ESTUDO DOS TIPOS DE ANÁLISE POR TRANSFORMADA DE FOURIER - PDF ENZO

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
Engenharia Eletrônica - 2022
Enzo Luka de Lima Gonçalves – RA: 819163269
ESTUDO DOS TIPOS DE ANÁLISE POR TRANSFORMADA DE FOURIER
UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
Engenharia Eletrônica - 2022
Enzo Luka de Lima Gonçalves – RA: 819163269
	ESTUDO DOS TIPOS DE ANÁLISE POR TRANSFORMADA DE FOURIER 
	Trabalho Avaliativo apresentado como requisito parcial para a obtenção de nota no curso de Engenharia Eletrônica pela Universidade São Judas Tadeu, Campus Mooca.
	Prof. Dr. Rafael Nunes da Silva
SUMÁRIO
1. RESUMO ......................................................................................... 1
2. INTRODUÇÃO .................................................................................. 3
3. HISTÓRIA.......................................................................................... 4
4. OBJETIVO........................................................................................... 5
4.1 Representação de Sequências por Transformadas de Fourier
4.2 Propriedades da simetria
4.3 Propriedades das Representações de Fourier
4.4 Teoremas
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................27
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................28
RESUMO
A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática extremamente poderosa que permite visualizar seus sinais em um domínio diferente, dentro do qual vários problemas difíceis se tornam muito simples de analisar.
Sua onipresença em quase todos os campos das ciências físicas e da engenharia, tudo por diferentes razões, torna ainda mais difícil restringir uma razão. Espero que examinar algumas de suas propriedades que levaram à sua ampla adoção, juntamente com alguns exemplos práticos e uma pitada de história possa ajudar a entender sua importância.
Palavras-Chave: Transformada de Fourier; Aplicações;
ABSTRACT
The Fourier transform is an extremely powerful mathematical tool that allows you to visualize your signals in a different domain, within which many difficult problems become very simple to analyze.
Its ubiquity in almost every field of the physical sciences and engineering, all for different reasons, makes it even more difficult to narrow down a reason. I hope that examining some of its properties that led to its widespread adoption, along with some practical examples and a dash of history, will help you understand its importance.
Keywords: Fourier Transform; Applications;
INTRODUÇÃO
A transformada de Fourier permite analisar de forma adequada funções não periódicas. A transformada de Fourier compete em algumas aplicações com a transformada de Laplace. Entretanto, a transformada de Fourier e mais útil que a transformada de Laplace em algumas aplicações relacionadas com problemas de comunicações e processamento de sinais.
No Século XVII, o matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) mostra que qualquer forma de onda pode ser representada com somatória de senos e cossenos de diferentes frequências, amplitudes e fases representadas pela soma das curvas.
Realizando assim a decomposição de um sinal em seus componentes básicos de senos e cossenos.
Em Matemática, a Transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, isto é, como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por alguns coeficientes. Existem diversas versões diretamente relacionadas com tal transformada integral. A Transformada de Fourier tem muitas aplicações em diversas áreas científicas, dentro e fora da Matemática, como por exemplo em Física, Equações Diferenciais, Processamento de Sinal, Processamento de Imagem, Probabilidades e Estatística, Criptografia, Acústica, Oceanografia, Sismologia, óptica. 
HISTÓRIA
Figura 1.1: Jean-Baptiste Joseph Fourier
 Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, 21 de março de 1768 - Paris, 16 de maio de 1830) foi um matemático e físico francês, celebrado por iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da condução do calor. A Transformada de Fourier foi designada em sua homenagem. 
 Jean-Baptiste Joseph Fourier foi o 12° filho dos 15 que teve seu pai, um alfaiate em Auxerre. Ele ficou órfão muito jovem, pois a sua mãe morreu quando ele tinha nove anos e o seu pai no ano seguinte. Ele foi internado na escola militar de Auxerre, um colégio beneditino, onde inicialmente mostrou ter talento para a literatura, mas aos treze anos começou a interessar-se pela matemática. Aos catorze anos já tinha lido os seis volumes do Curso de Matemática de Etienne B´ezout e em 1783 recebeu o primeiro prêmio pelo seu estudo da Mecânica Geral de Charles Bossut.
