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Material auxiliar a ser usado exclusivamente na disciplina Comunicações Ópticas da Universidade Federal do ABC. Este material é um apanhado dos tópicos essenciais para a referida disciplina, extraídos da obra de Govind P. Agrawal Fiber-Optic Communications Systems, Third Edition, John Wiley & Sons, Inc, 2002. Por Luiz Henrique Bonani 1 Receptores Ópticos O papel de um receptor óptico é converter o sinal óptico de volta em sinal elétrico e recuperar os dados transmitidos através do sistema óptico de comunicação. Seu principal componente é um fotodetetor que converte luz em eletricidade por meio do efeito fotoelétrico. Os requisitos para um fotodetetor são semelhantes aos de uma fonte óptica: alta sensibilidade, resposta rápida, baixo ruído, baixo custo e alta confiabilidade. Além disso, seu tamanho deve ser compatível com o tamanho do núcleo da fibra óptica. Todos estes requisitos são melhor atendidos por fotodetetores feitos de materiais semicondutores. Conceitos Básicos O mecanismo fundamental por trás do processo de fotodetecção é a absorção óptica. Também são importantes os conceitos de responsividade, eficiência quântica e largura de banda, que são comuns a todos os fotodetectores. Considerando o semicondutor mostrado, se a energia hf dos fótons incidentes excederem a energia do bandgap, um par elétron-lacuna é gerado toda vez que um fóton é absorvido. Responsividade do Detector Sob a influência de um campo elétrico devido a uma tensão, os elétrons e lacunas se propagam pelo semicondutor, resultando em um fluxo de corrente elétrica. A fotocorrente Ip é diretamente proporcional à potência óptica incidente Pin, ou seja, inpI RP em que R é a responsividade do fotodetetor (A/W). A responsividade R pode ser expressa em termos de uma quantidade fundamental η, chamada de eficiência quântica: /taxa de geração de elétrons taxa de incidência de fótons / p in I q hf R P hf q Considerando λ ≡ c/f , a responsividade R é dada por: 2 1, 24 q R hf A responsividade de um fotodetetor aumenta com o comprimento de onda λ, pois mais fótons estão presentes para a mesma potência óptica. A dependência linear em λ não continua para sempre, porque eventualmente a energia do fóton torna-se demasiadamente pequena para gerar elétrons. Em semicondutores isso acontece para hf < Eg, em que Eg, é o bandgap. A eficiência quântica η, então, cai para zero. A dependência de η em relação a λ existe pelo coeficiente de absorção α. Se as faces do tarugo de semicondutor têm um revestimento antireflexo, a potência transmitida através da placa de largura W é Ptr = exp(-αW) Pin. A potência absorvida pode ser escrita como: abs in tr in[1 exp( )]P P P W P Uma vez que cada fóton absorvido cria um par elétron-lacuna, o a eficiência quântica η é dada por: abs in/ 1 exp( )P P W Como esperado, η tende a zero quando α = 0. Por outro lado, η se aproxima de 1 se αW >> 1. A figura mostra a dependência do comprimento de onda de α para vários materiais semicondutores usados para fazer fotodetectores para sistemas ópticos de comunicação. O comprimento de onda λc para o qual α torna-se zero é chamado de comprimento de onda de corte, já que esse material pode ser usado em um fotodetector apenas no caso λ < λc. 3 Tempo de Subida A largura de banda de um fotodetetor é dada pela velocidade com que ele responde a variações de potência incidente. O tempo de subida Tr é definido como o tempo durante o qual a corrente salta de 10 a 90% do seu valor final quando a potência óptica incidente muda abruptamente. Claramente Tr depende do tempo para os elétrons e lacunas viajarem até os contatos elétricos e do tempo de resposta do circuito elétrico usado para processar a fotocorrente. O tempo de subida Tr de um circuito elétrico linear é definido como o tempo durante o qual a resposta aumenta de 10 até 90% do seu valor final de saída, quando a entrada muda abruptamente. Quando a tensão de entrada de um circuito RC se altera instantaneamente de 0 a V0, a variação da tensão de saída é: out 0( ) [1 exp( / )]V t V t RC em que R é a resistência e C é a capacitância do circuito RC. O tempo de subida é dado por: (ln9) 2,2r RCT RC em que τRC = RC é a constante de tempo do circuito RC. O tempo de subida de um fotodetector pode ser escrito como: tr(ln9)( )r RCT em que τtr é o tempo de trânsito e τRC é a constante de tempo do circuito RC equivalente. Muitas vezes, a constante τRC limita a largura de banda por causa de parasitas elétricos. Os valores numéricos de τtr e τRC dependem do projeto do detector e podem variar amplamente. Largura de Banda A largura de banda de um fotodetector é definida de maneira análoga ao de um circuito RC e é dada por: 1 tr[2 ( )]RCf Como exemplo, quando τtr = τRC = 100 ps, a largura de banda do fotodetector é abaixo 1 GHz. Claramente, tanto τtr como τRC devem ser reduzidos abaixo de 10 ps para fotodetectores operando a taxas de bit de 10 Gb/s ou mais. Além da largura de banda e a responsividade, a corrente de escuro Id de um fotodetector é o terceiro parâmetro importante. Essa corrente é gerada em um fotodetector na ausência de qualquer sinal óptico e provém de luz difusa ou de pares elétron-lacunas termicamente gerados. Para um bom fotodetector a corrente escura deve ser desprezível (Id <10 nA). 