08 - Sensores e atuadores e Sistema Malha Fechada

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Sensores, Atuadores e Sistema Malha Fechada
22 de Marc¸o de 2015
1 Introduc¸a˜o
Representac¸o˜es nos sistemas de controle
atuador processo
sensor
uk
ua y
ys
atuador processo sensoruk
ua y ys
1.1 Controle de n´ıvel de tanque
Dado o sistema
processou y
representado pela equac¸a˜o diferencial em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio
τ
dyˆ
dt
+ yˆ = K0uˆ
o diagrama de blocos do processo com sensores e atuadores fica
atuadores processo transdutores
uk
iu(t)
ua
qe(t)
y
ht(t)
ys
iy(t)
e a equac¸a˜o diferencial respectiva
τn
diˆy
dt
+ iˆy = K0n iˆu
1
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
1.2 Simplificac¸a˜o
plantaiu(t) iy(t)
2 Modelos de sensores e atuadores
1. elemento prima´rio: converte a varia´vel de entrada em uma outra varia´vel
de sa´ıda no mesmo domı´nio. Exemplo:
elemento
prima´rio
altura pressa˜o
2. elemento de medic¸a˜o ou atuac¸a˜o: realiza a transformac¸a˜o de energia
entre domı´nios. Exemplo:
elemento de
medic¸a˜o
pressa˜o resisteˆncia
3. elemento condicionador: manipula a varia´vel de entrada na varia´vel
de sa´ıda de interesse. Exemplo:
elemento
condicionador
resisteˆncia corrente ele´trica
3 Modelagem de sensores e atuadores
3.1 Sensor de n´ıvel de tanque
elemento
prima´rio
K1
elemento de
medic¸a˜o
K2
elemento
condicionador
K3
ht(t) p(t) R(t) y(t)
y(t) = K3 ·K2 ·K1 · ht(t)
Simplificando
Ks
sensor
ht(t) y(t)
em que Ks = K3 ·K2 ·K1
2
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
3.2 Atuador va´lvula de entrada
i
fluido vaza˜o
q
d
pressa˜o
p
elemento
atuac¸a˜o
elemento
prima´rio
elemento
condicionador
u
i(t)
um1
p(t)
um2
d(t)
ua
q(t)
Simplificando
atuadori(t) q(t)
3.3 Exemplo
Encontrar a nova equac¸a˜o diferencial do sistema de controle de n´ıvel, inclu´ındo
o sensor e o atuador, dadas as informac¸o˜es abaixo
atuador – curso da va´lvula: 0− 25 mm
– diaˆmetro do diafragma: 100 mm
– constante da mola: 200000 N/m
– va´lvula eletropneuma´tica:
∗ 4− 20 mA
∗ 0− 6 bar
sensor pressa˜o – ∗ 4− 20 mA
∗ 0− 1 bar
tanque – A: 10m2
– R: 140s/m2
– htmax : 4 m
– qe: 100 m
3/h para deslocamento d de 25 mm
3
3.3.1 Sensor
K1 K2
ht(t)
altura
p(t)
pressa˜o
i(t)
corrente
3.3.1.1 Primeiro subsistema do sensor
K1
ht p
p = ρ · g · ht
= 1000 · 9.81 · ht Pa
= 9810 · ht Pa
Como 1 bar = 105 Pa
p = 9810 · 10−5 · ht bar
K1 = 0.0981 bar/m
Como a equac¸a˜o diferencial foi linearizada em torno de h¯t, sera´ preciso in-
troduzir varia´veis de perturbac¸a˜o{
ht = h¯t + hˆt
p = p¯+ pˆ
=⇒ p¯+ pˆ = 0.0981(h¯t + hˆt)
No equil´ıbrio hˆt = 0 e pˆ = 0, portanto p¯ = 0.0981h¯t
Em torno do equil´ıbrio ficamos com
�¯p+ pˆ =��
��0.0981h¯t + 0.0981hˆt
pˆ = 0.0981hˆt
3.3.1.2 Segundo subsistema do sensor
K2
p i
Sabemos que htmax = 4 m
pmax = 0.0981htmax
pmax = 0.3924 bar
4
