1]
de modo que f e´ absolutamente integra´vel, mas na˜o integra´vel.
(2) Se f na˜o for uma func¸a˜o limitada, enta˜o a sua integrabilidade na˜o implicara´ na sua integrabi-
lidade absoluta. Como exemplo, tomemos a func¸a˜o f : (0, 1] → R:
f(x) =
(−1)n
n
para 1
(n+1)
< x ≤ 1
n
e´ integra´vel mas na˜o absolutamente integra´vel. Na verificac¸a˜o disto, usamos
o fato da se´rie
∑ (−1)n
n
convergir e da se´rie harmoˆnica divergir.
(3) Vimos enta˜o que existem func¸o˜es f integra´veis tais que |f | na˜o integra´veis e vice-versa.
Definic¸a˜o 2.1.1. L1 e´ o espac¸o vetorial de todas as func¸o˜es f tais que f e |f | sa˜o integra´veis.
De fato, o conjunto de todas as func¸o˜es f tais que f e |f | sa˜o integra´veis constitui um espac¸o
vetorial com as seguintes operac¸o˜es:
+ : L1 × L1 −→ L1
(f, g) 7−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x)
. : R× L1 −→ L1
(α, g) 7−→ (αg)(x) = α.g(x)
e´ um espac¸o vetorial sobre R, pois as imagens das func¸o˜es em questa˜o esta˜o em R.
Para resumir o resultado, vimos que se f : [−L,L] → R for uma func¸a˜o L1, enta˜o os seus coefi-
cientes de Fourier estara˜o bem definidos, pois tanto
∫ L
−L f(x)dx quanto
∫ L
−L |f(x)|dx na˜o divergira˜o.
43
2.1.1 A Integral de Lebesgue
A integral a` qual estamos aludindo ate´ agora e´ a integral de Riemann, mas podemos generalizar
o conceito de integrabilidade, se considerarmos a integral de Lebesgue. Esta generalidade se da´ no
sentido em que toda func¸a˜o absolutamente integra´vel a` Riemann num intervalo [a, b] e´ integra´vel
a` Lebesgue e as duas assumem o mesmo valor; ademais existem func¸o˜es que sa˜o integra´veis a`
Lebesgue que na˜o o sa˜o a` Riemann,