3 - Capitulo 09 - 2014 - Equacao Geral do Radar

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MINISTÉRIO DA DEFESA 
COMANDO DA AERONÁUTICA 
 
 
GUERRA ELETRÔNICA 
 
 
 
EQUAÇÃO RADAR 
 
 
 
 
2015 
 
2 Equação Radar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(INTENCIONALMENTE EM BRANCO) 
Equação Radar 3 
 
ÍNDICE 
 
1 NOÇÕES BÁSICAS ................................................................................................. 5 
2 SINAL MÍNIMO DETECTÁVEL ................................................................................ 7 
3 CÁLCULO DA POTÊNCIA MÉDIA DO RUÍDO ....................................................... 8 
4 FIGURA DE RUÍDO ................................................................................................. 9 
5 FAIXA DE PASSAGEM DO RECEPTOR .............................................................. 10 
6 PROBABILIDADES DE DETECÇÃO, FALSO ALARME E A RELAÇÃO 
SINAL/RUÍDO ........................................................................................................... 13 
7 FLUTUAÇÃO DE RCS ........................................................................................... 18 
8 NÚMERO DE PULSOS POR VARREDURA E CÉLULA DE RESOLUÇÃO RADAR
 .................................................................................................................................. 24 
9 INTEGRAÇÃO DE PULSOS .................................................................................. 27 
10 PERDAS E ATENUAÇÃO ATMOSFÉRICA ......................................................... 32 
11 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DO RADAR ............................................ 36 
12 ANEXO A - NOÇÕES DE PROBABILIDADE ...................................................... 40 
 
4 Equação Radar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(INTENCIONALMENTE EM BRANCO) 
 
Equação Radar 5 
 
1 NOÇÕES BÁSICAS 
Como foi definido no capítulo anterior, o radar pulsado radia sua 
energia em curtas pulsos de grande amplitude. Toda esta energia seria espalhada 
sobre uma superfície esférica se a antena radar fosse omnidirecional. Desta forma, 
em um ponto (x,y,z) qualquer, tem-se uma densidade de potência (μ) igual àquela 
potência de pico inicial, dividida por uma superfície esférica (4πR
2
), ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1 - Antena radiando omnidirecionalmente. 
Porém, as antenas dos radares não são ominidirecionais. Elas 
possuem um alto ganho porque necessitam concentrar sua energia numa região 
bem definida. Para efeito de cálculo, considera-se o ganho de potência. Medindo de 
novo a densidade de potência (μ) num ponto (x,y,z), iluminado por esta antena, 
teríamos a potência de pico P concentrada naquele ponto pelo respectivo ganho G: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 2 - A potência que seria espalhada omnidirecionalmente é concentrada numa determinada direção 
pelo ganho da antena. 
Considere-se agora um alvo que é iluminado por este radar, dentro do 
seu período de escuta (dentro do AMNA). Para efeito de cálculo, este alvo vai refletir 
a energia que incide sobre ele omnidirecionalmente (em 4πR
2
). Quanto maior a 
superfície de reflexão do alvo (σ), maior será a quantidade de energia retransmitida 
(μ1). 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 3 - O alvo refletirá a energia de acordo com a sua seção reta radar (σ). 
2R4
P

 
 
2R4
GP




 
 
221 R4R4
GP






 σ 
x,y,z
R
Pp
x,y,z
R
Pp
x,y,z
R
Pp
x,y,z
R
Pp
6 Equação Radar 
 
A capacidade deste alvo em refletir a energia de volta ao radar é 
representada pela “seção reta radar” (σ) ou RCS (radar cross section). 
A RCS do alvo varia com certos fatores, sejam eles: 
a) Tamanho; 
b) Aspecto; 
c) Material de que é feito; 
d) Frequência de transmissão; e 
e) Polarização. 
A partir de agora, já se pode considerar a energia que é refletida de 
volta para a antena radar. A quantidade de energia que esta antena consegue 
captar é proporcional à sua “área efetiva” (Ae), a qual é dada pela relação de Friis: 
 
 
 
 
Reescrevendo nossas considerações, é possível afirmar que a 
potência agora captada por este radar (S) será: 
  4222 444 R
AGP
A
RR
GP
S ee 














 
ou 
 
  43
22
4 R
GP
S

 

 
 
Está representado, na fórmula, o “caminho de ida e volta” do sinal de 
eco para um radar monoestático. Note que o sinal S diminui proporcionalmente com 
a quarta potência da distância. 
A fim de estabelecer qual será a “distância máxima de detecção” de 
um radar (Rmáx), deve-se considerar a potência S igual à mínima potência possível 
de ser detectada, a qual será chamada de “sinal mínimo detectável” (Smin). Portanto: 
minS S 
 
 
Substituindo estas considerações nas equações desenvolvidas, obtém-
se: 
  4max
3
22
min
4 R
GP
S




 


4
G
A
2
e


 
Equação Radar 7 
 
Como o resultado prático é dado pela distância: 
  min
3
22
4
max
4 S
GP
R




 
 
ou 
 
 
4
min
3
22
max
4 S
GP
R




 
 
2 SINAL MÍNIMO DETECTÁVEL 
Os parâmetros necessários para resolver nossa equação já são 
conhecidos ou podem ser estimados (no caso da RCS), com exceção do Smin. A 
capacidade de um receptor radar detectar um sinal fraco é limitada pela energia do 
ruído que ocupa a mesma faixa de frequências que a energia do sinal. O Smin, como 
foi definido, é o mínimo sinal possível de ser detectado. Especificar o valor do Smin é 
difícil devido à sua natureza estatística e porque o critério para decidir se um alvo 
está ou não presente pode não ser tão bem definido. 
A detecção é baseada no estabelecimento de um nível de corte 
(threshold level) na saída do receptor do radar. Caso o sinal de saída (junto com o 
ruído) exceda esse nível de corte, assume-se que um alvo está presente. 
Por definição, o “sinal mínimo detectável”, ou a sensibilidade do 
receptor do radar, é o menor valor da potência útil que devemos receber na entrada 
do receptor, para que a potência disponível, na saída do receptor, ultrapasse o nível 
de corte. 
Pode-se pensar que bastaria construir receptores radar cada vez mais 
sensíveis que o problema estaria resolvido, mas o verdadeiro fator limitante é o 
ruído. 
8 Equação Radar 
 
3 CÁLCULO DA POTÊNCIA MÉDIA DO RUÍDO 
Já que o ruído é o fator limitante da sensibilidade do receptor do radar, 
é necessário obter algum meio de descrevê-lo quantitativamente. Ruído é toda 
energia eletromagnética não desejada que interfere com a habilidade do receptor 
radar em detectar os sinais desejados. Pode vir do próprio receptor ou pode chegar 
ao circuito por meio da antena, junto com o sinal de interesse. Caso os radares 
operassem em um ambiente completamente livre de ruídos, de forma que nenhuma 
fonte externa interferisse no sinal de interesse, e se os componentes dos receptores 
fossem tão perfeitos que não gerassem nenhum ruído, haveria ainda o componente 
inevitável do ruído originado pelo movimento termal dos elétrons de condução nos 
estágios de entrada do receptor (chamado ruído Johnson ou ruído térmico). Este 
ruído é diretamente proporcional à temperatura dos componentes do circuito e à 
faixa de passagem do receptor. Dessa forma, a potência do ruído termal (em Watts) 
num receptor de banda ΔF (em Hertz), com estágios de entrada (antena) a uma 
temperatura T (em Kelvin) é igual a: 
FTk N 
 
onde: 
 k (constante de Boltzmann) = 1,38 x 10
-23
J/K; 
 T (temperatura absoluta) = 290K ou 17ºC; e 
 ΔF é a faixa de passagemdo receptor, ou seja, é a faixa de 
frequências na qual o receptor radar ficará aberto para conseguir 
recuperar o sinal (retangular) transmitido. 
Existe uma gama considerável de ruído que entra nos canais de 
recepção, além daqueles gerados internamente. É impossível, com efeito, levar-se 
em conta os ruídos exteriores que entram pela antena, como por exemplo os ruídos 
atmosféricos, cósmicos, de origens industriais e os ruídos acidentais, além dos 
gerados por outros radares. 
Esses ruídos, quando não suprimidos, possuem uma importância bem 
inferior ao ruído térmico. O ruído térmico localizado na entrada do receptor (“efeito 
Johnson”), limitando a sensibilidade, tem como origem a flutuação aleatória dos 
elétrons nos condutores. O comportamento desse ruído é “gaussiano”. 
A distribuição espectral da potência do ruído térmico independe da 
frequência e sua potência é proporcional à “faixa de passagem” (ou banda 
passante) do receptor. 
Receptores com componentes de qualidade apresentarão perdas 
significativas apenas na linha de transmissão e no ruído termal recebido pela 
antena. 
Em termos práticos, porém, a potência de ruído é geralmente maior do 
que a atribuída somente ao ruído termal. Os componentes adicionais de ruído se 
devem a outros mecanismos além da agitação termal dos elétrons de condução. 
Para o propósito desta apostila, a origem exata deste ruído extra não é importante, 
basta admitirmos que ele existe. Uma maneira de interpretar este ruído adicional é 
por meio da figura de ruído. 
Equação Radar 9 
 
4 FIGURA DE RUÍDO 
A figura de ruído representa um fator de qualidade dos componentes 
do receptor do radar, ou uma medida da degradação da relação sinal ruído à 
medida que o sinal passa pelo receptor. 
A figura de ruído “Fr” permite avaliar a quantidade de ruído própria do 
receptor. Ela representa a degradação da relação sinal/ruído entre a entrada e a 
saída do receptor, devido ao seu ruído interno, e pode ser escrita na forma: 
o
o
i
i
r
N
S
N
S
F  
onde: 
relação sinal/ruído na entrada (input) do receptor;i
i
S
N

 
relação sinal/ruído na saída (output) do receptor.o
o
S
N

 
Logo: 
 
i
i
o
o
r N
S
N
S
F 
 
ou 






o
o
rii N
S
FNS
 
substituindo Ni pela equação do ruído em função da faixa de passagem ΔF (em 
Hertz) e da temperatura nos estágios de entrada (antena) do receptor T (em Kelvin), 
obtém-se: 






o
o
ri N
S
FFTkS
. 
Como o sinal mínimo (Smin) é o valor de Si que corresponde à menor 
relação sinal ruído – So/No - na saída do amplificador de FI, necessária para a 
detecção, então: 
mino
o
rmin N
S
FFTkS 