 Em 1787 decidiu seguir a carreira religiosa e entrou na abadia beneditina de St. Benoit-sur-Loire. No entanto, persistiu no seu interesse pela matemática e manteve correspondência com o professor de matemática de Auxerre e enviou um manuscrito a Jean-Etienne Montucla em Paris. Abandonou a abadia em 1789, sem chegar a fazer os votos religiosos, e visitou Paris onde apresentou um artigo a Academia Real de Ciências francesa sobre as suas pesquisas para a solução de equações numéricas, assunto que o interessou para o resto da vida. Em 1790 tornou-se professor de matemática na escola militar de Auxerre (onde já tinha estudado). Em 1793, seduzido pelos ideais republicanos, envolveu-se na política juntando-se ao Comitê Revolucionário de Auxerre.
 Fourier tentou demitir-se do comitê revolucionário depois do terror gerado pela Revolução Francesa, com o qual não estava de acordo. Mas nessa altura ele já estava demasiado envolvido na Revolução para poder abandonar a sua atividade política. Esta atividade era extremamente complicada pelas diferentes facções revolucionárias que se debatiam violentamente entre elas. O próprio Fourier terminou preso em julho de 1794, depois de ter defendido em Orléans uma destas facções. Temendo pela sua vida, sobretudo depois da morte de Robespierre condenado `a guilhotina, Fourier terminou por ser libertado devido a novas mudanças políticas numa ´época extremamente conturbada.
Ele tinha, até ser preso, continuado a ensinar matemática em Auxerre, mas no final de 1794 e nomeado para estudar na Ecole Normale de Paris. Esta instituição foi fundada pela república com o objetivo de ensinar professores e abriu em janeiro de 1795. 
Nesta escola, onde demonstrou ser um dos alunos mais brilhantes, Fourier tem como professores Joseph-Louis de Lagrange, Pierre Simon Laplace e Gaspard Monge, os maiores físicos e matemáticos da época. Ele começou então a ensinar primeiro no Collège de France e depois na Ecole Polytechnique sob a direção de Lazare Carnot e Gaspard Monge, e iniciou uma atividade mais seria em investigação matemática, mantendo excelentes contatos com Lagrange, Laplace e Monge.
Ele voltou a ser preso por razões políticas, mas depois de apelos de seus alunos e professores, e talvez por uma certa acalmia política, voltou a ser libertado. Em 1795 ele voltou a ensinar na Ecole Polytechnique e em 1797 sucedeu a Lagrange ao ser nomeado para a catedral de Análise e Mecânica nesta escola. Ele ficou conhecido pelas suas aulas excepcionais, devido ao seu grande dom para a oratória que já lhe tinha trazido reconhecimento em política.
OBJETIVO
 A transformada de Fourier foi desenvolvida pelo matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier e publicada em seu livro A Teoria Analítica do Calor, de 1822. Ele estava interessado em como o calor fluía para dentro e em torno de materiais. No processo de estudar este fenômeno, ele obteve sua transformada. Na época, ele não teria como perceber como era importante a contribuição que estava dando — não apenas à matemática e à física, mas também à engenharia,à tecnologia e à ciência como um todo. 
 Sua maior descoberta foi perceber que os sinais complicados poderiam ser representados através da simples soma de uma série de sinais mais simples. Ele escolheu fazer isso por meio da soma de senoides — aquelas ondas oscilantes, que vagueiam entre o pico e o vale com regularidade previsível. Digamos que você toca três teclas em um piano. Você produz três notas diferentes, todas com frequências bem definidas — chamadas de altura, quando estamos falando de som — que parecem ondas senoidais. Assim:
Mas ao somá-las, aquele agradável acorde parece bem mais bagunçado. Assim:
Parece complicado, mas sabemos que, fundamentalmente, são apenas três ondas senoidais agrupadas no tempo e somadas. A grande forma de Fourier foi perceber que, por mais complicada que seja a forma da onda final, ela sempre pode ser representada como uma combinação de senoides — mesmo que isso signifique usar um número infinito.
A descoberta feita, podemos descobrir quais senoides precisam ser adicionadas para criar a forma da onda final, você sabe exatamente quais as frequências das ondas que precisam ser somadas — e em quais quantidades — para representar o sinal. Com esse conhecimento, você sabe o conteúdo exato da sua onda resultante. O termo x(t) representa o grande e complicado sinal que você está tentando representar por mais simples. O termo e-jπ2ft parece um pouco assustador, mas na verdade é apenas o que os matemáticos usam para representar essas senoides de que estamos falando.