4 Fotodiodos p-n Uma junção p-n reversamente polarizada apresenta uma região de depleção, que é essencialmente desprovida de portadores de carga e onde há um grande campo elétrico que se opõe ao fluxo de cargas (elétrons do lado n para o lado p e de lacunas de p para n). Quando junção p-n é iluminada, pares elétron-lacuna são criados por absorção. Devido ao campo elétrico, estes elétrons e lacunas gerados se aceleram em direções opostas, indo para os lados n e p, respectivamente. O fluxo total de corrente é proporcional à potência óptica incidente. Assim, uma junção p-n inversamente polarizada age como um fotodetetor e é referida como o fotodiodo p-n. A largura de banda de um fotodiodo p-n é limitada pelo tempo de trânsito τtr. Se W é a largura da região de depleção e vd é a velocidade de deriva, o tempo de trânsito é dado por: tr / dW v A largura da camada de depleção depende das concentrações das impurezas receptoras e doadoras e pode ser controlada por meio delas. A velocidade vd depende da tensão aplicada, mas atinge um valor máximo (chamado de velocidade de saturação) de ~105 m/s que depende do material utilizado para o fotodiodo. A constante de tempo τRC pode ser escrita como: ( )RC L s pR R C em que RL é a resistência da carga externa, Rs é a resistência série interna e Cp é a capacitância parasita. Um fator limitante para a largura de banda de fotodiodos p-n é o componente de difusão na fotocorrente, decorrente da absorção de luz incidente fora da camada de depleção. A contribuição de difusão pode ser reduzida, diminuindo a largura das regiões p e n e aumentando a largura da região de depleção, de modo que a maioria da potência óptica incidente seja absorvida no seu interior. 5 Esta é a abordagem adotada para fotodiodos p-i-n e para aumentar a largura da região de depleção insere-se uma camada de material semicondutor não dopado (ou levemente dopado) entre a junção p-n. Fotodiodos p-i-n A figura mostra a estrutura do dispositivo em conjunto com o campo elétrico distribuído dentro dele sob operação de polarização reversa. Devido à sua natureza intrínseca, a camada i oferece uma alta resistência, concentrando a maior queda de tensão, resultando em um grande campo elétrico nessa camada. A região de depleção se estende por toda a região i e sua largura W pode sercontrolada alterando a espessura da camada do meio. A principal diferença para o fotodiodo p-n é que a componente de deriva da fotocorrente domina sobre a componente de difusão porque a maior parte da potência incidente é absorvida dentro da região i de um fotodiodo p-i-n. A largura de depleção W pode ser adaptada em fotodiodos p-i-n e uma pergunta natural é quão grande W pode ser. O valor ideal de W depende de um compromisso entre velocidade e sensibilidade. A responsividade pode ser aumentada aumentando W de modo que a eficiência quântica η se aproxime de 100%. No entanto, o tempo de resposta também aumenta, já que leva mais tempo para a deriva em toda a região de depleção. Para semicondutores com bandgap indireto, tais como Si e Ge, tipicamente W deve estar na faixa de 2 a 50 μm para garantir uma eficiência quântica razoável. A largura de banda de fotodiodos é limitada por um tempo de trânsito relativamente longo (τtr > 200 ps). Por outro lado, W pode ser tão pequena quanto 3-5 μm para fotodiodos que usam semicondutores com bandgap direto, tais como InGaAs, cujo tempo de trânsito é de τtr ~10ps. Os valores de τtr correspondem a uma largura de banda Δf ~ 10 GHz. O desempenho 6 de fotodiodos p-i-n pode ser melhorado usando uma dupla heteroestrutura. Assim, o meio i é prensado entre as camadas n e p de um novo tipo de semicondutor cujo bandgap é escolhido para que a luz seja absorvida somente na camada i. Fotodiodos InGaAs são bastante úteis para sistemas ópticos de comunicação. A tabela lista as características de operação dos três fotodiodos p-i-n mais comuns. Na década de 1990 foram desenvidos fotodiodos p-i-n para operar em taxas de bits superiores a 10 Gb/s. Outra abordagem