 
Como a expressão do alcance máximo é dada por: 
 
4
min
3
22
max
S4
GP
R



 
10 Equação Radar 
 
Resulta finalmente que: 
 
4
mino
o
3
22
max
N
S
FrFTk4
GP
R







 
Dados gerais nos mostram que um radar de busca aérea recém posto 
em funcionamento possui uma Figura de Ruído típica em torno de 3 dB; caindo para 
5 e 7 dB com o tempo de operação. 
Retornando à relação do Smin utilizável, resta definir a banda passante 
ΔF para que o Smin retome o seu sentido pleno na equação geral do alcance. Para 
isto deve-se simplesmente pesquisar a largura de banda otimizada do receptor, ou 
seja, aquela que fornece a melhor relação sinal/ruído (So/No)min na saída do 
receptor, para em seguida retomar o problema geral da recepção do sinal dentro do 
ruído. 
5 FAIXA DE PASSAGEM DO RECEPTOR 
A “faixa de passagem”, ou “banda passante”, representa a faixa de 
frequências na qual o receptor irá trabalhar. Isso é verdade, mas ainda não explica 
completamente a ΔF. Para que se defina o valor de ΔF, deve-se levar em 
consideração dois principais fatores: 
a) a quantidade de ruído que entrará pelo receptor; e 
b) o sinal a ser recebido é um pulso retangular. 
Em primeiro lugar, o ruído está presente em toda a faixa de 
frequências, portanto, quanto maior for a faixa de passagem (ΔF), maior será a 
quantidade de ruído recebida. Representa-se este fenômeno pelo gráfico da Figura 
4. 
 
 
 
 
 
 
Fig 4 - Representação da quantidade de ruído que cresce linearmente com o tamanho da faixa de 
passagem. 
Em segundo lugar, deve-se lembrar que qualquer sinal “não senoidal” 
pode ser decomposto como uma soma de vários sinais senoidais, de frequências e 
Potência
Média
de ruído (Ni)
Faixa de passagem (ΔF)
Ruído
Ni = k.T.ΔF
Potência
Média
de ruído (Ni)
Faixa de passagem (ΔF)
Ruído
Ni = k.T.ΔF
Equação Radar 11 
 
amplitudes características. Conforme a apostila sobre “Ondas Eletromagnéticas”, 
um sinal pulsado é constituído de infinitas harmônicas (sinais senoidais múltiplos da 
FRP) e apresenta a seguinte forma no domínio da frequência: 
 
Fig 5 – Um pulso retangular é constituído de infinitas harmônicas. 
Para receber um sinal modulado em pulsos retangulares, como é o 
caso dos radares, só se consegue, na verdade, receber algumas harmônicas que 
compõem este sinal “não senoidal”. 
Para reconstruir um sinal perfeitamente retangular seria necessário 
processar um número infinito de frequências harmônicas (ΔF infinita). Isto é 
impossível por dois motivos: não existem componentes eletrônicos capazes de 
operar satisfatoriamente todas as harmônicas e a quantidade de ruído seria 
infinitamente grande, visto que o ruído encontra-se em todo o espectro e pode ter 
amplitude superior a algumas das harmônicas que compõem o espectro do sinal 
pulsado. Este fato corrobora com o gráfico da figura 4, a potência do ruído aumenta 
linearmente com a faixa de passagem, efeito que não ocorre com a potência das 
harmônicas do sinal pulsado. 
 
Fig 6 – Além das harmônicas constituintes do pulso, o espectro contém ruído em toda sua extensão. 
f 
P 
0f
LP
f
1
0 
LP
f
1
0 
2
sin






x
x
LP
f
2
0 
LP
f
2
0 
f 
P 
0f
LP
f
1
0 
LP
f
1
0 
2
sin






x
x
ruído 
LP
f
2
0 
LP
f
2
0 
12 Equação Radar 
 
Consequentemente, como não se pode processar um número infinito 
de frequências harmônicas, não se pode reconstruir perfeitamente um pulso 
retangular. O resultado deste fato, no receptor, é distorção e redução na quantidade 
de energia recebida do eco radar. 
Existe uma relação empírica que permite calcular uma ΔF capaz de 
fornecer uma ótima (So/No)min na saída do receptor. Esta relação é exemplificada na 
figura 7 (faixa de passagem adaptada). 
 
 
Fig 7 – A faixa de passagem do receptor é ajustada para otimizar a relação sinal útil/ruído. 
Uma análise matemática desta relação mostra que: 
 a relação ΔF = 1,2/LP engloba entre 90% a 93% da energia contida 
no pulso. Para ΔF = 2/LP a quantidade de energia seria de 95% do 
total; e 97% se ΔF = 3/LP. Assim, se ΔF > 1,2/LP, o incremento na 
quantidade de energia recuperada do eco, pela consideração de 
um grande número de harmônicas, não compensaria a quantidade 
de ruído também aceita, pois este poderia mascarar facilmente o 
sinal útil. 
 Para ΔF < 1,2/LP, o pulso perderia logo suas características pelo 
decréscimo de energia do sinal útil. 
Em um exemplo numérico, supondo que um radar em 3 GHz emita um 
pulso de 0,6 μs. A relação ideal é dada por: 
f 
P 
0f
LP
f
1
0 
LP
f
1
0 
LP
f
6,0
0 
LP
f
6,0
0 
LP
F
2,1

2
sin






x
x
ruído 
LP
f
2
0 
LP
f
2
0 
faixa de passagem 
Equação Radar 13 
 
LP
 1,2 F 
 
tem-se que: ΔF= 1,2/(0,6.10
-6
), então: ΔF = 2.106Hz ou 2MHz. Este radar, então, 
vai receber frequências desde 2.999MHz a 3.001MHz. 
Note que aumentando a LP, diminui a ΔF. Diminuindo a LP, aumenta a 
ΔF. Pode-se afirmar que um pulso curto (pequena LP) é mais difícil de ser 
recuperado dentro do ruído; assim, considera-se o máximo de frequências 
harmônicas possível. Um pulso longo (grande LP), ao contrário, será mais fácil de 
ser “reconhecido”. 
A faixa de passagem do receptor (ΔF) é um dado interessante também 
para as MAE. Para enviar sinais de interferência contra o receptor de um radar, só 
serão recebidos aqueles sinais dentro do ΔF. 
Para este curso, considera-se a faixa de passagem sempre adaptada 
 
LP
 1,2 F 
. 
 
6 PROBABILIDADES DE DETECÇÃO, FALSO ALARME E A RELAÇÃO 
SINAL/RUÍDO 
A fim de ser detectável, o nível do sinal útil deverá ser logicamente 
superior ao ruído. Desse fato resulta: 
FTk Smin 
 
Da equação do sinal mínimo, desenvolvida anteriormente, pode-se 
perceber que os fatores que diferenciam o nível do sinal útil do ruído são o fator de 
qualidade do receptor (Fr) e a relação sinal ruído – (So/No)min - na saída do 
amplificador de FI, necessária para a detecção. 
Este valor de So/No é, com efeito, muito diversificado. Ele engloba não 
só as condições de exploração (probabilidade de detecção e taxa de falso alarme) 
como também as incidências de ordem técnica (antena, perdas, etc.). Deve-se, 
portanto, para analisá-lo, decompô-lo num certo número de fatores de integração ou 
de perdas elementares que irão traduzir os acréscimos de relações So/No superiores 
à unidade na equação geral. Porém, deve-se ainda atentar para as seguintes 
observações: 
 A equação geral mostra que é necessário, para melhorar a 
detecção, obter um sinal mínimo perceptível e, sobretudo, um sinal 
mínimo utilizável tão pequeno quanto possível (alvo o mais distante 
possível). 
 Esta primeira conclusão implica que, para a pesquisa da melhor 
sensibilidade (menor Smin), deve haver um ruído próprio do receptor 
o mais reduzido possível. As pesquisas e as técnicas atuais têm 
14 Equação Radar 
 
sido orientadas, no nível do receptor, no sentido melhorar o fator de 
ruído global. 
Para explicar o quanto um sinal deve ser maior que o ruído (relação 
sinal/ruído) e ser ainda utilizável, deve-se levar em consideração também dois 
outros fatores: Probabilidade de detecção (Pd) e Probabilidade de falso alarme 
(Pfa). Probabilidade de detecção (Pd) é a probabilidade do sinal de eco, acrescido 
do ruído, ser detectado como um sinal útil. Probabilidade de falso alarme (Pfa) é a 
probabilidade de, na ausência de sinal de eco, um pico de ruído ser detectado 
erroneamente como um sinal útil. 
Pode-se definir, a partir de agora, a relação existente entre (So/No)min, 
Pd e Pfa. Suponha que, em um dado instante, um sinal de eco radar seja recebido 
pelo receptor: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 8 - O sinal recebido está sempre acompanhado de ruído. 
Este sinal estará mergulhado no ruído, e, para que o mesmo seja 
detectável, é necessário que ele seja superior à potência média do ruído. 
Veja bem; se o sinal é muito fraco em relação à potência do ruído nas 
suas imediações, então dificilmente se conseguirá discernir o eco dos picos de ruído 
e a probabilidade de detecção será muito pequena. A probabilidade de detecção 
melhorará se a relação sinal/ruído aumentar, ou seja, o sinal útil será cada vez 
maior que o ruído. 
Por outro lado, se os picos de ruído são suficientemente altos para que 
sejam detectados como um sinal útil, então existe a ocorrência de falsos alarmes. A 
probabilidade de que isto ocorra é chamada de probabilidade de falso alarme. A 
solução é criar certos níveis de corte (threshold level), também chamados de “níveis 
de embasamento”, para eliminar parte dos efeitos adversos causados pelo ruído. 
Tudo que passar acima deste threshold level será recebido como eco. Veja este 
exemplo no seguinte gráfico: 
eco ruído
Amplitude
Tempo
eco ruído
Amplitude
Tempo
Equação Radar 15 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 9 – Limita-se a tensão dos sinais que são recebidos através de níveis de corte (“threshold levels”). 
Note que: 
a) Para um threshold level muito baixo (L1), o eco, ainda que bem 
fraco, será detectado, mas muitos picos de ruído serão confundidos 
com sinais úteis. Uma probabilidade de detecção de 100%, neste 
caso, é ilusória, pois o sinal estará mergulhado no ruído; 
b) Elevando-se este nível (L2), elimina-se boa parte do ruído, porém, o 
sinal de eco tem de ter potência suficiente para chegar até lá; e 
c) No nível mais elevado (L3) dificilmente ocorrerá um falso alarme, 
porém, existe o risco de não detectar nem o sinal de eco, a não ser 
que o mesmo seja muito forte. 
Algumas conclusões : 
 Elevando o threshold level, diminui a Pfa, porém, diminui também a 
Pd; 
 Abaixando o threshold level, aumenta a Pd, porém, aumenta 
também a Pfa; e 
 Para se obter uma Pd desejada com uma Pfa aceitável faz-se 
necessário um determinado valor da relação sinal/ruído So/No, ou 
seja, a detecção ideal depende do quanto o sinal terá de ser maior 
do que o ruído. 
Note também que: 
a) Para uma dada Pd, a relação So/No terá de ser aumentada para 
reduzir a Pfa; 
b) Para uma dada Pfa, deve-se aumentar a relação So/No para 
aumentar a Pd; e 
c) Na realidade não se tem controle sobre como fazer o sinal de eco 
tornar-se mais ou menos forte (aumentar a relação sinal/ruído). Isto 
somente ocorrerá na medida em que o alvo fica mais perto ou mais 
distante (o que irá se traduzir como Rmáx). 
eco
pico de ruído
Voltagem
Tempo
L3
L2
L1
eco
pico de ruído
Voltagem
Tempo
L3
L2
L1
16 Equação Radar 
 