Se existe um elemento condicionador que possibilita a alterac¸a˜o do ganho
de sa´ıda do sensor para uma maior sensibilidade, ajustamos a corrente ma´xima
para a ma´xima pressa˜o
0.3924 bar←→ 20 mA
0 bar←→ 4 mA
p
i
4
20
0.3924
y − y0 = m(x− x0)
20− 4 = m(0.3924− 0)
16 = 0.3924m
m ≈ 40.8
Para p = 0 bar temos que i = 4 mA, portanto temos que
i(t) = 4 + 40.8p(t)
Introduzindo as varia´veis de perturbac¸a˜o{
i = i¯+ iˆ
p = p¯+ pˆ
=⇒ i¯+ iˆ = 4 + 40.8(p¯+ pˆ)
No equil´ıbrio iˆ = 0 e pˆ = 0, portanto i¯ = 4 + 40.8p¯
Em torno do equil´ıbrio ficamos com
�¯i+ iˆ =���
��4 + 40.8p¯+ 40.8pˆ
iˆ = 40.8pˆ
Portanto
K2 = 40.8
5
3.3.1.3 Juntando os subsistemas do sensor
Juntando as equac¸o˜es abaixo
pˆ = 0.0981hˆt
iˆ = 40.8pˆ
obtemos
iˆ = 40.8 · 0.0981hˆt =⇒ iˆ = 4hˆt
4
hˆt iˆ
3.3.2 Atuador
K1 K2 K3
ia(t)
corrente
pa(t)
pressa˜o
d(t)
deslocamento
qe(t)
vaza˜o
3.3.2.1 Primeiro subsistema do atuador
K1
ia pa
Sabemos que
ia varia de 4 a 20 mA
pa varia de 0 a 6 bar
p
i
4
20
6
y − y0 = m(x− x0)
20− 4 = m(6− 0)
16 = 6m
m = 0.375
6
Para pa = 0 bar temos que ia = 4 mA, portanto temos que
ia(t) = 4 + 0.375pa(t)
portanto para entrada corrente e sa´ıda pressa˜o temos:
pa(t) =
ia(t)− 4
0.375
Introduzindo as varia´veis de perturbac¸a˜o{
pa = p¯a + pˆa
ia = i¯a + iˆa
=⇒ i¯a + iˆa = 4 + 0.375(p¯a + pˆa)
No equil´ıbrio iˆa = 0 e pˆa = 0, portanto i¯a = 4 + 0.375p¯a
Em torno do equil´ıbrio ficamos com
��¯ia + iˆa =((((
((4 + 0.375p¯a + 0.375pˆa
iˆa = 0.375pˆa
pˆa =
iˆa
0.375
Portanto
K1 =
1
0.375
3.3.2.2 Segundo subsistema do atuador
K2
pa da
i
fluido vaza˜o
q
d
pressa˜o
p
7
Sabemos que a forc¸a da mola tem que ser igual a` forc¸a do atuador. Temos
enta˜o
Fa = Fm
pa ·Ad = Km · da
Ad
Km
=
da
pa
em que Ad e´ a a´rea do diafragma e Km e´ a constante da mola.
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ a raza˜o entre sa´ıda e entrada, que para esse
subsistema e´ o deslocamento do atuador da sobre a pressa˜o do atuador pa:
da
pa
.
Da equac¸a˜o anterior temos enta˜o
K2 =
da
pa
K2 =
Ad
Km
K2 =
pi0.12
4
200000
K2 = 3.93 · 10−8 m/Pa =⇒ para unidades S.I.
K2 = 3.93 mm/bar
dˆ(t) = 3.93pˆa(t)
3.3.2.3 Terceiro subsistema do atuador
K3
d qe
Vamos admitir uma relac¸a˜o linear entre o ma´ximo deslocamento da haste e
a ma´xima vaza˜o resultante da sa´ıda
d varia de 0 a 25 mm
qe varia de 0 a 100 m
3/h
d
qe
100
25
8
K3 =
qe
d
K3 =
100 m3/h
25 mm
K3 =
100 m3/h
25 · 10−3 m
K3 = 4 · 103 m2/h
K3 =
4 · 103
3600
m2/s
K3 ≈ 1.11 m2/s
qˆe(t) = 1.11dˆ(t)
3.3.2.4 Juntando os subsistemas do atuador
Juntando as equac¸o˜es abaixo
pˆa(t) =
1
0.375
iˆa(t)
dˆ(t) = 3.93pˆa(t)
qˆe(t) = 1.11dˆ(t)
obtemos
qˆe = 1.11 · 3.93 · 10−8 · 1
0.375
· 105iˆa =⇒ qˆe = 0.0116ˆia
0.0116
iˆa qˆe
3.3.3 Juntando o atuador e o sensor com o processo
Dado a equac¸a˜o diferencial do processo, que e´ um tanque
τ
dyˆ
dt
+ yˆ = K0uˆ
podemos calcular os valores de K0 e τ usando os valores dado do exerc´ıcio.