para conseguir fotodiodos de alta velocidades e eficientes faz uso de um guia de onda óptico. Tal estrutura se assemelha a um laser semicondutor não bombeado, exceto por várias camadas epitaxiais otimizadas de forma diferente. Em contraste com um laser semicondutor, o guia de onda pode ser feito largo para suportar múltiplos modos transversais, a fim de melhorar a eficiência de acoplamento. A largura de banda de fotodiodos de guia de onda pode ser aumentada para 110 GHz, adotando uma estrutura em que a largura da camada i seja reduzida para 1,5 μm enquanto as camadas p e n sejam feitas com 6 μm de largura. Desta forma, tanto a capacitância parasita como a resistência série interna são minimizadas, reduzindo τRC para ~1 ps. O desempenho de fotodiodos de guia de onda pode ser melhorado com a adoção de uma estrutura de eletrodo, projetada para suportar ondas elétricas com casamento de impedâncias para evitar reflexões. Esses fotodiodos são chamados fotodetetores de onda viajante. Fotodiodos Avalanche Todos os detectores exigem um mínimo de corrente para operar de forma confiável. A exigência de corrente traduz-se em um requisito mínimo de energia com Pin = Ip/R. Detectores com responsividades grandes são preferidos por exigirem menos potência óptica. A responsividade de fotodiodos p-i-n é limitada, com máximo em R = q/hν, η = 1. Fotodiodos Avalanche (APDs) podem ter valores muito maiores de R, já que são concebidos para proporcionar um alto ganho interno de corrente e são usados quando a quantidade de potência óptica que pode ser usada para o receptor é limitada. O fenômeno físico por trás do ganho interno de corrente é conhecido como ionização de impacto. Sob certas condições, um elétron acelerado pode adquirir energia suficiente para gerar um par elétron-lacuna novo. 7 Os elétrons mais energéticos dão uma parte de sua energia cinética para um outro elétron na banda de valência, que por sua vez acaba na banda de condução, deixando para trás uma lacuna. O resultado líquido da ionização de impacto é que um único elétron primário, gerado por meio da absorção de um fóton, cria muitos elétrons secundários e lacunas, os quais contribuem para a corrente do fotodiodo. A lacuna principal também pode gerar pares elétron-lacuna secundários que contribuem para a corrente. A taxa de geração é governada por dois parâmetros (αe e αh), que são os coeficientes de ionização por impacto de elétrons e lacunas, respectivamente. Seus valores numéricos dependem do material semicondutor e do campo elétrico que acelera os elétrons e lacunas. Os APDs diferem na sua concepção de fotodiodos p-i-n, principalmente em um aspecto: uma camada adicional é inserida na qual pares secundários elétron-lacuna são gerados por meio de ionização de impacto. A figura a seguir mostra a estrutura APD juntamente com a variação do campo elétrico em várias camadas. O ganho de corrente para APDs pode ser calculado usando as equações que regem a taxa de fluxo de corrente dentro da camada de multiplicação: e e e h h h e e h h di i i dx di i i dx em que ie é a corrente de elétrons e ih é a corrente de lacunas. O sinal negativo na equação se deve à direção oposta da corrente de lacunas. A corrente total I permanece constante em todos os pontos dentro da região de multiplicação. ( ) ( )e hI i x i x 8 Se ih for substituída por I – ie, obtém-se: / ( )e e h e hdi dx i i I Em geral, αe e αh são dependentes de x se o campo elétrico em toda a região de ganho for não uniforme. A análise é simplificada com um campo elétrico uniforme, tratando αe e αh como constantes. Assume-se também que αe > αh, com o processo de avalanche sendo iniciado por elétrons que entram na região de ganho de espessura d em x = 0. Usando a condição ih(d) = 0 (só elétrons cruzam a fronteira para entrar na região n), a condição de contorno é ie(d) = I. Ao integrar esta equação, o fator de multiplicação definido como M = ie(d)/ie(0) é dado por: A A A 1 exp[ (1 ) ]e k M k d k em que o coeficiente de ionização kA = αh/αe. O ganho APD é bastante sensível à relação entre os coeficientes de impacto de ionização. Quando αh = 0 apenas com os elétrons participando do processo de avalanche, M = exp (αed), e o ganho APD aumenta com d. Por outro lado, quando αh = αe, de modo que kA = 1, M = (1 – αed) -1. O ganho APD, torna-se infinito para αed = 1, uma condição conhecida como ponto de avalanche. O maior ganho de APD pode ser conseguido com uma menor região de ganho quando αh e αe são comparáveis. Por outro lado, o desempenho é melhor para APDs em que αh >> αe ou αh << αe para que o processo de avalanche seja dominado por apenas um tipo de portador de carga. Por causa do ganho