Uma maneira prática de regulagem do “threshold level” é: na ausência 
de sinal de eco, eleva-se ou abaixa-se este nível até uma taxa de falsos alarmes 
aceitável para as condições de exploração dos indicadores. Após fixar um nível para 
obter uma Pfa admissível, em função da (So/No)min, define-se a probabilidade para 
que o sinal útil, acrescido do ruído, ultrapasse o nível de embasamento escolhido. 
Normalmente a performance dos radares de busca aérea é apresentada em função 
de uma Pd de 80% contra uma Pfa de 10
-5
 (0,00001)%. 
Estas relações entre Pfa, Pd e (So/No)min estão contidas no gráfico a 
seguir. Escolhe-se a Pfa desejada na curva correspondente, cruza-se com a Pd 
escolhida e encontra-se a relação (So/No)min necessária para que um único pulso 
(dentro daquelas Pfa e Pd) seja apresentado como um sinal útil, também chamada 
de (S/N)1. O problema da detecção radar, a partir do estabelecimento de um 
“threshold level” (nível de decisão), deve ser estudado por meio de uma abordagem 
probabilística, devido ao fato do ruído ser uma variável aleatória e estar sempre 
presente em todas as decisões (Pd e Pfa). Não é possível prever exatamente o 
valor de uma variável aleatória. Fenômenos dessa natureza podem ser descritos 
com o auxílio da teoria da probabilidade. Explicações mais detalhadas podem ser 
encontradas no Anexo A. 
Para efeitos práticos, nesta apostila, o valor de (S/N)1, para 
determinadas Pfa e Pd pode ser obtido por meio da Tabela 1 ou do gráfico da 
Figura 10. 
Equação Radar 17 
 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0.05
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.999
Relação Sinal Ruído (S/N)
1
 - dB
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
de
 D
et
ec
çã
o
Pd X Pfa X S/N
1
a b c d e f g h i j
Legenda Pfa:
a) 10-3
b) 10-4
c) 10-5
d) 10-6
e) 10-7
f) 10-8
g) 10-9
h) 10-10
i) 10-11
h) 10-12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0.05
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.850.9
0.95
0.999
Relação Sinal Ruído (S/N)
1
 - dB
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
de
 D
et
ec
çã
o
Pd X Pfa X S/N
1
a b c d e f g h i j
Legenda Pfa:
a) 10-3
b) 10-4
c) 10-5
d) 10-6
e) 10-7
f) 10-8
g) 10-9
h) 10-10
i) 10-11
h) 10-12
 
Fig 10 - Relação sinal/ruído necessária para detecção de determinado alvo (dadas as condições de 
Pfa e Pd) através de um único pulso. 
 
 
Pd 
Pfa 
10
-5
 10
-6
 10
-7
 
0.1 7,85 8,95 9,85 
0.2 8,85 9,85 10,65 
0.3 9,55 10,45 11,25 
0.4 10,15 10,95 11,65 
0.5 10,65 11,45 12,15 
0.6 11,15 11,95 12,55 
0.7 11,65 12,35 13,05 
0.75 11,95 12,65 13,25 
0.8 12,15 12,85 13,45 
0.85 12,5 13,15 13,75 
0.9 12,85 13,45 14,05 
0.95 13,35 13,95 14,45 
0.99 14,15 14,75 15,15 
Tabela 1 - Relação sinal/ruído necessária para detecção de determinado alvo através de um único 
pulso, para valores definidos de Pd e para as Pfa de 10
-5
, 10
-6
 e 10
-7
. 
18 Equação Radar 
 
Façamos alguns exemplos: 
 Se uma Pfa de 10
-6
 for escolhida, junto de uma Pd de 90%, 
encontraremos uma relação (S/N)1 de 13,45dB. Isto significa que, 
respeitando-se os parâmetros escolhidos, para detectarmos um 
único pulso, acrescido do ruído, este sinal deverá ser 22,13 vezes 
maior que o valor do ruído médio. 
 Para uma Pfa de 10
-5
 e Pd de 80%, temos uma (S/N)1 de 12,15 dB. 
Se mantivermos a mesma Pfa mas quisermos uma Pd de 99%, a 
relação (S/N)1 será 2dB maior. Para uma mesma Pfa, teremos de 
ter uma relação (S/N)1 maior para aumentar a Pd; 
 Na mesma relação, com uma Pfa de 10
-5
 e Pd de 80% temos uma 
(S/N)1 de 12,15dB. Se mantivermos agora a Pd de 80% e 
diminuirmos a Pfa para 10
-7
, nossa (S/N)1 terá de aumentar para 
13,45dB (1,3dB maior). 
Os valores de Pd, Pfa e (S/N)1 serão alterados devido à “flutuação de 
RCS” e à “integração de pulsos” (uma vez que vários pulsos atingem o mesmo alvo 
a cada passada da antena). 
 
7 FLUTUAÇÃO DE RCS 
Um alvo complexo (como uma aeronave, navio, veículos, etc.) equivale 
à justaposição de um grande número de superfícies refletoras elementares (cubos, 
cones, pirâmides, etc.). Estas superfícies apresentam raios de curvatura diversos e 
com orientações quaisquer relativas à direção de radiação. Cada uma dessas 
superfícies reflete a energia do radar desde seu máximo possível até zero, 
dependendo do ângulo de incidência. Para analisar o campo refletido por este alvo, 
deve-se considerá-lo como o somatório de um grande número de campos 
elementares. 
A partir do comportamento típico de uma aeronave, considera-se como 
fraca sua variação de RCS de pulso a pulso (ou mesmo entre os vários pulsos – 
primeiro e último, por exemplo – dentro de uma mesma varredura). Já não se pode 
dizer o mesmo para um período muito longo, da ordem de alguns segundos, ou 
seja, a duração usual de rotação da antena de um radar de busca. 
Nota-se que a flutuação de seção reta radar de um alvo acarreta uma 
flutuação da potência refletida pelo alvo. Se a potência do eco varia, a probabilidade 
de detecção também varia. Veja os seguintes exemplos de variação de RCS com o 
aspecto para radares da banda X (8 a 12 GHz) e mantendo a mesma polarização. 
RCS (m
2
) 
ALVO FRENTE ATRÁS LADO 
DC-8 / BOEING 707 28 25 300 
DC-9 / BOEING 727 4 ----- 800 
CARAVELLE 10 ----- 160 
 
Equação Radar 19 
 
A RCS também varia em função da forma. Sabe-se que superfícies em 
ângulo reto ou com extremidades angulosas refletem melhor as ondas do radar. Por 
isso nos projetos de aeronaves atuais, especial atenção é dada ao formato das 
entradas de ar, empenagens, portas e outros componentes estruturais. Este ponto 
será mais profundamente explorado quando tratarmos de tecnologia stealth 
(furtividade), na parte das MAE. 
Outro fator envolvido na RCS é a polarização: alguns alvos têm maior 
superfície em uma determinada direção, privilegiando o eco de sinais de radares 
polarizados na mesma direção e penalizando os outros. Por exemplo, uma aeronave 
tem maior dimensão na horizontal. Logo a melhor polarização para detecção destes 
alvos é a horizontal. Em nossos cálculos futuros, será considerado como é a 
variação de RCS dos alvos, mas utilizaremos os seus valores médios. Veja alguns 
exemplos para vários alvos: 
EXEMPLOS DE RCS EM MICROONDAS (m
2
) 
MÍSSIL CONVENCIONAL DE CRUZEIRO 0,5 
AERONAVE PEQUENA MONOMOTOR 1 
PEQUENO CAÇA OU ATÉ 4 PASSAGEIROS 2 
AERONAVE CAÇA GRANDE 6 
BOMBARDEIRO / PASSAGEIROS MÉDIO 20 
BOMBARDEIRO / PASSAGEIROS GRANDE 40 
JUMBO 100 
MERCANTES ACIMA DE 2.000 TON / 
ÂNGULO DE ELEVAÇÃO RELATIVO = 0º 
σ = 52 . f
1/2
 . D
3/2 
 
f = frequência (MHz) D = deslocamento (kTon) 
MERCANTES ACIMA DE 2.000 TON / 
GRANDES ÂNGULOS DE ELEVAÇÃO 
USAR TONELAGEM DE DESLOCAMENTO 
EXPRESSA EM m
2
 
CAMINHÃO 200 
AUTOMÓVEL 100 
BICICLETA 2 
HOMEM 1 
 
A RCS de navios apresentada é média; em uma iluminação lateral os 
navios apresentarão um pico bem mais elevado. O ângulo de elevação relativo é 
dado em função da altura em que se encontra a plataforma radar. Sem elevação 
relativa significa que o radar está em um navio, no litoral ou em uma aeronave em 
vôo rasante. Se o radar estiver em uma aeronave em maior altura, podemos 
expressar a RCS em m
2
 com o mesmo valor do seu deslocamento em tonelagem 
(4.000ton = 4.000m
2
). 
Pode parecer estranho um automóvel possuir grande RCS em relação 
a outros alvos, mas isto ocorre por que as dimensões de algumas de suas partes 
fazem justamente a ressonância para certos λ, principalmente para a banda X, 
chegando sua RCS até a 200m
2
. 
A RCS varia com a frequência. Veja os seguintes exemplos da RCS de 
um homem (importante para radares de infantaria). 
 