A parte legal é que multiplicá-los e colocá-los juntos numa integral — aquela linha curva na parte da frente e o dt no final — permite que a equação separe um por um os componentes das senoides que são necessários para representar o sinal. Assim, o resultado da equação, X(f), fornece a magnitude e tempo de atraso de cada um dos sinais simples que você precisa somar.
Isto é a transformada de Fourier: uma função que explica exatamente que frequências estão sobrepostas no sinal original. E pode ser desenvolvida: 
· Som – Áudio: 
Com o envio de arquivos de áudio pela internet. Você poderia simplesmente mandar a música inteira na forma como a gravadora a registrou, só que o arquivo é grande demais quando está desse jeito. A razão para o seu tamanho é que é uma gravação sem perdas, completa: cada frequência é preservada desde a gravação, por toda a mixagem, até a faixa final. Aplique a transformada de Fourier em um pequeno trecho de uma música, no entanto, e você vai descobrir que existem alguns componentes de frequência que são incrivelmente dominantes e outros que mal aparecem.
O formato de arquivo MP3 faz exatamente isso; ele também joga fora os componentes de frequência quase imperceptível para economizar espaço, bem como alguns dos que estão na extremidade superior de nossa faixa de audição, porque temos dificuldade de distinguir entre essas frequências. Ele faz isso por toda a música, cortando-a em milhões de trechos, determinando os componentes de frequência importantes e jogando fora aqueles que são sem importância. O que resta são apenas as mais importantes frequências — ou notas — que podem ser tocadas em seus ouvidos para representar (com bastante precisão) a música original. Ah, e este arquivo tem menos de um décimo do tamanho original.
Também é muito semelhante à forma como funciona o Ogg Vorbis, o tipo de arquivo usado pelo Spotify em seu aplicativo de desktop. Na verdade, o Vorbis usa uma versão computacional extremamente rápida da transformada de Fourier, chamada de transformada discreta de cosseno, mas em termos gerais é a mesma ideia. Aliás, o Shazam usa essas mesmas transformadas: ele tem um banco de dados de frequências distintas em canções, que ele compara com o que você coloca para o app ouvir, porque isso é mais confiável do que tentar comparar uma gravação de áudio com outra. E, já que estamos falando de áudio, os fones de ouvido com cancelamento de ruído também usam transformadas de Fourier: um microfone grava o ruído do ambiente ao seu redor, mede o conteúdo da freqüência em todo o espectro, e, em seguida, inverte o conteúdo para adicionar um som em seu mix de áudio que vai anular os bebês chorando e ruídos da estrada ao seu redor.
· Imagens: 
Mas a equação de Fourier não é só para ondas temporais como áudio — mas a transformada foi desenvolvida, em primeiro lugar, para ajudar Fourier a resolver problemas relacionados com o fluxo de calor através de materiais. Isso significa que ela também funciona em problemas que são espaciais.
Para Fourier, isso significava somar simples tipos de fluxos de calor em 2D para representar os mais complexos. Mas, da mesma forma, a transformada de Fourier pode ser usada para construir imagens digitais de forma mais eficiente do que a fazê-lo de pixel a pixel.
Arquivos de imagem sem perdas têm a cor de cada pixel definida separadamente. Quando você salva como JPG, a imagem é dividida em pedaços pequenos e a transformada de Fourier é aplicada a cada um dos blocos. Ela fornece uma descrição das frequências espaciais sobre como cor e brilho variam ao longo deste pequeno pedaço da imagem. Assim como no caso de MP3, o JPG joga fora alguns componentes de alta freqüência, que, no caso de uma imagem, fornecem os detalhes nítidos.
Para a maioria de nós, nossos olhos não podem detectar diferenças sutis de cor, formas, suavidades, realces. Portanto, jogar fora os componentes que dão a variação de pixel para a pixel não altera a aparência da imagem. Obviamente, se você aumenta a compressão, começa a jogar no lixo frequências mais baixas, também — e é aí que as coisas podem começar a ficar meio pixeladas, à medida que as variações de cor entre os sub-blocos se tornam mais aparentes.
Exceto para os ouvidos e olhos muito treinados, sistemas de compressão como MP3 e JPG são pouco perceptíveis na maioria das vezes — os sons e imagens ficam ótimos e ainda conseguem ocupar apenas uma fração do espaço que seus irmãos sem perdas demandam. Em outras palavras, eles transformam imagens e músicas digitais em coisas práticas, o que nos permite compartilhá-los facilmente — um feito absolutamente incrível para uma única equação. 