de corrente, a responsividade de um APD é reforçada pelo fator de multiplicação M e é dada por: APD ( / )R MR M q hf O processo de avalanche em APDs é intrinsecamente ruidoso e resulta em um fator de ganho que oscila em torno de um valor médio. O fator M se refere ao ganho APD médio. A largura de banda intrínseca de um APD depende do fator de multiplicação M, pois o tempo de trânsito τtr para um APD aumenta consideravelmente, já que a geração e coleta de pares elétron-lacuna secundários demoram mais tempo. O ganho APD diminui em altas frequências por causa desse aumento no tempo de trânsito e limites de largura de banda. A diminuição de M(ω) pode ser escrita como: 2 1/2 0 0( ) [1 ( ) ]eM M M em que M0 = M(0) é o ganho de baixa frequência e τe é o tempo de trânsito eficaz que depende da relação dos coeficientes de ionização kA. Para αh < αe, τe = cAkAτtr, com cA constante (cA ~ 1) e supondo que τRC << τe, a largura de banda APD é dada por Δf = (2π τeM0) -1, que mostra o compromisso entre o ganho APD, M0 e a largura de banda Δf. A tabela compara as características operacionais de APDs de Si, 9 Ge, e InGaAs. Ruído no Receptor Receptores ópticos convertem a potência óptica incidente Pin em corrente elétrica por meio de um fotodiodo. A relação Ip = RPin assume que tal conversão é livre de ruído. No entanto, estenão é o caso, mesmo para um receptor perfeito. Dois mecanismos de ruído fundamentais, o ruído shot e o ruído térmico, levam a flutuações na corrente mesmo quando o sinal óptico incidente tem uma potência constante. A relação Ip = RPin ainda vale se Ip for interpretada como a corrente média. No entanto, o ruído elétrico induzido pelas flutuações de corrente afeta o desempenho do receptor. Ruído Shot O ruído shot é uma manifestação do fato de que uma corrente elétrica consiste em um fluxo de elétrons que são gerados em momentos aleatórios. Foi primeiramente estudado por Schottky em 1918 e tem sido amplamente pesquisado desde então. A corrente do fotodiodo gerada em resposta a um sinal óptico constante pode ser escrita como: I(t) = Ip + is(t) em que Ip = RPin é a corrente média e is(t) é uma flutuação na corrente relacionada ao ruído shot. Matematicamente, is(t) é um processo estacionário aleatório com estatística poissoniana (aproximada muitas vezes por estatísticas gaussianas). A função de autocorrelação de is(t) está relacionada com a densidade espectral Ss( f ) pelo teorema de Wiener-Khinchin: ( ) ( ) ( ) exp( 2 )s s si t i t S f j f df A densidade espectral do ruído shot é constante e é dada por Ss( f ) = qIp (um exemplo de ruído branco). 10 O parâmetro Ss(f) é a densidade espectral de potência dos dois lados, com as frequências negativas já incluídas. Se apenas as frequências positivas são consideradas, alterando o limite inferior de integração para zero, a densidade espectral de lado único torna- se 2qIp. A variância do ruído é obtida com τ = 0 na equação, ou seja, 2 2 ( ) ( ) 2s s s pi t S f df qI f em que Δf é a largura de banda efetiva de ruído do receptor. O valor real de Δf depende do projeto do receptor e corresponde à largura de banda intrínseca do fotodetector se flutuações na fotocorrente são medidas. Na prática, por razões de construção do circuito de decisão, deve-se considerar as funções de transferência dos componentes do receptor, tais como o pré-amplificador e o filtro passa-baixas. É comum considerar flutuações na corrente e incluir a função de transferência total HT(f), modificando a equação anterior: 22 0 2 ( ) 2s p T pqI H f df qI f em que 2 0 | ( ) |Tf H f df . Como a corrente escura Id também gera ruído shot, sua contribuição está incluída na equação, substituindo Ip por Id + Ip. O ruído shot total é então dado por: 2 2 ( )s p dq I I f Ruído Térmico Em uma temperatura finita, os elétrons se movem aleatoriamente em qualquer condutor, que em um resistor se manifesta como uma corrente flutuante, mesmo na ausência de uma tensão aplicada. O resistor de carga na extremidade dianteira de um receptor óptico adiciona tais flutuações para a corrente gerada pelo fotodiodo, que é conhecido como ruído térmico. O ruído térmico pode ser incluído como segue: ( ) ( ) ( )p s TI t I i t i t em que iT(t) é uma flutuação de corrente induzida pelo ruído térmico. Matematicamente, iT(t) é modelada como um processo aleatório estacionário gaussiano com densidade espectral que é independente da frequência até f ~ 1 THz (ruído quase branco) e é dada por: ( ) 2 /T B LS t k T R em que kB é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta e RL é o resistor de carga. 