 
20 Equação Radar 
 
FREQUÊNCIA (MHz) σ (m
2
) 
410 0.033 – 2.33 
1.120 0.098 – 0.997 
2.890 0.140 – 1.05 
4.800 0.368 – 1.88 
9.375 0.495 – 1.22 
 
Como foi falado anteriormente, se a RCS varia, varia também a Pd. O 
que podemos fazer neste caso, é encontrar um “adicional” para (S/N)1 de modo a 
manter a Pd desejada. Este adicional será maior ou menor, de acordo com o tipo de 
variação do alvo. 
10
-1
10
0
10
1
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Circunferência da esfera dividida pelo comprimento de onda ( 2r/ )
RC
S 
da
 e
sfe
ra
 d
ivi
did
a 
pe
la 
ár
ea
 d
o 
cír
cu
lo 
( 
es
fe
ra
/
r2 
) -
 d
B
Região
de Rayleigh
Região
de Ressonância
Região
Óptica
10
-1
10
0
10
1
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Circunferência da esfera dividida pelo comprimento de onda ( 2r/ )
RC
S 
da
 e
sfe
ra
 d
ivi
did
a 
pe
la 
ár
ea
 d
o 
cír
cu
lo 
( 
es
fe
ra
/
r2 
) -
 d
B
Região
de Rayleigh
Região
de Ressonância
Região
Óptica
 
Fig 11 - RCS de uma esfera. Representa-se a RCS média de um alvo através de uma esfera. Note 
que o gráfico começa em 0,1, pois quando o λ é 10 vezes maior que a circunferência a difração é 
total, não havendo portanto, valores para RCS. 
Em geral, o efeito da flutuação do alvo requer grandes valores para 
(S/N)1 em altas Pd e baixas Pfa, se comparados aos alvos não-flutuantes. São os 
cinco casos de Swerling, os quais diferem entre si, a partir da razão de flutuação 
assumida e da distribuição estatística da seção transversal: 
Caso 1 - Alvos lentamente flutuantes. Os valores da RCS permanecem 
constantes de pulso a pulso, porém variam entre as varreduras da antena. É o mais 
usual quando não for especificado o tipo de flutuação. 
Caso 2 - Alvos rapidamente flutuantes. Os valores variam de pulso a 
pulso (durante a integraçãode pulsos). Este caso não inspira grande interesse, pois 
além de não ser frequentemente encontrado, para valores acima de 10 pulsos 
integrados os resultados se assemelham muito aos de alvos não-flutuantes. 
Equação Radar 21 
 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.999
Relação Sinal Ruído (S/N)
1
 - dB
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
de
 D
et
ec
çã
o
Pd X Pfa X S/N
1
 para Alvo Flutuante - Swerling Casos 1 e 2
a b c d e f g h i j
Legenda Pfa:
a) 10-3
b) 10-4
c) 10-5
d) 10-6
e) 10-7
f) 10-8
g) 10-9
h) 10-10
i) 10-11
h) 10-12
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.999
Relação Sinal Ruído (S/N)
1
 - dB
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
de
 D
et
ec
çã
o
Pd X Pfa X S/N
1
 para Alvo Flutuante - Swerling Casos 1 e 2
a b c d e f g h i j
Legenda Pfa:
a) 10-3
b) 10-4
c) 10-5
d) 10-6
e) 10-7
f) 10-8
g) 10-9
h) 10-10
i) 10-11
h) 10-12
Caso 3 - Alvos cuja flutuação da RCS segue uma função de densidade 
de probabilidade de Rayleigh de 1ª ordem, na saída de um detector quadrático. 
Algumas aeronaves, além de alvos de grandes dimensões e complexos, se 
enquadram neste comportamento. 
Caso 4 - Alvos cuja flutuação da RCS segue uma distribuição de 
Rayleigh de 2ª ordem, na saída do detector. Esta distribuição é algumas vezes 
assumida por uma aeronave pequena, compacta e aerodinâmica, para radares 
abaixo de 1GHz. Assim como no caso 2, não é frequentemente encontrado, pois, 
para valores acima de 10 pulsos integrados os resultados também se assemelham 
aos de alvos não-flutuantes. 
Caso 5 - Alvos não-flutuantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 12 - Quando há flutuação de alvo existe uma alteração correspondente para (S/N).A figura acima 
permite calcular a (S/N)1 total para alvos flutuantes, nos casos 1 e 2 de Swerling. 
 
 
22 Equação Radar 
 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.999
Relação Sinal Ruído (S/N)
1
 - dB
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
de
 D
et
ec
çã
o
Pd X Pfa X S/N
1
 para Alvo Flutuante - Swerling Casos 3 e 4
a b c d e f g h i j
Legenda Pfa:
a) 10-3
b) 10-4
c) 10-5
d) 10-6
e) 10-7
f) 10-8
g) 10-9
h) 10-10
i) 10-11
h) 10-12
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.999
Relação Sinal Ruído (S/N)
1
 - dB
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
de
 D
et
ec
çã
o
Pd X Pfa X S/N
1
 para Alvo Flutuante - Swerling Casos 3 e 4
a b c d e f g h i j
Legenda Pfa:
a) 10-3
b) 10-4
c) 10-5
d) 10-6
e) 10-7
f) 10-8
g) 10-9
h) 10-10
i) 10-11
h) 10-12
 
Pd 
Pfa 
10
-5
 10
-6
 10
-7
 
0.1 6,15 7,05 7,85 
0.2 7,95 8,85 9,65 
0.3 9,45 10,35 11,05 
0.4 10,75 11,55 12,25 
0.5 11,99 12,85 13,55 
0.6 13,45 14,25 14,95 
0.7 15,05 15,85 16,55 
0.75 16,05 16,85 17,55 
0.8 17,10 17,95 18,65 
0.85 18,55 19,35 20,05 
0.9 20,45 21,25 21,95 
0.95 23,55 24,35 25,05 
0.99 30 30 30 
 
Tabela 2 - Relação sinal/ruído necessária para detecção de alvos flutuantes, nos casos 1 e 2 de 
Swerling, através de um único pulso, para valores definidos de Pd e para as Pfa de 10-5, 10-6 e 10-7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 13 - A figura acima permite calcular a (S/N)1 total para alvos flutuantes, nos casos 3 e 4 de 
Swerling. 
 
 
Equação Radar 23 
 
Pd 
Pfa 
10
-5
 10
-6
 10
-7
 
0.1 6,65 7,65 8,45 
0.2 8,15 9,15 9,85 
0.3 9,25 10,15 10,95 
0.4 10,25 11,15 11,85 
0.5 11,25 11,99 12,75 
0.6 12,15 13,05 13,65 
0.7 13,25 14,05 14,75 
0.75 13,95 14,65 15,35 
0.8 14,65 15,45 16,05 
0.85 15,45 16,25 16,95 
0.9 16,65 17,35 16,95 
0.95 18,45 19,15 19,85 
0.99 22,3 23,05 23,65 
 
Tabela 3 - Relação sinal/ruído necessária para detecção de alvos flutuantes, nos casos 3 e 4 de 
Swerling, através de um único pulso, para valores definidos de Pd e para as Pfa de 10-5, 10-6 e 10-7. 
Como se pode ver, estes gráficos e tabelas exprimem, em dB, uma 
nova relação (S/N)1, de acordo com os tipos de variação do alvo descritos por 
Swerling. 
Se o alvo for não-flutuante, deve-usar os valores da tabela 1 ou da 
Figura 10 para o cômputo da relação (S/N)1. 
Nos exemplos anteriores, vê-se, através do primeiro gráfico sobre 
(S/N)1, que para uma Pfa de 10
-5
 e Pd de 80%, necessita-se de uma relação 
sinal/ruído de 12,15dB. Considerando um alvo aéreo típico, utiliza-se o caso 1 de 
Swerling, para então encontrar uma nova relação (S/N)1 de 17,10dB. 
Isto significa que, como é pior detectar um alvo que varia sua RCS, 
deve-se obter uma relação (S/N)1 mais alta, 17,10dB, (o alvo terá de chegar mais 
perto) para manter os parâmetros de Pfa e Pd. 
Pode-se notar também que para altos valores de Pfa e baixos valores 
de Pd há uma inversão nestas considerações. Por exemplo, para Pfa = 10
-3
 e Pd = 
0,2, no gráfico da Figura 10, teremos uma (S/N)1 de aproximadamente 6dB. Já nos 
gráficos da Figura 12, teremos valores de (S/N)1 próximos a 5dB, ou seja, houve um 
decréscimo no valor total de (S/N)1. Isto pode ser explicado pelos seguintes fatos: 
 Não há dúvida que, para que se obtenha altos valores de Pd, a 
relação (S/N)1 deverá ser também elevada. Se a RCS flutua, vai 
fazer aparecer os valores fracos do sinal e, consequentemente, 
diminuir a Pd; 
 Por outro lado, para pequenas Pd, se a RCS variar, esta provoca 
uma redução na relação (S/N)1. Em termos práticos, no entanto, 
não utilizaremos valores menores que 50% de Pd. 
24 Equação Radar 
 
8 NÚMERO DE PULSOS POR VARREDURA E CÉLULA DE RESOLUÇÃO RADAR 
Foram efetuadas, até agora, várias considerações sobre como detectar 
um alvo utilizando somente um único pulso. Sabe-se que, na verdade, os radares 
emitem uma grande quantidade de pulsos por segundo, e, desta forma, vários 
pulsos atingem o alvo em cada passada do feixe da antena. 
É fácil saber quantos “pulsos por varredura” cada alvo recebe, para 
radares que utilizam varredura circular ou setor, através deste simples cálculo: 
RPM6
FRPFRP
n h
s
h






 
onde: 
 n = número de pulsos por varredura (hits per scan); 
 FRP = frequência de repetição de pulsos (pps ou Hz); 
 θh= largura do feixe horizontal, vertical se for o caso (graus); 
 ωs = velocidade angular da antena (graus/segundo); e 
 RPM = rotações por minuto da antena. 
 