· Filtragem Passa-Alta:
· Filtragem Passa-Baixa:
· Filtragem Passa – Baixa (suavização):
· (minimização de ruído):
· Filtragem Passa – Alta (Realce de contornos, bordas):
Representação de Sequências por Transformadas de Fourier
Muitos problemas em engenharia, em particular engenharia elétrica, eletrônica e engenharia mecânica, caracterizados no domínio espaço/tempo, podem ter solução simplificada se resolvidos no domínio frequência. 
Representação de Sequências por Transformadas de Fourier de Tempo Discreto Se imaginarmos uma função 𝑓(𝑡) como um feixe de luz, então a transformada de Fourier, que pode ser interpretada como sendo implementada por um prisma, decompõe a função 𝑓(𝑡) nos diversos componentes de frequência ω que a compõem, cada um de intensidade ℱ (𝜔). As várias frequências são chamadas cores e, dessa forma, a transformada de Fourier fornece o espectro de cores do sinal. Fazendo o caminho contrário, a transformada inversa de Fourier combina o espectro, ou seja, combina todas as cores, para retornar à função original.
Vimos, anteriormente, que diversos sinais podem ser representados como uma combinação linear de exponenciais complexas, conforme:
𝑥 𝑛 = 𝑘 𝛼𝑘 𝑒 𝑗𝜔𝑘𝑛
Alternativamente, uma sequência 𝑥 𝑛 pode, também, ser representada através de uma integral contínua, ao invés de um somatório discreto. Esta representação integral recebe o nome de representação de Fourier, conforme, 
Na realidade, as duas equações acima definem a representação de Fourier da sequência 𝑥 [𝑛].
 A primeira equação (acima reproduzida) é a Transformada de Fourier Inversa, uma equação de síntese, porque sintetiza 𝑥 𝑛 através de uma soma ponderada de exponenciais complexas restritas a intervalos de frequências 𝑑𝜔 infinitesimalmente pequenos, da forma com variando em um intervalo de tamanho 2, e 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 ponderando cada exponencialcomplexa componente da soma, onde 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 representa a magnitude (amplitude) da exponencial complexa na frequência 𝜔 e onde ∢ 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 representa a fase da exponencial complexa na frequência 𝜔 . 
Lembrando que 𝑒 𝑗𝜔𝑛 = cos 𝜔𝑛 + 𝑗 sin 𝜔𝑛 e, portanto, o comportamento cossenoidal/senoidal está implícito na exponencial complexa.
Fisicamente, a fase representa o deslocamento no tempo da senoide dentro de seu período. 
Por exemplo: 
 um ângulo de fase de -180 significa um atraso no tempo correspondente à metade do período da senoide de frequência 𝜔,
 um ângulo de fase de +90 significa um avanço no tempo correspondente a ¼ do período da senoide de frequência 𝜔. 
Embora tenhamos considerado o intervalo de integração para , de −𝜋 a +𝜋, na equação de síntese, podemos integrar em qualquer intervalo de tamanho 2.
A segunda equação (acima reproduzida) é a Transformada de Fourier, que é uma expressão para computar 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 , ou seja, o módulo e a fase de cada senoide que constrói a sequência 𝑥 𝑛 no tempo. 
𝑋 𝑒 𝑗𝜔 é, portanto, uma expressão de análise da sequência 𝑥 𝑛 para determinar quanto de cada componente de frequência é requerido para sintetizar 𝑥 𝑛 por meio da primeira equação (Transformada de Fourier Inversa). 
Pelo fato de 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 representar módulo (intensidade) e fase (deslocamento) de cada senoide que constrói a sequência 𝑥 𝑛 no tempo, diz-se que 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 representa o espectro de frequências angulares que constroem a sequência 𝑥 𝑛 no tempo.
A equação de análise é referida como a Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT). 
· Note que, na DTFT, o domínio tempo "𝑛" é discreto, mas o domínio frequência " " é contínuo. 
· Mais à frente estudaremos a Transformada Discreta de Fourier (DFT), em que tanto o domínio tempo "𝑛" quanto o domínio frequência "𝑘" são discretos. 
· A DFT é adotada quando a sequência 𝑥 𝑛 não é definida para todo 𝑛, mas, sim, para um número limitado de amostras 𝑛. 
· A DTFT é adotada quando a sequência 𝑥 𝑛 é definida para todo 𝑛.