11 O ruído térmico é obtido com: 2 2 ( ) ( ) (4 / )T T T B Li t S f df k T R f em que Δf é a largura de banda eficaz do ruído. A equação anterior inclui o ruído térmico gerado pelo resistor de carga, mas como existem múltiplos componentes elétricos no receptor, há ruído adicional que depende do projeto de construção e dos amplificadores usados. Uma abordagem simples para estimar o ruído do amplificador para diferentes projetos introduz um parâmetro Fn, conhecido como figura de ruído do amplificador, modificando a equação: 2 (4 / )T B L nk T R F f Fisicamente, Fn representa o fator pelo qual o ruído térmico é reforçado por vários resistores usados nos pré-amplificadores e no amplificador principal. Ruído Total de Corrente O ruído total de corrente pode ser obtido pela soma das contribuições de ruído shot e ruído térmico. Uma vez que is(t) e iT(t) são processos aleatórios independentes com as estatísticas aproximadamente gaussianas, a variância total de flutuações de corrente ΔI=I–Ip = is + iT, pode ser obtida adicionando as variações individuais. O resultado é: 2 2 2 2( ) 2 ( ) (4 / )T s T p d B L nI q I I f k T R F f Este resultado é usado para calcular a SNR da fotocorrente. Para Receptores p-i-n O desempenho de um receptor óptico depende da SNR e esta deve ser considerada para fotodiodos p-i-n. A SNR de qualquer sinal elétrico é definida como: 2 2 potência média do sinal SNR potência média do ruído pI em que se usa o fato de que a energia elétrica varia com o quadrado da corrente. Usando o ruído total de corrente calculado anteriormente juntamente com Ip = RPin, a SNR está relacionada com a potência óptica incidente como: 2 2 in in SNR 2 ( ) (4 / )d B L n R P q RP I f k T R F f em que R = ηq / hf é a responsividade do fotodiodo p-i-n. 12 Limite do Ruído Térmico Na maioria dos casos o ruído térmico domina o desempenho do receptor (σT 2 >> σs 2), desprezando o termo de ruído shot na equação anterior, tornando a SNR: 2 2 inSNR 4 L B n R R P k TF f Assim, a SNR varia como Pin 2 no limite de ruído térmico. Ela também pode ser melhorada por meio do aumento da resistência de carga. O efeito do ruído térmico é muitas vezes quantificada por meio da potência de ruído equivalente (NEP – Noise-equivalent Power). A NEP é definida como a potência óptica mínima por unidade de largura de banda necessária para produzir uma SNR = 1: 1/2 1/2 in 2 4 4 NEP B n B n LL k TF k TFP hf q RR Rf Outro parâmetro, chamado detectividade, é definido como (NEP)-1, e também é usado para esta finalidade. A vantagem de especificar a NEP ou a detetividade para receptores p- i-n é estimar a potência óptica necessária para obter uma SNR específica se a largura de banda Δf é dada. Limite do Ruído Shot No limite oposto, em que o desempenho do receptor é dominado pelo ruído shot (σs 2 >> σT 2), há a seguinte expressão para a SNR: in inSNR 2 2 RP P q f hf f A SNR aumenta linearmente com Pin no limite do ruído shot e depende apenas da eficiência quântica η, da largura de banda Δf e da energia do fóton hf. Esta SNR também pode ser escrita em termos do número de fótons contidos no bit “1”, Np, já que: in pP N hfB em que B é a taxa de bits. Para Receptores APD Receptores ópticos que empregam um fotodiodo APD fornecem uma SNR maior para a mesma potência óptica incidente. A melhora se deve ao ganho interno que aumenta a fotocorrente por um fator de multiplicação M, de modo que: in APD inpI MRP R P em que RAPD é a responsividade APD, reforçada por um fator de M comparado com o de fotodiodos p-i-n (RAPD = MR). 13 A SNR deve melhorar por um fator de M2 se o ruído do receptor não for afetado pelo mecanismo de ganho interno de APDs. Infelizmente, este não é o caso, e a melhoria da SNR é consideravelmente reduzida. Enriquecimento do Ruído Shot O ruído térmico permanece o mesmo para os receptores APD, já que ele se origina em componentes elétricos que não fazem parte do APD. Este não é o caso para o ruído shot, pois o ganho APD resulta da geração de pares elétron-lacuna secundários por meio do processo de ionização de impacto. Como tais pares são gerados em momentos aleatórios, uma contribuição adicional entra no ruído shot associada com a geração principal de pares elétron-lacuna. O fator de multiplicação é uma variável aleatória, e o M da equação anteriorrepresenta o ganho médio APD. O ruído shot total pode ser calculado como: 2 2 in2 ( )s A dqM F RP I f em que FA é o fator de excesso de ruído do APD e é calculado como: ( ) (1 )(2 1/ )A A AF M k M k M O parâmetro adimensional kA = αh/αe se αh <αe mas é definido como kA = αe/αh quando αh> αe. Em outras palavras, kA está na faixa entre 0 e 1. A figura mostra a dependência de FA em relação ao ganho para vários valores de kA. Se o processo de ganho de avalanche fosse sem ruído (FA = 1), tanto Ip como Is aumentariam pelo mesmo fator M, e a SNR não seria afetada já que o ruído shot já é levado em consideração. 