Lembrando que
τ
dy
dt
+ y = K0u ===⇒ RAdh
dt
+ ht = Rqe
9
τ = R ·A K0 = R
τ = 140 · 10 K0 = 140
Obtemos a equac¸a˜o diferencial do tanque
1400
dy
dt
+ y = 140u
atuador
0.0116
processo
140
1400s+1
transdutor
4
iˆu iˆy
Multiplicando os sistemas, obtemos a func¸a˜o de transfereˆncia final
Iy(s)
Iu(s)
=
4 · 0.0116 · 140
1400s+ 1
Iy(s)
Iu(s)
=
6.5145
1400s+ 1
e aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos a equac¸a˜o diferencial
final
1400
diˆy
dt
+ iˆy = 6.5145ˆiu
10
4 Sistema de Malha Fechada
Diagrama completo de malha fechada
K(s) atuador processo sensor
r(t)
+
e(t) u(t) y(t)
z(t)
−
Planta P (s)
G(s)
Func¸a˜o de transfereˆncia de Malha Fechada (T (s)) com realimentac¸a˜o nega-
tiva:
G(s)
H(s)
r(t)
+
ea(t) y(t)
z(t)
−
em que G(s) = K(s)·P (s) e´ chamado de Ganho Direto e L(s) = G(s)·H(s)
e´ chamado de Ganho de Malha Aberta. Queremos obter T (s) =
Y (s)
R(s)
. Do
diagrama de blocos temos: 
Y (s) = G(s) · Ea(s)
Z(s) = H(s) · Y (s)
Ea(s) = R(s)− Z(s)
11
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce

Y (s) = G(s) · Ea(s)
Z(s) = H(s) · Y (s)
Ea(s) = R(s)− Z(s)
Y (s) = G(s) [R(s)− Z(s)]
Y (s) = G(s) [R(s)−H(s) · Y (s)]
Y (s) = G(s) ·R(s)−G(s) ·H(s) · Y (s)
Y (s) +G(s) ·H(s) · Y (s) = G(s) ·R(s)
(1 +G(s) ·H(s)) · Y (s) = G(s) ·R(s)
T (s) =
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s) ·H(s)
Podemos reescrever em func¸a˜o dos polinoˆmios numerador e denominador doganho direto (G(s) = NG(s)DG(s) ):
Y (s)
R(s)
=
NG(s)
DG(s)
1 + NG(s)DG(s) ·H(s)
×DG(s)
DG(s)=====⇒ Y (s)
R(s)
=
NG(s)
DG(s) +NG(s) ·H(s)
Se a realimentac¸a˜o e´ unita´ria, H(s) = 1
T (s) =
G(s)
1 +G(s)
=
NG(s)
DG(s) +NG(s)
12
4.0.4 Exerc´ıcio
Implementar no Simulink o sistema de tanque com atuador e sensor descrito
acima, sem linearizar e depois linearizado em torno do ponto de equil´ıbrio.
Comparar as respostas e obter no MATLAB a func¸a˜o de transfereˆncia do mo-
delo feito no Simulink.
Sistema completo:
2000 4000 6000 8000 10000
9
14
19
4
Sistema linearizado:
2000 4000 6000 8000 10000
3
6
9
13
Ao alterar o ponto de equil´ıbrio, porque a forma da curva se mante´m a
mesma?
Ela se mante´m a mesma porque independente do ponto de equil´ıbrio esco-
lhido, o comportamento dinaˆmico linearizado e´ o mesmo ja´ que a derivada e´
uma constante.
14