 
 
 
Fig 14 - O número de pulsos por varredura é função da largura do feixe, da velocidade de varredura e 
da FRP. 
Por exemplo: se um radar de busca aérea com varredura circular 
possui uma FRP de 1.000Hz, largura do feixe horizontal de 2º e gira 15 vezes por 
minuto, quantos pulsos teremos por varredura? 
RESPOSTA: 22 PULSOS 
Responda a seguinte pergunta: qual radar deverá possuir menor 
velocidade de rotação da antena; um de busca aérea de longo alcance ou um de 
direção de tiro de curto alcance? 
Algumas considerações a respeito deste assunto: 
 Além da importância que o θh ocupa para o número de pulsos por 
varredura, ele determina a “resolução em azimute” do radar, ou 
seja, se dois alvos próximos em distância (menos que LP/2) estão 
também próximos em azimute, pode ocorrer que sejam iluminados 
ao mesmo tempo pelo feixe do radar, sendo recebido um só eco 
 Um radar com largura do feixe horizontal muito grande poderiaintegrar mais pulsos com rotações mais lentas, mas perderia em 
resolução em azimute. 
θh 
Equação Radar 25 
 
 
Fig 15 - A resolução em azimute depende da largura do feixe horizontal. 
 
Situação análoga ocorre quando se considera a largura do feixe 
vertical. Quando dois alvos estiverem próximos em distância (menos que LP/2), no 
mesmo azimute, separados apenas pela altura, serão confundidos com um só, se 
estiverem sendo iluminados pelo mesmo feixe. A largura do feixe vertical determina 
a “resolução em elevação” de um radar de busca, como na figura a seguir. 
 
Fig 16 - Efeito da largura do feixe vertical na resolução em elevação de um radar de busca. 
Tanto os efeitos da resolução em distância quanto da resolução em 
elevação irão variar com a distância, pois são relativos a ângulos. Uma aproximação 
pode ser feita utilizando o seno do ângulo horizontal ou vertical, multiplicado pela 
distância (R) desejada: 
Rsen HAZ 
 ou 
Rsen VEL 
 
 
Por exemplo: até quantos metros duas aeronaves que desejam ser 
confundidas como uma só podem ficar afastadas lateralmente a distâncias 
diferentes (10km e 50km) de um radar cuja largura do feixe horizontal é de 2º? 
RESPOSTA: 349m e 1745m respectivamente 
S
1 alvo
S
1 alvo
26 Equação Radar 
 
Combinando a “resolução em distância” (dada pela metade da LP) com 
a “resolução em azimute” (dada pela largura do feixe horizontal) e a “resolução em 
elevação” (dada pela largura do feixe vertical), obtém-se a “célula de resolução 
radar”. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 17 - A “célula de resolução radar” é resultado da combinação entre a θh, θv e metade da LP. É o 
volume de espaço varrido de cada vez pelo radar e retorna um só eco, não importando quantos alvos 
contenha. 
Responda outra questão: qual radar deverá possuir menor célula de 
resolução radar; um de busca aérea de longo alcance ou um de direção de tiro de 
curto alcance? Porquê? 
Como foi ressaltado anteriormente, que a resolução em distância é 
dada pela metade da LP. Isto só é válido se o radar em questão não estiver 
utilizando algum tipo de “compressão de pulsos”. A compressão de pulsos é uma 
técnica que emprega modulação intrapulso (FM ou PM). 
Caso utilize FMOP (frequency modulation on pulse), a frequência de 
cada pulso cresce linearmente durante sua transmissão. Na recepção este pulso é 
reconhecido por circuitos que executam sua “compressão”. A taxa típica de 
compressão neste caso é de 50:1. 
FILTRO
freq
üên
cia
tempo de
trânsito
 
Fig 18 - Compressão de pulsos em FMOP. 
Para a PMOP (phase modulation on pulse), os pulsos funcionam como 
se fossem constituídos por uma série de pequenos “subpulsos”. Os pedaços, 
quando diferirem entre si, terão defasagem de 180º. Desta forma, o pulso é 
codificado binariamente. Durante a recepção, cada pedaço é defasado e todos 
somados de forma conveniente. 
 
LP/2 
Equação Radar 27 
 
+-- - -+++ + 
Fig 19 - Modulação em fase de um pulso – PMOP 
Os processos que empregam FMOP ou PMOP permitem a 
transmissão de pulsos longos mantendo boa resolução em distância. O assunto 
“compressão de pulsos” será tratado com maiores detalhes no capítulo que trata das 
Medidas de Proteção Eletrônica (MPE). 
 
9 INTEGRAÇÃO DE PULSOS 
Os ecos de vários pulsos sobre um mesmo alvo são recebidos a cada 
varredura, ao invés de um eco só. Pode-se imaginar que é possível considerar estes 
sucessivos ecos e integrá-los, o que certamente irá melhorar nossa detecção. 
No processo de integração, a detecção é baseada no efeito combinado 
de um grupo de pulsos, que é sensivelmente maior que a detecção de apenas um 
pulso individual. Os sistemas de radar de pulso empregam sempre algum tipo de 
integração. 
IRP 01
IRP 02
IRP 03
eco
ruído
a
m
p
li
tu
d
e
a
m
p
li
tu
d
e
a
m
p
li
tu
d
e
a
m
p
li
tu
d
e resultado da
integração
tempo
tempo
tempo
tempo
 
Fig 20 - Efeito da integração no período de três recorrências. Note que ao somar todos os sinais, o 
sinal de eco é efetivamente integrado, sobressaindo-se da integração dos picos aleatórios do ruído. 
28 Equação Radar 
 
O princípio de integração está no fato de que o sinal útil mantém 
(praticamente) a mesma fase de recorrência para recorrência, sendo o nível destas 
impulsões (também praticamente) constantes. Desta forma, os sinais acabam por 
somar-se, enquanto que o ruído, sendo constituído de impulsões elementares 
aleatórias, possui uma probabilidade extremamente baixa de recorrência de ter sua 
ocorrência no mesmo “quantum” de distância. 
Em alguns casos, mesmo que a potência de cada pulso seja menor 
que a potência do ruído médio, o efeito da integração pode recuperar o sinal útil. 
Por exemplo, no caso de tubo de raios catódicos, se um grupo de 
pulsos está indicado na mesma posição, só o fato do brilho remanescente do fósforo 
que recobre o interior da tela ser somado pulso a pulso já indica uma integração. 
Num caso ideal para este tipo de apresentação, o brilho de cada pulso 
seria multiplicado por “n” pulsos. Isto, na realidade, ocorre somente até que o 
fósforo atinja seu nível de saturação. Em sistemas mais modernos, existem circuitos 
de memória (digitais) para realizar a integração. 
De posse do que já foi estudado, pode-se reescrever a fórmula da 
equação radar da seguinte forma: 
   
4
nnn
2max
NSFrFTk4
AeGP
R


 
onde todos os parâmetros continuam os mesmos, com exceção da relação (S/N)n , 
que é a relação sinal/ruído, de um dos n pulsos iguais que são integrados, 
necessária para produzir a Pd requerida, uma vez que a Pfa aceitável já tenha sido 
especificada. 
Relembrando o conceito de relação sinal/ruído: relação (razão) entre o 
nível de potência de determinado sinal, no receptor do radar, e o nível médio do 
ruído presente no mesmo receptor. 
Quanto menor puder ser esta relação, maior será nosso resultado (em 
termos de Rmáx), o que significa que nosso alvo poderá estar mais longe, pois, 
mesmo assim, irá obter a relação sinal/ruído necessária. 
Para exprimir melhor esta situação existe a “eficiência de integração de 
pulsos”, Ei(n), a qual é dada pela relação: 
n
1
i
)N/S(n
)N/S(
)n(E


 
onde: 
 (S/N)1 = relação sinal/ruído para um simples pulso produzir uma Pd 
desejada. 
 n = número de pulsos integrados. 
Equação Radar 29 
 
 (S/N)n = relação sinal/ruído requerida por pulso, para que seja 
produzida a mesma Pd, quando “n” pulsos são integrados. 
A grosso modo, quanto maior a quantidade de pulsos integrada, menor 
será a relação (S/N)1 necessária. Consequentemente, melhor a eficiência de 
integração. 
A melhoria na relação sinal/ruído quando n pulsos forem integrados é 
representada por nEi(n). 
Considera-se a integração de duas maneiras 
a) Antes da detecção: como foi visto, vários pulsos atingem o alvo a 
cada passada da antena, o que já é considerado como uma 
integração. 
b) Após a detecção: neste caso, utilizam-se dispositivos de 
armazenamento de informações (memória), os quais consideram o 
pulso de uma recorrência para adicioná-lo mais tarde aos pulsos das 
próximas recorrências. No caso mais geral, é realizada sempre a 
dupla integração. 
Quando é utilizada a integração “após a detecção”, então nEi(n) = I(n). 
Aqui, I(n) é o “fator de melhoria de integração”. Num integrador ideal, tem-se I(n) = 
n, porém, existem certas perdas, principalmente devido ao fato da energia acabar 
sendo repartida sobre n pulsos, no lugar de ser concentrada em um só. 
A equação radar fica então: 
   
4
nnn
2max
NSFrFTk4
AeGP
R


 
mas: 
 
n
i
(S/N)n
(S/N)
(n)E

 1
, logo 
)(
)/(
)/( 1
nEn
NS
NSi
n


, ou ainda 
1)/(
)(
)/(
1
NS
nEn
NS
i
n


, então: 
 
   
4
1
2max
4
)(
NSFrFTk
nEnAeGP
R
nn
i


 
 
 
Como 
)()( nEnnI i
 => 
1)/(
)(
)/(
1
NS
nI
NS n

, então: 
 
   
4
1nn
2max
NSFrFTk4
)n(IAeGP
R


 
30 Equação Radar 
 
ou (usando a Equação de Friis): 
 
   
4
1nn
3
22
max
NSFrFTk4
)n(IGP
R


 
 
Conforme o tipo de flutuação de RCS do alvo, são necessários valores 
correspondentes para (S/N)1. Na integração ocorre fato análogo. 
A eficiência de integração de pulsos “Ei(n)” e, consequentemente, o 
fator de melhoria de integração de pulsos “I(n)” variam de acordo com a flutuação de 
RCS do alvo, além da Pd considerada. 
Veja no gráfico seguinte como achar o valor correspondente de I(n): 
primeiro determina-se quantos pulsos por varredura são passíveis de serem 
integrados. Este valor de n pulsos será cruzado com a Pfa correspondente, dentro 
de uma Pd necessária. 
 