14 Na prática, a SNR de receptores APD é pior do que a de receptores p-i-n quando o ruído shot domina por causa do excesso de ruído gerado dentro do APD. É o domínio do ruído térmico em receptores práticos que faz os APDs atraentes. Na verdade, a SNR de receptores APD pode ser escrita como: 2 2 in 2 2 2 in ( ) SNR 2 ( ) 4( / ) p s T A d B L n I MRP qM F RP I f k T R F f No limite do ruído térmico (σs << σT), a SNR se torna: 2 2 2 inSNR 4 L B n R R M P k TF f e é melhorada por um fator de M2 em comparação com a SNR de receptores p-i-n. Por outro lado, no limite do ruído shot (σs >> σT), a SNR é: in inSNR 2 2A A RP P qF f hfF f e diminui pelo excesso de fator de ruído FA comparado com o de receptores p-i-n. Ganho Ótimo APD Para uma dada Pin, a SNR de receptores APD é máxima para um valor ótimo Mopt do ganho APD. Pode-se mostrar que a SNR é máxima quando Mopt satisfaz o seguinte polinômio cúbico: 3 opt opt in 4 (1 ) ( ) B n A A L d k TF k M k M qR RP I O valor ótimo Mopt depende de um grande número de parâmetros do receptor, como a corrente de escuro, a responsividade R, e o coeficiente de ionização kA. No entanto, é independente da largura de banda do receptor. A característica mais notável da equação acima é que Mopt diminui com o aumento da Pin. A figura mostra a variação da Mopt com Pin para vários valores de kA. O ganho ótimo APD é bastante sensível ao coeficiente de ionização kA. Para kA = 0, Mopt diminui inversamente com Pin, observando que a contribuição de Id é insignificante na prática. 15 Por outro lado, P varia como Mopt -1/3 para kA = 1, e esta forma de dependência parece se manter até mesmo para kA pequenos. Na verdade, por desprezar o segundo termo na equação anterior, Mopt pode ser aproximado por: 1/3 opt in 4 ( ) B n A L d k TF M k qR RP I para kA no intervalo de 0,01 a 1. Esta última expressão mostra o papel crítico desempenhado pelo coeficiente de ionização kA. Em APDs de Si, para o qual kA << 1, Mopt pode ser tão grande quanto 100. Já para receptores de InGaAs, Mopt é ao redor de 10, uma vez que kA ~0,7. Sensibilidade dos Receptores Um receptor é dito ser mais sensível se atingir o mesmo desempenho com menos potência óptica incidente sobre ele. O critério de desempenho para receptores digitais é determinado pela taxa de erro de bit (BER). Assim, uma BER de 2×10-6 corresponde, em média, a dois erros por milhão de bits. Um critério comumente usado para receptores digitais ópticos requer BER abaixo de 1×10-9. A sensibilidade do receptor é definida como a potência média mínima recebida Prec necessária para operar em uma BER de 10-9. Assim, a primeira coisa a ser feita é calcular a BER. 16 Taxa de Erro de Bit (BER) A figura mostra o sinal flutuante recebido pelo circuito de decisão, em que as amostras estão no instante de decisão tD determinado por meio da recuperação de relógio. O valor amostrado I flutua de bit a bit em torno de um valor médio I1 ou I0, dependendo se o bit corresponde a 1 ou 0. O circuito de decisão compara o valor amostrado com um valor limiar ID e chama de bit 1 se I > ID ou de bit 0 se I < ID. Ambas as fontes de erros podem ser incluídas, definindo a probabilidade de erro de bit como: BER (1) (0 /1) (0) (1/ 0)p P p P em que p(1) e p(0) são as probabilidades de receber os bits 1 e 0, respectivamente; P(0/1) é a probabilidade de decidir 0 quando um 1 é recebido, e P(1/0) é a probabilidade de decidir 1 quando um 0 é recebido. Como os bits 1 e 0 bits são igualmente prováveis de ocorrer, p(1) = p(0) = 1/2, e a BER se torna: 1 BER (0 /1) (1/ 0) 2 P P A forma funcional de p(I) depende da estatística da fonte de ruído responsável pelas flutuações de corrente. Ruído térmico iT é bem descrito por estatísticas gaussianas com média zero e variância σT 2. A estatística do ruído shot também se aproxima de uma gaussiana para receptores p-i-n, mas não é o caso para APDs. Uma aproximação comum trata is como uma variável aleatória gaussiana para ambos os receptores, mas com diferentes variâncias σs 2, já estudadas previamente: 2 2 ( )s p i n p dq I I f 2 2 APD 2 ( )s A p dqM F I I f 17 A soma de duas variáveis aleatórias gaussianas também é uma variável aleatória gaussiana, e o valor da amostragem I tem uma função densidade de probabilidade gaussiana com variância σ2 = σs 2 + σT 2. No entanto, a média e a variância são diferentes para os bits 1 e 0 já que Ip é igual a I1 ou I0 dependendo do bit recebido. Se σ1 2 e σ0 2 são as variâncias correspondentes, as probabilidades condicionais são dadas por: 2 1 1 2 11 1 ( )1 1 (0 /1) exp erfc 222 2 DI DI I I IP dI 2 0 0 2 00 0 ( )1 1 (1/ 0) exp erfc 222 2 D D I I I I I P dI Nesse caso, erfc() é a função de erro complementar: 22erfc(x) exp( ) x y dy E fazendo as substituições necessárias, a BER é dada por: 01 1 0 1 BER erfc erfc 4 2 2 DD I II I Limiar Ótimo de Decisão A BER depende do limiar de decisão ID e ID é otimizado para minimizar a BER. O mínimo ocorre quando ID é escolhido de tal forma que: 2 2 0 1 1 2 2 00 1 ( ) ( ) ln 2 2 D DI I I I O último termo desta equação é desprezível na maioria dos casos e ID é aproximadamente obtido a partir de: 0 0 1 1( ) / ( ) /D DI I I I Q Uma expressão explícita para ID é: 0 1 1 0 0 1 D I I I Quando σ1 = σ0, ID = (I1 + I0)/2, que corresponde à definição do limiar de decisão no meio. Isso funciona para a maioria dos receptores p-i-n com ruído dominado pelo ruído térmico. Para APDs, a BER é minimizada com o limiar ótimo de decisão. A BER com a 18 configuração ótima do limiar de decisão depende apenas do parâmetro Q: 21 exp( / 2) BER erfc 2 2 2 Q Q Q em que o parâmetro Q é dado por: 1 0 1 0 I I Q BER e Parâmetro Q A figura mostra como a BER varia de acordo com o parâmetro Q. A BER melhora à medida que Q aumenta e torna-se menor do que 10-12 para Q > 7. A sensibilidade do receptor corresponde à potência óptica média para que Q ≈ 6, (BER ≈ 10-9). Potência Mínima Recebida A equação da BER pode ser usada para calcular a energia mínima que um receptor óptico precisa para operar de forma confiável com uma BER abaixo de um valor especificado. O parâmetro Q deve ser relacionado com a potência óptica incidente. Considerando o caso em que os bits 0 não carregam nenhuma potência óptica, então P0 = 0 e I0 = 0. A potência P1 nos bits 1 está relacionada com I1 como: 1 1 rec2I MRP MRP em que Prec é a potência média recebida, sendo Prec = (P1 + P0)/2. O ganho APD M é incluído na equação por generalidade. Para receptores p-i-n, M = 1. 19 As correntes de ruído RMS σ1 e σ0 incluem as contribuições de ambos os ruídos shot e térmico e pode ser escrita como: 2 2 1/2 1 0( ) es T T em que σs 2 e σT 2 já foram calculadas anteriormente. Desprezando a contribuiçãoda corrente de escuro, as variâncias de ruído se tornam: 2 2 rec2 (2 )s AqM F R P f 2 (4 / )T B L nk T R F f Assim, o parâmetro Q é dado por: rec1 2 2 1/2 1 0 2 ( )s T T MRPI Q Para um valor específico de BER, Q pode ser determinado e a sensibilidade do receptor Prec é encontrada. Uma expressão analítica simples para Prec é obtida resolvendo esta equação para um dado Q: T rec A Q P qF Q f R M Isso mostra como Prec depende de vários parâmetros do receptor e como ele pode ser otimizado. Para o receptor p-i-n (M = 1), como o ruído térmico σT geralmente domina, Prec é dada por: rec pin( ) /TP Q R Da equação, σT 2 depende não só dos parâmetros do receptor, como RL e Fn mas também da taxa de bits na largura de banda Δf do receptor (geralmente, Δf = B/2). O parâmetro Prec aumenta com √B no limite de ruído térmico. A equação também mostra como a sensibilidade do receptor melhora com o uso de receptores APD. Se o ruído térmico permanece dominante, Prec é reduzido por um fator de M, e a sensibilidade recebida é melhorada pelo mesmo fator. Mas, o ruído shot aumenta consideravelmente para APDs, e a equação deve ser usada no caso em que as contribuições do ruído shot e do ruído térmico são comparáveis. Similarmente ao caso da SNR, a sensibilidade do receptor pode ser otimizada, ajustando o ganho APD M. Assim, Prec é mínimo para um valor ideal de M dado por: 1/21/2 1/2 opt 1 T T A A A M k k Qq f k Qq f E o valor mínimo é: 2 rec APD opt( ) (2 / ) ( 1 )A AP q f R Q k M k 20 Para receptores APD, Prec apresenta uma dependência linear de B, em contraste com receptores p-i-n em que a dependência é em √B. Assim, para um receptor ideal no qual σT = 0, a sensibilidade do receptor é obtida pela definição M = 1 e é dada por: 2 rec ideal( ) ( / )P q f R Q Medidas alternativas de sensibilidade do receptor às vezes são utilizadas, como a SNR e o número médio de fótons Np contidos no bit 1. Na ausência de ruído térmico, σ0 ≈ 0, já que o ruído shot é insignificante para o bit 0 se a contribuição da corrente de escuro Id é desprezada. Uma vez que SNR = I1 2/σ1 2 e Q = I1/σ1 = (SNR) 1/2 no limite de ruído shot, uma SNR de 36 ou 15,6 dB é suficiente para obter BER = 1×10-9. Como a SNR ≈ ηNp no limite de ruído shot, usando Q = (ηNp) 1/2 a BER é dada por: 1BER erfc / 2 2 pN Para um receptor com 100% de eficiência quântica (η = 1), a BER = 1×10-9 quando Np = 36. A maioria dos receptores ópticos exigem Np ~ 1000 para alcançar um BER de 10 -9, pois seu desempenho é severamente limitado pelo ruído térmico. A expressão