· Se o sinal existe em todo o tempo, a separação das componentes espectrais no domínio frequência é infinitesimal e, portanto, o espectro é contínuo.
A Transformada de Fourier é uma função complexa de . Assim como representamos a resposta em frequência, podemos expressar a Transformada de Fourier 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 na forma retangular, conforme:
Ou na forma polar, 
· É uma função continua (dirac):
· Função de entrada discreta g, implica que a saida ,H(f) DFT, seja periodica do periodo I/∆t;
· Saída discreta DFT g implica a função de entrada g, para se tornar uma função periodica h(t) com periodo I/∆t.
· A função de entrada DFT ( e também a saaída) pode ser representada como um vetor.
· A DFT corresponde a uma aproximação numérica da série de fourrier.
· Representação matricial da DFT:
· Descrição Matricial da DFT:
Definição
 
Sendo...
 
Porém
 
 
 
 A Transformada de Fourier é muitas vezes referida como Espectro de Fourier ou, simplesmente, Espectro. 
 A magnitude da Transforma de Fourier é muitas vezes referida como Espectro de Magnitude, ou Espectro de Amplitude.
 A fase ou ângulo é muitas vezes referida como Espectro de Fase.
Consideremos um sistema LIT em que aplicamos um impulso 𝛿[𝑛] à sua entrada 𝑥 𝑛 , de modo que a saída 𝑦 𝑛 do sistema represente a resposta ao impulso ℎ[𝑛] do sistema.
Como vimos anteriormente, podemos determinar a saída 𝑦 𝑛 deste sistema, para uma entrada 𝑥 𝑛 , através da convolução de 𝑥 𝑛 com a resposta ao impulso ℎ[𝑛] do sistema.
No domínio frequência, teremos:
A DTFT da saída 𝑦 𝑛 do sistema é:
Conforme vimos anteriormente, a resposta em frequência 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 do sistema é dada por:
Quando 𝑥 𝑛 = 𝑛 , 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 = 1, e 𝑌 𝑒 𝑗𝜔 = 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 .
Portanto, a Transformada de Fourier 𝑌 𝑒 𝑗𝜔 da saída 𝑦 𝑛 deste sistema, quando é aplicado um impulso 𝛿[𝑛] à entrada 𝑥 𝑛 , é equivalente à resposta em frequência 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 do sistema LIT.
Consequentemente, a resposta ao impulso ℎ 𝑛 de um sistema LIT pode ser obtida a partir da sua resposta em frequência 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 , aplicando a integral da Transformada de Fourier Inversa à função 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 , ou seja:
Conforme vimos anteriormente, a resposta em frequência 𝐻 𝑒 𝑗𝜔 é uma função periódica. Da mesma forma, a Transformada de Fourier é periódica, com período 2.
· A expressão 
é a Transformada de Fourier direta de 𝑥 𝑛 e pode ser interpretada como uma Série de Fourier que representa o espectro de frequências angulares de 𝑥 𝑛 dado pela função periódica 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 de variável 𝜔 contínua.
· A expressão 
 é a Transformada de Fourier inversa de 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 que define os valores da sequência 𝑥 𝑛 em termos do espectro 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 e pode ser interpretada como a integral que determina os coeficientes da Série de Fourier correspondente.
A Transformada de Fourier de uma sequência só existe se a sequência for somável em valor absoluto, for absolutamente somável, então 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 ou seja, se 𝑥 𝑛 em for absolutamente somável, então 𝑋 (𝑒 𝑗𝜔) ou seja, se 𝑥 𝑛 em existe.
Isto é equivalente a considerar a convergência da soma infinita na equação da Transformada de Fourier, ou seja,
Neste caso, a série convergirá uniformemente para uma função contínua de 𝜔. 
A Transformada de Fourier de uma sequência só existe se a sequência for somável em valor absoluto. No entanto, há casos em que a sequência não converge, mas é possível e útil determinar a Transformada de Fourier: 
Propriedades da simetria: 
Qualquer sequência 𝑥 𝑛 pode ser expressa como a soma de uma sequência conjugada simétrica a uma sequência conjugada antissimétrica. Especificamente:
· Uma sequência real que é conjugada simétrica, tal que 𝑥𝑒 𝑛 = 𝑥𝑒 [−𝑛], é denominada sequência par (even), e uma sequência real que é conjugada antissimétrica, tal que 𝑥𝑜 𝑛 = −𝑥𝑜[−𝑛], é denominada sequência ímpar (odd). 