Fig 21 - Fator de melhoria de integração de pulsos para cinco valores de Pd, em função do número de 
pulsos integrados para uma Pfa de 10
-5
. 
 
 
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de Pulsos (n)
Fa
to
r I
(n
) e
m
 d
B
Fator de melhoria de Integração de Pulsos para Pfa = 10-5
a
b
c
d
e
Legenda Pd:
a) 0.99
b) 0.9
c) 0.8
d) 0.7
e) 0.6
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de Pulsos (n)
Fa
to
r I
(n
) e
m
 d
B
Fator de melhoria de Integração de Pulsos para Pfa = 10-5
a
b
c
d
e
Legenda Pd:
a) 0.99
b) 0.9
c) 0.8
d) 0.7
e) 0.6
Equação Radar 31 
 
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de Pulsos (n)
Fa
to
r I
(n
) e
m
 d
B
Fator de melhoria de Integração de Pulsos para Pfa = 10-6
a
b
c
d
e
Legenda Pd:
a) 0.99
b) 0.9
c) 0.8
d) 0.7
e) 0.6
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de Pulsos (n)
Fa
to
r I
(n
) e
m
 d
B
Fator de melhoria de Integração de Pulsos para Pfa = 10-6
a
b
c
d
e
Legenda Pd:
a) 0.99
b) 0.9
c) 0.8
d) 0.7
e) 0.6
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de Pulsos (n)
Fa
to
r I
(n
) e
m
 d
B
Fator de melhoria de Integração de Pulsos para Pfa = 10-7
a
b
c
d
e
Legenda Pd:
a) 0.99
b) 0.9
c) 0.8
d) 0.7
e) 0.6
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de Pulsos (n)
Fa
to
r I
(n
) e
m
 d
B
Fator de melhoria de Integração de Pulsos para Pfa = 10-7
a
b
c
d
e
Legenda Pd:
a) 0.99
b) 0.9
c) 0.8
d) 0.7
e) 0.6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 22 - Fator de melhoria de integração de pulsos para cinco valores de Pd, em função do número 
de pulsos integrados para uma Pfa de 10
-6
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 23 - Fator de melhoria de integração de pulsos para cinco valores de Pd, em função do número 
de pulsos integrados para uma Pfa de 10
-7
. 
32 Equação Radar 
 
Exemplificando: 
1 - Um radar de busca aérea com varredura circular possui uma FRP 
de 1.200Hz, largura do feixe horizontal de 2º e gira 10 vezes por minuto. Conforme 
visto em exemplos anteriores, são integrados 40 pulsos por varredura. Qual o fator 
de melhoria de integração de pulsos quando este radar detecta uma aeronave com 
Pfa de 10
-5
 e Pd de 90%? 
RESPOSTA: I(n) ≈ 12dB 
 
2 - Caso a RCS desta aeronave flutue conforme o caso 1 de Swerling, 
em quanto ficará a relação sinal/ruído necessária para que se detecte esta aeronave 
com apenas um único pulso? Utilize o gráfico/tabela correspondente. 
RESPOSTA: 20,45dB 
3 - Integrando 20 pulsos por varredura, em quanto ficará nosso I(n)? 
RESPOSTA: I(n) ≈ 10dB 
4 - Agora, efetue uma comparação entre o Rmáx anterior (sem 
integração) e o Rmáx com I(n) de 12dB? 
RESPOSTA: O Rmáx irá aumentar. 
 
 
 
10 PERDAS E ATENUAÇÃO ATMOSFÉRICA 
Resta, para obter o alcance máximo a partir da equação geral do radar, 
calcular (ou ao menos estimar da maneira mais precisa possível) um último 
coeficiente, o “fator global de perdas” ou L. 
Como a natureza das perdas é diversificada, o fator global será 
decomposto em várias perdas, como: 
 
 
Sejam elas: 
a) Perdas na linha de transmissão, 
Le
 
PERDAS TÍPICAS DE Le (dB) 
 em 100 ft de guia de ondas 1,0 
em isoladores e conexões 0,5 
por juntas rotativas 0,4 
pelo duplexador 1,0 
TOTAL 2,9 
 
 
 
 
L Le Lr Lf Lfi Li Lb Lc La       
Equação Radar 33 
 
b) Perdas na recepção, 
Lr
 
PERDAS TÍPICAS DE Lr (dB) 
guia de ondas ou cabo coaxial 0,6 
por juntas rotativas 0,5 
TOTAL 1,1 
 
c) Perdas pelo formato do feixe/por modulação de lóbulo, 
Lf
: 
O ganho da antena acaba variando ao longo da varredura sobre o alvo; 
as impulsões recebidas não têm exatamente a mesma amplitude. 
PERDAS TÍPICAS DE Lf (dB) 
Para “fan beam” em uma 
coordenada; bidimensional 
 
1,6 
Para “fan beam” em duas 
coordenadas; tridimensional 
 
3,2 
 
d) Perdas por canal de recepção em FI, 
Lfi
: 
Os amplificadores de FI introduzem uma perda suplementar de 1,0 a 
2,5dB. Na falta de maiores detalhes utiliza-se a média de 1,7dB. 
 
e) Perdas por exploração da informação, 
Li
: 
Depende da acuidade visual, grau de treinamento, motivação, enfim, 
da capacidade do operador perceber que se trata de um alvo de interesse. 
Normalmente não é levada em consideração para o cômputo da equação geral. 
PERDAS TÍPICAS DE Li (dB) 
extrator sofisticado 0,5 
extrator simples 1,5 
 
f) Perdas onde a faixa de passagem não é adaptada, 
Lb
: 
Geralmente negligenciável para ΔF<1,5/LP. 
PERDAS TÍPICAS DE Lb (dB) 
ΔF = 1.6/LP 0,3 
ΔF = 1.8/LP 0,75 
 
g) Perdas por degradação de campo, 
Lc
: 
Em condições de projeto e laboratório os radares terão sua máxima 
performance, assim como ainda com pouco tempo de operação. 
Na aplicação do radar em seu sítio, espera-se que haja uma certa 
degradação. Uma queda de 3dB é assumida quando não se tem informações de 
acompanhamento da performance do radar em questão. 
 
 
34 Equação Radar 
 
h) Perdas por absorção, 
La
: 
Causadas pelos gases da atmosfera. Em ângulos baixos (maior 
quantidade de gases) a absorção é maior. Para ângulos mais elevados entre o radar 
e o alvo a atenuação é menor. 
Os valores apresentados são genéricos para frequências entre 1GHz 
(abaixo disto pode ser desprezível) e 10GHz, considerando-se também os alcances 
mais comuns dos radares nestas frequências. 
PERDAS TÍPICAS POR ABSORÇÃO, La (dB) - ENTRE 1 E 10 GHz 
Ângulo de elevação = 0º 2,5 
Ângulo de elevação = 5º 0,6 
 
Informações mais precisas deverão ser obtidas em gráficos 
correspondentes. 
 
i) Outras perdas 
Caso seja necessário, de acordo com a situação, pode-se levar em 
consideração ainda, figura 24: 
 Perdas por polarização circular: A polarização circular atenua 
bastante os efeitos de chuva, porém, acaba por atenuar também os 
alvos. Para chuva, são esperadas atenuações acima de 7dB e, 
para os alvos, em torno de 3dB. 
 Perdaspor precipitação meteorológica: Se há a ocorrência de 
precipitações como chuvisco, chuva, granizo, etc., é esperada uma 
degradação na capacidade de detecção dos radares. 
 
Equação Radar 35 
 
 
Fig 24 – Atenuação devido à atmosfera e à chuva, para dois percursos (ida e volta), em dB/km, em 
função da frequência do radar e do índice pluviométrico. Fonte: Neri, F. – “Introduction to Electronic 
Defense Systems”, Second Edition, Artech House, 2001 
Pode-se finalmente escrever a equação radar mais completa; 
lembrando que quanto maior for o valor de L, menor será o alcance: 
 
   
4
1nn
2max
LNSFrFTk4
)n(IAeGP
R


 
 
ou (usando a Equação de Friis): 
 
   
4
1nn
3
22
max
LNSFrFTk4
)n(IGP
R


 
Frequência (GHz) 
A
te
n
u
a
ç
ã
o
 p
a
ra
 d
o
is
 p
e
rc
u
rs
o
s 
(d
B
/k
m
) 
Atmosfera 
Chuva 
36 Equação Radar 
 
11 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DO RADAR 
A resolução da equação radar para um radar de busca aérea empírico 
será descrita passo a passo. Os valores serão inicialmente transformados em dB 
para maior facilidade. O resultado será expresso em NM. 
 
DADOS DO RADAR 
Potência de pico P = 500 kW 
Ganho da antena radar G = 35 dB 
Largura de pulso LP = 1,2 μs 
Frequência de repetição de pulsos FRP = 900 Hz 
Frequência de transmissão f = 2,7 GHz 
Velocidade de rotação da antena SPR = 6s/rotação 
Tipo de varredura circular / “fan beam” / 
bidimensional 
Largura do feixe horizontal θh = 2o 
Probabilidade de falso alarme Pfa = 10
-5
 
Probabilidade de detecção Pd = 80% 
Figura de ruído Frn = 3 dB 
Perdas globais L = 13 dB 
Polarização horizontal 
Altura da antena (MSL) 100 ft 
 
DADOS DO ALVO AÉREO 
Seção reta radar média (RCS) σ = 5m
2
 
Tipo de flutuação Caso 1 (Swerling) 
Altura do alvo (MSL) 10.000ft 
 
A fim de estimar a distância máxima de detecção de um radar de 
busca aérea, para um dado alvo aéreo, utilizar-se-á a equação da distância máxima 
de detecção radar, que é dada por: 
   
4
1
2max
4 LNSFrΔFTkπ
I(n)AeσGP
R
nn 


 
 
Como nem todos os parâmetros necessários foram fornecidos, alguns 
ainda deverão ser calculados. Para converter valores lineares em dB: tire o 
logaritmo na base 10 do valor desejado, depois multiplique-o por dez. Inversamente, 
para passar de dB para linear: divida o valor em dB por dez, depois eleve dez ao 
valor encontrado anteriormente. 
a) Cálculo do comprimento de onda: 
c
f
 
 
onde c = 3 . 10
8
m/s, f = 2,7GHz (GHz = 109Hz), logo: 
 
 
m11,0
Hz107,2
sm103
f
c
9
8


 
Equação Radar 37 
 
λ em dB equivale a 10.log (0,11) = -9,54dBmetro 
 
b) Cálculo da área efetiva (Ae) da antena: 
 onde: 
 4π em dB = 10 log (4 x 3,1415) = 11dB 
 então Ae = 35 + 2 x (-9,54) -11 = 4,92dBsm 
 
c) Cálculo do número de pulsos por varredura: 
Como a antena completa uma rotação a cada 6seg., sua rotação é de 
10RPM. O número de pulsos por varredura é dado por: 
2 900
30 pulsos
6 6 10
hFRPn
RPM
 