para BER obtida no limite do ruído shot não é precisa, pois é baseada numa aproximação gaussiana (não adequada para um pequeno número de fótons). Limite Quântico da Fotodetecção Nesse caso, no limite do ruído shot a distribuição estatística exata (poisson) deve ser usada. Assim, se Np é o número médio de fótons em cada bit 1, a probabilidade de se gerar m pares elétron-lacuna é dada por: exp( ) / !mm p pP N N m A BER deve ser calculada usando sua definição, em que P(1/0) é 0 já que nenhum para elétron-lacuna é gerado quando não existem fótons e P(0/1) = exp(-Np), com m = 0. A BER é calculada pela expressão: BER exp( ) / 2pN Para BER < 10-9, Np deve ser maior que 20 (limite quântico). Esse resultado é equivalente em potência usando P1 = NphfB, em que B é a taxa de bits e hf é a energia do fóton. A sensibilidade do receptor é então dada por: ' rec 1 0 1( ) / 2 / 2 / 2p pP P P P N h B N h B A quantidade Np’ expressa a sensibilidade do receptor em termos do número médio de fótons/bit e Np’ = Np/2 quando os bits 0 não carregam energia. Toda a análise de sensibilidade foi baseada somente no ruído do receptor e no fato de que toda a energia está no fluxo de bits 1, sem nenhuma energia para os bits 0. 21 No entanto, o sinal óptico prático não segue esta situação ideal e pode ser degradado durante a transmissão. Um exemplo dessas degradações é o ruído adicionado pelos amplificadores, aumentando a potência média mínima necessária na entrada do receptor. Degradação da Sensibilidade Essas degradações são conhecidas como penalidades de potência, existindo penalidades que podem degradar a sensibilidade mesmo sem nenhum sinal transmitido. Uma fonte de penalidade de potência está relacionada com a potência carregada pelos bits 0, P0, que depende da corrente de polarização Ib e da corrente de limiar Ith. Razão de Extinção Esta potência pode ser devida apenas à emissão espontânea (desprezível), e pode ser significativa se o Laser é polarizado ao redor, mas acima da corrente de limiar. A razão de extinção é definida como: ex 0 1/r P P A penalidade de potência pode ser obtida por meio do parâmetro Q, dado por: ex rec ex 1 0 1 2 1 r RP Q r Em geral, σ1 e σ0 dependem de Prec. Mas ambas podem ser aproximadas pelo ruído térmico σT, quando este é dominante. Assim, usando σ1 ~ σ0 ~ σT: ex rec ex ex 1 ( ) 1 Tr QP r r R Esta expressão mostra que Prec aumenta quando rex ≠ 0. A penalidade de potência é definida como a razão δex = Prec(rex)/Prec(0) e é comumente expressa em dB: rec ex ex ex 10 10 rec ex ( ) 1 10log 10log (0) 1 P r r P r A figura mostra como a penalidade de potência aumenta com rex. Uma penalidade de 1 dB ocorre para rex = 0,12, mas tipicamente é menor que 0,05, que é desprezível. Mas a penalidade passa a ser significante para correntes de polarização acima da corrente de limiar. 22 Ruído de Intensidade Toda a análise até agora é baseada no fato de que a potência óptica incidente no receptor não flutua. Entretanto, isso não é verdade porque qualquer luz emitida exibe flutuações, o que faz com que haja variações de potência e consequentemente de corrente. Assim, a SNR é degradada e é menor que a anteriormente calculada. Uma abordagem simples consiste em adicionar um terceiro termo à variância da corrente, de modo que: σ2 = σs 2 + σT 2 + σI 2 em que σI = RPinrI, sendo rI uma medida do ruído de intensidade, que é relacionada ao ruído de intensidade relativa do transmissor. Ruído de Intensidade Por esta análise, o parâmetro Q é reduzido na presença de ruído de intensidade e é necessário aumentar a potência recebida para manter a BER. Para simplificar a análise, a razão de extinção é assumida como zero. Assim, usando rI = RP1 = 2RPrec, Q é dado por: 2 2 2 1/2 2 ( ) rec T s I T RP Q em que: 1/2 rec rec(4 ) e 2s I IqRP f r RP Com estes resultados calcula-se a sensibilidade do receptor: 2 2 2 ( ) (1 ) T rec I I Q Q q f P r R r Q 23 A penalidade de potência, definida como o aumento de Prec quando rI ≠ 0, é dada por: 2 2 10 rec rec 1010log [ ( ) / (0)] 10log (1 )I I IP r P r Q A figura mostra a penalidade de potência em função de r I para Q = 6. A análise precedente assume que o ruído de intensidade no receptor seja o mesmo no transmissor. No entanto, isso não é verdade para um sinal óptico se propagando em uma fibra, o que torna este parâmetro limitante para sistemas ópticos de longa distância. O cálculo da sensibilidade do receptor até agora é baseado no pressuposto de que o sinal é amostrado sempre no pico do pulso de tensão. Isso não é verdade na prática, já que o instante de decisão é determinado pelo circuito de recuperação de relógio.
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