A Transformada de Fourier 𝑋 𝑒 𝑗𝜔 pode ser decomposta em uma soma de funções, uma função conjugada simétrica e uma função conjugada antissimétrica. Especificamente:
Substituindo −𝜔 por +𝜔 em 𝑋𝑒 𝑒 𝑗𝜔 e 𝑋𝑜 𝑒 𝑗𝜔 temos que 𝑋𝑒 𝑒 𝑗𝜔 é conjugado simétrico e 𝑋𝑜 𝑒 𝑗𝜔 é conjugado antissimétrico, isto é:
Uma função real de variável contínua que é conjugada simétrica é denominada função par (even), e uma função real de variável contínua que é conjugada antissimétrica é denominada função ímpar (odd).
As propriedades de simetria da Transformada de Fourier são sumariadas na Tabela a seguir:
Propriedades das Representações de Fourier
 Sinais periódicos de tempo contínuo ou discreto têm uma representação por série de Fourier, dada pela soma ponderada de senoides complexas com frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. Desta forma, um conjunto discreto de frequências está envolvido em sua representação.
Periodicidade
 Sinais não-periódicos de tempo contínuo ou de tempo discreto envolvem a ponderação de senoides complexas de um continuum de frequências, resultando em uma representação contínua de sinais no domínio frequência.
 
Adicionalmente, as representações de Fourier para sinais de tempo discreto (DTFS e DTFT), são periódicas devido à natureza N-periódica das senoides complexas de tempo discreto. A tabela abaixo apresenta um sumário das propriedades de periodicidade das representações de Fourier.
Teoremas:
· Convolução:
A convolução no instante t pode ser vista como sendo a área da intersecção entre f (x) e g(t-x). 
(o resultado da convolução entre dois retângulos é um triângulo).
 
A convolução pode ser utilizada para “posicionar” uma outra função, utilizando as funções Delta de Dirac. 
Por exemplo para “colocarmos” duas funções retângulo, em posições –a/2 e +a/2, podemos fazer a convolução entre duas funções delta, nessas posições, e a função retângulo.
Propriedades da convolução: 
· Superposição:
Se a1 e a2 são constantes independentes de t, e 
então 
Esteresultado pode ser generalizado para a soma de um número arbitrário de parcelas: 
Ou seja, a uma combinação linear no domínio do tempo corresponde uma combinação linear no domínio da frequência.
Ou seja, a uma combinação linear no domínio do tempo corresponde uma combinação linear no domínio da frequência.
· Translação no tempo 
Suponha que x(t) é um sinal contínuo e que: 
Y(t) = x (t – to) 
ou seja, y (t) é o sinal x (t) com uma translação (shift) no tempo, de to...
 Então, mostra-se que: 
(Y ) j(X ) o j t ω = ⋅ ω − ω 
 ou seja, { t(x t ) } { )t(x }
· Deslocamento no Tempo
· Inversão temporal
· Conjugação:
· Integral:
· Derivada: 
· Teorema de Parseval:
· Princípio da Incerteza
Filtragens (Domínio de Frequência) – Representação:
· Filtragem no domínio original: Convolução
· Filtragem no domínio de frequência: Transformação, depois Produto e Transformação Inversa.
Considerações Finais:
· Fenômenos periódicos são recorrentes em diversas aplicações: representação de funções periódicas com funções simples, como senx ou cosx – séries de Fourier;
· Conceitos e técnicas desenvolvidos para séries de Fourier podem ser estendidos para o caso de funções aperiódicas: transformada de Fourier;
· Portanto, o uso de séries e transformadas de Fourier pode efetivamente resolver problemas nos mais diversos domínios.
· Estudando mais profundamente as séries de Fourier, suas definições e propriedades, observamos que suas aplicações são inúmeras, e seu uso pode ser extremamente abrangente, de modo que é possível encontrar diversos eventos, naturais ou não, cuja modelagem pode ser dada através das séries de Fourier.
· Problemas físicos recorrentes (como por exemplo, a condução de calor, distribuição de som e filtragem), também podem ser resolvidos pelos métodos característicos das séries de Fourier.
Referências Bibliográficas 
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Pittas H. McClellan e outros, Digital Image Processing Algorithms and Applications. John Wiley & Sons, 2000.
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FIGUEIREDO, Djairo G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
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