  
 
 
 
d) Cálculo da razão sinal/ruído (S/N)1: 
Na tabela respectiva, entra-se com a Pfa de 10
-5
 e a Pd de 80% e 
obtém-se a razão (S/N)1 de um único pulso, para um alvo aéreo que apresenta 
flutuações de acordo com o caso 1 de Swerling. 
Assim: (S/N)1 = 17,10 dB 
 
e) Cálculo do fator de melhoria pela integração de n pulsos: 
Através do gráfico, obtém-se I(n) para 30 pulsos integrados, com uma 
Pd de 80%, caso 1: I(n) =11dB 
 
f) Cálculo da Faixa de Passagem do receptor radar: 
    dBHz60Hz10log10F
:Logo
Hz10Hz
102,1
2,1
LP
2,1
F
6
dBHzn
6
6n





 
 
g) Cálculo do ruído: 
- como a expressão K.T.ΔFn é calculada em W, Hz e K, deve-se ter 
cuidado para utilizar os valores em unidades compatíveis (não misturar 
dBW com dBkW, Hz com MHz, etc.). Assim, 
 K = 1,38 . 10-23J/K (constante de Boltzmann) 
 T = 290K (17ºC) 
 K . T = 4 x 10
-21
J, ou, em dB: -204dBJ 
 (K . T . ΔFn)dB = -204 + 60 = -144dBW 
 


4
G
A
2
e


 ou 
      112GA dBmetrodBdBsme  
 
38 Equação Radar 
 
h) Transformação da potência de pico em dB: 
P = 500kW = 500.000W 
P = 10 log 5 x 105 = 57dBW (pois 
10log 5 0,7
 ) 
 
i) RCS em dB: σ = 5 m
2
 ou σ = 7dBmetro
2
 
 
j) Cálculo da distância de detecção em Milhas Náuticas. Considere: 1 
NM = 1.860m. 
   
4
1
2max
4
)(
LNSFrFTk
nIAeGP
R
nn 

 
 
 
Cálculo em dB: 
   
   
1
5 0955
2 11
4
57 35 7 4 92 11 22 144 3 17 1 13
4
203,82
4
50 955
10 124 595 67 3
n n
dB
dB
dB
dB
.
P G σ Ae I(n) - ( ) k T ΔF Fr (S / N) L 
Rmáx 
. - . 
Rmáx 
 Rmáx 
Rmáx . dBmetro
Rmáx , km , NM
          

       




  
 
Logo, o radar em questão tem capacidade de detectar um alvo de 5m
2
 
de RCS, sob as condições de Pfa e Pd definidas, a 67,3NM. 
Veja que o alvo será detectado a 67,3NM se estiver a uma altura 
compatível. Se estiver muito baixo, por exemplo, ficará escondido pelo horizonte. A 
fim de verificar se é possível a detecção a 67,3NM com a aeronave a 10.000ft e 
antena radar a 100ft, inicialmente calcula-se a altura mínima que o alvo deveria 
estar para haver detecção a 67,3NM. A solução pode ser obtida através da fórmula 
do horizonte rádio:  
 
  ft2000715,44H
10
23,1
3,67H
H10023,13,67
HH23,1H
2
2
2
2
21R








 
É possível ver que basta a aeronave estar a 2000ft que existirá 
horizonte suficiente para detecção a 67,3NM. Isto significa que, abaixo desta altura, 
apesar da distância, o alvo não seria detectado. 
Equação Radar 39 
 
Na prática, num ambiente livre de edificações, relevo, etc., como no 
caso dos radares navais, uma antena a 100ft obtém horizonte suficiente para 
detectar aeronaves rasantes a partir de (cerca de) 35NM. Voltando aos dados do 
exemplo, a aeronave estava a 10.000ft. Para esta altura tem-se que, a 135NM, há 
horizonte rádio, porém, não há detecção. 
Pode-se fazer uma última verificação para ter certeza que não se 
cometeu nenhum erro grosseiro: como AMNA = 81000/FRP, então: AMNA = 90NM, 
já que temos 900Hz de FRP. A altura mínima necessária para haver detecção nesta 
distância é de aproximadamente 3990,5ft. Porém, devido ainda à distância de 
Rmáx, não há detecção. Já que o AMNA = 90NM e o Rmáx = 67,3NM, a diferença é 
de AMNA - Rmáx = 22,7NM. 
 
Fig 25 - Todo alcance no nível da troposfera deverá ser acompanhado de uma verificação de 
horizonte rádio para frequências acima de 30MHz. 
 
Distância (NM)
A
ltu
ra
 (f
t)
Horizonte rádio
Detecção Radar para o alvo em questão
Origem:
Antena do Radar
Área de detecção radar,
para este alvo.
Radiação, porém não há detecção,
para este alvo.
67,3 90
3990,5
2000
135
10000
Distância (NM)
A
ltu
ra
 (f
t)
Horizonte rádio
Detecção Radar para o alvo em questão
Origem:
Antena do Radar
Área de detecção radar,
para este alvo.
Radiação, porém não há detecção,
para este alvo.
67,3 90
3990,5
2000
135
10000
40 Equação Radar 
 
12 ANEXO A - NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de 
azar. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos no estudo desse 
assunto. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de 
um evento em um experimento aleatório. 
Os conceitos básicos da teoria deprobabilidade necessários para 
resolver problemas de detecção de sinais imersos em ruído podem ser encontrados 
em várias referências (vide bibliografia). Neste anexo, serão brevemente revistos 
conceitos de probabilidade, distribuição de probabilidades e função densidade de 
probabilidade, bem como alguns exemplos serão apresentados. 
 
Espaço Amostral: 
Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador 
fazer observações. Um evento é uma coleção de resultados de um experimento. O 
espaço amostral de um experimento consiste de todos os eventos possíveis. Um 
exemplo de experimento é o lançamento de dois dados, um dos eventos possíveis 
pode ser A= “a soma dos valores é igual a seis”, neste caso: 
 
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}; e o espaço amostral é: 
 
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), 
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), 
(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. 
 
Definição clássica: 
Podemos supor que um experimento gere n eventos simples 
diferentes, cada um dos quais com a mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode 
ocorrer em s dentre as n maneiras, então: 
n
s
diferentes simples eventos de número
ocorrer pode A como maneiras de número
)A(P 
 
 
Usando o exemplo anterior, n = 36 (existem trinta e seis possibilidades 
de valores dos dois dados lançados) e s = 5 (para o evento “soma igual a seis”), 
logo: 
...13888,0
36
5
n
s
)A(P 
 
 
Variáveis aleatórias: 
É possível saber com certeza qual das cinco possibilidades do evento 
A pode ocorrer, antes de jogar os dados? 
Equação Radar 41 
 
Não. Pode-se apenas afirmar que a probabilidade da soma dos dados 
ser igual a seis é de aproximadamente 14%, não se pode, porém predizer qual 
dupla de dados irá ocorrer. O exemplo citado anteriormente pode ainda ser 
chamado de um experimento aleatório. 
Experimento aleatório é aquele experimento que, quando repetido em 
iguais condições, pode fornecer resultados diferentes. A palavra aleatória indica que 
em geral só conhecemos o valor do resultado depois que o experimento é realizado. 
Emprega-se o termo variável aleatória para descrever o valor que corresponde ao 
resultado de determinado experimento. 
Foi citado anteriormente que o ruído é um fenômeno aleatório. Isto 
significa que só é possível estabelecer previsões acerca do valor do ruído a partir da 
observação e da classificação de ocorrências, não se pode, porém predizer 
exatamente qual valor irá ocorrer em um determinado evento. 
Não é possível prever exatamente o valor de uma variável aleatória. 
Fenômenos dessa natureza podem ser descritos apenas com o auxílio da teoria da 
probabilidade. 
Fazendo um paralelo com a detecção radar, podemos pensar no 
seguinte exemplo hipotético: a partir do experimento de lançamento de dois dados, 
suponha que se estabeleça um “nível de threshold” igual ao número cinco, resultado 
da soma dos dois dados. Se um dos dados for chamado de “ruído” e o outro de 
“sinal”, é possível calcular qual a probabilidade da soma dos dois dados ser maior 
que cinco: 
72,0
36
26
n
s
5) que maiorP(A 
. 
 
Supondo, ainda, que só existe sinal quando o valor do segundo dado 
for maior que um, logo, pode-se calcular qual a probabilidade da soma ser maior 
que cinco e do valor do segundo dado ser maior que um. É possível observar que 
esta P2(A) pode ser chamada de Probabilidade de Detecção (PD): 
67,0
36
24
36
26
26
24
PD 
. 
 
Pode-se agora calcular a Probabilidade de Falso Alarme (PFA), 
definida como a probabilidade do valor da soma dos dois dados ser maior que cinco, 
com o valor do segundo dado igual a um, ou seja, não há sinal e o valor é maior que 
o threshold: 
 
056,0
36
2
36
26
26
2
PFA 
. 
 
Da mesma forma, a Probabilidade de Não-Detecção (PND), para o 
experimento dos dois dados, pode ser calculada. Neste caso, o valor do segundo 
dado é maior que um, porém a soma dos dois dados não é maior que cinco: 
42 Equação Radar 
 
167,0
36
6
PND 
. 
 
A última probabilidade seria a Probabilidade do Ruído (PR), na qual a 
soma dos dois dados não é maior que cinco e o valor do segundo dado é igual a 
um: 
111,0
36
4
PR 
. 
 
A tabela 4 mostra o espaço amostral deste experimento, com cores 
diferentes para os resultados que representam cada probabilidade calculada: 
 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) PD 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) PFA 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) PND 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) PR 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
Tabela 4 – Espaço amostral para o experimento de lançamento de dois dados, com as 
representações de PD, PFA, PND e PR. 
 
Distribuição de probabilidade e a detecção radar: 
Os cálculos de probabilidade com dois dados podem ser executados 
de maneira simples porque o espaço amostral é pequeno e as variáveis aleatórias 
envolvidas são discretas. No caso dos sistemas radar, o problema se complica 
porque o nível de tensão num receptor radar, durante o processo de detecção, varia 
de maneira contínua, ou seja, para um “threshold” igual a 5 Volts, existem infinitos 
valores possíveis de tensão entre 5 e 10 Volts, por exemplo, que podem ser 
detectados. Logo o espaço amostral deste experimento é infinito. 
Em alguns casos práticos, por restrições de medição, a variável 
aleatória é discreta, porém, por causa da faixa de valores possíveis ser muito 
grande, pode ser mais conveniente analisá-la como uma variável aleatória contínua. 
Por exemplo, suponha que as medidas de tensão em questão sejam realizadas por 
meio de um instrumento que mede valores com a precisão de um centésimo de Volt. 
Pelo fato de as medidas possíveis serem limitadas, a variável aleatória é discreta. 
No entanto, pode ser uma aproximação mais simples e conveniente considerar que 
as medidas da tensão sejam valores de uma variável aleatória contínua. 
Frequentemente, nosso interesse se centraliza na probabilidade com 
que uma variável aleatória assume um valor particular. A distribuição de 
probabilidades de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades 
associadas com os valores possíveis de X. Para uma variável aleatória discreta, a 
distribuição é frequentemente especificada por apenas uma lista de valores 
possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um, por vezes representada em 
Equação Radar 43 
 
forma de um gráfico chamado histograma. Em alguns casos, é conveniente 
expressar a probabilidade em termos de uma fórmula. Neste caso, a distribuição 
pode ser descrita por uma função que especifica a probabilidade de cada um dos 
valores possíveis para X. 
Definição: Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis x1, x2, ..., xn, 
a função de probabilidade é: 
)xX(P)x(f ii 
. 
 
 
Como f(xi) é definida como uma probabilidade: 
1)x(f
;0)x(f
n
1i
i
i




 
A partir dos exemplos apresentados, nos casos em que o espaço 
amostral é muito grande ou infinito, pode-se observar que é útil expressar 
probabilidades cumulativas, tais como 
( 5)P X 
, em termos de uma fórmula. 
Esta fórmula para a probabilidade cumulativa pode ser usada para 
encontrar a função de probabilidade de uma variável aleatória. Por conseguinte, o 
uso de probabilidades cumulativas é um método alternativo de descrever a 
distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. 
A função distribuição cumulativa de uma variável aleatória discreta X, 
denotada por F(x), é: 
F(y).F(x) então y, xSe
e 1;F(x)0
:que sendo ;)x(f)xX(P)x(F
xx
i
i

 

 
 
Voltando a uma situação simples, pode-se considerar o lançamento de 
uma moeda como exemplo. Como o resultado “cara” ou “coroa” somente pode ser 
determinado após o experimento de lançar a moeda, tem-se que este resultado é 
uma variável aleatória a ser analisada. 
É possível observar na Figura 26 que, para apenas um lançamento, a 
probabilidade do resultado ser “cara” é de 50%, igual à probabilidade do resultado 
ser “coroa” (ou “nenhuma cara”). 
 
 
 
 
 
44 Equação Radar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 26 – Histogramas mostrando a probabilidade do resultado “cara” ser obtido para um lançamento 
(azul), dois lançamentos (vermelho), três lançamentos (amarelo) e quatro lançamentos (verde). 
Já para dois a quatro lançamentos, a probabilidade de o resultado ser 
determinado número de “caras” varia. Da mesma forma, conforme o exemplo da 
Figura 25, para quatro lançamentos a probabilidade de resultarem duas “caras” é de 
37,5%. Já a probabilidade de o número de “caras” ser menor ou igual a dois será: 
%.75,686875,00625,025,0375,0)2(
)0()1()2()2(
)()2(
2


 

XP
PPPXP
xfXP
ix
i
 
 
Aumentando o número de lançamentos, a distribuição das 
probabilidades aumenta. Conforme a Figura 27, quando aumentamos de 15 para 30 
ou 50 lançamentos, as probabilidades ficam mais distribuídas entre os diversos 
valores dos resultados possíveis, atendendo as condições: 
.1)(
e ;0)(
1




n
i
i
i
xf
xf
 
Probabilidade para lançamentos de uma moeda
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2 3 4
Número de caras
Pr
ob
ab
ili
da
de 1
2
3
4
Equação Radar 45 
 
Probabilidade para lançamentos de uma moeda
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
15
30
50
 
Fig 27 – A probabilidade do resultado “cara” ser obtido para quinze lançamentos (azul), trinta 
lançamentos (vermelho) e cinquenta lançamentos (amarelo). 
 
Seguindo a mesma linha de raciocínio, conforme o exemplo da Figura 
26, para trinta lançamentos a probabilidade de resultarem quinze “caras” é de 
14,45%. Já a probabilidade de o número de “caras” ser menor ou igual a quinze 
será: 
%.17,575717,000,000,000,0...1115,01354,01445,0)15(
)0()1()2(...)13()14()15()15(
)()15(
15


 

XP
PPPPPPXP
xfXP
ix
i
 
 
É possível observar que aumentando ainda mais o número de 
lançamentos, conforme a Figura 28, a probabilidade do número de “caras” ser 
menor que determinado valor tende a ser igual à soma das áreas de cada retângulo 
do histograma correspondente aos valores menores ou iguais a esse determinado 
valor. À medida que se aumenta o número de lançamentos infinitamente, os 
retângulos tendem a ter dimensão horizontal infinitesimal e, logo, a soma das suas 
áreas tende a ser igual à área sob a curva formada por eles. 
 
46 Equação Radar 
 
Probabilidade para lançamentos de uma moeda
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0 22 44 66 88 11
0
13
2
15
4
17
6
19
8
22
0
24
2
26
4
28
6
30
8
33
0
35
2
37
4
39
6
41
8
44
0
46
2
48
4
Número de caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
Fig 28 – A probabilidade do resultado “cara” ser obtido para quinhentos lançamentos. 
 
Neste caso, as probabilidades ficam ainda mais distribuídas entre os 
diversos valores dos resultados possíveis, atendendo também às condições: 
.1)(
e ;0)(
1




n
i
i
i
xf
xf
 
Logo, a área total sob a curva tem valor igual a 1 (100%). Tem-se 
ainda que para quinhentos lançamentos, a probabilidade de resultarem exatamente 
quinhentas “caras” é bem próxima de zero. Já a probabilidade de o número de 
“caras” ser menor ou igual a quinhentos será 100%: 
%.1001)500(
)0()1()2(...)498()499()500()500(
histograma pelo formada curva a sob área )()500(
500


 

XP
PPPPPPXP
xfXP
ix
i
 
 
Voltando à detecção radar, conforme já mencionado, o valor de tensão 
que ultrapassa o nível de “threshold” pode ser considerado uma variável aleatória 
contínua. Dessa forma, torna-se mais prático representar sua função distribuição de 
probabilidades não em forma de histograma, mas sim em forma de uma função 
contínua. 
Nos radares, um circuito de detecção é empregado para decidir acerca 
da presença ou ausência de sinal em meio ao ruído de fundo. O desempenho deste 
Equação Radar 47 
 
tipo de circuito pode ser descrito em termos de duas probabilidades: a Probabilidade 
de Detecção (Pd) e a Probabilidade de Falso Alarme (Pfa). O circuito de detecção 
ou detector é usualmente caracterizado por um valor de tensão na saída do receptor 
chamado de threshold level (Vt), o qual, se excedido, resulta na decisão que um 
sinal está presente. Caso o nível de tensão não seja excedido, o detector indicará 
que nenhum sinal está presente. 
Porém, existirá sempre uma determinada probabilidade do nível de 
tensão ser excedido quando na verdade nenhum sinal está presente. A estatística 
da tensão do ruído termal aleatório indica que existe um valor de probabilidade 
usualmente pequeno, mas diferente de zero, do ruído exceder o threshold level. Na 
verdade, por sua natureza aleatória, existe uma probabilidade diferente de zero de o 
ruído assumir qualquer valor, não importa o quão grande este seja. A probabilidade 
de Vt ser excedido quando nenhum sinal está presente é a Pfa, a qual pode ser 
calculada pela expressão: 



tV
nt dvvpeVvPPfa )(]presente sinal existe não [
, 
onde 
(v)np
é a função distribuição de probabilidade do ruído termal. 
 
A Probabilidade de Detecção (Pd) é dada pela mesma expressão, com 
a função distribuição de probabilidade da combinação sinal mais ruído 
( )snp v
 
(usualmente chamada “signal-plus-noise”, embora a “adição” não seja 
necessariamente linear): 



tV
snt dvvpVvPPd )(ruído] mais sinal existe e [
. 
 
A função distribuição de probabilidade da combinação sinal mais ruído 
( )snp v
depende primariamente da relação sinal/ruído e também das características 
estatísticas do sinal e do ruído. Ambas as funções 
( )np v
 e 
( )snp v
 são ainda 
dependentes do tipo de detector presente no receptor radar e de qualquer não-
linearidade dos circuitos de pós-detecção. 
Nos circuitos mais usuais (onde o detector é do tipo quadrático), 
( )np v
 
pode ser definida como uma função densidade de probabilidade (mesmo que 
distribuição de probabilidade, para o caso contínuo) do tipo Rayleigh: 
 
 
 
onde v é o envelope de tensão do ruído e 
2
x
 é sua variância (dispersão em torno do 
valor médio). 
 
Já 
( )snp v
 pode ser definida como uma função densidade de 
probabilidade do tipo Rice (Rayleigh modificada): 
,0,
2
exp)(
2
2
2







 v
vv
vp
xx
n 
48 Equação Radar 
 
 
 
 
onde v é o envelope de tensão do ruído, 
2
x
 é sua variância e c é o valor de pico do 
sinal de retorno de um alvo. 
O termo 
2
22 x
c

 é chamado de relação sinal/ruído (S/N) e representa a 
razão entre a potência média do sinal 
 2 2c
 e a variância do ruído 
 2x
. Quando a 
potência do sinal é zero, 
(v)snp
torna-se 
(v)np
, logo, não há sinal presente e a função 
de densidade de probabilidade somente do ruído é apresentada. As figuras 29, 30 e 
31 apresentam graficamente a Pd, a Pfa, 
(v)np
 e 
(v)snp
. 
Fig 29 – A Probabilidade de Falso Alarme (Pfa) é igual à área sob a função densidade